1 calculo e instrumentos financeiros parte 1 pedro cosme costa vieira faculdade de economia da...
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Calculo e Instrumentos Financeiros
Parte 1
Pedro Cosme Costa Vieira
Faculdade de Economia da Universidade do Porto
2014/2015
Actualizado no dia 15 de Setembro de 2014
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Apresentação
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Docentes
João Sousa Couto ([email protected])
José Manuel Peres Jorge ([email protected])
Pedro Cosme Costa Vieira ([email protected])
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Conteúdo programático
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Objectivos da Disciplina
• 1ª Parte (12 aulas)– Taxa de juro, capitalização e desconto– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos
e créditos bancários; obrigações – Transformação de stocks financeiros em
fluxos financeiros (rendas / amortizações)– os preços correntes e preços constantes
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Objectivos da Disciplina
• 2ª Parte (10 aulas)– Risco do negócio. Modelos estatísticos.– Instrumentos financeiros com risco: seguros,
acções e obrigações com risco de falha– Carteiras de activos: diversificação e
alavancagem
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Objectivos da Disciplina
• 3ª Parte (2 aulas)• Aplicação dos conceitos
Medidas de desempenho de um investimento• VAL + TIR + Q de tobin
Instrumentos financeiros • Aluguer (leasing +renting)• Factoring• Opções• Obrigações Contingentes• Swaps
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Avaliação
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Avaliação• Avaliação por Exame (2 épocas)• Avaliação Distribuída
– Primeiro teste (1/3) – 24 Outubro, 15h– Segundo teste (1/3) – 28 Novembro, 15h– Terceiro teste (1/3) – 12 de Janeiro, 14h– Para fazer avaliação contínua têm que frequentar
pelo menos 75% das aulas (18).– O terceiro teste é parte do exame– No dia do exame, os alunos de avaliação contínua
podem repescar um dos dois primeiros testes. Contará a melhor nota.
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Avaliação
• Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída:– Média dos 3 testes com a condição de, no
caso do teste repescado, contar a melhor nota
– Recorda-se que, na avaliação contínua, é necessário a frequência de 75% das aulas.
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Material de apoio
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Material de estudo
• Existem disponíveis em formato digital– Uma página
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2014
– um texto que segue as aulas– Um texto sobre o sistema monetário– Um ficheiro Excel com os exercícios do texto– As apresentações das aulas em Power Point– Cadernos de exercícios resolvidos
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Material de estudo
• Página do ano passadowww.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2013
– Testes– Exemplos de trabalhos (este ano não há)– Notas
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Primeira Aula23 Set.
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Os contratos de débito/crédito=
contratos de mútuo
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O contrato de débito/crédito
• Existem três razões principais para transaccionar créditos/débitos.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo e as pessoas estarem
especializadas em aforradores e investidores
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O Ciclo de Vida
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O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
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O ciclo de vida
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O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos
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O ciclo de vida
• Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam– Em média, a reforma dura 20 anos
• Esses recursos vão-se esgotando
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Risco
deRedução do rendimento e
Aumento da despesa
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O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias.– 55% do PIB são salários– São 67% do produto interno liquido
• Existe o risco da pessoa poder ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano
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O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior – Inicialmente ganha-se menos 15%
• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverá haver uma poupança 12 salários.
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Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar (menos rendimento) e necessitando de tratamento médico (mais despesa).
– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.• É necessário ter uns activos de lado (ou
pedir emprestado na adversidade)
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O capital é produtivo
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O capital é produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo poupar (aumentando a quantidade de capital), aumenta o seu rendimento– A produtiva por pessoa aumenta
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O capital é produtivo
• Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.
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Os stocks degradam-se
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Os stocks degradam-se
• Não é possível guardar coisas para quando formos velhos, – A comida apodrece– A roupa passa de moda– Os automóveis ganham ferrugem
• Não é possível ter stock negativo.– As crianças não podem antecipar o
rendimento futuro com um stock negativo
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Os stocks degradam-se
• Poupar é principalmente emprestar, – Os adultos activos emprestam às crianças e
as criança pagam as dividas quando se tornarem activas
– Os adultos activos fazem uma poupança de segurança emprestando a outras pessoas
– Os aforradores emprestam aos empreendedores
• Comprar um frigorífico também é poupar
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A moeda
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O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade com moeda, emprestam-se somas denominadas em moeda– A moeda é a unidade de valor mas não é o
recurso poupado.
