aula teórica: tratamento de dados, recta

AULA TEÓRICA: Tratamento de dados, recta

Cursos: Análises Clínicas e Saúde Pública, Dietética, Farmácia, Radiologia

Química Aplicada

DadosObjectivos

Tratar dados e resultados práticos

Utilizar os resultados para interpretação

Resolver problemas e aplicações derivadas da teoria

Erros e variação Fontes de erro - erro de calibração - erro de medição - erro de operação - erro de cálculo

Fontes de variação - devido ao aparelho (replicados) - devido à amostragem uma amostra (uma garrafa) várias amostras (várias garrafas)

Descrever dados

Máximo

Mínimo

Gama

Média

Moda

Mediana

Distribuição

Tratamento de dados

Estatística descritiva Mínimo Máximo Gama Número de observações n

Média

Desvio padrão

n

x

n

...xxxx

n

i in21

1

1

)( 22

n

n

xx

s

Desvio padrão

média

-s +s= 62.8 %

-2s +2s= 95.4 %

Desvio padrão

Gráfico de dados

Relaciona a Emissão com a concentraçãoE

mis

são

Concentração mg/l

Recta de calibraçãoRelaciona a Emissão com a concentração

Em

issã

o

Concentração mg/l

Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais

Este tipo de cálculo designa-se regressão linear

A determinação da recta que melhor ajusta um conjunto de pontos experimentais pode ser feita utilizando o método dos minímos quadrados.

Este tipo de ajuste tende a minimizar os erros resultantes

do trabalho experimental segundo uma equação do tipo

bxmy

Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais

Neste método dos minímos quadrados, procura-se minimizar a distância "vertical" de cada ponto experimental x a uma recta teórica, mx+b

Valores experimentais

Em que: m - declive

b – ordenada na origem

Recta “perfeita”X012345

Y012345

y = m x+ b

m?b?

RectaX012345

Y0246810

y = m x+ b

m?b?

ó

yx

Rectay012345

x0246810

y = m x+ b

m?b?

y

x

Rectay012345

x123456

y = m x+ b

m?b?

RectaX012345

Y123456

y = m x+ b

m?b?

RectaX012345

Y543210

y = m x+ b

m?b?

RectaX012345

Y0-1-2-3-4-5

y = m x+ b

m?b?

Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais Tendo em conta a minimização dos erros relativos a y e x,

podemos calcular m e b do seguinte modo:

e

Os parâmetros Sxx, Sxy e Sxy podem ser calculados por:

xmyb xx

xy

S

Sm

n

xxxxS iiixx

2

22

n

yyyyS iiiyy

2

22

n

yxyxyyxxS iiiiiixy

Em que : n é o número de pontos experimentais

Coeficiente de correlação

A determinação da probabilidade que os pontos experimentais têm de passar pela recta, ou seja de seguirem uma relação linear, pode ser obtida através do coeficiente de correlação.

Coeficiente de Relação

Relação forte, + va Relação mais fraca, -va

Relação positiva (proporcional)

Coeficiente de correlação

Relação forte, - va Relação mais fraca, -va

Relação negativa (inversa)

Cálculo do coeficiente de correlação

O cálculo deste pode ser feito utilizando a expressão:

,com

Deste modo obtemos:

])(][)([

))(()(2222 yynxxn

yxxynr

yx

n

iii

SS

yyxxn

r

1

))((1

n

iix xx

nS

1

22 1)(

n

iiy yy

nS

1

22 )(1e

Exemplo

Concentração(x)

Abs. (y)

1 4

2 6

3 8

?y?x

1- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:

1.1 - Complete:

n = ?

Sx = ?

Sy =?

1.2 - Complete a tabela.

23

321

n

xx

2)(1

1

2

n

iiy yy

nS

n = 3

1)(1

1

2

n

iix xx

nS

63

864

n

yy

x ….

y ….

)( xx xSxx /)(

)( yy ySyy /)(

yx S

yy

S

xx )()(

Tendo em conta que:

Na tabela calculou-se

2)()(

yx S

yy

S

xx

yx

n

iii

SS

yyxxn

r

1

))((1

Exercício

1- Tendo em conta os valores experimentais apresentados na tabela seguinte calcule os parâmetros da recta: m e b.

1.1- Quando x= 1,6 qual o valor de y?

Concentração(x)

Abs. (y)

5 4

6 3

1 2

4 5

2 5

RESOLUÇÃO

1- x = 3,6 y = 3,8

Tendo em conta que:

e que

substituindo Sxx e SxY em b, obtém-se:

0930,0

)18()82(5

)19)(18()70(5

)(

))(()(222

xxn

yxxynm

xx

xy

S

Sm

N

yxyxyyxxS iiiiiixy

N

xxxxS iiixx

2

22

Determinação de b:

465,3)6.309302,0(8,3 xmyb

61,3)6,36,1(09302,08,3)( xxmyy

1.1-

Exercício

x y

1 2

2 4

4 5

5 7

5 8

2- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:

2.1- Calcule o coeficiente de correlação. Comente o resultado.

Resolução

97.0])26()158(5][)17()71(5[

)26)(17()105(5

])(][)([

))(()(222222

yynxxn

yxxynr

2.1 - O coeficiente de correlação é calculado a partir da seguinte expressão:

O resultado obtido é um bom resultado na medida em que se aproxima de +1(relação perfeita).

Exercício

x y

5 4

6 3

1 2

4 6

2 3

3- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:

3.1- Calcule o coeficiente de correlação. Comente o resultado

RESOLUÇÃO

41.0])18()74(5][)18()82(5[

)18)(18()70(5

])(][)([

))(()(222222

yynxxn

yxxynr

3.1 - O coeficiente de correlação é calculado a partir da seguinte expressão:

O resultado obtido é um mau resultado na medida em que se afasta bastante de +1 (relação perfeita).