03-movimento_retilineo - exercícios resolvidos
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Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Fsica 1 - 8
a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 Movimento Retilneo
1
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008.
FSICA 1
CAPTULO 2 MOVIMENTO RETILNEO
01. Um automvel viaja em uma estrada retilnea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando
no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual a velocidade mdia do carro
durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x.) (b)
Qual a velocidade escalar mdia? (c) Trace o grfico de x em funo de t e mostre como
calcular a velocidade mdia a partir do grfico.
(Pg. 33)
Soluo.
(a) A velocidade mdia (vm) no percurso total corresponde razo entre o deslocamento total ( x12)
e o intervalo de tempo total ( t):
12 1 2
1 2 1 2
2m
x x x xv
t t t t t (1)
Na Eq. (1), as grandezas com ndice 1 referem-se primeira etapa da viagem e as com ndice 2
segunda etapa da viagem, como descrito no enunciado. O termo 2 x devido igualdade entre x1
e x2. Em relao s etapas da viagem, suas velocidades mdias valem:
11
m
xv
t
22
m
xv
t
Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:
11m
xt
v (2)
22m
xt
v (3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
1 2
2 1
1 2
2 30 km/h 60 km/h22
60 km/h 30 km/h
m mm
m m
m m
v vxv
x x v v
v v
40 km/hmv
O estudante deve ter percebido que o clculo da velocidade mdia funo apenas das velocidades
mdias de cada uma das etapas. Isso conseqncia da igualdade entre os deslocamentos envolvidos nessas etapas.
(b) A velocidade escalar mdia (vem) a razo entre a distncia total percorrida (s) e o intervalo de
tempo ( t). No presente caso, temos s = x12. Portanto:
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2
12em m
xsv v
t t
40 km/hemv
(c) No grfico a seguir so mostrados os deslocamentos e intervalos de tempo parciais e totais. A
linha I corresponde primeira etapa da viagem e a II segunda etapa. A linha tracejada III
corresponde ao trajeto total. As declividades dessas correspondem s velocidades mdias dos trajetos correspondentes.
02. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com
uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar mdia da viagem de ida e
volta.
(Pg. 33)
Soluo.
Como os deslocamentos envolvidos na subida e descida tm o mesmo mdulo, a situao semelhante do Probl. 1. Usaremos os ndices S para subida e D para descida.
2SD S D
em
SD S D S D
s s s sv
t t t t t (1)
Na equao acima, s o comprimento da ladeira. Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:
SS
st
v (2)
D
D
st
v (3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
2 40 km/h 60 km/h22
60 km/h 40 km/h
S Dem
D S
S D
v vsv
s s v v
v v
48 km/hemv
17. A posio de uma partcula que se move ao longo do eixo x dada em centmetros por x = 9,75
+ 1,50 t3, onde t est em segundos. Calcule (a) a velocidade mdia durante o intervalo de tempo
de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantnea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantnea
em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantnea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantnea quando a
partcula est na metade da distncia entre suas posies em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o
t (h)1 2
40
80
x (km)
x2
x1
t1 t2
x12
t12
I
IIIII
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grfico de x em funo de t e indique suas respostas graficamente.
(Pg. 34)
Soluo.
(a) Chamando de x0 a posio da partcula em t0 = 2,00 s e de x1 sua posio em t1 = 3,00 s, os valores de x0 e x1 sero:
3
0 9,75 1,50 2,00 21,75 cmx
3
1 9,75 1,50 3,00 50,25 cmx
A velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo t1 t0 ser:
1 0,01
1 0
50,25 cm 21,75 cm
3,00 s 2,00 sm
x xxv
t t t
,01 28,5 cm/smv
(b) A velocidade instantnea v corresponde derivada da funo x(t) em relao a t:
3 29,75 1,50 4,50
dx dv t t
dt dt
Logo, para t0 = 2,00 s teremos:
2
0 4,50 2,00v
0 18,0 cm/sv
(c) Para t1 = 3,00 s teremos:
2
1 4,50 3,00v
1 40,5 cm/sv
(d) Para t2 = 2,50 s teremos:
2
2 4,50 2,50 28,125 cm/sv
2 28,1 cm/sv
(e) A metade da distncia entre as posies da partcula em t0 = 2,00 s e t1 = 3,00 s corresponde
posio x3, definida por:
0 1321,75 cm 50,25 cm
36 cm2 2
x xx
A partcula alcana a posio x3 no instante de tempo t3, que vale:
33 39,75 1,50x t
33
36 9,752,5962 s
1,50t
Logo, a velocidade v3 da partcula no instante t3 ser:
2
3 4,50 2,5962 30,3322 cm/sv
3 30,3 cm/sv
(f)
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41. A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direo ao outro.
