01 01 matfin20102ºtrimapostila
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ii
Sumário
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1
1.1 EMENTA 1
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1
1.3 OBJETIVOS 1
1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1
1.5 METODOLOGIA 2
1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 2
1.7 BIBLIOGRAFIA 3 1.7 1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 3
1.7 2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 3
1.7.3 FONTES DE CONSULTA NA INTERNET: 4
CURRÍCULO RESUMIDO DO PROFESSOR 6
2. TEXTOS PARA ESTUDO 7
Matemática Financeira
1
1. Programa da Disciplina
1.1 Ementa
Conceitos financeiros fundamentais. Juros simples. Juros compostos. Taxas de juros
(reais, efetivas e equivalentes). Descontos simples e compostos. Séries uniformes ante-
cipadas e postecipadas. Amortização de empréstimos. Séries perpétuas. Taxa over.
Conceitos de equivalência, fluxo de caixa e taxa de atratividade (custo de oportunidade).
Avaliação de Fluxos de Caixa pelos métodos do valor presente (valor atual) e taxa
interna de retorno. Cases (exercícios).
1.2 Carga Horária Total
24 horas-aula
1.3 Objetivos
Capacitar os participantes a utilizarem os conceitos e práticas da Matemática Financeira.
Compreender os fundamentos da Matemática Financeira para calcular o valor do
dinheiro no tempo. Utilizar as tecnologias de informação na análise das informações
financeiras para o processo decisório.
1.4 Conteúdo Programático
CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS
FUNDAMENTOS DE JUROS SIMPLES
FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO E SISTEMAS DE
AMORTIZAÇÃO (TP, SAC, AMERICANO E ALEATÓRIO)
DESCONTOS DE DUPLICATAS - FACTORING
FLUXOS DE CAIXA (PAYBACK, VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA
INTERNA DE RETORNO)
Matemática Financeira
2
1. CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS 1.1 FUNÇÃO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.2 TIPOS DE FLUXOS DE CAIXA
1.3 CONCEITO DE TAXA DE JUROS
1.4 CARACTERÍSTICAS DE FORMAS DE PAGAMENTO
2. FUNDAMENTOS DE JUROS SIMPLES 2.1 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL 2.2 TAXA DE DESCONTO E DE RENTABILIDADE
2.3 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
3. FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS 3.1 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL COM JUROS COMPOSTOS 3.2 CÁLCULO DO VALOR ATUAL,VALOR FUTURO, TAXA E PRAZO 3.3 FATOR DE ATUALIZAÇÃO E FORMAÇÃO DE TABELAS
4 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E
FLUXOS DE CAIXA 4.1 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO
4.2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (TP, SAC, AMERICANO, E ALEATÓRIO) 4.2 PLANOS DE FINANCIAMENTOS 4.3 DESCONTOS DE DUPLICATAS - FACTORING 4.4 FLUXOS DE CAIXA (CONCEITO VALOR ATUAL, VALOR FUTURO E TIR)
5. RESUMO E EQUAÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
6. ANEXOS DAS APRESENTAÇÕES
6.1 ANEXO I – TRANSPARÊNCIAS
6.2 ANEXO II – EXERCÍCIOS DE VPL E TIR
1.5 Metodologia
Aulas expositivas; leitura de artigos e apresentação de dados do Mercado Financeiro;
exercícios em aula; exercícios com calculadora financeira; debate com a turma toda; e
estudo de casos.
1.6 Critérios de Avaliação
- Trabalho e listas de exercícios (peso 3); e
- Prova individual sem consulta (peso 7)
Matemática Financeira
3
1.7 Bibliografia
1.7 1 Bibliografia Básica
FIPECAFI. Retorno de investimento. São Paulo: Atlas, 2001.
FRANKENBERG, Louis. Seu futuro financeiro. Rio de Janeiro: Campus, 1999.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 7ª Ed. São Paulo:
Harbra, 1997.
HEWLETT PACKARD. HP- 12C : Manual do Proprietário e guia para solução de
problemas. São Paulo: Hewlett-Packard do Brasil, 1981.
PUCCINI, Abelardo L. Matemática financeira - objetiva e aplicada com planilha
eletrônica. 7ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.
ZENTGRAF, Roberto. Matemática financeira objetiva. 2ª Ed. Rio de Janeiro:
Editoração, 1999.
1.7 2 Bibliografia Complementar
ANDREZO, A.F., LIMA, I.S., Mercado Financeiro: Aspectos Históricos e Conceituais.
São Paulo, Ed. Pioneira , 1999.
CARVALHO, F.C., SOUZA, F.E.P., SICSÚ, J. et al, Economia Monetária e
Financeira. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
CAVALCANTE Fº,F.S., MISUMI, J. Y., Mercado de Capitais. Belo Horizonte:
Comissão Nacional da Bolsa de Valores, 2005.
MELLAGI Fº, A., ISHIKAWA, S., Mercado Financeiro e de Capitais. São Paulo:
Atlas, 2000.
HAZZAN, Samuel & Pompeu, José N. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo:
Saraiva, 2001.
LAPPONI, Juan C. Matemática Financeira: usando Excel 4 e 5. 2ª Ed. São Paulo:
Lapponi Treinamento e Editora Ltda,1995.
LOPES, João C. & ROSSETTI, José P. Economia monetária.6ª Ed. São Paulo: Atlas,
1996.
MAYER, T., DUESENBERRY, J., ALIBER, R.Z., Moeda, Bancos e a Economia. 3ª
ed. Rio de Janeiro: Campus, 1993.
MATIAS, Washington F. & GOMES, José M. Matemática Financeira. São Paulo:
Matemática Financeira
4
Atlas,1993.
ROSS, Stephen A. Princípios de administração financeira. São Paulo: Atlas, 1998.
SAUNDERS, A., Administração de Instituições Financeiras. São Paulo: Atlas 2000.
SIMONSEN, Mário H. Macroeconomia. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 1995.
SOUZA, L. A., Sistema de Pagamentos Brasileiro: nova estrutura e seus impactos
econômicos. São Paulo: Saraiva, 2001.
VERAS, Lília L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações
ao mercado financeiro, exercícios resolvidos. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 1991.
Revista Conjuntura Econômica – Fundação Getúlio Vargas – vários números
1.7.3 Fontes de Consulta na Internet:
ENDEREÇO SERVIÇO
www.andima.com.br Associação Nacional das Instituições do Mercado Aberto
www.anbid.com.br Associação Nacional de Bancos de Investimento, disponibiliza
informações para investidores, links, noticiário e atividades
sobre o segmento e entidades do mercado.
www.abamecsp.com.br Associação brasileira dos Analistas do Mercado de Capitais
www.agorainvest.com.br Site da corretora Agora
www.bcb.gov.br Site do Banco Central do Brasil
www.bloomberg.com A americana Bloomberg reúne notícias e cotações atualizadas
do Brasil e do exterior durante o dia
www.bndes.gov.br Site do Banco Nacional de Desenvolvimento e Social -
programa de privatização; publicações; notícias; e programa
cultura.
www.bmf.com.br Site da Bolsa de mercadorias & Futuros
www.bovespa.com.br Página de Bolsas de Valores de São Paulo, com dados
detalhados sobre o mercado local de ações
www.cbot.com Chicago Board Trade
www.cme.com Chicago Mercantile Exchange-área educacional
www.cboe.com Chicago Board of Options Exchange-learning center para
aprendizado de opções
www.comoinvestir.com.br Site com informações do mercado financeiro.
