01 01 matfin20102ºtrimapostila

49
ii Sumário 1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 1.1 EMENTA 1 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1 1.3 OBJETIVOS 1 1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1 1.5 METODOLOGIA 2 1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 2 1.7 BIBLIOGRAFIA 3 1.7 1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 3 1.7 2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 3 1.7.3 FONTES DE CONSULTA NA INTERNET: 4 CURRÍCULO RESUMIDO DO PROFESSOR 6 2. TEXTOS PARA ESTUDO 7

Upload: fabricio-rosado-urquhart

Post on 01-Jul-2015

390 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

ii

Sumário

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1

1.1 EMENTA 1

1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1

1.3 OBJETIVOS 1

1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1

1.5 METODOLOGIA 2

1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 2

1.7 BIBLIOGRAFIA 3 1.7 1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 3

1.7 2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 3

1.7.3 FONTES DE CONSULTA NA INTERNET: 4

CURRÍCULO RESUMIDO DO PROFESSOR 6

2. TEXTOS PARA ESTUDO 7

Page 2: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

1

1. Programa da Disciplina

1.1 Ementa

Conceitos financeiros fundamentais. Juros simples. Juros compostos. Taxas de juros

(reais, efetivas e equivalentes). Descontos simples e compostos. Séries uniformes ante-

cipadas e postecipadas. Amortização de empréstimos. Séries perpétuas. Taxa over.

Conceitos de equivalência, fluxo de caixa e taxa de atratividade (custo de oportunidade).

Avaliação de Fluxos de Caixa pelos métodos do valor presente (valor atual) e taxa

interna de retorno. Cases (exercícios).

1.2 Carga Horária Total

24 horas-aula

1.3 Objetivos

Capacitar os participantes a utilizarem os conceitos e práticas da Matemática Financeira.

Compreender os fundamentos da Matemática Financeira para calcular o valor do

dinheiro no tempo. Utilizar as tecnologias de informação na análise das informações

financeiras para o processo decisório.

1.4 Conteúdo Programático

CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS

FUNDAMENTOS DE JUROS SIMPLES

FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO E SISTEMAS DE

AMORTIZAÇÃO (TP, SAC, AMERICANO E ALEATÓRIO)

DESCONTOS DE DUPLICATAS - FACTORING

FLUXOS DE CAIXA (PAYBACK, VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA

INTERNA DE RETORNO)

Page 3: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

2

1. CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS 1.1 FUNÇÃO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

1.2 TIPOS DE FLUXOS DE CAIXA

1.3 CONCEITO DE TAXA DE JUROS

1.4 CARACTERÍSTICAS DE FORMAS DE PAGAMENTO

2. FUNDAMENTOS DE JUROS SIMPLES 2.1 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL 2.2 TAXA DE DESCONTO E DE RENTABILIDADE

2.3 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

3. FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS 3.1 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL COM JUROS COMPOSTOS 3.2 CÁLCULO DO VALOR ATUAL,VALOR FUTURO, TAXA E PRAZO 3.3 FATOR DE ATUALIZAÇÃO E FORMAÇÃO DE TABELAS

4 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E

FLUXOS DE CAIXA 4.1 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO

4.2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (TP, SAC, AMERICANO, E ALEATÓRIO) 4.2 PLANOS DE FINANCIAMENTOS 4.3 DESCONTOS DE DUPLICATAS - FACTORING 4.4 FLUXOS DE CAIXA (CONCEITO VALOR ATUAL, VALOR FUTURO E TIR)

5. RESUMO E EQUAÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

6. ANEXOS DAS APRESENTAÇÕES

6.1 ANEXO I – TRANSPARÊNCIAS

6.2 ANEXO II – EXERCÍCIOS DE VPL E TIR

1.5 Metodologia

Aulas expositivas; leitura de artigos e apresentação de dados do Mercado Financeiro;

exercícios em aula; exercícios com calculadora financeira; debate com a turma toda; e

estudo de casos.

1.6 Critérios de Avaliação

- Trabalho e listas de exercícios (peso 3); e

- Prova individual sem consulta (peso 7)

Page 4: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

3

1.7 Bibliografia

1.7 1 Bibliografia Básica

FIPECAFI. Retorno de investimento. São Paulo: Atlas, 2001.

FRANKENBERG, Louis. Seu futuro financeiro. Rio de Janeiro: Campus, 1999.

GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 7ª Ed. São Paulo:

Harbra, 1997.

HEWLETT PACKARD. HP- 12C : Manual do Proprietário e guia para solução de

problemas. São Paulo: Hewlett-Packard do Brasil, 1981.

PUCCINI, Abelardo L. Matemática financeira - objetiva e aplicada com planilha

eletrônica. 7ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.

ZENTGRAF, Roberto. Matemática financeira objetiva. 2ª Ed. Rio de Janeiro:

Editoração, 1999.

1.7 2 Bibliografia Complementar

ANDREZO, A.F., LIMA, I.S., Mercado Financeiro: Aspectos Históricos e Conceituais.

São Paulo, Ed. Pioneira , 1999.

CARVALHO, F.C., SOUZA, F.E.P., SICSÚ, J. et al, Economia Monetária e

Financeira. Rio de Janeiro: Campus, 2000.

CAVALCANTE Fº,F.S., MISUMI, J. Y., Mercado de Capitais. Belo Horizonte:

Comissão Nacional da Bolsa de Valores, 2005.

MELLAGI Fº, A., ISHIKAWA, S., Mercado Financeiro e de Capitais. São Paulo:

Atlas, 2000.

HAZZAN, Samuel & Pompeu, José N. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo:

Saraiva, 2001.

LAPPONI, Juan C. Matemática Financeira: usando Excel 4 e 5. 2ª Ed. São Paulo:

Lapponi Treinamento e Editora Ltda,1995.

LOPES, João C. & ROSSETTI, José P. Economia monetária.6ª Ed. São Paulo: Atlas,

1996.

MAYER, T., DUESENBERRY, J., ALIBER, R.Z., Moeda, Bancos e a Economia. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Campus, 1993.

MATIAS, Washington F. & GOMES, José M. Matemática Financeira. São Paulo:

Page 5: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

4

Atlas,1993.

ROSS, Stephen A. Princípios de administração financeira. São Paulo: Atlas, 1998.

SAUNDERS, A., Administração de Instituições Financeiras. São Paulo: Atlas 2000.

SIMONSEN, Mário H. Macroeconomia. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 1995.

SOUZA, L. A., Sistema de Pagamentos Brasileiro: nova estrutura e seus impactos

econômicos. São Paulo: Saraiva, 2001.

VERAS, Lília L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações

ao mercado financeiro, exercícios resolvidos. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 1991.

