acetatosintroducaoinvestoperacproglinear

Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

Acetatos

Descrição Documentos

I. Introdução à Investigação Operacional

Capítulo 1:Origem e natureza da IO; o seu impacto em problemas de planeamento e no apoio à decisão em problemas de gestão.

PPSPDFPS

Capítulo 2:Os principais passos na Investigação Operacional para a resolução dum problema. Esquema geral. Exemplos.

PPSPDFPS

Capítulo 3:Problemas de Optimização e Problemas de Programação Linear. Construção dum modelo matemático de PL. Resolução gráfica. Exemplos.

PPSPDFPS

II. Programação LinearCapítulo 1:O modelo de Programação Linear. Forma padrão e forma canónica. Conceitos fundamentais. Outras formas do modelo.

PPSPDFPS

Capítulo 2: A Programação Linear em termos de actividades. Hipóteses do modelo de PL. Exemplos reformulados em termos de actividades.

PPSPDFPS

Capítulo3: (I)Propriedades fundamentais da PL. Redução à forma padrão, Conceitos fundamentais: base, solução básica, solução básica admissível. Teorema fundamental da PL.

PPSPDFPS

Capítulo3: (II)Propriedades fundamentais...(continuação) . Alguns elementos de análise convexa. Região de admissibilidade e pontos extremos. Exemplos gráficos.

PPSPDFPS

Capítulo 4: Método Simplex

4.1. Algoritmo Primal Simplex PPSPDFPS

4.2. Algebra do método simplex. Mudança de ponto extremo. Mudança de ponto extremo com melhoria da f.o. Critério de optimalidade.

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4.3. Casos particulares: empate no critério de entrada, óptimo não finito ,múltiplas soluções óptimas, degenerescência.

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4.4. Interpretação económica das variáveis de decisão e de folga. Interpretação económica da mudança de base e do algoritmo primal simplex.

PPS PDFPS

4.5. Técnica de variáveis artificias. Método das penalidades(big M). Método das duas fases.

PPSPDFPS

Capítulo 5: Dualidade

5.1. Definição do problema dual. PPS PDFPS

5.2. Propriedades fundamentais. Propriedade dos desvios complementares.

PPSPDFPS

5.3. Algoritmo Dual Simplex. PPS PDFPS

5.4. Álgebra do algoritmo Dual Simplex. PPS PDF

Página 1 de 2Acetatos

03-08-2012http://www2.mat.ua.pt/io/acetatos.htm

PS5.5.1 Interpretação económica. Preços sombras e

perdas de Oportunidades. Propriedades dos desvios complementares.

PPS PDFPS

5.5.2 Interpretação económica do algorimo Primal baseado na teoria de dualidade.

PPS PDFPS

Capítulo 6: Análise Pós-Optimal

6.1. Alterações dos termos independentes e dos coeficientes da f.o.

PPSPDFPS

6.2. Alterações dos coeficientes da matriz das restrições. Introdução de uma nova variável. Introdução de uma nova restrição.

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Capítulo 7: Alguns problemas particulares de PL.

7.1. Problema de transporte. Definição e apresentação sob forma de rede. Problema de transporte equilibrado e não equilibrado. Exemplos. Propriedades fundamentais.

PPSPDFPS

7.2. Resolução do problema de transporte. Obtenção duma solução básica inicial: método do Canto do N-W, método do mínimo da matriz de custos, método de Vogel. Obtenção da solução óptima: método de Dantzig.

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7.3. Casos particulares do problema de transporte. Degenerescência. Técnica da perturbação. Soluções óptimas alternativas.

PPSPDFPS

7.4. Problema de afectação. Formulação como problema de transporte. Resolução pelo método Húngaro.

PPSPDFPS

©2000-2002 Departamento de Matemática | Universidade de AveiroFicha Técnica

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03-08-2012http://www2.mat.ua.pt/io/acetatos.htm

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©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo 1

9 3 4 :

I. I. IntroduçãoIntrodução

Capítulo 1:

Origem e Natureza da Investigação Operacional (IO): O seu impacto em Problemas de Planeamento e no apoio à decisão em Problemas de Gestão.


9 3 4 :

A Investigação Operacional (IO) como ciência surgiu para resolver,

duma forma mais eficiente, os problemas na administração das organizações,

originados pelo acelerado desenvolvimentoprovocado pela revolução industrial.

A Investigação Operacional (IO) como ciência surgiu para resolver,

duma forma mais eficiente, os problemas na administração das organizações,

originados pelo acelerado desenvolvimentoprovocado pela revolução industrial.

Para quê a Investigação Operacional (IO)?

Origem da Investigação OperacionalOrigem da Investigação Operacional

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9 3 4 :

Origem da Investigação OperacionalOrigem da Investigação Operacional

Produção

Distribuição de recursos

Utilização óptima de recursos

Gestão da Organização

Mais desenvolvimento,mais complexidade na:


9 3 4 :

IO e IO e GestãoGestão..A partir da Revolução Industrial aumentam os problemas na gestão das organizações:

4as diferentes componentes dentro duma organização são sistemas autónomos com objectivos e gestão próprios;

4os objectivos cruzam-se: o que pode ser melhor para uns pode ser prejudicial para outros.

O O ProblemaProblema::ComoComo gerir gerir para obter umapara obter uma melhormelhoreficáciaeficácia dentro de toda a dentro de toda a organizaçãoorganização??

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9 3 4 :

A origem da IO como ciência é atribuído à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.

Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram um método denominado Simplexpara a resolução dos problemas de Programação Linear (PL).

A origem da IO como ciência é atribuído à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.

Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram um método denominado Simplexpara a resolução dos problemas de Programação Linear (PL).

Quando é que surgiu a IO?Quando é que surgiu a IO?

Surgimento da IO.Surgimento da IO.


9 3 4 :

Outros cientistas Outros cientistas ….….

Outros cientistas que têm dedicado os seus estudos a IO (“à pesquisa do óptimo”) são:

4 na Antiguidade: 4 Euclides, Newton, Lagrange

4

4 Leontief, Von Neumann, Kantarovich

4


9 3 4 :

Como o seu nome indica:IO é investigação das operações

Como o seu nome indica:IOIO é investigação das operações

O que é a Investigação Operacional?O que é a Investigação Operacional?

Investigação das operações (actividades)duma organização

Investigação das operações (actividades)duma organização

Natureza de IO (1)Natureza de IO (1)


9 3 4 :

Uma abordagem científica na tomada de decisõesUma abordagem científica na tomada de decisões

O que é a Investigação Operacional?

Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de complexos

problemas nas operações (actividades) duma organização

Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de complexos

problemas nas operações (actividades) duma organização

Natureza de IO (2)Natureza de IO (2)

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9 3 4 :

Quais são as características fundamentais da IO?Quais são as características fundamentais da IO?

4 a aplicação de métodos científicosna gestão das organizações

4 orientação sistémica

4 extensibilidade

4 a aplicação de métodos científicosna gestão das organizações

4 orientação sistémica

4 extensibilidade

Características da IO.Características da IO.


9 3 4 :

A IO tem provocado um significativo impacto na gestão e administração de empresas em diferentes organizações.

Os serviços militares dos E.U. continuaram a trabalhar activamente nesta área.

Com o desenvolvimento da informática nas últimas décadas, a IO tem sido estendida a numerosas organizações.

A IO tem provocado um significativo impacto na gestão e administração de empresas em diferentes organizações.

Os serviços militares dos E.U. continuaram a trabalhar activamente nesta área.

Com o desenvolvimento da informática nas últimas décadas, a IO tem sido estendida a numerosas organizações.

Impacto da IOImpacto da IO

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9 3 4 :

IO: Ciência da AdministraçãoIO: Ciência da Administração

Denominada “a ciência da administração”, a sua utilização e implementação tem sido estendida à:

4 business4 economia4 industria 4 industria militar4 engenharia civil4 governos4 hospitais, etc.


9 3 4 :

Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na IO?

Os Ramos da IO.Os Ramos da IO.

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA4 Programação Linear (LP)

4 Problemas de distribuição de recursos.4 Problemas de transporte4 Problemas de planeamento da produção4 Problemas de corte de materiais, etc.

4 Programação Não Linear4 Programação Dinâmica4 Programação Inteira4 Optimização Global

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA4 Programação Linear (LP)

4 Problemas de distribuição de recursos.4 Problemas de transporte4 Problemas de planeamento da produção4 Problemas de corte de materiais, etc.

4 Programação Não Linear4 Programação Dinâmica4 Programação Inteira4 Optimização Global

Programação = Planeamento de

Actividades

Programação = Planeamento de

Actividades

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9 3 4 :

Outros Ramos da IO.Outros Ramos da IO.

Quais são outros ramos da IO?

OUTROS RAMOS DA IO são:4 Análise Estatística4 Teoria de Jogos4 Teoria de Filas

4 organização do tráfego aéreo4 Construção de barragens, etc.

4 Simulação4 Gestão de stocks, etc.

OUTROS RAMOS DA IO são:4 Análise Estatística4 Teoria de Jogos4 Teoria de Filas

4 organização do tráfego aéreo4 Construção de barragens, etc.

4 Simulação4 Gestão de stocks, etc.


9 3 4 :

Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente(1)Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente(1)

Uma empresa de aço envia para a atmosfera três tipos de contaminantes:

4partículas4óxido sulfúrico4hidrocarbonetos

A produção de aço inclui duas fontes principais de contaminação:

4 os altos- fornos para produzir o ferro-gusa (ferro de primeira fundição ainda não purificado)4os fornos abertos para converter o ferro em aço

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9 3 4 :

De acordo com decisões governamentais a fábrica tem de reduzir anualmente a emissão dos contaminantes como a seguir se indica:


125C: Hidrocarbonetos

150B: Óxido sulfúrico

60A:Partículas

Redução requerida no nível anual de emissão

(em milhares de toneladas)

Contaminante


9 3 4 :


Para reduzir a emissão os engenheiros propõem as seguintes medidas:

4 Aumentar a altura das chaminés4 A utilização de filtros nas chaminés4 Incluir certos aditivos nos combustíveis

Cada medida tem associado os seguintes custos anuais na sua implementação em milhares de Euros:

11

7

8

Altos fornos

9Melhores combustíveis

6Filtros

10Chaminés mais altas

Fornos abertos

Método de redução

9


9 3 4 :


Com as medidas propostas vai ser possível eliminar as quantidades anuais dos contaminantes A, B e C nas seguintes quantidades (em milhares de toneladas):

202934285337Hidrocarbonetos

495631184235Óxido sulfúrico

13172025912Partículas

Fornos Abertos

Altos fornos

Fornos Abertos

Altos fornos

Fornos Abertos

Altos fornos

Contaminante

Melhores combustíveis

FiltrosChaminés mais altas

Estas medidas podem ser implementadas na sua totalidade ou parcialmente.


9 3 4 :

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Redução

100% de aumento 50% de aumento

Aumento na altura das chaminés nos altos-fornos

Contaminante AContaminante BContaminante C


Por exemplo, se implementar na totalidade a medida 1 (em 100%) conseguir-se-á reduzir a emissão dos contaminantes A, B e C em 12, 35 e 37 milhares de toneladas, respectivamente. Caso contrário, se implementar esta medida parcialmente (só a um 50% do previsto), apenas se reduzirá a emissão em 6, 17.5 e 18.5 milhares de toneladas.

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9 3 4 :


O problema de IOO pode ser formulado como segue:

Determinar um plano óptimo que, aplicando as

medidas expostas (total ou parcialmente) nos

fornos emissores, consiga o índice de maior

redução da contaminação, com o menor custo.


9 3 4 :

Exemplo 2: Um problema de IOO que Exemplo 2: Um problema de IOO que determina um plano óptimo de Produção determina um plano óptimo de Produção Uma empresa produz três tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendo que diariamente a empresa dispõe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho, determinar um plano óptimo de produção que corresponda ao maior lucro.A tabela seguinte indica a quantidade de material e horas de trabalho necessárias para a produção de uma porta de cada tipo, assim como o lucro unitário de cada uma delas:

40 Euros

6 horas

4kg

Porta 2

50 Euros

7 horas

8 kg

Porta 1

55 EurosLucro Unitário

8 horasHoras de Trabalho

3 kgQuantidade de material

Porta 3Recursos

1


9 3 4 :


Capítulo 2: 4 Os principais passos na Investigação Operacional para a

resolução dum problema:4 formulação,4 modelação,4 resolução,4 avaliação, 4 decisão,4 implementação.

4 Esquema Geral. Exemplos.


9 3 4 :

Modelação Modelação Modelação

Formulação Formulação Formulação

Solução Solução Solução

AvaliaçãoAvaliaçãoAvaliação

DecisãoDecisãoDecisão

Domínio

Definição do ProblemaDefinição Definição

do Problemado Problema

ImplementaçãoImplementaçãoImplementação

Esquema GeralEsquema Geral

2


9 3 4 :

1º 1º PassoPasso: : FormulaçãoFormulação(1) (1)

Primeiramente a equipa de IO deve formular correctamente o problema em estudo.

O problema deve ser analisado a partir de um sistema integrado, onde interactuam várias componentes, todas elas interdependentes, para o qual é preciso obter uma solução óptima que satisfaça a todas elas.

É muito difícil procurar uma solução “certa” para um problema mal formulado !!!


9 3 4 :

1º 1º PassoPasso::FormulaçãoFormulação(2)(2)

Para formular correctamente um problema de IO é preciso definir correctamente:

4 os objectivos que se pretendem alcançar com a resolução do problema.

4 as restrições (limitações) existentes no sistema em geral, definidas pelas relações de interdependências entre as componentes integrantes do sistema.

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9 3 4 :

Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida real.Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida real.

O que é um modelo ?O que é um modelo ?

Um modelo reflecte a essência do problema, representando as relações de interdependênciaexistentes entre todas as componentes da situação em estudo.

Um modelo reflecte a essência do problema, representando as relações de interdependênciaexistentes entre todas as componentes da situação em estudo.

2º Passo: Construção do Modelo Matemático.2º Passo: Construção do Modelo Matemático.


9 3 4 :

Um modelo matemático é uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas.

Um exemplo da Física: F = m a

Um modelo matemático é uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas.

Um exemplo da Física: F = m a

O que é um modelo matemático?O que é um modelo matemático?

Modelo MatemáticoModelo Matemático

A modelação matemática dum problema possibilita uma melhor compreensão da essência

do mesmo !!!

4


9 3 4 :

Modelo MatemáticoModelo Matemático de um de um Problema Problema de de OptimizaçãoOptimização

Um modelo matemático de um Problema de Optimização é definido por:

4 um número N de decisões a ser tomadas, denominadas variáveis de decisão,

4 uma função matemática, que representa a medida da vantagem (desvantagem) da tomada de decisão denominada função objectivo,

4 um conjunto de restrições associadas às variáveis de decisão denominadas restrições do modelo,

4 um conjunto de constantes (coeficientes) da função objectivo e das restrições denominadas parâmetros do modelo.


9 3 4 :

Aspectos fundamentais a ter em conta durante Aspectos fundamentais a ter em conta durante a modelação.a modelação.

1. Simplificar sem perder a essência do problema.4 CUIDADO !!!: a simplificação do modelo deve corresponder à

realidade, de tal forma que as soluções obtidas através do modelo matemático possam realmente ser aplicadas na vida real.

2. Processo em espiral4 O processo de modelação desenvolve-se em forma de espiral,

começando por uma representação simplificada do problema, até se chegar depois de vários ciclos a uma representação mais próxima da situação em estudo na vida real.

4 Um problema pode ser reformulado se:4 Durante a etapa da avaliação os resultados demonstram

que é preciso uma reformulação do problema incorporando novas restrições, alterando os valores de alguns dos parâmetros, etc..

4 Depois de avaliadas e implementadas as soluções, pretende-se agora avançar para uma etapa mais complexa de resolução.

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9 3 4 :

Aspectos fundamentais a ter em conta durante Aspectos fundamentais a ter em conta durante a modelaçãoa modelação

2. Processo em espiral …4 -se,

até que o modelo desenvolvido e as suas soluções representem, o mais fielmente possível, a complexidade do problema em estudo, e as soluções implementadas satisfaçam completamente os principais objectivos traçados.

3. Escolha do modelo certo4 Na maioria das situações, o problema pode ser representado

por modelos e problemas tipo já desenvolvidos pela IO. Neste caso formular matematicamente o problema não é mais do que convertê-lo em certos modelos e problemas tipo da IO (modelos de Programação Linear, Programação Dinâmica, Problema de Transporte, etc.)


9 3 4 :

2º Passo: Construção do Modelo Matemático.2º Passo: Construção do Modelo Matemático.

A IO estrutura e formula um problema de

optimização da vida real dentro dum modelo

matemático que reflecte a essência do

problema, de forma que as decisões (soluções)

obtidas, possam ser aplicadas na situação real.

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9 3 4 :

3º 3º PassoPasso: : Resolução. Resolução. Determinação de uma solução.Determinação de uma solução.

Uma vez realizada a formulação matemática do problema, é preciso aplicar métodos e algoritmos desenvolvidos para a resolução do correspondente modelo de IO. Para isto podem ser utilizados muito dos softwares e pacotes de computação disponíveis para a resolução de problemas de IO.

Se o modelo foi correctamente formulado, a solução obtida pode sersituação real. “Pode ser” em lugar de “é”. Qualquer modelo, como representação do problema, possui um certo grau de incerteza, motivado fundamentalmente pelas simplificações efectuadas. Realmente uma solução óptima do modelo pode estar longe de ser a solução óptima na situação real.


9 3 4 :

3º 3º PassoPasso: : ResoluçãoResolução..Análise de sensibilidade e PósAnálise de sensibilidade e Pós--optimizaçãooptimização

Neste passo é incorporada outro tipo de análise denominada " -optimização" em que é abordado o comportamento da solução óptima quando são efectuadas pequenas alterações em certos parâmetros do modelo. Para isto, é preciso determinar quais são os parâmetros do modelo que mais influenciam a solução óptima (denominados parâmetros “sensíveis”).

A análise de sensibilidade e pós-optimização possibilita um espectro mais alargado de soluções quando ocorrem alterações nestes parâmetros “sensíveis”.Uma vez concluído este passo, a equipa de IO, está pronta para avaliar várias propostas de modelos e as respectivas soluções óptimas .

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9 3 4 :

4º 4º PassoPasso: : AvaliaçãoAvaliação

Neste passo serão avaliados, quer o modelo escolhido, quer as soluções obtidas. Dependendo das conclusões da avaliação, será determinado o passo a seguir:

4 se a avaliação é satisfatória: proceder à tomada de decisão, que prepara as condições para a implementação da solução obtida na situação real.

4 se a avaliação é não satisfatória:proceder à reformulação, remodelação e resolução do novo modelo, a partir dos resultados obtidos no processo deavaliação e também na análise de pós-optimização


9 3 4 :

5º 5º PassoPasso: : TomadaTomada de de decisãodecisão

Uma vez concluída satisfatoriamente a etapa de avaliação, épreciso elaborar um relatório bem documentado que possibilite a implementação da situação obtida na situação real.

Este relatório deve incluir:4 o modelo escolhido4 uma metodologia bem detalhada com todos os passos

que sejam necessários seguir para a implementação da solução obtida.

8


9 3 4 :

6º 6º PassoPasso: : ImplementaçãoImplementação..

Neste passo efectua-se a implementação das soluções obtidas usando a metodologia elaborada. No processo de implementação é preciso envolver activamente a administração e todas as componentes da organização que actuam no sistema em estudo.

Como foi mencionado no 2.º Passo, depois de se terem implementado as soluções, pode ser necessário avançar para uma etapa mais complexa do problema, incluindo alguns elementos novos. Neste caso, inicia-se um novo ciclo para a resolução do problema em causa, só que agora com um nível superior de complexidade de mesmo.


9 3 4 :

A formulação e resolução de modelos matemáticos para os Problemas de Optimização representam apenas uma parte de todo o processo que envolve um estudo de Investigação Operacional. Os outros passos aqui mencionados, também são de grande importância para o sucesso da resolução do problema em estudo.

ConclusõesConclusões

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9 3 4 :

Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente. Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente. Formulação (1)Formulação (1)

Uma empresa de aço emite para a atmosfera três tipos de poluentes:

4

4

4 hidrocarbonetos

A produção de aço inclui duas fontes principais de contaminação:

4 os altos- fornos para produzir o ferro-gusa (ferro de primeira fundição ainda não purificado)4 os fornos abertos para converter o ferro em aço


9 3 4 :

De acordo com decisões governamentais, a fábrica tem de reduzir anualmente a emissão dos contaminantes como a seguir se indicam:


125C: Hidrocarbonetos

150B: Óxido sulfúrico

60A:Partículas

Redução requerida no nível anual de emissão

(em milhares de toneladas)

Contaminante

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9 3 4 :


Para reduzir a emissão os engenheiros propõem as seguintes medidas:

4 Aumentar a altura das chaminés4 A utilização de filtros nas chaminés4 Incluir certos aditivos nos combustíveis

Cada medida tem associado os seguintes custos anuais na sua implementação, em milhares de Euros:

11

7

8

Altos fornos

9Melhores combustíveis

6Filtros

10Chaminés mais altas

Fornos abertos



9 3 4 :


Com as medidas propostas vai ser possível eliminar as quantidades anuais dos contaminantes A, B e C nas seguintes quantidades (em milhares de toneladas):

202934285337Hidrocarbonetos

495631184235Óxido sulfúrico

13172025912Partículas

Fornos Abertos

Altos fornos

Fornos Abertos

Altos fornos

Fornos Abertos

Altos fornos

Contaminante


FiltrosChaminés mais altas

Estas medidas podem ser implementadas na sua totalidade ou parcialmente.

11


9 3 4 :

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Redução

100% de aumento 50% de aumento

Aumento na altura das chaminés nos altos-fornos

Contaminante AContaminante BContaminante C


Por exemplo, se implementar na totalidade a medida 1 (em 100%) conseguir-se-á reduzir a emissão dos contaminantes A, B e C em 12, 35 e 37 milhares de toneladas, respectivamente. Caso contrário, se implementar esta medida parcialmente (só a um 50% do previsto), apenas se reduzirá a emissão em 6, 17.5 e 18.5 milhares de toneladas.


9 3 4 :


O problema de IOO pode ser formulado como se segue:

Determinar um plano óptimo, que aplicando as

medidas expostas (total ou parcialmente) nos

fornos emissores, consiga ao menor custo o

índice de maior redução da contaminação.

12


9 3 4 :

Determinar um plano de acção para reduzir a

contaminação, ou seja determinar quais e em

que proporção serão aplicadas as diferentes

medidas para reduzir a emissão dos

contaminantes com o menor custo. Os custos destas medidas devem ser minimizados.

Exemplo1: Exemplo1: FormulaçãoFormulação

1º. Formular os objectivos:


9 3 4 :

As reduções na emissão dos contaminantes,

provocadas pela aplicação total ou parcial das

medidas tem de ser superior ou igual aos

dados que correspondem à redução exigida

pelo governo.

Exemplo1: Formulação.Exemplo1: Formulação.

2º. Formular as restrições:

13


9 3 4 :

Definir 6 variáveis de decisão: xj (j=1,2….6) que

representam as percentagens de implementação destas medidas para cada um dos fornos emissores.