www.cetip.com.br. Central de operações de títulos
www.commods.reuters.com Site da agência Reuters especializado em mercado de
commodities (produtos agrícolas e metais)
www.cvm.gov.br
Site da Comissão de Valores Mobiliários: legislação sobre o
mercado de capitais, balanços das empresas de capital aberto.
www.debentures.com.br Site do Sistema Nacional de Debêntures
www.damodaran.com Site com material de avaliação - Damodaran
www.dinheironet.com.br Site informações sobre aplicações financeiras
www.economist.com Site da The Economist – acesso gratuito da matéria de capa e
Matemática Financeira
5
alguns artigos selecionados
www.economatica.com.br Indicadores financeiros para análise fundamentalista
www.exame.com.br O site da Exame reúne notícias do mercado durante o dia além
de reportagens sobre o mundo e a vida dos executivos
www.financenter.com.br Simulação de operações no mercado financeiro.
www.fundos.com
Atende a necessidade de informações do investidor; apresenta
links com desempenho dos Fundos, Imposto de Renda e
Glossário.
www.gazetamercantil.com.br Site do Jornal Gazeta Mercantil
www.infomoney.com.br Site Financeiro
www.investishop.com.br O Desafio ensina como aplicar na bolsa e em outros
investimentos. O Investigame é um jogo para aprender os
conceitos de economia do Jornal Gazeta Mercantil
www.investor.com Site da Microsoft, com indicadores, gráficos, artigos e
corretoras americanas.
www.ipea.gov.br Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas
www.lipperweb.com A americana Lipper Analytical é uma das mais completas
fontes sobre fundos americanos e offshore
www.londonstockexchange.com Site da Bolsa de Londres
www.money.net Cotações e gráficos internacionais on-line
www.mpas.com.br Ministério da Previdência e Assistência Social – informações
sobre os fundos de previdência
www.multex.com Multex Investor - Notícias 10 mil empresas
www.nyse.com.br Site da Bolsa de Valores de Nova York – EUA
www.patagon.com.br Site com amplas informações sobre o mercado financeiro
www.projeção.com.br Site com simulação sobre investimentos financeiros
www.reuters.com No site da Reuters estão disponíveis cotações de bolsas de
valores internacionais, artigos e notícias.
www.smartmoney.com
A revista Smart Money oferece índices de ações, análise de
mercado e ainda tem um serviço para esclarecer dúvidas.
www.srrating.com.br
Site da agência de classificação de risco SR Rating,
informações de empresas brasileiras.
www.uol.com.br Cotação do dólar, inflação no Brasil, rendimento da poupança e
links para revistas especializadas em finanças.
www.yahoo.com/business/
Por meio da página de pesquisa, é possível acessar diversos
sites da área de finanças.
Matemática Financeira
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Currículo Resumido do Professor
Moises Spritzer é Economista e Instrutor de risco de crédito na Caixa Econômica
Federal. Profissional com quase 40 anos de experiência no Sistema Financeiro
Nacional, tendo exercido importantes funções gerenciais na CEF. Professor da
Fundação Getulio Vargas em cursos MBA de Gestão Empresarial, Finanças,
Controladoria e Auditoria e Gerenciamento de Projetos, para os módulos de Finanças
Corporativas, Matemática Financeira e Análise de Viabilidade de Projetos. Docente na
COPPE/UFRJ em MBA de Fundos de Pensão. Especialista em Administração pela
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Especialista em Finanças com ênfase em risco
de crédito na UC/CEF e Economista pela PUC/RS. Premiado entre os 16 professores
melhores avaliados da FGV MANAGEMENT (Destaque em Finanças), nos anos de
2005, 2006 e 2008.
Endereço para contato: spritzer@fgvmail.br
Matemática Financeira
7
2. Textos para Estudo
EVOLUÇÃO HISTÓRICA, FUNÇÕES E CARACTERÍSTICAS
ESSENCIAIS DA MOEDA
A moeda é sem dúvida a principal invenção do homem na área da economia. Em
sua origem mais remota, a moeda era uma mercadoria, que pelo livre consenso entre os
indivíduos era utilizada como meio de troca de produtos e serviços.
A organização econômica do mundo moderno, não seria possível sem a existência
da moeda, do crédito e das instituições financeiras. Atualmente, a moeda cumpre não só
as tradicionais funções de meio de troca, unidade de medida nas transações e reserva de
valor, mas principalmente, através de seus indicadores: taxa de juros e variação
monetária (interna e externa), indica as perspectivas econômicas do país que a emitiu.
O conceito de moeda, até o início deste século era associado aos metais (ouro e
prata), as primeiras notas ou certificados bancários eram na realidade recibos de
depósitos que garantiam a seus detentores a conversibilidade em metal monetário.
Portanto o regime monetário utilizava o padrão ouro, sendo a moeda em circulação
lastreada neste metal.
Com a revolução industrial, através da especialização do processo produtivo,
obtêm-se economias de escala e o sistema econômico torna-se mais eficiente na
alocação dos recursos. A dinâmica dos mercados permite a consolidação dos serviços de
compensação, facilitando aos correntistas os pagamentos a partir de recursos
depositados em bancos de depósitos.
A moeda escritural, contábil ou bancária, de origem dos bancos emissores, permite
a movimentação dos recursos através de cheques e recibos de depósitos, emitidos em
regime de reservas fracionárias. Com o risco de perder o poder sobre a emissão
monetária, os governos de diversos países, limitam a emissão de papel moeda pelos
bancos, mantendo o monopólio. A função dos governos, não se restringe a emissão, mas
principalmente a garantia e padronização do meios de pagamento.
Matemática Financeira
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SISTEMA DE ESCAMBO
a troca é realizada através de mercadorias
CARNE
PECUARISTA ALFAIATE
ROUPA
SISTEMA MONETÁRIO SIMPLIFICADO
os pagamentos monetários aparecem no circuito exterior, e
representam a compensação os fluxos de bens, serviços e
recursos que aparecem nos circuitos interiores
Pagamentos monetários, por bens e serviços de consumo
Bens e serviços de consumo
FAMÍLIAS EMPRESAS
Consomem bens e serviços finais
produzidos pelo setor de empresas
Fornecem bens e serviços aos
consumidores
Fornecem insumos produtivos às
empresas
Utilizam os recursos das famílias
Recursos econômicos: terra, capital e trabalho
Pagamentos monetários por recursos:
aluguéis, salários, juros e lucros
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
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DEMANDA DE MOEDA
Que razões levam os indivíduos a manter ativos monetários se
podem ganhar juros aplicando seus encaixes em ativos financeiros
não monetários.
Custo de oportunidade: Juros que se deixa de ganhar durante o
período em que os fundos são mantidos em conta corrente em vez
de estarem aplicados em títulos negociáveis.
Motivo transação:
Não existe coincidência entre os fluxos de pagamento e
recebimentos, os agentes econômicos (indivíduos e empresas)
necessitam reter ativos monetários para saldar compromissos ou
realizar transações correntes.
Motivo Precaução
Existência de dispêndios imprevisíveis e de infortúnios.
Motivo Especulação
Os agentes econômicos retêm ativos monetários ociosos,
esperando que o preço dos títulos se alterem, ou que as taxas de
juros mudem.
