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A10 - Optimização
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ÍNDICE
1. Derivada de uma função---------------------------------------------------------------- 2
1.1. Introdução ao conceito de derivada--------------------------------------------- 2
1.2. Definição de derivada de uma função num ponto------------------------------ 3
1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto------------ 4
1.4. Derivadas laterais---------------------------------------------------------------- 9
1.5. Funções deriváveis--------------------------------------------------------------- 10
1.6. Derivabilidade e continuidade------------------------------------------------ 12
2. Derivadas de algumas funções-------------------------------------------------------- 13
3. Regras de derivação-------------------------------------------------------------------- 16
4. Aplicação das derivadas---------------------------------------------------------------- 18
4.1. Sinal da derivada e sentido de variação---------------------------------------- 18
4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função--------------------------------- 19
4.3. Segunda derivada de uma função----------------------------------------------- 23
4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada------------------------------ 25
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1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
1.1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO (DERIVADA)
A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.
A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único
ponto em comum.
Por exemplo
Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num ponto ( )( )00 xf,x ?
Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno h, diferente de zero,
e sobre a curva assinala-se o ponto ( )( )hxf,hx 00 ++ .
0h > 0h <
Quando 0h ® , a linha secante, definida pelos pontos de abcissa 0x e hx0 + , tende para
uma posição limite que é a recta tangente à curva no ponto ( )( )00 xf,x .
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O declive da secante é dado por:
( ) ( )h
xfhxf 00 -+
O declive da recta tangente é dado por:
( ) ( )h
xfhxflim 00
0h
-+
®
1.2. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO NUM INTERVALO
Exemplo
Para a empresa X, o rendimento, em euros, da venda de x unidades é dado por:
( ) 1000x0 ,x01,0x10xR 2 ££-=
® Construindo a tabela
x 200 400 600
R(x) -200 2400 2400
( )200
20001,020010200R 2
-=
´-´=
( )2400
40001,040010400R 2
=
´-´=
( )2400
60001,060010600R 2
=
´-´=
® Calculando ( ) ( ) ( ) 26002002400200R400R =--=- , verifica-se que houve um aumento do
rendimento em 2600 euros.
® Determine-se a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para
400 unidades.
GRAf pag 10
1.3. DEFINIÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Considere-se a função real de variável real ( )xfy = , definida no intervalo ] [b,a , ba ¹ e seja
0x um ponto desse intervalo.
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Chama-se derivada de uma função f no ponto 0x e representa-se por ( )0x'f ao limite,
quando existir, da razão ( ) ( )
h
xfhxf 00 -+ e representa-se por
( ) ( ) ( )h
xfhxflimx'f 00
0h0
-+=
®
Se hxx 0 += então 0xxh -= e como 0h ® temos que 0xx 0 ®- , ou seja, 0xx ® .
Sendo assim, a expressão para ( )0x'f pode ser escrita da seguinte forma
( ) ( ) ( )0
0
xx0
xx
xfxflimx'f
0 -
-=
®
Exemplo
Considere-se a seguinte função ( ) 2xxf = e determine-se ( )2'f
Resolução
Usando a definição, tem-se que:
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
422
2xlim
2x
2x2xlim
2x
2xlim
2x
2fxflim2'f
2x
2x
22
2x
2x
=+=
+=
-
+-=
-
-=
-
-=
®
®
®
®
Então ( ) 42'f =
Exercício 1
Calcula, a partir da definição, a derivada da função 2xy = nos pontos 1x0 -= e 3x0 -= .
Exercício 2
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Calcule, aplicando a definição, a derivada da função ( ) 3x2xf += nos pontos 1x0 -= e
3x0 = .
1.4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Exemplo
Considere a função ( ) 2xxf = e calcule, aplicando a definição, ( )1'f e ( )3'f .
Resolução
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
211
1xlim
1x
1x1xlim
1x
1xlim
1x
1fxflim1'f
1x
1x
22
1x
1x
=+=
+=
-
+-=
-
-=
-
-=
®
®
®
®
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
633
3xlim
3x
3x3xlim
3x
3xlim
3x
3fxflim3'f
3x
3x
22
3x
3x
=+=
+=
-
+-=
-
-=
-
-=
®
®
®
®
Ao obter-se para a derivada da função no ponto 1x = o valor 2, e no ponto 3x = o valor 6,
ficou a saber-se que o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa
1x = é 2 e o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa 3x = é 6,
portanto a tangente no ponto 3x = aproxima-se mais da vertical.