Revista Conjuntura Econômica – Fundação Getúlio Vargas – vários números

1.7.3 Fontes de Consulta na Internet:

ENDEREÇO SERVIÇO

www.andima.com.br Associação Nacional das Instituições do Mercado Aberto

www.anbid.com.br Associação Nacional de Bancos de Investimento, disponibiliza

informações para investidores, links, noticiário e atividades

sobre o segmento e entidades do mercado.

www.abamecsp.com.br Associação brasileira dos Analistas do Mercado de Capitais

www.agorainvest.com.br Site da corretora Agora

www.bcb.gov.br Site do Banco Central do Brasil

www.bloomberg.com A americana Bloomberg reúne notícias e cotações atualizadas

do Brasil e do exterior durante o dia

www.bndes.gov.br Site do Banco Nacional de Desenvolvimento e Social -

programa de privatização; publicações; notícias; e programa

cultura.

www.bmf.com.br Site da Bolsa de mercadorias & Futuros

www.bovespa.com.br Página de Bolsas de Valores de São Paulo, com dados

detalhados sobre o mercado local de ações

www.cbot.com Chicago Board Trade

www.cme.com Chicago Mercantile Exchange-área educacional

www.cboe.com Chicago Board of Options Exchange-learning center para

aprendizado de opções

www.comoinvestir.com.br Site com informações do mercado financeiro.

www.cetip.com.br. Central de operações de títulos

www.commods.reuters.com Site da agência Reuters especializado em mercado de

commodities (produtos agrícolas e metais)

www.cvm.gov.br

Site da Comissão de Valores Mobiliários: legislação sobre o

mercado de capitais, balanços das empresas de capital aberto.

www.debentures.com.br Site do Sistema Nacional de Debêntures

www.damodaran.com Site com material de avaliação - Damodaran

www.dinheironet.com.br Site informações sobre aplicações financeiras

www.economist.com Site da The Economist – acesso gratuito da matéria de capa e

Page 6: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

5

alguns artigos selecionados

www.economatica.com.br Indicadores financeiros para análise fundamentalista

www.exame.com.br O site da Exame reúne notícias do mercado durante o dia além

de reportagens sobre o mundo e a vida dos executivos

www.financenter.com.br Simulação de operações no mercado financeiro.

www.fundos.com

Atende a necessidade de informações do investidor; apresenta

links com desempenho dos Fundos, Imposto de Renda e

Glossário.

www.gazetamercantil.com.br Site do Jornal Gazeta Mercantil

www.infomoney.com.br Site Financeiro

www.investishop.com.br O Desafio ensina como aplicar na bolsa e em outros

investimentos. O Investigame é um jogo para aprender os

conceitos de economia do Jornal Gazeta Mercantil

www.investor.com Site da Microsoft, com indicadores, gráficos, artigos e

corretoras americanas.

www.ipea.gov.br Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas

www.lipperweb.com A americana Lipper Analytical é uma das mais completas

fontes sobre fundos americanos e offshore

www.londonstockexchange.com Site da Bolsa de Londres

www.money.net Cotações e gráficos internacionais on-line

www.mpas.com.br Ministério da Previdência e Assistência Social – informações

sobre os fundos de previdência

www.multex.com Multex Investor - Notícias 10 mil empresas

www.nyse.com.br Site da Bolsa de Valores de Nova York – EUA

www.patagon.com.br Site com amplas informações sobre o mercado financeiro

www.projeção.com.br Site com simulação sobre investimentos financeiros

www.reuters.com No site da Reuters estão disponíveis cotações de bolsas de

valores internacionais, artigos e notícias.

www.smartmoney.com

A revista Smart Money oferece índices de ações, análise de

mercado e ainda tem um serviço para esclarecer dúvidas.

www.srrating.com.br

Site da agência de classificação de risco SR Rating,

informações de empresas brasileiras.

www.uol.com.br Cotação do dólar, inflação no Brasil, rendimento da poupança e

links para revistas especializadas em finanças.

www.yahoo.com/business/

Por meio da página de pesquisa, é possível acessar diversos

sites da área de finanças.

Page 7: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

6

Currículo Resumido do Professor

Moises Spritzer é Economista e Instrutor de risco de crédito na Caixa Econômica

Federal. Profissional com quase 40 anos de experiência no Sistema Financeiro

Nacional, tendo exercido importantes funções gerenciais na CEF. Professor da

Fundação Getulio Vargas em cursos MBA de Gestão Empresarial, Finanças,

Controladoria e Auditoria e Gerenciamento de Projetos, para os módulos de Finanças

Corporativas, Matemática Financeira e Análise de Viabilidade de Projetos. Docente na

COPPE/UFRJ em MBA de Fundos de Pensão. Especialista em Administração pela

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Especialista em Finanças com ênfase em risco

de crédito na UC/CEF e Economista pela PUC/RS. Premiado entre os 16 professores

melhores avaliados da FGV MANAGEMENT (Destaque em Finanças), nos anos de

2005, 2006 e 2008.

Endereço para contato: [email protected]

Page 8: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

7

2. Textos para Estudo

EVOLUÇÃO HISTÓRICA, FUNÇÕES E CARACTERÍSTICAS

ESSENCIAIS DA MOEDA

A moeda é sem dúvida a principal invenção do homem na área da economia. Em

sua origem mais remota, a moeda era uma mercadoria, que pelo livre consenso entre os

indivíduos era utilizada como meio de troca de produtos e serviços.

A organização econômica do mundo moderno, não seria possível sem a existência

da moeda, do crédito e das instituições financeiras. Atualmente, a moeda cumpre não só

as tradicionais funções de meio de troca, unidade de medida nas transações e reserva de

valor, mas principalmente, através de seus indicadores: taxa de juros e variação

monetária (interna e externa), indica as perspectivas econômicas do país que a emitiu.

O conceito de moeda, até o início deste século era associado aos metais (ouro e

prata), as primeiras notas ou certificados bancários eram na realidade recibos de

depósitos que garantiam a seus detentores a conversibilidade em metal monetário.

Portanto o regime monetário utilizava o padrão ouro, sendo a moeda em circulação

lastreada neste metal.

Com a revolução industrial, através da especialização do processo produtivo,

obtêm-se economias de escala e o sistema econômico torna-se mais eficiente na

alocação dos recursos. A dinâmica dos mercados permite a consolidação dos serviços de

compensação, facilitando aos correntistas os pagamentos a partir de recursos

depositados em bancos de depósitos.

A moeda escritural, contábil ou bancária, de origem dos bancos emissores, permite

a movimentação dos recursos através de cheques e recibos de depósitos, emitidos em

regime de reservas fracionárias. Com o risco de perder o poder sobre a emissão

monetária, os governos de diversos países, limitam a emissão de papel moeda pelos

bancos, mantendo o monopólio. A função dos governos, não se restringe a emissão, mas

principalmente a garantia e padronização do meios de pagamento.

Page 9: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

8

SISTEMA DE ESCAMBO

a troca é realizada através de mercadorias

CARNE

PECUARISTA ALFAIATE

ROUPA

SISTEMA MONETÁRIO SIMPLIFICADO

os pagamentos monetários aparecem no circuito exterior, e

representam a compensação os fluxos de bens, serviços e

recursos que aparecem nos circuitos interiores

Pagamentos monetários, por bens e serviços de consumo

Bens e serviços de consumo

FAMÍLIAS EMPRESAS

Consomem bens e serviços finais

produzidos pelo setor de empresas

Fornecem bens e serviços aos

consumidores

Fornecem insumos produtivos às

empresas

Utilizam os recursos das famílias

Recursos econômicos: terra, capital e trabalho

Pagamentos monetários por recursos:

aluguéis, salários, juros e lucros

Page 10: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

9

Page 11: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

10

DEMANDA DE MOEDA

Que razões levam os indivíduos a manter ativos monetários se

podem ganhar juros aplicando seus encaixes em ativos financeiros

não monetários.

Custo de oportunidade: Juros que se deixa de ganhar durante o

período em que os fundos são mantidos em conta corrente em vez

de estarem aplicados em títulos negociáveis.

