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Professor André Lúcio Grande CURSINHO SINTAXE

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA2º Semestre - 2005

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Exercícios Propostos

01. (PUC-SP) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do 1º termo é:a) –1b) 1c) 2d) 0e) 3

02. (U.E. Feria de Santana) Numa P.A. em que a soma do sétimo com o décimo segundo é igual a 52 e a soma do quinto com o vigésimo terceiro é igual a 70 possui primeiro termo igual a:a) 2b) 5c) 7d) 9e) 23

03. (FEI) Se a, 2a, a2, b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é:a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

04. (UNESP) Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta ordem, constituem uma P.A. de razão r,a) escreva X, Y e Z em função de r;b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.

05. (F. IBERO) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:a) 5000b) 3950c) 4000d) 4950e) 4500

06. (FATEC-2003) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo:

A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem,a) ficarão vagos 140 lugares.b) ficarão vagos 64 lugares.c) faltarão 44 lugares.d) faltarão 120 lugares.e) não sobrarão nem faltarão lugares.

07. (FUVEST) A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, éa) 10b) 20c) 60d) 80e) 100

Exercícios Tarefa

01. (Santa Fé do Sul) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:a) 63b) 65c) 92d) 95e) 102

02. (PUC-SP) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do 1º termo é:f) –1g) 1h) 2i) 0j) 3

03. (F.F. Recife) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então o maior mede em graus:a) 4b) 50c) 60d) 70e) 80

04. (U.E. Feria de Santana) Numa P.A. em que a soma do sétimo com o décimo segundo é igual a 52 e a soma do quinto com o vigésimo terceiro é igual a 70 possui primeiro termo igual a:f) 2g) 5h) 7i) 9j) 23

05. (FUVEST-95) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, (11-a). O quarto termo desta P.A. é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

06. (FATEC- 97) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a seqüência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a:a) 43b) 44c) 45d) 46e) 47

07. (FEI- 96) Se a, 2a, a2, b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é:a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

08. (PUC-SP-98) Seja f a função de Z em Z definida por f(x) é igual a

f(x) = 2x - 1 se x é paref(x) = 0 se x é impar

Nessas condições, a somaf(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(999) + f(1000) é igual aa) 50 150b) 100 500c) 250 500d) 500 500e) 1 005 000

09. (UFRJ- 2000) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou então o valor da última ficha.Determine você também este valor.

10. (MAC-SP) O valor de r para que a sequência ( r – 1, 3r – 1, r – 3, ...) seja uma P.A. é:a) –1b) –0,5c) 1d) 0,5e) 2

11. (UNIMEP) O valor de x na igualdade abaixo é:3x = 3 . 31 . 32 . 33 . ...... . 3050

a) 50b) 150c) 2550d) 2550e) 1275

12. (F. IBERO) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:a) 5000b) 3950c) 4000

d) 4950e) 4500

13. (UFSM-RS) A soma dos 100 primeiros números pares positivos é:a) 5050b) 5100c) 5150d) 10050e) 10100

14. (UFPA) A soma de uma PA de oito termos é 16 e a razão é –2. Então o sexto termo é:a) –5b) –4c) –3d) –2e) –1

15. (UFSM-RS) Um oficial comanda 325 soldados e quer formá-los em disposição triangular, de modo que a primeira fila tenha 1 soldado, a Segunda 2, a terceira, 3, e assim por diante. O número de filas assim constituídas será:a) 20b) 24c) 25d) 27e) 28

16. (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais do que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorreu um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a:a) 5100b) 5200c) 5300d) 5400e) 5500

17. (FAFI-BH) Um pintor consegue pintar uma área de 3 m2

no primeiro dia de serviço; sempre, em um dia, ele pinta 2m2

a mais do que pintou no dia anterior. O tempo necessário para ele pintar 196 m2, em dias, é:a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

18. (UNITAU) A soma dos números ímpares de 1 a 51 é:a) 676b) 663c) 1326d) 1352e) 446

19. (FURRN) A sequência de números positivos (x, x + 10, x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é:a) 94b) 95c) 101d) 104e) 105

20. (CEFET-RJ) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que perímetro mede 57 cm, podemos afirmar que o maior cateto mede:a) 17 cmb) 19 cmc) 20 cmd) 23 cme) 27 cm

21. (UNESP-2003) Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta ordem, constituem uma P.A. de razão r,a) escreva X, Y e Z em função de r;b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.

GABARITO01. C 02. E 03. E 04. D 05. B 06. B07. E 08. D 09. 1 10. B 11. E 12.D13. E 14. E 15. C 16. B 17. C 18. A19. B 20. B 21. a) X = 3 - r; Y = 3 + r e Z = 3 + 2r.b) r = 7, X = - 4 , Y = 10 e Z = 17.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

01. (PUC) Dada a P.G. abaixo, determine seu 11º termo.

02. (CEFET) Em uma progressão geométrica, o quito termo é 24 e o oitavo termo é 3. A razão entre o sexto termo e o décimo é:a) 4b) 8c) 1/8d) 16e) 1/16

03. (PUC) Se a seqüência (4x, 2x + 1 , x – 1 , ...) é uma P.G., então o valor de x é:a) –1/8b) –8c) –1d) 8e) 1/8

04. (UNESP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.

Determine, ao final de 9 dessas operações:a) quantas tábuas terá a pilha.b) a altura, em metros, da pilha.

05. (FUVEST-2005) Sejam a e b números reais tais que:(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;(ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.Então o valor de a é:a) 2/3b) 4/3c) 5/3d) 7/3e) 8/3

06. (FEI) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta:a) 9 termosb) 8 termosc) 7 termosd) 6 termose) 5 termos

07. (PUC) Se x é um número real positivo menor que 1 e se vale a igualdade 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + .... = 3/2 , então o valor de x é:a) 0,1b) 2/3c) 3/10d) 3e) 1/3

Exercícios Tarefa

01. (PUC-SP) O terceiro e o sétimo termos de uma Progressão Geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa Progressão é:a) 14b) 30c) 2.7d) 6.5e) 30

02. (U.CAXIAS DO SUL) Sabendo que a sucessão ( x – 2, x + 2 , 3x – 2, ...) é uma P.G. crescente, então o quarto termo é:a) 27b) 64c) 32d) 16e) 54

03. (UEL) A seqüência (2x + 5, x +1, x/2, ...), com x IR, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência éa) 2b) 3-10

c) 3d) 310

e) 312

04. (UFF) Sendo x um número real não nulo, a soma do 3º termo da Progressão Aritmética (x, 2x,...) com o 3º termo da Progressão Geométrica (x, 2x,...) é igual a:a) 4xb) 5xc) 6xd) 7xe) 8x

05. (MACK) As seqüências (x, 2y-x, 3y) e (x, y, 3x + y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente, aritmética e geométricas. Então, 3x + y vale:a) -2b) -1c) 0d) 1e) 2

06. O sétimo termo da progressão geométrica ( x – 2; 2x ; 6x; ...) de termos estritamente positivos é:a) 1296b) 3620c) 5184d) 7200e) 9620

07. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada:a) decrescenteb) crescentec) constanted) alternantee) n.d.a

08. (UNISA) O número de termos da P.G.1/9, 1/3, 1, ..., 729 é:a) 8b) 9c) 10d) 81e) 4

09. (FAAP) Dados os números 1, 3 e 4, nesta ordem, determinar o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progressão geométrica.

10. (UNITAU) A soma dos termos da seqüência (1/2;1/3;2/9;4/27;...) é:a) 15 × 10-1

b) -3 × 10-1.c) 15 × 10-2

d) 5 × 10-1.e) 3/5.

11. (FUVEST) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a:a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16

12. (UEMT) A soma dos termos da progressão abaixo é:

a) 2/5b) 9/20c) 1/2d) 11/20e) 3/5

13. (FUVEST-SP) Qual é o valor de 1 + 10 + 102 + ... + 1010

14. (UNICASTELO) Dada a P.G. finita (5, 50, ..., 5 000 000), sua soma resulta:a) 5 555 555b) 10 000 000c) 9 945 555d) 55 555 555e) infinita

15. (UFRN) Se a soma dos termos da P.G. infinita 3x; 2x; 4x/3; ...é igual a 288, o valor de x é:a) 12b) 14c) 16d) 24e) 32

16. (AFA) Numa progressão geométrica, com n termos, a1 = 2, an = 432 e Sn = 518, tem-sea) q < nb) q = nc) q > nd) q < a1

e) q = a1

GABARITO01. D02. C03. B04. D05. A06. C07. A08. B09. - 510. A11. B12. B13. (1011 – 1) / 914. A15. E16. C

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

01. (UNICAMP-SP) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior.b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm2, calcule o comprimento do lado do quadrado maior.

02. (UFPE) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do retângulo sombreado?a) 80b) 90c) 100d) 120e) 140

03. (MACK) Na figura, a diferença entre as áreas dos quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4, a área do triângulo CDE vale:a) 18,5b) 20,5c) 22,5d) 24,5e) 26,5

04. (UNIFESP) Um comício deverá ocorrer num ginásio de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.

Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m£ de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da parte hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento?a) 2 700.b) 1 620.c) 1 350.d) 1 125.e) 1 050.

05. (FGV) Um círculo de área 16 está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16

06. (UFAL) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo.

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é(Use: =3,1)a) 24,8b) 25,4c) 26,2d) 28,8e) 32,4

07. (UEL) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é:

a) Um quarto da área do círculo de raio a.b) Um oitavo da área do círculo de raio a.c) O dobro da área do círculo de raio a/2.d) Igual à área do círculo de raio a/2.e) A metade da área do quadrado.

08. (UNIFESP) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. A área da região hachurada é:a) 9.b) 12.c) 15.d) 18.e) 21.

Exercícios Tarefa

01. (FUVEST) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas:

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a divisão tenha sido feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá ter sido:a) 31b) 32c) 33d) 34e) 35

02. (VUNESP-SP) Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA.Seja a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é, em dm:a) 2/3b) 2/5c) 3/5d) 1/2e) 4/7

03. (UNICAMP-SP) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior.b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm2, calcule o comprimento do lado do quadrado maior

04. (FATEC-SP)) A altura de um triângulo eqüilátero e a diagonal de um quadrado têm medidas iguais. Se a área do triângulo eqüilátero é 163m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, éa) 6b) 24c) 54d) 96e) 150

05. (UGMG) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede 2, M é o ponto médio de BC e MD = ME. A área do retângulo DCEF é:

a) 2 (5 – 1)b) 3 (5 – 1)c) 4 (5 – 1)d) 5 (5 – 1)e) 6 (5 – 1)

06. (PUC-MG) O trapézio da figura é retângulo e representa o contorno de um terreno plano. Na figura, AB = 4 cm, AD = 2 cm e DCB = 45º. A área do terreno, em cm2, mede:a) 6b) 8c) 10d) 12e) 14

07. (UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo retângulo DEF, abaixo, é, em cm2:a) 42,25b) 36c) 46,24d) 39,32e) 49

08. (MACK) Na figura abaixo, OC = 6,5 e BC = 12. A área do triângulo ABC é:a) 20b) 30c) 40d) 65e) 120

09. (CESCEM) Na figura, ABCD é retângulo. A razão entre as áreas do triângulo CEF e do retângulo é:a) 1/6b) 1/7c) 1/8d) 1/9e) 1/10

10. (VUNESP-SP) O lado BC do triângulo ABC mede 20cm. Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN.

11. (UFSC) A área da figura sombreada é:a) 4 - b) 4 (1 - )c) 2 (2 - )d) 4e)

12. (MACK) A área da parte hachurada vale:a) a2 (4 - )b) a2 (2 - )c) 2 a2

e) não sei

13. (INATEL) Uma competição de velocidade é realizada numa pista circular de 60m de raio. Do ponto de partida até o ponto de chegada, os competidores percorrem um arco de 135º. Quantos metros, aproximadamente, tem essa competição?a)120b)125c)135d)141e)188

14. (UNAERP) Uma pista de atletismo tem a forma de uma coroa circular, e a maior distância que se pode percorrer em linha reta, nesta pista, é 40m. A área da pista, em metros quadrados, é:a)200b)300c)400d)1600e)2000

15. (MACK) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte hachurada é:a) (4 - )b) 4c) (2 - )d) e) 1

16. (VUNESP-SP) A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, a medida da hipotenusa desse triângulo é:a) 23b) 35c) 46d) 213e) 15

17. (STA. CASA) Na figura abaixo, tem-se uma circunferência de centro C, cujo raio mede 8 cm. O triângulo

ABC é equilátero e os pontos A e B estão na circunferência. A área da região hachurada, em cm2, é:

b) 64c) 32 ( 1- )d) 963e) 16 (4 - 3 )

18. (CESCEM) Sendo A a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, a área de um quadrado circunscrito na mesma circunferência é:a) 4Ab) 2Ac) 4/3 Ad) 3Ae) 5/3 A

19. Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB = AC = AD = R.A diagonal Ac forma com os lados BC e AD ângulos e , respectivamente.Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

20. (UNIFESP-2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

Nestas condições, calcule:a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

21. (UNESP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é = 30°, a medida do ângulo AED é e x = BE. Determine:

a) a área do triângulo BDE, em função de x.b) o valor de x, quando = 75°.

22. (UNESP-2004) Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5m de raio. A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é:a) 25 (303 – π )b) 25 (123 – π )c) 25 (63 – π )d) 10 (303 – π )e) 10 (153 – π )

GABARITO

01. D02. B03. a) faça a figura

b) 12 cm04. B05. A06. C07. B08. B09. C10. 10 cm11. A12. C13. D14. C15. A16. D17. A18. B19. A20. a) 6(3) - 2 unidades de área

b) 4 unidades de comprimento 21. a) 3x/2 cm2

b) 6[(3) -1] cm22. C

MATRIX

01. (UFG – adaptado) uma matriz quadrada de ordem 3, onde aij = i + j.Nessas condições, qual a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz?

02. (PUC-MG) Seja A a matriz A = (aj)2x3, cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:

03. (FEI) Se a matriz é simétrica, então:

a) a + b + c = 2b) 2a - 3b + c = -2c) a2 – 2b + c = 0d) a2 = 2ce) ln b 0

04. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-SIMÉTRICA se A =-At. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz anti-simétrica, então x+y+z é igual a:a) 3b) 1c) 0d) -1e) -3

05. Uma matriz A é do tipo 3 x m, outra matriz, B, é do tipo 4 x 2 e a matriz C é do tipo n x 2. Se existe a matriz ( A . B) . C é do tipo p x q, determine m, n, p e q.

06. Considere as matrizes , e

, calcule:

a) ABb) ACc) B + Cd) AB + ACe) A(B + C)

07. (FGV) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta:a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 b) B . C = C . Bc) (A + B) . (A - B) = A2 – B2

d) C . I = Ce) I . A = I

08. (FATEC-2003) Seja a matriz tal

que . É verdade que a + b é

igual a

a) 0b) 1c) 9d) –1 e) –9

DETERMINANTES

01. (FEI) Para que valores da incógnita a o determinante da matriz abaixo será nulo?

02. (FATEC) Seja M a matriz e I a matriz identidade de

segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o determinante da matriz M + k.I são:a) um positivo e outro negativob) inteiros positivosc) inteiros e negativosd) irracionais e positivose) irracionais e negativos

03. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, o seu determinante é det M = 2. O valor da expressão det (M) + det (2M) + det (3M) é:a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72

MATRIZ INVERSA

01. (PUC) Se a matriz

tem inversa, então det A-1

a) bc - adb) (1/ad) - (1/bc) c) det Ad) 1/det Ae) 1/(det A)2

Exercícios Tarefa

01. (UFBA) Escreva a matriz 2x3, segundo a lei abaixo: aij = 2i – j, se i j aij = i + j, se i = j

02. (UFRN) Dadas as matrizes A e B abaixo, determine A – Bt

A = B =

03. (PUC) Dada a equação matricial abaixo, determine x, y, z e t.

04. (PUC) Sejam as matrizes abaixo, determine a matriz X de ordem 2, tal que:

A = , B = , C =

05. (PUC) Determine a matriz A de ordem 2x3 definida por aij = i . j

06. (U.F.CEARÀ) Sejam as matrizes P1 = P2 = e I =

Se (2 – n) . I + n . P1 = P2 , então n2 – 2n + 7 é igual a:a) 6 b) 7 c) 10 d) 15 e) 16

07. (UFJF-MG) Considere A = . Então podemos concluir que:

a) A100 = - I, onde I é a matriz identidade 2 x 2b) A100 = Ac) A101 = - Id) A101 = 0, onde 0 é a matriz nula 2 x 2.e) n.d.a.

08. (UFRGS) Aplica-se a operação

nas coordenadas (x,y) do retângulo

da figura abaixo:

O lugar geométrico do resultado dessa operação é representado por:a) b) c)

09. (U.C.GOIÁS) Dadas as matrizes abaixo A e B, e ainda seja C = A x B. Pede-se o elemento c23

A = e B =

10. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m , então:a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3c) existe AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = Be) existem AB e BA iguais se, e somente se, A = B.

11. (MACK) Sejam as matrizes A = (aij)4x3, onde aij = ij e B = (bij)4x3 = ji . Sendo C = A . B, determine c22.

12. (PUC-SP) Se , calcule, então A2 +

2.A – 11.I,

onde I é a matriz identidade

13. (MACK) Sabe-se que A = e B = (bij)3x3 é uma

matriz diagonal, ou seja bij = 0 se i j e AB =

Determinar os valores de x, y e z.

14. (FATEC-SP) Seja o conjunto de todas as matrizes da

forma onde x IR* e y IR*. Então, existe uma

matriz A, em , tal que:a) A . A b) At c) At - A d) A + A e) 2 . A

15. (VUNESP) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo;

A (x) =

a) Calcule o produto A(x) . A(x)b) Determine todos os valores de x [0 , 2 ] para os

quais A(x) . A(x) = A(x)

16. (FUVEST) É dada a matriz P = a) Calcule P2 e P3

b) Qual a expressão Pn ?

