anÁlise numÉrica dos perfis de chapa...
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ANLISE NUMRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA
DE SEO TIPO C
MRCIA SARMENTO SANTOS
Tese apresentada ao Centro de Cincias e Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigncias para obteno de ttulo de Doutor
em Cincias de Engenharia.
Orientador: Prof. Luiz Felippe Estrella Jr.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE UENF
CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ MARO 2000
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ANLISE NUMRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA
DE SEO TIPO C
MRCIA SARMENTO SANTOS
Tese apresentada ao Centro de Cincias e Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigncias para obteno de ttulo de Doutor
em Cincias de Engenharia.
Aprovada em 30 de maro de 2000
Comisso Examinadora:
Prof. Pedro Colmar Gonalves da Silva Vellasco, PhD FEN/UERJ
Prof. Sebastio Arthur Lopes de Andrade, PhD FEN/UERJ
Prof. Jos Guilherme Santos da Silva, DSc FEN/UERJ
Profa Vnia Jos Karan, DSc LECIV/UENF
Prof. Luiz Felippe Estrella Jnior, PhD LECIV/UENF
Orientador
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iii
AGRADECIMENTOS
minha filha Carolina, meu marido Ubiracy e todos amigos e familiares que compreenderam e ajudaram nas minhas ausncias e nos momentos difceis.
Aos funcionrios da UENF, que sempre foram dedicados e atenciosos para a
melhor realizao deste trabalho.
A todos os membros desta banca, que se dispuseram a comparecer e to
seriamente fizeram seu trabalho.
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iv
NDICE
CAPTULO 1 - INTRODUO
1.1. GENERALIDADES............................................................................................1
1.2. REVISO BIBLIOGRFICA..............................................................................4
1.3. OBJETIVOS DA TESE......................................................................................9
1.4. ESCOPO DA TESE.........................................................................................11
CAPTULO 2 - ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS
2.1. INTRODUO.................................................................................................13
2.2. O MTODO DAS LARGURAS EFETIVAS......................................................20
2.2.1. Placas Enrijecidas.................................................................................24
2.2.2. Placas No-Enrijecidas.........................................................................27
2.2.3. Carregamento de Compresso Uniformemente Varivel......................28
2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIO.............................................................34
2.3.1. Aproximao de Thomasson.................................................................35
2.3.2. Aproximao de Mulligan.......................................................................37
2.3.3. Aproximao Utilizada...........................................................................43
2.4. LARGURA EFETIVA SEGUNDO AS NORMAS: AMERICANA E EUROCODE
2.4.1. Introduo..............................................................................................46
2.4.2. Placas Enrijecidas.................................................................................46
2.4.3. Placas No-Enrijecidas.........................................................................52
2.4.4. Enrijecedor do Perfil C..........................................................................56
2.5. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS
2.5.1. Eurocode 3............................................................................................58
2.5.2. AISI-90.................................................................................................58
2.5.3. AISI-90*.................................................................................................59
2.5.4. BANDA FINITA.....................................................................................59
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v
CAPTULO 3 - LARGURA EFETIVA PELO MTODO DA BANDA FINITA
3.1. INTRODUO....................................................................................................60
3.2. DIFERENA ENTRE OS MTODOS.................................................................61
3.3. DESENVOLVIMENTO........................................................................................62
3.4. DISCRETIZAO..............................................................................................74
3.5. ANLISE DA INSTABILIDADE LOCAL.............................................................78
3.6. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC...........................................95
CAPTULO 4 - A INTERAO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL
4.1. INTRODUO....................................................................................................98
4.2. DESCRIO DA INTERAO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM............98
4.3. O ELEMENTO FINITO......................................................................................102
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vi
CAPTULO 5 - RESULTADOS
5.1 INTRODUO...............................................................................................105
5.2 ANLISE DOS RESULTADOS......................................................................110
5.3 A INFLUNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENTRICIDADE DA
CARGA NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA...............................................125
CAPTULO 6 CONCLUSES...............................................................................135
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................137
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vii
NOTAES
LETRAS DO ALFABETO ROMANO
A rea da seo plena
a comprimento da placa
Ae rea da seo efetiva para carga uniforme igual fy
b largura da placa
b1, b2, b3 larguras de clculo das paredes do perfil C
bc largura comprimida da placa
be largura efetiva
bo - largura tracionada da placa
bp largura plana da placa
bp1 largura plana da placa 1
bp2 largura plana da placa 2
C centro de toro
CG = G centro de gravidade do perfil C
CGe = Ge centro de gravidade efetivo do perfil C
d deslocamento transversal
D rigidez da placa flexo
dy deformada inicial do perfil na direo y
dyL, dzL flechas mximas medidas
dz deformada inicial do perfil na direo z
E mdulo de elasticidade
ep excentricidade da carga
fy limite elstico
H funo de forma
I3 matriz identidade 3 x 3
k coeficiente de flambagem
K - matriz tenso inicial
K0 matriz dos pequenos deslocamentos
k1C coeficiente de flambagem da placa 1 da seo C
k1U coeficiente de flambagem da placa 1 da seo U
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viii
k2 coeficiente de flambagem da aba
L comprimento da banda finita
m semi-ondas de flambagem longitudinalmente
Mx, My, Mxy - momentos
n semi-ondas de flambagem transversalmente
NBP nmero de bandas finitas por placa
P ponto de aplicao da carga
Pa caminho de equilbrio adjacente
Pcr carga crtica de flambagem global da coluna
Pcr,s carga crtica de flambagem local da seo
Pexp carga de runa experimental
Pf caminho de equilbrio fundamental
Pf,y carga crtica de flambagem por flexo
Pft1 carga crtica de flambagem por flexo-toro
Pr,th carga terica de runa
Pruna = PR carga de runa numrica
Py carga de runa plstica
R raio interno entre b1 e b2
RI raio interno entre b2 e b3
rmin raio de girao mnimo da seo transversal
t espessura da placa
u campo dos deslocamentos
w deformao transversal da placa
W1, W2, W3 larguras totais das placas
wo - imperfeio inicial
yp - excentricidade da carga aplicada
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ix
LETRAS DO ALFABETO GREGO
- deformao longitudinal total
e - deformao longitudinal nos bordos da placa
p deformao para tenso linear plana
b deformao para flexo
pL - parcela no-linear do Tensor de Green
cr,p deformao crtica da placa
- multiplicador crtico (auto-valor)
C multiplicador da tenso crtica de uma seo C
U multiplicador da tenso crtica de uma seo U
p - esbeltez reduzida da placa para o estado de servio
py - esbeltez reduzida da placa na runa
- coeficiente de Poisson
- energia potencial total
- rotaes nos bordos das placas
= be/b coeficiente de reduo da largura efetiva
y - coeficiente de reduo da largura efetiva para uma placa sob fy
- tenso uniaxial de compresso na direo x
1 tenso de compresso de sinal positivo e de maior valor absoluto
2 tenso que pode ser de compresso (positiva) ou de trao (negativa)
cr = cr,p = cr,local tenso crtica de flambagem local
m tenso de compresso uniforme atuante sobre b
emx tenso mxima no bordo no carregado da placa
em tenso mdia no bordo no carregado da placa
x tenso no-uniforme atuante sobre b
e tenso varivel no bordo no carregado
- parmetros nodais
- coeficiente que define o tipo de solicitao ( =2/1)
-
x
ABREVIAES
AISI American Iron and Steel Institute
PUC-RIO Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro
Tecgraf Grupo de Computao Grfica
SSRC Strutural Stability Research Council
BF-M carga de runa numrica com o MBF e as equaes de MULLIGAN[43]
BF-E - carga de runa numrica com o MBF e as equaes do EUROCODE 3[21]
BF-W carga de runa numrica com o MBF e as equaes de WINTER[74]
MBF Mtodo das Bandas Finitas
EURO - carga de runa numrica com as equaes do EUROCODE[21], segundo
[20]
AISI - carga de runa numrica com as equaes do AISI[1], segundo [20]
AISI* - carga de runa numrica com as equaes do AISI[1] levando em conta a
eficcia do enrijecedor segundo [20]
FINLOC programa computacional [20]
BANFIN programa com o MBF desenvolvido nesta tese
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xi
LISTA DE FIGURAS
1.1 Eficincia estrutural x seo transversal, WINTER[74].......................................1
1.2 - (a) Produtos tipo seo;
(b) Produtos tipo chapa.......................................................................................2
1.3 Representao do perfil C..................................................................................9
2.1 Comportamento de uma estrutura perfeita[20]..................................................14
(a) Comportamento no-linear
(b) Comportamento linear
2.2 Placa retangular submetida uma carga de compresso
no seu plano......................................................................................................15
2.3 Os caminhos de equilbrio fundamental e adjacente relativos
equao 2.1 do problema de flambagem das placas.....................................16
2.4 Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida
a uma carga uniaxial de compresso uniforme.................................................17
2.5 Configurao de flambagem para uma placa enrijecida e submetida
a uma compresso uniaxial uniforme................................................................18
2.6 Coeficientes de flambagem mnimo para uma placa enrijecida e
submetida a uma compresso varivel linearmente[7].....................................19
2.7 Coeficiente de flambagem de uma placa no enrijecida e
submetida a uma compresso varivel linearmente[7].....................................19
2.8 Resposta de uma placa real..............................................................................20
2.9 O conceito da largura efetiva.............................................................................22
(a) Placa deformada;
(b) Placa enrijecida;
(c) Placa no-enrijecida
2.10 Curvas de larguras efetivas.............................................................................26
2.11 Comparao de curvas de largura efetiva.......................................................28
