1 prof. dr. ricardo de araújo kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 avaliaÇÃo da...
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1
Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalidkalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316
AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
2
INCERTEZA DE MEDIÇÃOPrograma da disciplina
1. Introdução e bibliografia2. Histórico e SI – Sistema Internacional de Unidades3. “Navegar é preciso, viver não é preciso”
ou conceitos sobre incerteza de medição4. “Não é que eu procure falar difícil,
é que as coisas têm nome”: VIM5. Um pouco de estatística6. Balanço de incerteza7. Roteiro para avaliação da incerteza de medição8. Exemplos de avaliação da incerteza de medição9. “Existem mentiras, diabólicas mentiras e estatísticas.
A escolha é nossa.” ou mais um pouco de estatística 10.Outros métodos para a avaliação da incerteza11. Temas de pesquisa em incerteza de medição12.Resumo: avaliação da incerteza de medição13.Roteiro para elaboração e entrega do trabalho.
3
Mark Twain atribuiu a Benjamin Disraeli a seguinte frase:
“Existem mentiras, diabólicas mentiras e
estatísticas. A escolha é nossa.”
4
Média, Variância e Desvio padrão
• μx é a média (“mean”) ou valor esperado de x é, por definição:
: 1
onde é a PDF da variável aleatória
x x E x x p x dx
p x x
• Se g(x) é uma função real, G = g(x) é uma nova variável aleatória cujo valor médio (“average”) ou valor esperado é, por definição:
2g g x E g x g x p x dx
• σx
2 , variância (“variance”) de x é média da função (x- μx)2:
2 2 22 : 3x x x xV x x E x x p x dx
• σ , desvio padrão (“standard deviation”) de x é raiz
quadrada positiva da variância: 2: 4x x V x
Média e Desvio Padrão de uma PDF uniforme
5
2 2 21 11 : : 0
2 2 2 4.
aa
xa a
x a ade x E x x p x dx x dxa a a
32 2 22
33 3 22
1 13 : : 02. 2. 3
2 .6 6. 3 3
aa
x x xa a
x x
xde E x V x x p x dx x dxa a
a a a a aa a
a- a+
1/(2a)
6
Função densidade de probabilidade (distribuição)
uniforme
p = 57,735%
7
DISTRIBUIÇÃO TRIANGULAR
Função triangular
8
11 2
1 1 21 2
2
33 4
2 3 43 4
/ 2 2 1/ / 2 1
10,0
1/ 1/,1/
1/,1/0,0
o
o
o
o
Área da PDF:
1 ponto:2 ponto:
1 ponto:2 ponto:
TA base altura a a
cc c aa a bp x c c xa c c b ab a c
a b
ca c c bb ap x c c x
c c aa
4
1
1/a b
aca b
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência
1/a
b
p1(x)p2(x)
PDF triangular
9
1 2
1
2
1 : :
0 0
0 ,1 1/ ,
1 1/ ,
0 ,
a a
xa a
a b a
xa a b
de x E x x p x dx x p x dx x p x dx x p x dx
E x x p x dx x p x dx x p x dx
x aap x x a x b
a b a bp x
ap x x b x aa b a b
x a
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
Média de uma PDF triangular
10
2 32 3 2 2 3 3
2 3 2 2 3 32
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 4
32 32
2 3 2 3
2 3
2
2 3
13
1 /
b bb b b
a a a a a
x
x
x x b a b ax c c x dx c xdx c x d
b a b a a b a b
b a
x c c c c
c c c c
aa b a
bb
a
3 3
3 3
2 2
2
32
32
2
3
3
21 1/
1 1 12
2
/ 1
3
3
/
3/
1
x
x
aa b a b
a aa b a b a b a b
a b a a ba b a ba b
a b
b
a b
b a a a b
b a
a bb a
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
3
2 23 3 3 2
2 2 2 2 2
2 2
2
31/
3
2 / / / /3
2 2 / 2 2 2 233 3
2
3 3
x
x
a
a b a b
b b a b a b b a a a b b a a b a ba b a b
b ab b a a b ba b b bb b b ba b a b a b
a
b a
b
Média de uma PDF triangular
11
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
• Nesse caso se observarmos que b é o ponto central e que as intersecções são –a e +a implica que o valor de b é 0 (zero)
• Observando a forma geométrica da PDF, a média é igual b = 0 (zero)
/ 2 2 1/ / 2 1Área da PDF: TA base altura a a
Desvio padrão de uma PDF triangular
12
2 2 22
2 221 2
2 22
22
3 : :
1 1/ 1 1/3 3
0 :
1
Neste problema
a
x x x xa
b a
x x xa b
b a
xa b
x
de V x E x x p x dx x p x dx
x p x dx x p x dx
b a b ax x dx x x dxa b a b a b a bb
xa
0 0 2 3 2 32
2 2 2 20 0
0 0 3 4 3 43 4 3 4 3 4 22
2 2 2 2 20 0
1 1 1
2 23 4 3 4 3 4 3 4 3 4 6
a a
a a
a a
xa a
x x x xx dx x x dx dx dxa a a a a a a
a a a ax x x x a a aa a a a a a a a a a
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
Média e desvio padrão de uma PDF
triangular
13
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
22
6
6
0
variância de uma PDF tria
méd
des
ia de uma PDF triangular
vio padrão de uma PDF tr
ngular:
iangula
r:
:
x
x
x
a
a
14
Função densidade de probabilidade (distribuição)
triangular
p =
64,983%
Exercício:
15
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
exp
exp
' '
' 1
exp exp
e
''
xp
Integral indefinida por partes:
Integral definida por partes: b b
b
aa a
b
a
x
xx x
u x dv x u x v x u x dv x
u x v x dx u x v x u x v x dx
u x u x v x xu x xv x v x
u x v x
x dxx
2 2
2 2
exp exp exp1 1exp
1 1 1 1exp exp exp exp exp
1 1 1 1exp exp exp exp
b bbb
aaa a
x
x
x dx x
x dx x x
x x xx
x x x x x
0 0 E AGORA?x
Exercício:
• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF
16
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
;
: ; 1
: 0 1
;
exp
expexp
exp exp
exp não é uma PDF !