Exemplo1: ModelaçãoExemplo1: Modelação

1º. Definir as variáveis de decisão:

x5

x3

x1

Altos fornos

x6Melhores combustíveis

x4Filtros

x2Chaminés mais altas

Fornos abertos



9 3 4 :

Como o objectivo é minimizar o custo total na aplicação

das medidas de redução, calculamos o custo total Z

como:


minimizar Z = 8x1 + 10x2 + 7x3 + 6x4 + 11x5 + 9x6 ,

em milhões de Euros

2º. Definir a função objectivo:

14


9 3 4 :

Exemplo 1: ModelaçãoExemplo 1: Modelação

contaminante A

12x1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x5 + 13x6 ≥ 60

contaminante B

35x1 + 42x2 + 18x3 + 31x4 + 56x5 + 49x6 ≥ 150

contaminante C

37x1 + 53x2 + 28x3 + 24x4 + 29x5 + 20x6 ≥ 125

3º. Definir as restrições de redução da emissão:


9 3 4 :

As medidas podem ser implementadas na sua totalidade

ou parcialmente, o que significa que as variáveis de

decisão xj têm de ter um valor menor ou igual do que a

unidade, ou seja:


xj ≤ 1, para j=1,2,…,6

4º. Definir as restrições tecnológicas:

15


9 3 4 :

Uma medida pode não ser implementada num dos fornos,

ou se é implementada, então o valor da variável de decisão

xj correspondente tem de ser positivo, ou seja podemos

definir as seguintes restrições:


xj ≥ 0, para j=1,2,…, 6

5º. Definir as restrições de não negatividade:


9 3 4 :

Minimizar Z = 8x1 + 10x2 + 7x 3 + 6x4 + 11x5 + 9x 6,

sujeito a

12x 1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x5 + 13x6 ≥ 60

35x1 + 42x 2 + 18x3 + 31x 4 + 56x5 + 49x6 ≥ 150

37x1 + 53x 2 + 28x3 + 24x 4 + 29x5 + 20x6 ≥ 125

xj ≤ 1, para j=1,2,… 6

xj ≥ 0, para j=1,2,… 6

ExemploExemplo 1: 1: Modelo MatemáticoModelo Matemático

16


9 3 4 :

Uma vez formulado o problema como um modelo de Programação Linear a equipa de IO, utilizando uns dos softwares para resolver estes problemas, conseguiu determinar o seguinte plano óptimo:

ExemploExemplo 1: 1: ResoluçãoResolução(1)(1)

Medidas a aplicar

x5 = 0.048(melhorar os combustíveis em

48% do previsto)

x3 = 0.343(utilizar os filtros só em

34.3%)

x1 =1 (aumentar a altura na sua

totalidade, i.e. aplicar a medida em 100%)

Altos fornos

x6 = 1(melhorar os combustíveis em

100% )


x4 = 1(utilizar os filtros na sua totalidade,

i.e. aplicar a medida em 100%)Filtros

x2 = 0.623(aumentar só 62.3 % da altura

prevista)Chaminés mais altas

Fornos abertosMétodo de redução


9 3 4 :

ExemploExemplo 1: 1: ConclusõesConclusões

Uma vez encontrada a solução óptima a equipa de IO efectou a sua avaliação para verificar se realmente esta cumpria com os objectivos propostos. Como a avaliação foi satisfactória, deinmediato elaborou-se uma metodologia para a implementação das medidas.

Com a implementação da solução encontrada pela equipa de IO foi possível reduzir a emissão dos contaminantes na atmosfera e cumprir com as decisões governamentais ao menor custo possível.

1


9 3 4 :


Capítulo 3:

Problemas de Optimização

4 Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL).

4 Construção de um modelo matemático de PL.

4 Exemplos clásicos de PL.


9 3 4 :

Problemas de Optimização Problemas de Optimização Problemas de Optimização

Programação MatemáticaProgramação MatemáticaProgramação Matemática

ProgramaçãoProgramaçãoLinearLinear

ProgramaçãoProgramaçãoNão LinearNão Linear

Problemas de OptimizaçãoProblemas de Optimização

2


9 3 4 :

O que são problemas de Optimização ?O que são problemas de Optimização ?

Problemas de OptimizaçãoProblemas de Optimização

Os problemas de Optimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis, designada por objectivo, que depende de um número finito de variáveis. Estas variáveis podem ser independentes uma das outras, ou podem estar relacionadas através de uma ou mais restrições.

Os problemas de Optimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis, designada por objectivo, que depende de um número finito de variáveis. Estas variáveis podem ser independentes uma das outras, ou podem estar relacionadas através de uma ou mais restrições.


9 3 4 :

O que são problemas de Programação Matemática ?O que são problemas de Programação Matemática ?

Problemas de Programação MatemáticaProblemas de Programação Matemática

Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de problemas de Optimização, que surgem na década de quarenta, aplicados nos campos da organização e da gestão económica, em que o objectivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais.

Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de problemas de Optimização, que surgem na década de quarenta, aplicados nos campos da organização e da gestão económica, em que o objectivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais.

3


9 3 4 :

ProgramaçãoProgramaçãoProgramação MatemáticaMatemáticaMatemática

Planeamento de actividades


O problema pode ser representado por um modelo

matemático

O problema pode ser representado por um modelo

matemático

Programação MatemáticaProgramação Matemática


9 3 4 :

maximizar f (x1, x2, … , xN )(minimizar)

satisfazendo

g1 (x1, x2, …, xN ) {≤≤ , =, ≥≥} b1…

gM (x1, x2, … , xN ) {≤≤ , =, ≥≥ } bM

onde:

x1, x2, …, xN - N variáveis de decisão, f(x1, x2, … , xN ) - função objectivo e

g1 , g2, … , gM - M restrições do modelo

Modelo matemático do problema de Modelo matemático do problema de Programação MatemáticaProgramação Matemática

4


9 3 4 :

Classificação dos problemas de Programação Classificação dos problemas de Programação MatemáticaMatemática

Os problemas de Programação Matemática podem ser classificados em:

4 lineares: se f (x1, x2, … , xN) , gi (x1, x2, … , xN) , i=1…M,

são funções lineares – PROGRAMAÇÃO LINEAR

4 não lineares: se alguma das relações f (x1, x2, … , xN),

gi (x1, x2, … , xN) , i=1…M, for uma função não linear –

PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR


9 3 4 :

O que são problemas de Programação Linear?O que são problemas de Programação Linear?

Programação LinearProgramação Linear

Os problemas de Programação Linear são uma classe particular de Problemas de Programação Matemática (PM), onde a função objectivo e as restrições podem ser representadas por funções lineares.A Programação Linear determina o planeamento óptimo de actividades, ou seja, um plano óptimo que represente a melhor solução entre todas as alternativas possíveis.

Os problemas de Programação Linear são uma classe particular de Problemas de Programação Matemática (PM), onde a função objectivo e as restrições podem ser representadas por funções lineares.A Programação Linear determina o planeamento óptimo de actividades, ou seja, um plano óptimo que represente a melhor solução entre todas as alternativas possíveis.

5


9 3 4 :

ProgramaçãoProgramaçãoProgramação LinearLinearLinear



O problema é representado

matematicamente pelo modelo de PM

onde todas as funçõesf (x1, x2 ,… , xN ),

gi(x1, x2 , … , xN ), i=1…M são lineares.

O problema é representado

matematicamente pelo modelo de PM

onde todas as funçõesf (x1, x2 ,… , xN ),

gi(x1, x2 , … , xN ), i=1…M são lineares.

Programação LinearProgramação Linear


9 3 4 :

maximizar f (x1, x2, … , xN )(minimizar)

satisfazendo

g1 (x1, x2, …, xN ) {≤≤ , =, ≥≥} b1…

gM (x1, x2, … , xN ) {≤≤ , =, ≥≥ } bM

onde:

x1, x2, …, xN - variáveis de decisão, f(x1, x2, … , xN ) - função objectivo LINEAR ,

g1 , g2, … , gM - restrições do modelo LINEARES

Modelo matemático do problema de Modelo matemático do problema de Programação LinearProgramação Linear

6


9 3 4 :

Exemplo ProtótipoExemplo Protótipo

A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em três secções de produção:

4 Secção de Serralharia:para produzir as estruturas de alumínio

4 Secção de Carpintaria:para produzir as estruturas de madeira

4 Secção de Vidro e Montagem:para produzir vidro e montar as portas e janelas

Devido à diminuição dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produção, e propõe produzir só 2 produtos que têm uma melhor aceitação entre os clientes.Estes produtos são:

4 Produto 1:uma porta de vidro com estrutura de alumínio

4 Produto 2:uma janela grande com estrutura de madeira.


9 3 4 :


O Departamento de Marketing concluíu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da secção Nº3, o gerente solicitou ao Departamento de Investigação Operacional da empresa a resolução deste problema.

O Departamento de IO para realizar a formulação do problema, procurou os seguintes dados:

4 a capacidade de produção por minuto de cada secção a ser utilizada na produção de ambos os produtos

4 a capacidade de produção por minuto de cada secção, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto

4 os lucros unitários para cada produto

7


9 3 4 :


Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:

Capacidade utilizada por unidade de produção

5

2

2

0

Produto 2

1833

3

0

1

Produto 1

Lucro unitário(em Euros)

122

41

Capacidade disponível

Secção Nº


9 3 4 :

Maximizar Z = 3x1 + 5x2, sujeito a

x 1 ≤≤ 42x 2 ≤≤ 12

3x1 + 2x 2 ≤≤ 18

x1 ≥≥ 0, x2 ≥≥ 0

x1 , x2 - o número de unidades do produto1 e 2 produzidas por minuto .

Z – o lucro total por minuto.

Exemplo Protótipo: FormulaçãoExemplo Protótipo: Formulação


5

2

2

0

Produto 2

1833

3

0

1

Produto 1


122

41


Secção Nº


5

2

2

0

Produto 2

1833

3

0

1

Produto 1


122

41


Secção Nº

8


9 3 4 :

642 x1

2

4

6

8

x2

x1 = 4

x2 = 6

3x1 + 2x

2 = 18

4º 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 ⇒ (x1 , x2)estão situados abaixo ou sobre a recta 3x1 + 2x2 =18

4º 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 ⇒ (x1 , x2)estão situados abaixo ou sobre a recta 3x1 + 2x2 =18

I. Identificar os valores de (x1, x2)que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)

I. Identificar os valores de (x1, x2)que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)

Região de admissibilidade

Exemplo Protótipo: Solução gráfica (I)Exemplo Protótipo: Solução gráfica (I)

1º x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ⇒ (x1 , x2)estão no 1º Quadrante

1º x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ⇒ (x1 , x2)estão no 1º Quadrante

2º x1 ≤ 4 ⇒ (x1 , x2) estão situados à esquerda ou sobre a recta x 1 = 4

2º x1 ≤ 4 ⇒ (x1 , x2) estão situados à esquerda ou sobre a recta x 1 = 4

3º 2 x 2 ≤ 12 ⇒ x 2 ≤ 6 ⇒(x1 , x2)estão situados abaixo ou sobre a recta x 2 = 6

3º 2 x 2 ≤ 12 ⇒ x 2 ≤ 6 ⇒(x1 , x2)estão situados abaixo ou sobre a recta x 2 = 6


9 3 4 :

642 x1

2

4

6

8

x2

Região dassoluçõesadmissíveis

(2,6) é a solução

Z =36= 3x1 + 5x

2

II. Determinar a soluçãoII. Determinar a solução

Nova Linha deve fabricar duas portas (produto 1) e seis janelas (produto 2) por minuto obtendo um lucro

de 36 Euros por minuto.

20= 3x1 + 5x

2

10= 3x1 + 5x

2

Exemplo Protótipo: Solução gráfica (II)Exemplo Protótipo: Solução gráfica (II)

Neste caso o ponto de tangência(2,6) optimiza a função objectivo, pelo que a solução pretendida éx1 = 2, x2 = 6. O valor óptimo é 36.

A função objectivo Z = 3x1 + 5x2 define uma recta que pode ser deslocada paralelamente no sentido do seu gradiente (garantindo o crescimento de Z), até se tornar tangente à região admissível.

9


9 3 4 :

Capacidade de produção das 3

secções

Capacidade de produção das 3

secções Recursos:

MRecursos:

M

Produtos a produzir:2 produtos

Produtos a produzir:2 produtos

Total de produtos a produzir por minutos:

x1 e x2

Total de produtos a produzir por minutos:

x1 e x2

Lucro por minuto: Z

Lucro por minuto: Z

Actividades:N

Actividades:N

Nível da actividade j : xj

Nível da actividade j : xj

Medida da vantagem: Z

Medida da vantagem: Z

Exemplo Protótipo:Exemplo Protótipo:3 recursos limitados a distribuir entre 2 actividades3 recursos limitados a distribuir entre 2 actividades


9 3 4 :

O modelo de PL.O modelo de PL.

c1 c2 ... cNLucro unitário

Total de recurso

disponível

1 2 ... NActividades

Recursos

Utilização do recurso por actividade

x1 x2 ... xN

a11 a12 ... a1N.

a21 a21 ... a2N

aM1 aM2 ... aMN

Nível de actividade

b1

b2

.

.,

.

bM

1

2...M

Os parâmetros do modelo de PL para um problema onde estão envolvidas N actividades e M recursos podem ser definidos utilizando a seguinte tabela:

onde ai j , bi e cj são constantes, xj – variáveis de decisão ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N )

10


9 3 4 :

Maximizar(minimizar) Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xNsujeito a

a11 x1 + a12 x2 + … + a1 j xj + …+ a1N xN { ≤≤ , =, ≥≥ } b1a21 x1 + a22 x2 + … + a2 j xj + …+ a2N xN {≤≤ , =, ≥≥ } b2

…ai 1 x1 + ai 2 x2 + … + ai j xj + …+ ai N xN {≤≤ , =, ≥≥ } bi

…aM 1 x1 + aM 2 x2 + … + aM j xj + …+ aM N xN {≤≤ , =, ≥≥ } bM

x1, x2,…, xj ,…, xN ≥≥ 0

onde ai j , bi e cj ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N ) são constantes e em cada

restrição apenas se verifica uma e só uma das relações {≤, =, ≥}.

colunacoluna jj

linhalinha ii

Função objectivoFunção objectivo

CondiçõesCondições de de nãonãonegatividadenegatividade

restriçõesrestrições

Formulação Matemática do Modelo de PL.Formulação Matemática do Modelo de PL.


9 3 4 :

Exemplos clássicos de PLExemplos clássicos de PL

I- TRANSPORTE:4 tir

de M grandes unidades produtoras. Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades (máximas) de produção de cada unidade, determinar o programa de distribuição com menor custo.

II- COMPOSIÇÃO:4 Conhecendo os conteúdos calóricos e vitamínicos de diversos

alimentos, bem como os seus preços, optimizar a composição da dietaa adoptar de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer níveis mínimos de calorias e vitaminas.

III- PRODUÇÃO:4 Suponha que uma fábrica é capaz de produzir N produtos

distintos utilizando M recursos limitados, os quais podem ser : horas de trabalho, tempos de operação de várias máquinas, matérias primas, serviços, etc. Conhecendo o lucro unitário, as quantidades de recurso utilizada para cada produto, e as quantidades de recursos disponíveis, determinar o plano óptimo de produção (com maior lucro).

11


9 3 4 :

Os problemas de Programação Linear podem ser formulados de acordo com um modelo matemático geral, que consiste na determinação de valores não negativos

para as variáveis x1, x2,…, xj ,…, xN, asatisfazer um sistema de M equações (inequações) lineares que maximizem ou minimizem uma função (real) linear dessas variáveis.

Os problemas de Programação Linear podem ser formulados de acordo com um modelo matemático geral, que consiste na determinação de valores não negativos

para as variáveis x1, x2,…, xj ,…, xN, asatisfazer um sistema de M equações (inequações) lineares que maximizem ou minimizem uma função (real) linear dessas variáveis.

O modelo de PL: ConclusõesO modelo de PL: Conclusões

1


9 3 4 :

II. Programação Linear (PL)II. Programação Linear (PL)

Capítulo 1: O modelo de Programação Linear.

4 Forma Padrão (“standard”) e Forma Canónica.

4 Conceitos fundamentais.

4 Outras formas do modelo:

4 forma cartesiana

4 forma matricial

4 forma vectorial


9 3 4 :

O modelo de PL.O modelo de PL.

Os problemas de Programação Linear podem ser formulados de acordo com um modelo matemático geral, que consiste na determinação de valores não negativos para as variáveis x1 , x2 ,…,xj,…,xN

satisfazendo um sistema de M equações (inequações) lineares que maximizem ou minimizem o valor de uma função (real) linear dessas variáveis.

2


9 3 4 :

Maximizar(minimizar) Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xNsujeito a

a11 x1 + a12 x2 + … + a1 j xj + …+ a1N xN { ≤≤ , =, ≥≥ } b1a21 x1 + a22 x2 + … + a2 j xj + …+ a2N xN {≤≤ , =, ≥≥} b2

…ai 1 x1 + ai 2 x2 + … + ai j xj + …+ ai N xN {≤≤ , =, ≥≥ } bi

…aM 1 x1 + aM 2 x2 + … + aM j xj + …+ aM N xN {≤≤ , =, ≥≥ } bM

x1, x2,…, xj ,…, xN ≥≥0

onde ai j , bi e cj ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N ) são constantes e em cada

restrição apenas se verifica uma e só uma das relações {≤, =, ≥}.

colunacoluna jj

linhalinha ii

Função objectivoFunção objectivo

CondiçõesCondições de de nãonãonegatividadenegatividade

restriçõesrestrições

O Modelo de PL.O Modelo de PL.


9 3 4 :

Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN(Minimizar)sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2

… aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0



… aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0

Forma Padrão (“standard”).Forma Padrão (“standard”).

Quando as restrições de um modelo de Programação Linear são apresentadas na forma de equações diz-se que esse modelo está na forma padrão (ou “standard”).

3


9 3 4 :

Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xNsujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤≤ b1a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤≤ b2

.. … aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤≤ bM

x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0

Forma Canónica.Forma Canónica.

Quando as restrições de um modelo de Programação Linear são apresentadas na forma de inequações diz-se que esse modelo está na forma canónica.

Minimizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≥≥ b1a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≥≥ b2

.. … aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≥≥ bM

x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0


9 3 4 :

máximo Z = - mínimo (-Z)máximo Z = - mínimo (-Z)

Operações de ReformulaçãoOperações de Reformulação

I. Qualquer problema de maximização pode converter-se num problema de minimização, pois:

4


9 3 4 :

ai 1 x1 + ai 2 x2 + …+ ai N xN ≤≤ bi ai 1 x1 + ai 2 x2 + …+ ai N xN ≤≤ bi

- ai 1 x1 - ai 2 x2 - …- ai N xN ≥≥ - biai 1 x1 - ai 2 x2 - …- ai N xN ≥≥ - bi

Operações de Reformulação.Operações de Reformulação.

II.Qualquer restrição de desigualdade de tipo “≤” pode ser convertida numa restrição do tipo “≥” multiplicando por (-1) ambos os seus membros.


9 3 4 :

ai 1 x1 + …+ ai N xN = bi ai 1 x1 + …+ ai N xN = bi ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ bi

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≥≥ bi

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ biai 1 x1 + …+ ai N xN ≥≥ bi

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ bi-ai 1 x1 - …- ai N xN ≤≤ - bi

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ bi-ai 1 x1 - …- ai N xN ≤≤ - bi


III. Qualquer restrição de igualdade pode ser convertida em duas restrições de desigualdades “≤” equivalentes àquela.

5


9 3 4 :

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ bi ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤≤ bi

bi - ai 1 x1 - …- ai N xN ≥≥ 0bi - ai 1 x1 - …- ai N xN ≥≥ 0

xN+1 = bi - ai 1 x1 - …- ai N ≥≥ 0xN+1 = bi - ai 1 x1 - …- ai N ≥≥ 0

ai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = biai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = bi xN+1 ≥≥ 0xN+1 ≥≥ 0


IV. Qualquer restrição de desigualdade pode ser convertida numa restrição de igualdade, através da introdução de uma nova variável (variável de desvio ou folga) xN+1 de

valor não negativo .


9 3 4 :


V. Qualquer variável livre xj, (não restringida pela condição de não negatividade) pode ser substituida por um par de variáveis não negativas xj' ≥≥ 0 e xj'' ≥≥ 0, fazendo:

xj = xj' - xj''xj = xj' - xj''

e deste modo formulando de novo o problema em função destas duas variáveis.

6


9 3 4 :

A função a maximizar(minimizar), Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN ,

designa-se por função objectivo (f.o).

A função a maximizar(minimizar), Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN ,

designa-se por função objectivo (f.o).

As equações (inequações)designam-se por restrições.

As equações (inequações)designam-se por restrições.

As desigualdades x1 ≥≥ 0, x2 ≥≥ 0 ,…, xN ≥≥ 0designam-se por condições de não negatividade.

As desigualdades x1 ≥≥ 0, x2 ≥≥ 0 ,…, xN ≥≥ 0designam-se por condições de não negatividade.

Conceitos Fundamentais(1).Conceitos Fundamentais(1).


9 3 4 :

As variáveis x1 , x2 , ... , xN ,designam-se por .

As variáveis x1 , x2 , ... , xN ,designam-se por variáveis de decisão.

As constantes aij ,designam-se por coeficientes tecnológicos.

As constantes aij ,designam-se por coeficientes tecnológicos.

As constantes bi ,designam-se por termos independentes.

As constantes bi ,designam-se por termos independentes.

As constantes cj ,designam-se por

As constantes cj ,designam-se por coeficientes da função objectivo

Conceitos Fundamentais(2).Conceitos Fundamentais(2).

7


9 3 4 :

Qualquer especificação de valores para asde decisão (x1, x2,…, xN ) que satisfaça as restrições do modelo e as condições de não negatividade

designa-se por solução admissível.

Qualquer especificação de valores para asde decisão (x1, x2,…, xN ) que satisfaça as restrições do modelo e as condições de não negatividade

designa-se por solução admissível.

Conceitos fundamentais(3).Conceitos fundamentais(3).

O conjunto de todas as soluções admissíveisdesigna-se por região de admissibilidade.

O conjunto de todas as soluções admissíveisdesigna-se por região de admissibilidade.

Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo sobre toda a região de admissibilidade.



9 3 4 :

O objectivo da PL é determinar de

entre as soluções admissíveis, uma

que seja a “melhor”, medida pelo

valor da função objectivo do

modelo. Por "melhor" entende-se o

maior ou menor valor, dependendo

se o objectivo é maximizar ou

minimizar.

Objectivo da PLObjectivo da PL

8


9 3 4 :

Soluções do Problema de PLSoluções do Problema de PL

Um problema de PL pode ter:4 uma única solução óptima

ou4 uma infinidade)

ou 4 não ter óptimo finito

ou4 não ter nenhuma solução (neste caso o problema é

impossível)


9 3 4 :


x 1 ≤≤ 42x 2 ≤≤ 12

3x1 + 2x 2 ≤≤ 18

x1 ≥≥ 0, x2 ≥≥ 0

xi – o número de unidades do produtoproduzidas por minuto, i= 1,2.

Z – o lucro total por minuto.

Exemplo Protótipo: FormulaçãoExemplo Protótipo: Formulação


5

2

2

0

Produto 2

1833

3

0

1

Produto 1


122

41


Secção Nº


5

2

2

0

Produto 2

1833

3

0

1

Produto 1


122

41


Secção Nº

9


9 3 4 :

Uma Única Solução ÓptimaUma Única Solução Óptima

642 x1

2

4

6

8

x2



Z =36= 3x1 + 5x

2

Z =20= 3x1 + 5x

2Z =10= 3x

1 + 5x2

No exemplo protótipo determinamos uma única solução óptima: x1 = 6 , x 2 = 2, onde a função objectivo alcança o seu valor máximo Z=36 .


9 3 4 :

Múltiplas Soluções Óptimas. Múltiplas Soluções Óptimas.

No exemplo protótipo mudámos o lucro unitário do produto 2de 5 para 2 Euros, i.e., a função objectivo é agora a recta Z=3x1+ 2x2. (a f.o. tem o mesmo gradiente da recta da 3ª restrição 3x1+ 2x2=18).

Todos os pontos (uma infinidade) do segmento de recta AB, são soluções óptimas, pois todas alcançam o melhor valor da f.o.: z=18.

Se um problema de PL tem soluções óptimas múltiplas

então tem um número infinito

delas.

Se um problema de PL tem soluções óptimas múltiplas

então tem um número infinito

delas.

4 62

2

4

6

8

x1

x2

3x1 + 2x2 = 18

Infinitas soluçõesInfinitas soluçõesAA

BB

10


9 3 4 :

O Problema não tem Óptimo Finito.O Problema não tem Óptimo Finito.

Se as restrições não evitarem o crescimento indefinido do valor da função objectivo Z, no sentido favorável (positivo ou negativo) então o problema não tem óptimo finito.

No exemplo protótipo, eliminando as restrições:

2x 2 ≤≤ 12, 3x1 +2x 2 ≤≤ 18, a região de admissibilidade

fica não limitada e o valor da função objectivo

pode crescer indefinidamente nesta

região. 642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4


Z= 5x1 + 2x2


9 3 4 :

O problema é ImpossívelO problema é Impossível

Se não existissem soluções admissíveis (o conjunto de soluções admissíveis é vazio), então o problema não tem nenhuma solução, o problema é impossível.

11


9 3 4 :

Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN

sujeito a a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0



a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0

∑=

=N

jjj xcZ

1

∑=

≤N

jijij bxa

1

0≥jx

Mi ,.........2,1=Nj ,.........2,1=

Maximizar

Outras formas do modelo.Outras formas do modelo.1º. Forma Cartesiana.1º. Forma Cartesiana.


