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Ilha Solteira
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Campus de Ilha Solteira
ELIANE SILVA DE SOUZA
PROPOSTAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O
PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA RADIAIS
Ilha Solteira
2014
ELIANE SILVA DE SOUZA
PROPOSTAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O
PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA RADIAIS
Texto apresentado à Faculdade de Engenharia
do Campus de Ilha Solteira - UNESP, como
parte dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
Área do Conhecimento: Automação.
Dr. Fábio Bertequini Leão
Orientador
Ilha Solteira
2014
FICHA CATALOGRÁFICA
Desenvolvida pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação
S729p
Souza, Eliane Silva de.
Propostas de modelagem matemática para o problema de restauração de
sistemas de distribuição de energia elétrica radiais / Eliane Silva De Souza. --
Ilha Solteira: [s.n.], 2014
167 f. : il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014
Orientador: Fábio Bertequini Leão
Inclui bibliografia
1. Restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de
distribuição radiais. 2. Reconfiguração topológica de sistemas de distribuição
radiais. 3. Otimização de sistemas elétricos. 4. Modelagem matemática.
Ao Senhor Deus, Todo-Poderoso e Pai, a
quem dedico meu ser.
Aos meus pais e família, aos quais dedico meu
amor mais profundo.
Aos meus amigos íntimos, ao quais dedico a
alegria e a verdade.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por sua bondade e fidelidade, por sua Palavra de vida que me
fortalece em todo o tempo, redimindo-me e restaurando alegrias e fé. A Jesus Cristo, Senhor,
por seu amor, salvação e companhia. Ao Espírito Consolador por elevar a Deus as orações do
meu coração e pelo refrigério nos momentos certos. Toda honra, toda glória, todo poder e
toda majestade pertencem ao Criador.
Agradeço aos meus familiares, pelo carinho, pelo incentivo e pelo apoio.
Especialmente aos meus pais Israel e Ivanete, por todo o cuidado comigo, por todo o afeto,
pela autoridade sobre mim, pelas constantes orações a Deus e pelo exemplo de vida. Não
poderia deixar de citar Joziani, Elizangela e Israel Junior, meus irmãos, com quem aprendi as
primeiras coisas; e Anderson, Andrielly e Guilherme, amores da titia Nê, que nunca me
deixaram parar de brincar e de contar e ouvir histórias.
Aos amigos verdadeiros com os quais, ao longo dos anos e dos diferentes caminhos
trilhados, partilhei descobertas, frustrações, alegrias, fé e sonhos. Especialmente à equipe do
LaPSEE, grandes (gigantescos) colegas e excelentes professores.
Meus agradecimentos aos professores Dr. Fábio Bertequini Leão, Dr. José Roberto
Sanches Mantovani e Dr. Rubén Augusto Romero Lázaro pelo acolhimento acadêmico, pelas
experiências partilhadas e pelos muitos exemplos de dedicação e seriedade. Em especial aos
professores Fábio e Rubén pelo apoio constante, pelo aprendizado que me proporcionaram,
pelas amplas discussões e pela confiança mútua. Meus agradecimentos também ao professor
Dr. João Bosco Augusto London Junior, integrante da banca avaliadora, que nos deu a honra
de sua presença e participação neste trabalho com seus apontamentos e sugestões. Meu
“muito obrigada” a vocês!
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), pelo
financiamento desta pesquisa.
Um tributo a todos os meus incentivadores, de todas as épocas.
Creio que Deus elaborou o mais perfeito plano
de restauração que a humanidade poderia
contemplar:
“Porque Deus amou o mundo de tal maneira
que deu seu Filho unigênito, para que todo
aquele que nEle crê não pereça, mas tenha a
vida eterna. Porque Deus enviou seu Filho ao
mundo não para que condenasse o mundo, mas
para que o mundo fosse salvo (restaurado) por
Ele.” (João 3:16-17)
“E Jesus disse: Quem me vê a mim, vê aquele
que me enviou. Eu sou a luz que vim ao
mundo, para que todo aquele que crê em mim
não permaneça nas trevas.” (João 12:45-46)
Eliane.
RESUMO
Neste trabalho são apresentadas propostas de modelagem matemática para otimização do
problema de restauração de sistemas de distribuição de energia elétrica radiais. O problema de
restauração consiste em estratégias de reconfiguração topológica da rede elétrica para o
restabelecimento ótimo do fornecimento de energia elétrica para áreas desatendidas após
interrupção permanente do fornecimento. O objetivo principal é atender à maior demanda
possível do sistema durante o estado restaurativo, preservando o atendimento às restrições
físicas e operacionais da rede elétrica, cumprindo, assim, os critérios de qualidade e
confiabilidade do serviço prestado. O problema tem sido resolvido há muitas décadas através
de metodologias heurísticas, sendo as meta-heurísticas as técnicas mais empregadas. Na
literatura especializada não há propostas de modelagem matemática para resolução exata do
problema de restauração pelas técnicas de otimização clássica. A razão principal era o
desconhecimento de uma forma eficiente de representar a restrição de radialidade através de
relações algébricas simples. Recentemente, a representação da restrição de radialidade foi
apresentada na literatura. Portanto, a proposta deste trabalho é apresentar finalmente
formulações matemáticas para resolução exata do problema de restauração de sistemas de
distribuição que operam em topologia radial. São essencialmente propostas duas formulações
matemáticas diferentes: a primeira proposta trata o problema de restauração com uma
abordagem simplificada, em que algumas restrições do problema são relaxadas; e a segunda
proposta trata o problema de restauração de forma completa, onde todas as restrições
fundamentais relacionadas aos requisitos técnicos e operacionais do sistema elétrico de
distribuição são consideradas. Os modelos matemáticos podem ser resolvidos utilizando
solucionadores comerciais eficientes, apropriados ao tipo de problema formulado em cada
abordagem proposta. Neste trabalho, os modelos matemáticos foram implementados dentro
do ambiente de programação matemática AMPL e resolvidos utilizando solucionadores
comerciais conhecidos. Foram realizados testes em dois sistemas de distribuição apresentados
na literatura, para os quais estão propostas técnicas heurísticas de resolução. Os resultados
encontrados para os testes realizados são comparados com os resultados apresentados na
literatura e evidenciam a consistência e a eficiência das modelagens propostas neste trabalho.
Palavras-Chave: Restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de
distribuição radiais. Reconfiguração topológica de sistemas de distribuição
radiais. Otimização de sistemas elétricos. Modelagem matemática.
ABSTRACT
This work presents proposals of mathematical modeling to optimize the restoration problem
of radial distribution electrical systems. The restoration problem consists in strategies of
topological reconfiguration of the electrical network for optimal restoration of the electric
energy supply to outage areas. The main objective is to supply the most possible demand of
the system under the restorative state, preserving the physical and operational constraints of
the electrical network, satisfying the criteria of quality and reliability of provided service. The
problem has been solved for many decades by heuristic methodologies, with the meta-
heuristics as the most used techniques. In the specialized literature there are no proposals for
mathematical modeling to exact solving of the restoration problem through classical
optimization techniques. The main reason was the lack of an efficient way to represent the
radiality constraint through simple algebraic relations. Recently, a representation of the
radiality constraint was presented in the literature. Therefore, the proposal of this work is to
present mathematical formulations for exact solving of the restoration problem of distribution
systems operating in radial topology. Two different mathematical formulations are essentially
proposed: the first proposal addresses the restoration problem with a simplified approach,
where some constraints of the problem are relaxed; and the second proposal addresses the
restoration problem with a full approach, where all the fundamental constraints related to
technical and operational requirements of the distribution electrical system are considered.
The mathematical models can be solved using efficient commercial solvers, appropriate to the
type of problem that was formulated in each proposed approach. In this work, mathematical
models have been implemented in the mathematical programming environment AMPL and
solved using known commercial solvers. The proposed methodologies were tested in two
distribution systems presented in the specialized literature, where heuristic techniques have
been proposed for resolution. The results that were found for the tests are compared with the
results reported in the literature and they show the consistency and efficiency of the
mathematical modelings proposed in this work.
Keywords: Service restoration in radial distribution systems. Topological reconfiguration of
radial distribution systems. Power systems optimization. Mathematical
modeling.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Exemplo de simplificação de uma rede por blocos de carga .............................. 37
Figura 2 – Diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência ................................ 55
Figura 3 – Diagrama unifilar de um sistema de distribuição radial simples ........................ 57
Figura 4 – Estados operacionais do sistema elétrico: transições e ações de controle ........... 61
Figura 5 – Exemplo simples de operação de chaveamento para restauração do serviço ..... 62
Figura 6 – Alimentador de distribuição operando com ilhamento e geração distribuída ..... 67
Figura 7 – Configuração base do sistema teste de 20 barras de Morelato-Monticelli .......... 83
Figura 8 – Configuração ótima proposta pelo método heurístico de Morelato-
Monticelli ............................................................................................................ 85
Figura 9 – Configuração ótima proposta pelo método exato PQIM para o sistema teste
de Morelato e Monticelli (1989) ....................................................................... 103
Figura 10 – Ilustração da aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff (LKC) ........................... 118
Figura 11 – Ilustração da aplicação da Segunda Lei de Kirchhoff (LKT) ........................... 118
Figura 12 – Configuração base do sistema teste de 53 barras .............................................. 128
Figura 13 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 3 .............. 132
Figura 14 – Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 3 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ...................... 133
Figura 15 – Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 3), conforme
resolução do modelo matemático de PCSOIM ................................................. 136
Figura 16 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 11 ............ 138
Figura 17 – Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 11 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ..................... 139
Figura 18 – Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 11), conforme
resolução do modelo matemático de PCSOIM ................................................. 142
Figura 19 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 14 ............ 146
Figura 20 – Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 14 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ..................... 147
Figura 21 – Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 14), conforme
resolução do modelo matemático de PCSOIM ................................................. 149
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Dados de demanda de carga nas barras do sistema ............................................. 83
Tabela 2 – Estado final das chaves no plano ótimo de restauração de Morelato-
Monticelli ............................................................................................................ 84
Tabela 3 – Configuração inicial das chaves no sistema teste de Morelato-Monticelli ......... 98
Tabela 4 – Resumo de resultados: Minimização do índice LBI no cenário de falta na
zona 6 .................................................................................................................. 99
Tabela 5 – Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos
alimentadores ativos após a minimização do índice LBI no cenário de falta
na zona 6 ........................................................................................................... 102
Tabela 6 – Resumo de resultados: Minimização do índice LBI em diferentes cenários
de falta ............................................................................................................... 104
Tabela 7 – Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos
alimentadores ativos após minimização do índice LBI em diferentes
cenários de falta ................................................................................................. 104
Tabela 8 – Resumo de resultados: Minimização do número de chaveamentos em
diferentes cenários de falta ................................................................................ 105
Tabela 9 – Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos
alimentadores ativos após a minimização do número de chaveamento ............ 107
Tabela 10 – Dados dos cabos (condutores) ........................................................................... 125
Tabela 11 – Dados das linhas ................................................................................................ 125
Tabela 12 – Dados de impedância das linhas ........................................................................ 126
Tabela 13 – Dados de capacidade de carregamento das subestações ................................... 127
Tabela 14 – Dados de demanda das barras ........................................................................... 127
Tabela 15 – Informações sobre os cenários de falta no sistema teste de 53 barras ............... 129
Tabela 16 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 3 ............................... 130
Tabela 17 – Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de
falta na barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM .. 134
Tabela 18 – Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta
na barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ........... 135
Tabela 19 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 11 ............................. 137
Tabela 20 – Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de
falta na barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de
PCSOIM ............................................................................................................ 140
Tabela 21 – Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta
na barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ......... 141
Tabela 22 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 14 ............................. 143
Tabela 23 – Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de
falta na barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de
PCSOIM ............................................................................................................ 147
Tabela 24 – Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta
na barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ......... 148
Tabela 25 – Módulos de tensão nas barras atendidas do sistema após restauração em
todos os casos de falta analisados, conforme a resolução do modelo
matemático de PCSOIM .................................................................................... 150
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ACO Ant Colony Optimization
AG Algoritmo Genético
AMPL A Modeling Language for Mathematical Programming
ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica
CPLEX Algoritmo Simplex com linguagem C++, é um solucionador comercial de
programação matemática para Programação Linear, Programação Quadrática e
Programação Inteira Mista
DEC Duração Equivalente de Interrupção por Consumidor
EMS Sistema de Gerenciamento de Energia
FEC Frequência Equivalente de Interrupção por Consumidor
GB Gigabytes
GRASP Greed Randomized Adaptative Search Procedure
KNITRO Nonlinear Interior point Trust Region Optimization, é um solucionador
comercial de programação matemática especializado em Programação Não
Linear, e que também suporta Programação Linear, Programação Quadrática,
Programação Não Linear Inteira Mista e Programação Quadrática Inteira
Mista
kVA Medida para potência aparente
kVAr Medida para potência reativa
kW Medida para potência ativa
LBI Load Balancing Index ou Índice de Balanço de Carga
LKC Lei de Kirchhoff para Correntes (1ª Lei de Kirchhoff)
LKT Lei de Kirchhoff para Tensões (2ª Lei de Kirchhoff)
MLP Multi Layer Perceptron
MVA Medida para potência aparente
PCSOIM Programação Cônica de Segunda Ordem Inteira Mista
PLIM Programação Linear Inteira Mista
PMC Perceptron Multicamadas
PNLIM Programação Não Linear Inteira Mista
PQIM Programação Quadrática Inteira Mista
PSA Parallel Simulated Annealing
PSO Particle Swarm Optimization
p.u. Por Unidade
RAM Random Access Memory
RNA Rede Neural Artificial ou Redes Neurais Artificiais
RTS Reactive Tabu Search ou Busca Tabu Reativa
SA Simulated Annealing
SCADA Supervisory Control and Data Acquisition
SSP Switching Sequence Program
TS Tabu Search ou Busca Tabu
VA Volt-Ampere, unidade de medida para potência aparente
VAr Volt-Ampere reativo, unidade de medida para potência reativa
W Watt, unidade de medida para potência ativa
LISTA DE SÍMBOLOS
𝛀𝒅′ Conjunto de barras de demanda do sistema elétrico passíveis de restauração
𝛀𝒃′ Conjunto de barras não isoladas do sistema elétrico participantes do processo
de restauração
𝛀 Conjunto de chaves instaladas no sistema elétrico
𝛀𝒂 Conjunto de chaves normalmente abertas instaladas no sistema elétrico
𝛀𝒂′ Conjunto de chaves normalmente abertas instaladas no sistema elétrico não
indisponibilizadas para o processo de restauração
𝛀𝒇 Conjunto de chaves normalmente fechadas instaladas no sistema elétrico
𝛀𝒇′ Conjunto de chaves normalmente fechadas instaladas no sistema elétrico não
indisponibilizadas para o processo de restauração
𝛀𝒐′ Conjunto de ramos diretamente conectados à barra da subestação não
indisponibilizados, sendo a barra da subestação denotada por 𝑜
𝛀𝒍 Conjunto de ramos do sistema elétrico, cuja representação se dá pela seguinte
relação: Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓
𝛀𝒍′ Conjunto de ramos do sistema elétrico não indisponibilizados para o processo
de restauração, cuja representação se dá pela seguinte relação: Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪Ω𝑓′
𝒏𝒔𝒆𝒄 Conjunto de seções desenergizadas após a ocorrência de falta permanente no
sistema elétrico
𝒗 Função objetivo de minimização
𝑪𝑯𝒐𝒑 Função objetivo de minimização do número de operações de chaveamento
para restabelecimento do sistema elétrico
𝑳𝑩𝑰𝒎𝒐𝒅 Função objetivo modular de minimização do índice LBI
𝑳𝑩𝑰𝒒𝒖𝒂𝒅 Função objetivo quadrática de minimização do índice LBI
𝑺𝑷𝒊 Parâmetro: Capacidade de reserva da fonte 𝑖
𝑺𝑷𝒂𝒗𝒆 Parâmetro: Capacidade média de todas as fontes listadas
𝒅𝒊 Parâmetro: Carga em kVA demandada pela barra 𝑖
𝑺𝒔𝒆𝒄𝒊 Parâmetro: Carga em kVA demandada pela seção 𝑖
𝑸𝑫𝒊 Parâmetro: Carga em kVAr demandada pela barra 𝑖
𝑷𝑫𝒊 Parâmetro: Carga em kW demandada pela barra 𝑖
𝒘𝒊 Parâmetro: Coeficiente de peso do termo 𝑖 da função objetivo
𝜶𝒊 Parâmetro: Custo de corte das cargas 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖
da barra de demanda 𝑖
𝑪𝒄𝒉𝒂𝒊 Parâmetro: Custo de operação da chave 𝑖
𝑭𝒊 Parâmetro: Fator de importância da carga 𝑖
𝑰𝒋𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Fluxo máximo de corrente permitida para o equipamento ou
condutor 𝑗
𝑰𝒊,𝒋 Parâmetro: Fluxo máximo de corrente permitido para o ramo 𝑖 − 𝑗 .∀ (𝑖, 𝑗) ∈Ω𝑙′
𝑺𝒊𝒎𝒂𝒙 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o alimentador
primário 𝑖
�̅�𝒐,𝒋 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o ramo 𝑜 − 𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜
′
𝑺𝑻𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o
transformador 𝑇 da subestação
𝒁𝒊,𝒋 Parâmetro: Impedância do ramo 𝑖 − 𝑗
𝑽𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Magnitude máxima de tensão permitida para o sistema elétrico
�̅� Parâmetro: Magnitude máxima de tensão permitida para o sistema elétrico
𝑽𝒎𝒊𝒏 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico
𝑽𝑴𝑰𝑵 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico
𝑽 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico
𝑪𝒍 Parâmetro: Número de consumidores presentes na seção 𝑙
𝑿𝒊,𝒋 Parâmetro: Reatância do ramo 𝑖 − 𝑗
𝑹𝒊,𝒋 Parâmetro: Resistência do ramo 𝑖 − 𝑗
𝑻𝒄 Parâmetro: Tipos de carga
𝒏𝒂 Parâmetro: Total de alimentadores primários que permaneceram ativos (em
operação) após a interrupção do fornecimento de energia elétrica
𝑵𝒃𝒄 Parâmetro: Total de barras de carga do sistema elétrico
𝒏𝒃 Parâmetro: Total de barras do sistema elétrico em estado normal de operação
𝒏𝒃′ Parâmetro: Total de barras não isoladas do sistema elétrico em estado
restaurativo participantes do processo de restauração
𝒏𝒃𝒅𝒆𝒇 Parâmetro: Total de barras sob defeito isoladas do sistema elétrico em estado
restaurativo
𝒎 Parâmetro: Total de fontes de energia
𝒏𝒍′ Parâmetro: Total de ramos não indisponibilizados do sistema elétrico em
estado restaurativo participantes do processo de restauração
𝒏𝒔 Parâmetro: Total de subestações de distribuição existentes no sistema elétrico
𝑴 Parâmetro: Um escalar de valor suficientemente grande
𝑮𝒌𝒕 (𝑷, 𝑸, 𝑽, 𝜽) Representa implicitamente o conjunto de equações algébricas não lineares
referentes aos fluxos de potência ativa 𝑃 e de potência reativa 𝑄 em cada barra
𝑘 da rede durante o período 𝑡 do estado restaurativo, segundo as Leis de
Kirchhoff para tensão 𝑉∠𝜃 e para corrente
�̇�𝒋 Variável: carga em kVA do alimentador 𝑗 não indisponibilizado normalizada
em relação ao seu correspondente limite de carregamento
𝒃𝒊,𝒋 Variável auxiliar em função do estado operativo do ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′,
utilizada para satisfazer a igualdade nas equações relacionadas à aplicação da
2ª Lei de Kirchhoff no ramo quando o circuito está aberto
𝑷𝒋+ Variável auxiliar não negativa de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑
𝑷𝒋− Variável auxiliar não negativa de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑
𝒙𝒊,𝒋 Variável binária: representa o estado operativo da chave no ramo 𝑖 − 𝑗
𝒙𝒊 Variável binária: representa a reenergização ou o corte da seção 𝑖
𝒙�̅� Variável binária: representa a reenergização ou o corte da seção 𝑙
�̇�𝒊 Variável binária: representa o fornecimento ou o corte da carga 𝑖
𝒚𝒊 Variável binária: representa a decisão quanto ao corte das cargas 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖
da
barra de demanda 𝑖, portanto, é a variável responsável por desconectar do
sistema elétrico as barras de demanda que não devem ser restauradas e
atendidas pelo conjunto de subestações do sistema de distribuição
𝑺𝑾̅̅ ̅̅ ̅𝒊 Variável binária: representa o estado atual da chave 𝑖
𝑺𝑾̅̅ ̅̅ ̅𝒊𝟎 Variável binária: representa o estado inicial da chave 𝑖
𝑺𝒊 Variável: Carga em kVA atendida pelo alimentador primário 𝑖
𝒈𝒐 Variável: Carga em kVA fornecida pela subestação
𝑷𝒋 Variável de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑, equivalente a �̅� − 𝑦𝑗 e que
assume a forma 𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗
−, portanto: 𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗
− = �̅� − 𝑦𝑗 e |𝑃𝑗| = |�̅� − 𝑦𝑗| =
𝑃𝑗+ + 𝑃𝑗
−
𝑰𝒋𝒕 Variável: Fluxo de corrente que percorre o equipamento ou condutor 𝑗 durante
o período 𝑡 do estado restaurativo
𝑺𝑻𝒕 Variável: Fluxo de potência em kVA que percorre o transformador 𝑇 da
subestação durante o período 𝑡 do estado restaurativo
𝒇𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência em kVA no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′
𝒇𝒐,𝒋 Variável: Fluxo de potência em kVA no ramo 𝑜 − 𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′
𝑷𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência ativa em kW no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′
𝑸𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência reativa em kVAr no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′
𝑷𝑺𝒊 Variável: Geração de potência ativa em kW na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, sendo que a
geração é nula nas barras de demanda, portanto, equivale à carga em kW
fornecida pela subestação 𝑖
𝑸𝑺𝒊 Variável: Geração de potência reativa em kVAr na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, sendo
que a geração é nula nas barras de demanda, portanto, equivale à carga em
kVAr fornecida pela subestação 𝑖
𝑽𝒌𝒕 Variável: Magnitude de tensão na barra 𝑘 durante o período 𝑡 do estado
restaurativo
�̅� Variável: Média das cargas normalizadas �̇�𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′
𝑰𝒊,𝒋𝒔𝒒𝒓
Variável: Quadrado da magnitude de corrente no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′
𝑽𝒊𝒔𝒒𝒓
Variável: Quadrado da magnitude de tensão na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′,
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 19
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................... 20
1.2 O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO E TÉCNICAS DE SOLUÇÃO ...................... 22
1.2.1 Algoritmos Heurísticos e Sistemas Especialistas ..................................................... 27
1.2.2 Meta-Heurísticas ......................................................................................................... 34
1.2.3 Redes Neurais Artificiais ............................................................................................ 46
1.3 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES ............................................................................. 51
1.4 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS ......................................................................... 51
2 RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO RADIAIS .................... 54
2.1 O SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ................................. 54
2.1.1 Novos Paradigmas para o Sistema de Distribuição: Smart Grids e Geração
Distribuída ................................................................................................................... 64
2.2 A FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO ........ 68
2.2.1 Funções Objetivo do Problema .................................................................................. 69
2.2.2 Restrições Físicas e Operacionais da Rede Elétrica ................................................ 74
2.2.3 Cálculo do Fluxo de Carga em Redes Radiais ......................................................... 78
3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA
DE RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM SIMPLIFICADA ........................... 80
3.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E SISTEMA TESTE .......................................... 80
3.2 MODELAGEM MATEMÁTICA PROPOSTA COM ABORDAGEM
SIMPLIFICADA .......................................................................................................... 85
3.3 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS PARA O MODELO MATEMÁTICO
SIMPLIFICADO .......................................................................................................... 90
3.4 TESTES E RESULTADOS .......................................................................................... 97
3.4.1 Resultados para a Minimização do Desequilíbrio de Carregamento entre os
Alimentadores Primários ........................................................................................... 98
3.4.2 Resultados para a Minimização do Número de Operações de Chaveamento ..... 105
3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO .......................................................... 108
4 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA
DE RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM COMPLETA ................................ 110
4.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA ................ 111
4.2 SISTEMA TESTE E CENÁRIOS DE FALTA ANALISADOS ............................... 123
4.3 TESTES E RESULTADOS ........................................................................................ 129
4.3.1 Cenário 1: Falta na Seção 3 ..................................................................................... 130
4.3.2 Cenário 2: Falta na Seção 11 ................................................................................... 136
4.3.3 Cenário 3: Falta na Seção 14 ................................................................................... 142
4.3.4 Observações Finais e Testes Adicionais .................................................................. 151
4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO .......................................................... 155
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO TRABALHO .................................................... 157
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 160
19
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objeto de estudo o problema de restauração de redes radiais de
distribuição de energia elétrica. A metodologia de resolução do problema está baseada em
técnicas de otimização clássica. São propostas formulações matemáticas, pelas quais se obtêm
a solução exata para o problema. A metodologia é desenvolvida sob dois enfoques: uma
abordagem simplificada e uma abordagem completa. A modelagem matemática com
abordagem simplificada trata de uma versão relaxada do problema de restauração e a
modelagem matemática com abordagem completa considera todas as restrições fundamentais
relacionadas aos requisitos técnicos e operacionais do sistema elétrico de distribuição.
O trabalho está constituído de um levantamento bibliográfico que define o problema
de restauração e discute a importância do desenvolvimento de técnicas de solução
automatizadas e eficientes como suporte ao operador do sistema a fim de melhorar a
qualidade do serviço e a confiabilidade operacional do sistema no fornecimento de energia
elétrica. Desta forma, as técnicas de solução comumente empregadas são discutidas e
relacionadas entre si. O trabalho apresenta as formulações matemáticas propostas em dois
diferentes capítulos, onde são apresentados também os resultados obtidos com os diversos
testes realizados para avaliar a eficiência da metodologia. Foram utilizados dois sistemas teste
apresentados na literatura, para os quais estão propostas técnicas heurísticas de resolução. Os
resultados encontrados neste trabalho com a resolução dos modelos matemáticos são
comparados com os resultados apresentados na literatura. Os modelos matemáticos foram
programados e resolvidos dentro do ambiente de programação matemática AMPL (A
Mathematical Programming Language), utilizando eficientes solucionadores comerciais,
apropriados ao tipo de problema formulado em cada abordagem proposta. Os resultados
mostram a consistência e a qualidade da metodologia desenvolvida.
Neste primeiro capítulo, apresentam-se os aspectos fundamentais do trabalho: a
elucidação do problema e as técnicas de solução empregadas, a partir da revisão da literatura
especializada, onde diferentes estratégias de restauração são discutidas; o objetivo essencial
da proposta metodológica em termos de contribuições; e, finalmente, a organização dos
capítulos.
20
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Os sistemas de potência devem operar com qualidade e segurança, atendendo à
demanda dos consumidores. A qualidade e a confiabilidade dos serviços de fornecimento de
energia elétrica são tratadas não apenas como um problema técnico e operacional, mas
também econômico e social, uma vez que a sociedade moderna está fundamentada e
dependente destes serviços, no que diz respeito ao modo e ao padrão de vida dos indivíduos.
Consequentemente, a necessidade do aumento de produção de energia elétrica com qualidade
a curto e a longo prazo, em razão do aumento imediato e progressivo de demanda, e o avante
esgotamento de recursos energéticos exigem técnicas e estudos cada vez mais aprimorados e
que incorporem as necessidades operacionais emergentes para a melhoria do setor elétrico.
Por estes motivos, a otimização dos processos periodicamente ganha novas dimensões e
maiores complexidades em termos de planejamento, manutenção e operação com o objetivo
de manter os requisitos de qualidade do serviço e de confiabilidade do sistema. O sistema
elétrico opera normalmente quando supre completamente a demanda de carga, respeitando os
requisitos técnicos e os limites operacionais da rede.
O problema de restauração do sistema corresponde à restauração do serviço de
fornecimento de energia elétrica quando há ocorrência de faltas permanentes na rede, ou a
ocorrência de outras causas de interrupção no fornecimento, e consiste em reconfigurar o
sistema de modo a garantir a continuidade do serviço restabelecendo a maior parcela possível
do sistema desatendido, cumprindo as restrições físicas e operacionais às quais a rede elétrica
está sujeita. É extremamente necessário desenvolver estratégias que contornem a interrupção
do serviço de fornecimento e que minimizem os impactos causados aos consumidores pela
privação do serviço e às distribuidoras pelos prejuízos financeiros.
Muitas técnicas foram utilizadas para resolver o problema como subsídio ao operador
do sistema, visto que a restauração é um problema complexo de decisão e controle. As
metodologias propostas na literatura buscam acentuadamente a robustez do método e o
melhor desempenho computacional. As técnicas podem estar baseadas em métodos de
otimização clássica, que buscam a solução exata do problema, e em métodos heurísticos, que
buscam soluções aproximadas e de relativa qualidade. A escolha de qual ou quais métodos de
resolução aplicar na otimização dos processos, dentre os métodos clássicos e heurísticos,
depende de importantes fatores, tais como o problema de explosão combinatorial, a
impossibilidade de completa ou correta formulação matemática e algorítmica do problema, a
21
capacidade computacional de processamento e memória, o tempo de processamento
requerido, e ainda a imprecisão de dados que alimentarão o processo de decisão (WU;
MONTICELLI, 1988; MANTOVANI et al., 2000; LAMBERT-TORRES et al., 2009;
MATHIAS NETO, 2011).
Neste contexto, os maiores esforços no desenvolvimento de técnicas para a resolução
de problemas relacionados à otimização de sistemas de distribuição, tais como o problema de
reconfiguração ótima, o problema de planejamento da expansão e o problema de restauração
do serviço, se deram a partir de métodos heurísticos baseados em algoritmos especializados.
Estes algoritmos são capazes de explorar o espaço de busca do problema de forma
relativamente eficiente (a eficiência depende das estratégias utilizadas e da dimensão do
problema) e, assim, apresentam boas soluções. A razão principal para a resolução destes
problemas por técnicas heurísticas foi o desconhecimento de uma forma eficiente de
representar a restrição de radialidade através de relações algébricas simples. Recentemente, a
representação da restrição de radialidade foi apresentada na literatura, no contexto do
problema da reconfiguração ótima de sistemas de distribuição (LAVORATO et al., 2012). No
entanto, na literatura especializada não existem propostas de modelagem matemática para
resolução exata do problema de restauração de sistemas de distribuição radiais pelas técnicas
de otimização clássica. Esta primeira proposta é apresentada neste trabalho de pesquisa.
Portanto, a revisão bibliográfica apresentada neste trabalho está pautada nas técnicas
heurísticas, conforme a tendência de resolução do problema de restauração ao longo das
últimas décadas. Dentre os métodos heurísticos normalmente utilizados na resolução do
problema de restauração, podem-se citar as heurísticas simples (como o algoritmo heurístico
construtivo), as meta-heurísticas e também os sistemas inteligentes (como os sistemas
especialistas e as redes neurais artificiais).
Cada metodologia possui um grau específico de complexidade implementacional, que
costuma refletir diretamente no êxito da obtenção de bons resultados, e propõe uma forma
diferente e interessante de explorar e tratar o espaço de busca de solução do problema. Os
sistemas especialistas podem explorar as características essenciais do problema e, assim,
propor soluções, ou, de forma mais simples, podem propor soluções a partir de algoritmos
guiados por conhecimentos práticos do problema. A estratégia de explorar conhecimentos
práticos do problema pode contribuir para reduzir o espaço de busca, reduzindo
sistematicamente a quantidade de possibilidades de soluções candidatas a serem avaliadas
como promissoras. Já as redes neurais artificiais permitem resolver problemas de forma
22
bastante diferenciada, por sua capacidade de aprendizado e generalização. As meta-heurísticas
apresentam muita flexibilidade na codificação de problemas e possuem mecanismos
específicos que permitem explorar muito eficientemente o espaço de busca de solução e,
assim, ampliar a possibilidade de obter soluções melhoradas.
Nas seções seguintes, estas diferentes estratégias comumente utilizadas na resolução
do problema de restauração são contextualizadas. As técnicas revisadas são discutidas em
termos de desempenho, eficiência, contribuições e também limitações. Na revisão da
literatura especializada, constata-se que o problema de restauração recebe diferentes ênfases,
todas muito proveitosas tanto para a compreensão do problema, quanto para refletir na
melhoria das próprias técnicas quando dedicadas ao problema. É interessante observar que, a
partir da possibilidade de resolução exata, o desempenho dos métodos heurísticos pode ser
também avaliado.
1.2 O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO E TÉCNICAS DE SOLUÇÃO
O sistema elétrico de distribuição é muito susceptível à ocorrência de faltas que,
muitas vezes, provocam interrupções permanentes no fornecimento de energia elétrica em
parte do sistema. Assim, é necessário restabelecer o serviço à maior parcela possível que ficou
sem atendimento. O restabelecimento ocorre através de operações de chaveamento que
definem uma nova configuração topológica para o sistema durante o estado restaurativo. Esta
nova topologia deve preservar o cumprimento das restrições físicas e operacionais da rede
elétrica, a fim de manter os critérios de qualidade no atendimento e deve assegurar a relativa
imunidade quanto a novas interrupções, aspecto fundamental para a segurança operacional da
rede. Assim, a condição de radialidade dos sistemas aéreos de distribuição permanece como
restrição durante o estado restaurativo e, corrigido o defeito, a rede deve voltar a operar
conforme projetada, no seu estado normal. O estado restaurativo é o estado de operação da
rede em que houve corte de carga e persiste enquanto as parcelas defeituosas ou em
manutenção estiverem isoladas e, quando possível, o sistema a montante do defeito
permanecer parcial ou completamente restabelecido por fontes alternativas de reenergização
(MONTICELLI, 1983; WU; MONTICELLI, 1988).
O propósito da restauração é tentar diminuir os efeitos negativos causados pela
interrupção do fornecimento de energia elétrica, reduzindo o tempo de falta e reduzindo a área
23
desatendida. Portanto, o problema de restauração consiste em restabelecer o fornecimento de
energia elétrica aos consumidores, seguindo um ou mais dos seguintes objetivos: minimizar o
número de consumidores não atendidos pelo serviço, considerando ou não consumidores
prioritários; minimizar a potência não fornecida, considerando ou não prioridade de carga;
minimizar o número de operações de chaveamento; melhorar o balanço de carga entre os
alimentadores primários da subestação de distribuição; minimizar as perdas de energia
elétrica. Os objetivos são formulados de acordo com critérios particulares, tais como: a
continuidade e a qualidade do fornecimento, o nível de satisfação dos clientes em função dos
índices de continuidade dos serviços, os custos de produção de energia e o tempo e custos
para a operação das chaves de manobra da rede (MORELATO; MONTICELLI, 1989; HSU et
al., 1992; FUKUYAMA; CHIANG, 1995; TOUNE et al., 2002; TIAN et al., 2009;
MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al., 2012).
O problema de restauração é de natureza não linear, com variáveis contínuas e
binárias, portanto, originalmente é um problema de programação não linear inteira mista
(PNLIM), pode ter enfoque multiobjetivo, é de caráter combinatório e gera grandes espaços
de busca, é restrito e, por ser de curto prazo, exige tempo computacional rápido para compor
soluções (TOUNE et al., 2002; SEDANO, 2005; GARCIA, 2005; KUMAR et al., 2006). No
entanto, outras formulações matemáticas podem ser propostas, por exemplo, relaxando
algumas restrições do problema, tratando-o de forma simplificada. Quando se considera a
resolução exata do modelo matemático, pode ser adequado modificar a formulação
matemática de modo que ele possa ser mais facilmente resolvido pelas respectivas técnicas
clássicas de otimização.
Quanto maior é a dimensão do sistema elétrico, geralmente maior é a complexidade de
obtenção de soluções otimizadas, principalmente considerando obtê-las no menor tempo
possível, não só em termos matemáticos no sentido de ampliar o número de configurações
possíveis para avaliação, mas também pelos inúmeros fatores que precisam ser considerados
como restrições físicas e operacionais no atendimento às restrições de carga. Ou seja, o
problema de restauração em sistemas reais pode ser de difícil solução por seu caráter
combinatorial e porque está sujeito a muitas restrições fundamentais. As restrições físicas e
operacionais estão relacionadas à qualidade e à confiabilidade no fornecimento de energia
elétrica e correspondem aos níveis de carregamento dos componentes do sistema, às
magnitudes adequadas de tensão, à capacidade de geração, entre outras (MONTICELLI,
1983; LIU et al., 1988; HSU et al., 1992; KUMAR et al., 2011). Além deste conjunto de
24
restrições elementares, pode ser necessário considerar os requisitos impostos por outros
elementos instalados na rede, como, por exemplo, fontes de geração distribuída (MATHIAS
NETO, 2011).
Resolver de forma exata problemas relacionados à reconfiguração topológica de
sistemas elétricos significa buscar a melhor solução entre todas as configurações possíveis.
Este processo pode ser muito oneroso, sobretudo de acordo com a quantidade de chaves
secionadoras existentes no sistema, visto que o número de configurações candidatas cresce
exponencialmente de acordo com as possibilidades de manobra das chaves existentes.
Portanto, segundo a literatura especializada, gerar e analisar todas as propostas de codificação
é considerado impraticável, principalmente para aplicações em tempo real. Desta forma, para
obter soluções viáveis com tempo favorável de processamento, a alternativa muito explorada
é guiar o processo de busca por meios heurísticos especialmente orientados por
conhecimentos específicos do problema, de modo a diminuir a dimensão do espaço de busca
e, por conseguinte, diminuir a complexidade da resolução, além de permitir a busca por
soluções de interesse (MORELATO; MONTICELLI, 1989; MANTOVANI et al., 2000).
Uma solução de interesse pode ser iniciar a busca a partir de algumas variáveis de decisão
previamente definidas, segundo um objetivo específico: por exemplo, alterar minimamente a
topologia base da rede elétrica, o que significa minimizar implicitamente o número de
chaveamentos na rede, ao fixar o estado inicial de algumas chaves ou decidir previamente
pelo seu estado final para, por exemplo, garantir o atendimento a cargas prioritárias.
Algoritmos heurísticos são exploratórios e buscam soluções aproximadas, dispensando
a representação formal do conhecimento sobre o problema que buscam resolver. Sendo assim,
o objetivo principal das técnicas heurísticas é formular soluções viáveis. A não necessidade de
representar explicitamente as características e exigências do problema é uma grande
vantagem. Já obter soluções aproximadas nem sempre é uma desvantagem. Por essas razões,
as heurísticas são consideradas eficientes na resolução de problemas complexos de pequeno e
de grande porte, como os relacionados ao sistema elétrico de potência. Adicionalmente, é
possível encontrar soluções de qualidade com custo computacional relativamente baixo. Por
exemplo, no setor de distribuição de energia elétrica, as técnicas heurísticas baseadas em
inteligência artificial contribuem para a automação dos processos por sua singular capacidade
de processar e analisar informações, configurando-se ferramentas analíticas de alto
desempenho para o auxílio à tomada de decisões por parte dos operadores dos centros de
controle da distribuição, sobretudo com os avanços das tecnologias digitais integradas à rede
25
elétrica, as quais permitem maior qualidade e disponibilidade de dados e sinais. As técnicas
são normalmente baseadas nas próprias experiências destes operadores nos procedimentos de
diagnóstico e ações corretivas e de controle (HSU et al., 1992; DECANINI et al., 2007;
LEÃO, 2011).
Ao longo dos anos, os métodos heurísticos foram sendo modernizados e se
particularizando, como também apareceram propostas que se complementam. Por exemplo, o
processo de busca guiado por uma meta-heurística geralmente parte de uma solução viável
inicial (aleatória ou gulosa) e segue sucessivamente por aproximações em direção a um ponto
ótimo, que pode ser o ponto ótimo global, até que um critério de parada seja atingido. São as
heurísticas de busca em vizinhança empregadas que permitem que as soluções localmente
encontradas sejam melhoradas. Algumas meta-heurísticas permitem, inclusive, o movimento
para soluções piores, preservando a solução incumbente (melhor solução encontrada e
armazenada), com o intuito de que uma solução melhor possa ser posteriormente encontrada.
As propostas de solução são sondadas e avaliadas por sua proximidade com determinado
objetivo. Quanto mais próximas, maior é a qualidade da solução.
Em resumo, as meta-heurísticas possuem uma característica muito interessante: a
capacidade de diversificação de propostas de solução – teoricamente explorando amplamente
o espaço de busca do problema; e a capacidade de intensificação da busca – vasculhando
localmente cada espaço. Assim, os procedimentos de busca em vizinhança permitem que os
processos heurísticos sejam guiados com mais eficiência e alcancem melhores resultados,
ainda que alguns mecanismos de transições sigam parâmetros totalmente aleatórios. As meta-
heurísticas são conceitualmente genéricas e usuais para os mais variados tipos de problemas,
por isso desenvolver uma meta-heurística para resolução de um dado problema exige do
desenvolvedor (projetista) um alto nível de conhecimento sobre o problema de modo a torná-
la especializada: a codificação adotada, os parâmetros utilizados e os procedimentos de
melhoria local devem ser baseados no conhecimento de domínio específico do problema a ser
resolvido.
Conclui-se que a importância das técnicas heurísticas é muito clara: viabilizar, com
certo grau de satisfação, a resolução de problemas altamente complexos, não resolvidos ou
resolvidos precariamente através de técnicas exatas ou de natureza puramente numérica.
Assim, resumidamente, os métodos heurísticos são particularmente usados nas seguintes
situações: (a) o problema não pode ser matematicamente modelado de forma correta ou os
dados usados são imprecisos ou incertos: neste caso, seria impossível ou inviável utilizar um
26
método exato de otimização; (b) na prática, soluções de boa qualidade são suficientes para
resolver o problema, dispensando a necessidade da solução exata; (c) é demandado um
elevado tempo de processamento computacional ou há insuficiente capacidade computacional
de memória para o armazenamento dos dados até o final do processo de solução: nestes casos,
seria impraticável chegar a uma solução concreta; entre outras. Assim, os métodos heurísticos
são técnicas predominantemente empregadas, por suas características intrínsecas de relativa
simplicidade, rapidez e eficiência, não apenas na resolução do problema tratado nesta
pesquisa, mas também em muitos outros ramos de pesquisa operacional.
No entanto, chama-se a atenção para a seguinte questão: se é possível desenvolver
modelos matemáticos eficientes para problemas complexos, através dos quais podem ser
obtidas soluções exatas e com tempo de processamento computacional adequado às
necessidades de cada problema, empregar métodos heurísticos na otimização destes
problemas pode não ser tão indispensável. Assim, investir em formulações matemáticas passa
a ser uma alternativa muito atrativa, principalmente quando existem disponíveis eficientes
solucionadores comerciais e diante dos muitos avanços de recursos computacionais. Além
disso, existem ambientes de programação matemática que dispensam a necessidade de grande
esforço implementacional dos algoritmos por parte do projetista, visto que a linguagem de
programação matemática destes ambientes é muito próxima da notação matemática em si.
Nas seções seguintes, são abordados alguns dos trabalhos presentes na literatura
especializada destinados à resolução do problema de restauração do serviço de fornecimento
de energia elétrica. Não foram encontrados trabalhos que resolvem o problema de restauração
de forma exata, com modelagem matemática. A revisão bibliográfica está baseada nos
seguintes métodos heurísticos: algoritmos heurísticos, sistemas especialistas, meta-heurísticas
e redes neurais artificiais. Vale ressaltar que a maioria destes trabalhos apresenta formulações
matemáticas que visam tão somente ilustrar o que suas metodologias heurísticas consideram
ou propõem para resolução do problema, ou seja, apresenta algumas relações matemáticas ou
apresenta modelos matemáticos incompletos. Portanto, da forma em que estão apresentados,
esses modelos não podem ser resolvidos por métodos de otimização clássica.
