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JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
ALONSO ALI
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
▸ Conjunto de estados
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
▸ Conjunto de estados
▸ Conjunto de movimentos permitidos (pares ordenados de estados)
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
▸ Conjunto de estados
▸ Conjunto de movimentos permitidos (pares ordenados de estados)
▸ Estado inicial e estados terminais
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
▸ Conjunto de estados
▸ Conjunto de movimentos permitidos (pares ordenados de estados)
▸ Estado inicial e estados terminais
▸ Sem aleatoriedade
JOGOS COMBINATÓRIOS
▸ Dois jogadores
▸ Conjunto de estados
▸ Conjunto de movimentos permitidos (pares ordenados de estados)
▸ Estado inicial e estados terminais
▸ Sem aleatoriedade
▸ Resultados: vitória, derrota ou empate
TEXTO
EXEMPLO DE JOGO COMBINATÓRIO: JOGO DA VELHA
Estado inicial
TEXTO
EXEMPLO DE JOGO COMBINATÓRIO: JOGO DA VELHA
X
XEstado inicial
TEXTO
EXEMPLO DE JOGO COMBINATÓRIO: JOGO DA VELHA
X
X
X
X
O
O
Estado inicial
TEXTO
EXEMPLO DE JOGO COMBINATÓRIO: JOGO DA VELHA
X
X
X
X
O
O
Estado inicial
TEXTO
EXEMPLO DE JOGO COMBINATÓRIO: JOGO DA VELHA
X
X
X
X
O
O
Estado inicial
X OX O XO
X O
XO
X OX
Estados terminais
JOGOS COMBINATÓRIOS
Jogos Parciais:
Jogos Imparciais:
JOGOS COMBINATÓRIOS
Jogos Parciais:
‣ Movimentos são diferentes para os jogadores
‣ Xadrez, Damas, etc…
Jogos Imparciais:
JOGOS COMBINATÓRIOS
Jogos Parciais:
‣ Movimentos são diferentes para os jogadores
‣ Xadrez, Damas, etc…
Jogos Imparciais:
‣ Movimentos iguais para os jogadores
‣ Jogo da velha, Jogos de subtração, etc…
JOGO DA REMOÇÃO
‣ Jogadores A e B
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
JOGO DA REMOÇÃO
‣ Jogadores A e B
‣ Pilha com 21 moedas
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
JOGO DA REMOÇÃO
‣ Jogadores A e B
‣ Pilha com 21 moedas
‣ Jogadores alternam removendo 1, 2 ou 3 moedas da pilha
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
JOGO DA REMOÇÃO
‣ Jogadores A e B
‣ Pilha com 21 moedas
‣ Jogadores alternam removendo 1, 2 ou 3 moedas da pilha
‣ Último a remover alguma moeda ganha
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
JOGO DA REMOÇÃO
‣ Jogadores A e B
‣ Pilha com 21 moedas
‣ Jogadores alternam removendo 1, 2 ou 3 moedas da pilha
‣ Último a remover alguma moeda ganha
‣ Jogador A começa
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
21
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
A: -3
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
16
A: -3 B: -2
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
16
5
A: -3 B: -2
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
16
54
A: -3 B: -2 A: -1
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
16
54
1
A: -3 B: -2 A: -1 B: -3
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
EXEMPLO DE PARTIDA DO JOGO DA REMOÇÃO
2118
16
54
1
A: -3 B: -2 A: -1 B: -3 A: -1
0
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3
4
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7
4
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7
4 8
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16
17 18 19
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16 20
17 18 19
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16 20
17 18 19 21
JOGOS COMBINATÓRIOS IMPARCIAIS
INDUÇÃO REVERSA
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16 20
17 18 19 21
P-POSIÇÃO E N-POSIÇÃO
▸ Definição: Um estado é chamado de P-posição se é um estado perdedor. Um estado é chamado de N-posição se é um estado ganhador.