17. (FUVEST) Dadas as matrizes

A = e B =

Determine a e b de modo que AB = I2 , onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.

18. (FEI) Para que valores da incógnita a o determinante da matriz abaixo será nulo?

19. (FATEC) Seja M a matriz e I a matriz identidade de

segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o determinante da matriz M + k.I são:f) um positivo e outro negativog) inteiros positivosh) inteiros e negativosi) irracionais e positivosj) irracionais e negativos

20. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com:aij = 2i – j para i = jaij = 3i – 2j para i j . O determinante de A é igual a:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

21. (UNESP) Considere as matrizes reais:

A = e B = . Se A = Bt , o determinante da matriz abaixo é igual a:

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

22. (UEL) A solução positiva da equação abaixo é um número:

a) ímparb) primoc) não inteiro

d) cubo perfeitoe) quadrado perfeito

23. (UFSC) Resolver, em IR, a equação:

24. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz é:

a) 2 b) 1 c) –1 d) –2 e) 3

25. (UEMT) O maior valor real de x tal que:

a) –8 b) 0 c) 1 d) 8 e) 16

26. (FUVEST) Calcule o determinante:

27. (FEI) Determine o valor de x abaixo:

28. (UESPI) Se o determinante da matriz é igual a –18,

então o determinante da matriz é igual a:

a) –9 b) –6 c) 3 d) 6 e) 9

29. (MACK) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = - 6. O valor de x tal que det(2A) = x – 97 é:a) –12 b) 0 c) 1 d) 97/2 e) 194

30. (CESGRANRIO) Quando os elementos da 3º linha de uma matriz quadrada são divididos por x e os elementos da

1º coluna são multiplicados por y, o determinante da matriz fica dividido por:a) xy b) 1/xy c) x/y d) y/x e) x3/y3

31. (PUC) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz

A = cujo determinante é D, então o

determinante da nova matriz é:a) 2D b) 3D c) 4D d) 5D e) 6D

32. (PUC) Qual das afirmações abaixo é falsa? Dadas A e B matrizes de ordem n.a) det (A + B) = det A + det Bb) det A . det A = (det A)2

c) det A . det At = (det A)2

d) det A = det At

e) det (A. B) = det A . det B

33. (ITA) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação;det (2A . At ) = 4x?a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

34. (MACK) Se x [ 0, 2 [, o menor valor de x tal que:

= 0 é:

a) 0 b) /6 c) /4 d) /2 e) /3

35. (PUC) Calcular x tal que a matriz

seja igual a sua inversa.

36. (U.F.LAVRAS) Determinar para quais valores de x a matriz abaixo admite inversa

37. (FUVEST) Se as matrizes abaixo são tais que AB = BA, podemos afirmar que:

A = e B =

a) A é inversívelb) det A = 0c) B = 0d) c = 0e) a = d = 1

38. (ITA) Sejam A, B, C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às seguintes relações: AB = C-1 , B = 2A Se o determinante de C é 32, qual o valor do módulo do determinante de A?a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4

39) (FUVEST) Calcule:

40) (FUVEST) Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será:a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

41. (FGV) Se = 0, então o valor do determinante

a) 0 b) bc c) 2bc d) 3bc e) b2c2

42. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, o seu determinante é det M = 2. O valor da expressão det (M) + det (2M) + det (3M) é:a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72

43. (ITA) quaisquer que sejam os número reais a, b e c, o determinante da matriz é dado por:

a) ab + ac + bc b) abc c) 0 d) abc + 1 e) 1

44) (FUVEST) O determinante da inversa da matriz é:

a) –52/5 b) –48/5 c) –5/48 d) 5/52 e) 5/48

45. (FUVEST) Dada a matriz A = , calcule a sua inversa A-1 . A relação especial que você deve ter observado entre A e A-1 , seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de :

Generalize e demonstre o resultado observado.

46. (FUVEST-2004) Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta de A. Se

é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:a) 1/4b) (3)/4c) 1/2d) (3)/2e) 3/2

47. (FGV-2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula também de ordem 3. Assinale a alternativa correta:a) Se A . B = O, então: A = O ou B = Ob) det(2 . A) = 2 det(A)c) Se A . B = A . C, então B = Cd) A. (B . C) = (A . B) . Ce) det(A + B) = det(A) + det(B)

48. (FATEC-2003) Seja a matriz tal

que . É verdade que a + b é

igual a

f) 0g) 1h) 9i) –1 j) –9

GABARITO

01. 02. 03. x = y = t = z = 1 04.

05. 06. C 07. C 08. A 09. 4010. C

11. 84 12. 13. x = 1, y = 4, z = 4 14. C

15. a)

b) x = 0 ou x = 2 16. a) P2 = P3 = b) Pn =

17. a = 1 e b = 0 18. a = +2 ou –2 19. C 20. E 21. B22. B 23. x = 19 24. D 25. D 26. Det A = -327. x = 128. E 29. C 30. C 31. D 32. A33. D 34. A 35. x = -1 36. x0 e x1/2 37. E38. A 39. 1 40. E 41. D 42. E 43. B 44. C45.

46. E 47. D 48. B

SISTEMAS LINEARES

01. (FUVEST – 2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi

entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foia) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150

02. (UNIFESP – 2004) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis éa) R$ 3,00. b) R$ 4,00. c) R$ 6,00.d) R$ 7,00. e) R$ 12,00.

03. (UFOP-MG) Dado o sistema:

Então, x2 + y2 + z2 vale:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

04. O sistema linear

é:a) Homogêneo e indeterminado.b) Impossível e indeterminado.c) Possível e determinado.d) Impossível e determinado.e) Possível e indeterminado.

Exercícios Tarefa

01. (UFG) Resolver o sistema:2x + y = 52y + z = 33x + 2y + z = 7

02. (FUVEST-SP) Sabendo-se que x, y e z são números inteiros reais e que (2x + y – z)2 + (x – y)2 + (z – 3)2 = 0 , então x + y + z vale:a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

03. (FAAP) Determine os valores reais de x, y e z que satisfazem o sistema.

x – 3y + z = -42x + y – 2z = 11-x + 2y – 5z = 15

04. (UEL – PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual é o preço do artigo C?

05. (UFSM-RS) Para que o sistema:

x + y + 2z = 0 x – ky + z = 0 kx – y – z = 0

tenha solução diferente da trivial, k deve ser um número real tal que:a) k = -1 ou k = 0b) k = 2 ou k = 1c) k > 1d) k < -1e) k 0

06. (UFMG) Determine os valores de a e b para que o sistema

x + y – 2z = 02x + y + z = bx + ay + z = 0

a) tenha solução únicab) tenha infinitas soluçõesc) não tenha solução

07. (UFPA) O sistema

x + py + z = 0 px + y + pz = 0 x + py + z = 0

a) é impossível p IR;b) é determinado para p = 3;c) admite somente a solução trivial;d) é impossível se e somente se, p = -1;e) é indeterminado p IR.

08. (PUC-SP) Estudando o sistema linear:4x + y – z = 0-x – y + z = 12x – y + z = 2

verificamos que ele é:a) homogêneo e indeterminadob) possível e determinadoc) possível e indeterminadod) impossível e determinadoe) impossível e indeterminado

09. (FGV) O sistema de equações seguinte:

3x + 4y + z = 82x – y + 2z = 55x + 3y + 2z = 14

a) é incompatível indeterminadob) é incompatívelc) é incompatível determinadod) é compatível determinadoe) é característico

10. (MACK) O sistemax + y = - z2x + z = 3y9y + z = - 4x de variáveis x, y e z é:

a) possível e determinadob) impossívelc) possível e indeterminadod) apresenta três soluções distintase) não homogêneo

GABARITO

01. x = 4/3, y = 7/3 e z = -5/3 35 02. C03. (2, 1, -3) 04. R$ 25,00 04. A 05. a) a2/5b) a = 2/5 e b = 0 c) a = 2/5 e b 006. E 07. C 08. D09. A 10. E

GEOMETRIA ANALÍTICA

01. (CESGRANRIO ) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:a) 14.b) 13.c) 12.d) 9.e) 8.

02. (FUVEST) Uma reta passa pelos pontos P (3;1) e é tangente à circunferência de centro C (1;1) e raio 1 num ponto T. Então a medida do segmento PT é:a)

b) 2c) d) e)

03. (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A=(-a,0), B=(0,b) e C=(c,0), é igual a b, então o valor de b é:a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1

04. (FATEC) A circunferência que passa pelos pontos O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3) tem raio igual a:a) (11)/4b) (11)/2c) (13)/4d) (13)/2e) (17)/4

05. (UNESP-2003 ) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), éa) equilátero.b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.

06. (UNESP) No plano cartesiano, estão localizados os pontos P(-1/2,6) ; Q(-2,1) e R(1,1). Determinar a área do triângulo formado pelos três pontos.