27
1.2.1 Algoritmos Heurísticos e Sistemas Especialistas
Técnicas heurísticas baseadas em algoritmos heurísticos procedurais e em sistemas
especialistas foram muito utilizadas para a resolução do problema de restauração de sistemas
de energia elétrica, tanto sistemas de distribuição radiais como sistemas de transmissão (LIU
et al., 1988; WU; MONTICELLI, 1988; MORELATO; MONTICELLI, 1989;
SHIRMOHAMMADI, 1992; HSU et al., 1992). Essas duas técnicas podem ser
implementadas de forma não completamente distinguível, de tal forma que possa ser inviável
classificar determinadas aplicações como essencialmente especialistas ou como
essencialmente procedurais, embora as diferenças entre elas sejam muito pontuais (sistemas
especialistas manipulam bases de conhecimento e sistemas tradicionais manipulam bases de
dados). Sendo assim, as duas técnicas serão abordadas e discutidas conjuntamente nesta
seção, sem a preocupação de distingui-las essencialmente quanto a esses aspectos.
As técnicas baseadas em sistemas especialistas são muito proveitosas para qualificar
(interpretar, classificar, observar, diagnosticar, etc.) o comportamento dos sistemas modelados
e, assim, direcionar corretamente os esforços na solução dos problemas especificamente
tratados, principalmente aumentando as chances de tratar com eficiência os problemas
emergenciais e complexos. A maior característica destas técnicas é a sua fundamentação na
lógica e em procedimentos de inferência, sendo pouco ou nada utilizada a computação
numérica. O objetivo maior de um sistema especialista é apresentar conclusões sobre um
determinado problema sob seu domínio, a partir de mecanismos que possam corretamente
extrair informações sobre o problema e, por meio de inferências, direcionar o processo de
resolução às ações componentes do sistema, isto é, determinar continuamente quais funções
(ações) previstas deverão ser executadas para a resolução do problema. A base de
conhecimento relativa ao domínio do problema (normalmente formada por fatos e regras)
deve ser devidamente estruturada e representativa. Ao final, tanto a solução (as conclusões
elaboradas) quanto os procedimentos adotados para alcançá-la (“raciocínio” elaborado)
podem ser apresentados ao usuário do sistema, com a finalidade de assisti-lo na tomada de
decisões importantes. O sistema especialista pode ainda fornecer uma interface amigável ao
usuário, com diferentes graus de interação. De forma simplista, sistemas especialistas são
projetados para simular o conhecimento e as decisões efetuadas por especialistas humanos na
resolução de um determinado problema, baseados em suas experiências pessoais e/ou na
compreensão que eles têm sobre as particularidades do problema.
28
Sistemas especialistas já eram utilizados com eficiência em problemas relacionados ao
sistema de potência, principalmente em análise de segurança, aplicações relacionadas ao
processamento de alarmes, por exemplo. O sucesso dessas aplicações influenciou a resolução
de problemas de restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica por estes métodos,
por se tratar de um problema complexo de decisão e controle. A maioria das aplicações
destinadas ao problema de restauração foram implementadas para simular as ações de
controle normalmente adotadas por operadores experientes dos centros de controle do sistema
elétrico. Assim, foram propostas aplicações especialistas para auxiliarem os operadores
especialmente diante de faltas permanentes de grande proporção na rede, assegurando-lhes
propostas viáveis (quando existentes) para o plano de restauração diante de situações mais
complexas para a tomada rápida de decisão. Obviamente, as aplicações propostas também se
fizeram úteis para faltas permanentes de menor escala. Os conhecimentos incorporados na
base de dados destes sistemas especialistas foram normalmente elaborados a partir de regras
retiradas da literatura, a partir de profissionais da área, tais como os próprios operadores do
sistema, e também a partir de quadros representativos do problema. Os trabalhos de Liu et al.
(1988), Wu et al. (1988), Morelato e Monticelli (1989) e Hsu et al. (1992) exemplificam estas
aplicações, tal como foram discutidas acima.
Destacam-se a seguir, portanto, as particularidades de algumas técnicas heurísticas
baseadas em conhecimentos práticos aplicadas ao problema de restauração, a partir de
algoritmos heurísticos e sistemas especialistas. As metodologias desenvolvidas são muito
interessantes e diferenciadas entre si e, por isso, permitem explorar o problema de restauração
sob diferentes aspectos, objetivos e cenários. Além disso, menciona-se outra técnica
especialista mais fortemente baseada no entendimento e na análise das características
essenciais do problema.
Liu, Lee e Venkata (1988) desenvolveram não apenas uma aplicação de sistema
especialista para o problema de restauração, como também uma componente para a
minimização de perdas nas linhas em condições normais de operação do sistema elétrico. As
regras propostas norteiam três abordagens, hierárquicas, para a resolução do problema de
restauração de sistemas radiais de distribuição, baseadas na capacidade de reserva dos
alimentadores vizinhos e no atendimento às restrições operacionais do sistema elétrico; e uma
abordagem para a reconfiguração dos alimentadores para a redução das perdas. As regras
pertencem a dois blocos funcionais: “Restoration Planner” e “Loss Minimizer”. No primeiro
bloco, primeiramente ocorre a tentativa de restauração de grupos de cargas, cujas regras
29
orientam a formação de grupos de zonas em falta (tendo sido isolado o defeito), sobretudo
relevante em casos de interrupção em maior escala; depois, a restauração de zonas, caso um
grupo não tenha sido restaurado por incapacidade do alimentador de suporte; e, finalmente, a
transferência de carga (do próprio alimentador de suporte) para tentar restaurar zonas que
permaneceram ainda não restauradas no passo anterior, se este for o cenário. No caso do
segundo bloco, para a redução de perdas de potência nas linhas, as regras identificam pares de
alimentadores primários a partir da posição das chaves de interconexão normalmente abertas,
formando subsistemas igualmente radiais. Reposicionam-se as chaves abertas nos pares,
comutando mutuamente o estado dessas chaves abertas com respectivas chaves vizinhas
fechadas, e havendo localmente redução das perdas nos subsistemas formados, as perdas
totais do sistema também são igualmente reduzidas; o mesmo se aplica à condição de
factibilidade. Para cada movimento das chaves é necessário avaliar a redução de perdas e,
para isso, um algoritmo de fluxo de carga é necessariamente executado apenas para o par de
alimentadores envolvidos. A alteração só é concretizada se há efetivamente a redução das
perdas. Além das regras relacionadas aos dois blocos, o sistema especialista também possui
regras que determinam a sequência de chaveamentos para a configuração topológica proposta
pela solução encontrada. A ordem de chaveamento segue consecutivamente o isolamento da
falta, o religamento do disjuntor (se possível), a transferência de carga (quando da ocorrência)
e a restauração de grupos e/ou zonas, conforme os cenários de falta e as restrições
operacionais. A metodologia considerou a disponibilidade de dados dos alimentadores
primários e a informação do estado das chaves secionadoras, bem como das condições de
carregamento da rede, por meio do sistema de gerenciamento SCADA (Supervisory Control
and Data Acquisition), em tempo real. Os autores assumiram que a localização da falta
permanente era previamente conhecida. Ou seja, partiu-se do pressuposto que alguma
metodologia fora previamente empregada para fornecer esta informação relevante.
Sistemas especialistas podem atuar também na localização e diagnóstico de faltas na
rede elétrica, como proposto na literatura remota e recente. Outras técnicas provenientes da
inteligência artificial, como as redes neurais artificiais e a lógica nebulosa (fuzzy), foram
também empregadas para este propósito (FUKUI; KAWAKAMI, 1986; WONG; TSANG,
1988; HSU et al., 1991; MCNEIL; THRO, 1994; DECANINI; MINUSSI, 2007; BÍSCARO,
2013). Ferramentas baseadas em algoritmos inteligentes, como a metodologia fuzzy, quando
aliadas ainda a determinadas arquiteturas de redes neurais, podem permitir não só a eficiência
na detecção e classificação de anormalidades nos sinais processados do sistema elétrico, como
30
também o treinamento continuado para adaptação das regras de inferência, aumentando a
confiabilidade dos resultados e a eficiência na elaboração do plano de restauração
(DECANINI et al., 2012).
A técnica especialista desenvolvida por Wu e Monticelli (1988) é apenas mencionada
nesta revisão por estar dedicada à restauração de sistemas de transmissão e por se diferenciar
significativamente das outras técnicas especialistas desenvolvidas pelos demais autores nos
trabalhos revisados nesta seção (baseadas em regras práticas de controle operacional da rede
elétrica). Esta técnica especialista é fortemente baseada nas características do problema e não
em experiências humanas, como as demais. Os autores propuseram um amplo quadro
conceitual para avaliar e monitorar a restauração do serviço em sistemas elétricos de potência
de alta tensão, a fim de fornecer um plano confiável, a partir de uma adaptação de ferramentas
analíticas destinadas à avaliação e monitoramento da segurança da rede em condição normal
de operação. O sistema especialista proposto, incorporado ao Sistema de Gerenciamento de
Energia (EMS), é responsável por coordenar as ferramentas analíticas, que se dividem em três
funções: modelagem, análise e otimização, e síntese. A técnica desenvolvida é bastante
complexa, do ponto de vista implementacional. Três destaques podem ser dados: a existência
de uma interface amigável ao usuário do sistema especialista que lhe permite interagir com o
sistema; o auxílio à tomada de decisão a partir de informações dos processos em execução; e a
informação das ações de controle tomadas, justificando as inferências processadas.
Em Morelato e Monticelli (1989) estão propostas técnicas heurísticas muito práticas
para resolução dos problemas de reconfiguração ótima e de restauração ótima de sistemas de
distribuição de energia elétrica, problemas baseados nas transições voluntárias de estado
operacional da rede de distribuição. A proposta central da metodologia é a ampliação da
capacidade de algoritmos convencionais para além de suas capacidades numéricas,
incorporando conhecimentos práticos nos processos, a fim de eliminar as alternativas
intuitivamente não promissoras e, assim, reduzir o número de soluções candidatas. A
estratégia envolve a busca de soluções em uma árvore de decisão binária, cujo processo de
pesquisa está baseado no algoritmo de busca em profundidade. Os autores acomodaram
procedimentos lógicos baseados na experiência do operador do sistema ao algoritmo
procedural de busca, utilizando técnicas de sistemas especialistas, sendo estes procedimentos
lógicos responsáveis por realizar a poda da árvore de decisão do problema. O algoritmo
convencional de busca em profundidade realiza uma busca exaustiva na árvore de decisão,
pois o algoritmo original é estruturalmente formal, isto é, os dados são organizados e são
31
manipulados formalmente na árvore. O conceito computacional de pilha está presente na
implementação desses algoritmos de busca e, na metodologia dos autores, o conceito de pilha
está representado pelo vetor LISTA. Os nós percorridos vão sendo adicionados a esta pilha até
que se chegue ao nó final (nó folha) e toda a árvore seja explorada ou até que a solução seja
encontrada (estrutura de controle denominada backtraking). Dependendo da dimensão ou
nível da árvore binária, este processo pode ser muito oneroso ou inviável. Assim, do ponto de
vista de otimização matemática, a proposta dos autores é um algoritmo branch and bound
rudimentar, em que as estratégias de ramificação e sondagem são realizadas levando em
consideração as características específicas do problema, sem ter disponível uma modelagem
matemática completa, o que torna a metodologia muito relevante, neste aspecto.
É interessante notar que esta metodologia heurística simples formula várias soluções e,
à medida que completa a composição de uma solução candidata (ao completar cada
ramificação da árvore), testa a sua factibilidade, avalia a sua qualidade em termos de função
objetivo e segue atualizando a solução incumbente para apresentá-la no final do processo de
ramificação (após percorrer toda a árvore resultante da poda). Ressalta-se também que ao
provocar a poda da árvore, a ramificação que contém a solução ótima do problema pode ser
eliminada. Dessa forma, a metodologia visa encontrar soluções factíveis, em suposto
detrimento da solução ótima. A solução final deve apresentar o estado das chaves e dos
disjuntores do sistema, portanto, ao final do processo de solução, todas as chaves são
declaradas abertas ou fechadas. As chaves são as variáveis de decisão do problema e a rapidez
do método está fundamentada nas regras que definem a declaração inicial e consecutiva
dessas variáveis, levando em consideração o estado operativo em que a rede elétrica se
encontra (normal, emergencial ou restaurativo). O objetivo final é apresentar um quadro que
estabelece estratégias de controle apropriadas e que permite desenvolver os algoritmos que
resolvem os problemas destacados. A metodologia heurística proposta pelos autores é
exemplificada a partir dos seguintes objetivos: a restauração do serviço, minimizando o
desequilíbrio de carregamento entre os alimentadores principais do sistema através de um
índice de balanceamento de carga, LBI (do inglês Load Balancing Index). Os dados da rede
elétrica que compõem a resolução deste problema são as cargas de cada seção, os limites de
carregamento dos alimentadores primários e a configuração do sistema após o isolamento da
falta. O problema de restauração é tratado de forma relaxada e não considera todas as
restrições físicas e operacionais do sistema elétrico de distribuição.
32
No presente trabalho de pesquisa, um modelo matemático para a proposta de
restauração de Morelato e Montecelli (1989) é desenvolvido e está apresentado no capítulo 3.
Trata-se de um modelo matemático simplificado, uma vez que nem todas as restrições físicas
e operacionais são consideradas pelos autores. Diferentemente da heurística desenvolvida
pelos autores para solucionar o problema de restauração, o modelo matemático apresentado
neste trabalho pode ser resolvido de forma exata por técnicas clássicas de otimização, pois é
um modelo completo para a proposta de restauração tal como formulada.
Em Shirmohammadi (1992), as regras heurísticas propostas se baseiam nos seguintes
procedimentos: isolar a área diretamente afetada pela falta, por meio da abertura das
correspondentes chaves adjacentes, e restaurar o serviço para as demais áreas desatendidas
por consequência da falta, considerando todos os demais nós e ramos não diretamente
indisponibilizados. Para restaurar o serviço, a metodologia torna a rede virtualmente malhada,
simbolicamente fechando todas as chaves de interconexão normalmente abertas do sistema e,
através dos resultados de um algoritmo de fluxo de carga para redes malhadas, qualifica as
chaves quanto ao fluxo de potência percorrido por elas. Assim, em cada malha, as chaves que
representam menores fluxos são abertas. Com isso, intenta-se implicitamente minimizar o
número de chaveamentos para restaurar o serviço de fornecimento de energia elétrica. O
procedimento de abertura das chaves em cada malha é repetido até que a rede obtenha
novamente uma topologia radial. Obviamente, no decorrer do processo, a abertura de
determinadas chaves obriga o fechamento definitivo de outras. Por isso, a metodologia
garante que determinados nós são sejam displicentemente isolados do processo de
restauração. A principal vantagem desta metodologia sobre outras metodologias heurísticas,
como as baseadas em sistemas especialistas, por exemplo, é a sua não dependência de
convergência de acordo com as configurações iniciais propostas ou do estado inicial das
chaves do sistema. Em resumo, a proposta de Shirmohammadi (1992) é um algoritmo
heurístico construtivo dedicado ao problema de restauração e que gera iterativamente uma
proposta de solução através de uma sequência de operações de chaveamento, cuja proposta
final apresenta as chaves que deverão ser manobradas.
Minimizar o número de manobras é considerado um dos critérios fundamentais que
devem ser observados para a restauração de sistemas de distribuição, por uma série de fatores
discutidos no capítulo 2 deste trabalho. Aqui, ressalta-se apenas que existem custos
econômicos, técnicos e de tempo relacionados às operações de chaveamento. Sendo assim, no
presente trabalho de pesquisa também é apresentada uma formulação matemática que
33
minimiza o número de manobras de chaves. Este objetivo é incorporado ao modelo
matemático relaxado apresentado no capítulo 3 e também é incorporado à modelagem
matemática completa apresentada no capítulo 4, cujas formulações consideram todas as
restrições físicas e operacionais que garantem a qualidade do serviço e a segurança
operacional da rede elétrica de distribuição.
Hsu et al. (1992) desenvolveram uma metodologia de restauração baseada em um
conjunto de regras heurísticas a partir de experiências passadas de operadores do sistema de
distribuição de uma companhia chinesa. Posteriormente, Hsu e Huang (1995) desenvolveram
uma rede neural artificial para este mesmo problema, seguindo esta metodologia especialista
original (o trabalho está revisado na seção 1.2.3). Para o plano de restauração, apenas as
cargas do alimentador estão disponíveis, sendo necessário estimar as cargas para as seções do
alimentador. O plano está baseado na capacidade de reserva dos alimentadores vizinhos,
iniciando a tentativa completa de restauração pelo alimentador de suporte principal. Diante da
incapacidade de suprimento de energia imediatamente por completo pelo alimentador de
suporte principal, são formados dois grupos: grupo A, formado por todos os ramais laterais
desatendidos, cujas cargas são restauráveis pelos respectivos alimentadores de suporte
adjacentes por haver margem de reserva suficiente para restauração; e grupo B, formado pelas
cargas desatendidas não completamente restauráveis pelos alimentadores de suporte
adjacentes, por insuficiência de capacidade de reserva para atendimento. Então são realizadas
inúmeras tentativas de restauração por meio de planos de restauração provisórios, com o
propósito de apresentar um plano final que estabeleça a restauração da maior carga possível
do sistema pelo alimentador de suporte principal. Esse propósito visa minimizar o número de
operações de chaveamentos necessárias para a efetivação do restabelecimento do serviço e,
consequentemente, alterar minimamente a topologia original da rede e, implicitamente,
reduzir o tempo destinado à execução do plano elaborado. Isto também evita outros custos
ligados ao deslocamento para diferentes pontos do sistema. Durante a elaboração dos planos
provisórios, considera-se a possibilidade de transferência de carga do alimentador desatendido
para alimentadores adjacentes do grupo A com reserva suficiente para restaurar seus
respectivos conjuntos de cargas e outros conjuntos de cargas pertencentes ao grupo B. Dessa
forma, pode-se aliviar a carga total do grupo B para efeito de restauração pelo alimentador de
suporte principal. Considera-se ainda a possibilidade de reagrupar ao grupo B cargas menores
provisoriamente transferidas ao grupo A, prevendo sempre o menor número de manobras e de
deslocamentos para as manobras. Resumidamente, os procedimentos correspondentes ao
34
plano de restauração compõem três sub-rotinas e são os seguintes: identificar o local de falta e
a demanda de consumo atual (ou estimado, referente a todo o período restaurativo); identificar
as áreas desatendidas pelo serviço e os alimentadores adjacentes; conhecer a margem de
reserva destes alimentadores; iniciar a elaboração do plano; apresentar o plano elaborado.
Ficou evidente que os planos de restauração são propostos somente após a obtenção
dos dados representativos do estado operacional corrente da rede elétrica, isto é, informações
atualizadas das demandas de carga e das margens de reservas disponíveis dos alimentadores
primários de suporte, a partir da configuração de falta. Ou seja, é necessário conhecer
adequadamente o cenário de falta e tentar encontrar as possíveis propostas alternativas para o
suprimento de energia às áreas desatendidas.
Finalmente, esta seção abordou aspectos fundamentais da aplicação de técnicas
heurísticas baseadas em algoritmos heurísticos e em sistemas especialistas na otimização do
problema de restauração. A revisão destas técnicas que abordam os procedimentos de
restauração tais como são normalmente efetuados nos centros de controle permite conhecer
com certos detalhes o problema de restauração, como se dá a elaboração dos planos e as
próprias ações de controle pelos operadores em diferentes sistemas elétricos. Em técnicas
como as meta-heurísticas, as ações de controle para a restauração do sistema, isto é, o
conjunto de regras empíricas e procedimentos práticos comumente adotados, não estão tão
explícitas nos seus processos tradicionais, contudo, os benefícios estão no potencial de
obtenção de melhores resultados. Algumas propostas de meta-heurísticas podem utilizar,
inclusive, sistemas especialistas para gerar soluções iniciais de melhor qualidade (TOUNE et
al., 2002; SEDANO, 2005). Técnicas meta-heurísticas aplicadas ao problema de restauração
do sistema de distribuição de energia elétrica são revisadas na seção seguinte.
1.2.2 Meta-Heurísticas
As meta-heurísticas, ou heurísticas modernas, apresentam bastante flexibilidade na
codificação de problemas, atendendo a particularidades muito específicas, sob diferentes
abordagens. São técnicas heurísticas mais robustas, pois possuem ou permitem incorporar
procedimentos aprimorados que resultam principalmente na realização de buscas exaustivas
no espaço de solução do problema e, eventualmente, podem tratar e corrigir soluções que
apresentam infactibilidades (descumprimento de restrições do problema). Por estas razões,
35
elas são contundentes na busca de soluções de melhor qualidade. Estas técnicas estão
consolidadas na otimização de problemas relacionados aos sistemas elétricos e é possível
também comparar o desempenho delas a partir de melhorias no próprio método.
Os seguintes procedimentos são comuns na implementação de meta-heurísticas: a
codificação eficiente do problema, a composição da solução inicial (ou o conjunto delas), a
definição da estrutura de vizinhança mais adequada às condições impostas pelo problema e a
adoção de parâmetros de controle do algoritmo que possibilitem alcançar melhor eficiência na
resolução do problema. Procedimentos de validação do método também são necessários. Os
parâmetros de controle são uma desvantagem destes métodos, pois precisam ser devidamente
ajustados para aumentar as garantias de convergência. Além disso, os parâmetros são
sensíveis aos mais diferentes tipos de problemas, por isso o ajuste costuma ser empírico. Já a
solução inicial gerada não precisa ser necessariamente de boa qualidade, especialmente
quando gerada aleatoriamente, devido aos mecanismos de melhoria local (as heurísticas de
busca em vizinhança) de cada meta-heurística. No entanto, a má qualidade da proposta inicial
pode refletir diretamente no tempo computacional destinado à convergência. Adicionalmente,
nem todas as meta-heurísticas possuem capacidade ou são eficientes para escapar de ótimos
locais. Também pode ocorrer que as configurações iniciais geradas sejam infactíveis,
tornando o processo de busca pouco atraente e aumentando o esforço computacional para
contornar as infactibilidades. Heurísticas eficientes, como algoritmos gulosos (tais como os de
árvore geradora mínima) e sistemas especialistas, podem ser utilizadas para gerar
configurações iniciais de boa qualidade. Dessa forma, a busca pode partir de um ponto
subótimo do espaço de solução do problema, podendo garantir melhores resultados também
em termos de desempenho computacional (TOUNE, et al., 2002; WATANABE; NODU,
2004; AMASIFEN et al., 2005).
O propósito desta seção é discutir a aplicação e particularidades de meta-heurísticas
dedicadas ao problema de restauração do sistema de distribuição de energia elétrica. São
inúmeros os trabalhos baseados em meta-heurísticas que desenvolveram algoritmos
especializados para a resolução deste problema. São apresentadas propostas de otimização
que consideram a restauração tradicional, a restauração no contexto das smart grids (redes
inteligentes) e também a restauração com geração distribuída (FUKUYAMA; CHIANG,
1995; MATOS; MELO, 1999; TOUNE et al., 2002; WATANABE; NODU, 2004;
WATANABE, 2005; GARCIA, 2005; SEDANO, 2005; KUMAR et al., 2006; TIAN et al.,
36
2009; LAMBERT-TORRES et al., 2009; PHAM et al., 2009; HUANG; HUANG, 2010;
MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al., 2012).
Em Pereira Junior, Cossi e Mantovani (2012), a técnica de otimização utilizada é a
meta-heurística de Busca Tabu e a proposta de restauração é restabelecer a maior quantidade
de carga possível fora do serviço de fornecimento de energia elétrica em casos de interrupções
permanentes no sistema de distribuição, de forma que o restabelecimento provoque a menor
modificação possível da topologia base do sistema. Em outras palavras, a metodologia
proposta busca minimizar o corte de carga e minimizar o número de chaveamentos
necessários para o restabelecimento. Não há custos reais associados às operações de
chaveamento, considera-se um custo simbólico. Considerar simbolicamente o custo de
operação de chaveamento significa contabilizar as manobradas de chaves efetuadas: a chave é
manobrada se tem seu estado inicial alterado no plano final de restauração, sendo que as
chaves normalmente abertas podem ser fechadas e as chaves normalmente fechadas podem
ser abertas. A função objetivo formulada incorpora também uma estratégia de penalização:
sofre um incremento quando as restrições do problema são violadas. Os objetivos são tratados
como um único objetivo. Para a codificação do problema, assumiu-se que cada barra de carga
corresponde a uma seção, ou seja, cada barra está compreendida entre dispositivos que
permitem a realização de manobras. A codificação permite conhecer as seções que
permanecem energizadas após a falta e as seções que foram desenergizadas pela ocorrência da
falta e que podem ser reenergizadas: em um vetor estão contidas as seções desenergizadas
pela interrupção e outro vetor especifica as seções que estão energizadas e que serão
utilizadas como candidatas a religar as seções desatendidas ou especifica se seções
desatendidas permanecerão desligadas. As seções candidatas a reenergizar as seções
desatendidas são chamadas de seções fonte e a estrutura de vizinhança consiste em alterar a
seção fonte para cada seção desenergizada ou desligá-la definitivamente do sistema,
mantendo-a desenergizada durante o estado restaurativo. A metodologia utiliza a lista tabu
para armazenar a troca das seções fontes para cada seção desatendida, e utiliza como critério
de aspiração, a melhoria da função objetivo quando comparada à função objetivo da solução
incumbente. A convergência se dá quando o número máximo de iterações especificado é
atendido ou se o valor da incumbente não muda durante uma determinada quantidade de
iterações. Para validar a metodologia proposta, além dos testes realizados para diferentes
cenários de falta, foram realizados novos testes em que algumas restrições do problema foram
relaxadas em três níveis percentuais diferentes, de modo que os respectivos resultados
37
pudessem ser confrontados. Os testes realizados apresentaram resultados que evidenciam que
o algoritmo desenvolvido é eficiente para não permitir que seções desenergizadas sejam
restabelecidas se elas provocam a violação de restrições do problema, mostrando-se uma
metodologia confiável e eficiente, nesse contexto. A confiabilidade nos resultados e a
eficiência computacional em termos de tempo de processamento foram atribuídas pelos
autores à codificação adotada.
Em Garcia (2005), a reenergização também se dá a partir de fontes que permaneceram
energizadas (permaneceram na área clara) e que possuem ligação (fronteira) com a área
desatendida (área escura). Assim, inicialmente é realizado um pré-processamento que
identifica estas regiões e é executado um algoritmo de fluxo de carga que fornece informações
sobre os fluxos e sobre a capacidade de reserva dos alimentadores de suporte. A representação
da rede elétrica foi simplificada de modo a reduzir os nós e ramos do grafo que representa a
rede: formaram-se blocos de carga que reúnem nós consumidores sem possibilidade de
secionamento entre si, ou seja, blocos cuja estrutura de ligação de seus nós internos não é
passível de alteração. Portanto, estes nós internos e os seus ramos de ligação são
desconsiderados como nós e ramos no grafo resultante, no entanto, para os cálculos do fluxo
de carga na rede, considera-se a rede completa, sem as simplificações realizadas. O conceito
de bloco de carga é o mesmo conceito de seção e de zona de carga usados em outros trabalhos
(TOUNE et al., 2002; SEDANO, 2005; MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al.,
2012). Abaixo, a Figura 1 exemplifica o conceito de blocos de carga: na Figura 1(a) consta a
configuração original da rede e a Figura 1(b) ilustra a simplificação de três blocos de carga
realizada nesta rede. Na realidade, este é um exemplo muito simples, pois as redes elétricas
geralmente assumem uma estrutura muito mais complexa.
Figura 1 – Exemplo de simplificação de uma rede por blocos de carga
Fonte: Garcia (2005).
1
2
3
1
2
3
(a) Rede original (b) Rede resultante
38
A proposta de restauração em Garcia (2005) é multiobjetiva e recebe enfoque
multiobjetivo: tem o interesse de minimizar a potência não fornecida e minimizar o número
de chaveamentos na rede, de modo que a intervenção modifique minimamente a topologia
original. Dois algoritmos heurísticos multiobjetivos resolvem o problema de restauração,
baseados no conceito de dominância de Pareto: o primeiro algoritmo é destinado a gerar
soluções factíveis e o segundo algoritmo é responsável pela busca em vizinhança. O primeiro
algoritmo é construtivo (baseado em árvores geradoras mínimas) e gera um conjunto de
soluções factíveis, sendo que apenas as soluções não-dominadas são mantidas. Estas soluções
passam, então, pela fase de melhoria local através do segundo algoritmo heurístico. A busca
em vizinhança considera apenas soluções factíveis e utiliza dois algoritmos distintos: cada um
considerando um critério objetivo e um modo diferente de percorrer a árvore, garantindo,
assim, maior diversidade de soluções. Na busca local com critério multiobjetivo, escolhem-se
todas as soluções vizinhas não-dominadas para serem avaliadas e aquelas que são não-
dominadas em relação a um conjunto melhorado de soluções não-dominadas são incluídas
neste conjunto, formando a nova aproximação da fronteira ótima de Pareto. A busca em
vizinhança considera iterativamente este conjunto melhorado. No entanto, para tornar o
processo de resolução menos oneroso, a busca ocorre a partir de um subconjunto com
soluções representativas do conjunto total, após uma redução por agrupamento. Até o final do
processo de resolução, são mantidas todas as soluções não-dominadas encontradas desde a
solução inicial. A diversidade destas soluções é ideal para representar melhor o espaço
multiobjetivo. O trabalho apresenta duas meta-heurísticas para o problema: uma Busca Tabu e
um Algoritmo Evolutivo. Elas guiam o processo de solução utilizando a codificação e as duas
heurísticas anteriormente apresentadas, cada qual a partir dos seus próprios mecanismos de
seleção, gerenciamento da busca em vizinhança, parâmetros de controle, avaliação das
funções objetivo ou funções de adaptação, e convergência, utilizando o critério de otimização
de Pareto. No entanto, as duas meta-heurísticas geralmente não podem cumprir totalmente
com este critério, principalmente na obtenção de soluções vizinhas: pelos processos de
recombinação e mutação e pelos parâmetros da lista tabu e do critério de aspiração.
Especialmente estes procedimentos permitem a ocorrência ou a aceitação de soluções
dominadas, com a intenção de, em iterações futuras, chegar a soluções não-dominadas com
maior diversidade e qualidade. Em razão da utilização do conceito de otimização de Pareto,
são propostos vários planos de restauração para o restabelecimento do sistema. Os planos
elaborados definem o estado final das chaves. As metodologias foram testadas separadamente
para cinco diferentes redes de distribuição de portes variados e o desempenho delas é
39
comparado quanto à eficiência alcançada e ao tempo computacional requerido, tendo sido
definidos alguns requisitos básicos que permitem uma comparação coerente. A Busca Tabu
ficou melhor qualificada que o Algoritmo Evolutivo.
Toune, Fudo, Genji, Fukuyama e Nakanishi (2002) também analisaram e compararam
a eficiência de algumas meta-heurísticas: Busca Tabu (TS), Busca Tabu Reativa (RTS),
Algoritmo Genético (AG) e Simulated Annealing com processamento paralelo (PSA),
aplicadas ao problema de restauração. As particularidades das formulações de cada uma delas
foram detalhadamente apresentadas. Para efetivar as comparações, alguns procedimentos
foram parametrizados: (a) foi assumida uma única codificação para as variáveis de estado do
problema, a qual permitiu uma eficiente manipulação pelas diferentes meta-heurísticas e um
ótimo desempenho computacional; (b) um mesmo método foi utilizado para gerar a
configuração inicial; (c) em função de (a), foi possível implementar o mesmo critério para a
geração de soluções vizinhas, baseado no operador de mutação do AG. E foram realizadas
comparações qualitativas e quantitativas, quanto: (d) à capacidade das meta-heurísticas de
realizar busca local e busca global; (e) ao tempo computacional para avaliar soluções
vizinhas; (f) à busca efetiva por soluções de qualidade; (g) à qualidade dos valores obtidos
para a função objetivo formulada. A meta-heurística RTS apresentou melhor eficiência: tanto
para gerar melhores resultados, quanto para avaliar as propostas de solução com tempo rápido
de processamento. Adicionalmente, os autores manifestaram interesse em utilizar técnicas de
sistemas especialistas ao bom desempenho da meta-heurística RTS para serem utilizadas em
situações particulares do problema de restauração.
O critério em (a) possibilita que soluções de qualidade sejam obtidas, uma vez que a
qualidade está diretamente relacionada à capacidade das meta-heurísticas de diversificação e
intensificação pelo espaço de busca do problema. Assim, é primordial que a codificação
permita a representatividade necessária e a correta avaliação das propostas de solução. Em
(b), a formulação da solução inicial é proposta por meio de regras que guiam a busca inicial
para um ponto subótimo, possivelmente tornando a convergência mais rápida. É ideal que
todas as meta-heurísticas avaliadas partam de uma solução inicial de mesma qualidade (já que
o objetivo do trabalho é compará-las). Em (d), a capacidade de realizar uma busca global,
facilmente idealizada por um AG através do seu operador de recombinação, não é
necessariamente interessante para o problema de restauração, pois pode caracterizar drásticas
operações de chaveamento e a consequente necessidade de considerar diferentes
alimentadores para o cálculo do fluxo de carga, onerando o tempo de processamento e de
40
obtenção do plano de restauração. O ponto (e) está relacionado ao desempenho das diferentes
técnicas que cada meta-heurística utiliza na fase de melhoria local, para passar de uma
solução para outra, ainda que o mesmo critério de vizinhança tenha sido adotado. Por
exemplo, tanto o AG quanto o TS precisam avaliar um conjunto de soluções, sob condições
diferentes e dependentes dos parâmetros adotados. A comparação quanto à (f) qualifica as
características mencionadas em (a): se as configurações encontradas permitem adequada
seletividade e diversidade em suas composições. O ponto (g) se refere à minimização do
desbalanço de carga entre os alimentadores vizinhos do alimentador sob falta permanente e à
maximização da tensão mínima da rede (para maximização do número de cargas restauradas)
sob enfoque mono-objetivo por meio de somas ponderadas.
Em Mathias Neto (2011), o algoritmo proposto para a restauração de sistemas de
distribuição considera a geração distribuída e está baseado na meta-heurística GRASP (Greed
Randomized Adaptative Search Procedure). A metodologia propõe minimizar o número de
consumidores (organizados em seções) sem fornecimento de energia elétrica e minimizar o
número de chaveamentos, também considerando simbolicamente o custo de operação das
chaves, como abordado anteriormente. O problema tem enfoque multi-objetivo e foi
otimizado utilizando a técnica de fronteira ótima de Pareto. O GRASP possui duas fases: uma
de construção e outra de melhoria local. A fase de construção do algoritmo consiste em
compor iterativamente uma solução inicial factível para o problema. É possível inicializar a
solução do problema a partir de diferentes composições, representativas de diferentes regiões
do espaço de busca. A fase de melhoria local objetiva aperfeiçoar a solução inicial construída
na fase anterior. Assim, a metodologia desenvolvida propõe para a fase inicial apenas o
primeiro objetivo formulado. O segundo objetivo formulado é considerado na fase de
melhoria local. A fase de construção é iniciada pelo algoritmo assim que a seção atingida pela
falta é indicada. O procedimento é isolar a seção sob defeito com a abertura das chaves
adjacentes e listar as chaves candidatas a religar as seções fora do serviço. Se houver
disponibilidade de chaves secionadoras, as seções desenergizadas poderão competir pelo seu
restabelecimento se aprovadas por dois testes baseados em restrições do problema. Como o
trabalho considera a geração distribuída, os geradores dispersos também podem participar do
processo de restauração como fonte de energia, caso aprovados em dois outros testes. Os
geradores distribuídos podem operar de várias maneiras: desligados (se eles não cumprem
com requisitos operacionais); conectados à rede (caso contrário), contribuindo juntamente
com a subestação para o fornecimento de energia elétrica; ilhados ou em microrrede, se um ou
41
mais geradores forem capazes de atender à demanda de seções vizinhas, operando separados
da parcela da rede atendida pela subestação. Todos os testes realizados na fase construtiva do
GRASP buscam descartar as seções que causariam sobrecargas no sistema caso sejam
restauradas. As seções desenergizadas aptas são então ordenadas de acordo com o respectivo
número de consumidores, no qual está baseada a função de mérito, assim, a solução inicial vai
sendo iterativamente composta pela escolha aleatória destas seções. Dessa forma, a fase
construtiva deve compor soluções que imediatamente satisfazem algumas restrições físicas e
operacionais do sistema de distribuição. Por isso e pelo fator de gula do algoritmo, as
soluções iniciais costumam ser de qualidade. Se não houver possibilidade de restabelecimento
por não ser possível compor soluções factíveis, então o procedimento a ser adotado consiste
tão somente em isolar a parcela defeituosa do sistema: o sistema permanecerá operando com a
configuração inicial de falta, com a falta isolada. Por outro lado, se durante a fase de
construção do GRASP, o sistema foi completamente restabelecido, com exceção da parcela
defeituosa, então não é necessário realizar a busca local. A estrutura de vizinhança adotada
consiste na troca de estado entre dois dispositivos de manobra, desde que nenhuma seção que
se manteve energizada após a falta seja desenergizada com a abertura da chave de ligação
com sua fonte. Assim, é encontrado um conjunto de soluções vizinhas e as melhores soluções
factíveis são mantidas e aquelas não dominadas passam a formar o conjunto de soluções da
fronteira de Pareto. Este conjunto é de tamanho variável ao longo das iterações e a qualidade
das soluções geradas é diretamente influenciada pela solução inicial encontrada na fase de
construção. Sendo assim, a fronteira de Pareto não evolui necessariamente melhorando a cada
iteração. O critério de parada considera se foi esgotado o número máximo de iterações ou se
esgotado o tempo limite de processamento do algoritmo. O algoritmo GRASP, ao final do
processo, apresenta o conjunto de soluções ótimas como propostas de planos de restauração e
também as características operacionais de cada proposta. Para validação do método, o
trabalho apresenta vários testes realizados em um alimentador de um sistema de distribuição
de grande porte. Um dos testes considerou a restauração de forma tradicional,
desconsiderando a geração distribuída, para avaliar se a metodologia é eficiente para os dois
casos. Outro teste considerou consumidores preferenciais na função objetivo. Os testes
realizados confirmaram a robustez da metodologia e um ótimo desempenho computacional
(ao apresentar conjuntos de soluções de boa qualidade com poucas iterações ou pelo pouco
tempo de processamento definido no trabalho).
42
Até Pham, Bésanger e Hadjsaid (2009), os trabalhos na literatura especializada
consideravam os geradores distribuídos apenas como fontes complementares de fornecimento
e outros debatiam os impactos positivos e negativos da inserção dessas fontes no sistema de
distribuição, sem propostas para o problema de restauração. Esses trabalhos abordaram
questões como redução de perdas, aumento da confiabilidade operacional da rede,
necessidade de reprojetar o sistema de proteção, custos das tecnologias, entre outros aspectos
técnicos e operacionais relacionados à inserção destes geradores e quanto à própria geração
(ACKERMANN et al. 2001; ACKERMANN et al., 2002; CHIRADEJA et al., 2004; DIAS et
al., 2005; OCHOA et al., 2006; GOMEZ; MORCOS, 2008). Para o planejamento operacional
da rede elétrica com geração distribuída, todos os seus efeitos precisam ser considerados,
especialmente para os corretos investimentos na rede de distribuição e para a utilização ampla
e segura desses geradores. As redes inteligentes, smart grids, podem aumentar o potencial da
geração distribuída nos sistemas de distribuição, principalmente quanto à segurança do
sistema, pois elas contribuem para o controle e possibilitam melhor coordenação do sistema
de proteção. No entanto, são altos os investimentos necessários em equipamentos que
permitem o controle remoto e inteligente da rede. Considerando as características da rede de
distribuição no contexto atual (especialmente no Brasil), sobretudo quanto à radialidade, estes
investimentos na infraestrura são requeridos (CAMPITELLI, 2007; PHAM et al., 2009;
SILVA et al., 2010; LEÃO, 2011; MATHIAS NETO, 2011).
Em Pham, Bésanger e Hadjsaid (2009), a proposta de restauração do serviço está no
contexto das smart grids e consiste em usar amplamente o potencial da geração distribuída
com grande presença no sistema elétrico, especialmente diante de faltas permanentes de
grande proporção. O objetivo é explorar a presença dos geradores como suporte adicional em
casos de interrupções mais críticas e, assim, acelerar o processo de restauração e aumentar o
número de cargas restauradas. A agilidade e a eficiência da metodologia para o plano de
restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica estão baseadas – no contexto das
smart grids – na capacidade tecnológica da rede elétrica e de interligação dos geradores
distribuídos, possibilitando que ocorra o plano de restauração a nível de distribuição
simultaneamente ao plano a nível de transmissão. A metodologia propõe a ocorrência de um
grande número de ilhamentos intencionais, permitindo paralelamente a restauração de muitas
áreas em diferentes condições de carregamento, ampliando consideravelmente o êxito da
restauração. A metodologia também estabelece a sequência ótima de chaveamento, a partir de
uma adaptação do algoritmo branch and bound. O método de pesquisa na árvore é a busca em
43
profundidade e a estratégia de ramificação consiste em fechar ou não uma chave em cada
nível, de acordo com a prioridade da carga e os limites operacionais dos geradores. Ao final
do processo de ramificação, o conjunto de soluções com as possíveis sequências de
chaveamento é obtido e as soluções são classificadas conforme o volume de carga restaurada
e o número de chaves de interconexão normalmente abertas. As propostas apresentadas são
validadas por meio do cálculo de fluxo de carga. O êxito da metodologia incentiva à inserção
dos geradores distribuídos nos sistemas de energia.
Lambert-Torres et al. (2009) desenvolveram uma metodologia especializada na
resolução do problema de restauração baseada na metaheurística Particle Swarm Optimization
(PSO), com a seguinte proposta de restauração: minimizar a potência não fornecida e
minimizar o número de chaveamentos necessários para a restauração. A metodologia envolve
o fechamento simbólico de todas as chaves de interconexão normalmente abertas do sistema
de distribuição radial, formando malhas (ou laços). Em cada malha, pelo menos uma chave
deve ser aberta a fim de preservar a topologia radial da rede. Assim, fechando as chaves de
interconexão e recuperando a radialidade pela abertura de pelo menos uma chave secionadora
em cada laço, é proposta a reconfiguração da rede na tentativa de restauração do sistema. Dois
algoritmos resolvem os dois objetivos de restauração e tratam a ocorrência de sobrecargas nas
linhas do sistema. A população é representada por uma matriz onde cada vetor representa uma
solução. O comprimento do vetor de solução no primeiro algoritmo é o número de chaves
normalmente abertas e o comprimento do vetor de solução no segundo algoritmo é o número
de chaves normalmente fechadas. Para a verificação de sobrecargas nas linhas do sistema, um
algoritmo de fluxo de carga é executado, desconsiderando as perdas de energia. O primeiro
algoritmo proposto define os nós energizados e apenas verifica se há sobrecargas. O segundo
algoritmo é executado apenas quando o primeiro produz apenas soluções com sobrecargas. O
objetivo do segundo algoritmo é tentar iterativamente remover as sobrecargas através da
abertura de chaves normalmente fechadas. A meta-heurística PSO também foi utilizada por
Tian et al. (2009) para minimizar a potência não fornecida e minimizar as perdas nas linhas,
sob enfoque mono-objetivo.
