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Alexandre Andrade Brandão Soares
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio
Orientador: Prof. Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro Julho de 2013
Alexandre Andrade Brandão Soares
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves Orientador
Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Frederico Matins Alves da Silva Universidade Federal de Goiás
Profª. Deane Mesquita Roehl Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 05 de Julho de 2013
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Alexandre Andrade Brandão Soares
Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade da Amazônia, UNAMA (Belém do Pará), em Janeiro de 2011. Ingressou em Março de 2011 no curso de Mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio), na área de Estruturas. Já desenvolveu trabalhos na área de barragens, métodos das diferenças finitas e mais atualmente na área de dinâmica das estruturas, abrangendo nesta última os temas cascas cilíndricas e materiais com gradação funcional.
Ficha Catalográfica
Soares, Alexandre Andrade Brandão Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas
com gradação funcional / Alexandre Andrade Brandão Soares; Orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2013.
v., 121 f.: il. (color); 29,7 cm 1.Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2013.
Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Civil – Dissertações. 2. Cascas
cilíndricas. 3. Vibrações não lineares. 4. Material com gradação funcional. 5. Dinâmica I. Soares, Alexandre Andrade Brandão. II. Gonçalves, Paulo Batista. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
Dedico com amor a: Arthur, Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice.
Agradecimentos
As pessoas mais queridas de minha vida que são: Arthur,
Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice. Agradeço-lhes pela
paciência, compreensão e esperança que depositaram em mim.
Ao orientador Professor Paulo Batista Gonçalves que muito
me ajudou nesta dissertação. Além de seus conhecimentos vastos e
precisos, seu caráter muito me engrandeceu no período que realizei o
Mestrado.
A instituição PUC-Rio, que é uma instituição de excelência.
Aos professores e funcionários do Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rio que me repassaram parte de seus
conhecimentos e muito me auxiliaram nesta jornada. Em especial a
funcionária Rita de Cassia.
Aos amigos(as) que fiz na PUC-Rio: Camyla Oliveira, Eliot
Pezo, Eulher Carvalho, Fabio Anderson, Julio Rueda, Lorena
Chamorro, Nicolas Papadopoulos, Martin Purizaga, Rafael Abreu,
Ricardo Amado e Tathiana Caram.
Ao CNPq e CAPES;
Aos professores que participaram da comissão examinadora
desta dissertação que com suas competências elevaram meus
conhecimentos.
Resumo
Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista. Vibrações
livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional. Rio de Janeiro, 2013. 121p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Cascas cilíndricas são usadas em muitas aplicações de engenharia e, devido
a sua forma e capacidade de transporte de carga, são bastante usadas na indústria
aeroespacial e em estruturas civis. Elas minimizam a quantidade de material do
qual são fabricadas, tornando-se assim estruturas muito leves e esbeltas. Em
décadas recentes tem se procurado criar novos materiais que conjuguem
múltiplas propriedades como maior resistência, melhor proteção térmica,
proteção contra corrosão e adequado nível de amortecimento, dentre outras. Uma
classe de materiais que podem atender simultaneamente várias destas exigências
é o chamado material com gradação funcional, onde as propriedades do material
variam de forma contínua em uma ou mais direções. Materiais com gradação
funcional são particularmente indicados para a construção de cascas. Como a
maioria destas estruturas estão sujeitas a cargas dinâmicas, torna-se importante o
estudo do comportamento dinâmico de cascas fabricadas com materiais com
gradação funcional. O objetivo deste trabalho é estudar as vibrações não lineares
de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional. Para isto utiliza-se a teoria
não linear de cascas de Sanders, considerada uma das teorias mais precisas para a
análise de cascas esbeltas. Inicialmente, derivam-se as equações de movimento
considerando um estado de tensões iniciais. Usando as equações linearizadas,
obtêm-se às frequências naturais e as cargas críticas, sendo estes resultados
comparados favoravelmente com resultados encontrados na literatura para
materiais homogêneos e com gradação funcional. A seguir, usando uma expansão
modal que atende as condições de contorno e continuidade, além de expressar os
acoplamentos modais característicos de cascas cilíndricas no regime não linear,
as equações de movimento são discretizadas usando-se o método de Galerkin. As
equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson,
sendo assim obtida a relação não linear frequência-amplitude. Finalmente,
realiza-se uma análise paramétrica para estudar a influência da geometria da
casca, da gradação do material funcional e dos modos de vibração no grau e tipo
de não linearidade da casca cilíndrica, sendo esta a principal contribuição deste
trabalho de pesquisa.
Palavras-chave
Cascas cilíndricas; Vibrações não lineares; Material com gradação
funcional; Dinâmica.
Abstract
Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista (Advisor). Nonlinear free vibrations of functionally graded cylindrical shells. Rio de Janeiro, 2013. 121p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Cylindrical shells are used in many engineering applications and, due to its
shape and load carrying capacity, are frequently used in aerospace and civil
structures. They minimize the amount of material from which they are
manufactured, thus making it a very lightweight and slender structure. In recent
decades, there has been a search for new materials that combine multiple
properties such as increased strength, better thermal protection, corrosion
protection and appropriate damping level, among others. A material that can meet
several of these requirements simultaneously is the so called functionally graded
material, where the material properties vary continuously in one or more
directions. Functionally graded materials are particularly suitable for the
construction of shells. As most of these structures are subjected to dynamic loads,
it is important to study the dynamic behavior of shells made of functionally
graded materials. The objective of this work is to study the nonlinear vibrations
of slender functionally graded cylindrical shells. For this, the Sanders non-linear
shell theory, which is considered one of the most precise theories for the analysis
of slender shells, is adopted. Initially, the equations of motion are derived
considering an initial stress state. Using the linearized equations of motion, the
natural frequencies and critical loads are obtained. These results compare
favorably with results reported in the literature for homogeneous and functionally
graded shells. Then, using a modal expansion that satisfies the boundary and
continuity conditions and expresses the modal couplings characteristic of
cylindrical shells in the nonlinear regime, the equations of motion are discretized
using the Galerkin method. The resulting algebraic equations are solved by the
Newton-Raphson method, thus obtaining the nonlinear frequency-amplitude
relation. Finally, a parametric analysis is conducted to study the influence of the
geometry of the shell, the gradient of the functional material and vibration modes
on the degree and type of nonlinearity of the cylindrical shell, which is the main
contribution of this research work.
Keywords
Cylindrical shells; Nonlinear vibrations; Functionally graded material;
Dynamics.
Sumário
1 Introdução 23
1.1 Generalidades 23
1.2 Breve histórico bibliográfico 24
1.3 Objetivos específicos e metodologia 26
1.4 Descrição dos capítulos da dissertação 27
2 Casca cilíndrica delgada 29
2.1 Introdução 29
2.2 Formulação de casca 31
2.3 Esforços de membrana 33
2.4 Funcionais de energia 35
2.4.1 Energia interna de deformação elástica 36
2.4.2 Energia cinética 38
2.4.3 Energia potencial das cargas externe 38
2.4.4 Trabalho das forças de dissipação 39
2.5 Equações de equilíbrio 40
2.6 Estado de tensão inicial 41
2.7 Condições de contorno 43
3 Material com gradação funcional 44
3.1 Introdução aos materiais compósitos 44
3.2 Introdução aos materiais com gradação funcional 45
3.3 Propriedades do MGF 48
3.4 Formulação do problema 50
4 Análise linear 53
4.1 Introdução 53
4.2 Frequência natural 60
4.2.1 Material homogêneo isotrópico 60
4.2.2 Material com gradação funcional 62
4.3 Carga crítica 65
4.3.1 Material isotrópico 66
4.3.2 Material com gradação funcional 67
5 Análise não linear 70
5.1 Introdução 70
5.2 Utilização do método de Galerkin 72
5.3 Implementação do método de Newton-Raphson 73
5.4 Análise das vibrações livres não lineares e não amortecidas 75
5.4.1 Material com gradação funcional para o caso não linear 80
5.5 Análise paramétrica 88
6 Conclusões e Sugestões 105
7 Referências bibliográficas 107
A1 Apêndice 113
Lista de figuras
Figura 2.1 Estruturas cilíndricas aeroespaciais. 30
Figura 2.2 Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis. 30
Figura 2.3 Geometria da casca cilíndrica e seu sistema de
coordenada. 31
Figura 2.4 Elemento de casca cilíndrica na configuração
deformada. 32
Figura 2.5 Representação do carregamento aplicado à casca. 36
Figura 3.1 Variação gradual dos materiais constituintes. 46
Figura 3.2 Esquerda: Mostra a geração de um composto
metal/carboneto feito com feixe de laser. Direita: Mostra
um tubo com gradação funcional não na direção da
espessura da casca e sim na direção longitudinal. 47
Figura 3.3 Micrografia de um gradiente de liga de WC/Cu/Mn e
a distribuição espacial da correspondente concentração de
partículas WC. 47
Figura 3.4 Variação do volume de cerâmica ao longo da
espessura da casca cilíndrica. O sentido horizontal
representa a coordenada , e o sentido vertical a
espessura . 49
Figura 3.5 Representação esquemática da distribuição dos
materiais ao longo da espessura da casca cilíndrica. 51
Figura 4.1 Gráfico variando em função de . 67
Figura 4.2 Variação da carga axial crítica, e da carga lateral
crítica, em função do parâmetro de gradação 69
Figura 5.1 Variação das amplitudes modais em função da
frequência de vibração -
e 77
Figura 5.2 Frequência natural em função das amplitudes
modais. ,
⁄ , , ⁄ , e
. 80
Figura 5.3 Frequencia natural em função das amplitudes
modais e . Gometria: , e
Modelo Prof Paulo com MGF_k=0,5. 83
Figura 5.4 Frequência natural em função das amplitudes
modais sendo . Gometria: , e
85
Figura 5.5 Frequência natural em função das amplitudes
modais sendo . Gometria: , e
. 87
Figura 5.6 (a)Variação do volume dos materiais aço e níquel ao
longo da espessura da casca cilíndrica com MFG. (b)
Variação da frequência natural para os valores de
considerados nas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5. 88
Figura 5.7 Amostra genérica de um pedaço de casca cilíndrica
com MGF. O vermelho ( ) representa o níquel e o verde
( ) representa o aço. 89
Figura 5.8 Cilíndros estudados com suas respectivas variações
de e . 91
Figura 5.9 Frequências naturais para o . 94
Figura 5.10 Amplitudes modais para ⁄ e . 94
Figura 5.11 Frequências naturais para o . 96
Figura 5.12 Frequências naturais para o . 96
Figura 5.13 Frequências naturais para o . 98
Figura 5.14 Frequências naturais para o . 98