Variações institucionais que podem provocar alterações na
proporção da renda mantida sob a forma de moeda INTERVALOS DE TEMPO NO PAGAMENTO DE DESPESAS CORRENTES
CONDIÇÕES PARA OBTENÇÃO DO CRÉDITO BANCÁRIO
EFICIÊNCIA DOS SISTEMAS DE COMPENSAÇÃO E COMUNICAÇÃO
GRAU DE INTEGRAÇÃO VERTICAL DA ECONOMIA EXISTÊNCIA DE SUBSTITUTOS PRÓXIMOS DA MOEDA
VARIAÇÃO DA TAXA REAL JUROS
(CUSTO DE OPORTUNIDADE DE RETENÇÃO DE MOEDA)
VARIAÇÃO NA TAXA DE INFLAÇÃO
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
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HISTÓRICO DAS ALTERAÇÕES DA MOEDA NACIONAL
PLANO MOEDA SÍMBOLO VIGÊNCIA VALOR
- REAL R Colônia- 1833 R1$2000 =
1/8 ouro 22K
- Mil Réis Rs 1833 – 1942 Rs 2$500=
1/8 ouro 22K
- Cruzeiro Cr$ 1942 – 1964 Cr$1,00=
Rs 1$000
- Cruzeiro Cr$ 1964 –1967 Cr$1 =
Cr$ 1,00
- Cruzeiro
Novo
NCr$ 1967- 1970
Ncr$ 1,00 =
Cr$ 1.000
- Cruzeiro Cr$ 1970-1984 Cr$ 1,00 =
NCr$ 1,00
- Cruzeiro Cr$ 1984-1986 Cr$1 =
Cr$ 1,00
Cruzado I – II
Cruzado Cz$ 1986-1989 Cz$ 1,00 =
Cr$ 1.000
Verão I – II Cruzado
Novo
NCz$ 1989 – 1990 NCz$ 1,00 =
Cz$ 1.000,00
Collor I – II Cruzeiro Cr$ 1990- 1993 Cr$ 1,00 =
NCz$ 1,00
Transição
Real
Cruzeiro
Real
Cr$ 1993- 1994 CR$ 1,00 =
Cr$ 1.000,00
Real Real R$ Jul /1994 R$ 1,00 =
Cr$ 2.750,00
Fonte : IBGE - Moeda
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
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SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
SEGMENTAÇÃO DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
Segmentos Características e Tipos de Operações de
Intermediação
Mercado
Monetário
Operações de curto/curtíssimo prazo;
Agentes econômicos e intermediários
financeiros suprem necessidade de
caixa a curto prazo;
Liquidez é regulada pelas autoridades
monetárias via colocação, recompra e
resgate de títulos da dívida pública de
curto prazo
Mercado de Crédito
Atende necessidades de crédito a curto
e médio prazos;
Financiamento de bens duráveis para
consumidores e capital de giro para
empresas;
Intermediários financeiros bancários e
não bancários
Mercado de Capitais
Atende agentes econômicos produtivos
(públicos e privados) quanto as
necessidades de médio e longo prazo
(investimentos de capital fixo);
Recursos financeiros supridas por
intermediários financeiros não –
bancários (ex.: Bolsa de Valores)
Mercado Cambial
Operações de compra e venda de
moedas estrangeiras
Operações a prazo normalmente curto
pra suprir necessidades momentânea de
moeda estrangeira (ex.: adiantamento
sem contrato de câmbio – exportação);
Intermediação de Inst. Fin. Bancárias e
não bancárias
Mercado de Futuros
e Derivativos
Operações de promessa e de liquidação
futura, com produtos financeiros e
mercadoria agrícolas.
Matemática Financeira
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CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS
Matemática Financeira : Estuda o comportamento do
Capital em função do tempo
Capitalização Inclui o lucro da operação ao Capital Inicial
Juros Remuneração do Capital
• Empregado em Atividades Produtivas
• Aplicado em Instituições Financeiras
• Paga pelo uso do dinheiro emprestado
Fator de Variação "Um Capital (P) aplicado durante um prazo(n)
Obtém um valor de resgate (F) "
FDV= VF
VP
VF = Valor Futuro VP = Valor Presente
FDV>1 Aumento do Capital
FDV<1 Redução do Capital
JUROS
"Valor da diferença entre os Valores Presente e Futuro, de uma operação
com dois capitais e um único período de capitalização."
J = VF – VP OU J = VP . i . n
Matemática Financeira
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TAXA DE JUROS "Mede a variação absoluta dos juros por unidade de capital inicial."
i = Juros = VF - VP
VP VP
JUROS SIMPLES
JUROS = PRINCIPAL X TAXA DE JUROS
J = P . i . n
MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS
F = P + P.i.n
Atenção: • A unidade de medida do Tempo n deve ser a mesma que a utilizada na medida da taxa
de juros (i). Tempo em meses Taxa mensal.
• Taxa de Juros em Fração decimal.
PRAZO MÉDIO E TAXA MÉDIA
Para uma mesma taxa de juros, tem-se a seguinte expressão
para o prazo médio:
n = P1 n 1 + P 2 n2 + ......+ Pk n k
P1 + P 2 + .....+ P k
F= P(1+in)
Matemática Financeira
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UNIDADE DE MEDIDA = Taxa percentual que se refere a uma unidade
de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.
Taxa na Forma Percentual Taxa na Forma Decimal
5 %
8 %
12 %
0,2 %
0,005 %
0,05
0,08
0,12
0,002
0,0005
Apresentação => Percentagem 10% a.a. Equação => Decimal 0,10 ao ano
FLUXO DE CAIXA
• Fluxo de Entrada e Saída de Caixa num determinado período de tempo.
• Reta horizontal é uma escala de tempo, com progressão do tempo da
esquerda para a direita. Os períodos de tempo aparecem representados em
intervalos contínuos.
• As setas verticais indicam O FLUXO DE RECURSOS. A seta para baixo
indica uma saída ou aplicação de dinheiro(ou um valor negativo), a seta
para cima significa uma entrada ou recebimento de dinheiro(ou um valor
positivo).
TIPOS DE FLUXO RESOLUÇÃO
ENTRADA E SAÍDA _____________________ JUROS SIMPLES E
DE CAIXA ÚNICAS COMPOSTOS
SÉRIES DE PAGAMENTOS ____ ____ ____ ___ ANUIDADES
OU RECEBIMENTOS
UNIFORMES
FLUXOS DE ENTRADAS _____ ________ __ _ TÉCNICAS DE
E SAÍDAS NÃO UNIFORMES AVALIAÇÃO DE
INVESTIMENTOS
Matemática Financeira
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CARACTERÍSTICAS DAS FORMAS DE PAGAMENTO
Postecipado = Juros pagos no final da operação
$ 1000
in =20% aos 120 dias 120 dias
|===========================================|
0 1000 devolução
capital 200 juros
Total $ 1200
Antecipado = Juros pagos na data de recebimento do empréstimo $ 1000
in =20% aos 120 dias 120 dias
0 |===========================================|
200 juros $ 1000
Taxa Efetiva Postecipada
FDV = F = 1200 =1,20
P 1000 FDV = 1 + if = 1,20 => if = 1,20 - 1 =0,20
Taxa Efetiva Antecipada
FDV = F = 1000 = 1,25
P 800 FDV = 1+ if = 1,25 => if = 1,25 - 1 = 0,25
Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa Nominal é a taxa de juros para montar a operação
Taxa Efetiva é a taxa obtida do fator de variação aplicado ao fluxo de
caixa
Matemática Financeira
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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
JUROS SIMPLES
Capital Inicial = $ 100,00
i = 10 % a.a.