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O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos– A moeda não é um recurso escasso
• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos que deixar de consumir recursos (B & S)
• A pessoa a quem emprestamos vai consumir esses recursos escassos.
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O empréstimo em dinheiro
• Poupar em termos agregados reduz-se a– Aumentar os stocks– Aumentar o capital
• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos, electrodomésticos, carros (todo o bem que dura mais do que um ano).
– Aumentar a escolaridade• É o capital humano
– Inovação e desenvolvimento tecnológico
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O empréstimo em dinheiro
• Como as relações entre moeda e crédito fazem confusão nas pessoas
• Os alunos têm o texto:
• Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto
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A taxa de juro
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A taxa de juro
• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado– As crianças, os desempregados e as vítimas
de acidentes– Os empreendedores
• Outras que precisam de guardar dinheiro– Os indivíduos activos e empregados.
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A taxa de juro
• O mercado de financiamento tem a taxa de juro como preço e a quantidade de poupança/crédito como quantidade.
• É a taxa de juro que equilibra o mercado– Se houver menos pessoas a querer poupar
ou mais pessoas a quererem-se endividar, a taxa de juro sob para equilibrar as vontades dos agentes económicos
– A desenvolver na Microeconomia
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A taxa de juro
0%
2%
4%
6%
8%
10%
0 20 40 60 80 100
Procura de crédito (investimento)
Oferta de crédito (poupança)
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A taxa de juro
0%
2%
4%
6%
8%
10%
0 20 40 60 80 100
Enfraquecimento da poupança
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A taxa de juro
• Quando o BCE aumenta a quantidade de moeda em circulação
• A taxa de juro não diminui porque a moeda não é um recurso escasso– não existe mais poupança de recursos
escassos nem menos pedidos de crédito• A moeda tem efeito no Nível Geral de
Preços (inflação) e não na taxa de juro
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A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro é a remuneração de o aforrador adiar o consumo, é o custo do devedor antecipar o consumo.
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A taxa de juro
• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar– O que eu poupo são os recursos que deixei
de consumir para ter esta soma de dinheiro– O que empresto são esses recursos
• Daqui a 10 anos recebo 7500€. • É o capital, 5000€, mais 2500€ de juros
(50%).
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A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
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A taxa de juro
• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
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A taxa de juro
• Quem preferir a hipótese 1 então, exige uma taxa de juro positiva
– Podia depositá-lo, recebendo juros– O dinheiro vai desvalorizar– O doador pode morrer (e a oferta falhar)
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A taxa de juro
• É historicamente positiva por três razões– Existe uma remuneração real
• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo: existem empreendedores• Há concorrência pelo capital escasso
– Há inflação• Se o capital é denominado em euros, como os
preços aumentam, há necessidade de corrigir a perda de poder de compra dos euros.
– Há risco de incumprimento• É uma lotaria
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A taxa de juro real
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Juro real
– Quantifica o aumento do poder de compra
– Quando emprestei os 5000€, esse dinheiro dava para viver durante 200 dias. Quando receber os 7500€, penso conseguir viver 250 dias.
– Então, o juro real durante os 10 anos é de “viver 50 dias”, 25%
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Juro real
– A taxa de juro real tende a ser positiva porque
– o capital é produtivo. • e.g., um agricultor se cavar com uma enxada
consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.
– O capital é escasso• Como o crédito são recursos escassos poupados,
existe concorrência por esses recursos.
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Juro real
– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos
tanta utilidade do consumo– Quem faz o sacrifício de não consumir no
presente precisa ser “remunerado”.– Quem tem o benefício de consumir o que não
tem (ainda) tem que “pagar”.
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Juro real
• Inicialmente tenho V0 euros– Supondo que os preços se mantêm e que
não existe risco, para uma taxa de juro r%– Terei no fim do período
V1 = V0(1+ r)
Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei
V1 = 10000(1+ 10%) = 11000€
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A Inflação
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Inflação
• O crédito é denominado em euros• O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.– Como existe inflação, a quantidade de bens
que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.