P-POSIÇÃO E N-POSIÇÃO
▸ Definição: Um estado é chamado de P-posição se é um estado perdedor. Um estado é chamado de N-posição se é um estado ganhador.
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13 14 15
16 20
17 18 19 21
P-posições
N-posições
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Conjunto S de inteiros positivos
▸ Pilha de x moedas
▸ Dois jogadores alternam movimentos
▸ Um movimento consiste em remover s ∈ S moedas
▸ Último jogador a realizar um movimento ganha
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0 4 8 12 16 20
P = {
N = { }
}
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0 4 8 12 16 20
P
P = {
N = { }
0 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 3
4 8 12 16 20
4
P
P = {
N = { }1,3,4
0 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3
4 8 12 16 20
4
P N N N
P = {
N = { }1,3,4
0,2 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3 5 6
4 8 12 16 20
4
P PN N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6
0,2 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3 5 6 7
4 8 12 16 20
4
P P PN N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6
0,2,7 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3 5 6 7 10 11
4 8 12 16 20
4 8
P P PN N N N N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6,8,10,11
0,2,7 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12 16 20
4 8
P P P PN N N N N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6,8,10,11
0,2,7,9 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
0
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13
16 20
4 8 12
P P P PN N N N N N N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,…
0,2,7,9 }
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
0
0
1 2 3 5 6 7 9 10 11
4 8 12
13
16 20
4 8 12
P P P PN N N N N N N N N N
P = {
N = { }1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,…
0,2,7,9,14,16,21,23,28,… }
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
0 4 8 12 16 20
Um estado com m moedas é uma P-posição em um jogo de subtração com S = {1,3,4} sse
m ≣ 0 (mod 7) ou m ≣ 2 (mod 7)
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
0 4 8 12 16 20
Um estado com m moedas é uma P-posição em um jogo de subtração com S = {1,3,4} sse
m ≣ 0 (mod 7) ou m ≣ 2 (mod 7)
Se x = 150: Quem começar ganha, 150 ≣ 3 (mod 7)
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
0 4 8 12 16 20
Um estado com m moedas é uma P-posição em um jogo de subtração com S = {1,3,4} sse
m ≣ 0 (mod 7) ou m ≣ 2 (mod 7)
Se x = 150: Quem começar ganha, 150 ≣ 3 (mod 7)Se x = 100: Quem começar perde, 100 ≣ 2 (mod 7)
JOGOS DE SUBTRAÇÃO
▸ Considere uma instância onde S = {1,3,4}
0 4 8 12 16 20
Um estado com m moedas é uma P-posição em um jogo de subtração com S = {1,3,4} sse
m ≣ 0 (mod 7) ou m ≣ 2 (mod 7)
Se x = 150: Quem começar ganha, 150 ≣ 3 (mod 7)Se x = 100: Quem começar perde, 100 ≣ 2 (mod 7)Se x = 354: Quem começar ganha, 354 ≣ 4 (mod 7)
ALGORITMO ROTULADOR
0 4 8 12 16 20
1: Rotular todo estado terminal como uma P-posição
2: Rotular todo estado adjacente à uma P-posição como uma N-posição
3: Rotular como P-posição todo estado que só possui N-posições adjacentes
4: Se nenhum estado foi rotulado no passo 3, pare; senão, volte ao passo 2
JOGO DE NIM
▸ Três pilhas contendo x1, x2 e x3 moedas, respectivamente
JOGO DE NIM
▸ Três pilhas contendo x1, x2 e x3 moedas, respectivamente
▸ Remover qualquer numero de moedas de uma única pilha
JOGO DE NIM
▸ Três pilhas contendo x1, x2 e x3 moedas, respectivamente
▸ Remover qualquer numero de moedas de uma única pilha
▸ Ganha quem fizer um movimento por último
JOGO DE NIM
86
5
I II III
JOGO DE NIM
56
5
I II III
Jogador A remove
3 moedas da pilha I
JOGO DE NIM
56
5I II III
Jogador B remove
5 moedas da pilha III
JOGO DE NIM
54
5I II III
Jogador A remove
2 moedas da pilha II
JOGO DE NIM
5
4 5I II III
Jogador B remove
4 moedas da pilha II
JOGO DE NIM
5 4 5I II III
Jogador A remove
5 moedas da pilha I
JOGO DE NIM
