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IT-1101 - AGRICULTURA IRRIGADA

7 – Funções de produção na agricultura irrigadaagricultura irrigada

7.1 – A água e seus efeitos na produção agrícola

Os processos fisiológicos envolvidos na produçãoOs processos fisiológicos envolvidos na produçãovegetal tem uma relação muito estreita com a maior oumenor disponibilidade da água para as plantas.

A água é um fator fundamental na produção vegetal.Sua falta ou excesso afeta de maneira decisiva odesenvolvimento das culturas e, devido a isto, seu manejoracional é um imperativo fundamental na maximização daprodução agrícola.

Vários foram os estudos realizados a fim de seconhecer as relações entre a produção dos cultivos eo consumo de água.

A partir de 1958, novos conceitos foramdesenvolvidos sobre os fatores determinantes datranspiração e da produção em condição de campo.

em queem queY – prod. de matéria seca por unidade de área;T – lâmina transp. por unidade de superfície;k – coef. de cultivo, que depende da espécie

cultivada.

em queem queUR – umidade relativa em decimal;k´– coeficiente de cultivo.

−=−

em queem queYr – produção real;Ym – produção máxima potencial;Eta – evapotranspiração real;ETm – evapotranspiração máxima de cultivo; eKy - constante que indica a intensidade de redução

da produção.

−=−

sensibilidade das culturas ao suprimento de água pode sersensibilidade das culturas ao suprimento de água pode serclassificada segundo:

- Baixo (ky < 0,85);- Baixo/médio (0,85 < ky < 1,00);- Médio/alto (1,00 < ky < 1,15) e- Alto (ky > 1,15).

y = 0,843xR² = 0,7981

y = 0,6532x + 0,0701R² = 0,9429

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 - ET/ETm

y = 0,9575xR² = 0,7686

y = 0,7433x + 0,0853R² = 0,9071

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 - ET/ETm

7.2 – Conceito de Função de Produção

Um princípio básico da economia está relacionado àescassez dos recursos disponíveis contrapondo-se àsescassez dos recursos disponíveis contrapondo-se àsnecessidades do homem que são ilimitadas.

O conceito econômico de função de produção,segundo Frizzone & Andrade Junior (2005), é a relaçãofísica entre as quantidades utilizadas de certo conjunto deinsumos e as quantidades físicas máximas que podem serobtidas do produto, para uma dada tecnologia conhecida.

O êxito esperado da agricultura irrigada depende,além da água, de muitos outros fatores complementares,dentre os quais destacam-se os fertilizantes, defensivos eherbicidas, sementes de bom potencial genético,maquinaria e implementos agrícolas adequados, facilidademaquinaria e implementos agrícolas adequados, facilidadede créditos e comercialização dos produtos, disponibilidadede mão-de-obra durante todo o ciclo da cultura, pesquisaaplicada e assistência técnica contínua e permanente,capacitação e organização dos agricultores.

Ao exigir que a função de produção represente omáximo que se pode obter, para um determinado níveltecnológico, com o uso de cada uma combinação de insumos,está se constituindo uma relação funcional entre osinsumos e o produto, ou seja, esta definição permiteinsumos e o produto, ou seja, esta definição permiteescrever uma função de produção por meio de uma funçãomatemática da forma:

)U,U,UU,U(fY 65421=

)X,...,X,X,X(fY n321=

7.3 – Resposta da produção à utilizaçãodos fatores e à Lei dos RendimentosMarginais Decrescentes

Em uma função de produção, quando se faz variar umúnico fator e se mantém os demais constantes, osrendimentos obtidos do produto final podem assumirvalores constantes, crescentes e decrescentes.

Os rendimentos constantes ocorrem quando a

7.3.1 Rendimentos constantes

Os rendimentos constantes ocorrem quando aaplicação de cada unidade do fator variável, mantidos osdemais constantes, produzem acréscimos iguais noproduto obtido, caracterizando uma relação linear.

Se a aplicação de uma determinada fórmula deadubo químico nas quantidades de 50, 100, 150 e 200 kgha-1 provocam aumentos de 200, 400, 600 e 800 kg ha-1,respectivamente, estamos diante de rendimentosconstantes, ou seja, cada 50 kg ha-1 do adubo aplicadoresulta em aumentos de 200 kg ha do produto.

Em funções de produção de natureza quadrática,a relação linear pode estar presente no primeiro ramo dafunção, quando aplicações do insumo variável são feitasem pequenas quantidades.

constantes, ou seja, cada 50 kg ha do adubo aplicadoresulta em aumentos de 200 kg ha-1 do produto.