07. (UEPI) Seja r a reta que passa pelos pontos A(1,3) e B(4,1). Se P(k,k+12) é um ponto de r, determinar 3k+2

08. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A(2,1) e B(3,-2). Sabendo que o terceiro vértice esta sobre o eixo das abscissas, determine as possíveis coordenadas deste vértice.

09. (ESPP) o valor de m para que a reta mx +(m+3)y + (2m+1) = 0 passe pelo ponto P(2,-1) é:a)-3b)3c)4d)-4e)-1

10. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem com os eixos uma região de área:a) 6b) 5/2c) 4d) 3e) 7/2

11. ( MACK ) – A equação geral da reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A (1,2) e B (5,4) e

passa pelo baricentro do triângulo de vértices C (2,4) , D (4,0) e E (9,-1) é :a) x – y – 2 = 0b) x – y – 6 = 0c) x – y – 3 = 0d) x + y – 6 = 0e) x + y – 4 = 0

12. ( MACK - 2000 ) – Uma reta t passa pelos pontos ( 1,4 ) e ( 6,0 ). A equação da reta s, simétrica de t em relação à reta x – 6 = 0 é :a) 5x – 4y – 30 = 0b) 4x – 5y – 24 = 0c) 4x – y – 24 = 0d) 5x – y – 30 = 0e) 6x – y – 36 = 0

13. (PUC) Um quadrado tem dois de seus vértices consecutivos nos pontos A ( -1,2 ) e B ( 4,2 ). Qual das retas abaixo pode conter um dos lados desse quadrado ?a) y + x = 2b) y = 5c) y = -3d) x = 2e) x = 0

14. Determinar o coeficiente angular das retas abaixo:

15. A reta de equação 3y + 2x + 5 = 0 tem coeficiente angular igual a:

16. (UNIVEST) Os coeficientes linear de uma reta determinada pelos pontos A(3,-1) e B(2,1) é:

17. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos Ox e Oy. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação dessa reta.

18. Determinar a posição relativa entre as retas, nos seguintes casos:

a) r: 6x – 8y + 2 = 0 e s: 3x – 4y + 1 = 0b) r: 8x – 6y + 3 = 0 e s: 4x – 3y + 1 = 0c) 2x + y – 7 = 0 e 3x – 6y + 5 = 0d) 3x – 5y + 7 = 0 e 2x + y – 5 = 0

19. (FGV) Dados os pontos A(-3,2) e B(7,-13), determinar o coeficiente angular da mediatriz do segmento AB.

20. (USF) Sendo r uma reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(3,4) e s: mx + ny + 1 = 0, perpendicular a r, pode-se afirmar que:a) m = -nb) m = nc) m + n = 1d) m + n = -1e) m = 2n

21. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto (0,5). Uma equação da reta r é:a) 2y + x = 10b) y = x + 2c) 2y – x = 6d) 2x + y = 8e) y = 2x

22. (FGV) Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada pelo ponto P(1,3). Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x + 2y = 20. Qual a menor distância da cidade ao avião?

23. (FATEC) Dados os pontos A(2,-3) e B(4,7) , determinar a equação da reta mediatriz do segmento AB.

Circunferência

01. (PUC) Uma circunferência de centro C(-2,5) limita um círculo cuja área é 3. Determine a equação da circunferência.

02. (PUC) A reta y = 2x – 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são extremos de um diâmetro da circunferência . Determine a equação reduzida e geral de .

03. (ESPM) Na figura abaixo, tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos, a circunferência de centro C. Determine a equação geral.

04. (ESPM) Uma circunferência, localizada no primeiro quadrante, tangencia os dois eixos coordenados e seu centro pertence à equação da reta 4x + 3y – 14 = 0. Sua equação é:a) x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0b) x2 + y2 – 4x – 4y + 8 = 0c) x2 + y2 – 4x – 4y = 0d) x2 + y2 – 2x – 2y + 4 = 0e) x2 + y2 – 2x – 2y + 8 = 0

05. (UNESP) Considere a circunferência de equação (x-3)2 + y2 = 5.a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y = 2 e x > 3.b) Se r é a reta que passa pelo centro (3,0) de e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r.

06. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é:a) 2

b) 3c) 4d) 5e) 6

07. (USF) Os pontos A (2,3) e C (4,5) são as extremidades da diagonal de um quadrado. Determine a equação da circunferência inscrita nesse quadrado.

Exercícios Tarefa

01. (CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4, -5) e N(-1,7) do plano x0y vale:

a) 14 b) 12 c) 8 d) 13 e) 9

02. (MACK) Determinar o ponto P, distante 10 unidades do ponto A (-3, 6), com abscissa igual a 3.

03. (UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é eqüidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), a abscissa de P vale:

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3

04. (FURRN) A ordenada do ponto P, do eixo Oy, eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:a) 9/12 b) 11/2 c) 4 d) 3 e) 0

05. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:a) (-b, –b) b) (2b, -b) c) (4b, -2b) d) (3b,

-2b)e) (2b, -2b)

06. (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:a) 3 b) 2 c) 0 d) –3 e) –2

07. (VUNESP-SP) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, -1) e (-3, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?

08. (FUVEST) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:a) –2 b) 0 c) 2 d) 1 e) 1/2

09. (UECE) Se (2, 5) é o ponto médio do segmento de extremos (5, y) e (x, 7), então o valor de x + y é igual a:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. (FEI) Dado o triângulo de vértices A (0, 0), B (1, 1) e C (5, -1), determinar as coordenadas do baricentro do triângulo ABC.

11. (F.C.C.) Os pontos A (-3, -2), B (, 2) e C (9, 4) são:a) colinearesb) vértices de um triângulo equiláteroc) vértices de um triângulo isóscelesd) vértices de um triângulo retânguloe) vértices de um triângulo escaleno

12. (PUC-SP) Os ponto A(k; 0), B(1; -2) e C(3; 2) são vértices de um triângulo. Então, necessariamente:a) k = -1 b) k = -2 c) k = 2 d) k

- 2e) k 2

13. (FEI-SP) Os vértices de um triângulo são A (5,-3), B (x,2) e C(-1,3) e sua área mede 5. O valor de x pode ser:a) 1 b) 0 c) 2 d) –5/3 e) 4

14. (MACK) Os pontos A(6; 0), B(0; 6) e C(0; 0) são vértices de um triângulo ABC, M é o ponto médio do lado BC e G é o baricentro do triângulo ABC. A área do triângulo GMB vale:f) 6 b) 3 c) 3/2 d) 18 e) 915. (CESGRNRIO) A área do triângulo cujos vértices são os pontos (1,2), (3,5) e (4,-1) vale:a) 4,5b) 6c) 7,5d) 9e) 15

16. (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:a) (1, 3/2)b) (3/2, 1)c) (3/2, 3/2)d) (1, 5/3)e) (0, 3/2)

17. (UNESP) A figura mostra o gráfico de uma função que é representada por:a) y = x2 - 9b)y = - x - 4c)y = - 4x + 3d)y = 2x – 6e)y = x – 3

18. (UN.CAT.RS) Uma equação da reta que intercepta o eixo das ordenadas em P (0, -3) e tem uma inclinação de 60º é:a) x + y + 3 = 0b) x + y + 3 = 0c) 2y + 3x + 4 = 0d) y = 1e) y + 3x – 4 = 0

19. (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente angular igual a –4/5 e que passa pelo ponto P (2, -5)

20. (FUVEST) As retas de equações x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0:a) são reversasb) concorrem na origemc) não têm ponto em comumd) formam um ângulo de 90ºe) têm um único ponto em comum

21. (FGV) Dados os pontos A(-3,2) e B(7,-13), determinar o coeficiente angular da mediatriz do segmento AB.

22. (USF) Sendo r uma reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(3,4) e s: mx + ny + 1 = 0, perpendicular a r, pode-se afirmar que:a) m = -nb) m = nc) m + n = 1d) m + n = -1e) m = 2n

23. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto (0,5). Uma equação da reta r é:a) 2y + x = 10b) y = x + 2c) 2y – x = 6d) 2x + y = 8e) y = 2x

24. (URRN) Seja M o ponto de intersecção das retas de equação x – y – 6 = 0 e 3x + y – 2 = 0. A equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M é:

a) x – 2y = 10 b) y = 2 c) x = 2 d) x = -4 e) y = -4

25. (VUNESP) Seja A a intersecção das retas r , de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x – 2. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é:a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

26. (MACK-SP) A distância da reta determinada pelos pontos A (1, 4) e B (5, 2) à origem é:a) 9b) 5c) 9/5d) 81/5e) 95/5

27. (FUVEST) Os pontos (a, 1) e (2, b) estão sobre a reta x + 2y = 0. A distância entre eles é:a) 25b) 6c) 10d) 2e) 45

28. (FGV) A área da figura hachurada no diagrama abaixo vale:a) 4b) 3,5c) 3d) 5e) 4,5

29. (UNI.ITAÚNA) Observe a figura:

Nessa figura, AD: 2x – y + 2 =0 e ABCD é um losango. Então o valor da diagonal BD é, em cm:a) 8b) 6c) 4d) 2e) 10

30. (FUVEST) Dada a reta y =(-1/m) . x + b, a equação da reta perpendicular a esta, passando pela origem, é:a) y = mxb) y = bxc) x = myd) y = (-1/m) . xe) y = -mx

31. (UNESP-2003) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura

a) calcule a distância entre A e B.b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) = (2/3, 1), calcule as coordenadas (xc, yc) do vértice C do triângulo.