Figura 5.15 Variação do para as frequências lineares com
diferentes tipos de do modelo III. 99
Figura 5.16 Frequências não lineares do Modelo III para o
. 100
Figura 5.17 Frequências não lineares do Modelo III para o
. 100
Figura 5.18 Frequências não lineares do Modelo III para o
. 101
Figura 5.19 Variação da frequência natural mínima em função
da carga axial para o Modelo III e três valores de (0,5, 1
e 5) (carga em Newtons – N). 102
Figura 5.20 Influência do carregamento na relação não linear
frequência-amplitude. (a, d, g) Carregamento axial
compressivo. (b, e, h) pressão lateral interna (tração). (c, f,
i) pressão lateral externa (compressão). 103
Lista de tabelas
Tabela 4.1 Comparação das frequências naturais (
e ). 60
Tabela 4.2 Comparação das frequências naturais para
nas duas primeiras equações (
e ). 61
Tabela 4.3 Comparação das frequências naturais com diversos
trabalhos. 62
Tabela 4.4 Comparação das frequências naturais para MGF
com ( ⁄ ⁄ ). 63
Tabela 4.5 Comparação das frequências naturais para MGF
com ( ⁄ ⁄ ). 63
Tabela 4.6 Frequências para aço inoxidável na parte externa e
níquel na parte interna ( ⁄ ⁄ ). 64
Tabela 4.7 Frequências para material níquel na parte externa e
aço inoxidável na parte interna ( ⁄ ⁄
). 64
Tabela 4.8 Comparação das frequências naturais com MGF
( ⁄ ⁄ ). 65
Tabela 4.9 Carga crítica lateral (x10-4MPa) para casca
cilíndrica homogênea. 66
Tabela 4.10 Cargas críticas (MPa) da casca cilíndrica com
MGF ( ⁄ , ⁄ ). 68
Tabela 5.1 Propriedades dos materiais aço e níquel para uma
casca com MGF. 80
Tabela 5.2 Dimensões de cascas cilíndricas variando apenas o
e o , e h . 89
Tabela 5.3 Frequências naturais mínimas para os modelos de I
a VII, com seus respectivos valores de . 90
Tabela A.1 Seis equações não lineares relativas ao
deslocamento axial, . 113
Tabela A.2 Quatro equações não lineares relativas ao
deslocamento circunferencial, . 116
Tabela A.3 Duas equações não lineares relativas ao
deslocamento radial, . 120
Lista de símbolos
& -denominado ampersand (ou “e” comercial)
-Função de Lagrange
-Pressão hidrostática
-Carga crítica axial
-Força de dissipação
-Energia interna de flexão
-Energia interna de membrana
-Amplitude modal de vibração linear na direção
-Trabalho das forças externas
-Amplitude modal de vibração linear na direção
-Amplitude modal de vibração linear na direção
-Carga crítica lateral
-Coordenada adimensional em
-Vetor das forças equivalentes
-Coeficiente de amortecimento 1
-Coeficiente de amortecimento 2
-Deformação cisalhante
-Deformação específica
-Erro relativo
-Coeficiente de amortecimento viscoso
-Coeficiente de amortecimento do material
-Mudança de curvatura
-Tensão cisalhante
-Frequência natural
-Matriz de deformação
-Matriz de tensão
-Seta crescente
-Seta decrescente
-Indicação de cor vermelha
-Indicação de cor verde
-Muito menor que
-Operador harmônico
-Menor ou igual a
Cu -Símbolo do elemento químico Cobre
-Espessura da casca cilíndrica
Mn -Símbolo do elemento químico Magnésio
-Energia potencial
-Amplitude modal na direção . Varia de 1 a 6
-Amplitude modal na direção . Varia de 1 a 4
-Símbolo do elemento químico Carbono
-Rigidez de membrana
-Rigidez a flexão
-Módulo de elasticidade
-Amplitude modal na direção . Varia de 1 a 2
-Símbolo do elemento químico Ferro
-Matriz geométrica
-Matriz hessiana ou matriz Jacobiana
-Matriz identidade
-Matriz de rigidez
-Comprimento longitudinal da casca cilíndrica
-Momento
-Esforço de membrana
-Símbolo do elemento químico Níquel
-Carga axial
-Raio médio do cilindro
-Energia cinética
-Energia interna de deformação
-Volume
-Autovetor
-Cerâmica
-Volume da variação do material
-Gradiente
-Número imaginário
-Constante da lei de variação
-Metal
-Número de semi-ondas longitudinais
-Número de ondas circunferenciais
-Pressão lateral
-Tempo
-Campo de deslocamentos na direção
-Campo de deslocamentos na direção
-Campo de deslocamentos na direção
-Coordenada longitudinal
-Coordenada transversal
-Coordenada transversal gráfica
-Matriz constitutiva do material
-Campo de deslocamentos
-Carga crítica
-Rotação nas coordenadas e
-Deformação cisalhante
-Função peso
-Deformação linear em e
-Coordenada angular
-Coeficiente de Poisson
-Densidade do material
-Tensão normal em e
-Tensão transversal cisalhante
-Frequência natural
Lista de abreviaturas
CC -Condição de contorno
CP - Condição de periodicidade
- Equilíbrio fundamental
- Equilíbrio incremental
MGF - Material com gradação funcional
NASA - Administração Nacional do Espaço e da Aeronáutica
NR - Newton-Raphson
PT - Presente trabalho
T - Trabalho comparado
- Vetor das variáveis
“A sabedoria é baseada no
conhecimento. Mas o conhecimento nem
sempre é sabedoria. Não é um paradoxo.
Existe um conhecimento intuitivo, que é fonte
da sabedoria. E há o conhecimento objetivo,
que é uma coleção de fatos irrelevantes. O
homem sábio custa a dar sua opinião, pois
tem de descobrir os intangíveis. O homem que
só tem o conhecimento é muito rápido em
seus conceitos, pois não reconhece nem vê as
vastas forças imponderáveis que operam no mundo. É perigoso”.
Marco Túlio Cícero
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 23
1
Introdução
Neste primeiro capítulo da dissertação encontra-se uma breve revisão
bibliográfica, além de uma descrição dos objetivos, metodologia e abrangência do
trabalho. Apresenta-se também uma pequena síntese dos capítulos desta
dissertação.
1.1
Generalidades
Assim como outros sistemas estruturais, o estudo de cascas cilíndricas é de
grande relevância e complexidade, fato este corroborado pela vasta literatura
sobre este tema.
Segundo Prado (2005):
Nos anos recentes, devido a fatores técnicos e econômicos,
além do grande desenvolvimento da engenharia estrutural em função de métodos numéricos eficientes e a utilização de novos
materiais, foram geradas mudanças sensíveis nas concepções
estruturais, tornando as estruturas cada vez mais leves e esbeltas.
Se em 2005 a citação de Prado já era cabível, hoje, em 2013, ela se torna
ainda mais oportuna devido aos avanços na engenharia através da busca de novos
materiais que conjugam múltiplas propriedades como maior resistência, melhor
proteção térmica, proteção contra corrosão e adequado nível de amortecimento,
dentre outros. Um material que pode atender a estas exigências é o chamado
material com gradação funcional, onde se conjugam dois ou mais materiais com
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 24
propriedades distintas para se obter um material otimizado. Este é o caso da
maioria dos compósitos. Entretanto, o material com gradação funcional apresenta
certas vantagens sobre os compósitos laminados tradicionais, não apresentando
problemas de delaminação ou descontinuidades no campo de tensões.
Materiais com gradação funcional são particularmente indicados para a
construção de cascas. Como a maioria destas estruturas estão sujeitas a cargas
dinâmicas, torna-se a cada dia mais importante o estudo do comportamento
dinâmico de cascas feitas com materiais de gradação funcional. Dentre as diversas
geometrias de cascas usadas em aplicações industriais, destacam-se as cascas
cilíndricas esbeltas.
Silva (2008) afirma que o comportamento de cascas cilíndricas ainda não
está totalmente compreendido, em particular no regime não linear, o que justifica
o desenvolvimento desta pesquisa.
1.2
Breve histórico bibliográfico
São inúmeros os trabalhos que abrangem o estudo de cascas cilíndricas e
materiais com gradação funcional.
Historicamente, sabe-se que a estabilidade de cascas vem sendo estudada
desde o final do século XIX (Brush & Almroth, 1975). Algumas das soluções
mais antigas podem ser encontradas, por exemplo, em Lorenz (1911).
Em Southwell (1913) e von Mises (1914) se encontram pesquisas realizadas
sobre a flambagem de cascas submetidas a pressão lateral uniforme.
Donnell (1933) desenvolve suas formulações através do estudo de cascas
cilíndricas sujeitas a carga torsional. Segundo Brush & Almroth (1975), a
formulação proposta por Donnell, apesar de certas limitações, forma o alicerce
para análises da estabilidade e vibrações de cascas no regime não linear, sendo até
hoje a teoria mais utilizada.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 25
Posteriormente, Thurston & Holston (1966) desenvolveram um trabalho
para a NASA1, alusivo à flambagem de cascas cilíndricas sob pressão interna.
A partir da década de 1960 já se encontram trabalhos referentes à dinâmica
não linear de cascas cilíndricas, como o de Chu (1961) que analisou as vibrações
de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas, deduzindo que a não linearidade faz
com que a frequência cresça com o aumento da amplitude de vibração.
Nesta época, Sanders (1961) desenvolveu sua teoria não linear para análise
de cascas finas, sendo esta considerada como uma das melhores aproximações de
primeira ordem para análise de problemas de instabilidade e dinâmica.
Brush & Almroth (1975) apresentam um estudo detalhado da flambagem de
casca cilíndricas usando a teoria de Donnell. Na mesma época, Donnell (1976)
publica um estudo detalhado sobre a flambagem de cascas e outros elementos
estruturais sob diversos carregamentos.
Gonçalves (1987) realizou a análise dinâmica linear e não linear de cascas
cilíndricas delgadas em um meio fluido usando as teorias de Sanders e Donnell-
Mushatari-Vlasov.
Prado (2001) estudou a instabilidade dinâmica de cascas cilíndricas,
destacando os fenômenos de acoplamento e interação modal, demonstrando sua
importância no comportamento dinâmico não linear de cascas cilíndricas. O
estudo das vibrações não lineares foi baseado nas equações não lineares de
Donnell para cascas abatidas.
Silva (2008) pesquisou as vibrações não lineares e instabilidade dinâmica de
uma casca cilíndrica contendo um fluido e desenvolveu modelos de dimensão
reduzida, isto é, modelos com um número reduzido de graus de liberdade,
baseados em métodos de perturbação. Esse estudo também teve por base a teoria
de Donnell para cascas abatidas.
Estes estudos consideraram cascas cilíndricas de material homogêneo e
isótropo, como as cascas metálicas. Shen (2009) enfatiza que, apesar de haver um
elevado número de publicações sobre placas e cascas, não há um único livro
inteiramente dedicado ao problema de cascas com material de gradação funcional.
1 NASA: National Aeronautics and Space Administration (United States of America). Em
Português significa: Administração Nacional do Espaço e da Aeronáutica (Estados Unidos da
América).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 26
Não obstante, Silva et al. (2006) relatam que desde 1999 têm sido
publicadas pesquisas sobre placas e cascas de materiais com gradação funcional.
Exemplo disso, é o trabalho de Loy et al. (1999) que apresentam resultados
obtidos para vibração livre de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas e feitas
com material de gradação funcional.
Shen (2009) relata em seu livro que:
MGF foram inicialmente concebidos como materiais de
barreira térmica para aplicações estruturais aeroespaciais e
reatores de fusão. Eles agora são desenvolvidos para uso
geral em componentes estruturais em ambientes extremos
de alta temperatura. A capacidade de prever a resposta de
placas e cascas de MGF, quando submetidos a cargas
térmicas e mecânicas, é de interesse primordial para a
análise estrutural. De fato, muitas estruturas são sujeitas a
elevados níveis de carga que podem resultar em relações
não lineares de carga-deflexão devido a grandes
deformações. Um dos problemas importantes que
merecem uma atenção especial é o estudo da sua resposta
não linear sob grandes deslocamentos, comportamento
pós-flambagem e vibração não linear.
