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Campo magnético

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• Há pelo menos cerca de 2500 anos se observou que certos corpos tem a

propriedade de atrair o ferro. Esses corpos foram chamados ímãs.

• Essa propriedade dos ímãs foi observada pela primeira vez com o tetróxido de

triferro, em uma região da Ásia chamada Magnésia (agora chamada de Manisa, no

oeste da Turquia). Por causa desse fato esse minério de ferro é chamado

magnetita. Esses fragmentos hoje são conhecidos como ímãs permanentes ou

magnetos. 2

• Cristais de magnetita são encontrados em certos tipos de bactérias (por exemplo,

na Aquaspirillum magnetotacticum), em cérebros de abelhas, cupins, peixes,

ursos, alguns pássaros (por exemplo, em pombos) e em seres humanos.

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A magnetita é o ímã que se encontra na natureza: é o ímã natural. Chamamos corpo

neutro aquele que não tem propriedade magnética; corpo imantado aquele que se

tornou ímã. Os corpos que se imantam com grande facilidade são o ferro e certas

ligas de ferro usadas na fabricação de ímãs permanentes.

Um objeto que contém ferro, porém não imantado, é atraído por qualquer um dos

pólos de um imã permanente.

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Interação entre ímãs e pólos magnéticos

Além de exercer uma força sobre um pedaço de ferro, verificou-se que um ímã

permanente exerce uma força sobre outro ímã. A força pode ser atrativa ou repulsiva,

dependendo dos chamados pólos magnéticos.

Pólos Sul e Norte

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Linhas de campo magnético

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Deixando uma haste de ferro em contato com um ímã natural, ela se torna imantada. Quando

essa haste imantada é suspensa por um fio preso em seu centro, ela tende a se alinhar com a

direção norte-sul da Terra. A agulha de uma bússola comum nada mais é do que um fragmento

de ferro imantado como esse.

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Magnetismo

• A natureza fundamental do magnetismo é a interação produzida por cargas

elétricas que se movem. Diferentemente da força elétrica, que atua sempre sobre

uma carga, quer ela esteja em movimento ou em repouso, as forças magnéticas só

atuam sobre cargas em movimento.

• Vimos nos capítulos anteriores como um campo elétrico produz uma força

elétrica em um corpo eletricamente carregado. Um objetivo análogo é estudar o

modo como um campo magnético produz uma força magnética em um corpo

eletricamente carregado – em movimento.

Carga magnética?

Já que o campo vetorial elétrico é produzido por cargas elétricas, seria natural

pensar que o campo vetorial magnético – denotado por – fosse produzido

por cargas magnéticas.

No entanto, cargas magnéticas (conhecidas como monopolos magnéticos) nunca

foram observadas experimentalmente. 8

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Inicialmente, estudaremos como as cargas em movimento reagem aos

campos magnéticos. Na sequência, examinaremos como as cargas em

movimento produzem os campos magnéticos.

Seja uma partícula puntiforme com carga q e velocidade imersa em

um campo magnético . A partícula sofrerá a ação de uma força

magnética dada por:

A força que age sobre uma partícula com carga q e velocidade imersa

em um campo magnético é sempre perpendicular a e .

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Regra da mão direita:

Cargas positivas em movimento

em um campo magnético:

Cargas negativas em movimento

em um campo magnético:

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Unidade SI de campo magnético: Tesla [T], em homenagem a Nikola Tesla (1856-

1943).

Uma unidade antiga de campo magnético, que não pertence ao SI mas ainda

é usada na prática, é o gauss (G). A relação entre o gauss e o tesla é a

seguinte:

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Movimento de partículas carregadas em um campo magnético

X campo magnético entrando no plano da figura.

Considere uma partícula com carga +q e velocidade , imersa em um campo

magnético uniforme, tal que e sejam perpendiculares. O movimento será

circular uniforme:

Trajetória circular:

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Para um movimento circular uniforme temos que:

Portanto:

“Frequência ciclotrônica”

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Considere agora uma partícula com carga +q e velocidade , imersa em um campo

magnético uniforme, tal que e não sejam perpendiculares. O movimento será

helicoidal:

Trajetória helicoidal:

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• O que acontece quando uma partícula com carga elétrica, como o elétron, por

exemplo, se move em uma região na qual existem campos cruzados? Um

experimento desse tipo, realizado por J. J. Thomson em 1897 na Universidade

de Cambridge, levou à descoberta do elétron.