x
xx
p x
PDF p x dx dx
p x x
Exercício:
• Todo esse tempo e trabalho jogado fora!
• Antes de fazer mecanicamente, PENSE!17
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
;
: ; 1
: 0 1
;
exp
expexp
exp exp
exp não é uma PDF !
x
xx
p x
PDF p x dx dx
p x x
Exercício:
• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF
18
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
exp
expexp
exp exp
;
: ; 1
: 0 1
p x
PDF p x dx dx
x
xx
Média e desvio padrão de uma PDF exponencial
19
exp , 0; ; 0
0 , 0x x
p xx
0
2 2 22
0
1 : : exp
3 : : exp
1 1
de
de
e
x
x x
x
x
x
x
x E x x p x dx x x dx
V x E x x p x dx x x dx
Média de PDF exponencial
20
0
1 :
exp , 0; ; 0
0
e p:
0 ,
xde x x E x x p x
x xp x
x
xx x dxd
expexp
' '
' 1
exp' ' expexp
Integral indefinida por partes:
Integral definida por partes: b b
b
aa a
u x dv x u x v x u x dv x
u x v x dx u x v x u x v x dx
u xu x x u x v x x
v x u x v xv xx
xx xx
0
exp exp exp exp exp
expexp ex 1ep xp
b b bb b
a aa a a
bbb
aa
x
a
x dx x dx x dxx x x x x
xx dx x x dx xx x
Desvio padrão de PDF exponencial
21
2
0
2 22
exp , 0; ; 0
0 , 0
exp3 : :de x x x xE x x p x dx x dx
x xp x
x
x
2 2
2 2
' '
' 2exp2exp
exp' exp ' 2 exp
exp exp
Integral definida por partes: b b
b
aa a
x
x x
x
b
x xa
u x v x dx u x v x u x v x dx
u x xu x x u x v x x x
xv x xv x x u x v x x x
x x dx x
2 2
2 2
2 exp
exp exp 2 exp 2 exp
exp 22exp exp exp exp
bb
xa
a
b b bb
x x xa
a a a
bb b b xx x aa
a a
x x x dx
x x dx x x x x dx x dx
xx x dx x x x x
2
0
2 2
20
0 0
2
0
2 2e
exp2exp exp
exp2 2exp
exp
exp 0 exp
p
0
xx
x x
b
xx
a
x
x
x
xxx x x x xxdx
2 22 22
0 0
2 2exp exp 0
exp 00exp 0
1 1; expx x x x x
x x
x p x dx x x dx
Distribuição Gaussiana (Normal)
2
2 2
12
2
1 1, : ; , exp22
1 1exp 68,27%22
x x
x x
xX x x X x x
xx
X x x x x x x x
x
xN p x
P X x x dx
p = 68,27%
22
Interpretação do desvio padrão
PDF Área correspondente a
Uniforme ou retangular 57,74 %
Triangular 64,98 %
Normal ou gaussiana 68,27 %
23
1x x
24
NÍVEL DE CONFIANÇA
Nível de Confiança e Nível de Significância
• NC: nível de confiança = probabilidade de acerto• NC: área sobre a curva da PDF• NS = 100 - NC : nível de significância
25
Problema unicaudal X bicaudal
• Problema unicaudal: Nx( X < x | μx , σxx )
• Problema bicaudal: Nx( xi < X < xs | μx , σxx )
26
22 2
22
1 1, , exp22
xx
X x x X x xxx
F x N X x d
2 2 2
22
22
, , ,
1 1, exp22
s
i
X s x x X i x x X i s x x
xx
X i s x xxx x
F x F x N x X x
N x X x d
PDF normalProblema unicaudal Problema bicaudal
27
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
28
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 1e3 ;NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDF% tipo_de_problema = 'unicaudal' ;tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ;endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'b','LineWidth',2) ; hold onabscissa = min(x.Normal):0.1:max(x.Normal) ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;stem([ min(x.Normal) abscissa max(x.Normal) ] , [ 0 p.Normal 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF normal'])texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ;texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ;texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.Normal)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ;else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.Normal)) ] ;endtext(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])
CDF - Cumulative distribuition fuction
• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade
29
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
:e : X
X XX X
F xPDF f x p xP
xF x X x
• Ex.: para NX(µx,σxx) :
22 2
22
2
2 2
1 1, , exp22
1 1, , exp22
xx
X x x X x xxx
xx
X x x X x xxx
F x N X x d
F x N X x d
CDF - Cumulative distribuition fuction
30
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;plot(x,CDF_G,'r','LineWidth',2)axis([-11 +11 -0.1 +1.1] )legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9])
31
iCDF: Inverse of the cumulative distribution function or
inverse distribuition function orpercent point function (PPF)
• Função de distribuição acumulada:– Para uma certa PDF, dado um x obtém-se a
probabilidade p = PX ( X < x ) = FX ( x )
• Função inversa de distribuição acumulada– Para uma PDF, dada uma probabilidade PX obtém-
se o valor x tal que a probabilidade seja p
32
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