• Para comprar o mesmo, preciso receber mais dinheiro
• A taxa de juro tem que incluir a inflação
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Inflação
• Inicialmente tenho V0 euros• Os preços, em média, aumentam %.• Para no fim do período poder comprar os
mesmos bens temos esta igualdade:• V0 / P = V1 / [P x (1+ )] Então:
V1 = V0(1+ )
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Inflação
• A taxa de juro, R, tem que incluir a parte real e a parte nominal (a inflação):
V1 = [V0(1+ r)](1+ )
V1 = V0(1+ r)(1+ )
V1 = V0(1+ R)
com R = (1+ r) (1+ ) - 1
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Inflação
• Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber
V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5.0%)
=5643.75€
R = (1+ 7.5%)(1+ 5.0%) – 1 = 12.875%
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Segunda Aula
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Risco de incumprimento
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Risco de incumprimento
– O Futuro é incerto. – Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros– Mas posso não receber nenhum deles
• Ou receber apenas parte
– A obrigação pode não ser cumprida
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Risco de incumprimento
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este riscoV0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
p >= 0 V1 >= V0
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Risco de incumprimento
• O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação
V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)
• Então, a taxa de juro contratada será V1 = V0(1+ i)
i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1
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Risco de incumprimento
• Para taxas de juro pequena podemos aproximar
• (1+ r) (1+ ) / (1- p) – 1 r + + p
• Mas é uma aproximação.
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Exercício
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Risco de incumprimento
• 1) Eu empresto 1000€– pretendo uma taxa de juro real de 6%– a inflação prevista é de 8% – o risco de incumprimento é de 10%.
• Qual deverá que ser a taxa de juro exigida neste contracto?
• Qual o capital final?
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Risco de incumprimento
i = (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%) – 1 = 27.2%
V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)
= 1000 (1+ 27.2%) = 1272€A taxa de juro é 27.2%6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27.2%
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Risco de incumprimento
• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento de cada cliente.
• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis
• Este tema será desenvolvido em Gestão da Informação
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Evolução histórica
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A taxa de juro
• Poderá a taxa de juro ser negativa?– Haver deflação– Haver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico– Haver muito risco de os bens e dinheiro que
guardo em casa poderem ser roubado
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A taxa de juro
• Se eu puder guardar notas sem custo (não haver risco de roubo),
• a taxa de juro de somas denominadas na moeda nunca poderá ser negativa
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A taxa de juro
• Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”– Há uma tendência secular de crescimento
económico
• Historicamente, a taxa de juro é positiva
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A taxa de juro
• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em
Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)
0%1%2%3%4%5%6%7%
11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10
Tx.Cresc.PIB
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A taxa de juro
• Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa, espanhola e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)
0
2
4
6
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10
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14
1993 1998 2003 2008 2013
Alemanha
Espanha
Portugal
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A taxa de juro
• Evolução da taxa de juro da divida pública do Reino Unido e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)
0
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6
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8
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1993 1998 2003 2008 2013
Alemanha
UK
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A taxa de juro
• Spead da taxa de juro da divida pública portuguesa e espanhola face à alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, pontos percentuais)
0
2
4
6
8
10
12
1993 1998 2003 2008 2013
Espanha
Portugal
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Unidades do juro
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A taxa de juro
• Os preços das coisas são €/kg
• O preço do crédito (o juro) é uma percentagem por unidade de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– É uma taxa de juro de 10% por ano
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A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos– A remuneração do capital (o juro real)– A inflação– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
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Exercício
• 2) Eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 2% por ano– O juro real (acordado) é de 1.5% por ano– O risco de não cobrança é de 3% por ano
• Qual deverá ser a taxa de juro?• Quanto dinheiro devo acordar receber?
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ExercícioA taxa de juro deve ser de 6.687%:1+i = (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)i = 6.687% por anoDevo exigir receber (daqui a um ano)V1 = 1000 x (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)
V1 = 1000 x (1+ 6.687% )
= 1066.87€Os juros serão 66.87€.
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Exercício
A soma das parcelas daria 6,500%2%+1.5%+3% = 6.5%
A taxa calculada é 6.687%
Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor será a diferença
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Ajustamentos da taxa de juro
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A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
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A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– e.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor
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Taxas de referência
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EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si
• De todos os contractos retiram-se os melhores e os piores 15%
• Reuters calcula a média dos restantes 70%– É uma referência nos contratos com taxa de
juro variável (e.g., crédito à habitação).– É calculados para : 1 sem., 2 sem., 1 m.,
2 m., 3 m., 6 m., 9 m. e 12 m.
