1 calculo e instrumentos financeiros parte 2 faculdade de economia da universidade do porto...
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1
Calculo e Instrumentos Financeiros
Parte 2
Faculdade de Economia da Universidade do Porto
2014/2015
2
1ª Aula4 Nov
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Risco e sua diversificação
4
Introdução
• Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros
• Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte).
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Introdução
• Na análise de um investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio– preços dos inputs, preços e quantidades dos
outputs, depreciação do capital, falhas e descobertas tecnológicas
• A medida calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos favorável.
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Introdução
• No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco.
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Introdução
• Já consideramos um modelo de riscop => Prob. de não receber nada(1-p) => Prob. de receber capital e juros
V.(1+r) = 0 x p + V.(1+i).(1-p)i = (1+r) / (1-p) -1
r => taxa de juro sem riscoi => taxa de juro com risco
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Seguro de vida
• Ex.2.1- Num seguro de vida em que é paga a indemnização na data da morte.
• A seguradora capitaliza os prémios pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a indemnização.
• A seguradora tem uma margem de 10%• Qual o prémio anual por cada 1000€ de
indemnização?
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Seguro de vida
• Se a seguradora soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava facilmente o prémio do seguro que lhe permitiria capitalizar a indemnização e ter algum lucro
• Mas na data de assinatura do contrato essas grandezas não são conhecidas
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Seguro de vida
• Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos
• Valor actual da indemnização
• Valor actual da soma de todos os prémios (prestações) pagos pelo segurado (antec.)
NrI )1(
)1()1(1 rrrP N
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Seguro de vida
• Igualando obtemos o prémio que a seguradora precisa cobrar (sem margem)
1)1()1(1
)1()1(1)1(
NN
NN
rrrIP
rrrPrI
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Exemplo: seguro de vida
• Se N=40 e r = 2% resultava:– Paga 40 anualidades
• Mais os 10%, seriam 17.854€/ano/1000€ = 1.7854%/ano
€23.1602.102.11
02.0100014040
P
13
Exemplo: seguro de vida
• O seguro tem risco porque a seguradora não conhece N nem r=>O risco pode resultar de um fenómeno
aleatório, e.g., o euromilhões. => Mas o mais normal é resultar de uma
concretização futura, e.g., a ocorrência de uma inovação tecnológica
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Exemplo: seguro de vida
• Sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feito é a construção de alguns cenários
• Dividimos cada variável em cenáriosComo exemplo, consideramos os cenários
Adverso, Médio, favorávelM.Mau, Mau, Médio, Bom, M.BomM.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom
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Exemplo: seguro de vida
• Cada cenário é uma combinação de valores possíveis para as variáveis relevantes desconhecidas
• No caso de variáveis contínuas, esse valor é o representante de um intervalo, e.g., o valor do meio.
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Seguro de vida
17
Exemplo: seguro de vida
• Seguradora cobrar 17.856€/ano por cada seguro de 1000€, terá prejuizo nos cenários Mau e Mmau e uma margem maior que 10% nos cenários Bom e Mbom.
18
Exemplo: seguro de vida
• Também podemos usar uma combinação de cenários individuais.
• Se temos 5 cenários para a taxa de juro e 6 para a longevidade, da combinação resultam 30 cenários
• Cobrando um prémio anual de 17.86€, podemos identificar os cenários em que a seguradora tem prejuizo e lucro
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Exemplo: seguro de vida
F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)
Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)
20
Introdução
• Os cenários conseguem dar uma ideia dos potenciais perdas e ganhos mas não nos ajudam quantitativamente na decisão
• Vamos necessitar de alguns conceitos estatísticos que permitam agregar a informação.
21
Conceitos estatísticos básicos
22
Conceitos estatísticos básicos
• A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i.e., funções reais de variáveis reais).
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Conceitos estatísticos básicos
• A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando
• Poucas variáveis (as mais relevantes) e• Conhecimento parcial dessas variáveis
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Conceitos estatísticos básicos
• Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessidades Especiais (PNE). – Cada lugar implica um custo– Mas deixar passageiros em terra tem uma
penalização• Eu não sei quantas pessoas aparecem em
cada voo.
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Conceitos estatísticos básicos
• Dados passado:• Olhando para as pessoas que viajaram no
passado, 3.0% são PNE.
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Conceitos estatísticos básicos
• Partindo desta informação pouco pormenorizada– Calculada com os passageiros do passado
• podemos calcular, com a ajuda da estatística, estimativas para as necessidades das viagens futuras– Supomos a estabilidade das características
da população
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Conceitos estatísticos básicos
Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares –
Função distribuição de Poisson
0%
5%
10%
15%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15PNE
Probabilidade
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Conceitos estatísticos básicos
• Agora, podemos optimizar uma função objectivo.