1Xx F p x F x p
PDF normal inversa• Função normal inversa de distribuição acumulada
33
2
1 2 2
,
, ,
x x
X x x X x x
X N
x F p x F x p
34
OUTRAS PDFs
• Trapezoidal: variância =– PDF triangular: β = 0 – PDF uniforme: β = 1
• Gama• Beta• t-Student.
2 ²(1 β),β6x
ax a
Distribuição Gamma (, )
1,
0 , 0
xf x x e
x
e 0
35
Distribuição Beta
11, 1
;0 1 0 ; 0
f x x x
x
36
PDF t de Student
37
MATLAB: p = tpdf ( x , v )p = tpdf ( 0, 1:6 )
p = 0.3183 0.3536 0.3676 0.3750 0.3796 0.3827
12 2
11 12
12
v
v
p x vv v x
v
Valores para a distribuição t de Student
39
Unicaudal 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,75% 99,9% 99,95%Bicaudal 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99,5% 99,8% 99,9%GL = 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6GL = 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60GL = 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92GL = 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610GL = 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869GL = 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959GL = 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408GL = 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041GL = 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781GL = 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587GL = 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073GL = 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850GL = 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725GL = 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646GL = 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551GL = 50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496GL = 60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460GL = 80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416GL = 100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390GL = ∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291
CDF - Cumulative distribuition fuction
• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade
40
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
:e : X
X XX X
F xPDF f x p xP
xF x X x
12 2
12 2
1 12 2 1
1 22
vx x
X X v
v vtF x v T X x v dt dt
v vvv tvv
• Ex.: para t-Student para v > 1 :
CDF - Cumulative distribuition fuction
41
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;GL = 5 ; CDF_t5 = tcdf(x,GL) ;GL = 1 ; CDF_t1 = tcdf(x,GL) ;plot(x,CDF_G,'r',x,CDF_t5,'g',x,CDF_t1,'b','LineWidth',2)legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)' ], ['\fontsize{16}','t com GL = 5'],['\fontsize{16}','t com GL = 1'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;texto.t5 = ['Valor acumulado para t5 = ',num2str(CDF_t5(end))] ;texto.t1 = ['Valor acumulado para t1 = ',num2str(CDF_t1(end))] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9]) text(-8,0.60,['\fontsize{16}','\color{green}',texto.t5 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.0 .0 .0])text(-8,0.50,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto.t1 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.9 .9 .9])
42
PDF t de StudentProblema unicaudal Problema bicaudal
43
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
44
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 3 ; NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDFtipo_de_problema = 'unicaudal' ;% tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ; x.t = tinv(NC/100,GL) ; x.t = [ -10 x.t ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ; x.t = tinv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],GL) ; endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'r','LineWidth',2) ; hold onp.t = pdf('t',abscissa,GL) ; plot(abscissa,p.t,'b','LineWidth',2)abscissa = min(x.t):0.1:max(x.t) ; p.t = pdf('t',abscissa,GL) ; stem([ min(x.t) abscissa max(x.t) ] , [ 0 p.t 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF t de Student'])texto_N = 'PDF normal' ; texto_t = [ 'PDF t com ' num2str(GL) ' graus de liberdade'] ; texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ; texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ; texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.t)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') ; texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ; else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.t)) ] ; endtext(-8,0.36,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_N],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.33,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_t],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])