A Fig. 2-29 um grfico do movimento dos dois carros que mostra suas posies x0verde = 270
m e x0vermelho = 35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0
m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual o mdulo da acelerao do carro vermelho?
Fig. 2-28 Problemas 40 e 41
Fig. 2-29 Problema 41 (Pg. 36)
Soluo.
Vamos utilizar os ndices r e g para os carros vermelho (red) e verde (green), respectivamente. O
carro verde possui movimento com velocidade constante. Logo:
0 0x x v t
1 0 1g gx x v t
1 270 m 20 m/s 12 sx
1 30 mx
x1 a coordenada x correspondente ao instante de tempo t1 = 12 s. O carro vermelho possui
movimento com acelerao constante. Logo, sua equao de movimento ser:
20 01
2x x v t at
t (s)1 2
x (cm)
x3
x1
t1
x0
t0
3
t3
Declividade = v1
Declividade = v0
Declividade = v3
Declividade = vm01
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21 0 1
10
2r rx x a t
1 02
1
2 rr
x xa
t
Substituindo-se o valor de x1 calculado anteriormente:
2
2
2 30 m 35 m0,90277 m/s
12 sRa
20,90 m/sRa
Observao: Voc deve ter notado que os sinais negativos de xr0 e de vg no foram dados no enunciado. Essas informaes foram obtidas a partir do grfico fornecido.
70. Duas partculas se movem ao longo do eixo x. A posio da partcula 1 dada por x = 6,00 t2 +
3,00 t + 2,00, onde x est em metros e t em segundos; a acelerao da partcula 2 dada por a =
8,00 t, onde a est em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a
velocidade de 20 m/s. Em que instante as duas partculas tm a mesma velocidade?
(Pg. 38)
Soluo.
Sendo a posio da partcula 1 dada por:
21 6,00 3,00 2,00x t t
Sua velocidade em funo do tempo ser:
1 12,0 3,00
dxv t
dt (1)
Sendo a acelerao da partcula 2 dada por:
2 8,00a t
Sua velocidade em funo do tempo ser:
2 8,00
dva t
dt
8,00 dv t dt
2
0 0
8,00 v t
v tdv t dt
2 2
0
2 0 8,002
t tv v
Foi mencionado que em t0 = 0 a velocidade da partcula 2 v0 = 20 m/s. Logo
2
2
020 m/s 8,00
2
tv
22 20 4,00v t (2)
Igualando-se (1) e (2), teremos:
212,0 3,00 20 4,00t t
24,00 12,0 17 0t t
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As razes dessa equao so 1,0495...s e 4,0495...s. O instante de tempo positivo corresponde
soluo do problema. Portanto:
1,1 st
88. Uma pedra lanada verticalmente para cima a partir da borda do terrao de um edifcio. A
pedra atinge a altura mxima 1,60 s aps ter sido lanada. Em seguida, aps quase se chocar
com o edifcio, a pedra chega ao solo 6,00 s aps ter sido lanada. Em unidades SI: (a) com que
velocidade a pedra foi lanada? (b) Qual a altura mxima atingida pela pedra em relao ao
terrao? (c) Qual a altura do edifcio?