5 4 5I II III
Jogador A fez o último movimento
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
Uma pilha
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
(0,1,1)P
Duas pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
(0,1,1)P
(0,1,2)N
Duas pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
(0,1,1)P
(0,1,2)N
(0,2,2)P
Duas pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
(0,1,1)P
(0,1,2)N
(0,2,2)P
(0,2,3)N
Duas pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
Duas pilhas
(0,x,y)N
(0,x,x)P
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N
Três pilhas
(0,x,y)N
(0,x,x)P
(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,2)
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N (0,x,y)
N
(0,x,x)P
(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,2)
N
N
N
N
Três pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N (0,x,y)
N
(0,x,x)P
(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,2)
N
N
N
N
(1,2,3)
Três pilhas
INDUÇÃO INVERSA
(0,0,0)P
(0,0,x)N (0,x,y)
N
(0,x,x)P
(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,2)
N
N
N
N
(1,2,3)
P
Três pilhas
SOMA-NIM
▸ Definição: A soma-nim de dois números é a soma de suas representações binarias em base 2 sem carry.
SOMA-NIM
▸ Definição: A soma-nim de dois números é a soma de suas representações binarias em base 2 sem carry.
22:51:
101102
1100112
100101237:
TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
(0,0,0)P
(0,0,x)N (0,x,y)
N
(0,x,x)P
(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,2)
N
N
N
N
(1,2,3)
P
PROVA DO TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
Prova: Seja P o conjunto de estados com soma-nim zero e seja N o conjunto complemento de P.
‣ (1) Todo estado terminal está em P. Único estado terminal é o que não tem mais moedas nas pilhas, obviamente a soma-nim desse estado é zero.
PROVA DO TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
‣ (2) Para cada estado em N existe um movimento para um estado em P. Para isso, construiremos um movimento generalizado manipulando os dígitos da representação binária de uma das pilhas.
PROVA DO TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
‣ (2) Para cada estado em N existe um movimento para um estado em P. Para isso, construiremos um movimento generalizado manipulando os dígitos da representação binária de uma das pilhas.
101102
1100112
111112x1
x2
x3
PROVA DO TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
‣ (2) Para cada estado em N existe um movimento para um estado em P. Para isso, construiremos um movimento generalizado manipulando os dígitos da representação binária de uma das pilhas.
101102
1100112
111112x1
x2
x3
101102
0010012
111112
0000002
PROVA DO TEOREMA DE BOUTON
▸ Teorema: Um estado no jogo de Nim é uma P-posição sse a soma-nim de seus componentes é 0.
‣ (3) Todo movimento de um estado em P é para um estado em N. Seja (x1,x2,…) um estado em P. É fácil de ver que alterando o valor de qualquer xi para x'i < xi implica em um resultado diferente para a soma-nim desse estado.
Essas três propriedades implicam que P é o conjunto de P-posições e N, por construção, é o de N-posições.
JOGOS DE GRAFO
JOGOS DE GRAFO
▸ Jogos de ganhador-perdedor
JOGOS DE GRAFO
▸ Jogos de ganhador-perdedor
▸ Acontece em um grafo que:
JOGOS DE GRAFO
▸ Jogos de ganhador-perdedor
▸ Acontece em um grafo que:1. É direcionado
2. Possui posição inicial x0
3. Todo caminho saindo de x0 possui comprimento ≤ n (progressivamente limitado)
JOGOS DE GRAFO
▸ Jogos de ganhador-perdedor
▸ Acontece em um grafo que:
▸ Podem ser analisados pelo Teorema de Sprague-Grundy
1. É direcionado
2. Possui posição inicial x0
3. Todo caminho saindo de x0 possui comprimento ≤ n (progressivamente limitado)
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDY
▸ Definição: Seja S um conjunto de inteiros, então o “excludente mínimo” de S é o menor inteiro não negativo não incluso em S. Usamos mex(S) para representar esse valor.