Motivo transação:

Não existe coincidência entre os fluxos de pagamento e

recebimentos, os agentes econômicos (indivíduos e empresas)

necessitam reter ativos monetários para saldar compromissos ou

realizar transações correntes.

Motivo Precaução

Existência de dispêndios imprevisíveis e de infortúnios.

Motivo Especulação

Os agentes econômicos retêm ativos monetários ociosos,

esperando que o preço dos títulos se alterem, ou que as taxas de

juros mudem.

Variações institucionais que podem provocar alterações na

proporção da renda mantida sob a forma de moeda INTERVALOS DE TEMPO NO PAGAMENTO DE DESPESAS CORRENTES

CONDIÇÕES PARA OBTENÇÃO DO CRÉDITO BANCÁRIO

EFICIÊNCIA DOS SISTEMAS DE COMPENSAÇÃO E COMUNICAÇÃO

GRAU DE INTEGRAÇÃO VERTICAL DA ECONOMIA EXISTÊNCIA DE SUBSTITUTOS PRÓXIMOS DA MOEDA

VARIAÇÃO DA TAXA REAL JUROS

(CUSTO DE OPORTUNIDADE DE RETENÇÃO DE MOEDA)

VARIAÇÃO NA TAXA DE INFLAÇÃO

Page 12: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

11

Page 13: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

12

HISTÓRICO DAS ALTERAÇÕES DA MOEDA NACIONAL

PLANO MOEDA SÍMBOLO VIGÊNCIA VALOR

- REAL R Colônia- 1833 R1$2000 =

1/8 ouro 22K

- Mil Réis Rs 1833 – 1942 Rs 2$500=

1/8 ouro 22K

- Cruzeiro Cr$ 1942 – 1964 Cr$1,00=

Rs 1$000

- Cruzeiro Cr$ 1964 –1967 Cr$1 =

Cr$ 1,00

- Cruzeiro

Novo

NCr$ 1967- 1970

Ncr$ 1,00 =

Cr$ 1.000

- Cruzeiro Cr$ 1970-1984 Cr$ 1,00 =

NCr$ 1,00

- Cruzeiro Cr$ 1984-1986 Cr$1 =

Cr$ 1,00

Cruzado I – II

Cruzado Cz$ 1986-1989 Cz$ 1,00 =

Cr$ 1.000

Verão I – II Cruzado

Novo

NCz$ 1989 – 1990 NCz$ 1,00 =

Cz$ 1.000,00

Collor I – II Cruzeiro Cr$ 1990- 1993 Cr$ 1,00 =

NCz$ 1,00

Transição

Real

Cruzeiro

Real

Cr$ 1993- 1994 CR$ 1,00 =

Cr$ 1.000,00

Real Real R$ Jul /1994 R$ 1,00 =

Cr$ 2.750,00

Fonte : IBGE - Moeda

Page 14: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

13

Page 15: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

14

SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL

SEGMENTAÇÃO DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL

Segmentos Características e Tipos de Operações de

Intermediação

Mercado

Monetário

Operações de curto/curtíssimo prazo;

Agentes econômicos e intermediários

financeiros suprem necessidade de

caixa a curto prazo;

Liquidez é regulada pelas autoridades

monetárias via colocação, recompra e

resgate de títulos da dívida pública de

curto prazo

Mercado de Crédito

Atende necessidades de crédito a curto

e médio prazos;

Financiamento de bens duráveis para

consumidores e capital de giro para

empresas;

Intermediários financeiros bancários e

não bancários

Mercado de Capitais

Atende agentes econômicos produtivos

(públicos e privados) quanto as

necessidades de médio e longo prazo

(investimentos de capital fixo);

Recursos financeiros supridas por

intermediários financeiros não –

bancários (ex.: Bolsa de Valores)

Mercado Cambial

Operações de compra e venda de

moedas estrangeiras

Operações a prazo normalmente curto

pra suprir necessidades momentânea de

moeda estrangeira (ex.: adiantamento

sem contrato de câmbio – exportação);

Intermediação de Inst. Fin. Bancárias e

não bancárias

Mercado de Futuros

e Derivativos

Operações de promessa e de liquidação

futura, com produtos financeiros e

mercadoria agrícolas.

Page 16: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

15

CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS

Matemática Financeira : Estuda o comportamento do

Capital em função do tempo

Capitalização Inclui o lucro da operação ao Capital Inicial

Juros Remuneração do Capital

• Empregado em Atividades Produtivas

• Aplicado em Instituições Financeiras

• Paga pelo uso do dinheiro emprestado

Fator de Variação "Um Capital (P) aplicado durante um prazo(n)

Obtém um valor de resgate (F) "

FDV= VF

VP

VF = Valor Futuro VP = Valor Presente

FDV>1 Aumento do Capital

FDV<1 Redução do Capital

JUROS

"Valor da diferença entre os Valores Presente e Futuro, de uma operação

com dois capitais e um único período de capitalização."

J = VF – VP OU J = VP . i . n

Page 17: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

16

TAXA DE JUROS "Mede a variação absoluta dos juros por unidade de capital inicial."

i = Juros = VF - VP

VP VP

JUROS SIMPLES

JUROS = PRINCIPAL X TAXA DE JUROS

J = P . i . n

MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS

F = P + P.i.n

Atenção: • A unidade de medida do Tempo n deve ser a mesma que a utilizada na medida da taxa

de juros (i). Tempo em meses Taxa mensal.

• Taxa de Juros em Fração decimal.

PRAZO MÉDIO E TAXA MÉDIA

Para uma mesma taxa de juros, tem-se a seguinte expressão

para o prazo médio:

n = P1 n 1 + P 2 n2 + ......+ Pk n k

P1 + P 2 + .....+ P k

F= P(1+in)

Page 18: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

17

UNIDADE DE MEDIDA = Taxa percentual que se refere a uma unidade

de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.

Taxa na Forma Percentual Taxa na Forma Decimal

5 %

8 %

12 %

0,2 %

0,005 %

0,05

0,08

0,12

0,002

0,0005

Apresentação => Percentagem 10% a.a. Equação => Decimal 0,10 ao ano

FLUXO DE CAIXA

• Fluxo de Entrada e Saída de Caixa num determinado período de tempo.

• Reta horizontal é uma escala de tempo, com progressão do tempo da

esquerda para a direita. Os períodos de tempo aparecem representados em

intervalos contínuos.

• As setas verticais indicam O FLUXO DE RECURSOS. A seta para baixo

indica uma saída ou aplicação de dinheiro(ou um valor negativo), a seta

para cima significa uma entrada ou recebimento de dinheiro(ou um valor

positivo).

