05 - função 2º grau

PRÉ-VESTIBULAR – MARITUBA

PROF. ESP.: EDUARDO TRINDADE

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

AULA 05 FRENTE 01

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2ª GRAU

Definição: chama-se função polinomial do 2º grau ou função

quadrática, toda função ƒ: ℝ → ℝ definida por:

cbxaxxf 2)(

com {a, b, c} ⊂ ℝ e a ≠ 0.

• a : coeficiente de 2x ;

• b : coeficiente de x;

• c : termo independente.

Exemplos

• 44)( 2 xxxf (função quadrática completa),

onde, a = 1; b = 4 e c = 4.

• 2564 2 xy , (função quadrática incompleta),

onde, a = 4; b = 0 e c = –256.

• xxy 53 2 , (função quadrática incompleta),

onde, a = –3; b = 5 e c = 0.

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico da função quadrática é representado por uma curva

chamada de parábola.

• a > 0 : a parábola tem a concavidade voltada para cima;

• a < 0 : a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

As raízes ou zeros da função quadrática

cxbxaxf 2)( , são os valores de x ∈ ℝ, tal que

0)( xf , ou seja, solução da equação do segundo grau.

02 cxbxa

Para encontrar as raízes da função quadrática utilizando a

forma canônica, temos:

a

bx

2

onde acb 42 .

1º caso: 0 , a equação apresentará duas raízes reais e

distintas.

a > 0 a < 0

2º caso: 0 , a equação apresentará duas raízes reais e

iguais.

a > 0 a < 0

3º caso: 0 , a equação não apresentará raízes reais, ou seja,

(∄ x ∈ ℝ).

a > 0 a < 0

Exemplos

Encontre as raízes das funções abaixo:

a) 352)( 2 xxxf b) 36122 xxy

c) 22)( 2 ttth d) xxy 62

e) xxxf 6)( 2 f) 910)( 2 ttth

VÉRTICE DA PARÁBOLA

Valor Mínimo (a > 0) Valor Máximo (a < 0)

Logo, o vértice V da parábola da equação cxbxay 2 é

o ponto de coordenadas é dado:

),( vv yxV

aa

bV

4,

2

EXERCÍCIOS ✍

01)(Esal-MG) O gráfico ƒ está representada a parábola de

vértice V, a função que corresponde o gráfico é:

a) 862 xxy b) xxy 82 2 c) 12 xy

d) 12 2 xy e) xxy 22

02)(UEPA/Prise/2002) Num jogo de futebol observou-se que,

num chute a gol, a trajetória da bola descreveu uma parábola.

Considerando-se que a altura h, em metros, alcançada pela

bola num tempo t, em segundos, seja dada por:

ttth 4)( 2 , qual a altura máxima alcançada pela bola e

o tempo gasto para isto é?

a) 2 m e 2 s b) 3 m e 4 s c) 4 m e 2 s

d) 8 m e 2 s e) 8 m e 4 s

PRÉ-VESTIBULAR – MARITUBA

03)(UFPA/2010) O faturamento de uma empresa na venda de

certo produto pode ser modelado por uma função quadrática,

do tipo cbpappF 2)( , sendo p o preço de venda

praticado. A figura abaixo apresenta os faturamentos obtidos

em função do preço e o gráfico da função quadrática que

aproxima esse faturamento.

Sobre os coeficientes da função quadrática, é correto afirmar

que:

a) a > 0, b < 0 e c < 0 b) a < 0, b > 0 e c < 0

c) a > 0, b < 0 e c > 0 d) a < 0, b < 0 e c = 0

e) a < 0, b > 0 e c = 0

04)(UEPA/Prise/2005) Ao chutar uma lata, um cientista

observou que sua trajetória seguiu a lei matemática 246)( ttth , na qual h é a altura, em metros, atingida

pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute.

Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir:

I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma

parábola com concavidade voltada para cima.

II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10 m.

III. Essa função possui duas raízes reais.

É correto afirmar que:

a) todas as afirmativas são verdadeiras

b) todas as afirmativas são falsas

c) somente a afirmativa I é falsa

d) somente a afirmativa II é verdadeira

e) somente a afirmativa III é verdadeira

05)(UFPA/2008) O vértice da parábola cbxaxy 2 é o

ponto (–2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o

eixo vertical, podemos afirmar que:

a) a > 1, b < 1 e c < 4 b) a > 2, b > 3 e c > 4

c) a < 1, b < 1 e c > 4 d) a < 1, b > 1 e c > 4

e) a < 1, b < 1 e c < 4

06)(UFSM-RS) Um laboratório testou a ação de uma droga em

uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de

sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação

btatv 2)( , em que )(tv é o número de elementos vivos

no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu

quando 12t meses após o início da experiência, a

quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10º mês era:

a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300

07)(Enem/2013) A temperatura T de um forno (em graus

centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de

seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão

4004

)(2

t

tT , com t em minutos. Por motivos de

segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando

o forno atinge a temperatura de 39°C.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar

o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0

08)(Enem/2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela

rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme

mostra a figura.

A função real que expressa à

parábola, no plano cartesiano

da figura, é dada pela lei

Cxxxf 62

3)( 2

, onde

C é a medida da altura do

líquido contido na taça, em

centímetros. Sabe-se que o

ponto V, na figura, representa o

vértice da parábola, localizado

sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em

centímetros, é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

09)(Enem) Um posto de combustível vende 10.000 litros de

álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu

que, para cada centavo de desconto que concedia por litro,

eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia

em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200

litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado

no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia

com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:

a) 25010000 xxV b)

25010000 xxV

c)

25015000 xxV d) 25015000 xxV

e) 25015000 xxV

10)(UFPA/2009) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um

vulcão em erupção expele para fora de sua cratera uma pedra

incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície.

Sabendo que a pedra demora 10 segundos para atingir a altura

máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma parábola,

podemos afirmar que a pedra demora:

a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em

função do tempo t é dada pela expressão

20010)( 2 ttth .

b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em

função do tempo t é dada pela expressão

150202)( 2 ttth .

c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície

e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão

2020)( 2 ttth .

d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície

e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão

1001005)( 2 ttth .

e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em

função do tempo t é dada pela expressão 5120)( 2 ttth .

Gabarito

01)E 02)C 03)E 04)C 05)D 06)D 07)D 08)E 09)D 10)D Facebook: O Matemático ; E-mail: cursoomatematico@gmail.com