anÁlise da produÇÃo escrita em uma atividade de geometria...
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ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA EM UMA ATIVIDADE DE
GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO SUPERIOR
Henrique Cristiano Thomas de Souza
Universidade Estadual de Londrina
h_tdesouza@hotmail.com
Resumo: Neste trabalho apresenta-se o relato de uma experiência em que a Análise da Produção Escrita em matemática foi utilizada como alternativa de ensino. Pautando-se nas ideias apresentadas em
Santos (2014), propôs-se uma atividade realística sobre Geometria Analítica – para uma turma
de uma Instituição de Ensino Superior pública localizada na cidade de Londrina – na qual o professor-pesquisador fez intervenções após as resoluções dos alunos e, estes, considerando os
apontamentos feitos pelo professor-pesquisador, reconstruíram essas resoluções.
Especificamente para este trabalho, se relata a trajetória de ensino de um dos alunos que
desenvolveu esta atividade. São evidenciados os objetivos e resultados alcançados em cada apontamento realizado pelo professor-pesquisador e de que maneira eles influenciaram a
aprendizagem do aluno.
Palavras-chave: Educação Matemática. Análise da Produção Escrita. Geometria
Analítica.
Introdução
A experiência docente relatada neste trabalho levou em consideração as ideias da
Análise da Produção Escrita, principalmente, na perspectiva apresentada em Santos
(2014). A experiência relatada é de uma atividade sobre Geometria Analítica realizada
em uma turma da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear do 2º período do
curso de Engenharia de Produção da Universidade Tecnológica Federal do Paraná
campus de Londrina em que o autor deste trabalho era o professor regente.
Para realizar este relato, o trabalho está estruturado da seguinte maneira:
primeiramente apresenta-se como a Análise da Produção Escrita é considerada neste
trabalho; num segundo momento apresenta-se a atividade, as atitudes didáticas
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utilizadas e os procedimentos metodológicos; finalizando constitui-se a análise da
atividade.
Análise da Produção Escrita em matemática
Neste trabalho a Análise da Produção Escrita em matemática é considerada no
sentido defendido por Santos (2014) em sua tese de doutorado. Nela a autora constrói
uma fundamentação que defende a Análise da Produção Escrita em matemática como
uma alternativa pedagógica de ensino. Segundo Santos (2014, p.64-65):
“Pode-se considerar, portanto, a análise da produção escrita como uma
estratégia de ensino centrada no meio, como apresentado por
Rajadell(2001, 2012). Isto é, uma estratégia de ensino em que o meio, a produção escrita, é um recurso material (LIBÂNEO, 1994), de
suporte textual (RADAJELL, 2001, 2012) e portador de informação
(MACHADO, 2000), que é manipulado pelo professor a fim de que ele possa atingir seus objetivos”.
Cabe salientar que essa perspectiva da análise da produção escrita em
matemática apresentada em Santos (2014) tem como base a Educação Matemática
Realística. Segundo Nelissen (1999, p.2) a Matemática Realística como uma nova
estratégia de ensino da matemática teve sua ascensão na década de 70 quando uma nova
visão da matemática surgiu quando Freudenthal (1983), entre outros, contestaram a
matemática como uma disciplina escolar preocupada exclusivamente com conhecimento
abstrato e formal, em que as abstrações matemáticas deveriam ser ensinadas. Em sua
opinião, a matemática é descoberta por meio da observação dos fenômenos concretos
em torno de nós. É por isso que o ensino deve basear nos fenômenos concretos num
mundo familiar para as crianças.
Uma dos aspectos que caracterizam a Educação Matemática Realística é o
trabalho com um contexto. Segundo Nelissen (1999, p.4):
“Um contexto é uma situação que agrada a crianças e que elas podem
reconhecer na teoria. Esta situação pode ser tanto de ficção ou real, e força as crianças a invocar o conhecimento adquirido pela experiência
- por exemplo, na forma de seus próprios métodos de trabalho
informal - tornando, assim, a aprendizagem de uma atividade
significativa para eles, um contexto bem escolhido pode induzir um processo de pensamento ativo em crianças”
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Nesse sentido, as tarefas produzidas ou selecionadas pelo professor para a
construção de trajetórias de ensino e aprendizagem devem, sendo elas reais ou fictícias,
serem pautadas no contexto em que o aluno está inserido, à dizer, a tarefa necessita ser
realística para o aluno, ela tem que ser da realidade cotidiana (social, profissional, etc.)
ou da realidade imaginável dele.