No entanto, de um modo geral, a função deprodução linear não reflete o comportamento daprodução agrícola, dadas as especificidades inerentes àexploração das plantas

7.3.2 Retornos crescentes

Os retornos crescentes existem quando aaplicação de diferentes quantidades de um fatorvariável, mantendo os demais constantes, leva aaumentos no produto total, mais que proporcional àsquantidades do fator variável aplicado.

Rendimentos crescentes podem ser verificadosem pequenas propriedades com pouca aplicação decapital ou quando as primeiras unidades do fator variávelsão utilizadas com as quantidades fixas para os demaissão utilizadas com as quantidades fixas para os demaisfatores.

7.3.3 Retornos decrescentes

Os retornos decrescentes são conhecidos comoa Lei dos Rendimentos Decrescentes ou maisprecisamente Lei da Produtividade MarginalDecrescente, a qual estabelece que à medida queDecrescente, a qual estabelece que à medida quequantidades iguais de um recurso variável sãoacrescentadas, enquanto as quantidades dos demaisrecursos permanecem constantes, a quantidade doproduto total vai aumentando até determinado ponto, apartir do qual, os acréscimos observados serão cadavez menores.

7.4 – Produto Médio e Produto Marginal

Duas importantes relações derivadas da função deDuas importantes relações derivadas da função deproduto total são as relações de produto médio e produtomarginal.

PRODUTO MÉDIO de um recurso pode ser expressopela relação entre a quantidade do produto total (Y) e aquantidade do recurso (X) utilizado. Normalmente oproduto médio se refere à utilização dos recursosvariáveis.

Quando a função de produção é linear, o produtomédio é constante. Se a função de produção apresentarendimentos decrescentes, o produto médio será sempredecrescente à medida que a quantidade do fator variávelaumenta, e vice-versa.decrescente à medida que a quantidade do fator variávelaumenta, e vice-versa.

Se a função apresenta ao mesmo tempo rendimentoscrescentes e decrescentes, o produto médio serácrescente no início, atingirá um máximo e depois diminuirá.

PRODUTO MARGINAL ou produtividade marginalpode ser expresso pela quantidade que é adicionada aoproduto total quando uma unidade adicional do fatorvariável é utilizada.

Valores médios de rendimento (kg ha-1) de grãos de caupi em função da lâminas totais de água.

PRODUTO MARGINAL ou produtividade marginalpode ser expresso pela quantidade que é adicionada aoproduto total quando uma unidade adicional do fatorvariável é utilizada.

Generalizando, o produto médio e o produto marginalpodem ser representados pelas equações a seguir:

∆∆=

A análise do produto médio e do produto marginalpode ser ampliada para um melhor entendimento dessasrelações.

Sabendo que PMe é a relação entre Y e W, PMgrepresenta a declividade de qualquer linha traçada a partirda origem até qualquer ponto da curva de produto total.

Y = -0,0146408 W2 + 6,2082895 W - 210,6699315

447,47 kg ha-1

Na Figura, a linha 1 traçada a partir do valor em quea produção é nula (W = 37,2 mm), intercepta a curva deproduto total no ponto “a”, sendo o produto médio nesteponto igual a 2,11 kg ha-1 por mm de água aplicada. Nesteponto, o PMg = 0.

0 50 100 150 200 250 300 350Lâmina (mm)

211,92 mm

6699315,2102082985,6W0146408,0

YPMe −+−==

2082895,6W02292816,0dW

dYPMg +−==

g2,71 kg ha-1 mm-1

-4,000

-3,000

-2,000

-1,000

0 50 100 150 200 250 300 350

Lâmina (mm)

211,92 mm120,00 mm

Na Figura, percebe-se que o PMg é decrescente,sendo maior que PMe quando este está crescendo, menorque o PMe quando este está diminuindo e igualando-se aomesmo, quando este é máximo (Y=323,50 kg ha-1; W=120,0 mm).120,0 mm).

A produção máxima é atingida com a aplicação deuma lâmina equivalente a 211,92 mm, e por consequencia, oPMg é zero.

7.5 – Maximização do rendimento físico

A maximização do produto total é obtida a partir daA maximização do produto total é obtida a partir dafunção de produção Y = f (W, X), satisfazendo-se àsseguintes condições:

dY == 0dX

7.6 – Os retornos da produção

7.6.1 Estágios de produção

As relações físicas entre insumos fixos e variáveis eseu correspondente produto total definem diferentesetapas no processo produtivo. As funções de produção queenglobam as fases de retornos positivos crescentes,retornos positivos decrescentes e retornos negativospodem ser divididas em 3 estágios de produção.