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EURIBOREURIBOR a 3 meses entre Jan1994 e Ag2013
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
1994 1999 2004 2009 2014
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EURIBOREURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)
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EURIBOR
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
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A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de moeda em
circulação,– i.e., controla a inflação, o nível geral de preços– Não tem qualquer efeito real
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
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A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual (está suspenso)– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 pp..(actualmente este aumento está suspenso)
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A taxa de juro do BC
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Terceira Aula 30 Set
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Capitalização
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Situação dita normal
• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
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Situação dita normal
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos. Data Recebo Capital
• 31/12/2013 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2014 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2015 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2016 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2017 ->1035.00€ 0€
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Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital em divida vai aumentando
• Esta é a situação capitalizada.
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Capitalização simples
100
Capitalização simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.
• É como se cada ano recebêssemos os juros.
101
Capitalização simples
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vinicial n i Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial (1+ ni)
itotal = n i
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Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. – Spread de 2 pontos percentuais
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
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Exercício
• R. Os juros serão J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)
= 1873.60€
O capital final seráV = 10000€ + 1873.60€ =11873.60€.
104
Exercício
C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1
105
Período de tempo fraccionário
Se a duração do empréstimo for menor que a unidade de tempo (normalmente, o ano), com capitalizaçã0 simples, divide-se o juro proporcionalmente ao tempo.
Ex. Emprestei 1000€ durante 25 dias à taxa de juro de 2%/ano. Com capitalização simples, quanto vou receber no fim do prazo?
1000 x (1 + 0.02 x 25/365) = 1001.37€
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Conta Corrente
Numa CC vamos lançando os movimentos ao longo do tempo capitalizando os valores.
Uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.
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Exercício
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Exercício
E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1D6:=C6+D5C15: =SOMA(F5:F14)
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Capitalização Composta
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Capitalização Composta• Neste caso, são contabilizados os juros
dos juros.
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Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.
Ano Capital Juros Capital Final31-12-2013 1000,00 35,00 1035,0031-12-2014 1035,00 36,23 1071,2331-12-2015 1071,23 37,49 1108,7231-12-2016 1108,72 38,81 1147,5231-12-2017 1147,52 40,16 1187,69
112
Capitalização
• C2: =B2*3,5%• D2: =B2+C2• B3: =D2• Depois, copio estas formulas ao longo das
colunas e elas vão-se adaptando
113
Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt i
Vt+1 = Vt + Vt i = Vt (1+ i)
• No ano seguinte, vencem juros. Vt+2 = Vt+1 (1+ i)
= Vt (1+ i) (1+ i)
= Vt (1+ i)2
114
Capitalização Composta• A capitalização simples despreza uma
parcela ( i2 = os juros dos juros).
Vt+2 = Vt (1+ i)2
Vt+2 = Vt (1+2 i + i2)
Se i for pequeno, i2 é insignificante
115
Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital,
no final de n anos, receberemos Vfinal = Vinicial (1 + i)n,
A taxa de juro total a receber no final dos n anos vem dada por:
Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,
itotal = (1 + i)n - 1
116
Exercício
• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim dos 5 anos com capitalização composta.
i) Qual o capital final a receberii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.
117
Exercício
• i) O capital final a receber será de 25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€
• ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27.628% com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%
118
• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do prazo, capitalização composta.
• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
119
• O valor a receber seráV(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)=11992.78€
D2: =B2*C2E2: = B2+D2B3: = E2
120
Quarta Aula
121
Tempo fraccionado
122
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.• No entanto, podemos extrapolar o conceito
de capitalização a fracções do ano.
123
Exercício• A taxa anual é a capitalização 12 meses
da taxa mensal• (1+ i.anual) = (1 + i.mensal)^12
• Ex. Uma taxa de juro mensal de 1%/mês corresponde a:
• (1+1%)^12 – 1 = 12.683%/ano
124
Período de tempo fraccionário
• Posso passar de uma unidade de tempo qualquer para outra, por exemplo, ano para trimestre.
