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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

CTC - Centro Tecnológico Disciplina de Circuitos Elétricos I

APOSTILA DE CIRCUITOS I Professor: Patrick Kuo Peng

Colaboradores: Júlio Trevisan Maurício Rigoni Willian Hamada

Florianópolis 2003

Sumário

Sumário ______________________________________________________________ 2

Plano de Ensino ________________________________________________________ 3

Análise de circuitos: Uma visão geral. ______________________________________ 4

CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS __________________________________ 5

CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10

CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17

CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS __________________ 26

CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53

CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64

CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS___________________ 78

CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93

CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS ______________________________ 107

CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS _____________________________________________________ 122

Bibliografia__________________________________________________________ 130

Plano de Ensino

Circuitos Elétricos I Capítulo I: Variáveis Elétricas Capítulo II: Elementos dos circuitos Capítulo III: Circuitos resistivos simples Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos Capítulo V: O amplificador operacional Capítulo VI: Indutores e Capacitores Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais Capítulo IX: Circuitos trifásicos Capítulo X: Respostas em freqüência

Análise de circuitos: Uma visão geral.

Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real. Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e de seus componentes Roteiro para análise de circuito:

• Identificar claramente os dados e o que é pedido.

• Simplificar ou redesenhar o circuito.

• Escolher o método de análise mais simples.

• Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível.

CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS

VARIÁVEIS ELÉTRICAS

1. O Sistema Internacional de Unidades

• Unidades de base

Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica Ampère A Temperatura Kelvin K Intensidade luminosa Candela cd • Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos

Grandeza Nome / Símbolo Fórmula dimensionalFreqüência Hertz (Hz) s-1

Força Newton (N) kg.m/s2

Energia ou trabalho Joule (J) N.m Potência Watt (W) J/s Carga elétrica Coulomb (C) A.s Potencial elétrico Volt (V) W/A Resistência elétrica Ohm (Ω) V/A Condutância elétrica Siemens (S) A/V Capacitância Farad (F) C/V Fluxo magnético Weber (Wb) V.s Indutância Henry (H) Wb/A • Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012

pico(p) nano(n) micro(μ) mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G) Tera(T)

2. Conceitos básicos de eletricidade

a) Cargas elétricas Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e elétrons→ carga negativa).

Unidade da carga elétrica = coulomb (C)

Átomos normalmente neutros ⇒ N° de elétrons = N° de prótons.

Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva.

Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa.

• Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...).

• Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...).

b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons.

dtdqi =

corrente elétrica em Ampère [A]

Relação de integral:

carga em Coulomb

tempo em segundos [s]

c) Tensão elétrica ou diferença de potencial : Energia usada para mover uma unidade de carga através do elemento.

d) Potencia e energia:

• Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo.

• Energia

dttitqtqt

t.)()()(

00 ∫=−

dqdWv =

Energia em Joule [J]

Carga em Coulomb [C]

Tensão em Volt [V]

dtdWp =

Potência em Watt [W] Energia em Joule [J]

Tempo em segundos [s]

vidtdqv

dtdWvdqdW ==⇒= vip =∴

dttitvtwtwdttptwt

t).(.)()()().()(

00∫ ∫=−⇒=

• Convenção de sinais

Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência

CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS

Elementos dos circuitos

I. Introdução Os circuitos podem ter 5 elementos básicos:

• Fontes de tensão; • Fontes de corrente; • Resistores; • Indutores; • Capacitores.

II. Fontes ideais de tensão e de corrente

Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica Existem 2 categorias de fontes:

• Fontes independentes e • Fontes dependentes (fontes controladas).

1. Fontes independentes

• Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i.

• Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v.

Característica tensão/corrente Símbolos

2. Fontes dependentes ou controladas Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito.

• Fonte de tensão controlada por tensão

• Fonte de tensão controlada por corrente • Fonte de corrente controlada por corrente

Característica tensão/corrente

Símbolo

1v1v - tensão de controle

2v - tensão controlada α - ganho de tensão (adimensional)

12 vv ⋅=α

β – ganho de corrente (adimensional) 12 ii ⋅= β

1i - corrente de controle r – transresistência (Ω)

12 irv ⋅=

• Fonte de corrente controlada por tensão

III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 1. Resistência elétrica Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou especificamente a circulação das cargas. Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. Exemplos (resistor não linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ). 2. Lei de Ohm Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma:

1v g – transcondutância (S) 12 vgi ⋅=

R l⋅=

ρR – resistência (Ω ) ρ - resistividade do material ( m⋅Ω ) l - comprimento (m) S – seção transversal ( 2m )

Símbolo

∗ Condutância

vi ===1

G 1= (condutância em mho ou S (siemens) )

∗ Potência num resistor

Outras expressões usuais: GvGi

22=== .

∗ Observações

Curto-circuito ⇔ resistência nula ⇔ tensão nula independente da corrente.

Riv +=

Riv −=

ivP ⋅=

ivP ⋅−=

Ora, Riv = . Então, 2RiiRiP =⋅=

Ora, Riv −= . Então, 2)( RiiRiP =⋅−−=

0== Riv ; i∀ v 0=R

Circuito aberto ⇔ resistência infinita ⇔ corrente nula, independente da tensão.

IV. Leis de Kirchhoff 1. Definições

Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida. Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro.

Exemplo:

2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)

“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula”

⇔ Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó.

0==Rvi ; v∀ v ∞=R

E R2 R3

• 4 nós • 3 laços • 2 malhas

Convenção

Corrente entrando no nó, atribuir sinal + Corrente saindo do nó, atribuir sinal -

3. Lei de Kirchhoff para tensões

“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”.

Convenção

Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão com o primeiro sinal encontrado.

Exemplo:

01 321 =−++− RRR VVVE

CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS

1. Resistores em série

Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos.

2. Resistores em paralelo

Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão.

IRRRIRIRIR

)....(......

+++=+++=

+++= IRV eq .=

neq RRRR +++= ...21

1V 2V nV

V1R 2R

nR⇔ V

Observação:

IRV eq .=

.1...11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

GGGGou

1...111

3R21 // RR 31 // RRou

)//( 321 RRR + Ok!

2R nR ⇔ VeqR

1I 2I nI

3. Associação de fontes 3.1. Fontes de tensão em série

3.2. Fontes de Tensão em paralelo Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.

⇔ 1R 2R

⇔321 VVV ++

V5 V5 V5V10

3.3. Fontes de corrente em série

Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.

