a história dos números

HISTÓRIA DOS HISTÓRIA DOS NÚMEROSNÚMEROS

Você já usou muitas vezes os Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou números, mas será que já parou para pensar sobre:para pensar sobre:

O modo como surgiram os números?O modo como surgiram os números? Como foram as primeiras formas de Como foram as primeiras formas de

contagem?contagem? Como os números foram criados, ou, Como os números foram criados, ou,

será que eles sempre existiram?será que eles sempre existiram?

Como nasceu o conceito de Como nasceu o conceito de número? Da experiência? número? Da experiência? Ou, ao contrário, a Ou, ao contrário, a experiência serviu experiência serviu simplesmente para tornar simplesmente para tornar explícito o que já existia em explícito o que já existia em estado latente na mente do estado latente na mente do homem primitivo? homem primitivo?

A LINGUAGEM DOS A LINGUAGEM DOS NÚMEROSNÚMEROS

Em todas as épocas da evolução Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou tenha sido retirado ou acrescentado.acrescentado.

A noção de número e suas A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, referem-se cotidianas, referem-se conscientemente ou não a juízos conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.o amplo mundo da matemática.

O sentido do número, em sua O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de humano, algumas espécies de animais parecem possuir um animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do pássaros têm o sentido do número. número.

O CORVO O CORVO ASSASSINADOASSASSINADO

Um senhor feudal estava decidido a matar um Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

Na prática, quando o homem civilizado Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido que o sentido visualvisual direto do número direto do número possuído pelo homem civilizado raras possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido que o sentido tátiltátil é ainda mais limitado. é ainda mais limitado.

O NÚMERO SEM O NÚMERO SEM CONTAGEMCONTAGEM

Através de uma série de Através de uma série de circunstâncias, o homem circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua aprendeu a completar sua percepção limitada de número percepção limitada de número com um artifício que estava com um artifício que estava destinado a exercer influência destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de Esse artifício é a operação de contarcontar, e é a ele que devemos o , e é a ele que devemos o progresso da humanidade.progresso da humanidade.

A técnica de contagem, em muitos A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem desse procedimento na origem da palavra "da palavra "cálculocálculo", da palavra ", da palavra latina latina calculuscalculus, que significa , que significa pedra.pedra.

Com o passar do tempo, as Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de tinha a sua maneira de representação.representação.

Objetos complexos de argila de Susa (3300 a.C.)Representam (da direita para a esquerda e de cima para baixo):1 ovelha; 1 unidade de óleo; 1 unidade de metal; 1 peça de vestuário; 1 peça de vestuário; 1 medida de mel.

Tábua de argila descrevendo a quantidade de grão, de Susa, 3100 a.C. (Mesopotâmia)

Um dos sistemas de numeração mais Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o antigos que se tem notícia é o egípcioegípcio. É um sistema de . É um sistema de numeração de base dez e era numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos composto pelos seguintes símbolos numéricosnuméricos

No princípio, os sistemas de No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais. civilizações orientais e ocidentais.

Algarismos RomanosAlgarismos Romanos

Letra I V X L C D M

Valor 1 5 10 50 100 500 1000

Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil

O DESENROLAR O DESENROLAR DOS NÚMEROSDOS NÚMEROS

A idéia sobre os sinais vem dos A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes antigos. Os comerciantes antigos. Os matemáticos encontraram a matemáticos encontraram a melhor notação para expressar melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.Kg de feijão.

(10)(10) – 8– 8

Mas se ele resolvesse despejar Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade feijão a mais que a quantidade inicial.inicial.

(10)(10) + 2+ 2

Com essa nova notação,os Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, somente indicar as quantidades, mas também representar o mas também representar o ganho ou a perda dessas ganho ou a perda dessas quantidades, através de quantidades, através de números, com sinal positivo ou números, com sinal positivo ou negativo.negativo.

