bernoulli, daniel

MATERIA : ECUACIONES DIFERENCIALESMAESTRO :MARTINEZ PADILLA CESAR OCTAVIOALUMNO: VILLALOBOS BARRAGAN JOSE ANTONIO REGISTRO DEL ALUMNO : 9310398

Bernoulli, Daniel (1700 - 1782).

Biografía a de Bernoulli, Daniel

Científico holandés que descubrió los principios básicos del comportamiento de los fluidos. Era hijo de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo del cálculo.

Biografía a de Bernoulli, Daniel

Desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médico en 1721, fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza.

Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión ejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea.

Ecuación de Bernoulli

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

La ecuación de Bernoulli

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .  

.  

Demostración de La ecuación de Bernoulli

Al dividir la ecuación por , resulta:

Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución

=

Sustituyendo en la ecuaciónesta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

Ejemplo

Resuelva la ecuación

SoluciónÉsta es una ecuación de Bernoulli con ,

y

Para resolver

Para resolverla primero dividamos por

Quedaría :

Ahora efectuemos la transformación Puesto que

la ecuación se transforma en:

*para resolver

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación original

Observación

en esta solución no está incluida la soluciónque se perdió durante el proceso de dividir por

Es decir, se trata de una solución singular.Ejemplo:Compruebe que la ecuación diferencialse transforma en una ecuación de Bernoulli al

hacer

Solución

Como

Sustituyendo obtenemos

La cual es una ecuación de Bernoulli.

Referencias

*Libro ecuaciones diferenciales por: Isabel Carmona Jover editorial : pearson

*http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap2-geo/node11.html

*http://www.fisicanet.com.ar/biografias/cientificos/b/bernoulli.php