Outros trabalhos baseados em meta-heurísticas para restauração do sistema de
distribuição podem ser destacados. Watanabe e Nodu (2004) usaram o Algoritmo Genético
(AG) também para minimizar a energia não fornecida. O método proposto é composto por
duas fases: a primeira fase gera um conjunto de configurações com topologia radial e a
segunda fase define a sequência ótima de chaveamento que minimiza a função objetivo para
44
cada configuração e retorna o valor fitness. Todas as manipulações do algoritmo produzem
configurações factíveis (na inicialização e após os operadores genéticos de recombinação e
mutação). A população inicial é gerada pelo algoritmo de Kruskal. O operador de
recombinação gera descendentes recombinando a codificação genética dos pais (preservando
as arestas construídas pela árvore geradora mínima na população anterior) e o operador de
mutação faz pequenas alterações, trocando aleatoriamente um ramo por outro. A proposta é
muito prática e eficiente e, por isso, gera boas soluções que contribuem para melhorar a
confiabilidade do sistema durante o período restaurativo. A mesma ênfase dada ao problema
de restauração nesta metodologia foi dada por Watanabe (2005) com a utilização da meta-
heurística Colônia de Formigas (Ant Colony Optimization - ACO): no entanto, a estratégia
utilizada para definir a sequência ótima de chaveamento que minimiza a energia não fornecida
foi baseada no método hyper-cube framework (HC-ACO) (BLUM et al., 2001).
Kumar, Das e Sharma (2006) e Fukuyama e Chiang (1995) também desenvolveram
metodologias para restauração do serviço em sistemas de distribuição de energia a partir de
Algoritmos Genéticos. Ambas as metodologias desenvolveram mecanismos que aceleram o
processo de restauração, a partir de características do problema e da própria meta-heurística,
respectivamente. O primeiro trabalho mencionado utiliza a versão convencional do AG e
resolve o problema na ocorrência de faltas simples e múltiplas na rede, considerando
consumidores prioritários e penalização na função fitness se houver violação de restrições de
tensão e corrente. A formulação do problema minimiza a área desatendida, minimiza o
número de operações de chaveamento (considera separadamente as chaves controladas
remotamente e as chaves controladas manualmente) e minimiza as perdas nas linhas. A
função fitness é definida como a soma ponderada de todos os termos. A importância de
priorizar a restauração por meio de chaves controladas remotamente é a redução do tempo
necessário para o restabelecimento do sistema. No segundo trabalho mencionado, os autores
desenvolveram uma versão do AG com processamento paralelo, aproveitando as
características intrínsecas desta meta-heurística quanto à capacidade de realizar busca global e
quanto à aptidão ao processamento distribuído. Outras adaptações foram implementadas nos
operadores genéticos, baseadas nas características do problema. Dessa forma, a eficiência do
método é consideravelmente maior. A formulação da função objetivo é minimizar a área
desatendida, equilibrando a restauração das cargas entre os alimentadores de suporte com
capacidade de reserva.
45
O Algoritmo Genético é baseado na evolução natural de uma determinada população.
Nele, a evolução ocorre através dos operadores genéticos de recombinação (crossover) e
mutação, que imitam os processos reprodutivos na população e a sua interação com o meio
ambiente. Nessas circunstâncias, os indivíduos mais fortes e mais adaptados são os que têm
maiores chances de sobrevivência e de gerar novos descendentes. Portanto, as melhores
soluções encontradas são preservadas nas novas configurações geradas, pois os descendentes
carregam subestruturas (informações genéticas) de seus pais. A informação genética de cada
indivíduo é representada por uma string (vetor) chamada cromossomo. Assim, a informação
genética de toda a população forma uma matriz. O AG manipula essas informações para gerar
novos descendentes e uma nova geração de indivíduos melhor adaptados. A configuração
deve permitir que a função de adaptação ou função fitness de cada indivíduo possa ser
corretamente avaliada, uma vez que a seleção para a reprodução normalmente está baseada na
qualidade dessa adaptação.
Matos e Melo (1999) desenvolveram uma aplicação da meta-heurística Simulated
Annealing (SA) para resolver os problemas de reconfiguração e de restauração de sistemas de
distribuição. O mesmo procedimento básico foi adotado na metodologia para resolver os dois
problemas, visto que ambos compartilham as mesmas bases. No entanto, a função objetivo
deve ser diferenciada para atender devidamente os propósitos essenciais de cada problema. A
formulação para o planejamento da reconfiguração geralmente envolve a minimização de
perdas de potência ativa e a formulação para o problema de restauração geralmente envolve a
minimização da potência não fornecida e a minimização do número de operações de
chaveamento. São estas as propostas normalmente trabalhadas e essencialmente consolidadas
na literatura especializada. Os dois objetivos mencionados para o problema de restauração
foram os objetivos formulados pelos autores e, como são objetivos conflitantes, os autores
utilizaram uma abordagem multiobjetiva para a otimização do problema. A metodologia
apresenta como propostas de solução um conjunto de soluções não-dominadas, onde se fez
notar uma relação quase direta entre maior número de operações de chaveamento e menor
energia não suprida. Segundo os autores, o critério multiobjetivo também pode ser utilizado
para o problema de reconfiguração, onde além da minimização das perdas nas linhas, podem
ser considerados os limites de queda de tensão e a realização do balanço de carga.
Além dos trabalhos revisados nesta seção, muitos outros trabalhos baseados nestas e
em outras meta-heurísticas estão propostos na literatura para a otimização do problema de
restauração do fornecimento de energia elétrica.
46
1.2.3 Redes Neurais Artificiais
Redes neurais artificiais (RNA) podem ser usadas para elaboração de planos de
restabelecimento do sistema elétrico em tempo real. Sendo assim, podem superar a principal
deficiência observada nas demais metodologias heurísticas revisadas nas seções anteriores e
comumente empregadas para solucionar o problema de restauração: a necessidade de impor
certas limitações ou simplificações ao processo de resolução a fim de melhorar o tempo de
processamento computacional. Por exemplo, algumas metodologias procuram reduzir o tempo
de processamento computacional através da simplificação de cálculos relacionados à rede
elétrica e outras formulam critérios alternativos de interrupção algorítmica para obtenção de
soluções em tempo adequado ao problema. Neste último caso, o processo de solução é
interrompido e são apresentadas as propostas de solução correntes, com função objetivo
possivelmente não otimizada ou pouco melhorada. No entanto, redes neurais artificiais
possuem a capacidade de atender ao requisito operacional de propor soluções de boa
qualidade em tempo real porque são ferramentas para operação em tempo real, treinadas a
encontrar soluções de qualidade numa fase pré-operacional. Por razões econômicas e sociais,
é ideal que as metodologias empregadas para resolver o problema de restauração do
fornecimento de energia elétrica atendam ao quesito de urgência do problema.
Redes neurais artificiais são ferramentas apropriadas para reproduzir o comportamento
do sistema que buscam representar. No entanto, faz-se necessário elaborar um projeto que
possa cumprir adequadamente este propósito. Os procedimentos básicos são: apropriar-se de
informações disponíveis sobre o problema em questão, escolher a arquitetura que o
representará de forma mais eficiente, escolher a topologia que possibilitará o aprendizado
satisfatório da rede neural artificial e conduzir adequadamente o processo de treinamento da
rede neural. Como os demais métodos heurísticos, as RNA dispensam as formulações
matemáticas que descrevem os processos de solução e mecanismos alternativos podem fazê-
las superar muitas possíveis limitações de convergência (aprendizado).
Nesta seção são revisados alguns trabalhos que resolvem o problema de restauração
através de redes neurais artificiais. São poucas as implementações de arquiteturas neurais
artificiais encontradas na literatura para este propósito. Dentre elas, estão propostas
metodologias para sistemas de distribuição e outras para a restauração de sistemas de
47
transmissão. Não há significativamente pesquisas nessa área de aplicação em particular e não
há diversidade quanto às arquiteturas utilizadas. No entanto, as propostas existentes para
resolver o problema são muito interessantes, todas projetadas com o objetivo de superar as
limitações de tempo na obtenção de soluções de boa qualidade. Algumas podem tratar os
dados recebidos diretamente dos sistemas de aquisição de dados e de gerenciamento de
energia (SCADA/EMS), desde que estejam disponíveis, e outras necessitam que o cenário de
falta seja informado. O objetivo essencial desta seção é, portanto, explorar as características,
as limitações e as contribuições dessas implementações neurais. A seguir, são discutidos os
trabalhos que tratam da restauração de sistemas de distribuição e são mencionados os
trabalhos destinados à restauração de sistemas de transmissão.
Hsu e Huang (1995) propuseram duas técnicas baseadas em inteligência artificial para
a elaboração de planos de restauração para o sistema de distribuição: redes neurais artificiais e
o método de reconhecimento de padrões. As metodologias foram testadas em um sistema de
distribuição subterrâneo chinês. Os autores haviam proposto em 1992, juntamente com outros
autores, um algoritmo especialista para a resolução do problema de restauração baseado na
experiência dos operadores desse mesmo sistema elétrico (trabalho revisado na seção 1.2.1).
Os resultados alcançados pelo sistema especialista se mostraram eficientes e relativamente
rápidos, assim como várias outras propostas baseadas nesta mesma técnica. Além dos
sistemas especialistas, muitos outros trabalhos baseados em técnicas da inteligência artificial
estavam sendo desenvolvidos, como as duas técnicas utilizadas pelos autores neste trabalho de
1995. As pesquisas em redes neurais artificiais haviam sido recentemente retomadas com
vigor, logo após os estudos realizados por Hopfield (1982; 1984), Kohonen (1982) e
Rumelhart et al. (1986). Entre as aplicações destinadas a problemas relacionados aos sistemas
de potência, consta na literatura o uso de redes neurais artificiais para o cálculo e a redução de
perdas com e para a reconfiguração de alimentadores do sistema de distribuição (KIM et al.,
1993; KAU; CHO, 1995), para o processamento de alarmes, estimação/detecção de faltas e
avaliação de segurança (CHAN, 1989; TANAKA et al., 1989; KARUNAKARAN;
KARADY, 1991; YANG et al., 1994), para operações de controle em tempo real do
desempenho da rede elétrica (SANTOSO; TAN, 1990) e inúmeras outras aplicações.
Propósitos semelhantes foram projetados com o uso do método de reconhecimento de padrões
(SOBAJIC et al., 1989; CHANG et al., 1990).
Uma vez que o uso destas técnicas baseadas em inteligência artificial eram eficientes
nos seus propósitos destinados, Hsu e Huang (1995) desenvolveram sua metodologia para a
48
restauração do serviço de distribuição de energia elétrica no mesmo sistema que haviam
baseado o trabalho anterior (HSU et al., 1992) para também compararem resultados e
analisarem o desempenho das duas novas abordagens. A abordagem neural apresenta uma
única solução para o problema. Já o método de reconhecimento de padrões é capaz de
apresentar vários planos de restauração factíveis, com diferentes possibilidades e quantidades
de chaveamentos. A fim de simplificar as duas metodologias, representações similares foram
utilizadas para compor os padrões de entrada da RNA e de armazenamento/reconhecimento
do outro método. A arquitetura neural implementada foi a rede Perceptron Multicamadas
(PMC ou MLP, do inglês Multi Layer Perceptron) com o algoritmo convencional de
aprendizagem supervisionada de retropropagação do erro (do inglês back-propagation) e duas
camadas intermediárias. Os sinais de entrada da rede correspondem às cargas dos ramais
laterais da área sem fornecimento e à capacidade de reserva dos alimentadores de suporte. A
formatação dos dados é muito parecida com os procedimentos adotados na heurística
especialista: estas cargas são agrupadas de acordo com a capacidade de restauração dos seus
respectivos alimentadores de suporte laterais, quando eles existem, e de acordo com o cenário
de falta. O alimentador de suporte principal igualmente assume a responsabilidade maior do
restabelecimento do alimentador vizinho em falta. Na abordagem neural, os autores utilizaram
um procedimento interessante e dinâmico para evitar sobrecargas nos alimentadores de
suporte. O procedimento adotado simultaneamente evita o aumento do número de operações
de chaveamento necessárias para o restabelecimento do sistema. Consiste em atribuir um
valor adaptável classificatório ao limiar (threshold), assumindo inicialmente um valor alto,
uma vez que a operação de fechar uma chave de interconexão lateral com um alimentador de
suporte ocorre quando a saída é maior que o limiar adotado (os dados de saída da RNA
correspondem ao estado aberto/fechado das chaves de interconexão normalmente abertas e
assumiu-se valor 1 para indicar o estado fechado). Os valores de todos os parâmetros foram
informados, bem como outros dados de convergência. Os resultados observados foram muito
eficientes para reduzir o período de recomposição do sistema após a falta permanente e
aumentar a confiabilidade do serviço. Portanto, a metodologia baseada nas duas abordagens
propostas mostrou-se adequada para aplicações reais.
Bretas e Phadke (2003) desenvolveram uma rede neural artificial para restauração de
um sistema de transmissão de 162 barras (do IEEE). A proposta foi testar a eficiência da
aplicação de arquiteturas neurais para restauração de sistemas elétricos de maior porte, visto
que outros trabalhos utilizando redes neurais artificiais já haviam sido propostos (inclusive
49
pelos próprios autores) para restauração de pequenos sistemas de distribuição e pequenos
sistemas de transmissão, com resultados satisfatórios e rápidos/instantâneos (HSU; HUANG,
1995; BRETAS; PHADKE, 2001). Os autores utilizaram a rede neural Perceptron
Multicamadas e o algoritmo convencional de aprendizagem back-propagation para a
elaboração de planos de restauração para o sistema sob ampla condição de falta. O esquema
neural foi projetado para restaurar o sistema por ilhas, para uma restauração paralela do
sistema de transmissão. As ilhas são formadas com a abertura de todos os disjuntores. Para
cada ilha há um esquema que propõe o plano de restauração local, através de duas redes
neurais artificiais, responsáveis, cada uma, por um propósito, e através de um programa (SSP
- Switching Sequence Program) que fornece, com auxílio de uma base de dados, a sequência
final de chaveamento dos disjuntores locais para o plano final elaborado pelo esquema de
restauração. Para testar a capacidade de generalização do esquema neural proposto, muitos
cenários de falta foram apresentados. O desempenho computacional em termos de tempo de
processamento foi comparado com o desempenho de um método de busca em largura
(breadth-search) e a implementação neural proposta foi capaz de fornecer um plano de
restauração em um tempo de processamento consideravelmente menor. Todos os cenários de
falta testados tiveram como propostas de solução planos de restauração totalmente factíveis,
confirmados pela execução de um algoritmo de fluxo de carga.
Na literatura especializada, consta que Kiran e Ramulu (2013) apresentaram um
trabalho totalmente baseado na metodologia destes autores, sem acrescentar contribuições. Já
Hassan et al. (2006), apresentaram uma proposta semelhante à dos autores (BRETAS;
PHADKE, 2003), mas com implementação um pouco diferenciada: em vez de duas redes
neurais, apenas uma rede neural foi usada no processo de restauração de cada ilha e o
algoritmo de aprendizagem back-propagation foi implementado com taxa de aprendizagem
variável decrescente. Além disso, o plano de restauração foi empregado em um sistema de
transmissão egípcio e o programa utilizado para realizar o treinamento das redes neurais
também foi diferente nos dois trabalhos. A primeira rede neural é substituída diretamente por
uma posição no vetor de entrada correspondente à segunda rede neural da proposta original. A
primeira RNA tinha como vetor de entrada as cargas da respectiva ilha antes da falta. Não é
possível comparar o tempo de processamento computacional dos dois trabalhos por
incompatibilidade de informações nesse aspecto.
Kumar, Das e Sharma (2011) igualmente propuseram uma rede neural artificial
multicamadas de alimentação direta com retropropagação do erro baseada no algoritmo
50
aprimorado de aprendizagem de Levenberg-Marquardt para dar a solução ao problema de
restauração do sistema de distribuição em tempo real. A proposta é também suprir a
ineficiência de outros métodos rápidos, mas não rápidos o suficiente para aplicações reais em
tempo real. A rede neural foi implementada com apenas uma camada intermediária. Os
padrões de treinamento e de teste correspondem às cargas ativas e reativas de cada barra do
sistema de distribuição organizadas em zonas de carga (no mesmo contexto de blocos ou
seções de carga apresentado na seção 1.2.2), cujas variações de carregamento foram geradas
aleatoriamente. Para cada padrão de carregamento é assumida uma falta aleatória. Logo, os
dados de entrada da rede neural são estes padrões juntamente com a respectiva informação da
região (zona) em falta. Os padrões de saída são obtidos a partir da resolução do problema de
restauração por meio de uma técnica evolutiva (um Algoritmo Genético) que fornece o estado
de chaveamento da rede de distribuição. O desempenho da metodologia proposta foi testado
também com dados de entrada ruidosos. Dois índices percentuais foram criados para avaliar o
desempenho da rede neural proposta: eles indicam a porcentagem de respostas erradas e o
quanto percentualmente elas estão erradas (pela incompatibilidade do estado das chaves em
comparação com a resposta ideal). Os parâmetros utilizados nos processos de treinamento da
RNA foram obtidos por tentativa e erro até a obtenção de resultados satisfatórios. O tempo
computacional para elaboração do plano de restauração pela rede neural artificial foi
imensamente vantajoso comparado ao método otimizador utilizado para fornecer os padrões
de saída desejados. Por fim, pelos resultados apresentados, concluiu-se que quanto maior a
dimensão dos padrões de entrada e saída da RNA, em concordância com a dimensão do
sistema de distribuição de energia elétrica, maiores são as possibilidades de erro nas respostas
calculadas (ainda assim, os resultados são altamente promissores) e os erros aumentam se são
apresentados dados ruidosos à RNA tendo sido eles desconsiderados na fase de treinamento.
Finalmente, constatou-se que existem algumas vantagens em se utilizar redes neurais
artificiais na resolução do problema de restauração. A principal vantagem é a elaboração de
planos de restauração em tempo real, sendo que a confiabilidade destes planos está sujeita à
prévia implementação adequada da rede neural, à correta calibração de seus parâmetros e à
boa representatividade dos padrões de treinamento e de teste. Adicionalmente, quando
metodologias empregadas à resolução do problema de restauração baseadas em redes neurais
artificiais operam conjuntamente com as metodologias rápidas e eficientes utilizadas para
diagnóstico e detecção/localização de faltas na rede elétrica, elas possibilitam a proposta de
restauração totalmente automatizada para aplicações em tempo real, contribuindo para tornar
51
extremamente menor o período de interrupção do serviço de fornecimento de energia elétrica
aos consumidores. Desta forma, o êxito do processo de restauração do serviço é ampliado.
Neste cenário, as novas tecnologias e os novos paradigmas operacionais sobre o sistema
elétrico devem contribuir poderosamente para este tipo de resolução e automação.
1.3 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES
Este trabalho tem o objetivo de contribuir com o desenvolvimento de modelos
matemáticos para a otimização do problema de restauração de sistemas de distribuição de
energia elétrica, levando em conta a operação radial destes sistemas. A proposta é encontrar
soluções exatas para o problema pelas técnicas de otimização clássica, proposta que é
facilitada pela disponibilidade de solucionadores comerciais eficientes. A contribuição é
evidente, uma vez que ainda não há na literatura especializada propostas de modelagem
matemática para esta finalidade (resolver de forma exata o problema de restauração de
sistemas de distribuição radiais exclusivamente por meio de modelos matemáticos). O
trabalho contribui com uma formulação simplificada e com uma formulação completa do
problema de restauração e também com diferentes funções objetivo com propostas muito
consolidadas na literatura e nos próprios centros de controle operativo de sistemas de
distribuição. Adicionalmente, pela resolução exata do problema de restauração, é possível
avaliar a qualidade das soluções encontradas por métodos heurísticos, servindo como
parâmetro de qualidade.
Obviamente, o trabalho não está esgotado, esta é uma contribuição inicial, visto que
muitas outras estratégias podem ser elaboradas, principalmente buscando o atendimento ao
quesito de tempo de processamento computacional adequado às características do problema
de restauração do serviço.
1.4 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS
Esta seção descreve a estrutura do trabalho e faz uma revisão sobre os principais
assuntos tratados em cada capítulo. O trabalho está organizado em cinco capítulos e
estruturado da seguinte forma:
52
O Capítulo 1 aborda os aspectos fundamentais do trabalho e apresenta a revisão da
literatura especializada, onde diferentes técnicas e estratégias de restauração são discutidas.
Com isso, o problema de restauração é abordado de forma bastante contextualizada. Os
métodos heurísticos são as técnicas mais predominantes para a solução do problema de
restauração. Assim, a revisão bibliográfica está baseada nestes métodos: algoritmos
heurísticos, sistemas especialistas, meta-heurísticas e redes neurais artificiais. As técnicas
empregadas são analisadas quanto ao desempenho computacional observado, quanto à
eficiência na obtenção dos resultados, quanto às contribuições dadas e quanto às limitações
inerentes a cada uma. O capítulo apresenta também os objetivos e as contribuições do
presente trabalho de pesquisa, cuja proposta é apresentar formulações matemáticas para
resolução exata do problema de restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em
redes de distribuição radiais.
O Capítulo 2 é dedicado ao problema de restauração de redes de distribuição de
energia elétrica radiais. Portanto, discorre sobre a estrutura e a operação do sistema de
distribuição, considerando também aspectos relacionados à presença de geração distribuída, e
aborda questões fundamentais sobre o problema: características essenciais, procedimentos
comumente adotados nos centros de controle da distribuição, formulações matemáticas
utilizadas para representar o problema e algumas considerações sobre um algoritmo para
cálculo de fluxo de carga radial, normalmente utilizado para validar as propostas de
restauração elaboradas por algumas técnicas heurísticas. O capítulo discute e exemplifica os
principais objetivos de interesse considerados na literatura para a resolução do problema de
restauração, bem como os objetivos considerados secundários; e igualmente discute e
exemplifica as restrições físicas e operacionais da rede de distribuição que respaldam a
qualidade do fornecimento de energia elétrica e a segurança e a confiabilidade operacional da
rede.
O Capítulo 3 apresenta modelagens matemáticas para a proposta de restauração de
Morelato e Monticelli (1989), cujo problema formulado é de programação não linear inteira
mista (PNLIM), sendo que a não linearidade está presente apenas na função objetivo; e cuja
formulação é originalmente relaxada, ou seja, a proposta original desconsidera algumas das
restrições fundamentais do problema. Portanto, os modelos matemáticos propostos neste
capítulo, baseados na proposta de restauração de Morelato e Monticelli (1989), são
simplificados. As soluções encontradas por estes modelos simplificados são exatas. O
objetivo do capítulo é apresentar formulações matemáticas para a proposta original de
53
Morelato-Monticelli e, principalmente, explorar formulações matemáticas alternativas que
facilitem a resolução do problema pelos métodos exatos de otimização. Basicamente, a função
objetivo originalmente formulada sofre alterações matemáticas. Inicialmente, a função
objetivo é trivialmente modificada de modo a tornar o problema original em um problema de
programação quadrática inteira mista (PQIM) e é também modificada de modo a eliminar a
sua não linearidade (o problema original é linearizado), tornando o problema como de
programação linear inteira mista (PLIM). Por último, a função objetivo original é substituída
por outra proposta de restauração: por uma função objetivo que minimiza o número de
chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema. São realizados testes para
todas as formulações e os resultados são apresentados, comparados e discutidos também neste
capítulo.
O Capítulo 4 apresenta um modelo matemático completo para o problema de
restauração de sistemas de distribuição, onde são consideradas todas as restrições
fundamentais relacionadas aos requisitos físicos e operacionais do sistema elétrico de
distribuição, inclusive a restrição de radialidade. O modelo é formulado com possibilidade de
corte de carga para seções que causariam violação de restrições do problema caso fossem
restauradas e cujo objetivo é minimizar este corte de carga, realizando o menor número
possível de operações de chaveamento. O problema tem enfoque mono-objetivo. Para testar a
consistência deste modelo matemático completo proposto com estes objetivos, foram
realizadas simulações para o sistema elétrico apresentado em Pereira Junior et al. (2012),
cujos testes compreenderam os mesmos cenários de falta apresentados por estes autores.
Desta forma, os resultados são comparados e discutidos em vários aspectos e são também
apresentados neste capítulo.
O Capítulo 5 faz as considerações finais sobre o trabalho e dá perspectivas quanto a
trabalhos futuros.
Ao final, apresenta-se o referencial bibliográfico que suporta este trabalho.
54
2 RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO RADIAIS
Este capítulo tem o objetivo de discorrer sobre a estrutura e a operação de sistemas de
distribuição de energia elétrica radiais. O capítulo considera as redes tradicionais e redes com
presença de geração distribuída, aborda os principais aspectos teóricos que consolidam a
compreensão do problema de restauração do serviço e também apresenta um algoritmo para o
cálculo do fluxo de carga (normalmente utilizado pelas técnicas heurísticas para validar as
soluções propostas, sobretudo, em termos de factibilidade). Algumas formulações
matemáticas apresentadas em trabalhos que propõem metodologias heurísticas para resolução
do problema de restauração são também apresentadas e discutidas neste capítulo. Estas
formulações são inseridas nestes trabalhos principalmente para representar objetivos e
condições considerados para a resolução do problema: elas não são necessariamente utilizadas
no processo de resolução, de fato, por se apresentarem incompletas ou por serem substituídas
por estratégias heurísticas que dispensam o formalismo matemático. Propostas de modelagem
matemática para resolução exata do problema de restauração são apresentadas no presente
trabalho de pesquisa, nos capítulos 3 e 4.
2.1 O SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
O sistema elétrico de potência é segmentado pela geração, transmissão e distribuição
de energia elétrica. A geração ocorre nas centrais geradoras a partir de diferentes fontes
naturais, renováveis ou não. As grandes centrais (hidrelétrica, termoelétrica, nuclear, eólica,
solar, etc.) estão localizadas onde há maior disponibilidade dos recursos naturais ou em locais
que apresentam melhores condições geográficas e climáticas para a geração, operação e
controle operacional. Isto justifica a habitual distância entre os pontos de geração e consumo.
Cada fonte de geração possui um custo e exerce um impacto ambiental, em menor ou maior
escala. Da geração de energia elétrica até sua transmissão ao consumidor, muitas técnicas
foram necessariamente desenvolvidas, dominadas e são gradativamente aperfeiçoadas para
garantir que a operação do sistema seja confiável e manipulável de forma segura e
coordenada.
Para facilitar o transporte, logo após ser gerada, a energia passa por uma subestação
elevadora, que tem a finalidade de elevar a tensão por meio de seus transformadores. Assim, a
55
energia elétrica segue pela rede de transmissão e subtransmissão, passando por subestações
rebaixadoras, cuja finalidade é rebaixar a tensão para níveis intermediários, mais adequados
para atender grandes consumidores. Após a subestação de distribuição, nos pontos de entrega
da eletricidade, existem outros transformadores menores e apropriados para os tipos de
demanda, os quais rebaixam a tensão para níveis ainda menores. Assim, a rede de distribuição
corresponde ao sistema elétrico a partir da subestação de distribuição, incluindo-a, e é
composta pelo segmento primário de média tensão (do barramento da subestação até os
transformadores de distribuição) e pelo segmento secundário de baixa tensão (a partir dos
transformadores de distribuição). Os níveis de tensão são regulamentados por legislação.
A Figura 2 apresenta um diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência e
ilustra o segmento que corresponde ao sistema de distribuição.
Figura 2 - Diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência
Fonte: Adaptado de Pabla (2005).
Os sistemas aéreos de distribuição normalmente operam com topologia radial. O
propósito da configuração radial dos sistemas aéreos de distribuição é facilitar a operação
segura da rede, a partir da atuação de dispositivos de proteção e da alteração de dispositivos
de manobra. A operação radial favorece a coordenação e atenuação de correntes de curto-
circuito e favorece o isolamento de faltas. Adicionalmente, os dispositivos de proteção para
redes que operam radialmente demandam menor sofisticação tecnológica, por isso podem ser
mais elementares e tornar o investimento em proteção menos caro. Quanto aos dispositivos de
Linha de Transmissão
Subestação
Linha de Subtransmissão
Subestação de Distribuição
Sistema de Distribuição
Transformador de Distribuição
Consumidores
Subestação de Geração área A
Subestação de Geração área B
Grandes Consumidores
Grandes Consumidores
Alimentador Primário
Alimentador Secundário
Geração Própria
56
manobra, eles devem ser estrategicamente localizados para permitir a alteração da topologia
da rede mantendo a radialidade. A possibilidade de reconfiguração topológica pode permitir:
melhorar o desempenho da rede, ao possibilitar a realização de balanceamento de carga e a
redução de perdas elétricas nos alimentadores; melhorar a qualidade do produto fornecido, por
meio da possibilidade de adequar ou melhorar o perfil de tensão fornecido aos consumidores;
e, quando possível, aumentar os níveis de confiabilidade do atendimento, ao suprir o
fornecimento de energia elétrica a regiões desatendidas em casos de interrupções permanentes
do serviço, isolando faltas e restaurando o serviço (MONTICELLI, 1983; MANTOVANI et
al., 2000). As manobras podem também ocorrer por necessidade de manutenções preventivas
de rotina ou para obras de expansão do sistema e, nestes casos, a interrupção do fornecimento
se dá por intervenção direta do operador do sistema. A alteração da topologia é possível se a
rede de distribuição é estruturalmente projetada de forma fracamente malhada, permitindo que
haja circuitos de alimentadores alternativos, sendo esta a estrutura comum de redes aéreas de
distribuição. Assim, relativamente simplificadas a operação e a proteção das redes elétricas, é
possível diminuir custos com equipamentos em geral, inclusive ampliando a vida útil deles.
A topologia radial da rede elétrica de distribuição é equivalente a uma topologia em
árvore, da teoria de grafos. Assim, na operação do sistema radial, os circuitos que estão
energizados correspondem aos ramos da árvore (representando chaves secionadoras
normalmente fechadas) e aqueles que estão desenergizados correspondem aos ramos de
ligação (representando chaves de interconexão normalmente abertas), como mostra a Figura
3. Cada seção ou barra corresponde a um vértice (AMASIFEN et al., 2005; PEREIRA
JUNIOR et al., 2012). Segundo a teoria dos grafos para a árvore geradora, duas condições
básicas definem a operação radial da rede: ela não pode assumir a estrutura em malhas, pois é
acíclica; e na ocorrência de defeito em um ponto qualquer, pela sua característica hierárquica,
a rede deixaria de ser conexa à jusante do defeito, com a desenergização de ramos da árvore, e
parcela do sistema permaneceria recebendo o fornecimento de energia e outra parcela não.
Neste caso, para recuperar a conectividade do sistema, isola-se o defeito (ou a área de
interesse) e trocam-se adequadamente ramos da árvore por ramos de ligação que
necessariamente possam ser alimentados por um nó raíz (tradicionalmente, uma subestação).
Desse modo, é possível alterar a configuração da rede e manter a radialidade, mas não é
possível garantir que toda a conectividade seja restabelecida, ou seja, que todas as seções
desenergizadas sejam reenergizadas. A razão principal para isso são as limitações impostas
pelas restrições físicas e operacionais da rede elétrica.
57
Figura 3 - Diagrama unifilar de um sistema de distribuição radial simples
Fonte: Adaptado de Amasifen (2003).
O sistema elétrico está sujeito a dois conjuntos de restrições: a restrição de carga e as
restrições físicas e operacionais. A primeira exige o atendimento à demanda de carga dos
consumidores, portanto, é atendida se os consumidores estão recebendo energia elétrica, ou
seja, se a energia elétrica está sendo gerada e fornecida. Assim, a restrição de carga está
relacionada à geração e ao fornecimento/consumo de energia elétrica. Logo, as interrupções
do serviço imediatamente provocam o descumprimento desta restrição: ela passa a não ser
mais atendida na sua totalidade (MONTICELLI, 1983). Como abordado acima, quando
ocorrem interrupções permanentes, parcela do sistema permanece recebendo o fornecimento
de energia e outra parcela não, portanto, assim que o sistema entra no estado restaurativo, a
restrição de carga é descumprida. Dificilmente o sistema poderá tornar a atender
integralmente à restrição de carga estando no estado restaurativo, mesmo após eficientes
procedimentos de restauração, pelas seguintes condições: fundamentalmente, a falta
permanente precisaria ser isolada sem compreender unidades consumidoras (barras de carga);
adicionalmente, dependendo das condições de carregamento e do cenário de falta, o pleno
restabelecimento do sistema pode implicar no descumprimento de restrições físicas e
operacionais e, nesse caso, seria impraticável restabelecer completamente o fornecimento de
energia elétrica às seções desatendidas.
Nas modelagens matemáticas apresentadas no capítulo 3, ou se o sistema está em
estado normal de operação, a restrição de carga é suficientemente representada pelas equações
1 2 3
4
5
6
7
8 9
10
11
12
13
ALIMENTADOR 1 ALIMENTADOR 2 ALIMENTADOR 3
Ramo da árvore (chave secionadora)
Ramo de ligação (chave de interconexão)
58
de fluxo de potência, às quais estão sujeitas a cumprir às Leis de Kirchhoff, sem a
possibilidade de corte de carga. No entanto, é necessário complementar a representação da
restrição de carga no modelo matemático que prevê o corte de carga. Assim, no modelo
matemático de PCSOIM a representação da restrição de carga é complementada com a ajuda
do conceito de geradores artificiais (conceito explicado no capítulo 4 desta dissertação). Neste
modelo, as barras não restauradas são conectadas aos geradores artificiais para serem por eles
artificialmente supridas. Os geradores artificiais assumem a responsabilidade de
artificialmente fornecer energia elétrica a todas as barras de carga passíveis de restauração não
restauradas por violação de restrições físicas e operacionais e, por isso, cortadas do sistema
restaurado sob fornecimento do conjunto de subestações. Se a condição fundamental
apresentada acima (inexistência de barras de carga isoladas juntamente com o isolamento da
falta) é satisfeita e o sistema é completamente restabelecido, então a restrição de carga volta a
ser integralmente cumprida pelo conjunto de subestações durante o estado restaurativo.
Todavia, se existem barras de carga sob falta isoladas, então a restrição de carga permanece
violada durante todo o estado restaurativo, independentemente se a parcela restaurável do
sistema é completamente ou parcialmente restabelecida pelo conjunto de subestações. Assim,
também, independentemente se a condição fundamental apresentada é ou não é satisfeita, se o
sistema é apenas parcialmente restabelecido, então a restrição de carga permanece violada
durante o estado restaurativo, sendo parcialmente satisfeita pelo conjunto de subestações e, de
forma complementar, artificialmente satisfeita pelos geradores artificiais. Neste trabalho de
pesquisa as faltas são indicadas nas seções de carga, portanto as seções sob falta são isoladas
do sistema e não participam do processo de restauração, consequentemente, as cargas dessas
seções permanecem desatendidas durante todo o estado restaurativo e, na prática, a restrição
de carga permanece violada.
Os cortes no fornecimento podem ser não programados (diferentemente daqueles
destinados a manutenções preventivas ou a obras de expansão), provocados por faltas na rede.
As faltas ocorrem porque a rede elétrica está sujeita a contingências diversas, por exemplo,
em linhas, em transformadores e em geradores. As interrupções por falta são caracterizadas
pela redução acentuada da tensão terminal em circuitos de consumo e podem ser de caráter
temporário ou permanente, dependendo de sua duração, se curta ou longa (MATHIAS NETO,
2011). As faltas permanentes podem ser ocasionadas por curtos-circuitos, más condições
físicas de equipamentos e de condutores da rede, por falhas em geradores, por ocorrência de
fenômenos naturais ou vandalismo, e sobrecargas de um modo geral. O sistema de proteção
59
precisa ser eficiente e bem dimensionado para permitir uma boa coordenação das faltas: o
isolamento no menor trecho e no menor tempo possíveis e, assim, rapidamente proteger o
sistema e reduzir a área desatendida. Além disso, espera-se que os dispositivos locais de
proteção sejam eficazes para eliminar faltas temporárias. Quando as faltas são temporárias, é
possível que os próprios dispositivos de proteção da rede atuem e sejam suficientes para
eliminá-las e, em seguida, religar automaticamente o sistema. Porém, diante de faltas
permanentes, o religamento total ou parcial do sistema só é possível a partir da intervenção do
centro de controle, após o isolamento da falta e da definição de circuitos alternativos e
adequados para cada contexto de falta, isto é, através dos procedimentos de restauração.
Adicionalmente, para o religamento completo do sistema de volta à sua configuração básica, é
necessário primeiramente efetuar os devidos reparos na rede, a fim de garantir que a operação
normal do sistema seja novamente segura. Tudo isso exige uma consistente mobilidade
operacional: inicialmente, a região afetada precisa ser identificada e o defeito precisa ser
localizado, de modo a ser devidamente isolado para os reparos e para que se obtenha a
configuração atual da rede no contexto de falta em questão e o processo de restauração seja
efetivamente iniciado.
A rede de distribuição está sujeita a diferentes condições de carregamento. Se,
eventualmente, a demanda de carga superar as expectativas previstas e passar a operar a níveis
críticos (em estado de alerta ou em estado de emergência), a energia fornecida não será de
qualidade (ficando a distribuidora sujeita a penalidades) e os consumidores podem vir a sofrer
danos materiais. O sistema não pode operar por muito tempo com anormalidade e não é
desejável que a medida a ser tomada pelo centro de controle seja a realização de cortes de
carga. De acordo com a perspectiva de aumento natural da demanda, é possível planejar a
reconfiguração da topologia atual para uma nova topologia que melhore o atendimento aos
consumidores e mantenha ou torne segura a operação do sistema. Nesse sentido, na literatura
especializada são propostas muitas técnicas de reconfiguração, a maioria das técnicas
propostas é para minimização de perdas e para balancemanto de cargas. Elas visam obter
configurações otimizadas da rede, de modo a atender às curvas de carga (diária, semanal ou
anual) com baixos custos operacionais. As técnicas propostas consideram as condições de
carregamento sob demanda constante (utilizando o critério de cargas fixas) ou condições de
carregamento sob demanda variável (considerando cargas variáveis). Geralmente, as
configurações obtidas a partir de cargas variáveis são de melhor qualidade, por representarem
melhor o estado de operação do sistema (CINVALAR et al., 1988; BOROZAN et al., 1995;
60
MANTOVANI et al., 2000; AMASIFEN et al., 2005).
No entanto, diante da perspectiva de crescimento futuro de demanda é necessário
realizar o planejamento da expansão do sistema elétrico. O planejamento da expansão deve
ocorrer diante da previsão da impossibilidade de adequado atendimento às curvas de carga a
partir de um determinado horizonte de tempo. Assim, propostas viáveis podem ser formuladas
com tempo muito favorável para analisar se os requisitos serão devidamente atendidos. Trata-
se de um planejamento de longo prazo para ampliar a estrutura já existente, onde aspectos
técnicos e econômicos podem ser considerados com maior cautela. O planejamento de longo
prazo determina onde e quando expandir a rede elétrica, através da construção de novas linhas
e/ou recondutoramento das linhas existentes, construção de novas subestações e/ou
repotenciação das já existentes; e alocação de dispositivos que aumentarão a eficiência no
suprimento de energia elétrica, melhorando sua qualidade e diminuído custos operacionais, e
de dispositivos que aumentarão a segurança operacional da rede (COSSI, 2008; BAQUERO,
2012; SOUSA, 2013; GONÇALVES, 2013).
A reconfiguração é uma ferramenta tanto para o planejamento da operação do sistema
de distribuição em condições normais, quanto para o controle da operação em tempo real em
casos de emergência ou de falta permanente. Procedimentos de controle em tempo real
exigem respostas imediatas, por isso existe a necessidade de elaboração rápida de um plano de
solução, para auxílio rápido à tomada de decisão pelos centros de controle. Já no
planejamento da operação em condições normais, o tempo de obtenção das respostas não é tão
crucial, dependendo do estado operacional real do sistema e das ações requeridas. Assim, a
reconfiguração topológica do sistema elétrico se dá para o controle preventivo, controle
corretivo ou controle restaurativo e o planejamento da reconfiguração pode ser de longo
prazo, de curto prazo ou emergencial e ocorre após a conclusão das fases de previsão de
cargas e das análises operacionais do sistema (MONTICELLI, 1983; BOROZAN et al., 1995;
MANTOVANI et al., 2000; TIAN et al., 2009; KLEINBERG et al., 2011). É um
planejamento de controle preventivo de longo ou de curto prazo diante da perspectiva de
evolução natural da demanda e para fins de minimização de perdas de energia ou
balanceamento de carga; e é um planejamento preventivo, corretivo ou restaurativo para
controle em tempo real diante das seguintes situações emergenciais, respectivamente:
necessidade imediata de reconfigurar a rede para evitar que ela entre no estado restaurativo;
necessidade imediata de corrigir o desempenho operacional crítico da rede, forçando a entrada
no estado restaurativo para voltar ao cumprimento dos limites operacionais de qualidade e de
61
confiabilidade do serviço, oportunamente de forma otimizada; e necessidade imediata de
restabelecer o fornecimento de energia elétrica aos consumidores, tanto quanto possível e,
assim, cumprir com maior eficiência o critério de continuidade do serviço.
A Figura 4 mostra as ações de controle, por dispositivos locais ou por comando do
operador do sistema, sobre os diferentes estados operacionais do sistema elétrico, bem como
as consequências de contingências sobre cada estado. Estas situações provocam diferentes
transições entre os estados de operação. Operando normalmente, é ideal que a rede permaneça
no estado seguro. Em estado de emergência, quando não é possível eliminar a violação de
limites operacionais (violação de restrições físicas e operacionais da rede elétrica) de forma
mais amena, pode ser necessário efetuar a correção do estado crítico através do corte de carga,
não preservando a integridade do sistema, causando o estado restaurativo. Em estado
restaurativo, quando ele é inevitável ou provocado por ações de dispositivos locais, é ideal
que a rede permaneça nele o menor tempo possível e desatendendo minimamente o número
de consumidores ou de cargas.
Figura 4 - Estados operacionais do sistema elétrico: transições e ações de controle
Fonte: Adaptado de Monticelli (1983).
Portanto, os objetivos ligados à alteração da topologia da rede são gerenciáveis e os
procedimentos são coordenados pelos centros de controle da rede de distribuição e executados
por meio de chaveamentos (abertura/fechamento dos dispositivos de manobra: chaves
secionadoras, de interconexão, disjuntores). Sendo assim, a automação e a otimização destes
EMERGÊNCIA RESTAURATIVO
N O R M A L
ALERTA SEGURO
Controles - locais
Contingências previstas ou não
Contingências não previstas
Emergência - crise Segurança - corretivo Restaurativo
Restaurativo
Emergência - corretivo
Emergência - preventivo
Segurança - preventivo
Perturbações, Contingências e Controles locais
ESTADOS
Ações do Centro de Controle
62
processos interessam diretamente ao setor de distribuição de energia elétrica, com a intenção
de cumprir os requisitos de qualidade com maior eficiência e evitar maiores prejuízos
financeiros, também decorrentes de penalizações impostas pelas agências reguladoras
governamentais do setor. No Brasil, a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica) é
incumbida de regular e fiscalizar o mercado de energia elétrica, na produção, transmissão e
comercialização, juntamente com as agências reguladoras estaduais e federal. O objetivo
destas entidades é regulamentar o funcionamento do setor eletroenergético, garantindo a
continuidade do serviço energético sob condições asseguradas de qualidade e a custos
aceitáveis. A Figura 5 ilustra um exemplo simples de operação de chaveamento que restaura
o serviço de fornecimento de energia elétrica na área que ficou desatendida pela ocorrência de
falta permanente no local indicado.
Figura 5 - Exemplo simples de operação de chaveamento para restauração do serviço
Fonte: Adaptado de Watanabe (2005).
