a10 matriz de admit ncia redes (1)

Análise de Redes Elétricas

Joinville, 1 de Abril de 2012

Matriz de Admitância NodalE

Cálculo de Redes

Escopo dos Tópicos AbordadosMatriz de Admitância Nodal e Cálculo de Redes;A referência para esta aula foi o livro dos autores: Graiger e Stevenson, intitulado: “Power System Analisys” – Capítulo 7.

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Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Generalidades:

• Sistemas de transmissão estão distribuídos porvastas regiões geográficas, envolvendo umgrande número e variedade de componenteselétricos;

• A interligação destes componentes formam asredes elétricas, que para serem analisadas,necessitam de representação adequada, feita deforma matricial, onde cada elemento édeterminado pela escolha de parâmetros.

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Generalidades:

• Existem duas maneiras de representação matricialde redes elétricas:• Via matriz de admitância – utilizada em fluxo de potência;

• Via matriz de impedância – utilizada em cálculo de curto-circuito.

• A abordagem via matriz de admitância seráapresentada e utilizada para representar oselementos em regime permanente;

• Tal matriz é determinada via análise nodal.

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Generalidades:

• A matriz de admitância de um sistema de potênciatípico é esparsa e pode ser obtida de formasistemática, o que facilita sua implementaçãonumérica em algoritmos;

• Devido a grande dimensão destas matrizes, técnicasde esparsidade e ordenação ótima são utilizadaspara aumentar a eficiência computacional – nãoabordado neste curso.

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Admitâncias de ramo e nodais:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Exemplo de montagem da matriz de Admitâncianodal:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Circuito equivalente:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Circuito equivalente: transformando reatâncias em admitâncias e fontes de tensão em fontes de corrente:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Matriz de admitância:

Matriz de admitânciaNodal é simétrica.

Obtida por inspeção:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Matriz de admitância:

YV I= (1)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Extensão considerando acoplamentos mútuos entre ramos:

(2)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Deseja-se escrever a matriz de admitância do circuito:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Escrevendo na forma de admitância o circuito:

⇒ (3)

(4)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– Escrevendo as equações de queda de tensão do circuito:

(5)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– Escrevendo as equações relacionadas às correntes do circuito:

(6)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– Como tem-se que:

– E que:

– Substitui-se Va e Vb de (5) em (3):

(3)

(5)

(7)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– É necessário escrever Ia e Ib em função de Im, In, Ip e Iq:

– Usa-se a relação:

(6)

(7)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– Multiplicando a equação por A transposto , tem-se que:tA

(8)

(7)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:

– Resultando em:

(9)

(8)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Desta forma, as mútuas fazem parte uma matriz aumentada (4x4) que formam a matriz de admitância do circuito:

(10)

(9)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Assim, por exemplo, se deseja-se inserir o efeito das mútuas (n) e (p), do circuito, insere-se (-Ym):

(10)

(9)

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Exemplo: encontre a matriz de admitância nodal do circuito:

Inicialmente, monta-se a matriz de impedância nodal e inverte-se a mesma a fim de obter a matriz de admitância nodal primitiva:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Exemplo: encontre a matriz de admitância nodal do circuito:

Da matriz inversa:

Resultando:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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De:

O nó (barra) com

o “ponto” (polaridade)

corresponde ao

primeiro elemento.

Neste caso o Nó 3.

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Como existem apenas 3 nós, deve-se encontrar uma matriz 3x3, adicionando linhas e colunas do nó comum 3:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Como existem apenas 3 nós, deve-se encontrar uma matriz 3x3, adicionando linhas e colunas do nó comum 3:

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( )( )

( 2 )

a M a M

M a b M

a b M

Y Y a Y YY Y a Y Y

a Y Y Y

= − +⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥× × = + +⎣ ⎦

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Resultando em:

Matriz de Admitância eCálculo de Redes

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Resultando em:

Onde V1, V2 e V3 representam as tensões nos nós 1, 2 e 3 e as correntes I1, I2 e I3 representam as correntes externas injetadas nos respectivos nós.

Neste exemplo não foram representadas injeções de correntes nas barras. Um exemplo mais real será apresentado na próxima aula.

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Resolvendo o sistema linear, pode-se encontrar o fluxo de potência que fluem na linhas que interligam as barras de um sistema elétrico de potência:

Exemplos de obtenção de tensões em um sistema serão apresentado napróximas aulas.

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O resultado poderia ser extendido para, por exemplo:

O procedimento para tal pode ser encontrado no livro dos autores: Graiger e Stevenson - “Power System Analisys” Capítulo 7.