No que tange a prática da análise da produção escrita em matemática, Santos e
Buriasco (2010, apud SANTOS, 2014, p. 56) afirmam que “é utilizada para a obtenção
de informações que possibilitem ao professor conhecer e compreender o processo de
aprendizagem dos alunos e, posteriormente, planejar e executar intervenções de forma
que orientem tanto o processo de ensino quanto o processo de aprendizagem.”
Considerando esta caracterização da análise da produção escrita em matemática,
Santos (2014, p. 66), analisando a experiência relatada em Ciani (2012), propõe uma
dinâmica de aula:
➢ O aluno resolve uma tarefa apresentando sua produção escrita;
➢ O professor recolhe a resolução do aluno e realiza uma análise da produção
presente nessa resolução;
➢ Com base nas informações obtidas na análise realizada, o professor elabora
intervenções, sob a forma de uma trajetória de ensino e aprendizagem, de modo
que essas possam auxiliá-lo a guiar o aluno na reinvenção;
➢ O professor traz para sala de aula informações acerca da produção do aluno para
que esse possa analisá-las e as discuti-las com os colegas;
➢ Tendo em vista as informações do professor, o aluno segue em seu processo de
matematização, buscando desenvolver suas ferramentas matemáticas;
➢ O professor guia o aluno, tendo como referência a trajetória de ensino e
aprendizagem elaborada, até entender que o aluno conseguiu desenvolver suas
ferramentas matemáticas ou que conseguiu discutir aspectos matemáticos
subjacentes à resolução apresentada.
Tomando como base esta dinâmica, adaptando-a quando necessário para a
situação analisada, é que se propôs a atividade aqui relatada neste trabalho.
Aspectos Didáticos da atividade e Metodológicos do trabalho
A atividade foi realizada na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear
com uma turma do 2º período do curso de Engenharia da Produção da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná campus de Londrina. A atividade foi parte integrante das
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atividades avaliativas da referida disciplina, sendo componente das denominadas
Atividades Práticas Supervisionadas1 (APS).
No Quadro 1 a atividade está apresentada.
Quadro 1: Atividade fornecida aos alunos
As retas r1 e r2 apresentam dois comportamentos (processos de produção) que estão
sendo considerados em uma indústria para a produção de certo produto. Os responsáveis
pela indústria necessitam determinar qual dos processos é mais indicado. Ponha-se na
posição de consultor dessa empresa e delibere sobre qual processo de produção é mais
indicado, ou se somente um deles é indicado. As equações das duas retas estão abaixo:
e
Fonte: O autor.
Nota-se que o contexto da atividade se encaixa na descrição dado por Nelissen
(1999), pois, mesmo sendo uma situação fictícia, a atividade está inserida na realidade
de formação da turma, visto que o estudo de processos de produção é parte integrante
dos estudos do curso de Engenharia da Produção.
A trajetória de ensino e aprendizagem gerada pela atividade se constituiu de
cinco momentos. Num primeiro momento a atividade foi construída pelo professor-
pesquisador e entregue aos alunos2. Num segundo momento os alunos resolveram-na e
entregaram-na para a análise do professor-pesquisador. No terceiro momento o
professor-pesquisador realizou a análise das respostas dadas pelos alunos, fazendo
comentários, perguntas, sugestões, etc., entregando novamente para que os alunos
resolvessem-na. No quarto momento os alunos resolveram a atividade agora levando em
consideração os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador, e entregaram-na
novamente para análise do professor-pesquisador. Num quinto e último momento, o
professor-pesquisador fez a análise da resolução dos alunos considerando os
apontamentos que havia feito em momento anterior. 1 As Atividades Práticas Supervisionadas (APS) são atividades acadêmicas desenvolvidas sob a
orientação, supervisão e avaliação de docentes e realizadas pelos discentes em horários diferentes
daqueles destinados às atividades presenciais. São regulamentadas pela Resolução nº 78/09 – COEPP, de
21 de agosto de 2009. Disponível em: http://www.utfpr.edu.br/estrutura-universitaria/pro-
reitorias/prograd/legislacao/utfpr-1/regulamentoaps.pdf 2 Uma particularidade dessa atividade é que ela foi proposta de modo que os alunos resolvessem-na de
forma individual.