A2 A2 A2A4

3.4. Fontes de corrente em paralelo

1I 2I 3I ⇔231 III −+

4. Divisão de tensão

De maneira geral

iRV .11 =

iRRV ).( 21 +=

.GGVGV

iRV .22 =

5. O circuito divisor de corrente

Mais geral

nRRRVRV

1R 2RI

1 RVI =

RRV ..

RRI .)(

= e IRR

RI .)( 21

GI .)( 21

1 R 2RI 1 I 2I

n .//...////

....21

11 +++

6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ

ACR BCR

BCRACR⇔

Resistência equivalente entre A e B

BABCACAB

BCACAB RRRRR

+++ )(

Resistência equivalente entre B e C

CBBCACAB

ACABBC RRRRR

+++ )(

Resistência equivalente entre A e C

CABCACAB

BCABAC RRRRR

+++ )(

Transformação Δ → Υ

ACBCAB

ACABA RRR

ACBCAB

BCABB RRR

ACBCAB

BCACC RRR

Transformação Υ → Δ

ACRBCR

CBCABAAB R

RRRRRRR ... ++=

CBCABAAC R

RRRRRRR ... ++=

CBCABABC R

RRRRRRR ... ++=

ACRBCRARBR

CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE

CIRCUITOS

Técnicas de Análise de Circuitos

I. Definições Ramo: caminho que liga 2 nós. Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem. Exemplo:

Circuitos planares

Circuito não planar

II. Método das tensões de nó (análise nodal)

É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK).

Incógnitas são tensões. No de tensões incógnitas = No de nós – 1 .

Roteiro:

a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão

incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as

correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações.

1. Fontes do circuito: só fontes de corrente

a. Só fontes de corrente independentes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Nó 1 0)(226 211 =−++− VVV

Nó 2 035)(2 212 =−+− VVV

Ω5,0 Ω2,0

A6 A3−

ABVA BG

( )AB A Bi GV G V V= = −

( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V= − = − − = −

b. Incluindo também fonte de corrente controlada

2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes)

a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência

Nó 1 1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V− − + + − =

Nó 2 2 1 22( ) 5 2 3 0V V V i− + + − =

i 25i V= −

0,2Ω6A 3A−

4 8 6 4 8 62 3 3 2 3 3V V V

VV V+ =⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⇒ ⇔ =⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩...

b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência

Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3.

VV 101 = Nó 2

2 1 22( ) 4 1 0aV V V I− − + + = Nó 3

32 2 0aI V− + + =

Problema: não se conhece a corrente aI na fonte de tensão

Nó 2 2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V− − + − =

3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V− − + − =

V VV V

=⎧⇒ ⎨ =⎩

1V 2V 3V S2S1S1

V2A4−A6V4

V VV V

=⎧⎨ = −⎩

Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade

1V 2V aI 2xi

S2 A2S1A4V10xi

II. Método das correntes de malha (análise de malha)

É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). Incógnitas são correntes.

No de incógnitas = No de correntes de malha .

V VV Vi AP W

=⎧⎪ =⎪

⇒ ⎨ =⎪

=⎪⎩

2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V− − + + + =

No supernó, 232xiVV =−

)(2 21 VVix −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 10

Roteiro:

a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha.

1. Fontes do circuito: só fontes de tensão

a. Só fontes de tensão independentes

Correntes de ramo, em função das correntes de malha:

i Ii Ii Ii I Ii I I

== −=

= −= −

Correntes de malha: 1 2 3, ,I I I .

1I 2I 3I

1i 2i 3i

b. Incluindo também fontes de tensão controladas

Malha 1

1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i− + + = ⇔ − + + = Malha 2

3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ − = ⇔ + − = Mas

1 1 1 2 1 22 2

2 3 2 2 2 23 1 2

( ) 0( ) 0

i IV R I R I I

= ⎫− + + − =⎧⎪= ⇒⎬ ⎨ + + − =⎩⎪= − ⎭

1 2 2 1 1

2 2 3) 2 2

R R R I VR R R I V+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ...

Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações.

2 equações, 2 incógnitas

3 malhas⇒ 3 correntes incógnitas

25 5 20 505 10 4 05 4 9 0

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

29,62628

I AI AI A

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

2i 3R1R

2RV1RV

2 malhas⇒ 2 correntes incógnitas

V50 Ω20

ϕi Ω4Ω5

ϕi151I 3I

Malha 1: 1 2 1 350 5( ) 20( ) 0I I I I−− + − + = Malha 2: 2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ − + − = Malha 3: 3 2 3 14( ) 15 20( ) 0I I i I Iϕ− + + − =

1 3i I Iϕ = −

2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente

a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha

Calcular a potência na fonte de tensão:

Malha 2:

2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ − − + + − = ⇒ = Potência na fonte de tensão:

1 226( )26(5 4) 26

P V I I IW

= + ⋅ = − == − =

⇒ Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade.

3 malhas⇒ 3 incógnitas Do circuito, obtém-se imediatamente 1 5I A= e

3 2I A= − .

b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha

Calcular 1V :

Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒ 2 incógnitas apenas.

1 4I A= Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + − = Malha 3: 3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I− + − − + = Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( 1v não é incógnita principal do sistema). Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha.

3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I− + + =

No interior da supermalha temos:

1 2 35V I I= −

ora 1 1 32( )V I I= − Assim 2 184I A= e 3 16I A= −

3 malhas ⇒ 3 incógnitas

supermalha

A4 Ω93I

IV. Análise nodal ou análise de malhas?

a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. Análise Nodal Análise de Malha Incógnitas

Tensões de nó Correntes de malha

Número de incógnitas

Número de nós –1 Número de malhas

Critério para reduzir o número de incógnitas

Fonte de tensão ligada ao nó de referência

Fonte de corrente que pertence a uma única corrente de malha

Caso especial Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó

Fonte de corrente que pertence a duas correntes e malha ⇒ aplicar conceito de supermalha

Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele.

O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor número de equações.

Exemplo 1 Determinar a potência na fonte de tensão controlada

Ω100 Ω250 Ω500

Ω400 V128V256 Ω200 i50

Exemplo 2 Determinar 1V e 2V .

141,0 V A5,0

Ω5,7 Ω8

28,0 V

V1931V

V. Transformações de fontes 1. Fonte real de tensão

L s V LV V R I= − 2. Fonte real de corrente

L s LI

I I VR

Modelo Característica tensão-corrente

IRfonte real

fonte ideal de correnteLI

fonte real

fonte ideal de tensão

Característica tensão-corrente Modelo

3. Equivalência de fontes Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa.

• Fonte de tensão fonte de corrente

LR ⇒V

LRVI RR =

• Fonte de corrente fonte de tensão

sIs IRV =LV

LR⇒sI

Observações:

• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR . • A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão

equivalente.

