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A Geometria dos Castelos

Adérito Araújo

Departamento de Matemática Universidade de Coimbra

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

“Olinda não é certamente a única cidade a crescer em círculos concêntricos […]. Mas, nas outras cidades permanece bem no meio o velho círculo das muralhas bem estreito […]. Em Olinda não: as velhas muralhas dilatam-se levando consigo os bairros antigos”

Italo Calvino, in “As Cidades Invisíveis”

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Évora, Portugal

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Lisboa, Portugal

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

Coimbra, Portugal

Sumário

1. Evolução arquitectónica

2. A matemática dos castelos

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

M. Aigner & G.M. Ziegler “Proofs from THE BOOK”Springer, 2003

C.J. Budd & C.J. Sangwin “Mathematics Galore!”Oxford UP, 2001

1. Evolução arquitectónica

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

As primeiras fortificações foram desenhadas para defender cidades inteiras.

Mooghan, Irlanda Yarnbury, Reino Unido

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Um Castro é tipo de povoado existente nas montanhas do noroeste da Península Ibérica, característico da Idade do Ferro e declaradamente defensivo com estruturas predominantementecirculares.

Castro de Romariz, Portugal

Uma Citânia é um castro de maiores dimensões e importância, habitado continuadamente.

Citânia de Briteiros, Portugal

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☺1. Visibilidade2. Vantagem psicológica3. Tempo para preparar a defesa4. É difícil subir a montanha5. Arremesso de pedras6. Locais menos pantanosos

�1. Dificuldade em obter água durante um cerco2. Recursos como a comida e os postes/pedras para construir a fortificação ou as habitações eram difíceis de transportar

Citânia de Briteiros, Portugal

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Um Castelo (diminutivo de castro) é uma estrutura arquitectónica fortificada, com funções defensiva e residencial, típica da Idade Média.

Castelo de Guimarães, Portugal

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Na Idade Média dizia-se “fazer vila”o acto de cercar de muralhas uma povoação.

Óbidos, Portugal

A organização defensiva do castelo era semelhante à da vila e tinhacomandamento sobre ela devido àposição mais alta e às muralhas mais fortes.

Belver, Portugal

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Marvão, Portugal

Pátio central

Casas da guarnição encostadas às muralhas

Adarve ou caminho da ronda, defendido por um muro ameiado, cuja largura variava entre 1 a 4 metros

Duas portas: uma para a povoação (porta da vila); a outra, para o terreno exterior (porta da traição)

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Com o final da Idade Médiagenaralizou-se o uso de canhões e armas de fogo nos cercos aos castelos e, como tal, a sua arquitectura sofreu alterações.

Deal, Reino Unido

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De entre as fortalezas construídas nessa altura aquela cuja arquitectura se revelou mais eficiente foi a que se chamou baluarte ou bastião.

Lindoso, Portugal

Em relação aos castelos medievais, constitui-se numa defesa mais baixa e larga, melhor adaptada ao emprego de artilharia, que se desenvolveu em arquitectura de fortificação, a partir do século XIV.

Forte Tilbury, Reino Unido

2. A matemática dos castelos

Questão 1: Qual a vantagem das formassimétricas?

Questão 2: Como defender a entrada de um castelo?

Questão 3: Como é que a evolução da forma permitiu melhorar a segurança?

Questão 4: Como defender o interior de um castelo?

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

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Vamos supor que pretendemos construir uma paliçada e temos à nossa disposição um número finito de paus. Queremos uma vedação com área o maior possível, pois é necessário que o forte albergue o maior número possível de pessoas.

Questão 1: Qual a vantagem das formas simétricas?

Questão 1.1: De entre as curvas simples, fechadas, do plano, com um determinado comprimento, qual é a que delimita a maior área possível?

Jakob Steiner (1796-1863)

1º: Vamos supor que o conjunto máximo S existe.

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2º: O conjunto máximo deve ser convexo.

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A

B

3º: Qualquer diâmetro do conjunto máximo divide a área em duas partes iguais.

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A B

S1

S2

4º: Se A e B forem dois pontos em lados opostos de um diâmetro e Cum ponto qualquer da curva, então o ângulo q mede exactamente 90º.

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A

B

C

q

Exercício: Mostre que: 1

sin .2

A AC CB θ∆ =

5º [Problema de Dido]: O conjunto máximo é o círculo.