TIPOS DE FLUXO RESOLUÇÃO

ENTRADA E SAÍDA _____________________ JUROS SIMPLES E

DE CAIXA ÚNICAS COMPOSTOS

SÉRIES DE PAGAMENTOS ____ ____ ____ ___ ANUIDADES

OU RECEBIMENTOS

UNIFORMES

FLUXOS DE ENTRADAS _____ ________ __ _ TÉCNICAS DE

E SAÍDAS NÃO UNIFORMES AVALIAÇÃO DE

INVESTIMENTOS

Page 19: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

18

CARACTERÍSTICAS DAS FORMAS DE PAGAMENTO

Postecipado = Juros pagos no final da operação

$ 1000

in =20% aos 120 dias 120 dias

|===========================================|

0 1000 devolução

capital 200 juros

Total $ 1200

Antecipado = Juros pagos na data de recebimento do empréstimo $ 1000

in =20% aos 120 dias 120 dias

0 |===========================================|

200 juros $ 1000

Taxa Efetiva Postecipada

FDV = F = 1200 =1,20

P 1000 FDV = 1 + if = 1,20 => if = 1,20 - 1 =0,20

Taxa Efetiva Antecipada

FDV = F = 1000 = 1,25

P 800 FDV = 1+ if = 1,25 => if = 1,25 - 1 = 0,25

Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa Nominal é a taxa de juros para montar a operação

Taxa Efetiva é a taxa obtida do fator de variação aplicado ao fluxo de

caixa

Page 20: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

19

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

JUROS SIMPLES

Capital Inicial = $ 100,00

i = 10 % a.a.

n = 4 anos

Final do Escala Saldo no

Início do Ano

Juros de

Cada Ano

Saldo no Final

de Cada Ano

- 0 - - 100,00 1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10 110,00 2° Ano 2 110,00 100,00 x 0,1= 10 120,00 3° Ano 3 120,00 100,00 x 0,1= 10 130,00 4° Ano 4 130,00 100,00 x 0,1= 10 140,00

JUROS COMPOSTOS

Final do Escala Saldo no Início

de Cada Ano

Juros de Cada Ano Saldo no Final de

Cada Ano

- 0 - - 100,00 1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10,00 110,00 2° Ano 2 110,00 110,00 x 0,1= 11,00 121,00 3° Ano 3 121,00 121,00 x 0,1= 12,10 133,10 4° Ano 4 133,10 133,10 x 0,1= 13,31 146,41

BANCO Y- JUROS COMPOSTOS : R$ 146,41

BANCO X- JUROS SIMPLES: R$ 140,00

DIFERENÇA: R$ 6,41

0

50

100

150

1° ano 2° ano 3° ano 4° ano

$

0

20

40

60

80

100

120

140

1° ano 2° ano 3°ano 4° ano

$

Page 21: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

20

Exercícios:

1. Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais e equivalentes às

seguintes taxas:

Solução

a) 2.500 % a.a. 416,67 % e 625 %

b) 150 % a cada sete meses 42,86 % e 64,29 %

c) 11 % a cada nove dias 73,33 % e 110 %

d) 6.000 % ao triênio 333,33% e 500 %

e) 1,32 % ao dia 79,20% e 118,8 %

2. Calcular o montante de :

Capital $ Taxa de Juros Prazo Resultado $

5.000 32,32 % a.m. Um dia 5.053,87

6.000 725,87 % a.a. Quatro meses 20.517,40

2.000 2.500 % a.a. Dois anos, 3 meses

e 11 dias

116.027,78

3. Determinar a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000,00

a:

Solução

a) $ 3.500 depois de um ano 1,39 % e 16,67 %

b) $ 3.600 depois de 30 dias 20 % e 240 %

c) $ 3.800 depois de dois meses e 19 dias 10,13 % e 121,52 %

4. Determinar o valor de uma aplicação que acumula:

Montante $ Taxa de Juros Prazo Resultado $

5.000 23 % a.m. 17 dias 4.423,47

4.000 32,34 % a.m. Um dia 3.957,34

3.000 35,22 % a.m. Dois meses e 5 dias 1.701,55

5. O Banco ABC cobra 6 % a.m. simples sobre os saques a descoberto em

conta corrente. Um de seus correntistas ficou com os seguinte saldos

devedores em determinado mês : $ 500,00 por quatro dias

$ 450,00 por três dias

$ 650,00 por cinco dias

Qual o juros no final do mês? Resposta: R$ 13,20.

Page 22: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

21

JUROS COMPOSTOS

Final do Escala Saldo no Início

de Cada Ano

Juros de Cada Ano Saldo no Final de

Cada Ano

- 0 - - 100,00

1° Ano 1 100,00 100,00 x 0,1= 10,00 110,00

2° Ano 2 110,00 110,00 x 0,1= 11,00 121,00

3° Ano 3 121,00 121,00 x 0,1= 12,10 133,10

4° Ano 4 133,10 133,10 x 0,1= 13,31 146,41

MONTANTE FUTURO VF no final do 1° período

Juros = 100,00 x 0,10 => Juros = P . i

Montante = 100,00 + 10,00 = 110,00

Montante = P + P . i = P ( 1 + i )

MONTANTE FUTURO VF no final do 2° período

Juros = 110,00 x 0,10 = 11,00 => Juros = P ( 1 + i ). i

Montante = 110,00 + 11,00 = 121,00

Montante = P ( 1+ i ) . i = P ( 1+ i ) ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) ²

MONTANTE FUTURO no final do 3° período

Montante = P ( 1 + i ) ³

EXPRESSÃO GENÉRICA PARA O MONTANTE " VF " – VALOR FUTURO

n

VF = VP ( 1 + i )

EXPRESSÃO GENÉRICA PARA DESCONTO ¨ P ¨ - VALOR PRESENTE

P = F => F x [ 1 / ( 1 + i ) ] n

( 1 + i ) n

Page 23: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

22

TAXA DE RENTABILIDADE E TAXA DE DESCONTO

Taxa de Rentabilidade Taxa de Desconto

Juros de Cada Período P . i F . d

Juros de n Períodos P . i . n F . d . n

Expressão Genérica Montante = Principal + Juros

F = P + P . i . n F = P(1 + i. n)

Principal = Montante - Juros

P = F - F. d. n P = F(1- d . n)

ESQUEMA PADRÃO PARA TABELAS :

1. DADO P -- > ACHAR S : Fator de P para S ( FPS )

n

F P S ( i, n ) = ( 1 + i )

S = P x FPS ( i , n )

2. DADO S -- > ACHAR P : Fator de S para P ( FSP )

n

F S P ( i, n ) = 1 / ( 1 + i )

P = S x FSP ( i , n )

FSP

FPS P S |=======|=======|==============================|=== TEMPO

0 1 2 n

Desconto Racional Desconto Comercial

P = F .

1 + i. n

P = F(1 - d . n)

Page 24: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

23

JUROS COMPOSTOS - Lista 1

1) Nos prazos e taxas abaixo indicados, calcule o montante de:

1) $ 500 a 5% a.m. por 6 meses

2) $ 600 a 7,5% a.m. por 2 anos

3) $ 350 a 4% a.t. por 30 meses

4) $ 420 a 10% a.s. por 4 anos

5) $ 510 a 50% a.s. por 1 ano

2) Nas condições abaixo indicadas, quanto se deve aplicar hoje para se obter $:

1) 10.000 a 27% a.m. em 1 semestre

2) 8.000 a 20% a.q. em 32 meses

3) 5.000 a 1500% a.a. em 2 anos

4) 12.000 a 51% a.m. em 4 meses

5) 3.000 a 2% a.d. em 55 dias

3) Calcular o montante de:

1) $ 5.000 a 32,32% a.m. por um dia

2) $ 3.000 a 27% a.m. por 12 dias

3) $ 6.000 a 725,87% a.a. por 4 meses

4) $ 1.000 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias

5) $ 4.000 a 34% a.m. por 44 dias

6) $ 2.000 a 2.500% a.a. por 2 anos 3 meses e 11 dias

4) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000 a:

1) $ 3.500 depois de 1 ano

2) $ 3.600 depois de 30 dias

3) $ 3.700 depois de 49 dias

4) $ 3.800 depois de 2 meses e 19 dias

5) $ 4.300 depois de 2 anos 7 meses e 11 dias

5) Determine a taxa de juros semestral que transforma um capital de $ 1.000,00

1) $ 1.005 em 1 dia

2) $ 1.050 em 28 dias

3) $ 1.025 em 10 dias

4) $ 1.500 em 1 ano 3 meses e 3 dias

6) Determine o valor de uma aplicação que acumula:

1) $ 5.000 à taxa de 23% a.m. e prazo 17 dias

2) $ 2.000 à taxa de 1.320% a.a. e prazo 32 dias

3) $ 4.000 à taxa de 32,34% a.m. e prazo de 1 dia

4) $ 3.000 à taxa de 35,22% a.m. e prazo de 2 meses e 5 dias

Page 25: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

24

7) Determinar as taxas mensal e anual equivalentes a:

1) 25% a.b.