32. (UNIFESP-2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência.

Nestas condições, determine:

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.

33. (UNICAMP-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

34. (FUVEST-2004) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:a) 5 - 1b) 5 - 22c) 5 - 2d) 2 + 5e) 5 + 22

35. (FUVEST-2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

36. (UECE) Em relação à circunferência que passa pela origem e cujo centro é o ponto ( 2, 2 ), podemos afirmara) está totalmente contida no primeiro quadrante.b) tem área igual a 2 unidades de área.c) Passa pelo ponto (2, 0)d) tem raio igual a 2 unidades de comprimento.e) Tem equação x2 + y2 = 2.

37. (F.ED.SERRA DOS ÓRGÃOS) A equação da circunferência cujo centro é o ponto (1, 2) e que contém o ponto (2, 1) é:a) x2 + y2 – x –2y –2 = 0b) x2 + y2 – x –2y –1 = 0c) x2 + y2 – 2x –4y +3 = 0d) x2 + y2 + x +2y –9 = 0e) x2 + y2 +2x +4y –13 = 0

38. (UBERABA) A distãncia da origem ao centro da circunferência (x – 1)2 + ( y + 2)2 = 5 é igual a:a) 2b) 1c) 3d) 2e) 5

39. (FUVEST) O raio da circunferência x2 + y2 –4x + 6y – 3 = 0 é igual a:

a) 2b) 2c) 3d) 4e) 16

40. (TABAJARA-SP) A circunferência representada a seguir é tangente ao eixo das ordenadas na origem do sistema de eixos cartesianos. A equação de éa) x2 + y2 + 4x + 4 = 0b) x2 + y2 + 4y + 4 = 0c) x2 + y2 + 4x = 0d) x2 + y2 + 4y = 0e) x2 + y2 + 4 = 0

41. (U.N.PARANÀ) As coordenadas do centro da circunferência 4x2 + 4y2 – 4x – 12y + 2 =0 são:a) (2, 6)b) (2, 3/2)c) (1/2, 3)d) (1/2, 3/2)e) (0, 0)

42. (UN.PELOTAS) A área do círculo cuja circunferência é dada pela equação x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 é:a) 15 b) 20 c) 17 d) 36 e) 25

43. (FEI) A equação x2 + y2 – 6x – 6y + 14 =0 representa uma circunferência de centro e raio iguais a, respectivamente:a) (3, 3) e 18b) (3, 3) e 4c) (3, 3) e 14d) (3, 3) e 2e) (3, 3) e 22

44. (FGV) O comprimento da corda determinada numa circunferência de centro C (2, 0) e raio 8 pela reta y = 2 é:a) 4b) 0c) 28d) 2e) 8

45. (PUC-MG) A circunferência de centro C (3, 5), tangente ao eixo dos x, intercepta o eixo dos y nos pontos de coordenadas:a) (0, -1) e (0, 5)b) (0, 3) e (0, 4)c) (0, 3) e (0, 10)d) (0, 0) e (0, 5)e) (0, 1) e (0, 9)

46. (FUVEST-SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x2+y2-2x-4y=20. Então a equação de s é:

a) x- 2y = - 6 b) x + 2y = 6c) x + y = 3d) y - x = 3e) 2x + y = 6

47. (FATEC-SP) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y -4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:a) y = 2x + 1b) y = 2x -1c) y = x/2d) y = 2xe) y = x

48. (FUVEST-SP) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2+y2 =10y. Se A é o ponto (3,1), então B é o pontoa) (-3, 9)b) (3, 9)c) (0, 10)d) (-3, 1)e) (1, 3)

49. (PUC-SP) São dadas a reta r de equação 2x – y = 0 e a circunferência de centro no ponto (2;0) e raio 2. Se A e B são os pontos de intersecção de r e , então a distância entre A e B é:a) 5/5b) 25/5c) 45/5d) 65/5e) 85/5

50. (FATEC-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C estão representados em um sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O.

É verdade que a equação daa) circunferência de centro em B e raio 1 éx2 + y2 - 8x - 6y + 24 = 0.b) circunferência de centro em B e raio 1 éx2 + y2 - 6x - 4y + 15 = 0.c) reta horizontal que passa por A é y = 2.d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º quadrante é x - y - 2 = 0.e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º quadrante é x + y - 2 = 0.

GABARITO

01. D 02. (3, -2) e (3, 14) 03. A 04. C 05.C 06. D 07. 2, 3 08. E 09. B 10. G (2, 0) 11.A 12. E 13. D 14. B 15. C 16. D 17. E 18. C19. 4x + 5y + 17 = 0 20. C 21. 2/3 22. B 23. E24. E 25. A 26. E 27. A 28. E 29. C 30. A31. a) AB = 32 b) C (3; 4)32. a) B(-1; 2), C(-5; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e F(5; 0) S = 4[(5) + 1] u.a.b) cos (AOB) = 0,6 33. a) D = (3/2, 2/3)b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente, (5/2, 5/12) e (11/4, 11/24). A equação da reta que passa por esses pontos é y = (1/6)x. Como o coeficiente linear desta reta é zero, ela passa pela origem.34. B 35. B 36. D 37. C 38. E 39. D 40.C 41. D 42. E 43. D 44. A 45. E 46. B 47.D48. A 49. C 50. D

TRIGONOMETRIA

01. (TABAJARA-SP) Para 0º < x < 90º , o valor da expressão :

Y = sec6 x . sen5 x . cos4 x . cossec3x . cotg2x . tgx

a) sen xb) cos xc) tg xd) cotg xe) 1

02. ( MACK ) Se 0º < x < 90º e cos x = 0,5 então o valor da

expressão

a) 1b) 3c) 0,5d) 3/2e) 23/3

03. (PUC)

a) tg xb) sen xc) –2d) 2e) 1

04. Na figura abaixo, a circunferência tem raio 6 cm e a medida do ângulo central AOB é igual a 3 radianos. O comprimento do arco AB é :

a) 18 cmb) 2 cmc) 0,5 cmd) 36 cme) 9 cm

05. (ITA) Transformar 12º em radianos.

06. ( FUVEST ) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então o valor de :a) /3b) 2c) 1d) 2/3e) /2

07. Resolva as seguintes equações no intervalo [0, 2]

a) sen x + 1 = 0b) 2sen x -3 = 0c) 2cosx + 1 = 0d) tg x – 1 = 0

08. Resolva as equações abaixo:

a) senx = -1b) cosx = 1c) tg x = 1

09. ( FMU ) Calcular o valor de sen(105º)

10. ( FUVEST ) Calcular tg 15º

11. ( IBERO – AMERICANA ) A expressão sen ( + x ) + cos ( /2 – x ) é para todo x R equivalente a :a) 2 senxb) –2 senxc) senx + cosxd) senx – cosxe) zero

12. ( PUC ) Simplifique a expressão :

sen ( x+y ) cosy – cos ( x+y ) seny

13 . ( MACK ) Se sen2 x = ¼ e cos2 x = ¾ , então cos (2x ) vale :a) –1/2b) ½c) ¾d) 1e) 2

13. ( FATEC ) Determine t, sabendo que t [ 0, 1 ] e (sent + cost)2 – sen(2t) = tg t.

01. (CESGRANRIO-RJ) Uma rampa plana de 36 m de comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:a) 63 mb) 12 mc) 13,6 md) 93 me) 18 m

02. (UNI...) O valor de a no triângulo ABC é:a) 32b) 36c) 30d) 33e) 34

03. (FUVEST-SP) Calcule x indicado na figura:

04. (UFC) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno do ângulo BÂC é:a) 12/13b) 11/13c) 10/13d) 6/13e) 1/13

05. (UNI...) Para 0º < x < 90º , o valor da expressão :y = sec6 x . sen5 x . cos4 x . cossec3x. cotg2x . tgx a) sen xb) cos xc) tg xd) cotg xe) 1

06. (PUC) A expressão

é idêntica a:

a) cotg3 xb) sec2 xc) sen2 x + cos xd) tg2 x + sec xe) cossec3 x

07. (ITA) Transformar 12º em radianos.

08. (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual aa) (/4) - 17b) (64/15) c) (64/45) d) (16/25) e) (32/45)

09. (FUVEST) Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad.

10. (IBERO-AMERICANA) A medida de um ângulo é 225º. Em radianos, a medida do mesmo ângulo é:a) 3/2b) 4/3c) 5/4d) 5e) 5/3

11. (UFRN) Se um ângulo mede 40º, então sua medida em radianos vale:a) /3b) /4c) 2/9d) 3/7e) 5/6

12. (UNESP-2004) A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências.Se é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen é:a) 1/6. b) 5/11. c) 1/2. d) 8/23. e) 3/8.