A metodologia empregada para reconfiguração da rede é diferente nos dois contextos
de planejamento de controle operacional: no planejamento de curto ou longo prazo e no
planejamento em tempo real, mesmo compartilhando aspectos fundamentais (MORELATO;
MONTICELLI, 1989; MATOS; MELO, 1999; KLEINBERG et al., 2011). O problema de
restauração do serviço está inserido em cenários operacionais geralmente mais críticos e
possui características e objetivos particulares. Entre estas características está a não integridade
do sistema no estado operacional restaurativo e o caráter temporário e também urgente do
problema. Justamente por ser um problema complexo de decisão e controle e por apresentar
estas características especiais, a maioria das metodologias propostas na literatura para
resolução do problema de restauração normalmente realizam uma busca local por soluções,
CH fechada
CH aberta
CH: Chave
Restauração do Serviço (Reconfiguração da Rede)
Local da Falta
Fo
nte
de
En
ergia
(t
ran
sfo
rma
do
r)
Área isolada pela falta
CH1 CH2
CH3 CH4
CH1 CH2
CH3 CH4
63
geralmente em torno da área desatendida, descartando a possibilidade de uma solução de
melhor qualidade em termos de atendimento e continuidade do serviço a partir da análise
global do espaço de busca. A resolução do modelo matemático proposto no capítulo 4 desta
dissertação torna evidente esta análise. Assim, a reconfiguração topológica pode receber
diferentes abordagens: aquela que analisa o sistema como um todo em busca do estado de
operação ótima ou aquela que analisa o problema localmente em busca do estado de operação
ótima numa situação muito particular. Outra implicação direta provocada principalmente pelo
caráter temporário do problema de restauração aparece nas propostas de solução que buscam
alterar minimamente a topologia regular da rede.
As razões para buscar localmente propostas de reconfiguração para restabelecimento
do sistema elétrico e alterar minimamente a topologia regular da rede são as seguintes: os
consumidores que se mantiveram energizados após a falta permanente do serviço de
distribuição não devem ser desenergizados; é possível não atender regiões afetadas pela
incidência da falta; frequentes operações de manobra podem reduzir a expectativa de vida das
chaves e o chaveamento provoca inconvenientes comportamentos transitórios de corrente e de
tensão na rede; o tempo para operar as chaves pode ser muito oneroso em cidades populosas
devido aos custos de mobilidade em razão de tráfegos intensos, ainda que geograficamente as
chaves estejam pouco distantes (HSU et al., 1992; MATHIAS NETO, 2011). Seguindo estes
critérios, e por eles justificados, é que as metodologias heurísticas propostas na literatura
especializada costumam estabelecer planos de restauração cujas operações de manobra
preferencialmente devem ocorrer perto da área desatendida. Assim, as regiões mantidas
energizadas que apresentam fronteiras com as regiões desatendidas pelo fornecimento se
tornam candidatas a interligá-las para reenergização, conforme a disponibilidade dos
dispositivos de manobra e conforme as novas condições operacionais da rede. Quando a falta
é de menor escala, a restauração do serviço é mais simples e pode, realmente, culminar em
pequena alteração topológica da rede. No entanto, quando grandes áreas são interrompidas,
pela necessidade maior de restabelecimento por fontes alternativas com capacidade de
reserva, o número de chaveamentos poderá ser maior (LIU et al., 1988; TOUNE et al., 2002;
PEREIRA JUNIOR et al., 2012).
Normalmente, as metodologias heurísticas que resolvem o problema de restauração
exigem a execução de um algoritmo de fluxo de carga para analisar a qualidade e a
viabilidade das propostas de solução. Para não onerar o processo de resolução do problema,
estes algoritmos precisam ser rápidos, práticos e eficientes. O cálculo de fluxo de carga
64
permite conhecer o estado de operação da rede elétrica e algumas grandezas de interesse,
como os módulos de tensões nas barras, os fluxos de potência ativa e de potência reativa nas
linhas e as perdas nas linhas e nos transformadores. Como exemplo de algoritmos de fluxo de
carga em redes de distribuição radiais, têm-se os métodos aproximados de varredura direta e
reversa, relativamente simples e eficientes (SHIRMOHAMMADI et al., 1988;
SHIRMOHAMMADI; HONG, 1989).
A modelagem da rede elétrica é comumente estática, representada por equações e
inequações algébricas, pois os efeitos transitórios podem ser ignorados já que as variações no
tempo são suficientemente lentas. É fundamental definir um modelo adequado para os
elementos do sistema, pois se os componentes estão corretamente modelados, o sistema real é
melhor representado e as soluções encontradas permitirão maior segurança operacional, isto é,
impactarão mais positivamente nos resultados, reduzindo as margens de erro e operando o
sistema de forma mais econômica (NEVES, 2008).
2.1.1 Novos Paradigmas para o Sistema de Distribuição: Smart Grids e Geração
Distribuída
O conceito de radialidade dos sistemas aéreos de distribuição tem passado por
transformações. O aperfeiçoamento tecnológico de equipamentos de proteção, medição e
telecomunicação, e também as novas diretrizes socioambientais em termos de
sustentabilidade, têm promovido novas políticas energéticas, introduzindo novos paradigmas
de proteção e de operação, entre eles, as smart grids (redes inteligentes) e a geração
distribuída (principalmente a partir de fontes renováveis).
A proposta das redes inteligentes é equipar o sistema elétrico com eficientes e
sofisticados equipamentos de proteção, medição e telecomunicação. No caso dos sistemas de
distribuição, os alimentadores primários estariam automatizados com chaves inteligentes e
seriam monitorados em tempo real pelos centros de controle. Com isso, os operadores do
sistema poderiam exercer um controle operativo mais preciso e confiável. No que diz respeito
ao problema de restauração, por exemplo, as redes inteligentes possibilitariam que faltas nos
alimentadores fossem diagnosticadas de forma mais rápida e precisa, e que o sistema fosse
restaurado através da operação de chaves controladas remotamente. As redes inteligentes
também favorecem a inserção de geradores distribuídos nos sistemas de distribuição, em
65
razão da melhor possibilidade de coordenação do sistema de proteção. Nos sistemas radiais
tradicionais, a coordenação é simplificada, uma vez que o fluxo de potência é normalmente
unidirecional. No entanto, a alocação de geradores distribuídos nos alimentadores de
distribuição interfere no caráter unidirecional dos fluxos, interferindo diretamente na atuação
dos dispositivos de proteção (MONTICELLI, 1983; CAMPITELLI, 2007; LEÃO, 2011).
Assim, uma questão fundamental é analisar os impactos técnicos provocados pela
inserção desses geradores nas redes de distribuição: quanto à confiabilidade operacional, à
qualidade no fornecimento de energia elétrica e também quanto aos aspectos econômicos –
são muitos os efeitos operacionais que precisam ser considerados. O ponto principal é que os
sistemas de distribuição não são normalmente projetados para interligar dispositivos de
geração de energia, como tradicionalmente são projetadas as redes de transmissão. Portanto,
dependendo do local onde serão alocados pode ser necessário reprojetar os mecanismos de
proteção, para adequada coordenação e atenuação de possível aumento de fluxo de corrente
nos circuitos. Outro fator é a característica das linhas de distribuição que, ao contrário das
linhas de transmissão, possuem maiores resistências. Por último, a coleta de dados no sistema
de distribuição na baixa tensão geralmente não está disponível no sistema SCADA
(ACKERMANN et al., 2001; OCHOA et al., 2006).
As principais discussões relacionadas ao tema geração distribuída são: a finalidade da
geração, a localização dos geradores, as tecnologias utilizadas, o impacto ambiental causado e
a propriedade de direito. Por exemplo, a finalidade de fornecer apenas potência ativa à rede; a
localização próxima às cargas, junto à rede de distribuição ou conectada diretamente ao
consumidor; tecnologia de geração que utiliza recursos renováveis, como a energia solar e a
eólica, dependente da disponibilidade dos recursos e da eficiência para a captação deles; o
impacto ambiental relacionado tanto à geração de energia, quanto à exploração e ao transporte
dos recursos energéticos; e a propriedade centralizada ou descentralizada da geração
(ACKERMANN et al., 2001).
Diferentes países utilizam diferentes termos como referência à geração distribuída, por
exemplo: geração dispersa e geração descentralizada. A própria definição quanto à capacidade
de geração de energia para que um gerador seja considerado distribuído (disperso ou
descentralizado) é conflitante entre os países. Assim, a definição de geração distribuída pode
variar quanto ao porte de geração. Adicionalmente, estes geradores podem ser de propriedade
independente de consumidores da rede. Desse modo, tanto a geração quanto a propriedade da
geração podem ser descentralizadas das grandes centrais. Portanto, novas políticas são
66
necessárias também para mediar a comercialização dessa energia gerada (LEZAMA, 2011).
O grande benefício com a inserção de pequenas fontes dispersas ao longo da rede,
como fontes alternativas de geração, está relacionado à confiabilidade no fornecimento e à
redução de custos com a transmissão, principalmente descongestionando as linhas e
aumentando a produtividade do serviço. Alocados à rede de distribuição, estes geradores
podem contribuir de forma relevante para aliviar elevados picos de demanda e aumentar a
confiabilidade do serviço, também reduzindo índices de interrupção do fornecimento, desde
que sua interligação à rede seja correta e de qualidade para não trazer prejuízos ao sistema de
distribuição. Assim, é necessário um controle rigoroso sobre os modos de operação dos
geradores distribuídos (CHIRADEJA et al., 2004; MATHIAS NETO et al., 2010; SILVA et
al., 2010).
Um gerador distribuído pode assumir quatro modos distintos de operação: operar
desligado, conectado à rede, ilhado ou em microrrede. A primeira condição é ocasionada pelo
descumprimento de alguma restrição pelo gerador, portanto é ideal que ele permaneça
desligado. Quando conectado à rede, o gerador contribui com o suprimento à demanda de
carga. Nesse sentido, a contribuição será efetiva se ele operar com potência nominal
(capacidade máxima) e o maior fator de potência possível (transferindo maior potência ativa à
carga). A forma de operação ilhada é possível quando o gerador é suficientemente capaz de
fornecer potência à seção de carga onde está alocado, sem o fornecimento da subestação, e
assim atender à demanda de carga desta seção e de possíveis seções vizinhas. A microrrede é
formada quando geradores distribuídos alocados em seções próximas estão operando em
paralelo e de forma ilhada, ou seja, o conjunto de carga destas seções está sendo alimentado
pelos geradores distribuídos formando uma microrrede separada do sistema (MATHIAS
NETO, 2011).
A possibilidade de ilhamento está condicionada à qualidade da energia que poderá ser
fornecida. Para que um ou mais geradores operem de forma ilhada, é preciso haver uma
estratégia adequada de operação, coerente com o sistema de proteção da rede elétrica para a
interligação confiável desses geradores. Eles devem ser capazes de alimentar as cargas ilhadas
sob as diferentes condições de carregamento de todo o período previsto de interligação,
garantindo que as cargas sejam atendidas com níveis adequados de tensão e frequência. O
sistema de proteção dentro da ilha precisa estar também projetado de forma eficiente para
tratar possíveis contingências locais. Dessa forma, os geradores distribuídos aumentam as
chances de melhorar a confiabilidade do serviço como fontes alternativas de energização. O
67
ilhamento pode ocorrer com o isolamento de fontes de energia, mediante interrupção
permanente de fornecimento, havendo a presença de geradores distribuídos a montante da
região desatendida, quando o religador é aberto ao constatar a corrente de falta a montante de
sua localização. A parte ilhada fica sem sincronismo com o restante do sistema. Portanto,
encerrada a contingência, para que o sistema de distribuição retorne ao seu estado normal de
operação e à sua configuração original, o religador que separa a rede da ilha deve sincronizar
o seu religamento. Por isso é importante o avanço tecnológico dos equipamentos de medição,
controle e telecomunicação, a fim de tornar os procedimentos automáticos, rápidos e mais
confiáveis (CAMPITELLI, 2007; LEÃO, 2011).
A Figura 6 mostra uma condição de ilhamento em um alimentador de distribuição,
após ocorrência de uma falta permanente na rede, em que um gerador distribuído está
contribuindo para melhorar os índices de confiabilidade e continuidade do serviço.
Figura 6 - Alimentador de distribuição operando com ilhamento e geração distribuída
Fonte: Adaptado de Campitelli (2007).
Duas estratégias podem definir os modos de operação dos geradores em processos de
restauração do serviço. A primeira consiste em preferencialmente restabelecer grandes grupos
de carga por meio dos alimentadores de suporte disponíveis e com capacidade de reserva e,
posteriormente sincronizar e reconectar os geradores distribuídos, se houver esta
possibilidade. A segunda estratégia é restabelecer o sistema através de ilhas, sincronizar os
geradores e interconectá-las. Em sistemas tradicionais, esta segunda metodologia encarece a
operação tanto em termos econômicos, pela necessidade de dispositivos de controle mais
sofisticados, quanto em termos de execução das manobras, visto que as chaves, na sua grande
maioria, ainda são controladas manualmente. Por tudo isso, a alocação de geradores ao
Subestação
Alimentador Falta
Dispositivo de isolamento de corrente (secionador)
Ramais Laterais
.Ilhamento Área alimentada pelo GD
durante a falta
68
sistema de distribuição e o seu modo de operação precisam ser adequados com o projeto dos
alimentadores onde serão conectados (CAMPITELLI, 2007). É necessário analisar
cuidadosamente a rede para decidir pela localização de interligação dos geradores, de forma a
não prejudicar os índices de confiabilidade do serviço de fornecimento de energia elétrica.
Em Ochoa et al. (2006) está proposta uma metodologia baseada nos principais
aspectos técnicos da rede (intensidade de correntes, perdas de potência ativa e reativa, perfis
de tensão e esquemas de proteção) para a definição de índices de desempenho operacional que
ajudam na decisão sobre a alocação da geração distribuída onde possa promover maiores
benefícios. Os índices são calculados para descrever os impactos positivos e negativos na rede
devido à presença da geração distribuída. Para qualificar o desempenho global da rede, os
índices normalizados são relacionados de forma multi-objetiva, ponderados individualmente
por um fator de relevância que pode ser flexível aos interesses operacionais das
concessionárias. A metodologia pode auxiliar também na orientação quanto à natureza dos
contratos entre as distribuidoras e os produtores independentes, já que os impactos técnicos
passam a ser conhecidos. Chiradeja et al. (2004) também propuseram um conjunto de índices
sobre os impactos da geração distribuída na rede de distribuição, mas quantificaram apenas os
benefícios da integração, nos seus aspectos técnicos e econômicos. A abordagem avalia as
vantagens técnicas quanto à melhoria do perfil de tensão, redução de perdas nas linhas e
redução do impacto ambiental. Os fatores de ponderação servem para alocar os geradores em
locais onde possa maximizar os benefícios. No entanto, os impactos podem ser tanto positivos
como negativos no desempenho operacional do sistema de distribuição, dependendo das
características físicas e operacionais da rede e dos geradores distribuídos. Obter os benefícios
é mais difícil, pois eles estão adversamente atrelados a condições mínimas de controle e
instalação dos geradores.
2.2 A FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO
Esta seção apresenta e discute algumas formulações matemáticas que representam
alguns objetivos e algumas restrições do problema de restauração de sistemas elétricos de
distribuição considerados por metodologias heurísticas propostas na literatura especializada.
Estas formulações geralmente são modelagens incompletas, por isso não podem ser resolvidas
por técnicas clássicas de otimização. O objetivo desta seção é, portanto, levantar discussões
69
úteis a cerca destas formulações, destacando motivações, propósitos e características, o que
permite refletir a respeito da procedência para a modelagem matemática do problema.
Os modelos matemáticos são sempre uma aproximação do problema real, contudo, é
possível propor formulações consistentes e eficientes que, após simulações do mundo real, se
mostram coerentes. As formulações devem ser consistentes e adequadas quanto aos objetivos
de interesse e quanto às restrições fundamentais do problema. As bases para uma boa
formulação são as seguintes: adequado conhecimento do problema, sólidos conhecimentos
matemáticos e uma boa lógica que permita definir satisfatoriamente as variáveis de decisão do
problema, atender aos requisitos impostos e avaliar a qualidade das soluções propostas
conforme os objetivos estabelecidos. Vale ressaltar que, quanto maior a complexidade do
problema, mais difícil é desenvolver modelos eficientes.
É ideal que a elaboração do plano de restauração aconteça em tempo real e que o plano
elaborado apresente propostas de reconfiguração topológica que permitam uma operação
segura e confiável durante todo o intervalo de tempo em que a rede de distribuição estiver
operando em estado restaurativo (até que o defeito seja sanado e a rede possa voltar à sua
configuração original). Além disso, é ideal que, além de uma operação segura e confiável, o
fornecimento de energia elétrica seja de qualidade. O êxito da restauração dependerá da
qualidade da proposta de solução elaborada que, por sua vez, depende da eficiência da
metodologia aplicada na resolução do problema.
A seguir, portanto, são apresentadas as discussões sobre algumas formulações de
funções objetivo do problema de restauração de sistemas de distribuição de energia elétrica e,
na sequência, as discussões sobre a modelagem das restrições que pretendem cumprir as
exigências físicas e operacionais desses sistemas.
2.2.1 Funções Objetivo do Problema
Uma proposta de formulação da função objetivo do problema de restauração é,
ponderada a importância das cargas, manter o fornecimento de energia àquelas que possuem
maior prioridade, ou seja, minimizar o corte de carga considerando a prioridade da carga.
Segundo Tian et al. (2009), matematicamente esta função objetivo pode assumir a seguinte
forma:
70
𝑀𝑖𝑛 ∑ �̇�𝑖𝐹𝑖
𝑁𝑏𝑐
𝑖=1
(1)
Na formulação acima, �̇�𝑖 𝜖 {0,1} e representa o estado da carga 𝑖: assume-se valor zero
para o corte de carga e valor unitário para o fornecimento de carga. 𝐹𝑖 é o fator de importância
da 𝑖-ésima carga do total de barras de cargas 𝑁𝑏𝑐, em que ∑ 𝐹𝑖 = 1𝑇𝑐𝑖=1 , onde 𝑇𝑐 são os tipos
de cargas, e valores decimais 𝐹𝑖 próximos a zero indicam alta prioridade e próximos à unidade
indicam baixa prioridade. O problema é de minimização, portanto menores coeficientes 𝐹𝑖 são
candidatos mais interessantes ao fornecimento (�̇�𝑖 = 1). No final do processo de otimização, é
possível conhecer através da função objetivo a quantidade de carga prioritária atendida
(restaurada).
Quando a demanda é suficientemente alta e o sistema passa a operar a níveis críticos, a
qualidade da energia fornecida e a confiabilidade operacional do sistema diminuem. Antes
que o sistema entre em um estado crítico de emergência e possa passar automaticamente para
o estado restaurativo por atuação de dispositivos locais, o centro de controle do sistema pode
intervir e, de alguma forma, otimizar o corte de carga (MONTICELLI, 1983; KLEINBERG et
al., 2011). Como as concessionárias estão sujeitas às avaliações da ANEEL, e possuem
interesses em reduzir o tempo médio de duração das interrupções (DEC – Duração
Equivalente de Interrupção por Consumidor) e reduzir a frequência média das interrupções
(FEC – Frequência Equivalente de Interrupção por Consumidor), a decisão pelos cortes
poderá ser ponderada por estes indicadores. Desta forma, é possível minimizar o corte de
carga, considerar consumidores prioritários e ainda melhorar as metas da empresa sobre estes
índices (GARCIA, 2005). Estratégias paralelas, como a geração distribuída, e preventivas,
como o deslocamento do alto consumo energético dos horários de pico, se bem sucedidas,
tornariam a necessidade emergencial de reconfiguração do sistema e o corte de carga
alternativas menos frequentes e menos necessárias. Tão relevante quanto disponibilizar
adequadamente o fornecimento é deslocar ou reduzir substancialmente a demanda em
horários críticos (ACKERMANN et al., 2001).
A função objetivo também pode ser formulada para manter o maior número possível
de cargas energizadas após interrupções permanentes seguindo a estratégia de definir a
topologia da rede por blocos ou seções de carga (conforme a disponibilidade dos dispositivos
de manobra) e quantificar a carga instalada em cada seção. Assim, a proposta da função
objetivo é restabelecer estas seções minimizando a potência não fornecida. Neste caso, a
71
prioridade de restabelecimento das seções de carga está relacionada à quantidade de cargas
instaladas nas seções, quanto maior é a carga, maior é a prioridade de restabelecimento.
Garcia (2005) e Pereira Junior et al. (2012) apresentam formulações para esta função objetivo.
Seguindo a mesma estratégia apresentada, é possível também minimizar o número de
consumidores não atendidos presentes nas seções de carga, conforme a metodologia de
restauração proposta por Mathias Neto (2011).
Considerando que no estado restaurativo a rede opera temporariamente através de uma
topologia alternativa e, por isso, idealmente deve sofrer a menor modificação possível na sua
configuração padrão, a função objetivo que busca minimizar as cargas desenergizadas poderá
incluir custos de operação de chaveamento. Em Pereira Junior et al. (2012), estas duas
propostas aparecem juntamente formuladas da seguinte forma:
𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑆𝑠𝑒𝑐𝑖
𝑖 𝜖 𝑛𝑠𝑒𝑐
𝑥𝑖 + ∑ 𝐶𝑐ℎ𝑎𝑖
𝑖 ∈ Ω
(2)
𝐶𝑐ℎ𝑎𝑖 é o custo de operação das chaves; 𝑆𝑠𝑒𝑐
𝑖 é a carga em kVA da seção 𝑖; 𝑥𝑖 é a
variável binária de decisão para a reenergização ou não da seção 𝑖 desatendida: 1 indica que a
seção permanecerá desenergizada e 0 indica que a seção será reenergizada; 𝑛𝑠𝑒𝑐 é o conjunto
formado pelas seções que são desenergizadas após a ocorrência de falta permanente na rede; e
𝛺 é o conjunto das chaves instaladas no sistema. Nesta formulação, as seções com menores
cargas são candidatas à desenergização (𝑥𝑖 = 1). Além disso, é interessante restaurar as
seções com maiores cargas a fim de reduzir implicitamente o número de chaveamentos. No
final do processo de otimização, é possível conhecer através da função objetivo a quantidade
de carga sem fornecimento de energia elétrica, somada ao custo total do chaveamento
realizado.
A proposta de restauração em Mathias Neto (2011) considera duas funções objetivo,
tratadas com enfoque multiobjetivo através da técnica de fronteira ótima de Pareto. São elas:
minimizar o número de consumidores fora do serviço e minimizar o número de chaveamentos
para restaurar a rede. As formulações matemáticas destas duas propostas estão apresentadas
nas relações (𝟑) e (𝟒), respectivamente.
𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑙 . 𝑥�̅� (3)
72
𝐶𝑙 representa o número de consumidores presentes na seção 𝑙, e 𝑥�̅� é a variável binária
de estado: 0 indica seção energizada e 1 indica seção não energizada. Neste caso, as seções
que preferencialmente ficarão desatendidas (𝑥�̅� = 1) serão aquelas que contemplam o menor
número de consumidores. No final do processo de otimização, é possível conhecer através
desta função objetivo o número de consumidores fora do serviço; e o número de
chaveamentos necessários é conhecido da seguinte forma:
𝑀𝑖𝑛 ∑|𝑆𝑊̅̅̅̅�̅� − 𝑆𝑊̅̅̅̅
�̅�0| (4)
A variável 𝑆𝑊̅̅̅̅�̅� representa o estado atual da chave 𝑖 e 𝑆𝑊̅̅̅̅
�̅�0 o seu respectivo estado
inicial, assumindo os seguintes valores binários: 0 para indicar chave aberta e 1 para indicar
chave fechada. É válido observar que, da forma como está proposta, usando módulos, esta
formulação onera computacionalmente o processo de solução. O custo de chaveamento é
considerado apenas de forma quantitativa, ou seja, fica explícito que haverá menor número de
operações de chaveamento e, por isso, menor número de deslocamento operacional, mas os
custos efetivos para as ações de manobra das chaves não estão considerados nesta formulação,
como os custos de mobilidade operacional. No entanto, a formulação é suficiente para
considerar os efeitos relacionados aos chaveamentos, pois o número de chaveamentos
propostos, além de caracterizar o tempo necessário para o restabelecimento do sistema,
também indica o quanto a rede estará susceptível aos indesejados comportamentos transitórios
de elevação de corrente e tensão. São dois motivos importantes para a tomada desta função
objetivo.
Quando são formuladas várias propostas para otimização e esses objetivos são
conflitantes, duas alternativas geralmente adotadas na literatura são as seguintes: dar enfoque
mono-objetivo, utilizando a técnica de ponderação de pesos e, assim, transformar os vários
objetivos em um único objetivo; ou dar enfoque multiobjetivo ao problema, utilizando a
técnica da fronteira ótima de Pareto. Quando se utilizam coeficientes de peso, geralmente
normalizados, os vários objetivos são qualificados proporcionalmente aos interesses finais de
otimização. Dessa forma, os valores calibrados exercem influência direta sobre os resultados.
Já o enfoque multiobjetivo envolve a busca de soluções ótimas para todas as funções que
estão sendo otimizadas, através de regras destinadas à formação de um conjunto de soluções
ótimas não-dominadas do espaço de busca – ao invés de uma única solução otimizada, como
acontece nos problemas mono-objetivos. Este conjunto de soluções ótimas não-dominadas
73
forma a fronteira de Pareto. Sendo assim, o decisor fica responsável por escolher a solução ou
as soluções mais satisfatórias, dentre todas as soluções otimizadas pertencentes à fronteira
ótima de Pareto encontrada (GARCIA, 2005; COSSI, 2008; MATHIAS NETO, 2011).
Em Toune et al. (2002), assumiu-se que as operações de chaveamento são controladas
remotamente (em outras palavras, quaisquer custos relacionados às operações de
chaveamentos foram totalmente desconsiderados) e a função objetivo deve maximizar a
restauração de cargas, minimizando o desbalanço de carga entre os alimentadores de suporte
disponíveis e maximizando a tensão mínima da rede. O propósito de distribuir adequadamente
as cargas, de acordo com a capacidade de reserva dos alimentadores primários, é evitar a
ocorrência de sobrecargas e a possibilidade de novas interrupções. A abordagem é mono-
objetivo, pois ocorre a partir de somas ponderadas. A formulação matemática para esta função
objetivo está apresentada abaixo:
𝑀𝑖𝑛 {𝑤1 ∑(𝑆𝑃𝑖 − 𝑆𝑃𝑎𝑣𝑒)2
𝑚
𝑖=1
+ 𝑤2
1
𝑉𝑚𝑖𝑛 } (5)
Nesta formulação, 𝑚 é o número de fontes de energia, 𝑆𝑃𝑖 e 𝑆𝑃𝑎𝑣𝑒 são,
respectivamente, a capacidade de reserva da fonte 𝑖 e a capacidade média de todas as fontes
listadas, 𝑉𝑚𝑖𝑛 é a tensão mínima exigida e 𝑤𝑖 são os coeficientes de peso de cada termo.
O objetivo de minimizar as perdas de potência ativa no sistema de distribuição é
normalmente questionado como proposta para o problema de restauração do serviço. Mas é
um objetivo clássico no problema de reconfiguração ótima dos alimentadores primários em
contexto normal de operação (CINVALAR et al., 1988; BOROZAN et al., 1995;
MANTOVANI et al., 2000; AMASIFEN et al., 2005; SOUZA, 2013). No entanto, a
minimização de perdas foi considerada como um dos objetivos para restauração do serviço em
alguns trabalhos na literatura especializada. Conforme revisado na seção 1.2.2, a minimização
de perdas é uma das propostas que podem ser consideradas para restauração do serviço pela
metodologia heurística de Morelato e Monticelli (1989); Kumar et al. (2006) apresentaram
uma meta-heurística baseada no Algoritmo Genético convencional para resolver o problema
de restauração, minimizando a área desatendida, minimizando o número de operações de
chaveamento (considerando separadamente as chaves controladas remotamente e as chaves
controladas manualmente) e minimizando as perdas nas linhas, sob enfoque mono-objetivo; e
Tian et al. (2009) apresentaram uma meta-heurística PSO para minimizar a potência não
74
fornecida e minimizar as perdas nas linhas, também com enfoque mono-objetivo.
Portanto, seguindo o objetivo principal da restauração de sistemas elétricos, que
corresponde ao restabelecimento da maior parcela possível do sistema no menor intervalo de
tempo possível, é possível considerar a formulação de objetivos secundários, como a
minimização de perdas, o balanço de carga entre os alimentadores primários e a própria
minimização do número de operações de chaveamento.
O objetivo secundário de minimizar o desbalanço de carga foi proposto em vários
trabalhos, também revisados no capítulo 1, dentre os quais estão os trabalhos de Morelato e
Monticelli (1989), Fukuyama e Chiang (1995) e Toune et al. (2002). E a minimização do
número de chaveamentos, além de constar nos trabalhos também mencionados nesta seção –
Mathias Neto (2011) e Pereira Junior et al. (2012) – também foi considerado em Garcia
(2005), cujo trabalho deu enfoque multiobjetivo à proposta de restauração que inclui a
minimização do número de chaveamentos. E, finalmente, Sedano et al. (2005) formularam
uma proposta de restauração que, além de minimizar o desequilíbrio de carga entre os
alimentadores de suporte da área desatendida e maximizar a tensão mínima da rede, como está
proposto em Toune et al. (2002), incluíram a minimização de perdas ativas e a minimização
do número de chaveamentos na rede.
2.2.2 Restrições Físicas e Operacionais da Rede Elétrica
Definidos os objetivos de otimização, deve-se proceder também na definição das
restrições que pretendem cumprir as exigências operacionais da rede elétrica. As exigências
fundamentais são: manter a qualidade da energia fornecida, manter a confiabilidade
operacional do sistema e manter a radialidade.
O fornecimento de energia é adequado, tem qualidade, se os níveis de tensão variam
dentro de determinadas faixas regimentadas pelos órgãos reguladores. O descumprimento da
restrição de fornecimento adequado de tensão caracteriza uma operação precária. A
confiabilidade operacional está relacionada aos carregamentos dos componentes do sistema
para que não haja a ocorrência de sobrecargas e sejam evitadas interrupções no fornecimento,
mesmo se a rede já estiver no estado restaurativo, operando restaurada. Para evitar
sobrecargas no sistema elétrico, devem ser consideradas a capacidade máxima de fluxo de
corrente nos equipamentos e condutores e a capacidade máxima de fluxo de potência nos
75
transformadores das subestações de distribuição. Deve haver o correto equilíbrio entre
geração e consumo de energia elétrica, por isso a capacidade de fornecimento das subestações
também precisa ser considerada (TOUNE et al., 2002; TIAN et al., 2009; MATHIAS NETO,
2011).
Os sistemas aéreos de distribuição tradicionalmente operam com topologia radial,
conforme discutido no capítulo 1. Portanto, a radialidade é uma condição operacional para
esses sistemas e deve ser devidamente considerada pelas metodologias de resolução do
problema: em modelos matemáticos, por meio de equações ou inequações algébricas; e em
técnicas heurísticas, por meio da codificação algorítmica e nos métodos de cálculo de fluxo de
carga utilizados. Nas técnicas heurísticas, a restrição de radialidade geralmente torna difícil o
tratamento do problema de restauração, pois são necessárias estratégias eficientes para atender
esta condição. Já a resolução do problema de restauração por modelagem matemática esteve
totalmente inviabilizada nas últimas décadas, principalmente pela dificuldade de
representação eficiente da restrição de radialidade por meio de equações algébricas simples.
No entanto, esta problemática foi resolvida em Lavorato et al. (2012). Assim, a restrição de
radialidade não é mais um problema para o desenvolvimento de modelagens matemáticas para
o problema de restauração e os primeiros resultados são apresentados no presente trabalho de
pesquisa, onde o problema de restauração de sistemas de distribuição radiais é então resolvido
no contexto da otimização clássica, através da resolução dos modelos matemáticos
apresentados nos capítulos 3 e 4.
Finalmente, a seguir, são apresentadas as discussões propostas acerca das restrições
físicas e operacionais relacionadas à rede elétrica.
Propostas de solução que descumprem uma ou mais restrições do problema são
soluções infactíveis. Em cenários mais críticos de faltas permanentes no sistema, é mais
susceptível a ocorrência de propostas infactíveis, principalmente durante o início do processo
de solução. Nos métodos heurísticos de otimização, as soluções infactíveis obtidas durante a
busca por soluções do problema podem ser tratadas através de técnicas de penalização na
função objetivo, incrementando seu valor proporcionalmente à violação da restrição, como
está proposto em Pereira Junior et al. (2012). Contudo, se o problema apresentar apenas
configurações infactíveis até o final do processo de solução, a rede de distribuição não poderá
ser restabelecida, o problema ficará sem solução imediata e os consumidores afetados pela
falta permanecerão sem fornecimento de energia elétrica enquanto o sistema não puder operar
atendendo devidamente ao conjunto de restrições técnicas e/ou até que a falta permanente no
76
sistema seja corrigida.
Mathias Neto (2011) apresenta de forma abrangente as principais formulações
matemáticas referentes às restrições do sistema elétrico de distribuição. No entanto, algumas
formulações não estão escritas de forma explícita. A metodologia de resolução desenvolvida
pelo autor é uma meta-heurística, por isso estas relações matemáticas são dispensáveis e não
estão completas. No entanto, todas as formulações matemáticas apresentadas neste trabalho de
pesquisa (nos capítulos 3 e 4) como metodologias de resolução estão completas e explícitas,
conforme as formulações propostas em cada modelagem. Segundo Mathias Neto (2011), as
restrições fundamentais do problema são assim expressas:
O fluxo de corrente 𝐼𝑗𝑡 que percorre o equipamento ou condutor 𝑗 da rede deve ser
mantido abaixo do seu limite operacional indicado por 𝐼𝑗𝑀𝐴𝑋 (corrente máxima
admissível) durante o período 𝑡 do estado restaurativo:
|𝐼𝑗𝑡| ≤ 𝐼𝑗
𝑀𝐴𝑋 (6)
O fluxo de potência 𝑆𝑇𝑡 que percorre o transformador 𝑇 da subestação deve ser
mantido abaixo do seu limite operacional indicado por 𝑆𝑇𝑀𝐴𝑋 (potência máxima
admissível) durante o período 𝑡 do estado restaurativo:
|𝑆𝑇𝑡 | ≤ 𝑆𝑇
𝑀𝐴𝑋 (7)
A magnitude de tensão 𝑉𝑘𝑡 em cada barra 𝑘 da rede deve ser mantida dentro do seu
limite operacional determinado pelos órgãos reguladores, durante o período 𝑡 do
estado restaurativo, sendo 𝑉𝑀𝐼𝑁 e 𝑉𝑀𝐴𝑋 os limites inferior e superior de tensão:
𝑉𝑀𝐼𝑁 ≤ 𝑉𝑘𝑡 ≤ 𝑉𝑀𝐴𝑋 (8)
As equações algébricas não lineares que representam o fluxo de potência 𝐺𝑘𝑡 em
cada barra 𝑘 da rede durante o período 𝑡 do estado restaurativo, segundo as Leis
de Kirchhoff, e que garantem o atendimento às demandas de potência ativa e
reativa em todas as barras de carga, não estão explícitas e estão representas da
seguinte forma:
77
𝐺𝑘𝑡 (𝑃, 𝑄, 𝑉, 𝜃) = 0 (9)
Manter a configuração radial do sistema de distribuição.
Observa-se que, de forma especial, as equações que representam a aplicação das Leis
de Kirchhoff e a representação da condição de radialidade não estão apresentadas
explicitamente em Mathias Neto (2011).
As técnicas heurísticas normalmente exigem que as propostas de solução formuladas
sejam validadas através da resolução de um algoritmo de cálculo de fluxo de carga. Nesse
sentido, durante e/ou ao final do processo de solução pela metodologia heurística de
resolução, este algoritmo é acionado e executado (TOUNE et al., 2002; MATHIAS NETO,
2011). Algumas metodologias simplificam estes cálculos para não onerar o processo de
obtenção da solução do problema. Tradicionalmente, esta simplificação desconsidera o
cálculo das perdas de potências ativa e reativa do sistema e consideram apenas o fluxo de
potência aparente. Desta forma, as condições de carregamento da rede elétrica ficam menos
fidedignamente representadas. Por outro lado, por exemplo, quando as perdas são
desprezíveis, a viabilidade da solução final não é comprometida e há ganhos em termos de
tempo de processamento computacional.
Através da execução de um algoritmo de cálculo de fluxo de carga é possível conhecer
a resolução do circuito elétrico e, assim, verificar se as soluções propostas pelos métodos
heurísticos apresentam qualidade operacional para o fornecimento de energia elétrica, ou seja,
se cumprem com todas as restrições do problema. Porém, os modelos matemáticos não
precisam acionar a execução desses algoritmos. Diferentemente do que ocorre nas
metodologias heurísticas, as restrições do problema estão explicitamente formuladas nos
modelos matemáticos, fornecendo diretamente a informação do estado do sitema, bem como
outras grandezas de interesse relacionadas ao estado operacional do sistema elétrico.
A seguir, é apresentado um método para o cáculo do fluxo de carga para sistemas de
distribuição radial.
78
2.2.3 Cálculo do Fluxo de Carga em Redes Radiais
As propostas de reconfiguração formuladas pelos métodos heurísticos de otimização
geralmente são avaliadas executando um algoritmo de cálculo de fluxo de carga. A execução
deste algoritmo permite saber se as restrições relacionadas a requisitos físicos e operacionais
da rede e de qualidade da energia fornecida são atendidas, conforme abordado na seção 2.2.2.
Geralmente, as restrições avaliadas são as seguintes: se a corrente que passa pelos ramos
cumpre com a capacidade máxima admitida pelos condutores e pelos demais equipamentos;
se os níveis de tensão estão dentro dos limites adequados, garantindo a qualidade da energia
fornecida; e se a subestação possui capacidade de atender as demandas de carga normalmente
atendidas pelo conjunto de alimentadores conectados a ela juntamente com as demais cargas
restauradas por estes alimentadores (considera a capacidade de carregamento dos
transformadores da subestação).
O algoritmo para cálculo de fluxo de carga apresentado nesta seção corresponde ao
método de varredura direta e reversa baseado na soma de correntes proposto por
Shirmohammadi et al. (1988; 1989). Neste método, o nó raíz corresponde à barra da
subestação e os demais nós são as demais barras do sistema. Ao longo do ramal principal,
estão associados os ramais secundários, a estes os ramais terciários e, assim,
consecutivamente, de acordo com o nível da camada de ramificação. A varredura é dita direta
porque ocorre do nó raiz às extremidades da árvore (em movimento forward) e é dita reversa
porque ocorre das barras finais até a subestação (em movimento backward). Assim, o método
é ramo-orientado e é necessário que a numeração dos ramos e dos nós seja sistematicamente
ordenada.
O cálculo se dá da seguinte forma: Estimam-se as tensões nodais (comumente é
escolhido para todas as barras o valor da tensão no nó da subestação) e, iniciando-se pela
varredura reversa, calculam-se as injeções de correntes nas barras e o fluxo de corrente nos
ramos e, então, realizando o somatório das correntes, passa a ser conhecida a corrente que sai
da subestação. Conhecendo as correntes nos ramos, podem-se calcular as perdas de potência
na rede. Sequentemente, na varredura direta, a partir do valor conhecido da tensão na barra da
subestação e da corrente que por ela é injetada, calculam-se os novos valores das tensões em
todas as barras do sistema. E mais uma vez, no movimento backward da varredura, calculam-
se as correntes em todas as barras e ramos, bem como as perdas de potência da rede, para
então reiniciar o movimento forward. O processo é iterativo e termina quando um critério de
79
parada é satisfeito. O critério de parada pode ser se o número máximo de iterações do
algoritmo foi atingido e/ou se a variação das perdas ativas em duas iterações consecutivas está
acima de uma tolerância especificada como limitante superior (SHIRMOHAMMADI et al.,
1988; SHIRMOHAMMADI; HONG, 1989; TOUNE et al., 2002; MATHIAS NETO, 2011).
Neste método de resolução, são necessárias apenas três relações matemáticas: o
cálculo da injeção de corrente nos nós (trivialmente, a partir dele, conhece-se a corrente nos
ramos), o cálculo da tensão nos nós e o cálculo das perdas de potência nos ramos. As relações
são obtidas através das Leis de Kirchhoff.
Resumidamente, o algoritmo de fluxo de carga radial de varredura direta e reversa
baseado na soma de correntes segue os seguintes passos:
1. Atribuir a todas as barras do sistema a tensão na barra da subestação. Especificar o
valor de tolerância mínima de variação das perdas ativas, como critério principal
de parada. Especificar o número máximo de iterações para o algoritmo como o
segundo critério de parada. Inicializar a variável de perdas com valor nulo.
Inicializar o contador de iterações.
2. Iniciar a varredura reversa (movimento backward): calcular a injeção de corrente
em todas as barras. Através de operações simples de soma, calcular a corrente em
todos os ramos.
3. Conhecidas as correntes nos ramos, calcular as perdas ativas e reativas nos ramos
e, a partir do somatório de perdas ativas em cada ramo, obter o total de perdas
ativas do sistema.
4. Analisar os critérios de parada: Verificar se a variação das perdas ativas é menor
que o valor de tolerância especificado. Se esta condição é satisfeita, encerrar o
processo. Caso contrário, verificar se foi atingido o número máximo de iterações.
Se esta segunda condição é satisfeita, encerrar o processo. Caso contrário, ir ao
passo 5.
5. Iniciar a varredura direta (movimento forward): conhecida a corrente em todos os
ramos e conhecida a tensão na barra da subestação, calcular os novos valores de
tensões nas demais barras do sistema. Incrementar o contador de iterações em uma
unidade e voltar ao passo 2.
80
3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA DE
RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM SIMPLIFICADA
Este capítulo tem o objetivo de apresentar modelos matemáticos simplificados,
formulados para resolver o problema de restauração do serviço de fornecimento de energia
elétrica em sistemas de distribuição radiais conforme a proposta de restauração de Morelato e
Monticelli (1989). A proposta original está discutida na seção 3.1 e corresponde à
minimização do desbalanço de carga entre os alimentadores primários do sistema. Os modelos
matemáticos apresentados são chamados simplificados, ou relaxados, porque o problema
original desconsidera algumas restrições físicas e operacionais do sistema elétrico; e são
exatos porque todas as formulações matemáticas correspondentes ao problema (conforme a
abordagem realizada) são completas e explícitas, diferentemente das formulações
matemáticas apresentadas em alguns dos trabalhos revisados nos capítulos anteriores. O
presente capítulo, na verdade, apresenta modelos matemáticos alternativos para o problema
original com o objetivo principal de tornar a natureza do problema mais simples em cada nova
formulação, isto é, obter formulações com menor complexidade de resolução e,
consequentemente, facilitar a resolução dos modelos matemáticos pelos métodos conhecidos
de otimização clássica. As formulações alternativas são apresentadas na seção 3.4. Entre elas,
consta também a alteração da função objetivo original pela função objetivo que minimiza o
número de operações de chaveamento realizadas para o restabelecimento do sistema. O
capítulo apresenta e discute os diferentes testes realizados.
Os modelos matemáticos apresentados neste capítulo são muito simples, uma vez que
o problema de restauração está sendo abordado de forma simplificada, e o sistema teste
utilizado é de pequeno porte. Dessa forma, este terceiro capítulo permite introduzir algumas
discussões relevantes quanto à resolução do problema de restauração em sistemas de
distribuição radiais por modelagem matemática exata. No capítulo 4, o modelo matemático
apresentado não é simplificado, é completo, pois o problema de restauração é abordado de
forma completa e as formulações são necessariamente mais elaboradas.