45
PDF normal ou gaussiana univariada
• Figura 1(a) : A PDF normal de média populacional t = 100oC e desvio padrão populacional = 1,5oC.0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
95 100 105t /oC
p( t
) / o C
p = 68,27%
t – t – t
Normal multivariada
46
1 1 1 2 11
2 2 1 2 2 2
1 2
2
1/ 2/ 2 1
1
2
, ,
1; , 2 exp2
: número de variáveis
m
m
m m m m m
n t
x x x x x xx
x x x x x x x
m x x x x x x x
N N
p
xx
x
m
x x x x
x x x x x x
x x
x μ σ μ Σ
x μ Σ Σ x - μ Σ x - μ
x μ Σ
2
aleatórias: vetor das variáveis aleatórias
: vetor das médias das variáveis aleatórias
: matriz de covariância das variáveis
: determinante da matriza de convariância das variáveis
x
x xx x
x
xμ
σ σ ΣΣ
Normal multivariada• Sem correlação
47
• Com correlação0,25 0,000,00 1,00
xΣ0, 25 0,400, 40 1,00
xΣ
Normal multivariadaclc ; clear all ; close allmu = [0 0];Sigma = [ 0.25 0.40 ; 0.40 1.00 ];% Sigma = [ 0.25 0.00 ; 0.00 1.00 ];% Sigma = [ 0.50 0.00 ; 0.00 0.50 ];x1 = -3:.1:3; x2 = -3:.1:3;[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);F = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,Sigma);F = reshape(F,length(x2),length(x1));surf(x1,x2,F);caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]);axis([-3 3 -3 3 0 .4])xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])zlabel(['\fontsize{16}','PDF'])title(['\fontsize{16}','PDF normal bivariada'])figurecontour(x1,x2,F);xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])title(['\fontsize{16}','Curvas de nível de uma BDF normal bivariada'])grid
48
Matriz de covariância e matriz de correlação
• Covariância:matriz_covariancia = cov(matriz.dados) ;
• Correlação (linear) de Pearson:[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Pearson','rows','all','tail','ne') ; % Padrão (default)
• Correlação (monotônica) de Spearman[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Spearman','rows','all','tail','ne') ;
• Correlação de Kendall[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Kendall','rows','all','tail','ne') ;
49
PDF multivariada• X é uma variável aleatória contínua e
x é um valor de X• Y é uma variável aleatória contínua e
y é um valor de Y• pXY(x,y) é a função de densidade de probabilidade
conjunta de X e Y• FXY(x,y) é a função de distribuição acumulada
conjunta de X e Y
50
2
, ,
,, ,
XY XY
XYXY XY
F x y P X x Y y
F x yf x y p x y
x y
CDF conjuntaFunção de distribuição acumulada conjunta
Cumulative Distribuition Function
51
XY
PDFJoint Probability Density Function
Função de densidade de probabilidade conjunta
52
Y X
PDF conjunta = PDF condicional X PDF marginal
PDF condicional• PDF multivariada que atende a
uma condição• Para PDF bivariada: quando
condiciono a PDF multivariada a um valor da outra variável, obtenho uma PDF univariada
PDF marginal• PDF univariada• Integro em todas as variáveis,
menos a de interesse
53
/ /, X y Y xY XXY f y f xx f ff y
e,
,
X XY
Y XY
f x f x y dy
f y f x y dx
/ /e, ,XY XY
X y Y xY X
f x y f x yf x f y
f y f x
Y X XY
PDFs marginais
54Y X
PDFs condicionais
55Y X
fXY(x,y)
fXY ( x | y = -1 )
Alguns resultados
56
4.
Seja com cons nte
1
ta
g xE g x E a x a x p x dx a x p x dx a E x a
g x a x a
2 22
2 22 2
2 22 2 2 2 4.2 .
g g x g x
g x x
g x x
E g x g x p x dx
a x a p x dx a x p x dx
a x p x dx a E x a V x
2g g x E g x g x p x dx
2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx
Mais resultados
57
Seja com cons
4.
tante
3
g
g x
E g x E a x a x p x dx
a p x dx x p x dx
g x a x a
a E x a
2 22
2 22
2 22 4.4
g g x g x
g x x
g x x
E g x g x p x dx
a x a p x dx a x a p x dx
x p x dx E x V x
2g g x E g x g x p x dx
2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx
58
Outras definições: mn - momento de ordem n
• A média é o momento de 1ª ordem:
5nnm x
11 6xm x
• A variância é o momento de 2ª ordem centrado na média:
2 22 8xx
• O momento de 2ª ordem de x é:
2 2 22 7x xm x
59
Demonstração:
c. q. d.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 10E x E x E x x x
2 2 2 2 2 15x xE x Então
2 2 2 2 2 22 9x xm x E x
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 11E x E x x x E x x E x
22 22 12E x E x E x E
2 2 22 13E x x p x dx p x dx
2 2 2 2 22 2 14E x x p x dx p x dx
60
Demonstração:
c. q. d.