Produtividade do caupi (Y) em função das lâminas de água (W), produto médio (Y/W) e produto marginal (dY/dW)

Y = -0,0146408 W + 6,2082895 W - 210,6699315

447,47 kg ha-1 B

323,50 kg ha-1

0 50 100 150 200 250 300 350Lâmina (mm)

211,92 mm37,2 mm

323,50 kg ha-1

120,00 mm

Estágio I – Pela Figura, percebe-se que para umaaplicação de água inferior a 37,2 mm, nenhuma produção foi

aplicação de água inferior a 37,2 mm, nenhuma produção foiobtida. O intervalo que vai deste nível até 120,0 mmconstitui o estágio I - onde o produto marginal é maior queo produto médio da água até o produto médio alcançar ummáximo no ponto A, limite do estágio I.

Estágio I – Qualquer nível de água aplicado noestágio I é ineficiente, ou seja, a partir de 37,2 mm,

estágio I é ineficiente, ou seja, a partir de 37,2 mm,sempre será possível aumentar a eficiência do uso da águae a eficiência do uso da terra, se for aumentada a lâminade água aplicada até atingir o ponto A.

Estágio III – corresponde ao intervalo que vai alémdo ponto de máxima produção obtida (ponto B),

do ponto de máxima produção obtida (ponto B),correspondente à aplicação de 211,92 mm de água. Nesteestágio, o PMe da água é decrescente, o PMg é negativo e oproduto total decresce. Do lado da terra, percebe-se que oproduto total por unidade de terra é decrescente,significando que, tanto a eficiência do uso da água como aeficiência do uso da terra diminuem neste estágio.

Estágio III – qualquer nível de água aplicado noestágio III é ineficiente, ou seja, níveis de água aplicados

estágio III é ineficiente, ou seja, níveis de água aplicadosacima de 211,92 mm, promoverá redução da produção total.

Estágio II – corresponde ao intervalo que vai doponto A ao ponto B, quando o Pme e o PMg são

ponto A ao ponto B, quando o Pme e o PMg sãodecrescentes, mas o PMg é positivo e a produção totalcontinua crescer. Neste estágio, a eficiência do uso daágua diminui, mas a eficiência do uso da terra continuaaumentando, até a fronteira com o estágio III, a partir doqual os dois fatores tem as suas eficiências reduzidas, alémda produção total começar a diminuir.

7.7 – Tipos de funções de produção

As funções de produção são representadas porequações algébricas e podem assumir diversas formas,sendo dependentes dos fatores que afetam o processosendo dependentes dos fatores que afetam o processoprodutivo (solo, clima, cultura, tratos culturais, ...)

Devem ser determinadas experimentalmente, combase em fundamentos teóricos e processos investigatóriosapropriados, devendo representar o mais aproximadopossível, as relações funcionais existentes entre osinsumos utilizados na obtenção do produto final.

Teoricamente existe um número infinito de funçõesdiferentes que podem representar matematicamente umdiferentes que podem representar matematicamente umprocesso de produção na agricultura irrigada. Entretanto,as pesquisas desenvolvidas nos últimos anos revelaramalguns modelos, que dentro de certas premissas erestrições, podem representar adequadamente as relaçõesde produção na agricultura, e por isso são utilizadasfrequentemente.

7.7.1 – Funções com uma variável

- Função Cobb-Douglas

bWaY =WWab

dWdY b

“a” é uma constante e “b” é a taxa de variação doproduto quando W varia.

Na equação, se b = 1, o PMg e o PMe serão iguais aovalor de “a”; se b > 1, o PMg cresce quando W aumenta; se b< 1, o PMg diminui quando o valor de W aumenta.

Uma das restrições da função Cobb-Douglas é queela não é adequada para os casos em que existem, noprocesso produtivo, intervalos de produtividade marginalcrescente e produtividade marginal decrescente.

– Funções polinomiais

A funções polinomiais de graus diversos tem sidomuito utilizadas na estimativa de funções de produção naagricultura irrigada. A forma polinomial pode sergeneralizada conforme a expressão:

2210 Wb...WbWbbY ++++=

O parâmetro “b0” representa o efeito combinado dosfatores fixos; “b1 e b2” representam as taxas de variaçõesde Y quando W e W2 variam, respectivamente, mantidos osdemais fatores constates.demais fatores constates.