• H1) cada lugar especial dá 50€ de prejuizo
• H2) Deixar um PNE em terra tem 1000€ de penalização
• Podemos minimizar o prejuizo esperado
29
Conceitos estatísticos básicos
• A variável de decisão é N.
x é o número de PNE que aparecem num voo qualquer
n é o número de cadeiras especiais do avião
nxsenxnxse
nxnf)(1000
050),(
30
Conceitos estatísticos básicos
-7000 €
-6000 €
-5000 €
-4000 €
-3000 €
-2000 €
-1000 €
0 €
0 5 10 15 20 25 30
Prejuizo esperado
Número de cadeiras especiais
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Conceitos estatísticos básicos
• Para já não interessa saber como a figura anterior foi calculada.
• Com os 3% de PNE, foi possível construir um modelo de apoio à decisão.O valor óptimo depende da percentagem de
PNE (estimativa)2.0% => 11 lugares3.0% => 14 lugares4.0% => 17 lugares
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Noção de variável estatística
33
Noção de variável estatística• Na primeira parte da disciplina
aprendemos modelos que nos permitem quantificar o impacto da nossa decisão em função das variáveis relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de crescimento as vendas)
• O risco resulta de não conhecermos os valores concretos que as variáveis vão assumir no futuro.
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Noção de variável estatística• Por exemplo, na construção de um
automóvel não sei a altura nem o peso do futuro condutor.– Será um valor “sorteado” da população
• Vou ultrapassar a falta de informação assumindo que será um valor retirado aleatoriamente da população da qual conheço estatísticas – e.g., o valor médio e a dispersão
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Noção de variável estatística• Numa extracção aleatória os indivíduos
são obtidos sem ter em atenção nenhuma das suas características– e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões
não tem em atenção o número.• Depois, agrego a população numa função
objectivo a optimizar– Valor esperado do lucro ponderado pelo risco
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Probabilidade
• A cada um dos valores possíveis (i.e., cada cenário) é atribuído uma probabilidade-> Atirando uma moeda ao ar, a probabilidade
de sair cara é 50%.-> Retirar o número 33 de um saco com os
números 1 a 50 é 1/50.-> A probabilidade de nascer uma rapariga é
49.03% (INE, Jan2013:Jul2013).
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Interpretações de probabilidade
• Probabilidade de se concretizar o valor x• Clássica: é a proporção de vezes em que
observo o valor x se repetir a experiência de forma independente e muitas vezes
• Bayesiana: é uma conjectura construída por peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido se concretizar com o valor x
• Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é mais flexível mas não tem tanto suporte teórico
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Probabilidade
• A probabilidade não garante qual o valor que se vai obter no concreto e.g., sabe-se que a probabilidade de numa
viagem haver 6 PNE é de 16% não diz que vão aparecer 6 pessoas
• mas contém um certo grau de informação que ajuda a avaliar a importância relativa dos cenários construídos
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Probabilidade
• Opinião de peritos:• Ex.2.4. Foram identificados 8 cenários
possíveis quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqui a 10 anos e inquirida a opinião de 100 peritos sobre a probabilidade de se concretizarem (proporcional à escala de 0 a 10).
40
Probabilidade
• Com base na soma dos pontos atribuídos por todas as pessoas, determine a probabilidade assumida para que cada um dos cenários possa vir a acontecer.
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B5: =B4/$J4 J4: =Soma(B4:I4)
42
2ª Aula
43
• Concluindo, • 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das
implicações financeiras da minha decisão onde me falta a informação sobre o cenário concreto que se vai realizar
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Tenho o modelo que funciona bem quando conheço os valores
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• 2 – Quando não tenho os valores, o melhor que posso fazer é substituir o valor desconhecido por uma variável aleatória de que eu tenho informação quanto à probabilidade de cada cenário se vir a concretizar.
• Por exemplo, não conheço a duração
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Substituo o valor desconhecido por uma variável aleatória
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• Uso uma variável aleatória como modelo do risco
• Esta substituição (do cenário futuro desconhecido pela variável aleatória) implica que tenha como resultado não um valor mas também uma variável aleatória (como se fosse toda uma população de resultados).
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Exemplo
• Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de o individuo durar determinados anos e a taxa de juro ser determinada
• retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidade da seguradora ter uma margem das vendas abaixo dos 10% pretendidos
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Caracterização da v.e. • População dividida em cenários
– Intervalos• Pego nos indivíduos todos da população e
calculo a proporção que cai dentro de cada classe
• e.g., divido a longevidade de uma pessoa nos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e ]90, 120]
50
Caracterização da v.e. • Não podendo medir toda a população,
utilizo uma amostra no cálculo da probabilidade
• Quando (parte) da população está no futuro, tenho que considerar o presente como uma amostra dessa população do futuro
51
Exemplo
• a probabilidade de cada cenário é determinada com informação passada e pela opinião de um painel de peritos
• Vamos supor a seguinte informação quanto à probabildaide de ocorrencia de cada cenário:
52
53
Exemplo
• R. Agora que tenho informação quanto à probabilidade de cada um dos cenários poder ocorrer, olhando para o resultado de cada cenário (apresentado no Ex. 2.1) somo a probabilidade dos cenários em que o prémio deveria ser maior que o adoptado (1.785%/ano)– São os cenários a vermelho
• A probabilidade da margem das vendas ficar abaixo dos 10% pretendidos é 57.78%.
