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AGRUPAMENTO Aulas 01 a

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário ARRANJO ................................................................................................................................................................. 2

PRELIMINAR ............................................................................................................................................................ 2

ARRANJO ................................................................................................................................................................. 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

PERMUTAÇÃO ......................................................................................................................................................... 3

PRELIMINAR ............................................................................................................................................................ 3

PERMUTAÇÃO ......................................................................................................................................................... 3


PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO ............................................................................................................................. 3

PRELIMINAR ............................................................................................................................................................ 3

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO ............................................................................................................................. 4


COMBINAÇÃO ......................................................................................................................................................... 4

PRELIMINAR ............................................................................................................................................................ 4

COMBINAÇÃO ......................................................................................................................................................... 5


QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 5

GABARITO ........................................................................................................................................................... 6


QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 6

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

ARRANJO PRELIMINAR Exemplo 1.1: De quantas formas distintas podemos

formar uma sequência sorteando sucessivamente, em

um baralho de 52 cartas:

a) 3 cartas?

Podemos sortear as três cartas de

52 ⋅ 51 ⋅ 50 =52!

49!

maneiras diferentes.

b) 4 cartas?

Podemos sortear as quatro cartas de

52 ⋅ 51 ⋅ 50 ⋅ 49 =52!

48!


Nos casos anteriores, a ordem do sorteio alteara o

resultado, ou seja, o sorteio (1; 2; 3) ≠ (3; 2; 1). Além

disso, como não há repetição de elementos, a cada

sorteio o número de possibilidades do próximo reduz

em uma unidade.

Exemplo 1.2: De quantas formas distintas podemos

sortear 𝑘 cartas sucessivamente, em um baralho de 𝑛

cartas?

Podemos sortear as 𝑘 cartas de

𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ ⋯ ⋅ (𝑛 − 𝑘 + 1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!


ARRANJO Dado um conjunto de 𝑛 elementos distintos, chama-

se de arranjo dos 𝑛 elementos, tomados 𝑘 a 𝑘, a

qualquer sequência ordenada de 𝑘 termos distintos

escolhidos entre os 𝑛 existentes

𝑨𝒏,𝒌 =𝒏!

(𝒏 − 𝒌)!

com 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule:

a) 𝐴6,2

b) 𝐴10,5

1.2. Para ocupar o cargo de secretário e tesoureiro o

grêmio de um colégio deve escolher entre 6

candidatos. De quantos modos distintos podem

ser feitos as escolhas?

1.3. Sabe-se que as cinco pessoas de uma família

nasceram em meses distintos. Quantas são as

sequências que podem representar os meses de

nascimento dessas pessoas?

1.4. Em um torneio internacional de natação

participam cinco atletas europeus, dois

americanos e um brasileiro.

a) De quantos modos distintos poderão ser

distribuídas as três medalhas.

b) Em quantos resultados só aparecem atletas

europeus nas três primeiras posições?

c) Em quantos resultados o atleta brasileiro

recebe medalha?

1.5. Quinze seleções disputam o torneio olímpico de

vôlei feminino, entre elas dois rivais históricos:

Brasil e Cuba.

a) Quantos são os resultados possíveis para a

distribuição das medalhas de ouro, prata e

bronze?

b) Em quantos resultados o Brasil recebe

medalha, mas Cuba não?

c) Em quantas premiações pelo menos uma

dessas equipes recebe medalha, com o Brasil

na frente de Cuba?

Obs.1: Toda questão de arranjo pode ser feita por PFC,

mas nem toda questão de PFC pode ser feita por

arranjo.

Arranjo

Como o arranjo é uma lista ordenada de termos, ele

deve ser usado em problemas nos quais a ordem dos

elementos estudados importa, ou seja, em

problemas onde estamos construindo sequencias e

não conjuntos

TAREFA 1 – No capítulo “Análise combinatória 2”, no

2º período, fazer as questões do Praticando em Sala de

Aula (PSA) 4, 6, 13.


AULA 02

PERMUTAÇÃO PRELIMINAR Exemplo 2.1: De quantas maneiras podemos formar

uma fila com:

a) 5 pessoas entre 5 disponíveis?