9 3 4 :



a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0



a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0

Maximizar

bAX ≤

0≥X

XcZ '=

[ ] [ ]NN xxxXcccc ,...,,,,...,, 21

'

21 ==

[ ] [ ] '

)(0,...,0,00, ==

×NMijaA

[ ] ,,...,,'

21 Mbbbb =

Outras formas do modelo.Outras formas do modelo.2º. Forma Matricial.2º. Forma Matricial.

12


9 3 4 :



a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0



a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM

x1, x2,…, xj,…,xN ≥0

Outras formas do Modelo.Outras formas do Modelo.3º. Forma Vectorial3º. Forma Vectorial

MaximizarMaximizar

oNN PPxPxPx ≤+++ ...2211

0≥jx

Nj ,.........2,1=

[ ] '

21 ,...,, Mjjjj aaaP = [ ] '

210 ,...,, MbbbP =

[ ] [ ]'21

'

21 ,...,,,,...,, NN xxxXcccc ==

XcZ '=

1


9 3 4 :

II. II. Programação Programação Linear (PL)Linear (PL)

Capítulo 2:

4 A Programação Linear em termos de actividades.

4 Hipóteses do modelo de Programação Linear.

4 Exemplos reformulados em termos de actividades


9 3 4 :

Natureza conceptual da PLNatureza conceptual da PL

A natureza conceptual da PL está baseada na construção de

modelos que descrevem o comportamento e as interrelações

entre componentes de um sistema: homens,serviços,

máquinas, etc.

Um sistema nestas condições é composto por um conjunto de

funções elementares chamadas actividades.

2


9 3 4 :

ActividadeActividade

Uma actividade funciona em PL como uma “caixa negra” na qual entram recursos (“inputs”), tais como:

4 mão-de-obra, 4 matérias-primas,4 equipamentos

e donde saem diversos produtos (“outputs”).

Ambos, recursos e produtos, são considerados os bens de uma actividade.


9 3 4 :

Uma actividade consiste em produzir um certo conjunto de bens: produtos, utilizando outro conjunto de bens: recursos .

Uma actividade consiste em produzir um certo conjunto de bens: produtos, utilizando outro conjunto de bens: recursos .

A medida quantitativa de cada actividade

designa-se por nível de actividade.

A medida quantitativa de cada actividade

designa-se por nível de actividade.

Actividade. Nível de Actividade.Actividade. Nível de Actividade.

3


9 3 4 :

Problema de planeamento da produção de Problema de planeamento da produção de curto prazocurto prazo

O problema de planeamento da produção de curto prazo consiste na utilização óptima de recursos por parte de uma empresa tendo como objectivo a maximização do resultado global, num certo período de tempo, supondo que a empresa opera num mercado de concorrência.

A adaptação a outro tipo de problemas não se reveste de grande dificuldade.


9 3 4 :

Problema de PL em Termos de Actividades (1)Problema de PL em Termos de Actividades (1)

Suponha-se que uma empresa pode desenvolver N actividadese dispõe para tal de M recursos em quantidades limitadas.

4 Os níveis das actividades constituem as variáveis de decisão do problema;

4 As restrições iniciais descrevem as possibilidades tecnológicas da empresa e as limitações de recursos.

Uma actividade j pode ser representada pelo vector

[ ] t

Mjijjjj aaaaP ..,,, 21=

onde aij representa a quantidade do recurso i gasto na

actividade j, j=1,..,N.

4


9 3 4 :

Formulação do Problema de PL em Termos de Formulação do Problema de PL em Termos de ActividadesActividades



… aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0



… aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0


x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0

onde Pj =[a1j , a2j , …, aMj]t, j=1,…,N

P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0


x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0


P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥≥ 0

Forma PadrãoForma Padrão Em Termos de ActividadesEm Termos de Actividades


9 3 4 :

NN

MM

Pj =[a1 j , a2 j , …, aM j ]tPj =[a1 j , a2 j , …, aM j ]t

x1 , x2 ,…, xj ,…, xNx1 , x2 ,…, xj ,…, xN

Total de actividadesTotal de actividades

Total de recursosTotal de recursos

ActividadesActividades

Níveis das actividadesNíveis das actividades

Terminologia do Problema de PL em Termos de Terminologia do Problema de PL em Termos de ActividadesActividades

xj Pj ( j=1,2,…, N )xj Pj ( j=1,2,…, N ) O funcionamento da actividade j ao nível xj.

O funcionamento da actividade j ao nível xj.

5


9 3 4 :

Terminologia do Problema de PL em Termos de Terminologia do Problema de PL em Termos de ActividadesActividades

ZZ

cj xjcj xj

Medida da vantagem (desvantagem)

Medida da vantagem (desvantagem)

A contribuição no valor da f.o. da actividade Pj ao nível xj

A contribuição no valor da f.o. da actividade Pj ao nível xj

bibi

aijaij

Quantidade do recurso i disponível

Quantidade do recurso i disponível

Quantidade do recurso i gasto na actividade j, j=1,..,N.

Quantidade do recurso i gasto na actividade j, j=1,..,N.


9 3 4 :

O problema de planeamento da produção como

problema de PL, formulado em termos de

actividades, consiste em determinar os níveis das

diversas actividades por forma a maximizar a

medida da vantagem ou minimizar a medida da

desvantagem, respeitando as limitações de

recursos e a quantidade de produtos a produzir.

O problema de planeamento da produção como

problema de PL, formulado em termos de

actividades, consiste em determinar os níveis das

diversas actividades por forma a maximizar a

medida da vantagem ou minimizar a medida da

desvantagem, respeitando as limitações de

recursos e a quantidade de produtos a produzir.

Problema de PL em Termos de Actividades. Problema de PL em Termos de Actividades. Conclusões.Conclusões.

6


9 3 4 :

Hipóteses do modelo de PLHipóteses do modelo de PL

Qualquer modelo de PL deve cumprir as seguintes hipóteses

que garantem a linearidade da função objectivo e das

restrições do problema:

4 Proporcionalidade

4 Aditividade

4 Divisibilidade e não negatividade

4 Linearidade da função objectivo


9 3 4 :

[ ] [ ] '

21

'

21 ..,,.,..,,., jMjijjjjjjjMijjjjjj axaxaxaxaaaaxPx ==

Hipóteses do modelo de PL: Hipóteses do modelo de PL: H1H1-- Proporcionalidade.Proporcionalidade.

Em cada actividade a quantidade de bens que entram e saem

são sempre proporcionais ao nível da mesma .

por exemplo:

4 se for duplicado o nível duma actividade, ter-se-ão de duplicar todos os "inputs" (os recursos utilizados) sendo duplicados

todos os "outputs" (os produtos).

7


9 3 4 :

[ ] [ ] '

1

'

1 ,...,,..., sMsssrMrrrssrr axaxaxaxPxPx +=+

[ ] '

11 ,..., sMsrMrssrr axaxaxax ++=

Hipóteses do modelo de PL:Hipóteses do modelo de PL:H2H2-- AditividadeAditividade..

Dadas N actividades, o resultado do emprego conjunto das mesmas é a sua adição.

por exemplo:

4 combinando as actividades Pr e Ps tem-se uma nova actividade,

resultante da combinação destas:


9 3 4 :

Hipóteses do modelo de PL: H3 y H4.Hipóteses do modelo de PL: H3 y H4.

H3 H3 -- Divisibilidade e não Divisibilidade e não negatividadenegatividade..

O nível de uma actividade pode assumir qualquer valor positivo de um dado intervalo, o que equivale a supor que os bens são perfeitamente divisíveis, isto é, susceptíveis de variar em quantidades infinitesimais.

H4 H4 –– Linearidade da função objectivo.Linearidade da função objectivo.

Cada actividade contribui para o objectivo global perseguido pelo sistema (por exemplo, cada actividade normalmente tem associado um certo lucro ou um certo custo). Esta hipótese indica que essa contribuição para a função económica é proporcional ao nível da actividade. A contribuição total é a soma das contribuições de todas as actividades.

8


9 3 4 :

As hipóteses H1 e H3 traduzem a

linearidade das actividades e,

atendendo a H4, pode concluir-se que se

está em presença de um modelo linear.

As hipóteses H1 e H3 traduzem a

linearidade das actividades e,

atendendo a H4, pode concluir-se que se

está em presença de um modelo linear.

Hipóteses do modelo de PL. ConclusõesHipóteses do modelo de PL. Conclusões


9 3 4 :

Problema de Transporte (PT).Problema de Transporte (PT).

Considere-se um sistema de distribuição de um produto de M

unidades produtoras para N armazéns receptores.

Conhecendo-se os custos de transporte, a procura prevista

para cada armazém e as capacidades de produção (ofertas) de

cada unidade produtora, pretende-se:

OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DESTE PRODUTOOPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DESTE PRODUTO

9


9 3 4 :

Problema de Transporte (PT): Formulação em Problema de Transporte (PT): Formulação em Termos de Actividades.Termos de Actividades.


Nível de actividadeNível de actividade

Distribuição do produto da unidade i para o armazém j

Distribuição do produto da unidade i para o armazém j

Quantidade a transportar de ipara j : xij

Quantidade a transportar de ipara j : xij

Recursos e restrições


Função ObjectivoFunção Objectivo

Oferta da unidade i ; Procura do armazém j.

Oferta da unidade i ; Procura do armazém j.

Minimizar o custo GLOBAL de Transporte.

Minimizar o custo GLOBAL de Transporte.


9 3 4 :

s.a.

∑ij

ijij xcmin

∑ ≤j

iij ax

∑ =i

jij bx

0≥ijx

Problema de Transporte (PT): O Modelo de PL.Problema de Transporte (PT): O Modelo de PL.

cij - custo de transporte de uma unidade de produto da unidade i para o armazém j

M unidades produtoras ⇒M restrições de oferta;ai -OFERTA da unidade produtora i; i=1…..M; N armazéns receptores ⇒

N restrições de procura;bj- PROCURA do armazém receptor j , j=1,…N;

10


9 3 4 :

Problema de Composição da Dieta.Problema de Composição da Dieta.

Conhecendo-se os conteúdos calóricos e vitamínicos de

diversos alimentos, bem como os seus preços,

OPTIMIZAR A COMPOSIÇÃO DA DIETAOPTIMIZAR A COMPOSIÇÃO DA DIETA

de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer níveis mínimos

de calorias e vitaminas.


9 3 4 :

Problema de Composição da Dieta:Problema de Composição da Dieta:Formulação em Termos de Actividades.Formulação em Termos de Actividades.



Colocação do alimentoi na dieta

Colocação do alimentoi na dieta

xj: quantidade do alimento i na dieta

xj: quantidade do alimento i na dieta




Níveis calóricos e vitamínicosmínimos

Níveis calóricos e vitamínicosmínimos

Minimizar o custo GLOBAL da composição da dieta.

Minimizar o custo GLOBAL da composição da dieta.

11


9 3 4 :

sendo: ai e bi - o conteúdo calórico e vitamínico unitário de cada

alimento i, ci - o custo unitário de i , e u e v, os níveis mínimos exigidos.

nível calórico

nível vitamínico

com

∑i

ii xcmin

∑ ≥i

ii uxa

∑ ≥i

ii vxb

0≥ix

Problema de Composição da Dieta:Problema de Composição da Dieta:O modelo de PLO modelo de PL


9 3 4 :

Problema de Produção.Problema de Produção.

Suponha que uma fábrica é capaz de produzir N produtos utilizando M recursos limitados, os quais podem ser:

4 horas de trabalho, 4 tempos de operação de várias máquinas,4 matérias primas,4 serviços, etc.

Conhecendo-se o lucro unitário, as quantidades de recurso utilizada para cada produto, e as quantidades de recursos disponíveis, determinar:

O PLANO ÓPTIMO DE PRODUÇÃO COM O MAIOR LUCRO.O PLANO ÓPTIMO DE PRODUÇÃO COM O MAIOR LUCRO.

12


9 3 4 :

Problema de Produção:Problema de Produção:Formulação em Termos de Actividades.Formulação em Termos de Actividades.



Produção do produto j Produção do produto j

Quantidade a produzir do produto j: xj

Quantidade a produzir do produto j: xj




Quantidade de recurso disponível; a quantidade de

recurso i gasta na produção de uma unidade de produto j

Quantidade de recurso disponível; a quantidade de

recurso i gasta na produção de uma unidade de produto j

Maximizar o lucro global da produção

Maximizar o lucro global da produção


9 3 4 :

sendo i=1…..M, j=1,…N,cj o lucro obtido por cada unidade do produto j ,aij a quantidade de recurso i gasto na produção de uma

unidade do produto j, e bi a quantidade de recurso disponível.

restrições dos recursoscom

∑j

jjxcmax

ij

jij bxa ≤∑

0≥jx

Problema de Produção: O modelo de PL.Problema de Produção: O modelo de PL.

1

�� 3URI�� *ODG\V &DVWLOOR �

� � � �

��

&DStWXOR ��

3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV GD 3URJUDPDomR /LQHDU�

� 5HGXomR j )RUPD 3DGUmR

� &RQFHLWRV )XQGDPHQWDLV�

� 7HRUHPD )XQGDPHQWDO GD 3/�


� � � �

��

2 SULPHLUR SDVVR SDUD D UHVROXomR GH XP SUREOHPD GH 3/

FRQVLVWH QD VXD UHGXomR j )RUPD 3DGUmR� 3DUD LVWR p SUHFLVR

FRQYHUWHU DV UHVWULo}HV IXQFLRQDLV GH GHVLJXDOGDGH HP

UHVWULo}HV HTXLYDOHQWHV GH LJXDOGDGH�

� XPD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GH WLSR ³≤´ SRGH VHUFRQYHUWLGD QXPD UHVWULomR GH LJXDOGDGH DGLFLRQDQGR XPD

QRYD YDULiYHO QmR QHJDWLYD �YDULiYHO GH GHVYLR RX IROJD� xxNN+1+1�

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤ bi ⇔ ai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = bi

x N+1 ≥ 0

� XPD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GH WLSR ³≥´ SRGH VHUFRQYHUWLGD QXPD UHVWULomR GH LJXDOGDGH VXEWUDLQGR XPD QRYD

YDULiYHO QmR QHJDWLYD �YDULiYHO GH GHVYLR RX IROJD� xxNN+1+1�

ai 1 x1 + …+ ai N xN ≥ bi ⇔ ai 1 x1 + …+ ai N xN - xN+1 = bi

x N+1 ≥ 0

2


� � � �

x1 ≤ 4x1 ≤ 4

2 x2 ≤ 122 x2 ≤ 12

3 x1 + 2 x2 ≤ 183 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 + x3 = 4x1 + x3 = 4

2 x2 + x4 = 122 x2 + x4 = 12

3 x1 + 2 x2 + x5 = 183 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x3xx33

x4xx44

x5xx55

1ª1ª

2ª2ª

3ª3ª

��

5HVWULomR GHGHVLJXDOGDGH

5HVWULomR GHLJXDOGDGH

9DULiYHO GHIROJD


� � � �

��

Maximizar Z= 3 x1 + 5 x2

sujeito ax1 ≤ 4

2 x2 ≤ 123 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥0


sujeito ax1 ≤ 4

2 x2 ≤ 123 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥0


sujeito ax1 + x3 = 4

2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0

)RUPD &DQyQLFD)RUPD &DQyQLFD )RUPD 3DGUmR)RUPD 3DGUmR

As variáveis de folga têm

coeficientes nulos na f.o.

As variáveis de folga têm

coeficientes nulos na f.o.

3


� � � �

��

6XSRQKD�VH TXH�

� P � Q~PHUR GH UHVWULo}HV IXQFLRQDLV�

� Q � Q~PHUR WRWDO GH YDULiYHLV �GH GHFLVmR H GH IROJD��

� bi ≥ �� i ��«�P� � HP FDVR FRQWUiULR PXOWLSOLFDU SRU ��

� R SUREOHPD GH 3/ VH HQFRQWUD QD IRUPD SDGUmR�

A introdução destes conceitos são

necessários para a compreensão do método Simplex.

A introdução destes conceitos são

necessários para a compreensão do método Simplex.

Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn (3.1)

sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2

…

am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm

x1, x2,…, xm,…, xn ≥0 (m ≤ n ) (3.3)


� � � �

Qualquer conjunto de valores para as variáveis(x1, x2,…, xn) que satisfaça as restrições do modelo, i,e, que seja uma solução do sistema de equações lineares (3.2)

designa-se por solução.

Qualquer conjunto de valores para as variáveis(x1, x2,…, xn) que satisfaça as restrições do modelo, i,e, que seja uma solução do sistema de equações lineares (3.2)

designa-se por solução.

Uma solução admissível é uma solução X= (x1, x2,…, xn), X ∈ℜ n,que também verifica as condições de não negatividade(3.3), i.e., todos os seus valores são não negativos.

Uma solução admissível é uma solução X= (x1, x2,…, xn), X ∈ℜ n,que também verifica as condições de não negatividade(3.3), i.e., todos os seus valores são não negativos.

��

O conjunto de todas as soluções admissíveis designa-se por região de admissibilidade.

O conjunto de todas as soluções admissíveis designa-se por região de admissibilidade.



4


� � � �

�� !�� !��"��#��"��#

3DUD GHWHUPLQDU XPD VROXomR GR SUREOHPD GH 3/ p SUHFLVR

UHVROYHU R VLVWHPD GH HTXDo}HV OLQHDUHV ��

(VWH VLVWHPD p FRQVWLWXtGR SRU m HTXDo}HV H n LQFyJQLWDV�6XSRQKD TXH D FDUDFWHUtVWLFD GD PDWUL] GR VLVWHPD p LJXDO D

m� c(A)=m, H TXH m ≤ n . (VWH VLVWHPD WHP XPD LQILQLGDGH

GH VROXo}HV� WUDWDQGR�VH SRUWDQWR GXP VLVWHPD SRVVtYHO H

LQGHWHUPLQDGR GH JUDX n� m� ,VWR VLJQLILFD TXH SRGHPRVH[SULPLU m YDULiYHLV HP IXQomR GDV n� m UHVWDQWHV�


sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2

…

am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm

x1, x2,…, xm,…, xn ≥0 (m ≤ n ) (3.3)


sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2

…

am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm

x1, x2,…, xm,…, xn ≥0 (m ≤ n ) (3.3)

c(A) - característica de uma matriz Amxn que corresponde

ao número máximo de colunas de A linearmente

independentes

c(A) - característica de uma matriz Amxn que corresponde

ao número máximo de colunas de A linearmente

independentes


� � � �

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

�� $ ��%��&� �� $ ��%��&� ��

Xx1

x2

x3

x4

x5

P0

4

12

18

==

2 VLVWHPD GH HTXDo}HV OLQHDUHV p FRQVWLWXtGR SRU � HTXDo}HV

H � LQFyJQLWDV� RQGH � ≤ �� $ FDUDFWHUtVWLFD F�$� ��

(VWH VLVWHPD WHP XPD LQILQLGDGH GH VROXo}HV� WUDWDQGR�VH

SRUWDQWR GXP VLVWHPD SRVVtYHO H LQGHWHUPLQDGR GH JUDX

�� R TXH VLJQLILFD TXH SRGHPRV H[SULPLU � YDULiYHLV

HP IXQomR GDV UHVWDQWHV ��



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0

5


� � � �

�� %��&� �� %��&� �� '(��'(��)�� )�� **+��+��

,� 5HGX]LU � FROXQDV GH $ D XPD PDWUL] LGHQWLGDGH ,�,� 5HGX]LU � FROXQDV GH $ D XPD PDWUL] LGHQWLGDGH ,�

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 2 0 1 0 123 2 0 0 1 18

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 1 0 1/2 0 60 2 -3 0 1 6

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 1 0 1/2 0 60 0 -3 -1 1 - 6

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 1 0 1/2 0 60 0 1 1/3 -1/3 2

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 0 -1/3 1/3 20 1 0 1/2 0 60 0 1 1/3 -1/3 2

1º: L2 / 2

2º: L1 x(-3) + L3

3º:L2x(-2)+L3 4º: L3 / -3

5º: L1-L3)LFDP UHGX]LGDV DV

FROXQDV ^3�� 3�� 3�` D

XPD PDWUL] LGHQWLGDGH ,�

L1→L2 →L3 →

�� 3URI�� *ODG\V &DVWLOOR ��

� � � �

�� %��&� �� %��&� �� '(��'(��)�� )�� **+��+��

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 0 -1/3 1/3 20 1 0 1/2 0 60 0 1 1/3 -1/3 2

x4 =λ1, λ1 ∈ℜx5 =λ2, λ2 ∈ℜx1=2 +1/3 λ1-1/3 λ2

x2=6-1/2 λ1

x3=2-1/3 λ1+1/3 λ2

x4 =λ1, λ1 ∈ℜx5 =λ2, λ2 ∈ℜx1=2 +1/3 λ1-1/3 λ2

x2=6-1/2 λ1

x3=2-1/3 λ1+1/3 λ2

Infinidade de soluções

,,� $WULEXLQGR YDORUHV DUELWUiULRV D x4 H x5 � DV YDULiYHLV x1, x2 , x3 SRGHP VHU H[SUHVVDV HP IXQomR GH x4 e x5 �

,,� $WULEXLQGR YDORUHV DUELWUiULRV D x4 H x5 � DV YDULiYHLV x1, x2 , x3 SRGHP VHU H[SUHVVDV HP IXQomR GH x4 e x5 �

Obviamente, quando λ1= λ2 = 0, uma

solução seria: x1=2, x2=6 , x3=2 , x4=0

, x5=0 , i.e., X=(2, 6, 2, 0, 0).

Obviamente, quando λ1= λ2 = 0, uma

solução seria: x1=2, x2=6 , x3=2 , x4=0

, x5=0 , i.e., X=(2, 6, 2, 0, 0).

6


� � � �

Se uma submatriz Bmxm da matriz A do sistema de equações correspondente às restrições (3.2) é não singular, i.e., o determinante de Bmxm é não nulo,

então Bmxm designa-se por base.

Se uma submatriz Bmxm da matriz A do sistema de equações correspondente às restrições (3.2) é não singular, i.e., o determinante de Bmxm é não nulo,

então Bmxm designa-se por base.

,� ��$ ��,� ��$ ��-�� ./� �!. �� !. �� -�� ./� �!. �� !. ��

As m variáveis x1 , x2 ,…, xm , correspondentes às colunas de Bmxm ,designam-se por variáveis básicas e as restantes n-m variáveis xm+1, xm+2 ,…, xn

designam-se por variáveis não básicas.

As m variáveis x1 , x2 ,…, xm , correspondentes às colunas de Bmxm ,designam-se por variáveis básicas e as restantes n-m variáveis xm+1, xm+2 ,…, xn

designam-se por variáveis não básicas.


� � � �

Obtém-se uma solução básica para o sistema (3.2)

atribuindo o valor 0 às n-m variáveis não básicas xm+1 ,xm+2 ,…, xn, e determinando uma solução para as restantes m variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm ,i.e., X = (x1 , x2 ,… , xm

,0,…,0), onde XB =(x1 , x2 ,…, xm) é a única solução do sistema B XB =b.

Obtém-se uma solução básica para o sistema (3.2)

atribuindo o valor 0 às n-m variáveis não básicas xm+1 ,xm+2 ,…, xn, e determinando uma solução para as restantes m variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm ,i.e., X = (x1 , x2 ,… , xm

,0,…,0), onde XB =(x1 , x2 ,…, xm) é a única solução do sistema B XB =b.

Se todas as variáveis básicas da solução básicaX= (x1 , x2 ,… , xm, 0,…,0) são não negativas então X é uma solução básica admissível (SBA).

Se todas as variáveis básicas da solução básicaX= (x1 , x2 ,… , xm, 0,…,0) são não negativas então X é uma solução básica admissível (SBA).

$��,. ��$��,. ��0� 1/��$��,. ��$��,. ��0� 1/��

6HP SHUGD GH JHQHUDOLGDGH� VXSRQKD TXH D

EDVH % p FRPSRVWD SHODV m SULPHLUDV FROXQDV�

L�H�� %= { P1 , P2 ,..., Pm }

como o determinante de B é não nulo (pela definição de base), o sistema de equaçõesBXB =b tem solução

única

como o determinante de B é não nulo (pela definição de base), o sistema de equaçõesBXB =b tem solução

única

7


� � � �

Se alguma variável básica x1 , x2 ,…, xm for igual a zero,a solução básica designa-se por

solução básica degenerada.

Se alguma variável básica x1 , x2 ,…, xm for igual a zero,a solução básica designa-se por

solução básica degenerada.

$��,. ��2��$��,. ��2��

Se todas as variáveis básicas são não nulasa solução básica designa-se por

solução básica não degenerada.