2) 12% por quinzena

3) 1.07% a.d.

4) 200% a.s.

5) 100% a.t.

6) 45% para 47 dias

7) 26% para 123 dias

8) 3247% para 370 dias

8) Determinar o valor de resgate de um empréstimo de $ 1.050,00 levantado em

15/5 à taxa de 60% a.a. e com vencimento para 15/9 do mesmo ano.

9) Uma pessoa no ano passado tinha um salário de $1.500.00 e recebeu

cumulativos três aumentos: um de Lei e dois outros de mérito. Se esses

aumentos foram de 10%, 14% e de 15%, quanto esta pessoa passou a ganhar?

10) Qual das alternativas a seguir é a mais vantajosa na compra de um televisor, para

uma taxa de 20% a.m.: a) sinal de $200 mais $300 no fim de 2 meses; b) entrada

de $240 mais $245 também no fim de 2 meses.

11) Um curso de informática custa $125,00 ou em duas parcelas, a primeira de

$55,00 na matrícula e a segunda de $95,00 no fim de 45 dias. Qual a taxa anual

de juros cobrada pelo curso?

12) Uma mercadoria pode ser vendida com 50% de sinal e outros 50% no fim de 30

dias. Caso o comprador pague à vista em dinheiro, a loja concede um desconto

de 5%. Qual a taxa de juros embutida no parcelamento?

13) Um carro à vista no valor de $2.200,00 é vendido com um sinal de $200,00 mais

um pagamento de $ 2.200,00 no fim de 35 dias. Que taxa mensal de juros

composta esta embutida nesse negócio?

14) Considerando uma taxa de 4% a.m., por quanto se deve liquidar hoje dois títulos

no valor de $1.000,00 cada, o primeiro vencido há 2 meses e o segundo a vencer

em 15 dias?

RESPOSTAS:

1) 1) 670,05 - 2) 3.403,72 - 3) 518,09 - 4) 900,31 - 5) 1.147,50

2) 1) 2.383,29 - 2) 1.860,54 - 3) 19,53 - 4) 2.308,20 - 5) 1.009,51

3) 1) 5.046,89 - 2) 3.300,98 - 3) 12.127,98 - 4) 4.247,57 - 5) 6.144,41 - 6)

3.372.526,15

4) 1) 1,29% e 16,67% - 2) 20% e 791,61% - 3) 13,70% e 366,83% - 4) 9,39% e

193,65% - 5) 1,15% e 14,77%

5) 1) 145,41% - 2) 36,84% - 3) 55,97% - 4) 17,48%

Page 26: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

25

6) 1) 4.446,56 - 2) 1.579,81 - 3) 3.962,81 - 4) 1.560,27

7) 1) 11,80% e 281,47% - 2) 25,44% e 1.417,86% - 3) 37,62% e 4.513,34% - 4)

20,09% e 800% - 5) 25,99% e 1.500% - 6) 26,77% e 1.621,91% - 7) 5,80% e

96,68% - 8) 32,93% e 2.944,03%

8) 1.232,91

9) 2.163,15

10) A

11) 1.050,81%

12) 11,11%

13) 8,51% am.

14) 2.062,18

Page 27: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

26

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Definição:

“Uma série de pagamentos será toda a seqüência finita ou infinita de

saídas e entradas de caixa” (Roberto Zentgraf)

Termos da Série ou Prestações:

PMT São chamados os recebimentos ou pagamentos de valores

(PAYMENTS)

Objetivos:

a) Amortização:

Financiamento do PV para pagamento com parcelas futuras PMT

PV

0 1 2 3 n

_________________

PMT‟s

b) Capitalização:

Pagamentos parcelados PMT para um recebimento futuro FV

0 1 2 3 FV

n

_______

PMT‟s

Page 28: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

27

Características das Séries:

a) Nº PMT‟s Finitas ou Infinitas (Perpetuidades)

b) Periodicidade Periódicas: com intervalos constantes

Não periódicas: com intervalos variáveis

c) Valor Uniformes: PMT‟s iguais

Não uniformes: PMT „s diferentes (séries gradientes)

d) Prazo Com entrada - Antecipado: 1º PMT no momento n = 0 (BEGIN)

Sem entrada - Postecipado: 1º PMT no momento n = 1 (END)

END - Postecipado

PV

BEGIN - Antecipado

PV

POSTECIPADO ANTECIPADO

sem entrada com entrada

g END (Default) g BEGIN

n = 0 só PV n = 0 PV + PMT1

n = 1 1ª PMT n = 1 2ª PMT2

As PMT‟s terminam JUNTO com FV As PMT‟s terminam ANTES do FV

0 1 FV

FV

1ª PMT

PMTn

1ª PMT 2ªPMTn

PMTn

Page 29: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

28

EQUAÇÕES DE SÉRIES DE PAGAMENTOS (postecipados)

PV = PMT (1 + i)n - 1

i (1 + i)n

PMT = PV i (1 + i )n

.

(1 + i )n - 1

FV = PMT (1 + i )n

- 1

i

PMT = FV i .

(1 + i )n

- 1

EQUAÇÕES DE SÉRIES DE PAGAMENTOS (antecipadas)

PV = PMT [ (1 + i)n – 1] (1 + i)

i (1 + i)n

PMT = PV i (1 + i )n

.

[ (1 + i )n – 1] ( 1 + i )

Page 30: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

29

FV = PMT [ (1 + i )n

- 1] ( 1 + i)

i

PMT = FV i .

[(1 + i )n

- 1] ( 1 + i)

EQUAÇÕES DE PERPETUIDADES (postecipadas)

PV = PMT

i

EQUAÇÕES DE PERPETUIDADES (antecipadas)

PV = PMT(1 + i)

i

SÉRIES DE PAGAMENTOS

E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Financiamento em Parcelas Iguais sem a primeira parcela

de Entrada (CDC)

1. Financiamento de carro em seis parcelas mensais iguais de $ 4.524,00 , com

juros de mercado. ( 12 % a.m.).

Calcule o valor do financiamento do veículo.

Page 31: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

30

PV

1 2 3 4 5 6

|=======|=======|=======|=======|=======|=======|== meses

4.524 4.524 4.524 4.524 4.524 4.524

PV = $ 18.600

2. Um veiculo está cotado a $ 30.000 à vista, ou financiado com 30 % de entrada e

oito parcelas mensais iguais fixas, a 11,5 % a.m.. Calcule o valor da prestação.

PMT = $ 4.153,78

3. Um automóvel está anunciado por $ 32.000,00, ou 10.000,00 de entrada e 5

prestações mensais iguais de 6.331,40. Calcular a taxa de juros.

i = 13,5 % mês

4. Uma motocicleta de $ 12.00,00 à vista, foi financiada com $ 3.000,00 de

entrada e o saldo em 8 parcelas mensais iguais. Com juros de 7,5 % a.m..