3.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E SISTEMA TESTE
Os modelos matemáticos propostos neste capítulo estão baseados na proposta de
81
restauração de Morelato e Monticelli (1989). O trabalho destes autores está revisado na seção
1.2.1. Trata-se de uma estratégia heurística para resolver problemas relacionados aos sistemas
de distribuição radiais, estratégia tanto para a reconfiguração do sistema em condições
normais de operação, como para a restauração do sistema diante de ocorrência de faltas
permanentes na rede. A proposta original de restauração segue o objetivo de minimizar um
índice de balanço de carga entre os alimentadores principais, o índice LBI (do inglês Load
Balancing Index), dado pela seguinte relação:
𝐿𝐵𝐼 = 1
𝑛𝑎[∑(�̅� − �̇�𝑖)
2
𝑛𝑎
𝑖=1
]
1 2⁄
(10)
Na relação (10), 𝑛𝑎 é o número de alimentadores principais que estão ativos, �̇�𝑖 é a
carga normalizada do alimentador 𝑖 (a razão entre a carga corrente atendida pelo alimentador
ativo 𝑖 e o seu correspondente limite de carregamento) e �̅� é a média das cargas normalizadas
�̇�𝑖 (a razão entre o somatório das cargas normalizadas e os 𝑛𝑎 alimentadores ativos). O
alimentador está ativo se ele permaneceu em operação após a interrupção do fornecimento de
energia elétrica para uma determinada parcela do sistema de distribuição e, portanto, pode ser
utilizado para restabelecer o fornecimento de energia para seções em falta (ou cooperar para o
restabelecimento destas seções), de acordo com a margem de carregamento disponível (limite
de carregamento do alimentador menos o carregamento corrente) e as chaves de interconexão
normalmente abertas existentes no sistema. Assim, �̇�𝑖 e �̅� assumem a seguinte forma:
�̇�𝑖 =𝑆𝑖
𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥 �̅� =
1
𝑛𝑎∑
𝑆𝑖
𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥
𝑛𝑎
𝑖=1
onde 𝑆𝑖 é a potência aparente atendida pelo alimentador principal 𝑖 e 𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥 é o fluxo máximo
de potência aparente permitido para esse mesmo alimentador 𝑖. Deve-se observar que a
função objetivo original que minimiza o desbalanço de carga entre os alimentadores
principais, apresentada na relação (𝟏𝟎), pode ser substituída por formulações alternativas,
entre elas, uma formulação linear. A linearização da função objetivo permite encontrar
resultados equivalentes e facilita a resolução do problema. Esta linearização consta na seção
3.3, que apresenta os modelos alternativos para a proposta de Morelato e Monticelli (1989).
82
Algumas razões importantes para se considerar o equilíbrio de carga entre os alimentadores
principais ativos do sistema, assim como proposto em Morelato e Monticelli (1989) e também
em outros trabalhos que resolvem o problema de restauração, como em Toune et al. (2002) e
em Sedano et al. (2005), podem ser destacadas: a contribuição para que a capacidade de
reserva de algum desses alimentadores não fique próxima de ser violada, principalmente em
casos mais críticos de faltas; a contribuição para preservar a vida útil desses condutores e
demais elementos presentes; e para possivelmente melhorar outras variáveis do sistema (como
as magnitudes de tensão nas barras, por exemplo). Em outras palavras, seguindo o objetivo
proposto, as cargas desatendidas serão restabelecidas pelos alimentadores de suporte
disponíveis de modo que haja o equilíbrio de carregamento entre todos os alimentadores
ativos, contribuindo para a segurança operacional da rede durante o estado restaurativo e
possivelmente contribuindo para a qualidade do fornecimento de energia elétrica.
O problema proposto pelos autores é simplificado, ou relaxado, pois foram realizadas as
seguintes simplificações: apenas a carga aparente é considerada, ou seja, não existe separação
entre cargas ativas e reativas; apenas a 1ª Lei de Kirchhoff é aplicada, ou seja, a Lei de
Kirchhoff para Tensões não foi considerada; assim, também não existem restrições para as
magnitudes de tensão (não são considerados os limites operacionais exigidos) e não são
considerados os dados de impedância das linhas. Portanto, os dados utilizados para resolução
do problema de restauração são a carga em kVA em cada zona do sistema, o limite de
carregamento de cada alimentador principal e a configuração do sistema após a falta
permanente. Assim, as restrições do problema são o atendimento pleno das cargas, o
atendimento ao limite de carregamento dos alimentadores e a operação em topologia radial.
As variáveis do problema representam o carregamento dos alimentadores principais na saída
da subestação (ou seja, o fluxo de potência aparente no circuito dos disjuntores da subestação)
e representam o estado aberto ou fechado dos dispositivos de manobra (chaves e disjuntores),
sendo estas as variáveis de decisão do problema. Finalmente, a solução ótima é a solução
factível que minimiza o desbalanço de carga entre os alimentadores ativos, sem consideração
ao número de operações de chaveamento. A solução é factível se atende às restrições
impostas.
O sistema teste está organizado em zonas de carga, cuja demanda é dada em kVA.
Consiste em um sistema de 20 zonas de carga, 33 chaves e duas subestações, cada uma
conectando dois alimentadores principais, totalizando quatro alimentadores. O sistema teste é
mostrado na Figura 7. Em problemas de reconfiguração do sistema, as barras das subestações
83
podem ser consideradas como uma única barra e este critério foi adotado neste capítulo,
assim, a figura apresenta esta configuração. Os dados de demanda em kVA nas zonas de carga
constam na Tabela 1 e cada alimentador principal tem capacidade máxima de 10 MVA.
Figura 7 - Configuração base do sistema teste de 20 barras de Morelato-Monticelli
Fonte: Adaptado de Morelato e Monticelli (1989).
Tabela 1 - Dados de demanda de carga nas barras do sistema
Zona Carga (kVA)
Zona Carga (kVA)
Zona Carga (kVA)
1 1600 8 1000 15 600
2 700 9 500 16 1500
3 1800 10 800 17 2000
4 500 11 3000 18 1800
5 1900 12 3500 19 1500
6 500 13 700 20 500
7 1500 14 1000
Fonte: Morelato e Monticelli (1989).
A estratégia heurística dos autores foi aplicada no sistema teste apresentado na Figura
7. O caso analisado corresponde a uma falta permanente na zona 6. Logo, as chaves
adjacentes 10 (correspondente ao disjuntor do alimentador B) e 11 devem ser abertas para
isolar a zona 6 e as chaves normalmente abertas 6 e 15 devem ser indisponibilizadas para o
processo de restauração das demais zonas desatendidas no cenário de falta indicado: as zonas
7, 8, 9 e 10. O restabelecimento destas zonas se dará pelas operações de chaveamento na rede,
que consistem na manobra de chaves: alteração do seu estado inicial, por abertura ou
fechamento. Adicionalmente, as operações de chaveamento devem manter a operação radial
A
B
C
D
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
1
10
19
29
11 12 13 14
20 21 22 23
30 31 32 33
6 7 8 9
15 16 17 18
24 25 26 27 28
2 3 4 5
Disjuntor fechado
Disjuntor aberto
Chave fechada
Chave aberta
84
do sistema. Deve-se observar que o alimentador B ficou completamente indisponibilizado
(inativo), devido à necessidade de abertura do seu respectivo disjuntor para o isolamento da
falta na zona 6.
A estratégia de busca heurística proposta pelos autores obteve a solução ótima para o
cenário de falta testado. No entanto, vale ressaltar que a estratégia heurística corresponde a
adaptações em um algoritmo do tipo branch and bound para problemas de programação
binária, em que as estratégias tradicionais do algoritmo branch and bound no processo de
sondagem foram substituídas por regras heurísticas. Isso significa que a solução ótima pode
não ser encontrada, pois pode ser intuitivamente eliminada do processo de busca a parcela da
região factível em que se encontra a solução ótima. A Figura 8 mostra a topologia
correspondente à solução ótima encontrada pelo método heurístico de Morelato e Monticelli
(1989). De acordo com a configuração proposta pelo método, verifica-se que os alimentadores
A, C e D (ativos) transportam, respectivamente, 8.800, 8.700 e 8.900 kVA, revelando um
nível de carregamento equilibrado: 88%, 87% e 89% (a capacidade máxima de transporte de
cada alimentador é de 10.000 kVA). Quanto ao chaveamento realizado para o
restabelecimento do sistema, segundo o plano de restauração proposto, as seguintes chaves
foram operadas: abertura das chaves 12 e 22, e fechamento das chaves 8, 16 e 27, totalizando
cinco manobras. As chaves não são apresentadas em sequência de chaveamento ideal. Vale
lembrar que o número completo de chaveamento realizado no sistema corresponde a sete
operações, uma vez que duas manobras foram realizadas para isolar o defeito (abertura das
chaves 10 e 11, já mencionada). O estado final das chaves está declarado na Tabela 2, sendo
que as chaves que sofreram alteração estão sinalizadas com um asterisco (*).
Tabela 2 - Estado final das chaves no plano ótimo de restauração de Morelato-Monticelli
Chave Estado Chave Estado Chave Estado
1 Fechada 12* Aberta 23 Fechada
2 Fechada 13 Fechada 24 Aberta
3 Fechada 14 Fechada 25 Aberta
4 Fechada 15 Aberta 26 Aberta
5 Fechada 16* Fechada 27* Fechada
6 Aberta 17 Aberta 28 Aberta
7 Aberta 18 Aberta 29 Fechada
8* Fechada 19 Fechada 30 Fechada
9 Aberta 20 Fechada 31 Fechada
10* Aberta 21 Fechada 32 Fechada
11* Aberta 22* Aberta 33 Fechada
* Sinaliza as chaves que sofreram alteração de estado
Fonte: Adaptado de Morelato e Monticelli (1989).
85
Figura 8 - Configuração ótima proposta pelo método heurístico de Morelato-Monticelli
Fonte: Adaptado de Morelato e Monticelli (1989).
Nas próximas seções deste capítulo, os modelos matemáticos desenvolvidos com a
abordagem simplificada discutida serão apresentados e os resultados obtidos com a resolução
deles para este e outros casos de falta permanente no sistema teste apresentado nesta seção
serão analisados e comparados.
3.2 MODELAGEM MATEMÁTICA PROPOSTA COM ABORDAGEM
SIMPLIFICADA
Nesta seção, o modelo matemático exato para a proposta de restauração de Morelato e
Monticelli (1989), discutida na seção anterior, é apresentado. O problema original é de
programação não linear inteira mista (PNLIM) e o modelo matemático simplificado é
apresentado nas relações (𝟏𝟏𝐚) a (𝟏𝟏𝐡).
É importante frisar que o sistema elétrico se encontra em estado restaurativo, portanto,
para a elaboração do plano de restauração, barras de interesse ou sob defeito devem ser
isoladas e para isso circuitos adjacentes a estas barras devem ser indisponibilizados. Assim,
participam do processo de restauração apenas as barras não isoladas e os ramos não
indisponibilizados. Dessa forma, na modelagem apresentada, a sinalização “linha” (o
apóstrofo) em algumas variáveis, parâmetros e conjuntos do modelo simboliza o estado
restaurativo do sistema elétrico. Esta sinalização foi usada apenas para evidenciar o contexto
A
B
C
D
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
1
10
19
29
11 12 13 14
20 21 22 23
30 31 32 33
6 7 8 9
15 16 17 18
24 25 26 27 28
2 3 4 5
Disjuntor fechado
Disjuntor aberto
Chave fechada
Chave aberta
Local da falta
86
restaurativo e, assim, se diferenciar da notação comumente adotada na literatura especializada
quando se considera a integridade do sistema elétrico de distribuição (como em problemas de
planejamento da reconfiguração do sistema para minimização de perdas, por exemplo).
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 1
𝑛𝑎[ ∑ (�̅� − �̇�𝑗)
2
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
]
1 2⁄
(11a)
𝑠. 𝑎.
�̇�𝑗 =𝑓𝑜,𝑗
𝑓�̅�,𝑗
∀(𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′ (11b)
�̅� =1
𝑛𝑎 ∑
𝑓𝑜,𝑗
𝑓�̅�,𝑗
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(11c)
− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(11d)
∑ 𝑓𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ 𝑓𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ Ω𝑑′ (11e)
|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (11f)
∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑛𝑏′ − 1 (11g)
𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0, 1} ∀(𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (11h)
Segue a descrição do modelo matemático: considera-se uma única barra para o
conjunto de subestações (no caso do sistema teste, o conjunto é formado por duas
subestações), assim, 𝑛𝑠 = 1 e Ω𝑜′ é o conjunto de ramos não indisponibilizados diretamente
ligados à barra da subestação, sendo ela denotada por 𝑜; Ω𝑑′ é o conjunto de barras de
demanda do sistema passíveis de restauração, isto é, considerando que o sistema possui um
total de 𝑛𝑏 = 21 barras e, destas, 𝑛𝑠 = 1 é o número de barras de subestação e, além disso,
𝑛𝑏𝑑𝑒𝑓 = 1 barras sob defeito estão isoladas, então, existem 𝑛𝑏′ = 𝑛𝑏 − 𝑛𝑏𝑑𝑒𝑓 barras não
isoladas participantes do processo de elaboração do plano de restauração, ou seja, 𝑛𝑏′ = 21 −
1 = 20 barras não isoladas, e 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 = 20 − 1 = 19 barras de demanda disponíveis para
atendimento; Ω𝑙′ é o conjunto de ramos do sistema elétrico que não foram indisponibilizados,
por exemplo, no caso de falta na zona 6, quatro ramos foram indisponibilizados, portanto, o
conjunto Ω𝑙′ é composto por 𝑛𝑙′ = 33 − 4 = 29 ramos, todos disponíveis para o processo de
elaboração do plano de restauração; 𝑣 é a função objetivo que minimiza o índice LBI; 𝑛𝑎 é o
87
número de alimentadores principais ativos, isto é, o número de ramos pertencentes a Ω𝑜′ , os
quais permaneceram conectados à barra da subestação após a ocorrência da falta permanente;
𝑓𝑖,𝑗 é o fluxo de potência aparente no circuito compreendido entre as barras 𝑖 e 𝑗, cuja
capacidade máxima de fluxo para o ramo é 𝑓�̅�,𝑗; �̇�𝑗 é o valor normalizado do fluxo de potência
que está saindo da subestação para a barra 𝑗 diretamente conectada à subestação, isto é, a
razão entre o fluxo no ramo ativo 𝑜 − 𝑗 ∈ Ω𝑜′ e a capacidade máxima 𝑓�̅�,𝑗 permitida para o
ramo; �̅� é o valor médio dos fluxos �̇�𝑗; 𝑔𝑜 é a potência aparente fornecida pela subestação; 𝑑𝑖
é a demanda de potência aparente na barra 𝑖; e 𝑥𝑖,𝑗 é a variável binária de decisão que
representa o estado da chave ou disjuntor no circuito 𝑖 − 𝑗 e assume valor 𝑥𝑖,𝑗 = 1 se a chave
está fechada (indicando circuito fechado) e valor 𝑥𝑖,𝑗 = 0 se a chave está aberta (indicando
circuito aberto). Finalmente, sendo 𝑛𝑏′ = 21 − 1 = 20 o número de barras não isoladas do
sistema e 𝑛𝑠 = 1 o número de barras de subestação, o total de circuitos fechados para
operação radial do sistema plenamente restabelecido deverá ser equivalente a 20 − 1 = 19.
O restabelecimento é pleno para as barras de carga passíveis de restauração.
A equação (𝟏𝟏𝐝) corresponde ao balanço de potência aparente na barra da subestação,
ou seja, representa o equilíbrio entre a geração e a demanda no sistema elétrico; e o conjunto
de equações (𝟏𝟏𝐞) representa o balanço de potência aparente em cada barra de demanda.
Estas duas restrições estão relacionadas à primeira lei de Kirchhoff. As relações (𝟏𝟏𝐟)
limitam o fluxo de potência aparente nos ramos ativos de acordo com a capacidade máxima
de fluxo permitida para cada ramo. A restrição de igualdade (𝟏𝟏𝐠) garante que a solução
ótima deve ter 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 chaves fechadas, condição necessária para a operação radial do
sistema restaurado. A restrição (𝟏𝟏𝐠) juntamente com a garantia de que a solução ótima
deverá ser um sistema conexo garante que a solução ótima seja radial. O caráter conexo da
solução ótima é dado pelas restrições (𝟏𝟏𝐝) e (𝟏𝟏𝐞), segundo as quais a demanda em cada
barra de carga deve ser atendida pela subestação e, portanto, cada barra de demanda está
conectada com a subestação, formando um sistema conexo. A restrição (𝟏𝟏𝐠), nesse caso, é
de igualdade porque se sabe que o conjunto de alimentadores de suporte do sistema teste tem
potencial para restabelecer completamente as zonas desatendidas passíveis de restauração.
Assim, não existe a necessidade de prever o desligamento de zonas de carga durante o
processo de restabelecimento do sistema no estado restaurativo. Caso contrário, o modelo
matemático, inclusive a própria restrição (𝟏𝟏𝐠), deveria ser adequadamente reformulado para
permitir que uma ou mais zonas permanecessem desconectadas durante o estado restaurativo
88
do sistema, caso causassem sobrecargas. Este tópico é especialmente discutido no capítulo 4,
que apresenta o modelo matemático completo e que considera a possibilidade de corte de
carga.
Para exemplificar esta modelagem matemática, as relações matemáticas do modelo
são detalhadas e apresentadas no conjunto de relações numeradas de (𝟏𝟐) a (𝟏𝟗), conforme
os dados do sistema teste apresentado e conforme o caso de falta na zona 6, discutidos neste
capítulo. Portanto, estão desconsiderados do processo de restauração todos os parâmetros e
variáveis do modelo relacionados à zona 6: informações de barra e informações de ramos
conectados a ela. Por exemplo, inexistem no contexto restaurativo considerado as seguintes
variáveis: �̇�𝟔, 𝒇𝒐,𝟔, 𝒇𝟏,𝟔, 𝒇𝟔,𝟕, 𝒇𝟔,𝟏𝟏, 𝒙𝒐,𝟔, 𝒙𝟏,𝟔, 𝒙𝟔,𝟕, 𝒙𝟔,𝟏𝟏 e 𝒅𝟔.
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 1
3[(�̅� − �̇�1)2 + (�̅� − �̇�11)2 + (�̅� − �̇�16)2]1 2⁄ (12)
𝑠. 𝑎.
�̇�1 =𝑓𝑜,1
10000 (13a)
�̇�11 =𝑓𝑜,11
10000 (13b)
�̇�16 =𝑓𝑜,16
10000 (13c)
�̅� =1
30000 (𝑓𝑜,1 + 𝑓𝑜,11 + 𝑓𝑜,16) (14)
− 𝑓𝑜,1 − 𝑓𝑜,11 − 𝑓𝑜,16 + 𝑔𝑜 = 0 (15)
𝑓𝑜,1 − 𝑓1,2 = 1600 (16a)
𝑓1,2 − 𝑓2,3 − 𝑓2,7 = 700 (16b)
𝑓2,3 − 𝑓3,4 − 𝑓3,8 = 1800 (16c)
𝑓3,4 − 𝑓4,5 − 𝑓4,9 = 500 (16d)
𝑓4,5 = 1900 (16e)
𝑓2,7 − 𝑓7,8 − 𝑓7,12 = 1500 (16f)
𝑓7,8 − 𝑓3,8 − 𝑓8,9 − 𝑓8,13 = 1000 (16g)
𝑓8,9 + 𝑓4,9 − 𝑓9,10 − 𝑓9,14 = 500 (16h)
𝑓9,10 = 800 (16i)
𝑓𝑜,11 − 𝑓11,12 − 𝑓11,16 = 3000 (16j)
𝑓11,12 + 𝑓7,12 − 𝑓12,13 − 𝑓12,17 = 3500 (16k)
𝑓12,13 + 𝑓8,13 − 𝑓13,14 − 𝑓13,18 = 700 (16l)
𝑓13,14 + 𝑓9,14 − 𝑓14,15 − 𝑓14,19 = 1000 (16m)
89
𝑓14,15 − 𝑓15,20 = 600 (16n)
𝑓𝑜,16 + 𝑓11,16 − 𝑓16,17 = 1500 (16o)
𝑓16,17 + 𝑓12,17 − 𝑓17,18 = 2000 (16p)
𝑓17,18 + 𝑓13,18 − 𝑓18,19 = 1800 (16q)
𝑓18,19 + 𝑓14,19 − 𝑓19,20 = 1500 (16r)
𝑓19,20 + 𝑓15,20 = 500 (16s)
|𝑓𝑜,1| ≤ 10000 𝑥𝑜,1 (17a)
|𝑓𝑜,11| ≤ 10000 𝑥𝑜,11 (17b)
|𝑓𝑜,16| ≤ 10000 𝑥𝑜,16 (17c)
|𝑓1,2| ≤ 10000 𝑥1,2 (17d)
|𝑓2,3| ≤ 10000 𝑥2,3 (17e)
|𝑓3,4| ≤ 10000 𝑥3,4 (17f)
|𝑓4,5| ≤ 10000 𝑥4,5 (17g)
|𝑓2,7| ≤ 10000 𝑥2,7 (17h)
|𝑓3,8| ≤ 10000 𝑥3,8 (17i)
|𝑓4,9| ≤ 10000 𝑥4,9 (17j)
|𝑓7,8| ≤ 10000 𝑥7,8 (17k)
|𝑓8,9| ≤ 10000 𝑥8,9 (17l)
|𝑓9,10| ≤ 10000 𝑥9,10 (17m)
|𝑓7,12| ≤ 10000 𝑥7,12 (17n)
|𝑓8,13| ≤ 10000 𝑥8,13 (17o)
|𝑓9,14| ≤ 10000 𝑥9,14 (17p)
|𝑓11,12| ≤ 10000 𝑥11,12 (17q)
|𝑓12,13| ≤ 10000 𝑥12,13 (17r)
|𝑓13,14| ≤ 10000 𝑥13,14 (17s)
|𝑓14,15| ≤ 10000 𝑥14,15 (17t)
|𝑓11,16| ≤ 10000 𝑥11,16 (17u)
|𝑓12,17| ≤ 10000 𝑥12,17 (17v)
|𝑓13,18| ≤ 10000 𝑥13,18 (17w)
|𝑓14,19| ≤ 10000 𝑥14,19 (17x)
|𝑓15,20| ≤ 10000 𝑥15,20 (17y)
|𝑓16,17| ≤ 10000 𝑥16,17 (17z)
|𝑓17,18| ≤ 10000 𝑥17,18 (17a1)
90
|𝑓18,19| ≤ 10000 𝑥18,19 (17b1)
|𝑓19,20| ≤ 10000 𝑥19,20 (17c1)
𝑥𝑜,1 + 𝑥𝑜,11 + 𝑥𝑜,16 + 𝑥1,2 + 𝑥2,3 + 𝑥3,4 + 𝑥4,5 + 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 +
𝑥7,8 + 𝑥8,9 + 𝑥9,10 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,12 + 𝑥12,13 + 𝑥13,14 +
𝑥14,15 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17 + 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 + 𝑥16,17 + 𝑥17,18 +
𝑥18,19 + 𝑥19,20 = 19
(18)
𝑥𝑜,1 , 𝑥𝑜,11 , 𝑥𝑜,16 , 𝑥1,2 , 𝑥2,3 , 𝑥3,4 , 𝑥4,5 , 𝑥2,7 , 𝑥3,8 , 𝑥4,9 , 𝑥7,8 , 𝑥8,9 ,
𝑥9,10 , 𝑥7,12 , 𝑥8,13 , 𝑥9,14 , 𝑥11,12 , 𝑥12,13 , 𝑥13,14 , 𝑥14,15 , 𝑥11,16 , 𝑥12,17
, 𝑥13,18 , 𝑥14,19 , 𝑥15,20 , 𝑥16,17 , 𝑥17,18 , 𝑥18,19 , 𝑥19,20 ∈ {0,1}
(19)
3.3 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS PARA O MODELO MATEMÁTICO
SIMPLIFICADO
O modelo matemático simplificado e que corresponde à proposta original de Morelato
e Monticelli (1989) apresentado na seção anterior é um problema de programação não linear
inteira mista (PNLIM). A não linearidade do problema aparece apenas na função objetivo. É
possível modificar a formulação da função objetivo, de modo que ela represente, de forma
equivalente, a proposta de restauração original de minimização do índice LBI. Nesta seção,
duas formulações alternativas equivalentes à proposta original são apresentadas e uma terceira
formulação é proposta para este mesmo problema de restauração com abordagem
simplificada: esta nova proposta segue um objetivo diferente de otimização, a minimização do
número de chaveamentos para o restabelecimento do sistema.
A primeira modificação torna o modelo matemático original um problema de
programação quadrática inteira mista (PQIM) e consiste simplesmente em não aplicar a
função raiz quadrada. Esta nova formulação para a função objetivo é apresentada na relação
(𝟐𝟎). A segunda modificação torna o modelo matemático original um problema de
programação linear inteira mista (PLIM) e a formulação para esta função objetivo é
apresentada na relação (𝟐𝟏). A resolução de problemas de natureza quadrática e de natureza
linear pelos métodos clássicos de otimização conhecidos é facilitada, inclusive pelos
solucionadores comerciais existentes e, consequentemente, demandam menor tempo de
91
processamento computacional. Dessa forma, as duas novas formulações alternativas para a
proposta original, principalmente a formulação linear, podem ser consideradas mais
interessantes para o modelo matemático proposto para o problema de restauração.
𝐿𝐵𝐼𝑞𝑢𝑎𝑑 = 1
𝑛𝑎 ∑ (�̅� − �̇�𝑗)
2
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(20)
𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑 =1
𝑛𝑎 ∑ |�̅� − �̇�𝑗|
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(21)
O modelo matemático originalmente proposto não sofre outras alterações com a
substituição da função objetivo não linear em (𝟏𝟏𝐚) pela função objetivo quadrática em
(𝟐𝟎). Portanto, é dispensável reapresentar o modelo matemático com esta nova formulação.
No entanto, a linearização da função objetivo apresentada em (𝟐𝟏) exige que novas variáveis
e restrições sejam acrescentadas ao modelo. Desta forma, o modelo matemático simplificado
alternativo, de programação linear inteira mista (PLIM), para a proposta original de
restauração de Morelato e Monticelli (1989) é apresentado a seguir. O modelo minimiza a
soma ponderada não negativa dos valores absolutos de desvio dos níveis de carregamento
entre os alimentadores principais ativos, isto é, a soma ponderada não negativa de |�̅� − �̇�𝑗|.
De forma explícita, a função objetivo 𝑣 para a formulação em (𝟐𝟏) considerando o
caso de falta na zona 6 fica assim definida:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 =1
3 [|�̅� − �̇�1| + |�̅� − �̇�11| + |�̅� − �̇�16|] (22)
A formulação em (𝟐𝟏), ou (𝟐𝟐), pode ser linearizada porque os coeficientes das
variáveis da função objetivo são positivos. Pode-se observar que os coeficientes numéricos
são todos unitários positivos. Assim, no processo de linearização, cada �̅� − �̇�𝒋 é representado
por uma nova variável, chamada aqui de 𝑷𝒋. Desse modo, de acordo com a particularização
em (𝟐𝟐), têm-se: 𝑷𝟏 = �̅� − �̇�𝟏, 𝑷𝟏𝟏 = �̅� − �̇�𝟏𝟏 e 𝑷𝟏𝟔 = �̅� − �̇�𝟏𝟔. A variável 𝑷𝒋 é irrestrita
quanto ao sinal algébrico que ela pode assumir (pode assumir tanto valores positivos como
negativos) e, por isso, pode ser então substituída por duas variáveis não negativas 𝑷𝒋+ e 𝑷𝒋
−
obedecendo à forma 𝑷𝒋+ − 𝑷𝒋
−. Similarmente, em módulo, |�̅� − �̇�𝒋| equivale a |𝑷𝒋| e a
variável |𝑷𝒋| pode ser substituída por 𝑷𝒋+ + 𝑷𝒋
−. Portanto: 𝑷𝒋 = 𝑷𝒋+ − 𝑷𝒋
− e |𝑷𝒋| = 𝑷𝒋+ + 𝑷𝒋
−.
92
Todas as variáveis 𝑷𝒋+ e 𝑷𝒋
− devem ser maiores ou iguais a zero. A partir destas relações, o
novo modelo matemático simplificado, linear inteiro misto, assume a seguinte forma explícita
para o caso de falta analisado:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 1
3 [(𝑃1
+ + 𝑃1−) + (𝑃11
+ + 𝑃11− ) + (𝑃16
+ + 𝑃16− )] (23)
𝑠. 𝑎.
𝑃1+ − 𝑃1
− = �̅� − �̇�1 (24a)
𝑃11+ − 𝑃11
− = �̅� − �̇�11 (24b)
𝑃16+ − 𝑃16
− = �̅� − �̇�16 (24c)
�̇�1 =𝑓𝑜,1
10000 (25a)
�̇�11 =𝑓𝑜,11
10000 (25b)
�̇�16 =𝑓𝑜,16
10000 (25c)
�̅� =1
30000 (𝑓𝑜,1 + 𝑓𝑜,11 + 𝑓𝑜,16) (26)
− 𝑓𝑜,1 − 𝑓𝑜,11 − 𝑓𝑜,16 + 𝑔𝑜 = 0 (27)
𝑓𝑜,1 − 𝑓1,2 = 1600 (28a)
𝑓1,2 − 𝑓2,3 − 𝑓2,7 = 700 (28b)
𝑓2,3 − 𝑓3,4 − 𝑓3,8 = 1800 (28c)
𝑓3,4 − 𝑓4,5 − 𝑓4,9 = 500 (28d)
𝑓4,5 = 1900 (28e)
𝑓2,7 − 𝑓7,8 − 𝑓7,12 = 1500 (28f)
𝑓7,8 − 𝑓3,8 − 𝑓8,9 − 𝑓8,13 = 1000 (28g)
𝑓8,9 + 𝑓4,9 − 𝑓9,10 − 𝑓9,14 = 500 (28h)
𝑓9,10 = 800 (28i)
𝑓𝑜,11 − 𝑓11,12 − 𝑓11,16 = 3000 (28j)
𝑓11,12 + 𝑓7,12 − 𝑓12,13 − 𝑓12,17 = 3500 (28k)
𝑓12,13 + 𝑓8,13 − 𝑓13,14 − 𝑓13,18 = 700 (28l)
𝑓13,14 + 𝑓9,14 − 𝑓14,15 − 𝑓14,19 = 1000 (28m)
𝑓14,15 − 𝑓15,20 = 600 (28n)
𝑓𝑜,16 + 𝑓11,16 − 𝑓16,17 = 1500 (28o)
𝑓16,17 + 𝑓12,17 − 𝑓17,18 = 2000 (28p)
𝑓17,18 + 𝑓13,18 − 𝑓18,19 = 1800 (28q)
93
𝑓18,19 + 𝑓14,19 − 𝑓19,20 = 1500 (28r)
𝑓19,20 + 𝑓15,20 = 500 (28s)
|𝑓𝑜,1| ≤ 10000 𝑥𝑜,1 (29a)
|𝑓𝑜,11| ≤ 10000 𝑥𝑜,11 (29b)
|𝑓𝑜,16| ≤ 10000 𝑥𝑜,16 (29c)
|𝑓1,2| ≤ 10000 𝑥1,2 (29d)
|𝑓2,3| ≤ 10000 𝑥2,3 (29e)
|𝑓3,4| ≤ 10000 𝑥3,4 (29f)
|𝑓4,5| ≤ 10000 𝑥4,5 (29g)
|𝑓2,7| ≤ 10000 𝑥2,7 (29h)
|𝑓3,8| ≤ 10000 𝑥3,8 (29i)
|𝑓4,9| ≤ 10000 𝑥4,9 (29j)
|𝑓7,8| ≤ 10000 𝑥7,8 (29k)
|𝑓8,9| ≤ 10000 𝑥8,9 (29l)
|𝑓9,10| ≤ 10000 𝑥9,10 (29m)
|𝑓7,12| ≤ 10000 𝑥7,12 (29n)
|𝑓8,13| ≤ 10000 𝑥8,13 (29o)
|𝑓9,14| ≤ 10000 𝑥9,14 (29p)
|𝑓11,12| ≤ 10000 𝑥11,12 (29q)
|𝑓12,13| ≤ 10000 𝑥12,13 (29r)
|𝑓13,14| ≤ 10000 𝑥13,14 (29s)
|𝑓14,15| ≤ 10000 𝑥14,15 (29t)
|𝑓11,16| ≤ 10000 𝑥11,16 (29u)
|𝑓12,17| ≤ 10000 𝑥12,17 (29v)
|𝑓13,18| ≤ 10000 𝑥13,18 (29w)
|𝑓14,19| ≤ 10000 𝑥14,19 (29x)
|𝑓15,20| ≤ 10000 𝑥15,20 (29y)
|𝑓16,17| ≤ 10000 𝑥16,17 (29z)
|𝑓17,18| ≤ 10000 𝑥17,18 (29a1)
|𝑓18,19| ≤ 10000 𝑥18,19 (29b1)
|𝑓19,20| ≤ 10000 𝑥19,20 (29c1)
94
𝑥𝑜,1 + 𝑥𝑜,11 + 𝑥𝑜,16 + 𝑥1,2 + 𝑥2,3 + 𝑥3,4 + 𝑥4,5 + 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 +
𝑥7,8 + 𝑥8,9 + 𝑥9,10 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,12 + 𝑥12,13 + 𝑥13,14 +
𝑥14,15 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17 + 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 + 𝑥16,17 + 𝑥17,18 +
𝑥18,19 + 𝑥19,20 = 19
(30)
𝑥𝑜,1 , 𝑥𝑜,11 , 𝑥𝑜,16 , 𝑥1,2 , 𝑥2,3 , 𝑥3,4 , 𝑥4,5 , 𝑥2,7 , 𝑥3,8 , 𝑥4,9 , 𝑥7,8 , 𝑥8,9 ,
𝑥9,10 , 𝑥7,12 , 𝑥8,13 , 𝑥9,14 , 𝑥11,12 , 𝑥12,13 , 𝑥13,14 , 𝑥14,15 , 𝑥11,16 , 𝑥12,17
, 𝑥13,18 , 𝑥14,19 , 𝑥15,20 , 𝑥16,17 , 𝑥17,18 , 𝑥18,19 , 𝑥19,20 ∈ {0,1}
(31)
𝑃1+, 𝑃1
−, 𝑃11+ , 𝑃11
− , 𝑃16+ , 𝑃16
− ≥ 0 (32)
As novas restrições do novo modelo matemático simplificado apresentado são o
conjunto de restrições (𝟐𝟒) e a restrição (𝟑𝟐). Portanto, as modificações constam nestas
relações e na relação (𝟐𝟑), correspondente à nova função objetivo adotada.
Assim, o modelo matemático relaxado original na sua versão linearizada é dado,
genericamente, a seguir:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 1
𝑛𝑎 ∑ (𝑃𝑗
+ + 𝑃𝑗−)
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(33a)
𝑠. 𝑎.
𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗
− = �̅� − �̇�𝑗 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜′ (33b)
�̇�𝑗 =𝑓𝑜,𝑗
𝑓�̅�,𝑗
∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′ (33c)
�̅� =1
𝑛𝑎 ∑
𝑓𝑜,𝑗
𝑓�̅�,𝑗
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(33d)
− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(33e)
∑ 𝑓𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ 𝑓𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑑𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑑′ (33f)
|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (33g)
∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑛𝑏′ − 1 (33h)
𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (33i)
𝑃𝑗+ ≥ 0 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜
′ (33j)
𝑃𝑗− ≥ 0 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜
′ (33k)
95
Semelhantemente, na versão genérica do novo modelo relaxado, as modificações
realizadas constam nas relações (𝟑𝟑𝐚), (𝟑𝟑𝐛), (𝟑𝟑𝐣) e (𝟑𝟑𝐤).
Por último, a terceira formulação para a função objetivo proposta neste trabalho de
pesquisa para o problema relaxado de restauração corresponde à minimização do número de
operações de chaveamento realizadas para o restabelecimento do serviço de fornecimento de
energia elétrica para as zonas desatendidas após a ocorrência de falta permanente no sistema,
diante da possibilidade de restauração. Igualmente, o modelo é aplicado ao sistema teste
apresentado por Morelato e Monticelli (1989). No caso do problema analisado, em que se
impõe o restabelecimento completo do sistema elétrico de distribuição radial, isolada a falta e
indisponibilizados os correspondentes circuitos adjacentes a ela, a nova proposta de
restauração buscará o atendimento pleno às zonas de carga do sistema, segundo a capacidade
de carregamento dos alimentadores de suporte ativos, fechando com a menor alteração
possível do estado inicial das chaves os 19 circuitos permitidos para manter a topologia radial
e conexa.
Esta nova função objetivo formulada, apresentada na relação (𝟑𝟒), também é linear e
é muito trivial. É preciso tão somente conhecer o estado inicial das chaves, isto é, dispor da
informação sobre a topologia base da rede elétrica no seu estado normal de operação, e esta
informação é elementar, para que se contabilize o número de chaves manobradas.
𝐶𝐻𝑜𝑝 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈Ω𝑎
+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)∈Ω𝑓
(34)
Nesta formulação, Ω𝑎 é o conjunto de chaves normalmente abertas e Ω𝑓 é o conjunto
de chaves normalmente fechadas no estado normal de operação do sistema elétrico. Assim, o
conjunto de ramos do sistema é representado pela relação Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓. Similarmente, em
estado restaurativo, a relação entre os conjuntos é Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪ Ω𝑓′, levando em consideração as
chaves normalmente abertas e fechadas possivelmente indisponibilizadas. As chaves 𝑥𝑖,𝑗 são
variáveis binárias, desta forma, sempre que o estado binário de uma chave é alterado, esta
manobra é trivialmente contabilizada. O modelo matemático originalmente proposto na seção
anterior não sofre outras alterações com a substituição da função objetivo não linear em
(𝟏𝟏𝐚) por esta nova função objetivo linear em (𝟑𝟒), a não ser a dispensação das restrições
(𝟏𝟏𝐛) e (𝟏𝟏𝐜) diretamente ligadas à função objetivo (𝟏𝟏𝐚) substituída.
96
Para o sistema elétrico analisado no contexto restaurativo apresentado, onde os
circuitos 𝑜 − 16, 1 − 6, 6 − 7 𝑒 6 − 11 foram indisponibilizados devido à falta na zona 6, a
função objetivo 𝑣 para a formulação em (𝟑𝟒) assume a seguinte forma explícita:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17
+ 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 − 𝑥𝑜,1 − 𝑥𝑜,11 − 𝑥𝑜,16 − 𝑥1,2
− 𝑥2,3 − 𝑥3,4 − 𝑥4,5 − 𝑥7,8 − 𝑥8,9 − 𝑥9,10 − 𝑥11,12
− 𝑥12,13 − 𝑥13,14 − 𝑥14,15 − 𝑥16,17 − 𝑥17,18 − 𝑥18,19
− 𝑥19,20 + 18
(35)
Observa-se que, do total de 33 chaves no sistema, apenas 29 chaves estão disponíveis
e, destas 29, apenas 19 chaves terão seu estado final declarado fechado (conforme a relação
(𝟏𝟏𝐠) ou (𝟑𝟑𝐡)), de modo a atender plenamente as 19 barras de demanda passíveis de
restauração.
Assim, o modelo matemático exato para o problema de restauração com abordagem
simplificada com a proposta de minimizar o número de operações de chaveamento (o número
de chaves manobradas) para restabelecimento do sistema, é apresentado a seguir:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗) ∈ Ω𝑎′
+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗) ∈ Ω𝑓′
(36a)
𝑠. 𝑎.
− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0
(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′
(36b)
∑ 𝑓𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ 𝑓𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑑𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑑′ (36c)
|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (36d)
∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑛𝑏′ − 1 (36e)
𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (36f)
Os modelos matemáticos deste capítulo, propostos com abordagem simplificada,
foram apresentados. A eficiência de cada uma das propostas formuladas e apresentadas é
avaliada a partir dos testes realizados e apresentados na seção seguinte.
97
3.4 TESTES E RESULTADOS
Esta seção apresenta e discute os resultados obtidos através dos testes realizados com
todas as formulações propostas para o modelo matemático que resolve o problema de
restauração com abordagem simplificada, como proposto por Morelato e Monticelli (1989),
tanto seguindo o objetivo original de minimização do índice LBI, como seguindo a proposta
alternativa de minimização do número de operações de chaveamento. O problema com esta
abordagem foi discutido em todo o capítulo 3 e na seção 1.2.1.
Os resultados encontrados pela metodologia heurística de Morelato e Monticelli
(1989) foram apresentados na seção 3.1 do presente capítulo, onde também se discutiu a
proposta de restauração e onde foi apresentado o sistema teste utilizado. O resumo desses
resultados é apresentado nesta seção juntamente com o resumo dos resultados obtidos através
da resolução do problema relaxado por meio dos diversos modelos matemáticos propostos
neste trabalho de pesquisa, a fim de se estabelecerem comparações. As duas diferentes
propostas de restauração formuladas e modeladas na função objetivo (a minimização do
desbalanço de carregamento entre os alimentadores principais ativos e a minimização do
número de operações de chaveamento) contribuíram para que resultados interessantes fossem
encontrados para o problema.
No trabalho referenciado, os autores apresentam a solução ótima para o problema que
minimiza o índice LBI. A solução é ótima em termos de equilíbrio de carregamento. Assim,
as formulações do modelo matemático exato simplificado para esta mesma proposta de
restauração (minimização do índice LBI) necessariamente deverão apresentar a mesma
configuração ótima encontrada pelo método heurístico ou deverão apresentar configurações
ótimas alternativas, se elas existirem.
Os modelos matemáticos foram programados e resolvidos dentro do ambiente de
programação matemática AMPL (do inglês, A Modeling Language for Mathematical
Programming). O problema de programação não linear inteira mista (PNLIM) foi resolvido
usando o solver comercial KNITRO. O problema de programação quadrática inteira mista
(PQIM) e os dois problemas de programação linear inteira mista (PLIM) foram resolvidos
usando o solver comercial CPLEX. O computador utilizado para resolução do problema de
restauração pelos métodos exatos possui as seguintes configurações principais: Sistema
operacional de 64 bits (Windows 8), Processador Intel(R) Core(TM) i5-3337U com 1,80 GHz
98
e Memória RAM de 6 GB. Os testes e resultados são apresentados e discutidos nas subseções
seguintes.
Para contextualização dos resultados, a Tabela 3 mostra o estado inicial das chaves no
sistema teste apresentado na seção 3.1. A configuração inicial das chaves representa a
configuração base do sistema elétrico, isto é, define a configuração do sistema no seu estado
normal de operação. Se o sistema elétrico passa a operar no estado restaurativo, então, a partir
do conhecimento de sua configuração base e da informação do local de falta, é possível saber
quais circuitos devem ser indisponibilizados para isolar o defeito e verificar quais zonas de
carga foram desatendidas. Dessa forma, é possível conhecer a demanda de carga não suprida,
conhecer os níveis de carregamento corrente dos alimentadores de suporte disponíveis (e,
consequentemente, conhecer a capacidade de reserva corrente de cada um deles) e conhecer
as chaves disponíveis para manobra que poderão ser usadas para a definição de uma
configuração alternativa para o sistema, de modo que a parcela desatendida possa ser
maximamente restaurada. Assim, a tentativa de restauração pode ser iniciada, segundo o
objetivo específico estabelecido ou o conjunto deles.
Tabela 3 - Configuração inicial das chaves no sistema teste de Morelato-Monticelli
Chave Estado Chave Estado Chave Estado
1 Fechada 12 Fechada 23 Fechada
2 Fechada 13 Fechada 24 Aberta
3 Fechada 14 Fechada 25 Aberta
4 Fechada 15 Aberta 26 Aberta
5 Fechada 16 Aberta 27 Aberta
6 Aberta 17 Aberta 28 Aberta
7 Aberta 18 Aberta 29 Fechada
8 Aberta 19 Fechada 30 Fechada
9 Aberta 20 Fechada 31 Fechada
10 Fechada 21 Fechada 32 Fechada
11 Fechada 22 Fechada 33 Fechada
Fonte: Morelato e Monticelli (1989).