2R ⇔

VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton

1. Circuito equivalente de Thèvenin

A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada.

THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de THV e THR : 1o método

THV : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b)

CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a) (b)

THTH i

Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin

cargaR

C. Determinação de THR e THV : 2o método Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes.

Redelinear

Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor TI nos dois circuitos, as tensões abV nos dois circuitos devem ser equivalentes.

Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que

XRTH = YVTH =

Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida,

Redelinear

ABVTI ABV

ab TV XI Y= + (1) ab TH T THV R I V= + (2)

ABVTIRede

linear

ab TH T THV R I V= − + TH

R XV Y

= −=

Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin.

cargaR

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

cargaRRedelinear

• Determinação de THV : desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b).

• Determinação de THR : desconectar a carga e determinar a resistência

equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso.

Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto).

Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga LR .

Ω3 Ω7

2. Circuito equivalente de Norton

A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

Redelinear

LV ⇔

Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito;

NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de NR e NI : 1o método Idem primeiro do Thèvenin:

CCN iI =

C. Determinação de NR e NI : 2o método

De (1) e (2) ⇒ X

= e YI N =

Redelinear

ab TI XV Y= + (1)1

ab T NN

I V IR

= + (2)

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

Determinação de NR : idem a THR Determinação de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). Exemplo:

Ω3 Ω7

E. Determinação de NR e NI : 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes.

VI = NR LR

VII. Transferência máxima de potência Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer.

LRRedelinear LR

⇒ Determinar LR de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

THLLLR RR

VRIRPL

Maximizar LRP ⇔ 0=

L ⇔ THL RR =

Então TH

THTHmáxR R

VRPL 4

, =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Rendimento

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência

VIII. O princípio da superposição Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. Observações: Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso.

Redelinear

Exemplo: obter XV por superposição.

V2 Ω4

CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL

1. Introdução Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associação de transistores, capacitores, resistores etc... Funções:

• Associado aos resistores pode desempenhar operação tais como adição, subtração, troca de sinal e multiplicação por um fator constante;

• Associado aos capacitores e/ou indutores, realiza operações como integração e diferenciação;

• Comparadores; • Osciladores.

2. Terminais do Amplificador Operacional

Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais são mostrados a seguir:

Entrada inversora –Entrada não inversora +

VCC–

VCC+Saída

ua 741

Símbolo

Entrada NãoInversora

EntradaInversora

Saída

Alimentação+

_Alimentação

3. Tensões e correntes nos terminais do Amp. Op.

• Sentidos das correntes e polaridade das tensões no Amp. Op.

• Regiões de operação do Amp. Op.:

Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -Vcc Vo = A(Vp - Vn) se -Vcc ≤ A(Vp - Vn) ≤ Vcc Vo = Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc

Curva de transferência de tensão do Amp. OP. O Amplificador operacional opera na região linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A. Como A é um valor geralmente grande, então |Vp - Vn| deve ser pequeno.

Saturação positiva

Saturação negativa

Região

ccV−

AVcc−

)( np VV −

No caso ideal: Vp = Vn ⇒ A = ∞ resistência de entrada elevada ⇒ ip = in = 0

De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente:

ip + in + io + ic- + ic+ = 0

i0 = - (ic+ + ic-) ora, ip = in = 0

Observações:

o ip = In = 0 não significa que i0 = 0; o As tensões de alimentação não precisam ser simétricas.

Ex.: V+ = 12V e V- = -8V Na região linear –8V ≤ Vo ≤ 12V

Exemplo 1:

40k4,7k

o Supondo o Amplificador ideal. Calcule Vo para: a) Va = 3V e Vb = 2V; b) Va = 1,5V e Vb = 2,5V. c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensão Va para que o amplificador não entre na região de saturação.

4. Modo de operação do amplificador operacional

4.1. Sem realimentação Este modo é denominado “operação em malha aberta”. Funciona sempre em modo saturação. Utilizado como circuito comparador. Ex. circuito de controle

ccV−

4.2. Com realimentação positiva Realimentação significa que uma fração da tensão de saída é reinjetada numa das entradas. Na realimentação positiva o sinal de saída é reinjetado na entrada não inversora. Muito instável, utilizado em osciladores. Ex. geradores de sinais.

ccV−

4.3. Realimentação negativa

Este tipo é o mais importante meio de realimentação, pois estabiliza o sinal e tende a aproximar as características do amplificador ideal.

5. O circuito amplificador-inversor Hipótese: Amp. op. ideal Amp. op. operando na região linear

Objetivo: Vo = f(Vs)

No nó 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra ⇒ Vn = terra.

No nó 1: is + if = 0 ⇔ 0=−

Como o Amp. op. é ideal Vn = Vp, ip = in = 0

Ora, Vp = 0 ⇒ Vn =0

Logo ss

V −= ; a tensão de saída é uma reprodução invertida do sinal

de entrada, multiplicada por uma constante ⇒ amp. inversor.

6. O circuito amplificador-somador

Hipótese: Amp. op. ideal ⇒ Vn = Vp; ip = in = 0 Amp. op. operando na região linear

ccV−

ia + ib + ic + if = in = 0

ccV−

sV nVpV oV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= c

⇒ tensão de saída = - (soma das tensões de entrada multiplicada por um fator de escala).

Se Ra = Rb = Rc = Rf ⇒ Vo = - (Va + Vb + Vc). Ex. misturador de áudio.

7. O circuito amplificador não inversor

Vn = Vp ip = in 0

osn RR

+= ora, Vn = Vp

osg RR

+= ⇒

A tensão de saída é uma reprodução do sinal de entrada, multiplicada por uma constante.

8. O circuito amplificador diferença

ccV−

dRaVbV nV

No nó 1:

0=+−

No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp

bdpn RR

( ) aa

bado V

VRRRRRR

V −++

= ⇒ ( )aba

V −=

⇒ a tensão de saída é proporcional à diferença entre as tensões de entrada.

Uma característica importante de uma conexão de circuito diferencial é sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duas entradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas as entradas.