(Pg. 39)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
(a) Anlise do percurso entre os instantes de tempo t0 e t1:
1 0 1v v gt
0 10 v gt
20 9,8 m/s 1,60 s 15,68 m/sv
0 16 m/sv
(b) A altura mxima acima do edifcio corresponde a h H. Para determin-la, vamos novamente analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t1:
21 0 1
1
2y y vt gt
22 2
1
1 10 9,8 m/s 1,60 s 12,544 m
2 2h H gt
13 mh H
y
y h1 =
y2 = 0
y H0 =
a
( )t0 = 0,00 s
(t1 = 1,60 s)
( )t2 = 6,00 s
Trajetria da pedra
v0
v1 = 0
v2
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(c) A altura do edifcio corresponde a H. Para determin-la, vamos analisar o percurso entre os
instantes de tempo t0 e t2:
22 0 0 2
1
2y y v t gt
20 2 2
10
2H v t gt
22 2
0 2 2
1 115,68 m/s 6,00 s 9,8 m/s 6,00 s 82,32 m
2 2H v t gt
82 mH
99. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente at uma altura H. A que
altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar?
(Pg. 40)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
Vamos utilizar a seguinte equao na coordenada y para analisar o movimento de subida das bolas
nas situaes A e B:
20
1
2y y vt gt
Na situao A, teremos:
21
0 02
A AH g t
21
2A AH g t (1)
Na situao B, teremos:
221 10 0 2
2 2B B AH g t g t
22B AH g t (2)
Dividindo-se (2) por (1), teremos:
Sit. A
y = 0 0
y
HB
HA
Sit. B
tA
tB= t2 A
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8
2
2
2
1
2
B A
AA
H g t
Hg t
4B AH H
106. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifcio de 60 m. A que
distncia do solo est a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo?
(Pg. 40)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
Primeiro vamos analisar o movimento de queda da pedra do alto do edifcio (ndice 0) at o solo
(ndice 2). A equao geral do movimento :
20 0
1
2y y v t gt
Aplicando-se os ndices corretos, teremos:
22 0 2
10
2y y gt
22
10
2H gt
2
23,4992 s
Ht
g
O valor de t1 igual a t2 1,2 s. Logo:
1 2,2992 st
Agora podemos analisar o movimento de queda da pedra desde o alto do edifcio at a coordenada
y1:
20 01
2y y v t gt
Aplicando-se os ndices corretos, teremos:
y
y h1 =
y2 = 0
y H0 =
a
( )t0
( = 1,2 st1 t2 )
( )t2
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9
21 0 1
10
2y y gt
21
1
2h H gt
2 21
1 160 m 9,8 m/s 2,2992 s 34,0954 m
2 2h H gt
34 mh
-
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________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 Movimento Unidimensional
10
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FSICA 1
CAPTULO 2 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
01. Que distncia seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que voc olha um acidente
margem da estrada?
(Pg. 28)
Soluo.
Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a
Eq. (1).
tvxx x0 (1)
A distncia procurada corresponde ao deslocamento x = x x0.
0 xx x x v t
1 m/s
(88 km/h) (0,50 s) 12,222 m3,6 km/h
x
A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo:
10 mx
02. Um jogador de beisebol consegue lanar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida
por um radar porttil. Em quanto tempo a bola atingir o alvo, situado a 18,4 m?
(Pg. 28)
Soluo.
Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja at a base
horizontalmente, ela sofre ao da gravidade e cai verticalmente) s precisamos nos preocupar com
o seu movimento horizontal. Isto devido a esse movimento ser o responsvel pela situao exposta
no enunciado. O movimento horizontal da bola no est sujeito acelerao da gravidade ou a
qualquer outra acelerao (exceto, claro, acelerao causada pela fora de resistncia do ar, que desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante.
vtxx 0
0(18,4 m)
1 m/s(160 km/h)
3,6 km/h
x x xt
v v
s 414,0t
08. Um avio a jato pratica manobras para evitar deteco pelo radar e est 35 m acima do solo
plano (veja Fig. 24). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3o, o
que difcil de detetar. De que tempo dispe o piloto para efetuar uma correo que evite um
choque com o solo? A velocidade em relao ao ar de 1.300 km/h.
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a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 Movimento Unidimensional
11
(Pg. 28)
Soluo.