2 2216 : :x xx
2 2 2 2217 : 2x x p x dx x x p x dx
2 2218 : 2 .x p x dx x p x dx p x dx
2 2 2 2219 : 2 2x xp x dx p x dx x
2 2 215 : x 2 2 2 2221 : x De
2 2 2 2 2220 : 2x x
Regras para nomenclatura
61
Parâmetro População Amostra
Média μx x
Desvio padrão σx Sx
Variância σx² Sx² = Sxx
Covariância σxy Sxy
62
A média aritmética é um estimador não tendencioso da
média da populaçãoDemonstração: 22x
1 23
n
ii
xx
n
111 24
nnn
i iiiiii
x p x dxE xxE x E
n n n
1 25
n
i ii
x p x dxE x
n
1 26
n
xi x
xnE x
n n
• Então a esperança ou valor esperado de x é a média da população
c. q. d.
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativa
H2) n relativamente grande.
63
xE x
66
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de nDemonstração: 27 : x
x n
228 : x x V x 2 2 229 : 2x x xV x x x x
2 2 2 2 2 230 : 2 2 2x x x x x x xV x x x x x x
2 231 : xV x x
12 12 2
1 1 1 1
1 132 : . ,
nn
ji n n n nji
i j i ji j i j
xxx x x x x x x
n n n n
67
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x
x n
12 12 2
1 1 1 1
1 132 : . ,
nn
ji n n n nji
i j i ji j i j
xxx x x x x x x
n n n n
• Existem n pares com i = j e n(n-1) pares independentes com i ≠ j então:
222.:34 xiii xxx
235 : . .i j i j x x xx x x x
• Se i = j então e de {9} :
• Hipótese: Se com i ≠ j então as variáveis são independentes (não auto-correlacionadas):
2
2 2 2 2 22
136 : . . 1 . . xx x xx x x n n n
n n
68
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x
x n
2
2 236 : xxx
n
Substituindo
2 231 : xV x x
e {37} este em {28} :
Hipótese para {27} ser válida: independência entre os xi e xj
obtém-se 2 2
2 237 : x xx xV x
n n
nnxx
x
2
:27
c. q. d.
em
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentes.
69
xx n
Variância de variáveis contínuas, discretas e de amostras
• Variância de uma variável contínua:
70
• Variância de uma variável discreta:
• ”A variância experimental das observações, que estima a variância σ2 da distribuição de probabilidade de q, é dada por:” (GUM, 4.2.2)
2
2 1
n
ii
x
x x
n
2
2 1
1
n
kk
q
q qS
n
22x xx p x dx
71
A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)?
Demonstração: 2
2 2138 : :
n
ii
x
x x
n
n
x
n
xx
n
x
n
x
n
xx
n
x
n
xxxx
n
xxn
i
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
1
2
11
2
1
2
11
2
1
22
1
2
2 .2..2..2
:39
21
2
221
22
1
2
2 .2...2:40 xn
xxx
n
x
nxnxx
n
xn
ii
n
ii
n
ii
22 2 2 2
212 2 2 2 21 1 141 :
nn n n
ii i x xii i i x
x
xx xx x x
n n n n n
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2142 : x x x x x x x
x x x x x x
n n nn n n n n n
?
72
A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)? - continuação
Demonstração: 2
2 2138 : :
n
ii
x
x x
n
2 2142 : xn
n
• De {42} conclui-se que a estatística δ2 NÃO É UM ESTIMADOR da variância da população (σ2), ou seja, δ2 é um ESTIMADOR TENDENCIOSO ou VICIADO de σ2
• Ainda de {42} conclui-se que multiplicando a estatística (δ2) por n/(n-1) obtém-se um estimador não tendencioso da variância da população (σ2).
?
Estimador não tendencioso da variância
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 21 1
2
2 2 2 21
143 :1
1 1
:1
1
x x
x
n n
i ii i
x
n
ii
x x x x
n nn n
n nn n
x x x xn
n n n
x xS S
n
74
Avaliação da variância experimentalsegundo o 4.2.2 do GUM
Demonstração: 2
2 2144 :1
n
ii
x x
x xS
n
• De {43} e {45} conclui-se que S2 é um estimador NÃO TENDENCIOSO ou NÃO VICIADO da variância da população (σ2)
2 2
2 2 21 145 :1 1 1
n n
i ii i
x x
x x x xn nS
n n n n
De {43} e {44} :
• {44} é válida para n grande (n>23) segundo a inferência bayesiana.
