apresentação da disciplina e matrizeshostel.ufabc.edu.br/~juliana.pimentel/al_aula1.pdf ·...

Apresentacao da disciplina eMatrizes

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2

Ementa

Ementa

I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.

I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.

I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.

I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.

Ementa

I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.

I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.

I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.

I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.

Ementa

I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.

I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.

I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.

I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.

Ementa

I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.

I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.

I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.

I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.

Bibliografia

BibliografiaBibliografia principal

I Notas de Aulas - Jeronimo Pellegrini

I BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. L. R.;FIGUEIREDO, V. L. e WETZLER, H. G.;Algebra Linear, 3a edicao, Editora Harbra,Sao Paulo, 1986.

I ANTON, H.; Algebra Linear com Aplicacoes.8a. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.

I COELHO, F. U.; LOURENCO, M. L.; Umcurso de Algebra Linear. Editora daUniversidade de Sao Paulo-EDUSP, 2001.

I APOSTOL, T.; Calculo, Volume 2 , Reverte,1994.

Bibliografia complementar

I LIMA, E. L.; Algebra Linear, 6a Edicao.Colecao Matematica Universitaria. IMPA,2003.

I LANG, S.; Algebra linear. Rio de Janeiro:Ciencia Moderna, 2003.

I LAX, P.; Linear Algebra and ItsApplications, , Wiley-Interscience, 2007.

I S. LIPSCHUTZ, Algebra Linear , Sao Paulo:Ed. McGraw-Hill do Brasil, 2011.

Avaliacao

Criterios de Avaliacao

A avaliacao se dara na forma de duas provas (P1e P2). A media final (M) sera dada por

M = (P1 + P2)/2,

e o conceito final sera dado de acordo com atabela de conversao:

Conceito NotaA [8.5, 10]B [7, 8.5)C [5.5, 7)D [4.5, 5.5)F [0, 4.5)

Provas e Listas

Provas e listas

Datas das provas:

I P1: 24/10I P2: 08/12I SUB: 12/12I REC: 15/12

Listas de exercıcios:

I As listas estao disponıveis na pagina dadisciplina:http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Atendimento e monitoria

Atendimento e monitoria

Horario de atendimento:

I sexta-feira as 14h-16h (sala 507-2, Bloco A -Torre 2)

Monitoria:

I

Matrizes

Matrizes

Uma matriz e um agrupamento retangular denumeros. Os numeros neste agrupamento saochamados entradas da matriz.

Em geral asentradas sao numeros reais.

1 2 −50 4 1−3 −8 0

7 1−3 2−1 −90 12 4

[

3 −2 0 12 5 −1 7

]

Matrizes

Uma matriz e um agrupamento retangular denumeros. Os numeros neste agrupamento saochamados entradas da matriz. Em geral asentradas sao numeros reais.

1 2 −50 4 1−3 −8 0

7 1−3 2−1 −90 12 4

[

3 −2 0 12 5 −1 7

]

Forma geral de apresentacao

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...am1 am2 ... amn

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A e B de ordem m× n sao iguaisse aij = bij para todos i, j

Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.

A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[

1 3 −50 4 2

]+

[−3 1 21 −1 5

]=

[−2 4 −31 3 7

][

2 10 3

]−[−3 01 −1

]=

[5 1−1 4

]

Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.

Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[

1 3 −50 4 2

]+

[−3 1 21 −1 5

]=

[−2 4 −31 3 7

][

2 10 3

]−[−3 01 −1

]=

[5 1−1 4

]

Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.

[1 3 −50 4 2

]+

[−3 1 21 −1 5

]=

[−2 4 −31 3 7

][

2 10 3

]−[−3 01 −1

]=

[5 1−1 4

]

Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[

1 3 −50 4 2

]+

[−3 1 21 −1 5

]=

[−2 4 −31 3 7

][

2 10 3

]−[−3 01 −1

]=

[5 1−1 4

]

Multiplicando matrizes por escalar

Se A e uma matriz e c e um escalar, entao oproduto cA e a matriz obtida pela multiplicacaode cada entrada da matriz A por c. A matriz cAe chamada multiplo escalar de A.

3 ·

1 2 −50 4 1−3 −8 0

=

3 6 −150 12 3−9 −24 0

Multiplicando matrizes por escalar

Se A e uma matriz e c e um escalar, entao oproduto cA e a matriz obtida pela multiplicacaode cada entrada da matriz A por c. A matriz cAe chamada multiplo escalar de A.

3 ·

1 2 −50 4 1−3 −8 0

=

3 6 −150 12 3−9 −24 0

Multiplicando matrizes

Se A e uma matriz m× r e B e uma matrizr × n, entao o produto AB e uma matriz m× ncujas entradas sao determinadas como segue.

[1 3 −50 4 2

]·

0 1 −2 11 −3 1 02 1 −1 −2

=

[−7 −13 6 118 −10 2 −4

]

Multiplicando matrizes

Se A e uma matriz m× r e B e uma matrizr × n, entao o produto AB e uma matriz m× ncujas entradas sao determinadas como segue.

[1 3 −50 4 2

]·

0 1 −2 11 −3 1 02 1 −1 −2

=

[−7 −13 6 118 −10 2 −4

]

Transposta de matriz

Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.

Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.

0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2

T

=

0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2

Transposta de matriz

Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.

0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2

T

=

0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2

Transposta de matriz

Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.

0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2

T

=

0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2

Propriedades da Aritmetica Matricial

Supondo que os tamanhos das matrizes sao taisque as operacoes possam ser realizadas, temos asseguintes propriedades:

a) A+B = B +A (Lei da Comutatividade para aAdicao)

b) A + (B + C) = (A + B) + C (Lei daAssociatividade da Adicao)

c) A(BC) = (AB)C (Lei da Associatividade daMultiplicacao)

d) A(B + C) = AB + AC (Lei daDistributividade a Esquerda)

Propriedades da Aritmetica Matricial

e) (A + B)C = AC + BC (Lei daDistributividade a Direita)

f) a(B + C) = aB + aC

g) (a + b)C = aC + bC

h) a(bC) = (ab)C

i) a(BC) = (aB)C = B(aC)

Exercıcio

Sejam A =

[1 −1 20 3 4

], B =

[4 0 −3−1 −2 3

],

C =

2 −3 0 15 −1 −4 2−1 0 0 3

e D =

2−13

.

Encontre as seguintes matrizes e indique suasordens:

A + B, 3A− 4B,AD,BC,AT , ATB.