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12 Vetores e a Geometria
do Espaço
James Stewart – Cálculo – Volume 2
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12.1 Sistemas de Coordenadas
Tridimensionais
3 3
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
Para representarmos pontos no
espaço, primeiro escolhemos um ponto fixo O (a
origem) e três retas orientadas perpendiculares
entre si, os denominadas eixos coordenados:
eixo Ox, eixo Oy e eixo Oz.
4 4
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
Geralmente, colocamos os eixos x e y, denotados
por como retas horizontais e a reta vertical como o eixo z,
e indicamos a orientação dos eixos com setas, como
mostrado na Figura 1.
Eixos Coordenados
Figura 1
5 5
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
Os três eixos coordenados determinam três planos coordenados
ilustrados na Figura 3(a). O plano xy é o plano que contém os
eixos x e y; o plano yz contém os eixos y e z; o plano xz contém os
eixos x e z. Estes três planos coordenados dividem o espaço em
oito partes, chamadas octantes. O primeiro octante é
determinado pelos eixos positivos.
Planos coordenados
Figura 3(a)
6 6
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
Se P é qualquer ponto no espaço, seja a a distância
(orientada) a partir do plano yz ao ponto P; b a distância do plano
xz ao ponto P e c, a distância do plano xy ao ponto P.
Representamos o ponto de P pela tripla ordenada (a, b, c)
de números reais e chamamos a, b e c de coordenadas de P; a é
a coordenada no eixo (abscissa) x, b é a coordenada no eixo y
(ordenada) e c é a coordenada no eixo z (cota).
7 7
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
Assim, para localizarmos o ponto (a, b, c), começamos da
origem O e movemos a unidades ao longo do eixo x; em
seguida, b unidades paralelamente ao eixo y e, por fim, c
unidades paralelamente ao eixo z como na Figura 4.
Figura 4
8 8
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
O ponto P(a, b, c) determina uma caixa retangular como
ilustradoda na Figura 5. Se traçarmos uma perpendicular
de P ao plano xy, encontraremos um ponto Q com
coordenadas (a, b, 0), denominado projeção de P no plano
xy. Analogamente, R(0, b, c) e S(a, 0, c) são as projeções de
P nos planos yz e xz, respectivamente.
Figura 5
9 9
Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
O produto cartesiano =
{(x, y, z) | x, y, z } é
o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais e é
denotado por .
Existe uma correspondência biunívoca entre pontos P
no espaço e triplas ordenadas (a, b, c) no .
Observe que, em termos de coordenadas, o primeiro
octante pode ser descrito como o conjunto de pontos cujas
coordenadas são todas positivas.
10 10
Superfícies
Na geometria analítica bidimensional, o gráfico de
uma equação envolvendo x e y é uma curva em .
Em geometria analítica tridimensional, uma equação em x,
y e z representa uma superfície em .
11 11
Exemplo 1
Que superfícies de estão representadas pelas
seguintes equações?
(a) z = 3 (b) y = 5
SOLUÇÃO:
(a) A equação z = 3 representa o conjunto {(x, y, z) | z = 3},
que é o conjunto de todos em com coordenada z é
igual a 3. (x e y podem assumir qualquer valor).
12 12
Exemplo 1 – Solução
Este é o plano horizontal paralelo ao plano xy e três
unidades acima deste, como na Figura 7(a).
Figura 7(a)
z =3, um plano em
continuação
13 13
Exemplo 1 – Solução
(b) A equação y = 5 representa o conjunto de todos os
pontos em cuja coordenada y é 5.
Esse é o plano vertical paralelo ao plano xz e cinco
unidades à direita deste, como na Figura 7(b).
continuação
Figura 7(b)
y = 5, um plano em
14 14
Superfícies
Em geral, se k é uma constante, então x = k
representa um plano paralelo ao plano yz, y = k é um plano
paralelo ao plano xz e z = k é um plano paralelo ao plano xy.
Na Figura 5, as faces da caixa retangular são formadas
pelos três planos coordenados x = 0 (o plano yz), y = 0 (o
plano xz), e z = 0 (o plano xy), e os planos x = a, y = b e z = c.
Figura 5
15 15
Distâncias e Esferas
A fórmula familiar para a distância entre dois pontos
em um plano é estendida facilmente para a seguinte
fórmula tridimensional.
16 16
Distâncias e Esferas
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12.2 Vetores
18
Vetores O termo vetor é usado por cientistas para indicar
quantidades (tais como deslocamento ou velocidade ou
força) que têm ao mesmo tempo módulo, direção e
sentido.
Um vetor é frequentemente representado por uma seta
ou segmento de reta orientado. O comprimento da seta
representa o módulo do vetor e a seta aponta na direção e
sentido do vetor.
Denotamos um vetor por uma letra em negrito (v) ou
colocando uma seta sobre a letra .