Se todas as variáveis básicas são não nulasa solução básica designa-se por

solução básica não degenerada.

6XSRQKD�VH X = (x1 , x2 ,… , xm ,0,…,0) XPD VROXomR EiVLFDSDUD R VLVWHPD (3.2) FRP DV FRUUHVSRQGHQWHV YDULiYHLV

EiVLFDV x1 , x2 ,…, xm.


� � � �

�� 3�,� �4�$,0�� 3�,� �4�$,0�

$ PDWUL] % FRPSRVWD SHODV FROXQDV % ^ 3�� 3

�� 3

�` p XPD

EDVH GR VLVWHPD� 2 GHWHUPLQDQWH GH % p QmR QXOR� SHOR TXH R

VLVWHPD GH HTXDo}HV %;% E WHP VROXomR ~QLFD�

resolvendoB;

%=b

XB

x3

x4

x5

P0

412

18

==

P3 P4 P5

1 0 00 1 00 0 1

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 2 0 1 0 123 2 0 0 1 18

B

X = ( 0, 0, 4, 12, 18 )X = ( 0, 0, 4, 12, 18 ) éuma solução básica admissível (SBA)

correspondente a esta base.

x3=4 , x4=12, x5=18 são variáveis

básicas e x1 =0, x2 =0são variáveis não básicas.

Obviamente x3=4, x4=12, x5=18 é a única solução deste sistema.

Obviamente x3=4, x4=12, x5=18 é a única solução deste sistema.

8


� � � �

0DWUL] GDV UHVWULo}HV

GR H[HPSOR 3URWyWLSR

BB11 =={ { PP1 1 , P, P22 , P, P33 } }

BB22 =={ { PP1 1 , P, P33 , P, P44 }}

BB33 =={ { PP1 1 , P, P44 , P, P55 }}

BB44 =={ { PP1 1 , P, P22 , P, P44 }}

BB55 =={ { PP1 1 , P, P22 , P, P55 }}

103

5=

)!(!

!

mnm

n

m

n

−=

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

5�� &� �!. �� !��5�� &� �!. �� !��#��#

2 Q~PHUR GH VROXo}HV EiVLFDV

p LJXDO DR Q~PHUR GH PDWUL]HV �[�

TXH SRGHP VHU H[WUDtGDV GD

PDWUL] $ FRP GHWHUPLQDQWH QmR

QXOR

([LVWHP �� VXEPDWUL]HV FDQGLGDWDV D EDVHV�

BB66 =={ { PP1 1 , P, P33 , P, P55 } } →→ determinante nulo

BB7 7 =={ { PP2 2 , P, P33 , P, P44 }}

BB88 =={ { PP2 2 , P, P33 , P, P55 }}

BB99 =={ { PP2 2 , P, P44 , P, P55 } } →→ determinante nulo

BB1010 =={ { PP3 3 , P, P44 , P, P55 }}


� � � �

x2=0

x4=0

2 GHWHUPLQDQWH GH %�p QXOR ⇒ % QmR p EDVH

⇒ R VLVWHPD p LQGHWHUPLQDGR

P1 P3 P5

1 1 00 0 03 0 1

B6=

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A = | B6| =0

x1=0

x3=0

2 GHWHUPLQDQWH GH %�p QXOR ⇒ % QmR p EDVH

⇒ R VLVWHPD p LQGHWHUPLQDGR

P2 P4 P5

0 0 02 1 02 0 1

B9=

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A = | B9| =0

�� 3�� 3'�� 6� �� '�� 6� ��

9


� � � �

x1=0

x2=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; � �� ; � ��

x4=0

x5=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; �� ; ��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

XB=B-1 P0 XB=B-1 P0

XB

x3

x4

x5

P0

412

18

=

P3 P4 P5

1 0 00 1 00 0 1

B10=

P0

412

18

XB

x1

x2

x3

==

P1 P2 P3

1 0 10 2 03 2 0

B1=

�� $��&� �,. �� 0� 1/� �$��&� �,. �� 0� 1/� �


� � � �

x3=0

x5=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; � �� ; � ��

x2=0

x3=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; �� ; ��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

XB

x1

x2

x4

P0

412 18

=P1 P2 P4

1 0 00 2 13 2 0

B4=

�� $��&� �,. �� 0� 1/� �$��&� �,. �� 0� 1/� �

P0

412

18

XB

x1

x4

x5

P1 P4 P5

1 0 00 1 03 0 1

B3 ==

10


� � � �

x1=0

x4=0

'HW�%8� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; � �� ; � ��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

XB=B-1 P0XB=B-1 P0

XB

x2

x3

x5

P0

412 18

=

P2 P3 P5

0 1 02 0 02 0 1

B8 =

�� $��&� �,. �� 0� 1/� �$��&� �,. �� 0� 1/� �


� � � �

x1=0

x5=0

'HW�%7� QmR QXOR �x4< 0 ⇒ SBNA X=( 0, 9, 4, X=( 0, 9, 4, --66, 0), 0)

x2=0

x5=0

'HW�%2� QmR QXOR, x3< 0 ⇒ SBNA X= (6, 0, X= (6, 0, --22, 12, 0), 12, 0)

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

Xx2

x3

x4

P0

412

18

=P2 P3 P4

0 1 02 0 12 0 0

B7 =

P0

412

18

Xx1

x3

x4

=

P1 P3 P4

1 1 00 0 13 0 0

B2 =

�� $��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70��$��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70��

11


� � � �

x3=0

x4=0

'HW�%5� QmR QXOR, x5< 0 ⇒ SBNA X=( 4, 6, 0, 0, X=( 4, 6, 0, 0, --66))

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =Xx1

x2

x5

P0

412

18

=

P1 P2 P5

1 0 00 2 03 2 1

B5 =

�� $��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70��$��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70��


� � � �

AA(0,0)SBASBA

EE(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBSBAA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

([LVWHP � 6%$ TXH FRUUHVSRQGHP D � SRQWRV H[WUHPRV GH .�

�� $��&� �,. �� 0� 1/� ��$,0��$��&� �,. �� 0� 1/� ��$,0��

B={ PB={ P1 1 , P, P44 , P, P55 }}X=(4,0,0,12,6)X=(4,0,0,12,6)E=(4,0)E=(4,0)

B={ PB={ P1 1 , P, P22 , P, P44 }}X=(4,3,0,6,0)X=(4,3,0,6,0)D=(4,3)D=(4,3)

B={ PB={ P1 1 , P, P22 , P, P33 }}X=(2,6,2,0,0)X=(2,6,2,0,0)C=(2,6)C=(2,6)

B={ PB={ P2 2 , P, P3 3 , P, P55 }}X=(0,6,4,0,6)X=(0,6,4,0,6)B=(0,6)B=(0,6)

B={PB={P3 3 , P, P44 , P, P55 }}X=(0,0,4,12,18)X=(0,0,4,12,18)A=(0,0)A=(0,0)

%DVH6%$3RQWRV

([WU�

12


� � � �

([LVWHP � 6%1$ TXH FRUUHVSRQGHP jTXHOHV SRQWRV

RQGH VH LQWHUVHFWDP SHOR PHQRV GXDV UHVWULo}HV H TXH

ILFDP IRUD GD UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH�

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA

�� $��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70�$��&� �,. �� 7��0� 1/� ��$,70�

B={ P1 , P3 , P4 }X=(6,0,-2,12,0)H=(6,0)H=(6,0)

B={ P1 , P2 , P5 }X=(4,6,0,0,-6)G=(4,6)G=(4,6)

B={P2 , P3, P4 }X=(0,9,4,-6, 0)F=(0,9)F=(0,9)

%DVH6%1$


� � � �

8��8��

Se existe uma solução admissível do problema de PL definido

pelas expressões (3.1), (3.2) e (3.3), então existe uma solução

básica admissível, e se existe uma solução óptima admissível

então existe uma solução óptima básica admissível.

13


� � � �

)!(!

!

mnm

n

m

n

−=

79��$��&� �,. �� 79��$��&� �,. ��

'R WHRUHPD IXQGDPHQWDO GD 3/ FRQFOXL�VH TXH QmR p

QHFHVViULR SURFXUDU D VROXomR ySWLPD HQWUH WRGDV DV

VROXo}HV DGPLVVtYHLV� PDV DSHQDV HQWUH DV VROXo}HV

EiVLFDV DGPLVVtYHLV�

2 Q~PHUR Pi[LPR GHVWDV VROXo}HV EiVLFDV SDUD XP

SUREOHPD FRP P UHVWULo}HV H Q YDULiYHLV� p GDGR SHOR

Q~PHUR GH SRVVtYHLV FRPELQDo}HV GH P Q~PHURV TXH

SRGHP VHU REWLGDV XVDQGR Q Q~PHURV�

A solução óptima poderia ser encontrada pela

experimentação de todas as soluções básicas admissíveis,

porém este método é tremendamente ineficaz.

A solução óptima poderia ser encontrada pela

experimentação de todas as soluções básicas admissíveis,

porém este método é tremendamente ineficaz.


� � � �

$ 3URJUDPDomR /LQHDU SURFXUD �

�� 'HVHQYROYHU XP PpWRGR TXH SHUPLWD SDVVDU

GH XPD VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO SDUD

XPD RXWUD VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO TXH

FRUUHVSRQGD D XP PHOKRU YDORU GD IXQomR

REMHFWLYR�

�� 'LVSRU GH XP FULWpULR TXH SHUPLWD VDEHU

TXDQGR VH DOFDQoRX D VROXomR ySWLPD

VHP QHFHVVLGDGH GH H[SHULPHQWDU WRGDV DV

VROXo}HV EiVLFDV�

�� &� �� &�

1


� � � �

��

&DStWXOR ��

3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV GD 3URJUDPDomR /LQHDU ��


� � � �

Os vectores X1, X2,…,Xn do espaço vectorial E sobre ℜdizem-se linearmente dependentes se e só se algum deles é

combinação linear dos outros, i.e.,se existirem em ℜescalares α1, α2 ,…, αn não todos nulos tais que

α1X1+ α2X2+....+αnXn =0

Os vectores X1, X2,…,Xn do espaço vectorial E sobre ℜdizem-se linearmente dependentes se e só se algum deles é

combinação linear dos outros, i.e.,se existirem em ℜescalares α1, α2 ,…, αn não todos nulos tais que

α1X1+ α2X2+....+αnXn =0

Se a igualdade α1X1+ α2X2+....+αnXn =0 é satisfeita apenas com todos os escalares iguais a zero, i.e.,

α1= α2= .... = αn = 0 ,então os vectores X1, X2,.…,Xn dizem-se

linearmente independentes.

Se a igualdade α1X1+ α2X2+....+αnXn =0 é satisfeita apenas com todos os escalares iguais a zero, i.e.,

α1= α2= .... = αn = 0 ,então os vectores X1, X2,.…,Xn dizem-se

linearmente independentes.

��

2


� � � �

O conjunto dos pontos (x1,x2) ∈ ℜ 2 que satisfazem a equação:a1 x1 + a2 x2=b , com a1, a2 e b constantes,

é uma recta perpendicular ao vector (a1, a2) ∈ ℜ 2. Diz-se então que esta equação define

uma recta no plano.

O conjunto dos pontos (x1,x2) ∈ ℜ 2 que satisfazem a equação:a1 x1 + a2 x2=b , com a1, a2 e b constantes,

é uma recta perpendicular ao vector (a1, a2) ∈ ℜ 2. Diz-se então que esta equação define

uma recta no plano.

O conjunto dos pontos x1 , x2 , x3 ∈ ℜ 3 que satisfazem a equação:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3=b , com a1 , a2 ,a3 e b constantes, é um plano perpendicular ao vector (a1, a2 ,a3) ∈ ℜ 3.

Diz-se então que esta equação defineum plano no espaço ℜ 3

O conjunto dos pontos x1 , x2 , x3 ∈ ℜ 3 que satisfazem a equação:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3=b , com a1 , a2 ,a3 e b constantes, é um plano perpendicular ao vector (a1, a2 ,a3) ∈ ℜ 3.

Diz-se então que esta equação defineum plano no espaço ℜ 3

��


� � � �

O conjunto dos pontos (x1, x2 , …, xn ) ∈ ℜ n que satisfazem a equação:

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn=b ,com a1 ,a2 ,…,an e b constantes, define um hiperplano perpendicular ao vector (a1, a2,…, an) em ℜ n. Diz-se então que esta equação define

um hiperplano em ℜ n.

O conjunto dos pontos (x1, x2 , …, xn ) ∈ ℜ n que satisfazem a equação:

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn=b ,com a1 ,a2 ,…,an e b constantes, define um hiperplano perpendicular ao vector (a1, a2,…, an) em ℜ n. Diz-se então que esta equação define

um hiperplano em ℜ n.

8P KLSHUSODQR p XPD JHQHUDOL]DomR GR FRQFHLWR

GH SODQR QXP HVSDoR Q�GLPHQVLRQDO

� ��

3


� � � �

Designando este hiperplano por H(X), tem-se:

{ }bXaRXXH tn =∈=)(

{ }bXaRX tn <∈

{ }bXaRX tn =∈

{ }bXaRX tn >∈

semi-espaço aberto

{ }bXaRXXH tn ≤∈=− )(

{ }bXaRXXH tn ≥∈=+ )(

semi-espaço aberto

semi-espaço fechado

semi-espaço fechado

divide o espaço em:

� ��


� � � �

Chama-se combinação linear convexa de um número finitos de pontos X1, X2,…,Xn ao ponto X=λ1X1+ λ2X2+...+λnXn , onde ∑λ i =1, λ i ≥ 0, i=1,…n

Chama-se combinação linear convexa de um número finitos de pontos X1, X2,…,Xn ao ponto X=λ1X1+ λ2X2+...+λnXn , onde ∑λ i =1, λ i ≥ 0, i=1,…n

Conjunto convexo K é um conjunto que contém todas as combinações lineares convexas dos seus pontos, ou seja; quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K e 0≤λ ≤ 1 tem-se:

X=λ X1+ ( 1-λ )X2 ∈ K

Conjunto convexo K é um conjunto que contém todas as combinações lineares convexas dos seus pontos, ou seja; quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K e 0≤λ ≤ 1 tem-se:

X=λ X1+ ( 1-λ )X2 ∈ K

�� !��"�#�� !��"�#��

Conjunto convexo K é um conjunto que contém o segmento de recta que une dois quaisquer dos seus pontos

Conjunto convexo K é um conjunto que contém o segmento de recta que une dois quaisquer dos seus pontos

4


� � � �

Um conjunto convexo é fechadose contém a sua fronteira.

Um conjunto convexo é fechadose contém a sua fronteira.

�� !��"�#��$��%�� !��"�#��$��%��

Exemplos de conjuntos convexos fechados :

� Um hiperplano H(X) em ℜ n .�Os semi-espaços fechados H-(X) e H+(X).


� � � �

x1

x2

x1

x2

&#�� !��"�#��&#�� !��"�#��

5


� � � �

642 x 1

2

4

6

8

x 2

x 1 = 4

x 2 = 6

3x 1 + 2 x 2 = 18

Região das soluções admissíveis

&#�� !��"�#��&#�� !��"�#��

$ UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH GR H[HPSOR SURWyWLSR


� � � �

x1

x2

x1

x2

&#�� !��'��"�#��&#�� !��'��"�#��

6


� � � �

Ponto extremo X' de um conjunto convexo K é um ponto de K que não pode ser obtido por combinação linear convexa positiva de pontos de K, i.e. quaisquer que sejam

X1, X2 ∈ K, X1≠ X2 não existe um λ, 0 <λ < 1 , tal que X'=λ X1+ ( 1-λ )X2

Ponto extremo X' de um conjunto convexo K é um ponto de K que não pode ser obtido por combinação linear convexa positiva de pontos de K, i.e. quaisquer que sejam

X1, X2 ∈ K, X1≠ X2 não existe um λ, 0 <λ < 1 , tal que X'=λ X1+ ( 1-λ )X2

x

1

x

2

A B

C

D

E

��&#��!�� !��"�#��&#��!�� !��"�#��


� � � �

Teorema 1 A intersecção finita de

conjuntos convexosé um conjunto convexo.

Teorema 2 A intersecção finita de

conjuntos convexos fechados é um conjunto convexo fechado

�� !��"�#�� !��"�#��

7


� � � �

define um hiperplano H(X) em ℜ n

X =[x1, x2,….., xn ]t

define um hiperplano H(X) em ℜ n

X =[x1, x2,….., xn ]t

A equação com n incógnitas

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn= b

com a1 ,a2 ,…,an e b constantes

A equação com n incógnitas

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn= b


O sistema de m equações com n incógnitas

a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn= b

am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn= b com aij , i=1,..m, j=1, n e b constantes

O sistema de m equações com n incógnitas

a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn= b

am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn= b com aij , i=1,..m, j=1, n e b constantes

H(X)é um conjuntoconvexo fechado

H(X)é um conjuntoconvexo fechado

define a intersecção de m hiperplanos em ℜ n

define a intersecção de m hiperplanos em ℜ n

a intersecção é um conjunto convexo fechado

a intersecção é um conjunto a intersecção é um conjunto convexo fechadoconvexo fechadoTeorema 2

&#�� !��"�#��&#�� !��"�#��


� � � �

definem os semi-espaços fechados H-(X) e H+(X) em ℜ n

X =[x1, x2,….., xn ]t

definem os semi-espaços fechados H-(X) e H+(X) em ℜ n

X =[x1, x2,….., xn ]t

As inequaçôes

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≤ b a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≥ b


As inequaçôes

a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≤ b a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≥ b


O sistema de m inequaçõesa11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn≤(≥)b

am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn≤(≥) b com aij , i=1,..m, j=1, n e b constantes

O sistema de m inequaçõesa11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn≤(≥)b

am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn≤(≥) b com aij , i=1,..m, j=1, n e b constantes

H-(X) e H+(X) são conjuntos convexos fechados

H-(X) e H+(X) são conjuntos conjuntos convexos fechadosconvexos fechados

define a intersecção de m semi-espaços fechados em ℜ n

define a intersecção de m semi-espaços fechados em ℜ n

a intersecção é um conjunto convexo fechado

a intersecção é um conjunto a intersecção é um conjunto convexo fechadoconvexo fechadoTeorema 2Teorema 2

&#�� !��"�#��&#�� !��"�#��

8


� � � �

Dado um conjunto qualquer S, o conjunto de todas as combinações lineares convexas dos seus pontos designa-se por

invólucro convexo e representa-se por E(S).

Dado um conjunto qualquer S, o conjunto de todas as combinações lineares convexas dos seus pontos designa-se por

invólucro convexo e representa-se por E(S).

x1

x2

s

E(S)

��"(�!��"�#��"(�!��"�#��


� � � �

O invólucro convexo de um conjunto S com um número finitos de pontos

designa-se por politopo (poliedro convexo limitado).

O invólucro convexo de um conjunto S com um número finitos de pontos

designa-se por politopo (poliedro convexo limitado).

O politopo gerado por n+1 pontos em ℜ n designa-se por

simplex.

O politopo gerado por n+1 pontos em ℜ n designa-se por

simplex.

A região sombreada fornece um poliedro

convexo gerado pelos pontos A,B,C,D,E,F

A região sombreada fornece um poliedro

convexo gerado pelos pontos A,B,C,D,E,F

x1

x2

K

AA BB

CC

DDEE

FF

�� )�� "�#�� )�� "�#��

9


� � � �

&#�� !��"�#��$��%��&#�� !��"�#��$��%��

� 2 FRQMXQWR GDV VROXo}HV GXP VLVWHPD GH HTXDo}HV

�LQHTXDo}HV� OLQHDUHV . p XP FRQMXQWR FRQYH[R IHFKDGR�

� 2 FRQMXQWR GHILQLGR SHODV UHVWULo}HV GR SUREOHPD GH 3/ p

XP FRQMXQWR FRQYH[R IHFKDGR�


� � � �

O conjunto das soluções admissíveis, K, de um problema de PL é um conjunto convexo fechado.

Prova:Num problema de PL qualquer restrição define um conjunto convexo fechado. Como o conjunto das soluções admissíveis, K, de um problema de PL é a intersecção dos conjuntos definidos por todas as restrições do problema e como a intersecção de convexos é ainda um convexo e a intersecção de fechados é ainda um fechado,

K é um conjunto convexo fechado.

*��+�,�*��+�,�

10


� � � �

3RGHPRV GHPRQVWUDU PDLV HVWULWDPHQWH TXH . p XP FRQMXQWR

FRQYH[R�

0, 11 ≥= XbAX

0, 22 ≥= XbAX

21 )1( XXX λλ −+= 10 ≤≤ λ

KX ∈2,1X

AX ])1([ 21 XXA λλ −+=

21 )1( AXAX λλ −+= bb )1( λλ −+= b=

Suponha-se

K é o conjunto das soluções admissíveis do problema de PL, ∀X∈ K, AX=b, onde Amxn - matriz das restrições, X =[x1, x2,….., xn ]

K é o conjunto das soluções admissíveis do problema de PL, ∀X∈ K, AX=b, onde Amxn - matriz das restrições, X =[x1, x2,….., xn ]

para demonstrar a convexidade de K, temos de demonstrar que qualquer combinação linear convexa de X1 e X2 também pertence a K.

o que prova que X é também uma solução admissível, i.e. X ∈ K ⇒K é um conjunto convexo

Suponha-se

então:

0)1( 21 ≥−+= XXX λλ01 ≥Xλ0)1( 2 ≥− Xλ

*��+�,)�*��+�,)�3URYD �FRQWLQXDomR��3URYD �FRQWLQXDomR��


� � � �

642 x 1

2

4

6

8

x 2

x 1 = 4

x 2 = 6

3x 1 + 2 x 2 = 18


AA

BB CC

DD

EE

&#��-�./ ��&#��-�./ ��

1R H[HPSOR SURWyWLSR R FRQMXQWR GH DGPLVVLELOLGDGH� FRPR p

HYLGHQWH� p XP FRQMXQWR FRQYH[R IHFKDGR FXMRV SRQWRV

H[WUHPRV VmR $�%�&�'�(�

11


� � � �

�� 0� �� 1 � �� 0� �� 1 � ��

'DGR� TXH R FRQMXQWR GDV VROXo}HV DGPLVVtYHLV� .� UHVXOWD GD

LQWHUVHFomR GH XP Q~PHUR ILQLWR GH KLSHUSODQRV� HQWmR� GHFRUUHP DV

VHJXLQWHV � VLWXDo}HV� PXWXDPHQWH H[FOXVLYDV�

�. p YD]LR ⇒ R SUREOHPD QmR WrP VROXomR� p LPSRVVtYHO�

�. p QmR YD]LR H OLPLWDGR ⇒ . p XP SROLHGUR FRQYH[R OLPLWDGR

�SROLWRSR�

R SUREOHPD WrP ySWLPR ILQLWR� WHP XPD RX P~OWLSODV VROXo}HV ySWLPDV

�. p QmR YD]LR H QmR OLPLWDGR ⇒ . p XP SROLHGUR FRQYH[R QmR

OLPLWDGR�

R SUREOHPD SRGH WHU ySWLPR ILQLWR RX SRGH QmR WHU� GHSHQGH GR

JUDGLHQWH GD I�R � 6H R YDORU GD I�R� FUHVFH LQGHILQLGDPHQWH HQWmR R

SUREOHPD QmR WHP ySWLPR ILQLWR


� � � �

Uma função linear sobre um poliedro convexo limitado, K, atinge o óptimo num ponto extremo de K .No caso de atingir o óptimo em mais de um ponto extremo, qualquer combinação linear convexa destes pontos extremos corresponde ainda uma solução óptima.

*��+�2�*��+�2�

Um ponto X ∈ K é ponto extremo sé e só se X é uma solução básica admissível (SBA) do problema de PL

*��+�+�*��+�+�

12


� � � �

no exemplo protótipo temos só uma solução óptima: (2,6) onde a função objectivo alcança o seu valor máximo: 36.

no exemplo protótipo temos só uma solução óptima: (2,6) onde a função objectivo alcança o seu valor máximo: 36.

