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Departamento de Engenharia Qumica Faculdade de Cincias e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Operaes Unitrias II 2004/2005

Algoritmo do Mtodo de Wang-Henke para Projecto de Colunas de Destilao Multicomponentes

1. Sistema de Equaes MESH e sua Estrutura O mtodo de Wang-Henke baseia-se nas chamadas equaes MESH: balanos de massa (M), equaes de equilbrio lquido-vapor (E), somatrio das fraces molares igual a 1 (S) e balanos de entalpia (H). Estas equaes aplicam-se aos N andares de equilbrio da coluna de destilao representada na figura (o ndice i refere-se ao componente e o ndice j ao andar):

1 1, 1 1, , ,

, ,

M:

( ) ( )j j i j j i j F j i

j j j i j j j i

L x V y F xL U x V W y

+ ++ + =

= + + + (1)

, , ,E: j i j i j iy k x= (2)

,S: 1j i

iy = e , 1j i

ix = (3)

1 1 1 1H:

( ) ( )jj j j j j F j

j j j j j j

L h V H F h QL U h V W H + ++ + =

= + + + (4)

1,i nc= e 1,j N= i = 1: condensador (ainda que seja total) i = N: revaporizador

Para o caso do nosso modelo de equilbrio (gs perfeito e mtodo de UNIFAC para estimar os coeficientes de actividade na fase lquida):

*, , , ,

( ) ( , ) /j i j i j j i j i j jk p T x T p=

Anlise dos graus de liberdade: Dados:

, ,, , , , , , ,jj F j i F j j j jN F x T p U W Q (excepto Q1

e QN) Variveis:

, ,, , , ,j j j j i j iL V T x y

Nmero de equaes = ncN (M) + ncN (E) + 2N (S) + N (H) = 2ncN + 3N Nmero de graus de liberdade = 2 No mtodo de Wang-Henke especifica-se a razo de refluxo (R) e o caudal de destilado (igual a V1 no caso de condensador parcial ou U1 no caso de condensador total).

Substituindo (2) em (1), obtm-se, para cada componente i, o seguinte sistema de equaes, com estrutura tridiagonal relativamente a xj,i:

2

1 1, , , 1 1, 1, , ,

1, , , , 1, ,

1

, ,

, 1 1,

, , ,

( ), 1,

, 2,

( ) , 1,, 1, 1, 1,

j j i j j j i j j j i j j i j i j F j i

j j i j i j i j i j i j i

j j

j i j j j i j j

j i j j i

j i j F j i

L x L U k V W x V k x F x

A x B x C x D j NA L j NB L U k V W j NC V k j ND F x j N

+ + +

+

+ +

+ + + + =

+ + = =

= =

= + + + =

= =

= =

(5)

Na forma matricial:

1,1 1 1

2,2 2 2 2

3,3 3 3 3

2,2 2 2 2

1,1 1 1 1

,

0 0 0 00 0 0

0 0 0

0 0 00 00 0

i

i

i

N iN N N N

N iN N N N

N iN N N

xB C DxA B C DxA B C D

xA B C DxA B C DxA B D

=

(6)

Os caudais de lquido podem ser calculados a partir dos caudais de vapor, efectuando-se um balano global envolvendo o andar j e o topo da coluna:

1 11( ) , 1,

jj j m m m

m

L V F U W V j N+=

= + = (7)

Para que esta equao seja vlida para j = 1 e j = N, faz-se VN+1 = 0, UN = 0 e W1 = 0. No caso do condensador ser total, o andar 1 no de facto um andar de equilbrio. Alm disso, faz-se V1 = 0 e a sangria U1 corresponde corrente de destilado. O vapor do topo da coluna ento V2.

