«Alea Jacta Est.» (A Sorte está lançada)

Imperador Júlio César (100 – 44 a.C.)

«Deus não joga aos dados…»

Albert Einstein(1879-1955)

No nosso quotidiano, existem dois tipos de experiências, as:-deterministas;-aleatórias.

Uma experiência determinista ou causal é aquela que se sabe o seu resultado, antesde a efectuar, e produz o mesmo resultado, desde que seja repetida sob as mesmas condições.Exemplo: Se atirarmos uma pedra a um lago, sabemos que o seu resultado será sempre, a pedra vai ao fundo.

Uma experiência aleatória ou casual é caracterizada pelo facto do seu resultado serimprevisível, embora os resultados possíveis sejam conhecidos e mesmo que realizada várias vezes e nas mesmas condições, o resultado de cada uma das realizações é incerto, e só é conhecido posteriormente.Exemplo: Lançamento de um dado equilibrado.

A Teoria das Probabilidades ocupa-se do estudo das experiências aleatórias.

A origem das probabilidades…O aparecimento da Teoria das Probabilidades, esteve relacionado com os denominados «jogos de azar», e a procura de regularidades e explicações para maximizar os sucessos foram as motivações para aprofundar os conhecimentos nesta área da Matemática.Os primeiros contributos devem-se a Tartaglia (1499-1557), Luca Pacioli (1445-1514), Galileu (1564-1642) e Cardano (1501-1576).

Cardano foi o primeiro a dedicar um livro às Probabilidades, Liber de Lvdo Alea.

TartagliaLuca Pacioli Galileu Cardano

Em 1654, Antoine de Gamband (1610-1685), mais conhecido por Cavaleiro De Méré, jogador conceituado da corte de Luís XIV, colocou diversas questões relacionadas com o jogo ao seu amigo Pascal.A partir daqui, Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat (1601-1665) realizaram uma série de reflexões, através de cartas, iniciando deste modo, a moderna teoria das probabilidades.

Pascal Fermat

No século XVIII, o Cálculo de Probabilidades tornou-se um tema que despertou grandeinteresse em muitos matemáticos.

Jacob Bernoulli (1654-1705), escreveu Ars conjectandi – A Arte de Conjecturar.

Na segunda metade do século XVIII, o notável matemático francês, Pierre Laplace (1749-1827),publicou um significativo número de trabalhos na área das probabilidades.

No século XIX, destacam-se os trabalhos do alemão Gauss (1777-1855).

E também, o francês Denis Poisson (1781-1840).

O fundamento lógico e teórico da teoria das probabilidades como instrumento exacto e fiável do conhecimento surgiu com a célebre escola de Sampetersburgo durante oséculo XIX e princípios do século XX.Destacam-se:

Tchébychev (1821-1894)

Markov (1856-1922)

Lyapunov (1857-1918)Markov

Por fim, foi a escola soviética que permitiu a axiomatizou da teoria das probabilidades.Destacam-se:

Kolmogorov (1903-1987)

Romanovski (1879-1954)

Smirnov (1887-1974)

Kolmogorov

Noções básicas da Teoria das ProbabilidadesDefinida uma experiência aleatória, o Conjunto de Resultados ou Espaço de Resultadosou Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados dessa experiência.Representa-se por: S, U, Ω ou E.

Exemplo 1:Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista-se o númeroda face voltada para cima.Assim: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 2:Lançam-se dois dados equilibrados, um com as faces numeradas de 1 a 6, e outro com as faces numerados de 1 a 4. Registam-se os números das faces voltadas para cima.Assim: E = {(1, 1), (1, 2), …., (6, 4)}

Exemplo 3:Lança-se uma moeda, com as faces FN e FE, três vezes, e regista-se o tipo de face, que fica voltada para cima.Assim: E = {(FN, FN, FN), (FN, FN, FE), … , (FE, FE, FE)}

Um Acontecimento é cada um dos subconjuntos do espaço de resultados.