n = 4 anos
Final do Escala Saldo no
Início do Ano
Juros de
Cada Ano
Saldo no Final
de Cada Ano
- 0 - - 100,00 1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10 110,00 2° Ano 2 110,00 100,00 x 0,1= 10 120,00 3° Ano 3 120,00 100,00 x 0,1= 10 130,00 4° Ano 4 130,00 100,00 x 0,1= 10 140,00
JUROS COMPOSTOS
Final do Escala Saldo no Início
de Cada Ano
Juros de Cada Ano Saldo no Final de
Cada Ano
- 0 - - 100,00 1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10,00 110,00 2° Ano 2 110,00 110,00 x 0,1= 11,00 121,00 3° Ano 3 121,00 121,00 x 0,1= 12,10 133,10 4° Ano 4 133,10 133,10 x 0,1= 13,31 146,41
BANCO Y- JUROS COMPOSTOS : R$ 146,41
BANCO X- JUROS SIMPLES: R$ 140,00
DIFERENÇA: R$ 6,41
0
50
100
150
1° ano 2° ano 3° ano 4° ano
$
0
20
40
60
80
100
120
140
1° ano 2° ano 3°ano 4° ano
$
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Exercícios:
1. Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais e equivalentes às
seguintes taxas:
Solução
a) 2.500 % a.a. 416,67 % e 625 %
b) 150 % a cada sete meses 42,86 % e 64,29 %
c) 11 % a cada nove dias 73,33 % e 110 %
d) 6.000 % ao triênio 333,33% e 500 %
e) 1,32 % ao dia 79,20% e 118,8 %
2. Calcular o montante de :
Capital $ Taxa de Juros Prazo Resultado $
5.000 32,32 % a.m. Um dia 5.053,87
6.000 725,87 % a.a. Quatro meses 20.517,40
2.000 2.500 % a.a. Dois anos, 3 meses
e 11 dias
116.027,78
3. Determinar a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000,00
a:
Solução
a) $ 3.500 depois de um ano 1,39 % e 16,67 %
b) $ 3.600 depois de 30 dias 20 % e 240 %
c) $ 3.800 depois de dois meses e 19 dias 10,13 % e 121,52 %
4. Determinar o valor de uma aplicação que acumula:
Montante $ Taxa de Juros Prazo Resultado $
5.000 23 % a.m. 17 dias 4.423,47
4.000 32,34 % a.m. Um dia 3.957,34
3.000 35,22 % a.m. Dois meses e 5 dias 1.701,55
5. O Banco ABC cobra 6 % a.m. simples sobre os saques a descoberto em
conta corrente. Um de seus correntistas ficou com os seguinte saldos
devedores em determinado mês : $ 500,00 por quatro dias
$ 450,00 por três dias
$ 650,00 por cinco dias
Qual o juros no final do mês? Resposta: R$ 13,20.
Matemática Financeira
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JUROS COMPOSTOS
Final do Escala Saldo no Início
de Cada Ano
Juros de Cada Ano Saldo no Final de
Cada Ano
- 0 - - 100,00
1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10,00 110,00
2° Ano 2 110,00 110,00 x 0,1= 11,00 121,00
3° Ano 3 121,00 121,00 x 0,1= 12,10 133,10
4° Ano 4 133,10 133,10 x 0,1= 13,31 146,41
MONTANTE FUTURO VF no final do 1° período
Juros = 100,00 x 0,10 => Juros = P . i
Montante = 100,00 + 10,00 = 110,00
Montante = P + P . i = P ( 1 + i )
MONTANTE FUTURO VF no final do 2° período
Juros = 110,00 x 0,10 = 11,00 => Juros = P ( 1 + i ). i
Montante = 110,00 + 11,00 = 121,00
Montante = P ( 1+ i ) . i = P ( 1+ i ) ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) ²
MONTANTE FUTURO no final do 3° período
Montante = P ( 1 + i ) ³
EXPRESSÃO GENÉRICA PARA O MONTANTE " VF " – VALOR FUTURO
n
VF = VP ( 1 + i )
EXPRESSÃO GENÉRICA PARA DESCONTO ¨ P ¨ - VALOR PRESENTE
P = F => F x [ 1 / ( 1 + i ) ] n
( 1 + i ) n
Matemática Financeira
22
TAXA DE RENTABILIDADE E TAXA DE DESCONTO
Taxa de Rentabilidade Taxa de Desconto
Juros de Cada Período P . i F . d
Juros de n Períodos P . i . n F . d . n
Expressão Genérica Montante = Principal + Juros
F = P + P . i . n F = P(1 + i. n)
Principal = Montante - Juros
P = F - F. d. n P = F(1- d . n)
ESQUEMA PADRÃO PARA TABELAS :
1. DADO P -- > ACHAR S : Fator de P para S ( FPS )
n
F P S ( i, n ) = ( 1 + i )
S = P x FPS ( i , n )
2. DADO S -- > ACHAR P : Fator de S para P ( FSP )
n
F S P ( i, n ) = 1 / ( 1 + i )
P = S x FSP ( i , n )
FSP
FPS P S |=======|=======|==============================|=== TEMPO
0 1 2 n
Desconto Racional Desconto Comercial
P = F .
1 + i. n
P = F(1 - d . n)
Matemática Financeira
23
JUROS COMPOSTOS - Lista 1
1) Nos prazos e taxas abaixo indicados, calcule o montante de:
1) $ 500 a 5% a.m. por 6 meses
2) $ 600 a 7,5% a.m. por 2 anos
3) $ 350 a 4% a.t. por 30 meses
4) $ 420 a 10% a.s. por 4 anos
5) $ 510 a 50% a.s. por 1 ano
2) Nas condições abaixo indicadas, quanto se deve aplicar hoje para se obter $:
1) 10.000 a 27% a.m. em 1 semestre
2) 8.000 a 20% a.q. em 32 meses
3) 5.000 a 1500% a.a. em 2 anos
4) 12.000 a 51% a.m. em 4 meses
5) 3.000 a 2% a.d. em 55 dias
3) Calcular o montante de:
1) $ 5.000 a 32,32% a.m. por um dia
2) $ 3.000 a 27% a.m. por 12 dias
3) $ 6.000 a 725,87% a.a. por 4 meses
4) $ 1.000 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias
5) $ 4.000 a 34% a.m. por 44 dias
6) $ 2.000 a 2.500% a.a. por 2 anos 3 meses e 11 dias
4) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000 a:
1) $ 3.500 depois de 1 ano
2) $ 3.600 depois de 30 dias
3) $ 3.700 depois de 49 dias
4) $ 3.800 depois de 2 meses e 19 dias
5) $ 4.300 depois de 2 anos 7 meses e 11 dias
5) Determine a taxa de juros semestral que transforma um capital de $ 1.000,00
1) $ 1.005 em 1 dia
2) $ 1.050 em 28 dias
3) $ 1.025 em 10 dias
4) $ 1.500 em 1 ano 3 meses e 3 dias
6) Determine o valor de uma aplicação que acumula:
1) $ 5.000 à taxa de 23% a.m. e prazo 17 dias
2) $ 2.000 à taxa de 1.320% a.a. e prazo 32 dias
3) $ 4.000 à taxa de 32,34% a.m. e prazo de 1 dia
4) $ 3.000 à taxa de 35,22% a.m. e prazo de 2 meses e 5 dias
Matemática Financeira
24
7) Determinar as taxas mensal e anual equivalentes a:
1) 25% a.b.