Podemos formar a fila de

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 = 5!

maneiras distintas

b) 𝑛 pessoas com 𝑛 pessoas disponíveis (𝑛 ≥ 1)?

Podemos formar a fila de

𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ 1 = 𝑛!

maneiras distintas

Nos casos anteriores, a ordem das pessoas altera o

resultado. Além disso, como não há repetição de

elementos, a cada sorteio o número de possibilidades

do próximo reduz em uma unidade e utilizamos todos

os elementos disponíveis. Com isso, o caso se encaixa

em um tipo de arranjo com a particularidade de todos

os elementos serem utilizados. Denomina-se estes

arranjos como permutação.

PERMUTAÇÃO Dado um conjunto de 𝑛 elementos distintos, chama-

se de permutação dos 𝑛 elementos a qualquer

sequência ordenada de 𝑛 termos distintos escolhidos

entre os 𝑛 existentes

𝑷𝒏 = 𝒏!

com 𝑛 ∈ ℕ


a) 𝑃7

b) 𝑃3

2.2. Quantos anagramas podemos formar com as

letras da palavra PATO?

Obs.1: Um anagrama é uma palavra a partir da

mudanã de ordem das letras de outras palavra (tendo

sentido ou não). Por exemplo, um anagrama da

palavra PATO é TOPA. Outro anagrama seria OTAP.

2.3. Quantos anagramas da palavra FILTRO começam

por consoante?

2.4. De quantos modos distintos seis homens e seis

mulheres podem formar uma fila indiana:

a) Em qualquer ordem?

b) Iniciando com homem e terminando com

mulher?

c) Se os homens devem aparecer juntos e as

mulheres também.

2.5. Quantos são os anagramas da palavra GABRIEL:

a) Que começam pela letra G?

b) Que começam pela letra G ou A?

c) Que começam com as letras GA, nessa

ordem?

d) Que começam com as letras G e A?

e) Que possuem as letras GA juntas?

2.6. Permutando-se de todos os modos possíveis os

algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números

assim formados em ordem crescente.

a) que lugar ocupa o número 62147?

b) qual número que ocupa o 66º lugar?

c) qual o 200º algarismo escrito?

d) qual a soma dos números assim formados?

AULA 03 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

PRELIMINAR Exemplo 3.1: Quantos são os anagramas da palavra

ANA?

Considerando inicialmente a palavra

ANA

As trocas de posição entre suas letras gerarão as

seguintes palavras

ANA; AAN; ANA; AAN; NAA; NAA

Ou seja, são formadas seis novas palavras o que

coincide com


2º período, fazer as questões do Praticando em Sala

de Aula (PSA) 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 17, 18 e 19.

Permutação

Um permutação é um rearranjo dos termos de uma

sequência. Utilize ela em problemas que envolvem

apenas uma reordenação dos termos que já estão

definidos


𝑃3 = 3! = 6

Porém, é evidente que

AAN= AAN

ANA= ANA

NAA= NAA

pois a troca de posição entre as duas letras A não

geram uma palavra distinta. Com isso, todas as

palavras foram contadas duas vezes e assim a correta

quantidade de anagramas será igual a

𝑃3

2=

6

2= 3

Exemplo 3.1: Quantos são os anagramas da palavra

ANAA?

O número de permutações que podem ser feitas com

as quatros letras da palavra é igual a

𝑃4 = 4! = 24

Porém, por raciocínio análogo ao anterior, a troca de

posição entre as letras A não geram novas palavras.

Como possuímos três letras A, cada palavra foi

contadas 6 vezes.

𝑃3 = 3! = 6

Por exemplo,

NAAA=NAAA=NAAA=NAAA=NAAA=NAAA

Assim, a quantidade de anagramas da palavra ANAA é

igual a 𝑃4

3!=

24

6= 4

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO A permutação de 𝑛 elementos com

𝑎1 se repetindo 𝑛1 vezes



⋮

𝑎𝑗 se repetindo 𝑛𝑗 vezes

É igual a

𝑷𝒏

𝒏𝟏;𝒏𝟐;𝒏𝟑;…;𝒏𝒋=

𝒏!