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDY
▸ Definição: Seja S um conjunto de inteiros, então o “excludente mínimo” de S é o menor inteiro não negativo não incluso em S. Usamos mex(S) para representar esse valor.
mex(∅) = 0
mex({0,1,2}) = 3
mex({1,2,3,…}) = 0
mex({0,1,3,5,7,9,…}) = 2
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDY
▸ Definição: Seja S um conjunto de inteiros, então o “excludente mínimo” de S é o menor inteiro não negativo não incluso em S. Usamos mex(S) para representar esse valor.
▸ A função de Sprague-Grundy de um grafo direcionado e progressivamente limitado é uma função g(x), onde x é um vértice do grafo.
g(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
51
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
51
62
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
51
62
73
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
51
62
73
0 1 2 3 5 6 7 9 10 114 8 12 13 14 15 16 2017 18 19 21
80
FUNÇÃO DE SPRAGUE-GRUNDYg(x) = 0, se x é um estado terminal
g(x) = mex( { g(y) | (x,y) ∈ E } ), cc
S = {1,2,3}
xg(x)
00
11
22
33
40
51
62
73
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TEOREMA DE SPRAGUE-GRUNDY
Teorema: Dada a função de Sprague-Grundy g de um grafo G, um estado x é uma P-posição sse g(x) = 0.
Prova: Seja P o conjunto de estados com Sprague-Grundy zero e seja N o conjunto complemento de P.
‣ (1) Todo estado terminal está em P. Se x é terminal, g(x)=0.
TEOREMA DE SPRAGUE-GRUNDY
Teorema: Dada a função de Sprague-Grundy g de um grafo G, um estado x é uma P-posição sse g(x) = 0.
Prova: Seja P o conjunto de estados com Sprague-Grundy zero e seja N o conjunto complemento de P.
‣ (2) Todo movimento de um estado em P é para um estado em N. Se um estado x possui g(x) = 0, então para todo estado y, onde (x,y) ∈ E(G), g(y) > 0.
TEOREMA DE SPRAGUE-GRUNDY
Teorema: Dada a função de Sprague-Grundy g de um grafo G, um estado x é uma P-posição sse g(x) = 0.
Prova: Seja P o conjunto de estados com Sprague-Grundy zero e seja N o conjunto complemento de P.
‣ (3) Para cada estado em N existe um movimento para um estado em P. Se um estado x possui g(x) > 0, então deve existir um estado y com g(y) = 0, onde (x,y) ∈ E(G).
SOMA DE JOGOS DE GRAFO
▸ Dados n jogos de grafo G1, G2, …, Gn. Pode-se combinar em um jogo G = G1 + G2 + … + Gn onde o conjunto de vértices é o produto cartesiano dos vértices de G1, G2, …, Gn e o conjunto de arestas equivale a jogadas individuais dos jogos.
TEOREMA DE SPRAGUE-GRUNDY (DE NOVO)
▸ Teorema: Se gi é a função de Sprague-Grundy de Gi , para i = 1,…,n, então G = G1 + G2 + … + Gn tem função Sprague-Grundy g(x1, …, xn) = g1(x1) ⊕ g2(x2) ⊕ … ⊕ gn(xn)
JOGOS COMBINATÓRIOS
Jogos Parciais:
‣ Movimentos são diferentes para os jogadores
‣ Xadrez, Damas, etc…
Jogos Imparciais:
‣ Movimentos iguais para os jogadores
‣ Jogo da velha, Jogos de subtração, etc…
Rip in peace
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