2.12 Placa enrijecida submetida a uma compresso excntrica
constante.........................................................................................................29
2.13 Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade
constante.........................................................................................................30
2.14 Notao e distribuio das larguras efetivas...................................................31
2.15 Distribuio das larguras efetivas....................................................................32
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xii
2.16 Largura efetiva da alma da seo submetida flexo pura,
de acordo com DEWOLF e GLADDING[18]....................................................33
2.17 Proposio de THOMASSON[66], para o comportamento de uma
placa no estado de servio ps-crtico............................................................35
2.18 Proposio de THOMASSON[66] para o clculo da largura efetiva...............36
2.19 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o comportamento de
uma placa no estado de servio......................................................................38
2.20 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o clculo da
largura efetiva..................................................................................................39
2.21 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t=50........................................41
2.22 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t=15........................................42
2.23 Diagrama tenso x deformao da placa no enrijecida com b/t=15.............43
2.24 Largura efetiva da placa enrijecida com b/t=26...............................................45
2.25 Largura plana bp consideradas pelas normas.................................................46
2.26 Notao e representao grfica da distribuio da largura efetiva...............47
2.27 Comparao grfica das frmulas de clculo da largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=4....................................................49
2.28 Comparao grfica das frmulas de clculo de largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=5....................................................50
2.29 - Comparao grfica das frmulas de clculo de largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=6,998.............................................50
2.30 Distribuio da largura efetiva para o Eurocode[21] e o
AISI-90[1].........................................................................................................52
2.31 Comparao do coeficiente de flambagem k para a placa
no-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]....................................53
2.32 Comparao das aproximaes do clculo de largura efetiva
para a placa no-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]................55
2.33 Comparao entre vrias aproximaes de clculo da largura
efetiva para a placa no-enrijecida..................................................................56
2.34 Nomenclatura do perfil tipo C..........................................................................56
3.1 Perfil C discretizado em bandas finitas.............................................................62
3.2 a Banda finita submetida a um gradiente de tenses....................................63
b Deslocamentos e rotaes elemento finito de viga
3.3 Placa reduzida a um elemento finito de viga.....................................................64
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xiii
3.4 Discretizao do perfil tipo C, em bandas finitas...............................................75
3.5 Perfil CLC/3 120x60 estudo da variao do nmero...................................76
de bandas finitas por placa
3.6 Perfil CLC/2.2 120x60 estudo da variao do nmero................................77
de bandas finitas por placa
3.7 A geometria e os modos locais de flambagem de uma seo C,
BATISTA[3]........................................................................................................79
3.8 Influncia do enrijecedor na flambagem da aba de uma seo
C uniformemente comprimida,[43]....................................................................80
3.9 Influncia do enrijecedor na flambagem da aba de uma seo
C uniformemente comprimida,[36]....................................................................81
3.10 Variao da tenso crtica de flambagem da seo e flambagem
global de uma coluna de seo C, sob compresso uniforme,
com o comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por
meio do mtodo das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].......................82
3.11 (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C......................................86
(b) Seo submetida compresso uniforme.
(c) Seo submetida a uma gradiente de tenso +y.
(d) Seo submetida a uma gradiente de tenso -y.
(e) Seo submetida a uma gradiente de tenso +z.
3.12 Modos de instabilidade do perfil C, sob compresso uniforme,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................88
3.13 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso +y,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................89
3.14 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso -y,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................90
3.15 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso +z,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................91
3.16 (a) Modos de instabilidade da srie 75 tipo comercial, de perfil C,
de fabricao Tecnofer.
(b) Caractersticas geomtricas da seo ......................................................93
3.17 (a) Modos de instabilidade da srie 127 tipo comercial, de perfil C,
de fabricao Tecnofer.
(b) Caractersticas geomtricas da seo.......................................................94
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xiv
3.18 Clculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas................96
4.1 Visualizao da interao entre a flambagem local e a flambagem
global, com auxlio das curvas de flambagem europias [21]...........................99
4.2 Reduo devido a flambagens simultneas [26].............................................101
4.3 Caracterstica da seo assimtrica................................................................104
5.1 As caractersticas geomtricas do perfil C e do contraventamento................108
(a) Caractersticas geomtricas;
(b) Contraventamento das extremidades abertas da coluna.
5.2 Sistema de eixos e o sentido das deformadas iniciais....................................113
(a) Eixos;
(b) Sentido das deformadas.
5.3 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120
5.4 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120
5.5 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................121
5.6 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................121
5.7 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................122
5.8 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................122
5.9 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................123
5.10 Deformada do perfil CLC/1 90 x 90 na runa para uma
deformada inicial de +L/1000, usando BF-M................................................124
5.11 (a) Deslocamento do centro de gravidade da seo....................................126
efetiva aps a flambagem local.
(b) Perfil com deformada inicial negativa
Flecha mxima no n 3.
5.12 Posio de Ge para uma tenso constante igual a fy para o perfil
CLC/3-120x60...............................................................................................128
5.13 Posio de Ge para uma tenso constante igual a fy para o perfil
CLC/2-180x60...............................................................................................130
5.14 Grfico da carga de runa x ponto de aplicao da carga,
para o perfil CLC/3-120x60...........................................................................133
5.15 Influncia da deformada inicial no comportamento do perfil.........................134
(a) Grfico carga x deformao
(b) Caractersticas geomtricas do perfil
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xv
LISTA DE TABELAS
2.1 Clculo e distribuio das larguras efetivas para a placa enrijecida e submetida
a uma carga excntrica.....................................................................................32
2.2 Clculo e distribuio das larguras efetivas de placas enrijecidas...................48
2.3 Clculo das larguras efetivas para a placa no-enrijecida...............................54
5.1 Caractersticas geomtricas e mecnicas das colunas..................................109
5.2 Resultado das colunas com deformaes iniciais medidas............................114
5.3 Resultado comparativo entre os mtodos utilizados......................................115
5.4 Resultado das colunas longas........................................................................116
5.5 Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao do
EUROCODE [21]............................................................................................128
5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao da
posio de Ge na runa....................................................................................129
5.7 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao do
EUROCODE [21]............................................................................................131
5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao da
posio de Ge na runa...................................................................................132
-
xvi
RESUMO
As pesquisas realizadas nos ltimos anos, na Europa e nos EUA, tem
permitido um maior emprego do uso de chapas dobradas na construo civil.
A expanso de seu uso se deve tambm as suas vantagens econmicas, em
relao aos perfis compactos.
Porm, as formas complexas das sees e a esbeltez de suas paredes
exigem um conhecimento mais profundo de seu comportamento estrutural.
A esbeltez das placas que constituem as suas paredes pode provocar a sua
flambagem local e uma interao entre este modo de instabilidade e o modo de
instabilidade do tipo coluna (flambagem global).
Essa interao exerce um efeito redutor sobre a carga de runa do perfil, tornando-se
necessrio um maior conhecimento da resposta de carga versus deformao de
uma estrutura formada por tais perfis.
Utilizam-se mtodos no-lineares a fim de simular a interao entre o modo local e
global de flambagem que, inclui fatores de no linearidade geomtrica.
Sendo o objetivo desta tese o desenvolvimento de uma ferramenta numrica
capaz de levar em conta a interao entre os modos de flambagem local e global,
sugere-se que a resposta carga versus deformao possa ser obtida por intermdio
do elemento finito no-linear de viga espacial de paredes finas. Considerando que o
perfil seja uma associao de placas, a flambagem local pode ser modelada pelo
mtodo das larguras efetivas. Assim sendo, temos um elemento finito cuja seo
transversal varivel ao longo do carregamento da pea a fim de simular a interao
entre os fenmenos de instabilidade local e global.
A contribuio desta tese consiste no aprimoramento do clculo das larguras
efetivas, para isso, levam-se em conta a influncia que cada placa exerce sobre a
outra, ou seja, o engastamento parcial nos cantos do perfil, atravs do mtodo das
bandas finitas. Desenvolveu-se um programa computacional na linguagem Fortran,
para a introduo da formulao do Mtodo das Bandas Finitas.
Esse estudo, tambm, permite a verificao da influncia da deformada inicial
dos perfis, devido aos processos de fabricao, e o seu comportamento de acordo
com a excentricidade do carregamento aplicado.