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Exemplo: seguro de vida
F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)
Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)
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Tabelas de sobrevivência• As seguradoras têm tabelas que dão a
probabilidade de uma pessoa estar viva decorridos x anos desde que nasceu.
• Quantificado em partes por 100000• Por exemplo, o INE estima que a
probabilidade de um individuo nascido em 2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000
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Tabela de sobrevivência
57
Tabelas de sobrevivência• A probabilidade de uma pessoa de 20
anos durar apenas 10 anos é de
(99267-98685)/99267 = 0.586%
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Exercício• Ex.2.6. Uma empresa contrata um
financiamento de 10M€ com 3 anos de diferimento e amortizado nos restantes 7 anos, pagamentos trimestrais postecipados.
• TAE é a EURIBOR mais 2.5 p.p.• Usando um quadro de probabilidades
conhecido, determine P(prest>500k€)
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D6: =(A6+B6)/2; E6: =D6+E$1; F6: =(1+E6)^(1/4)-1
G6: =B$3*F6/(1-(1+F6)^-E$2); E3=Soma(C12:C18)
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Exercício• Ex.2.7. Uma família adquire um imóvel a
crédito– > 150k€ a 40 anos– > Prestação mensal iguais em termos reais– > Antecipada
• Quero saber o esforço financeiro– > Prestação/Rendimento
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Exercício• Vamos fazer a análise a preços
constantes e calcular a prestação anual paga no meio do ano da renda cujo valor actual é 150k€:– que evita saber a taxa de inflação
5.040
5.040
)1()1(1150000
)1()1(1150000
rrrP
rrrP
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Exercício• Podíamos fazer mensal
• Mas a ideia é visualizar a simplificação de considerar o pagamento a meio do período.
)1()1(1150000
1)12/1()^1(
480 rmrmrmPm
rrm
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Exercício• Eu não sei qual vai ser a taxa de juro real
nem o rendimento futuros. • Vou assumir cenários e probabildiades
para cada cenário.
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Dados
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J5: =$B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4
O5: =IF(J5>$P$2;E5;0) P3: =SUM(O5:S9)
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Valor médio• Na tomada de decisão é conveniente
agregar todos os cenários em apenas algumas medidas.
• Em termos económicos, o valor esperado (médio) é a medida que contém mais informação
• é a “componente sem risco” do fenómeno que estamos a analisar.
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Valor médio• Havendo n cenários caracterizado cada
um por xn, com determinada probabilidade de ocorrência, pn, o valor médio será
– Porque as probabilidades somam 1
nn
n
nn
pxpxpxppp
pxpxpx
.........
......
2211
21
2211
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Valor médio
• O valor médio já nos permite um critério quantitativo que nos ajuda a decidir numa situação com risco.
• Mas é muito limitado porque não tem em atenção o risco (a variabilidade)
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• Ex.2.8. Um empresa fornece refeições a aviões.
• Que confecciona durante a noite para responder às solicitações do dia seguinte que são incertas.
• Por cada refeição que fornecer recebe 15€ (com um custo de produção de 5€) e tem uma penalização de 15€ por cada refeição que seja pedida e não possa ser fornecida.
• As refeições que sobram são destruídas no fim do dia.
70
• i) Determine, em média, a rentabilidade do fornecimento em função do número de refeições confeccionadas.
• ii) Determine o número de refeições que maximiza a rentabilidade média.
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• A empresa constrói cenários em que a variável desconhecida é o número de refeições encomendadas
• Calcula, para cada dia e com base na sua experiência, a probabilidade de cada um dos cenários se verificar.
• Com essas probabilidades, a empresa determina o resultado médio do dia em função do número de refeições confeccionadas (que é a variável de decisão).
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E6: =MÍNIMO(C6;$D$1) F6: =C6-E6G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4H6: =D6*G6 H15: =SOMA(H6:H14)
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• Alterando o valor da variável de decisão, D1, determino qual o número de refeições que maximiza o resultado médio, H15
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Optimização
• O Excel tem a ferramenta Solver que permite maximizar ou minimizar o resultado de um modelo. No Excel 2007:
• Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no Manage clickar em Go…,
• +Solver Add In
• Depois, aparece no Analysis
75
3ª Aula11 de Nov
76
Desvio padrão• Ao agregarmos os cenários no valor
médio ficamos sem uma medida de risco
• o desvio padrão, , é uma boa medida do risco de assumirmos o valor médio dos cenários possíveis como o valor do cenário que vai acontecer (e que é desconhecido)
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Desvio padrão
• Algebricamente é a raiz quadrada da• Média dos desvios ao quadrado
N
Nn
PPPxPx
.........