++ ouou --

SURGEM AS SURGEM AS OPERAÇÕES OPERAÇÕES

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

AdiçãoAdição

2254 + 1258 = 35122254 + 1258 = 3512

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11 11

22 22 55 44

11 22 55 88

33 55 11 22

Exercícios:Exercícios:

1) Arme e efetue as adições:1) Arme e efetue as adições:a) 124 + 325 = a) 124 + 325 = b) 276 + 934 = b) 276 + 934 =

2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela 2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela recebeu uma doação de mais 155 livros. Com recebeu uma doação de mais 155 livros. Com quantos livros infantis ela ficou?quantos livros infantis ela ficou?

124 + 325 = 449124 + 325 = 449

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11 22 44

33 22 55

44 44 99

276 + 934 = 1210276 + 934 = 1210

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11 11

22 77 66

99 33 44

11 22 11 00

238 + 155 = 393 livros238 + 155 = 393 livros

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11

22 33 88

11 55 55

33 99 33

SubtraçãoSubtração

2254 - 1258 = 9962254 - 1258 = 996

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

2 – 1 = 12 – 1 = 1 2 – 1 = 12 – 1 = 11 + 10 = 111 + 10 = 11

5 – 1 = 45 – 1 = 44 + 10 = 144 + 10 = 14

4 + 10 = 144 + 10 = 14

22 22 55 44

11 22 55 88

00 99 99 66

Exercícios:Exercícios:

1) Arme e efetue as subtrações:1) Arme e efetue as subtrações:a) 758 - 325 = a) 758 - 325 = b) 681 - 459 = b) 681 - 459 =

2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães 2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães numa semana. Normalmente, ela venderia 2615. numa semana. Normalmente, ela venderia 2615. Quantos pães a mais ela vendeu?Quantos pães a mais ela vendeu?

758 – 325 = 433758 – 325 = 433

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

77 55 88

33 22 55

44 33 33

681 – 459 = 222681 – 459 = 222

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

8 – 1 = 78 – 1 = 7 1 + 10 = 111 + 10 = 11

66 88 11

44 55 99

22 22 22

2840 – 2615 = 225 pães2840 – 2615 = 225 pães

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

4 – 1 = 34 – 1 = 3 10 + 0 = 1010 + 0 = 10

22 88 44 00

22 66 11 55

00 22 22 55

MultiplicaçãoMultiplicação

236 x 25 = 5900236 x 25 = 5900

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11 11 33

22 33 66

22 55

11 11 88 00

Exercícios:Exercícios:

1) Arme e efetue as multiplicações:1) Arme e efetue as multiplicações:a) 210 x 13 = a) 210 x 13 = b) 634 x 2 = b) 634 x 2 =

2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada 2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada vez que vai ao campo, vende 122 latinhas. vez que vai ao campo, vende 122 latinhas. Geralmente ele vai 4 vezes ao campo. Quantas Geralmente ele vai 4 vezes ao campo. Quantas latinhas de cerveja ele consegue vender?latinhas de cerveja ele consegue vender?

210 x 13 = 630210 x 13 = 630

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

22 11 00

11 33

22 77 33 00

634 x 2 = 7608634 x 2 = 7608

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11

66 33 44

22

11 22 66 88

122 x 4 = 488 latinhas122 x 4 = 488 latinhas

MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades

11 22 22

44

44 88 88

DivisãoDivisão

756 : 21 = 36756 : 21 = 36

756 21363

12 66

1260

Exercícios:Exercícios:

1) Descubra o número oculto:1) Descubra o número oculto:a) __ : 5 = 30a) __ : 5 = 30b) __ : 4 = 132 b) __ : 4 = 132

2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os 2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os moradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinha moradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinha que entregar pra cada rua?que entregar pra cada rua?

Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, temos:

30 x 5 = 150

150 5

300

132 x 4 = 528

528 4

1320

210 3

70 folhetos0

ONDE CHEGAMOS ONDE CHEGAMOS COM OS NÚMEROS?COM OS NÚMEROS?