13. (PUC-2004) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:

a) 3/2b) 2c) 2 d) (2+1)/2e) 0

14. (UNIP) A equação 4sen2x = 1 , para 0º x 360º, tem conjunto verdade igual a :a) { 30º }b) { 60º }c) { 30º , 210º }d) { 30º , 150º }e) { 30º , 150º , 210º , 330º }

15. ( FEI ) Sabendo que cosx > cosy , x e y são valores entre 0 e 90º, podemos afirmar que :a) x > yb) senx.cosx < 0c) senx > senyd) senx < senye) cos x = 3/2 e cos y = ½

GABARITO01.D 02. B 03. (503)m04. A 05. C 06. A07. (π/15) rad 08. E 09. 6º10. C 11. C 12. B 13. A14. D 15. D

01. ( UNIP ) Se 90º < x < 180º e (senx + 2)(2senx-1)=0 , então o valor de cosx é :a) ½b) 3/2c) –0,5d) -3/2e) -2/2

02. ( FUVEST ) Se tgx = e < x < 3/2 , o valor de cos x

– sen x é :a) 7/5b) –1/5c) –2/5d) 1/5e) –1/3

03. ( USF ) Se /2 < x < e sen x = , o valor de sec x

é :a) –5b) 5c) 1/5d) –1/5e) 5

04. ( U. UBERABA ) Se cos x = 13/4 e 3/2 < x < 2 , o valor de cotg x é :a) –13/3b) 13-3c) -3/13d) 13/3e) -39/3

05. (FUVEST) No quadrilátero ABCD onde os ângulos A e C são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen B é:a) 5/5b) 25/5c) 4/5d) 2/5c) 1/2

06. ( FUVEST ) Calcular tg 15º

07. ( IBERO – AMERICANA ) A expressão sen ( + x ) + cos ( /2 – x ) é para todo x R equivalente a :a) 2 senxb) –2 senxc) senx + cosxd) senx – cosxe) zero

08. ( PUC ) Simplificando a expressão :sen ( x+y ) cosy – cos ( x+y ) seny , obtemos :

a) cos xb) sen xc) cos yd) sen ye) n.d.a.

09. ( MACK ) Se sen2 x = e cos2 x = então

cos (2x ) vale :f) –1/2g) ½h) ¾i) 1j) 2

10. (UFMA ) Seja x [ 0 , /2 ] tal que cos4 x – sen4 x = 0,28 . Então cos x é igual a :a) 0,6b) 0,8c) 0,2d) 0,28e) 0,64

11. (UFRJ) Os símbolos a seguir foram encontrados em uma caverna em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.

Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado acima. Se a + b = /6, pode-se afirmar que a soma das áreas das figuras é igual aa) .b) 3.c) 2.d) 1.e) /2.

12. ( FATEC ) Determine t, sabendo que t [ 0, 1 ] e (sent + cost)2 – sen(2t) = tg t.

13. (FATEC-SP) Se sen 2x=1/2, então tg x + cotg x é igual a:a) 8b) 6c) 4d) 2e) 1

14. ( FUVEST ) o valor de ( tg10º + cotg10º). sen20º é a) ½b) 1c) 2d) 5/2e) 4

15. (FEI) Se cosx = 0,8 e 0 < x < /2 então o valor de sen2x é:a) 0,6b) 0,8c) 0,96d) 0,36e) 0,49

16. (VUNESP-SP) Determine todos os valores de x, 0 x 2 , para os quais se verifica a igualdade:

(sen x + cos x)2 = 1

17. (FATEC-SP) Se x – y = 60º, então o valor de (senx + seny)2 + (cosx – cosy)2 é igual a:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

18. (UFV) Sabendo-se que sen 30° = 1/2, o valor de sen15° é:a) (3 - 2)]/2b) 1/4c) 1d) [ (2 - 3)]/2e) 1/2

19. (UNEP-2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen() = 3/5, calcule a distância x.b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou exatamente para 2, calcule a nova distância x' a que o barco se encontrará da base do farol.

20 . (FUVEST-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?a) sen 210° < cos 210° < tg 210°b) cos 210° < sen 210° < tg 210°c) tg 210° < sen 210° < cos 210°d) tg 210° < cos 210° < sen 210°e) sen 210° < tg 210° < cos 210°GABARITO

01. D02. B03. D04. E05. C06. 2 - 307. E08. B09. B10. C11. D12. /413. C14. C15. C16. 0, /2, , 3/217. D18. D19. a) 48 m e b) 10,5 m20. B

NÚMEROS COMPLEXOS

01. Efetuar as operações indicadas :a) ( 2+3i ) + ( 3 + 4i ) =b) ( 5 + 8i ) – ( 2 + 3i ) =c) ( 2 + 3i ) ( 3 + 4i ) =d) ( 3 + 4i ) ( 3 – 4i ) = e) ( 1 + i )2 =

02. ( PUC ) O número complexo z = ( m+6i ) (3 + i ) é imaginário puro. Então o valor de m é :

b) 1c) 2d) 3e) 18

03. ( UNICEB ) Dado o número z = 2 + i , calcule o valor de z4.a) –7 + 24ib) 7 + 24ic) 16 + id) 16 – ie) 81

04. ( FUVEST ) Sendo um número real e que a parte

imaginária do número complexo é nula, então é :

a) –4b) –2c) 1d) 2e) 405. Dado o número complexo z = , determinar seu módulo, argumento principal, forma trigonométrica e sua representação no plano complexo.

06. ( UDESCO ) O módulo do número complexo é :

07. ( UNIRIO 2000 ) Considere um número complexo z, tal que seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é 16. Sabendo que o afixo de z pertence ao 4º quadrante, pode-se afirmar que z é igual a :a) 6 + 8ib) 8 + 6ic) 100d) 8 – 6ie) 6 –8i

08. MACK ) Se o complexo z é tal que 2z - +6i = 3 , então | Z | é :

Exercícios Tarefa

01. (FATEC- 95) O conjugado do número complexo z=(1- i -

1)-1 é igual aa) 1 + ib) 1 - ic) (1/2) (1 - i)d) (1/2) (1 + i)e) i

02. (FEI- 94) Escrevendo o número complexo z = 1/(1-i)+1/(1+i) na forma algébrica obtemos:a) 1 - ib) i - 1c) 1 + id) ie) 103. (FEI 95) O módulo do número complexo (1 + i)-3 é:a) 2b) 1c) -3d) (2)/4e) 0

04. (FEI -96) O resultado da expressão complexa [1/(2+i)]+3/(1-2i)] é:a) 1 - ib) 1 + ic) 2 + id) 2 - ie) 3 + 3i

05. (FEI- 97) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e (a/b) + (b/c) = 0 então o número complexo c é:a) 2ib) 1 - 2ic) 2 - id) 1 + 2ie) 3i

06. (MACK- 97) [(1 + i)/(1 - i)]102, é igual a:a) ib) -ic) 1d) 1 + ie) -1

07. (PUC-SP 98) Um número complexo z e seu conjugado são tais que z somado ao seu conjugado é igual a 4 e z menos o seu conjugado é igual a -4i. Nessas condições, a forma trigonométrica de z2 éa) 8.(cos 3/2 + isen 3/2)b) 8.(cos //2 + isen /2)c) 8.(cos 7/4 + isen 7/4)d) 4.(cos/2 + isen /2)e) 4.(cos /2 + isen /2)

08. (VUNESP - 99) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z4 + z3 + z2 +z + (1/z) éa) -1b) 0c) 1d) ie) - i

09. (UEL- 98) O argumento principal do número complexo z=-1+i3 éa) 11/6b) 5/3c) 7/6d) 5/6e) 2/3

10. (PUC-SP 96) Seja o número complexo z = 4i/(1+i). A forma trigonométrica de z éa) 22 (cos /4 + i . sen /4)b) 22 (cos 7/4 + i . sen 7/4)c) 4 (cos /4 + i . sen /4)d) 2 (cos 3/4 + i . sen 3/4)e) 2 (cos 7/4 + i . sen 7/4)

11. (FATEC- 99) Seja i2 = -1 e os números complexos z1 = cos+i.sen e z2 = - sen+i.cos.É verdade que a) o módulo de z1 + z2 é igual a 2.b) o módulo de z1 – z2 é igual a 1.c) z1 = i . z2

d) z2 = i . z1

e) z1 . z2 é um número real.

12. (Ufrrj 99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de |a/b| éa) 3.b) 2.c) 5.d) 2 2.e) 1 + 2.

13. (Uelondrina 99) O produto dos números complexos cos(/6)+i.sen(/6) e cos(/3)+i.sen(/3) é igual aa) (3) - ib) (2) + ic) (2) - id) 1e) i

14. (Ufscar 2001) Sejam x, y IR e z = x + yi um número complexo.

a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i).b) Determine x e y, para que se tenha (x+yi).(1+i)=2.

15. (FATEC-SP) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.É verdade que a) o argumento principal de z é 5/6.b) a parte imaginária de z é i.c) o conjugado de z é 3 + i.d) a parte real de z é 1.e) o módulo de z é 4.

