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Matrizes Inversas e Matrizes Elementares

Fabio S. Bemfica

EC&T - UFRN

21 de agosto de 2012

Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares

A Inversa de uma Matriz

Definicao

Seja A uma matriz quadrada n × n. Se pudermos encontrar uma matriz Btambem n × n tal que

AB = BA = I ,

entao dizemos que A e invertıvel e que B e a sua inversa. Se nao existiruma matriz B que obedeca a equacao acima, entao A e ditanao-invertıvel ou singular.

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A Inversa de uma MatrizExemplo

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.4)

Se B e C sao ambas inversas da matriz A, entao B = C

Proof.

Como B e C sao ambas inversas de A, entaoC = IC = (BA)C = B(AC ) = BI = B.

Sendo assim, usamos A−1 para definir a inversa de uma matriz A qualquer.

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.4)

Se B e C sao ambas inversas da matriz A, entao B = C

Proof.

Como B e C sao ambas inversas de A, entaoC = IC = (BA)C = B(AC ) = BI = B.

Sendo assim, usamos A−1 para definir a inversa de uma matriz A qualquer.

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.5)

A matriz

A =

[a bc d

]e invertıvel se e somente se ad − bc 6= 0, e sua inversa sera

A−1 =1

ad − bc

[d −b−c a

]

Proof.

A prova fica de exercıcio!

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.6)

Se A e B sao matrizes invertıveis de mesmo tamanho, entao AB einvertıvel e

(AB)−1 = B−1A−1

Proof.

A prova e direta. Vejamos se B−1A−1 e a inversa de AB:

B−1A−1AB = B−1B = I .

Da mesma forma ocorre para ABB−1A−1.

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.6)

Se A e B sao matrizes invertıveis de mesmo tamanho, entao AB einvertıvel e

(AB)−1 = B−1A−1

Proof.

A prova e direta. Vejamos se B−1A−1 e a inversa de AB:

B−1A−1AB = B−1B = I .

Da mesma forma ocorre para ABB−1A−1.

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A Inversa de uma MatrizExemplo

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.8 - Leis dos expoentes)

Se A e uma matriz invertıvel, entao

(a) A−1 e invertıvel e (A−1)−1 = A.

(b) An e invertıvel e (An)−1 = (A−1)n para n = 0, 1, 2, · · ·(c) Para qualquer escalar nao-nulo k, a matriz kA e invertıvel e

(kA)−1 = 1k A−1

Proof.

(a) Como A−1 e a inversa de A, e e unica pelo teorema anterior,entao A e a unica inversa de A−1, sendo que (A−1)−1 = A.

(b) Como A−1A = I e A−1 · · ·A−1A · · ·A−1 = I = (A−1)nAn,entao (An)−1 = (A−1)n.

(c) Se A−1 e a inversa de A, entao ( 1k A−1)(kA) = 1

k kA−1A = I .

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.8 - Leis dos expoentes)

Se A e uma matriz invertıvel, entao

(a) A−1 e invertıvel e (A−1)−1 = A.

(b) An e invertıvel e (An)−1 = (A−1)n para n = 0, 1, 2, · · ·(c) Para qualquer escalar nao-nulo k, a matriz kA e invertıvel e

(kA)−1 = 1k A−1

Proof.

(a) Como A−1 e a inversa de A, e e unica pelo teorema anterior,entao A e a unica inversa de A−1, sendo que (A−1)−1 = A.

(b) Como A−1A = I e A−1 · · ·A−1A · · ·A−1 = I = (A−1)nAn,entao (An)−1 = (A−1)n.

(c) Se A−1 e a inversa de A, entao ( 1k A−1)(kA) = 1

k kA−1A = I .

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A Inversa de uma MatrizExpressoes polinomiais envolvendo matrizes

Se A e uma matriz quadrada, digamos m ×m, e se

p(x) = a0 + a1x + · · · anxn

e um polinomio qualquer de grau n, entao definimos

p(A) = a0I + a1A + · · · anAn ,

onde I e a matriz identidade m ×m.

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A Inversa de uma MatrizExemplo

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.10)

Se A e uma matriz invertıvel, entao AT tambem e invertıvel e

(AT )−1 = (A−1)T .

Proof.

Como AA−1 = I e IT = I , temos que (AA−1)T = I = (A−1)TAT e,portanto, (AT )−1 = (A−1)T .

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A Inversa de uma Matriz

Theorem (Teorema 1.4.10)

Se A e uma matriz invertıvel, entao AT tambem e invertıvel e

(AT )−1 = (A−1)T .

Proof.

Como AA−1 = I e IT = I , temos que (AA−1)T = I = (A−1)TAT e,portanto, (AT )−1 = (A−1)T .

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Definition

Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executandouma unica operacao elementar sobre linhas e chamada matriz elementar

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Exercıcio:

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Operacoes sobre linhas por multiplicacao matricial

Se a matriz elementar E resulta de uma certa operacao sobre linhas em Ime se A e uma matriz m × n, entao o produto EA e a matriz que resultaquando esta mesma operacao sobre linhas e efetuada sobre A.

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Exemplo

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Operacoes e operacoes inversas

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Theorem (Teorema 1.5.2)

Qualquer matriz elementar e invertıvel e a inversa e, tambem, uma matrizelementar.

Proof.

Seja E uma matriz elementar e E0 a matriz que resulta da operacaoinversa de E sobre I . Como E0 opera sobre as linhas de E da mesmaforma que opera sobre as linhas de I , entao E0E = I = EE0.

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Theorem (Teorema 1.5.3 - Afirmacoes equivalentes)

Se A e uma matriz n × n, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) A e invertıvel

(b) A~x = 0 tem somente a solucao trivial. ~x e a matriz colunade entradas x1, x2, · · · , xn

(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A e In

(d) A pode ser expressa como um produto de matrizeselementares

Proof.

Feita no quadro.

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Metodo de inversao de matrizes

Conforme vimos, se A e uma matriz n × n invertıvel, existe uma sequenciafinita k de operacoes elementares sobre as linhas de A realizadas pelas kmatrizes elementares E ′i s que leva A a identidade In. Ou seja,

Ek · · ·E2E1A = In .

Pela definicao de inversa, na equacao acima reconhecemos

A−1 = Ek · · ·E2E1 .

Sendo assim, devemos resolver o sistema de equacoes aumentadas

[A | In] ∼ E1 [A | In]

∼ [E1A | E1]...

∼ [In | Ek · · ·E2E1] .

A matriz que obteremos a direta sera a matriz inversa A−1!Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares

Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Metodo de inversao de matrizes

Se nao obtemos a identidade a esquerda e porque a matriz nao einvertıvel. Exemplo: uma linha de zeros a esquerda!

Exemplo:

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Matrizes Elementares e a Inversa A−1

Metodo de inversao de matrizes

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Exercıcios Referentes a Secao 1.4 do livro texto

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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto

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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto

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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto

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Respostas

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Respostas

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