(63 alíneas) exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
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1 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE LOGARITMOS
Elaborado por: Mathusso Jucuiana1
Lembre-se antes da definição de logaritmo: xNb =log , com Nb x = . 1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental: a) b) c)
d)
3. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a) b)
c) d)
4. Calcule o valor: a) b) c)
Continua => 1 Licenciado em ensino de Matemática pela Universidade Católica de Moçambique. Lecciona matemática desde 2010 (6ª à 10ª
Classe).
2
332
444)4(
4log64log3232
3
416 2
=⇔=⇔
=⇔=⇔
=⇔=
xx
xxxx
8
1
4
1
2
12
14
2
1)5(
5log5log
4
2
1
5625 4
=⇔×=⇔
=⇔=⇔
==
xx
x
x
x
61/661
5
1
5
1
10
2log
1000000
64log)000064,0(log
61
6
6
5
1
55
1
−=⇔−=−⇔=−⇔
=
⇔=⇔
==
−
−
xxx
x
x
x
( )
6
1
2
1
3
13
1277
7log7log
3
12
3
1
73
49 2
=⇔×=⇔
=⇔=⇔
==
xx
x
x
x
( ) ( )
( )
3557
75
122
2log128log
75
1
7
225
15
=⇔×=⇔
=⇔=
⇔
==
xx
x
x
x
( )( )
4
32
32
2
113
3log33log33log
2
2
11
32
1
99 2
=⇔
=⇔+=⇔
=×=+
x
xx
( )
4
3
8
622
2log64log
8
6
8 62
82
=⇔=⇔=⇔
==
xx
x
x
2222
1log
4
1log
100
25log25,0log
222
222
−=⇔=⇔=⇔
=⇔==
− xx
xx
x
N
NN
=⇔=⇔=
125
53log 35 N
NN
=⇔=⇔=
256
28log 82
N
NN
=⇔
=
⇔−=
512
1
2
19log
9
2
( ) NNN =⇔=⇔= 332log2
3
33481log 44 =⇔=⇔= aaa
( )5413log1
81log3log813log4
3
333
=+=+=
+=×
3692log2log
64log512log64
512log
62
92
222
=−=−=
−=
( )
116321
2log2log2log1
64log8log4log2log
64842log
62
32
22
2222
2
=+++=+++=
+++=×××
( )
33
33
333333333939
2
127log
2
1
2
1
2232
1
9
=⇔=⇔
=⇔=⇔=×⇔×=⇔=⇔=
aa
aaaaaa
( )22
221024201024log2
10102102020
=⇔=⇔
=⇔=⇔=⇔=
aa
aaaa
1010210log 2 =⇔=⇔= aaa
2 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
d) e) f)
5. Calcule o valor das expressões: a) b)
c)
d)
e) f)
6. Determinar o valor de x para o qual:
a) b) c) d)
Continua =>
415132
17log7log
7log343log49log
7
34349log
37
27
777
7
=−=−+=−+=
−+=
×
2
3
2
582
5432log16log
2
52log32log
42log16log
32log16log
42
5
24
422
42
2
=−=
−=−∴
==
==
=−
( )
( )
1
3
1
3
13log125loglog
35log125log
125loglog
1
3
15
3
1
355
5
3
1
−=⇔
=
⇔=
==
=
−
x
x
( ) ( )
101033
10331024log64
27log8log
102log1024log
33
4log
4
3log
64
27log
32
1log2log8log
1024log64
27log8log
2
3
4
2
1
1022
3
3
43
3
3
4
3
4
3
2
13
2
1
2
1
2
3
4
2
1
−=−+−=
−−−−=−−∴
==
−=
==
−=
==
=−−
−
−
6
17
6
8918
3
4
2
3316log33log001,0log
3
42log16log
2
33log3log
27log27log33log33log
310log10
1log
1000
1log001,0log
16log33log001,0log
)2()3()6(
8310
4
28
2
3
32
13
3
2
1
332
33
3103101010
8310
3
−=−+−=
−+
−=−+∴
==→
===
==×=→
−====→
=−+
×
−
3
4
5log
5log
3log
4log555
555
35
45
5
53log
4log
3log
14log
3log
5log4log
3log44log3log
4
5
55
5
55
4554
==
====
==×
××× lo
( )
7
5
3log
3log
7log
5log333
333
73
53
13
37log
5log
7log
15log
7log
3log5log
7log5log5log7log
13
31
33
13
33
5335
−=
====
==
−−
×
×−××−
−−
−
10
522log22log
25log222
25
2
25log5log2 2
22
=×=⇔=⇔
=⇔=
( )9
4
18
8
18
42
4
182
4
36
2
2
1
2
36
20
2log6
10log0
2log2log
100
1log0
8log64
1log
01,0log1log
2
3
2
210
3
2
62
10
42
103
22
−=−=−
×−=−−=
×−
−=
××−
−+=
×−
+=
×
+=
×
+ −
−
2
2
221287128log 777 =⇔=⇔=⇔= xxxx 322828log 32 =⇔=⇔=⇔= xx xx
( ) xxx =⇔=⇔= 6443log 34 ( ) 1
2
1
2
12
2
12log
1
2
1 −=⇔
=
⇔=
⇔=−
xxxx
3 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação e) f)
7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b: a) Seja igual a 0. Solução: O valor de x deve ser 1. b) Seja igual a 1. Solução: O valor de x deve ser igual a
valor de b. c) Seja igual a -1. Solução: O valor de x deve ser inverso de b. II PARTE
1. Calcule: a) b) c) d)
2. Calcule o valor de x:
a) b)
c) d)
e)
3. Calcule:
a) b) c) d) e)
4. Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule
c
ba 2.log .