• Ex. Emprestei 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):
125
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%
(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
126
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
O uso da EURIBOR
• A EURIBOR é calculada em todo o dias úteis.
• O seu uso como indexante tem que estar explicitado no contrato.“O valor do indexante a aplicar aos contratos de
crédito, aquando da respetiva fixação ou revisão, deve resultar da média aritmética simples das cotações diárias do mês anterior ao período de contagem de juros.”
http://clientebancario.bportugal.pt/pt-PT/TaxasdeJuro/Paginas/IndexanteEuribor.aspx
127
128
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%
– Um mês corresponde a 1/12 anos
465.80€ de juros referentes ao mês
129
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?
– Vou passar de 5anos para trimestral
130
Período de tempo fraccionário
• R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por
(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.
131
Valor Futuro
132
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Muitas vezes eu tenho que comparar recursos escassos disponíveis em períodos de tempo diferentes.
• O mais simples é comparar uma soma disponível no presente com outra soma disponível daqui a n anos.
133
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.
• É preciso comparar estas duas somas que estão disponíveis em instantes diferentes?
• O que será melhor?
134
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Para comparar vou usar a taxa de juro como “taxa de câmbio” entre o presente e o futuro.
• O valor futuro é o valor capitalizado do valor presente
135
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.
• Supondo que conseguem financiamento / depositar a uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?
136
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será 1000(1+10%)^3 = 1331€ que é maior que os 1200€
Os 1000€ agora valem mais que os 1200€ daqui a 3 anos
• Então, será melhor receber os 1000€ já.
137
Obrigação
• Uma “obrigação” é o título pelo qual o devedor se obriga a pagar um valor periodicamente (o cupão) e uma soma final (o valor de resgate).
• A obrigação tem um valor nominal (o Par)• Vamos ver um exemplo de obrigação com
cupão zero
138
Obrigação
• Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?
139
Obrigação
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
• será 7.277%/ano:
1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii
140
Fazer em casa
141
Exercício
• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.
142
Exercício
143
Exercício
• B1: =(1+B2)^12-1• C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava• C5: = B5+E4 e copiava• F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava• F16: =sum(F4:F15).
144
Quinta Aula7 Out
145
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas
Antecipada -> paga no principio do períodoPostecipada -> paga no fim do período
146
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas
Para uma taxa de juro de 4%/ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses).
147
Valor Futuro
Vou calcular o valor futuro de cada prestação:
O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês m é
O +1 é por o deposito ser “antecipado”
12/)160(%)41.(1000 mmVF
148
Valor Futuro
Tenho que somar as 60 parcelasO valor futuro total valerá
Resolvo no Excel.
60
1
12/)160(%)41(1000i
iVF
149
Valor FuturoC2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copio em coluna
C62: =Sum(B2:B61)]
150
Valor FuturoUsar em casa com uma conta corrente
G3=(1+G2)^(1/12)-1C2: =B2*$G$3 D2: =B2+C2 B2: =D2+$G$1
Copiar em coluna
151
Valor ActualDesconto
152
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo
• Descontar é andar para trás no tempo
• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos
153
Desconto = Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?
154
Desconto = Valor actual
• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro
€56.675%)41.(1000
%)41.(100010
10
VV
V
155
Desconto = Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
156
Desconto = Valor actual
• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?
157
Desconto = Valor actual
• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).
€77.2313%)51.(10000 30
VV
158
Desconto = Valor actual
• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?– Taxa de desconto de 3.5%/ano
159
Desconto – Valor actual
• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.
€38.96395%)5.31.(1000000 68
VV
160
Desconto = Valor actual
• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.
• Determine a taxa de juro implícita nesta opção
161
Desconto = Valor actual
R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.
162
Desconto = Valor actual
B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)
163
Desconto = Valor actual
Goal Seek = Atingir ObjectivoMenu Data+ Data Tools + what if analysis
164
Sexta Aula
165
Pagamento da dívida Rendas / amortizações
166
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.