Por exemplo, suponha que uma partícula se mova ao
longo de um segmento de reta do ponto A para o ponto B.
19
Vetores
O vetor deslocamento correspondente v, mostrado na
Figura 1, possui ponto inicial A (o início) e ponto
terminal B (o fim) e indicamos isso escrevendo .
Vetores equivalentes
Figura 1
20
Vetores
Observe que o vetor tem o mesmo tamanho, a
mesma direção e sentido que v, embora esteja em uma
posição diferente.
Dizemos que u e v são equivalentes (ou iguais) e
escrevemos u = v.
O vetor nulo, denotado por 0, tem comprimento 0. Ele é
o único vetor sem nenhuma direção específica.
21
Operações com Vetores
Suponha que uma partícula se mova de A para B, assim,
seu deslocamento é . Em seguida, a partícula muda de
direção e move-se a partir de B para C, com vetor de
deslocamento como na Figura 2. O efeito combinado
desses deslocamentos é que a partícula se moveu de A
para C. O vetor deslocamento resultante é chamado de
soma de e e escrevemos
Figura 2
22
Adição de Vetores
Em geral, se começamos com os vetores u e v, primeiro
movemos v de forma que seu início coincida com o fim de
u e definimos a soma de u e v como segue.
A definição de adição de vetores
é ilustrada na Figura 3. Você pode
ver por que essa definição é
algumas vezes chamada
Lei do Triângulo.
Figura 3
Lei do Triângulo
23
Adição de Vetores
Na Figura 4 começamos com os mesmos vetores u e v
como na Figura 3 e desenhamos uma outra cópia de v com
o mesmo ponto inicial u. Completando o paralelogramo,
vemos que u + v = v + u. Isso também fornece outra
maneira de construir a soma: se posicionarmos u e v de
maneira que eles comecem no mesmo ponto, então
u + v estará ao longo da diagonal do
paralelogramo com u e v como lados.
Figura 4
Lei do Paralelogramo:
24
Exemplo 2
Desenhe a soma dos vetores a e b mostrados na Figura 5.
SOLUÇÃO: Primeiro transladamos b e posicionamos seu
ponto inicial no ponto final de a, tomando cuidado para
desenhar uma cópia de b que tenha o mesmo
comprimento e direção.
Figura 5
25
Exemplo 2 – Solução
A seguir, desenhamos o vetor a + b
[veja a Figura 6(a)] começando no
ponto inicial de a e terminando
no ponto final da cópia de b.
Alternativamente, podemos posicionar
b tal que ele comece onde a começa e
construir a + b pela Lei do
Paralelogramo, como na Figura 6(b).
Figura 6(a)
Figura 6(b)
continuação
26
Multiplicação de um vetor por um escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real c.
(Nesse contexto, chamaremos o número real c de escalar,
a fim de distingui-lo de um vetor.)
Por exemplo, queremos que 2v seja o mesmo vetor que
v + v, o qual possui a mesma direção e sentido de v mas
tem o dobro do comprimento. Em geral, multiplicamos um
vetor por um escalar da seguinte maneira.
27
Multiplicação de um vetor por um escalar
Essa definição é ilustrada na Figura 7.
Vemos que os números reais funcionam como fatores de
escala aqui; é por isso que são denominados escalares.
Figura 7
Múltiplos por escalares de v
28
Multiplicação de um vetor por um escalar
Observe que os dois vetores não nulos são paralelos se
são múltiplos escalares um do outro.
Em particular, o vetor –v = (–1)v tem o mesmo
comprimento de v, mas aponta em sentido oposto. É
denominado oposto de v.
Pela diferença u – v de dois vetores, queremos dizer
u – v = u + (–v)
29
Componentes de um vetor
Para alguns propósitos é melhor introduzir um sistema de
coordenadas e tratar os vetores algebricamente. Se
posicionarmos o ponto inicial de um vetor a na origem de
um sistema de coordenadas retangulares, então o ponto
final de a tem coordenadas da forma (a1, a2) ou (a1, a2, a3),
dependendo se nosso sistema de coordenadas for em
duas ou três dimensões (veja a Figura 11).
Figura 11
30
Componentes
Essas coordenadas são denominadas componentes de a
e escrevemos
a = a1, a2 ou a = a1, a2, a3
Usamos a notação a1, a2 para o par ordenado que se
refere a um vetor para não confundir com o par ordenado
no (a1, a2), que corresponde a um
ponto no plano.
Por exemplo, os vetores apresentados
na Figura 12 são todos equivalentes
ao vetor = (3, 2) cujo ponto terminal
é P(3, 2).
Figura 12
Representações do vetor a = 3, 2
31
Componentes
O que eles têm em comum é que o ponto terminal é
alcançado a partir do ponto inicial por um deslocamento de
três unidades para a direita e duas para cima.