𝒏𝟏! ⋅ 𝒏𝟐! ⋅ … ⋅ 𝒏𝒋!

com 𝑛 ∈ ℕ


c) 𝑃73

d) 𝑃52;3

3.2. Quantos anagramas podemos formar com as

letras da palavra BANANA?

3.3. Uma prova é constituída de dez testes do tipo V

ou F. Quantas sequências apresentam três

respostas V e sete respostas F?

3.4. Quantas soluções a equação 4x y z admite,

dado que , ,x y z .

AULA 04

COMBINAÇÃO PRELIMINAR Exemplo 3.1: De quantas formas podemos formar

uma comissão com

a) 3 pessoas entre 5 disponíveis?

Podemos escolher as 3 pessoas de

𝐴5;3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60

maneiras distintas. Porém, nessas escolha estamos

considerando a troca de posição entre estas pessoas.

Considere por exemplo que tenham sido escolhidos as

pessoas A, B e C. Entre os 60 casos anteriores estão as

comissões formadas por

ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA.

Porém, todas essas comissões são iguais. Assim, cada

comissão foi contada 6 (𝑃3) vezes. Para retirar esse

excesso de contagem basta dividir o total por seis.

Assim, o número de comissões formadas é igual a

𝐴5,3

𝑝3=

60

6= 10

b) 𝑘 pessoas entre 𝑛 disponíveis?

Podemos escolher as 𝑘 pessoas de

𝐴𝑛;𝑘 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

maneiras distintas. Porém, nessas escolha estamos

considerando a troca de posição entre estas 𝑘 pessoas

escolhidas. Como a troca de posição não gera

comissões distintas, cada comissão foi contada 𝑘! (𝑃𝑘)

vezes. Para retirar esse excesso de contagem basta

dividir o total por 𝑘!. Assim, o número de comissões

formadas é igual a

𝐴𝑛,𝑘

𝑃𝑘=

(𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!)

𝑘!=

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)! ⋅ 𝑘!



de Aula (PSA) de 1 a 5.


COMBINAÇÃO Dado um conjunto de 𝑛 elementos distintos, chama-

se de arranjo dos 𝑛 elementos, tomados 𝑘 a 𝑘, a

qualquer sequência não ordenada ou subconjunto de

𝑘 termos distintos escolhidos entre os 𝑛 existentes

𝑪𝒏,𝒌 =𝒏!

(𝒏 − 𝒌)! ⋅ 𝒌!

com 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ.


c) 𝐶6,2

d) 𝐶10,5

4.2. De quantos modos distintos Lucas pode escolher

quatro entre as nove camisetas regata que possui

para levar em uma viagem?

4.3. Uma empresa possui 10 homens e 10 mulheres

como funcionários. Quantas comissões podem ser

formadas se em cada uma deve haver 3 homens e

2 mulheres?

4.4. Um casal curitibano decidiu que a viagem de lua

de mel seria feita pelo Nordeste, visitando

exatamente três das nove capitais. Se o casal

pretende conhecer obrigatoriamente Salvador, de

quantos modos poderia ser feito a escolha das

cidades?

4.5. Um homem possui 8 pares de meias (todas

distintas). De quantas formas ele pode selecionar

duas meias sem que elas sejam do mesmo par?

4.6. Em uma reunião, cada pessoa cumprimentos

todas as outras, havendo 45 apertos de mão.

Quantas pessoas havia na reunião?

4.7. Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos.

Qual é o número de triângulos que podem ser

construídos com vértices em três desses pontos?

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS 1. Na Mega Sena são sorteados 6 números entre os

60 primeiros naturais não nulos: 1, 2, 3, ..., 60.

a) De quantos modos distintos pode ocorrer

o resultado de um sorteio?

b) Quantos resultados apresentam 4

números pares e dois ímpares?

c) A quantidade de resultados com pelo

menos um número par?

2. Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas.

Extraindo-se 8 peças sem reposição, não levando

em conta sua ordem, de quantas formas podemos

obter 4 peças boas e 4 defeituosas?

3. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas

brancas. De quantas formas podemos extrair 2

bolas, sem reposição e sem levar em conta a

ordem na extração, de modo que:

a) As duas sejam vermelhas?

b) As duas sejam brancas?

c) Uma seja vermelha e a outra branca?

4. (Fatec-SP) Marcam-se, num plano, dez pontos, A,

B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais quatro estão sobre

uma mesma reta e três outros pontos quaisquer

nunca estão alinhados, conforme a figura abaixo:

O número total de triângulos que podem ser

formados, unindo-se três quaisquer desses

pontos, é

a) 24.

b) 112.

c) 116.

Combinação

Como a combinação é uma lista não ordenada de

termos, ele deve ser usado em problemas nos quais a

ordem dos elementos estudados não importa, ou

seja, em problemas onde estamos construindo

conjuntos e não sequências.



de Aula (PSA) de 1 a 10, 13, 15, 17 e 20.


d) 120.

e) 124.

5. (Fuvest-SP) Três empresas devem ser contratadas

para realizar quatro trabalhos em um condomínio.

Cada trabalho será atribuído a uma única empresa

e todas elas devem ser contratadas. De quantas

maneiras distintas podem ser distribuídos os

trabalhos?

6. Considere os anagramas formados a partir de

CORREDOR.

a) Quantos são?

b) Quantos começam por R?

c) Quantos começam por COR?

d) Quantos começam pela letra R e

terminam pela letra R?

7. Determine o número de anagramas formados a

partir de:

a) Mala.

b) Correr

c) Banana

d) Assistente

e) Irrigar

8. Uma moeda honesta é lançada 5 vezes. De

quantos modos distintos podem ser obtidas 2

caras e 3 coroas?

9. Permutando os algarismos 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3 e

4, quantos números de 10 algarismos podemos

formar?

10. Uma prova é constituída de dez testes do tipo

certo (C) e errado (E).

a) Quantas sequências de respostas são

possíveis?

b) Quantas sequências apresentam 3

respostas C e sete E?

11. Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:

a) Que começam por A.

b) Que tem as letras C, A, P juntas nessa

ordem?

c) Que tem as letras C, A, P juntas em

qualquer ordem?

d) Que tem as vogais e as consoantes

intercaladas?

e) Que tem a letra C no 1º lugar e a letra A

no segundo lugar?

f) Que tem a letra C no 1º lugar ou a letra A

no segundo lugar?

g) Que tem a C no 1º lugar ou a letra A no 2º

lugar ou a letra P no terceiro lugar?

12. Considere o número natural 2 315 20 28M .

Determine:

a) a quantidade de divisores naturais de M;

b) a quantidade de divisores inteiros de M;

c) a quantidade de divisores naturais pares de

M;

d) a quantidade de divisores naturais ímpares

de M;

e) a quantidade de divisores naturais de M

que são múltiplos de 40 e que não são

múltiplos de 7.

13. De quantas maneiras distintas podemos organizar

uma roda com 4 crianças?

14. De quantos modos podemos posicionar 6 pessoas

em uma roda, dentre elas João e Maria, de modo

que João e Maria fiquem lado a lado?

15. De quantos modos podemos formar uma roda

com 8 pessoas, contendo as pessoas A, B e C, de

modo que:

a) As pessoas A, B e C fiquem juntas?

b) As pessoas A, B e C fiquem juntas e B

fique entre A e C?

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 30 b) 30240

1.2. 30

1.3. 95040

1.4. a) 336 b) 60 c) 126

1.5. a) 2730

b) 468

c) 507

2.1. a) 5040 b) 6

2.2. 24

2.3. 480

2.4. a) 12! b) 36 ⋅ 10! c) 2 ⋅ (6!)2

2.5. a) 720 b) 1440 c) 720 d) 240 e) 1440

QUESTÕES EXTRAS 1. a) 50063860 b) 11921175 c) 49470085

2. 48363000

3. a) 3 b) 10 c) 15

4. C

5. 36

6. a) 3360 b)1260 c) 60 d) 360

7. a) 12 b) 120 c) 60 d) 151200 e) 420


8. 10

9. 12600

10. a) 1024 b) 120

11.

a) 11520

b) 720

c) 4320

d) 1152

e) 720

f) 9360

g) 13080

12.

a) 324

b) 648

c) 288

d) 36

e) 90

13. 6

14. 48

15. a) 720 b) 240

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