167
Rendas
• Vamos explorar uma outra possibilidade• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a
pagar– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como uma Renda
168
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
169
Rendas
• As prestações podem ser– regulares ou irregulares no tempo – constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns
períodos– terem duração limitada ou serem
perpétua
170
Rendas• Emprestamos um capital que
recuperamos na forma de uma renda – e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um
rendimento mensal
• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda – e.g., um crédito à habitação que amortizamos
mensalmente
171
Rendas• Pagamos uma renda que recebemos no
final na forma de um capital – e.g., depositamos uma quantia mensal para
comprar um barco a pronto no futuro• Recebemos uma renda que pagamos no
fim na forma de um capital – e.g., termos um rendimento mensal à custa
de uma herança que vamos receber no futuro
172
Rendas
• Receber uma renda que pagamos na forma de renda – e.g., pagamos os estudos com um
financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.
173
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.
• Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações
174
Rendas
• Temos que clarificar o que é – um instante de tempo e – um período de tempo
• O tempo é uma linha contínua
175
Rendas
• Cada ponto é um instante de tempo– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.
• Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, – e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia
15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010.
• O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. – e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.
176
Rendas• Ex.1.21. No sentido de se licenciar, um
estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda
177
Rendas
B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37). Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes
fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.
178
Rendas
• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais postecipadas de 5000€ cada.
• Determine a taxa de juro implícita.
179
Rendas
• F2: =(1+F1)^(1/12)-1• C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; • F3: =Sum(C2:C602). • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da
célula F1.
180
Rendas
• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?
720.29€ / mês
181
Rendas
182
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente
• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna.
• C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
183
Rendas
• Fazer em casa os dois exercícios anteriores com uma conta corrente
184
Conta corrente• Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numas
alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança.
• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B).
• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.
185
Conta corrente
C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83
186
Sétima Aula14 Out
187
Expressão analítica de uma renda
188
Renda perpétua
• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros
189
Renda perpétua postecipada...)1()1()1( 321 iPiPiPV
121
1
)1(...)1()1(
)1(
iiPiP
iPV
11 )1()1( iViPV
VPiVVVPiV )1(
iPV
190
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriamJ = Vi
Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V)
P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda
VPi
iPViVP
191
Renda perpétua
• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
192
Renda perpétua
• Primeiro, calculo a taxa de juro mensal• i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
• Depois, aplico a expressão• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
193
Renda perpétua
• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?
194
Renda perpétua
• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:
• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.
195
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma prestação inicial
)1( iiPV
iPPV
196
Renda perpétua
• Se houver deferimento de, e.g., 2 períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada ao presente:
197
Renda perpétua
• Se houver diferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada n períodos ao presente:
• Só se começa a receber daqui a n+1 períodos (a expressão p/i é a renda postecipada)
niiPV )1(
198
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada, aplica-se a correcção:
• Começa-se a receber daqui a n períodos– A renda antecipada diferida 5 anos é uma
renda postecipada diferida 6 anos
niiiPV )1()1(
199
Renda de duração limitada
200
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua– Também se chama perpetuidade
• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair
201
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).
• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no período N,
• Descontado tudo ao presente.
202
Renda de duração limitada
])1(1[)1( NN iiPi
iP
iPV
Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
Descontar menos um período
203
Renda de duração limitada
)1()1(1
)1()1(
)1(1
)1(
)1(
iiiP
iiiP
iiPPV
N
N
N
204
Renda de duração limitada
• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?
205
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
Renda de duração limitada
• Verificar em casa o resultado com o uso do Excel
206
207
Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)
208
Renda de duração limitada
• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Sabendo que foi emitida ao par, determine a taxa de juro implícita desta obrigação.
209
Renda de duração limitada
R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo
Simplificando a expressão
4040 )1(100])1(1[1100 iii
])1(1[1)1(1100 4040 ii
i
210
Renda de duração limitada
R. Resulta
i.t = 1%/trim i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
211
Oitava Aula16 Out
212
Renda de duração limitada
• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações postecipadas).
• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações postecipadas).
• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?
213
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)
• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas
214
Renda de duração limitada
mês
milx
x
mil
/€93,44554600%)^247.01(1
120%)^247.01(120%)^247.01(1100
600%)^247.01(1%247.0
120%)^247.01(120%)^247.01(1%247.0
100
44603€/mês com o arredondamento da taxa de juro
Obrigações de taxa fixa
215
216
Obrigações a taxa fixa• Já foi referido que uma obrigação consiste
num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e uma soma no final (o valor de remissão)
• O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
217
Obrigações a taxa fixa• Como valor da obrigação é o valor actual
dos recebimentos futuros,
• O seu valor altera-se com o decorrer do tempo – Porque se aproxima a data de remissão– Porque a taxa de juro de mercado altera-se
218
Obrigações a taxa fixa
219
Obrigações a taxa fixa• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de
valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão zero, vai ser vendida em leilão.