1.3
Objetivos específicos e metodologia
O objetivo deste trabalho é realizar uma análise paramétrica das vibrações
livres não lineares de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional,
considerando um campo de tensões iniciais, preenchendo assim uma lacuna na
literatura técnica hoje existente. Para isto, utiliza-se a teoria não linear de cascas
de Sanders, considerada uma das teorias mais precisas para a análise de cascas
esbeltas. Inicialmente, derivam-se as equações de movimento considerando um
estado de tensões iniciais. Usando as equações linearizadas, obtêm-se as
frequências naturais e cargas críticas, sendo estes resultados comparados
favoravelmente com resultados encontrados na literatura para materiais
homogêneos e com gradação funcional. A seguir, usando uma expansão modal
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 27
que atende as condições de contorno e continuidade, além de expressar os
acoplamentos modais característicos de cascas cilíndricas no regime não linear, as
equações de movimento são discretizadas usando-se o método de Galerkin. As
equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson,
sendo assim obtida a relação não linear frequência-amplitude. Finalmente, realiza-
se uma análise paramétrica para estudar a influência da geometria da casca, da
gradação do material funcional, dos modos de vibração e do estado de tensões
iniciais no grau e tipo de não linearidade da casca cilíndrica, sendo esta a principal
contribuição deste trabalho de pesquisa. Na análise paramétrica, estuda-se
especificamente a influência da gradação do material, da geometria da casca, dos
modos de vibração e de um carregamento estático inicial nas frequências naturais
e na relação não linear frequência-amplitude.
1.4
Descrição dos capítulos da dissertação
Esta dissertação está dividida em oito capítulos, sendo o primeiro este de
introdução.
No segundo capítulo há a apresentação do sistema estrutural casca
cilíndrica. Em seguida, apresenta-se o desenvolvimento da formulação de casca
cilíndrica, usando a teoria não linear de cascas de Sanders. A formulação
correspondente à teoria de Donnell para cascas abatidas pode ser obtida como um
caso particular da formulação de Sanders. Especificamente, apresenta-se o campo
de deslocamentos, a lei constitutiva, os esforços de membrana e flexão, os
funcionais de energia, as três equações de equilíbrio e as condições de contorno
para uma casca cilíndrica biapoiada e submetida a um estado inicial de tensão
devido a cargas axiais ou pressão lateral.
O terceiro capítulo contém uma breve introdução sobre materiais
compósitos e, de forma mais específica, sobre materiais com gradação funcional.
Em seguida, apresenta-se a lei constitutiva do material com gradação funcional.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 28
No quarto capítulo faz-se inicialmente a análise linear de casca cilíndrica
com material isotrópico, isto para validar as formulações, e, em seguida, se realiza
a análise linear com material de gradação funcional. Neste capítulo, calculam-se
as frequências do sistema e as cargas críticas para diversas geometrias de cascas e
materiais constitutivos.
O quinto capítulo trata da análise não linear de casca cilíndrica. Este
capítulo apresenta inicialmente o processo de discretização das equações não
lineares de movimento usando o método de Galerkin e como funções de
interpolação expansões modais que atendem as condições de contorno e
continuidade, além de expressar os acoplamentos modais característicos de cascas
cilíndricas no regime não linear. Para a análise do sistema de contínuo
discretizado, utiliza-se o método de Newton-Raphson, obtendo-se assim as
amplitudes modais. Finalmente, apresenta-se uma análise paramétrica onde se
estuda a influência da geometria da casca, da gradação do material funcional e dos
modos de vibração no grau e tipo de não linearidade da casca cilíndrica.
O último capítulo apresenta de forma sucinta as conclusões e sugestões.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 29
2
Casca cilíndrica delgada
Inicia-se este capítulo com uma pequena introdução sobre cascas e, em
seguida, apresenta-se a teoria de cascas cilíndricas de Sanders. São apresentadas
as expressões para as rotações, deformações, mudanças de curvatura, esforços
normais e momentos, funcionais de energia e equações de equilíbrio, juntamente
com a formulação da estrutura sujeita a um estado de tensões inicial. Por fim,
mostra-se as condições de contorno
2.1
Introdução
Brush & Almroth (1975) afirmam que os cilindros são uma das
configurações mais comuns de cascas em aplicações estruturais. Afirmam também
que o estudo de cascas cilíndricas pode servir como uma introdução às
formulações para cascas com diferentes geometrias.
Cascas cilíndricas são usadas em muitas aplicações de engenharia e, devido
sua forma e capacidade de transporte de carga, são ideais para a indústria
aeroespacial e estruturas civis (Hrinda, 2012).
Ademais, são elementos estruturais que otimizam o material do qual são
fabricadas, tornando-se assim estruturas muito leves. De acordo com Hrinda
(2012), elas são projetadas para ter um peso mínimo e resistência máxima a várias
condições de carga.
Apresentam-se, respectivamente, nas Figuras 2.1 e 2.2 exemplos que
demonstram algumas das aplicações de cascas cilíndricas em estruturas
aeroespaciais e estruturas civis.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 30
(a) Saturno V
(b) Ariane V
(b) Saturno V – Estágio S-
II
Figura 2.1 – Estruturas cilíndricas aeroespaciais. Fonte: Hrinda (2012).
(a) Armazenamento a
granel
(b) Silo de grãos
(b) Tanque de água
elevado
Figura 2.2 – Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis. Fonte: Hrinda (2012).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 31
2.2
Formulação de casca
Seja uma casca cilíndrica esbelta de comprimento , espessura constante e
raio da superfície média Considera-se que a casca seja delgada de forma que
. Em geral, considera-se que a casca é esbelta quando:
Ademais, considera-se o material elástico, homogêneo e isotrópico,
possuindo densidade , módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson .
Adota-se um sistema de coordenadas cilíndrico , e (Figura 2.3), onde
, e denotam o campo de deslocamentos nas direções axial, radial e
circunferencial, respectivamente.
Figura 2.3 – Geometria da casca cilíndrica e seu sistema de coordenada. Fonte: Shah, Mahmood & Naeem (2009).
Na Figura (2.4) apresenta-se um elemento de casca cilíndrica em sua
configuração deformada com os esforços de membrana e de flexão. Na presente
dissertação, adota-se a teoria de Sanders. A escolha dessa teoria se deve ao fato da
mesma reter todos os termos não lineares essenciais à análise dinâmica de cascas
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 32
cilíndricas e de ser geralmente aceita como a melhor aproximação de primeira
ordem (Gonçalves, 1987).
Figura 2.4 – Elemento de casca cilíndrica na configuração deformada. Fonte: Gonçalves (1987).
Partindo da formulação geral de casca presente em Gonçalves (1987), as
rotações ( ) são dadas por:
(2.1a)
( ) (2.1b)
De forma análoga, as deformações específicas em um ponto da superfície
média da casca, segundo a teoria de Sanders, são dadas por:
(2.2a)
( )
( )
(2.2b)
( ) (2.2c)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 33
Adicionalmente, as mudanças de curvatura são:
(2.3a)
( ) (2.3b)
(
) (2.3c)
Nas Equações (2.1) a (2.3) ao se considerar , tem-se as expressões das
deformações e rotações para a teoria de Donnell (1933), (1934) e (1976), presente
também em Brush & Almroth (1975), sendo esta uma teoria mais simples porque
desconsidera alguns termos associados à curvatura inicial da casca na direção
circunferencial.
As deformações específicas em um ponto qualquer da casca a uma distância
da superfície média, com ⁄ ⁄ , são:
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
2.3
Esforços de membrana
De posse das deformações dadas pelas Equações (2.4) e da lei constitutiva,
obtêm-se as tensões da casca cilíndrica, a saber:
{ } [ ] { } (2.5)
onde { } e { } são respectivamente os tensores de tensão e deformação. A matriz
constitutiva [ ] depende do material adotado.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 34
Os esforços de membrana e os esforços de flexão são obtidos (Equações
2.6) pela integração das tensões ao longo da espessura da casca (Brush &
Almroth, 1975; Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959). Tem-se, pois:
∫ (
)
⁄
⁄
(2.6a)
∫ ⁄
⁄
(2.6b)
∫ (
)
⁄
⁄
(2.6c)
∫ ⁄
⁄
(2.6d)
∫ (
)
⁄
⁄
(2.6e)
∫ ⁄
⁄
(2.6f)
∫ (
)
⁄
⁄
(2.6g)
∫ ⁄
⁄
(2.6h)
Os esforços são visualizados na Figura (2.4).
Nas Equações (2.6) o termo ⁄ é desprezado, pois é muito pequeno,
compreendido entre ⁄ ⁄ e, dividido por , torna-se insignificante.
Ao realizar as integrais supracitadas, chega-se aos esforços , , , , ,
, e , em termos dos deslocamentos da superfície média e suas
derivadas:
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 35
{[
] [
( )
( )
]} (2.7a)
{[
( )
( )
] [
]} (2.7b)
[
( )]
( )
(2.7c)
{
[ ]} (2.7d)
{[ ] } (2.7e)
{
[ ]} ( ) (2.7f)
onde e são respectivamente a rigidez de membrana e a rigidez à flexão, sendo
para o material isotrópico iguais a:
(2.8a)
(2.8b)
2.4
Funcionais de energia
Considere a casca cilíndrica perfeita da Figura (2.5), com suas extremidades
simplesmente apoiadas e submetida a carregamentos de borda ( ), pressão lateral
interna ( ) e pressão lateral externa ( ).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 36
Figura 2.5 – Representação do carregamento aplicado à casca. Fonte: Silva (2008).
2.4.1
Energia interna de deformação elástica
A energia interna de deformação armazenada em um corpo elasticamente
deformado, , é dada por (Wang, 1953):
∭ ( )
(2.9)
Para o caso de uma casca cilíndrica delgada, Brush & Almroth (1975)
omitem os termos , e , e a Equação (2.9) reduz-se a:
∭( )
(2.10)
A relação das tensões com as deformações (Equações 2.11) para o caso
bidimensional advindas da lei generalizada de Hooke, são (Vlasov & Leont’ev,
1966):
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 37
( ) (2.11a)
( ) (2.11b)
( ) (2.11c)
O termo para a casca cilíndrica, equivale a um comprimento de arco
proveniente do produto do raio , e do ângulo ou seja:
(2.12)
Substituindo na Equação (2.10) as Equações (2.11), tem-se a Equação (2.13)
para a energia interna de deformação de uma casca cilíndrica:
( )∭(
) (2.13)
Ao realizar a integração desta equação com relação a , no intervalo de
⁄ a ⁄ , e substituindo na mesma as Equações (2.4), obtém-se:
( )∬{ [
( )
]
[
( )
]}
(2.14)
Observa-se que a energia interna de deformação pode ser escrita como a
soma de duas parcelas de energia, chamadas de energia de membrana ( ) e
energia de flexão ( ), dadas respectivamente por:
∬(
( )
) (2.15a)
∬(
( )
) (2.15b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 38
2.4.2
Energia cinética
Seja ( ) o campo de deslocamentos relativos à configuração
inicial de equilíbrio. Para um sistema submetido a um conjunto de forças
conservativas de superfície e de volume, mudando continuamente o seu estado de
equilíbrio entre os instantes e , tem-se a energia cinética dada por (Kraus,
1967):
∫
(2.16)
sendo a densidade da casca. Para uma casca cilíndrica homogênea isotrópica a
energia cinética é definida como:
∭ ( ) (2.17)
Integrando a energia cinética ao longo da espessura, tem-se:
∬( ) (2.18)
2.4.3
Energia potencial das cargas externas
A energia potencial, , das cargas externas é dada por:
∫
(2.19)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 39
onde, para casca cilíndrica, é um vetor de forças conservativas por unidade de
área.