$ IXQomR REMHFWLYR DOFDQoD R VHX YDORU Pi[LPR QR SRQWR H[WUHPR &�$ IXQomR REMHFWLYR DOFDQoD R VHX YDORU Pi[LPR QR SRQWR H[WUHPR &&�

AA

BB CC

DD

EE 642 x 1

2

4

6

8

x2

R e g ião d ass olu ç õe sad m is s ív eis


Z = 36 = 3 x1 + 5 x2

Z = 20 = 3 x1 + 5 x2Z = 10 = 3 x1 + 5 x

2

3��!��4�� -�./ ��3��!��4�� -�./ ��

$ SULPHLUD SDUWH GR WHRUHPD �� DQDOLVD XPD VROXomR ySWLPD�


x 1 ≤ 42x 2 ≤ 12

3x1 + 2x 2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0


� � � �

O gradiente da função objectivo coincide com o gradiente da recta da 3ª

restrição do exemplo, i.e., as rectas da função

objectivo seriam paralelas à recta3x1 + 2x2 = 18 .

O gradiente da função objectivo coincide com o gradiente da recta da 3ª



$ IXQomR REMHFWLYR DOFDQoD R VHX YDORU Pi[LPR HP TXDOTXHU

SRQWR GR VHJPHQWR GH UHFWD &' TXH FRQVWLWXL R FRQMXQWR GH WRGDV

DV FRPELQDo}HV OLQHDUHV FRQYH[DV GRV SRQWRV & H '�

$ IXQomR REMHFWLYR DOFDQoD R VHX YDORU Pi[LPR HP TXDOTXHU

SRQWR GR VHJPHQWR GH UHFWD &'&' TXH FRQVWLWXL R FRQMXQWR GH WRGDV

DV FRPELQDo}HV OLQHDUHV FRQYH[DV GRV SRQWRV && H ''�

4 62

2

4

•6

8

x1

x2

SOLUÇÕES MÚLTIPLASSOLUÇÕES MÚLTIPLAS

CC

DD

AA

BB

EE

56�� !7��4�� 56�� !7��4�� -�./ ��-�./ ��

$ VHJXQGD SDUWH GR WHRUHPD �� DQDOLVD DV VROXo}HV P~OWLSODV�

13


� � � �

�� $!�� $!��

� 2 FRQMXQWR GH DGPLVVLELOLGDGH� .� GH XP SUREOHPD GH 3/

p XP FRQMXQWR FRQYH[R IHFKDGR�

� $ FDGD SRQWR H[WUHPR GH . HVWi DVVRFLDGD XPD 6%$� H

FRUUHVSRQGH�OKH XP VLVWHPD GH P YHFWRUHV OLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHV �EDVH� GH HQWUH RV Q YHFWRUHV GD PDWUL] $

GH UHVWULo}HV�

� 2 Q~PHUR GH SRQWRV H[WUHPRV GH . p ILQLWR�

� 1R FDVR GH . VHU XP SROLHGUR FRQYH[R OLPLWDGR

�SROLWRSR�� H[LVWH SHOR PHQRV XP SRQWR H[WUHPR GH .

TXH RSWLPL]D D IXQomR REMHFWLYR�


� � � �

642 x 1

2

4

6

8

x 2

x 1 = 4

x 2 = 6

3x 1 + 2 x 2 = 18


AA

BB CC

DD

EE

FF

GG

HH

&#��(� ��)��80�9��8'0�&#��(� ��)��80�9��8'0�(P ℜ 2

� D FDGD VROXomR EiVLFD FRUUHVSRQGH XP SRQWR TXH p REWLGR DWUDYpV GD

LQWHUVHFomR GH GXDV UHFWDV GHILQLGDV SHODV UHVWULo}HV �HVWH SRQWR p D VROXomR GH

XP VLVWHPD GH � HTXDo}HV OLQHDUHV��

� TXDQGR HVWH SRQWR GH LQWHUVHFomR p XP SRQWR H[WUHPR GD UHJLmR GH

DGPLVVLELOLGDGH� D VROXomR EiVLFD FRUUHVSRQGHQWH p DGPLVVtYHO �SRQWRV

H[WUHPRV $� %� &� ' � (��

� TXDQGR HVWH SRQWR ILFD IRUD GD UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH D VROXomR

EiVLFD p QmR DGPLVVtYHO �SRQWRV )� *� +��

S B A Equações

A- (0,0) x1=0x2=0

B- (0,6) x1=02x2=12

C- (2,6) 2x2=123x1 + 2 x2=18

D- (4,3) 3x1 + 2 x2=18x1=4

E- (4,0) x1=4x2=0

S B N A Equações

F- (0,9) x1=03x1 + 2 x2=18

G- (4,6) 2x2=12x1=4

H- (6,0) 3x1 + 2 x2=18x2=0

14


� � � �

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

Ponto extremode K

Variáveisnão básicas

Base SoluçãoBásica

Naturezada solução

A=(0,0) x1, x2 { P3, P4, P5 } X=(0,0,4,12,18) SBA

B=(6,0) x1, x4 { P2, P3, P5 } X=(0,6,4,0,6 ) SBA

C=(2,6) x4, x5 { P1, P2, P3 } X=(2,6,2,0,0 ) SBA

D=(4,3) x5, x3 { P1, P2, P4 } X=(4,3,0,6,0 ) SBA

E=(4,0) x3, x2 { P1, P3, P5 } X=(4,0,0,12,6) SBA

F=(0,9) x1, x5 { P2, P3, P4 } X=( 0,9,4,-6,0 ) SBNA

G=(4,6) x4, x3 { P1, P2, P5 } X=( 4,6,0,0,-6 ) SBNA

H=(0,6) x5, x2 { P1, P3, P4 } X=(6,0,-2,12,0) SBNA

&#��(� ��)��&#��:��80�&#��(� ��)��&#��:��80�2 SUREOHPD SURWyWLSR WHP � VROXo}HV EiVLFDV� GDV TXDLV� DSHQDV� FRUUHVSRQGHP D SRQWRV H[WUHPRV GH .� L�H� DSHQDV � VmR 6%$�

Matriz A de restrições:

642 x1

2

4

6

8

x2

x 1

= 4

x 2

= 6

3x 1

+ 2 x 2

= 18


AA

BB CC

DD

EE

FF

GG

HH642 x1

2

4

6

8

x2

x 1

= 4

x 2

= 6

3x 1

+ 2 x 2

= 18


AA

BB CC

DD

EE 642 x1

2

4

6

8

x2

x 1

= 4

x 2

= 6

3x 1

+ 2 x 2

= 18


642 x1

2

4

6

8

x2

x 1

= 4

x 2

= 6

3x 1

+ 2 x 2

= 18


AA

BB CC

DD

EE

FF

GG

HH

1


� � � �

��

&DStWXOR ��

2 PpWRGR 6LPSOH[�

�� $OJRULWPR 3ULPDO 6LPSOH[�


� � � �

4XDOTXHU SURFHGLPHQWR LWHUDWLYR H ILQLWR GH VROXomR

p XP DOJRULWPR�

4XDOTXHU SURFHGLPHQWR LWHUDWLYR H ILQLWR GH VROXomR

p XP DOJRULWPR�

2 TXH p XP DOJRULWPR"2 TXH p XP DOJRULWPR"

8P DOJRULWPR p XP SURFHVVR TXH UHSHWH �LWHUD�

VXFHVVLYDV YH]HV XP SURFHGLPHQWR VLVWHPiWLFR DWp

REWHU XP UHVXOWDGR� $OHP GLVVR� WDPEpP LQFOXL XP

SURFHGLPHQWR SDUD LQLFLDU H XP FULWpULR SDUD

WHUPLQDU�

8P DOJRULWPR p XP SURFHVVR TXH UHSHWH �LWHUD�

VXFHVVLYDV YH]HV XP SURFHGLPHQWR VLVWHPiWLFR DWp

REWHU XP UHVXOWDGR� $OHP GLVVR� WDPEpP LQFOXL XP

SURFHGLPHQWR SDUD LQLFLDU H XP FULWpULR SDUD

WHUPLQDU�

��

2


� � � �

��

��

9HULILFD R9HULILFD RFULWpULR GHFULWpULR GHSDUDJHPSDUDJHP��

��NãoNão

SimSim

��


� � � �

2 PpWRGR 6LPSOH[ p XP DOJRULWPR TXH SHUPLWH

UHVROYHU SUREOHPDV GH 3URJUDPDomR /LQHDU�

2 PpWRGR 6LPSOH[ p XP DOJRULWPR TXH SHUPLWH

UHVROYHU SUREOHPDV GH 3URJUDPDomR /LQHDU�

2 TXH p R PpWRGR 6LPSOH["2 TXH p R PpWRGR 6LPSOH["

�� !��" !��"��

A ideia básica do método Simplex consiste em resolver repetidas vezes um sistema de equações lineares para obter uma sucessão de SBA, cada uma "melhor" do que a anterior, até se chegar a uma SBA óptima.

A ideia básica do método Simplex consiste em resolver repetidas vezes um sistema de equações lineares para obter uma sucessão de SBA, cada uma "melhor" do que a anterior, até se chegar a uma SBA óptima.

3


� � � �

��

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��

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� � � �

��&��$%� ��'�� &��$%� ��'��

Duas soluções básicas que apenas diferem numa variável básica designam-se por soluções básicas adjacentes.

Duas soluções básicas que apenas diferem numa variável básica designam-se por soluções básicas adjacentes.

Uma SBA é óptima quando nenhuma das SBA adjacentes é “melhor”, i.e., nenhuma melhora o valor da função objectivo.

Uma SBA é óptima quando nenhuma das SBA adjacentes é “melhor”, i.e., nenhuma melhora o valor da função objectivo.

4


� � � �

Existe alguma Existe alguma SBA adjacente SBA adjacente

que seja que seja melhor?melhor?

Identificar uma SBA inicialIdentificar uma SBA inicial

FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é

óptimaóptima

MoverMover--se para uma SBA se para uma SBA "melhor""melhor"

NãoNão

SimSim

�� !��"�� !��"#�#��"��"��


� � � �

NãoNãoSimSim

Identificar uma SBA inicial.Construir o quadro Simplex correspondente

INÍCIOINÍCIOForma Padrão

Calcular os custos reduzidos

A solução é óptima ?

FIMFIMSolução óptima !!!

Calcular nova SBAActualizar o quadro Simplex

Identificar a variável não básica que entra

critério de entrada

Óptimo nãofinito?

FIMFIMO problema não tem

óptimo finito

Identificar a variável básica que sai critério de saída

SimSimNãoNão

critério de optimalidade

critério de óptimo não finito

5


� � � �

x1 ≤ 4x1 ≤ 4

2 x2 ≤ 122 x2 ≤ 12

3 x1 + 2 x2 ≤ 183 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 + x3 = 4x1 + x3 = 4

2 x2 + x4 = 122 x2 + x4 = 12

3 x1 + 2 x2 + x5 = 183 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x3xx33

x4xx44

x5xx55

1ª1ª

2ª2ª

3ª3ª

�� (�� (��#�)��*��#�)��*��"�!��+� !��"�!��+� !��

5HVWULomR GH

GHVLJXDOGDGH5HVWULomR GH

LJXDOGDGH9DULiYHO GH

IROJD


� � � �

�� (�� (��#�)��*��#�)��*��


sujeito ax1 ≤ 4

2 x2 ≤ 123 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥0


sujeito ax1 ≤ 4

2 x2 ≤ 123 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0

)RUPD &DQyQLFD)RUPD &DQyQLFD )RUPD 3DGUmR)RUPD 3DGUmR

6


� � � �

O ponto extremo A=(0,0)A=(0,0) corresponde à SBA inicial XX00=(0,0,4,12,18)=(0,0,4,12,18)

variáveis básicasvariáveis básicas x3 , x4 , x5 xx3 3 , x, x4 4 , , xx5 5

variáveis não básicasvariáveis não básicas x1 , x2 xx1 1 , x, x2 2

�� !��"�� !��"��"�!��#��,��"�!��#��,�

3DVVR �� 'HWHUPLQDU XPD 6%$ LQLFLDO ;� �

&RQVWUXLU R TXDGUR 6LPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH�

resolvendoB;

%=b

Xx3

x4

x5

P0

412

18

==

P3 P4 P5

1 0 00 1 00 0 1

P1 P2 P3 P4 P5 Po

1 0 1 0 0 40 2 0 1 0 123 2 0 0 1 18

B


� � � �

xx1 1 …… xxm m xxmm+1+1 … … xxnnx11 ... x1m x1m+1 … x1nx21 … x2m x2m+1 … x2n.. .

..

xm1 ... xmm xmm+1 … xmn

PP1 1 …… PPm m PPm+1m+1 … … PPnna11 ... a1m a1m+1 a1na21 … a2m a2m+1 a2n.. .

.am1 ... amm amm+1 … amn

AA=x BB--11

NNN

Quadro Simplex

As colunas do quadro do simplex correspondentes ás variáveis de decisão{xx1,1,,…,,…, xxm m ,, xxmm+1 +1 ,, … … xxnn } correspondem aos vectores PPjj da matriz original

multiplicados pela inversa da base BB

B-1B= IBB--11B= IB= IBBB B-1NBB--11NN

Matriz A do problema de PL

�� (��-�.�� (��-�.�� !��" !��"��

7


� � � �

cj-zj , ∀ j=1,2, ncj--zj , ∀ j=1,2, n

,...,n,j

m

iijij xcz 21

1

, ==∑=

cj

coeficientes da f.o.

ci

coeficientes das variáveis básicas

na f.o .

xij

componente i da coluna j do

quadro simplex

&RPR FDOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV FM�]M "&RPR FDOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV FFMM��]]MM "

�� !��"�� !��"��/��( ��/��( ��


� � � �

z1= 0 x 1 + 0 x 0 + 0 x 3

z2= 0 x 0 + 0 x 2 + 0 x 2

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 0

coeficientes das variáveis na f.o.

coeficientes das variáveis básicas

na f.o.

valores das

variáveis básicas

cj

XXBBCCBBxx11 xx22 xx33 xx44 xx55

zzj j

ccjj --zzj j

bb

00

valor da f.o.

custos reduzidos (no caso de minimização

zzjj --ccj j )

0 0 0 0 0

3 5 0 0 0

�� !��"�� !��"��"�!��#�,0�1��2�!��,��"�!��#�,0�1��2�!��,�

,QtFLR� &RQVWUXomR GR �� 48$'52�

os custos reduzidos das variáveis básicas

são sempre nulos

8


� � � �

Existe Existe algumalgum

cj--zj >0 ?>0 ?

Passar ao passo seguintePassar ao passo seguinte

FIMFIMa solução é a solução é óptima !!!óptima !!!NãoNão

SimSim

�� !��"�� !��"��

3DVVR �� &ULWpULR GH RSWLPDOLGDGH�

([LVWH DOJXP FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR"

� 6H VLP� R SURFHVVR FRQWLQXD�

� 6H QmR� R SURFHVVR WHUPLQD�D 6%$ p XPD VROXomR

ySWLPD


� � � �

Calcular os cj-zj cj - zj 3 5 0 0 0ccjj -- zzj j 3 5 0 0 0


cj--zj >0 ?>0 ?

SimSim


SimSim


3 >0,5 >0 ??

�� !��"�� !��"��"�!��#�,0�1��2�!��3��"�!��#�,0�1��2�!��3�



9


� � � �

max { cj - zj | cj - zj >0 } =cr - zrjmaxmax { cj -- zj | cj -- zj >0 } =cr -- zrj

Existe Existe algumalgumxxirir >0 ?>0 ?

x1 … xr … xmx11 ... x1r … x1nx21 … x2r … x2n.. .

.

.xm1 ... xmr … xmn Passar ao passo seguintePassar ao passo seguinte

FIMFIMo problema o problema

não tem não tem óptimo finito óptimo finito

NãoNão

SimSim

coluna pivot.

Critério de entrada:

�� !��"�� !��"��

3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�


� � � �

max { cj -- zj | cj -- zj >0 } =5

a variável que

entra: x2

coluna pivotal

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

0

Procura-se melhorar (ou pelo

menos não piorar) o valor da f.o. na próxima

SBA

Procura-se melhorar (ou pelo

menos não piorar) o valor da f.o. na próxima

SBA

�� !��"�� !��"��"�!��#�,0�1��2�!��4��"�!��#�,0�1��2�!��4�


10


� � � �

�� !��"�� !��"��

3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFD TXH VDL�

�� 6HOHFFLRQDU RV FRHILFLHQWHV xxii r r >0 >0

2º. 'LYLGLU FDGD FRHILFLHQWH xxi0 i0 GD FROXQD GRV WHUPRV

LQGHSHQGHQWHV SHOR FRHILFLHQWH xxii r r >0 >0 GD FROXQD SLYRWDO r.

3º. 6HOHFFLRQDU D OLQKD s RQGH VH DOFDQFH R PHQRU GRV

TXRFLHQWHV �UHJUD GR PHQRU TXRFLHQWH��

coluna pivotal.

x1 … xr … xmx11 ... x1r … x1nx21 … x2r … x2r.. .

.

.xm1 ... xmr … xmn

x10x20

xm0

__bb

coluna pivotal.


.


x10x20

xm0

__bbx1 … xr … xm

x11 ... x1r … x1nx21 … x2r … x2r.. .

.


x10x20

xm0


.


x10x20

xm0

__bb

sr

sir

ir

i

i xx

xxx

00

00min =

>

=ϑ

Procura-se manter a

admissibilidade na próxima

solução básica

Procura-se manter a

admissibilidade na próxima

solução básica


� � � �

A coluna r onde se verifica o maior custo reduzido max { cj - zj | cj - zj >0 } =cr - zr >0

j designa-se por coluna pivotal

A coluna rr onde se verifica o maior custo reduzido maxmax { cj -- zj | cj -- zj >0 } =cr -- zr >0

j designa-se por coluna pivotal

O elemento xsr onde se intersectam a linha pivot s e a coluna pivot r

designa-se por pivot .

O elemento xxsr onde se intersectam a linha pivot ss e a coluna pivot rr

designa-se por pivot .

A linha s onde se verifica o mínimo dos quocientes

designa-se por linha pivotal.

A linha ss onde se verifica o mínimo dos quocientes

designa-se por linha pivotal.sr

sir

ir

i

i x

xx

x

x00

00min =

>

=ϑ

/�� 5��/�� 5��! ��! ��

11


� � � �

linha pivotal: i =2

12/2= 6x3x4x5

0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccjj --zzj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

18/2= 9

mínimo mínimo

máximo máximo

coluna pivotal: j =2

pivot

a variável que sai:

x4

�� !��"�� !��"#�#��"�!��#�,0�1��2�!��6��"�!��#�,0�1��2�!��6�



� � � �

A variável não básica que entra

A variável básica que sai xxss

1ª1ª

2ª2ª

SBA:( x1 , x2 ,xs ,..,xm ,0 ,..,0 )

SBA:SBA:( xx11 , xx2 2 ,xxss ,..,xxmm ,0 ,..,0 )

nova SBA:( x1 , x2 ,xr ,..,xm ,0,...,0 )

nova SBA:nova SBA:( xx11 , xx2 2 ,xxrr ,..,xxmm ,0,...,0 )

xr entra

xs sai

xxrr

�� !��"�� !��"��

3DVVR ��

�� &DOFXODU QRYD 6%$�

12


� � � �

pivot

pivotallinhapivotallinhaNova =

�� !��"�� !��"��

3DVVR �� &RQVWUXLU XP QRYR TXDGUR VLPSOH[ DSOLFDQGR R 0pWRGRGH UHGXomR *DXVV�-RUGDQ�

� 5HGX]LU D � R Q~PHUR SLYRW�SDUD LVWR p SUHFLVR GLYLGLU WRGD D OLQKD SLYRWDO SHOR SLYRW�

� 5HGX]LU D � DV RXWUDV FRPSRQHQWHV GD FROXQD SLYRWDO�

SDUD LVWR� p SUHFLVR FDOFXODU WRGDV D OLQKDV �H[FHSWR D OLQKD

SLYRWDO�� SHOD VHJXLQWH IyUPXOD�

nova linha = linha – (componente da coluna pivotal x nova linha pivotal )


� � � �


A variável básica que sai xx44

1ª1ª

2ª2ª

SBA X0B=( x3 , x4 , x5 )SBA SBA X0

B=( xx33 , xx44 , xx5 5 )

x2 entra

x4 sai

xx22

�� !��"�� !��"��"�!��#�,0�1��2�!��7��"�!��#�,0�1��2�!��7�

3DVVR �� &DOFXODU D QRYD 6%$ X1�


B=( xx33 , xx22 , xx5 5 )

13


� � � �

Nova linha 3= linha 3 -( 2 x nova linha pivotal)

3 2 0 0 1 18-(2) 0 1 0 1/2 0 6

3 0 0 -1 1 6

Linha 1: NÃO MUDAo coeficiente na coluna

pivot é igual a 0.

0 1 0 12 0 6

1 0 1 0 0 4

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzjjccjj --zzjj

bb

000 0 0 0 03 5 0 0 0

x3x2x5

0 5 0 3 0 0 -1 1 6

Linha Pivotal:Nova linha 2= Linha 2 /

pivot

�� !��"�� !��"��7#�� 30�1��7#�� 30�1��

A SBA XX11=( 0, =( 0, 66, , 44, 0,, 0, 66 ))


� � � �

z1= 0 x 1 + 5 x 0 + 0 x 3z1= 0 x 1 + 5 x 0 + 0 x 3

z2= 0 x 0 + 5 x 1 + 0 x 0z2= 0 x 0 + 5 x 1 + 0 x 0

0 5 0 0

3 0 0 0

52

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzjj

ccjj --zzjj

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

52-

�� !��"�� !��"��"�!��#�30�1��"�!��#�30�1��

14


� � � �

0 0 052-3Calcular os Calcular os cj--zj


cj--zj >0 ?>0 ?3 > 0 3 > 0

SimSim


�� !��"�� !��"��"�!��#�30�1��2�!��3��"�!��#�30�1��2�!��3�




� � � �

3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

max { cj -- zj | cj -- zj >0 } =3

a variável que

entra: x1

coluna pivotal

�� !��"�� !��"��"�!��#�30�1��2�!��4��"�!��#�30�1��2�!��4�


15


� � � �

3 5 0 0 0

300

46 6

x3x2x5

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

linha pivotal:i =3

4/1= 4

6/3= 2

mínimo mínimo (menor (menor

quociente)quociente)

máximo máximo


pivot

a variável que sai: x5

�� !��"�� !��"��"�!��#�30�1��2�!��6��"�!��#�30�1��2�!��6�



� � � �


A variável básica que sai xx55

1ª1ª

2ª2ª


B=( xx33 , xx2 2 , xx5 5 )

x1 entra

x5 sai

xx11

�� !��"�� !��"��"�!��#�30�1��2�!��7��"�!��#�30�1��2�!��7�

3DVVR �� &DOFXODU D QRYD 6%$ X2�


B=( xx33 , xx2 2 , xx11 )

16


� � � �

Nova linha 1= linha 1 -(1 x nova linha pivotal)

1 0 1 0 0 4-(1) 1 0 0 -1/3 1/3 2

0 0 1 1/3 -1/3 2

003 0 0 0

46 6

x3x2x5

0 0 0

cj

zzj j ccjj --zzjj

3 5 0 0 0

XXBBCCBBxx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 10 5 0 05

252-

x3x2

x1

0

5

360 1 0 01

2

21 0 0 13- 1

3

20 0 1 13-1

3

linha 2: NÃO MUDAo coeficiente na coluna pivotal é

igual a 0.

Linha Pivotal:Nova linha 3= Linha 3 / pivot

�� !��"�� !��"��7#�� 40�1��7#�� 40�1��


� � � �

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 001

213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1

todos os custos reduzidos são não

positivos, logo a solução é óptima

�� !��"�� !��"��"�!��#�40�1��"�!��#�40�1��

A SBA X2= (2, 6, 2, 0, 0 ) é a solução óptimaA SBA XX22= (2, 6, 2, 0, 0 )= (2, 6, 2, 0, 0 ) é a solução óptimaé a solução óptima

17


� � � �

Calcular os Calcular os cj--zj

Existe algum

cj-zj >0 ??

NãoNãoFIM !!!

a SBA X2= ( 2 ,6, 2, 0, 0 )

é óptima !!!

FIM !!!FIM !!!

a SBA a SBA XX22== ( ( 2 ,6, 2, 0, 0 )2 ,6, 2, 0, 0 )

é óptima !!!é óptima !!!

