11:43 elementos de análise numérica prof. carlos ruberto fragoso júnior
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11:43
Elementos de Análise Numérica
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior
11:45
Solução de problemas de Engenharia Sem computador Com computador
Formulação
Solução
Interpretação
Formulação
Solução
Interpretação
Tópicos
Interpolação Ajuste de equações Integração numérica Derivadas numéricas Raízes de equações Sistemas de equações lineares Sistemas de equações não lineares
Aplicações em Recursos Hídricos Raizes da equação de manning
Canal prismático Canal com seção dada em tabela
Equação de remanso Solução da equação para encontrar dx ideal para
muskingun cunge (propagação de vazões) Solução da propagação de reservatório usando
Newton
Interpolação linear
A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta
Interpolação numérica
cota
volu
me
)()()(
)()( 001
010 xx
xx
xfxfxfxf
x
Interpolação quadrática
Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos
Interpolação numérica
cota
volu
me
)()( 102010 xxxxbxxbbxf
x
Splines
Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.
Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau)
Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas.
Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.
Interpolação numérica
Splines
Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.
Interpolação numérica
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Splines
Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
35
37
39
41
43
45
47
0 5 10 15 20 25
Splines
Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
35
37
39
41
43
45
47
0 5 10 15 20 25
Rotinas para interpolação
Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines.
Calculadora, Matlab, Excel, etc…
Interpolação numérica
Ajuste de equações Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam
razoavelmente um conjunto de dados. Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário
respeitar todos os pontos. A idéia é minimizar os erros com uma função simples.
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Ajuste – exemplo em simulação Relação entre largura de
um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA
Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.
Ajuste de equações
0.4106baciario A3.2466 B
0
50
100
150
200
250
300
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Área da bacia (km2)
Larg
ura
do r
io (
m)
Ajuste – exemplo em simulação
Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.
Ajuste de equações
11:45
Introdução – Integral Numérica Em determinadas situações integrais ou derivadas
são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Forma de obtenção de uma aproximação para a integral ou diferencial de f(x) Métodos Numéricos.
0
)(xx
b
a dx
dfoudxxf
Integração numérica
Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y.
Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Integração numérica
11:46
Integração numérica
Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por uma função que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
11:48
Integração numérica Substituição da função por uma função.
Polinômio de Newton:
funçãoaéxponde
dxxpdxxfb
a
b
a )()(
1201
20
2
100
00
xxxxxhh!2
xfxxxx
h!1
xfxxxfxp
11:49
Integração numérica
O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de
integrar, contrariamente a um polinômio;
a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.
11:50
Métodos de integração numérica mais utilizados Fórmulas de Newton-Cotes.
Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b;
Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b;
Regra de Simpson , x0=a e xn=b.
11:51
Regra do trapézio simples
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
2ba ff
abI
Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio
1
0
102
x
x
xfxfh
dxxf )()()(
11:52
Regra do trapézio simples Intervalo [a, b] relativamente pequeno.
aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude. aproximação inadequada; pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em
cada um a função é aproximada por uma função linear.
11:53
Regra do trapézio composta Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual
definido pelo seu sub-intervalo.
11:54
Regra do trapézio composta Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:
)()(...
)()()()()(
NN
x
x
xfxfh
xfxfh
xfxfh
dxxfm
1
2110
2
220
Nx
xNN xfxfxfxfxf
hdxxf
0
1210 22
)()(...)()()()(
11:58
Regra do trapézio composta
Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0)
I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508 Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1
=2,0,x2 =4,0)
I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369
Regra do Trapézio Composta: 9 pontos
I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1,00000
0.5 0,89445
1.0 0,70711
1.5 0,55475
2.0 0,44722
2.5 0,37138
3.0 0,31623
3.5 0,27473
4.0 0,24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947.
Exemplo: Estimar o valor de 4
0
2121 dxx /)(
11:59
Regra do trapézio composta
11:59
Regra do trapézio - Erro
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
ERRO! Erro:
E = I – T
T - valor da integral numérica.
I - valor da integral obtida pela integração de f(x).