-
xvii
ABSTRACT
The latest researches carried out in Europe and in The United States have allowed a
wider use of cold-formed steel sections in civil edification. This increasing use is also
due to the economical advantages in relation to hot rolled shapes.
However, the complex shapes of the cross sections and the slender of their
walls demand a deeper knowledge of their structural behaviour. The slender of the
plates that constitute the walls may result in a local buckling and an interaction
between this way of instability and the overall buckling way.
This interaction produces a reducing effect over the column collapse load, making
necessary a greater knowledge of the load response versus the strain of a structure
constituted by such profiles.
Non-linear methods are used in order to simulate the interactio between the local and
the overall buckling, that include non-linear geometrical factors.
Being the aim of this thesis the development of a numerical tool able to take
into consideration the interaction between the local and the overall buckling it is
suggested that the load response versus strain may be resulted through the non-
linear finite element of this walled spatial beam. Considering that the profile is an
association of plates, the local bucckling can be shaped by the effective width
method. So we have a finite element, the transversal section of which varies along
with the load of the structure in order to simulate the interaction between the local
and overall instability phenomena.
The contribuition of this thesis consists of the improvement of the effective
width calculus, therefore, it is taken into consideration the influence that each plate
produces over the other, that is the partially fixed joints. A Fortran language computer
program was developed to introduce the finite strip method. This study also permits
the verification of the influence of the initial imperfection of the profiles, due to the
fabrication processes and their behaviour according to the eccentricity of the applied
load.
-
1
CAPTULO 1
INTRODUO
1.1. GENERALIDADES
Os perfis de chapas dobradas so resultantes da conformao a frio de
chapas finas de ao, de espessura entre 0,4 a 6,4 mm. Esses perfis podem ser
produzidos por dois mtodos de fabricao: a perfilagem - conformao a frio em
mesa de roletes - e a dobragem - processo no contnuo realizado por mquinas
dobradeiras. Como resultado desses processos podem-se produzir economicamente
uma grande variedade de formas de sees transversais, com alta relao
resistncia x peso, visto que a eficincia estrutural de uma seo depende da
maneira com que distribudo o material disponvel, ver figura 1.1.
Figura 1.1 - Eficincia estrutural x seo transversal, WINTER[74].
Quanto ao domnio de aplicao dos perfis dobrados a frio, podem-se
distinguir de uma maneira geral, duas categorias: os produtos do tipo seo, como
mostrados na fig. 1.2 a, e os produtos do tipo painel, mostrados na fig. 1.2 b. Os
produtos do tipo seo tm hoje sua utilizao como elementos principais ou
secundrios de estruturas vigas, colunas e barras de trelias, teras, bem como,
cantoneiras para prateleiras de estocagem industrial, torres de transmisso de
energia eltrica, construo de chassis e estruturas de veculos. Quanto aos perfis
do tipo painel, tem-se sua utilizao como fechamento lateral e cobertura para
edificaes industriais e habitaes, como forma colaborante de vigas mistas em
-
2
ao-concreto de edificaes e tabuleiros de pontes, e como elemento de
acabamento em painis horizontais e verticais.
(a)
(b)
Figura 1.2 - (a) Produtos tipo seo;
(b) Produtos tipo painel.
O crescente emprego deste tipo de perfil, comparado aos perfis laminados a
quente, se deve a sua grande versatilidade como a variedade de formas, o que
permite a maior adequao da forma sua funo, e a leveza que leva a outras
vantagem como reduo nas fundaes, a facilidade de manuteno, de transporte
e de montagem.
Muitos procedimentos de anlise e clculo que se aplicam s estruturas de
ao laminado so igualmente aplicveis s estruturas de ao leve. Entretanto,
diferenas no comportamento das estruturas sob carregamento so de tal
importncia que se fazem necessrios diferentes mtodos de clculo. As principais
razes so descritas a seguir, segundo WINTER e PEKZ [48]:
1. A variedade de formas dos perfis leves, que j so fabricadas e as que
sero, leva necessidade de procedimentos de anlise to gerais que
-
3
possam ser aplicados a praticamente qualquer tipo de seo transversal.
Ao passo que os perfis laminados a quente tm relativamente pouca
variedade de forma e, de certa maneira, j preestabelecidas.
2. A relao largura x espessura das placas componentes dos perfis leves
freqentemente muito maior que a mesma relao para as placas dos
perfis laminados. A esbeltez das paredes exige do calculista um
conhecimento mais aprofundado de seu comportamento estrutural , a
esbeltez das paredes pode provocar uma flambagem das placas e uma
interao entre esse modo de instabilidade e os modos de instabilidade do
tipo coluna, por flexo ou flexo-toro. Acrescenta-se a isso o fato de que
os perfis abertos de paredes finas tem baixa rigidez toro.
3. Os processos de produo e fabricao relativos aos dois tipos de
estruturas de ao afetam de modo diferente as propriedades mecnicas
dos materiais, levando a modificao da curva tenso-deformao do ao
em relao ao material virgem. A perfilagem proporciona o aumento da
tenso de escoamento e, algumas vezes, o aumento da tenso ltima, e
relevante nos cantos dobrados e ainda aprecivel nas partes planas do
perfil, enquanto que, aps a dobragem, as modificaes citadas acima so
praticamente desprezveis nas partes planas do perfil.
-
4
1.2. REVISO BIBLIOGRFICA
O comportamento estrutural deste tipo de perfil tem sido o objetivo do estudo
de vrios pesquisadores, no somente no Brasil mas tambm na Europa e nos
Estados Unidos. A seguir uma breve reviso dos trabalhos nesta rea [44], [57]:
ANO
PESQUISADOR
ALGUMAS CONTRIBUIES
1766
EULER
Primeiro a estudar a Teoria da Membrana
para Placas.
1789
BERNOULLI
Teoria da Flexo.
1807
YOUNG
Mostrou que o comportamento das colunas
reais afetado pelas imperfeies
geomtricas e pela impreciso do ponto de
aplicao da carga.
1826
NAVIER
Mostrou que a frmula clssica de Euler, para
colunas perfeitas, fornecia um limite superior
para as cargas de colapso de colunas reais.
1877
1883
KIRCHHOFF
SAINT VENANT
Teoria combinada dos efeitos da membrana e
da flexo.
1860
1879
GEHRING
BOUSSINESQ
Teoria na qual as placas enrijecidas em graus
diferentes nas direes ortogonais
comportam-se como placas ortotrpicas.
1889
1894
ENGESSER,
CONSIDER e
JASINSKI
Com inteno de correlacionar a teoria da
barra perfeita aos resultados obtidos com
colunas reais, trabalharam com o mdulo de
elasticidade tangente ou intermedirio.
1891
BRYAN
Primeiro a resolver o problema de uma placa
retangular simplesmente apoiada com dois
lados opostos carregados por compresso
uniforme. Primeiro a resolver o problema de
flambagem de placas usando os princpios
energticos.
-
5
1907
1910
1913
TIMOSHENKO
Analisou placas com diferentes condies de
contorno pelo mtodo energtico e por
integrao.
1910
VON KARMAN
Deduziu as equaes que governam as
placas perfeitas.
1914
HUBER
Equao de Huber - responsvel pelo
carregamento transversal.
1929
WAGNER
Primeiro trabalho sobre flambagem por flexo-
toro em perfis com sees transversais
abertas de paredes finas.
1936
F. BLEICH
H. BLEICH
Estudos mais exatos e aprofundados do
problema de flexo, toro e flambagem de
barras com sees transversais abertas de
paredes finas. Derivaram as equaes
diferenciais fundamentais do problema a partir
do teorema da energia potencial estacionria.
1938 MARGUERRE Equaes para placas imperfeitas.
1940
WINTER
Estudos semi-empricos que constituram a
base da primeira edio do AISI (1946) .
1940
ROSTOVTSEV
A equao de Von Karman para placas
isotrpicas foi modificada para placas
anisotrpicas e introduziu os efeitos das
imperfeies iniciais.
1951
COAN
Estudou o comportamento ps-crtico das
placas usando as equaes de Marguerre.
1953
CHILVER
Estudos de colunas curtas em U e C, com a
considerao da interao entre as placas.
1966
GRAVES SMITH
Teoria para o estudo de colunas fechadas
com sees transversais retangulares e
paredes finas.
-
6
1968
VAN DER NEUT
Estudos analticos do problema da interao
entre os modos local e global nos perfis leves
comprimidos.
1959
1969
1971
YAMAKI
WALKER
RHODES e HARVEY
Estudaram o comportamento ps-crtico das
placas usando tcnicas diferentes.
1961
VLASSOV
Um dos primeiros a compreender que o
princpio de Bernoulli no se aplica as sees
de paredes finas.
1971
KLOPER e
SHUBERT
Comportamento de estruturas tubulares,
adotando a runa no instante em que as
tenses nas fibras mais comprimidas atingem
o limite de escoamento.
1971
1975
KOITER e KUIKEN
SVENSSON e CROLL
Prosseguiram com os estudos de Van Der
Neut e os ltimos autores incluram nos
estudos o efeito da plasticidade.
1972
WALKER
DAWSON
Discutiram a aplicao da frmula de Winter
para o comportamento ps-crtico antes de se
atingir o colapso.
1973
DEWOLF
Estudou sees de dupla simetria com
elementos comprimidos, enrijecidos e no
enrijecidos, com flambagem local.
1974
BILSTEIN
Empregou as equaes de Marguerre
aplicadas s placas isoladas com imperfeio
inicial.
1960
1968
1970
1971
1979
KLPPEL e SCHEER
KLOPPEL e MOLLER
BULSON
C. R. C. do Japo
WILLIAMS e AALAMI
Utilizando os computadores com as tcnicas
da relaxao, diferenas finitas e elementos
finitos desenvolveram vrias solues para a
equao de Marguerre com uma grande
variedade de formas de placas e distribuio
de tenses.
-
7
1977
SKALOUD e
NAPRSTEK
Programa de clculo utilizando a frmula de
Winter, levando em conta a variao das
larguras efetivas ao longo da altura da coluna.
1977
REIS
Pesquisas sobre o fenmeno da interao
entre os modos de flambagem global e local
das estruturas elsticas de perfis de paredes
finas.
1978
KALYANARAMAN
Estudo mais aprofundado de perfis
comprimidos de dupla simetria.
1978
THOMASSON
Utilizou diferentes formulaes para a largura
efetiva a fim de estudar o comportamento de
colunas no estado de servio e tambm no
estado limite ltimo.
1979
LOUGHLAN e
RHODES
Comportamento de colunas de perfis U
submetidas compresso e flexo, levando
em conta os efeitos da flambagem local nas
paredes.
1984
MULLIGAN e
PEKOZ
Propuseram uma formulao para larguras
efetivas calculadas no estado ps-crtico e
antes da runa da placa.
1985
PIGNATARO
Estudo da reduo de carga de colapso de
colunas devido interao entre os modos de
instabilidade.
1988
BATISTA
Mtodo baseado na formulao de Mulligan e
Pekoz, utilizando um algortmo de resoluo
numrico do tipo Newton-Raphson e passo-
simples.
-
8
1989
DE VILLE
Desenvolvimento de um elemento finito de
viga espacial sem os fenmenos de
membrane e bending-locking, que permite
considerar o modo torcional no uniforme, os
fenmenos de instabilidade, a plasticidade e
as tenses residuais.
1993
RODRIGUES
Estudo de perfis C com carga centrada,
considerando as imperfeies iniciais e a
interao entre as placas. Sem considerao
do modo torcional.
1993
ESTRELLA
Estudo de perfis L, U e C, com cargas
centradas e excntricas. Desenvolveu um
software numrico de fcil utilizao onde
tambm levou em conta a interao entre as
flambagens local e global.
Neste trabalho atem-se aos mtodos semi-analticos, a modelagem para a
flambagem local e seus efeitos feita usando o conceito da largura efetiva de placa,
com auxlio do elemento finito de viga espacial. Com a introduo da banda finita
para o clculo da tenso crtica de flambagem, no como placas isoladas mas, como
uma seo completa. O comportamento no-linear da coluna levado em conta pelo
elemento finito no-linear de viga espacial e a interao entre a flambagem local e
flambagem global tratada com ajuda de um algoritmo numrico de resoluo passo
a passo do problema no-linear.
-
9
1.3. OBJETIVOS DA TESE
Nesta tese realizado um estudo dos modos de instabilidade de perfis de ao
compostos por paredes finas, onde leva-se em conta a interao entre os modos de
flambagem local e global. O que torna imprescindvel o emprego de mtodos no-
lineares a fim de simular a interao que inclui fortemente fatores de no linearidade
geomtrica.
A sugesto deste trabalho que a resposta carga versus deformao possa
ser obtida por intermdio do elemento finito no-linear de viga espacial de paredes
finas. Considerando a flambagem local e utilizando o mtodo das larguras efetivas,
tem-se um elemento finito cuja seo transversal varivel ao longo do
carregamento da pea, a fim de simular a interao entre os fenmenos de
instabilidade local e global.
A contribuio desta tese consiste no aprimoramento do clculo das larguras
efetivas. No trabalho de ESTRELLA[20] foi feita uma simplificao para o clculo das
larguras efetivas, assim como nas normas existentes [1, 21], onde o perfil de chapas
dobradas calculado como uma associao de placas isoladas. Nesta tese leva-se
em conta a influncia que cada placa exerce sobre a outra, ou seja, o engastamento
parcial nos cantos do perfil. Para isso, utiliza-se o Mtodo das Bandas Finitas.
As sees transversais dos perfis aqui analisados so do tipo C.
Figura 1.3 Representao do perfil tipo C.
Alma
Aba
Enrijecedorde bordo
-
10
O programa, desenvolvido nesta tese, BANFIN um programa de
instabilidade de elementos de banda finita para obteno do multiplicador crtico da
seo, . A partir do multiplicador crtico obtm-se a seo efetiva com auxlio das
formulaes de larguras efetivas. O programa desenvolvido permite a anlise de
carregamentos centrados, bem como carregamentos excntricos.
A introduo das imperfeies iniciais foi feita de duas maneiras: a primeira,
conforme a flecha mxima obtida do perfil em laboratrio [43], ou seja, sua
imperfeio global mxima, a segunda, como para alguns perfis no houve medida
de imperfeio, adotou-se como flecha mxima o valor L/1000, onde L o
comprimento do perfil estudado. Em ambos os casos, adotou-se uma distribuio
senoidal ao longo do comprimento dos perfis, a fim de representar essas
imperfeies quanto retido.
O BANFIN permite alm do estudo das deformadas iniciais, tambm o estudo das
excentricidades da carga de compresso aplicada.
O modo de flambagem por toro foi introduzido segundo os critrios tericos
de VLASSOV[70] e as modificaes introduzidas por De VILLE[15].
Para calibragem do programa computacional desenvolvido foram comparados
os resultados tericos com resultados experimentais de MULLIGAN[43].
Para melhor compreenso das concluses, alm das tabelas comparativas,
foram empreendidas sadas grficas com auxlio do programa Pos-3D para melhor
visualizao dos deslocamentos e tenses. O programa Pos-3D foi desenvolvido
pelo grupo de computao grfica Tecgraf da Pontifcia Universidade Catlica, PUC-
Rio.
-
11
1.4. ESCOPO DA TESE
No captulo 2 fez-se um estudo do comportamento das placas isoladas,
comeando com o mtodo das larguras efetivas e a introduo ao caso de
carregamentos de compresso uniformemente varivel. Tambm, apresentou-se
algumas aproximaes para as placas no estado de servio e as larguras efetivas
segundo a norma americana, AISI-90[1], e a norma europia, o EUROCODE[21].
Em seguida, apresentado um resumo da introduo das larguras efetivas no
programa preexistente [20], devido a introduo da subrotina aqui desenvolvida,
BANFIN.
O captulo 3 consagrado ao mtodo das bandas finitas, nele encontra-se
todo o desenvolvimento do mtodo, anlises da instabilidade local e sua introduo
no programa de clculo.
No captulo 4 encontra-se o estudo da interao entre a flambagem local e a
flambagem global das colunas comprimidas, as pesquisas realizadas, comparaes
e anlises de resultados encontrados com o mtodo das bandas finitas e uma breve
descrio do elemento finito de DE VILLE[15].
Do captulo 5, dedicado a apresentao dos resultados, apresenta-se estudos
comparativos dos resultados experimentais realizados por MULLIGAN[43] de vigas-
colunas de paredes finas submetidas compresso centrada e excntrica, seo
transversal do tipo C, com os resultados numricos achados com o mtodo das
bandas finitas para o clculo da tenso crtica da seo, considerando a interao
entre as paredes. Neste trabalho foram utilizadas trs possibilidades de curvas de
flambagem, a do EUROCODE, de MULLIGAN e de WINTER, conforme item d do
tem 3.6. Tambm fez-se comparaes com os resultados obtidos por
ESTRELLA[20], onde foi utilizado o programa FINLOC sem a introduo do mtodo
das bandas finitas. Em seu trabalho foram usadas as curvas de flambagem do
EUROCODE [21] e do AISI-90 [1], sendo tambm apresentado um estudo do AISI-
90 com a introduo da eficcia do enrijecedor de bordo, conforme pargrafo 2.4.4,
intitulado AISI-90*.
-
12
Apresentou-se a influncia do sentido da deformada inicial no valor da carga
de runa, e tambm no comportamento carga x deformao lateral, conforme a figura
5.15. Na figura 5.10 a visualizao em 3-D leva a uma melhor compreenso das
larguras efetivas no instante da runa da pea, bem como suas deformadas.
Foram apresentadas tabelas comparativas entre os mtodos e as curvas carga x
deformao para diversos perfis.
-
13
CAPTULO 2
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS
2.1. INTRODUO
Sendo este trabalho um estudo de colunas constitudas por perfis de ao
dobrados a frio, torna-se necessrio o estudo das placas esbeltas que compem os
mesmos. Uma das principais caractersticas geomtricas das placas que compem
os perfis dobrados a frio a sua relao largura/espessura, b/t. Quanto maior a
relao b/t, menor ser sua tenso crtica de flambagem local, cr. V-se, a seguir,
que a flambagem local das paredes, agindo simultaneamente com a flambagem
global do tipo coluna, conduz a uma reduo da resistncia do perfil. Desta forma, a
runa poder ocorrer atravs de um colapso sbito, o que caracteriza um
comportamento de equilbrio ps-crtico instvel. A sensibilidade para este
comportamento depender da relao cr,global/cr,local e das imperfeies iniciais.
Neste captulo, limita-se ao estudo da flambagem local das placas e deixa-se
o estudo da interao entre os modos de instabilidade para o captulo 4.
As estruturas perfeitas podem desenvolver dois tipos de comportamento:
linear e no-linear, conforme ilustrados na figura 2.1.
-
14
Figura 2.1- Comportamento de uma estrutura perfeita [20].
(a) Comportamento no-linear;
(b) Comportamento linear.
Nas placas de paredes finas, de se esperar dois tipos de no-linearidade:
- a no-linearidade geomtrica, devido esbeltez da estrutura, conduzindo a uma
estrutura sujeita a grandes deslocamentos, e;
- uma no-linearidade devido ao fenmeno da flambagem local.
Neste captulo, estuda-se a estabilidade de placas retangulares com dois
bordos, paralelos direo da carga de compresso aplicada, simplesmente
apoiados (placas enrijecidas) ou com um lado simplesmente apoiado e o outro livre
(placas no-enrijecidas).
Comea-se pelo estudo das placas perfeitas, a fim de conhecer seu comportamento
terico. Em seguida, passa-se ao estudo no-linear das placas imperfeitas.
Partindo da teoria da conservao da energia potencial total (), SAINT
VENANT[20] deduziu a equao diferencial de equilbrio :
2
2
4
4
22
4
4
4 .2
x
w
D
t
y
w
yx
w
x
w
=
+
+
(2.1)
onde:
d d
Ponto de bifurcao
Ponto limite
(a) (b)
Caminho de equilbrio adjacente
Caminho de equilbrio fundamental
-
15
t espessura da placa
- tenso uniaxial de compresso na direo x
D rigidez da placa flexo
D = Et3/12(1-2) (2.2)
E mdulo de elasticidade
- coeficiente de Poisson
w(x,y) deformada transversal da placa.
Figura 2.2 Placa retangular submetida a uma carga de compresso uniaxial no
seu plano.
Para uma placa enrijecida, figura 2.2, submetida a uma tenso uniformemente
distribuda , a equao 2.1 tem duas possveis solues:
a) A soluo trivial w(x,y)=0.
b) Substituindo-se, na equao 2.1, o deslocamento transversal w(x,y) por uma
funo que satisfaa as condies de apoio geomtricas e naturais nos quatros
bordos simplesmente apoiados da placa, conforme segue:
w(x,y) = Wmn sen
a
xmsen
b
yn (2.3)
obtm-se:
pcr ,
1
Wmn sen
a
xmsen
b
yn= 0 (2.4)
sendo:
a
b
z,w
x,u
y,v Espessura t
-
16
a comprimento da placa
b largura da placa
m semi-ondas de flambagem no sentido longitudinal da placa
n - semi-ondas de flambagem no sentido transversal da placa
cr,p = k 2
2
2
)1(12
b
tE
(2.5)
onde:
k coeficiente de flambagem que depende do tipo de carregamento, condies de
contorno e da geometria da placa.
cr,p tenso crtica de flambagem da placa.
com:
k =
++
2
422
2mb
ann
a
mb (2.6)
A anlise da equao 2.4 mostra que s h um meio de achar uma soluo para
w(x,y) no nula, e isto pode ser feito anulando o termo entre parnteses, fazendo:
= cr,p (2.7)
Na condio da equao 2.7, a deformada transversal w(x,y) pode tomar um valor
importante, chamado bifurcao de equilbrio, ilustrado na figura 2.3.
Figura 2.3 Os caminhos de equilbrio fundamental e adjacente relativos
equao 2.1 do problema de flambagem das placas.
w
1
P
P
f
a
Estvel
Instvel
Indiferente
cr,p)min
-
17
Para se assegurar da estabilidade, necessrio que a segunda variao da
energia potencial total seja positiva, cuja demonstrao facilmente encontrada na
literatura [20]. Com essa demonstrao, tem-se:
< cr,p (2.8)
Para que a desigualdade acima seja satisfeita necessrio tomar o menor valor de k
e, desta forma, faz-se n=1, resultando em:
k = 2
1
+b
a
ma
bm (2.9)
Para o valor de m feito um estudo de curvas dos diferentes modos de instabilidade,
ver figura 2.4, do qual conclui-se que todas as curvas passam por um valor mnimo
de k igual a 4, para uma placa enrijecida e submetida a uma tenso uniforme, e que
a influncia de m sobre o valor do coeficiente de instabilidade menor quanto maior
a relao entre as dimenses da placa.
Figura 2.4 Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida a uma
carga uniaxial de compresso uniforme.
Mostra-se, na figura 2.5, a configurao do modo de flambagem da placa em
estudo.
0
4
8
12
16
k
0 1 2 3 4a / b
m = 1m = 2
m = 3m = 4
-
18
Figura 2.5 Configurao de flambagem para uma placa enrijecida e submetida
a uma compresso uniaxial uniforme.
O estudo do valor de k para uma placa enrijecida, porm sujeita a um
carregamento varivel linearmente, feito utilizando a relao que define o tipo de
solicitao:
= 2/1 (2.10)
sendo:
1 tenso de compresso de sinal positivo e de maior valor absoluto.
2 tenso que pode ser de compresso (positiva) ou de trao (negativa).
A soluo da equao 2.1, para diferentes valores de , dada na figura 2.6,
segundo BULSON[7], para uma placa enrijecida. Nota-se tambm que o valor da
tenso crtica no caso da flexo pura ( = -1) cerca de 6 vezes o valor da tenso
crtica da compresso pura ( = 1).
Na figura 2.7 obtida de BULSON[7] mostrado o grfico do coeficiente de
flambagem k em relao a a/b para uma placa no-enrijecida e v-se que todas as
curvas tendem assintoticamente a um certo valor (para cada valor de ) quando a
relao entre as dimenses das placas a/b cresce. Desta forma, chega-se ao valor
do coeficiente de flambagem (k) para a compresso pura ( = 1), k = 0,425.
b
a
ab
= 2
-
19
Figura 2.6 Coeficiente de flambagem mnimo para uma placa enrijecida e
submetida a uma compresso varivel linearmente [7].
Figura 2.7 Coeficiente de flambagem de uma placa no enrijecida e submetida a
uma compresso varivel linearmente [7].
kmin
0
4
8
12
16
20
24
= / 2 1111
0
1111
1111
2222
2222
-1,0 -0,5 0,5 1,0
a / b
k
0
5
10
1 20
Borda livre
a
b
1
1
1
1
2
2
-
20
2.2. O MTODO DAS LARGURAS EFETIVAS
Contrariamente ao comportamento de colunas, as placas apresentam
resistncia significativa aps a ocorrncia da flambagem. Quando essa resistncia
ps-crtica totalmente utilizada, um projeto estrutural eficiente e econmico pode
ser obtido [43].
A figura 2.8 mostra o comportamento ps-crtico estvel de uma placa sujeita
a compresso uniaxial, o que faz com que ela possa resistir a cargas superiores
carga crtica.
Entretanto, esta reserva ps-crtica no ilimitada, segundo VON KARMAN,
SECHLER e DONNELL[71], de acordo com resultados experimentais, a placa atinge
a runa quando a tenso de compresso mxima nos bordos no carregados atinge
o limite elstico fy.
Figura 2.8 Resposta de uma placa real.
A placa fina enrijecida da figura 2.9 mostra a resposta enquanto aplicada
uma tenso de compresso uniforme m. Enquanto essa tenso permanece menor
que o valor crtico cr, a tenso longitudinal interna uniforme atravs da placa.
Quando a tenso aplicada alcana cr, uma pequena onda de flambagem
desenvolve-se na placa. Quando o carregamento cresce mais, cresce a deformao
fora do plano da placa, porm impedida por tenses atuantes transversais.
Reservaps-crtica
Imperfeio inicial wo
Pa
Pf
iP'
Incio de plastificaocr,p
w
-
21
Ao mesmo tempo, uma redistribuio da tenso longitudinal interna ocorre, e passa
de uniforme a no-uniforme, onde a maior parte do carregamento suportado pelas
pores menos flambadas da placa. Este processo continua at que o nvel de
tenso emax, para o bordo da placa, alcana o escoamento; aps o qual geralmente
a placa atinge a runa.
Aps a flambagem da placa, o estudo com a distribuio de tenses no-
uniforme iria complicar demasiadamente os clculos prticos. Porm, o conceito de
uma largura efetiva foi introduzido por VON KARMAN [71] e outros em 1932.
VON KARMAN [71] argumentou que na placa carregada acima da tenso crtica, a
parte central flambada no tem qualquer resistncia aprecivel e que a maior parte
do carregamento dever ser suportado pelas duas faixas adjacentes as bordas da
placa.
-
22
y
a
b
x
m
m
e
em
emax
y
x
m
m
b
m
be/ 2be/ 2 be
m
m
e
mem
m >
(b) (c)
cr,p
cr,p
x
x
Figura 2.9 O conceito da largura efetiva
(a) Placa deformada;
(b) Placa enrijecida;
(c) Placa no-enrijecida.
b
u
m
m
a
w
Espessura t
u / a =
(a)
-
23
Nesta aproximao, a tenso no-uniforme x, agindo sobre a largura da placa b,
substituda por uma tenso mxima, agindo sobre uma largura efetiva be.
O equilbrio mantido pela definio de largura efetiva:
emx.be.t = x
x dxt0
.. = m.b.t (2.11)
onde:
m tenso atuante sobre b.
emx tenso mxima no bordo no carregado.
x - tenso no-uniforme.
be largura efetiva.
Da equao 2.11, tem-se:
be/b = m/emx emx
m
b
be
== (m>cr,p) (2.12)
sendo:
- coeficiente de reduo da largura efetiva.
A equao acima utilizada para o clculo da largura efetiva na runa da pea,
tambm chamada de largura efetiva de tenses. V-se que a tenso a qual a
largura efetiva be est submetida a tenso mxima do bordo no carregado, isto ,
a pior posio flambada da pea a central.
Porm, quando emx < fy, a formulao acima subestima a rigidez da placa no
estado ps-crtico.
Num estado intermedirio, anterior runa da pea, no estado de servio, a
fim de se achar a rigidez ps-crtica da placa, define-se a largura efetiva de
deformaes. Aqui, a tenso no-uniforme x, agindo sobre a largura da placa b,
substituda pela tenso mdia equivalente do bordo no carregado, agindo sobre
uma largura efetiva be.
Calculando a tenso mdia no bordo no carregado:
em = a
e dxa 0
1 (2.13)
e tenso varivel no bordo no carregado.
-
24
Assim, temos:
be/b = m/em em
me
b
b
== (m > cr,p ) (2.14)
Define-se a esbeltez reduzida da placa para o estado de servio e na runa,
respectivamente:
p = pcr
e
,
(2.15)
py =pcr
yf
, (2.16)
2.2.1. PLACAS ENRIJECIDAS
A aproximao da largura efetiva, desenvolvida inicialmente por VON
KARMAN [71], baseada em resultados experimentais de ensaios de placas
isoladas, carregadas at a runa, o que permite tirar as seguintes concluses de
seus ensaios:
a) A carga de runa independe da largura da placa;
b) A carga de runa proporcional ao quadrado da espessura t da placa.
A partir dessas concluses, VON KARMAN [71] formulou a hiptese de que a tenso
de flambagem na largura efetiva no estado de runa deve se igualar ao limite elstico
fy. Substituindo-se fy na equao 2.5, temos:
fy = k 2
2
2
)1(12
eb
tE
(2.17)
Combinando-se as equaes 2.5, 2.16 e 2.17 chega-se a:
11
==py
e
b
b
(2.18)
Generalizando a equao 2.18 para o estado de servio, tem-se
11==
p
e
b
b
(2.19)
-
25
A equao de VON KARMAN 2.18 d a largura efetiva na runa. A equao
2.19 est ligada ao conceito de largura efetiva de deformaes, onde o valor de e
varia entre 0 e fy.
Os trabalhos de pesquisa que sucederam VON KARMAN [71] constataram
duas falhas na sua formulao:
a) Ela superestima a resistncia de placas pouco esbeltas, quando a esbeltez
reduzida py varia em torno de 1;
b) Ela superestima a rigidez da placa para valores de tenses menores que fy.
Nos anos 40, WINTER[74] empreendeu uma srie de ensaios de compresso em
placas, para achar uma frmula mais realista para a largura efetiva. Em seus
ensaios, WINTER [74] baseou-se em placas integrantes de perfis dobrados a frio e
que, consequentemente, estavam submetidos a todas as imperfeies inerentes ao
processo de fabricao. A frmula a seguir foi obtida estatisticamente a partir de tais
ensaios:
125,0
11
==
pp
e
b
b
(2.20)
Apesar das imperfeies, constata-se que se alcana a runa quando a tenso e,
nos bordos no carregados, atinge o limite elstico fy e, neste caso, substitui-se
p por py na equao 2.20.
Nota-se que a expresso entre parnteses do termo a direita da equao 2.20 tende
a valores prximos a 0,75 para valores de p em torno de 1, e tende a 1 para
grandes valores de p .
Essa reduo de 25% da largura efetiva de WINTER [74] em relao a VON
KARMAN [71] na regio p =1 devido aos efeitos negativos das no-linearidades
acarretadas pelas imperfeies, e so mais importantes prximas carga crtica (ver
figura 2.10).
-
26
Figura 2.10 Curvas de larguras efetivas.
Em 1968, WINTER [74] empreendeu novos estudos experimentais e props
uma frmula menos conservativa para a equao 2.20, substituindo o coeficiente
0,25 por 0,22:
122,0
11
==
pp
e
b
b
(2.21)
As equaes 2.19 e 2.21 esto graficamente representadas graficamente na
figura 2.10. Pode-se constatar um afastamento muito importante entre as duas
curvas na regio de p =1 e, em seguida, a curva de WINTER [74] tende
assintticamente curva de VON KARMAN [71] para as placas mais esbeltas. O
patamar inicial das curvas caracteriza a regio de esbeltezes para as quais a placa
no flamba e totalmente efetiva.
A ttulo de ilustrao, representam-se, na mesma figura, curvas de larguras efetivas
desenvolvidas por outros pesquisadores. Embora a equao de WINTER [74] seja a
mais utilizada e adotada nas normas de diversos pases.
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
p
Von Karman, eq. (2.19)
Winter, eq. (2.21)
Chilver [64]
Grard [65]
Faulkner [66]
-
27
2.2.2. PLACAS NO-ENRIJECIDAS
O estudo das placas no-enrijecidas foi iniciado por WINTER [74]. Seu
trabalho baseou-se nas abas comprimidas que compem as sees de perfis
dobrados a frio, nos quais, a maior relao para largura x espessura (b/t) igual a
109. Ele sugere que o dimensionamento das abas seja limitado considerao da
tenso de flambagem, a fim de evitar qualquer distoro da extremidade livre visto
que o efeito visual no aceito para o estado de servio. Esta concepo de
dimensionamento adotada em todas as normas americanas desde a norma AISI-
86. Apesar da flambagem das abas, WINTER [74] pde constatar que elas podem
resistir alm da carga crtica, at que a tenso emx, no bordo apoiado, atinja o limite
elstico fy. A partir desta hiptese para a runa, ele deduziu a seguinte frmula para
a largura efetiva:
=
eee
E
b
tEtb
202,018,0 (2.22)
A frmula acima d uma boa aproximao para os pequenos valores de largura
efetiva achados experimentalmente.
O coeficiente de flambagem k de uma placa com um bordo livre pode variar
de 0,425, quando o outro bordo simplesmente apoiado, at 1,277, se o outro bordo
engastado. KALYANARAMAN[31] adotou um valor de k igual a 0,5 e, com esse
valor, ele rescreveu a equao 2.22:
13,0
119,1
==
pp
e
b
b
(2.23)
Posteriormente, baseando-se em resultados experimentais e num estudo analtico
do comportamento ps-crtico, KALYANARAMAN [31] props a seguinte frmula de
largura efetiva:
1298,0
119,1
==
pp
e
b
b
(2.24)
Esta nova equao, mais conservativa, difere da equao 2.23 apenas quanto a
troca do coeficiente 0,3 por 0,298. Uma representao grfica da equao 2.24 e da
equao de WINTER, 2.21, dada na figura 2.11 .
-
28
Figura 2.11 Comparao de curvas de largura efetiva.
Em seus ensaios experimentais, KALYANARAMAN [31] constatou que o
deslocamento transversal (fora do plano da placa) da extremidade livre das abas
mais esbeltas (b/t 58) no excede 2,5 vezes a sua espessura na runa. Em vista
desta moderada distoro, ele admite o dimensionamento runa por meio da
equao 2.24, sem levar em conta a recomendao, quanto a distoro, para o
estado de servio.
2.2.3. CARREGAMENTO DE COMPRESSO UNIFORMEMENTE VARIVEL
At aqui, tratou-se do caso de placas submetidas a um diagrama de tenses
uniforme e constante. Entretanto, para uma abordagem mais realista, ser
necessrio um estudo de placas submetidas a cargas variveis linearmente ao longo
dos bordos carregados.
RHODES, HARVEY e FOK [56] fizeram o estudo analtico de placas
inicialmente imperfeitas e submetidas a uma carga excntrica. Para uma placa
enrijecida com a carga excntrica apoiada por meio de barras rgidas, como mostra
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
p
Von Karman eq.(2.19)
Kalyanaraman eq.(2.24)
Winter eq.(2.21)
-
29
a figura 2.12, eles obtiveram a seguinte frmula para o clculo da carga terica de
runa Pr,th:
+
+=
85,36
4,11,
b
ek
k
btf
P
py
y
y
thr (2.25)
onde:
ky = fy b2 t/ 2 D
D = E t2/ 12(1- 2) - rigidez da placa na flexo.
ep excentricidade da carga ver figura 2.12.
A equao 2.25 vlida se:
ky > 8
+
2
13
b
e p (2.26)
indeslocvel
Figura 2.12 Placa enrijecida submetida a uma compresso excntrica constante.
Se a condio 2.26 no for satisfeita, a placa no flamba e atinge a runa por
escoamento plstico. A equao 2.25 estabelecida considerando-se que a runa se
produz quando a tenso mxima no bordo no carregado (emax) atinge o limite
elstico fy. Foi comprovado que esta frmula est em excelente acordo com os
resultados experimentais. Porm, esses autores no desenvolveram uma
aproximao de largura efetiva de modo a representar seus resultados analticos.
RHODES e HARVEY [56] tambm fizeram um estudo sobre os efeitos do modo de
aplicao da excentricidade da carga. Na figura 2.12 foi representada uma placa
P P
eb
p
-
30
submetida a uma carga de compresso excntrica constante. Os mesmos autores
estudaram os efeitos sobre uma placa submetida a carga com excentricidade
constante, como na figura 2.13, e chegaram s seguintes concluses: na prtica,
espera-se que a condio de carregamento seja algo entre as duas condies
tericas apresentadas e, alm disso, o comportamento das placas submetidas
carga excntrica extremamente sensvel ao mtodo de aplicao.
Figura 2.13 Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade
constante.
THOMASSON[66] fez uma proposio semi-emprica para o clculo das
larguras efetivas, para uma placa enrijecida e submetida a uma carga excntrica. A
notao utilizada e a distribuio das larguras efetivas so ilustradas na figura 2.14,
onde 1 sempre uma tenso de compresso. Sua formulao baseada nas
seguintes hipteses:
a) A teoria clssica da resistncia dos materiais suposta vlida;
b) As larguras efetivas so determinadas unicamente a partir das tenses nos
bordos, 1 e 2, e;
c) A runa ocorre quando a tenso no bordo mais solicitado compresso atinge fy.
As frmulas propostas por THOMASSON [66] para o clculo e distribuio das
larguras efetivas so dadas na tabela 2.1. Nota-se que a frmula para o clculo de
be/b tem a mesma forma da expresso de VON KARMAN [71] dada a seguir,
partindo da equao 2.19:
1
9,1E
b
t
b
be = (2.27)
P P
eb
p
livre para deslocar
-
31
com k=4 e =0,3. A nica diferena est no coeficiente de 1,52 (THOMASSON) e
1,9 (VON KARMAN).
sendo:
b0 - largura tracionada da placa.
Figura 2.14 Notao e distribuio das larguras efetivas.
THOMASSON [66] comparou os resultados da carga de runa obtidos com a
sua proposio de larguras efetivas com os resultados obtidos pela equao 2.25.
Ele constatou que seus resultados eram sempre conservativos. E mais, ele tambm
notou que as cargas de runa obtidas com a sua proposio so mais conservativas
quanto maior a excentricidade da carga e maior a esbeltez da placa (>b/t). Com
essas constataes, THOMASSON [66] decidiu modificar sua proposio original e
substituiu por 1,52 o coeficiente de 1,9 na frmula de be/b (ver tabela 2.1), isto ,
utilizou a expresso 2.27 de VON KARMAN [71]. Esta nova proposio est em
melhor acordo com a equao 2.25.
Com o mesmo objetivo, USAMI[68] utilizou uma aproximao analtica da
resoluo do problema das equaes no-lineares de VON KARMAN [71], com
objetivo de deduzir as frmulas de clculo e de distribuio das larguras efetivas
para a placa enrijecida e submetida a uma carga excntrica. Sua proposio dada
na tabela 2.1 com as notaes da figura 2.14.
Uma comparao grfica das distribuies da largura efetiva de acordo com
THOMASSON [66] e USAMI [68] est ilustrada na figura 2.15.
b b
b
b b
b
b
e1 e2 e1 e2
o
1 1
2
2
2
112
/ > 0
> 0 2
1
> 0
< 0
=
-
32
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
bei / be
be2 / be
Thomasson
Usami
Thomasson e Usami be1/be
Figura 2.15 Distribuio das larguras efetivas
Thomasson [42] Usami [43]
Clculo e distribuio das
larguras efetivas
= 2/1 1
52,1
E
b
t
b
be =
=
pp
e
b
b
22,0
11
, k=4
e
e
b
b 1 2
1
2
1
0 < < 1
be
be2 2
1(1,5 0,5)
2
1(1,44-0,44)
e
e
b
b 1 2
1
2
1
0
be
be2 2
1 1,5
2
1 1,44
Tabela 2.1 Clculo e distribuio das larguras efetivas para a placa enrijecida e
submetida a uma carga excntrica.
-
33
DEWOLF e GLADDING[18] realizaram uma pesquisa experimental para achar
uma frmula de largura efetiva das almas dos perfis dobrados a frio submetidos a
uma solicitao de flexo pura. Obtiveram a distribuio de tenses mostrada na
figura 2.16, onde se v que a hiptese clssica de BERNOULLI, das sees planas
aps a deformao, no mais vlida. A largura efetiva be da parte comprimida da
alma na runa dada pela seguinte frmula:
pyc
e
b
b
7,0
= (2.28)
onde bc a parte comprimida da alma calculada segundo o eixo neutro da seo
total e py calculada com um coeficiente de flambagem que leva em conta o
gradiente de tenses.
Figura 2.16 Largura efetiva da alma da seo submetida flexo pura, de acordo
com DEWOLF e GLADDING[18].
Apesar das limitaes do trabalho de DEWOLF e GLADDING [18] no contexto
desta tese, eles contriburam para a evoluo do clculo da largura efetiva de placas
submetidas a uma carga excntrica. A largura efetiva be calculada em relao
largura comprimida bc da placa quando
-
34
Por ltimo, no caso das placas no enrijecidas, a anlise do problema mais
complexa, e existem poucos resultados na literatura. necessrio nos atermos as
proposies semi-empricas dadas nas normas atuais que sero apresentadas.
2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIO
A frmula de WINTER 2.21 d geralmente boas previses tericas da carga
de runa de colunas curtas e de colunas de perfis dobrados a frio, quando emax = fy.
Entretanto, apesar de WINTER [74] ter utilizado os dados de larguras efetivas
medidas no estado de servio, por ocasio de seus ensaios, para deduzir sua
frmula semi-emprica, os pesquisadores mais recentes mostraram que sua frmula
subestima muito a rigidez da placa no estado de servio (emax < fy). Pesquisadores
como DEWOLF, PEKOZ e WINTER[17], THOMASSON[66], MULLIGAN[43] e,
MULLIGAN e PEKOZ[41,42], simularam a interao entre a flambagem local e a
flambagem global com a ajuda do mtodo das larguras efetivas e seus resultados
confirmaram a inadequao da frmula de WINTER na previso terica do
comportamento de colunas curtas e de colunas no estado de servio.
DAWSON e WALKER[14] abordaram este problema em detalhes e a
discusso a seguir tirada de seu artigo. A frmula de WINTER no deve ser
utilizada para nveis de tenso e menores que fy. Na realidade, a tenso e varia ao
longo dos bordos no carregados (ver figura 2.9) e, assim, a rigidez longitudinal da
placa, que funo do encurtamento da placa na direo da carga, obtida pela
integral ao longo do comprimento da placa e deve, portanto, depender da tenso
mdia em dos bordos no carregados (ver equao 2.14). Por outro lado, a runa
atingida quando a tenso mxima emax nos bordos no carregados (ver figura 2.9)
atinge o limite elstico fy (ver equao 2.12), que um fenmeno local. Parece que
toda diferena entre o conceito de largura efetiva de deformaes (equao 2.14) e
o conceito de largura efetiva de tenses (equao 2.12) foi ignorada nos trabalhos
de WINTER[74].
-
35
2.3.1. APROXIMAO DE THOMASSON
Para resolver o problema anteriormente exposto, THOMASSON[66] fez uma
nova proposio de curvas de largura efetiva, conforme a figura 2.17, com um
grfico do tipo S em relao a 2p , onde:
S = m/cr (2.29)
2p = e/cr (2.30)
Nesta figura, a curva a a soluo terica de uma placa perfeita e constitui um
limite superior da resposta da placa; a curva pontilhada a soluo exata de
YAMAKI[76] para uma placa com uma imperfeio inicial wo igual a 0,1t; a curva b
uma aproximao da curva pontilhada de YAMAKI [76], e a curva c uma
aproximao da frmula de WINTER [74]. A idia tomar a soluo de YAMAKI [76]
para o comportamento ps-crtico inicial da placa e, ao mesmo tempo, definir a runa
da placa pela frmula de WINTER [74], unindo-se esses dois pontos por uma curva
de transio d.
Figura 2.17 Proposio de THOMASSON [66] para o comportamento de uma
placa no estado de servio ps-crtico.
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
ab
cd
Soluo terica de Yamaki [76]
para uma placa imperfeita com
p
e
cr p
2 =,
py2 10 24= ,p1
2po2
S = m/cr
Wo / t =0,1.
-
36
As larguras efetivas associadas so dadas pela figura 2.18 e suas frmulas so as
seguintes:
Curva b: 1827,0)662,0(==
p
e
b
b p > 0,75 (2.31)
Curva c: 178,0)864,0(==
p
e
b
b p > 0,75 (2.32)
Curva d: ( ) 111
11
+== pp
ppy
ye
b
b
pypp
-
37
Apesar das boas previses tericas dadas por essa proposio, h duas notas a
serem feitas:
a) A curva Sx2p (figura 2.17) apresenta dois pontos de descontinuidade da
derivada de S em relao a 2p ( S/(
2p )), localizados nas abcissas
2p =
2po e
2p =
21p que so os pontos de passagem do estado de pr-flambagem ao
estado ps-flambagem e a transio da curva b para a curva d.
b) A curva d, que faz a transio da curva b para a runa da placa, apresenta seu
vrtice antes da interseo com a curva c e este fato to mais marcante
quanto mais esbelta a placa (maior py ). Nota-se, tambm, que a proposio
de THOMASSON [66] prescreve que a runa da placa se produz em regime
elstico (e
-
38
Figura 2.19 Proposio MULLIGAN e PEKOZ [41] para o comportamento de
uma placa no estado de servio.
A equao de WINTER 2.21 sob a forma da equao 2.35 toma a seguinte forma:
SW = p - 0,22 (2.37)
Essa aproximao caracteriza-se por fazer passar uma curva que vai da passagem
do estado de pr-flambagem ao estado de flambagem da placa ( po > 0,673), com o
vrtice da runa dado pela frmula de WINTER [74]. Essa curva ser um polinmio
cbico da seguinte forma:
SMW=AW1+AW2 p +AW32p +AW4
3p 0,673< p < py (2.38)
e impondo-se as seguintes condies aos limites em po e py :
SMW( po ) = 2po (2.39a)
SMW( po ) = 2 po (2.39b)
SMW( py ) = SW( py ) (2.39c)
SMW( py ) = 0 (2.39d)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S = m / cr,p
Winter
Mulligan
fy = 200
fy = 300
fy = 400
b / t = 150 k = 4
py py py
po
fy (N/mm)
S = 2p
p = ( e / cr,p )
S W = p - 0,22
S MW
-
39
Com os quais acham-se os coeficientes da equao 2.38:
AW4 = ( )[ ]( )3
22,012
pypo
pypo
(2.40a)
AW3 = ( )popyWpypo
poA
+
45,1 (2.40b)
AW2 = ( )pyWWpy AA 43 32 + (2.40c) AW1 =
43
22 1 WpoWpo
Wpo AA
A
(2.40d)
Finalmente, combinando-se as equaes 2.35 e 2.38, tem-se a seguinte expresso
para o clculo da largura efetiva:
1432
21 +++== pWW
p
W
p
WeMW AA
AA
b
b
0,673< p < py (2.41)
Por simplificao da linguagem, chama-se daqui por diante a equao 2.41 de
combinao Mulligan+Winter.
Apresenta-se, a seguir, na figura 2.20 uma representao grfica e uma comparao
com a frmula de WINTER [74].
Figura 2.20 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o clculo da largura
efetiva.
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
l
Winter
Mulligan
fy = 200
fy = 300
fy = 400
b / t = 150 k = 4
fy (N/mm)
p
-
40
Do mesmo modo, aplicou-se esta nova aproximao para a frmula 2.24 de
KALYANARAMAN [31] para as placas no enrijecidas. Neste caso, da equao 2.24
combinada com 2.35, tem-se:
SK = 1,19 ( p - 0,298) (2.42)
Similarmente ao caso precedente, SMK toma a seguinte frmula:
SMK = AK1 + AK2 p + AK3 2p + AK4
3p 0,673< p < py (2.43)
com as condies nos limites:
SMK( po ) = 2po (2.44a)
SMK( po ) = 2 po (2.44b)
SMK( py ) = SK( py ) (2.44c)
SMK( py ) = 0 (2.44d)
Assim, tem-se, para os coeficientes da equao 2.43:
AK4 = ( )[ ]
( )33546,019,12
pypo
pypo
(2.45a)
AK3 = ( )popyKpypo
poA
+
45,1 (2.45b)
AK2 = ( )pyKKpy AA 43 32 + (2.45c) AK1 =
43
22 1 KpoKpo
Kpo AA
A
(2.45d)
e a largura efetiva dada pela seguinte expresso:
1432
21 +++== pKK
p
K
p
KeMK AA
AA
b
b
0,673< p < py (2.46)
Por simplificao da linguagem, chama-se, daqui por diante, a equao 2.46 de
combinao Mulligan+Kalyanaraman.
-
41
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
s
Placa no enrijecida
fy = 355 N/mm
Kalyanaraman
Mulligan + Kalyanaraman
Parbola
b / t = 50 k = 0,43
e / fy
Figura 2.21 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t = 50.
Na figura 2.21, acha-se uma comparao entre as curvas de Kalyanaraman,
equao 2.24, e a combinao Mulligan + Kalyanaraman, equao 2.46. A
existncia de uma terceira curva na figura, chamada parbola, explica-se no
prximo subitem.
Infelizmente, a combinao Mulligan+Kalyanaraman apresenta um comportamento
indesejvel quando a placa pouco esbelta, como mostra a figura 2.22, com uma
relao b/t igual a 15. Utilizar esta aproximao adaptada, para a modelagem do
comportamento das placas no-enrijecidas, leva, na verdade, a um patamar = 1,
de placa no flambada, muito maior do que o previsto pela esbeltez limite po .
-
42
Figura 2.22 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t = 15.
Este fato mais marcante quando a esbeltez reduzida da placa na runa py se
aproxima de po e provm da escolha de uma interpolao cbica para representar
S em funo de p impondo uma derivada nula na runa, como mostra a figura 2.23.
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
s
fy = 355 N/mm b / t = 15 k = 0,43
Kalyanaraman
Placa no enrijecida Parbola
e
Mulligan + Kalyanaraman
/ fy
-
43
Figura 2.23 Diagrama tenso x deformao da placa no enrijecida com
b/t=15.
2.3.3. APROXIMAO UTILIZADA
Para contornar o problema relativo a aproximao de Mulligan+Kalyanaraman
(equao 2.41), para o clculo e distribuio da largura efetiva de placas no-
enrijecidas, prope-se fazer passar uma curva do segundo grau (uma parbola) para
representar = be/b em funo de p , quando a placa pouco esbelta. V-se a
seguir que esta parbola deve passar pelo ponto ( 1, = po ), final do patamar de
pr-flambagem, e pelo ponto ( kypy , ), runa; onde ky o valor obtido a partir da
equao 2.24 de Kalyanaraman, substituindo-se p por py .
A parbola construda de maneira que seu lado convexo esteja voltado para cima
e portanto o vrtice seja o ponto ( 1, = po ), impondo que ela tenha a seguinte
forma:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
p = ( e / cr,p)
S =m / cr,p
S = p2
Mulligan + Kalyanaraman
Kalyanaraman
Parbola
Placa no enrijecida
fy = 355 N/mm b / t = 15 k = 0,43
-
44
( ) ( )21 popp C = (2.47)
Com a condio de passagem pelo segundo ponto ( kypy , ), acha-se o valor da
constante C da equao 2.47, que toma finalmente a forma:
( )( ) 11 2
2+
= pop
popy
ky
p
(2.48)
e sua representao grfica est ilustrada nas figuras 2.21, 2.22 e 2.23.
Como no h qualquer semelhana matemtica entre a combinao de
Mulligan+Kalyanaraman, equao 2.46, e a parbola, equao 2.48, ser impossvel
determinar o valor da esbeltez reduzida na runa py onde as duas curvas
coincidem, para saber se deve-
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