4multiritmo
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© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20081
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO I Em muitas aplicações é necessário processar a informação a ritmos de amostragem diferentes. O processamento de sinal multiritmo trata do desenvolvimento e análise de técnicas eficientes de alteração da frequência de amostragemExemplo: nos sistemas de áudio profissionais utiliza-se fs=48kHz mas nos discos compactos (CD) é utilizado fs=44.1kHz pode ser necessário fazer a conversão entre os dois ritmos de amostragemAplicações importantes:1) Formatação de espectro em moduladores digitais2) Aquisição de sinais: se um sinal analógico for amostrado a um ritmo muito superior ao
valor mínimo possível dado pelo teorema da amostragem, então o filtro anti-aliasingnecessário antes do sinal ser amostrado e o filtro anti-imagem (reconstrutor) após a conversão D/A podem ser muito mais simples
3) Armazenamento de informação: a informação contida em certos sinais (por exemplo sinais de voz) pode ser codificada/transmitida de forma eficiente usando frequências de amostragem baixas. A reconstrução do sinal é feita usando técnicas de processamento multiritmo
4) Conversão A/D e D/A de alta resolução: a utilização de sobreamostragem em conversores A/D e D/A permite fazer com que o espectro do ruído de quantificação seja �espalhado� por uma banda de frequências muito superior à ocupada pelo sinal
o nº de bits efectivos aumenta.5) Filtragem de banda estreita: O projecto de filtros de banda estreita (quando
comparada com a frequência de amostragem) é complicado requerendo em geral uma ordem elevada (muitos coeficientes). A utilização de técnicas de multiritmo permite realizar estes filtros a uma frequência de amostragem mais baixa, com uma ordem que é muito inferior
6) Rádio digital: permite o processamento/desmodulação directa de sinais RF, sem estágios de frequência intermédia (software radio)
As operações fundamentais do processamento multiritmo são a decimação e a interpolação
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20082
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IIDecimação: redução da frequência de amostragemRedução da frequência de amostragem de um factor inteiro M ou seja, fs fs/MPara que não exista perda de informação é necessário garantir o teorema da amostragem e portanto utilizar um filtro anti-aliasing para eliminar componentes do sinal com frequência f > fs/(2M)
Filtro digitalanti-aliasing
Decimador(compressor)
A decimação consiste em utilizar apenas uma amostra do sinal à saída do filtro anti-aliasing, por cada produzidas. Matematicamente, w(n) édado pela convolução
e a saída y(m) por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
w n x n h n h k x n k
( ) ( ) ( ) ( )n mMk
y m w n h k x mM k
Exemplo com M = 3
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20083
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IIIDecimação: redução da frequência de amostragem Representação no domínio da frequência: M=3, fs=6kHz
O espectro de x(n) tem componentes com frequência acima de fs/(2M) = 1kHz
Módulo da resposta em frequência do filtro digital anti-aliasing
Após a filtragem (realizada ao ritmo fs) o espectro fica limitado a f <1kHz
Após a decimação o espectro aparece repetido em todos os múltiplos de fs/M
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20084
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IVInterpolação: aumento da frequência de amostragem. Aumento da frequência de amostragem de um factor inteiro L ou seja, fs LfsPara manter a informação na banda de Nyquist que é agora [0 Lfs/2], é necessário utilizar um filtro anti-imagem para eliminar as componentes resultantes com frequência no intervalo [fs/2 Lfs/2]
Filtro digitalanti-imagemInterpolador
(expansor)
A interpolação consiste em inserir L-1 amostras com o valor zero por cada amostra do sinal original. Matematicamente, w(n) é dado por
e a saída do filtro pela convolução
, 0, 2 ,( )
0, outros
mx m L L
Lw nm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
y m w m h m h k w m k
Exemplo com L = 3
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20085
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VInterpolação: aumento da frequência de amostragemRepresentação no domínio da frequência: L = 3, fs = 2kHz
O espectro de x(n) tem repetições em todos os múltiplos de fs = 2kHz
Após a interpolação para fs=6kHz, a imagem inicial em torno de fs passa a estar na banda de interesse
Resposta em frequência (módulo) do filtro digitalanti-imagem