Podemos pensar em todos esses vetores geométricos
como representações do vetor algébrico a = 3, 2.
A representação particular da origem ao ponto P(3,
2) é chamado vetor posição do ponto P.
32
Componentes
Em três dimensões, o vetor a = = a1, a2, a3 é o vetor
posição do ponto P(a1, a2, a3). (Veja a Figura 13.)
Representações de a = a1, a2, a3
Figura 13
33
Componentes
Vamos considerar qualquer outra representação de a,
onde o ponto inicial é A(x1, y1, z1) e o ponto final é
B(x2, y2, z2).
Então, temos que ter x1 + a1 = x2, y1 + a2 = y2 e z1 + a3 = z2
e, então, a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1 e a3 = z2 – z1.
Portanto, temos o seguinte resultado.
34
Componentes
A magnitude ou comprimento do vetor v é o
comprimento de qualquer uma de suas representações e é
denotado pelo símbolo | v | ou || v ||. Usando a fórmula de
distância para calcular o comprimento de um segmento
OP, obtemos as seguintes fórmulas.
35
Componentes
Como somamos os vetores algebricamente? A Figura 14
mostra que, se a = a1, a2 e b = b1, b2, então a soma é
a + b = a1 + b1, a2 + b2, pelo menos para o caso em que
as componentes são positivas.
Em outras palavras, para somarmos
algebricamente vetores, somamos
seus componentes. Analogamente,
para subtrairmos vetores,
subtraímos suas componentes.
Figura 14
36
Componentes
A partir dos triângulos semelhantes, na Figura 15, vemos
que as componentes de ca são ca1 e ca2.
Assim, para multiplicarmos um vetor por um escalar
multiplicamos cada componente por aquele escalar.
Figura 15
37
Componentes
38
Componentes
Denotaremos por V2 o conjunto de todos os vetores
bidimensionais e por V3 o conjunto de todos os vetores
tridimensionais.
De forma mais geral, precisaremos, adiante, considerar
o conjunto Vn dos vetores de dimensão n.
Um vetor de dimensão n é uma n-upla ordenada:
a = a1, a2, . . . , an
em que a1, a2, . . . , an são números reais chamados
componentes de a.
39
Componentes
Adição e multiplicação escalar são definidas em termos
das componentes, como para os casos n = 2 e n = 3.
40
Componentes
Três vetores em V3 têm papel especial. Considere
Esses vetores i, j e k são chamados vetores da base
canônica. Eles têm comprimento 1 e direção e sentido dos
eixos x, y e z. Da mesma forma, em duas dimensões,
definimos i = 1, 0 e j = 0, 1. (Veja a Figura 17.)
Figura 17
Vetores da base canônica em V2 e V3
41
Componentes
Se a = a1, a2, a3, então podemos escrever
a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3
= a11, 0, 0 + a20, 1, 0 + a30, 0, 1
a = a1i + a2 j + a3k
Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em termos
de i, j e k. Por exemplo,
1, –2, 6 = i – 2j + 6k
Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever
a = a1, a2 = a1i + a2 j
42
Componentes
Veja a Figura 18 para a interpretação geométrica das
Equações 3 e 2 e compare com a Figura 17.
Figura 17
Vetores da base canônica em V2 e V3
Figura 18
43
Componentes
Um versor ou vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1.
Os vetores, i, j e k são exemplos de vetores unitários ou
versores. Em geral, se a 0, então o vetor unitário que tem
mesma direção e mesmo sentido de a, chamado versor de
a, é
Para verificar isso, seja c = 1/| a |. Então, u = ca e c é um
escalar positivo, de modo que u tem a mesma direção e o
mesmo sentido do vetor a. Além disso,
| u | = | ca | = | c | | a | = = 1
44
Aplicações
Vetores são úteis em muitos aspectos da física e da
engenharia. Aqui olharemos para as forças.
Uma força é representada por um vetor porque tem
módulo (medido em libras ou newtons), direção e sentido.
Se várias forças estão agindo em um objeto, a força
resultante experimentada pelo objeto é o vetor soma
dessas forças.
45
Exemplo 3
Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios
como é mostrado na Figura 19. Encontre as tensões
(forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas magnitudes.
Figura 19
46
Exemplo 3 – Solução
Primeiro vamos exprimir T1 e T2 em função de suas
componentes horizontal e vertical. Da Figura 20 vemos
que
T1 = –| T1 | cos 50 i + | T1 | sen 50 j
T2 = | T2 | cos 32 i + | T2 | sen 32 j
A resultante T1 + T2 contrabalança F
de modo que
T1 + T2 = –F = 980 j
Figura 20
47
Exemplo 3 – Solução
Logo,
(–| T1 | cos 50 + | T2 | cos 32) i + (| T1 | sen 50 + | T2 | sen 32)j = 980 j
Igualando as componentes, obtemos
–|T1|cos 50 + |T2|cos 32 = 0
|T1|sen 50 + |T2|sen 32 = 980
Resolvendo a primeira destas equações para | T2 | e
substituindo na segunda, temos
continuação
48
Exemplo 3 – Solução
Ou seja, os módulos das tensões são
e
Substituindo esses valores em e , obtemos os vetores
tensão
T1 –539 i + 643 j T2 539 i + 337 j
continuação
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12.3 O Produto Escalar
50
O Produto Escalar
Até aqui estudamos as operaçõs de soma e de
multiplicação por um escalar para vetores.