2) 12% por quinzena
3) 1.07% a.d.
4) 200% a.s.
5) 100% a.t.
6) 45% para 47 dias
7) 26% para 123 dias
8) 3247% para 370 dias
8) Determinar o valor de resgate de um empréstimo de $ 1.050,00 levantado em
15/5 à taxa de 60% a.a. e com vencimento para 15/9 do mesmo ano.
9) Uma pessoa no ano passado tinha um salário de $1.500.00 e recebeu
cumulativos três aumentos: um de Lei e dois outros de mérito. Se esses
aumentos foram de 10%, 14% e de 15%, quanto esta pessoa passou a ganhar?
10) Qual das alternativas a seguir é a mais vantajosa na compra de um televisor, para
uma taxa de 20% a.m.: a) sinal de $200 mais $300 no fim de 2 meses; b) entrada
de $240 mais $245 também no fim de 2 meses.
11) Um curso de informática custa $125,00 ou em duas parcelas, a primeira de
$55,00 na matrícula e a segunda de $95,00 no fim de 45 dias. Qual a taxa anual
de juros cobrada pelo curso?
12) Uma mercadoria pode ser vendida com 50% de sinal e outros 50% no fim de 30
dias. Caso o comprador pague à vista em dinheiro, a loja concede um desconto
de 5%. Qual a taxa de juros embutida no parcelamento?
13) Um carro à vista no valor de $2.200,00 é vendido com um sinal de $200,00 mais
um pagamento de $ 2.200,00 no fim de 35 dias. Que taxa mensal de juros
composta esta embutida nesse negócio?
14) Considerando uma taxa de 4% a.m., por quanto se deve liquidar hoje dois títulos
no valor de $1.000,00 cada, o primeiro vencido há 2 meses e o segundo a vencer
em 15 dias?
RESPOSTAS:
1) 1) 670,05 - 2) 3.403,72 - 3) 518,09 - 4) 900,31 - 5) 1.147,50
2) 1) 2.383,29 - 2) 1.860,54 - 3) 19,53 - 4) 2.308,20 - 5) 1.009,51
3) 1) 5.046,89 - 2) 3.300,98 - 3) 12.127,98 - 4) 4.247,57 - 5) 6.144,41 - 6)
3.372.526,15
4) 1) 1,29% e 16,67% - 2) 20% e 791,61% - 3) 13,70% e 366,83% - 4) 9,39% e
193,65% - 5) 1,15% e 14,77%
5) 1) 145,41% - 2) 36,84% - 3) 55,97% - 4) 17,48%
Matemática Financeira
25
6) 1) 4.446,56 - 2) 1.579,81 - 3) 3.962,81 - 4) 1.560,27
7) 1) 11,80% e 281,47% - 2) 25,44% e 1.417,86% - 3) 37,62% e 4.513,34% - 4)
20,09% e 800% - 5) 25,99% e 1.500% - 6) 26,77% e 1.621,91% - 7) 5,80% e
96,68% - 8) 32,93% e 2.944,03%
8) 1.232,91
9) 2.163,15
10) A
11) 1.050,81%
12) 11,11%
13) 8,51% am.
14) 2.062,18
Matemática Financeira
26
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Definição:
“Uma série de pagamentos será toda a seqüência finita ou infinita de
saídas e entradas de caixa” (Roberto Zentgraf)
Termos da Série ou Prestações:
PMT São chamados os recebimentos ou pagamentos de valores
(PAYMENTS)
Objetivos:
a) Amortização:
Financiamento do PV para pagamento com parcelas futuras PMT
PV
0 1 2 3 n
_________________
PMT‟s
b) Capitalização:
Pagamentos parcelados PMT para um recebimento futuro FV
0 1 2 3 FV
n
_______
PMT‟s
Matemática Financeira
27
Características das Séries:
a) Nº PMT‟s Finitas ou Infinitas (Perpetuidades)
b) Periodicidade Periódicas: com intervalos constantes
Não periódicas: com intervalos variáveis
c) Valor Uniformes: PMT‟s iguais
Não uniformes: PMT „s diferentes (séries gradientes)
d) Prazo Com entrada - Antecipado: 1º PMT no momento n = 0 (BEGIN)
Sem entrada - Postecipado: 1º PMT no momento n = 1 (END)
END - Postecipado
PV
BEGIN - Antecipado
PV
POSTECIPADO ANTECIPADO
sem entrada com entrada
g END (Default) g BEGIN
n = 0 só PV n = 0 PV + PMT1
n = 1 1ª PMT n = 1 2ª PMT2
As PMT‟s terminam JUNTO com FV As PMT‟s terminam ANTES do FV
0 1 FV
FV
1ª PMT
PMTn
1ª PMT 2ªPMTn
PMTn
Matemática Financeira
28
EQUAÇÕES DE SÉRIES DE PAGAMENTOS (postecipados)
PV = PMT (1 + i)n - 1
i (1 + i)n
PMT = PV i (1 + i )n
.
(1 + i )n - 1
FV = PMT (1 + i )n
- 1
i
PMT = FV i .
(1 + i )n
- 1
EQUAÇÕES DE SÉRIES DE PAGAMENTOS (antecipadas)
PV = PMT [ (1 + i)n – 1] (1 + i)
i (1 + i)n
PMT = PV i (1 + i )n
.
[ (1 + i )n – 1] ( 1 + i )
Matemática Financeira
29
FV = PMT [ (1 + i )n
- 1] ( 1 + i)
i
PMT = FV i .
[(1 + i )n
- 1] ( 1 + i)
EQUAÇÕES DE PERPETUIDADES (postecipadas)
PV = PMT
i
EQUAÇÕES DE PERPETUIDADES (antecipadas)
PV = PMT(1 + i)
i
SÉRIES DE PAGAMENTOS
E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Financiamento em Parcelas Iguais sem a primeira parcela
de Entrada (CDC)
1. Financiamento de carro em seis parcelas mensais iguais de $ 4.524,00 , com
juros de mercado. ( 12 % a.m.).
Calcule o valor do financiamento do veículo.
Matemática Financeira
30
PV
1 2 3 4 5 6
|=======|=======|=======|=======|=======|=======|== meses
4.524 4.524 4.524 4.524 4.524 4.524
PV = $ 18.600
2. Um veiculo está cotado a $ 30.000 à vista, ou financiado com 30 % de entrada e
oito parcelas mensais iguais fixas, a 11,5 % a.m.. Calcule o valor da prestação.
PMT = $ 4.153,78
3. Um automóvel está anunciado por $ 32.000,00, ou 10.000,00 de entrada e 5
prestações mensais iguais de 6.331,40. Calcular a taxa de juros.
i = 13,5 % mês
4. Uma motocicleta de $ 12.00,00 à vista, foi financiada com $ 3.000,00 de
entrada e o saldo em 8 parcelas mensais iguais. Com juros de 7,5 % a.m..
PMT = ? = > PMT = $ 1.536,54.