PMT = ? = > PMT = $ 1.536,54.

5. Determinar o valor à vista de um Caminhão, adquirido com $ 15.000,00 de

entrada e o saldo em 10 parcelas mensais iguais de $ 5.334,27 na taxa de 8.50

% a.m..

Valor total = 35.000 + 15.000 = $ 50.000

Financiamento em Parcelas Iguais com a primeira parcela

de Entrada (CDC)

6. Uma televisão último modelo, à vista é $ 2.800,00, mas pode ser comprada em

6 parcelas iguais, sendo a 1° de entrada e as demais mensalmente com juros de

5,5 % a.m.. Calcule o valor da prestação.

PMT = $ 531,28

Page 32: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

31

7. Sabendo o valor de prestação e a taxa de juros , 10,5 % a.m., descobrir qual o

preço à vista de um eletrodoméstico, que é vendido em 5 parcelas mensais

iguais de

$ 725,36, sendo a 1° de entrada.

PV = ? = > PV = $ 3.000,00

8. Calcular as parcelas mensais do financiamento de uma geladeira de $ 1.500,00

em 6 meses iguais, sendo a 1° de entrada e a taxa de 125,22% a.a..

PMT = ? = > $ 294,11

9. Determinar a taxa de juros na compra de aparelho de som de valor à vista de $

1.200,00 em 10 parcelas mensais e iguais de $ 158,20, sendo a 1° de entrada.

i = ? 6,75 %

10. Determinar o valor à vista de uma máquina de lavar, adquirida em 4 parcelas

mensais de $ 1.111,00, sendo a 1° de entrada, considerada a taxa de 18,70%

a.m.

PV = ? => PV = $ 3.500,00

Page 33: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

32

Financiamento em Parcelas Iguais ¨ sem Juros ¨

11. Numa loja um terno de $ 600,00 está sendo anunciado em 3x iguais sem juros,

sendo a 1° de entrada, ou então, você pode levar à vista com 30% de desconto.

Calcular o custo do financiamento.

$ 420

|=======|=======|===== meses

$ 200 200 200

i =? 51,08 % ao mês

12. Numa loja feminina, um vestido de $ 300,00 esta em oferta por 3 vezes

mensais iguais, sem entrada e sem juros, ou então, à vista com 30 % de

desconto.

$ 210

|=====|=====|=====|====

$ 0 100 100 100

i = ? => i = 20,2 % ao mes

Page 34: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

33

Sistema Francês ( Tabela Price )

Elaborar o quadro de amortização de um financiamento de $ 100.000,00, pagos em 5

parcelas anuais, na taxa de juros de 10 % a.a. sobre o saldo devedor.

PV = 100.000 n = 5 i = 10 % g END PMT =? 26.379,75

Quadro de Amortização

Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0 - - - 100.000,00

1 10.000 16.379,75 26.379,75 83.620,25

2

3

4

5

Saldo Devedor é o valor atual das prestações que vão vencer.

Tabela Price

Considera os juros anuais simples e depois Capitaliza.

Prestações Mensais

12 % a.a. TP = 12,68 % a.a.

24 % a.a. TP = 26,82 % a.a.

Page 35: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

34

Sistema de Amortização Constante - S A C

( Prestações mantém a mesma parcela de amortização)

Elaborar um quadro de amortização de um financiamento de $ 100.000,00, pago em 5

parcelas anuais que contenham a mesma amortização, a juros de 10 % a.a. sobre o

saldo devedor.

Amortização : P = 100.000,00 = $ 20.000

(PMT) n 5

Juros : 100.000 x 10 % = 10.000,00

Saldo Devedor¹ = 100.000 - 20.000 = 80.000

Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0 - - - 100.000

1 10.000 20.000 30.000 80.000

2

3

4

5

OBS: Teste- Com as teclas do Fluxo de Caixa

Sistema Americano de Amortização

Financiamento de $ 100.000, pago em 5 parcelas anuais na taxa de 10 % a.a. sobre o

saldo devedor, pelo sistema americano de amortização.

Principal

|==========|==========|==========|

Juros n . . . . . . n Principal

N Juros Prestação

0

1 10.000 10.000

2

3

4

5

Page 36: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

35

RISCO E RETORNO

RISCO = PROPABILIDADE DE PREJUÍZO FINANCEIRO

|||

V

VARIABILIADE DOS RETORNOS

DOS ATIVOS FINANCEIROS

RETORNO = GANHOS OU PREJUÍZOS DE UM INVESTIMENTO

NUM DETERMINADO PERÍODO DE TEMPO

TAXA DE RETORNO = ATIVO (velho - novo) + FLUXO DE CAIXA

ATIVO NOVO

PREÇO DA AÇÃO = RISCO X RETORNO

EXEMPLO :

FORMAS DE ATIVO RETORNO GRAU DE LIQUIDEZ

MOEDA NULO MÁXIMO

TÍTULOS FIXO OU VARIÁVEL MÉDIO

IMOBILIZADO VARIÁVEL MÍNIMO

Page 37: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

36

RISCO DE UM ATIVO INDIVIDUAL

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE:

Estimativa de retornos otimistas, prováveis e pessimistas,

de um determinado ativo, estabelecendo uma faixa de risco.

Exemplo:

ATIVO A B .

Investimento inicial $ 10.000 10.000

Taxa de retorno anual %

Pessimista 13 7

Provável 15 15

Otimista 17 23

Faixa de Retorno 4 16

________________________________________________________

Page 38: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

37

RISCO DE UMA CARTEIRA

Carteira eficiente: maximiza retornos para um determinado nível

de risco, ou minimiza o risco para um dado nível de retorno.

A relação existente entre os ativos de um investimento ou entre os

papéis que compõem uma carteira de investimento é medida pela

correlação e pela co-variância de seus retornos

RISCO E RETORNO (CAPM)

Modelo de Determinação de Preços de Ativos Financeiros ( capital

asset pricing model ) associa o risco e o retorno para todos os ativo.

Risco total do título = risco não-diversificável - risco diversificável

Risco Diversificável - eventos específicos da empresa- greves,

processos, ações regulatórias e perdas de um importante cliente;

que podem ser eliminados por meio de diversificação.

Risco não-diversificável - fatores de mercado que afetam todas as

empresas, e não podem ser eliminados por meio de diversificação-

guerra, inflação, incidentes internacionais e eventos políticos.

Modelo CAPM - Harry Markowitz & William Sharpe

desenvolveram o modelo que associa os riscos não diversificáveis ao

retorno de todos os ativos.

Em mercados em equilíbrio, o retorno de todos os ativos

aproxima-se do retorno do mercado. O risco não diversificável

chama-se sistemático, poi esta variação de retornos ocorre em

qualquer carteira. O risco não-sistemático é o diversificável,

inerente à variabilidade dos retornos de cada um dos ativos da

carteira

Page 39: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

38

Coeficiente Beta : índice do grau de movimento do retorno de um

ativo em resposta à mudança no retorno de mercado.