3.4.1 Resultados para a Minimização do Desequilíbrio de Carregamento entre os
Alimentadores Primários
Os resultados apresentados nesta seção para a informação de falta permanente na zona
6, conforme discutido na seção 3.1, estão relacionados ao objetivo de minimizar o índice de
99
balanço de carga entre os alimentadores principais, o índice LBI. A formulação original do
problema, de natureza não linear, e as formulações alternativas apresentadas, de natureza
quadrática e de natureza linear, são analisadas a partir dos resultados obtidos e apresentados
na Tabela 4, que mostra o resumo dos resultados apenas para o contexto restaurativo
analisado no trabalho de referência.
Tabela 4 - Resumo de resultados: Minimização do índice LBI no cenário de falta na zona 6
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Carregamento dos alimentadores
(em kVA e em percentual 𝑦𝑖) Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador
Tempo de
Proc. (s) A B C D
- Sem falta 6.500
65%
4.300
43%
8.800
88%
7.300
73% - -
Heurístico
PNLIM 6
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89% 8, 12, 16, 22, 27 -
Exato
PNLIM 6
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89%
8, 9, 12, 13, 16, 22, 28 (1) 943,80
8, 12, 16, 22, 28 (2) 962,31
Exato
PQIM 6
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89% 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27, 28, 33 1,11
Exato
PLIM 6
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89% 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27 0,94
(1) Solução obtida inicializando a busca a partir da configuração base do sistema.
(2) Solução obtida sem indicação de um ponto de partida para a busca (sem inicialização do estado das chaves).
Fonte: Elaboração da autora
A informação do tempo de processamento pela heurística especialista de Morelato e
Monticelli (1989), ausente na Tabela 4, não é interessante para comparações no contexto
deste trabalho, por duas razões básicas: primeira, o avanço tecnológico dos computadores no
cenário atual é muito superior ao da época de publicação do trabalho em questão e, segunda
razão, o tempo computacional demandado pela execução de algoritmos heurísticos simples
geralmente é pequeno. Esta verificação pode ser facilmente obtida a partir de alguns dos
trabalhos baseados em metodologias heurísticas revisados no capítulo 1 deste trabalho de
pesquisa, os quais apresentam a resolução do problema de restauração em torno de 1/3 ou
1/2 de minuto. Além disso, a proposta de Morelato e Monticelli (1989) é justamente
contornar a complexidade de obtenção da solução exata do problema por técnicas de
otimização clássica que demandariam tempo elevado de processamento, e apresentar soluções
viáveis, de qualidade tendenciosamente sub-ótima, em tempo razoavelmente adequado. No
entanto, é interessante observar o tempo de processamento computacional demandado pelo
modelo matemático com a formulação PNLIM, que resolve o problema de restauração
conforme a proposta original dos autores, para a comparação com as demais formulações
100
alternativas apresentadas como propostas melhoradas da proposta original.
Analisando os resultados em termos de tempo de processamento computacional,
verifica-se que as formulações alternativas quadrática e linear resolveram o problema em
aproximadamente 1 segundo, enquanto a formulação não linear resolveu o problema em
aproximadamente 16 minutos. Com isso, é possível de imediato verificar a importância de se
investir em propostas alternativas que contornem a complexidade de resolução do problema
de restauração pelos métodos exatos de resolução, de modo que eles sejam viáveis, inclusive
para aplicações em tempo real. Sobretudo, as considerações mais importantes quanto ao
tempo de processamento computacional demandado pelos modelos matemáticos
simplificados, como pode ser observado na Tabela 4, são aquelas que evidenciam o
atendimento plenamente satisfatório da exigência de elaboração de planos de restauração
extremamente rápidos pelas formulações quadrática e linear, em concordância com a
característica essencial do problema de restauração: o controle operativo em tempo real; e o
atendimento ainda aceitável, nestes termos, pela resolução através do modelo matemático com
a formulação não linear, mais complexa, conforme a proposta original do trabalho de
referência. É evidente que se recursos computacionais mais avançados forem utilizados, o
tempo de processamento pode ser ainda melhorado.
Inicialmente, antes da indicação de falta na zona 6, os alimentadores principais A, B,
C e D operavam atendendo uma demanda de 6.500, 4.300, 8.800 e 7.300 kVA,
respectivamente. Assim, na mesma ordem, o carregamento percentual destes alimentadores,
segundo a capacidade máxima de carregamento, era de 65%, 43%, 88% e 73% (com
𝑦1 = 0,65, 𝑦6 = 0,43, 𝑦11 = 0,88 e 𝑦16 = 0,73). Ou seja, ainda no estado normal, o sistema
não estava operando com equilíbrio de carregamento: o valor de �̅� equivaleria, em termos
percentuais, a 67,25% e o carregamento ótimo do sistema em estado normal de operação
seria, respectivamente, 65%, 71%, 65% e 68% (resolução obtida pelo modelo matemático
exato para o sistema sem indicação de falta). Desta forma, todos os métodos de resolução
aplicados (o heurístico e os exatos) foram eficientes para elaborar o plano ótimo de
restauração que equilibra o nível de carregamento destes alimentadores no contexto de falta
na zona 6, analisado na Tabela 4. Pode-se observar que o carregamento ótimo final dos
alimentadores principais ativos para este cenário de falta está equilibrado em torno de 88%
(com �̅� = 0,88), variando em apenas 1% para mais e para menos. Assim, a solução ótima que
minimiza o índice LBI para a falta na zona 6 estabelece os percentuais de carregamento ótimo
dos três alimentadores ativos A, C e D em 88%, 87% e 89%, respectivamente, e a Tabela 4
101
mostra cinco configurações topológicas alternativas para essa solução ótima.
É importante observar que as chaves declaradas manobradas condizem apenas com as
chaves disponíveis para o processo restaurativo, pois o método otimizador só lida com as
chaves não indisponibilizadas. As chaves correspondentes aos circuitos adjacentes à zona em
falta, indisponibilizadas por serem utilizadas para isolar o defeito, são consideradas
inexistentes pelo otimizador. Assim, as chaves manobradas para isolar o defeito não são
listadas nas soluções ótimas apresentadas, por isso não são diretamente contabilizadas. No
entanto, estas manobras não consideradas pelo otimizador estão previstas no plano de
restauração final, desde o início do processo de elaboração do plano, quando o local de falta é
identificado e as respectivas chaves adjacentes são listadas para o isolamento desse local. No
exemplo de falta analisado, o total de quatro chaves devem isolar o defeito: as chaves 6, 10,
11 e 15, mas apenas as chaves 10 e 11 são, de fato, manobradas, pois as demais já se
encontram normalmente abertas. Portanto, para a proposta final neste contexto de falta,
somam-se às manobras apresentadas por cada método otimizador, estas duas manobras
previamente listadas para isolar a zona 6.
No plano ótimo proposto pelo método heurístico de Morelato e Monticelli (1989), as
chaves 8, 12, 16, 22 e 27 trocaram de estado (esta nova configuração proposta foi apresentada
na Figura 8 e na Tabela 2Tabela 2). Pode-se observar que o método heurístico propôs a
realização de cinco manobras de chaves para restaurar o sistema equilibrando o carregamento
do sistema entre os três alimentadores ativos A, C e D nos níveis de carregamento ótimo. Já
no plano ótimo proposto pelo método exato de programação quadrática inteira mista (PQIM),
são necessárias nove manobras: as chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27, 28 e 33 devem trocar de
estado para equilibrar o nível de carregamento dos alimentadores ativos A, C e D nos níveis
de carregamento ótimo. E para o plano ótimo proposto pelo método exato de programação
linear inteira mista (PLIM), devem ser realizadas sete manobras: as chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22
e 27 devem trocar de estado para equilibrar os alimentadores ativos A, C e D nos níveis de
carregamento ótimo. Finalmente, a Tabela 4 também mostra dois planos ótimos de
restauração elaborados pelo método exato de programação não linear inteira mista (PNLIM).
Um destes planos ótimos exige também cinco operações de chaveamento, no entanto, as
chaves manobradas são diferentes daquelas propostas pelo método heurístico: pelo método
exato, as chaves 8, 12, 16, 22 e 28 devem trocar de estado. O outro plano ótimo elaborado
pelo modelo matemático com formulação não linear inteira mista propôs a manobra das
chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22 e 28. A diferença entre eles se dá pela seguinte razão: em um dos
102
processos de busca, as variáveis de decisão foram inicializadas de acordo com a configuração
base do sistema teste e para o outro processo de busca não houve indicação de um ponto de
partida para a resolução do problema. O tempo demandado pelos dois processos foi
razoavelmente diferente, contudo, indicar a configuração base do sistema não garantiu a
melhor proposta em termos de número de chaves manobradas.
Portanto, na Tabela 4, foram apresentadas cinco diferentes soluções ótimas em que as
variáveis 𝑦1, 𝑦11 e 𝑦16 assumem os mesmos valores (𝑦1 = 0,88, 𝑦11 = 0,87 e 𝑦16 = 0,89) no
atendimento pleno de 𝑔𝑜 equivalente a 26.400 kVA (valor correspondente ao total de cargas
restauráveis no contexto de falta na zona 6). Elas diferem entre si nas chaves manobradas
para as transferências de cargas realizadas entre os alimentadores do sistema. Ou seja, os
métodos exatos de resolução e o método heurístico formularam planos de restauração que
atribuem o mesmo conjunto de cargas a cada alimentador ativo, no entanto, as chaves
apresentadas manobradas por cada método otimizador foram diferentes. Os muitos circuitos
alternativos existentes neste sistema teste é que permite que diferentes configurações ótimas
possam ser propostas. A Tabela 5 resume as informações de atendimento de carga pelos
alimentadores ativos para os resultados apresentados na Tabela 4. Analisando estas tabelas,
fica evidente que a rede pode operar com o mesmo equilíbrio de carregamento a partir de
diferentes configurações topológicas. Desta forma, um segundo objetivo poderia ser
considerado para definir a melhor escolha dentre todas as configurações propostas
encontradas: o objetivo de encontrar o menor número de manobras realizadas.
Tabela 5 - Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos
após a minimização do índice LBI no cenário de falta na zona 6
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Zonas atendidas pelos alimentadores ativos
A B C D
- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20
Heurístico
PNLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15
Exato
PNLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15
Exato
PQIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15
Exato
PLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15
Fonte: Elaboração da autora
De forma ilustrativa, a Figura 9 mostra a configuração final proposta pelo modelo
matemático de PQIM para a operação do sistema no estado restaurativo de falta na zona 6,
103
onde se observa que as cargas das zonas 8, 9 e 10 foram atendidas pelo alimentador de
suporte A; a carga da zona 7 foi atendida pelo alimentador C; e as cargas das zonas 14 e 15
foram transferidas do alimentador C para o alimentador D. Neste exemplo, a carga da zona 20
continuou sendo atendida pelo alimentador D, no entanto, também por um caminho
alternativo.
Figura 9 - Configuração ótima proposta pelo método exato PQIM para o sistema teste de
Morelato e Monticelli (1989)
Fonte: Elaboração da autora
Para outros cenários de falta, foi aplicado apenas o modelo matemático exato com a
formulação linear inteira mista (PLIM) que resolve o problema de restauração com
abordagem simplificada para minimização do índice LBI. As soluções ótimas encontradas
estão apresentadas na Tabela 6 e a Tabela 7 apresenta as correspondentes transferências de
carga realizadas entre os alimentadores ativos. As zonas 1, 11 e 16 foram as zonas
individualmente indicadas como locais de falta em cada teste por causarem um cenário de
falta muito crítico. Estas zonas possuem ramos conectados diretamente à barra da subestação,
portanto, provocam a exigência da abertura dos disjuntores dos seus respectivos
alimentadores A, C e D, inviabilizando completamente esses alimentadores para o
atendimento de qualquer demanda de carga, de acordo com a respectiva falta indicada. Este
foi o mesmo cenário para o caso de falta analisado no alimentador B. No entanto, a
disponibilidade de chaves de interconexão (as chaves normalmente abertas) com outros
alimentadores de suporte é muito diferente para cada alimentador do sistema teste. Além
disso, cada alimentador possui um carregamento diferente em estado normal de operação. Por
A
B
C
D
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
1
10
19
29
11 12 13 14
20 21 22 23
30 31 32 33
6 7 8 9
15 16 17 18
24 25 26 27 28
2 3 4 5
Disjuntor fechado
Disjuntor aberto
Chave fechada
Chave aberta
Local da falta
104
estes motivos, cada cenário de falta provocado pela completa indisponibilização de um
alimentador é mais ou menos crítico, o que refletiu em planos ótimos de restauração que
apresentam níveis de carregamento ótimo não tão similares entre os alimentadores ativos,
como foi similar no caso do alimentador B.
Tabela 6 - Resumo de resultados: Minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Carregamento dos alimentadores
(em kVA e em percentual 𝑦𝑖) Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador
Tempo de
Proc. (s) A B C D
- Sem falta 6.500
65%
4.300
43%
8.800
88%
7.300
73% - -
Exato
PLIM
1 - 8.200
82%
8.200
82%
8.900
89% 7, 9, 12, 13, 17, 22, 28 0,81
11 7.800
78%
8.200
82% -
7.900
79% 9, 12, 13, 16, 17, 23, 28 0,70
16 8.800
88%
8.100
81%
8.500
85% -
9, 13, 17, 18, 21, 22, 23,
25, 26, 28, 31 0,72
Fonte: Elaboração da autora
Tabela 7 - Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos
após minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Zonas atendidas pelos alimentadores ativos
A B C D
- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20
Exato
PLIM
1 - 6, 7, 9, 10,
2, 3, 4, 5
11, 12, 13, 8
16, 17, 18, 19, 20,
14, 15
11 1, 2, 3, 4, 5,
9, 10
6, 7, 8, 12, 13,
14 -
16, 17, 18, 19, 20,
15
16 1, 2, 3, 4, 5,
9, 10, 14
6, 7, 8, 13, 15,
18, 19, 20 11, 12, 17 -
Fonte: Elaboração da autora
É interessante avaliar as soluções ótimas propostas para os cenários alternativos de
falta indicados também em termos de número de operações de chaveamento. Sendo assim,
estes mesmos cenários alternativos de falta foram resolvidos com o modelo matemático
simplificado com formulação linear inteira mista que minimiza o número de chaves
manobradas para restabelecimento do sistema. Estes resultados são apresentados na Tabela 8
da subseção seguinte.
105
3.4.2 Resultados para a Minimização do Número de Operações de Chaveamento
Os resultados apresentados nesta seção estão relacionados ao objetivo de minimizar o
número de operações de chaveamento necessárias para o restabelecimento do sistema para a
informação de falta permanente na zona 6, conforme discutido na seção 3.1, e também para
os demais cenários de falta discutidos na subseção anterior 3.4.1. O modelo matemático exato
simplificado formulado com esta função objetivo é de programação linear inteira mista
(PLIM) e foi apresentado na seção 3.3 nas relações (𝟑𝟔𝐚) a (𝟑𝟔𝐟). Como foi abordado na
seção 3.3, a não linearidade do problema originalmente proposto por Morelato e Monticelli
(1989) aparece apenas na função objetivo que minimiza o índice LBI, assim, ao ser
substituída por esta nova proposta de restauração, linear e muito simples, o modelo
matemático se torna de PLIM. O resumo dos resultados obtidos para os quatro diferentes
contextos restaurativos analisados neste capítulo (faltas nas zonas 1, 6, 11 e 16) são
apresentados na Tabela 8.
Tabela 8 - Resumo de resultados: Minimização do número de chaveamentos em diferentes
cenários de falta
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Carregamento dos alimentadores
(em kVA e em percentual 𝑦𝑖) Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador
Tempo de
Proc. (s) A B C D
- Sem falta 6.500
65%
4.300
43%
8.800
88%
7.300
73% - -
Heurístico
PNLIM (*) 6
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89% 8, 12, 16, 22, 27 -
Exato
PNLIM (*)
8.800
88% -
8.700
87%
8.900
89% 8, 12, 16, 22, 28 962,31
Exato
PLIM
6 8.800
88% -
9.700
97%
7.900
79% 9, 12, 16, 23, 28 0,44
1 - 9.200
92%
8.800
88%
7.300
73% 9 0,31
11 6.500
65%
9.500
95% -
7.900
79% 17, 23, 28 0,41
16 6.500
65%
9.700
97%
9.200
92% - 18, 22, 25, 28, 31 0,45
(*) Método aplicado para minimização do índice LBI, cuja solução ótima apresentada minimiza também o
número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema no contexto de falta indicado.
Fonte: Elaboração da autora
Morelato e Monticelli (1989) apresentaram uma proposta de reconfiguração no
contexto restaurativo de falta na zona 6 como a solução ótima que minimiza o índice LBI. Na
realidade, verifica-se que a configuração apresentada para este contexto de falta é também
uma solução ótima para a proposta de minimizar o número de chaves manobradas para
106
restabelecimento do sistema. Ou seja, a solução proposta pelo método heurístico para o
cenário de falta na zona 6 é simultaneamente ótima para os dois objetivos considerados neste
capítulo. Assim, o método heurístico dos autores consta também na Tabela 8, como
informação e para comparação de resultados. Da mesma forma, a proposta de reconfiguração
ótima para o contexto de falta na zona 6 elaborada pelo modelo matemático simplificado de
PNLIM que minimiza o índice LBI é também uma solução ótima alternativa para a
minimização do número de chaveamentos. Assim, esta solução também consta na Tabela 8.
Observa-se que para a falta na zona 6, tanto o método heurístico de PNLIM para
minimização do desbalanço de carga entre os alimentadores principais ativos (minimização do
índice LBI) e o correspondente modelo matemático exato de PNLIM com o mesmo objetivo,
como também o modelo matemático exato de PLIM para minimização do número de
operações de chaveamento na rede, apresentaram, cada um, uma proposta de solução com
cinco manobras de chaves. O método heurístico propôs a manobra das chaves 8, 12, 16, 22 e
27. O método exato de PNLIM propôs a manobra das chaves 8, 12, 16, 22 e 28. E o método
exato de PLIM propôs a manobra das chaves 9, 12, 16, 23 e 28.
As zonas atendidas por cada alimentador em todos os contextos de falta analisados
(falta nas zonas 1, 6, 11 e 16), conforme a resolução do modelo matemático de PLIM para
minimização do número de chaves manobradas, podem ser verificadas na Tabela 9, onde
consta também a informação correspondente à resolução pelo método heurístico de Morelato
e Monticelli (1989) para o caso de falta na zona 6, cuja solução ótima apresentada para
restauração do sistema neste cenário de falta minimiza simultaneamente o índice LBI e o
número de operações de chaveamento, conforme apresentado na Tabela 4 e na Tabela 8. A
partir destas informações, algumas observações relevantes podem ser levantadas.
Particularmente no caso de falta na zona 6 do alimentador B, os dois métodos de
resolução listados na Tabela 9 (heurístico de PNLIM para minimização do índice LBI e exato
de PLIM para minimização do número de operações de chaveamento) apresentaram soluções
em que as cargas desatendidas foram igualmente restauradas pelos alimentadores de suporte
A e C. No entanto, o método exato não tem o objetivo de equilibrar o nível de carregamento
entre os alimentadores ativos, assim, o chaveamento proposto pelo modelo matemático realiza
apenas a transferência de carga da zona 15, normalmente atendida pelo alimentador C, para o
alimentador D, de modo que o alimentador C, adjacente ao alimentador B, possa restaurar a
zona 7 desatendida. Assim, o alimentador C fica próximo de atingir o seu limite máximo de
carregamento: neste contexto, 97% de sua capacidade de atendimento está sendo utilizada
107
para o fornecimento de energia elétrica. O método heurístico propôs que, além da carga da
zona 15, a carga da zona 14 fosse também transferida do alimentador C para o alimentador
D, assim, ambos continuaram operando com uma boa margem de reserva, o que torna a
solução mais interessante. Desse modo, o plano ótimo elaborado pelo método heurístico com
cinco operações de chaveamento pode ser considerado mais confiável que o plano ótimo
elaborado pelo método exato também com cinco operações de chaveamento. No entanto, o
modelo matemático exato de PNLIM também apresentou uma solução simultaneamente ótima
para os dois objetivos tratados. Sendo assim, as duas propostas formuladas são igualmente
interessantes.
Tabela 9 - Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos
após a minimização do número de chaveamento
Método e
Problema
Local
da Falta
(Zona)
Zonas atendidas pelos alimentadores ativos
A B C D
- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20
Heurístico
PNLIM (*) 6
1, 2, 3, 4, 5,
8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7
16, 17, 18, 19, 20,
14, 15
Exato
PLIM
6 1, 2, 3, 4, 5,
8, 9, 10 - 11, 12, 13, 14, 7
16, 17, 18, 19, 20,
15
1 - 6, 7, 8, 9, 10,
2, 3, 4, 5 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20
11 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10,
12, 13, 14 -
16, 17, 18, 19, 20,
15
16 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10,
14, 15, 18, 19, 20 11, 12, 13, 17 -
(*) Método aplicado para minimização do índice LBI, cuja solução ótima apresentada minimiza também o
número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema no contexto de falta indicado.
Fonte: Elaboração da autora
Soluções ótimas que simultaneamente minimizam o índice LBI e minimizam o
número de operações de chaveamento não foram obtidas nos outros casos de falta testados e
resolvidos com os respectivos modelos de PLIM. Em geral, os planos elaborados pelos
métodos de resolução para restauração do serviço com objetivo de minimizar o índice LBI
contemplam maior necessidade de transferência de carga entre os alimentadores de suporte e,
por consequência, isso contribui para aumentar o número de operações de chaveamento
necessárias, principalmente considerando que o nível de carregamento dos alimentadores em
estado normal de operação é bastante desigual. Observando os resultados da Tabela 7
(atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos após minimização do índice LBI
em diferentes cenários de falta) e as correspondentes manobras efetuadas apresentadas na
Tabela 6 (minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta) e comparando com os
108
resultados de manobras de chaves da Tabela 8 (minimização do número de chaveamento em
diferentes cenários de falta), verifica-se que o número de chaveamentos é muito maior nos
planos elaborados para a minimização do índice LBI quando comparados com os planos
elaborados para a minimização do número de chaveamentos.
3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
Este capítulo se dedicou a apresentar uma modelagem matemática que resolve de
maneira exata o problema de restauração de fornecimento de energia elétrica em sistemas de
distribuição radiais, segundo uma abordagem simplificada do problema. Nesta abordagem
simplificada, alguns parâmetros e algumas restrições físicas e operacionais relacionados à
rede elétrica foram desconsiderados. Os modelos matemáticos apresentados neste capítulo não
consideram os parâmetros de impedâncias nas linhas, não fazem diferenciação entre
demanda/fornecimento de potência ativa e de potência reativa (as restrições de balanço de
potência consideram apenas a demanda e o fornecimento de potência aparente) e os limites de
magnitudes de tensão também não são considerados. Por esta razão, os modelos matemáticos
exatos para o problema de restauração de redes de distribuição radiais com esta abordagem
simplificada foram também denominados de modelos matemáticos simplificados.
O capítulo apresentou diferentes formulações matemáticas para a proposta de
restauração que minimiza o desequilíbrio de carregamento entre os alimentadores primários
do sistema que permaneceram ativos após a ocorrência de falta permanente na rede. Estas
diferentes formulações propostas foram muito úteis para evidenciar a relevância de tornar o
problema menos complexo para resolução mais eficiente pelas técnicas clássicas de
otimização. Esta eficiência deve refletir na obtenção de soluções ótimas globais, sobretudo,
com tempo computacional adequado às características particulares do problema de
restauração.
Uma vez que o problema é modelado de forma mais simples e gera resultados muito
satisfatórios, torna-se possível e recomendável testar a aplicação desta metodologia exata de
resolução a sistemas de energia de maiores portes, bem como se torna possível tratar o
problema de forma completa, não mais simplificando restrições do problema. Considerar as
restrições físicas e operacionais do sistema elétrico de distribuição de forma completa implica
em aumentar muito o número de variáveis do problema e implica em aumentar a
109
complexidade na obtenção de soluções factíveis. Além disso, a natureza binária das variáveis
de decisão normalmente torna o problema ainda mais difícil para as técnicas exatas de
solução. Desta forma, o fechamento deste capítulo desafia a implementação de um modelo
matemático exato completo, isto é, que não relaxa as restrições essenciais do problema.
Assim, este terceiro capítulo serve como base para o próximo capítulo que apresenta esta
modelagem matemática completa e se configurou como uma importante introdução à
discussão do desenvolvimento de modelos matemáticos para a resolução exata do problema
de restauração do serviço, especialmente em sistemas de distribuição radiais.
Além das formulações propostas para o objetivo de minimizar o desbalanço de carga
entre os alimentadores do sistema sob falta permanente, o capítulo apresentou também uma
formulação para a função objetivo que busca minimizar o número de operações de
chaveamento necessárias para a efetivação do restabelecimento do serviço. A importância
desta e de outras propostas de restauração foram amplamente discutidas nos capítulos 1 e 2
deste trabalho. A formulação apresentada para este objetivo é bastante trivial, portanto, a
contribuição mais importante em considerá-la neste capítulo condiz com a diversidade de
resultados que foram apresentados, interessantes principalmente quando comparados com os
resultados obtidos e apresentados para o outro objetivo formulado. Os testes realizados para
validar a metodologia proposta foram baseados no sistema e nos dados apresentados no
trabalho de Morelato e Monticelli (1989), trabalho revisado e devidamente discutido ao longo
dos capítulos 1 e 3.
110
4 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA DE
RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM COMPLETA
Este capítulo apresenta um modelo matemático exato para o problema de restauração
do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de distribuição radiais. Neste
capítulo, o problema de restauração é tratado de forma completa, isto é, são consideradas para
resolução as restrições fundamentais do sistema elétrico de distribuição radial – restrições
físicas e operacionais. Sendo assim, o modelo matemático apresentado para resolver o
problema é também formulado de maneira completa. Esta informação é enfatizada porque no
capítulo anterior a modelagem matemática recebeu formulação relaxada, uma vez que o
problema de restauração foi tratado com abordagem simplificada.
O capítulo 3 apresentou uma modelagem matemática conceitualmente simples, com
formulações matemáticas que tornam a resolução do problema de restauração menos
complexa. Ao tornar a formulação do problema mais simples, a resolução do modelo
matemático pelos métodos conhecidos de otimização clássica é facilitada e mais eficaz. Isto é
particularmente interessante para possibilitar que a proposta de modelagem matemática exata
seja viável para aplicações em tempo real. Além disso, a proposta deve ser viável também
para ser aplicada em sistemas elétricos reais e de grande porte, onde a quantidade de chaves
secionadoras e de interconexão existentes gera grandes espaços de busca e torna mais difícil a
obtenção de soluções de qualidade em tempo adequado.
Encontrar propostas de configuração ótima para sistemas reais em tempo adequado é
um desafio matemático e computacional, que ao longo dos anos foi contornado através de
técnicas heurísticas de otimização, as quais não garantem encontrar a solução ótima global,
mas apresentam planos de restauração em tempo adequado às características e exigências do
problema de restauração. Assim, apresentar um modelo matemático que resolve de maneira
exata o problema de restauração, historicamente resolvido de maneira aproximada, não é
totalmente satisfatório se também não for possível apresentar a proposta de solução ótima em
tempo pelo menos tão adequado quanto aquele normalmente demandado pelos métodos
heurísticos.
As meta-heurísticas, em especial, têm sido muito utilizadas na resolução do problema
de restauração e são comumente projetadas para encontrar uma solução ou um conjunto de
soluções de boa qualidade, tentando se aproximar ou chegar à solução ótima global. No
111
entanto, o esforço destinado a implementar uma meta-heurística especializada é elevado, pois
o algoritmo de resolução comumente exige estratégias muito elaboradas para representar
devidamente o espaço de busca, para definir corretamente as variáveis de decisão, para definir
a passagem para uma solução de melhor qualidade, para obter adequada calibração dos
parâmetros de controle do algoritmo, e etc. Portanto, a qualidade da solução obtida por estas
técnicas heurísticas está diretamente relacionada à qualidade do algoritmo implementado.
Além disso, os critérios de convergência adotados também influenciam na obtenção da
solução final (a revisão das metodologias aplicadas ao problema de restauração de sistemas
elétricos baseadas em meta-heurísticas consta na seção 1.2.2). Portanto, é extremamente
válida a proposta de investir em modelagem matemática para resolução exata e global do
problema de restauração e o desafio principal é apresentar soluções em tempo adequado ao
problema e para isso é necessário elaborar estratégias que contornem a complexidade de
resolução do problema pelos métodos clássicos de otimização.
Outra característica importante do problema de restauração não considerada na
modelagem matemática do capítulo anterior, e especialmente tratada neste capítulo, é a
possibilidade de realização de corte de carga no processo de restabelecimento. No estado
restaurativo, nem sempre existe a possibilidade de restabelecer plenamente as cargas
desatendidas à jusante do local de falta permanente: por indisponibilidade de chaves de
manobra ou por descumprimento de restrições do problema. Adicionalmente, quando
restrições mais rigorosas são impostas, a probabilidade de corte é ainda maior. Assim, novas
considerações podem ser feitas a partir dos resultados obtidos com a resolução do modelo
matemático exato com abordagem completa apresentado neste capítulo.
O presente capítulo está organizado da seguinte forma: na seção 4.1 são apresentadas a
proposta de restauração adotada e a nova modelagem matemática proposta; o sistema elétrico
analisado é apresentado na seção 4.2; e os novos testes realizados e os resultados obtidos com
o modelo matemático proposto neste capítulo são apresentados e discutidos na seção 4.3.
Finalmente, a seção 4.4 faz as considerações finais do capítulo.
4.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA
O modelo matemático apresentado neste capítulo é formulado com a seguinte proposta
de restauração: maximizar o total de cargas atendidas e minimizar o número de chaveamentos
112
necessários para o restabelecimento dessas cargas. As duas propostas são tratadas com
enfoque mono-objetivo. Ou seja, a função objetivo busca minimizar o corte de carga,
modificando minimamente para isso a topologia base do sistema. A minimização do número
de chaveamentos é tratada como um objetivo secundário, já o corte de carga é altamente
penalizado a partir de um determinado parâmetro que define o custo do corte. Assim, o
modelo matemático é projetado de modo a permitir o corte de carga estritamente para as
seções que causariam sobrecargas no sistema caso sejam restauradas, e conforme o parâmetro
de corte adotado. Obviamente, prever o corte de carga não significa que o sistema não possa
ser plenamente restabelecido, isolada a parcela sob defeito, quando houver possibilidade de
restabelecimento completo das seções desatendidas. A importância destas e de outras
propostas de restauração foram amplamente discutidas nos capítulos 1 e 2 deste trabalho.
O parâmetro de corte pode prever tanto o desligamento de cargas menores, se o
mesmo fator de peso foi atribuído a todas as seções de carga e adicionalmente supondo que o
religamento de cargas maiores resulta implicitamente em um menor número de operações de
chaveamento; como pode prever o desligamento de cargas menos prioritárias, se as seções de
carga estão individualmente classificadas com fatores de peso que determinam o seu
respectivo grau de importância para restabelecimento. Assim, quando não for possível
reconectar toda a parcela do sistema passível de restauração, o otimizador poderá considerar
prioritário o desligamento de cargas menores e/ou priorizar o desligamento de cargas
classificadas com menor fator de importância para atendimento. Em virtude disso, o modelo
matemático considera que se o corte é necessário, que seja realizado o menor corte de carga
possível e sempre com a menor modificação do estado inicial do sistema (principalmente em
razão da parcela matemática correspondente a este propósito) e, se previsto, atendendo às
cargas com maior prioridade de restabelecimento. Neste trabalho, as seções de carga estão
classificadas com o mesmo fator de importância, logo, estão sujeitas ao mesmo parâmetro de
custo de corte. Além disso, o corte é pleno: se uma determinada seção tem sua carga cortada,
então esta seção é completamente desligada do sistema e sua demanda de carga é
completamente desatendida pelo conjunto de subestações.
Resumidamente, a modelagem matemática atende aos seguintes propósitos de
restauração:
Caso seja possível restaurar plenamente o sistema, isolada a parcela sob defeito,
sem violação de restrições operacionais, então não deverá haver corte de carga e a
113
demanda de carga de todas as seções serão normalmente atendidas pela
subestação (ou pelo conjunto de subestações), através de uma configuração
topológica alternativa a partir dos ramos não indisponibilizados para o processo
de elaboração do plano de restauração. Adicionalmente, o otimizador deverá
propor o menor número possível de chaveamentos para este plano que restabelece
plenamente o sistema;
Caso não seja possível restaurar plenamente o sistema, isolada a parcela sob
defeito, por violação de restrições operacionais, então deverá haver corte de carga,
segundo o parâmetro de corte adotado, e as seções destinadas para corte serão
completamente desligadas do sistema, isto é, estas seções serão completamente
desatendidas pela subestação (ou pelo conjunto de subestações) e as demais
seções serão normalmente atendidas através de uma configuração topológica
alternativa a partir dos ramos não indisponibilizados para o processo de
elaboração do plano de restauração. Adicionalmente, o otimizador deverá propor
o menor número possível de chaveamentos para este plano que restabelece
parcialmente o sistema.
Até aqui, foram apresentados os propósitos essenciais do modelo matemático proposto
neste capítulo para resolução do problema de restauração com abordagem completa. As
demais formulações do modelo correspondem principalmente aos requisitos técnicos e
operacionais do sistema elétrico de distribuição radial. Originalmente, o modelo matemático
do problema de restauração, quando abordado de maneira completa, apresenta não linearidade
nas restrições, portanto, é originalmente um problema combinatorial de natureza não linear
inteira mista (PNLIM). A dimensão do problema em termos matemáticos, a não linearidade e,
particularmente, a característica binária das variáveis de decisão normalmente tornam muito
difícil a resolução do problema. A modelagem matemática é, então, modificada de modo a
assumir uma formulação cônica de segunda ordem, tornando-se um problema de programação
cônica de segunda ordem inteira mista (PCSOIM). A razão em assumir a formulação cônica
condiz com as discussões levantadas no capítulo 3 e reforçadas no início deste capítulo: o
objetivo de tornar a formulação do problema menos complexa para resolução mais eficaz
pelos métodos de otimização clássica conhecidos e, consequentemente, pelos solucionadores
comerciais disponíveis no mercado. A conversão e equivalência da forma não linear do
conjunto de restrições para a forma cônica de segunda ordem estão descritas e/ou provadas
114
em alguns trabalhos presentes na literatura especializada (ALVES, 2012; GONÇALVES,
2013; RIBEIRO, 2013) e serão pontualmente abordadas adiante, após a descrição das
restrições do modelo matemático.
O modelo matemático exato aplicado ao problema de restauração de sistemas de
distribuição de energia elétrica radiais, de PCSOIM, que realiza corte de carga quando é
estritamente necessário e simultaneamente minimiza este corte, e que considera a
minimização do número de operações de chaveamento para o restabelecimento do sistema, é
formulado da seguinte forma:
𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈Ω𝑎′
+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈Ω𝑓′
+ ∑ 𝛼𝑖
𝑖 ∈ Ω𝑏′
𝑦𝑖(𝑃𝐷𝑖 + 𝑄𝐷𝑖
) (37a)
𝑠. 𝑎.
∑ 𝑃𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ (𝑃𝑖,𝑗 + 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
)(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
+ 𝑃𝑆𝑖= 𝑃𝐷𝑖
(1 − 𝑦𝑖) ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37b)
∑ 𝑄𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ (𝑄𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
)
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
+ 𝑄𝑆𝑖= 𝑄𝐷𝑖
(1 − 𝑦𝑖) ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37c)
𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟
− 𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟
= 2(𝑃𝑖,𝑗 𝑅𝑖,𝑗 + 𝑄𝑖,𝑗 𝑋𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗
𝑠𝑞𝑟+ 𝑏𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37d)
𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟
𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
≥ 𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗
2 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37e)
𝑉2 ≤ 𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟
≤ �̅�2 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37f)
0 ≤ 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
≤ 𝐼 ̅𝑖,𝑗2 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37g)
∑ 𝑥𝑖,𝑗
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
= 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 − ∑ 𝑦𝑖
𝑖 ∈ Ω𝑏′
(37h)
|𝑏𝑖,𝑗| ≤ 𝑀(1 − 𝑥𝑖,𝑗) ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37i)
𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37j)
𝑦𝑖 ∈ {0,1} ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37k)
É importante ressaltar novamente que se o sistema elétrico se encontra em estado
restaurativo, então, para a elaboração do plano de restauração, barras de interesse ou sob
defeito causado por contingências devem ser isoladas, e para isso os circuitos adjacentes a
estas barras devem ser indisponibilizados. Assim, participam do processo de restauração
apenas as barras não isoladas e os ramos não indisponibilizados. Dessa forma, na modelagem
apresentada, a sinalização “linha” (o apóstrofo) em algumas variáveis, parâmetros e conjuntos
do modelo simboliza o estado restaurativo do sistema elétrico de distribuição e foi usada
apenas para evidenciar o contexto restaurativo, diferenciando-se da notação comumente usada
115
na literatura especializada quando se considera a integridade do sistema elétrico de
distribuição, conforme detalhado no capítulo anterior, na seção 3.2.
Portanto, no modelo acima, Ω𝑏′ é o conjunto de barras do sistema após a indicação de
falta permanente e o correspondente possível isolamento das barras sob defeito, isto é, o
conjunto de barras que poderão participar do processo de restauração e 𝑛𝑏′ é o número de
elementos desse conjunto, sendo 𝑛𝑏 o total de barras do sistema; Ω𝑙′ é o conjunto de ramos do
sistema após a indicação de falta permanente e a correspondente indisponibilização dos
circuitos utilizados para isolar o defeito, isto é, o conjunto de ramos disponíveis para
participar do processo de restauração. Assim, em cada contexto restaurativo, os conjuntos Ω𝑏′
e Ω𝑙′ podem possuir elementos diferentes e assumir cardinalidade variável. A configuração
base do sistema é representada pela união de dois conjuntos: Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓, onde Ω𝑎 é o
conjunto de chaves normalmente abertas e Ω𝑓 é o conjunto de chaves normalmente fechadas
no estado normal de operação do sistema elétrico. Assim, em estado restaurativo, participam
do processo de restauração as chaves normalmente abertas e normalmente fechadas que não
foram indisponibilizadas nesses dois conjuntos, ou seja, Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪ Ω𝑓′.
Na função objetivo 𝑣 em (𝟑𝟕𝐚), a variável binária de decisão 𝑥𝑖,𝑗 representa o estado
operativo da chave no circuito 𝑖 − 𝑗 e assume valor 𝑥𝑖,𝑗 = 1 se a chave está fechada
(indicando circuito fechado) e valor 𝑥𝑖,𝑗 = 0 se a chave está aberta (indicando circuito aberto).
Quando o estado binário de uma chave é alterado, esta manobra é trivialmente contabilizada.
A variável binária 𝑦𝑖 representa a decisão quanto ao corte das cargas ativa e reativa da barra
de demanda 𝑖 sob fornecimento da subestação: assume valor 𝑦𝑖 = 1 quando há corte,
portanto, neste caso, a demanda de potência ativa 𝑃𝐷𝑖e a demanda de potência reativa 𝑄𝐷𝑖
da
barra de demanda 𝑖 não devem ser atendidas pela subestação e esta barra é desconectada do
sistema; e assume valor 𝑦𝑖 = 0 quando a demanda de carga da barra de demanda 𝑖 deve ser
plenamente atendida pela subestação. 𝛼𝑖 é o parâmetro de corte de carga da barra 𝑖 e que deve
ser adequadamente valorado de modo a penalizar a decisão de corte na função objetivo de
acordo com o interesse de restabelecimento adotado para as barras e de modo a compatibilizar
as unidades da função objetivo. Para os testes, assumiu-se que as barras de demanda estão
sujeitas ao mesmo parâmetro de custo de corte, 𝛼𝑖 = 𝛼 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, portanto, possuem o
mesmo fator de peso quanto à prioridade de restabelecimento no processo de restauração.
Uma vez que Ω𝑏′ é formado por todas as barras que podem participar do processo de
restauração, tanto barras de demanda como barras de geração, ressalta-se que o modelo
116
matemático lida com as seguintes informações: existe demanda 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖
apenas nas barras de
demanda (não existe demanda na barra da subestação, portanto, 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖
são valores nulos
quando 𝑖 corresponde à barra da subestação); e 𝑃𝑆𝑖 e 𝑄𝑆𝑖
, respectivamente, geração de
potência ativa e geração de potência reativa na barra 𝑖, ocorrem apenas na barra da
subestação, indicando fornecimento de potência pela subestação 𝑖 (não existe geração nas
barras de demanda, portanto, 𝑃𝑆𝑖 e 𝑄𝑆𝑖
são valores nulos quando 𝑖 corresponde às barras de
demanda). No modelo, 𝑛𝑠 é o total de subestações do sistema elétrico de distribuição.
Finalmente, 𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟
, 𝑉 e �̅� representam, na mesma ordem, o quadrado do módulo de tensão na
barra 𝑖 e as tensões mínima e máxima permitidas para operação do sistema; 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
representa o
quadrado da magnitude de corrente no circuito 𝑖 − 𝑗 cuja capacidade máxima de fluxo de
corrente é 𝐼�̅�,𝑗; no circuito compreendido entre as barras 𝑖 e 𝑗, 𝑃𝑖,𝑗 é o fluxo de potência ativa,
𝑄𝑖,𝑗 é o fluxo de potência reativa, 𝑅𝑖,𝑗 , 𝑋𝑖,𝑗 e 𝑍𝑖,𝑗 são os correspondentes dados de resistência,
reatância e impedância do ramo e 𝑏𝑖,𝑗 é uma variável auxiliar, em que |𝑏𝑖,𝑗| pertence ao
intervalo [0, 𝑀] e 𝑀 é um escalar de valor adequadamente escolhido.
A função objetivo 𝑣 minimiza o corte de carga e minimiza o número de chaves
manobradas, a partir de somas ponderadas, sendo que a parcela correspondente à decisão de
corte possui elevado fator de peso (representado pelo parâmetro 𝛼𝑖) e a parcela
correspondente aos chaveamentos apenas contabiliza as manobras realizadas (isso significa
que o custo de chaveamento é simbólico, não há custo real de operação associado às
manobras).
As duas Leis de Kirchhoff estão representadas pelas relações (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e
(𝟑𝟕𝐞), sendo que a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Correntes – LKC) é
representada pelas restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜), que correspondem aos balanços de potência
ativa e de potência reativa em cada barra do sistema prevendo o respectivo corte de carga
através do termo (1 − 𝑦𝑖) associado à cada demanda; e o conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐝)
corresponde ao cálculo de queda de tensão através de cada circuito, ou seja, corresponde à 2ª
Lei de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Tensões – LKT) aplicada ao laço independente
formado por cada ramo entre duas barras e a conexão à terra. O conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐞)
complementam a aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff, uma vez que a relação (𝟑𝟕𝐝) foi escrita de
forma mais conveniente utilizando a variável 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
. Assim, as restrições (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞)
juntamente garantem que a LKT seja cumprida no laço independente formado por cada ramo
𝑖 − 𝑗 do sistema em operação. Nesse sentido, a variável auxiliar 𝑏𝑖,𝑗 é utilizada apenas para
117
satisfazer a igualdade da respectiva restrição (𝟑𝟕𝐝) quando o circuito está aberto, pois
quando 𝑥𝑖,𝑗 = 1, 𝑏𝑖,𝑗 = 0. O conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐢) determina o valor que a variável
auxiliar 𝑏𝑖,𝑗 pode assumir em função do estado operativo do ramo 𝑖 − 𝑗. A não violação dos
limites de módulo de tensão em cada barra está prevista pelas restrições (𝟑𝟕𝐟), e as restrições
(𝟑𝟕𝐠) limitam o fluxo de corrente ao correspondente valor máximo indicado para cada ramo.