5. Determinar o valor à vista de um Caminhão, adquirido com $ 15.000,00 de
entrada e o saldo em 10 parcelas mensais iguais de $ 5.334,27 na taxa de 8.50
% a.m..
Valor total = 35.000 + 15.000 = $ 50.000
Financiamento em Parcelas Iguais com a primeira parcela
de Entrada (CDC)
6. Uma televisão último modelo, à vista é $ 2.800,00, mas pode ser comprada em
6 parcelas iguais, sendo a 1° de entrada e as demais mensalmente com juros de
5,5 % a.m.. Calcule o valor da prestação.
PMT = $ 531,28
Matemática Financeira
31
7. Sabendo o valor de prestação e a taxa de juros , 10,5 % a.m., descobrir qual o
preço à vista de um eletrodoméstico, que é vendido em 5 parcelas mensais
iguais de
$ 725,36, sendo a 1° de entrada.
PV = ? = > PV = $ 3.000,00
8. Calcular as parcelas mensais do financiamento de uma geladeira de $ 1.500,00
em 6 meses iguais, sendo a 1° de entrada e a taxa de 125,22% a.a..
PMT = ? = > $ 294,11
9. Determinar a taxa de juros na compra de aparelho de som de valor à vista de $
1.200,00 em 10 parcelas mensais e iguais de $ 158,20, sendo a 1° de entrada.
i = ? 6,75 %
10. Determinar o valor à vista de uma máquina de lavar, adquirida em 4 parcelas
mensais de $ 1.111,00, sendo a 1° de entrada, considerada a taxa de 18,70%
a.m.
PV = ? => PV = $ 3.500,00
Matemática Financeira
32
Financiamento em Parcelas Iguais ¨ sem Juros ¨
11. Numa loja um terno de $ 600,00 está sendo anunciado em 3x iguais sem juros,
sendo a 1° de entrada, ou então, você pode levar à vista com 30% de desconto.
Calcular o custo do financiamento.
$ 420
|=======|=======|===== meses
$ 200 200 200
i =? 51,08 % ao mês
12. Numa loja feminina, um vestido de $ 300,00 esta em oferta por 3 vezes
mensais iguais, sem entrada e sem juros, ou então, à vista com 30 % de
desconto.
$ 210
|=====|=====|=====|====
$ 0 100 100 100
i = ? => i = 20,2 % ao mes
Matemática Financeira
33
Sistema Francês ( Tabela Price )
Elaborar o quadro de amortização de um financiamento de $ 100.000,00, pagos em 5
parcelas anuais, na taxa de juros de 10 % a.a. sobre o saldo devedor.
PV = 100.000 n = 5 i = 10 % g END PMT =? 26.379,75
Quadro de Amortização
Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor
0 - - - 100.000,00
1 10.000 16.379,75 26.379,75 83.620,25
2
3
4
5
Saldo Devedor é o valor atual das prestações que vão vencer.
Tabela Price
Considera os juros anuais simples e depois Capitaliza.
Prestações Mensais
12 % a.a. TP = 12,68 % a.a.
24 % a.a. TP = 26,82 % a.a.
Matemática Financeira
34
Sistema de Amortização Constante - S A C
( Prestações mantém a mesma parcela de amortização)
Elaborar um quadro de amortização de um financiamento de $ 100.000,00, pago em 5
parcelas anuais que contenham a mesma amortização, a juros de 10 % a.a. sobre o
saldo devedor.
Amortização : P = 100.000,00 = $ 20.000
(PMT) n 5
Juros : 100.000 x 10 % = 10.000,00
Saldo Devedor¹ = 100.000 - 20.000 = 80.000
Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor
0 - - - 100.000
1 10.000 20.000 30.000 80.000
2
3
4
5
OBS: Teste- Com as teclas do Fluxo de Caixa
Sistema Americano de Amortização
Financiamento de $ 100.000, pago em 5 parcelas anuais na taxa de 10 % a.a. sobre o
saldo devedor, pelo sistema americano de amortização.
Principal
|==========|==========|==========|
Juros n . . . . . . n Principal
N Juros Prestação
0
1 10.000 10.000
2
3
4
5
Matemática Financeira
35
RISCO E RETORNO
RISCO = PROPABILIDADE DE PREJUÍZO FINANCEIRO
|||
V
VARIABILIADE DOS RETORNOS
DOS ATIVOS FINANCEIROS
RETORNO = GANHOS OU PREJUÍZOS DE UM INVESTIMENTO
NUM DETERMINADO PERÍODO DE TEMPO
TAXA DE RETORNO = ATIVO (velho - novo) + FLUXO DE CAIXA
ATIVO NOVO
PREÇO DA AÇÃO = RISCO X RETORNO
EXEMPLO :
FORMAS DE ATIVO RETORNO GRAU DE LIQUIDEZ
MOEDA NULO MÁXIMO
TÍTULOS FIXO OU VARIÁVEL MÉDIO
IMOBILIZADO VARIÁVEL MÍNIMO
Matemática Financeira
36
RISCO DE UM ATIVO INDIVIDUAL
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE:
Estimativa de retornos otimistas, prováveis e pessimistas,
de um determinado ativo, estabelecendo uma faixa de risco.
Exemplo:
ATIVO A B .
Investimento inicial $ 10.000 10.000
Taxa de retorno anual %
Pessimista 13 7
Provável 15 15
Otimista 17 23
Faixa de Retorno 4 16
________________________________________________________
Matemática Financeira
37
RISCO DE UMA CARTEIRA
Carteira eficiente: maximiza retornos para um determinado nível
de risco, ou minimiza o risco para um dado nível de retorno.
A relação existente entre os ativos de um investimento ou entre os
papéis que compõem uma carteira de investimento é medida pela
correlação e pela co-variância de seus retornos
RISCO E RETORNO (CAPM)
Modelo de Determinação de Preços de Ativos Financeiros ( capital
asset pricing model ) associa o risco e o retorno para todos os ativo.
Risco total do título = risco não-diversificável - risco diversificável
Risco Diversificável - eventos específicos da empresa- greves,
processos, ações regulatórias e perdas de um importante cliente;
que podem ser eliminados por meio de diversificação.
Risco não-diversificável - fatores de mercado que afetam todas as
empresas, e não podem ser eliminados por meio de diversificação-
guerra, inflação, incidentes internacionais e eventos políticos.
Modelo CAPM - Harry Markowitz & William Sharpe
desenvolveram o modelo que associa os riscos não diversificáveis ao
retorno de todos os ativos.
Em mercados em equilíbrio, o retorno de todos os ativos
aproxima-se do retorno do mercado. O risco não diversificável
chama-se sistemático, poi esta variação de retornos ocorre em
qualquer carteira. O risco não-sistemático é o diversificável,
inerente à variabilidade dos retornos de cada um dos ativos da
carteira
Matemática Financeira
38
Coeficiente Beta : índice do grau de movimento do retorno de um
ativo em resposta à mudança no retorno de mercado.
