1 Lista de lgebra II

1) Seja G um grupo e x, y, z G . Prove as leis do cancelamento:

xy = xz y = z

e

yx = zx y = z

2) Quais os seguintes subconjuntos G de Z13 so grupos com a operao de multiplicao? a) G = {1,3,5, 7,9,11} b) G = {1,3,5,8,9} c) G = Z13 {0} 3) Seja G um grupo e a, b, c G . Mostre que as equaes abaixo possuem uma nica soluo em G : b) x a = b c) x a x b = x c a) a x = b

4) Se G um grupo abeliano, mostre que x, y G, m Z

( xy )

m

= xm y m .

5) Seja n N . Mostre que a gerador do grupo ( Z n , + ) se, e somente se

mdc( a, n) = 1 . Conclua que esse grupo possui exatamente ( n) geradores, onde a funo phi de Euler.6) Seja G um grupo cclico gerado pelo elemento x G . Mostre que todo subgrupo H de G cclico (Sugesto: seja m o menor natural tal que x m H . Mostre que H = x m ). 7) Seja G um grupo contendo exatamente 2n elementos, onde n natural. Mostre que existe em G um elemento de ordem 2. 8) Calcule o centro e o subgrupo dos comutadores dos grupos ( Z, + ) e S3 . 9) Seja G um grupo e a G . Prove que: a) a tem ordem 2 a = a 1 . b) o( a ) = mn o( a m ) = n 10) Seja G um grupo abeliano. Considere o subconjunto: c) o( a 1 ) = o( a )

T (G ) = {a G / n N tal que a n = e}Mostre que T (G ) < G . Esse subgrupo dito o subgrupo de toro de G .