1
21
21
78
Desvio padrão
• Como a soma de todas as probabilidades dá 1
Nn PxPx ..... 21
21
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Desvio padrão
• O desvio padrão é uma expressão derivável e que tem interpretação geométrica.– Se, e.g., uma população se agrega no
valor médio 25€/dia e desvio padrão 5€/dia, é equivalente a ter metade dos indivíduos em 20€/dia e outra metade em 30€/dia.
80
Desvio padrão• Ex.2.9 - Uma empresa pretende
internacionalizar-se e traçou vários cenários possíveis
• Determine o valor médio e o desvio padrão do resultado financeiro que resulta da internacionalização.
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D2: =$B2*C2 D10: =SUM(D2:D9)E2: =(C2-$D$10)^2 F2: =$B2*E2F10: =SUM(D2:D9) F11: =F10^0,5A figura tinha um erro (11/11/2014))
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Desvio padrão• Podemos ler este resultado como:• Em média o resultado será 28.3k€ mas • em metade dos casos o resultado será
4.3k€ = 28.3 – 24.06• e na outra metade será
52.3k€ = 28.3 + 24.06
83
• Ex.2.10. Supondo que nos baralhos de 52 cartas uma figura vale 10 pontos.
• Determine o valor médio e o desvio padrão dos pontos de uma carta retirada aleatoriamente.
• Nesta população teórica eu posso calcular os valores da população
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• 4 cartas valem 1 ponto,• 4 cartas valem 2 pontos• ….• 4 cartas valem 9 pontos• 16 cartas valem 10 pontos
538.61385
131049...21
134104494...2414
85
• O desvio padrão será
153.313
)538.610(4...)538.61(
134)538.610(44...)538.61(4
22
22
86
• Ex.2.11. Relativamente ao Ex. 2.8, determine o desvio padrão dos resultados.
• Determine o número de refeições que maximiza o valor médio do resultado menos o seu desvio padrão.– As pessoas preferem não enfrentar risco pelo
que, quando ele existe, é preciso retirar alguma coisa ao valor médio
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I6: =(G6-$H$15)^2 J6: =I6*D6
J15: =SOMA(J6:J14) J16: =J15^0,5
88
Função de distribuição• Quando a variável é contínua podemos
partir o domínio em intervalos, cenários, e apontar uma probabilidade de o acontecimento vir a pertencer a cada um dos cenários.
• Em cada cenário adoptamos como valor representativo o meio do intervalo
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Função de distribuição• Apesar de atribuirmos uma probabildaide
a cada cenário– Se temos 30 cenários, precisamos de 29
números• Mas não existe informação para ter rigor
nesses números.• Temos informação para 1 ou 2 números
90
Função de distribuição• É aceitável pensar que os cenários
vizinhos têm associadas probabilidade semelhantes.
• A Estatística propõe o uso de uma função F(x) que quantifica a probabilidade de ser observado um valor menor que ou igual a dado valor x.
91
Função de distribuição• A função de distribuição é caracterizada
por alguns parâmetros
• No ex.2.1 usei a Função Distribuição de Poisson que se caracteriza por 1 parâmetro (os 3%)Valor médio = Desvio Padrão
92
Distribuição Normal• É caracterizada por dois parâmetros
– O valor médio– O desvio padrão (ou a variância)
• Variância = desvio padrão ao quadrado
• É importante porque é a “distribuição limite” da soma de acontecimentos estatisticamente pouco dependentes
93
Distribuição Normal• A probabilidade de acontecer o cenário ] –; + ] é de 68.3% 2/3; ] – 2; +2] é de 95.5% 19/20 ] – 3; +3] é de 99.7% 997/1000.
94
Distribuição NormalEx. o QI -coeficiente de inteligência é uma
variável aleatória com distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15
A probabilidade de encontrar aleatoriamente um indivíduo com QI > 145 é 0.13% (i.e., uma em cada 740 pessoas)
=1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO)Inglês: NORMDIST
95
Distribuição NormalA Distribuição Normal concentra a maior
probabilidade nos cenários em torno do valor médio
0%
5%
10%
15%
20%
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
P(x = k )
k
96
Exercício• Ex.2.12. Comprei obrigações a 25 anos à
taxa de juro nominal fixa de 3%/ano, sem possibilidade de mobilização antecipada.
• A taxa de inflação média prevê-se seguir distribuição N(0.02, 0.01)/ano
• Determine o valor real a receber no fim do prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade de esse valor ser menor que a quantia aplicada.
