FAPANFaculdade do PantanalCurso : sistemas de informação - 1º semestreAno Letivo: 2011 / 1Profº: esp. Gledson Nilton Emiliano e-mail: gledsoneada@hotmail.comMATEMÁTICA INTRODUTÓRIA. (parte ii)

PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES E SUAS APLICAÇÕES

Função constanteÉ toda função do tipo y = f(x) = k , em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico

dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.

y Gráfico de uma função constante

k

x

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FUNÇÃO DO 1º GRAU

No exemplo a seguir, a tabela nos fornece o custo para a produção de calças.

Tabela Custo para a produção de calças

Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100Custo (Q (R$) 200 2 2 0 240 280 400 600

Notamos que, para cada aumento de 5 unidades produzidas, o custo tem um aumento de R$ 20,00; se há um aumento de 10 unidades, o custo tem aumento de R$ 40,00, ou ainda, para um aumento de 50 unidades, o custo aumenta em R$ 200,00. Concluímos que uma variação na variável independente (q) gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função do 1º grau. Para um maior entendimento da função do lº grau desse exemplo, podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, pela razão

Taxa de variação m = Δ yΔ x onde x representa a variável independente e y a

dependente

No problema acima teremos que m = 220−200

5−0=240−220

10−5=…=600−240

100−10=4

Nesse exemplo, a razão m = 4 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade.

Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas (q = 0), haverá um custo fixo de R$ 200,00. Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com pessoal etc.

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De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo:

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações.

Uma função é chamada de função do 1º grau se sua sentença matemática for dada por y = f(x) = m.x + q, sendo m e q constantes reais com m≠0.

Onde “m.x” representa a parte variável e “n” o valor fixo da função.

Podemos determinar a lei da função afim utilizando a taxa de variação m = Δ yΔ x e um ponto

forma por duas coordenadas (x; y) através da equação :

Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma RETA. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos (por dois pontos distintos determinam uma reta ).

A representação gráfica é de extrema importância. Veja um exemplo:

Para a nossa tabela vamos obter a função custo.

C(q) = 4q + 200, onde Cv = 4q e CF = 200

Graficamente:

Dada a função custo para a produção, vamos agora analisar a função receita e lucro.

Y− y0=m .(X− x0)

C(q) = CV + CF

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FUNÇÃO RECEITAPara um produto, a receita R é dada pela “multiplicação do preço unitá rio p,

pela quantidade q, comercializada, ou seja,

Supondo que no exemplo da produção de calças, no início da apostila, o preço para a comercialização de cada calça seja de R$ 17,00, obtemos a função Receita:

R = 17q

notando que a taxa de variação para essa função de lº grau é m = 17 (inclinação da reta) e o termo independente é “0” (onde corta o eixo vertical).

O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados.

R R = 17.q

10 50 q

FUNÇÃO LUCRO

De modo geral, a função Lucro é obtida quando fazemos "receita menos Custo", obtendo aseguinte igualdade:

Para o nosso exemplo, chamando L o lucro e supondo que as quantidades produzidas de calças são as mesmas comercializadas, temos

L ( q ) = R ( q ) - C ( q ) → L( q ) = 1 7q - (4q + 200 )

R(q) = p.q

L(q) = R(q) – C(q)

L( q ) = 13q - 200

Variação em R =

Variação emq = 40

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Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função de 1ºgrau, cujo gráfico é uma reta de inclinação m = 13 e que corta o eixo vertical em -200.

Figura: Lucro para a comercialização de calças.

L(q) L(q) = 13q – 200

15,38 50 q

Podemos observar pelo gráfico que a reta corta o eixo horizontal em q = 15,38. Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = 0

Tal valor indica que, se q < 15,38 , temos lucro negativo (L < 0, o que indica prejuízo) e, se q >15,38, temos lucro positivo (L > 0). Na verdade, podemos obter a quantidade que dá lucro zero fazendo Receita = CustoL = 0 R - C = 0 R = C

Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even point, mais conhecido como ponto crítico e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. No nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas R = 17q e C = 4q + 200.

Interpretação do break-even point

R R = 17.q

0 15,38 q

L(q) L(q) = 13q – 200

Ponto de equilíbrio, onde temos que a receita se equipara ao custo da produção.Determinamos tal ponta igualando as funções RECEITA e CUSTO, para determinação de “q” e em seguida os valores correspondentes de R e C (que serão iguais).

Região de luro positivo, significado de ganho.

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15,38 50 q

Região de lucro negativo, significado de prejuízo .

Valor de “q” comercializado para que se tenha lucro zero.

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Representação gráfica de uma função do 1º grau qualquer:

01 - Esboçar o gráfico da função y = 2x + 1.Necessitamos, para determinar uma reta apenas dois pontos, por isso teremos:Podemos neste exemplo determinarmos os interceptos da função x’ e y’.Ou construirmos uma tabela com duas coordenadas (x,y).

X= 0 → y = 2.(0) + 1 = ou quando y = 0 → 0 = 2x + 1

APLICAÇÕES:Os exemplos a seguir forma funções utilizando sempre uma parte variável e uma parte

fixa:

01-Quando um órgão de Proteção Ambiental detectou uma certa companhia jogando ácido sulfúrico em um Rio da região, multou-a em R$125.000,00, mais $1.000,00, por dia até que a companhia se ajustasse às normas federais que regulamentam os índices de poluição. Expresse o total da multa como função do número x de dias em que a companhia continuou violando as normas federais. Esboce o gráfico que modela o contexto do problema.

02- Já vimos que uma função de custo simples para um negócio consiste em duas partes – os custos fixos, tais como aluguéis, seguro e empréstimos, que precisam ser pagos independentemente de quantas unidades do produto precisam ser produzidas, e os custos variáveis, que dependem do número de produto produzidos.

Suponha que uma companhia de softwere para computadores produz e vende uma nova planilha a custo de R$ 25,00 por cópia, e que a companhia tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por mês. Expresse o total do custo mensal como um função do número x de cópias vendidas e calcule o custo quando x =500 unidades.

03- Uma companhia de gás irá pagar para um proprietário de terra R$ 50.000 pelo direito de perfurar suas terras para encontrar gás natural, e R$ 0,35 para cada mil pés cúbicos de gás extraído. Expresse, em função da quantidade de gás extraído, o total que o proprietário irá receber.(construa uma tabela)

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Se esta companhia conseguir vender cada mil pés cúbicos do gás por R$ 2,50, após a extração e venda de quantos pés cúbicos passará a ter lucro positivo.

Exercícios :

01- Esboce o gráfico das funções abaixo utilizando seus interceptos (x’ e y’).a) Y = 5 b) y = x + 1 c) y = 3x + 2 d) y = -5x + 10

02- Obtenha a taxa de variação de uma reta que passa pelos pontos:a) A(1,2) B(2, 7) b) A(0,3) B(2, 5) c) A(-1,4) B(3, 5)

03- Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular m nos seguintes casos:a) P(1, 3) m = 2 b) P(0,0) m = 3 c) P (-1, 4) m = -3

04- Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:a) A(1, 2) e B (2, 3) b) A(-1, 0) e B(4, 2) c) A(2, 1 ) e B( 0, 4)

05- Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico), e esboce os gráficos da funçãoreceita e custo em cada caso:

a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2xb) R(x) = 200x e C(x) = 10.000 + 150xc) R(x) = 1/2 x e C(x) = 20 + 1/4x

06- Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e faça o estudo do sinal.

07- Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?

08- Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de R$ 8.000,00?

09- O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 5,00. Se cada unidade for vendida por R$ 7,00:

a) Qual o ponto de nivelamento?b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, à custa do

aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de

nivelamento (em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%?

10- O custo fixo mensal de uma empresa é $ 30.000,00, o preço unitário de venda é$ 8,00 e o custo variável por unidade é $ 6,00.a) Obtenha a função lucro mensal.b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30%

do lucro.

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JUROS SIMPLESVamos supor uma aplicação no sistema de capitalização simples, ou seja, a taxa

de juros incide apenas sobre o capital inicial. Chamando de “J” os juros, “P” o capital aplicado inicialmente, “i” a taxa de juros (escrita na forma decimal), “n” o período da aplicação e “M” o montante que é composto dos juros mais o capital inicial, podemos obter o valor dos juros e do respectivo montante a partir das relações:

Assim, se uma quantia de R$ 10.000 for aplicada a uma taxa de 5% durante um período n, podemos obter a função que dá o valor dos juros

J = 10.000 • 0,05 • n então J = 500.n

e a função que dá o valor do montante ( M = J + C)

M = 500.n + 10.000

Notamos que ambas as funções são do 1º grau e, supondo que os juros são pagos para qualquer fração do período, obtemos como gráficos duas retas de traçado contínuo em que a inclinação é m = 500 para ambas.

Figura: Funções juros simples e montante respectivo

J M

n n

Notamos que a reta do montante foi obtida transladando-se para cima a reta dos juros em 10.000 unidades, valor que representa o capital aplicado inicialmente.Pelas caraterísticas das relações matemáticas que fornecem os juros simples e seu montante, podemos dizer que ambos são sempre representados por funções de 1º grau.

J = P . i . n M = J + P = P.i.n + P

J = 500n

M= 500n + 10.000

J

10.000

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Exercícios – Matemática Financeira – Juros simples.

1) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação no valor de R$ 5.000,00 durante 4 meses, à taxa de 3% a.m.

R: R$ 600,00

2) Um cliente realizou uma aplicação no valor de R$ 2.500,00 por um período de 60 dias. Calcule os juros simples desta aplicação, sabendo que a taxa foi de 24% a.a.

R: R$ 100,00

3) Qual o montante de um capital de R$ 3.000,00 aplicado por um período de 15 dias, à taxa de juros simples de 12% a.b. ?

R: R$ 3.090,00

4) Apliquei R$ 800,00 por 3 meses à taxa de 0,1% a.d. Quanto irei receber ao final da aplicação ?R: R$ 872,00

5) Por quantos meses devo aplicar um capital de R$ 4.000,00 à taxa de 2% a.m. , para ter direito a receber R$ 4.320,00 ao final da aplicação ?

R: 4 meses

6) Um investidor aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 1,5% a.m. Por quanto tempo deverá manter a aplicação, se desejar receber R$ 3.600,00 ao final da aplicação ?

R: 1ano 1mês e 10 dias

7) No dia 03/08/99 realizei uma aplicação no valor de R$ 50.000,00 à taxa de 5% a.m. Quando terei direito a receber R$ 51.750,00 ?

R: Em 24/08/99

8) A que taxa mensal devo aplicar R$ 200,00 para receber R$ 250,00 em cinco meses ?R: 5% a.m.

9) Qual a taxa de juros à qual um capital de R$ 1.350,00 aplicados durante 9 meses produz juros simples de R$ 243,00 ?

R: 2% a.m.

10) A que taxa mensal devo aplicar um capital de modo a dobrá-lo em 1 ano ?R: 8,33% a.m.

11) Um cliente aplicou metade de seu capital à taxa de 5% a.m. e a outra metade a 48% a.a. Depois de três meses, verificou que a aplicação lhe rendeu R$ 108,00 de juros. Calcule o capital aplicado.

R: R$ 800,00

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Restrição Orçamentária

Supondo, por exemplo, que uma empreiteira deseja comprar areia e pedra para fazer um orçamento fazendo um calçamento e disponha R$ 1.000,00. Sabendo que o metro cúbico de areia custa R$50,00, enquanto que o metro cúbico de areia custa R$ 40,00, podemos obter a expressão matemática que relaciona os possíveis valores e quantidades de areia e pedra a serem compradas utilizando o orçamento de R$ 1.000,00.

Sendo x a quantidade de areia a ser comprada então, o valor a ser gasto com areia será 50x. De modo análogo, sendo y, a quantidade de pedra a ser comprada então, o valor gasto com pedra será 40y.

A restrição orçamentária para a compra e dois produtos A e B, de Acordo com um orçamento determinado, é dada pela expressão:

“valor gasto com A” + “Valor gasto com B” = 1.000,00

Então, neste exemplo, a restrição orçamentária para a compra de areia e pedra será dada por:“ 50x + 40y = 1.000

Na expressão, dizemos que a dependência entre x e y foi dada de forma implícita. Podemos explicitar tal dependência isolando x ou y, obtendo então:

x = -0,8y + 20 ou y = -1,25x + 25

Tente você agora:

01- Uma dona de casa deseja comprar legumes e frutas e dispõe de $ 24,00. Sabe-se que o preço médio por quilo de legumes é de $ 3,00 e por quilo de frutas é de $ 4,00:

a) Obtenha a expressão da restrição orçamentáriab) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior.c) Obtenha a expressão que determina a quantidade de frutas em função da quantidade de

legumes comprada.d) Obtenha a expressão que determina a quantidade de legumes em função da quantidade de

frutas comprada.

01- Um pintor de casas pretende comprar tinta e verniz e dispõe de R$ 1.200,00. Sabe-se que o preço do litro de tinta é $ 4,00 e do litro de verniz é $ 6,00.

a)Obtenha a expressão da restrição orçamentária.b)Represente graficamente a expressão obtida no item anterior.c) Supondo que o valor disponível para compra mude para $ 900,00 e para $ 1.500,00, obtenha

as novas expressões para a restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de eixos as novas restrições e a restrição do item (a).

d)Supondo que o preço da tinta aumente para $ 5,00, obtenha a nova expressão para a restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de eixos a nova restrição, juntamente com a do item (a).Supondo que o preço do verniz diminua para $ 5,00, obtenha a nova expressão para a

restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de eixos a nova restrição, juntamente com a do item (a).

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FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA DO 1º GRAU:

Demanda:

A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros).

A demanda de um bem é uma função de várias variáveis: preço por unidade do produto, qualidade; necessidade do consumidor; renda do consumidor, preços de bens substitutos, gastos e outros.

Supondo que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do próprio produto (p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chamamos de função demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x).

Como consideramos que normalmente “com o aumento do preço a quantidade demandada cai”, então a função demanda se apresenta como uma função decrescente:

- aumenta o preço, a quantidade vendida diminui;

- diminui o preço, a quantidade vendida aumenta.

Em geral, quando nos referimos à função demandada, estaremos nos referindo a um grupo de consumidores e chamaremos de função de demanda de mercado.

Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim se for alterada as configurações dessas outras variáveis, teremos uma nova função de demanda.

O tipo e os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodos estatísticos.

Exemplo:O número de sorvetes (x) demandados por semana em uma sorveteria relaciona-se com o preço

unitário (p) de acordo com a função de demanda p = 10 – 0,002x. Se o preço por unidade for de R$ 4,00, a quantidade x demandada será:

Substituindo “ p = 4” na função demanda

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O gráfico de p(x) é um segmento de reta conforme a figura abaixo. Observe que tanto p como x não podem ser negativos.

Gráfico da função p(x) = 10 – 0,002x

Oferta:

Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta depende de várias variáveis: preço do bem, preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros. Mantidas constantes todas as variáveis exceto o preço do próprio bem, chamamos de função de oferta à relação entre o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x)

Normalmente, temos uma função crescente, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. Quando se altera qualquer variável, a função de oferta também se altera gerando outra curva na sua representação gráfica.

Exemplo:Suponhamos que, se o preço do sorvete for de R$ 2,10, a quantidade ofertada será de 350 por

semana, e, se o preço for de R$ 2,40, a quantidade ofertada será de 1400. Vamos obter a função oferta:

Então a equação da reta de oferta é :

Na representação gráfica desta equação, podemos analisar a variação tanto do preço como da quantidade que se relacionam para a função demanda.

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PONTO DE EQUILÍBRIO

Chamamos de ponto de equilíbrio de mercado o ponto de intersecção entre as curvas de demanda e oferta. Assim temos um preço e uma quantidade de equilíbrio, que mostram iguais neste ponto, tanto na função demanda como na função oferta.

Exemplo:

Consideremos a função de demanda por sorvetes p = 10 – 0,002x e a função de oferta de

sorvetes p=1

3500x+2

Façamos a representação gráfica das duas funções em um mesmo plano cartesiano:

No ponto de equilíbrio, o preço é o mesmo na curva de demanda e de oferta. Logo:

Função oferta

Função demanda

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Portanto, no ponto de equilíbrio, o preço do sorvete será de R$ 3,00, e a quantidade semanal vendida será de 3.500 unidades. Ponto (3,00 ; 3500).

O nome ponto de equilíbrio decorre do seguinte fato: se o preço cobrado for maior que R$ 3,00, a quantidade ofertada será maior que a demandada. Os produtores, para se livrarem do excedente tenderão a diminuir o preço forçando-o em direção ao preço de equilíbrio (R$ 3,00). Por outro lado, se o preço for inferior a R$ 3,00, a demanda será maior que a oferta e esse excesso de demanda tende a fazer com que o preço suba em direção ao preço de equilíbrio.

Exercícios:

01 – Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é de R$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo-se que a função de demanda seja de 1º grau, obtenha essa função.

02 – Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se preço unitário é R$ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidas será 50% maior. Obtenha a função de demanda admitindo-a como uma função de 1º grau.

03 – Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, cinco mil unidades de um produto são ofertadas por mês no mercado; se o preço for R$ 12,00, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau obtenha a sua equação.

04 –Um fabricante de fogões produz unidades por mês quando o preço e venda é R$500, 00 por unidade, e são produzidos 300 unidades por mês quando o preço é R$450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação?

05– Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é p = 0,01x – 3 , em que p é preço por quilograma e x é a oferta em toneladas. a) que preço induz uma produção de 500 toneladas?b) se o preço por quilograma for R$ 3,00 , qual será a produção anual?c) qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for p = 0 – 0,01x?

06– Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p = 10 + 0,2x.

a) qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários?b) se o preço unitário for R$ 15,00 , qual a oferta diária ?c) se a função de demanda diária por esses bolos for p = 30 – 1,8x , qual o preço de equilíbrio?

Depreciação linear

Devido as desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação.

D(t) = V0 – V15

onde V0 é o valor inicial do bem e V a função valor de acordo com o tempo.Assim, o gráfico que relaciona o valor do bem em função do tempo será uma curva

decrescente. E por enquanto estaremos admitindo que seja representado por uma reta (linear).

Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$12.000,00, e estima-se que daqui a 8 anos seja de R$ 2500,00.

a) Escreva a lei que relaciona valor com o tempo de uso.b) Qual a sua depreciação total em x anos?

Exercícios:

1- O valor de um equipamento hoje é $ 2.000,00 e daqui a 9 anos será $ 200,00. Admitindo

depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?

b) Qual o total de sua depreciação daqui a 3 anos?

c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo?

2- Daqui a 2 anos o valor de um computador será $ 5.000,00 e daqui a 4 anos será

$4.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual seu valor hoje?

b) Qual seu valor daqui a 5 anos?

3- Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será $ 5.000,00, e seu valor daqui a 5 anos será $

10.000,00. Qual seu valor hoje?

4- Um equipamento de informática é comprado por $ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de $

2.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual a equação do valor daqui a x anos?

b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos?

Com relação ao exercício anterior, daqui a quantos anos o valor do equipamento será

nulo?

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FUNÇÃO DO 2º GRAU:

É toda função do tipo y=a x2+bx+c em que a, b e c são constantes reais com a ≠ 0.A representação gráfica de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. A parábola possui pontos chamados “pontos notáveis”, que são pontos que nos ajudam tanto na sua construção como na interpretação de problemas que estão sendo modelados como uma função quadrática. Quando construímos uma parábola devemos observar os seguintes pontos:

Sua concavidade: pode ser voltada para cima ou para baixo; o que é determinada pelo coeficiente “a” da função y = ax² + bx +c

a < 0 a > 0

Suas raízes : são encontradas através da fórmula resolutiva, são os x-interceptos x’ e x”(quando existirem). Mostram em que valores a parábola toca o eixo OX, pois formam as coordenadas (x’;0) e (x”;0).

Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Possui x’ e x” Possui apenas uma raiz A função não possui raiz real

Toque com o eixo OY : ocorre no y-intercepto, e é determinado pela coordenada de valor x=0, formando o ponto (0; y’). De forma resumida, podemos determinar tal ponto utilizando o valor do coeficiente “c” da função y= ax² + bx + c. (0; c)

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Seu vértice : é a coordenada pelo qual passa o eixo de simetria da parábola, é representado pela letra V e coordenadas (Xv, Yv). Na determinação das coordenadas do vértice, utilizamos as fórmulas:

Algumas situações práticas podem ser representadas por funções polinomiais do 2º grau. Uma delas é a obtenção da função receita, envolvendo a variação do preço do produto, que será representado pela função demanda ou pela função oferta.

Sabemos que a função receita R é dada pela relação R = p.q, o de p = preço e q = quantidade.Por exemplo, se o preço de um determinado sapato variar de acordo com a função p = -2q + 200, determinar a função receita:

R =

Representação por uma tabela e gráfico:

OS PONTOS NOTÁVEIS

1. A parábola tem concavidade voltada para baixo, pois temos na lei: -2q²

2. Os x-interceptos são q’=0 e q”=100

xv=−b2 a

e yv=−∆4 a

V(xv; yv)Ponto máximo da parábola.

Ponto mínimo da parábola.

V(xv; yv)

0 20 40 60 80 100 1200

1000

2000

3000

4000

5000

6000

f(x) = − 2 x² + 200 x + 2.19378376334326E-12R² = 1

Receita

ReceitaPolynomial (Receita)

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Quantidade Receita0 010 180020 320030 420040 480050 500060 480070 420080 320090 1800

100 0

3. O ponto onde a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0

4. O vértice V(qv; Rv) são (50; 5.000)

Especialmente para esta função o vértice é muito importante, pois nos fornece a quantidade ideal a ser comercializada (q = 50), para se obter a receita R = 5.000, considerada a receita máxima que se pode obter.

FUNÇÃO LUCRO DO 2º GRAU

Vamos considerar que para esta mesma situação temos um custo de fabricação do produto definido pela lei C(q) = 40q + 1400 então o lucro L na comercialização dos sapatos será dado pela equação:

0 20 40 60 80 100 1200

1000

2000

3000

4000

5000

6000

f(x) = − 2 x² + 200 x + 2.19378376334326E-12R² = 1

Receita

ReceitaPolynomial (Receita)

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Então teremos:

Os pontos notáveis desta função :1. A parábola tem concavidade voltada para baixo, pois temos na lei:

2. Os x-interceptos são q’= ...... e q”=........

3. O ponto onde a curva corta o eixo L é obtido fazendo q = 0

4. O vértice V(qv; Rv) são (...........; .............)

O vértice da parábola nos mostra a quantidade “q” ideal para se obter o lucro máximo, levando-se em consideração a variação do preço.

L = R – C

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Através do estudo do sinal do gráfico podemos concluir que: O lucro é positivo (L > 0)quando se vende entre 10 e 70 pares de sapato: O lucro é nulo (L = 0) quando se vende 10 ou 70 pares de sapato: O lucro é negativo quando se vende entre 0 e 10 pares de sapato ou quantidades superiores a 70

pares de sapato No vértice da parábola podemos concluir que a venda de 40 pares de sapato proporciona o

lucro máximo de R$ 1.800,00 O lucro é crescente para quantidades inferiores a 40 pares; O lucro é decrescente para quantidades superiores a 40 pares de sapatos

Esta mesma situação pode ser observada com a comparação num mesmo sistema cartesiano, dos gráficos da função Receita R= -2q² + 200q e a função custo C = 40q + 1.400. Obteremos o ponto critico quando igualamos as duas funções :

R = C

Graficamente:

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Exercícios:

01- Dada a função de demanda p = 20 - 2x e a função custo C = 5 + x:

a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita.

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b) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro.

02- Resolva o exercício anterior supondo p = 40 - x e C = 20 + 31x

03- Uma loja de CD's adquire cada unidade por R$ 20,00 e a revende por R$ 30,00. Nessas

condições, a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que,

reduzindo o preço de venda para R$ 28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.

a ) Obtenha a função de demanda admitindo que seu gráfico seja linear.

b ) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal?

04- O proprietário de uma barbearia verificou que, quando o preço do corte de cabelo era R$ 20,00,

o número de clientes era 100 por semana. Verificou também que, quando o preço passava para

R$ 15,00, o número de clientes dobrava.

a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear.

b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?

05- O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era R$ 10,00, o

número de doses vendidas era 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caía para

R$ 7,00, o número de doses passava para 400 por semana.

a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear.

b) Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de

uma dose igual a R$ 4,00.

06- Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores ( x ) por sessão relacionava-se com

o preço de ingresso (p ) por meio da relação p = 15 - 0,015x.

a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 600?

b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 400?

07- O Sr. Angelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se

cobrar $ 150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada $ 5,00 de

aumento na diária, uma suíte permanece vazia.

a) Obtenha a função de demanda admitindo-a como função do lº grau,

b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?

08- Um estacionamento para automóveis tem a seguinte equação de demanda:

p = 100-x , em que p é o preço por dia de estacionamento e x , o número de automóveis que

comparecem. Encontre o preço que maximiza a receita, supondo que:

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a) O estacionamento tenha 40 lugares.

b) O estacionamento tenha 60 lugares.

09- A função custo de um monopolista (único produtor de um produto) é C= 200 + 2x , e a função

demanda pelo produto é p = 100 - 2x .

a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?

b) Se o governo tabelar o preço do produto de modo que o preço máximo seja R$ 60,00, qual preço

deve ser cobrado para maximizar o lucro?

c) Resolva o item anterior considerando um preço máximo de $ 40,00.

10-Pesquisas mercadológicas determinaram que o número de um certo eletrodoméstico ( x )

demandado por semana relacionava-se com seu preço unitário por meio da relação

x = 1.000- 100p , em que 4≤ p ≤ 10

a) Obtenha a função receita.

b ) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?

11-Uma vídeo locadora aluga 200 fitas por dia, se o aluguel diário de cada fita for de R$ 4,00.

Para cada R$ 1,00 .de acréscimo no preço, há uma queda de demanda de 50 fitas.

a) Qual a equação de demanda diária de fitas, admitindo-a como função do 1º grau?

b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?

12-A equação de demanda de um produto é p = 100 - 2x e o custo é C = 500 + 3x .

a) Obtenha o preço que maximiza o lucro.

b) Se o governo cobrar um imposto igual a $ 2,00 por unidade vendida, qual o novo preço que

maximiza o lucro?

13- A função de demanda de um produto é p = 30 - x e o custo variável por unidade é igual a 5.

a) Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se o governo cobrar, junto ao produtor, um

imposto de $ 3,00 por unidade vendida?

b) Se o governo cobrar um imposto fixo por unidade vendida, e a empresa produtora.

maximizar seu lucro, qual o valor do imposto que maximiza a receita tributária?

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