• 1) Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?
220
Obrigações a taxa fixa• 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:
€52.48075.1100 10 V
221
Obrigações a taxa fixa• 2) Passados 5 anos, qual será o valor da
obrigação?
• 3) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?
222
Obrigações a taxa fixa• 2) Já só faltam 5 anos para receber os
100€
• 3) O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%
€66.69075.1100 5 V
€50.66085.1100 5 V
223
Obrigações a taxa fixa• 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a
45€, qual a taxa de juro que pensava receber?
• 5) E qual será a taxa de juro que efectivamente recebeu quando vendeu a obrigação depois da desvalorização?
224
Obrigações a taxa fixa• 4) A taxa de juro prevista era
• 5) E passou a ser
%31.8€45)1(100 10 iiV
%13.81)45/50.66(
)1(45/50.66
€45)1(50.66
5/1
5
5
i
i
iV
225
Obrigações a taxa fixa• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,
emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.
• Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?
226
Obrigações a taxa fixa
• Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:
100011000)1(125 5050 rrr
100025)1(11000)1(125 5050 rrr
r
227
Obrigações a taxa fixa• Decorridos 6 meses, no mercado
secundário a obrigação está a ser transaccionada a 900€
• Para que taxa de juro aumentou a remuneração desta obrigação?– > De 2.500%/ano para 5.418%/ano
228
Obrigações a taxa fixa• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
C2: =B2*(1+E$1)^-A2 e copiava em colunaE2: = Sum(C2:C51)
Resolver em casa
229
230
Nona Aula21 Out
TAEGTaxa Anual Efectiva Global
231
232
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global • Actualmente, é obrigatório nos anúncios
(de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)– Também é referido o total de encargos do cliente
233
TAEG implícita no contrato
• A TAEG é a taxa de juro anual que faz a soma do valor actual de todos os pagamentos igual ao preço de pronto pagamento.
234
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.35. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de crédito.
235
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
0)1(50))1(1(1001191190 412
iii
236
TAEG implícita no contrato
237
TAEG implícita no contrato
B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Sum(C2:C14)Definimos a célula C15 para o valor 0
alterando E2.
• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?
238
TAEG implícita no contrato
%426.4%)386.101/(%)5.51()1(
)1/(%)5.51(%386.101
pp
p
239
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
240
TAEG implícita no contrato
0])1(1[1505000
])1(1[1505000
])1(1[
60
60
ii
ii
iiRV N
Tem que se determinar no Excel
241
TAEG implícita no contrato
%46.291)1(%175.2 12 iii anual
Primeiro teste até aqui
242
243
Preços correntes e constantes
244
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.
245
Preços correntes e constantes
• Quando comparamos preços de um bem disponíveis em instantes de tempo diferentes é preciso ver a evolução do nível médio de preços– A ponte D Luís custou 1850 €
Março 1884– A ponte 25-de-abril custou 11milhões €
Setembro 1964– A Ponte Vasco da Gama custou 680milhões €
Novembro 1996
246
Preços correntes e constantes
• As somas seriam equivalentes se
– 1850 € (em 1884) -> 11milhões€ (em 1964)Capitalização à taxa de 11.4%/ano
– 11M€ (em 1964) -> 680M€ (em1996)Capitalização à taxa de 12.5%/ano
247
O Índice de Preços
• Calcula-se em cada ano o preço de uma capaz de compras representativo do consumidor médios (pesos de 2005).
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €
248
O Índice de Preços
• O IPC é a passagem do preço do cabaz ao valor 100 no ano base.
• B7: =B6/$B$6*100•
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22
249
O Índice de Preços
• Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo
• Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante
• Então, é um valor médio do período IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000
250
O Índice de Preços
• O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– índice de preços na produção– índice de preços nos mais pobres– índice de preços no interior norte– índice de preços na construção– etc.
251
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.