• Tanto o campo elétrico como um campo magnético podem exercer uma força

sobre uma partícula com carga elétrica (o segundo, apenas se a carga estiver em

movimento). Quando os dois campos são mutuamente perpendiculares dizemos

que se tratam de campos cruzados.

Campos cruzados: a descoberta do elétron

Campos cruzados

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A figura acima mostra uma visão “frontal” do experimento de J. J. Thomson (em 3D

no slide anterior). Partículas carregadas (que hoje chamamos de elétrons) são

emitidas por um filamento aquecido em uma das extremidades de um tubo evacuado

e aceleradas por uma diferença de potencial V. Depois de passarem por uma fenda no

anteparo A, formam um feixe estreito. Em seguida, passam por uma região onde

existem campos e cruzados e atingem uma tela, ponde produzem um ponto

luminoso. Na região dos campos cruzados, os elétrons do feixe sofrem a ação da

seguinte força:

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Adotando as referências expostas nas figuras do slide anterior, temos que:

Utilizando a regra da mão direita para o produto vetorial, teremos que:

O experimento consiste em ajustar os valores de E e B tal que a força resultante seja

nula e as partículas se desloquem em linha reta com velocidade constante. Então:

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A velocidade v dos elétrons é determinada pela diferença de potencial V que os

acelera, tal que a energia cinética será dada por:

Então:

Portanto:

“razão carga-massa”

O aspecto mais relevante das medidas de Thomson é que ele encontrou um único

valor para a razão carga-massa. O valor não dependia do material do filamento

aquecido, do gás residual do tubo, nem de nenhum outro parâmetro da experiência.

Essa independência mostrou que as partículas do feixe – agora chamadas de elétrons

– constituem um componente comum de toda matéria.

O valor da razão carga-massa do elétron mais preciso conhecido é 21

Quinze anos após as experiências de Thomson, o físico americano Robert Millikan

mediu com precisão a carga do elétron (ver problema 23.91 – Sears & Zemansky –

12a Edição). Esse valor, em conjunto com o valor de e/m, pode ser usado para a

determinação da massa do elétron. O valor mais preciso conhecido até o momento é

dado por:

Nas duas últimas expressões, os valores entre parênteses indicam as incertezas dos

dois últimos algarismos, ou seja, 12 e 26. 22

Experiência da gota de óleo de Millikan

Fluxo magnético e “lei de Gauss para o magnetismo”

Definimos o fluxo magnético através de uma superfície de modo análogo à descrição

do fluxo elétrico, ou seja:

com

: vetor unitário perpendicular à área.

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Exemplo: seja um campo magnético horizontal uniforme atravessando uma placa de

área A, que faz ângulo de 30º com a horizontal.

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Fluxo magnético através de uma superfície fechada

O fluxo magnético total através de uma superfície fechada é

sempre igual a zero.

“Lei de Gauss para o magnetismo”

Motivo: ausência de monopolos magnéticos 25

Exemplo 1: seja um cubo exposto a um campo magnético uniforme, tal que

o campo magnético atravesse perpendicularmente duas das faces do cubo.

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Exemplo 2: seja uma superfície fechada qualquer A colocada nas

proximidades de um ímã (com polos Norte e Sul – N e S). Com o ímã

sendo o gerador de campo magnético, determine o fluxo magnético através

da superfície A.

As linhas magnéticas de um ímã formam

“loops” fechados. Assim, o fluxo magnético

líquido através de uma superfície fechada A é

igual a zero:

A

As linhas tracejadas representam a interseção da

superfície A com o plano desta página.

Ou seja, as linhas de campo magnético (azuis)

entram e saem da superfície A (linhas

tracejadas).

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Paralelo com a lei de Gauss para a eletricidade:

Fluxo elétrico através da superfície

fechada A:

A

-Q

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Força magnética sobre um condutor transportando uma corrente

Seja uma carga positiva se movendo em um condutor que transporta uma corrente

elétrica. Apliquemos um campo magnético uniforme perpendicular e entrando no

plano da figura:

X campo magnético entrando no plano da figura. 29

A força magnética sobre uma das cargas q será:

Considerando que há uma concentração de n cargas q por unidade de volume, a

força total sobre um pedaço de fio de área de seção reta A e comprimento L será:

No caso em que o campo magnético é perpendicular ao sentido da corrente elétrica:

Como já vimos, a densidade de corrente pode ser escrita como

tal que

Portanto:

OBS.: Em algumas figuras utilizamos a nomenclatura em vez de . Trata-se

apenas do termo em inglês “drift velocity” – velocidade de arraste.