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A B

C

O

.BO OC=Vamos mostrar que:

Exercício [Lei dos Cossenos]:

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A B

C

a

O

2 2 22 cos .OC BC BO BC BO α= + −

q

Como q = 90º, então: .BO OC=

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Bibliografia

1. C.J. Budd & C.J. Sangwin “Mathematics Galore!” Oxford UP, 2001

2. V.M. Tikhomirov, “Stories About Maxima and Minima”, AMS, 1990

3. G. Lawlor, “A new area maximization proof for the circle”, Mathematical Inteligencer 20 (1998) 29-31

4. P.D. Lax, “A short path to the shortest path”, American Mathematical Monthly, 158-159, Feb. 1995

5. T.M. Madeira, “O Problema Isoperimétrico Clássico”, DMUC, 2005

Web

1. http://www.cut-the-knot.org/

2. http://mocho.pt/cab/5/dido.php

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“The isoperimetric theorem, deeply rooted in our experience and intuition, so easy to conjecture, but not so easy to prove, is an inexhaustible source of inspiration.”

George Pólya, Mathematics and Plausible Reasoning (1954)

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Uma entrada melhor é aquela que obriga o atacante a permanecer muito tempo próximo da linha de defensiva se quiser entrar na fortificação.

Questão 2. Como defender a entrada de um castelo?

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Cidade de Jericó

Josué 6:3 Dai uma volta em torno da cidade, vós e todos os homens de guerra. Fareis isso durante seis dias.

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Meiden Castle, Reino Unido

Um processo efectivo pode ser o de criar entradas em forma de labirinto.

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Questão 2.1: Fixada uma determinada área, como desenhar curvas com um grande perímetro?

Do filme “Labyrinth”, Jim Henson, 1986

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Floco de Neve de Koch

Curva de Peano

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2 23 1 31 .

4 3 3

L LA

= + =

23 1 1 41 .

4 3 3 9

LA

= + +

Questão 2.2: Mostre que o perímetro total P da estrela é 4L a a sua área é

Questão 2.3: Mostre que o perímetro total P=16L/3 e que a sua área é

Questão 2.4: Mostre que figura fractal (Floco de Neve de Koch), a sua área é

22 23 1 4 4 2 31 1 .

4 3 9 9 5

L LA

= + + + + = ⋯

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Questão 3.1: Como defender as muralhas?

Questão 3: Como é que a evolução da forma permitiu melhorar a segurança?

Blarney Castle, Reino Unido

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Harlech, Escócia

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Sébastien Le Prestre, marquês de Vauban (1633-1707)

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Elvas, Portugal

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Questão 4. Como defender o interior de um castelo?

Questão 4.1. Qual a vantagem de desenhar as escadas em espiral no sentido horário?

Dover, Reino Unido

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Questão 4.2: Quantos guardas são necessários para defender o interior dum castelo?

1º: Se a planta do castelo for convexa basta um guarda.

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2º: E se a planta do castelo possuir concavidades?

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Teorema de Chvátal (1975): Para qualquer castelo com n paredes são necessários n/3 guardas. Se n não for múltiplo de 3, o número de guardas será o maior inteiro inferior a n/3, que iremos denotar por [n/3].

Vašek Chvátal

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Exercício: Mostre que qualquer figura poligonal plana, simples, com nvértices admite uma triangulação (sem a inclusão de vértices adicionais) com n-2 triângulos.

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Consideremos n-3 diagonais que se não intersectam até obter uma triangulação da figura.

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3º: Os vértices do polígono podem ser coloridos apenas com três cores sem que ocorram vértices com a mesma cor unidos por uma aresta.

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Se n=3 o resultado está demonstrado.

Se n>3, considerem-se dois vértices ao acaso (digamos u e v).

Por indução, concluimos que é possível colorir os arestas do grafo apenas com três cores.

Visto que existem n vértices, pelo menos uma das três cores é usada para colorir [n/3] vértices e é nesses vértices que devemos posicionar os guardas.

u v

3º Simpósio Ibero-Americano de Educação Matemática Coimbra, 6-7 Julho de 2007

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Suponhamos que um guarda pode andar ao longo de uma parede.

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Conjectura [Toussaint (1981)]: [n/4] guardas são suficientes em todas as circunstâncias, sendo n o número de paredes.

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Bibliografia

1. M. Aigner & G.M. Ziegler “Proofs from THE BOOK” Springer, 2003

2. J. Urrutia, "Art Gallery and Illumination Problems" Handbook on Computational Geometry, Elsevier Science Publishers, J.R. Sack and J. Urrutia eds. pp. 973-1026, 2000

3. N. Do, “Mathellaneous”, Australian Mathematical, Gazette, 288-294, Nov. 2004

Web

1. http://www.cut-the-knot.org/