função sinusoidal regime forçado com fontes sinusoidais amplitudes complexas impedância e...
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Função sinusoidal Regime forçado com fontes sinusoidais Amplitudes complexas Impedância e Admitância Técnicas de análise
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado sinusoidal
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidal
Xm
-Xm
4T
2T
43T
T
x(t)
t
Tf 1 f 2
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidal
tsenXtx m tsenXtx m
Xm
-Xm
2
23
2
x(t)
t
Xm amplitude frequência angular
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidal
tsenXtx m
Xm
-Xm
2
23
2
x(t)
t
Xm amplitude frequência angular
tsen
2cos tXm
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidalUma função sinusoidal com desfasagem
pode se escrita na forma
sentXtsenXtx mm coscos
tsenXtx m
senXAXA mm 21 cos
senbabasenbasen coscos
tAtsenAtx cos21
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidalou na forma
com
tAtsenAtx cos21
cos1 mXA θ2 senXA m 222222
21 cos MM XsenXAA
22
21 AAXM
tan1
2 AA
2
222
21 arctan
AA
tsenAAtx
7
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais Num circuito linear com excitações sinusoidais, as tensões e
correntes em regime forçado são sinusoides com a mesma frequência.
+-
vs(t) i(t)
tsenAtvsKCLKCV
tsenAti
8
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais
Sendo a fonte de tensão sinusoidal, a corrente terá a forma sinusoidal. Podedeterminar-se a amplitude A e a desfasagem através da equação
diferencial
R
L
i(t)
+-
vs(t) tVtiRdttdiL M cos
tVv Ms cos
tsenAtAsentsenAtAtAti 21 coscoscoscos
bsensenababa coscoscos
9
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais
Para se verificar a equação anterior
tVtsenAtARdt
tsenAtAdL M
coscos
cos21
21
tVtsenRAtRAtLAtLsenA M coscoscos 2121
MVRALARALA
12
21 0
2222
2221
LRLVA
LRRVA
M
M
tsenLR
LVtLR
RVti MM
222222 cos
10
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais
22222221 LR
LVALR
RVA MM
tsenLR
LVtLR
RVti MM
222222 cos
2
222
21 arctan
AAtsenAAti
11
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais
tAti cos
tan1
2
RL
AA
222
22
LRV
A M
RLt
LR
Vti M
arctancos 222
222
22
222
2
2222
LRV
LRLV
LRRV
A MMM
12
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais Para simplificar a análise, utilizando equações algébricas,
estabelece-se uma correspondência entre funções sinusoidais e números complexos.
tjMMM eVtsenVjtVtv cos)(
tVjtIeIti MMtj
M cos)( )(Re tjM eIti
tVtv M cos)(
)cos( tIti M
13
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
R
L
i(t)
+-
vs(t) tVtiRdttdiL M cos
tVv Ms cos tjMs eVv
tjM
tjM
tjM eVeIReI
dtdL tj
Mtj
Mtj
M eVeIReLIj
tjM eIi
Mj
Mj
M VeIReLIj
14
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
R
L
i(t)
+-
vs(t)LjRVeI Mj
M
R
LarctgjMj
M eLR
VeI
222
RLarctgt
LR
Vti M
cos)(222
15
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Amplitudes complexas (phasors)
em que V e I são as amplitudes complexas
)(Recos tjMM eVtVtv
MVV
)(Recos tjMM eItIti
MII
)( tjM eV )( tj
M eI
tjeV tjeI
tjjM eeV tjj
M eeI
16
Amplitudes complexas (a frequência fica ímplicita)
Representação no tempo Amplitudes complexas
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
cos tA
tsenVM
A
º90 MV
º4524
º30 12
º45377cos24 t
º12037712 tsen
17
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
R
L
i(t)
+-
vs(t) tVtiRdttdiL M cos
tjtjtj
VeIeRdtIedL
tjtjtj VeIeRLIej
V e I são as amplitudes complexas
VIRLIj RLarctg
RL
VRLj
VI M
222
18
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
R
L
i(t)
+-
vs(t)
RLarctg
RL
VRLj
VI M
222
RLarctgt
LR
Vti
cos)(222
19
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)
Transformou-se uma equação diferencial com excitação sinusoidal numa equação algébrica com amplitudes complexas.
Tensão v(t) no domínio do tempo transformada na amplitude complexa V no domínio da frequência
R
L
i(t)
+-
vs(t)
tVtiRdttdiL M cos
VIRLIj
20
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo Amplitude complexa (f = 1kHz)
Representação no tempo?