Após a filtragem obtém-se o espectro original entre 0 e fsmas agora com a frequência de amostragem Lfs = 6kHz
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20086
0x
0
1x2x
3x
0x3x
0x
1x2x
3x
2 sT 3 sT
3
3
20 0 sE x T
3 sT0 sT
sT
20 0 sE x T
20 0 3
sTE x
sT3sT0
snT
snT
snT2 sT 3 sT
( )sx nT
( )D sx nT
( )I sx nT
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VI
A conversão de frequência pode afectar a energia do sinalExemplo: Cálculo da energia num intervalo
t = Ts
A decimação mantém a energia do sinal
A interpolação diminui a energia do sinal de um factor L necessário compensar este efeito multiplicando as amostras por L
12
0
1lim ( )
K
x s sK n
E x nT TK
1 2
0
1lim
3D
Ks
x s xK n
nTE x T E
K
12
0
1lim
3 3I
Ks x
x sK n
T EE x nT
K
A interpolação pode ser vista como o equivalente digital de uma conversão D/A em que o sinal analógico é recuperado interpolando as amostras (efeito do filtro anti-imagem ou reconstrutor) A decimação pode levar à perda de informação
A interpolação pode replicar a informação em bandas de frequência de interesse
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20087
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VII
Conversão da frequência de amostragem por um factor não inteiroExemplo: Na passagem de CD para DAT é necessário interpolar as amostras por um factor 48/44.1, que não é inteiro mas é racionalRepresenta-se o factor pelo racional L/M(no exemplo: 48/44.1=160/147) de forma que a conversão corresponde a realizar uma interpolação por um factor L seguida de decimação por um factor MPara evitar perda de informação, a interpolação deve anteceder a decimação
Exemplo com L = 3 e M = 2
Estes dois filtros são operados ao mesmo ritmo de amostragem e
podem ser combinados
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20088
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VIIIAnálise no domínio da frequência: L=3, M=2, fs=2kHzConversão multi-estágio: quando são necessárias variações muito grandes da frequência de amostragem (interpolação ou decimação) éconveniente usar estruturas multi-estágio porque permitem a utilização de filtros menos selectivosExemplo: decimador com M=16
032sf sf
2sf
08sf sf
2sf
16M
1 2 4M M
Difícil
Mais fácil
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20089
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IXInterpoladores: estrutura de cálculo com filtros polifase
Exploram o facto de que à saída do interpolador, em cada L amostras, L-1 são nulas a sua contribuição para a saída do filtro anti-imagem não tem de ser calculada
Exemplo: interpolador com L=3 e filtro FIR anti-imagem de ordem N=9
Cada x(n) origina 3 amostras y(m), cada uma das quais calculada como a saída de um de 3 sub-filtros FIR (em geral: L)com 3 coeficientes (em geral: N/L)
Cada sub-filtro opera ao ritmo mais baixo, pré-interpolação (fs)
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
(0)x
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(1)x
(0)w
(1)x
(1)x
(1)x
(1)x
(1)x
0
0
0
0
0
0 0
0 0
(2)x
(2)x
(2)x
0
0 0
(8)w
(0), (3), (6)w w w
(3)w (5)w(1)w (2)w (4)w (6)w (7)w
(1), (4), (7)w w w
(2), (5), (8)w w w
2
3
{ (0), (3), (6)}
{ (1), (4), (7)}
{ (2), (5), (8)}
h h h
h h h
h h h
1s
s
s
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200810
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XO cálculo do interpolador é equivalente a:
Em cada uma das L-1 fases, toma-se a saída do filtro respectivo (daí o nome)Os coeficientes dos filtros polifase são:
Linha de atrasocom N/L amostras
0,1, , - 1( ) ( ),
0,1, , 1k
k Ln h k nL N
nL
Banco de LFiltros
polifase
Estrutura utilizada na realização prática
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200811
Decimadores: estrutura de cálculo com filtros polifase
Os filtros operam ao ritmo mais baixo, pós-decimação (fs/M)
Os coeficientes dos filtros polifase são:
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XI
0 1 8
0 3 6
1 4 7
2 5 8
(0) (1) (8)
(0) (3) (6)
(1) (4) (7) saída de 3 filtros
(2) (5) (8)
x h x h x h
x h x h x h
x h x h x h
x h x h x h
Estrutura utilizada na realização prática
Banco de MFiltros
polifase
0,1, , - 1
( ) ( ), 0,1, , 1
k
k M
n h k nM Nn
M
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200812
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIIAplicações
1) Formatação de espectro em modulador digital
bits
( )R sx nT
Atribuição desímbolo
complexo
( )sg nT
( )I sx nT( )sg nT
( )ss nT
02 cos snT
02 sin snT
Filtros de formatação do espectro
F
Modulador
Constelação
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Tempo normalizado, t /T
Pulsos co-seno elevado com
excesso de banda /(2T ) Hertz
0 35.
0 0.1 0.
G f
1T
0 5.