12:01
Regra do trapézio - ErroErro da Regra do Trapézio Simples
Erro da Regra do Trapézio Composta
b[ ]a, certo um para ),´´()´´()(
)(
fh
fab
fE1212
33
1212
3
1
3 )´´()´´()( i
i
N
iN
fNhf
hfE
12:02
Regra do trapézio - Erro
Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
1
0
dxeI x
101 abh
1
0
102
x
x
xfxfh
dxxf )()()(
859141,11
0
dxeI x
eedxeI x 01
0 2
1
12:03
Regra do trapézio - ErroEstimativa do erro cometido:
226523012
1
1012
1
10
3
,
),( ,)(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1
12:05
Regra de Simpson
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois.
x2
f(x2)
12:06
Regra de Simpson
2x
0x
210 )x(f)x(f4)x(f3
hdx)x(f
Fórmula:
Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):
nx
x
nnn xfxfxfxfxfxfh
dxxf0
)()(4)(2)(2)(4)(3
)( 12210
12:07
Regra de Simpson
12:08
Regra de Simpson
Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos:
h=1/6 Regra de simpson
S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] = 0,69317
Valor da integral I = ln(2) = 0,69315
x y=(1+x)-1
0.0 1,00000
1/6 6/7
2/6 3/4
3/6 2/3
4/6 3/5
5/6 6/11
1 1/2
Exemplo: Estimar o valor de
1
0 x1
dx
12:09
Regra de Simpson- ErroErro da Regra de Simpson
b[ ]a, certo um para ),(fh180
)ab()f(E IV4
12:11
Diferenciação numérica
Idéia básica da diferenciação numérica Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos.
Utilizando principalmente na solução de equações diferenciais
x
)x(f)xx(f
x
f
x
flim
dx
df0x
12:12
Diferenciação numérica
1xxdx
df
x
f
01
01
xx
ff
x
f
x0 x1
12:13
Diferenciação numéricaErros de truncamento
As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas.
t
f
dt
df
É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor
12:13
Séries de Taylor
A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
Onde h é a diferença entre xi+1 e xi. A série de Taylor é infinita. A aproximação da derivada numérica é finita
12:14
Diferenciação numéricaSéries de Taylor O resto
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
11
)!1(
)(
nn
hn
fRn
O resto é dado por
Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 eé um valor entre xi+1 e xi
12:15
Séries de Taylor e derivadas
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
11 )()()( Rhxfxfxf iii
h
R
h
xfxfxf ii
i11 )()(
)(
A derivada numérica tem erro de truncamento dado por Rn/h
12:16
Séries de Taylor e derivadas
h
R
h
xfxfxf ii
i11 )()(
)(
O valor do erro R1/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menoro passo (incremento), menor o erro da aproximação.
12:16
Erros de arredondamento
Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes pararepresentar os números reais.
12:16
Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento
arredondamento
truncamento
totalerro
Incremento
12:16
Tipos de derivadas numéricas
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
)(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf ii
i
Progressivaforward
Regressivabackward
CentradaCentered
Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.
12:16
Tipos de derivadas numéricas
)()()(2)(
)(' 22
11 hOh
xfxfxfxf iii
i
Derivada segunda:
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
Rn...h!3
)x(fh
!2
)x(fh)x(f)x(f)x(f 3i2i
ii1i
12:17
Tipos de derivadas numéricas
x
f
regressiva
analítica
progressiva
x0 x1 x2centrada
12:17
Tipos de derivadas numéricas
Exemplo derivada numérica
A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por:
onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal
dA
dQc
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção prismática regular: dA
dQc
n
SRAQ
21
32
hdh
dAdh
dQc
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção prismática regular: dA
dQc
n
SRAQ
21
32
hdh
dAdh
dQc
h
AAh
chhh
hhh
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção qualquer
dA
dQc
n
SRAQ
21
32
dhdA
dhdQ
c
h
AAh
chhh
hhh
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas deA; R e Q em função de h
interpolação
Raízes de equações
Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares.
Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.
Métodos numéricos para encontrar raízes de equações Bissecção Falsa posição Newton-Raphson Secantes
Raízes de equações
f(x)
x
raiz
Método de bissecção
No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que “cercam” a raiz.
Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:
Raízes de equações
2lu
r
xxx
Método de bissecção
F(x)
x
Raízes de equações
Método de bissecção
2lu
r
xxx
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja exatamenteentre xu e xl
Raízes de equações
Método de bissecção Raízes de equações
2lu
r
xxx
F(x)
x
Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl
Se não, busca entre xr e xu
Método de bissecção Raízes de equações
2lu
r
xxx
F(x)
x
Busca entre xr e xu
Busca termina de acordoCom critério de parada
Método de bissecção
Critérios de parada Incremento de x menor que um dado limite Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é
menor do que um dado limite
Raízes de equações
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados
Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função
Raízes de equações
Problemas dos métodos anteriores
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicialderivada
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicialderivada
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
derivadaRaízes de equações
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Novamente a série de Taylor
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(
ii xxh 1se então
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Novamente a série de Taylor
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(
0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)
)(
)(1
i
iii xf
xfxx
Raízes de equações
Problemas do método de Newton-Raphson
É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
x
Raízes de equações
Problemas do método de Newton-Raphson
É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
x
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Método das Secantes
Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
Raízes de equações
Método das Secantes Um possível problema do método de
Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Raízes de equações
Método das Secantes
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Raízes de equações
Raízes de equações
Comparação de métodos
Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção.