• e.g., há um ano a gasolina tinha um preço diferente do preço que actualmente vigora.
252
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.
253
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.
• Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, PTJ
• PJ PTJ
254
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.Um bem custava P2005 = 100€, IP20052005 = 100 e
custa actualmente P2012 = 250€, IP20052012 = 237
Compare os preços em termos reais
255
Preços correntes e constantes
Posso passar os 250€ de 2012 para 2005P20052012 = 250 * 100 / 237 = 105.49
Ou o preço de 2005 para 2012P20122005 = 100 * 237/ 100 = 237.00
-> Em termos reais, o bem custa hoje mais 5.49% que custava em 2005105.49€/100.00€ = 250.00€ / 237.00€ = 1.0549
256
Preços correntes e constantes
• Em termos de notação algébrica, é difícil memorizar mas basta fixar que:
• Se o índice de preços aumentou (o mais normal),
• 1) trazer preços nominais do passado para o presente, aumenta o seu valor
• 2) levar preços nominais do presente para o passado, diminui o seu valor
257
Preços correntes e constantes
• Transformamos PJ PTJ• Multiplicando o preço corrente pelo índice de
preços do período T, IPTT, e dividindo pelo índice de preços do período J, IPTJ:
• Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.
JIPTIPPJJPT
TT
258
Décima Aula
259
Dúvidas
260
Décima primeira Aula
28 Nov
261
Preços correntes e constantes
• Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com IP20052006 = 101.61 IP20052010 = 102.86
Quais os preços na base 2005?Qual o preço de 2006 na base 2010?Qual foi a variação em termos nominais e
reais do preço?
262
Preços correntes e constantes
• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base
• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€
• Para 2010 ocorre mudança da base• P20102006 =178.50102.82/101.61 = 180.73€
263
Preços correntes e constantes
• Em termos nominais temos 169.90/178.50 –1 = – 4.77% (169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%
Em termos reais temosVariação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1 = –1.53%/ano
264
Preços correntes e constantes
• Podíamos usar outro ano base qualquer• e.g., 2010
Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%
265
Preços correntes e constantes
• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2010 é de 475,00€.
• IPC20001974 é 4.003 e
• IPC20002010 é 126,62.• compare, em termos reais (de 2010), o
poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.
266
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2010
• SM20101974= = 520,65€• Que é maior que os actuais• SM20102010 = 475€
003.462,12646.16
267
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou
(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano
• em termos reais, diminuiu (15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.
268
Taxa de Inflação
269
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.
270
Preços correntes e constantes
• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano.
• A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.
• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar
271
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.
• e.g., precisamos saber se a renda de 44603€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.
272
Taxa de inflação
• Sendo IPT J e, IPT J-1os índice de preços no período J e J-1,
respectivamente• Calculamos a taxa de inflação durante o
período J, J , por:
1)1()1(
)1(
JIPJIP
JIPJIPJIP
T
T
T
TTJ
273
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,
• Então, a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois “instantes” foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
274
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2006 foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005
275
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais
• Ou mesmo a refazer o IPC
nTTTTIPnTIP 1...11)()( 21
276
Décima segunda Aula
277
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
€92.146%1.211502006 12005 p
278
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€. Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1% será que o preço deste bem aumentou em termos reais?
279
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%– Vou ver quanto vale 1.30€ de 2006 em 2005
e comparo com 1.25€ :
%86.11250.1/273.1
€273.1%1.2130.12006 12005
p
280
Exercício
• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 44603€ até aos 85 anos.
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,
• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).
281
Exercício
• Vamos descontar 44603€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:
• Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.
€16571%)21(44603 50 R
282
Análise a preços constantes
283
Análise a preços constantes
• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).
284
Análise a preços constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro
• Fica a taxa de juro real mais a correcção do risco.
285
Análise a preços constantes
• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
€29381000813.11
000813.013944800
13944800)000813.11(0008135.0
600
600
xx
x
286
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
287
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; • C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos
em coluna; • C603: =Sum(C2:C602) e usamos a
ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1
288
Preços correntes e constantes
• Retirada a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”), deu o mesmo resultado
289
Fazer em casa o exercício usando uma conta corrente
290
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).
291
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.
• A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.
292
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.
• Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.
293
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
294
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até Abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).
295
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.