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Análise da atividade
Apresentam-se as trajetórias de ensino e aprendizagem de um aluno que
desenvolveu a atividade. Primeiramente mostra-se a resolução inicial do aluno;
posteriormente os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador; e finalizando,
expomos a segunda resolução do aluno, na qual ele considerou os apontamentos feitos
pelo professor. Fazem-se também comentários sobre o desenvolvimento geral da
atividade.
Para iniciar apresenta-se a primeira resolução do aluno A (Figura 1).
Figura 1: Desenvolvimento do Aluno A; primeiro raciocínio, parte I.
Fonte: Registros do aluno A.
Observar-se na Figura 1 que o aluno busca igualar as variáveis x, y e z de cada
conjunto de equações paramétricas das retas dadas na situação. Ele não consegue
avançar nesse procedimento. A continuação desse raciocínio segue na Figura 2.
Figura 2: Desenvolvimento da atividade do Aluno A; primeiro raciocínio, parte II.
Fonte: Registros do aluno A.
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Na Figura 2 o procedimento que o aluno toma é semelhante ao da Figura 1,
entretanto, nesse desenvolvimento ele resolve o sistema linear para encontrar os valores
dos parâmetros h e t.
De posse dos valores de e , que satisfazem as equações formadas quando se
igualaram as variáveis dos conjuntos de equações paramétricas das retas e
da situação, o aluno terminou seu raciocínio com procedimentos constantes na Figura 3.
Figura 3: Desenvolvimento da atividade do aluno A; primeiro raciocínio, parte III.
Fonte: Registros do Aluno A.
Finalizando o raciocínio o aluno substituiu os valores dos parâmetros h e t
encontrados nas equações paramétricas das retas e obtendo valores para as
variáveis x, y e z iguais em ambas as retas. O raciocínio terminou neste resultado,
contudo, sem que o aluno fizesse nenhuma inferência sobre o significado desse
resultado para a situação. Coube ao professor-pesquisador fazer o primeiro apontamento
(Figura 4).
Figura 4: Apontamento do professor-pesquisador referente ao primeiro raciocínio do
desenvolvimento do Aluno A.
3
Fonte: Registros do Aluno A.
O objetivo desse apontamento foi buscar que o aluno expusesse sua
intencionalidade com esse primeiro raciocínio do seu desenvolvimento. Na Figura 5
apresentamos a resolução que o Aluno A realizou ao considerar o apontamento do
professor-pesquisador em relação ao seu primeiro raciocínio.
Figura 5: Desenvolvimento do Aluno A após o apontamento do professor-pesquisador
referente ao seu primeiro raciocínio.
3“(1) O que significa para as retas (e em consequência para os processos de produção) esse resultado?”
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4
Fonte: Registros do Aluno A.
Essa resposta dada pelo Aluno A evidencia a importância do apontamento feito
pelo professor-pesquisador, pois, fez com que ele deixasse clara sua intenção ao
desenvolver um raciocínio. Algo que não seria possível determinar se o aluno tivesse
apenas uma oportunidade de resolver a situação proposta.
A seguir segue o segundo raciocínio que o Aluno A desenvolveu durante a
resolução da atividade.
Figura 6: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte I.
Fonte: Registros do Aluno A.
Nesse trecho do raciocínio o aluno identifica os vetores diretores das retas e
calcula o ângulo entre elas. No entanto ele não avança a partir deste cálculo para uma
possível resposta à situação proposta. Essa foi uma das razões que levou o professor-
pesquisador a fazer um dos apontamentos (Figura 10).
Depois o aluno constrói dois gráficos e faz uma afirmação (Figuras 7 e 8).
Figura 7: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte II.
4“substituindo h=-1 e t=2 encontramos x=1, y=2 e z=2, isso é o ponto de encontro entre as duas retas,
significando que naquele momento a produção nos dois casos será igual.”
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Fonte: Registros do Aluno A.
Figura 8: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte III.
Fonte: Registros do Aluno A.
Se pode observar que o cálculo do ângulo e os gráficos não condizem com a
afirmação que está circulada na Figura 8. Este fato também foi motivo para os
apontamentos do professor-pesquisador (Figuras 10 e 11). Outro fato que também
motivou esses apontamentos foi outra afirmação (Figura 9) feita pelo aluno sobre esse
raciocínio.
Figura 9: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte IV.