97
Exercício• 1) Vou dividir o domínio da taxa de
inflação em cenários e calcular o valor capitalizado para cada cenário
• 2) Calculo o valor médio e o desvio padrão do V.F. em termos reais e a probabilidade de vir a ser recebido uma quantia menor que a aplicada.
98
Exercício
99
A7: =G1-4,25*G2 B7: =A7+$G$2/2 A8: =B7D7: =(A7+B7)/2C7: =DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true)E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1 F7: =C$2*(1+E7)^C$3
G7: =F7*C7 H7: =(F7-G$25)I7: =H7^2*C7 C24: =SOMA(C7:C23) G25: =SOMA(G7:G22)/C24I24: =SOMA(I7:I22)/C24I25: =I24^0,5I26: =DIST.NORM(C2;G25;I25;true)
100
4ª Aula
101
Distribuição Uniforme• Na F.D. Uniforme os valores no domínio
são todos igualmente prováveis.
• Pode se caracterizada pelos extremos– valores mínimo e máximo
• Pelo valor médio e amplitude• Pelo valor médio e desvio padrão
102
Distribuição Uniforme• Sendo dados
= valor médio = desvio padrão
O Valor mínimo = - 1.732 O Valor máximo = + 1.732
103
Distribuição Uniforme• Sendo dados
Mx = valor máximoMn = valor mínimo
Valor médio = (Mn + Mx)/2Desv. padrão = 0.2887(Mx - Mn)
104
Distribuição Uniforme• A probabilidade de um cenário é a sua
proporção no domínio possível.• Ex., com a distribuição uniforme
U(Min,Mx) = U(5; 10)A probabilidade do cenário [5;6] é 1/5
105
Escolha da F.Distribuição• A função distribuição não é conhecida
sendo uma proposta da Teoria.• No entanto, em termos de decisão
económica, a função distribuição não é um factor crítico (ver ex.2.13).
• e.g., considerar uma função distribuição normal é idêntico a considerar uma função de distribuição uniforme.
106
Distribuição não simétrica• No entanto, quando o fenómeno é caracterizado
por uma função muito assimétrica,– Existe uma probabilidade mais elevada de alguns
acontecimentos catastróficos– Mede-se com
– m é zero nas F.D. simétricas• não posso utilizar uma função simétrica
3 3 ii xPm
107
Distribuição não simétrica• Exemplo de uma distribuição assimétrica
é o caudal de um rio• É normal ter
– m / > 5– 80% dos dias um caudal ao valor médio– 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30
vezes superior ao caudal médio
108
Distribuição não simétrica• Os caudais muito elevados (e.g., que
ocorrem com a probabilidade de 1 dia em 100 anos) têm muito poder destrutivo
• Os seguros contra danos de cheias têm que quantificar com rigor a probabilidade destes acontecimentos extremos– As barragens e pontes têm que ser feitos de
forma a resistir a estes caudais extremos.
109
Distribuição não simétrica• O caudal médio do rio Douro no Porto é
714m3/s• A ponte de Entre-os-Rios caiu com o
caudal no Porto de ~13500m3/s– A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em
23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739) com >20000m3/s
– A barragem de Lever-Crestuma está dimensionada para 26000m3/shttp://www.wikienergia.pt/~edp/index.php?title=Central_de_Crestuma_-_Lever
110
Ribeira, 1962/01/03 10:00, ~17000m3/s, 1909 foi > em 68cm
111
Operações algébricas com uma variável aleatória
112
Operações algébricas simples
• Se somarmos uma constante a uma variável aleatória– O valor médio vem aumentado– O desvio padrão mantêm-se
)()()()(
XXaXaXa
113
Operações algébricas simples
Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15)
114
Operações algébricas simples
)(
)()()(
11
11
Xaxpap
xpapxapXa
n
iii
n
ii
n
iiii
n
iii
115
Operações algébricas simples
)()(
))(()()(
1
2
1
2
xXxp
XaxapXa
n
iii
n
iii
116
Operações algébricas simples
• Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória– O valor médio vem multiplicado– O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto
da constante
)()()()(
XaXaXaXa
117
Operações algébricas simples
)(
)()()(
1
11
Xaxpa
xapxapXa
n
iii
n
iii
n
iii
118
Operações algébricas simples
)()(
))(()()(
1
22
1
2
xaXxpa
XaxapXa
n
iii
n
iii
119
Operações algébricas simples
• Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas, em média, 15€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios?
• R. Atendendo às propriedades, teremos 100 – 1000 = 100 15 – 1000 = 500€
120
Ex.2.15• Um empresário está a avaliar o aluguer de um
barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia. • Demora um dia de viagem para cada lado e
pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia• O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg
• Quanto será o lucro? • Qual a probabilidade de ter prejuízo?