A restrição (𝟑𝟕𝐡) impõe o número exato de circuitos que deverão ser fechados para
operação radial do sistema elétrico de distribuição, de acordo com a quantidade de barras
restauradas. Nesta restrição, a parcela correspondente ao somatório das variáveis de decisão
de corte 𝑦𝑖 é responsável por desobrigar o fornecimento de energia elétrica pela subestação ao
conjunto de cargas passíveis de restauração que provocariam violação de requisitos técnicos e
operacionais do sistema se fossem restauradas. Assim, o total de circuitos que atenderiam a
estas seções de carga é descontado do total de 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 circuitos que deveriam ser fechados
para operação radial do sistema restaurado se nenhuma restrição do modelo fosse violada.
Isso significa que na solução proposta pelo otimizador, os circuitos que ligam estas barras
desconexas são inexistentes, já que a única fonte real de fornecimento no sistema é o conjunto
de subestações. Portanto, quando é possível restaurar plenamente as seções de carga
desatendidas e, por consequência, não há a realização de corte de carga (𝑦𝑖 = 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏′), o
total de circuitos fechados e conectados à subestação para operação radial do sistema é
𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠. As restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜) garantem a operação conexa do sistema e o não
fornecimento de energia pela subestação para as cargas desligadas do sistema, como descrito
anteriormente, através do termo (1 − 𝑦𝑖) associado à cada demanda. Dessa forma, as
correspondentes parcelas 𝑦𝑖𝑃𝐷𝑖 e 𝑦𝑖𝑄𝐷𝑖
nas restrições de balanço de potência funcionam como
geradores artificiais, quando a demanda na barra 𝑖 não pode ser atendida pela subestação e é
desconectada do sistema. A garantia de conectividade do sistema expressa que toda barra de
demanda atendida pela subestação deve estar conectada com a subestação, ou seja, deve
existir um caminho que liga esta barra à subestação. Assim, de acordo com o modelo
matemático proposto, as barras com corte de fornecimento no sistema são individual e
artificialmente atendidas pelos seus respectivos geradores artificiais. A prova de que as
restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜) juntamente com a restrição (𝟑𝟕𝐡) encontram uma solução ótima
radial a partir da resolução do modelo matemático pode ser obtida em Lavorato et al. (2012).
Finalmente, as restrições (𝟑𝟕𝐣) e (𝟑𝟕𝐤) representam o caráter binário das variáveis de
decisão 𝑥𝑖,𝑗 e 𝑦𝑖.
118
A Figura 10 ilustra as relações matemáticas relacionadas à 1ª Lei de Kirchhoff (ilustra
o balanço de potência em cada barra do sistema elétrico) e a Figura 11 ilustra as relações
matemáticas relacionadas à 2ª Lei de Kirchhoff (ilustra o cálculo da queda de tensão em cada
laço independente formado por um ramo do sistema elétrico de distribuição e a conexão à
terra), presentes nas restrições (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞) do modelo de PCSOIM
apresentado. Essas relações matemáticas são detalhadas adiante.
Figura 10 - Ilustração da aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff (LKC)
Fonte: Elaboração da autora
Figura 11 - Ilustração da aplicação da Segunda Lei de Kirchhoff (LKT)
Fonte: Elaboração da autora
As restrições (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞), ilustradas acima, correspondem ao
cálculo do fluxo de carga e determinam o estado de operação em regime permanente do
sistema de distribuição de energia elétrica radial. Estas relações são formuladas da seguinte
forma: as perdas de potência ativa e de potência reativa correspondentes ao circuito que liga a
barra 𝑖 à barra 𝑗 estão concentradas na barra 𝑖, considerando que a barra 𝑖 está mais próxima
da subestação que a barra 𝑗; as demandas de potência são consideradas como sendo constantes
𝑰 = 𝟎 𝑰 = 𝟎
𝒁𝒑𝒈 𝒁𝒑𝒈 (muito elevado)
𝑽 𝒊 𝑽 𝒋 𝑺 𝒊𝒋 𝑰 𝒊𝒋
𝒁𝒊𝒋 = 𝑹𝒊𝒋 + 𝒋𝑿𝒊𝒋
𝒊 𝒋
𝒁𝒊𝒋 = 𝑹𝒊𝒋 + 𝒋𝑿𝒊𝒋
𝑹𝒊𝒋𝑰𝒊𝒋𝟐 + 𝒋𝑿𝒊𝒋𝑰𝒊𝒋
𝟐
𝒚𝒊(𝑷𝑫𝒊 + 𝒋𝑸𝑫𝒊) 𝑷𝑺𝒊 + 𝒋𝑸𝑺𝒊
𝑷𝑫𝒊 + 𝒋𝑸𝑫𝒊
𝑷𝒊𝒋 + 𝒋𝑸𝒊𝒋
𝑰 𝒊𝒋
𝑽 𝒊 𝑽 𝒋
𝒊 𝒋
119
e o sistema é balanceado e representado pelo seu equivalente monofásico (ALVES, 2012;
RIBEIRO, 2013). As relações matemáticas que originam estas restrições são detalhadas a
seguir.
A partir da Figura 10, podem-se estabelecer os balanços de potência ativa e de
potência reativa em cada barra do sistema. Respectivamente, para a barra 𝑖 no circuito
mostrado na Figura 10 são geradas as seguintes restrições:
𝑃𝑆𝑖− 𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗
2 = 𝑃𝐷𝑖(1 − 𝑦𝑖) (38)
𝑄𝑆𝑖− 𝑄𝑖,𝑗 − 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗
2 = 𝑄𝐷𝑖(1 − 𝑦𝑖) (39)
Levando em consideração que a barra 𝑖 está ligada a várias barras do sistema elétrico,
as restrições (𝟑𝟖) e (𝟑𝟗) podem ser generalizadas da seguinte forma:
∑ 𝑃𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ (𝑃𝑖,𝑗 + 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗2 )
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
+ 𝑃𝑆𝑖= 𝑃𝐷𝑖
(1 − 𝑦𝑖) (40)
∑ 𝑄𝑘,𝑖
(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′
− ∑ (𝑄𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗2 )
(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′
+ 𝑄𝑆𝑖= 𝑄𝐷𝑖
(1 − 𝑦𝑖) (41)
Estas restrições são válidas para todas as barras que participam do processo de
restauração (∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′) e são as restrições presentes no modelo matemático, respectivamente,
em (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜). No entanto, no modelo, 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋
𝒔𝒒𝒓.
A partir da Figura 11, pode-se estabelecer o cálculo da queda de tensão em cada ramo
do sistema. Esse equacionamento é obtido através da aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff e será
detalhado adiante. Inicialmente, apresentam-se as seguintes relações matemáticas:
Sabendo que 𝑽 𝒊 = 𝑽𝒊∠𝜽𝒊 e 𝑽 𝒋 = 𝑽𝒋∠𝜽𝒋, que 𝑺 𝒊,𝒋 = 𝑷𝒊,𝒋 + 𝒋𝑸𝒊,𝒋 e também que
𝑺 𝒊,𝒋 = 𝑽 𝒋 𝑰 𝒊,𝒋∗ têm-se:
𝐼 𝑖,𝑗 = (𝑆 𝑖,𝑗
𝑉 𝑗)
∗
=𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗
𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 (42)
120
| 𝐼 𝑖,𝑗| =√𝑃𝑖,𝑗
2 + 𝑄𝑖,𝑗2
|𝑉 𝑗|
(43)
Elevando (𝟒𝟑) ao quadrado, tem-se:
𝐼𝑖,𝑗2 =
𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗
2
𝑉𝑗2 (44)
Fazendo 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋
𝒔𝒒𝒓 e 𝑽𝒋
𝟐 = 𝑽𝒋𝒔𝒒𝒓
, a relação (𝟒𝟒) é reescrita como:
𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
=𝑃𝑖,𝑗
2 + 𝑄𝑖,𝑗2
𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟 (45)
Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff no laço independente formado pelo ramo 𝑖 − 𝑗 no
circuito mostrado na Figura 11, a seguinte relação é obtida:
𝑉 𝑖 = 𝑉 𝑗 + 𝑍𝑖,𝑗 𝐼 𝑖,𝑗 (46)
Sabendo que 𝒁𝒊,𝒋 = 𝑹𝒊,𝒋 + 𝒋𝑿𝒊,𝒋 e usando (𝟒𝟐) em (𝟒𝟔):
𝑉 𝑖 = 𝑉 𝑗 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗) (𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗
𝑉𝑗∠−𝜃𝑗) (47)
Reescrevendo (𝟒𝟕):
𝑉𝑖∠𝜃𝑖 𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 = 𝑉𝑗∠𝜃𝑗 𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗) (48)
Fazendo 𝜽𝒊𝒋 = 𝜽𝒊 − 𝜽𝒋 e resolvendo (𝟒𝟖), obtêm-se:
𝑉𝑖 𝑉𝑗∠𝜃𝑖𝑗 = 𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗)
𝑉𝑖 𝑉𝑗(cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗) = 𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗) (49)
121
Separando as partes real e imaginária da equação (𝟒𝟗), são obtidas as seguintes
relações:
𝑉𝑖 𝑉𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 = 𝑉𝑗2 + 𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗 (50)
𝑉𝑖 𝑉𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗 = 𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗 (51)
Elevando (𝟓𝟎) e (𝟓𝟏) ao quadrado e depois somando as duas relações é possível
eliminar o ângulo de fase 𝜃𝑖𝑗 do equacionamento, sendo obtida a seguinte relação:
𝑉𝑖2 𝑉𝑗
2 = [𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)]
2+ [𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗]
2 (52)
Desenvolvendo (𝟓𝟐):
𝑉𝑖2 𝑉𝑗
2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗
2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + (𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)2+(𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)
2 (53)
Desenvolvendo (𝟓𝟑), a equação assume finalmente a seguinte forma:
𝑉𝑖2 𝑉𝑗
2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗
2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + (𝑅𝑖,𝑗2 + 𝑋𝑖,𝑗
2 )(𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗
2 ) (54)
Assumindo 𝒁𝒊,𝒋𝟐 = 𝑹𝒊,𝒋
𝟐 + 𝑿𝒊,𝒋𝟐 em (𝟓𝟒):
𝑉𝑖2 𝑉𝑗
2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗
2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 (𝑃𝑖,𝑗
2 + 𝑄𝑖,𝑗2 ) (55)
Dividindo a relação (𝟓𝟓) por 𝑽𝒋𝟐 e reorganizando alguns termos, tem-se:
𝑉𝑖2 = 𝑉𝑗
2 + 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 (
𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗
2
𝑉𝑗2 ) (56)
A relação (𝟓𝟔) representa o cumprimento da 2ª Lei de Kirchhoff no laço independente
em que se encontra o ramo 𝑖 − 𝑗 no circuito mostrado na Figura 11. Adicionalmente, a
relação (𝟓𝟔) pode incorporar a relação (𝟒𝟒) e assumir a seguinte forma:
122
𝑉𝑖2 = 𝑉𝑗
2 + 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗
2
𝐼𝑖,𝑗2 =
𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗
2
𝑉𝑗2
(57)
As relações apresentadas em (𝟓𝟕) são formas alternativas para representar o
cumprimento da 2ª Lei de Kirchhoff em cada ramo do sistema elétrico.
Novamente fazendo 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋
𝒔𝒒𝒓 e 𝑽𝒋
𝟐 = 𝑽𝒋𝒔𝒒𝒓
, a relação (𝟓𝟕) é reescrita como:
𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟
= 𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟
+ 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗
𝑠𝑞𝑟 (58)
𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟
=𝑃𝑖,𝑗
2 + 𝑄𝑖,𝑗2
𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟 (59)
No modelo matemático de PCSOIM, a relação (𝟓𝟗) foi modificada para assumir a
forma cônica de segunda ordem e a relação (𝟓𝟖) incorporou a variável auxiliar 𝑏𝑖,𝑗. No modelo
matemático, as relações (𝟓𝟖) e (𝟓𝟗) com estas modificações mencionadas correspondem,
respectivamente, às relações (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞) e são válidas para todos os ramos que participam do
processo de restauração (∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′).
Quanto à formulação cônica de segunda ordem, destaca-se o trabalho de Ribeiro
(2013). Este trabalho apresenta um modelo de programação não linear para o problema de
alocação ótima de banco de capacitores, onde a não linearidade presente no conjunto de
restrições consta apenas na restrição de igualdade que calcula o quadrado da magnitude de
corrente para complementar a restrição que representa a aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff. O
trabalho prova que essa restrição não linear pode ser substituída por uma restrição cônica de
segunda ordem equivalente, tornando o modelo não linear em um modelo cônico de segunda
ordem, cuja conversão consiste apenas em tornar a restrição de igualdade em uma restrição de
desigualdade e, portanto, nenhuma outra variável ou restrição é acrescentada ao modelo.
Assim, o modelo cônico é composto por um conjunto de restrições lineares e uma restrição de
cone quadrático. Esta restrição cônica consta na relação (𝟑𝟕𝐞) do modelo matemático
apresentado neste capítulo.
A grande vantagem de usar a formulação cônica é que o problema se torna convexo,
consequentemente, a solução ótima global do modelo cônico pode ser encontrada e esta
solução corresponde também à solução ótima do problema original (não linear). Além disso, o
123
tempo computacional demandado para resolução do modelo cônico é menor quando
comparado com a versão não linear, principalmente considerando que, dependendo das
características do problema, as técnicas de otimização não linear nem sempre são eficientes
para encontrar uma solução factível para o problema não linear. Um problema de
programação não linear inteiro misto é de difícil solução e comumente apresenta
comportamento multimodal.
4.2 SISTEMA TESTE E CENÁRIOS DE FALTA ANALISADOS
Esta seção apresenta informações sobre o sistema elétrico utilizado para a realização
dos testes com o modelo matemático apresentado neste capítulo e também apresenta
informações sobre os cenários de falta analisados. Os testes simularam a elaboração de planos
de restauração a partir do sistema elétrico de distribuição e dos cenários de falta permanente
apresentados em Pereira Junior et al. (2012), cujo trabalho aplicou uma metodologia
heurística para resolver o problema de restauração. Assim, os resultados elaborados pelas
duas metodologias podem ser comparados e avaliados, conforme as justificativas apresentadas
a seguir.
A técnica heurística apresentada em Pereira Junior et al. (2012) foi revisada na seção
1.2.2 e corresponde a uma meta-heurística de Busca Tabu, cuja proposta de restauração
também pretende restabelecer o máximo de cargas fora do serviço de fornecimento de
energia, de forma que o restabelecimento provoque a menor modificação possível na
configuração básica do sistema. Ambos os objetivos relacionados à minimização do número
de chaveamentos na rede considera simbolicamente os custos operacionais relacionados às
operações de manobra. Portanto, a minimização do número de chaveamentos para
restabelecimento do sistema apenas contabiliza as chaves que sofreram alteração (abertura ou
fechamento) do seu estado inicial (quando a rede operava normalmente) para configurar a
nova operação em estado restaurativo. No entanto, a função objetivo formulada para a meta-
heurística proposta pelos autores é obrigada a incorporar uma estratégia de penalização para
as propostas de solução que apresentam violação de restrições do problema, de modo que o
problema possa convergir para soluções factíveis. A metodologia considera as mesmas
restrições físicas, operacionais e de qualidade do fornecimento de energia elétrica
consideradas pelo modelo matemático apresentado neste capítulo. Portanto, o modelo
124
matemático com abordagem completa proposto resolve o problema de restauração no sistema
teste de distribuição nas mesmas condições em que o algoritmo heurístico de Busca Tabu,
tornando perfeitamente adequada a análise comparativa entre as duas metodologias.
Deve-se atentar unicamente para o fato de que o método heurístico proposto pelos
autores faz busca local, em torno da área desatendida após interrupção do serviço, por
requisitos operativos considerados pelos autores e, indiretamente, por limitações no que tange
principalmente à codificação global do problema para as meta-heurísticas. O método
heurístico faz busca local porque considera que seções que se mantiveram energizadas após
interrupção do serviço não poderão sofrer desenergização, temporária ou permanente, durante
o estado restaurativo. O modelo matemático faz busca global e encontra a solução ótima do
problema, sem restringir tais desenergizações temporárias ou permanentes. Os resultados para
o terceiro cenário de falta analisado exemplificam mais enfaticamente estes apontamentos. No
entanto, o modelo matemático pode ser utilizado para também realizar busca local, se
desejável for seguir os mesmos requisitos operativos considerados pelos autores.
O sistema de distribuição utilizado para teste possui efetivamente 53 barras, sendo 3
subestações e 50 barras de demanda, e 61 ramos (𝑛𝑏 = 53, 𝑛𝑠 = 3 e 𝑛𝑙 = 61). A tensão
nominal do sistema é de 13,8 kV. Considera-se apenas um único nível de demanda e, em
condições normais de operação, o sistema atende a uma demanda de potência ativa
equivalente a 45.668,70 kW e a uma demanda de potência reativa equivalente a 22.118,24
kVAr, equivalentes a 50.742,95 kVA. A configuração base do sistema é apresentada na
Figura 12 e os demais dados físicos e operacionais são apresentados nas Tabelas 10, 11, 12,
13 e 14 (dados referentes aos condutores, às linhas do sistema, às subestações e às barras de
demanda). A Tabela 12, especialmente, apresenta os dados das impedâncias do sistema,
calculadas de acordo com os dados apresentados na Tabela 10 e na Tabela 11. O modelo
matemático resolve o problema de restauração utilizando os dados da Tabela 12 e da Tabela
14 e fixando a tensão na subestação no valor nominal 13,8 kV (1 p.u.). A tensão mínima
permitida para a operação do sistema é de 13,11 kV (0,95 p.u.) e a tensão máxima permitida é
de 14,49 kV (1,05 p.u.).
125
Tabela 10 - Dados dos cabos (condutores)
Tamanho Resistência
(Ω/Km)
Reatância
(Ω/Km)
Corrente máxima
(A)
1 0,3655 0,2520 150
2 0,2359 0,2402 250
3 0,1827 0,1260 350
4 0,1460 0,1233 400
5 0,1180 0,1201 500
6 0,0966 0,1201 600
Fonte: Pereira Junior et al. (2012).
Tabela 11 - Dados das linhas
Circuito 𝒊 − 𝒋 Cabo
Distância
(m)
Circuito 𝒊 − 𝒋 Cabo
Distância
(m) Barra Barra Barra Barra
101 1 6 562 28 6 1 1000
101 3 6 436 104 30 6 562
4 3 6 624 29 30 1 624
7 4 6 500 43 30 2 812
5 4 2 624 37 43 1 500
8 7 6 624 31 37 1 374
6 5 2 500 10 31 1 624
9 1 6 686 43 13 4 750
2 1 2 624 45 12 6 500
10 9 2 1436 44 45 6 436
102 14 6 750 38 44 6 624
15 14 2 750 39 38 5 686
16 15 2 562 32 39 1 812
102 11 6 562 33 39 2 562
12 11 6 624 8 33 2 936
13 12 1 874 34 33 1 374
20 19 1 624 35 34 1 436
19 18 1 500 36 35 1 436
18 17 1 812 40 41 1 750
17 9 4 860 16 40 1 500
21 18 2 624 42 41 1 750
104 21 4 500 48 42 1 500
104 22 2 750 49 48 1 750
22 9 2 936 50 49 1 436
23 22 1 686 47 42 4 624
24 23 1 562 46 47 2 624
25 24 1 436 14 46 4 686
8 25 1 562 35 40 1 356
27 8 2 750 10 38 1 500
26 27 1 686 28 50 1 308
28 27 1 624
Fonte: Pereira Junior et al. (2012).
126
Tabela 12 - Dados de impedância das linhas
Circuito 𝒊 − 𝒋 Resistência
(Ω)
Reatância
(Ω)
Corrente
Máx. (A)
Circuito 𝒊 − 𝒋 Resistência
(Ω)
Reatância
(Ω)
Corrente
Máx. (A) Barra Barra Barra Barra
101 1 0,0543 0,0675 600 28 6 0,3655 0,2520 150
101 3 0,0421 0,0524 600 104 30 0,0543 0,0675 600
4 3 0,0603 0,0749 600 29 30 0,2281 0,1572 150
7 4 0,0483 0,0600 600 43 30 0,1916 0,1950 250
5 4 0,1472 0,1499 250 37 43 0,1828 0,1260 150
8 7 0,0603 0,0749 600 31 37 0,1367 0,0942 150
6 5 0,1179 0,1201 250 10 31 0,2281 0,1572 150
9 1 0,0663 0,0824 600 43 13 0,1095 0,0925 400
2 1 0,1472 0,1499 250 45 12 0,0483 0,0600 600
10 9 0,3388 0,3449 250 44 45 0,0421 0,0524 600
102 14 0,0725 0,0901 600 38 44 0,0603 0,0749 600
15 14 0,1769 0,1802 250 39 38 0,0809 0,0824 500
16 15 0,1326 0,1350 250 32 39 0,2968 0,2046 150
102 11 0,0543 0,0675 600 33 39 0,1326 0,1350 250
12 11 0,0603 0,0749 600 8 33 0,2208 0,2248 250
13 12 0,3194 0,2202 150 34 33 0,1367 0,0942 150
20 19 0,2281 0,1572 150 35 34 0,1594 0,1099 150
19 18 0,1828 0,1260 150 36 35 0,1594 0,1099 150
18 17 0,2968 0,2046 150 40 41 0,2741 0,1890 150
17 9 0,1256 0,1060 400 16 40 0,1828 0,1260 150
21 18 0,1472 0,1499 250 42 41 0,2741 0,1890 150
104 21 0,0730 0,0617 400 48 42 0,1828 0,1260 150
104 22 0,1769 0,1802 250 49 48 0,2741 0,1890 150
22 9 0,2208 0,2248 250 50 49 0,1594 0,1099 150
23 22 0,2507 0,1729 150 47 42 0,0911 0,0769 400
24 23 0,2054 0,1416 150 46 47 0,1472 0,1499 250
25 24 0,1594 0,1099 150 14 46 0,1002 0,0846 400
8 25 0,2054 0,1416 150 35 40 0,1301 0,0897 150
27 8 0,1769 0,1802 250 10 38 0,1828 0,1260 150
26 27 0,2507 0,1729 150 28 50 0,1126 0,0776 150
28 27 0,2281 0,1572 150
Fonte: Elaboração da autora
127
Tabela 13 – Dados de capacidade de carregamento das subestações
Subestação Potência nominal
(kVA)
101 33.400,00
102 30.000,00
104 22.000,00
Fonte: Pereira Junior et al. (2012).
Tabela 14 - Dados de demanda das barras
Barra Potência
Barra Potência
Ativa (kW) Reativa (kVAr) Ativa (kW) Reativa (kVAr)
101 0,00 0,00 25 623,70 302,07
102 0,00 0,00 26 831,60 402,78
104 0,00 0,00 27 1.039,50 503,42
1 2.910,60 1.409,64 28 485,10 234,93
2 1.039,50 503,43 29 970,20 469,85
3 485,10 234,93 30 1.801,80 872,64
4 762,30 369,22 31 485,10 234,93
5 1.801,80 872,64 32 1.178,10 570,57
6 485,10 234,93 33 2.009,70 973,36
7 693,00 335,64 34 831,60 402,79
8 1.316,70 637,71 35 623,70 302,07
9 831,60 402,79 36 207,90 100,72
10 2.009,70 973,36 37 1.455,30 704,86
11 207,90 100,72 38 762,30 369,21
12 1.247,40 604,14 39 693,00 335,64
13 762,30 369,22 40 970,20 469,85
14 693,00 335,64 41 623,70 302,07
15 970,20 469,85 42 831,60 402,79
16 1.316,70 637,71 43 900,90 436,36
17 485,10 234,93 44 970,20 469,85
18 831,60 402,79 45 554,40 268,50
19 970,20 469,85 46 1.247,40 604,14
20 554,40 268,50 47 693,00 335,64
21 1.247,40 604,14 48 554,40 268,50
22 762,30 369,22 49 346,50 167,78
23 693,00 335,64 50 554,40 268,50
24 346,50 167,78
Fonte: Pereira Junior et al. (2012).
128
Figura 12 - Configuração base do sistema teste de 53 barras
Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. (2012).
Os testes foram realizados para três casos de falta permanente no sistema apresentado
na Figura 12: falta nas barras 3, 11 e 14. A Tabela 15 apresenta as informações sobre estes
três casos. Os cenários de falta são descritos com base no conhecimento da configuração do
sistema no seu estado normal de operação e na informação do correspondente local de falta.
Após a indicação do local de falta, os circuitos adjacentes utilizados para isolar o defeito são
indisponibilizados para o processo de restauração e as seções de carga desatendidas à jusante
do defeito são conhecidas, portanto, o total de carga não suprida passível de restabelecimento
também é conhecido. A Tabela 15 apresenta estas informações e, a partir dela, é possível
verificar o número de circuitos disponíveis para o processo de restauração em cada cenário de
5
4
6
50
3 101
104
34
33
35
27
36 10
19
20
21
18
17
9
2
1
7
22
23
32
40 41
39
49
48
42
47
46 14
15
16
28
38
44
45
102 11
12
13
43 29
37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
129
falta apresentado (do total de 61 ramos existentes) e a totalidade de cargas fora do serviço de
fornecimento (isto inclui as cargas ativa e reativa das seções em falta não participantes do
processo de restauração, além do total de cargas restauráveis explicitamente apresentadas).
Por exemplo, no cenário de falta na barra 14, o total de circuitos disponíveis é 61 − 3 = 58,
e os totais de carga ativa e de carga reativa fora do serviço são, respectivamente, 8.801,10 kW
e 4.262,47 kVAr, sendo que apenas 8.108,10 kW e 3.926,83 kVAr são passíveis de
restauração e poderão concorrer ao restabelecimento (a diferença corresponde à demanda de
carga da barra 14, não restaurável).
Tabela 15 - Informações sobre os cenários de falta no sistema teste de 53 barras
Falta
(Barra)
Ramos
indisponibilizados
(Circuito 𝒊 − 𝒋)
Barras desatendidas
à jusante da falta
Total de cargas restauráveis
Ativa (kW) Reativa (kVAr)
3 101-3, 4-3 4, 5, 6, 7, 8,
26, 27, 28 7.415,10 3.591,27
11 102-11, 12-11 12, 32, 33, 34, 35,
36, 38, 39, 44, 45 9.078,30 4.396,85
14 102-14, 15-14,
14-46
15, 16, 40, 41, 42,
46, 47, 48, 49, 50 8.108,10 3.926,83
Fonte: Elaboração da autora
Finalmente, a partir das informações contidas na Tabela 15, o modelo matemático de
PCSOIM propõe a configuração alternativa ótima para o sistema em cada estado restaurativo
analisado, conforme os objetivos discutidos na seção 4.1 e conforme as condições
apresentadas nesta seção. Os resultados dos testes são apresentados na seção seguinte, onde
são também analisados e comparados com os resultados obtidos pela metodologia heurística
proposta em Pereira Junior et al. (2012).
4.3 TESTES E RESULTADOS
Esta seção apresenta os resultados dos testes realizados para os casos de falta
apresentados na Tabela 15 da seção anterior e faz uma análise comparativa entre os
resultados obtidos pelo modelo matemático proposto na seção 4.1 e pela técnica heurística
apresentada em Pereira Junior et al. (2012), discutida nas seções 1.2.2 e 4.2. A seção 4.1
apresentou o modelo matemático de PCSOIM proposto neste capítulo para resolver o
130
problema de restauração de sistemas elétricos de distribuição radiais, cuja formulação aborda
o problema de forma completa e prevê o corte de carga. O sistema teste foi apresentado na
seção 4.2, onde também se discutiram as condições em que os testes foram realizados.
Os resultados apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM para todos os
cenários de falta analisados foram obtidos usando o solucionador comercial CPLEX (versão
12.2.0.0) dentro do ambiente de programação AMPL. O computador utilizado para a
resolução do modelo possui as seguintes principais configurações: Sistema operacional de 64
bits (Windows 8), Processador Intel(R) Core(TM) i5-3337U com 1,80 GHz e Memória RAM
de 6 GB.
4.3.1 Cenário 1: Falta na Seção 3
De acordo com as informações da Tabela 15, o estado restaurativo provocado por uma
falta na barra 3 exige a indisponibilização dos circuitos 101-3 e 4-3 destinados a isolar a
falta. Isto pode contabilizar até 2 manobras de chaves no plano final de restauração. Estes
ramos não participam do processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar apenas
com 59 ramos. Além da barra 3, não restaurável, outras oito barras de demanda (barras 4, 5,
6, 7, 8, 26, 27 e 28) ficaram desatendidas, totalizando o não fornecimento de uma carga
aparente de 8.777,98 kVA, sendo que apenas 8.238,99 kVA são restauráveis.
Os planos de restauração apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM proposto
neste capítulo e pelo método heurístico proposto em Pereira Junior et al. (2012) para este
cenário de falta são informados na Tabela 16, abaixo, e discutidos a seguir.
Tabela 16 - Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 3
Método Chaves abertas
para isolar a falta
Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador Barras não
restauradas Total de cargas (kVA)
Abertura Fechamento Cortadas Restauradas
Heurístico 101-3, 4-3* 8-7, 27-8,
26-27, 28-6
8-25, 28-27,
28-50 4, 5, 6, 7, 26 5.082,01 3.156,98
Exato
(PCSOIM) 101-3, 4-3
5-4, 6-5*, 27-8,
26-27, 28-6, 34-33
28-27, 8-33,
35-40, 28-50 5, 6, 26 3.465,00 4.773,99
* Indica que no plano final de restauração a chave sinalizada não é apresentada efetivamente manobrada por
conectar duas barras desconexas do sistema restaurado (barras ilhadas), portanto o chaveamento não deve ser
contabilizado.
Fonte: Elaboração da autora
131
De acordo com as informações das Tabelas 15 e 16, observa-se que a demanda
restaurável do sistema elétrico foi parcialmente restabelecida nos dois planos de restauração
apresentados na Tabela 16 para o caso de falta na barra 3 e que o corte de carga se deu de
forma diferente em cada um dos planos. As propostas de solução são então analisadas de
forma comparativa.
O plano de restauração elaborado pelo algoritmo heurístico desliga definitivamente do
sistema as barras 4, 5, 6, 7 e 26, o que equivale ao corte de 5.082,01 kVA (4.573,80 kW e
2.215,21 kVAr). Apenas as barras 8, 27 e 28 foram restauradas, totalizando o
restabelecimento de 3.156,98 kVA (2.841,30 kW e 1.376,06 kVAr). O valor restaurado
representa 37,94% da carga restaurável. A barra 8 passou a ser atendida pela subestação 101 e
as barras 27 e 28 passaram a ser atendidas pela subestação 102. Ao todo, foram efetuadas 8
operações de chaveamento: abertura da chave 101-3 para isolamento da falta, abertura das
chaves 8-7, 27-8, 26-27 e 28-6 e fechamento das chaves 8-25, 28-27 e 28-50 para
restabelecimento e operação radial do sistema. Observa-se que a chave 4-3, indisponibilizada
para o processo de restauração para o isolamento da falta, não é listada para ser efetivamente
aberta, já que a barra 4 permaneceu desatendida e em ilhamento com as barras 3, 5, 6 e 7. A
configuração final do sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado
restaurativo de falta na barra 3 é ilustrada na Figura 13.
O modelo matemático proposto elaborou um plano de restauração que realiza o corte
de carga apenas para as barras 5, 6 e 26, totalizando o corte de 3.465,00 kVA (3.118,50 kW e
1.510,35 kVAr). O modelo restabeleceu um adicional de 1.617,01 kVA em relação ao método
heurístico (referente às barras 4 e 7). Foram restabelecidas as barras 4, 7, 8, 27 e 28,
totalizando 4.773,99 kVA (4.296,60 kW e 2.080,92 kVAr), o que representa 57,94% das
cargas restauráveis, contra os 37,94% atingidos pelo método heurístico, 20% adicionais.
Todas as barras restabelecidas passaram a ser atendidas pela subestação 102. O modelo
matemático apresentou 10 operações de chaveamento, no entanto, são efetivamente indicadas
9 manobras: no plano final elaborado a chave 6-5 não é indicada para ser efetivamente aberta
porque as barras 5 e 6 ficaram ilhadas. O plano final contabiliza 11 operações de
chaveamento: a abertura efetiva das chaves 101-3 e 4-3 indisponibilizadas para isolar a falta,
o fechamento das chaves normalmente abertas 28-27, 8-33, 35-40 e 28-50 e a abertura das
chaves normalmente fechadas 5-4, 27-8, 26-27, 28-6 e 34-33 para restabelecimento do
sistema. Diferentemente do plano elaborado pela heurística, a chave 4-3 foi declarada aberta
pelo modelo matemático, pois a barra 4 foi restabelecida pelo modelo. A configuração final
132
do sistema segundo a proposta do modelo matemático de PCSOIM para o estado restaurativo
de falta na barra 3 é ilustrada na Figura 14.
Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 3, o tempo de processamento
computacional demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os
autores, foi de 0,312 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de
14.206,48 segundos (aproximadamente 4 horas). Porém, o método heurístico faz uma análise
local e limitada, enquanto que o modelo matemático resolve o problema globalmente. Quando
o modelo matemático é aplicado para resolver o problema localmente neste caso de falta, o
tempo de processamento demandado é de 2,1 segundos.
Figura 13 - Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 3
Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. 2012.
5
4
6
50
3 101
104
34
33
35
27
36 10
19
20
21
18
17
9
2
1
7
22
23
32
40 41
39
49
48
42
47
46 14
15
16
28
38
44
45
102 11
12
13
43 29
37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
133
Figura 14 - Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 3 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012)
Fonte: Elaboração da autora
É válido destacar que, segundo Pereira Junior et al. (2012), ao ser relaxada a restrição
de tensão mínima de 0,95 p.u. para o mínimo de 0,93 p.u. e, simultaneamente, serem
relaxadas as restrições de capacidade de corrente e de capacidade das subestações em 20%, o
algoritmo heurístico apresentou um plano de restabelecimento muito parecido com o plano de
restauração do modelo matemático para este cenário de falta na barra 3. Assim, em
condições consideravelmente relaxadas e favorecidas, o algoritmo heurístico apresentou o
mesmo plano apresentado pelo modelo matemático acrescido apenas do restabelecimento da
5
4
6
50
3 101
104
34
33
35
27
36 10
19
20
21
18
17
9
2
1
7
22
23
32
40 41
39
49
48
42
47
46 14
15
16
28
38
44
45
102 11
12
13
43 29
37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
134
barra 26, através do fechamento do circuito 26-27.
Em resumo, segundo a resolução do modelo matemático de PCSOIM proposto, o
sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 3 nas seguintes condições: não
foi possível restaurar plenamente o sistema, por isso houve corte de carga; 49 barras
permaneceram em operação (3 subestações e 46 barras de demanda), formando um sistema
conexo e radial com 46 ramos fechados (do total de 59 ramos disponíveis); o sistema passou
a atender a uma demanda de potência aparente de 46.738,96 kVA, correspondente a 92,11%
da demanda normalmente atendida (50.742,95 kVA); a barra observada com menor módulo
de tensão é a barra 4 com tensão de 0,9631 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo
fluxo máximo de corrente permitido; e as subestações operam dentro da correspondente
capacidade de carregamento. As informações de carregamento das subestações e os fluxos de
potência e de corrente nos ramos para este caso de falta analisado constam, respectivamente,
na Tabela 17 e na Tabela 18. As informações de carregamento das subestações estão
considerando apenas as cargas conectadas a elas, as perdas em kVA não estão somadas ao
carregamento informado.
Tabela 17 - Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de falta na
barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Subestação Potência nominal
(kVA)
Carregamento (kVA)**
Estado Normal Estado Restaurativo
101 33.400,00 19.557,97 10.779,99
102 30.000,00 20.096,98 24.870,97
104 22.000,00 11.088,00 11.088,00
TOTAL: 85.400,00 50.742,95 46.738,96
** As perdas em kVA não estão somadas ao carregamento informado.
Fonte: Elaboração da autora
135
Tabela 18 - Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta na
barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Circuitos ativos
(Total = 46)
FLUXOS Corrente
Máxima
(A) Potência Ativa
(kW)
Potência Reativa
(kVAr) Corrente
(A) Barra Barra
101 1 9833,3424 4826,8460 477,6788 600
7 4 762,3000 369,2200 308,0527 600
8 7 1469,0505 721,9556 306,1466 600
9 1 -5873,4451 -2903,8002 348,7933 600
104 30 6435,8788 3139,8142 361,1125 600
29 30 -976,4416 -474,1534 95,5109 150
43 30 -3657,6372 -1793,0208 196,5148 250
37 43 -1952,2640 -947,9698 114,1215 150
31 37 -489,8237 -238,1869 107,3254 150
43 13 762,3000 369,2200 246,6285 400
45 12 -9132,8879 -4548,8099 451,7737 600
2 1 -1049,2973 -513,4058 148,9481 250
10 9 -2041,0463 -1005,2777 175,6272 250
102 14 12186,4603 5974,4413 579,7352 600
15 14 -4990,7166 -2446,8442 237,1752 250
16 15 -3990,6594 -1946,5928 204,8775 250
102 11 10634,4034 5311,1284 510,6456 600
12 11 -10426,5034 -5210,4084 505,5380 600
20 19 -559,8096 -272,2297 88,9170 150
19 18 -1536,0862 -746,2693 105,2789 150
17 9 -507,8582 -254,1497 245,8002 400
21 18 2367,6862 1149,0593 178,9604 250
104 21 3629,2294 1767,6004 259,9932 400
22 9 -2468,7548 -1211,5132 179,0355 250
23 22 -1685,2222 -820,6736 111,2755 150
24 23 -982,9083 -478,6119 108,0286 150
25 24 -629,2167 -305,8736 107,4220 150
44 45 -8548,9139 -4243,5414 429,6888 600
38 44 -7555,3848 -3744,6871 393,3039 600
39 38 -6765,1120 -3340,6993 352,1939 500
32 39 -1186,2996 -576,2234 95,9653 150
33 39 -4855,6899 -2398,1772 235,4823 250
35 34 831,6000 402,7900 106,8100 150
36 35 -212,0819 -103,6033 93,5280 150
16 40 2647,8335 1285,3814 131,1589 150
42 41 623,7000 302,0700 103,4802 150
48 42 -3021,8393 -1472,0457 145,1517 150
49 48 -2455,8882 -1195,5816 124,5660 150
50 49 -2096,6276 -1019,0037 115,5294 150
47 42 4485,9454 2182,9772 257,0457 400
46 47 5197,0038 2533,8679 246,9959 250
14 46 6471,3448 3165,4400 323,2645 400
28 27 1039,5000 503,4200 103,1421 150
8 33 -2823,9351 -1402,3605 179,0491 250
35 40 -1677,6335 -815,5314 110,8605 150
28 50 -1535,8468 -746,1043 108,3924 150
Fonte: Elaboração da autora
136
Abaixo, a Figura 15 apresenta o gráfico correspondente ao fluxo de corrente nos
ramos para o caso de falta na barra 3, conforme o plano de restauração elaborado pelo
modelo matemático de PCSOIM, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as
condições de cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos.
Por exemplo, o fluxo no circuito 46-47, quadragésimo primeiro circuito apresentado na
Tabela 18 e ponto 41 no gráfico da Figura 15, opera de forma mais crítica e o circuito 102-
14 (ponto 14 no gráfico da Figura 15) opera muito próximo da sua capacidade máxima.
Figura 15 - Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 3), conforme a
resolução do modelo matemático de PCSOIM
Fonte: Elaboração da autora
4.3.2 Cenário 2: Falta na Seção 11
Conforme a Tabela 15, uma falta na barra 11 exige que os circuitos 102-11 e 12-11
sejam reservados para o isolamento da falta, podendo contabilizar até 2 manobras de chaves
no plano final de restauração. Estes ramos são indisponibilizados e não participam do
processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar apenas com 59 ramos. Ao todo,
11 barras de demanda ficaram desatendidas (barras 11, 12, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 44 e
45), totalizando uma carga aparente não suprida de 10.318,02 kVA, sendo que apenas
10.087,01 kVA são restauráveis. A barra 11 não é restaurável.
0
100
200
300
400
500
600
700
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
Mag
nit
ud
e d
e C
orr
en
te (
A)
Circuitos ativos (46)
Caso de falta na barra 3
Fluxo de corrente Corrente máxima permitida
137
Os planos de restauração apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM proposto
neste capítulo e pelo método heurístico proposto em Pereira Junior et al. (2012) para este
cenário de falta são informados na Tabela 19, abaixo, e discutidos a seguir.
Tabela 19 - Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 11
Método Chaves abertas
para isolar a falta
Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador Barras não
restauradas Total de cargas (kVA)
Abertura Fechamento Cortadas Restauradas
Heurístico 102-11, 12-11 45-12, 39-38,
35-34
13-12, 8-33,
35-40, 10-38 - 0,00 10.087,01
Exato
(PCSOIM) 102-11, 12-11
45-12, 39-38,
34-33
13-12, 8-33,
35-40, 10-38 - 0,00 10.087,01
Fonte: Elaboração da autora
As Tabelas 15 e 19 mostram que ambos os métodos de resolução em análise
apresentaram um plano de restauração que restabelece plenamente todas as barras
desatendidas e passíveis de restauração após a ocorrência de falta permanente na barra 11.
Apenas a barra sob falta permaneceu desatendida no estado restaurativo e isolada do restante
do sistema em operação. As demandas das barras 12, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 44 e 45
restauradas totalizam o atendimento de 10.087,01 kVA, equivalente a 100% da carga
restaurável. No entanto, a proposta de chaveamento é ligeiramente diferente, o que implica
em duas configurações ótimas alternativas para o sistema teste neste cenário de falta.
Segundo o modelo matemático, a barra 12 é transferida para a subestação 104, as
barras 32, 33, 38, 39, 44 e 45 são transferidas para a subestação 101 e as barras 34, 35 e 36
continuam sendo normalmente atendidas pela subestação 102, mas por um circuito
alternativo. Para isto, são indicadas 7 operações de chaveamento para restabelecimento do
sistema: abertura das chaves 45-12, 39-38 e 34-33, e fechamento das chaves 13-12, 8-33, 35-
40 e 10-38; além da abertura das chaves 102-11 e 12-11 necessárias para o isolamento da
falta, totalizando 9 chaveamentos. A configuração proposta mantém a operação radial do
sistema. A proposta alternativa fornecida pelo método heurístico se diferencia apenas no
seguinte aspecto: a barra 34 deixa de ser normalmente atendida pela subestação 102 e passa a
ser atendida pela subestação 101. As chaves diferentemente indicadas para manobra nos dois
planos são adjacentes à barra 34: chaves 34-33 e 35-34. Elas são normalmente fechadas,
portanto, a única diferença consiste na abertura da chave 34-33 pelo modelo matemático e da
abertura da chave 35-34 pelo método heurístico. Portanto, ambos os planos de restauração
138
finalmente propostos apresentam 9 operações de chaveamento. A configuração final do
sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado restaurativo de falta na barra
11 é ilustrada na Figura 16 e a configuração final do sistema segundo a proposta do modelo
matemático de PCSOIM para o mesmo cenário é ilustrada na Figura 17.
Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 11, o tempo de processamento
computacional demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os
autores, foi de 0,343 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de 292,58
segundos (aproximadamente 5 minutos). O método heurístico faz uma análise local e
limitada, enquanto que o modelo matemático resolve o problema globalmente.
Figura 16 - Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 11
Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. 2012.