75
Desvio padrão experimental da média (4.2.3 do GUM)
• Mostrou-se que nnxx
x
2
:33
21
2
2
1:45 x
n
ii
x n
xxS
• Substituindo {45} em {33} e extraindo a raiz quadrada obtém-se o desvio padrão experimental da média que é um estimador não tendencioso do desvio padrão da média de uma população a partir de uma amostra:
2
1
146 :
n
ii
xx x
x x
S nSn n
c. q. d.
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx .
76
2
1
1
n
ii
xx x
x x
S nSn n
Avaliação do Tipo A da incerteza de medição
• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das n observações do mensurando e n>23 :
77
13A x
nu sn
• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das observações do mensurando n<23 :
2
1 /1
n
ix i
A x
x xs
u s nnn
Avaliação do Tipo A da incerteza de medição
• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das n observações do mensurando e n>23 :
78
13A x
nu sn
• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das observações do mensurando n<23 :
2
1
1
n
ii
A x
x xu s
n
Efeito da correção de Bayes
Fonte: LIRA, I., KYRIAZIS, G., 1999, “Bayesian inference from measurement information”, Metrologia, v. 36, n. 3, pp. 163–169. 79
13A x
nu sn
N Correção de Bayes N Correção de Bayes1 5.4985 (extrapolado) 16 1.07422 3.6097 (extrapolado) 17 1.06903 2.4090 (extrapolado) 18 1.06464 1.7321 19 1.06075 1.4142 20 1.05726 1.2910 21 1.05417 1.2247 22 1.05138 1.1832 23 1.04889 1.1547 24 1.0465
10 1.1339 25 1.044511 1.1180 26 1.042612 1.1055 27 1.040813 1.0954 28 1.039214 1.0871 29 1.037715 1.0801 30 1.0364
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grande (n>23)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx
H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.
80
2
1
1
n
ii
xA x x
x x
S nu Sn n
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n razoavelmente grande (n>4)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx
H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.
81
2
1
1 1 1 13 3 3
n
ii
xA x x
x x
Sn n n nu Sn n nn n
GUM e suas variações
82
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
Estatística da amostra
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
GUM e suas variações
83
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
μx – média da população
σy– desvio padrão da população
– desvio padrão da média
Estatística da amostra
Média .aritmética
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
x
1
n
ii
xx
n 2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
x
x xS
S nnn
1 2, , ,m my f x x x
1 21
, , ,i i i
n
mi
f x x xy
n 2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
my y ou 1 1
3 3x
A xSn
n nnu nS
GUM e suas variações
84
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
μx – média da população
σy– desvio padrão da população
– desvio padrão da média
Estatística da amostra
Média .aritmética
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
Um ponto específico.
Exemplo: moda.
x
1
n
ii
xx
n 2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
x
x xS
S nnn
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1M
n
x
M
x
ii
xS
n
xS
ou ?
my y ou 1 13 3
xA x
Snn nn
u nS
1 13 3 MA x xu S Sn n
n n
o u
1 2, , ,m my f x x x
1 21
, , ,i i i
n
mi
f x x xy
n
94
PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
95
Propagação da incerteza de medição
• Considere w = w(x,y,z)• x, y e z são medidas n vezes• As variâncias e médias de x, y e z são conhecidas• Com os n valores das grandezas de entrada,
calcula-se os n valores da grandeza de saída, wi = w(xi,yi,zi)
• Então a média da grandeza de saída pode ser estimada:
n
,z,y,xw
n
ww
n
iiii
n
ii
11 :{47}
96
Propagação da incerteza de medição
(continuação)• Expandindo wi = w(xi,yi,zi) em série de potências, ou
série de Taylor, em torno dos valores das médias:
zzyyzw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xw
zzzwyy
ywxx
xwzyxww
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
i
zyx
i
zyx
i
zyx
izyx
izyx
izyx
i
..!2
2
..!2
2..!2
2
.!2
1.!2
1.!2
1
...,,
,,,,
,,,,,,,,
2
,,2
22
,,2
22
,,2
2
,,,,,,
:{48}
97
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares
• Se a primeira derivada é aproximadamente uma constante, então a segunda deriva é aproximadamente zero
• A primeira derivada será constante se a função for linear ou afim
• Então de {48}:
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
:{49}
n
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xw
n
ww
n
ii
z,y,xi
z,y,xi
z,y,x
n
ii
11 :{50}
z,y,xw
n
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xw.n
w
n
ii
z,y,x
n
ii
z,y,x
n
ii
z,y,x
111
:{51}
0 0 0
98
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• De {49}:
2
2 :{53}
zz.zwyy.
ywxx.
xwww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
:{52}
zzyy
zw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xwww
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
izyx
izyx
izyx
i
..2
..2..2
...
,,,,
,,,,,,,,
2
2
,,
2
2
,,
2
2
,,
2 :{54}
• De {49} e {51} e elevando ao quadrado:
99
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
n
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
izyx
izyx
izyx
n
i
zzyyzw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xw
ww1i1i
:{55}
..2
..2..2
...