121
Ex.2.15• O lucro será 52500N(2; 1) – 30007 =12500N(2; 1) – 21000 = N(25000; 12500) – 21000 = N(4000; 12500)• Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€
• A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%, =NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).
122
Exercício• Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo
transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg.
• i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
123
Exercícioi) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75 Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)
ii) No Excel teríamos A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro) 43.38%
124
Exercício• Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta
que lhe permite desenvolver um negócio cujo q de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário investir 1M€.
• Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625k€,
• qual será o q de Tobin de A e de B?
125
Exercício• R. A investe 375k€ que terá
• B investe 625k€ que terá
)333.0,2()25.0,5.1(375.0
5.0.. NN
INVESTRECEBq
)2.0,2.1()25.0,5.1(625.0
5.0 NNq
126
Acções - obrigações• O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o
empreendedor emitir acções da sua empresa.• Uma acção é uma parte do capital próprio da
empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€.
127
5ª Aula18 de Nov
128
Acções - obrigações• Por exemplo, uma empresa com um capital
social de 10M€ divide-se em 10M de acções com valor nominal de 1€ cada.
• A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.
129
Acções - obrigações• As acções têm maior risco que as obrigações
porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido pelas acções.
• Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável.
130
Acções - obrigações• Interessa ao empresário dispersar o capital da
empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico.
• As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i.e., dos dividendos e da cotação).
131
Operações algébricas não simples
• Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não são simples:
)1)()1(1()1( rrrPrV LL
1)1)()1(1(
LL rrrVP
132
Operações algébricas não simples
• Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis
x1 = - e x2 = +
• Calculamos y1 = g(-) e y2 = g(+)
• Valor médio = (y1 + y2)/2
• Desv. padrão = |y2 - y1|/2
133
Operações algébricas não simples
• Nas distribuições simétrica é indiferente usar• Valor médio = (g(-) + g(+))/2 g()
• Nas distribuições assimétricas é melhor usar• Valor médio = (g(-) + g(+))/2
134
Exercício
• Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)
• i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y = (P) + (P).
• ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro?
135
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• a seguradora precisará reservas com média
(16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão (16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 = 16.23€/ano.
1)1)()1(1()1(
rrriVP L
L
136
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano; • Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano. • Para uma longevidade genérica, o lucro do
seguro terá • valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano• desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.
137
Operações algébricas não simples
• Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).
• Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.
• Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”.
138
Operações algébricas não simples
139
Operações algébricas não simples
• C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)- NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)
• D7: =(A7+B7)/2+0,5• E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)• F7: =C7*E7• G7: =E7-F$40• H7: =G7^2*C7• C39: =SUM(C7:C38)• F40: =SUM(F7:F38)/$C39• H39: =SUM(H7:H38)/$C39• H40: =H39^0,5
140
Método de Monte Carlo• Método de Monte Carlo. • 1) Sorteamos vários valores para a variável de
acordo com a sua função distribuição.• 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determina-
se uma população de resultados possíveis.• Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, faz-
se um histograma, etc., dos resultados.Tools + Data Analyses + Random Number
Generation **
141
Método de Monte Carlo
**Excel 2007Instalamos o Data AnalysesOffice Button + Excel Options + Add Ins + Excel Add Ins Go…
Depois, aparece em Data o Data Analysis
142
Método de Monte Carlo
143
Método de Monte Carlo
2.69
144
Método de Monte Carlo
• Quando derem o R, verão que o Método de Monte Carlo é de simples implementação
• É muito flexível e poderoso
• Permite determinar o “erro de cálculo”
145
Comparação dos métodos
• O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança
• A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários
• O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos
146
Comparação dos métodos
• No caso do Ex.2.17
147
Diversificação do risco
148
Diversificação do risco• O modelo estatístico ajuda a decidir num
problema com risco
• Podemos diminuir o risco juntando actividades – diversificando
• Em termos estatísticos, são operações de soma de variáveis aleatórias.
149
Diversificação do risco• Em termos económicos trata-se de
construir uma carteira de activos• “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”
• Uma concretização negativa de um activo será estatisticamente compensada por uma concretização positiva de outro activo
150
Diversificação do risco• Por exemplo, na praia podemos vender
gelados e gabardines. • Quando faz calor, a venda de gabardines
dá prejuízo e a de gelados dá lucro• Quando chove, a venda de gabardines dá
lucro e a de gelados dá prejuízo
• Vender de ambos diminui o risco
151
Diversificação do risco
Faz Calor Chove
Gelados +200 -100
Gabardines -100 +200
Total do negócio +100 +100
152
Duas variáveis
• Divisão das variáveis em cenários– Probabilidades cruzadas
• Já utilizamos no ex.2.5• O método é semelhante à situação em
que temos uma variável estatística, mas agora serão cenários que envolvem a concretização de vários contingências.