º2016 V
º75 10 I
º20102cos16 3 ttv
º75102cos10 3 tti
21
R
i(t)
v(t)
+
-
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Resistência
R
i(t)
v(t)
+
-
v, i
tiv
vi
tiRtv
V
iv I
Re
Im
R
I
V
+
-
IRV
iMj
M VeII i
vMj
M VeVV v
22
L
i(t)
v(t)
+
-
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Bobina
dttdi
Ltv
R
i(t)
v(t)
+
-
v, i
t
v i
tjM
tjM
iv eIdtdLeV
tMM
iv eILjeV
ILjV
23
L
i(t)
v(t)
+
-
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Bobina
dttdi
Ltv
L
I
V
+
-
ILjV
º90 iv
iI
Re
Im
I
v
VR
i(t)
v(t)
+
-
v, i
t
v i
24
C
i(t)
v(t)
+
-
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Condensador
dttdv
Lti
R
i(t)
v(t)
+
-
v, i
t
vi
vi tjM
tjM eI
dtdCeI
tMM
vi eVLjeI
VCjI
25
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Condensador
C
i(t)
v(t)
+
-
dttdvcti
C
I
V
+
-
LjIV
º90 vi
vI
Re
Im V
i
IR
i(t)
v(t)
+
-
v, i
t
vi
26
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Impedância Impedância: relação entre a amplitude complexa da tensão e a
amplitude complexa da corrente
R é a parte resistiva (real) e X é a parte reactiva (imaginária). X designa-se por reactância
R, X e Z dependem da frequência
IV
Z
jXRZ
jjXjRjZ
27
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Admitância Admitância
G é a condutância
B é a susceptância
VI
ZY
1 jBGY
28
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Impedância Resistência
Bobina
Condensador
RZ
LXLjXLjZ
L
L
º90
CX
CjX
CjZ
L
C
1
º9011
29
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo
Amplitude complexa
Tensão aos terminais de R = 4 k
Tensão aos terminais de L = 3 mH
Tensão aos terminais de C = 5 F
mAtti º4510cos5 3
mAI º455
º4510cos5 3 tti
VV º4520
VV º13515
VV º451
30
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo
R CLZ
R
C
L
Z CjLjRZ
1
CjLjRZ
Y
111
31
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo i(t) = ?
20
50 F
40 mH
+-vs
Vtsentvs º60377120 i(t)
32
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo i(t) = ?
20
50 F
40 mH
+-vs
Vtsentvs º60377120
Smj
YLR 540377201
1885,01050377 6 jjCjYC
SjYLR 024,00318,0
º2,3984,3º2,9032,030120 YVI
SjYYY CLR º2,9032,00052,0318,0
SLjR
YLR
1
)º2,39377cos(84,3)( tti
33
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo Zeq = ? R1
Zeq
C2
R3
L4
C5
R6 L7
R8
C9
987654321 ////// ZZZZZZZZZZeq
88
66
33
11
RZRZRZRZ
77
44
LjZLjZ
79
55
22
111
LjZLjZLjZ
34
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise Análise nodal Ix = ? e ix (t)= ?
j 10
-j 5
j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10
5
IX
V1 V2
52
jV
I x
35
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise
j 10
-j 5
j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10
5
IX
V1 V2
5,0510105
1510105
121222
212111
jjVV
jVVV
jV
jVV
jVV
jVV
52
jV
I x
36
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise
j 10
-j 5
j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10
5
IX
V1 V2
1,01,01.01,02,02,0
2,01,01,02,01,02,01,02,02,01,01,02,0
jjjj
jjjjjjjjjj
G
37
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise
5,01
1,01,01.01,02,02,0
2
1
jVV
jjjj
j 10
-j 5
j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10
5
IX
V1 V2
4205,0
2,01,0
1,01,01,01,02,02,0
5,01,012,02,0
2 jj
jjjjjj
j
V
52
jV
I x
38
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise
Ajjj
jVI x 4,08,0
542
52
89,016,064,0 xI
º6,265.0arctan xI
AI x º6,2689,0 Attix º6,26cos89,0)(
AjI x 4,08,0
39
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise Análise de malhas ix(t)=
02241043
1212
211
IIjIIjIIjI
500 F
4 mH10 cos(1k t)
3
I1 I2+-
+- 2 Ix
Ix
024210443
21
21
IjIjIjIj
1II x
242443
20410
1
jjjj
jj
I
40
Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise
Atix )º8,2910cos(24,1 3
500 F
4 mH10 cos(1k t)
3
I1 I2+-
+- 2 Ix
Ix
AI º8,2924,11
1II x
13
81465
40701649
471047
10814
20
242443
20410
1jjjj
jj
jj
jjjj
jj
I
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