�� !��"�� !��"��"�!��#�40�1��2�!��3��"�!��#�40�1��2�!��3�



0 0 -132-0


� � � �

�� !��"�� !��"��/��&��/��&��

2 $OJRULWPR 3ULPDO 6LPSOH[ HQYROYH RV VHJXLQWHV HOHPHQWRV�

� XPD 6%$ FRPR SRQWR GH SDUWLGD �

� XP PHFDQLVPR TXH GHWHUPLQD D SDVVDJHP SDUD

XPD QRYD 6%$ �PHOKRU� GR TXH D DQWHULRU�

� FULWpULRV GH SDUDJHP TXH LQGLFDP TXDQGR VH HVWi

SHUDQWH XPD VROXomR ySWLPD �ILQLWD� RX SHUDQWH D

LQH[LVWrQFLD GH ySWLPR ILQLWR �R YDORU GD I�R� FUHVFH

LQGHILQLGDPHQWH��

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 2 PpWRGR 6LPSOH[�

�� ÈOJHEUD GR PpWRGR 6LPSOH[�

� 0XGDQoD GH SRQWR H[WUHPR�

� 0XGDQoD GH SRQWR H[WUHPR FRP PHOKRULD GD IXQomR REMHFWLYR�

� &ULWpULR GH RSWLPDOLGDGH�


� � � �

��

2 PpWRGR 6LPSOH[ SRVVXL XP PHFDQLVPR GH SDVVDJHP GXP

SRQWR H[WUHPR D RXWUR SRQWR H[WUHPR DGMDFHQWH�

,VWR FRQVHJXH�VH VXEVWLWXLQGR QD 6%$ FRUUHVSRQGHQWH XPD

YDULiYHO EiVLFD �D YDULiYHO TXH VDL� SRU XPD YDULiYHO QmR

EiVLFD �D YDULiYHO TXH HQWUD��

2


� � � �

�� !�� !��

1D IRUPD YHFWRULDO DV UHVWULo}HV GR SUREOHPD GH 3/ SRGHP

VHU UHSUHVHQWDGDV FRPR�

P1

1

0

3

P2

0

2

2

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

xx11 ++ xx22 ++ xx33 ++ xx44 ++ xx55 ==

P0

4

12

18



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0


� � � �

�� "#$� � � ��%�� "#$� � � ��%��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

X

x1

x2

x3

x4

x5

P0

4

12

18

==

A SBA inicial X0=( 0, 0, 4, 12, 18) corresponde ao ponto extremo A=(0,0)

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 1212 ++ 1818 ==

P0

4

12

18

Base

4 4 P3 + + 12 12 P4 + + 18 18 P5 = = P0

3


� � � �

�� !��#��!��#��

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

11 + + 00 + + 33 ==

P1

1

0

3

P1 = 1 P3 + 0 P4 + 3 P5

2V YHFWRUHV GD EDVH 3�� 3

�� 3

�VmR OLQHDUPHQWH LQGHSHQGHQWHV

FRQVWLWXLQGR XPD EDVH HP ℜ �� 7RGRV RV YHFWRUHV GD PDWUL] $

SRGHP VHU H[SUHVVRV HP WHUPRV GHVWD EDVH�

P2 = 0 P3 + 2 P4 + 2 P5

P3 = 1 P3 + 0 P4 + 0 P5

P4 = 0 P3 + 1 P4 + 0 P5

P5 = 0 P3 + 0 P4 + 1 P5

Representação dos vectores da matriz A das restrições em termos da

base

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

N0NN00 B0BB00

expressando P1 em termos desta base


� � � �

�� %�� %�� %��%��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

([LVWHP � YHFWRUHV IRUD GD EDVH FDQGLGDWRV D

HQWUDU� HVFROKHU HQWUH 3�RX 3

�

N0NN00 B0BB00

3DUD SRGHU HQWUDU QD EDVH RV YHFWRUHV IRUD GD EDVH

WrP GH WHU SHOR PHQRV XPD FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD

VXD H[SUHVVmR HP WHUPRV GD EDVH�

3DUD SRGHU HQWUDU QD EDVH RV YHFWRUHV IRUD GD EDVH

WrP GH WHU SHOR PHQRV XPD FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD

VXD H[SUHVVmR HP WHUPRV GD EDVH�

representando os vectores da matriz de restrições em termos da base B

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

4


� � � �

0XGDQoD GH ;0XGDQoD GH ;�� SDUD ;SDUD ;��

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

x31=1 > 0=1 > 0 x41 = 0= 0 x51 = 3 > 0= 3 > 0

3� SRGH HQWUDU

QD EDVH

3� SRGH HQWUDU

QD EDVH

([LVWHP � FDQGLGDWRV D HQWUDU� 3� H 3�

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

x42=2 > 0=2 > 0x32 = 0= 0

x52 =2 > 0=2 > 0

3� SRGH HQWUDU

QD EDVH

3� SRGH HQWUDU

QD EDVH

Tem pelo menosuma componente

positiva

representando os vectores da matriz de restrições em termos

da base B

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

N0NN00 B0BB00 P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

Tem pelo menos uma componente

positiva


� � � �


P0 = 4 = 4 P3 + + 12 12 P4 + + 18 18 P5

(VFROKHU HQWUH 3�H 3

�� 3RU H[HPSOR HVFROKH�VH 3

��

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

Multiplicando

P2 pelo

escalar θθ e subtraindo de

P0 vem:

--

θθ x

P0 -- θθ P2 = 4 = 4 P3 + + ( 12 ( 12 -- 22θθ )) P4 + + ( 18 ( 18 -- 22θθ )) P5

P0 = = θθ P2 + 4 + 4 P3 + + ( 12 ( 12 -- 22θθ )) P4 + + ( 18 ( 18 -- 22θθ )) P5

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 1212 + + 1818 ==

P0

4

12

18

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 1212 + + 1818 ==

P0

4

12

18

P3

1

0

0

P4

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 1212 + + 1818 ==

P0

4

12

18

5


� � � �

2 SRQWR XB1=[x2, x3 , x4, x5] p XP SRQWR H[WUHPR� L�H� �

X1 p XPD 6%$ GR SUREOHPD GH 3/"

2 SRQWR XB1=[x2, x3 , x4, x5] p XP SRQWR H[WUHPR� L�H� �


X1 p XP SRQWR H[WUHPR VH p VR VH�

2º. X1 p VROXomR DGPLVVtYHO ⇒ X1≥0 ⇒ WRGDV DV

FRPSRQHQWHV GH ;� VmR QmR QHJDWLYDV"

3º. X1 p VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO ⇒ RV YHFWRUHV GD EDVH

TXH FRUUHVSRQGHP D ;� VmR OLQHDUPHQWH LQGHSHQGHQWHV"

1º. X1 p VROXomR ⇒ AX1=b ?

P0 = = θθ P2 + 4 + 4 P3 + + ( 12 ( 12 -- 22θθ )) P4 + + ( 18 ( 18 -- 22θθ )) P5

X1B = [ = [ θθ , 4 ,, 4 , ( 12 ( 12 -- 22θθ ), ), ( 18 ( 18 -- 22θθ ) ]) ]



� � � �

�� X1 p VROXomR ⇒ AX1=b "�� X1 p VROXomR ⇒ AX1=b "


P0 = = θθ P2 + 4 + 4 P3 + + ( 12 ( 12 -- 22θθ )) P4 + + ( 18 ( 18 -- 22θθ )) P5

P0 = = θθ P2 + + x3 P3 + + x4 P4 + + x5 P5

X1 p VROXomR GR VLVWHPD GH HTXDo}HV

X1B = [ = [ θθ , 4 ,, 4 , ( ( 12 12 -- 22θθ ), ), ( ( 18 18 -- 22θθ ) ]) ]

b = A X1

6


� � � �

�� X1 p VROXomR DGPLVVtYHO "�� X1 p VROXomR DGPLVVtYHO "

6H WRGDV DV FRPSRQHQWHV GH X1 VmR QmR QHJDWLYDV�

HQWmR X1 p VROXomR DGPLVVtYHO

e SUHFLVR GHWHUPLQDU R YDORU GH θ TXH JDUDQWD D

DGPLVVLELOLGDGH GH X1.


X1B = [ = [ θθ , 4 ,, 4 , ( 12 ( 12 -- 22θθ ), ), ( 18 ( 18 -- 22θθ ) ]) ]

x2 x3 x4 x5


� � � �


�� 3URYDU TXH θ > 0

'HWHUPLQDU R YDORU GH θ TXH JDUDQWH D DGPLVVLELOLGDGH GD

QRYD VROXomR�

θθ = 0= 0 X1 = X0 absurdo !!!

θθ << 00 x2 = θθ << 00 absurdo !!!

WRGDV DV FRPSRQHQWHV GH ;� WrP GH VHU QmR QHJDWLYDV �FRQGLomR

GH DGPLVVLELOLGDGH�

♦♦

♦♦ Prova:Prova:

X1B = [ = [ θθ , 4 ,, 4 , ( ( 12 12 -- 22θθ ), ), ( ( 18 18 -- 22θθ ) ]) ]

⇒ x2 > 0


7


� � � �

'HWHUPLQDU R YDORU GH θ TXH JDUDQWH D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD

VROXomR X1 :

x2 = θ > 0x3 = 4 > 0x4 = 12 - 2θ ≥ 0

x5 = 18 - 2θ ≥ 0

θ ≤122

θ ≤182 = 9

θ ≤ 6

θ ≤ 9

θ = min { 6 , 9 } = 6


θ = 6 JDUDQWH D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR X1

X1B = [ θ , 4 , ( 12 - 2θ ), ( 18 - 2θ ) ]

x3 x4 x5x2


= 6 ⇔

⇔

⇔

⇔


� � � �

substituindo porθθ = min = min {{ 6 , 6 , 9 9 }} = 6= 6


X1B = = [ [ 66 , 4 ,, 4 , 0 0 , , 66 ]]

SBA inicial: X0= ( 0, 0 , 4, 12 , 18)SBA inicial: X0= ( 0, 0 , 4, 12 , 18)

Nova SBA: X1= ( 0, 6 , 4, 0 , 6)Nova SBA: X1= ( 0, 6 , 4, 0 , 6)

x2 entra

x2 entra

x4 sai (onde se atinge o mínimo dos quocientes)

x2 x3 x4 x5

x4 sai

X1B = = [ [ θθ , 4 ,, 4 , ( 12 ( 12 -- 22θθ ), ), ( 18 ( 18 -- 22θθ ) ]) ]

x3 x4 x5x2

8


� � � �

�� !��#��!��#��

P1 = = 1 1 P3 + + 0 0 P4 + + 3 3 P5

P2 = = 0 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P3 = = 1 1 P3 + + 0 0 P4 + + 0 0 P5

P4 = = 0 0 P3 + + 1 1 P4 + + 0 0 P5

P5 = = 0 0 P3 + + 0 0 P4 + + 1 1 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 2 P4 + + 2 2 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 2 ( 1/2 2 ( 1/2 P2 –– 11P5 )) + + 2 2 P5= 0 = 0 P3 + + 1 1 P2 + + 0 0 P5

P1 = = 1 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = = 0 0 P3 ++ 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = = 1 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = = 0 0 P3 ++1/2 1/2 P2 –– 1 1 P5

P5 = = 0 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5

$ QRYD EDVH GH ℜ 3,DVVRFLDGD j QRYD 6%$ X1�p FRQVWLWXtGD SRU 3� � 3�� 3��

([SOLFLWHP�VH RV FLQFR YHFWRUHV HP WHUPRV GHVWD QRYD EDVH�

expressões correspondentes a B0

1º. Explicitar P4 em função de P2:

2º. Substituir P4 nas restantes expressões. Por exemplo:

expressões correspondentes a B1

P4 = 0 = 0 P3 ++1/2 1/2 P2 –– 1 1 P5

P4


� � � �

5HSUHVHQWDomR GRV YHFWRUHV��5HSUHVHQWDomR GRV YHFWRUHV��

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 ++ 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 ++1/2 1/2 P2 –– 1 1 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5

Representação dos vectores da Representação dos vectores da matriz em termos da base matriz em termos da base BB11

3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 03 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bbbb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 00 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1525252- 52-

Quadro Quadro simplex simplex correspondentecorrespondentea SBA a SBA XX11

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5 x1

10 3

P2 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P2 + + 0 0 P5

x2

01 0

etc...

As componentes das colunas do quadro

simplex correspondem às componentes dos vectores da matriz A quando expressos em

termos da base B1

As componentes das colunas do quadro

simplex correspondem às componentes dos vectores da matriz A quando expressos em

termos da base B1

9


� � � �

�� %�� %�� %��%��

P0 = 4 = 4 P3 + + 6 6 P2 + + 6 6 P5

(VFROKH�VH 3�SDUD HQWUDU QD EDVH�

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

Multiplicando

P1 pelo


P0 vem:

--

θθ x

P0 -- θθ P1 = ( 4 = ( 4 -- θθ )) P3 + + 6 6 P2 + + ( 6 ( 6 -- 33θθ )) P5

P0 = = θθ P1 + ( 4 + ( 4 -- θθ )) P3 + + 6 6 P2 + + ( 6 ( 6 -- 33θθ )) P5

P3

1

0

0

P2

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 66 + + 66 ==

P0

4

6

6

P3

1

0

0

P2

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 66 + + 66 ==

P0

4

6

6

P3

1

0

0

P2

0

1

0

P5

0

0

1

44 + + 66 + + 66 ==

P0

4

6

6

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 ++1/21/2 P2 -- 1 1 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 ++1/21/2 P2 -- 1 1 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 + + 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 ++1/21/2 P2 -- 1 1 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5


� � � �

Obtém-se uma nova SBA X2


P0 = = θθ P1 + ( 4 + ( 4 -- θθ )) P3 + + 6 6 P2 + + ( 6 ( 6 -- 33θθ )) P5

X2B = [ = [ θθ , ( 4 , ( 4 -- θθ )) ,, 66, , ( 6 ( 6 -- 33θθ ) ]) ]

x3 x2 x5x1

x1 = = θθ > 0> 0

x2 = 6 > 0= 6 > 0

x3 = 4 = 4 -- θθ ≥ 0

x5 = 6 = 6 -- 33θθ ≥ 0

θθ ≤≤4411

θθ ≤≤6633

= 4= 4

= 2= 2

θθ ≤≤ 44

θθ ≤≤ 22

θθ = = min { { 4 , 4 , 2 } 2 } = 2= 2

θθ = 2 = 2 JDUDQWH D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR X2

10


� � � �

substituindo porθθ = min { = min { 4 , 4 , 2 } 2 } = 2= 2

�� &��"#$�%�� &��"#$�%��

X2B = [ = [ 22 , 2 ,, 2 , 6 6 , , 00 ]]

SBA: X1 = ( 0, 6 , 4, 0 , 6)SBA: X1 = ( 0, 6 , 4, 0 , 6)

Nova SBA: X2= ( 2, 6 , 2, 0 , 0)Nova SBA: X2= ( 2, 6 , 2, 0 , 0)

x1 entra

x1 entrax5 sai (onde se atinge o mínimo dos quocientes)

x1 x3 x2 x5

x5 sai

X2B = [ = [ θθ , ( 4 , ( 4 -- θθ )) ,, 66, , ( 6 ( 6 -- 33θθ ) ]) ]

x3 x2 x5x1


� � � �

xx1 1 …… xxm m xxmm+1+1 … … xxnnx11 ... x1m x1m+1 … x1nx21 … x2m x2m+1 … x2n.. .

..

xm1 ... xmm xmm+1 … xmn



AA=x BB--11

NNN

Quadro Simplex

As colunas do quadro Simplex correspondem aos vectores Pj da matriz de restrições multiplicados pela inversa da base B e representam as

componentes destes vectores quando expressos em termos desta base.

B-1B= IBB--11B= IB= IBBB B-1NBB--11NN

Matriz A do problema de PL

�� $�'�(�� $�'�(��" ��" ��

11


� � � �

�� !��#��!��#��

P1 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 3 3 P5

P2 = 0 = 0 P3 ++ 1 1 P2 + + 0 0 P5

P3 = 1 = 1 P3 + + 0 0 P2 + + 0 0 P5

P4 = 0 = 0 P3 ++1/2 1/2 P2 –– 1 1 P5

P5 = 0 = 0 P3 + + 0 0 P2 + + 1 1 P5

Representação dos vectores da matrizRepresentação dos vectores da matrizem termos da base Bem termos da base B11

3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 03 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bbbb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 00 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1525252- 52-

Quadro Quadro simplex simplex correspondente correspondente à SBA Xà SBA X11

Nas colunas correspondentes ás variáveis de folga onde, no quadro inicial, se encontrava a matriz

identidade encontra-se a inversa da base B-1

correspondente à solução básica actual


� � � �

$V FROXQDV GR TXDGUR$V FROXQDV GR TXDGUR 6LPSOH[6LPSOH[ ��

3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-3

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

46 6

x3x2x5

0 5 0

3 5 0 0 03 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bbbb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0 12 00 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1525252- 52-

P3 P2 P5

1 0 00 2 00 2 1

B =1 0 00 1/2 00 -1 1

B-1 =

BB--1 1 x A =

valores das variáveis básicas iguais a B-1b0XOWLSOLFDQGR D PDWUL] $ SHOD LQYHUVD GD EDVH

REWpP�VH DV FROXQDV GR TXDGUR 6LPSOH[�

1 0 00 1/2 00 -1 1

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

1 0 1 0 00 1 0 1/2 0 3 0 0 -1 1

=

BB--1 1 x b =1 0 00 1/2 00 -1 1

412 18

=46 4

Colunas do quadro simplex

12


� � � �

6HMD XP SUREOHPD GH 3/�

bAX ≤0≥X

Xcz '=Maximizar

H Xo XP SRQWR H[WUHPR GH . �FRQMXQWR GDV VROXo}HV

DGPLVVtYHLV�� DR TXH FRUUHVSRQGH D 6%$�

X0 = [x10, x20 ,... , xm0, 0,...,0 ]t

��)�*�� )�*��

6HP SHUGD GH JHQHUDOLGDGH� VXSRQKD�VH TXH D EDVH p

FRQVWLWXtGD SHORV P SULPHLURV YHFWRUHV�

onde xi0 VmR DV FRPSRQHQWHV GH 3R


� � � �

[ ]mPPPB ,....,, 210 =

[ ]nmmm PPPN +++= ,....,, 210

6XSRQKD�VH XXoo XP SRQWR H[WUHPR� � bP =0[ ] t

0,20100 ...,, mB xxxX =

[ ] [ ] [ ] ommt

mmBm PPxPxPxxxxPPPXPPP =++== 022011002010210

21 .... .. .. .. .. .. .

mm PxPxPxP 02201100 ... ++=

Por definição de base qualquer vector Pj dentre os n dados se pode obter como combinação linear dos vectores da base B0

5HSUHVHQWDomR GRV YHFWRUHV GD PDWUL] HP WHUPRV GD EDVH�5HSUHVHQWDomR GRV YHFWRUHV GD PDWUL] HP WHUPRV GD EDVH�

mm jjjj PxPxPxP 2211...++= +

∀ j=1,2,...,n



AA=

NNNBBB

13


� � � �

--θ x

1102122011110 )()()( ++++ +−+...+−+−= mmmmmmmo PPxxPxxPxxP θθθθ

��

$GPLWD�VH TXH Pm+1 �XP YHFWRU IRUD GD EDVH� WHP SHOR PHQRV XPD

FRPSRQHQWH xim+1>0 ,>0 , i i =1,2,...,m=1,2,...,m

Multiplicando

Pm+1 pelo


P0 vem:

mmmmmm PxPxPxP 12121111 ... ++++ ++= +

mm PxPxPxP 02201100 ...++= +

mmmmmm PxPxPxP 12121111 ... ++++ ++= +

mmmmmmmo PxxPxxPxxPP )(…)()( 1021220111101 ++++ −−+−=− θθθθ +


� � � �

[ ]θθθθ ),(),...,(),( 10122011101B +++ −−−= mmmmm xxxxxxX

Obtém-se um novo ponto X1

0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR��0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR��

2 SRQWR XB1=[x1, x2 ,..., xm, xm+1] p XP SRQWR H[WUHPR� L�H� �


2 SRQWR XB1=[x1, x2 ,..., xm, xm+1] p XP SRQWR H[WUHPR� L�H� �


6H X1 p XP SRQWR H[WUHPR� HQWmR�

�� X1 é solução ⇒ provar que AX1=b.�� X1 é solução admissível ⇒ provar que X1≥0. �� X1 é solução básica admissível ⇒ provar que os

vectores da base que correspondem a X1 são linearmente independentes.


14


� � � �

+,� X1 é solução ⇒ AX1=b ?+,�+,� X1 é solução ⇒ AX1=b ?

12211 +...+ +++= mmmo PPxPxPxP θ

1AXb =

0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR ��0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR ��

♦♦ Prova:Prova:

♦♦



� � � �

�� X1 é solução admissível ?�� X1 é solução admissível ?

}...1{:,0)( 10 miixx imi ∈∀≥− +θSe

X1 é solução admissível


É preciso determinar o valor de θ que garante a admissibilidade de X1.


♦♦ Prova:Prova:

15


� � � �

-,� �� -,�-,� ��

3URYDU TXH R YDORU GH θ WHUi GH VHU > 0 :3URYDU TXH R YDORU GH θ WHUi GH VHU > 0 :> 0 :

6XSRQKD�VH θ = 0 X1 = X0 absurdo !!!

6XSRQKD�VH θ < 0 xm+1 = θθ << 00 absurdo !!!

WRGDV DV FRPSRQHQWHV GH ;� WrP GH VHU QmR

QHJDWLYDV �FRQGLomR GH DGPLVVLELOLGDGH� ♦♦

♦♦ Prova:Prova:




� � � �

-,� �� -,�-,� ��

Se xim+1≤0, ∀ i: i ∈ {1…m}Se xim+1≤0, ∀ i: i ∈ {1…m}

a admissibilidade é garantida para qualquer θθ com valor positivo.

11ºº caso:caso:

iixxx imiim ...m1:,0)(0 101 =∀>−⇒≤ ++ θ

como a componente xm+1 na nova solução X' é igual a θ,incrementando indefinidamente o valor de θ consegue-se incrementar também indefinidamente o valor da f.o:

xm+1→∞, z=c1x1+ c2x2 + … +cm+1xm+1→∞


neste caso o problema não tem óptimo finito


16


� � � �

critério de saídacritério de saída

Se ∃ i: i ∈ {1…m} xim+1>0Se ∃ i: i ∈ {1…m} xim+1>022ººcaso:caso:

X1 é admissível se

Suponha-se S= { i : i ∈ {1…m} xim+1>0 }

Sixx imi ∈∀≥− + ,0)( 10 θxim+1

xi0≤ , ∀ i ∈ Sθ

Six

x

im

i ∈∀≤<∀+

,0:1

0θθ

X1 tem de ser SBA( não pode ter mais de m componentes positivas )

>== ++

0min 11

00 im

im

i

ix

x

xθθ


-,� �� -,�-,� ��



� � � �

critério que determina qual é a variável básica que sai: onde se atinge

o mínimo dos quocientes

>== ++

0min 11

00 im

im

i

ix

x

xθθ

Caso 1: O mínimo é atingido num sóquociente.

Caso 1: O mínimo é atingido num sóquociente.

Caso 2: O mínimo é atingidoem mais do que um dos quocientes.

Caso 2: O mínimo é atingidoem mais do que um dos quocientes.

X1 é uma nova SBAX1 é uma nova SBA Solução degenerada(o número de variáveis básicas positivas

da solução é menor do que m)

Solução degenerada(o número de variáveis básicas positivas

da solução é menor do que m)


-,� �� -,�-,� ��

17


� � � �

1

01

1

00 0m in

++

+

=

>==s m

sim

im

i

i x

xx

x

xθθ

A componente s onde é atingido o mínimo fica anulada

(a variável básica que sai)

A componente m+1 toma o valor do mínimo

(a variável não básica que entra)

O mínimo dos quocientes é atingido na

componente s

[ ]tmmmmm xxxxxxX θθθθ ),(),...,(),( 1012201110

1B +++ −−−=

[ ]tmmmmssmssm xxxxxxxxX 0100110101101011010

1B ),(),...,(,0),(),...,( θθθθθ +++++−−+ −−−−=

SBA inicial: X0=(x1, x2 ,…, xs ,...,xm, 0, 0,…,0)SBA inicial: X0=(xx11, xx22 ,…, xxss ,...,xxmm, 0, 0,…,0)

Nova SBA: X1=(x1, x2 ,..., xm+1 ,..., xm, 0, 0,…,0)Nova SBA: X1=(xx11, xx2 2 ,..., xxmm+1 +1 ,..., xxmm, 0, 0,…,0)

xm+1 entraxs sai

.��+.��+��/�0� ��1�� 2�� /�0� ��1�� 2��


� � � �

.��-��/�0� ��1�� 2��.��-��/�0� ��1�� 2��2�� 2��

1HVWH FDVR REWpP�VH XPD VROXomR GHJHQHUDGD �R Q~PHUR GH

YDULiYHLV EiVLFDV GD VROXomR FRP YDORU SRVLWLYR p PHQRU GR

TXH m�� SRGHQGR HVFROKHU D YDULiYHO D VDLU GD EDVH DWUDYpV�

SRU H[HPSOR� GXP PHFDQLVPR DOHDWyULR�

(VWD TXHVWmR VHUi DERUGDGD QR FDStWXOR VHJXLQWH�

18


� � � �

Para que X1 seja uma SBA é preciso provar que os vectores {P1, P2,…,Pm+1 ,..., Pm } são linearmente independentes .