Vamos escrever as tensões de entrada em função de duas outras tensões chamadas de tensão do modo diferencial e de tensão do modo comum: Vdm = Vb – Va (tensão de modo diferencial) Vcm = ½ (Va + Vb) (tensão de modo comum) Então Va = Vmc – ½ Vmd Vb = Vmc + ½ Vmd

ccV−

mcV 2mdV

( )( ) ( )

( ) mddca

dcbbadmc

cbado V

RRRRRRRRR

RRRRV ⎥

⎤⎢⎣

++++⎥

⎤⎢⎣

Vo = Amc Vmc + Amd Vmd

ganho de ganho de modo

modo comum diferencial Fator de rejeição de modo comum é um parâmetro usado para indicar até que ponto um amplificador diferença se aproxima de um amplificador ideal.

CMRR = mc

AA ⇒ quanto maior CMRR, melhor o Amp. op.

No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado.

9. Modelo mais realista para o amplificador operacional

No Amp. Op não ideal, a resistência de entrada Ri é de valor finito, o ganho A é de valor finito e a resistência de saída R0 ≠ 0. Assim o circuito equivalente do Amp. Op. mais realista é apresentado abaixo.

( )np VVA −pV

Exemplo: Determinar Vo = f(parâmetros do circuito) Amplificador não ideal

ccV−

nó 1:

+−−

ora Vp = 0

então

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

Obs.: Ro = 0 Ri → ∞ Amp. op. ideal A → ∞

⇒ ss

CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES

Indutores e Capacitores Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de

armazenar energia).

I. O Indutor 1. Características do indutor

Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor, enrolado em espiral.

O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos. A aplicação de uma corrente variável no indutor produz um campo magnético variável no seu redor. Um campo magnético variável induz uma tensão nos terminais do indutor e essa tensão é proporcional à taxa de variação de corrente que o atravessa.

Matematicamente:

div Ldt

Tensão em Volts Indutância em Henry [H]

Corrente [A]

Tempo [s]

Lidvdt

Φ = ⎫⎪ ⇒⎬Φ

= ⎪⎭

Fluxo magnético concatenado

Lei de Faraday {

)(ti L

)( −=

Observações: Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um

indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curto-circuito para corrente contínua.

A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente,

ou seja, existe inércia de corrente no indutor. Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita

(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do indutor.

2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor:

0 0) 0

( ) 1( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i tt t

t i t t

di tv t L di t v t dtdt L

di t di v t dtL L

i t i t v t dt i t i t v t dtL L

= ⇔ =

⇒ = =

⇒ − = ⇒ = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

3. Potência e energia nos indutores:

( ) ( ) ( )20 ( )

( ) ( )

2 20 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )2

1( ) ( ) ( ) ( )2

W t i t i t

i tW t i t

di tp t v t i t Li tdt

dW tp t dW t p t dtdt

di t di tdW t Li t dt dW t L i t dtdt dt

dW L idi W t W t L i

W t W t L i t i t

⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩

⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤⇒ = ⇒ − = ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ − = −⎣ ⎦

∫ ∫

Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , então 21( )2

W t Li= .

II. O Capacitor O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras separadas por um isolante.

O comportamento do capacitor se baseia em fenômenos associados ao campo elétrico. Os campos elétricos são produzidos por uma separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. Então a carga é proporcional à diferença de potencial e podemos escrever que q = C v. Ora sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensão-

corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: Observações: Quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula,

ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua.

A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar

instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta

por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de corrente passando pelo capacitor.

2. Relações integrais para o capacitor

dvi Cdt

Corrente [A] Tensão [V]

Capacitância, em Farads [F]

( ) 1( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

v t t t

dv ti t C dv t i t dtdt C

dv i t dt v t v t i t dtC C

= ⇒ =

⇒ = ⇒ = +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( )...

v t v t v t v tdi t di t di tL L Ldt dt dtdi tLdt

L L L L

= + + +

∴ = + + +

Os indutores em série se associam como resistores em série.

3. Potência e energia nos capacitores

0 0 0 0

( ) ( )

2 20 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )2

W t v tt t

t t W t v t

dv tp t v t i t v t Cdt

dW tp t dW t p t dtdt

dv tdW t C v t dW C vdvdt

W t W t C v t v t

⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩

⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤⇒ = + −⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = , 21( ) ( )2

W t Cv t=

III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 1. Associações de indutores

A. Indutores em série

)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv

1L 2L nL

B. Indutores em paralelo

nL2L1L

)(1 ti )(2 ti )(tin

)(tv ⇔eqL

1 0 2 0 01 2

1 0 2 0 01 2 ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

nt t t

nnt t t

nn t i t

i t i t i t i t

v t dt i t v t dt i t v t dt i tL L L

i t v t dt i t i t i tL L L

= + + +

= + + + + + +

⎛ ⎞⇒ = + + + ⋅ + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ 14444244443144424443

neq LLLL1...111

21+++=

Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo.

Para 2 indutores, 21

LLLLLeq +

2. Associações de capacitores A. Capacitores em paralelo

B. Capacitores em série

)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv

)(ti1C 2C eqCnC

nC2C1C

)(1 ti )(2 ti )(tin

dttdvC

dttdvCCC

dttdvC

titititi

)()...(

)(...)()()(...)()()(

neq CCCC +++= ...21

Os capacitores em paralelo se associam como condutâncias em paralelo.

4444 34444 21444 3444 21 )(

)(...)()()(1...11

)()(1...)()(1)()(1

)(...)()()(

tvtvtvdttiCCC

tvdttiC

tvtvtvtv

++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

=++++++=

∫ ∫∫

neq CCCC1...111

21+++= . Os capacitores em série se associam como

condutâncias em série. IV. Dualidade

Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza o outro.

Grandeza Dual

Tensão Corrente Carga Fluxo

Resistência Condutância Indutância Capacitância

Curto-circuito Circuito aberto Impedância admitância

Nó (não-referência) Malha Nó de referência Malha externa (laço) Ramo de árvore Ramo de ligação

Série Paralelo LKT LKC

Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima

Capacitor

dtdvCi =

Indutor

dtdiLv =

⎭⎬⎫

↔↔

Grandezas duais

V. Resposta natural de um circuito RL

O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chave passa da posição A para a posição B. Determine )(til para ≥t 0.