É possível definer uma operação de multiplicação entre
vetores que produza alguma informação? Veja a seguir
uma possibilidade.
Assim, para achar o produto escalar de a e b,
multiplicamos as componentes correspondentes e
somamos.
51
O Produto Escalar
O resultado não é um vetor. É um número real, isto é, um
escalar, por isso o nome produto escalar. O produto
escalar é também conhecido como produto interno.
Apesar de a definição ter sido dada para os vetores
tridimensionais, o produto escalar para os vetores
bidimensionais é definido de forma análoga:
a1, a2 b1, b2 = a1b1 + a2b2
52
Exemplo 1
2, 4 3, –1 = 2(3) + 4(–1) = 2
–1, 7, 4 6, 2 , ( = (–1)(6) + 7(2) + 4(-1/2) = 6
(i + 2j – 3k) (2j – k) = 1(0) + 2(2) + (–3)(–1) = 7
53
O Produto Escalar
O produto escalar satisfaz as propriedades a seguir.
54
O Produto Escalar
Essas propriedades são facilmente demonstradas usando
a Definição 1. Por exemplo, vamos fazer a demonstração
das Propriedades 1 e 3:
3. a (b + c) = a1, a2, a3 b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3
= a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2) + a3(b3 + c3)
= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3
= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)
= a b + a c
55
O Produto Escalar
O produto escalar a b tem uma interpretação geométrica
em termos do ângulo formado pelos vetores a e b,
definido como o ângulo entre os representantes de a e b,
ambos com ponto inicial na origem, com 0 . Em
outras palavras, é o ângulo entre os segmentos de reta
OA e OB na Figura 1. Observe que, se a e b são vetores
paralelos, então = 0 ou = .
Figura 1
56
O Produto Escalar
O teorema a seguir, costuma ser utilizado na Física como
definição do produto escalar.
57
Exemplo 4
Se os vetores a e b têm módulos 4 e 6, e o ângulo entre
eles é /3, determine a b.
SOLUÇÃO: Usando o Teorema 3, temos
a b = | a | | b | cos( /3) = 4 6 = 12
58
O Produto Escalar
A fórmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar o
ângulo entre dois vetores.
59
Exemplo 5
Determine o ângulo entre os vetores a = 2, 2, –1 e
b = 5, –3, 2.
SOLUÇÃO: Uma vez que
e e
e uma vez que
a b = 2(5) + 2(–3) + (–1)(2) = 2
60
Exemplo 5 – Solução
temos, do Corolário 6,
Assim, o ângulo entre a e b é
≈ 1,46 (ou 84º)
continuação
61
O Produto Escalar
Dois vetores não nulos a e b são perpendiculares ou ortogonais
se o ângulo entre eles é = /2. O Teorema 3 nos fornece
a b = | a | | b | cos( /2) = 0
e reciprocamente se a b = 0, então cos = 0, portanto,
= /2. O vetor nulo 0 é considerado perpendicular a todos os
vetores.
Temos, portanto, um método para determinar se dois vetores são
ortogonais.
62
Exemplo 6
Mostre que 2i + 2j – k é perpendicular a 5i – 4j + 2k.
SOLUÇÃO: Uma vez que
(2i + 2j – k) (5i – 4j + 2k) = 2(5) + 2(–4) + (–1)(2) = 0
esses vetores são perpendiculares por
Como 0 se 0 /2 e cos 0 se /2 , vemos que
a b é positivo para /2 e negativo para /2. Podemos
pensar que a b mede o quão próxima está a direção de a e b.
63
O Produto Escalar
Como cos 0 se 0 /2 e cos 0 se /2 , vemos
que a b é positivo para /2 e negativo para /2.
Podemos pensar que a b mede o quão próxima está a direção de
a e b.
O produto escalar a b é positivo se a e b apontam para
direções próximas, 0 se eles são perpendiculares, e negativo se
apontam em direções próximas, mas com sentidos opostos (veja a
Figura 2).
Figura 2
64
O Produto Escalar
No caso extremo, onde a e b têm mesma direção e sentido, temos
= 0, portanto, cos = 1 e
a b = | a | | b |
Se a e b têm a mesma direção, mas sentidos opostos, então =
e, assim, cos = –1 e a b = –| a | | b |.
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