153
Exercício• Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se
vai pescar ou não. • Não sabe a quantidade que vai pescar
nem o preço a que vai vender.• A intuição permite-lhe construir cenários e
atribuir-lhes probabilidades.• De, em simultâneo, se verificar uma
quantidade pescada (em kg) e um preço (em €/kg).
154
Exercício
Pesca \ preço [1; 2]€/k ]2; 3]€/k ]3; 4]€/k
[0; 100]kg 0% 4% 10%
[100; 250]kg 1% 35% 15%
]250; 400]kg 5% 10% 10%
]400; 500]kg 9% 1% 0%
155
Exercício
• O pescador pode agora calcular a receita (em termos médios e desvio padrão) multiplicando a quantidade (do meio do intervalo) pelo preço (do meio do intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a receita média menos o desvio padrão for maior que os custos fixos
156
Exercício
157
Exercício
• B8: =$A2*B$1• F2: =B8*B2• H6: =SUM(F2:H5)• F8: =(B8-$H$6)^2*B2• H12: =SUM(F8:H11)• H13: =H12^0,5
Decisão
• Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria
• Lucro médio = 61,50€• Des.Pa.lucro = 270,76€• Se a função objectivo fosse LM-DP =
61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.
158
159
6ª Aula
160
Exercício
• Ex.2.19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos
• O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva.
• Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado?
161
Exercício
• R. Temos 3 variáveis desconhecidas, • a taxa de juro, a longevidade e o salário• Vamos supor que a seguradora assumiu
45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel.
• Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140%
162
Exercício
163
Exercício
164
Exercício
• K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)• L3: =K3*J3• M3: =(K3-$L$52)^2*J3• L51: =SOMA(L3:L49)• M50: =SOMA(M3:M49)• M51: =M50^0,5
165
Exercício• As reservas médias são de 4.91€ pelo que
a seguradora tem lucro médio positivo com um prémio baixo, 6€/mês
• Mas, este negócio tem um risco tão elevado (d.p.=166.85€/mês) para a seguradora que é inviável.
• Apenas será possível se a seguradora conseguir diversificar este seguro.– Segurar os 1000 trabalhadores?
166
Associação entre variáveis - FD
• No caso de termos duas variáveis aleatórias, além da F. Distribuição e dos parâmetros (valor médio e desvio padrão) que caracterizam cada uma das variáveis,
• haverá um parâmetro para quantificar o grau de associação estatística entre as variáveis.
167
Associação entre variáveis - FD• Por exemplo, nas calças são
importantes a largura da cintura e a altura de perna do cliente que, na hora de fabrico, são desconhecidas.
• Mas, num cliente aleatório, em média, quanto maior for a sua cintura, maior será a sua altura de perna.
As calças de número maior são mais compridas
168
Associação entre variáveis -FD
• Covariância: é um parâmetro que condensa a associação entre duas variáveis estatísticas.
N
yxyx
N
iyixi
1),(
N
ijiyixi Pyxyx
1,),(
169
Associação entre variáveis
• t1A covariância pode ser negativa, zero ou positiva.
• É crescente com os desvios padrão das variáveis
• A variância é um caso particular da covariância
170
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear de Pearson, (x, y)
• Retira à covariância o efeito dos desvios padrão
)()(),(),()()(
),(),(
yxyxyxyx
yxyx
171
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear está no intervalo [–1; 1]
• Se for zero, as variáveis não estão associadas (linearmente).
• Se for –1 ou 1, estão perfeitamente associados em sentido contrário ou no mesmo sentido, respectivamente.
172
Associação entre variáveis
• Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear
i) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre uma variável e uma constante é zero
(a, b) = 0; (a,X) = 0
173
Associação entre variáveis
ii) Somando uma constante a uma das variáveis, a covariância e o coeficiente de correlação linear mantêm-se:
(a+X,Y) = (X,Y); (a+X,Y) = (X,Y)
174
Associação entre variáveis
iii) Multiplicando uma das variáveis por uma constante, a covariância vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal e de ser zero):
(a.X,Y) = a.(X,Y); (a.X,Y) = sig(a). (X,Y)
175
Associação entre variáveis
iv) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos:
(X,Y) = (Y,X); (X,Y) = (Y,X)
176
Exercício
X~N(10;5), Y~N(-1;3), (X; Y) = 0.7
Determine a) (3X; 2Y) e (3X;2Y)b) (-X; 2Y) e (-X;2Y)c) (5-5X;-2-Y) e (5-5X;-2-Y)
177
Exercício
(X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5
a) (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, (3X;2Y)=0.7
b) (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21, (-X;2Y)=-0.7
c)(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5, (5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7
178
Soma de variáveis estatísticasdiversificação do risco
179
Soma de variáveis estatísticas
• Até agora apenas somamos constantes com variáveis
• É muito relevante no contexto da M.F. porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se das propriedades individuais dos activos que a constituem.