5,0210 WbWbbY +−=

7.7.2 – Funções com mais de uma variável

- Funções quadráticas

WXbXbWbXbWbbY 52

3210 ±−−++=

7.8 – Métodos de geração de funçõesde produção na agricultura irrigada

É importante ressaltar os principais aspectosÉ importante ressaltar os principais aspectosrelacionados à geração de funções de produção,especialmente aquelas voltadas para a agricultura irrigada,considerando sua importância no mundo atual, onde aescassez de água já é uma realidade em muitas regiões doplaneta.

Independente da forma de ajuste e condução doIndependente da forma de ajuste e condução doexperimento, é desejável fazer comparações dosresultados obtidos em campos experimentais, com aquelesconhecidos pelos agricultores, como elementocomplementar na formulação das conclusões finais.

7.8.1 Elementos a serem observados

- Solo (fertilidade, AFD, taxa de infiltração, Ds, Ko,etc.)

- práticas culturais- sistemas de irrigação- mão de obra

a) Casualização

É o processo que distribui as unidades experimentais(parcelas) dentro do delineamento de formacompletamente ao acaso, e não por processo de escolha.Dessa forma, cada parcela do delineamento tem iguaischances de receber os tratamentos que serão testados napesquisa.

b) Repetição

O uso da repetição dos tratamentos testadospossibilita a estimativa do erro experimental, e permite aobtenção de resultados médios, que é o que interessa napesquisa. Qualquer que seja a fonte de erro experimental,a repetição diminui o erro associado com a diferença entreos resultados comuns de duas combinações de tratamento,desde que tenham sido distribuídos aleatoriamente nasparcelas.

c) Bloqueamento

É a distribuição dos tratamentos em parcelasconstituindo blocos, de tal maneira que não hajaheterogeneidade dentro de um mesmo bloco, podendohaver variabilidade entre eles. A finalidade de se adotar odelineamento em blocos é identificar fontes de variaçãoque na ausência do bloqueamento seria creditado ao erroexperimental.

d) Intervalo de aceitação

Equações que representam as relações entre osfatores de produção e os produtos obtidos ajustadas aspartir de dados experimentais, tem os seus resultadosválidos para o intervalo de tratamentos delineados. Naagricultura irrigada, se o intervalo de dados forrelativamente grande, maior aplicabilidade terá a funçãopara explicar as variações do produto, pelas variações daslâminas de água aplicadas.

a) Sulcos

7.8.2 Métodos de irrigação utilizados

b) Aspersão em linha (line-source)

c) Gotejamento

a) Delineamento inteiramente casualizado

7.8.3 Principais delineamentos utilizados

b) Delineamento em blocos inteiramente casualizado

c) Delineamento em parcelas subdivididas (split plot)

- Erros de estimativa (experimentais ou não)

7.8.4 Estimativa das funções

a) Variância do erro e dos parâmetros

b) Coeficiente de determinação

7.9 – Maximização do rendimento físicoe da receita líquida

7.9.1 Definições básicas

a) Receita total, receita média, receita marginal ereceita líquida

7.9.1 Definições básicas

YPRT y=Y

RTRMe =

RMg∂

∑ −−= CFCPYPRL iiy

Derivando a equação de RL em relação à W e aqualquer insumo X:

7.9.2 Maximização da receita líquida

qualquer insumo X:

xywy PXY

PWRL −

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂

Na condição de maximização de RL:

Pe0PWY

P xywy =−∂∂=−

∂∂

Seja a função de produção para o melão (Y), tendocomo variáveis água de irrigação (W) e a adubaçãonitrogenada (X) :

7.9.3 Exemplo prático

Seja Pw= R$0,50/mm; Px = R$1,00/kg; Py = R$2,00/kg

22 X329,1W0627,0X39,591W26,2637941Y −−++−=

Sendo CF = R$ 5.326,02, determinar as quantidades deágua e nitrogênio que maximizam a receita líquida.

mm42,207W0,25,0

W1254,026,26 =→=−

Pe0PWY

P xywy =−∂∂=−

∂∂

kg31,222X0,20,1

X658,239,591 =→=−

Substituindo os valores de W e X na função deprodução obtém-se Y = 30.598,73 kg ha-1.

A receita bruta ou total: R$ 61.197,45. A receitalíquida é R$ 55.545,41.

Professor Daniel Fonseca de CarvalhoD.S. ENGENHARIA DE ÁGUA E SOLO

Instituto de Tecnologia - Depto. de Engenharia BR 465, km 7 - Seropédica-RJ - 23.890-000

(21) 2682-1864;

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

(21) 2682-1864; e-mail: carvalho@ufrrj.br

http://www.ufrrj.br/institutos/it/deng/daniel

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