O avio desloca-se em movimento retilneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo
para a resoluo do problema.
h0 x
d
v
Analisando o movimento do avio no eixo x, temos:
0x x vt
0 d vt
dt
v (1)
Como o valor de d no foi dado, preciso calcul-lo.
tan
h
d
tan
hd
(2)
Substituindo-se (2) em (1):
o
(35 m)1,289035... s
tan 1.300 km/h tan 4,3
3,6
ht
v
1,3 st
11. Calcule sua velocidade escalar mdia nos dois casos seguintes. (a) Voc caminha 72 m razo
de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Voc caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s
e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta.
(Pg. 28)
Soluo.
(a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar mdia a razo entre a distncia percorrida (no o
deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.
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12
1 2 1 2
1 11 2
1 1
72 m 72 m 21,714 m/s
1 172 m 72 m
1,2 m/s 3,0 m/s1,2 m/s 3,0 m/s
em
s s s sv
s st t
v v
1,7 m/semv
(b)
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1,2 m/s 60 s 3,0 m/s 60 s 1,2 m/s 3,0 m/s
60 s 60 s 2em
s s v t v tv
t t t t
2,1 m/semv
12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma
linha. Um pssaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles esto distantes
102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcan-lo, o pssaro retorna diretamente para o
primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pssaro pode fazer de um trem ao
outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distncia total que o pssaro percorre?
(Pg. 28)
Soluo.
Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a).
vA vB
Trem A Trem B
d
vP
d/2 d/2
1 Encontroo
2d/34d/9
2 Encontroo
x0
(b) Como os trens viajam mesma velocidade, porm em sentidos contrrios, o choque dar-se- na
coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem ser igual ao tempo de vo do pssaro. Logo, para o trem A:
t
d
t
xvA
2/
Av
dt
2
Para o pssaro:
t
sv p
A
Av
dvs
22
ds
Portanto, o pssaro percorre uma distncia igual separao inicial dos trens, ou seja:
102 kms
(a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1).
1 0P Px x v t (1)
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13
tvxx BB01 (2)
Nestas equaes, x0p = 0 e x0B = d so as posies do pssaro e do trem B no instante zero e vP = 2
vB e vB so as velocidades do pssaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o pssaro e o trem B estaro na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2).
0 0B B P Px v t x v t
tvtvd BB )2(0
Bv
dt
3 (3)
Substituindo-se (3) em (1):
1 0 0 ( 2 )
3P P B
B
dx x v v
v
3
21
dx
De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dar na coordenada 4d/9.
Como conseqncia, do primeiro para o segundo encontro o pssaro percorre uma distncia igual a
2d/3 4d/9 = 2d/9, que igual a 2/3 de d/3. Tambm pode ser demonstrado que do segundo para o
terceiro encontro ele percorre uma distncia igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em resumo:
Viagem do pssaro Distncia percorrida
1 2/3 d = 2/3 d
2 2/3 . 1/3 . d = 2/32 d
3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33 d
n 2/3 . 1/3 . . 1/3 . d = 2/3n d
A soma das distncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pssaro deve ser igual a d (resposta do item b):
dddddn3
2
3
2
3
2
3
232
Ou seja:
2
1
3
1
3
1
3
1
3
132 n
2
1
3
1
1
n
ii
(4)
Pode-se demonstrar que (4) somente ser verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar esta afirmao). Portanto, em teoria, o pssaro far um nmero infinito de viagens.
14. Que distncia percorre em 16 s um corredor cujo grfico velocidade-tempo o da Fig. 25?
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14
(Pg. 28)
Soluo.
Conhecendo-se a funo x(t) que descreve a posio x de um objeto em qualquer instante de tempo t,
pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relao a t.
( )
( )
t
t
dxv
dt
No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se
determinar sua posio x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo
considerado.
( ) ( )t tdx v dt
0 0( ) ( )
x v
t tx v
dx v dt
00 ( )
v
tv
x x v dt
De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde rea sob a curva do grfico v(t) = f(t). Cada
quadrado mostrado no grfico possui rea equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto, contabilizando toda a rea sob a curva mostrada no grfico, chegaremos ao seguinte resultado:
t (s) x (m)
0 2 8
2 10 64
10 12 12
12 16 16
Total 100
Portanto:
(16) (0) 100 mx x
29. Para decolar, um avio a jato necessita alcanar no final da pista a velocidade de 360 km/h.
Supondo que a acelerao seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a acelerao mnima
necessria, a partir do repouso?