180
Soma de variáveis estatísticas
• Distribuição da soma de duas V.A. • Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a
soma também terá distribuição normal. • Se não tiverem, a soma será mais próxima da
distribuição normal que as distribuições das parcelas.• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição
desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode assumir-se que tem distribuição normal.
181
Soma de variáveis estatísticas
• Média da soma. • Sendo que existem duas variáveis, X e Y,• a soma Z = X + Y terá como valor médio a
soma dos valores médios de cada variável estatística.
182
Soma de variáveis estatísticas
• Variância e desvio padrão da soma. • Sendo que existem duas variáveis, X e Y,• a soma Z = X + Y terá como variância a soma
das variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância.
)(),(2)()( 222 yyxxz
183
Exercício• t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando
encomenda desconhece o preço de aquisição e de venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).• Tem que pagar 75€ pelo transporte. • A correlação linear entre o preço de compra e de
venda é de 0.5• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar
1000kg de legumes. • ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.
184
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveis aleatórias.
• Lucro = 1000(PV – PC) –75.PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10) = N(0.10, (0.152+2(–
0.5)0.150.10+0.102)) = N(0.10, 0.1323)Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)
185
Exercício
• 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3) N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)
Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo
186
Exercício
• Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano e com correlação linear de 0.25.
• Determine a rentabilidade de uma carteira com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.
187
Exercício
• Z = 0.5X+0.5Y
(Z) = (0.5X)+ (0.5Y) = 0.5(X)+ 0.5(Y) = 0.5x5%+ 0.5x10% = 7.5%/ano
188
Exercício• Z = 0.5X + 0.5Y2(Z) = 2(0.5X) + 2 (0.5X, 0.5Y) + 2(0.5Y) = (0.5x5%)2
+ 2x0.25x(0.5x5%)x(0.5x7%) + (0.5x7%)2
=0,0022875 (Z) = 4.78%
189
7ª Aula25 Nov
190
Extensão à soma de N variáveis
• Se eu somar três variáveis, posso fazer• X+(Y+Z)• E retiro que2(X+Y+Z) = = 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z) + 2(X,Y)+2(X,Z) +2(Y,Z)Facilmente estendo para N
191
Extensão à soma de N variáveis• Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu
produto em novos mercados. • Moscovo tem custo Cm N(3, 0.5) e resultado
actualizado das vendas Vm N(7, 1)• São Petersburgo tem custo Csp N(2, 0.6) e
resultado actualizado das vendas Vsp N(6, 2).• O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado
actualizado das vendas,
192
Extensão à soma de N variáveis• Os coeficiente de correlação linear são
Cm Csp Vm VspCm 1 0 0.5 0
Csp 0 1 0 0.5
Vm 0.5 0 1 0.7
Vsp 0 0.5 0.7 1
193
Extensão à soma de N variáveis
• i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas).
• ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto).
194
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro da representação (separadas).Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5) = N(4, (12 +210.5(-0.5) + 0.52)) = N(4, 0.866)Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(4, (22 +220.6(-0.5) + 0.62)) = N(4, 1.778)
195
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro das representações juntas.Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp = N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(8, (12 + 0.52 + 22 + 0.62 + 210.5-0.5+ 220.6-0.5 + 21
20.7)) = N(8, 2.59)Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.
196
Exercício
• Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4.91; 166.65)€/ano.
• i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000trabalhadores.
197
Exercício
• L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65) = F(1.09; 166.65)€/ano• L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 = = N(109; (100*166.652))/100 = N(1.09;16,67) €/ano• L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 = = N(1090; (1000*166.652))/1000 = N(1.09;5,27) €/ano
198
Exercício
• ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0.1
199
Exercício
93.52;09.1
1000/65,166*1,0*999*100065.1661000;1090
02.55;09.1
100/65.16665.1661.02
99100265.166100;109
100/)65.166;09.1(...)65.166;09.1(
221000
2
100
NNL
N
N
FFL
200
Exercício
• Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos,
• maior será a diminuição do risco e• mais a função distribuição resultante se
aproxima da função distribuição normal.
201
Exercício• Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21,
obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas por cada 500€/mês de indemnização. O prémio será o valor médio das reservas mais o desvio padrão.
• Supondo que a invalidez dos trabalhadores não está correlacionada, determine o prémio em função do tamanho da carteira de seguros.
202
Exercício
n = 100 P = 42.44€/mês; n = 1000 P = 18.39€/mês; n = 10000 P = 10.79€/mês.
nP
nN
nnnF
/65.35127.7
)/65.351;27.7(
/)65.351;27.7(Re 2
203
Segundo Teste até aqui
204
8ª Aula27/28 de Nov
Dúvidas
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