Beta negativo= título se move no sentido contrário ao do mercado
Beta positivo= título se move no mesmo sentido que o mercado
Β TÍTULOS
> 1 AGRESSIVOS= retornos
oscilam mais que o mercado
= 1 NEUTROS= retornos variam
igual ao mercado
< 1 CONSERVADORES= retornos
variam menos que o mercado
A equação:
kj = Rf + [ βj x ( km – Rf)]
kj = Retorno exigido sobre o Ativo
Rf =Taxa de retorno livre de risco
βj = Coeficiente βeta – variabilidade do
retorno da ação em relação ao mercado
km = Retorno de mercado – carteira de
ativos do mercado
Matemática Financeira
39
AVALIAÇÃO
FUNDAMENTOS DA AVALIAÇÃO
Avaliação : processo que une risco e retorno para determinar o valor
de um ativo.
Fluxo de caixa : o valor de qualquer ativo depende do(s) fluxo(s) de
(RETORNOS) caixa que se espera em determinado período de tempo.
Retorno Exigido : o nível de risco associado com um dado fluxo de
( RISCO ) caixa pode afetar o valor do ativo.
Quanto mais alto for o risco, maior será o retorno exigido.
Modelo básico de avaliação : o valor de qualquer ativo é o valor
Presente de todos os futuros fluxos de caixa esperados, durante um
período de tempo relevante.
Matemática Financeira
40
Resumo das principais definições, fórmulas e equações para o valor do
dinheiro no tempo
Definições das variáveis
VF = valor futuro ou montante no fim do período n
VP = principal inicial ou valor presente
i = taxa de juros do período, geralmente anos, durante o qual o
dinheiro obtém um retorno
n = número de períodos
m = número de períodos por ano em que o juros são captalizados
k = taxa efetiva de juros
VFA = Valor futuro de uma anuidade
VPA = Valor presente de uma anuidade
PMT = Montante depositado ou recebido anualmente no fim de cada
ano
Equações básicas
Valor Futuro ( montante único )
VF = VP x FJVF
Valor Futuro ( anuidade )
VF = PMT x FJVFA
Valor Presente ( montante único )
VP = VF x FJVP
Valor Presente ( anuidade )
VP = PMT x FJVPA
Matemática Financeira
41
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Juros simples
1) Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais as seguintes taxas:
1) 250 % a.a.
2) 150 % a cada 6 meses
3) 1 % a cada 15 dias
4) 600 % ao triênio
5) 0,2 % ao dia
2) Calcular o montante de:
1) $ 3.000 a 27% a.m. por 12 dias
2) $ 1.000 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias
3) $ 4.000 a 34% a.m. por 44 dias
3) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000 a:
1) $ 3.700 depois de 49 dias
2) $ 4.300 depois de 2 anos 7 meses e 11 dias
4) Determine o valor de uma aplicação que acumula:
1) $ 2.000 à taxa de 1.320% a.a. e prazo 32 dias
2) $ 4.000 à taxa de 32,34% a.m. e prazo de 1 dia
3) $ 3.000 à taxa de 35,22% a.m. e prazo de 2 meses e 5 dias
Respostas dos exercícios de juros simples
1) 1) 41,66 % e 62,5 % - 2) 50% e 75% - 3) 4% e 6 % - 4) 33,33% e 50% - 5) 12% e
18%
2) 1) 3.324,00 - 2) 7.766,67 - 3) 5.994,67
3)1) 14,29% e 171,43% - 2) 1,38% e 16,58%
4)1) 920,25 - 2) 3.957,34 - 3) 1.701,55
Matemática Financeira
42
EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS – Lista 2
1. Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $ 10.000,00 à taxa composta
de 3% a.m. e prazo de 3 meses.
2. Digamos que um título, com vencimento para 4 meses e à taxa composta de 2%
a.m., foi resgatado por $ 3.000,00. Qual foi o valor de emissão desse título.
3. Ao tomar um empréstimo de $ 2.500,00 numa instituição financeira, uma pessoa
pagou $ 3.000,00 após 5 meses. Qual a taxa mensal composta dessa operação?
4. Qual será o valor do pagamento, no fim de 6 meses que liquida um empréstimo
de $ 500,00 à taxa composta de 2,20% a.m.?
5. Um capital de $ 250,00 se transformou em $ 1.510,00 depois de 45 meses. Qual
terá sido a taxa composta trimestral praticada?
6. Um carro à vista no valor de $2.200,00 é vendido com um sinal de $1.200,00,
$1.600,00 no fim de 60 dias. Determinar a taxa mensal de juros composta embutida
nesse negócio?
7. Um empréstimo no valor de $5.000,00 é contratado pelo prazo de 90 dias à taxa
de 4% a.m. Sabendo que o credor ainda cobrou uma comissão de 1% no ato da
liberação do dinheiro a título de comissão de abertura de crédito, determine a taxa
mensal efetivamente cobrada.
8. Uma empresa, para financiar seu capital de giro, levanta um empréstimo pelo
prazo de 2 meses onde é cobrada a taxa de 9% a.m. Determine uma comissão a ser
cobrada no ato da liberação do principal de modo a garantir uma remuneração de 10%
a.m. ao credor.
9. Vamos agora supor que o PIB de um país cresceu 50% em 10 anos. Qual terá
sido neste caso, taxa anual de crescimento (supostamente constante)?
10. Um certo país apresentou uma taxa de inflação da ordem de 48,72% em
determinado mês. Se essa taxa permanecer constante por 12 meses a quanto irá montar
a taxa anual de inflação desse país?
11. Um devedor tem a possibilidade oferecida pelo credor, de liquidar uma dívida
pagando hoje $ 8.000,00 ou $ 10.000,00 de hoje a 5 meses. Com o dinheiro custando
5% a.m., o que ele deve fazer?
12. Vejamos agora o caso de uma pessoa devedora de $ 10.000,00 à taxa composta
de 5% a.m. e que paga $ 6.000,00 no fim de três meses. Que pagamento deverá fazer
dois meses após a fim de liquidar sua dívida?
13. Três títulos de valores nominais (valores no vencimento) de $ 1.000,00, 5.000,00
e 4.000,00, vencem, respectivamente de hoje a 2, 5 e 7 meses. Se um investidor deseja
auferir uma taxa de 3% a.m. quanto deve pagar por eles hoje?
Matemática Financeira
43
14. Sabendo-se que um título no valor de $ 1.500,00 pagou juros de 2% para os
primeiros 30 dias, 4% para os 30 dias subsequentes e mais 3,50% por outros 30 dias,
determinar seu valor de resgate.
15. Uma dívida de $ 1.000,00 dever ser paga em 3 parcelas e à taxa composta de 5%
a.m. Se a primeira no valor de $ 500,00, é paga no fim de 30 dias, a segunda no valor
de $ 400,00, no fim de 90 dias, determine o valor da terceira e última parcela sabendo
que deve ser paga no fim de 130 dias
16. Para uma taxa composta de 2% a.m., quanto devemos pagar hoje para liquidar
dois títulos no valor de $500,00 cada, o primeiro vencido há 30 dias e o segundo com
vencimento em 2 meses?
17. Se um investimento cresceu à razão de 20% em 3 anos, quanto ele montará em
10 anos?
Respostas:
1) 10.927,27; 2)2.771,54; 3) 3,71%; 4) 569,74; 5) 12,74%; 6) 26,5%; 7) 4,35%;
8) 1,81%; 9) 4,14%; 10) 11.606,65%; 11) pagar no fim de 5 meses; 12) 6.147,82;
13) 8.508,01; 14) 1.646,89; 15) 220,25; 16) 990,58; 17) 83,63%.
