Análise e Simulação Numérica da Equação de Korteweg-de Vries

Mauro A. Rincon

Universidade Federal do Rio de Janeiro

21945− 970, Rio de Janeiro, RJ

E-mail: rincon@dcc.ufrj.br

Frederico S. Teixeira

Laboratório Nacional de Computação Cientí�ca

25651− 075, Petrópolis, RJ

E-mail: fteixeira@lncc.br.

RESUMO

Realizou-se em [3] um estudo numérico sobre a in�uência do damping no decaimento daenergia associada à equação de Korteweg-de Vries (KdV). A motivação está em [1] e [2], ondetais propriedades são demonstradas. Além disso, foram feitos estudos de existência e unicidadepelo Método de Galerkin e análise de convergência numérica da equação KdV linearizada atravésdo Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) e Método das Diferenças Finitas (M.D.F).

A equação KdV em questão é:u′ + ux + uxxx + uux + a(x)u = f, ∀(x, t) ∈ (0, L)× (0, T ),u(0, t) = u(L, t) = ux(L, t) = 0, ∀t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), ∀x ∈ [0, L].

(1)

Sendo V = {u ∈ H2(0, L)∩H10 (0, L);ux(L) = 0} o espaço de soluções admissíveis, a formulação

variacional de (1) dada por:(u′(t), v

)+(ux(t), v

)−(uxx(t), vx

)+(u(t)ux(t), v

)+(a(x)u(t), v

)=(f(t), v

)(u(0), v

)=(u0, v

), v ∈ V.

(2)

Teorema 1. Dados f, f ′ ∈ L2(0, T ;L2(0, L)), u0 ∈ V e a ∈ L∞(0, L) com a(x) ≥ a0 > 0 quase

sempre em ω ⊂ [0, L]. Então existe uma única solução (fraca) u para o problema (2) da classe:

u ∈ C(0, T ;L2(0, L)

)∩ L2

(0, T ;V

)e u′ ∈ L2

(0, T ;L2(0, L)

).

Linearizando (1) em torno da solução u ≡ 0 e aplicando o M.E.F sobre a formulação varia-cional correspondente, juntamente com o M.D.F e o Método de θ-Newmark, obteve-se a soluçãoaproximada um, que satisfaz a seguinte estimativa de erro:

Teorema 2. Sejam a(x) ≥ a0 > 0 e u0 ∈ V . Então, a solução numérica obtida para θ ∈[1

2, 1]e ∆t ≤ 2

3(1 + a0)possui a seguinte estimativa: ‖u − um‖L∞(0,T ;L2(0,L)) ≤ c(h + ∆tr),

onde r = 1 para θ 6= 1

2e r = 2 para θ =

1

2.

Sobre o comportamento da energia sob a atuação do damping, em [2] é provado que, na

equação KdV linearizada com f ≡ 0 e a ≡ 0, existe um conjunto E ={

2π√3

√k2 + kl + l2, k, l ∈ N

}tal que, quando L ∈ E , não ocorre o decaimento da energia. Entretanto, provou-se em [1] que,

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Figure 1: L ∈ E Figure 2: L ∈ E e a(x) ≡ 0.1 sobre [0, L]

quando a(x) ≥ a0 > 0, é assegurado o decaimento da solução e, consequentemente, o decaimentoda energia. As Figuras 1 e 2 mostram esse comportamento.

A segunda propriedade é relativa a equação (1) com f ≡ 0. Neste caso, o artigo faz umaanálise do decaimento da energia considerando a localização ω do damping. Prova-se que, quandoas condições iniciais pertencem a uma bola de raio R em L2(0, L) e o conjunto ω tem a formaω = (0, δ)∩(L−δ, L), então assegura-se o decaimento exponencial da energia associada à equação,como mostram as Figuras 3 e 4.

Figure 3: Gra�co da energia, sem damping.Figure 4: Gra�co da energia com dampinga(x) = 1.0 sobre ω = (0, 1) ∪ (4, 5).

Palavras-chave: Equação de Korteweg-de Vries, Análise Numérica, Simulação Numérica

References

[1] G. Perla, C. F. Vasconcellos, E. Zuazua, Stabilization of the Korteweg-De Vries equationwith localized damping, Q. Appl. Math., volume LX, 2002, (111�129).

[2] L. Rosier, Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a boundeddomain, Control, Optimization and Calculus of Variations, volume 2, 1997, (33-55).

[3] F. S. Teixeira, "Analise e Simulação Numérica da Equação de Korteweg-de Vries", Disser-tação de Mestrado, DCC/IM/UFRJ, 2011.

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