Beta negativo= título se move no sentido contrário ao do mercado

Beta positivo= título se move no mesmo sentido que o mercado

Β TÍTULOS

> 1 AGRESSIVOS= retornos

oscilam mais que o mercado

= 1 NEUTROS= retornos variam

igual ao mercado

< 1 CONSERVADORES= retornos

variam menos que o mercado

A equação:

kj = Rf + [ βj x ( km – Rf)]

kj = Retorno exigido sobre o Ativo

Rf =Taxa de retorno livre de risco

βj = Coeficiente βeta – variabilidade do

retorno da ação em relação ao mercado

km = Retorno de mercado – carteira de

ativos do mercado

Page 40: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

39

AVALIAÇÃO

FUNDAMENTOS DA AVALIAÇÃO

Avaliação : processo que une risco e retorno para determinar o valor

de um ativo.

Fluxo de caixa : o valor de qualquer ativo depende do(s) fluxo(s) de

(RETORNOS) caixa que se espera em determinado período de tempo.

Retorno Exigido : o nível de risco associado com um dado fluxo de

( RISCO ) caixa pode afetar o valor do ativo.

Quanto mais alto for o risco, maior será o retorno exigido.

Modelo básico de avaliação : o valor de qualquer ativo é o valor

Presente de todos os futuros fluxos de caixa esperados, durante um

período de tempo relevante.

Page 41: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

40

Resumo das principais definições, fórmulas e equações para o valor do

dinheiro no tempo

Definições das variáveis

VF = valor futuro ou montante no fim do período n

VP = principal inicial ou valor presente

i = taxa de juros do período, geralmente anos, durante o qual o

dinheiro obtém um retorno

n = número de períodos

m = número de períodos por ano em que o juros são captalizados

k = taxa efetiva de juros

VFA = Valor futuro de uma anuidade

VPA = Valor presente de uma anuidade

PMT = Montante depositado ou recebido anualmente no fim de cada

ano

Equações básicas

Valor Futuro ( montante único )

VF = VP x FJVF

Valor Futuro ( anuidade )

VF = PMT x FJVFA

Valor Presente ( montante único )

VP = VF x FJVP

Valor Presente ( anuidade )

VP = PMT x FJVPA

Page 42: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

41

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Juros simples

1) Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais as seguintes taxas:

1) 250 % a.a.

2) 150 % a cada 6 meses

3) 1 % a cada 15 dias

4) 600 % ao triênio

5) 0,2 % ao dia

2) Calcular o montante de:

1) $ 3.000 a 27% a.m. por 12 dias

2) $ 1.000 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias

3) $ 4.000 a 34% a.m. por 44 dias

3) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000 a:

1) $ 3.700 depois de 49 dias

2) $ 4.300 depois de 2 anos 7 meses e 11 dias

4) Determine o valor de uma aplicação que acumula:

1) $ 2.000 à taxa de 1.320% a.a. e prazo 32 dias

2) $ 4.000 à taxa de 32,34% a.m. e prazo de 1 dia

3) $ 3.000 à taxa de 35,22% a.m. e prazo de 2 meses e 5 dias

Respostas dos exercícios de juros simples

1) 1) 41,66 % e 62,5 % - 2) 50% e 75% - 3) 4% e 6 % - 4) 33,33% e 50% - 5) 12% e

18%

2) 1) 3.324,00 - 2) 7.766,67 - 3) 5.994,67

3)1) 14,29% e 171,43% - 2) 1,38% e 16,58%

4)1) 920,25 - 2) 3.957,34 - 3) 1.701,55

Page 43: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

42

EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS – Lista 2

1. Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $ 10.000,00 à taxa composta

de 3% a.m. e prazo de 3 meses.

2. Digamos que um título, com vencimento para 4 meses e à taxa composta de 2%

a.m., foi resgatado por $ 3.000,00. Qual foi o valor de emissão desse título.

3. Ao tomar um empréstimo de $ 2.500,00 numa instituição financeira, uma pessoa

pagou $ 3.000,00 após 5 meses. Qual a taxa mensal composta dessa operação?

4. Qual será o valor do pagamento, no fim de 6 meses que liquida um empréstimo

de $ 500,00 à taxa composta de 2,20% a.m.?

5. Um capital de $ 250,00 se transformou em $ 1.510,00 depois de 45 meses. Qual

terá sido a taxa composta trimestral praticada?

6. Um carro à vista no valor de $2.200,00 é vendido com um sinal de $1.200,00,

$1.600,00 no fim de 60 dias. Determinar a taxa mensal de juros composta embutida

nesse negócio?

7. Um empréstimo no valor de $5.000,00 é contratado pelo prazo de 90 dias à taxa

de 4% a.m. Sabendo que o credor ainda cobrou uma comissão de 1% no ato da

liberação do dinheiro a título de comissão de abertura de crédito, determine a taxa

mensal efetivamente cobrada.

8. Uma empresa, para financiar seu capital de giro, levanta um empréstimo pelo

prazo de 2 meses onde é cobrada a taxa de 9% a.m. Determine uma comissão a ser

cobrada no ato da liberação do principal de modo a garantir uma remuneração de 10%

a.m. ao credor.

9. Vamos agora supor que o PIB de um país cresceu 50% em 10 anos. Qual terá

sido neste caso, taxa anual de crescimento (supostamente constante)?

10. Um certo país apresentou uma taxa de inflação da ordem de 48,72% em

determinado mês. Se essa taxa permanecer constante por 12 meses a quanto irá montar

a taxa anual de inflação desse país?

11. Um devedor tem a possibilidade oferecida pelo credor, de liquidar uma dívida

pagando hoje $ 8.000,00 ou $ 10.000,00 de hoje a 5 meses. Com o dinheiro custando

5% a.m., o que ele deve fazer?

12. Vejamos agora o caso de uma pessoa devedora de $ 10.000,00 à taxa composta

de 5% a.m. e que paga $ 6.000,00 no fim de três meses. Que pagamento deverá fazer

dois meses após a fim de liquidar sua dívida?

13. Três títulos de valores nominais (valores no vencimento) de $ 1.000,00, 5.000,00

e 4.000,00, vencem, respectivamente de hoje a 2, 5 e 7 meses. Se um investidor deseja

auferir uma taxa de 3% a.m. quanto deve pagar por eles hoje?

Page 44: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

43

14. Sabendo-se que um título no valor de $ 1.500,00 pagou juros de 2% para os

primeiros 30 dias, 4% para os 30 dias subsequentes e mais 3,50% por outros 30 dias,

determinar seu valor de resgate.

15. Uma dívida de $ 1.000,00 dever ser paga em 3 parcelas e à taxa composta de 5%

a.m. Se a primeira no valor de $ 500,00, é paga no fim de 30 dias, a segunda no valor

de $ 400,00, no fim de 90 dias, determine o valor da terceira e última parcela sabendo

que deve ser paga no fim de 130 dias

16. Para uma taxa composta de 2% a.m., quanto devemos pagar hoje para liquidar

dois títulos no valor de $500,00 cada, o primeiro vencido há 30 dias e o segundo com

vencimento em 2 meses?

17. Se um investimento cresceu à razão de 20% em 3 anos, quanto ele montará em

10 anos?

Respostas:

1) 10.927,27; 2)2.771,54; 3) 3,71%; 4) 569,74; 5) 12,74%; 6) 26,5%; 7) 4,35%;

8) 1,81%; 9) 4,14%; 10) 11.606,65%; 11) pagar no fim de 5 meses; 12) 6.147,82;

13) 8.508,01; 14) 1.646,89; 15) 220,25; 16) 990,58; 17) 83,63%.