∬( ) (2.20)
Entende-se e , como as componentes de forças na direção axial ( ) e
circunferencial ( ), respectivamente, e é a componente normal à superfície na
direção .
Para o carregamento considerado na Figura (2.5), o trabalho das forças
externas ( ) é dado por:
∬( )
∫ (2.21)
onde e designam a pressão lateral interna e externa, respectivamente,
atuantes na casca, enquanto indica o carregamento axial uniformemente
distribuído ao longo das bordas.
2.4.4
Trabalho das forças de dissipação
As forças de dissipação podem ser calculadas a partir da função da
dissipação de Rayleigh, que, segundo Popov et al. (1998), pode ser escrita como:
∭[ (
)]
∭[
( )( ) ]
(2.22)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 40
Integrando a Equação (2.22) em relação a , tem-se:
∬( )
∬( ) (2.23)
O primeiro termo representa as forças viscosas lineares decorrentes da
resistência do meio em que a casca está, enquanto o segundo termo designa as
forças viscosas elásticas do material da casca. Os termos e representam os
coeficientes de amortecimentos, dados por:
(2.24a)
(2.24b)
onde e são, respectivamente, os coeficientes de amortecimento viscoso e do
material e, é a menor frequência natural da casca cilíndrica, e o operador é
dado por:
(2.25)
2.5
Equações de equilíbrio
Após determinar os funcionais de energia nas seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e
2.4.4, tem-se a seguinte função de Lagrange ( ):
( ) (2.26)
onde é função de:
( )
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 41
As equações de Euler-Lagrange são, pois dadas por:
(
) [
(
)
(
)]
(2.27a)
(
) [
(
)
(
)]
(2.27b)
(
) [
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(2.27c)
Substituindo as Equações (2.15), (2.18) e (2.21) na Equação (2.26) e em
seguida nas Equações (2.27), chega-se às seguintes equações de movimento:
(2.28a)
( )
( )
(2.28b)
( )
( )
( )
( )
(2.28c)
2.6
Estado de tensão inicial
Considera-se agora a estrutura (Figura 2.3) inicialmente carregada quase
estaticamente até que atinja um estado de equilíbrio denominado fundamental ( ).
Posteriormente, carregando-a dinamicamente, o sistema passa a ocupar uma nova
configuração de equilíbrio denominado incremental ( ). Ademais, supõe-se
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 42
inicialmente, por simplicidade, que a casca cilíndrica está submetida a um estado
inicial de membrana (Brush & Almroth, 1975).
Partindo das Equações (2.28) de movimento e realizando simplificações
para que as mesmas atendam a um estado inicial de membrana, chega-se aos
esforços fundamentais de membrana:
(2.29a)
( ) (2.29b)
(2.29c)
Os novos esforços atuantes na casca são a soma dos esforços fundamentais
com os esforços incrementais (Brush & Almroth, 1975):
(2.30)
Por fim, substituindo as Equações (2.29) e (2.30) nas Equações (2.28),
chega-se às equações não lineares de movimento mostradas a seguir.
(2.31a)
{[ ( )
] ( ) }
(
)
(2.31b)
( )
[(
) ]
{[ ( )
] }
(
)
(
)
(2.31c)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 43
2.7
Condições de contorno
Sabe-se que a casca cilíndrica é completa na coordenada . Por conseguinte,
nesta direção, sua condição de contorno será substituída pela condição de
periodicidade (CP). Na direção axial se aplicam as condições de contorno (CC)
em .
A condição de periodicidade dos deslocamentos circunferenciais implica
em:
( ) ( ) (2.32)
Para uma casca simplesmente apoiada, os deslocamentos circunferenciais e
radiais devem ser nulos nas extremidades da casca, ou seja:
( ) ( ) (2.33a)
( ) ( ) (2.33b)
Igualmente, o momento e o esforço normal axial devem ser nulos na
extremidade da casca, a saber:
( ) ( ) (2.34a)
( ) ( ) (2.34b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 44
3
Material com gradação funcional
O capítulo contém uma breve descrição sobre materiais compósitos e
Materiais com Gradação Funcional (MGF), além de apresentar algumas leis de
variação das propriedades dos materiais ao longo da espessura da casca.
3.1
Introdução aos materiais compósitos
Reddy (2004) afirma que materiais compósitos são dois ou mais materiais
que combinados entre si em escala macroscópica formam um único material.
Segundo Jones (1975), a vantagem dos compósitos é que comumente conjugam as
melhores qualidades dos materiais constituintes, e apresentam frequentemente
algumas qualidades que não estão presentes nos materiais isolados.
Algumas das propriedades que usualmente são melhoradas com a formação
de um compósito são descritas abaixo (Jones, 1975):
Rigidez;
Resistência à corrosão;
Resistência ao desgaste;
Peso;
Resistência à fadiga;
Condutividade térmica;
Isolamento acústico.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 45
Naturalmente, nem todas as propriedades são melhoradas ao mesmo tempo.
A utilização dos materiais compósitos não tem sua utilização apenas
recentemente na história da humanidade. Jones (1975) afirma que sua origem é
desconhecida. Entretanto, em toda a história humana há referências a alguma
forma da utilização dos materiais compósitos.
Segundo Rezende & Botelho (2000), a partir da década de 1960, os
materiais compósitos de alto desempenho foram introduzidos na indústria
aeroespacial. Os mesmos autores relatam que o uso de compósitos está distribuído
a nível mundial nas seguintes proporções das indústrias:
Aeronáutica comercial 60%;
Defesa e espaço 20%;
Recreativo 10%;
Outras indústrias 10%.
3.2
Introdução aos materiais com gradação funcional
O conceito de Materiais com Gradação Funcional (MGF, ou FGM do inglês
Functionally Graded Materials) teve sua introdução em 1984 no Japão (Koizumi,
1997).
Segundo Albino (2011), os MGF são uma nova geração de compósitos
formados por duas ou mais fases constituintes, cuja principal característica é
possuir uma composição continuamente variável.
Na engenharia, especificamente, Albino (2011) relata que os MGF têm
melhores distribuições das tensões residuais, melhores propriedades térmicas, alta
tenacidade à fratura e reduzidos fatores de concentração de tensões, quando
comparados com outros compósitos ou materiais homogêneos.
Um esquema que mostra a microestrutura típica dos MGF com duas fases
constituintes (fase cerâmica e fase metálica) é apresentado na Figura 3.1. Percebe-
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 46
se que há uma variação gradual dos materiais constituintes. Na Figura 3.1, a cor
preta representa a fase metálica e a cor branca representa a fase cerâmica.
Figura 3.1 – Variação gradual dos materiais constituintes. Fonte: Modificada de Aboudi et al.(1999).
Segundo Sofiyev (2004), os MGF têm recebido considerável atenção como
uma classe de materiais compósitos avançados não homogêneos com a
possibilidade de ampla aplicação na engenharia.
Sofiyer (2009) explica que os MGF são feitos, genericamente, a partir da
mistura metal e cerâmica, por meio da variação gradual destes dois materiais,
embora outras misturas apareçam também na literatura. Wu et al. (2004) explicam
que há uma variação gradual na fração de volume dos materiais constituintes
(Figura 3.1) e desta mudança contínua de variação na composição resultam as
propriedades dos MGF.
Um dos processos mais comum de fabricação dos MGF, segundo Albino
(2011), dá-se pelo processo metalúrgico do pó em que materiais cerâmicos e
metálicos são misturados em um silo seguindo uma determinada fração de
volume. Essa mistura é então pulverizada sobre uma lamina e rapidamente
sintetizada usando-se laser2. A Figura 3.2 ilustra a explicação precedente.
2 Sigla em Inglês de light amplication stimulated emission of radiation. Em Português significa:
Amplificação de luz por emissão estimulada de radiação.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 47
Figura 3.2 – Esquerda: Mostra a geração de um composto metal/carboneto feito com feixe de laser. Direita: Mostra um tubo com gradação funcional não na direção longitudinal. Fonte: Kieback et al. (2003).
Na Figura 3.3, exibe-se uma microestrutura real onde partículas de um
material denominado por Kieback et al. (2003) de WC são introduzidos, através
do processo de dispersão, na liga Cu/Mn (Cobre/Magnésio).
Figura 3.3 – Micrografia de um gradiente de liga de WC/Cu/Mn e a distribuição espacial da correspondente concentração de partículas WC. Fonte: Kieback .et al. (2003).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 48
Atualmente, os MGF estão disseminados em vários ramos da indústria.
Como exemplo, pode-se citar a sua utilização na indústria offshore, mais
especificamente nas estruturas de risers (linhas flexíveis), as quais são estruturas
em formato de cascas que servem em geral para transportar óleo, desde a “cabeça”
do poço até as plataformas baseadas em sistemas flutuantes (Albino, 2011).
3.3
Propriedades do MGF
Para cascas cilíndricas com gradação funcional, autores distintos em
trabalhos anteriores consideram as propriedades materiais variando ao longo da
espessura. Assim, nesta direção há uma variação contínua do módulo de
elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade do material.
Sofiyev (2004 e 2009) propôs para um material composto de cerâmica ( ) e
metal ( ) a seguinte lei de variação:
( ) (3.1a)
( ) (3.1b)
( ) (3.1c)
onde é o volume do material cerâmico, que pode variar na forma linear,
quadrática, quadrática inversa e cúbica, como detalhado a seguir:
(3.2a)
( ) (3.2b)
( ) (3.2c)
( ) ( ) (3.2d)
onde ⁄ é a coordenada adimensional da espessura ( ⁄ ⁄ ).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 49
O volume relativo dos dois materiais obedece à relação:
(3.3)
A variação da porcentagem volumétrica de cerâmica através da espessura da
casca cilíndrica é mostrada na Figura 3.4, considerando as quatro Equações (3.2).
Figura 3.4 – Variação do volume de cerâmica ao longo da espessura da casca cilíndrica. O sentido horizontal representa a coordenada , e o sentido vertical a espessura .
Bahtui & Eslami (2005) escrevem a lei de variação dos materiais em função
do volume relativo de metal e de cerâmica, e , respectivamente, que são
determinados como:
(3.4a)
(3.4b)
com:
(3.5)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 50
Os autores também propõem as expressões:
(
)
(3.6a)
(3.6b)
onde o índice representa a variação do material ao longo da espessura da casca
cilíndrica, sendo k igual ou maior que zero. O valor igual a zero representa um
material homogêneo (no caso metal). Quando tende ao infinito, há a
predominância de cerâmica (Bahtui & Eslami, 2005).
Para tal lei de variação dos volumes, Bahtui & Eslami (2005) estabelecem
que o módulo de elasticidade e a densidade variam segundo as relações:
( ) (3.7a)
( ) (3.7b)
Bahtui & Eslami (2005) não estabelecem, contudo, uma variação para o
coeficiente de Poisson.
3.4
Formulação do problema
Usar-se-á aqui as formulações propostas por Bahtui & Eslami (2005),
considerando adicionalmente a seguinte variação para o coeficiente de Poisson:
( ) (3.8)
Assim, tem-se que:
; ; ; em (3.9a)
; ; ; em (3.9b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 51
A Figura 3.5 ilustra uma distribuição esquemática dos materiais ao longo da
direção .