JJ Tangentes a curvas (significado da derivada aplicado essencialmente na geometria)
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Exercício
Na figura seguinte representou-se graficamente uma função f e desenhou-se tangentes à
curva em alguns dos pontos.
Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer
acerca:
aa)) Do sinal da derivada?
bb)) Do valor relativo da derivada em 5xx = e 6xx = ?
cc )) Do valor relativo da derivada em 1xx = e 2xx = ?
A derivada de uma função num ponto 0x é o declive da recta
tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0x .
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JJ Taxas de variação (significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,
etc.)
A taxa de variação média (velocidade média) de uma
função f num intervalo [ ]b,a é dada por:
( )[ ]
( ) ( )ab
afbfv.m.tx'f
b,a0
-
-=
A taxa de variação (velocidade instantânea) da função no
ponto ax = é dada por:
( ) ( )h
afhaflim
0h
-+
®
Observe-se a seguinte representação gráfica de uma função f
Da observação do gráfico é possível concluir que:
Em 1xx = , 2xx = e 4xx = a taxa de variação da função f é positiva ( 1m , 2m e 4m são
positivos).
Em 2xx = a taxa de variação da função f é inferior à taxa de variação em 1xx = ( 12 mm < ).
Em 3xx = a taxa de variação da função f é negativa ( 0m3 < ).
A taxa de variação da função no ponto ax = é a derivada da
função no ponto ax = .
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Exemplo
Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e
passados alguns instantes caiu de novo no ponto P.
A distância d do objecto ao ponto P em função do
tempo t, em segundos, com início no momento do
lançamento é dado por:
( ) 2t4t16td -=
aa)) Calcule a taxa de variação média (velocidade
média) nos intervalos [ ]1,0 , [ ]2,1 e [ ]3,2 e comente
os resultados.
bb)) Calcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) para 1t = .
Resolução
aa)) [ ]
( ) ( )12
1
0416
01
0d1d.m.v
1,0=
--=
-
-=
[ ]
( ) ( ) ( )44161632
1
1411624216
12
1d2d.m.v
22
2,1=+--=
´-´-´-´=
-
-=
[ ]
( ) ( ) ( )416323648
1
2421634316
23
2d3d.m.v
22
3,2-=+--=
´-´-´-´=
-
-=
A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo [ ]1,0 é maior do
que no intervalo [ ]2,1 . Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média
no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior.
No intervalo [ ]3,2 a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer.
Em valor absoluto a velocidade nos intervalos [ ]2,1 e [ ]3,2 é a mesma.
bb)) Para calcular a taxa de variação da função, ou seja, a velocidade instantânea para 1t = ,
calcule-se
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
8048
h48lim
h
hh48lim
h
h4h8lim
h
416h4h84h1616lim
h
416hh214h1616lim
h
14116h14h116lim
h
1dh1dlim
0h
0h
2
0h
2
0h
2
0h
22
0h0h
=´-=
-=
-=
-=
+----+=
--++-+=
´-´-+-+=
-+
®
®
®
®
®
®®
A velocidade instantânea para 1t = é 8m/s.
Exercício 3
Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx`s. A sua posição no tempo 0t ³ é dada por
( ) 4t3ttd 2 ++-=
(d em cm e t em segundos)
aa)) Determine a posição do móvel para 1t = e 2t = .
bb)) Qual é a velocidade do móvel para 1t = e 2t = ?
cc )) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [ ]1,0 , [ ]2,1 e [ ]3,2 e
comente os resultados.
2. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES
Prova
Usando a definição tem-se que
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
mh
mhlim
h
bmxbmhmxlim
h
bmxbhxmlim
h
xfhxflimx'f
0h
0h
0h
0h
==
--++=
+-++=
-+=
®
®
®
®
A função afim definida por ( ) bmxxf += tem por derivada
( ) mx'f =
A função identidade definida por ( ) xxf = tem por derivada
( ) 1x'f =
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Prova
Usando a definição tem-se que
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1h
hlim
h
xbhxlim
h
xhxlim
h
xfhxflimx'f
0h
0h
0h
0h
==
-+=
-+=
-+=
®
®
®
®
Prova
Usando a definição tem-se que
( ) ( ) ( )
0
h
0lim
h
kklim
h
xfhxflimx'f
0h
0h
0h
=
=
-=
-+=
®
®
®
Exemplos
A derivada da função ( ) 3x2xf += é a função ( ) 2x'f = .