00 1
2T1
2T12T f
1
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Resposta impulsional do filtro contínuo: filtro coseno elevado
Filtro FIR com N coeficientes obtidos por truncatura da resposta impulsional:
Com L = 4 amostras símbolo:
Saída do interpolador pode ser calculada com estrutura polifase (4 filtros)
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIII
2sin / cos /
( )/ 1 4 /t T t T
g tt T t T
1
-1
1
1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1
g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13
0
( )R sx nT
Linha de atrasodas amostras
Coeficientes emmemória
1
1
0( ) ( ) ( ), 0,1, , 1
NL
Ri
y k nL g k iL x n iL k L
Só estes interessam
|( ) ( ) 0, , 1ss t nTg nT g t n N
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200814
2) Disco compacto de áudio
Para não saturar o amplificador de potência e evitar distorção de intermodulação énecessário filtrar as imagens do espectro em torno dos múltiplos da frequência de amostragem fs=44.1kHz necessário filtros analógicos muito bons (e caros�) pois a banda de transição é muito pequena
Ao fazer interpolação com um factor L=4 consegue-se aumentar a banda entre as imagens e consequentemente o filtro anti-imagem com a mesma especificação de atenuação é muito mais simples (e barato�)
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIV
0 20 [kHz]f44.1sf
4LMais fácil
88.2
0 20 [kHz]f
44.1 88.2 132.3 4 176.4sf
Muito difícil
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200815
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XV
Novo contexto deprocessamento
0 [kHz]f
interpolação L M
0 [kHz]f
Mais fácildecimação M
Difícil realizareste filtro
0 [kHz]f2sf sf
sf2
sfM
sfM
Obtém-se ofiltro
pretendido
sf2
sfM
sfM
3) Filtragem de banda estreitaNum filtro de banda estreita, a banda de passagem é muito pequena quando comparada com a frequência de amostragem. O filtro FIR resultante tem muitos coeficientes o que é desvantajoso porque:1. Aumenta a susceptibilidade relativamente aos erros inerentes à
representação numérica com precisão finita
2. Aumenta o esforço computacional3. Aumenta os requisitos de memória do filtro
Estes problemas podem ser obviados com recurso ao processamento multiritmo:
Filtragem passa-baixo
Filtragem passa-banda
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200816
4) Conversores A/D com sobreamostragemRuído de quantificação: quantificador com intervalos de quantificação
Quantificador com B bit:
Admitindo o erro de quantificação uniformemente distribuído no intervalo [- ], o seu valor médio é zero e a variância é, pela definição
Quando se converte uma sinusóide com amplitude A, a potência de sinal é S=A2/2 pelo que a relação sinal-ruído de quantificação vem, em dB
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVI
A 0 A Amplitude2 2
0
1( )p
2 2/22 2 2 21
/2( ) 2
12 3BA
p d d
2 22 1 2B B
A A
2
2 2 2/2
SQNR 10 log 10 log 1.76 6 [dB]2 /3B
S AB
A
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200817
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVIIA banda de frequências onde se pode ter o sinal é [-fs/2, fs/2] com largura fs. A densidade espectral de potência do ruído é constante nesta banda e vale
Se o sinal de interesse ocupar apenas uma banda de frequências [-fmax, fmax] então podemos filtrar esta banda passa-baixo e reduzir a potência do ruído de quantificação
2
( ) , 2 2s s
s
f fS f f
f
22( )
max
max
f max
f s
fP S f df
f
2sf
2sf0
maxfmaxf
2
( )s
S ff
Banda de interesse
f
Inverso do factor de sobreamostragem
Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem
Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem
22( )
max
max
f max
f s
fP S f df
f
Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura fs e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem
Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura fs e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem
2s
max
fF
f
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200818
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVIIIExemplo: Considere um sinal de áudio com largura de banda 10kHz (unilateral). Calcule
qual a frequência de amostragem a utilizar num conversor de 1 bit de forma a que a conversão seja equivalente à conseguida com um conversor de 12 bit
A frequência de amostragem mínima com o conversor de 12 bit é fs=2fmax=20kHz e a potência do ruído de quantificação é
Para se ter a mesma potência de ruído de quantificação com um conversor de 1 bit deve verificar-se
e portanto:
Exemplo: Considere um sinal de áudio com largura de banda 10kHz (unilateral). Calcule qual a frequência de amostragem a utilizar num conversor de 1 bit de forma a que a conversão seja equivalente à conseguida com um conversor de 12 bit
A frequência de amostragem mínima com o conversor de 12 bit é fs=2fmax=20kHz e a potência do ruído de quantificação é
Para se ter a mesma potência de ruído de quantificação com um conversor de 1 bit deve verificar-se
e portanto:
2 2 122 2(12 )
3A
bit
2 2 2 12 11
2 2 12(1 ) 2 /3
(12 ) 22 /3
bit Abit F
F A
20kHz 40.96MHzsf F