(Pg. 29)
Soluo.
-
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15
Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito por meio da Eq.
(1).
xavv 2202 (1)
2
2
2 220
3
1 m/s360 km/h 0
3,6 km/h2,7777 m/s
2 2 (1,80 10 m)
v va
x
2m/s 78,2a
31. A cabea de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vtima. Se um carro pudesse
fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcanaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do
repouso?
(Pg. 29)
Soluo.
Trata-se, naturalmente, de movimento retilneo com acelerao constante. A velocidade inicial, v0, igual a zero. O clculo do tempo (t) feito atravs da Eq. 1.
atvv 0 (1)
02
1 m/s(100 km/h) 0
3,6 km/h0,55556 s
(50 m/s )
v vt
a
s 56,0t
33. Um eltron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa regio com 1,2 cm de
comprimento, onde ele eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O eltron emerge com
velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua acelerao, suposta constante? (Tal processo ocorre no
canho de eltrons de um tubo de raios catdicos, utilizado em receptores de televiso e
terminais de vdeo.)
(Pg. 30)
Soluo.
Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito atravs da Eq.
(1).
-
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xavv 2202 (1)
2 2 6 2 5 2
15 20
-2
(5,8 10 m/s) -(1,5 10 m/s)1,4007 10 m/s
2 2(1,2 10 m)
v va
x
15 21,4 10 m/sa
34. A maior velocidade em terra j registrada foi de 1.020 km/h, alcanado pelo coronel John P.
Stapp em 19 de maro de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veculo foram
parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que acelerao ele experimentou? Exprima sua resposta em
termos da acelerao da gravidade g = 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como um
acelermetro, no como um velocmetro.)
(Pg. 30)
Soluo.
Trata-se de movimento retilneo com acelerao (negativa ou desacelerao) constante. O clculo pode ser feito atravs da Eq. (1).
atvv 0 (1)
20
1 m/s0 (1.020 km/h)
3,6 km/h202,38095 m/s
(1,4 s)
v va
t
Para obter a acelerao em termos de unidades g, basta dividir a acelerao obtida pelo valor da acelerao da gravidade.
2
2
( 202,38095 m/s )20,6511
(9,8 m/s )
a
g
ga 21
41. Um trem de metr acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estao para percorrer a
primeira metade da distncia at a estao seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda
metade da distncia de 1,10 km entre as estaes. Determine: (a) o tempo de viagem entre as
estaes e (b) a velocidade escalar mxima do trem.
(Pg. 30)
Soluo.
Considere o esquema abaixo para auxiliar a resoluo:
-
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x = 0 0xx = d/21
-aa
x = d2
(a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) igual ao tempo
gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as
estaes pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1):
2 20 0 0 1 1
1 1
2 2x x v t at v t at
21
0 02 2 2
d ta
3
2
4 4(1,10 10 m)60,553... s
(1,2 m/s )
dt
a
60,6 st
(b) A velocidade escalar mxima do trem (v1), que atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da
seguinte forma (trecho x0 x1):
2 2
0 02 ( )v v a x x
2 2
1 0 1 02 ( )v v a x x
2
1 0 2 ( 0)2
dv a
2 31 (1,20 m/s )(1,10 10 m) 36,331... m/sv ad
136,3 m/sv
45. No momento em que a luz de um semforo fica verde, um automvel arranca com acelerao de
2,2 m/s2. No mesmo instante um caminho, movendo-se velocidade constante de 9,5 m/s,
alcana e ultrapassa o automvel. (a) A que distncia, alm do ponto de partida, o automvel
alcana o caminho? (b) Qual ser a velocidade do carro nesse instante? ( instrutivo desenhar
um grfico qualitativo de x(t) para cada veculo.).
(Pg. 31)
Soluo.
Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema. Observe que tanto o caminho quanto o
automvel percorrem a mesma distncia em tempos iguais.
x = 0 0 xx = d = ?
a
vC vC
v = 0A 0 v =A ?
d
(a) O movimento do caminho (C) ocorre com velocidade constante.
0x x vt
-
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18
0 Cx x v t
Cx v t (1)
O movimento do automvel ocorre com acelerao constante, partindo do repouso em x0 = 0.
20 0
1
2x x v t at
20 0
1
2Cx x v t at
21
02
d at
21
2d at (2)
Substituindo-se o valor de t de (1) em (2):
22
2
1
2 2c c
d a dd a
v v
2 2
2
2 2(9,5 m/s)82,045045... m
(2,2 m/s )
cvda
82 md
(a) A velocidade com que o automvel alcana o caminho (vA) vale:
2 20 02 ( )v v a x x
2 20 02 ( )A Av v a x x
2 0 2Av ad
22 2(2,2 m/s )(82,04545... m) 18,999... m/sAv ad
19 m/sAv
49. No manual de motorista diz que um automvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode
parar na distncia de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distncia correspondente 24
m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reao do motorista,
durante o qual a acelerao nula, como a acelerao quando aplicados os freios. Calcule (a) o
tempo de reao do motorista e (b) a acelerao.
(Pg. 31)
Soluo.
Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema:
-
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19
x = 0 0 x
Situao A
Situao BTempo dereao (B)
Tempo dereao (A)
Frenagem (A)
Frenagem (B)
x1B x1A x2B x2A
v0A v1A = v0A v = 2A 0
v0B v = v1B 0B v = 2B 0
(a) Vamos inicialmente analisar a situao A. Durante o tempo de reao, o carro desloca-se com
velocidade constante.
0x x vt
1 0 0A A A Rx x v t
Mas:
0 0Ax
Logo:
1 0A A Rx v t (1)
Anlise do movimento de frenagem na situao A.
2 20 02 ( )v v a x x
2 22 1 2 12 ( )A A A Av v a x x
Mas:
1 0A Av v
Logo:
20 2 10 2 ( )A A Av a x x (2)
Substituindo-se (1) em (2):
22 0 02 ( )A A R Aa x v t v (3)
A anlise da situao B atravs do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte resultado:
22 0 02 ( )B B R Ba x v t v (4)
Dividindo-se (3) por (4):
2
2 0 0
2
2 0 0
A A R A
B B R B
x v t v
x v t v
Logo:
2 2
0 2 0 2
0 0 0 0( )
A B B AR
A B A B
v x v xt
v v v v (5)
0,72 sRt
(b) Substituindo-se (5) em (3):
-
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20
2
20
2 0
6,17284... m/s2( )
A
A A R
va
x v t
26,2 m/sa
54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os
primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes?
(Pg. 31)
Soluo.
(a) Considere o seguinte esquema para a situao:
y
y1 = 50 m
y2 = 100 m
y0 = 0
g
Trata-se de movimento retilneo (vertical) com acelerao constante. O clculo do tempo de queda
nos primeiros 50 m pode ser feito atravs da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a
acelerao da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.
210012
1tatvyy yy (1)
Como v0y = 0:
1 0 1 01
2( ) 2( )
y
y y y yt
a g
21 2
2[(50 m) 0)10,20408 s 3,19438 s
(9,81 m/s )t
s 2,31t
(b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente
vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m.
220022
1tatvyy yy
2 022( )y y
tg
-
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21
22 2
2[(100 m) 0)20,40816 s 4,51753 s
(9,81 m/s )t
O clculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) feito por diferena:
s 32315,1)s 19438,3()s 51753,4(1212 ttt
s 3,112t
59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em p sobre uma passarela inadvertidamente
deixa cair uma ma por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminho passa
exatamente por baixo dele. O veculo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que
altura, acima do caminho, est o parapeito, se a ma passa rente traseira do caminho?