A derivada da função ( ) 4xxf --= é a função ( ) 1x'f -= .
A derivada da função ( ) 10xf = é a função ( ) 0x'f = .
Exemplos
A derivada da função ( ) 2xxf = é a função ( ) x2x'f = .
Prova
A função constante definida por ( ) kxf = tem por derivada
( ) 0x'f =
A função potência definida por ( ) naxxf = tem por derivada
( ) 1nx.n.ax'f -=
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( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) x2hx2lim
h
hhx2lim
h
hxh2lim
h
xhxh2xlim
h
xhxlim
h
xfhxflimx'f
0h
0h
2
0h
222
0h
22
0h
0h
=+=
+=
+=
-++=
-+=
-+=
®
®
®
®
®
®
A derivada da função ( ) 3xxf = é a função ( ) 2x3x'f = .
A derivada da função ( ) 3x2xf = é a função ( ) 22 x6x32x'f =´= .
Exemplos
Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções
aa)) ( )g x 2 x 5= + ( )g ' x 2=
bb)) ( ) 2h x 3 x 2 x 6= + + ( )h ' x 6 x 2= +
Exercício 6
Determine uma expressão para a função derivada de f.
aa)) ( ) 2f x 3 x 2 x 5= + +
bb)) ( ) 5 23 4f x 2 x x
2 3= - +
cc )) ( ) 3 2f x 2 x 5 x 7= - +
dd)) ( ) 1 0 2f x x 4 x 2 x 7= + - +
Exercício 7
Determine uma expressão para a função derivada de f e calcule ( )f ' 1.
aa)) ( ) 2f x 2 x 4= - +
bb)) ( ) 31f x x 2 x 1 0 0
3= + -
cc )) ( ) 3f x x 3 x= -
dd)) ( ) 3 21 7f x 4 x x 3 x
2 1 0= - + - +
A derivada da soma de duas função é igual à soma das
derivadas das funções
( ) ( ) ( ) ( )f g ' x f ' x g ' x+ = +
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Exercício 8
Determine uma expressão para a função derivada de f.
aa)) ( )2 7
f xx x
= -
bb)) ( )3
f x 4 x 1 0x
= - +
cc )) ( ) 21 5 xf x x
2 x 2= - +
dd)) ( ) 24f x 2 x
x= +
ee)) ( )1 0 1 5
f x 3 0x x
= - + +
Exercício 9
Complete a seguinte tabela
( )f x 6 x 7x 48 x 1 02 x-
3x
4-
( )f ' x 2 93 0 x
Exercício 10
Determine uma expressão para a derivada de cada uma das expressões.
aa)) 2
1
x
bb)) 4
3
x
cc )) 2 x
dd)) 3 x
ee)) 3 2x
Exercício 11
Indique uma expressão para a função derivada de f.