542030

Ω=Ω=

I 1G 2G

1. Colocar um nó em cada malha + um nó de referência

2. Aplicar as regras de dualidade

0t =A B

⇔ 1R 2R 3R

t<0 (antes do chaveamento): regime permanente

( ) ( ) 0

( ) ( )( ) ( )

ln( ( )) ( )

L LR t kL

R tk LL

V t V t

di tL R i tdt

R Rdi t di tdt dti t L i t L

Ri t t k i t e eL

K e i t Ke

= − ⇒ = −

⇒ = − + ⇒ = ⋅

∫ ∫

K depende das condições iniciais: 0(0 )Li Ke K+ = =

Como há inércia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K− += = =

45( ) 2,5

tLi t e

−⇒ =

(0 ) 2,5

ERRi A

i A−

⋅= =

t= 0+ ( logo depois do chaveamento)

⇔ 3R

L( )LV t

( )Li t

3( )RV t

Calcular Ldidt

em 0t += e 0t −= :

a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+

0,8 0,8

0 0(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /

(0 ) 0

t tL t t

ddi e e A sdt

+ − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento

(0 ) (0 ) 4 2,5(0 ) (0 ) 2 /5

L LL L

di div L v A sdt dt

+ ++ + − ⋅

= ⇒ = = = −

Calcular 3

dV tdt +=

0,83 0

(0 ) (0 ) 4 ( 0,8) 2,5 8 /

V R i t

dV diR e V sdt dt

+ +−

⇒ = = ⋅ − ⋅ = −

( )t s

( )( )Li t Ampères

CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS

1. Fontes senoidais. Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que

varia com o tempo.

wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( =

• A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em intervalos regulares.

• Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude e termina na mesma amplitude.

• O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período.

• A freqüência é o número de ciclo por segundo ][1 HzT

f = ou ciclo/s.

• Freqüência angular ]/[22 sradT

wwt ππ =→=

• Função cosseno defasado )cos()( ϕ+= wtAtf Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente apresentado em graus. Ex.: )302cos(20)( o+= ttv rad/s

Transformação para radianos

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 7.854 9.4248

v(t)Vp x

rad0 1.5708 3.1459 6.28324.7124 6.2832 7.854 9.4248

i(t)1 ciclo

.301.2cos(20)1( π+=v

• Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. Seja )cos()( 11 α+= wtVtv p e )cos()( 22 β+= wtVtv p

então, )(1 tv está adiantado de βα − em relação à )(2 tv Ex.: 1( ) 100 (7 30 )v t sen t= − o

)107cos(40)(2o+= ttv

)1207cos(100)90307cos(100)(1

ooo −=−−= tttv

)1007sen(40)10907cos(40)(2ooo +=++= tttv

)(1 tv está adiantada de ooo 13010030 −=−− em relação à )(2 tv .

ou )(1 tv está atrasada de o130+ em relação à )(2 tv .

2. Respostas senoidais

)()(cos tvtVwtV LRp +=

Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a solução particular da equação diferencial (1).

wtV p cosLV )(ti

LR Hipótese: circuito está em regime permanente

dttdiLtiRwtVp)()(.cos += (1)

A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte de excitação, então vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt ϕ= + .

Objetivo: determinar pI e ϕ .

o ABBABA cos.sencos.sen)sen( ±=± o BABABA sen.sencos.cos)cos( ±=±

)sen()()cos(.cos ϕϕ +−++= wtIwLwtIRwtV ppp

]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp ϕϕϕϕ +−−=wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ ϕϕϕϕ −−+−=

Por identificação de variável

ppp VwLIRI =− ϕϕ sencos (2)

0cossen =−− ϕϕ pp wLIRI (3)

fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos:

22222 )( ppp VIwLIR =+ ⇒ 22 )(LwR

e da eq. 3 temos, ϕϕ cossen pp wLIRI −=

wLarctg−=ϕ

portanto,

)cos(.)(

)(22 R

wLarctgwtLwR

Vti p −

podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão.

3. Fasores. Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou

uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal em t=0.

O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: θθθ sencos je j ±=± A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma:

{ }{ }

{ }jwtjp

jwtjwtp

+=+ )(

⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio da freqüência. Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V] o& 63202 −∠=V [V] 501001 ∠=V& [V] )63cos(20)(2

o−= wttv [V]

4. Excitação Complexa

lineari(t)

Fasor tensão

ϕϕ ∠== pj

p VeVV&

Forma retangular

Forma polar

)cos()(1 vp wtVtv θ+= ⇒ )cos()(1 ip wtIti θ+=

)sen()(2 vp wtjVtv θ+= ⇒ )sen()(2 ip wtjIti θ+= Utilizando o conceito de superposição [ ] )(

21 )sen()cos()()()( vwtjpvvp eVwtjwtVtvtvtv θθθ +=+++=+=

⇒ [ ] )(

21 )sen()cos()()()( iwtjpiip eIwtjwtItititi θθθ +=+++=+=

linear

)( vwtjpeV θ+ )( iwtj

peI θ+

Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser suprimido ficando subentendido. Assim o circuito no domínio da freqüência é:

linearvj

peV θ ijpeI θ

5. Elementos passivos no domínio da freqüência

5.1) Para o resistor.

Aplicando a Lei de Ohm )(.)( tiRtv = ⇒ )()( . iv wtj

p eIReV θθ ++ = iv j

p eIReV θθ .= ⇒ no domínio da freqüência: IRV && .= O circuito no domínio da freqüência é

5.2) Para o indutor

Utilizando uma excitação complexa do tipo )()( vwtj

peVtv θ+= teremos uma corrente do tipo

)()( iwtjpeIti θ+=

Tensão e corrente em fase

dttdiLtv )()( =

)()( iv wtjp

wtjp eI

dtdLeV θθ ++ =

)( iwtjpejLwI θ+=

jp eIjLweV θθ .=

No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão. 5.3) Para o capacitor

VjCwI && =

V && 1=

& 90−∠=CwIV

No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente.

wtV p cos

o&&& 90.. ∠== ILwIjLwV

dttdvCti )()( =

)()()( ][ vvi wtjp

wtjp ejCwVeV

dtdCeI θθθ +++ ==)(tv

jp ejCwVeI i θθ =

No domínio da freqüência:

6. Impedância ( Z ) e admitância (Y )

a) Impedância( Z ) É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente.

{ }{ } reatânciaBZm

aresistênciAZe==Ι

As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. Série neq ZZZZ +++= ...21

Paralelo neq ZZZZ

1...111

b) Admitância (Y ) É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento.

( S ou )

o0∠pVI&

RLwarctgwLR

LwarctgVI

−∠∠=

)cos()(

)(22 R

LwarctgwtLwR

Vti p −

Z Z é um número complexo mas não é um fasor

jBAZZ +=∠= θ

Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias.