Figura 3.5 – Representação esquemática da distribuição dos materiais ao longo da espessura da casca cilíndrica.
Considerando um valor médio das propriedades da casca ao longo da
espessura, tem-se, a lei constitutiva:
{
}
[
( )]
{
} (3.10)
onde:
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11a)
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11b)
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11c)
Entretanto, para levar em consideração a gradação de forma mais precisa,
deve-se modificar a matriz constitutiva. Deve-se, neste caso, substituir as
Equações (3.7) nas Equações (2.15), (2.18) e (2.21) e integrar os funcionais de
Cerâmica
+h/2
-h/2
+h/2
-h/2
Liga Metálica
Cerâmica
+h/2
-h/2
+h/2
-h/2
Liga Metálica
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 52
energia em . Isto gera um acoplamento entre os esforços de membrana e flexão,
adicionando novos termos às Equações (2.15), (2.18) e (2.21).
Assim, as relações entre os esforços e as deformações específicas passam a
ser dados por:
{
}
[ ]
{
}
(3.11)
onde
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
(3.12)
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
e
( ) (3.13)
Os termos Bij expressam o acoplamento entre os esforços de membrana e
flexão.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 53
4
Análise linear
O presente capítulo apresenta a análise linear da casca cilíndrica, mostrando
as equações de equilíbrio linearizadas, o cálculo das frequências naturais e o
cálculo das cargas críticas. Além disso, mostram-se comparações das frequências
naturais e das cargas críticas, aqui calculadas, com diversos outros trabalhos
presentes na bibliografia. Estes cálculos serão realizados tanto para materiais
isotrópicos como para MGF.
4.1
Introdução
As três Equações (2.28) não lineares de movimento, vistas no Capítulo 2,
podem ser escritas em função do campo de deslocamentos , e , resultando
nas Equações (4.1). Estas equações são para um MGF, onde há algumas
modificações no funcional de energia e nos esforços de membrana e flexão, como
visto no capítulo anterior (Equação 3.11).
(4.1a)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 54
(4.1b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 55
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 56
(4.1c)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 57
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 58
Os modos de vibração para uma casca cilíndrica simplesmente apoiada ou
infinitamente longa, que atendem as condições de contorno especificadas no
Capítulo 2, são dados por:
(4.2a)
(4.2b)
(4.2c)
onde ⁄ , sendo o número de semi-ondas longitudinais, o número de
ondas circunferenciais, a frequência circular, √ e , e são
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 59
as amplitudes dos modos de vibração. Por fim, a expressão denota a função
harmônica ( ( )).
Ao substituir as Equações (4.2) e suas respectivas derivadas no tempo, em
e em nas Equações (4.1) linearizadas, chega-se à matriz de massa ,
sendo a matriz identidade, e a matriz de rigidez De posse destas matrizes,
obtém-se o problema de autovalor:
{[
] [
]} {
} { } (4.3)
onde:
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
(4.4d)
(4.4e)
(4.4f)
Os autovalores da equação | | são as frequências naturais de
vibração da casca e os autovetores, os modos de vibração.
A seguir, estudam-se as frequências naturais e as cargas críticas.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 60
4.2
Frequências naturais
4.2.1
Material homogêneo isotrópico
Na Tabela 4.1, comparam-se os valores das menores frequências naturais
( ) (que corresponde ao modo de vibração predominantemente radial, isto é, em
) obtidas neste trabalho utilizando-se tanto a teoria de Sanders ( ) quanto a
teoria de Donnell ( ), com os encontrados por Shah et al. (2009) e Gonçalves
& Ramos (1996) para uma casca com m, m e m.
Considera-se e valores crescentes de ( ). As propriedades do
material da casca são:
; ;
.
Tabela 4.1 – Comparação das frequências naturais ( e ).
Shah et al.
(2009)
Gonçalves & Ramos (1996)
Presente Trabalho
n (Hz) (Hz) (Hz)
( ) * ** ( ) * ** 7 301,60 305,22 303.35 0,58 -0,61 301.94 0,11 -1,07
8 278,64 281,31 280.94 0,83 -0,13 279.01 0,13 -0,82
9 286,02 288,24 288.71 0,94 0,16 286.38 0,13 -0,65
10 315,51 317,49 318.41 0,92 0,29 315.84 0,10 -0,52
11 360,36 362,20 363.33 0,82 0,31 360.65 0,08 -0,43
12 416,19 417,94 419.19 0,72 0,30 416.44 0,06 -0,36
Propriedades da casca:
; ;
.
*Diferença percentual entre Shah et al. e o presente trabalho (%) **Diferença percentual entre Gonçalves & Ramos e o presente trabalho (%)
A Tabela 4.1 omite as frequências naturais referentes às direções e da
casca.
A Tabela 4.2, apresenta as frequências naturais calculadas desprezando-se
os termos de inércia nas duas primeiras equações de movimento (4.1a, b),
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 61
hipótese usual quando se deseja obter apenas as menores frequências de vibração
da casca.
Tabela 4.2 – Comparação das frequências naturais para nas duas primeiras equações de movimento ( e ).
Shah et al.
(2009)
Gonçalves & Ramos (1996)
Presente Trabalho
n (Hz) (Hz) (Hz)
( ) * ** ( ) * ** 7 301,60 305,22 306,74 1,70 0,50 305,32 1,23 0,03
8 278,64 281,31 283,32 1,68 0,71 281,37 0,98 0,02
9 286,02 288,24 290,63 1,61 0,83 288,28 0,79 0,01
10 315,51 317,49 320,10 1,45 0,82 317,52 0,64 0,01
11 360,36 362,20 364,92 1,27 0,75 362,22 0,52 0,01
12 416,19 417,94 420,71 1,09 0,66 417,96 0,43 0,00
Propriedades da casca:
; ;
;
; ; . *Diferença percentual entre Shah et al. e o Presente Trabalho (%) **Diferença percentual entre Gonçalves & Ramos e o Presente Trabalho (%)
Constata-se que os valores presentes na Tabela 4.2 são maiores que os da
Tabela 4.1 e mais próximos dos valores encontrados por Gonçalves & Ramos
(1996). Todavia, os valores presentes na Tabela 4.1 são mais próximos dos
obtidos por Shah et al. (2009). Em ambos os casos a frequência fundamental
ocorre para e .
O cálculo do erro relativo, , é usado como forma de comparar a
proximidade dos resultados.
(
) PT-presente trabalho; e T-trabalho comparado (4.5)
Para melhor ratificar os resultados aqui obtidos com as equações de
Sanders, apresenta-se na Tabela 4.3 uma comparação das frequências naturais
com diversos trabalhos anteriores a este. Considera-se nesta tabela .
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 62
Tabela 4.3 – Comparação das frequências naturais com diversos trabalhos.
m n Gasser (1987)
Dym (1973)
Gonçalves & Ramos (1996)
Soares (2005)
Silva (2008)
Presente Trabalho
1 5 --- --- --- 479,45 476,97 471,92
1 6 --- --- --- 366,62 364,67 360,31
1 7 318 305,32 305,22 304,44 303,35 299,06
1 8 278 281,37 281,31 281,09 280,94 276,34
1 9 290 288,28 288,24 288,14 288,71 283,65
1 10 334 317,51 317,49 317,56 318,40 312,82
1 11 362 362,22 362,20 362,79 363,33 357,20
1 12 418 417,96 417,94 419,54 419,19 412,47
1 13 478 482,23 482,22 485,62 483,51 476,16
1 14 550 553,67 553,67 559,70 554,97 546,95
Propriedades da casca:
; ;
; ;
; .
Fonte: Silva (2008).
Vê-se que os valores encontrados neste trabalho de dissertação estão em
conformidade com as formulações para cascas cilíndricas isotrópicas. Já para
cascas cilíndricas com MGF, formulação presente no Capítulo 3 desta dissertação,
ver-se-á que também estão em conformidade com os valores obtidos em trabalhos
anteriores.
4.2.2
Material com gradação funcional
As frequências naturais para uma casca de material com gradação funcional
também são comparadas com aqueles obtidos por Shah et al. (2009). A Tabela 4.4
mostra os resultados para um expoente de gradação igual a 0,5.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 63
Tabela 4.4 – Comparação das frequências naturais para MGF com ( ⁄ ⁄ ).
Shah et al.
(2009)
Presente Trabalho
, nas duas primeiras Equações.
, e , para
n (Hz) (Hz) (Hz)
( ) ( ) ( ) ( )
1 13,3210 19,0134 42,73 19,0077 42,69 13,3728 0,39 13,3688 0,36
2 4,5168 5,1753 14,58 5,0310 11,38 4,6261 2,42 4,4972 -0,43
3 4,1911 4,6447 10,82 4,2454 1,30 4,4058 5,12 4,0270 -3,92
4 7,0972 7,4035 4,32 6,9536 -2,02 7,1821 1,20 6,7457 -4,95
5 11,3360 11,4312 0,84 10,9761 -3,17 11,2090 -1,12 10,7628 -5,06
⁄
⁄
⁄
⁄
A Tabela 4.4 apresenta os resultados considerando somente a inércia em ,
fazendo nas duas primeiras Equações (4.1), e a inércia nas três direções ( ,
e ), tanto para a teoria de Sanders quanto para a teoria de Donnell.
Constata-se que na Tabela 4.4 os valores das frequências naturais são mais
próximos aos do trabalho de Shah et al. (2009) quando se considera o
(Sanders) e a inércia nas três direções ( , e ).
Tabela 4.5 – Comparação das frequências naturais para MGF com ( ⁄ ⁄ ).
Shah et al.
(2009)
Presente Trabalho
, nas duas primeiras Equações.
, e , para
n (Hz) (Hz) (Hz)
( ) ( ) ( ) ( ) 1 13,3210 18,5511 41,80 18,5455 41,75 13,0477 -0,62 13,0437 -0,65
2 4,5168 5,0494 14,60 4,9087 11,11 4,5136 2,40 4,3879 -0,72
3 4,1911 4,5318 14,61 4,1421 4,54 4,2986 8,71 3,9291 -0,85
4 7,0972 7,2235 8,87 6,7845 2,24 7,0075 5,61 6,5817 -0,82
5 11,3360 11,1533 -3,38 10,7092 -7,23 10,9365 -5,26 10,5011 -9,03
⁄
⁄
⁄
⁄
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 64
A Tabela 4.5 apresenta uma comparação semelhante à da Tabela 4.4,
considerando neste caso um valor de .
Nas Tabelas 4.6 e 4.7 comparam-se as frequências naturais aqui obtidas com
as apresentadas no trabalho de Arshad et al. (2011) para um material composto de
aço e níquel, considerando respectivamente o material aço inoxidável na parte
externa e o material níquel na parte interna da casca e o oposto. Nestas tabelas se
considera a inércia nas três direções ( , e ).