5
Fonte: Registros do Aluno A.
Nessa inferência feita pelo aluno (Figura 9) ele considerou as representações
gráficas dos vetores diretores – que já não estavam corretas em relação a escala,
indicação dos eixos coordenados, etc. – sem considerar que vetores tridimensionais
possuem inclinações relacionadas a cada um dos eixos coordenados. Considerando
essas resoluções foram feitos dois apontamentos pelo professor-pesquisador.
5 “Como visto nos gráficos o ângulo de r2 parece ser superior, tendo crescimento + rápido.”
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Figura 10: Apontamento do professor-pesquisador referente ao segundo raciocínio do
desenvolvimento do Aluno A.
6
Fonte: Registros do Aluno A.
Figura 11: Apontamento do professor-pesquisador referente ao segundo raciocínio do
desenvolvimento do Aluno A.
7
Fonte: Registros do Aluno A.
O segundo apontamento (Figura 10) teve por objetivo alertar o aluno sobre uma
confusão do conceito de direção que estava fazendo. O quarto apontamento (Figura 11)
já era uma afirmativa, mas que não estava explicada; objetivava, então, que o aluno
buscasse mais informações sobre ângulos de vetores tridimensionais e a relação dos
ângulos com as direções das retas e como isso poderia auxiliar para resolver a
problemática proposta. A partir destes apontamentos o aluno produziu a seguinte
resolução (Figura 12):
Figura 12: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professor-
pesquisador referente ao seu segundo raciocínio.
6“(2) Se o ângulo entre os vetores diretores (que também é o ângulo entre as retas) é de 18, podem esses
vetores terem a mesma direção? 7 “O ângulo dos vetores diretores não é único. Procure sobre e investigue a respeito.”
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Fonte: Registros do Aluno A.
Na Figura 12 se observa que o aluno foi calcular o ângulo que os vetores
diretores fazem com os eixos ordenados. Neste ponto é possível inferir um domínio do
aluno em relação ao cálculo do ângulo entre vetores e, especificamente neste caso, da
posição dos vetores da base canônica em relação aos eixos coordenados. Nesse sentido
considera-se que esse avanço na utilização desses conceitos foi desencadeado através do
incentivo feito pelos apontamentos.
A relação dos vetores diretores das retas com os eixos coordenados chamou
atenção do aluno. Como a situação era aberta ele poderia fazer conjecturas a partir dessa
relação, assim como o fez (Figura 13).
Figura 13: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professor-
pesquisador referente ao seu segundo raciocínio.
8
8 “portanto se formos analizar os vetores diretores com relação ao eixo x (estando prescrita na parte
positiva) v1tem um ângulo de aproximadamente 68 com x,
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Fonte: Registros do Aluno A.
As anotações do aluno na Figura 13 evidenciam como ele foi estimulado pelos
apontamentos do professor-pesquisador a criar hipóteses sobre os eixos coordenados e a
relação com as retas da situação proposta. Também ficou evidente que o aluno teve que
se aprofundar nos conceitos da Geometria Analítica necessários para a resolução da
situação proposta.
Um terceiro raciocínio que o Aluno A desenvolveu na resolução da atividade
está apresentado na Figura 14.
Figura 14: Desenvolvimento do Aluno A; terceiro raciocínio.
9
Fonte: Registros do Aluno A.
Na Figura 14 o aluno cometeu alguns erros de notação e também de conceitos.
Ele analisou a intensidade dos vetores diretores das retas envolvidas na situação como
se fosse a intensidade das próprias retas – retas não tem intensidade. Nesse sentido o
professor-pesquisador fez uma intervenção sobre esse raciocínio.
Figura 15: Apontamento do professor-pesquisador referente ao terceiro raciocínio do
desenvolvimento do Aluno A
v2tem um ângulo de aproximadamente 72 com x,
ou seja, se o eixo x indicar produtividade, através da angulação percebemos que v2 seria mais vantajoso.
v1tem um ângulo de aproximadamente 124 com y,
v2tem um ângulo de aproximadamente 107 com y, Já no eixo y, que representa a parte negativa no gráfico, quanto menor a angulação melhor a produção, se
pensarmos no eixo como disperdício (no entanto como está superior a noventa inverte.)
v1tem um ângulo de aproximadamente 42 com z,
v2tem um ângulo de aproximadamente 25 com z, por último analizando o eixo z, que também esta contida na parte positiva do gráfico, veremos o maior
grau, como a melhor produção. Então será mais vantagem v1
Assim, percebemos as vantagens e desvantagens de cada uma das retas que denomina os processos
diferentes.”