Série neq YYYY

1...111

Paralelo neq YYYY +++= ...21 Observação: jbaZ +=

11bajbaBjG

aG ≠ 22 baaG+

bB ≠ 22 babB+

7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais.

Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do circuito estudado.

7.1) Análise nodal Mesmo procedimento que no capítulo 4. 7.2) Análise de malha Idem capitulo 4. 7.3) Transformação de fontes Ver capítulo 4. 7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton

VYI && = ZY 1

jBGYY y +=∠= θ

Condutância Susceptância

obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0.

o& 0∠= TT II 7.5) Superposição

10cos(10o+

)(tvR Ω20

V15 )60

20sen(20o+

sradw /10=

sradw /0=

o& 3010)20//20(5

51 ∠

VV o& 69,377,21 −∠=

′1V& Ω20

o3010∠

1V& Ω20

Ω5Ω20j

VV 151 −=′&

sradw /20=

″+′+≠ 111 VVVVR&&&& pois não estão na mesma freqüência.

VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)( oo −−−−=

8. Diagramas fasoriais

São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem entre os fasores tensões e correntes.

Regra para construção dos diagramas:

• No resistor a corrente está em fase com a tensão. • • No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. • • No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V.

″1V& Ω20

Ω40jo6020∠

o& 6020)40//5(20

40//51 ∠

VV o& 7,6598,31 −∠−=″

Exemplo 1:

LI CI RI

mH2,0 RFμ8000I V&

sradw /5000=

o L C RI I I I= + +& & & &

CI&SI&

LC II && +

R =& V&

345 =o ⇒

P =3 ⇒ Ω= 333.0R

Use um ou mais diagramasfasoriais para determinar R paraque a corrente no resistor RIfique atrasada de 45° em relaçãoà corrente da fonte 0I .

& 90102,05000

03 −∠=

∠== − p

& 904 ∠== pC

C VZVI

)2(1 AI&)20( VV&

)5(2 AI& I&

93,26=XV&

fRe65 65

Vθiθ iθ

Exemplo 2: No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& como referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& .

Ω10Ω4j

VIjV 20544 2 =×=×= &&

I 21020

101 ===&

& AI 52 =&

21 III &&& +=

39,525 2222

21 =+=+= III &&&

2 −=−

== arctgI

Iarctgiθ

93,2639,555 =×== IVX&&

VVV XS&&& +=

Componente horizontal de

VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =−+=+= o&&& θ

Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen −=−== o&& θ

VVS 05,39)25(30 22 =−+=& ][8,3905,39 VVS

o& −∠=

−=−

= arctgSVθ

CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS

SENOIDAIS

1. Potência instantânea

( ) ( ) ( )p t v t i t=

2. Potência média

1 ( )t T

P p t dtT

3. Valores eficazes de corrente e tensão

Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente.

( ) cos( )pI t I tω ϕ= +R

1 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I tω ϕ= +

0 2pI I= Verificação:

Potência no resistor alimentado por CC

redelinear

( )i t

( )v t

( )p t

T ( )t s0t

21 0P R I=

Potência no resistor alimentado por CA

2 2 2 2

1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )2

1 cos2( )2

p t Ri t R I t ora A A

= = + = +

1 2P P= ⇔ 2

pR IR I =

0 0 22p

II I I= → =

Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma

potência que uma corrente constante de valor 2pI

sobre um resistor.

Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza

1 ( )2

t Tprms t

IP R R I R i t dt

I i t dtT

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Obs.: para senoide 2p

II = ,

4. Potência em elementos passivos

4.1. Caso geral (impedância qualquer) v iϕ θ θ= −

( ) cospv t V tω=

V VVI IZ ZZ

φ φϕ

= = = − = −

( ) cos( )pi t I tω ϕ= −

( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I tω ω ϕ= = −

1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2p pp t V I t t tω ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1cos cos cos( ) cos( )2

A B A B A B= − + +

1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2p p p pp t V I V I tϕ ω ϕ= + −

( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I tϕ ω ϕ= + − ,ora

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = +

[ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t tϕ ω ϕ ω ϕ= + +

[ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I tϕ ω ϕ ω= + +

potência instantânea na potência instantânea na parte resistiva de Z parte reativa de Z

• Potência média:

1 ( ) cos( )T

rms rmsP p t dt V IT

ϕ= =∫ , [ W ]

• Potência reativa:

Z Z φ=

Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. sin( )rms rmsQ V I ϕ=

4.2. Circuito resistivo Tensão e corrente em fase.

0v iθ θ ϕ= ⇒ = .

[ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I tω= +

1 1 cos(2 )T

R rms rmsP V I t dtT

ω= +∫

2 rmsR rms rms rms

VP V I R IR

0RQ = 4.3. Circuito exclusivamente indutivo 0 90 90v iθ θ ϕ= = − ° ⇒ = °

( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω=

2 rmsL rms rms L rms

VQ V I X IX

4.4 Circuito exclusivamente capacitivo

0 90 90v iθ θ ϕ= = ° ⇒ = − °

( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= −

2 rmsC rms rms C rms

VQ V I X IX

= − = − = −

5. Potência aparente e fator de potência

a) Potência aparente:

rms rmsS V I= , [VA] potência desenvolvida pela fonte. b) Fator de potência: Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente.

cos( ) cos( )p v iF ϕ θ θ= = − [adimensional]

Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i vθ θ θ θ− = − . Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. • Fluxo da potência num circuito:

CCarga

• Relações adicionais:

cos( )P S ϕ= sin( )Q S ϕ=

2 2S P Q= +

tan( ) QP

6. Potência complexa

v iφ θ θ= − cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V Iφ θ θ= = −

{ }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV Iθ θ θ θ= ℜ − + −

{ }( )v ijrms rmsP V I e θ θ−= ℜ

{ }v ij jrms rmsP V e I eθ θ−= ℜ

P V I° °

{ }P S= ℜ

Definindo a potência complexa *

S V I S φ° °

Portanto { }P S= ℜ

{ }ImQ S S P jQ= = +

cos( )pF φ=

rms iI I θ°

rmsV V vθ°

= Z Z φ=

• Conservação da potência complexa:

S V I° °

( )* *

1 2S V I I° ° °

1 2S V I V I° ° ° °

1 2S S S= + ⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento. • Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência

complexa):

0ϕ > → carga indutiva

• Relações adicionais:

V Z I° °

* *2 rmsrms

IS V I Z I I S Z I

° ° ° °

= = ⇒ = =

rmsrms

VVV S Y VZ Z

= ⇒ = =

7. Correção do fator de potência

Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga.

Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da

ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida.

c) Calcular a nova corrente da carga.

Solução:

500 10 36,213,8 10 rms

×= = =

b) 31 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA ϕ ϕ

= × ° = ⇒ = °

300 400k j k= + 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= = °

400Q kVAR= ' 333,33cos( ')

PS kVAϕ

' 'sin( ') 145,3Q S kVARϕ= =

Potência reativa do capacitor:

' 254,7CQ Q Q kVAR= − = − Potência complexa no capacitor:

CC CS V I P° ° °

C CjQ+

CC CV I jQ° °

C CC C C

VVV jQ jQZZ

= ⇒ =

C CZ Zjc jcω ω

= ⇒ =−

QCf Vπ

254,7 10 3,552 60 13,8 10

C Fμπ

×= − =

× × − ×

' 333,33 10' 24,1513,8 10

×= = =

8. Transferência máxima de potência Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima.

L L LZ R jX= +

S S SZ R jX= +A

8.1 Carga puramente resistiva → L LZ R=

S S LS L

V VIR jX RZ R

° °°

= =+ ++

2 2( )

R R X=

Potência na carga:

2 2( )L S

R VP R IR R X

= =+ +

max 0LL

dPP sedR

2 2L S S SR R X Z= + =

8.2 Carga com RL fixo e XL variável

SV° LR

( ) ( )

S L S L

VIR R j X X

=+ + +

2 2( ) ( )

S L S L

R R X X

=+ + +

Potência na carga:

2 2max

( ) ( )L S

L L L L S L

S L S L

R VP R I P se X X

R R X X= = = −

max 2( )L S

8.3 Carga com RL variável e XL fixo

( ) ( )2 2

S L S L

R R X X=

( ) ( )

2 2L S

S L S L

R R X X=

+ + + ; max 0L

dPP sedR

então ( )22L S S LR R X X= + +

8.4 Carga com RL variável e XL variável

( ) ( )

2 2L S

S L L S

R R X X=

Fazendo LX variar: maxLP para L SX X= − .

Então: ( )

2' L SL

Em seguida, fazendo LR variar: max

' 0LL L S

dPP se R RdR

= ⇔ = .

Então: *

L S S SZ R jX Z= − = .

SV° LR

CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS

1. Tensões trifásicas equilibradas • Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3

tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º.

• As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c. • Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase):

Seqüência abc, positiva ou direta 0an PV V

°= °

120bn PV V°

= − °

120cn PV V°

= + °

Seqüência acb, negativa ou indireta 0an PV V

°= °

120bn PV V°

120cn PV V°

= − °

0an bn cnV V V

° ° °+ + =

• Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal:

tipo Y tipo Δ 2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado)

n NNnI°

• Tensões nas fases:

Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento.

Na fonte: anV°

, bnV°

, cnV°

Na carga: ANV°

, BNV°

, CNV°

• Tensões de linhas:

Tensões entre as linhas

Na fonte = na carga : abV°

, bcV°

, caV°

• Corrente no neutro:

Nn aA bB cCI I I I° ° ° °

1 0an bn cnNn an bn cn

V V VI V V V

Z Z Z Z

° ° °° ° ° °⎛ ⎞

= + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então:

⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito.

⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser

colocado no circuito para efeito de cálculo.

• Relação entre as tensões de fase e de linha:

Supondo seqüência ⊕ então: 0an PV V

°= °

120bn PV V°

= − °

120cn PV V°

Sabendo que ab an nbV V V° ° °

0 120an bn P PV V V V° °

= − = ° − − °

3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))2 2P P PV V j V j

⎡ ⎤= − − ° + − ° = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Logo 3 30ab PV V

°= °

3 90bc PV V°

= − ° da forma mais geral fase PV V ϕ°

3 150ca PV V°

= ° 3 30linha PV V φ°

= + °

anV°30°

• Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema

equilibrado):

ZbnV°

a,b,c A,B,C

n N 3. Análise do circuito Y-Δ (equilibrado)

Correntes de fase:

Na carga: , ,AB BC CAI I I° ° °⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Na fonte: , ,aA bB cCI I I° ° °⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Correntes de linhas:

Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I° ° °⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

• Determinação das correntes de linhas:

Ex.: anaA

= cncC

Circuito monofásico equivalente

3YZZ =

a,b,c A,B,C

• Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase:

aA AB CAI I I° ° °

Supondo seqüência ⊕: 0AB pI I° °

120BC pI I°

= − °

120CA pI I°

0 120aA p pI I I°

= ° − °

(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j°

= − ° + °

3 32 2aA pI I j

° ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 30aA pI I°

= − °

3 150bB pI I°

= − °

3 90cC pI I°

= ° da forma mais geral,

0fase pI I°

3 30linha pI I φ°

= − ° Observação: se o gerador estiver ligado em Δ, substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma.

220 903

220 303

− °

220 1503

− °

seqüência ⊕ 3 30 30

3linha

linha fase faseV

V V V= ° ⇒ = − °

220120°

220 0°

220 120− °

4. Circuitos 3φ desequilibrados 4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro

3 circuitos independentes. 0N A B CI I I I

° ° ° °= + + ≠

Neste caso ANA

4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro

Utiliza-se o método das malhas. 1AI I

° °= 2 1BI I I

° ° °= − 2CI I

° °= −

4.3. Carga desequilibrada em Δ

• Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o circuito Δ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas.

• Conhece-se as tensões de linha na carga:

= => a CA ABI I I° ° °

5. Potência em sistema 3φ

A A AZ Z φ= B B BZ Z φ= C C CZ Z φ=

, , , ,, , A B C A B CA B C v iφ θ θ= −

Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas:

( ) cos( )AN Ap vAv t V tω θ= + ( ) cos( )

AN Ap iAi t I tω θ= + ( ) cos( )

BN Bp vBv t V tω θ= + ( ) cos( )BN Bp iBi t I tω θ= +

( ) cos( )CN Cp vCv t V tω θ= + ( ) cos( )

CN Cp iCi t I tω θ= + Sabendo que [ ]1cos cos cos( ) cos( )

2A B A B A B= + + −

Potências instantâneas em cada fase:

( )AI t

( )BI t

( )CI t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC

A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C

P t v t i t V t I t V t I t tφ ω θ φ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + + Potência ativa total:

cos cos cosrms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V Iφ φ φ= + + = + +