aa)) ( )1
f x 1 0 x 1x
= - + -
bb)) ( ) 4 3 2 xf x 8 x 3 x 2 x 5
2= - - + + +
cc )) ( )4 3
2x 2 x x 5f x 2 x
4 3 2 6= - - + + +
dd)) ( ) 21 1 3f x x x 1 2
2 4 x= + - +
A derivada da função ( )k
f xx
= a função ( ) 2
kf ' x
x= -
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ee)) ( ) 2
3f x 2
x= +
3. REGRAS DE DERIVAÇÃO
JJ Derivada do produto de duas funções
Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto f g´ também é
derivável em a e:
Exemplo
Determine uma expressão para a derivada de ( ) ( )7 2 x 5 x 3- ´ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
7 2 x 5 x 3 ' 7 2 x ' 5 x 3 5 x 3 ' 7 2 x
25x3572x
10x63510x
20x29
- ´ + = - ´ + + + ´ -é ùë û
= - ´ + + ´ -
= - - + -
= - +
Exercício 12
Determine uma expressão para a derivada de:
aa)) ( ) ( ) ( )f x 2 3 x 5 x= + ´ -
bb)) ( ) ( ) ( )f x 7 x 1 x 4= - ´ - +
cc )) ( ) ( ) ( )2f x 2 x 3 x= + ´ -
dd)) ( ) ( )2 3f x 2 5 x x= + ´
JJ Derivada do quociente de duas funções
Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função quociente f
g também é
derivável em a e:
Exemplo
Determine uma expressão para a derivada de x
2 x 1+
( )f g ' f ' g g ' f´ = ´ + ´
'
2
f f ' g g ' f
g g
æ ö ´ - ´=ç ÷
è ø
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( ) ( )( )
( )( )
( )
'
2
2
2
x ' 2 x 1 2 x 1 ' xx
2 x 1 2 x 1
2 x 1 2 x
2 x 1
1
2 x 1
´ + - + ´é ù=ê ú+ë û +
+ - ´=
+
=+
Exercício 13
Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:
aa)) ( )1
f xx 3
=+
bb)) ( ) 2
xf x
x 4=
+
cc )) ( )2x 7
f x1 2 x
+=
-
dd)) ( )2
3
xf x
2 x=
-
JJ Derivada da potência de uma função
Exemplo
Determine uma expressão para a derivada de ( )5
3 x 1-
( ) ( ) ( )
( )
( )
'5 4
4
4
3 x 1 5 3 x 1 3 x 1 '
53x13
153x1
é ù- = ´ - ´ -ë û
= ´ - ´
= ´ -
Exercício 14
Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:
a) ( ) ( )7
f x 7 x 3= +
b) ( ) ( )32f x x 3 x 1 2= - +
c) ( )f x 2 x 1= -
d) ( ) 3 2f x 4 x 1= -
4. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
4.1. SINAL DA DERIVADA E SENTIDO DE VARIAÇÃO
Exemplo
Na figura seguinte está representada graficamente a função f e a sua derivada
Seja ( ) 3f x x 3 x 1= - + então ( )f ' x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=
( )'n n 1f n f f '-é ù = ´ ´
ë û
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aa)) Complete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinte quadro:
bb)) Procure estabelecer agora uma relação entre a variação de uma função e o sinal da sua
derivada.
Pode dizer-se que:
Exercício 15
Considere-se a função polinomial ( ) 3g x x 2= + .
aa)) Determine ( )g ' x.
bb)) Estude a monotonia da função g.
4.2. EXTREMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO
Analise-se o gráfico de uma função f definida no intervalo [ ]2 , 8- .
x - ¥ -1 1 + ¥
Sinal de ( )f ' x
Variação de ( )f x
MM Se a derivada f’ é positiva num intervalo então a função f é estritamente crescente
nesse intervalo.
MM Se a derivada f’ é negativa num intervalo então a função f é estritamente
decrescente nesse intervalo.
MM Se a derivada f’ é nula num intervalo então a função f é constante nesse intervalo.
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Recorda:
üü O ponto E de coordenadas ( )5 , 3- é o ponto mais baixo da curva, o que significa que a
sua ordenada é o menor valor do contradomínio de f.
Diz-se que 3- é o mínimo absoluto da função f quando x 5= .
üü O ponto F de coordenadas ( )7 , 4 é o ponto mais alto da curva, o que significa que a
sua ordenada é o maior valor do contradomínio de f.
Diz-se que 4 é o máximo absoluto da função f quando x 7= .
üü Se se restringir a função ao intervalo ] [2 , 0- , o ponto mais baixo da curva é ( )B 1 , 1- .
Diz-se que a função f admite um mínimo relativo igual a 1- quando x 1= .
üü Se se restringir a função ao intervalo ] [1 , 4- , o ponto mais alto da curva é 5
D 3 ,3
æ öç ÷è ø
.
Diz-se que a função f admite um máximo relativo igual a 5
3 quando x 3= .
11 Qual a relação entre a existência de extremos e o sinal da derivada?
Exemplos
1. Observe-se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalo ] [4 , 6
Verifica-se que f’ passa de negativa a positiva então f tem um mínimo relativo para x 5= .
x 5
Sinal de ( )f ' x - 0 +
Variação de ( )f x
( )f 5
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2. Observe-se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalo ] [6 , 8
Verifica-se que f’ passa de positiva a negativa então f tem um máximo relativo para x 7= .
Isto é, se num ponto c do seu domínio, uma função f é contínua e f ' muda de sinal então f
tem um extremo relativo nesse ponto.