Page 45: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

44

Séries de Pagamentos

1) Uma loja financia suas mercadorias em 6 pagamentos mensais, à

taxa de 15% a.m. Determinar o valor dos multiplicadores com 6

decimais para cada $ 1,00 financiado, nas seguintes hipóteses:

a) o 1º pagamento é feito na data da compra

b) o 1º pagamento é feito no fim de 30 dias

c) o 1º pagamento é feito no fim de 90 dias

2) Determinar o pagamento mensal que amortiza um empréstimo de $

5.000,00 em 12 parcelas mensais à taxa de 16% a.m.

3) Para os mesmos dados do exercício 2), calcule a prestação admitindo

2 pagamentos adicionais de $ 1.000,00 cada por ocasião dos

vencimentos da 6ª e 12ª prestações.

4) Quanto uma pessoa acumula no fim de 2 anos se fizer 24 depósitos

mensais de $ 200,00, o primeiro hoje, em uma caderneta de

poupança que paga uma taxa de juros composta de 2% a.m.?

5) Para os dados do exercício 4, quanto a pessoa acumula no fim do

mesmo prazo se começar a depositar de hoje a 30 dias?

6) Um fogão cujo preço à vista é de $ 480,00 pode ser adquirido com

15% de sinal mais cinco prestações mensais e iguais de $ 110.00.

Qual a taxa de juros mensal cobrada?

7) Uma loja de departamentos financia as compras de seus clientes em

6 prestações mensais e iguais, a primeira no ato da compra. Se esta

loja utiliza o coeficiente de 0,188795 para a determinação da

prestação, que taxa de juros mensal ela esta cobrando?

8) Para os mesmos dados do exemplo anterior, determine a taxa de

juros supondo que o primeiro pagamento seja no fim de 30 dias.

9) Uma loja financia suas mercadorias em 12 prestações mensais e

iguais dizendo que cobra 5% a.m. ou 60% .a.a. Para o cálculo da

prestação mensal, acresce o valor financiado em 60% e divide o

resultado por 12. Se o primeiro pagamento é feito no ato da compra

determine a taxa mensal efetivamente cobrada pela loja.

Page 46: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

45

10) Para uma taxa de juros de 4% a.m., quanto você paga hoje por uma

série de 25 títulos no valor de $ 500,00 cada com vencimentos

mensais e sucessivos o primeiro de hoje a 6 meses?

1) a) 0,229771; b) 0,264237; c) 0,349453 - 2) 962,07 - 3) 850,68 - 4)

6.206,06 - 5) 6.084,37 6) 10,86% - 7) 5,28% - 8) 3,68 - 9) 9,98% - 10)

6.420,11

SÉRIES DE PAGAMENTOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcular o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1.000,00, nas

hipóteses abaixo:

Taxa de Juros Prazo

a) 2% a.m. 24 meses

b) 3% a.m. 12 meses

c) 2,5% a.m. 36 meses

d) 10% a.t. 8 trimestres

e) 15% a.s. 5 semestres

2. Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $

200,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados:

a) 2,5% a.m. 18 meses

b) 3,0% a.m. 18 meses

c) 2,0% a.m. 24 meses

d) 4,0% a.m. 24 meses

3. Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações

mensais de $ 500,00 . Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado

é de 2,5% a.m., até que preço vale a pena comprar o terreno à vista?

4. Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por $ 250.000,00 à

vista ou em 4 prestações trimestrais de $ 77.600,00. Qual é a melhor opção

de compra, uma vez que a taxa de juros corrente é de 10% a.t.

5. Um magazine tem como política de vendas oferecer um desconto de

10% nas compras à vista. Nas vendas a prazo, os clientes deverão pagar 12

prestações iguais a 10% do valor à vista. Supondo-se que a taxa de juros

corrente seja de 2,5% a.m., qual é a melhor alternativa para o comprador?

Page 47: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

46

6. Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço à vista é de

$ 10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e

respectivos prazos:

Taxa de Juros Prazo

a) 2,5% a.m. 12 meses

b) 2,5% a.m. 24 meses

c) 3,0% a.m. 12 meses

d) 3,0% a.m. 36 meses

e) 10,0% a.t. 10 trimestres

f) 10,0% a.a. 2 anos

7. Um sítio é posto à venda por $ 300.000,00 à vista, ou a prazo nas

seguintes condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3%

a.m. Qual é o valor das prestações?

8. O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário

deseja estabelecer fatores que serão aplicados ao preço à vista para cálculo

da prestação mensal. A taxa de juros da empresa é de 2% a.m.; portanto,

quais são estes fatores por unidade de capital, nos prazos abaixo:

a) 6 meses

b) 12 meses

c) 18 meses

d) 24 meses

e) 30 meses

f) 36 meses

9. Uma firma revendedora de automóveis usados oferece o seguinte plano

na venda de um carro, modelo 1952:

a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55.

b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01.

Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual é a melhor alternativa?

10. O preço de uma motocicleta é de $ 20.000,00 à vista; caso o cliente

deseje as facilidades do crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo

caso, exigem-se 24 prestações mensais de $ 1.245,46. Que taxa de juros

mensal está sendo cobrada?

11. Um barco é vendido por $ 150.000,00 à vista ou por $ 30.000,00 de

entrada e mais 8 prestações quadrimestrais de $ 26.742,01. Que taxa

quadrimestral está sendo considerada?

Page 48: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

47

12. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua

sistemática num financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte:

1,2% x 12 meses = 14,4% a.a.

10.000 (1,144) = $11,440,00

11.440 : 12 = $ 953,33

Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de $ 953,33. A taxa de juros é

realmente de 1,2% a.m.?

13. O banco CEF, para um financiamento em 12 meses, propõe o seguinte

esquema:

prestação mensal = (valor do financiamento) : 12

juros do banco = 14% do valor do financiamento

valor recebido = (valor do financiamento) (juros do banco)

Qual é a taxa de juros cobrada?

14. Uma financeira publica em um jornal que seus coeficientes, para cada

unidade de capital emprestado, de acordo com os prazos, são:

Prazo Coeficiente

a) 6 meses 0,18707

b) 12 meses 0,10086

c) 18 meses 0,07230

d) 24 meses 0,05819

e) 30 meses 0,04992

f) 36 meses 0,04455

Então, um financiamento de $ 1.000,00 por 12 meses resultará em 12

prestações de 1.000 x 0,10086 = $ 100,86. Qual é a taxa de juro mensal de

cada coeficiente?

Page 49: 01 01 MATFIN20102ºTRIMAPOSTILA

Matemática Financeira

48

RESPOSTAS:

1. a) 18.913,93; b) 9.954,00; c) 23.556,25; d) 5.334,93; e) 3.352,16.

2. a) 2.870,67; b) 2.750,70; c) 3.782,79; d) 3.049,39.

3. Indiferente, se o preço à vista < 21.778,13.

4. Comprar a prazo.

5. Comprar à vista.

6. a) 974,87; b) 559,13; c) 1.004,62; d) 458,04; e) 1.627,45; f) 5.761,70

7. 10.493,68

8. a) 0,178526; b) 0,094560; c) 0,066702; d) 0,052871; e) 0,044650; f)

0,039233.

9. Plano a.

10. 3,5% a.m.

11. 15% a.q.

12. 2,13% a.m.

13. 2,4% a.m.

14. a) 3,40% a.m.; b) 3,07% a.m.; c) 2,93% a.m.; d) 2,86% a.m.; e) 2,83%

a.m.; f) 2,82% a.m.