16. (UNITAU) O módulo de z = 1/i36 é:a) 3.b) 1.c) 2.d) 1/36.e) 36.

17. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, no qualx, y IR. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, então a) x = yb) x - y = 2c) x . y = 1d) x + y = 0e) y = 2x

18. (PUC-MG) Sendo , o valor de (1 + i)/(1 - i) - 2i/ (1 + i) é:a) -2b) 1 - 3ic) 1 + 3id) -1e) 3i

19. (PUC-2004) Dados os números complexos z = a + bi e seu conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número:a) natural.b) inteiro.c) racional.d) real.e) imaginário puro.

20. (FATEC) Na figura adiante, os pontos A, B e C são as imagens dos números complexos z1, z2 e z3, no plano de Argand-Gauss.

Se |z1| = |z2| = |z3| = 3 e = 60°, então z1 + z2 + z3 é igual aa) (3 - 3)ib) 3 - 3ic) (3 + 3)id) 3 + 3ie) 3i - 3

GABARITO01.D 02. E 03.D 04. B 05. D 06. E 07. A08. E 09. E 10. A 11. D 12. B 13. E14. a) (x - y) + (x + y)i b) x = 1 e y = -1 15. A e B16. B 17. D 18. D 19.D 20. A

POLINÔMIOS

01. ( MACK 2000 ) A função f é polinomial e seu gráfico passa pelos pontos ( -2,-1 ) , ( 0,-3 ) , ( 1,-2 ) , ( 2,0 ) e ( 3,1 ). O termo independente de x do polinômio que define f é :a) –1b) –2c) –3d) 0e) 1

02. ( FEI ) Se um polinômio de grau 3 P ( x ) = x3 + x2 + mx + n , é tal que P(-1) = 0 e P ( 1 ) = 0. Então é válido afirmar que :a) p(2) = 0b) p(2) = 10c) p(2) = 9d) p(2) = 8e) p(2) = 1

03. ( MACK ) Se f(x) , P(x) e h(x) são polinômios de graus, respectivamente, 5 , 7 e 9 , então o grau de f(x) . [ p(x) – h(x) ] é :a) 25b) 21c) 16d) 14e) 12

04. ( UNESP 2000 ) Ao dividirmos um polinômio p(x) por ( x-c ) obtemos quociente q(x) = 3x2 – 2x2 + x – 1 e resto p(c) = 3. Sabendo que p(1) = 2 , determine :a) o valor de cb) o polinômio p(x)

05. Dividir A ( x ) = 6x4 + 9x3 – 15 x + 9 por B(x) = x2 – x – 2 utilizando o método da chave.

06. Se p(x) = 2x4 – x3 – 2x2 + mx + n é divisível por x2 + x + 1 , então m + n é igual a :a) 5b) 3c) –1d) –3

e) –5

Nas questões 07 e 08, calcular o quociente e o resto das divisões utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

07) 2x4 – 11x3 + 26x + 3 por x-5

08) x5 + 5x4 – 10x2 + 15 por x+2

10. ( FEI 2000 ) O polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 8x + m é divisível por x-1. O valor de m é :a) 4b) 2c) 14d) –2e) –4

11. ( UEAL ) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 – 1, obtém-se quociente x – 1 e resto x + 1. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x – 2 é :a. 2b. –1c. xd. 6e. 5

12. (PUC) Sobre o número complexo 1 – i é raiz da equação 2x3 – 3x2 + kx + t = 0, na qual k e t são constantes reais. O produto das raízes desta equação é:a) –1b) –1/2c) 1/2d) 1e) 2

13. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0 , em que m e n são números reais, admite 1 + i como raiz. Então m e n valem:a) 2 e 2b) 2 e 0c) 0 e 2d) 2 e –2e) –2 e 0

01. (MACK-98) Se k e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação 4x4-2x3+x2-x+1=0, então k+p vale:a) -4b) -2/5c) +1/4d) -1/4e) 5/2

02. (FATEC- 97) Se -1 é raiz do polinômio p(x)= x3- 4x2+ x - k, k IR, então as outras duas raízes são: a) reais e de multiplicidade 2.b) racionais e negativas.c) não reais.d) irracionais.e) inteiras.

03. (MACK- 96) Se P (x - 1) = x3 - 2x + 3, então o resto da divisão de P (x) por x - 3 é:a) 3.b) 5.c) 7.d) 9.e) 11.04. (MACK- 96) Se a soma de duas raízes de P (x) = x3-6x2+11x+k é 3, então o número real k é igual a:a) - 6.b) - 3.c) - 2.d) 3.e) 6.05. (ITA- 95) A divisão de um polinômio P(x) por x2-x resulta no quociente 6x2+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x+1 é igual a:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

06. (VUNESP) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x6-(m+1)x5+32, determine o resto da divisão de p(x) por x-1.

07. (CESGRANRIO- 94) O resto da divisão do polinômio P(x)=(x2+1)2 pelo polinômio D(x)=(x-1)2 é igual a:a) 2b) 4c) 2x - 1d) 4x - 2e) 8x - 4

08. (UEL- 96) Se o resto da divisão do polinômio p=x4- 4x3-kx-75 por (x-5) é 10, o valor de k éa) - 5b) - 4c) 5d) 6e) 8

09. (FATEC- 97) Se o polinômio p(x)=2x3-5x2-28x+15 pode ser fatorado na forma (2x-1).(x+3).(x-k), então o valor de k éa) 5b) -5c) 10d) 15e) -15

10. (PUC-MG 97) O polinômio P(x) = x3 - 5x2 + px + 2 é divisível por x + 2. O valor de p é:a) -15b) -13c) -8d) 8e) 13

11. (UEL- 99) O polinômio f=x3-2x2+kx-3 é divisível por g=x2-x+3 se, e somente se, o número real k é igual aa) 4b) 3c) 1d) -3e) -4

12. (PUC-SP 2000) Sabe-se que o polinômio f = x4 + x3+8x2+16x+16 admite a raiz -2 com multiplicidade 2. As demais raízes desse polinômio são númerosa) inteiros e opostos.b) racionais não inteiros.c) irracionais e positivos.d) irracionais e opostos.e) não reais.

13. (PUC-MG 2001) O polinômio P(x) = x4 - kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível por x-1. Então, o valor de k é:a) -11b) -1/3c) 1/5d) 9

14. (FATEC-SP) Se -1 é raiz do polinômio p(x)= x3- 4x2+ x - k, k IR, então as outras duas raízes são:a) reais e de multiplicidade 2.b) racionais e negativas.c) não reais.d) irracionais.e) inteiras.

15. (MACK) Se a soma de duas raízes de P (x) = x3-6x2+11x+k é 3, então o número real k é igual a:a) - 6.b) - 3.c) - 2.d) 3.e) 6.16. (UNIAERP) Se P(x) = 3x3 - 5x2 + 6x + a é divisível por x - 2, então os valores de a e de P(2), são respectivamente:a) - 16 e - 2b) - 16 e 2c) 16 e - 2d) 16 e 2e) - 16 e zero

17. (UNITAU) O valor de b para o qual o polinômio P(x)=15x16+bx15+1 é divisível por x-1 é:a) -16.b) 16.c) 15.d) 32.e) 64.

18. (FUVEST) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3. Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto r = 10. O resto da divisão de q(x) por x-3 é:a) - 5b) - 3c) 0d) 3e) 5

19. (FUVEST) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2-3x+1, obtém-se quociente 3x2+1 e resto -x+2. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x-1 é:a) 2b) 1c) 0d) -1e) –2

20. (PUC-RS) A divisão do polinômio p(x) = x5 - 2x4 - x + m por q(x) = x - 1 é exata. O valor de m éa) -2b) -1c) 0d) 1e) 221. (ITA) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x - 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x - 2), tem-se que o valor de (ab)/c é igual a:a) - 6 b) - 4 c) 4 d) 7 e) 9

22. (UNIFESP) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x)=x3+3x2+5 como quociente e r(x)=x2+x+7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x éa) 10.b) 12.c) 17.d) 25.e) 70.

23. (FATEC) O polinômio f(x) dividido por ax + b , com a · 0, tem quociente q(x) e resto r.É verdade que o resto da divisão de x . f(x) por x+(b/a) é:a) r2

b) a/b . rc) b/a . rd) - b/a . re) - a/b . r

24. (UNIFESP) Os números complexos 1 + i e 1 - 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8.O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:a) 2.b) 3.c) 4.d) 5.e) 6.

25. (FUVEST) O gráfico pode representar a função f(x) = a) x (x - 1)b) x2 (x2 - 1)c) x3 (x - 1)d) x (x2 - 1)e) x2 (x - 1)

RESPOSTAS:01. D 02. E 03. E 04. A 05. E 06. 30 07. E08. E 09. A 10. B 11. A 12. E 13. A 14. E15. A 16. E 17. A 18.A 19. B 20. E 21. E22. C 23. D 24. C 25. D

GEOMETRIA ESPACIAL

CILINDRO

01. (FUVEST-SP) A base de um cilindro de revolução é equivalenteà seção meridiana. Se o raio da base é unitário, então a altura do cilindro é:a) b) 1/2c) d) /2e) /2

02. (UFPE) Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 40cm de raio e 30cm de altura. Retira-se do mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do cilindro e formando um ângulo de 60°. Se V é o volume, em cm3, do que restou do queijo (veja a figura a seguir), determine V/103.