(Pg. 31)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
A soluo deste problema consiste em analisar as equaes do movimento horizontal do caminho e vertical da ma e combin-las, pois so sincronizadas no tempo. Movimento do caminhoem x:
0 xx x v t
0 Cl v t
C
lt
v (1)
Movimento da ma em y:
20 0
1
2y y v t at
21
0 0 ( )2
h g t
21
2h gt (2)
Inicial
Final
y
l
v1
x
x0 = 0 x l1=
y h0 =
y1 = 0
v0 = 0
vC
vC
h
-
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22
Substituindo-se (1) em (2):
2
2
212 m1 1
9,81 m/s 3,026 mm/s2 2
55 km/h 3,6 km/h
C
lh g
v
3,0 mh
61. Um jogador de basquete, no momento de enterrar a bola, salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso
explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.
(Pg. 32)
Soluo.
Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.
Como a acelerao a mesma na subida e na descida, temos que:
AB FGt t 15 2B ABt t 15
2
BAB
tt
CD DEt t 15 2A CDt t 15
2
ACD
tt
onde tAB o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B so os tempos em que o jogador
passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente.
A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela anlise do movimento no trecho AD.
2 20 02 ( )v v a y y
2 2 2( )( )D A D Av v g y y 1)
20 2 ( 0)A Dv g y
22 2(9,81 m/s )(0,76 m) 3,8615022... m/sA Dv gy
(a) Anlise do movimento no trecho CD.
20
1
2y y vt at
21
( )2
D C D CD CDy y v t g t
2
151(0,15 m) 02 2
Atg
yD
y = yA G = 0
a = -g
y
15 cm maisaltos
15 cm maisbaixosA
B
C
D
E
F
G
y yC E=
y yB F=
-
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23
15 2
8(0,15 m)0,3497... s
(9,81 m/s )At
15 0,35 sAt
(b) Anlise do movimento no trecho AB.
20 0
1
2y y v t at
21
( )2
B A A AB ABy y v t g t
2
15 151(0,15 m)2 2 2
B BA
t tv g
2
15 15
(9,81 m/s ) (3,8615022... m/s)(0,15 m) 0
8 2B Bt t (1)
A Eq. (1) uma equao do segundo grau cujas razes so:
15
15
' 1,492560... s
'' 0,081955... s
B
B
t
t
Como t15B deve ser menor do que t15A:
15 0,082 sBt
64. O laboratrio de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem
uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vcuo e que, entre
outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com dimetro de 1 m, que contm
equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao p da torre?
(c) Ao p da torre a esfera tem uma acelerao mdia de 25 g quando sua velocidade reduzida
a zero. Que distncia ela percorre at parar?
(Pg. 32)
Soluo.
(a) Considere o seguinte esquema da situao:
Acel.
Desacel.y2
y0 = 0
y1 = 145 m
g
y
-
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24
Trata-se de movimento retilneo (vertical) com acelerao constante. O clculo do tempo de queda
livre pode ser feito atravs da Eq. (1). De acordo com o esquema, a acelerao da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.
21001
2
1tatvyy yy (1)
Como v0y = 0:
1 01
2( )
y
y yt
a
1 01
2( )y yt
g
1 2
2[(145 m) 0)5,43706 s
(9,81 m/s )t
s 44,51t
(b) O clculo da velocidade de chegada da esfera base da torre tambm direto.
101 tavv yyy
2
1 0 (9,81 m/s )(5,43706 s) 53,337604 m/syv
m/s 3,531yv
(c) A desacelerao ocorre entre as posies y1 e y2.
)(2 12
1
2
2 yyavv yyyy
2 2 2 2 2 22 1 2 1
2
0 (53,337604 m/s)5,8 m
2 2 25 2 (25 9,81 m/s )
y y y y
y
v v v vy
a g
5,8 my
Obs.: O dimetro da esfera no tem utilidade na resoluo dos itens pedidos. Ele s foi dado para
ilustrar a situao.
70. Um balo est subindo a 12,4 m/s altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a)
Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?
(Pg. 32)
Soluo.
O balo desloca-se em movimento retilneo para cima, com velocidade constante. Considere o
esquema abaixo para a resoluo do problema. Como o balo est em movimento, a velocidade inicial do pacote a mesma do balo.