2. Algoritmo do Mtodo de Wang-Henke O sistema tridiagonal (6) pode ser resolvido, conhecendo-se os caudais de vapor Vj, as razes de equilbiro kj,i, e calculando-se os caudais de lquido a partir de (7). Obtm-se assim as composio das correntes lquidas xj,i e por clculos bubble point as temperaturas Tj e composies do vapor yj,i. Pode ento recalcular-se as razes de equilbrio ki,j = yj,i / xj,i . Os caudais de vapor so recalculados a partir dos balanos entlpicos (4), como veremos mais adiante. Volta ento a resolver-se o sistema tridiagonal (6) e assim sucessivamente at convergncia no perfil de temperaturas. O algoritmo do mtodo de Wang-Henke ento: Variveis de entrada:

, ,, , , , , , ,jj F j i F j j j jN F x T p U W Q (excepto Q1 e QN), razo de refluxo R e caudal de destilado D

Estimativas iniciais: T1 e TN Variveis de sada:

, , 1, , , , , e j j j j i j i NL V T x y Q Q 1. Calcular o perfil inicial de temperaturas: perfil linear entre T1 e TN. Calcular estimativa das razes de equilbrio, admitindo modelo ideal: *

, ,( ) /j i j i j jk p T p= .

2. Calcular estimativa inicial para os caudais de vapor. No caso de uma s alimentao de lquido saturado razovel considerar caudais constantes e iguais a (R+1)D.

3

3. Calcular Lj por (7) e coeficientes A, B, C e D por (5). 4. Para cada componente i, resolver o sistema tridiagonal (6). Normalizar as solues. 5. Obter novo perfil de temperaturas por clculos bubble-T. Recalcular razes de equilbrio. 6. Recorrendo aos balanos entlpicos, calcular Q1 e QN e recalcular nova estimativa para os caudais de vapor (este ponto do algoritmo encontra-se desenvolvido mais adiante). 7. Voltar a 3. at que o erro quadrtico mdio no perfil de temperaturas seja inferior a uma tolerncia:

2( ) ( 1)

1

1 N k kj j

jT T

N

=

, ~ 10

-410-5

Balanos entlpicos (ponto 6 do algoritmo) No final do ponto 5. do algoritmo dispe-se da temperatura e composio das correntes de lquido e vapor, podendo ento estimar-se a sua entalpia. Por um balano entlpico ao condensador obtm-se Q1 e por um balano envolvendo toda a coluna pode calcular-se QN. Para refinar os caudais de vapor, recorre-se ao conjunto de balanos entlpicos (4). Combinando (7) e (4), de forma a eliminar Lj-1 e Lj, obtm-se o seguinte sistema de equaes, com estrutura bidiagonal em relao aos caudais de vapor:

1

1

1

1

1 11

, 2, 1, 2, 1

( ) ( ) ( )

( ) , 2, 1j

j j j j j

j j j

j j jj

j m m m j j j j Fm

j j j j

V Vh H j NH h j N

F U W V h h F h h

W H h Q j N

+

+

=

+ = = =

= =

= + +

+ + =

(8)

Na forma matricial:

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1

0 0 00 0 0

0 0 N N N N

VV

V

=

(9)

V2 conhecido e no muda ao longo do processo iterativo: V2 = (R+1)D ou, no caso geral 2 1 1 1 1 1 1( 1)V L U F V R D F V= + + = + + .

O sistema (9) pode ser resolvido recursivamente de cima para baixo: 2 2 2 3 2 3 2 2 2( ) /V V V V + = = e assim sucessivamente at se obter VN.

O algoritmo detalhado do ponto 6 ento: 6.1. Calcular entalpias , e jj j FH h h .

6.2. Calcular os calores trocados no condensador e revaporizador (Q1 e QN). 6.3. Calcular coeficientes , e por (8). 6.4. Calcular os caudais de vapor, resolvendo o sistema bidiagonal (9).

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Bibliografia

Henley, E. J. e Seader, J. D. (1981). Equilibrium-Stage Separation Operations in Chemical Engineering, John Wiley & Sons, New York.

Wankat, P. C. (1988). Equilibrium Staged Separations, Elsevier Publishing Co., Inc., New York. Vladerrama, J. O. e Henning, R. H., 1984, Simulacin rigurosa de una columna de destilacin para

sistemas multicomponentes, Ingenieria Quimica, p. 351-361.