Exemplo
Determine os extremos relativos da função ( ) 3f x 2 x 2 4 x 7= - +
Resolução
A expressão da função derivada é ( ) 2f ' x 6 x 2 4= - (utilize-se a calculadora gráfica para
traçar a derivada da função)
Determinem-se os zeros de f’:
2 2
2
6 x 2 4 0 6 x 2 4
x4
x2x2
- = Û =
Û =
Û = Ú = -
(utilize-se a calculadora gráfica para determinar os zeros da função derivada)
x 7
Sinal de ( )f ' x + 0 -
Variação de ( )f x
( )f 7
MM Se f’ passa de positiva a negativa em c, a função f tem um máximo relativo para x c= .
x c
Sinal de ( )f ' x + 0 -
Variação de ( )f x
( )f c
MM Se f’ passa de negativa a positiva em c, a função f tem um mínimo relativo para x c=
x c
Sinal de ( )f ' x - 0 +
Variação de ( )f x
( )f c
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Elabore-se um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da
função
Um máximo relativo da função f é 39 quando x 2= - .
Um mínimo relativo da função f é 2 5- quando x 2= .
Repare que:
Exemplo
A função ( ) 3f x x 2= + é estritamente crescente em IR e não admite qualquer extremo.
( ) 2f ' x 3 x=
Apesar de ( )f ' 0 0= não é suficiente para que f admita em 0 um extremo relativo.
Exercício 16
Determine os extremos relativos da função:
aa)) ( ) 2f x x 3 x 1= - + + bb)) ( ) 3f x x 3 x 1 0= - -
PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO
Muitos fenómenos da Física, Economia e muitas ciências têm como modelo matemático uma
função.
( )xfyx:f =a
x - ¥ -2 2 + ¥
Sinal de
( )f ' x + 0 - 0 +
Variação de
( )f x
( )f 2 3 9- =
( )f 2 2 5= -
x - ¥ 0 + ¥
Sinal de ( )f ' x + 0 +
Variação de ( )f x
( )f 0 2=
Se f’ se anula em c mas tem o mesmo sinal à esquerda e à
direita de c, então ( )f c não é um extremo relativo.
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As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a
determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …).
Para responder a algumas destas questões aplica-se o conceito de taxa de variação e em
particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente.
Exemplo
Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares
e iguais, junto a um rio, como se ilustra na figura seguinte.
Fig pag 22
A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9€ o metro, enquanto que vedar o lado
paralelo ao rio custa 8€ o metro.
Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima?
Resolução
Pretende-se optimizar a área cercada.
Ilustre-se a situação e identifique-se as variáveis independentes.
Considere-se que:
x designa o comprimento de um lado perpendicular ao rio
y designa o comprimento do lado, de uma cerca, paralelo ao rio
A resolução do problema está condicionada pelo custo da vedação e pelo dinheiro disponível.
{8108y29x3 =´+´ 321321
Ou seja
16
x27810y
-=
A área A é dada por ( ) xy2xy2A ==
Escrevendo a área em função de x, vem
( )16
x27810x2xA
-´= ou ( )
8
x27x810xA
2-=
Estude-se o sinal de A’ usando o programa Graphmatica ou a calculadora
Custo da vedação dos lados perpendiculares ao rio
Custo da vedação do lado paralelo ao rio
Valor disponível
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® Traçar o gráfico da função A(x)
® Traçar o gráfico da derivada, A’(x)
® Estude-se a variação da função área A, construindo uma tabela de variação da função A e
do sinal de A’.
x 0 15
A’(x) + 0 –
A(x)
max.
759,375
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® Determine-se a dimensão y
Sendo x=15 temos que: 3125,2516
1527810y =
´-=
Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são:
m3,25y e m15x »=
Exercícios
Resolver os exercícios da ficha
DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RECTA
As rectas horizontais têm equação do tipo by = e as rectas verticais têm equações do tipo
ax = , com IRb,a Î .
Pag 44
No caso de a recta não ser vertical, nem horizontal, a expressão que a define é do tipo
bmxy += , em que m é o declive e b é a ordenada na origem. Esta equação designa-se por
equação reduzida da recta.
Representar graficamente uma recta
Para representar graficamente uma recta é suficiente determinar dois dos seus pontos.