Matemática Financeira
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Séries de Pagamentos
1) Uma loja financia suas mercadorias em 6 pagamentos mensais, à
taxa de 15% a.m. Determinar o valor dos multiplicadores com 6
decimais para cada $ 1,00 financiado, nas seguintes hipóteses:
a) o 1º pagamento é feito na data da compra
b) o 1º pagamento é feito no fim de 30 dias
c) o 1º pagamento é feito no fim de 90 dias
2) Determinar o pagamento mensal que amortiza um empréstimo de $
5.000,00 em 12 parcelas mensais à taxa de 16% a.m.
3) Para os mesmos dados do exercício 2), calcule a prestação admitindo
2 pagamentos adicionais de $ 1.000,00 cada por ocasião dos
vencimentos da 6ª e 12ª prestações.
4) Quanto uma pessoa acumula no fim de 2 anos se fizer 24 depósitos
mensais de $ 200,00, o primeiro hoje, em uma caderneta de
poupança que paga uma taxa de juros composta de 2% a.m.?
5) Para os dados do exercício 4, quanto a pessoa acumula no fim do
mesmo prazo se começar a depositar de hoje a 30 dias?
6) Um fogão cujo preço à vista é de $ 480,00 pode ser adquirido com
15% de sinal mais cinco prestações mensais e iguais de $ 110.00.
Qual a taxa de juros mensal cobrada?
7) Uma loja de departamentos financia as compras de seus clientes em
6 prestações mensais e iguais, a primeira no ato da compra. Se esta
loja utiliza o coeficiente de 0,188795 para a determinação da
prestação, que taxa de juros mensal ela esta cobrando?
8) Para os mesmos dados do exemplo anterior, determine a taxa de
juros supondo que o primeiro pagamento seja no fim de 30 dias.
9) Uma loja financia suas mercadorias em 12 prestações mensais e
iguais dizendo que cobra 5% a.m. ou 60% .a.a. Para o cálculo da
prestação mensal, acresce o valor financiado em 60% e divide o
resultado por 12. Se o primeiro pagamento é feito no ato da compra
determine a taxa mensal efetivamente cobrada pela loja.
Matemática Financeira
45
10) Para uma taxa de juros de 4% a.m., quanto você paga hoje por uma
série de 25 títulos no valor de $ 500,00 cada com vencimentos
mensais e sucessivos o primeiro de hoje a 6 meses?
1) a) 0,229771; b) 0,264237; c) 0,349453 - 2) 962,07 - 3) 850,68 - 4)
6.206,06 - 5) 6.084,37 6) 10,86% - 7) 5,28% - 8) 3,68 - 9) 9,98% - 10)
6.420,11
SÉRIES DE PAGAMENTOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1.000,00, nas
hipóteses abaixo:
Taxa de Juros Prazo
a) 2% a.m. 24 meses
b) 3% a.m. 12 meses
c) 2,5% a.m. 36 meses
d) 10% a.t. 8 trimestres
e) 15% a.s. 5 semestres
2. Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $
200,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados:
a) 2,5% a.m. 18 meses
b) 3,0% a.m. 18 meses
c) 2,0% a.m. 24 meses
d) 4,0% a.m. 24 meses
3. Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações
mensais de $ 500,00 . Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado
é de 2,5% a.m., até que preço vale a pena comprar o terreno à vista?
4. Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por $ 250.000,00 à
vista ou em 4 prestações trimestrais de $ 77.600,00. Qual é a melhor opção
de compra, uma vez que a taxa de juros corrente é de 10% a.t.
5. Um magazine tem como política de vendas oferecer um desconto de
10% nas compras à vista. Nas vendas a prazo, os clientes deverão pagar 12
prestações iguais a 10% do valor à vista. Supondo-se que a taxa de juros
corrente seja de 2,5% a.m., qual é a melhor alternativa para o comprador?
Matemática Financeira
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6. Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço à vista é de
$ 10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e
respectivos prazos:
Taxa de Juros Prazo
a) 2,5% a.m. 12 meses
b) 2,5% a.m. 24 meses
c) 3,0% a.m. 12 meses
d) 3,0% a.m. 36 meses
e) 10,0% a.t. 10 trimestres
f) 10,0% a.a. 2 anos
7. Um sítio é posto à venda por $ 300.000,00 à vista, ou a prazo nas
seguintes condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3%
a.m. Qual é o valor das prestações?
8. O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário
deseja estabelecer fatores que serão aplicados ao preço à vista para cálculo
da prestação mensal. A taxa de juros da empresa é de 2% a.m.; portanto,
quais são estes fatores por unidade de capital, nos prazos abaixo:
a) 6 meses
b) 12 meses
c) 18 meses
d) 24 meses
e) 30 meses
f) 36 meses
9. Uma firma revendedora de automóveis usados oferece o seguinte plano
na venda de um carro, modelo 1952:
a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55.
b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01.
Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual é a melhor alternativa?
10. O preço de uma motocicleta é de $ 20.000,00 à vista; caso o cliente
deseje as facilidades do crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo
caso, exigem-se 24 prestações mensais de $ 1.245,46. Que taxa de juros
mensal está sendo cobrada?
11. Um barco é vendido por $ 150.000,00 à vista ou por $ 30.000,00 de
entrada e mais 8 prestações quadrimestrais de $ 26.742,01. Que taxa
quadrimestral está sendo considerada?
Matemática Financeira
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12. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua
sistemática num financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte:
1,2% x 12 meses = 14,4% a.a.
10.000 (1,144) = $11,440,00
11.440 : 12 = $ 953,33
Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de $ 953,33. A taxa de juros é
realmente de 1,2% a.m.?
13. O banco CEF, para um financiamento em 12 meses, propõe o seguinte
esquema:
prestação mensal = (valor do financiamento) : 12
juros do banco = 14% do valor do financiamento
valor recebido = (valor do financiamento) (juros do banco)
Qual é a taxa de juros cobrada?
14. Uma financeira publica em um jornal que seus coeficientes, para cada
unidade de capital emprestado, de acordo com os prazos, são:
Prazo Coeficiente
a) 6 meses 0,18707
b) 12 meses 0,10086
c) 18 meses 0,07230
d) 24 meses 0,05819
e) 30 meses 0,04992
f) 36 meses 0,04455
Então, um financiamento de $ 1.000,00 por 12 meses resultará em 12
prestações de 1.000 x 0,10086 = $ 100,86. Qual é a taxa de juro mensal de
cada coeficiente?
Matemática Financeira
48
RESPOSTAS:
1. a) 18.913,93; b) 9.954,00; c) 23.556,25; d) 5.334,93; e) 3.352,16.
2. a) 2.870,67; b) 2.750,70; c) 3.782,79; d) 3.049,39.
3. Indiferente, se o preço à vista < 21.778,13.
4. Comprar a prazo.
5. Comprar à vista.
6. a) 974,87; b) 559,13; c) 1.004,62; d) 458,04; e) 1.627,45; f) 5.761,70
7. 10.493,68
8. a) 0,178526; b) 0,094560; c) 0,066702; d) 0,052871; e) 0,044650; f)
0,039233.
9. Plano a.
10. 3,5% a.m.
11. 15% a.q.
12. 2,13% a.m.
13. 2,4% a.m.
14. a) 3,40% a.m.; b) 3,07% a.m.; c) 2,93% a.m.; d) 2,86% a.m.; e) 2,83%
a.m.; f) 2,82% a.m.
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