Newton-Raphson e Secantes podem divergir. Secantes pode ser aplicado para funções em
que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica).
Raízes de equações
Exemplo
Calcule o nível da água h se: n
SRAQ
21
32
h
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m
B0)(
21
32
n
SRAQhG
Raízes de equações
Exemplo
Calcule o nível da água h se:
n
SRAQ
21
32
h
B
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5
m
1
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Raízes de equações
Exemplo
Calcule a vazão de um vertedor
2
3
22
2
2
gLh
QhLCQ
h g=9,81 m/s2
H=20 cmL=10 mC=2
Raízes de equações
Exemplo Calcule o nível h para uma dada vazão Q
n
SRAQ
21
32
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas deA; R e Q em função de h
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Simples busca e interpolação da tabela
Raízes de equações
Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor
)(
)(
)(
hgV
hfO
tfI
OIdt
dV
Equação de vertedor
)(
)(
)(
hgV
hfO
tfI
OIdt
dV
2/3shhLCQ
Raízes de equações
Supondo um reservatório
2
3020030200
3020030200
30200
2/32/313856,03856,011
3856,03856,011
3856,0
st
sttttt
tttt
hhLChhLCI
t
hhhh
t
hhhh
dt
dV
hhV
Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?
Raízes de equações
Como encontrar raízes de equações implícitas
2
30200302002/32/313856,03856,011
st
sttttt hhLChhLC
It
hhhh
Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes
E se houver operação de comportas durante uma cheia?
Raízes de equações
Exemplo
Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo:
2,08,00
00
0 8,0 xtccSB
Qx
Aplique considerando: Q0=100 m3/s c0=1,0 m/s B = 30 m S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)
00
05,2
cSB
Qx
Use a equação abaixo paraa estimativa inicial
Raízes de equações
Solver do Excel
O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações.
Não está claro que método que Solver utiliza. Chute inicial deve estar relativamente próximo da
raiz.
Raízes de equações
Problema comum em engenharia; A utilização do método está liga a dois
condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução;
Classificação: Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear; Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),
(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel); Quanto à solução: (a) compatível e determinada;
(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.
Sistemas de equações - Introdução
Sistemas de equações lineares Pode ser definido como:
nnnn33n22n11n
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
Sistemas de equações lineares Em forma matricial:
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Matriz do coeficientes
n
3
2
1
x
x
x
x
Vetor das incógnitasou vetor solução
n
3
2
1
b
b
b
b
Vetor das constantes
BXA
Sistemas de equações lineares Classificação quanto à solução:
Possível e determinado → Possui uma única solução. Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0; Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0
Possível e indeterminado → Possui infinitas soluções Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A
Impossível → Não possui soluções Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma
coluna de A
Soluções de sistemas de equações lineares Método de Gauss (direto) Método de Gauss-Seidel (iterativo)
Método de Gauss
Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações: Subtração de uma linha por outra multiplicada por
uma constante; Formação de uma matriz diagonal superior.
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
~~...........
~~.......~
~~.......~~.......
33333
22323222
11313212111
Método de Gauss
3
7
5
Be
x
x
x
X,
922
294
242
A
3x9x2x2
7x2x9x4
5x2x4x2
3
2
1
321
321
321
Considere,
onde:
3922
7294
5242
Ae,
Método de Gauss
1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira m2 = a21/a11; m3 = a31/a11
2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3
Método de GaussO multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
3x9x2x2
7x2x9x4
5x2x4x2
321
321
321(x 2)
(-
5x2x4x2 321 3x2x 32 8x7x2 32
(x -1)(-)
Método de Gauss
3527bmbb
2222amaa
1429amaa
0aa
aaamaa
122'2
13223'23
12222'22
1111
212111221
'21
2a linha:
Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
3a linha:
8513bmbb
7219amaa
2412amaa
0aa
aaamaa
133'3
13333'33
12332'32
1111
313111331
'31
Método de Gauss
Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:
8720
3210
5242
'b'a'a0
'b'a'a0
baaa
A
33332
22322
1131211
Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando comobase a linha 2:
Método de GaussCalculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
8x7x2
3x2x
5x2x4x2
32
32
321
(x 2)(-)
5x2x4x2 321 3x2x 32
14x3 3
Método de Gauss
14328bmbb
3227amaa
0aa
aaamaa
'2
'3
'3
''3
'23
'3
'33
''33
'22'
22
'32'
32'22
'3
'32
''32
3a linha:
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:
14300
3210
5242
ba00
baa0
baaa
A''
3''33
'2
'23
'21
1131211
Método de Gauss
Equivalente a:
14x3
3x2x
5x2x4x2
3
32
321
Resolvendo o novo sistema, obtem-se:
83,31x
33,12x
67,4x
1
2
3
Método de Gauss
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método direto de Gauss.
