03/04/2013

CIENCIA DA COMPUTA00Disciplina: Geometria AnaRica e Algebra Linear

Periodo: 29 Turno: MatutinoProfessor: Zeca Dutra

Geometria Analitica e Algebra Linear

Veto res

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VETORDefinicao

Considere o segmento orientado AB(um segmento estaorientado quando nele se escolhe urn sentido depercurso, considerado positivo). Definimos par vetor , oconjunto formado par todos os segmentos orientadosque possuem a mesma direcao, o mesmo sentido e omesmo comprimento que AB, esse conjuntb representa omesmo vetor, que sera indicado par

onde A a origem e B a extremidade do segmento. 0vetor tambem costuma ser indicado por uma letra

mirulscula encimada par uma flecha(i)).

Quando escrevemos 0 r-- AB(figura abaixo), estamos afirmando que ovetor 0 e determinado pelo segmento orientado AB. Porem,qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direcao emesmo sentido de AB representa tambem o vetor

o mOdulo, a direcao e o sentido de um vetor 0 o modulo, a direcaocc sentido qualquer urn dos seus representantes. Indica-se omodulo de -0 per101 ou 11011.

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TRATAMENTO ALGEBRICO

Vetores no PlanoSejam dois vetores iJj e i5 nao-paralelos, representados corna origem no ponto 0, sendo r1 e 7-2 retas contendo estesrepresentantes. Figura a seguir.

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Os vetores it, 13, Vv. , e 3-3, representados nafigura, sao expressos em lung -a de DT e /72' por

5 kr: q -,---+ tlib 3 Z'

- v -.1 3 trl \r-z.kr,j -t ;i--; C; 0 C r";

t 2 ::

De maneira generica dados dois vetoresquaisquer rfc_ e 17 nao-paralelos, para cada vetor

representado no mesmo piano de 14 eexiste uma so dupla de mlmeros reais a 1 e a2 tatque:

Os vetores I eW so nao-paralelos quaisquer eurn vetor arbitrario do piano determinado por 17; e 13", como ilustra a figura.

Quando o vetor fi expresso como na equagao 1,dizemos que i e combinagao linear de 17-; ei-E. 0conjunto B (17; , if2') chamado de base do piano.Mas qualquer conjuntos de dois vetores rtho-paralelos constitui uma base no piano.

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o conjunto base do piano ordenado. Entao, dadauma base qualquer no piano, todo vetor desse piano combinacao linear dos vetores dessa base, de modo

o nomeros a1 e a2 da igualdade (1) so chamadoscomponentes ou coordenadas de j na base B.o vetor ii da igualdade (1) pode ser representadotambem por Ty; = (al , a2)Na pratica as bases mais utilizadas so as ortogonais.Dentre as infinitas bases ortogonais(vetoresortogonais e unitarlos) no piano, uma delas particularmente importante. Trata-se da base quedetermina o sistema cartesiano ortogonal x0y. Osvetores ortogonais e unitarios, neste caso, s5o

Simbolizados por I ef, ambos corn origem ern 0 eextremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente,sendo a base C = ,j) chamada canonica. Portant,

(1,0) e Y .-- (0,1).Nos estudo trataremos somente da base canonica.

(o,$)(A,G)

Dado urn vetor v qualquer do plano, existe uma s6dupla de numeros x e y tal que:

-c3"7 )-(11 9:j- (7-)

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Os nOmeros x e y cat) componentes de !Ina basecanonica.

Yit

X 0 vetor 1 em (2) sera tambern representado por 1 = (x,Y) (3)Como na representacao (3) nao ha referencia, podemoster a definica'o:Vetor no piano urn par ordenado (x, y)de nUmerosreais.

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0 par ordenado (x, y) chamado express5o anon-flea dePara entenderrnos meihor, vejamos alguns exemplos,sejam os vetores e suas correspondentes expresseesanaliticas:

Obs: A escolha proposital da base (r, j) deve-seexclusivamente a simplificac5o. A cada ponto P(x, y) dopiano x0y correspondente ao vetorf.; OP = it + y 7. As componentes do vetor OP na basecanonica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos osvetores Z ef como se ve na figura a seguir.

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Operacoes corn VetoresSejam os vetores II = (x1, yi ) e = (x2 ,31 2 ) e a E R.Define-se:1) + = (x1 , yi ) + (x2 ,y2 ) = (x1 + x2 , yi + yz)2) all = a (x1 , yi ) = (axi , a yi)

Considerando estes mesmos vetores, tern-se ainda:- U = (- 1) U = (- X 1 , - yi)

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0 piano pode ser encarado como urn conjunto de pontosou urn conjunto de vetores.lgualdade de VetoresDols vetores it = (x1 , yi) e = (x2 ,y2 ) sao iguais se, esomente se, x1 = x2 e yz, entao it =Exemplo: Determine x e y para que o vetor it = (x + 1, 4)e o vetor i = (5, 2y -6) sejam iguais.

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3) Encontrar os nomeros a 1 e a2 tais que= a1iJ; a2 V-2) , sendo i3 = (10, 2), -171:= (3,5) e= (-1, 2).

Vetor Definielo par Dais PontosConsideremos o vetor AB de no ponto A(x i , yi ) eextremidade em B(x 2 , y2 ). Veja figura abaixo.Os vetores OA e OB tern

Aexpressees analiticas:OA =(x1 yi ) e OB = (X2f 312)Por outro lado, do triangulo OAB dafigura, temos que:OA + AB = OB ou AB = OB - OA ouAB = (x2, Y2)- (x1, YID = (x2- X1, Y2 - Yi)

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fi -13 = a (- = yi) + 1- x2, - Y2) = x2, - Y2)Ja sabemos que:a) para quaisquer vetores it, 1 e 0, tern-se

+ = + + = + )+ = + (- fi) =

b) para quaisquer vetores it e 13 e os numeros reais cce fi, tern-se

(P I)) 7= (CC int" (0C fl )ii = + flitCC + -0) = oc fl+oc-13 ii= i

Exemplos:1) Dados os vetores II= (2, -3) e i3 = (-1, 4), determinar

+ 2 .13 e 313 - 213.2) Determinar o vetor na igualdade + 2/-1. = +cnnrin = 17 -11 P (-1 Al

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As componentes de AB sac) obtidas subtraindo-se dascoordenadas da extremidade B as coordenadas daorigem A, ralao pela qual tambem se escreveAB = B A.E importante lembrar que urn vetor tern infinitosrepresentantes que s5o os segmentos orientados demesmo comprimento, mesma direg5o e mesmo sentido.E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que"melhor o caracteriza" aquele que tern origem 0(0, 0) eextremidade em P (x2 - xl , y2 -0 vetor i = OP e tambem channado vetor posicao ourepresentante natural de AB. Veja a representag5ografica na figura.

Na figura seguinte fica claro que o fato dos segmentosorientados OP, AB e CD ocuparem posigoes diferentes, irrelevantes. 0 que importa, que eles tenham o mesmocomprimento, a mesma direc5o e o mesmo sentido pararepresentar o mesmo vetor.

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vamos para outra ilustracaona figura ao lad, os verticesdo triangulo sac) os pontosA(4, 1), B(5, 3) e C(3, 5) eos vetores ii, 13, e V indicadoss'ao:

it= AB = B A = (1, 2)--()= BC = C B (- 2, 2)-v) = CA = A C = ( 1 , - 4 )

Observe que fi+ + w = -04 = (0, 0)

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3=PO=BA=CD=(3,1)

(1,4)

A(- 2, 3) D(4, 3)

2 (1, 2)P (3, 1)

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2 0 1 3 4

Por outro !ado, sempre que tivermos13 = AB ou = B Aconcluimos que B = A + ou B = A + ABo vetor v transporta n o ponto inicial A para o pontoextremo B.Pela figura o vetor 13 = (3, 1), tern-se:

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- Y - Yi) (x2--x , Y2 -

- = x2 - X e y -Yi = 3/2 - yResolve ndo em relagao a x e y,ternos:

x i +x2 371.+Y2

X = e y =2 2

PortantoRx ix1+x-2 Yi-FY2" I z ' zParalelismos de dois VetoresQuando dois vetores 17i= (x1 , yi ) e -0 = (x21y2 ) soparalelos, existe urn numero real octal que ii = oc ii, ouseja,

yi ) = (x2 ,y2 ) ou(x1 , yi ) = ( cc x21 oc y2 )resolvendo a igualdade ternos:

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Exemplos1) Dados os Oontos A(- 1, 2), B(3 01 -1) e C(- 2, 4),determinar o pont D de modo que CD = 1 AB.

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2) Sendo A(- 2, 4) e B(4, 1) extremidades de urnsegment, determinar os pontos F e G que dividennAB em tres segmentos de mesmo comprimento.Ponto Medic*Seja o segmento de extremos

yi) e B(x21y2).Sendo M (x, y) o pont medio de AB, podemosexpressar de forma vetorial como AM = MB. Veja afigura a seguir.

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Modulo de um uetorSeja o vetor = (x, y)representado na figura.

0 modulo de dado por:

Observactiesa) Distancia entre dois pontosA = (x1 , 3/1 ) e B = (x2,Y2) 6comprimento do vetor A.

Como AB = B A =temos:

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Entao, dois vetores sao paralelos quando suascomponentes forem proporcionais.ExemploOs vetores U = (- 2, 3) e = (- 4, 6) sao paralelos pois

Observageiesa) Considera-se o vetor 15 = (0, 0) paralelo a qualquervetor.b) Se uma das componentes de urn vetor for nula, acomponente correspondente de urn vetor paralelotambern nula.

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b) Vetor UnitarioNa multiplicacao de raimero real par urn vetor, para cadavetor tiT, V # e prAsivel associar dois vetores unitarios

_>paralelos a v:I ( o versor de U) e seu oposto - RI IVExemplo0 versor de V4 = (3, -4) :

0 versor , na verdade, urn vetor unitario.importante observar que este versor fi tambern

versor de todos as vetores multiplos de U que tiverem omesmo sentido dele.Exempla: 0 versor de 2V) = 2(3, -4) = (6, - 8) :

Exemplos:1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetoresfib = (-1, 3) e U = (-2, 1), determinara) NI c) b) lit + UI

d) a distancia entre os pontos A e B2) Determinar, no eixo Ox, urn ponto P que sejaequidistante dos pontos A(-1, -2) e B(5, -4).3) dado o vetor U = (-2, 1), achar o vetor paralelo a V' quetenha.a) 0 mesmo sentido de iir) e tres o modulo de V.;b) sentido contrarios ao de V' e a metade do modulo V.;c) o mesmo sentido de V e mOdulo 4;d) sentido contrario ao de U e modulo 2.

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Vetores no EspacoVimos ern Vetores no Plano que a base canonica , j) no pianodetermina o sistema cartesiano ortogonal x0y e que a urn ponto P(x,y) qualquer desse piano corresponde o vetor OP = x y 7, isto , aspreprias coordenadas x e y do ponto P sao as componentes do vetorOP na base canonica.No espaco, de forma aniloga, consideraremos a base canemica (1,7, como aquela que ira determinar o sistema cartesiano ortogonalOxyz, onde estes tres vetores unitirios e dois a dois ortogonais estaorepresentados corn origem no ponto 0. Este ponto e a direcao decada urn dos vetores da base detenninam os tr ies eixos cartesianos: oeixo Ox ou eixo dos x (abscissas) con-esponde ao vetori, o eixo Oyou eixo dos y (ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixodos z (das cotas) corresponde ao vetor As setas nessa figuraindicam o sentido positivo de cada eixo, chamado tambem de Socoordenado.Fiaura a seauit

Cada dupla de vetores de base determina uma dupla de eixos, e cadadupla de eixos, deterrnina urn piano coordenado. Portant, temos trespianos coordenados: o piano x0y ou xy, o piano x0z ou xz e o pianoyOz ou yz. As figuras I e II &do idela dos pianos xy e xz,respectivamente.

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figura I figura IIAssim como no piano, a cada panto P (x, y, z) do espaco iraconesponder o vetor OP x t + yf + z k, isto , as propriascoordenadas x, y e z do pont P sao as componentes do vetor OP nabase candnica. As coordenadas x, y e z sa p denominadas abscissa,ordenada e cota, respectivamente. A figura Ill . apresenta urn pontoP(x, y, z) no espaco e a figura IV o correspondente ao vetorii = OP,

que representa a diagonal do paralelepipedo cujas arestas saodefinidas pelop vetores ez 17.

figura III figura IV0 vetor v = xi+ y 7 + z ic tambem pode ser representado pot

que a expressao analitica de -0 . Para exemplificar

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e ern particular r= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0) e rc = (0, 0, 1)Para algumas observacees, tomemos o paralelepipedo da figura aseguir, onde P(2, 4, 3), faremos consideracOes a porrtos comotarnbem podemos fazer a correspondencia corn vetores.

Corn base na figura, o ponto (x, y, z) est noa) eixo dos x quando y = 0 e z = 0, tern-se A (2, 0 ,0);b) eixo dos y quando x = 0 e z = 0, tern-se C (0, 4, 0)c) eixo dos z quando x = 0 e y = 0, tern-se E (0, 0 ,3);d) piano xy quando z = 0, tern-se B (2, 4 ,0);d) piano xz quando y = 0, tern-se F (2, 0 ,3);d) piano yz quando x = 0, tern-se D (0, 4 ,3);o ponto B a projecao de P no piano xy, assim como D e F sao asprojecees de P nos pianos yz e xz, respectivamente. 0 ponto A(2, 0,0) a projecao de P(2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) eE(0, 0, 3) sao as projeceies de P nos eixos dos y e dos z,respectivamente.a) PDEF distam 3 unidades do piano xy e estao acima dele, saopontos de cota z = 3, isto 6, sao pontos do tipo (x, y, 3);b) PBCD distam 4 unidades do piano xz e estaio a direita dele, saopontos de ordenada y = 4, isto 6, sao pontos do tipo (x, 4, z);c) PFAB distam 2 unidades do piano yz e estao A frente dele, saopontos de abscissa x 2, isto , sao pontos do tipo (2, y, z).

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x = 0=0

x = 0(0, 0,z)

(0, y, z)

Observacao:Os pontos podem est localizados sobre os eixos ou em determinadopiano, logo e importante termos esses casos em mente. Veja os casosna figura abaixo.

v=0 (x, 0, z)

fx 0(z =- 0(0, y, 0)

(x, y, 0).(x, y, 0) z = 0

= 0tz = 0

Para marcar urn ponto no espaco, digamos A(3, -2, 4) procedemos daseguinte forma:

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1) Marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no piano xy;2) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima.

Os tres pianos coordenados se interceptam segundo os fres eixosdividindo o espaco em oito regioes denominadas octantes. A cadaoctante correspondem pontos cujas coordenadas tern sinais de acordo

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Corn o sentido positivo adotado para os eixos. 0 primeiro octante constituido dos pontos de coordenadas todas positiva. Os demaisoctantes acima do piano xy se sucedem em ordem numerica, a partirdo primeiro, no sentido positvo. Os octantes abaixo do piano xy sesucedem na mesma ordem a partir se sucedem na mesma ordem apartir do quint que, por convencao, se situa sob o primeiro.A figura apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do piano dopiano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C',e D'estao abaixo desse piano e tern cota 2:ponto A(6, 4, 2), situado no 10 octante;ponto B(-5, 3, 2), situado no 2 octante;ponto C(-6, -5, 2), situado no 3 octante;ponto D(5, -3, 2), situado no 4 octante;ponto A'(6, 4, -2), situado no 50 octante;ponto B'(-5, 3, -2), situado no 6 octante;ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7 octante;ponto D'(5, -3, -2), situado no 8 octante.

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Para encontrar as coordenadas do ponto B, somarn-seordenadamente as coordenadas do ponto inicial a corn ascomponentes do votor

A(oc i + z1)

(axy + by 1 + ezi

= C)

1V) Se A (x1 , z1) e B (x2 , y2 , z2) sac) pontos extremos deurn segment, o ponto medio M. de AB

V) Sc os vetores U = (x 1 , v1 ,

z1) e (x2, Sr2, z2) sao naralelos,

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Igualdade, Operaciies, Vetor defmido por dois pontos,Ponto media, Paralelismo, Modulo de um vetor.As definigties e conelusoes no espago, Sao andlogas as dopiano:I) Dois vetores U = (x i, y, zi ) e = (x 2 , yz, z2 ) saoiguais se, e sornente se; x 1 = x2 , Y = yz e z i = zz.II) dados os vetores U = (x i , z1) e = 0C2, yz, z2 ) eCC E R, define-se:ii + V = (x1+ x2 , yi+ y2 , z 1 + z2)a = (cc +a Yi +cc z1)III) Sc A (x 1 , yi , z1 ) e B (x2 , yz, z2 ) sao dois pontosquaisquer no espago, entao j vimos que: se V = B A,entao B =A+ U.Veja ilustragao na figura a seguir.

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temos:

VI)o modulo do vetor = (x, y, z) dado por

Exemplos:1) Dados os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetoresfi = (-2, -1, 1), V = (3, 0, -1) e W= (-2, 2, 2), verificar se existem osnitmeros al , az e a3 tais que Vv. = aiAB + a 2fi. + a3U.

2. Encontrar o vertice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendododos A(3. -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, I, 2).

3. Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence a reta que passa pelospontos A(1, -2,4) e B(-1, -3, 1), determinar men.

4. Seja o triangulo de vertices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2).Calcular o cornprimento da rnediana do triangulo relativa ao lado AB.

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