5.1. Para um sistema equilibrado

rms rms rmsA B C rmsV V V V= = =

A B C A B CZ Z Z Z φ φ φ φ= = = ⇒ = = =

rms rms rmsA B C rmsI I I I= = =

• Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I ϕ=

• Potência média: 3 cosrms rmsP V I ϕ= → Para carga ligada em Y fase linhaI I= 3 fase linhaV V=

3 cos 3 cos3

linhaY linha Y linha linha

VP I P V Iϕ ϕ= ⇒ =

→ Para carga ligada em Δ fase linhaV V=

3 fase linhaI I=

3 cos 3 cos3

linhalinha linha linha

IP V P I Vϕ ϕ= ⇒ =

Resumo: V e I em valores eficazes. Por fase Total Potência ativa cosf f fP V I ϕ=

3 cos 3 cosT f f L LP V I V Iϕ ϕ= =

Potência reativa sinf f fQ V I ϕ=

3 sin 3 sinT f f L LQ V I V Iϕ ϕ= =

Potência aparente f f fS V I=

3 3T f f L LS V I V I= =

Potência complexa

ff fS V I° ° °

3T f fS V I°° °

Fator de potência cospF ϕ=

cospF ϕ=

5.2. Para um sistema desequilibrado Potência ativa total: T A B CP P P P= + + Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q= + +

Potência aparente total: 2 2T T TS P Q= +

Fator de potência: cos TT

Potência complexa total: T A B CS S S S° ° ° °

6. Medida da potência média em um circuito 3φ

6.1. O Wattímetro

bobina da tensão(resistência alta)

bobina da corrente(resistência baixa)

Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga. cos( )v iW V I θ θ= − 6.2. O método dos dois Wattímetros

1 cos( )ac aac a v IW V I θ θ= −

2 cos( )

bc bbc b v IW V I θ θ= −

1 2P W W= + Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: Seqüência ⊕ 0anV V= °

120bnV V= − ° 120cnV V= ° Z Z ϕ= 3 30linha faseV V= °

3 30bc bnV V°

3 120 30bcV V°

= − ° °

3 90bcV V°

= − ° ac caV V

° °= −

3 30ca cnV V°

3 30 120caV V°

= ° °

3 150caV V°

= ° 3 150 3 330 3 30V V V V

°⇒ = − ° = ° = − °

V VI IZZ

°° °

= = = −

120 120bnb

V VI IZZ

°° − °

= = = − − °

1 3 cos( 30 ( ))W V I ϕ= − ° − − 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I ϕ= − ° − − ° 1 cos( 30 )L LW V I ϕ= − ° 2 cos( 30 )L LW V I ϕ= + °

Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga.

[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° + ° [ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° − °

2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I ϕ+ = ° 2 1

cos(30 ) cos( )sin( ) cos(30 )

W WW W

+ °= −

− °

2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I ϕ− = − °

3 cos( ) 321 tan( )sin( )2

W WW W

+ −= − =

1 2tan( ) 3

W WW W

⇒ 1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W ϕ ϕ ϕ= = ⇒ = ⇒ = ⇒ carga resistiva 1 2W W= com sinais apostos → carga reativa pura 1 2 0W W ϕ> ⇒ > ⇒ carga indutiva 1 2 0W W ϕ< ⇒ < ⇒ carga capacitiva

CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS

CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

1. Introdução Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito ⇒ resposta em freqüência do circuito.

se ω = ∞ ⇔

0se ω = ⇔

se ω = ∞ ⇔

0se ω = ⇔

Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa ⇒ circuitos de seleção de freqüência ou Filtros. Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc. Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição. Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos. 2. Filtros passa-baixas

Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de

freqüência no domínio da freqüência.

( )i oo

RV V RV H jR jL R jLV

ωω ω

° °° °

°= ⇒ = =

( ) ( )

R RL LH j H j

R RjL L

ω ωω ω

°= ⇒ =

+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) arctan Lj

Rωθ ω = −

Gráfico de amplitude:

Para freqüências altas o circuito deixa passar

pouco sinal.

iV oVR

( )H jω

Bandarejeitada

Bandapassante

Gráfico de fase:

Tensão de saída

atrasada de 90º em relação à tensão de entrada.

A freqüência limite entre a banda rejeitada e

a banda passante é chamada freqüência de corte cω . Ela corresponde

à freqüência pela qual

max1( )2cH j Hω = .⇔

Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível.

Razão da escolha de max

2H para definir cω :

• Potência máxima na saída:

• Potência na saída quando cω ω= :

max max1 1( ) ( )2 2c o R c RH j H V V j Vω ω= ⇒ ⇒ =

2 2maxmax

1( )1 1 12

2 2 2 2c

V VV jP

R R Rωω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

12c RP Pω =

0( )jθ ω

90− ° ω

No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima.

cω = freqüência de meia potência. ⇒ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.

3. Filtros de banda de passagem Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. Exemplo:

No domínio da freqüência:

1jCωjLω

VIR j L

=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

iV oVR

11 1( ) tan

LI CH j arcRV R j L R LC C

ωωω

ω ωω ω

⎛ ⎞−⎜ ⎟= = = − ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) arctanL

ωωθ ω

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• Freqüência de ressonância 0ω :

Freqüência pela qual ( )H jω é máxima. max

1 IHR V

Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm módulos iguais e de sinais opostos. ⇒ a tensão de entrada e a corrente estão em fase.

1eqZ R j L

ω⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

, como na ressonância 0( )eqZ Rω =

⇒ 0 00

1 10LC LC

ω ωω

− = ⇒ =

• Freqüências de cortes 1ω e 2ω

Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância 2

0 max12 pP R I= .

Freqüências de cortes = Freqüência para max

I = =freqüência ½

potência.

2 2max max

01 1 12 2 2 22

p pI IP P R R Pω ω

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

max1 2 2 2 2

( ) ( )2 2 2

p p p pI V V VI I

R R R Rω ω= = = = =

=⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

22 1 1R L R L

C Cω ω

ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = ± −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) 22 2 2

1 1 0R L L RC C

ω ω ωω

= − ⇒ − − =

1 1 11

1 1 0R L L RC C

ω ω ωω

= − ⇒ + − =

− ± +=

− + +=

• Banda passante ωΔ

Largura de banda da passagem:

ω ω ωΔ = − =

0 1 2ω ω ω=

• Fator de qualidade Q

Rω ω

Q maior, circuito mais seletivo.

Bibliografia

1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.

2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson,

John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7.

3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching

Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7.

4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7.

5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson

Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5.

6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.

7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.

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