Método iterativo de Gauss-Seidel É um dos métodos mais comum e simples de
ser programado; O método converge somente sob certas
condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos.
Método iterativo de Gauss-Seidel
n
1ij
kjj,i
1i
1j
1kjj,ii
i,i
1ki xaxab
a
1x
A equação utilizada para iterações é a seguinte:
Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processode convergência:
n
1ij
kjj,i
1i
1j
1kjj,ii
i,i
1ki xaxab
ax
Método iterativo de Gauss-Seidel
Seja o sistema de equações:
nnnn33n22n11n
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
Método iterativo de Gauss-SeidelObtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a
partir da segunda equação e assim sucessivamente:
1k1n1nn
1k33n
1k22n
1k11nn
nn
1kn
knn3
k434
1k232
1k1313
33
1k3
knn2
k424
k323
1k1212
22
1k2
knn1
k414
k313
k2121
11
1k1
xaxaxaxaba
1x
xaxaxaxaba
1x
xaxaxaxaba
1x
xaxaxaxaba
1x
Método iterativo de Gauss-Seidel Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais
Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado
valor m; A seguinte condição atenta uma precisão adotada:
n
1j
n
1ijj,ii xab
Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:
É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida
Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
jipara,0a j,i
ij
i,ji,iij
j,ii,i aaeaa
0Ri
Método iterativo de Gauss-Seidel
3x9x2x2
7x2x9x4
5x2x4x2
321
321
321Considere,
Aplicando o método, tem-se:
1k2
1k1
1k3
k3
1k1
1k2
k3
k2
1k1
x2x239
1x
x2x479
1x
x2x452
1x
Método iterativo de Gauss-SeidelConsiderando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),
a primeira iteração fica:
815,0333,025,2239
1x
333,0025,2479
1x
5,2020452
1x
1k3
1k2
1k1
Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para:
67,4x
33,12x
83,31x
3
2
1
Método iterativo de Gauss-Seidel
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.
Sistemas de equações não lineares Pode ser definido como:
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
n321n
n3213
n3212
n3211
onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.
Sistemas de equações não lineares Método iterativo de Newton
Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares.
Método iterativo de Newton
Um sistema de equações não lineares:
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf
n321n
n3213
n3212
n3211
pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:
Método iterativo de Newton Resultando em um sistema de equações lineares:
0xx
fx
x
fx
x
fx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xx
fx
x
fx
x
fx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xx
fx
x
fx
x
fx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xx
fx
x
fx
x
fx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
n
k
n
n2
k
2
n1
k
1
nkn321n
1kn321n
n
k
n
32
k
2
31
k
1
3kn3213
1kn3213
n
k
n
22
k
2
21
k
1
2kn3212
1kn3212
n
k
n
12
k
2
11
k
1
1kn3211
1kn3211
onde Δxi = xik+1- xi
k
Método iterativo de Newton Em forma matricial:
n
n
2
3
2
2
1
n
n
3
3
3
2
3
1
3
n
2
3
2
2
2
1
2
n
1
3
1
2
1
1
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
fx
f
x
f
x
f
x
fx
f
x
f
x
f
x
f
Jacobiano (k)
n
3
2
1
x
x
x
x
Vetor das incógnitasou vetor solução (k+1)
nn
n2
2
n1
1
nn
nn
32
2
31
1
33
nn
22
2
21
1
22
nn
12
2
11
1
11
xx
fx
x
fx
x
ff
xx
fx
x
fx
x
ff
xx
fx
x
fx
x
ff
xx
fx
x
fx
x
ff
Vetor das Constantes (k)
k1kk BXJ
Método iterativo de Newton Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais
Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado
valor m; Verifique se a seguinte condição atenda uma
precisão adotada:
n
1i
ki
1ki ff
Método iterativo de Newton Convergência do método:
É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida
Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
jipara,0a j,i
ij
i,ji,iij
j,ii,i aaeaa
0Ri
Método iterativo de Newton
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas não lineares pelo método iterativo de Newton.
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