9 “Após as diversas análises acho que r1 seria a mais indicada se analizarmos a intensidade (3) [...]”.
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10
Fonte: Registros do Aluno A.
Os objetivos com este apontamento foram: mostrar o equívoco que o aluno fez
ao considerar intensidade de retas; e, dar a oportunidade para que ele repensasse sobre o
seu raciocínio e até explicasse suas intenções ao realizar tal inferência. Na Figura 16
está a produção do Aluno A após o apontamento do professor-pesquisador.
Figura 16: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professor-
pesquisador referente ao seu terceiro raciocínio.
11
Fonte: Registros do Aluno A.
Percebe-se que o aluno ainda faz confusão com o significado que os valores
obtidos com os cálculos dos módulos dos vetores diretores das retas têm para a situação.
No caso, esses valores não possibilitam nenhuma inferência para a situação, pois, os
vetores diretores de uma reta indicam sua direção e somente isto. Portanto, mesmo com
o apontamento que o professor-pesquisador fez o aluno ainda cometeu equívocos. Nesse
sentido, acredita-se que a intervenção feita neste raciocínio do aluno não foi suficiente.
Considerações finais
Considerando a Análise da Produção Escrita em matemática como uma
alternativa de ensino, como apresentada em Santos (2014), apresentou-se aqui um relato
de experiência de uma atividade desenvolvida numa Instituição de Ensino Superior
pública na cidade de Londrina.
Como evidenciado, a trajetória de ensino guiada pela atividade proposta se deu
em cinco momentos: 1º) A atividade foi construída pelo professor e entregue aos
alunos; 2º) Os alunos resolveram-na e entregaram-na para a análise do professor; 3º) O
10
“(3) Retas são infinitas, portanto não tem intensidade. A intensidade que você achou foi a intensidade
dos vetores diretores.” 11
“Pensando em relação aos módulos (não com relação ao tamanho, e sim com a taxa de crescimento)
vemos a vantagem do v1, já nos ângulos o v2. Mantendo a conclusão da ApsII.”
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professor realizou a análise das respostas dadas pelos alunos, fazendo comentários,
perguntas, sugestões, etc.; entregando-a novamente para que os alunos resolvessem-na;
4º) Os alunos resolveram a atividade agora levando também em consideração os
apontamentos feitos pelo professor, e entregaram-na novamente para análise do
professor; 5º) O professor fez a análise da resolução dos alunos considerando os
apontamentos que havia feito em momento anterior.
Neste trabalho apresentou-se o desenvolvimento do Aluno A. Foram mostrados
os raciocínios iniciais que o aluno construiu, o(s) apontamento(s) que o professor-
pesquisador fez em relação a este raciocínio, e a nova resolução do aluno quando
considerou o(s) apontamento(s) do professor-pesquisador.
Pode-se observar que os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador
ajudaram o aluno avançar em seu raciocínio inicial. Também, em algumas intervenções,
o aluno foi incentivado criativamente, criou hipóteses e testou conjecturas para dar uma
solução à situação inicial.
Nesse sentido, acredita-se que a Análise da Produção Escrita em matemática na
perspectiva aqui apresentada pode ter grande potencial nas aulas de matemática. Muitas
vezes as primeiras ideias de um aluno podem conter erros e/ou não estarem expostas de
forma clara, com isso, as intervenções do professor podem guiar o aluno a lapidá-las,
construindo assim seu conhecimento matemático.
Referências
CIANI, A. B. O realístico em questões não-rotineiras de matemática. Tese (Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual
de Londrina, Londrina-PR, 2012.
FREUDENTHAL, H. Didactical phenomenology of mathematical structures.
Dordrecht: Reidel. 1983
NELISSEN, J. M. C..Thinking skills in realistic mathematics. In: HAMERS, J. H. M.;
VAN LUIT, J. E. H.; ÉS CSAPÓ, B. (Org.). Teaching and learning thinking skills.
Swets and Zeitlinger, Lisse. 1999.
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SANTOS, E. R. Análise da Produção Escrita em matemática: de estratégia de avaliação
a estratégia de ensino. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e
Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, Londrina-PR, 2014.
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