Sem perda de generalidade, suponha-se que s=1 (x1 sai , xm+1 entra)

ou seja que o mínimo do quociente foi atingido na componente i=1,i.e:

Suponha-se ao contrário que os vectores {P2 P3,…, Pm, Pm+1}são linearmente dependentes

Suponha-se ao contrário que os vectores {P2 P3,…, Pm, Pm+1}são linearmente dependentes

♦♦ Prova:Prova:

0....:0 113322 =++++≠∃ ++ mmmmi PPPP λλλλλ{ } l.d. são,,....,, 132 +mm PPPP

{ } { }mm PPPPPPP ,....,,,,....,, 32132 ⊂ e P1,..,Pm são vectores l.i.(base correspondente a X0)

{ } l.i. são,....,, 32 mPPP .01 ≠+mλ

0, 1111

100 >= +

+m

m

xx

xθ

3,��%3,��%�� 1��"��#4� ��$� ��0��51��"��#4� ��$� ��0��5

(**)


� � � �

♦♦ Prova: (continuaProva: (continuaçãçãoo…….).)

{P1 ,..,Pm} são l.i.

mm

m

mmm PPPP

13

1

32

1

21 ....

++++ −−−−=

λλ

λλ

λλ

mm

mm

mm

PPP1

31

332

1

22 ,....,,

+++

==−=λλα

λλα

λλα

dividindo por λm+1

Tomando:

mmm PPPP ααα +++=+ ....33221

mmmmmm PxPxPxP 12121111 ... ++++ ++=

Pm+1 como combinação linear dos vectores da base

correspondente à solução Xo

-

mmmmmm PxPxPx )(...)(0 12212111 αα −+−+= +++

0)(,...,0)(,0 121211 =−=−= +++ mmmmm xxx αα

011 =+mx absurdo !!!

♦♦Como o mínimo foi atingido

na componente i=1 estecoeficiente é estritamente

positivo (ver **)

{P2, P3,…,Pm,Pm+1 } são L.I.

X1 éuma SBA

/��/��{P{P22, P, P33,…,P,…,Pmm,P,Pm+1 m+1 } } ��5��5

0....:0 113322 =++++≠∃ ++ mmmmi PPPP λλλλλPor hipóteses são l.d.

01 ≠+mλcomo P2,...,Pm

são l.i.

19


� � � �

��.��6��.��6��

�� $ PXGDQoD GH EDVH UHVXOWDQWH GD VXEVWLWXLomR GH XP YHFWRU

FRUUHVSRQGH�

� GR SRQWR GH YLVWD JHRPpWULFR j SDVVDJHP GH XP SRQWR

H[WUHPR D RXWUR SRQWR H[WUHPR DGMDFHQWH GH .�

� GR SRQWR GH YLVWD DOJpEULFR j SDVVDJHP GH XPD 6%$ D

RXWUD 6%$ DGMDFHQWH�

�� $ PXGDQoD GH EDVH Vy p SRVVtYHO� VH H[LVWLU XP YHFWRU Pj IRUD GD

EDVH� FDQGLGDWR D HQWUDU� FRP SHOR PHQRV XPD FRPSRQHQWH xij

SRVLWLYD �[LM ! �� QD FRUUHVSRQGHQWH FROXQD GR TXDGUR VLPSOH[�

&DVR FRQWUiULR� VH SDUD TXDOTXHU YHFWRU 3M IRUD GD EDVH� FDQGLGDWR

D HQWUDU� WRGDV DV FRPSRQHQWHV xij VmR QmR SRVLWLYDV ( xij ≤ 0)HQWmR R SUREOHPD QmR WHP ySWLPR ILQLWR�


� � � �

��

��

Suponha-se XXoo um ponto extremo

[ ]mPPPB ,....,, 210 = [ ]nmmm PPPN +++= ,....,, 21

0

[ ]'0,2010

0 ...,, mB xxxX =

momo xcxcxcz +++= ...202101

��7�� 7�� 8��8��

20


� � � �

A entrada de Pr tem como contrapartida a saída dum

vector Ps , onde é atingido o mínimo dos quocientes

Com a mudança de base, obtém-se uma nova SBA X1

associada à base B1 e com um valor da função objectivo z1.

Suponha-se Pr um vector fora da base em condições de

substituir um vector da base

O vector Pr tem pelo menos uma componente xir>0na correspondente coluna no quadro.

��7�� 8��7�� 8��


� � � �

=−++++−= )(......)( 000101011

mrmmrr xxccxxcz θθθ

[ ] t

msmrsssrsrssr xxxxxxxxxxX 000101000101010101B ),...,(),...,(),(),(),...,( θθθθθθ −−−−−= ++−−

[ ] =++−+++= )...()...( 1100101 mrmrrmm xcxccxcxc θ

)(00

rr zcz −+= θ

∑=

=++=m

iirimrmrr xcxcxcz

111 )...(

)(001

rr zczz −+= θ

Expressão que relaciona o novo valor da f.o. (associado à nova SBA) com o seu valor anterior e com o valor que vai assumir a nova variável básica xr=θo

[ ]msrs PPPPPB ,...,,,,..., 1111

+−=[ ]tmsrs xxxxxX ,...,,,,..., 111

1B +−=

xs sai xrentra

em que:

0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR FRP PHOKRULD GD I�R�0XGDQoD GR SRQWR H[WUHPR FRP PHOKRULD GD I�R�

21


� � � �

��7�� 8��7�� 8��

3DUWLQGR GD QRYD 6%$ R SURFHVVR SURVVHJXH DWp VH YHULILFDU

XPD GDV GXDV VLWXDo}HV VHJXLQWHV�

� WRGRV RV cj-zj ≤ 0 ⇒ LPSRVVtYHO PHOKRUDU R YDORU GD I�R

⇒ D VROXomR p ySWLPD�

� ([LVWH DOJXP cj-zj >0 DVVRFLDGR D XP YHFWRU PM IRUD GD EDVH

TXH QmR SRGH VXEVWLWXLU QHQKXP YHFWRU PV GD EDVH �xij≤0 ∀ i�

⇒ ySWLPR QmR ILQLWR�


� � � �

3 5 0 0 0

300

46 6

x3x2x5

0 5 0

cj


zzjj

ccjj --zzjj

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

4/1= 4

6/3= 2


quocentequocente))

máximo máximo

�� 7�� 8��7�� 8��

z2 =z1+ θθ ((c1 –z1 ))= 30 + 2 . 3= 362 . 3= 36

Mudança da SBA X1 =( 0,6,4,0,6) com z1 = 30 para X2

22


� � � �

7HRUHPD ��

� se X0 é uma SBA não degenerada, i.e. xi>0 ∀ i ={1,…,m};

� se existe pelo menos uma variável não básica com custo reduzido positivo, i.e., ∃ j ∈ {m+1,...,m+n}: cj-zj >0;

�se esta variável não básica xj com custo reduzido positivo tem pelo menos uma componente positiva (xij>0) na correspondente

coluna do quadro simplex,

então existe uma nova SBA X1 com valor finito da f.o. z1 tal que z1> z0.

9��!��!4� ��9��!��!4� ��7�� 8��7�� 8��

Seja XXoo ={x1,.., xm, xm+1 ,.., xm+n } um ponto extremo. Sem perda de generalidade suponha-se que x1,.., xm são variáveis básicas

e xm+1,.., xm+n são variáveis não básicas.


� � � �

.� �1� ��:�� ; � ��.� �1� ��:�� ; � ��

7HRUHPD �� FULWpULR GH ySWLPR ILQLWR�

�se para todas as variáveis não básicas de X0 os custos reduzidos são não positivos, i.e., ∀ j ∈ {m+1,...,m+n}: cj-zj ≤0 então

X0 é a solução óptima. �se X0 é óptima e não degenerada então

cj-zj ≤0, ∀ j ∈ {m+1,...,m+n}.

Seja XXoo ={x1,.., xm, xm+1 ,.., xm+n } um ponto extremo.Sem perda de generalidade suponha-se que x1,.., xm são variáveis básicas


23


� � � �

.� �1� ��:�� 8 � ��.� �1� ��:�� 8 � ��

Seja XXoo ={x1,.., xm, xm+1 ,.., xm+n } um ponto extremo.Sem perda de generalidade suponha-se que x1,.., xm são variáveis básicas


7HRUHPD �� FULWpULR GH ySWLPR QmR ILQLWR�

�se ∃ j ∈ {m+1,...,m+n}: cj-zj >0

�se para esta variável não básica xj com custo reduzido positivo não existe nenhuma componente positiva (xij>0) nacorrespondente coluna do quadro simplex

então o problema não tem óptimo finito�

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 2 PpWRGR 6LPSOH[�

�� &DVRV SDUWLFXODUHV�

� (PSDWH QR FULWpULR GH HQWUDGD�

� ÏSWLPR QmR ILQLWR�

� 6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

� 'HJHQHUHVFrQFLD�


� � � �

NãoNãoSimSim

Identificar uma SBA inicial.Construir o quadro Simplex correspondente

INÍCIOINÍCIOForma Padrão

Calcular os custos reduzidos

A solução é óptima ?

FIMFIMSolução óptima !!!

Calcular nova SBAActualizar o quadro Simplex

Determinar a variável não básica que entra


Óptimo nãofinito?

FIMFIMO problema não tem

óptimo finito

Determinar a variável básica que sai critério de saída

SimSimNãoNão


critério de óptimo não finito

2


� � � �

maxmax { cj -- zj | cj -- zj >0 }= cj1 -- zj1 = cj2 -- zj2 =... = cjk -- zjk

Critério de entrada:

��

2 Pi[LPR GRV FXVWRV UHGX]LGRV p DWLQJLGR HP PDLV GR TXH

QXPD YDULiYHO QmR EiVLFD�

6ROXomR�

(VFROKH�VH DUELWUDULDPHQWH XPD SDUD HQWUDU� 4XDOTXHU TXH

VHMD D HVFROKD R SURFHVVR FRQYHUJH SDUD R ySWLPR�


� � � �

��

&ULWpULR GH ySWLPR QmR ILQLWR�

1mR H[LVWH QHQKXPD FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD FROXQD SLYRWDO�

max { cj - zj | cj - zj >0 } =cr - zrjmaxmax { cj -- zj | cj -- zj >0 } =cr -- zrj

Existe Existe alguma alguma

componente componente xxirir >0 ?>0 ?

x1 … xr … xmx11 ... x1r … x1nx21 … x2r … x2n.. .

.

.xm1 ... xmr … xmn O vector O vector PPrr da matriz de restrições da matriz de restrições

está em condições de entrar na baseestá em condições de entrar na base

FIMFIMo problema o problema

não tem não tem óptimo finito óptimo finito

NãoNão

SimSim

coluna pivot.Critério de entrada:

A região de admissibilidade é não

limitada e o valor da f.o. cresce indefinidamente

nesta região.

A região de admissibilidade é não

limitada e o valor da f.o. cresce indefinidamente

nesta região.

3


� � � �

Maximizar z= 2x1 + 3 x2sujeito a

2 x1 + 2 x2 ≥ 6- x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 3

x1, x2 ≥0

Todas as componentes da coluna pivotal são não

positivas (são todas ≤0):o problema não tem

óptimo finito

��

máximo máximo

288

x1x2

x3

2

3

0

21 0 0 -1 1

0 0 0

121

x1x2x5

2 3 0

cj

zzj j ccjj --zzj j

2 3 0 0 0

XXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb

0 1 1/2 01 0 -1/4 -1/2 0

0 -1/2 12 3 -5/4 0-1

5/4 1

40 0 1 -2 40 1 0 0 1 3

-1/41/4

ccjj --zzjj

zzj j 13132 3 0 5-2 0 0 0 -52


� � � �

531 x1

1

2

3

4

x2

2 4

- x 1 + x 2 = 1

2 x 1 + 2 x 2 =6 x 2 =3


531 x1

1

2

3

4

x2

2 4

- x 1 + x 2 = 1

2 x 1 + 2 x 2 =6 x 2 =3


&DVR �� ÏSWLPR QmR ILQLWR� ([HPSOR JUiILFR�&DVR �� ÏSWLPR QmR ILQLWR� ([HPSOR JUiILFR�

z=8

z=13

z=17

$ UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH p QmR OLPLWDGD H R YDORU GD I�R�

FUHVFH LQGHILQLGDPHQWH QHVWD UHJLmR� R TXH VLJQLILFD TXH R

SUREOHPD QmR WHP ySWLPR ILQLWR�

$ UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH p QmR OLPLWDGD H R YDORU GD I�R�

FUHVFH LQGHILQLGDPHQWH QHVWD UHJLmR� R TXH VLJQLILFD TXH R

SUREOHPD QmR WHP ySWLPR ILQLWR�

Maximizar z= 2x1 + 3 x2

sujeito a 2 x1 + 2 x2 ≥ 6- x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 3

x1, x2 ≥0

4


� � � �

531 x1

1

2

3

4

x2

2 4

- x 1 + x 2 = 1

2 x 1 + 2 x 2 =6 x 2 =3


531 x1

1

2

3

4

x2

2 4

- x 1 + x 2 = 1

2 x 1 + 2 x 2 =6 x 2 =3


5HJLmR GH $GPLVVLELOLGDGH 1mR /LPLWDGD H ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR5HJLmR GH $GPLVVLELOLGDGH 1mR /LPLWDGD H ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR JUiILFR�JUiILFR�

z= 5

$ UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH p QmR OLPLWDGD H R SUREOHPD WHP ySWLPR ILQLWR�

2 SRQWR �� p D VROXomR ySWLPD FRP XP YDORU ySWLPR LJXDO D ��

$ UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH p QmR OLPLWDGD H R SUREOHPD WHP ySWLPR ILQLWR�

2 SRQWR �� p D VROXomR ySWLPD FRP XP YDORU ySWLPR LJXDO D ��

Se mudamos a f.o de z=2x1+3x2 para z=-x1+3x2 este novo problematem óptimo finito

z= 7

soluçãoóptima


� � � �

&RPR LGHQWLILFDU D H[LVWrQFLD GH VROXo}HV

ySWLPDV DOWHUQDWLYDV"

&RPR LGHQWLILFDU D H[LVWrQFLD GH VROXo}HV

ySWLPDV DOWHUQDWLYDV""

4XDQGR QR TXDGUR VLPSOH[ ySWLPR H[LVWH DOJXPD

YDULiYHO QmR EiVLFD FRP FXVWR UHGX]LGR QXOR ( ccjj --zzjj= 0= 0 ) FRP SHOR PHQRV XPD FRPSRQHQWH SRVLWLYD

QD FRUUHVSRQGHQWH FROXQD GR TXDGUR�

��!��"� #$��%�� &��!��"� #$��%�� &��

2 SUREOHPD WHP XPD LQILQLGDGH GH VROXo}HV ySWLPDV GDV

TXDLV SHOR PHQRV GXDV VmR VROXo}HV EiVLFDV H DV UHVWDQWHV

SRGHP VHU REWLGDV SRU FRPELQDomR OLQHDU FRQYH[D GDTXHODV

5


� � � �

$VVLP SRGHPRV� VXFHVVLYDPHQWH� LGHQWLILFDU WRGDV DV VROXo}HV

EiVLFDV DOWHUQDWLYDV�

$V VROXo}HV ySWLPDV QmR EiVLFDV SRGHP VHU FDOFXODGDV FRPR

FRPELQDomR OLQHDU FRQYH[D GDV VROXo}HV EiVLFDV ySWLPDV�

&DVR �� 6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV��&DVR �� 6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV��

6XSRQKD�VH TXH IRL HQFRQWUDGD� QD LWHUDomR k, D VROXomR ySWLPD

XXk k FRP zz** FRPR YDORU GD I�R� H TXH QR TXDGUR VLPSOH[ H[LVWH XPD

YDULiYHO QmR EiVLFD FRP FXVWR UHGX]LGR QXOR H FRP SHOR PHQRV

XPD FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD FRUUHVSRQGHQWH FROXQD GR

TXDGUR VLPSOH[�

XXK+1K+1 é também solução óptima.

a entrada desta variável não básica corresponde a uma nova SBA XXkk+1+1

zzkk+1+1 = = zz**++θθ ((ccjj -- zzjj) = ) = zz**+ + θθ ((0)0) = = zz* * , i.e., os valores da f.o. coincidem

Ver capítulo 4.2.2

; λ; �� λ;

�� λ;

Q� ��λ � �

; �� ;

Q± 6% ySWLPDV


� � � �

∃∃ xxj j não básica com

ccjj --zzjj>0>0 ?

XXkk é óptimaNãoNão

SimSim

CalcularCalcularnova SBAnova SBA

iteraçãoiteração kk

1º. Calcular SBA óptimas alternativas.2º. Calcular SNBA óptimas como combinação linear

convexa das SBA (no caso de ℜ 2 correspondem aos pontos dum segmento de recta)

Verificar a existência de soluções óptimas alternativas

FIM !!!FIM !!!Existe uma Existe uma

solução óptimasolução óptima XXkk


SimSim

��!��"� #$��%�� &��!��"� #$��%�� &��' �� ' ��

∃∃ xxjj não básica com

ccjj ––zzjj=0=0 ?

Existe algumxij >0 ?>0 ?

NãoNão

Verificar que Pj

pode entrar na base

SimSim

NãoNãoCalcular SNBA óptimas (no caso de ℜ 2 correspondem aos pontos duma semirecta)

NãoNão

6


� � � �

o gradiente da função objectivo coincide com o gradiente da recta da 3ª



Maximizar Z= 3 x1 + 2 x2 sujeito a

x1 ≤ 42 x2 ≤ 12

3 x1 + 2 x2 ≤ 18

x1, x2 ≥0

��!��"� #$��%�� &��!��"� #$��%�� &�� (� �� (� ��

$ IXQomR REMHFWLYR DOFDQoD R VHX YDORU Pi[LPR HP TXDOTXHU SRQWR GR

VHJPHQWR GH UHFWD &'� (VWH VHJPHQWR GH UHFWD FRQVWLWXL R FRQMXQWR

GH WRGDV DV FRPELQDo}HV OLQHDUHV FRQYH[DV GRV SRQWRV & H '�

4 62

2

4

•6

8

x1

x2


CC

DD

AA

BB

EE

z*


� � � �

1// 0xx=0 -(0x3/1)=0

3xx 0-- 34

1// 1xx=0 -(1x3/1)=-3

3xx 0-- 3300

x1x4

x5

3

0

0

Linha 1 e 2: NÂO MUDÃO

3 2 0

41218

x3

x4

x5

0 0 0

cj

zzj j ccjj --zzj j

3 2 0 0 0


0 2 0 1 01 0 1 0 0

3 2 0 0 10 0 0 00

0 0

60 2 -3 0 1

1// 4xx=18 -(4x3/1)=6

3xx 18-- 3b

41 0 1 0 00 2 0 1 0 12

6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

([HPSOR� 4XDGUR �([HPSOR� 4XDGUR �5HJUD GD (VWUHOD�

Linha 3: 3 2 0 0 1 18

-(3) 1 0 1 0 0 40 2 -3 0 1 6

Linha 3: 3 2 0 0 1 18

-(3) 1 0 1 0 0 40 2 -3 0 1 6

1// 0xx=2 -(0x3/1)=2

3xx 2-- 32

7


� � � �

x1x4

x2

3

0

2

41 0 1 0 0

30 1 -3/2 0 1/2

0 0 3 1 -1 6

6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

([HPSOR� 4XDGUR �([HPSOR� 4XDGUR �

41261212

0 2 0

x1

x4

x5

3 0 0

cj

zzj j ccjj --zzjj

3 2 0 0 0

XXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb

0 2 0 1 01 0 1 0 0

0 2 -3 0 10 0 3 00

-3 0

Linha 1: NÃO MUDA

Linha 3: dividir pelo pivot

Linha 2: 0 2 0 1 0 12

-(2) 0 1 -3/2 0 1/2 30 0 3 1 -1 6


� � � �

x1x3

x2

3

0

2

1 0 0 -1/3 1/3 2

0 1 0 1/2 0 60 0 1 1/3 -1/3 2

A variável não básica x3

tem : cc3 3 -- zz33=0=0 , e na coluna do quadro

existem coeficentes positivos ⇒ existe soluções óptimas

alternativas

'HWHUPLQDQGR VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�'HWHUPLQDQGR VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

([HPSOR� 4XDGUR ySWLPR([HPSOR� 4XDGUR ySWLPR

A solução X=(4,3,0,6,0) que corresponde ao ponto D=(4,3) é óptima. O valor

óptimo é 18

3 2 0 0 10 0 0 0 -1

3

0 0 0 0 -1

XXBBCCBB

ccjj --zzjj

-3/2

463

0 0 1 -11 0 1 0 0

0 1 0 1/2

1818

x1

x4

x2

3 0 2

cj

zzj j

3 2 0 0 0

xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb

3 2 0 0 1

ccjj --zzjj

zzjj 1818

A solução X=(2,6,2,0,0) que corresponde ao ponto C=(2,6)

também é óptima com o mesmo valor óptimo 18

8


� � � �

0 0 0 0 -1

1818

1 0 0 -1/3 1/3 226

x1x3x2

3 0 2

cj

zzj j

ccjj --zzj j

3 2 0 0 0XXBBCCBB

xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb

0 1 0 1/2 00 0 1 1/3 -1/3

3 2 0 0 1

0 0 0 0 -1

1818

1 0 0 -1/3 1/31 0 0 -1/3 1/3 226

x1x3x2

3 0 2

cj

zzj j

ccjj --zzj j

3 2 0 0 03 2 0 0 0XXBBCCBB

xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bbbb

0 1 0 1/2 00 0 1 1/3 -1/30 0 1 1/3 -1/3

3 2 0 0 1

'HWHUPLQDQGR VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�'HWHUPLQDQGR VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

A variável não básica x4 tem c4 –z4 =0. A iteração extra não muda os custos reduzidos,i.e., a variável básica que sai fica com o mesmo valor

nos seus custos igual a 0. Se continuar com outra iteração vamos a obter o quadro anterior, ou seja a primeira SBA óptima. Verificar!!!!...

A variável não básica xx44 tem cc4 4 ––zz4 4 =0. A iteração extra não muda os custos reduzidos,i.e., a variável básica que sai fica com o mesmo valor

nos seus custos igual a 0. Se continuar com outra iteração vamos a obter o quadro anterior, ou seja a primeira SBA óptima. Verificar!!!!......