Tabela 4.6 – Frequências para aço inoxidável na parte externa e níquel na parte interna ( ⁄ ⁄ ).
n Arshad et al. (2011) Presente trabalho ( )
1 13,321 13,211 12,998 13,3688 13,2582 13,0437
2 4,5162 4,5162 4,4063 4,4972 4,460 4,3879
3 4,1903 4,1561 4,0884 4,0270 4,9937 3,9291
4 7,0967 7,0379 6,9247 6,7457 6,6899 6,5817
5 11.335 11,241 11,061 10,7628 10,6737 10,5011
⁄
⁄
⁄
⁄
Tabela 4.7 – Frequências para material níquel na parte externa e aço inoxidável na parte interna ( ⁄ ⁄ ).
n Arshad et al. (2011) Presente trabalho ( )
1 13,103 13,221 13,433 13,1499 13,2582 13,4817
2 4,4376 4,4736 4,5498 4,4235 4,4600 4,5352
3 4,1145 4,1478 4,2181 3,9610 4,9937 4,0610
4 6,9749 7,0325 7,1505 6,6352 6,6899 6,8026
5 11,145 11,237 11,425 10,5865 10,6737 10,8536
⁄
⁄
⁄
⁄
Finalmente, comparam-se as frequências naturais do presente trabalho com
as do trabalho de Iqbal et al. (2009). Tal comparação se encontra na Tabela 4.8.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 65
Tabela 4.8 – Comparação das frequências naturais com MGF ( ⁄ ⁄ ).
n Iqbal et
al. (2009) Presente trabalho
Iqbal et al. (2009)
Presente trabalho
Iqbal et al. (2009)
Presente trabalho
1 13,321 13,369 13,211 13,258 12,933 12,978
2 4,5162 4,4972 4,479 4,460 4,383 4,366
3 4,1903 4,0270 4,156 3,994 4,065 3,909
4 7,0967 6,7457 7,0379 6,6899 6,885 6,549
5 11,335 10,7628 11,2407 10,6737 10,998 10.448
6 16,5935 15,7535 16,4549 15,6232 16,101 15,293
7 22,8258 22,6699 22,6349 21,4907 22,148 21,037
8 30,0225 28,5023 29,771 28,267 29,132 27,670
9 38,1811 36,2478 37,8615 35,9480 37,048 36,189
10 47,3005 44,9056 46,9046 44,5342 45,897 43,594
⁄ ⁄
⁄
⁄
4.3
Carga crítica
A matriz geométrica ( ) provém das Equações (2.32). Apresenta-se a seguir
a matriz geométrica para uma carga axial ( ) e a matriz geométrica para uma
carga lateral ( ), respectivamente.
[
] (4.5a)
[
]
(4.5b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 66
Ao fazer | | , encontram-se os autovalores que neste caso são as
cargas críticas.
4.3.1
Material isotrópico
Comparam-se na Tabela 4.9 os valores das cargas críticas laterais com as
encontradas no trabalho de Huang et al. (2011).
Tabela 4.9 – Carga crítica lateral (x10-4
MPa) para casca cilíndrica homogênea.
⁄ ⁄ Huang et al.
(2011) Presente ( ) Presente ( )
0,5 300 2809,31(1,16)
a 2849,291(1,15) 2831,316(1,15)
3000 7,94526(1,29) 8,04951(1,28) 8,03428(1,28)
1
300 1294,65(1,11) 1310,55 1294,69
500 353,781(1,13) 359,430 356,115
1000 61,3375(1,15) 62,3726 61,9674
1500 21,9684(1,17) 22,4337 22,3155
2000 10,6375(1,18) 10,8823 10,8328
3000 3,83065(1,20) 3,92663 3,91209
2 300 617,626(1,8) 629,506 614,824
3000 1,89097(1,14) 1,94469 1,93051
3 300 413,996(1,7) 424,150 409,944
3000 1,25669(1,12) 1,29214 1,27813
5 300 239,831(1,5) 246,466 232,778
3000 0,748563(1,9) 0,770329 0,756483
aOs números entre parênteses denotam o modo de flambagem (m,n)
Nota-se que os valores das cargas críticas laterais obtidos com a teoria de
Sanders ( ) são mais próximos dos valores encontrados em Huang et al.
(2011) que os obtidos com a teoria de Donnell ( ).
A Figura 4.1 apresenta para a primeira geometria de casca cilíndrica
presente na Tabela 4.9 a variação das cargas de bifurcação para valores crescentes
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 67
do número de semi-ondas axiais ( ) em função do número de ondas
circunferenciais ( ) para um material isotrópico.
Figura 4.1 – Gráfico variando em função de .
Constata-se que quanto maior o número de semi-ondas longitudinais ( ),
maior será a carga de bifurcação, ocorrendo sempre a carga crítica para m=1. O
valor de relacionado à carga crítica lateral depende da geometria da casca
cilíndrica.
4.3.2
Material com gradação funcional
Na Tabela 4.10 comparam-se as cargas críticas lateral e axial para uma
casca com MGF com os resultados obtidos por Huang et al. (2011). As
propriedades da casca cilíndrica estão logo abaixo da Tabela 4.10. Mostram-se
nesta tabela as cargas críticas para e para . Importante salientar que
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 68
os valores das cargas críticas, tanto para as cargas axial e lateral, são menores
quando a teoria de Sanders é considerada, ou seja, quando . Quanto maior o
valor do maior a quantidade de aço inoxidável comparada à de nitreto de silício.
Tabela 4.10 – Cargas críticas (MPa) da casca cilíndrica com MGF ( ⁄ , ⁄ ).
Huang et al. (2011)
Presente
Presente
Huang et al. (2011)
Presente
Presente
Nitreto de
silício 387,631
388,693 (1,8)
a 382,248
(1,8) 0,0272
0,0270 (1,9)
0,0265 (1,9)
361,612 362,872
(1,8) 356,895
(1,8) 0,0252
0,0251 (1,9)
0,0247 (1,9)
337,604 339,843
(1,8) 334,248
(1,8) 0,0235
0,0235 (1,9)
0,0231 (1,9)
316,294 319,654
(1,8) 314,354
(1,8) 0,0221
0,0222 (1,9)
0,0218 (1,9)
297,745 301,584
(1,8) 296,512
(1,8) 0,0209
0,0211 (1,9)
0,0207 (1,9)
279,521 282,454
(1,8) 277,644
(1,8) 0,0198
0,0199 (1,9)
0,0195 (1,9)
268,970 270,945
(1,8) 266,341
(1,8) 0,0191
0,0190 (1,9)
0,0187 (1,9)
261,163 262,493
(1,8) 258,064
(1,8) 0,0185
0,0184 (1,9)
0,0180 (1,9)
Aço inoxidável
249,933 253,366
(1,8) 249,145
(1,8) 0,0175
0,0176 (1,9)
0,0173 (1,9)
aOs números entre parênteses denota o modo de flambagem (m,n)
Percebe-se que os valores mostrados na tabela acima estão em concordância
com os valores obtidos por Huang et al. (2011), tanto para o como para o
.
A Figura 4.2 apresenta a variação da carga crítica axial e lateral com o valor
de k. Verifica-se que a carga crítica tende, à medida que k cresce, ao valor da
carga crítica de uma casca de aço inoxidável. A variação se deve basicamente à
diferença no módulo de elasticidade dos dois materiais (
).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 69
0 10 20 30
k
240
280
320
360
400P
cr Variação da carga crítica axial
Huang et al. (2011)
alpha=1
alpha=0
(a)
0 10 20 30
k
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
qcr Variação da carga crítica lateral
Huang et al. (2011)
alpha=1
alpha=0
(b)
Figura 4.2 – Variação da carga axial crítica, e da carga lateral crítica, em função do parâmetro de gradação .
Nota-se que na Figura 4.2a a teoria de Sanders ( ) apresenta maiores
cargas críticas axiais em comparação com as de Huang et al. (2011), enquanto a
teoria de Donnell ( ) apresentam menores cargas críticas axiais. Já na Figura
4.2b, a teoria de Donnell ( ) distingue-se mais que a de Sanders ( ) dos
valores obtidos por Huang et al. (2011).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 70
5
Análise não linear
Este capítulo apresenta os resultados da análise não linear da casca
cilíndrica sob vibração livre. Mostra-se o processo de discretização da casca
utilizado o método de Galerkin e como as equações discretizadas são resolvidas
pelo método de Newton-Raphson para se obter a relação frequência-amplitude.
5.1
Introdução
Após a análise linear de cascas cilíndricas, apresenta-se agora a análise não
linear do problema. Inicialmente, deve-se obter os modos de vibração não lineares
(Equações 4.2) para uma casca cilíndrica biapoiada e que atendam além das
condições de contorno, as condições de periodicidade.
A obtenção dos modos de vibração não lineares foi apresentada no trabalho
de Gonçalves (1987) e, de maneira mais geral, no trabalho de Silva (2008), a
partir do método de perturbação.
Gonçalves (1987) explica que existem dois tipos de modos, os clássicos
(principais) e os secundários, sendo estes últimos adotados para que se tenha uma
solução fisicamente consistente, ou seja, eles são os modos que se acoplam com
os modos principais. Ainda, segundo o autor, o acoplamento modal é
característico da não linearidade do problema. Aqui se usa a seguinte aproximação
para os modos não lineares de vibração:
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 71
(5.1a)
(5.1b)
(5.1c)
onde ⁄ e,
( ) [ ( )
( )] (5.2a)
( ) ( ) ( ) (5.2b)
( ) ( ) [ ( )
( )] (5.2c)
( ) ( ) ( ) (5.2d)
( ) ( ) ( ) (5.2e)
( ) [ ( )
( )] (5.2f)
( ) ( ) ( ) (5.2g)
( ) ( ) [ ( ) ] (5.2h)
( ) ( ) ( ) (5.2i)
( ) ( ) ( ) (5.2j)
( ) [ ( )
( )
] (5.2k)
( ) ( ) ( ) (5.2l)
Nota-se que nas expressões (5.2), os termos ,
e são iguais às
Equações (4.2) para o caso linear. Estes termos, como já mencionado, são os
modos clássicos. Os outros termos são os modos secundários.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 72
5.2
Utilização do método de Galerkin
Sabe-se que o método de Galerkin é um caso particular do método de
resíduos ponderados, e pode ser aplicado a problemas de contorno que não podem
ser reduzidos aos variacionais (Rezende, 2005). O Método de Galerkin é aqui
utilizado para passar o sistema que é contínuo para um sistema discretizado. Para
tal, as funções de interpolação precisam atender a todas as condições de contorno
(ver seção 2.5.1.).
Para se obter as equações discretizadas, as Equações (5.1), juntamente com
suas derivadas, são substituídas nas três equações de equilíbrio (Equações 4.1)
que estão em função dos deslocamentos , e , e integra-se ao longo do
domínio e de um período natural (procedimento de Galerkin-Urabe), obtendo-se:
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3a)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3b)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3c)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3d)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3e)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3f)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3g)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3h)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3a)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 73
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3i)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3j)
∫ ∫ ∫
⁄
(5.3k)
onde as funções peso as funções mostradas nas Equações (5.2)
Ao se resolver as integrais das Equações (5.3), obtém-se um sistema com 12
equações algébricas não lineares. Estas equações estão em função das constantes
presentes nas Equações (5.1): , , , , , , , , , , e . O
passo seguinte consiste em calcular o valor destas constantes, que nada mais são
que as amplitudes modais do sistema, para um dado valor de frequência.
Devido o número de modos adotados e por se utilizar a teoria de Sanders, os
resultados das Equações (5.3) são excecivamentes longos. Elas são apresentadas
no Apêndice A1 para o caso isotrópico.
5.3
Implementação do método de Newton-Raphson
Para se chegar ao valor das constantes (amplitudes modais) mencionadas na
seção 5.2, usa-se o método de Newton-Raphson (NR). Esse método está baseado
na expansão das equaçõs não lineares em séries de Taylor (Venegas, 2007).