-
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25
y = h0
y = 0
a = -g
v = 0 vBy
(a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o cho pode ser calculada da seguinte forma:
2 20 02 ( )v v a y y
2 2 2( )(0 )Bv v g h
2 2 2Bv v gh
2 2 2(12,4 m/s) 2(9,81 m/s )(81,3 m)v
41,819445... mv
41,8 mv
(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o cho pode ser calculado da seguinte forma:
0 0
1( )
2y y v v t
1
0 ( )2
Bh v v t
2
B
ht
v v
2(81,3 m)
5,5269567... s(12,4 m/s) (41,819445... m/s)
t
5,53 st
73. No Laboratrio Nacional de Fsica da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de
Pesos e Medidas) foi realizada uma medio de g atirando verticalmente para cima uma bola de
vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A Fig. 35 o grfico da altura da bola em
funo do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo
nvel inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nvel superior e
H a distncia entre os dois nveis. Prove que
2 2
8
L U
Hg
t t.
-
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26
(Pg. 32)
Soluo.
Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.
A
BC
yA
0
y
yByC
Movimento do ponto A ao ponto C dado por:
20
1
2y y vt at
21
( )2
C A Cy y v t g t
No ponto C a velocidade da bola (vC) zero.
21
02 2
LC A
ty y g
21
8C A Ly y g t (1)
De maneira idntica, o movimento do ponto B ao ponto C dado por:
21
8C B Uy y g t (2)
Subtraindo-se (2) de (1):
2 21
( ) ( ) ( )8
C A C B B A L Uy y y y y y H g t t
Portanto:
2 2
8
L U
Hg
t t
74. Uma bola de ao de rolamento largada do teto de um edifcio com velocidade inicial nula. Um
observador em p diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para
ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma
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27
calada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s aps passar por ela ao descer. Qual a
altura do edifcio? (Aps uma coliso elstica, a velocidade escalar da bola em dado ponto a
mesma ao subir e ao descer.)
(Pg. 33)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifcio) e 2
(parapeito da janela):
2 2
0 02v v a y y
2 2
2 0 22v v g y H
2
2 20 2v g y H
2
22
2
vH y
g (1)
Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da
janela):
20
1
2y y vt at
22 1 2 2 2
1
2y y v t g t
22 2 2
1
2h v t g t
2 2 22
1,20 m1 1 m9,81 0,125 s
2 0,125 s 2 s
hv g t
t
2 10,213125 m/sv
y1
v0 = 0
y
y2 = y4a j = g
y = H0
H
h
y = 3 0
v1
v2
v3
v3
v4 = v3t1
t3
t2
-
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28
Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo).
Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito de 2,0 s.
Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo de t3 = 1,0 s.
20 0
1
2y y v t at
23 2 2 3 3
1
2y y v t g t
22 2 3 3
10
2y v t g t
2 22
2 3 2 3 2
1 1 m9,81 1,0 s 10,213125 m/s 1,0 s
2 2 sy g t v t
2 15,118125 my
Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema:
2
2
10,213125 m/s15,118125 m 20,434532 m
2 9,81 m/sH
20 mH
75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com
1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote visto de 0,74 s. Determine a altura
alcanada pelo pote acima do topo da janela.
(Pg. 33)
Soluo.
O tempo no qual o vaso visto subindo (tS) igual ao tempo no qual ele visto descendo (tD).
Portanto:
2S D St t t t
0,34 s2
S
tt
Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema.
y1
y = 0 0
y
y2
a = -g
Clculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):
-
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 Movimento Unidimensional
29
20
1
2y y vt at
21 0 1
1( )
2S Sy y v t g t
2
1 0
1
1
2S
S
y y gt
vt
2 2
1
1(1,1 m) 0 (9,81 m/s )(0,37 s)
2
(0,37 s)v
1 1,15812297... m/sv
Clculo da distncia acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1):
2 20 02 ( )v v a y y
2 22 1 2 12( )( )v v g y y
2 2
1 22 1
2
v vy y
g
2
2 1 2
(1,15812297... m/s) 00,068361... m
2(9,81 m/s )y y
2 1 6,8 cmy y
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