,,,,
,,,,,,,,
2
2
,,
2
2
,,
2
2
,,
2
• Aplicando o somatório em n a equação {54}:
• Dividindo por (n-1) :.
22 22 2 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
. . .1 1 1
{56}: 2. . 2. .1 1
i i i
x y z x y zx y zn
ii i i
x y z x y z x y zx y z
x x y y z zw w wx n y n z n
w w x x y y xw w w wn x y n x z
i 1
, ,, ,
1
2. .1
ni
i i
x y zx y z
x z zn
y y z zw wy z n
100
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Da definição de variância:
22 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
, ,
. . .
{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1
2.
x y z x y zx y zn
i
x y z x y z x y zx y z
x y z
w w wV x V y V zx y z
w ww w w wV w x y x z
n x y x z
wy
, ,
.cov ,x y z
w y zz
• Da definição de incerteza:
2
i 1
1 w
n
i
w c
w wu V w u
n
101
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Da definição de variância:
22 2
, , , ,, ,
, , , , , ,, ,
, ,, ,
. . .
{58}: 2. .cov , 2. .cov ,
2.
w
x y z x y zx y z
cx y z x y z x y zx y z
x yx y z
w w wV x V y V zx y z
w w w wu x y x zx y x z
w wy z
.cov ,z
y z
{58} é a incerteza padrão de w no caso em que as três (3) grandezas de entrada (x,y,z) atendem as hipóteses abaixo :Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável (estado estacionário, variáveis não auto-correlacionadas).
{51}: , ,w w x y z
102
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Se as variáveis x, y e z são estatisticamente não correlacionadas
• Repetindo {57}:
22 2
2
i 1 i 1 , , , ,, ,
{59}: . . .n n
ix y z x y zx y z
w w ww w V x V y V zx y z
• ou
22 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
, ,
. . .
{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1
2.
x y z x y zx y zn
i
x y z x y z x y zx y z
x y z
w w wV x V y V zx y z
w ww w w wV w x y x z
n x y x z
wy
, ,
.cov ,x y z
w y zz
22 2
2
i 1 i 1 , , , ,, ,
{60}: . . .n n
i xx yy zzx y z x y zx y z
w w ww w S S Sx y z
103
Propagação da incerteza de medição de funções de variáveis
não correlacionadas• Reescrevendo {60}:
22 2
2 2 2 2
, , , ,, ,
{61}: w x y zx y z x y zx y z
w w wS S S Sx y z
• Portanto o desvio padrão (incerteza) de w é:
22 2 2 2 2 2
1
{62}: .x y z
NE
w w x w y w z i ii
S c S c S c S c u
• {62} é a incerteza padrão de w no caso em que as NE
grandezas de entrada atendem as hipóteses abaixo:Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variávelHipótese 5: Grandezas de entrada não correlacionadas.
{51}: , ,w w x y z
104
Hipóteses para a avaliação da incerteza padrão combinada
(uc)1. Comportamento do mensurando
fracamente não-linear2. Erro sistemático e sua incerteza conhecidos3. A média aritmética corrigida é o RB do
mensurando4. Independência entre os
elementos de uma amostra (estado estacionário, não auto-correlacionadas)
5. As grandezas de entrada (não) correlacionadas.
1. Assuma o modelo preliminar para a variável X = x2. Acrescente a x contribuições (uma para cada
incerteza tipo B) com média 0 (zero) e desvio padrão uBi: X = x + B1 + B2 + ... + BNB com Bi ~ (0,σi
2)=(0, uBi 2)
3. Por ser um modelo linear, com soma de parcelas com coeficientes iguais a 1, não há correlação entre as variáveis x, B1, B2, ... e BNB
4. De {58}: .
Porque a incerteza combinada de uma grandeza de entrada é dada pelo
produto interno do vetor formado pelas incertezas tipo A e tipo B?
105
2 2
1
63X i
NB
c A Bi
u u u
:
...1
22
1
22 dqcuuuuuNB
iBA
NB
iBxc iiX
106
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite
• A variância de um mensurando (y) com NE=m grandezas de entrada (xi) não correlacionadas é dada por:
2 2 2 2 2 2 21 1 1 263 : . . .m mu w c u x c u x c u x
• A variância da variância do mensurando (w) é:
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 264 : . . . .m mu u w u c u x c u x c u x
107
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
2 2 4 2 2 4 2 21 1 2 2
4 2 2
66 : . .
.m m
u u w c u u x c u u x
c u u x
• Admitindo que as incertezas não são correlacionadas e operando o lado direito de {64}:
• Admitindo que as grandezas de entrada (xi) tem PDF aproximadamente Gaussiana:
442 2 2.2.67 : ii
ii i
u xu u x
2 2 2 2 2 2 2 21 165 : . .m mu u w u c u x u c u x
108
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
24 42 2 4 41 2
1 21 2
44
2. 2.68 : .