Solução: 12214295235loglogloglog 222
=−=−+=−+=−+=
×cba
c
ba
5. Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 3 12log x .
Solução: ( ) 3log3
12log
3
23log2log32log12log 3
1
3
2
3
123
xxxxxx +=+=×=
6. Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100log a
Solução: ( ) 5log22log25log2log52log100log 2222aaaaaa +=+=×=
Continua =>
1222
12
2
1log 1
2 −=⇔=⇔=⇔= − xx xx
1
4
3
4
3
3
4
4
3
3
4log
1
4
3
−=⇔
=
⇔=
⇔=
−
x
xxx
33log27log 333 ==
35
1log5log125log
3
5
13
5
1
5
1 =
==
4
52
1
2
52
2
5
2
52
222log
2log32log
2
522
5
2
5
24
2
2
=⇔
×=⇔÷=⇔=⇔
=⇔=⇔
==
x
xxx
x
x
x
3
3
2log
3
2log
27
8log
3
3
23
3
3
2
3
2 =
==
2238log 33 =⇔=⇔= xxx 4
1
4
1
16
12
16
1log
222 =⇔
=⇔=⇔= xxxx
3225log 52 =⇔=⇔= xxx 2
332333log27log 323
39 2 =⇔=⇔=⇔=⇔= xxxx x
52
1
2
12
2
132log
55
2
1 −=⇔
=
⇔=
⇔=−
xxxx
32log 32 −=−
2
17log7log 2
1
77 == 75 7log5 =
2137
222 3log7log3log7log 2222
=×=×=+
40104522222 25log225log22 22 =×=××=×=+
4 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
7. Resolva as seguintes equações:
( ) ( )
{ }3
32
662610221022102log2102log 2
24 2
=
=⇔−=⇔−=⇔+−=⇔=+⇔=+⇔=+
S
xxxxxxx
( )( ) 21loglog 32 =−x
( ) ( ) ( )
60
17717127log2
22222221
==
−=−⇔+=+⇔+=+⇔=++
x
xxxxxxxx
( ) ( ) ( )
{ }3
33993363633
6log33log6log13log6log1log3log 2222222
==⇔÷=⇔=⇔+=⇔=−⇔
=−⇔=−⇔=−+
S
xxxxx
xxx
( ) ( ) ( )
−=
−=⇔−=⇔−=⇔
=+⇔=+⇔=+⇔=++
2
12
112212
122122log112log11log2log 3333
S
xxx
xxxx
f) 0222logloglog2loglog2 222 =−⇔=⇔=⇔+= xxxxxxxx
( ) ( ) ( )
0323274424472
147221
72log21log72log
2222
222
222
2
=−−⇔=−⇔+−=−+⇔−=−+⇔
−=−+⇔=
−−+⇔=−−−+
xxxxxxxxxx
xxxx
xxxxx
NB: Para as equações que são preciso recorrer a fórmula de Báskhara para achar a sua solução, apenas levamos o x com o qual é possível tornar verdadeira a equação logaritmica. Daí termos apenas uma solução ao invés das duas soluções obtidas. Isto não descarta a ideia de termos duas soluções numa equação como o caso do número que segue.
Continua =>
( ) ( ){ }10
1019913121log 23
==⇔+=⇔=−⇔=−⇔=−
S
xxxxx
d)
e)
( )
{ }2
022
0
2
4
2
22
2
222
22
2
42
12
01422
2
4
212121
22
=
=∧=⇔=∧=⇔−=∧+=
⇔±=⇔±=⇔×
××−−±=⇔−±−=
S
xxxxxx
xxxa
acbbx
( )
{ }3
132
2
2
6
2
42
2
422
42
2
162
12
31422
2
4
212121
22
=
−=∧=⇔−=∧=⇔−=∧+=⇔
±=⇔±=⇔×
−××−−±=⇔−±−=
S
xxxxxx
xxxa
acbbx
a)
b)
c)
g)
⇒ Indeterminado
5 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação 8. Determine a solução da equação: ( ) ( ) ( )72log13log2log 222 −+=−+− xxx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]
0209
0146451446572232
72log2log32log72log13log2log
2
22
222222
=+−⇔
=++−−⇔−=+−⇔−=−−⇔
−+=−−⇔−+=−+−
xx
xxxxxxxxx
xxxxxx
{ }4;5
42
85
2
10
2
19
2
191
19
2
19
12
201499
2
4
2121
22
=
==∧==⇔−=∧+=⇔
±=⇔±==×
××−±=⇔−±−=
S
xxxx
xxxa
acbbx
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