Podem conseguir-se factores de redução da potência de ruído de quantificação aliando à sobremostragem técnicas de formatação do espectro do ruído (noiseshaping)
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200819
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIXAplicações de electrónica de consumo, principalmente áudio, requerem conversores A/D e D/A de elevado desempenho e muito baratosEstes requisitos são difíceis de conseguir com as técnicas de conversão habituais (aproximações sucessivas, dupla rampa, etc�) devido aos erros no processo de conversão (erros de Sample & Hold, linearidade, monotonicidade, etc)
Conversores de 1 bit: não utilizam S/H e não têm estes erros. Além disso são baratos. O seu desempenho é conseguido à custa de:
Sobreamostragem (oversampling)Formatação da densidade espectral do ruído de quantificação (noise shaping)As palavras de saída obtêm-se com técnicas de decimação
Modelo:
Devido à realimentação negativa, o sistema tende a ter à entrada do filtro um sinal que em média éaproximadamente zero (o ADC de 1 bit é um comparador com ganho muito elevado)Desta forma o sinal de saída é uma sequência de bits com uma densidade de �1�s que representa a amplitude do sinal de entrada
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200820
O modelo de processamento de sinal é:
Funções de transferência (integrador de 1ª ordem):
O sinal x(n) passa para a saída sem modificaçãoe o ruído de quantificação é afectado pela funçãode transferência N(z), do tipo passa-altoAs componentes do espectro do ruído na banda de frequências do sinal são fortemente atenuadas
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXO ruído de quantificação é
somado neste ponto (comparador)
11
1
( )
1( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
N z
Y z E z X z z Y zz
X z z E z
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200821
Por cada oitava (duplicação da frequência de amostragem) o aumento da SNR devido àsobreamostragem é de 6dB. O restante édevido à acção do filtro de noise-shaping: 3dB para filtro de 1ª ordem, 9dB para 2ª ordem, 15dB para 3ª ordem. Em geral, (-3+6n)dB para filtro de n-ésima ordem
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIResposta do filtro digital. Este filtro é um filtro anti-aliasing para a decimação. Ao rejeitar a maior parte do espectro do ruído de quantificação o número efectivo de bits vem aumentado
Espectro do sinal após filtragem, pré-decimação. Notar que a decimação propriamente dita não altera em nada a SNR.Podem usar-se estruturas de decimação polifase
O filtro pré-decimação introduz um atraso de grupo (que pode ser constante, filtro FIR com fase linear). Isto é um grande inconveniente porque existe um grande atraso entre o sinal analógico e a amostradigital de saída
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200822
5) Rádio digital (software radio)Exemplo: Rádio digital de banda larga (Watkins-Johnson Inc.) para estação base
Toda a banda RF de interesse, com largura de banda 14MHz é convertida para banda de base por um único desmodulador
O sinal é depois convertido pelo ADC a um ritmo fs=30.72 MHz, ligeiramente superior a 2 14MHz. Este sinal real tem todos os canais de rádio-frequênciaCada canal é recuperado digitalmente (software) por um desmodulador complexo em quadratura que opera ao ritmo fsApós a desmodulação, o sinal (complexo) de cada canal é decimado por um factor M=384 ficando referido a uma frequência fs2=80kHz
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXII
2sf
15.36MHz2sf0
f
2sf
15.36MHz2sf0
f
0( )H fsff
N
2j nNe
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200823
Decimadores e interpoladores para rádio digital: filtros CIC (Cascade Integrator Comb)Estruturas de cálculo eficiente que podem ser usadas em qualquer aplicação em que sejam necessários factores de decimação/interpolação elevados
Cascata de N integradores HI(z) com N filtros Comb com função de transferência C(z)
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIII
Integrador Filtro comb
11
1( ) 11 ( )
1( ) 1
NMI
M
H z zz H zzC z z
sin2( )
sin2
Ns
s
M T
H j T zeros em , 1, , 1sk
ff k k M
M
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200824
SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIVAs bandas de frequência que poderiam provocar aliasing após a decimação são fortemente atenuadasDesvantagens dos filtros CIC:
1) O ganho do filtro em DC é |H(0)|=MN que pode tomar valores muito elevados e requerer registos com muitos bits
2) O controlo das características do filtro épouco versátil: apenas podemos mudar N(versões mais complexas permitem a introdução de outro parâmetro nas secções Comb que aumenta a versatilidade controlando a localização dos zeros da função de transferência)Vantagens dos filtros CIC:
1) Não são necessárias multiplicações2) Não é necessário guardar coeficientes em memória
3) A estrutura do filtro é regular, facilmente replicável
Nota: Deve utilizar-se aritmética em complemento para 2 de forma a que eventuais overflowsintermédios não influenciem o resultado final
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