2. mm
m
u x u xu u w c c
u xc
• Substituindo {67} em {66} :
• Admitindo que a grandezas de saída (wi) tem PDF aproximadamente Gaussiana, de {67}:
442 2 2.2.
69 : .w
w eff
u wu u w
109
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
24 4 44 41 21 2
1 2
44
2. 2. 2.70 : .
2.eff
mm
m
u w u x u xc c
u xc
• Substituindo {69} em {68} :
• Ou melhor
4
4 4
1
71 :.
ceff n
i i
i i
uv
c uv
c. q. d.
110
Avaliação da Incerteza Expandida
Hipóteses adicionais:1. Grandezas de entrada independentes2. Incertezas independentes3. Grandezas de entrada tem PDF t-Student4. Grandeza de saída tem PDF t-StudentConhecida a PA (Probabilidade de Abrangência)É possível avaliar os graus de liberdade efetivos
(veff) pela equação W-S (Welch-Satterthwaite).
111
FATOR DE ABRANGÊNCIA: t = k• Se a PDF do mensurando for t-Student, conhecido o
Probabilidade de Abrangência:
• No excel: k = t = invt( 1-PA ; veff)
• MATLAB: k = t = -tinv( (1-PA)/2 , veff)• Lembrando das hipóteses para validade da
fórmula de W-S (Welch-Satterthwaite):1.Grandezas de entrada não correlacionadas2. Incertezas não correlacionadas3.Grandezas de entrada tem PDF t-Student4.Grandeza de saída tem PDF t-Student.
k (fator de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) e PA (probabilidade de abrangência)
GL | PA 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80%1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,312 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,333 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,214 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,175 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,896 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,217 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,798 0,71 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,509 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,30
10 0,70 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,1420 0,69 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,5530 0,68 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,3940 0,68 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,3150 0,68 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,2660 0,68 1,01 1,67 2,00 2,04 2,66 3,2380 0,68 1,01 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20
120 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,62 3,16150 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,61 3,15250 0,68 1,00 1,65 1,97 2,01 2,60 3,12500 0,67 1,00 1,65 1,96 2,01 2,59 3,11
1000 0,67 1,00 1,65 1,96 2,00 2,58 3,10
113
Incerteza na Reconciliação de Dados e Covariância
• Covariância (“covariance”) dos vetores x e y é:
: ,
, ,
T
T T
p d d
Cov E
xy x y
xy y y y y
σ x - μ y - μ x y x y
σ x y x - μ y - μ x - μ y - μ
• Se VM é vetor das vazões medidas e VR é o vetor das vazões reconciliadas de um balanço hídrico, as matrizes variâncias covariâncias dessas variáveis são U2
M e U2R e as relações
entre elas são:
2 2
12 2
T T
TT T T
R M M R M M M
RM M M
M
V S V U S U S
VS I - U A AU A AV
114
Demonstração:
• O problema de reconciliação de dados de um balanço hídrico é dado por:
2min
sujeito a:
T
RM R M M RV
R
V - V U V - V
AV = 0
TR M MV S V
• A solução analítica desse problema quadrático pode ser obtida aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange:
2
,
12 2
min
derivando a lagrangeana (matriz L) em relação a e a ,igualando a zero e resolvendo o SEAL, obtemos:
T T T
T TL
R
R
M R
M M
M M R RV λ
R
M M MV I - U A
V - V U V - V λ AV
AU A A V S
V
V
λ
c. q. d.
115
Demonstração: • Por definição:
2
2
:
:
T
T
E E E
E E E
M M M M M
R R R R R
U V V V V
U V V V V
2 2TR M M MU S U S
12 2T T T R M M M M MV I - U A AU A A V S V
• Então:
2
2
2
TTT T T T
TTT T T
TT T T T
TTT T
T
TTT T
E E E
EE
E
EE
E
E
E E
E
M M M M M M M M
R
M M M M M M
R M M M M M M M M
M M M M M M M MR
M M M M M M M M
M M
S V S V S
U S V S V S V S V
S V V S S V V SU
S V V S S V V S
V S VU
S V S V S V S V
• Mas:
116
Demonstração: 2 2TR M M MU S U S
• Lembrando que a matriz de sensibilidade é constante:
2
2
2
2
2
TTT T
TT
TT
TT
T
T T
TT
T
EE
E
EE
E E E
E
E E
E E
M M M M M
M M M MR M
R M M M
M
M
M M MR
M M M M M M M M
R M M
M
M
M
M M
M
M
S V V S S V V SU
S V V S S V V S
U S
V V V VU S S
V V V V
U S U
V V V S
S
V
c. q. d.
Avaliação da incerteza• De acordo com o VIM a incerteza é
avaliada, NÃO é calculada, nem determinada, muito menos estimada.
• O que se estima é a grandeza de medição.• A incerteza é avaliada.
117
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