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Para um caso geral, em que a corrente elétrica e o campo magnético não são

perpendiculares, temos que:

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campo magnético saindo no plano da figura. 33

Força magnética sobre um condutor curvo – expressão geral para a

força

Exemplo:

Um campo magnético

uniforme está orientado

para fora do plano da

figura.

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1. Tratamento do semicírculo (raio R)

35

Como, neste caso, são constantes, saem

da integral.

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2. Tratamento da parte linear

3. A força total, portanto, será:

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Força e torque sobre uma espira de corrente

38

Observe que a força total sobre a espira é igual a zero porque as forças sobre os lados

opostos se cancelam aos pares.

A força resultante sobre uma espira de corrente em um

campo magnético uniforme é igual a zero. Contudo, o torque

resultante pode ser diferente de zero.

Definição de torque:

A partir da figura anterior, concluímos que o torque total sobre a espira é igual a:

Perceba que a força F’ não exerce torque, visto que ela atua no plano da espira.

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Neste momento, podemos introduzir o chamado momento de dipolo

magnético ou momento magnético :

Podemos reescrever a equação anterior em termos da área A=ab da espira:

tal que

que pode ser reescrito como

O vetor momento magnético, por sua vez, pode ser escrito da seguinte forma

perpendicular à área da espira 40

Regra da mão direita para determinar a

direção do vetor momento magnético.

Energia potencial para um dipolo magnético:

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O torque agirá no sentido de alinhar os vetores campo magnético e momento

magnético. Assim, na situação ilustrada a seguir, a espira girará no sentido horário.

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43

Para um bobina (formada pelo agrupamento de N espiras):

O motor de corrente contínua

44

• A corrente entra pelo lado vermelho do rotor e

sai pelo lado azul.

• O torque magnético faz o rotor girar no sentido

anti-horário.

Um comutador inverte o sentido da

corrente a cada meia revolução para

que o torque tenha sempre o mesmo

sentido.

45

• A corrente entra pelo lado vermelho do

rotor e sai pelo lado azul.

• O torque magnético faz o rotor girar no

sentido anti-horário.

• A corrente entra pelo lado vermelho do

rotor e sai pelo lado azul.

• O torque magnético faz o rotor girar no

sentido anti-horário.

• As escovas estão novamente alinhadas aos

segmentos do comutador. Desta vez, a corrente

entra pelo lado azul e sai pelo lado vermelho.

• Logo, o torque magnético volta a atuar sobre o

rotor no sentido anti-horário. 46

O efeito Hall

O efeito Hall – descoberto pelo físico norte-americano Edwin Hall em 1879 – é

análogo ao desvio de um feixe de elétrons em um campo magnético no vácuo.

Considere cargas em movimento em um condutor em forma de tira. As cargas

(positivas ou negativas) se movem ao longo do eixo x, com o condutor imerso em

um campo magnético constante B, conforme esquematizado a seguir:

Em virtude do movimento e da presença do campo magnético, as cargas sofrerão a

ação de forças magnéticas – FB .

s

47

Cargas negativas: como resultado da ação da força magnética, ocorre um acúmulo

de cargas negativas na parte de cima da tira (e de cargas positivas na parte de baixo).

Tal acúmulo, por sua vez, dá origem a um campo elétrico Ee, apontando de baixo

para cima.

Como consequência do campo elétrico Ee , as cargas negativas sofrerão a ação de

duas forças: magnética + elétrica (em sentidos opostos). 48

Cargas positivas: como resultado da ação da força magnética, ocorre um acúmulo

de cargas positivas na parte de cima da tira (e de cargas negativas na parte de baixo).

Assim, surge um campo elétrico Ee apontando de cima para baixo.

Como consequência do campo elétrico Ee , as cargas positivas também sofrerão a

ação de duas forças: magnética + elétrica (em sentidos opostos). 49

Os acúmulos de cargas nas partes de cima e de baixo da tira condutora continua até

que o campo elétrico Ee torne-se suficientemente grande para produzir uma força

elétrica igual e oposta à força magnética. Depois disso, as cargas que se movem não

sofrem mais nenhum desvio.

Conforme deduzido nos capítulos anteriores, a densidade de corrente elétrica (por

unidade de área) pode ser escrita em termos do número n de partículas carregadas

por unidade de volume. A grandeza n denomina-se concentração de partículas; sua

unidade SI é m-3 .

Portanto:

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diferença de potencial gerada pelo rearranjo de

cargas

s: espessura da tira (ver slide 47).

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Alternativamente, podemos escrever que: