análise e sim ulação numérica da equação de korteweg-de vries · with localized damping, q....
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Análise e Simulação Numérica da Equação de Korteweg-de Vries
Mauro A. Rincon
Universidade Federal do Rio de Janeiro
21945− 970, Rio de Janeiro, RJ
E-mail: rincon@dcc.ufrj.br
Frederico S. Teixeira
Laboratório Nacional de Computação Cientí�ca
25651− 075, Petrópolis, RJ
E-mail: fteixeira@lncc.br.
RESUMO
Realizou-se em [3] um estudo numérico sobre a in�uência do damping no decaimento daenergia associada à equação de Korteweg-de Vries (KdV). A motivação está em [1] e [2], ondetais propriedades são demonstradas. Além disso, foram feitos estudos de existência e unicidadepelo Método de Galerkin e análise de convergência numérica da equação KdV linearizada atravésdo Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) e Método das Diferenças Finitas (M.D.F).
A equação KdV em questão é:u′ + ux + uxxx + uux + a(x)u = f, ∀(x, t) ∈ (0, L)× (0, T ),u(0, t) = u(L, t) = ux(L, t) = 0, ∀t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), ∀x ∈ [0, L].
(1)
Sendo V = {u ∈ H2(0, L)∩H10 (0, L);ux(L) = 0} o espaço de soluções admissíveis, a formulação
variacional de (1) dada por:(u′(t), v
)+(ux(t), v
)−(uxx(t), vx
)+(u(t)ux(t), v
)+(a(x)u(t), v
)=(f(t), v
)(u(0), v
)=(u0, v
), v ∈ V.
(2)
Teorema 1. Dados f, f ′ ∈ L2(0, T ;L2(0, L)), u0 ∈ V e a ∈ L∞(0, L) com a(x) ≥ a0 > 0 quase
sempre em ω ⊂ [0, L]. Então existe uma única solução (fraca) u para o problema (2) da classe:
u ∈ C(0, T ;L2(0, L)
)∩ L2
(0, T ;V
)e u′ ∈ L2
(0, T ;L2(0, L)
).
Linearizando (1) em torno da solução u ≡ 0 e aplicando o M.E.F sobre a formulação varia-cional correspondente, juntamente com o M.D.F e o Método de θ-Newmark, obteve-se a soluçãoaproximada um, que satisfaz a seguinte estimativa de erro:
Teorema 2. Sejam a(x) ≥ a0 > 0 e u0 ∈ V . Então, a solução numérica obtida para θ ∈[1
2, 1]e ∆t ≤ 2
3(1 + a0)possui a seguinte estimativa: ‖u − um‖L∞(0,T ;L2(0,L)) ≤ c(h + ∆tr),
onde r = 1 para θ 6= 1
2e r = 2 para θ =
1
2.
Sobre o comportamento da energia sob a atuação do damping, em [2] é provado que, na
equação KdV linearizada com f ≡ 0 e a ≡ 0, existe um conjunto E ={
2π√3
√k2 + kl + l2, k, l ∈ N
}tal que, quando L ∈ E , não ocorre o decaimento da energia. Entretanto, provou-se em [1] que,
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ISSN 1984-8218
Figure 1: L ∈ E Figure 2: L ∈ E e a(x) ≡ 0.1 sobre [0, L]
quando a(x) ≥ a0 > 0, é assegurado o decaimento da solução e, consequentemente, o decaimentoda energia. As Figuras 1 e 2 mostram esse comportamento.
A segunda propriedade é relativa a equação (1) com f ≡ 0. Neste caso, o artigo faz umaanálise do decaimento da energia considerando a localização ω do damping. Prova-se que, quandoas condições iniciais pertencem a uma bola de raio R em L2(0, L) e o conjunto ω tem a formaω = (0, δ)∩(L−δ, L), então assegura-se o decaimento exponencial da energia associada à equação,como mostram as Figuras 3 e 4.
Figure 3: Gra�co da energia, sem damping.Figure 4: Gra�co da energia com dampinga(x) = 1.0 sobre ω = (0, 1) ∪ (4, 5).
Palavras-chave: Equação de Korteweg-de Vries, Análise Numérica, Simulação Numérica
References
[1] G. Perla, C. F. Vasconcellos, E. Zuazua, Stabilization of the Korteweg-De Vries equationwith localized damping, Q. Appl. Math., volume LX, 2002, (111�129).
[2] L. Rosier, Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a boundeddomain, Control, Optimization and Calculus of Variations, volume 2, 1997, (33-55).
[3] F. S. Teixeira, "Analise e Simulação Numérica da Equação de Korteweg-de Vries", Disser-tação de Mestrado, DCC/IM/UFRJ, 2011.
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ISSN 1984-8218
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