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
(5.4)
Truncando a Equação (5.4) na primeira derivada e fazendo ( ) ,
resulta na equação:
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 74
( )
( ) (5.5)
Passando a expressão (5.5) para o problema desta dissertação, tem-se a
Equação (5.6), que está na forma generalizada para aplicação no algoritmo de
Newton-Raphson.
( )
(5.6)
A expressão designa o vetor das variáveis, ou seja, das constantes que
se deseja obter. é a matriz hessiana, também chamada por Demidovich (1973)
de matriz Jacobiana, é o vetor gradiente e o índice indica a iteração. Tem-se,
pois:
{ } (5.7a)
[
]
(5.7b)
{ } (5.7c)
Entretanto, para o caso de vibração livre, a solução do sistema resulta
sempre na solução trivial. Para resolver este problema, considera-se a frequência
como uma variável e adotar-se-a como parâmetro de controle o deslocamento
radial . Tem-se, pois:
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 75
{ } (5.8a)
[
]
(5.8b)
{ } (5.8c)
A escolha de como parâmetro de controle mostra-se bastante eficiente,
pois sempre se obtém convergência com poucas iterações. O valor numérico
inicial para esta amplitude foi sempre de e variou-se a amplitude até 1, o que
corresponde a uma amplitude de vibração igual a espessura da casca.
5.4
Análise das vibrações livres não lineares e não amortecidas
Após empregar o método de Galerkin e resolver o sistema com NR,
utilizando como parâmetro de controle , obtém-se a relação não linear
frequência-amplitude. Apresenta-se na Figura 5.1 a variação de todas as
amplitudes modais em função da frequência de vibração. A geometria e as
propriedades do material isotrópico são as mesmas encontradas na Tabela 4.1.
Observa-se na Figura 5.1 que, conforme cresce a amplitude a frequência
natural aumenta, apresentando a casca um comportamento com ganho de rigidez
(hardening). Observa-se que , que corresponde à amplitude do modo de
vibração clássico na direção radial, é a maior amplitude modal, o que é esperado,
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 76
já que o modo é predominantemente radial. As outras amplitudes modais são bem
menores, mas todas são diferentes de zero, indicando a presença do acoplamento
modal não linear.
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
A1
(a)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.00012
-8E-005
-4E-005
0
A4
(d)
1708 1710 1712 1714 1716
w
0
1E-005
2E-005
3E-005
4E-005
A5
(e)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-1E-006
-8E-007
-6E-007
-4E-007
-2E-007
0
A6
(f)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 77
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.16
-0.12
-0.08
-0.04
0B
1
(g)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
1708 1710 1712 1714 1716
w
0
1E-005
2E-005
3E-005
4E-005
B3
(i)
1708 1710 1712 1714 1716
w
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
B4
(j)
1708 1710 1712 1714 1716
w
0
0.01
0.02
0.03
0.04
F1
(k)
1708 1710 1712 1714 1716
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.1 – Variação das amplitudes modais em função da frequência de vibração - e
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 78
Para efeito de verificação e ratificação dos resultados, considera-se agora a
mesma geometria e propriedades de uma casca cilíndrica esbelta analisada por
Gonçalves (1987), e aplica-se o mesmo processo descrito nas seções 5.2 e 5.3. Os
resultados são apresentados nas Figuras 5.2, que estão de acordo com o trabalho
tomado como referência. Contudo, ao contário do exemplo anterior, ocorre agora
um decréscimo na frequência natural à medida que amplitude modal cresce
(Figura 5.2l), indicando um corportamento com perda de rigidez (softening).
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
A1
(a)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-0.06
-0.04
-0.02
0
A2
(b)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-8E-005
-6E-005
-4E-005
-2E-005
0
A4
(d)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 79
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
2E-005A
5
(e)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
0
1E-005
2E-005
3E-005
B3
(i)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 80
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02F
1
(k)
3042.2 3042.25 3042.3 3042.35 3042.4 3042.45 3042.5
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.2 – Frequência natural em função das amplitudes modais. , ⁄ , , ⁄ , e .
5.4.1
Material com gradação funcional para o caso não linear
Para uma casca cilíndrica com MGF, utiliza-se como exemplo a mesma
geometria encontrada no trabalho de Gonçalves (1987), entretanto, não mais com
apenas um material e sim com dois, que são o aço e o níquel, cujas propriedades
são dadas na Tabela 5.1. Consideram-se os mesmos valores de (0,5, 1 e 5)
usados na Tabela 4.6. A predominância do aço está na parte externa da casca, já o
níquel predomina na parte interna, como apresentado no capítulo 3 desta
dissertação.
Vale lembrar que o níquel ( ) é classificado na tabela periódica como um
metal de transição, não obstante, aqui ele será denomindo genericamente com um
material cerâmico para distinguí-lo do material aço que é uma liga metálica entre
o ferro ( ), que também é classificado como metal de transição, e o carbono ( ),
que é não metálico.
Tabela 5.1 – Propriedades dos materiais aço e níquel para uma casca com MGF.
( ⁄ ) ( ⁄ )
Aço 2,07788x105
0,317756 8,166x10-9
Níquel 2,05098x105 0,31 8,900x10
-9
Fonte: Arshad et al. (2010).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 81
Para o material com gradação funcional e a frequência natural
aumenta conforme a amplitude modal cresce (Figura 5.3), exibindo a casca
neste caso um ganho de rigidez, ao contrário da casca isotrópica cujos resultados
foram mostrados na Figura 5.2. Para este valor de o número de ondas associado
à frequência mínima não muda, ou seja, o número de ondas circunferênciais
permanesse o mesmo nesta estrutura independente do material ( e ).
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
A1
(a)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 82
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
2E-006
4E-006
6E-006
8E-006
1E-005
B3
(i)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 83
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02F
1
(k)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.3 – Frequencia natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .
A Figura 5.4 mostra os resultados para , onde observa-se um
comportamento não linear semelhante ao da Figura 5.3, onde também se tem um
aumento da frequência natural. Todavia, as frequências naturias são menores em
termos absolutos.
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
A1
(a)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 84
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 85
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005B
3
(i)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
F1
(k)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.4 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .
Assim como as figuras anteriores 5.3 e 5.4, a Figura 5.5 apresenta um
aumento na não linearidade conforme se eleva o valor da constante para .
Contudo, os valores absolutos da frequência natural são menores em comparação
com os das variações para e .
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 86
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0A
1
(a)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 87
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
B3
(i)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
F1
(k)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.5 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 88
Para melhor entedimento dos resultados, a Figura 5.6a mostra a variação dos
dois materiais componentes ao longo da espessura e a Figura 5.6b mostra a
relação frequência-amplitude para os três valores de usados nos exemplos
anteriores. Observa-se que, embora o valor de k tenha influência na frequência
natural, sua influência no grau e tipo de não linearidade da casca é muito pequena.
(a)
1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Variação de kk=0,5
k=1
k=5
(b)
Figura 5.6 – (a)Variação do volume dos materiais aço e níquel ao longo da espessura da casca cilíndrica com MFG. (b) Variação da frequência natural para os valores de considerados nas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5.
5.5
Análise paramétrica
Prosseguindo-se com o mesmo material adotado no ítem anterior (MGF aço
e níquel), faz-se agora uma variação da geometria da casca cilíndrica. As
geometrias a serem analisadas são apresentadas na Tabela 5.2. Conserva-se o
valor da espessura ( ) da casca constante, variando-se os valores de e . Desta
forma, analisa-se um amplo espectro de relações geometricas ⁄ e ⁄ .
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 89
Tabela 5.2 – Dimensões de cascas cilíndricas variando os valores e o , e .
I II III IV V VI VII
(mm) 410 820 410 205 410 410 300
(mm) 300 300 600 300 150 410 300
(mm) 1 1 1 1 1 1 1
Para melhor entender a casca cilíndrica e seu material, apresenta-se a Figura
5.7, onde se mostra por meio das cores verde ( ) para o aço e vermelho ( ) para o
níquel a variação dos materiais ao longo da espessura de um elemento de casca
cilíndrica.
(a) Visualização interna da casca
(b) Visualização externa da casca
Figura 5.7 – Amostra genérica de um pedaço de casca cilíndrica com MGF. O vermelho ( ) representa o níquel e o verde ( ) representa o aço.
Antes de se efetuar a análise não linear para os exemplos de casca da Tabela
5.2, faz-se uma análise linear para se obter os valores das frequências naturais
para essas geometrias. Apresenta-se na Tabela 5.3 o valor da frequência mínima
para cada geometria e os três valores de aqui considerados bem como o número
de ondas circunferenciais do modo de vibração associado à frequência minima.
Em todos os casos as menores frequências ocorrem para .
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 90
Tabela 5.3 – Frequências naturais mínimas para os modelos de I a VII, com seus respectivos valores de .
I II III IV V VI VII
1687,89 832,02 1207,90 3395,03 2322,88 1452,92 2327,05
1673,58 824,95 1197,61 3366,23 2303,15 1440,61 2307,38
1645,85 811,22 1177,65 3310,35 2264,86 1416,74 2269,22
De imediato, observa-se na Tabela 5.3, que há um decréscimo no valor das
frequências naturais à medida que se aumenta o , em outras palavras, significa
dizer que, conforme se eleva o teor de níquel, a frequência natural diminui. O aço
tem maior módulo de elasticidade ( ) que o níquel, logo, quanto maior é o
módulo de elasticidade maior será a rigidez do sistema, e consequentemente maior
será a frequência natural, pois a frequência natural é diretamente proporcional à
rigidez da estrutura.
Ao defrontar as Tabela 5.2 e 5.3, percebe-se que, quando se aumenta o valor
de , o valor da frequência natural ( ) diminui assim como o valor do número de
ondas circunferenciais ( ). Já quando se aumenta o valor do , o valor de
aumenta, mas o valor da frequência natural diminui.
Para melhor elucidar o parágrafo precedente, apresenta-se na Figura 5.8 uma
visão comparativa das diversas geometrias analisadas bem como as conclusões
quanto aos valores de e (cresce ( ) ou decresce ( )), tomando como
referência o modelo I. Esta variação é similar para todos os .
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 91
Figura 5.8 – Cilíndros estudados com suas respectivas variações de e
A seguir, efetua-se a análise não linear, tendo como valores iniciais das
frequências naturais no método de Newto-Raphson os valores presentes na Tabela
5.3.
A Figura 5.9 exibe a relação entre a frequência e a maior e mais
significativa amplitude modal para cada modelo da Tabela 5.2 e para .
Para observar melhor a influência da geometria no grau de não linearidade,
apresenta-se na Figura 5.10 a variação da amplitude modal em função da
frequência adimensional ⁄ Para melhor entender a Figura 5.10 e as
posteriores, Figuras 5.12 e 5.14, deve-se ter em conta que para estes gráficos o
é a frequência não linear e o é a frequência linear.
Nos modelos III, IV e VII as frequências diminuem conforme a amplitude
modal aumenta, já os modelos I, II e III apresentam um comportamento não
linear com ganho de rigidez. O modelo VI apresenta um comportamento quase
linear. Enquanto o modelo II apresenta o maior ganho de rigidez, o modelo IV
apresenta a maior perda de rigidez. Estes resultados mostram a grande influência
da geometria na relação frequência-amplitude associada à frequência miníma.
Cabe lembrar que o número de ondas circunferênciais é diferente em cada caso.