Por exemplo, para representar graficamente a recta de equação 3x2y +-= , determinem-se
os pontos de intersecção da recta com os eixos coordenados.
3x2y +-=
3302y ;0x =+´-==
3
2x3x23x20 ;0y =Û=Û+-==
Então ( )3,0 e ÷ø
öçè
æ0,
3
2 são pontos da recta. Graf 44
Determinar o declive da recta
Sejam dois pontos ( )11 y,xA e ( )22 y,xB de uma recta não vertical, o declive m da recta AB é
dado por
12
12
xx
yym
-
-=
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Exercícios
1. Representa graficamente a recta de equação
a) 6y3x2 -=-
b) 2
1yx3 =-
2. Escreve uma equação para cada uma das rectas representadas na figura ao lado. A recta t
passa nos pontos ( )0,1A e ( )2,3B .
Graf 45
INTERSECÇÃO DE RECTAS
Considera as rectas de equação 1x2y += e 1x2y -= . Estas rectas são paralelas, uma vez
que têm o mesmo declive, m=2, mas não são coincidentes, isto é, são estritamente
paralelas (não se intersectam).
No caso das rectas de equação 1x2y += e 1yx2 -=- , estas são coincidentes porque
1x2y1yx2 +=Û-=-
Neste caso há uma infinidade de pontos em comum às duas rectas.
Determine-se o ponto de intersecção das rectas não paralelas de equações 1y2x:p =+ e
3yx:q =- .
Resolução analítica
O ponto de intersecção das duas rectas é a solução do sistema:
îíì
=-
=+
3yx
1y2x
Resolva-se o sistema pelo método de substituição
( )
( ) ÷ø
öçè
æ-=Û
ïïî
ïïí
ì
-=
=
Û
ïï
î
ïï
í
ì
-=
+÷ø
öçè
æ-´-=
Û
ïî
ïí
ì
-=
------
Û
îíì
-=-
------Û
îíì
=-+-
+-=Û
îíì
=-
=+
3
2,
3
7y,x
3
2y
3
7x
3
2y
13
22x
3
2y
13y3
3y1y2
1y2x
3yx
1y2x
Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas e
substituir a expressão obtida na outra equação
Resolver a segunda equação em ordem à incógnita que aí figura
Substituir o valor encontrado na primeira equação
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As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas ÷ø
öçè
æ-
3
2,
3
7
Resolução gráfica
Representam-se as rectas graficamente determinando-se, assim, o seu ponto de intersecção.
Pag 47
2
x
2
1y
1y2x
-=Û
Û=+
x y
0 2
1
1 0
3xy
3yx
-=Û
Û=-
x y
0 3-
3 0
Com o uso do programa Graphmatica
Exercício
Determina, caso exista, o ponto de intersecção das rectas r e s em cada um dos seguintes
casos:
a) 3y4x:r =+ ; e 4y2x3:s =+- ;
b) 1y3x4:r =- ; e 7y4x3:s =+ ;
c) 5
2x
10
3y:r +-= ; e 03yx2:s =++ ;
d) 2xy2:r =- ; e 3x2
1y:s += ;
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ESTUDO GRÁFICO DE INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS
Recorda que, por exemplo, a inequação 0x ³ representa o semiplano que contém todos os
pontos com abcissa maior ou igual a zero.
A inequação 1y £ representa o semiplano que contém todos os pontos com ordenada menor
ou igual a um.
Exercício
Representa num referencial
a) 1x -³
b) 1x >
c) 1y >
d) 1y ->
e) 01x >+-
f) 1y -£
g) 02x >-
h) 02y £-
Considera agora a inequação 04y2x £-+ .
O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um
semiplano cuja fronteira é a recta de equação 04y2x =-+ .
Para identificar qual é o semiplano procede-se de uma das seguintes formas.
1º processo
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ü Desenha-se a recta de equação 22
xy +-= usando dois dos seus pontos (pontos de
intersecção com os eixos coordenados, preferencialmente).
ü Observa-se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a
origem do referencial (0,0)
Para x=0 e y=0, tem-se
0404020 £-Û£-´+ verdade
Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condição.
Se a proposição fosse falsa concluía-se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido.
2º processo
ü Desenha-se a recta de equação 22
xy +-=
ü Resolve-se a inequação dada em ordem a y:
22
xy
4xy204y2x
+-£Û
+-£Û£-+
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