03. (FATEC) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base 3m. O nível da água nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se =3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:a) 113 040b) 169 560c) 56 520d) 37 680e) 56 520

04. (MACK) 20% do volume de um cilindro de raio 2 é 24. A altura do cilindro é:a) 30b) 15c) 20d) 6e) 1205. (FATEC-2005) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm2. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual aa) 9/2b) 4 c) 23 d) 13/4e) 10

PRISMAS

01. (FUVEST) A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 cm3, então a sua altura mede, em centímetros: a) 53b) 43c) 33d) 23e) 3

02. (VUNESP) Uma piscina retangular de 10,0m x 15,0m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é:a) 45b) 50c) 55d) 60e) 75

03. (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, éa) 0,83b) 6c) 60d) 603e) 9003

04. (VUNESP) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura dea) 2 m.b) 3 m.c) 7 m.

d) 8 m.e) 9 m.

06. (PUC-2004) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).

Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume éa) 24 b) 32d) 36 d) 48 e) 96

PIRÂMIDES

01. (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 22cm e uma aresta lateral mede 22cm. O volume dessa pirâmide, em cm2, é:a) 72b) 82c) 92d) 102

02. (PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 23cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, éa) 243b) 363c) 483d) 723e) 1443

03. (FUVEST-SP) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a 2?a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3

04. (FUVEST – 2005) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e a medida do ângulo AGB, então cos valea) 1/2b) 1/3c) 1/4d) 1/5e) 1/6

01. (FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, éa) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8 02. (UEL) Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

03. (PUCMG) Um cone reto de raio r = 4 cm tem volume equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base quadrada de lado L=. A altura do cone, em cm, é:a) 1,25b) 2,00c) 2,25d) 3,00e) 3,25

04. (FUVEST-SP) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e coloca coma base apoiada sobre uma mesa. Qual é a distância do bico do chapéu à mesa?a) 103 cmb) 310 cmc) 202 cmd) 20 cme) 10 cm

ESFERA

01. (UNICAMP) O volume V de uma bola de raio r é dado pela fórmula V=4R3/3.a) Calcule o volume de uma bola de raio r=3/4cm. Para facilitar os cálculos você deve substituir pelo número 22/7.b) Se uma bola de raio r=3/4cm é feita com um material cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é de 5,6g/cm3, qual será a sua massa?

02. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência é:a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

01. (FAAP) Em um prisma triangular regular, a altura mede m e a área lateral é o quádruplo da área da base.

Calcule o volume do prisma.

02. (PUC) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura abaixo, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:

O volume desse tanque, em metros cúbicos, é :a)50b)60c)80d)100e)120

03. (MACKENZIE) A base de um prisma reto é um triangulo que possui um ângulo de 60º formado por dois lados de medidas 5cm e 10cm. Se a altura desse prisma é o dobro da altura relativa ao maior lado da base, então seu volume em cm3:a)750b)187,5c)500d)250e)750

04. (FMU) Determine o volume de um prisma hexagonal regular, cuja altura é 10 cm e cujo lado da base mede 2 cm.

05. (UNIFENAS) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% cada uma, então seu volume fica aumentado em:a)42,6%b)142,6%c)72,8%d)172,8%e)92%

06. (FEI-2002) Os pontos médios das arestas AB, BC, EF e FG do cubo ABCDEFGH são M, N, P e Q. quanto vale a razão entre o volume do prisma BMNFPQ e o volume do cubo?a) 1/3b) 1/6c) 1/2d) 1/4e) 1/8

07. (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos á fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é :a)16b)17c)18d)19e)20

08. (PUC) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa são 51cm x 26cm x 12,5cm, conforme mostra a figura abaixo. O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é:a) 0,015b) 0,0156c) 0,15d) 0,156e) 1,5

09. (FUVEST-SP) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por

base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m . Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Então, o volume do indivíduo, em m3, é:a) 0,066b) 0,072c) 0,096d) 0,600e) 1,000

10. (VUNESP-SP) Se um tijolo, dos usados em construção, tem 4 kg, então um tijolinho de brinquedo, feito do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, terá:

a) 62,5 gb) 250 gc) 400 gd) 500 ge) 1000 g

11. (ITA-SP) Considere uma pirâmide regular cuja altura mede h. Se

a base é um quadrado, onde o lado mede 2h cm, a razão entre o volume e a área lateral desta pirâmide é dada por:a) h/3 cm

b) h/2 cmc) h/(32) cmd) 2h/3 cme) h/4 cm

12. (ITA-SP) A área lateral de um cilindro de revolução, de x metros

de altura, é igual a área de sua base. O volume deste cilindro é:a) 2x3 m3

b) 4x3 m3

c) 2x3 m3

d) 3x3 m3

e) 6x3 m3

13. (MACK-SP) Aumentando-se de 1/5 o raio da base de um cone

circular reto e reduzindo-se em 20% a sua altura, pode-se afirmar que o seu volume:a) não foi alteradob) aumentou 20%c) ficou multiplicado por 0,958d) aumentou 15,2 %e) sofreu uma variação de 3,85%14. (VUNESP-SP) Um copinho de sorvete, em forma de

cone, tem 10 cm de profundidade, 4 cm de diâmetro no topo e tem aí colocadas duas conchas semi-esféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que:a) não transbordaráb) transbordarác) os dados são insuficientesd) os dados são incompatíveise) todas as informações anteriores são falsas

15. (VUNESP-SP) Um cone reto tem raio de base R e altura H.

Secciona-se esse cone por um plano paralelo à base e distante h do vértice, obtendo-se um cone menor e um tronco de cone, ambos de mesmo volume. Então:a) h = (H34)/2b) h = H/2c) h = (H32)2d) 3h = H34e) h = (H33)/3

16. (FUVEST-SP) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é

240 cm3 . As áreas de duas de suas faces são 30 cm2 e 48 cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é:a) 96b) 118c) 236d) 240e) 472

17. (FUVEST-SP) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm

contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da esfera é:a) 1 cmb) 2 cmc) 3 cmd) 4 cm

e) 5 cm

18. (FUVEST) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o cubo é:a) 3/8b) 1/2c) 2/3d) 3/4e) 5/6

19. (VUNESP) Num tonel de forma cilíndrica está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros do seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. Admitindo-se que a base do tonel esteja num plano horizontal, então o número que expressa a capacidade desse tonel, em litros, é:a) 200b) 300c) 400d) 500e) 800

20. (FATEC-SP) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 com, e sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:a) 35b) 37c) 25d) 27e) 7

21. (UNISA) De um cilindro circular reto maciço, é cortada uma “fatia”, da seguinte maneira: pelos centros de suas bases passam-se dois planos perpendiculares às bases, formando entre si um ângulo de 60º, como mostra a figura a seguir. Se as dimensões do cilindro são 4cm de altura e 3cm de raio da base, determine o volume da “fatia”.

22. (UNIV. BARRA MANSA) Em relação à pirâmide de base quadrada, com aresta da base medindo 6cm e aresta lateral 5cm, analise as afirmativas, classificando-as em verdadeira ou falsa.

I – sua área lateral vale 48cm2

II – sua área total vale 84cm2

III – seu volume vale 10 cm3.

23. (FATEC) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm e sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. Qual a altura da pirâmide em cm?

24. (FCMMG) Observando a figura, temos uma taça cujo interior tem a forma de um cone, que contém suco até a metade da altura do cone interno. Se o volume do cone interno é igual a V, determine o volume de suco contido na taça.

25. (FUVEST) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio de base 3cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:a) 8/3 cmb) 6 cmc) 4 cmd) 43 cme) 4. 34 cm

25. (MACK) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é:a) 5/2b) 4/3c) 4d) 5e) 3

27. (UNESP) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30m3 de água e 42m3 de petróleo. Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo éa) 2.b) 7.c) (7)/3.d) 8.e) (8)/3.

28. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, éa) 1250 .b) 1250 .2

c) 6,25 .2

d) 625 .e) 625 .2

29. (PUC) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é:a) 2x3/3b) 4x3/3c) 8x3/3d) 2x2/3e) 8x2/3

30. (FUVEST) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então o volume da pirâmide é:a) (3 l3)/4b) (3 l3)/8c) (3 l3)/12d) (3 l3)/16e) (3 l3)/18

GABARITO01. 864 cm3 02. D 03. B 04. 603 cm3 05. C06. E 07. D 08. B 09. B 10. A 11. C12. B 13. D 14. A 15. A 16. C 17. C 18. D19. C 20. B 21. 6 22. VVF 23. 37 24. V/8 25. E

26. E 27. B 28. E 29. B 30.D

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