Na verdade, o modelo VI, de certa forma, mescla as características dos
outros modelos, porque se inicia com a diminuição da frequência natural
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 92
conforme a amplitude cresce e, em um determinado momento, a frequência
deixa de diminuir e começa a crescer conforme mantem seu crescimento, como
mostra a Figura 5.9. Observa-se no modelo VI que para uma mesma frequência
natural pode haver duas amplitudes modais.
As relações geométricas escolhidas permitem algumas conclusões sobre a
influência da geometria sobre o grau e tipo de não linearidade da casca. Os
modelos I, II, IV e VII têm a mesma relação ⁄ ( ⁄ ) e diferentes
valores de ⁄ (veja Fig. 5.8). Observa-se que a casca mais curta ( ⁄ ,
modelo IV) apresenta a maior perda de rigidez. À medida que ⁄ cresce, ou seja,
a casca se torna mais longa, a não linearidade decresce e, a partir de certo valor,
passa a apresentar ganho de rigidez, sendo o modelo II ( ⁄ , casca longa)
aquele que apresenta maior ganho de rigidez. Ao se comparar as curvas para os
modelos II e V que apresentam o mesmo ⁄ ( ⁄ ), observa-se que
ambos os modelos apresentam ganho de rigidez sendo que a maior não linearidade
ocorre para o modelo com maior relação ⁄ . Comparando agora os modelos III
e IV que apresentam ⁄ , observa-se que ambos apresentam perda de
rigidez, sendo que o modelo com maior perda de rigidez é aquele com a menor
relação ⁄ . Conclue-se, pois, que para o mesmo ⁄ a curva tende para a direita
à medida que a relação ⁄ aumenta (a casca se torna mais fina, tendendo para
uma membrana). Cabe lembrar que a relação entre rigidez de membrana e flexão
( ⁄ ) é nas equações adimensionais proporcional a ( ⁄ ) (Gonçalves, 1987).
Estas conclusões idependem dos valores de utilizados neste estudo paramétrico
(0,5, 1 e 5) , ou seja, da gradação dos dois materiais ao longo da espessura, como
mostram os resultados das Figuras 5.11 a 5.14.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 93
1686 1688 1690 1692 1694 1696
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=0,5
(a)
832 836 840 844 848
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=0,5
(b)
1202 1204 1206 1208
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=0,5
(c)
3300 3320 3340 3360 3380 3400
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=0,5
(d)
2320 2330 2340 2350
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=0,5
(e)
1452.6 1452.7 1452.8 1452.9 1453
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=0,5
(f)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 94
2312 2316 2320 2324 2328
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=0,5
(g)
Figura 5.9 – Relação não linear frequência-amplitude para o
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=0,5Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.10 – Relação não linear frequência-amplitude em função de ⁄ para
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 95
1672 1674 1676 1678 1680 1682
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=1
(a)
824 828 832 836 840
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=1
(b)
1192 1194 1196 1198
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=1
(c)
3280 3300 3320 3340 3360 3380
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=1
(d)
2300 2310 2320 2330
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=1
(e)
1440.2 1440.4 1440.6 1440.8 1441
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=1
(f)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 96
2292 2296 2300 2304 2308
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=1
(g)
Figura 5.11 – Relação não linear frequência-amplitude para
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=1Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.12 – Relação não linear frequência-amplitude para
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 97
1644 1646 1648 1650 1652 1654
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=5
(a)
808 812 816 820 824
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=5
(b)
1172 1174 1176 1178
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=5
(c)
3220 3240 3260 3280 3300 3320
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=5
(d)
2260 2265 2270 2275 2280 2285 2290
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=5
(e)
1416.4 1416.5 1416.6 1416.7 1416.8
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=5
(f)
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 98
2256 2260 2264 2268 2272
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=5
(g)
Figura 5.13 – Relação não linear frequência-amplitude para
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=5Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.14 – Relação não linear frequência-amplitude para o
Deve-se ter em mente que, para uma dada geometria, a não linearidade
depende do modo de vibração. As Figuras 5.16 a 5.18 mostram, respectivamente,
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 99
para os modelos III e VI a influência do número de ondas circunferencias na
relação frequência-amplitude.
Considerando o modelo III, a Figura 5.15 mostra como varia a frequência
natural linear com número de ondas circunferenciais para diversos valores de
Observa-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que à medida que diminui a perda de rigidez
e consequentemente o grau de não linearidade da resposta aumenta. Assim, a não
linearidade da estrutura sob vibração forçada depende da frequência da excitação.
12 13 14 15 16
n
1160
1200
1240
1280
1320
Frequência
MGFk=0,5
k=1
k=5
Figura 5.15 – Variação das frequência natural linear em função de para com
diferentes tipos de (modelo III).
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 100
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=0,5n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.16 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=1n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.17 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 101
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=5n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.18 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
Verifica-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que, conforme se aumenta o o grau de
não linearidade diminui, independente do valor de k.
A seguir estuda-se a influência de um carregamento estático inicial nas
frequencias naturais e na relação frequência-amplitude. Considera-se ou uma
carga crítica axial ou uma pressão lateral, carregamentos mais usuais em cascas
cilíndricas. O procedimento de cálulo é semelhante ao caso anterior. As cargas
críticas e frequências naturais são obtidas para três valores de parâmetros (0,5, 1
e 5). Empregando-se agora as Equações (2.32) no mesmo processo descrito ao
decorrer deste capítulo, calculam-se as frequências naturais para carregamentos de
0%, 20%, 40%, 60%, 80% e 100% das cargas crítica axial e lateral.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 102
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=0,5
Pcr=126111,1627
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(a)
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=1
Pcr=125774,456
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(b)
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=5
Pcr=125102,9874
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(c)
Figura 5.19 – Variação da frequência natural mínima em função da carga axial para o
Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5) (carga em Newton – N).
A Figura 5.19 mostra a variação da frequência natural mínima em função de
uma carga axial compressiva para o Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5).
Observa-se que, para cada , a frequência natural descresce à medida que a carga
axial compressiva cresce e torna-se zero quando se atinge a carga crítica e ocorre
a perda de estabilidade da estrutura. Este decréscimo deve-se à diminuição da
rigidez efetiva da casca (rigidez-rigidez geométrica) que diminui com a carga e se
torna nula quando a carga atinge o valor crítico.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 103
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1F
2
k=0,50% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(a)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=0,50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(b)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=0,50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(c)
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(d)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(e)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(f)
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(g)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(h)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(i)
Figura 5.20 – Influência do carregamento na relação não linear frequência-amplitude. (a, d, g) Carregamento axial compressivo. (b, e, h) pressão lateral interna (tração). (c, f, i) pressão lateral externa (compressão).
Na análise da Figura 5.20 o cilíndro está submetido a um carregamento
estático de compressão axial (Figuras a, d e g), pressão lateral interna (Figuras b, e
e h) e pressão lateral externa (Figuras c, f e i). Observa-se que um carregamento
que gere um estado de tensões de compressão, à medida que o carregamento se
aproxima do valor crítico, a não linearidade se torna mais acentuada. Já a pressão
lateral interna que gera um estado de tensões de tração tende inicialmente a
diminuir a não linearidade da resposta e, a partir de uma certa carga de tração, a
frequência passa a aumentar à medida que a amplitude modal aumenta. Verifica-
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 104
se que a inclusão do efeito de um pré-carregamento estático é essencial para
avaliar corretamente o comportamento não linear de cascas esbeltas.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 105
6
Conclusões e sugestões
Estudou-se neste trabalho o comportamento linear e não linear de cascas
cilíndricas com gradação funcional.
A comparação dos resultados da análise linear com os resultados
encontrados na literatura para cascas de material homogêneo e com gradação
funcional demonstram a precisão dos resultados aqui obtidos usando as teorias de
Donnell e Sanders.
Para o material com gradação funcional, verifica-se que a gradação dos
materiais constituinte envolvidos tem grande influência no valor das frequências
assim como das cargas críticas, tanto para as cargas axiais quanto para as cargas
laterais. Esta variação é basicamente devida à diferença entre os módulos de
elasticidade dos dois materiais.
O método de Galerkin foi usado para discretizar o sistema contínuo e as
amplitudes modais foram obtidas pelo método de Newton-Raphson, o qual se
mostrou conveniente por permitir obter as respostas com poucas iterações.
Os resultados não lineares ratificam a importância do acoplamento modal
não linear na resposta da casca com os modos não clássicos apresentando
amplitudes diferentes de zero.
O estudo paramétrico mostra que a geometria tem influência significativa na
forma do modo de vibração da casca associado à frequência mínima, em particular
no número de ondas circunferenciais.
Verifica-se também que a geometria tem influência significativa na relação
não linear frequência-amplitude. Os resultados demonstram que, dependendo da
geometria, cascas cilíndricas podem apresentar uma diminuição das frequências
com a amplitude, ou seja, uma perda de rigidez à medida que sua amplitude de
vibração aumenta, ou um ganho de rigidez.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 106
A casca quanto mais curta, mais apresenta perda de rigidez, sendo esta
relação governada pelo parâmetro adimensional ⁄ Logo, conclui-se que,
quanto menor esta relação, mais perda de rigidez a estrutura apresenta. Para
cascas longas, relação ⁄ alta, a relação não linear frequência-amplitude
monstra um ganho de rigidez. Caso duas cascas tenham a mesma relação ⁄ a
que terá mais ganho de rigidez será a que possuir a maior relação ⁄ . O valor de
tem pequena influência na relação não linear frequência-amplitude.
Para uma dada geometria, quanto menor o número de ondas
circunferenciais, mais a estrutura tende a perder rigidez, aumentando assim a não
linearidade do sistema.
Os resultados mostram que uma carga estática tem grande influência na
frequência natural e na relação não linear frequência-amplitude. Para cargas axiais
compressivas e pressão externa, quanto maior o carregamento, menor é a
frequência natural mínima, tornando-se esta nula quando a carga atinge o valor
crítico. A influência destes carregamentos também é grande no comportamento
não linear. Quanto mais próximo do valor crítico, maior é a perda de rigidez
estrutural.
Todavia, se a estrutura estiver submetida a uma carga de tração, tem-se um
ganho de rigidez com relação à estrutura descarregada.
Por fim, com base nesta pesquisa, podem-se sugerir alguns estudos
posteriores, como:
Estudo da vibração forçada de cascas com gradação funcional, com
ênfase no comportamento dinâmico não linear;
Análise da influência da temperatura em cascas cilíndricas com
MGF;
Analisar a estrutura sob condições de contorno diferentes;
A análise experimental das vibrações não lineares de cascas
cilíndricas com gradação funcional.
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 107
7
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 113
A1
Apêndice
Tabela A1 – Seis equações não lineares relativas ao deslocamento axial, .
Começo da 1ª Equação
Fim da 1ª Equação
Começo da 2ª Equação
Fim da 2ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 114
Começo da 3ª Equação
Fim da 3ª Equação
Começo da 4ª Equação
Fim da 4ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 115
Começo da 5ª Equação
Fim da 5ª Equação
Começo da 6ª Equação
Fim da 6ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 116
Tabela A2 – Quatro equações não lineares relativas ao deslocamento circunferencial, .
Começo da 1ª Equação
Fim da 1ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 117
Começo da 8ª Equação
Fim da 8ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 118
Começo da 9ª Equação
Fim da 9ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 119
Começo da 10ª Equação
Fim da 10ª Equação
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 120
Tabela A3 – Duas equações não lineares relativas ao deslocamento radial, .
Começo da 11ª Equação
Fim da 11ª Equação
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