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MATEMÁTICA

MÓDULO 13RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR

PA PB PC PD

Exemplo: Calcule x na figura a seguir.

PA PB PC PD

2 5 3 3 x

10 1x 3

3 3

1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)

Sejam dois segmentos de reta PB e PD de origem comum e os pontos A em PB e C em PD tais que PA · PB = PC · PD então os pontos A, B, C e D são concíclicos.

1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)

2PT PA PB

Exemplo: Calcule x na figura a seguir.

2

2

PC PA PB

x 2 5

x 10

1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)

2 2PA PB d R

Exemplo: Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e talque 𝐎𝐏 = 𝐑 𝟑. Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, entãocalcule AB em função de R.

2 2

2 2

2

PA PB OP R

R R x R 3 R

R R x 2R

x R

2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR

PA PB PC PD

Exemplo: Calcule x na figura a seguir.

2

AP BP CP DP

4x 2 2x x 1 4x

4x 8x 0

x 2

2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.)

Sejam dois segmentos de reta AB e CD que se cruzam em um ponto P tal que PA · PB = PC · PD, então os pontos A, B, C e D são concíclicos.

2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.)

2 2PA PB R d

Exemplo: Calcule x na figura, onde O é o centro da circunferência.

2 2

2 2

2

PA PB R d

8 3 x 4

x 8

x 2 2

3. POTÊNCIA DE PONTO

A potência de um ponto P em relação a um círculo de centro O e raio R é dada por

2 2

OPot P d R

O

O

O

P exterior ao círculo d R Pot P 0

P pertence ao círculo d R Pot P 0

P interior aocírculo d R Pot P 0

Exemplo: Considerando o círculo da figura de centro O, calcule

O O OPot A Pot B Pot C.

2 2 2 2

OPot A OA R 3 5 9 25 16

2 2 2 2

OPot B OB R 5 5 0

2 2 2 2

OPot C OC R 7 5 49 25 24

O O OPot A Pot B Pot C 16 0 24 8

4. EIXO RADICAL

O eixo radical de dois círculos é o lugar geométrico dos pontos dos quais pode-se traçar tangentes de mesmo comprimento aos dois círculos.

1 2O OP e.r. Pot P Pot P

O lugar geométrico dos pontos cujas potências em relação a dois círculos nãoconcêntricos são iguais é uma reta perpendicular à reta que une os centros dosdois círculos e é chamado eixo radical dos círculos.

4. EIXO RADICAL (CONT.)

5. CENTRO RADICAL

O lugar geométrico dos pontos de mesma potência em relação a três círculosnão concêntricos e cujos centros não são colineares é um único ponto,denominado centro radical dos círculos.

MATEMÁTICA

MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

(CMRJ 2009) Na figura abaixo, temos um círculo de centro O, em quePA = 3 cm e PB = 2 cm. O valor de PQ é:

a) 10 cm

b) 12 cm

c) 13 cm

d) 15 cm

e) 20 cm

QUESTÃO 4

RESOLUÇÃO:

OPÇÃO: B

M AB CD AB CD

AM MB 2,5 MP 0,5

PC PJ PA PB 3 2 6

MPC ~ JPQ A.A.A.

PC MP

PQ PJ

0,5 PQ 6

PQ 12 cm

MATEMÁTICA

MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

(EPCAR 2004) Na figura abaixo, T é ponto de tangência, PQ e PS sãosecantes ao círculo de centro O e MS = 6 cm. Se PN, PM e PT sãorespectivamente proporcionais a 1, 2 e 3, então a área do círculo vale,em cm2 ,

a) 51,84

b) 70,56

c) 92,16

d) 104,04

QUESTÃO 5

RESOLUÇÃO:

PN kPN PM PT

k PM 2k1 2 3

PT 3k

2

2

PT PM PS PM PM MS

3k 2k 2k 6

12k 0 não convém k

5

2

2

PT PN PQ PN PN NQ

3k k k 2R

12 48R 4k 4

5 5

2248

S 92,16 cm5

OPÇÃO: C

MATEMÁTICA

MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

(CN 1996) Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as cordasque se interceptam no ponto E. Sabe-se que existe a relação

22 2 2c d 2ab 4t 4 c d . O valor de x é:c d

a)2

c db)

32c d

c)4

c 2dd)

83c 4d

e)6

QUESTÃO 15

RESOLUÇÃO:

OPÇÃO: A

2 2AT AB AD t x c d x

TE EC BE ED a b c d

22 2 2

22 2

c d 2ab 4t 4 c d

c d 2cd 4x x c d 4 c d

224x 4 c d x 3 c d 0

3 1x c d ou x c d

2 2

c dx 0 x

2

MATEMÁTICA

MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

(CN 2002) Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista 6 cm e10 cm, respectivamente, das tangentes AQ e BQ. A distância, em cm,do ponto P à corda AB é igual a:

a) 30

b) 2 15

c)16

d)18

e) 6 10

QUESTÃO 18

RESOLUÇÃO:

OPÇÃO: B

ˆ ˆACP AEP 90 90 180 # ACPE  é inscritível

ˆ ˆBDP BEP 90 90 180 #BDPE  é inscritível

APˆ ˆ ˆ ˆCEP CAP ABP EDP2

BP ˆˆ ˆ ˆDEP DBP BAP ECP2

2

ˆˆ ˆ ˆCEP EDP e ECP DEP CEP ~ EDP

PE PCPE PC PD

PD PE

2

PC 6 cm PD 10 cm

PE 6 10

PE 2 15 cm

MATEMÁTICA

MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

Professor Renato Madeira

20. (CN 2005) Sejam L1 e L2 duas circunferências fixas de raiosdiferentes, que se cortam em A e B. P é um ponto variável exterior àscircunferências (no mesmo plano). De P traçam-se retas tangentes àL1 e L2, cujos pontos de contato são R e S. Se PR = PS, pode-seafirmar que P, A e B

a) estão sempre alinhados.

b) estão alinhados somente em duas posições.

c) estão alinhados somente em três posições.

d) estão alinhados somente em quatro posições.

e) nunca estarão alinhados.

QUESTÃO 20

RESOLUÇÃO:

Se PR=PS, então o ponto P tem amesma potência em relação àscircunferências L1 e L2. Logo, Ppertence ao eixo radical de L1 e L2, queé uma reta que passa por A e B.

Daí, conclui-se que P, A e B estãosempre alinhados.

OPÇÃO: A