5
4
6
50
3 101
104
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40 41
39
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102 11
12
13
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37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
139
Figura 17 - Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 11 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012)
Fonte: Elaboração da autora
Uma vez que as propostas são semelhantes do ponto de vista de otimização, pode ser
interessante avaliar e comparar outros aspectos operacionais envolvendo as duas soluções
ótimas alternativas apresentadas. Por exemplo: avaliar e comparar a qualidade do
fornecimento de energia elétrica através das informações dos módulos de tensão nas barras;
avaliar e comparar os custos relacionados à geração de energia não consumida através da
informação das perdas totais de energia do sistema; ou se algum outro requisito técnico ou
operacional está mais perto de ser violado, tornando a proposta menos interessante. Na
5
4
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3 101
104
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33
35
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36 10
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102 11
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37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
140
verdade, diante da possibilidade de restauração completa da parcela restaurável do sistema, o
problema pode ser reotimizado a partir de objetivos secundários à proposta central de
restabelecimento. Ou seja, tendo sido verificado que o sistema pode ser plenamente
restabelecido, isolada a parcela sob falta, então é possível buscar uma solução ótima
alternativa para o problema de acordo com uma proposta de restauração considerada mais
viável em outros aspectos de interesse, como a minimização de perdas, por exemplo, ou a
minimização do desbalanço de carga (conforme abordado no capítulo 3). A proposta de
estabelecer e seguir objetivos alternativos para resolução de problemas de restauração de
sistemas de distribuição foi considerada por vários trabalhos apresentados na literatura
especializada, conforme revisado no capítulo 1 e na seção 2.2.1 deste trabalho.
Em resumo, segundo a resolução do modelo matemático de PCSOIM proposto, o
sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 11 nas seguintes condições: foi
possível restaurar plenamente o sistema passível de restauração, por isso não houve corte de
carga e apenas a barra sob falta ficou isolada; 52 barras permaneceram em operação (3
subestações e 49 barras de demanda), formando um sistema conexo e radial com 49 ramos
fechados (do total de 59 ramos disponíveis); o sistema passou a atender a uma demanda de
potência aparente de 50.511,94 kVA, correspondente a 99,54% da demanda normalmente
atendida (50.742,95 kVA); a barra observada com menor módulo de tensão é a barra 32 com
tensão de 0,9619 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo fluxo máximo de corrente
permitido; e as subestações operam dentro da correspondente capacidade de carregamento. As
informações de carregamento das subestações e os fluxos de potência e de corrente nos ramos
para este caso de falta analisado constam, respectivamente, na Tabela 20 e na Tabela 21. As
informações de carregamento das subestações estão considerando apenas as cargas conectadas
a elas, as perdas não estão somadas ao carregamento informado.
Tabela 20 - Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de falta na
barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Subestação Potência nominal
(kVA)
Carregamento (kVA)**
Estado Normal Estado Restaurativo
101 33.400,00 19.557,97 26.410,96
102 30.000,00 20.096,98 11.626,98
104 22.000,00 11.088,00 12.474,00
TOTAL: 85.400,00 50.742,95 50.511,94
** As perdas em kVA não estão somadas ao carregamento informado.
Fonte: Elaboração da autora
141
Tabela 21 - Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta na
barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Circuitos ativos
(Total = 49)
FLUXOS Corrente
Máxima
(A) Potência Ativa
(kW)
Potência Reativa
(kVAr) Corrente
(A) Barra Barra
101 1 12185,5556 6007,4687 577,6866 600
101 3 11996,1098 5938,0380 564,6176 600
4 3 -11511,0098 -5703,1080 550,2863 600
7 4 -7884,8426 -3889,5750 402,9068 600
5 4 -2809,1080 -1376,2323 181,7294 250
8 7 -7168,3204 -3524,6905 378,4106 600
6 5 -992,7237 -488,7422 169,7687 250
9 1 -8222,2763 -4080,9792 414,4397 600
104 30 7705,0566 3762,0142 396,8990 600
29 30 -978,0566 -475,2669 107,1574 150
43 30 -4925,1999 -2414,1073 234,7003 250
37 43 -1952,1849 -947,9153 113,8751 150
31 37 -489,7754 -238,1535 106,7751 150
43 13 2020,9039 981,0847 243,9953 400
2 1 -1052,6793 -516,8495 172,7541 250
10 9 -4382,3070 -2172,1731 217,3175 250
102 14 10625,3630 5206,5588 512,9644 600
15 14 -4992,3434 -2448,0979 237,7538 250
16 15 -3992,1403 -1947,6980 206,4418 250
20 19 -562,1355 -273,8334 106,3283 150
19 18 -1538,9249 -748,2266 109,6311 150
17 9 -506,4071 -252,9243 237,8348 400
21 18 2370,5249 1151,0166 179,2059 250
104 21 3632,1070 1769,5971 259,2532 400
22 9 -2467,8156 -1210,6384 176,0962 250
23 22 -1684,9745 -820,5028 110,7505 150
24 23 -982,7483 -478,5016 107,3241 150
25 24 -629,1502 -305,8278 106,7727 150
27 8 -1895,3158 -928,0525 171,9031 250
26 27 -840,1310 -408,6619 106,4963 150
28 6 -497,4252 -243,4278 106,0214 150
44 45 554,4000 268,5000 311,6615 600
38 44 1536,8731 753,6088 309,3747 600
32 39 -1188,2906 -577,5961 106,9835 150
33 39 1881,2906 913,2361 172,5154 250
35 34 831,6000 402,7900 106,7423 150
36 35 -213,2717 -104,4236 106,0007 150
16 40 2649,0130 1286,1947 131,4746 150
42 41 623,7000 302,0700 106,8831 150
48 42 -1476,8310 -719,6249 109,6320 150
49 48 -915,8415 -446,5816 107,3472 150
50 49 -559,8649 -272,2679 106,9161 150
47 42 2941,5258 1430,9623 251,0198 400
46 47 3651,7474 1781,1463 198,3243 250
14 46 4916,5169 2402,9724 279,6788 400
13 12 1247,4000 604,1400 108,1246 150
8 33 3902,8276 1898,6488 204,0588 250
35 40 -1678,8130 -816,3447 110,8226 150
10 38 2316,4812 1144,3375 121,7829 150
Fonte: Elaboração da autora
142
Abaixo, a Figura 18 apresenta o gráfico correspondente ao fluxo de corrente nos
ramos para o caso de falta na barra 11, conforme o plano de restauração elaborado pelo
modelo matemático de PCSOIM, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as
condições de cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos.
Observa-se que alguns ramos operam próximos da capacidade máxima permitida, sendo que o
fluxo no circuito 101-1 na Tabela 21 (ponto 1 no gráfico da Figura 18) é o mais crítico.
Figura 18 - Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 11), conforme a
resolução do modelo matemático de PCSOIM
Fonte: Elaboração da autora
4.3.3 Cenário 3: Falta na Seção 14
Para uma falta na barra 14, como informa a Tabela 15, devem ser indisponibilizados
os circuitos 102-14, 15-14 e 14-46 para o isolamento da falta, indicando a possibilidade de
manobra de até 3 chaves no plano final de restauração. Os ramos indisponibilizados não
participam do processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar com 58 ramos. A
barra 14, não restaurável, e outras 10 barras de demanda (barras 15, 16, 40, 41, 42, 46, 47,
48, 49 e 50) ficaram desatendidas, o que equivale a uma carga aparente de 9.778,96 kVA sem
fornecimento, sendo que destes apenas 9.008,96 kVA podem concorrer ao restabelecimento.
Os planos de restauração apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM proposto
0
100
200
300
400
500
600
700
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Mag
nit
ud
e d
e C
orr
en
te (
A)
Circuitos Ativos (49)
Caso de falta na barra 11
Fluxo de corrente Corrente máxima permitida
143
neste capítulo e pelo método heurístico proposto em Pereira Junior et al. (2012) para este
cenário de falta são informados na Tabela 22, abaixo, e discutidos a seguir.
Tabela 22 - Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 14
Método Chaves abertas
para isolar a falta
Chaves apresentadas
manobradas pelo otimizador Barras não
restauradas Total de cargas (kVA)
Abertura Fechamento Cortadas Restauradas
Heurístico 102-14, 15-14*,
14-46* 16-40, 42-41,
47-42
35-40, 28-50
15, 16, 41,
46, 47 5.389,98 3.618,97
Exato
(PCSOIM)
102-14, 15-14*,
14-46*
16-15*, 36-35,
16-40, 42-41,
47-42, 46-47*
40-41, 35-40,
28-50
15, 16, 36,
46, 47 4.928,00 4.311,97
* Indica que no plano final de restauração a chave sinalizada não é apresentada efetivamente manobrada por
conectar duas barras desconexas do sistema restaurado (barras ilhadas), portanto o chaveamento não deve ser
contabilizado.
Fonte: Elaboração da autora
Analisando as Tabelas 15 e 22, observa-se a impossibilidade de restabelecimento
completo de toda a demanda restaurável do sistema elétrico por ambos os métodos de
resolução para o caso de falta na barra 14 e a consequente necessidade de corte de carga. No
entanto, os planos elaborados por cada método apresentam soluções de diferente qualidade em
vários aspectos. De um modo geral, o modelo matemático conseguiu restabelecer maior carga,
porém o algoritmo heurístico indica efetivamente o total de 6 manobras de chaves, enquanto
no plano final elaborado pelo modelo matemático são efetivamente apresentadas 8 manobras.
A solução apresentada pelo modelo matemático priorizou o atendimento à maior demanda de
carga e, de forma secundária, minimizou os chaveamentos necessários para o atendimento a
essas demandas. Esta solução cumpre devidamente com o objetivo de restauração proposto
para o modelo matemático de PCSOIM. Cada método propôs o corte de cinco barras e as
soluções se diferenciam fundamentalmente no corte das barras 36 e 41. A demanda da barra
36 (231,01 kVA), cortada pelo modelo matemático, é menor que a demanda da barra 41
(693,00 kVA), cortada pelo método heurístico. Assim, o modelo matemático restaurou 461,99
kVA a mais que o método heurístico. Observa-se também que a barra 36 havia permanecido
energizada após a ocorrência da falta na barra 14, mas foi desconectada pelo modelo
matemático para priorizar o atendimento a uma demanda maior, no caso, atender à demanda
da barra 41. Este tipo de solução não é previsto pelo método heurístico, pois a metodologia
heurística não considera a desenergização de seções que se mantiveram energizadas após a
interrupção permanente do serviço, por requisito operativo e porque resolve o problema
localmente (a codificação adotada só permite a realização de busca local).
144
O plano de restauração elaborado pelo algoritmo heurístico desliga definitivamente do
sistema as barras 15, 16, 41, 46 e 47, totalizando o corte de 5.389,98 kVA (4.851,00 kW e
2.349,41 kVAr). As barras 40, 42, 48, 49 e 50 foram restauradas, totalizando o
restabelecimento de 3.618,97 kVA (3.257,10 kW e 1.577,42 kVAr). O valor restaurado
representa 40,17% da carga restaurável. A barra 40 continuou sendo atendida pela subestação
102, por um caminho alternativo, e as barras 42, 48, 49 e 50 foram transferidas para a
subestação 101. As 6 manobras finalmente indicadas são: abertura da chave 102-14 à
montante do defeito para o isolamento da falta, abertura das chaves 16-40, 42-41 e 47-42 e
fechamento das chaves 35-40 e 28-50 para restabelecimento e operação radial do sistema. A
configuração final do sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado
restaurativo de falta na barra 14 é ilustrada na Figura 19.
O plano de restauração elaborado pelo modelo matemático corta definitivamente as
cargas das barras 15, 16, 36, 46 e 47, totalizando o corte de 4.928,00 kVA (4.435,20 kW e
2.148,06 kVAr). As barras 40, 41, 42, 48, 49 e 50 foram restauradas, totalizando o
restabelecimento de 4.311,97 kVA (3.880,80 kW e 1.879,49 kVAr), o que equivale a 47,86%
das cargas restauráveis. No entanto, o sistema deixou de atender à barra 36, cuja demanda
não está mensurada no valor de cargas desatendidas e deve ser descontada, portanto, a solução
apresentada pelo modelo matemático contribuiu de forma efetiva com o atendimento de
4.080,96 kVA e isso representa 45,30% da carga restaurável. As barras 40 e 41 continuaram
sendo atendidas pela subestação 102, por um caminho alternativo; as barras 42, 48, 49 e 50
foram transferidas para a subestação 101; e a barra 36 inicialmente energizada foi desligada
da subestação 102. Para o restabelecimento apresentado, o otimizador indica 9 operações de
chaveamento, no entanto, apenas 7 chaves são efetivamente apresentadas para manobra no
plano final de restauração. Os 7 chaveamentos propostos são: abertura das chaves 36-35, 16-
40, 42-41 e 47-42 e fechamento das chaves 40-41, 35-40 e 28-50 para restabelecimento e
operação radial do sistema. Adicionalmente, ocorre a abertura da chave 102-14 à montante do
defeito para o isolamento da falta, totalizando as 8 manobras no plano final de restauração.
Como mostra a Tabela 22, as chaves 15-14 e 14-46 também adjacentes à barra em falta e as
chaves 16-15 e 46-47 indicadas para abertura pelo modelo matemático não são efetivamente
apresentadas manobradas no plano final porque estão a conectar barras que permaneceram
ilhadas durante o estado restaurativo analisado. A configuração final do sistema segundo a
proposta do modelo matemático de PCSOIM para o estado restaurativo de falta na barra 14 é
ilustrado na Figura 20.
145
As chaves coincidentemente apresentadas manobradas pelos dois métodos de
resolução foram as seguintes: abertura das chaves 102-14, 16-40 e 47-42 que deixam as
barras 14, 15, 16, 46 e 47 ilhadas (desconexas do restante do sistema); o fechamento da
chave 28-50 (tendo sido já mencionada a abertura da chave 47-42) para transferir as barras
42, 48, 49 e 50 da subestação 102 para a 101, juntamente com a abertura da chave 42-41 para
impedir a transferência da barra 41 para a subestação 101; e o fechamento da chave 35-40
para o restabelecimento da barra 40 pela subestação 101. Portanto, os 6 chaveamentos
realizados pelo método heurístico estão presentes no plano final elaborado pelo modelo
matemático. Os dois chaveamentos extras apresentados pelo modelo são: a abertura da chave
36-35 para cortar a demanda inicialmente atendida da barra 36 e o fechamento da chave 40-
41 para reconectar a barra 41, desatendida pela falta. Novamente, ressalta-se que apenas a
chave 102-14, à montante do defeito, foi usada para o isolamento da falta permanente em
ambos os planos de restauração, uma vez que as demais chaves adjacentes à barra em falta,
inicialmente reservadas para isolar o defeito, estão a conectar barras que permaneceram
ilhadas no sistema durante o estado restaurativo analisado.
Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 14, o tempo de resolução
demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os autores, foi de
0,358 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de 7.971,82 segundos (em
torno de 2 horas). Porém, o método heurístico faz busca local e o modelo matemático faz
busca global. Quando o modelo matemático é aplicado para resolver o problema localmente
neste caso de falta, o tempo de processamento demandado é de 0,9 segundos.
Em resumo, segundo a resolução do modelo matemático de PCSOIM proposto, o
sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 14 nas seguintes condições:
não foi possível restaurar plenamente o sistema, por isso houve corte de carga; 47 barras
permaneceram em operação (3 subestações e 44 barras de demanda), formando um sistema
conexo e radial com 44 ramos fechados (do total de 58 ramos disponíveis); o sistema passou
a atender a uma demanda de potência aparente de 45.044,95 kVA, correspondente a 88,77%
da demanda normalmente atendida; a barra observada com menor módulo de tensão é a barra
42 com tensão de 0,9587 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo fluxo máximo de
corrente permitido; e as subestações operam dentro da correspondente capacidade de
carregamento. As informações de carregamento das subestações e os fluxos de potência e de
corrente nos ramos para este caso de falta analisado constam, respectivamente, na Tabela 23
e na Tabela 24. As informações de carregamento das subestações estão considerando apenas
146
as cargas conectadas a elas, as perdas não estão somadas ao carregamento informado.
Figura 19 - Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 14
Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. 2012.
5
4
6
50
3 101
104
34
33
35
27
36 10
19
20
21
18
17
9
2
1
7
22
23
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40 41
39
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16
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44
45
102 11
12
13
43 29
37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
147
Figura 20 - Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após
falta na barra 14 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012)
Fonte: Elaboração da autora
Tabela 23 - Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de falta na
barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Subestação Potência nominal
(kVA)
Carregamento (kVA)**
Estado Normal Estado Restaurativo
101 33.400,00 19.557,97 22.098,96
102 30.000,00 20.096,98 11.857,99
104 22.000,00 11.088,00 11.088,00
TOTAL: 85.400,00 50.742,95 45.044,95
** As perdas em kVA não estão somadas ao carregamento informado.
Fonte: Elaboração da autora
5
4
6
50
3 101
104
34
33
35
27
36 10
19
20
21
18
17
9
2
1
7
22
23
32
40 41
39
49
48
42
47
46 14
15
16
28
38
44
45
102 11
12
13
43 29
37 30
31
8 26 24 25
Barra de subestação
Barra de demanda
Circuito aberto
Circuito fechado
Local da falta
Parcela desconexa
148
Tabela 24 - Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta na
barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Circuitos ativos
(Total = 44)
FLUXOS Corrente
Máxima
(A) Potência Ativa
(kW)
Potência Reativa
(kVAr) Corrente
(A) Barra Barra
101 1 9833,7037 4827,3491 477,8837 600
101 3 10372,8361 5122,4074 501,4665 600
4 3 -9887,7361 -4887,4774 479,7594 600
7 4 -3938,8031 -1944,2754 330,3347 600
5 4 -5145,0106 -2522,2341 243,1566 250
8 7 -3229,9915 -1588,9772 325,8471 600
6 5 -3317,1006 -1623,0082 190,2303 250
9 1 -5874,1533 -2904,6564 352,6620 600
104 30 6436,2238 3140,1864 364,6408 600
29 30 -976,4028 -474,1266 95,2133 150
43 30 -3658,0210 -1793,4197 198,5514 250
37 43 -1952,2996 -947,9943 114,5018 150
31 37 -489,8116 -238,1785 107,1878 150
43 13 762,3000 369,2200 245,9232 400
45 12 -9394,1660 -4651,6276 462,9553 600
2 1 -1048,9504 -513,0527 146,2876 250
10 9 -2041,1938 -1005,4279 176,0399 250
102 11 10897,6947 5416,4490 523,7120 600
12 11 -10689,7947 -5315,7290 516,4313 600
20 19 -559,7746 -272,2056 88,6290 150
19 18 -1536,0656 -746,2551 105,4032 150
17 9 -507,7165 -254,0301 245,0342 400
21 18 2367,6656 1149,0451 179,8400 250
104 21 3629,3482 1767,7281 260,6925 400
22 9 -2468,9176 -1211,6681 179,5817 250
23 22 -1685,2552 -820,6963 111,5894 150
24 23 -982,8887 -478,5984 107,9793 150
25 24 -629,2037 -305,8646 107,2952 150
27 8 -1894,0912 -927,3960 175,0061 250
26 27 -838,3351 -407,4236 94,6247 150
28 6 -2819,1956 -1375,0398 137,0114 150
44 45 -8808,7099 -4344,5165 440,9525 600
38 44 -7813,9418 -3844,1217 404,1318 600
39 38 -7022,1075 -3438,1925 362,5138 500
32 39 -1186,2479 -576,1877 95,6624 150
33 39 -5110,9459 -2493,8831 245,1639 250
34 33 -3077,3404 -1496,1818 148,3148 150
35 34 -2236,7195 -1087,1722 118,8226 150
48 42 831,6000 402,7900 105,9804 150
49 48 1392,1579 675,5356 107,4279 150
50 49 1748,1487 849,8592 111,4789 150
40 41 623,7000 302,0700 97,6499 150
35 40 1601,7418 777,3266 107,7006 150
28 50 2308,4900 1122,4556 121,9437 150
Fonte: Elaboração da autora
Abaixo, a Figura 21 apresenta o gráfico correspondente ao fluxo de corrente nos
ramos para o caso de falta na barra 14, conforme o plano de restauração elaborado pelo
modelo matemático, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as condições de
cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos. Observa-se
que o caso mais crítico de magnitude de corrente está relacionado ao ramo 34-33 (ocupante da
149
trigésima sétima posição na Tabela 24 e posição 37 na Figura 21), seguido pelo ramo 33-39.
Figura 21 - Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 14), conforme a
resolução do modelo matemático de PCSOIM
Fonte: Elaboração da autora
Para conferência, a Tabela 25 apresenta a informação dos módulos de tensão nas
barras atendidas durante a operação do sistema em estado restaurativo para todos os casos de
falta analisados neste capítulo. Destaca-se em cada cenário de falta o menor módulo de tensão
observado.
0
100
200
300
400
500
600
700
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43
Mag
nit
ud
e d
e c
orr
en
te (
A)
Circuitos ativos (44)
Caso de falta na barra 14
Fluxo de corrente Corrente máxima permitida
150
Tabela 25 - Módulos de tensão nas barras atendidas do sistema após restauração em todos os
casos de falta analisados, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM
Barra Estado Normal
(p.u.)
Estado Restaurativo (após restauração)
Falta na Barra 3
(p.u.)
Falta na Barra 11
(p.u.)
Falta na Barra 14
(p.u.)
101 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
102 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
104 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 0.9955 0.9919 0.9899 0.9919
2 0.9943 0.9907 0.9887 0.9907
3 0.9972 - 0.9900 0.9914
4 0.9934 0.9631 0.9805 0.9832
5 0.9901 - 0.9772 0.9771
6 0.9892 - 0.9762 0.9740
7 0.9918 0.9634 0.9772 0.9816
8 0.9901 0.9642 0.9735 0.9799
9 0.9923 0.9886 0.9853 0.9886
10 0.9868 0.9831 0.9734 0.9831
11 0.9956 0.9951 - 0.9949
12 0.9909 0.9897 0.9845 0.9894
13 0.9910 0.9909 0.9873 0.9909
14 0.9945 0.9925 0.9934 -
15 0.9900 0.9855 0.9865 -
16 0.9876 0.9813 0.9822 -
17 0.9918 0.9881 0.9848 0.9881
18 0.9953 0.9953 0.9953 0.9953
19 0.9933 0.9933 0.9933 0.9933
20 0.9924 0.9924 0.9924 0.9924
21 0.9980 0.9980 0.9980 0.9980
22 0.9880 0.9842 0.9809 0.9842
23 0.9850 0.9812 0.9779 0.9812
24 0.9836 0.9798 0.9765 0.9798
25 0.9829 0.9791 0.9757 0.9791
26 0.9860 - 0.9693 0.9757
27 0.9875 0.9642 0.9708 0.9772
28 0.9879 0.9659 0.9749 0.9666
29 0.9955 0.9955 0.9949 0.9955
30 0.9971 0.9970 0.9964 0.9970
31 0.9886 0.9885 0.9860 0.9885
32 0.9756 0.9719 0.9619 0.9712
33 0.9742 0.9693 0.9665 0.9683
34 0.9725 0.9753 0.9763 0.9652
35 0.9716 0.9762 0.9772 0.9626
36 0.9713 0.9760 0.9770 -
37 0.9891 0.9890 0.9865 0.9890
38 0.9817 0.9789 0.9704 0.9783
39 0.9781 0.9745 0.9644 0.9737
40 0.9863 0.9778 0.9788 0.9611
41 0.9834 0.9771 0.9822 0.9599
42 0.9846 0.9784 0.9834 0.9587
43 0.9916 0.9915 0.9890 0.9915
44 0.9850 0.9828 0.9695 0.9824
45 0.9877 0.9859 0.9693 0.9856
46 0.9909 0.9876 0.9897 -
47 0.9866 0.9815 0.9854 -
48 0.9827 0.9744 0.9815 0.9599
49 0.9810 0.9696 0.9797 0.9626
50 0.9803 0.9672 0.9791 0.9647
Fonte: Elaboração da autora
151
4.3.4 Observações Finais e Testes Adicionais
De acordo com os resultados obtidos com a resolução do modelo matemático de
PCSOIM (através do solver CPLEX) para os testes realizados, apresentados e discutidos nas
seções anteriores deste capítulo, podem-se realizar as seguintes observações:
(1) Em termos de restabelecimento de cargas, o modelo matemático proposto
encontrou solução de melhor qualidade que o método heurístico proposto em
Pereira Junior et al. (2012) para os casos de falta na barra 3 e na barra 14 e
encontrou uma solução de mesma qualidade para o caso de falta na barra 11.
(2) Em termos de número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do
sistema (objetivo secundário), o modelo matemático proposto indicou a realização
de mais manobras que o método heurístico proposto em Pereira Junior et al.
(2012) para os casos de falta nas barras 3 e 14 e indicou o mesmo número de
manobras para o caso de falta na barra 11. No caso de falta na barra 11, houve o
mesmo restabelecimento de cargas pelos dois métodos. Nos casos em que houve
maior número de chaveamentos indicados pelo modelo matemático, houve
também maior restabelecimento de cargas, o que justifica as operações de
chaveamento adicionais.
(3) Não houve violação de restrições operacionais de limites de tensão: para todos os
casos de falta testados, os módulos de tensão nas barras atendidas foram
superiores a 0,95 p.u. (o limite inferior permitido).
(4) Para todos os casos de falta testados, observa-se que nenhuma subestação opera
acima, ou mesmo próxima, de seu limite de carregamento.
(5) Das observações (3) e (4), é possível considerar que as causas de corte de carga
estejam relacionadas à violação dos limites de capacidade de corrente em alguns
ramos. Observando as Tabelas 18, 21 e 24 e os correspondentes gráficos
apresentados, observa-se que nenhum ramo ativo opera violando o respectivo
fluxo máximo de corrente permitido para o ramo. No entanto, em alguns ramos
ativos o carregamento é superior a 90% e o limite de capacidade está perto de ser
atingido, conforme discutido em cada caso de falta analisado. Com isso, a
tentativa de incremento de carga no sistema pode, finalmente, levar à violação dos
152
limites de corrente e, por consequência do desatendimento a esta restrição, resultar
no desligamento de cargas pelo otimizador.
(6) O modelo matemático para o caso de falta na barra 14 propôs uma solução que
desliga do sistema uma barra que havia permanecido energizada após a ocorrência
da falta permanente para priorizar o atendimento a uma demanda de carga maior,
cumprindo com o objetivo prioritário de restabelecimento: a minimização do corte
de carga, ou seja, a maior restauração possível de cargas.
(7) Em termos de tempo de processamento computacional, o método heurístico se
mostrou vantajoso. De um modo geral, o modelo matemático demandou tempo
elevado para a resolução exata de todos os casos de falta testados, fazendo análise
global do problema. No entanto, quando o modelo matemático é empregado para
resolver o problema fazendo busca local, assim como faz o método heurístico,
então a resolução do problema se torna extremamente menos onerosa e o modelo
matemático se torna igualmente vantajoso nesse aspecto. No entanto, o objetivo
deste trabalho não era apresentar resultados obtidos com a resolução do modelo
matemático fazendo busca local, por isso não foi apresentado um resumo
completo desses resultados: apenas foi informado o tempo de resolução
demandado nesse contexto para a diferenciação entre as duas abordagens pelo
modelo matemático: a local e a global.
(8) O tempo de processamento demandado pelo modelo matemático para resolução
global do problema de restauração pode ser melhorado através de adequadas
estratégias relacionadas à modelagem matemática, de modo que a resolução se
torne ainda menos complexa do que a resolução alcançada pela formulação cônica
de segunda ordem apresentada. Melhorar o tempo de processamento
computacional para a modelagem apresentada neste capítulo também não era
objetivo deste trabalho.
(9) Embora o tempo demandado para a resolução do modelo matemático de PCSOIM
nas condições apresentadas neste capítulo não esteja adequado para operações em
tempo real, vale ressaltar que estratégias de restauração são utilizadas também em
outros contextos: quando o sistema não passou por contingência e não está em
estado de falta permanente, mas precisa ser colocado em estado restaurativo para a
realização de manutenções preventivas na rede, para a execução de projetos de
expansão do sistema elétrico, ou ainda em casos onde se verifica que o sistema
153
não poderá atender devidamente toda a demanda de carga em um dado intervalo
futuro de tempo, e então se pode previamente avaliar a melhor solução em termos
de corte de carga, realizando o planejamento da reconfiguração nesse contexto
específico. Assim, a modelagem matemática tal como proposta neste capítulo não
é imediatamente aplicável para resolução do problema de restauração em casos de
operação em tempo real, mas é imediatamente aplicável em casos de
planejamento de corte de carga em diferentes contextos e isso também
corresponde ao problema de restauração de sistemas de energia elétrica.
Na sequência, são apresentados resultados para testes adicionais realizados com o
objetivo de verificar quais seriam as propostas de solução formuladas pelo modelo
matemático de PCSOIM, quando a tensão na barra da subestação é elevada para o limite
máximo permitido, isto é, fixada em 1,05 p.u. Geralmente existe regulação de tensão na
subestação e pode ser oportuno utilizar esta estratégia no contexto restaurativo. Elevando a
tensão na saída da subestação, espera-se uma pequena redução da magnitude de corrente nos
ramos em operação e, consequentemente, a possibilidade de que alguma carga adicional seja
reconectada. No entanto, de acordo com os resultados observados e analisados quanto à
magnitude de corrente, não se espera tão positivamente que seja possível reconectar cargas
extras, mas é possível esperar que o perfil de corrente que se apresenta crítico em alguns
ramos seja melhorado. Os novos resultados obtidos pelo modelo matemático de PCSOIM
podem ser conferidos a seguir.
Cenário 1 (falta na barra 3): fixando a tensão na barra da subestação em 1,05 p.u.,
não houve restauração de cargas adicionais e não houve alteração na configuração
topológica anteriormente proposta pelo modelo matemático, assim, as chaves
indicadas para manobras continuam as mesmas;
Cenário 2 (falta na barra 11): fixando a tensão na barra da subestação em 1,05 p.u.,
obviamente as cargas restauráveis foram também plenamente restabelecidas, mas o
modelo matemático apresentou uma nova topologia, indicando o mesmo número de
manobras. Esta nova proposta formulada é a seguinte: a barra 12 foi também
transferida para a subestação 104, a qual passou a atender as barras 44 e 45
(anteriormente transferidas para a subestação 101); as barras 31 e 37 normalmente
atendidas pela subestação 104 se mantiveram energizadas, mas foram transferidas para
154
a subestação 101; a barra 38 foi também reconectada pela subestação 101, no entanto,
por um circuito alternativo; e, finalmente, as barras 34, 35 e 36 continuaram sendo
normalmente atendidas pela subestação 102 pelo mesmo circuito alternativo
anteriormente proposto, como também as barras 32, 33 e 39 foram igualmente
reconectadas pela subestação 101. Assim, as operações de chaveamento propostas
consistem em: fechar as chaves normalmente abertas 10-31, 13-12, 8-33 e 35-40 e
abrir as chaves normalmente fechadas 37-43, 38-44 e 34-33, totalizando 7 manobras
para restabelecimento do sistema, além das 2 outras manobras para isolamento da falta
na barra 11: abertura das chaves normalmente fechadas 102-11 e 12-11. Uma vez que
a solução possui a mesma qualidade, o plano de restauração pode ser escolhido a partir
de outros critérios, tais como o valor das perdas de energia ou a menor modificação na
configuração básica. Deve-se observar que, mesmo havendo a indicação do mesmo
número de chaveamentos, a nova proposta alterou de forma mais significativa a
topologia base do sistema ao transferir as barras energizadas 31 e 37 para a subestação
101.
Cenário 3 (falta na barra 14): fixando a tensão na barra da subestação em 1,05 p.u.,
foi possível restaurar cargas adicionais, portanto, esta nova solução apresentada é de
melhor qualidade. A barra 14 (sob falta) e as barras 15, 16, 46 e 47 permaneceram
desatendidas e ilhadas (desconexas do restante do sistema), como na solução anterior,
portanto, igualmente, as chaves 16-15 e 46-47 não são definitivamente apresentadas
para manobra no plano final elaborado e, pela mesma razão, as chaves 15-14 e 14-46
inicialmente reservadas para isolar o defeito também não são apresentadas. Assim,
apenas a chave 102-14, à montante do defeito, foi usada para o isolamento da falta.
Adicionalmente, a nova proposta de solução igualmente indica o fechamento das
chaves normalmente abertas 40-41, 35-40 e 28-50 e indica efetivamente a abertura das
chaves normalmente fechadas 16-40, 42-41 e 47-42. A chave 36-35 não mais é
indicada para abertura, dessa forma, a barra 36, que se manteve energizada após a
ocorrência da falta permanente no sistema, não teve sua demanda cortada em prol do
atendimento da barra 41, pois o sistema foi capaz de reconectar a barra 41 sem
desligar a barra 36. Portanto, a carga adicionalmente atendida corresponde à demanda
da barra 36 e houve a indicação de uma manobra a menos. No total, devem ser
realizados 7 chaveamentos: 1 chaveamento para isolamento da falta e 6 chaveamentos
para restabelecimento do sistema.
155
4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
O capítulo 4 apresentou um modelo matemático de programação cônica de segunda
ordem inteira mista (PCSOIM) para a resolução ótima do problema de restauração de sistemas
de distribuição de energia elétrica radiais com abordagem completa. Para testar a eficiência do
modelo proposto, foram realizados testes no sistema elétrico apresentado em Pereira Junior et
al. (2012) para três casos de falta, a partir de dois contextos diferentes. Os cenários de falta
analisados e a proposta de restauração formulada estão de acordo com o trabalho mencionado.
Dessa forma, os resultados obtidos com o modelo matemático de PCSOIM foram
avaliados e comparados com os resultados obtidos pela metodologia heurística desenvolvida
em Pereira Junior et al. (2012). Os resultados obtidos comprovaram a eficiência da
modelagem matemática proposta. Os resultados mostraram que a meta-heurística foi menos
eficiente em termos de restabelecimento de cargas e que foi possível obter soluções de melhor
qualidade através do modelo matemático. A razão principal é que o modelo matemático
resolve o problema de forma exata e o método heurístico dos autores resolve de forma
aproximada. Além disso, o modelo matemático resolve o problema fazendo busca global pelo
espaço de solução e o método heurístico faz busca local em torno da área desatendida. A
codificação adotada pelos autores para a meta-heurística de Busca Tabu limitou o espaço de
busca do problema, não representando todo o sistema elétrico de distribuição. No entanto, a
meta-heurística se mostrou muito eficiente e confiável, assim, pode-se supor que os
parâmetros adotados no algoritmo foram adequadamente calibrados.
Como o método heurístico faz busca local em torno da área desatendida e a
codificação adotada não representa todo o sistema elétrico de distribuição, as soluções
apresentadas podem ser soluções ótimas locais. Através do modelo matemático, é possível
avaliar se a meta-heurística foi capaz de encontrar soluções ótimas locais para os casos de
falta testados. Essa avaliação é possível se o modelo matemático de PCSOIM for utilizado
para resolver localmente os casos de falta, disponibilizando para o processo de resolução
apenas os circuitos utilizados para resolução pelo método heurístico, ou seja, não permitindo
que os circuitos que conectam barras que se mantiveram energizadas após interrupção do
serviço sofram alteração. Para a resolução pelo modelo matemático, isso se dá fixando os
valores das variáveis 𝑥𝑖,𝑗 ∈ Ω𝑙′ correspondentes aos circuitos fechados que devem
156
permanecer no seu estado inicial. Além disso, o modelo matemático de PCSOIM para os
casos de falta permanente analisados neste sistema teste é capaz de apresentar soluções ótimas
locais em tempo real, conforme informado nos cenários de falta na barra 3 e na barra 14.
Pode-se concluir que os resultados apresentados pelos modelos matemáticos são muito
interessantes no seguinte aspecto: uma vez conhecendo a solução ótima do problema, é
possível avaliar e mensurar a qualidade das soluções apresentadas pelos métodos heurísticos
especializados.
Os métodos de resolução aproximada aplicados ao problema de restauração
geralmente buscam atender à exigência de elaboração de planos de restauração em tempo não
proibitivo para a operação em tempo real. Essa possibilidade existe principalmente em razão
do desenvolvimento de estratégias de resolução baseadas no conhecimento específico e
aprofundado do problema. Além disso, é possível controlar o processo de convergência do
algoritmo heurístico adotando parâmetros de interesse, como por exemplo: interrompendo o
processo de solução a partir de um determinado tempo decorrido ou estabelecendo um
determinado número de iterações, bem como a partir da verificação e constatação de uma
variação mínima ou não variação na qualidade da função objetivo do problema. Na meta-
heurística analisada, dois destes critérios foram utilizados: foi especificado um número
máximo de iterações para o algoritmo de solução e, além disso, a convergência poderia
ocorrer caso o valor da solução incumbente não sofresse variação durante um determinado
número de iterações.
É necessário também investir em estratégias que possam contornar o elevado tempo de
processamento requerido pelos métodos de otimização clássica para resolução global do
problema. Neste capítulo, a única estratégia utilizada foi formular o modelo matemático como
um problema de programação cônica de segunda ordem inteira mista, pois a formulação não
linear inteira mista é mais complexa e não se apresenta adequada para o problema de
restauração, especialmente quando o problema é abordado de forma completa, sem relaxar
algumas de suas restrições fundamentais.
Finalmente, este capítulo apresentou a proposta de restauração adotada, a modelagem
matemática desenvolvida, o sistema elétrico analisado, os testes realizados e as condições em
que foram realizados e apresentou também os resultados obtidos com a resolução do modelo
matemático proposto e a análise destes resultados. Outras considerações importantes foram
apresentadas na seção 4.3.4 e também constam nas considerações finais do trabalho no
capítulo 5.
157
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO TRABALHO
Este capítulo é destinado às considerações finais do trabalho e aborda perspectivas de
trabalhos futuros. A seção 1.4 apresentou como o trabalho está estruturado e também resumiu
os principais assuntos tratados em cada capítulo. Adicionalmente, para cada novo assunto
abordado foram apresentadas considerações iniciais e considerações finais que pautam a
importância de cada tema. Assim, este capítulo faz apenas uma abordagem geral desses
assuntos, com o objetivo de destacar as principais contribuições do trabalho.
O objetivo central desta pesquisa foi contribuir com o desenvolvimento de modelagem
matemática para resolução do problema de restauração de sistemas elétricos de distribuição
por meio de técnicas de otimização clássica. Esta proposta de resolução não está presente na
literatura especializada. Foram apresentadas essencialmente duas propostas de modelagem:
uma modelagem aborda o problema de forma simplificada e está apresentada no capítulo 3; e
outra modelagem aborda o problema de forma completa e está apresentada no capítulo 4. O
trabalho formulou diferentes funções objetivo como propostas de otimização, portanto, o
problema de restauração foi discutido sob diversos aspectos.
A revisão bibliográfica do capítulo 1 permitiu explorar diferentes técnicas e
metodologias de resolução do problema de restauração. A partir desta revisão, diferentes
técnicas de otimização normalmente utilizadas foram discutidas, avaliadas e relacionadas
entre si. Elas não só permitem o conhecimento de diversas estratégias de resolução, como
também são úteis para o desenvolvimento de novas metodologias. Estas técnicas foram
também discutidas na seção 2.2, que destacou especialmente o desenvolvimento de
formulações matemáticas a partir das próprias metodologias heurísticas revisadas.
As formulações matemáticas propostas neste trabalho de pesquisa como metodologias
de resolução do problema de restauração foram baseadas em propostas apresentadas na
literatura, em trabalhos que desenvolveram estratégias heurísticas de resolução. Desse modo,
foi possível comparar resultados e avaliar a qualidade das metodologias empregadas. Os
resultados dos testes realizados evidenciaram a eficiência e a consistência dos modelos
matemáticos propostos na elaboração de planos de restauração de qualidade em termos de
função objetivo e de cumprimento das restrições do problema.
Outro critério de avaliação foi o desempenho computacional. Os modelos matemáticos
formulados de forma simplificada e apresentados no capítulo 3 tiveram excelente desempenho
158
em termos de tempo de processamento para obtenção de soluções ótimas. No entanto, o
modelo matemático com abordagem completa apresentado no capítulo 4, em geral, demandou
elevado tempo de processamento. Este modelo matemático é de difícil resolução, pois
considera todas as restrições fundamentais relacionadas aos requisitos físicos e operacionais
do sistema elétrico de distribuição radial, por isso manipula uma quantidade muito grande de
variáveis, contínuas e binárias. Além disso, as variáveis binárias de decisão contribuem para
onerar a resolução do problema e, consequentemente, ampliar o tempo necessário de
resolução. Dentre os casos de falta resolvidos pelo modelo matemático de PCSOIM, apenas
os resultados obtidos para o caso de falta permanente na barra 11 foram diferenciados quanto
ao tempo de restabelecimento. Neste cenário de falta foi possível restabelecer plenamente o
fornecimento de energia elétrica a todas as barras passíveis de restauração, sendo assim, o
modelo matemático pôde reduzir o número de análises necessárias ao restabelecimento e o
tempo demandado para a resolução foi expressivamente menor do que o tempo necessário nos
outros casos de falta testados.
Devem ser desenvolvidas estratégias eficientes que contornem o não atendimento à
condição de elaboração imediata dos planos de restauração pelos métodos de otimização, uma
vez que a restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica é um problema
operacional que demanda propostas de solução em tempo real. Algumas estratégias simples
foram adotadas no capítulo 3. No entanto, apresentar estratégias que contornem o tempo de
resolução do problema pelo modelo matemático do capítulo 4 não era objetivo deste trabalho.
O objetivo do capítulo 4 foi apresentar uma modelagem matemática que permitisse a
resolução adequada do problema de restauração com abordagem completa e global. Assim,
constatou-se que a formulação originalmente não linear inteira mista é inadequada para o
problema, portanto o modelo matemático assumiu uma formulação cônica de segunda ordem
inteira mista (PCSOIM). Esta formulação alternativa permitiu que o problema fosse resolvido
de forma mais eficaz pelas correspondentes técnicas de otimização clássica. Este modelo foi
resolvido utilizando o solver comercial CPLEX, dentro do ambiente de programação
matemática AMPL.
Finalmente, para o uso e desenvolvimento de modelos matemáticos, apresentam-se as
seguintes considerações:
159
(1) O tempo de processamento para resolução de modelos matemáticos completos,
como aquele apresentado no capítulo 4, pode ser elevado. Para diminuir esse
tempo de processamento, podem ser desenvolvidas técnicas eficientes de geração
de restrições válidas. Uma restrição válida é aquela que é redundante para o
problema original, mas não é redundante para o problema relaxado que o solver
(como o CPLEX) resolve em cada nó da árvore de branch and bound. Essas
restrições válidas não deixam que a limitante inferior dos subproblemas
representados por nós da árvore de branch and bound diminuam muito e,
portanto, os testes de sondagem se tornam mais eficientes. Assim, gerar restrições
válidas é um tópico muito importante que pode ser desenvolvido em trabalhos
futuros.
(2) Novas formulações podem ser propostas, inclusive considerando outros aspectos
ou outras características operacionais dos sistemas de distribuição, como a
existência de geração distribuída e a existência de chaves controladas
remotamente ao longo dos alimentadores de distribuição.
(3) Modelos matemáticos exatos podem ser utilizados para gerar padrões de
qualidade para treinamento de redes neurais artificiais empregadas para resolução
do problema de restauração.
(4) Os resultados obtidos através da resolução exata de modelos matemáticos podem
ser utilizados como parâmetros de qualidade para implementação de algoritmos
heurísticos mais robustos e eficientes.
(5) Algoritmos heurísticos eficientes também podem ser utilizados para fornecer
soluções factíveis iniciais para o modelo matemático e possivelmente culminar em
melhoria de desempenho computacional.
160
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