Relativamente à primeira experiência, o lançamento de um dado, podemos definir os seguintes acontecimentos:

A: «sair um número inferior a 2» = {1}B: «sair um número primo» = {2, 3, 5}C: «sair um número inferior 7» = {1,2, 3, 4, 5, 6} = ED: «sair um número negativo» = { }

Classificação de acontecimentos

Acontecimento elementar – A

Acontecimento composto – B

Acontecimento certo – C

Acontecimento impossível - D

Operações com acontecimentos

União ou Reunião () de dois acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza quando se realiza A ou B ou ambos.O acontecimento A B é constituído pelos resultados que pertencem a, pelo menos, um dos acontecimentos.

:A B x E x A x B

Intersecção () de dois acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizam simultaneamente.O acontecimento A B é constituído pelos resultados comuns a A e B. :A B x E x A x B

O acontecimento complementar ou contrário de A é o acontecimento constituído por todos os resultados do espaço Eque não pertencem a A.

:A x E x A

O acontecimento diferença entre A e B (A-B ou A\B) é o acontecimento que se realiza sempre que se realiza A, sem que B se realize.O acontecimento A-B é constituído pelos resultados que pertencem a A e que não pertencem a B.

\ :A B A B A B x E x A x B

A

Exercício: Relativamente à experiência, lançamento de um dado com as facesnumeradas de 1 a 6, considera os seguintes acontecimentos:

A: «sair número par»B: «sair número ímpar»C: «sair número par, maior do que 2»

Determina:

)))

)

))

)

a A Bb A Bc A C

d A

e Cf A C

g B C

Acontecimentos Incompatíveis

X e Y dizem-se incompatíveis ou disjuntos ou mutuamente exclusivos se e só se : X Y =

Acontecimentos Contrários

X e Y dizem-se contrários se e só se: X Y = X Y = E

Propriedades das operações com acontecimentos

X X X X X X X X

X X X X X E

X E X X E E X X

X Y X Y X Y X Y Leis de De MorganX Y Y X X Y Y X(X Y) Z X (Y Z)(X Y) Z X (Y Z)X (Y Z) (X Y) (X Z)X (Y Z) (X Y) (X Z)

Exercícios

Manual, Volume 1:

Página 11: 1Página 12: 2, 3Página 13: 4Página 16: 6, 7Página 18: 8Página 20: 9, 10

Aproximações conceptuais para Probabilidade

Definição clássica de Probabilidade (Lei de Laplace)Dado um espaço de resultados E, finito e tal que todos os resultados elementares são equiprováveis (igualmente prováveis), define-se probabilidade de um acontecimento A como o quociente entre o número de casos favoráveis a A e o número total de casos possíveis.

n.c.f . #AP(A)n.c.p. #E

Definição frequencista de Probabilidade (Lei dos Grandes Números)A probabilidade de um acontecimento A associado a uma experiência aleatóriaé o valor para que tende a frequência relativa da realização de A quando o número de provas tende para infinito.

Nota 1: Esta lei aplica-se a acontecimentos equiprováveis e não equiprováveis.

Nota 2: Esta lei pode ser útil para averiguar se uma moeda, ou um dado estão ou não viciados.

Exercícios:

Manual, volume 1

Página 21: 11, 12Página 23: 13Página 26: 14, 15, 16Página 27: 17, 18, 19Página 28: 20, 21, 22Página 29: 23Página 32: 24, 25Página 33: 26, 27Página 34: 28

Ficha de trabalho n.º 1

Definição axiomática de probabilidade (caso finito)

A cada acontecimento A do universo E, faz-se corresponder um número real que se chama probabilidade de A (P(A)), o qual cumpre os seguintes axiomas:

1

2

3

A :P(A) 0, A E;A :P(E) 1;A :Se A e B são incompatíveis,então :P(A B) P(A) P(B).

Teoremas elementares das probabilidades

Teorema1:P(A) 1 P(A)Teorema 2 :P( ) 0Teorema 3:P(A) 1Teorema 4 :P(A B) P(A) P(B) P(A B)

Teorema 5 :P(A B) P(A) P(A B)Teorema 6 :Se A B,então P(A) P(B)Teorema 7 : 0 P(A B) P(A) P(A B) P(A) P(B) 1

Exercícios

Manual, volume 1:

Página 36:29, 30, 31Página: 37, 32, 33, 34, 35Página 38: todos

Ficha de Trabalho n.º 2