A solução X*=(2,6,2,0,0) que corresponde ao ponto C=(2,6) também é óptima com o mesmo valor óptimo

18


� � � �

'HWHUPLQDQGR DV VROXo}HV ySWLPDV'HWHUPLQDQGR DV VROXo}HV ySWLPDV

DOWHUQDWLYDV QmR EiVLFDV�DOWHUQDWLYDV QmR EiVLFDV�

Existem duas SBA óptimas com o valor óptimo 18:

� X*1=(4,3,0,6,0)-que corresponde ao ponto D=(4,3)

�X*2=(2,6,2,0,0) -que corresponde ao ponto C=(2,6)

Qualquer outra solução não básica admissível (SNBA) óptima, X* , é obtida como combinação linear convexa de X*1 e X*2 , atribuindo a λ valores numéricos diferentes entre 0 e 1 :

X* =

43060

26200

λ + + (1-λλ) =

½ x 4+ ½ x 2 ½ x 3+ ½ x 6 ½ x 0+ ½ x 2 ½ x 6+ ½ x 0 ½ x 0+ ½ x 0

=

34,5130

Por exemplo fixando

λ= ½

A SBNA óptima X*=( 3 ,4.5,1,3,0 ) corresponde ao ponto L=( 3 ,4.5) do segmento de recta CD

A SBNA óptima X*=( 3 ,4.5,1,3,0 ) corresponde ao ponto L=( 3 ,4.5) do segmento de recta CD

4 62

2

4

•6

8

x1

x2


CC

DD

AA

BB

EE

z*

L= (3 ,4.5)

9


� � � �

��)��*��+�� ,�-��)��*��+�� ,�-�.� ��.� ��/�/�

4XDQGR VH HVWi D GHILQLU TXDO D YDULiYHO EiVLFD TXH VDL H R

PtQLPR p DWLQJLGR HP PDLV GR TXH XP GRV TXRFLHQWHV �HPSDWH

QR FULWpULR GH VDtGD� REWpP�VH XPD VROXomR EiVLFD GHJHQHUDGD�

L�H�� FRP YDULiYHLV EiVLFDV QXODV�

2 $OJRULWPR 6LPSOH[ QRV FDVRV GH VROXo}HV GHJHQHUDGDV SRGH

HQWUDU HP FLFOR �³F\FOLQJ´� L�H�� SRGH FRPHoDU D UHSURGX]LU

SHULRGLFDPHQWH DV PHVPDV VROXo}HV EiVLFDV� PDQWHQGR� VH

FRQVWDQWH R YDORU GD I�R� H QXQFD DWLQJLU R YDORU ySWLPR�


� � � �

x2

x4

9

0

��)��*��+�� )��*��+��

9/4 9 9/4 0

3/4 0 -9/4 0

1818

A solução X=(0, 2,0,0) é

degenerada(a variável básica x4

é nula)

A solução X=(0, 2,0,0) é

degenerada(a variável básica x4

é nula)


x1 + 4 x2 ≤ 8 x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥0 1 4 1 0

3 9 0 0

XXBBCCBB

ccjj --zzjj

8

41 2 0 1

00

x3

x4

0

0

cj

zzj j

3 9 0 0

xx11 xx22 xx33 xx44 bb

0 0 0 0

ccjj --zzjj

zzj j

1/4 1 1/4 0 2

1/2 0 -1/2 1 0

8/4= 2

4/2= 2

mínimos mínimos empatadosempatados

Escolhe-se arbitrariamente

para sair x3

Solução degenerada

10


� � � �

1 0 -1 2 0

0 0 -3/2 -3/2

x2

x1

9

3

��)��*��+�� )��*��+��

1818

A solução X=(0, 2,0,0) é óptima

e degenerada(a variável básica x1 é

nula)

A solução X=(0, 2,0,0) é óptima

e degenerada(a variável básica x1 é

nula)


x1 + 4 x2 ≤ 8 x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥01/2 0 -1/2 1 0

3/4 0 - 9/4 0

1/4 1 1/4 0 2

9/4 9 9/4 0

XXBBCCBB

ccjj --zzj j

1818

x2

x4

9

0

cj

zzj j

3 9 0 0


ccjj --zzj j

zzj j

0 1 1/2 -1/2 2

2x4= 8

0x2= 0

mínimomínimo

3 9 3/2 3/2

Solução degenerada


� � � �

��)��*��+�� 0�(� ��)��*��+�� 0�(� ��


x1 + 4 x2 ≤ 8 x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥0

Solução óptima degenerada: O ponto (0,2) é obtido como

intersecção de 3 rectas (equações), i.e. existe uma

restrição redundante

x 1 + 2 x 2 = 4

x 1 + 4 x 2 =8

z =9

z =18

531 x1

1

2

3

4

x2

2 4


6 7 8

11


� � � �

��)��*��+�� )��*��+��

'HJHQHUHVFrQFLD DFRQWHFH TXDQGR QR SHUFXUVR GR DOJRULWPR

VLPSOH[ DSDUHFH XPD 6%$ GHJHQHUDGD� 3RGHP DFRQWHFHU GXDV

VLWXDo}HV�

� 2 DOJRULWPR 6LPSOH[ SRGH HQWUDU HP FLFOR �³F\FOLQJ´��

SRGHQGR UHSHWLU D PHVPD VHTXrQFLD GH LWHUDo}HV� QXQFD

DWLQJLQGR D VROXomR ySWLPD�

� 2 DOJRULWPR 6LPSOH[ FRQVHJXH FRQWLQXDU DWp DWLQJLU XPD

VROXomR ySWLPD� 1HVWH FDVR GL]�VH TXH D VROXomR p

WHPSRULDUHPHQWH GHJHQHUDGD�


� � � �

6ROXomR WHPSRUDULDPHQWH GHJHQHUDGD� ([HPSOR JUiILFR�6ROXomR WHPSRUDULDPHQWH GHJHQHUDGD� ([HPSOR JUiILFR�

Maximizar Z= 3 x1 + 2 x2 sujeito a4 x1 + 3 x2 ≤ 12 4 x1 + x2 ≤ 8

4 x1 - x2 ≤ 8

x1, x2 ≥0

O ponto (2,0) é obtido como intersecção de 3 rectas:

4 x1 + x2 = 8, 4 x1 - x2 = 8, x2 = 0e corresponde a uma SBA

degenerada

O percurso do algoritmo Simplex

é A→ B→ E, passando pelo ponto B que corresponde a uma

SBA degenerada, i.e. a solução é temporariamente degenerada

4 x1 + 3 x2 = 12

4 x1 + x2 = 8 4 x1 - x2 = 8

12


� � � �

1�� +�� 1�� +��

3DUD HYLWDU D HQWUDGD HP FLFOR GR 6LPSOH[ SRGH VHU XWLOL]DGD

XPD GDV VHJXLQWHV WpFQLFDV�

� 7pFQLFD GH SHUWXUEDomR�

³SHUWXUEDQGR´ OLJHLUDPHQWH R YHFWRU GRV WHUPRV

LQGHSHQGHQWHV FRQGLFLRQDQGR D HVFROKD GRV tQGLFH GD

OLQKD SLYRWDO�

� 5HJUD GH %ODQG�

FRQGLFLRQD D HVFROKD GRV tQGLFH GD FROXQD H OLQKD SLYRWDO�

$ UHJUD GH %ODQG p PDLV HOHJDQWH GR TXH D WpFQLFD GH

SHUWXUEDomR� PDV� FRPSXWDFLRQDOPHQWH PHQRV HILFLHQWH


� � � �

Suponha-se que existe empate nos índices s,...,q (correspondentes às

linhas do quadro)

6XSRQKD�VH TXH D PDWUL] EiVLFD LQLFLDO �PDWUL] LGHQWLGDGH�

RFXSD DV P SULPHLUDV FROXQDV GR TXDGUR�

Foi introduzida por Charnes, 1952, e é equivalente à outra regra: a regra

lexicográfica apresentada por Dantzig, Orden and Wolfe em 1955

Foi introduzida por Charnes, 1952, e é equivalente à outra regra: a regra

lexicográfica apresentada por Dantzig, Orden and Wolfe em 1955

>=

01

...min ir

ir

i

qsi

xx

x

qr

q

sr

sir

ir

i

qsi x

x

x

xx

x

x 000

...

...0min ===

>=

>== ++

0min 11

00 im

im

i

ix

x

xθθ

*��+�� *��+�� 1�� #�2��1�� #�2��

1º.Calcular:

2º.Calcular:

qr

q

sr

sir

ir

i

qsi x

x

x

xx

x

x 111

...

...0min ===

>=

em lugar de calcular os quocientes entre os termos

independentes, calcular entre as componentes com índice 1nas colunas correspondentes

Suponha-se que ainda existe empate nestes novos quocientes

13


� � � �

>=

02

...min ir

ir

i

qsi

xx

x

=>=

mjxx

xir

ir

ij

qsi

,...3,2:0min...

*��+�� 1�� #�2��*��+�� 1�� #�2��

3º. Calcular::

Se o empate ainda persistir, repetir o processo com

este processo garante o desempate.

em lugar de calcular os quocientes entre os termos independentes,

calcular entre as componentes com índice 2 nas colunas correspondentes

qr

q

sr

sir

ir

i

qsi x

x

x

xx

x

x 222

...

...0min ===

>=


� � � �

1�� #�2�� 1�� #�2��


x1 + 4 x2 ≤ 8 x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥0 8/4= 2

4/2= 2

mínimos mínimos empatadosempatados

1/4 em lugar de 8/4= 2

0/2 em lugar de 4/2= 2

1

1 0 1 4

0 0 3 9

XXBBCCBB

ccjj --zzjj

8

40 1 2

00

x3

x4

0

0

cj

zzj j

0 0 3 9


0 0 0 0

Como existe empate nos mínimos dos quocientes para lograr um desempate é preciso “perturbar” os termos independentes. i.e., em lugar de calcular os quocientes entre os termos independentes, calcular entre as componentes da linha 1 nas colunas das variáveis onde existe o empate ( neste caso : x3 e x4 ) : min (1/4, 0/2) = 0 em lugar de min ( 8/4, 4/2) = 2. Como existe agora um desempate a variável a sair da base é x4

Para aplicar a técnica de perturbação a matriz identidade deve ocupar as primeiras colunas do quadro

recalcular quocientes:recalcular quocientes:

mínimomínimo

14


� � � �

�� (VFROKHU D FROXQD SDUD HQWUDU D EDVH�

DTXHOD TXH WHP PHQRU tQGLFH j TXH YHULILFD ( cj - zj) > 0 �� (VFROKHU D FROXQD SDUD HQWUDU D EDVH�

DTXHOD TXH WHP PHQRU tQGLFH j TXH YHULILFD (( ccjj -- zzjj) > 0 ) > 0

�� 5HJUD GR TXRFLHQWH PtQLPR�

6H H[LVWLU HPSDWH� HVFROKHU HQWUH RV TXRFLHQWHV TXH

GmR RULJHP DR HPSDWH DTXHOH FRP PHQRU tQGLFH �

�� 5HJUD GR TXRFLHQWH PtQLPR�

6H H[LVWLU HPSDWH� HVFROKHU HQWUH RV TXRFLHQWHV TXH

GmR RULJHP DR HPSDWH DTXHOH FRP PHQRU tQGLFH �

>== ++

0min 11

00 im

im

i

ix

x

xθθ

Foi introduzida por Bland em

1977

Foi introduzida por Bland em

1977*��+�� 3��*��+�� 3��4 ��4 ��

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 0pWRGR 6LPSOH[

��,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD GR 0pWRGR 6LPSOH[�

� ,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GDV YDULiYHLV GH GHFLVmR H GH

IROJD GR SUREOHPD GH 3/�

� ,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GD PXGDQoD GH EDVH H GR

DOJRULWPR 6LPSOH[�

� (VFROKHQGR XP θθ VXSHULRU RX LQIHULRU DR PtQLPR GRVTXRFLHQWHV� 6LJQLILFDGR HFRQyPLFR�

� ,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD HP WHUPRV GH DFWLYLGDGHV�

([HPSOR 3URWyWLSR�


� � � �

é considerada a produção e capacidade utilizada por minuto.

�� !� "�� !� "��

2 Q~PHUR Pi[LPR SRVVtYHO GH VROXo}HV EiVLFDV GHVWH

SUREOHPD p LJXDO D �� R Q~PHUR GH SRVVtYHLV FRPELQDo}HV GH

� Q~PHURV TXH SRGHP VHU REWLGDV GH � Q~PHURV��

1HVWH H[HPSOR � VLVWHPDV VmR LQGHWHUPLQDGRV �YHU FDStWXOR

,,B�� SHOR TXH H[LVWHP DSHQDV � VROXo}HV EiVLFDV� GDV TXDLV

� VmR DGPLVVtYHLV H � VmR QmR DGPLVVtYHLV�



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0



2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0 &DSDFLGDGH XWLOL]DGD SRU

XQLGDGH GH SURGXomR

�

�

�

�

3URGXWR �

��

�

�

�

3URGXWR �

/XFUR XQLWiULR

�HP (XURV�

��

��

&DSDFLGDGH

GLVSRQtYHO

6HFomR 1�

&DSDFLGDGH XWLOL]DGD SRU

XQLGDGH GH SURGXomR

�

�

�

�

3URGXWR �

��

�

�

�

3URGXWR �

/XFUR XQLWiULR

�HP (XURV�

��

��

&DSDFLGDGH

GLVSRQtYHO

6HFomR 1�

Portas com estruturas de alumínio

Janelas com estruturas de madeira

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

2


� � � �

x1=0

x2=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; � �� ; � ��

x4=0

x5=0

'HW�%�� QmR QXOR ⇒ 6%$ ; �� ; ��

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

A =

XB=B-1 P0 XB=B-1 P0

XB

x3

x4

x5

P0

412

18

=

P3 P4 P5

1 0 00 1 00 0 1

B10=

P0

412

18

XB

x1

x2

x3

==

P1 P2 P3

1 0 10 2 03 2 0

B1=

�� #�� $�� #�� $�


� � � �

AA(0,0)SBASBA

EE(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBSBAA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

([LVWHP � 6%$ TXH FRUUHVSRQGHP D � SRQWRV H[WUHPRV GH .�

�� !� "��$� ��%&� �� $�� !� "��$� ��%&� �� $��

B={ PB={ P1 1 , P, P44 , P, P55 }}X=(4,0,0,12,6)X=(4,0,0,12,6)E=(4,0)E=(4,0)

B={ PB={ P1 1 , P, P22 , P, P44 }}X=(4,3,0,6,0)X=(4,3,0,6,0)D=(4,3)D=(4,3)

B={ PB={ P1 1 , P, P22 , P, P33 }}X=(2,6,2,0,0)X=(2,6,2,0,0)C=(2,6)C=(2,6)

B={ PB={ P2 2 , P, P3 3 , P, P55 }}X=(0,6,4,0,6)X=(0,6,4,0,6)B=(0,6)B=(0,6)

B={PB={P3 3 , P, P44 , P, P55 }}X=(0,0,4,12,18)X=(0,0,4,12,18)A=(0,0)A=(0,0)

%DVH6%$3RQWRV

([WU�

3


� � � �

([LVWHP � 6%1$ TXH FRUUHVSRQGHP DRV SRQWRV RQGH

VH LQWHUVHFWDP SHOR PHQRV GXDV UHFWDV H TXH

ILFDP IRUD GD UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH�

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA

�� !� "��$� ��%&� �� $�� !� "��$� ��%&� �� $�

B={ P1 , P3 , P4 }X=(6,0,-2,12,0)H=(6,0)H=(6,0)

B={ P1 , P2 , P5 }X=(4,6,0,0,-6)G=(4,6)G=(4,6)

B={P2 , P1, P4 }X=(0,9,4,-6, 0)F=(0,9)F=(0,9)

%DVH6%1$


� � � �

�� "�� "��'�� !&� ��"�� "��'�� !&� ��

'RLV SURGXWRV D VHU SURGX]LGRV HP WUrV VHFo}HV GH SURGXomR�

� x1 � TXDQWLGDGH GH SRUWDV D SURGX]LU SRU PLQXWR�

� x2 � TXDQWLGDGH GH MDQHODV D SURGX]LU SRU PLQXWR�

� x3 � FDSDFLGDGH GH SURGXomR QmR XWLOL]DGD QD �� VHFomR�

SRU PLQXWR�


SRU PLQXWR�


SRU PLQXWR�

4


� � � �

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 0cj

XXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55

zzj j

ccj j --zzj j

bb

000 0 0 0 0

3 5 0 0 0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 03 5 0 0 0cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bbbb

000 0 0 0 0

3 5 0 0 0

�� 48$'52 � 6%$ LQLFLDO�� 48$'52 � 6%$ LQLFLDO �� ;;��

x1=0, x2=0 xx11=0, xx22=0 QmR SURGX]LU QHP SRUWDV QHP MDQHODVQmR SURGX]LU QHP SRUWDV QHP MDQHODV

x3=4, x5=12, x6=18 xx33=4, xx55=12, xx66=18 DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR SRU

PLQXWR QmR XWLOL]DGDV QDV WUrV VHFo}HV

VmR LJXDLV jV VXDV GLVSRQLELOLGDGHV

DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR SRU

PLQXWR QmR XWLOL]DGDV QDV WUrV VHFo}HV

VmR LJXDLV jV VXDV GLVSRQLELOLGDGHV

��"�� "�� $�� " ��"�� "�� $�� " ��

6LJQLILFDGR HFRQyPLFR�


� � � �

([SOLFLWHP�VH DV YDULiYHLV GH IROJD HP WHUPRV GDV YDULiYHLV GH GHFLVmR�

x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11

a capacidade de produção não utilizada permite uma produção máxima de 4

portas por minuto


portas por minuto

2x2+ x4=12 ⇒ x4= 12 - 2x22xx22++ xx44=12 ⇒ xx44= 12 - 2xx22


janelas por minuto


janelas por minuto

3x1+ 2x2+ x5=18 ⇒x5= 18 - 3x1 - 2x2

3xx11++ 2xx22++ xx55=18 ⇒xx55= 18 - 3xx11 - 2xx22

a capacidade de produção não utilizada permite uma produção máxima de 9 janelas ou de 6 portas por minuto


��VHFomR��VHFomR

��"�� "�� "�� "�� 48$'52 � 6%$ ,QLFLDO�� 48$'52 � 6%$ ,QLFLDO �� ;;��



xx1 1 xx22 xx33 xx44 xx551 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

xx11

xx22xx33xx44

xx5 5

41218

==xx1 1 xx22 xx33 xx44 xx551 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

xx11

xx22xx33xx44

xx5 5

41218

==$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV MDQHODV�

5


� � � �

a 1ª secção não é utilizada para produzir janelas

a 1ª secção não é utilizada para produzir janelas

$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV MDQHODV�

�D YDULiYHO xx22 HQWUD�

3RU FDGD MDQHOD SURGX]LGD SRU PLQXWR�

x4= 12 - 2x2xx44= 12 - 2xx22

são utilizadas 2 unidades da capacidade de produção da 2ª secção para

produzir uma janela


produzir uma janela

x5= 18 - 3x1 - 2x2xx55= 18 - 3xx11 - 2xx22


produzir uma janela


produzir uma janela

x3= 4 - x1xx33= 4 - xx11

��"�� "�� "�� "�� 48$'52 � 6%$ LQLFLDO�� 48$'52 � 6%$ LQLFLDO �� ;;��





� � � �

12/2= 6x3x4x5

0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

18/2= 9

mínimo mínimo

máximo máximo

12/2= 6x3x4x5

0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

x3x4x5

0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

0 0 0

3 5 0 0 03 5 0 0 0cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bbbb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

18/2= 9

mínimo mínimo

máximo máximo

A produção máxima possível de janelas possível é de 6 por minuto: o valor correspondente ao menor dos quocientes:

ILFD HVJRWDGD D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD �� VHFomR

REWpP�VH XPD QRYD 6%$ DGMDFHQWH XX11

x2 HQWUD� x4 VDL

D YDULiYHO EiVLFD FRUUHVSRQGHQWH� x4=0

��"�� "��(�� "�� "��(�� 0RYHU0RYHU��VH GD 6%$ LQLFLDO�VH GD 6%$ LQLFLDO� XX0 0 =(0,0,4,12,18)=(0,0,4,12,18) SDUD RXWUD 6%$ DGMDFHQWHSDUD RXWUD 6%$ DGMDFHQWH

3DVVD�VH D SURGX]LU � MDQHODV�3DVVD�VH D SURGX]LU � MDQHODV�

62

18,

2

12min2 =

=x

6


� � � �

x3= 4 - x1

⇒ x3= 4

xx33= 4 - xx11

⇒ xx33= 4

x3= 4 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a sua disponibilidade.

xx33= 4 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a sua disponibilidade.

x4= 12 - 2x2= 0 ⇒ x4= 12 - 12 = 0

xx44= 12 - 2xx22= 0 ⇒ xx44= 12 - 12 = 0

x4= 0 – a capacidade de produção da 2ª secção fica esgotada

xx44= 0 – a capacidade de produção da 2ª secção fica esgotada

x5= 18 - 3x1 - 2x2=0⇒ x5=18-12 = 6

xx55= 18 - 3xx11 - 2xx22=0⇒ xx55=18-12 = 66

x5= 6 - a capacidade de produção não utilizada da 3ª secção é igual a 6

xx55= 6 - a capacidade de produção não utilizada da 3ª secção é igual a 6

��"�� "��(�� "�� "��(�� &DOFXODQGR D QRYD 6%$&DOFXODQGR D QRYD 6%$ XX1 1 ��

Os valores das variáveis de folga podem ser calculados substituindo os valores das variáveis de decisão nas seguintes expressões que explicitam as variáveis de folga em termos das variáveis de decisão:




��xx11= 0 - QmR VH SURGX]HP SRUWDV�

��xx22 = 6 - D SURGXomR GH MDQHODV SDVVD D VHU GH � SRU PLQXWR.


� � � �

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA

A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) B0 ={ P3 , P4 , P5BB0 0 ={ P={ P3 3 ,, PP44 , P, P55X0 =(0,0,4,12,18)XX0 0 =(=(0,0,4,0,0,4,1212,18),18)

B=(0,6)B=(0,6)B=(0,6) B1 ={ P3 , P2, P5 }BB1 1 ={ P={ P3 3 ,, PP22, P, P55 }}X1 =(0,6,4,0,6)XX1 1 =(=(0,0,66,4,0,6),4,0,6)

(��(��))RR ��)��)��*�!+ "��*�!+ "��

x2 entra x4 sai

7


� � � �


x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11


portas por minuto


portas por minuto

x4= 0xx44= 0 a capacidade de produção está esgotada

a capacidade de produção está esgotada

3x1- x4+ x5=6 ⇒x5= 6 - 3x1 – x4 = 6 - 3x1

3xx11-- xx44++ xx55=6 ⇒xx55= 6 - 3xx11 – xx4 4 = 6 - 3xx11


portas por minuto


portas por minuto


��"�� "�� "�� "�� 48$'52 � 6%$ ;�� 48$'52 � 6%$ ;��



xx1 1 xx22 xx33 xx44 xx551 0 1 0 00 1 0 1/2 03 0 0 -1 1

xx11

xx22xx33

xx44xx55

466

=$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV SRUWDV�


� � � �

é utilizada 1 unidade da capacidade de produção da 1ª secção para

produzir uma porta

é utilizada 1 unidade da capacidade de produção da 1ª secção para

produzir uma porta

$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV SRUWDV�

�D YDULiYHO xx11 HQWUD�

3RU FDGD SRUWD SURGX]LGD SRU PLQXWR�

x4= 0 xx44= 0 a 2ª secção não é utilizada para produzir portas

a 2ª secção não é utilizada para produzir portas

x5= 6 - 3x1xx55= 6 - 3xx11


produzir uma porta


produzir uma porta

x3= 4 - x1xx33= 4 - xx11

��"�� "��"�� "�� 48$'52 � 6%$ ;�� 48$'52 � 6%$ ;��




8


� � � �

A produção máxima possível de portas é de 2 por minuto:o valor correspondente ao menor dos quocientes:

ILFD HVJRWDGD D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD �� VHFomR

REWpP�VH XPD QRYD 6%$ DGMDFHQWH XX22

x1 HQWUD� x5 VDL

D YDULiYHO EiVLFD FRUUHVSRQGHQWH� x5=0

��"�� "��"�� "��0RYHU0RYHU��VH GD 6%$ LQLFLDO�VH GD 6%$ LQLFLDO� XX1 1 =(0, 6, 4, 0, 6)=(0, 6, 4, 0, 6) SDUD RXWUD 6%$ DGMDFHQWH�SDUD RXWUD 6%$ DGMDFHQWH�

3DVVD�VH D SURGX]LU � SRUWDV�3DVVD�VH D SURGX]LU � SRUWDV�

3 5 0 0 0

300

46 6

x3x2

x5

0 5 0

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

3 5 0 0 0

300

46 6

x3x2

x5

0 5 0

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

3 5 0 0 03 5 0 0 0

300

46 6

x3x2

x5

0 5 0

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

46 6

x3x2

x5

0 5 0

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bb

cj


zzj j

ccj j --zzj j

bbbb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 00 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1525252- 52-

4/1= 4

6/3= 2


quociente)quociente)

máximo máximo

23

6,

1

4min1 =

=x


� � � �

x3= 4 - x1

⇒ x3= 4 – 2 = 2

xx33= 4 - xx11

⇒ xx33= 4 – 2 = 2

x3= 2 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a 2

xx33= 2 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a 2

x4= 0 xx44= 0 x4= 0 – a capacidade de produção da 2ª secção está esgotada

xx44= 0 – a capacidade de produção da 2ª secção está esgotada

x5 = 6 - 3x1

⇒ x5 = 6 - 6 = 0

xx5 5 = 6 - 3xx11

⇒ xx5 5 = 6 - 6 = 00x5= 0 - a capacidade de produção da

3ª secção fica esgotada

xx55= 0 - a capacidade de produção da 3ª secção fica esgotada

��"�� "��,��"�� "��,��&DOFXODQGR D QRYD 6%$&DOFXODQGR D QRYD 6%$ XX2 2 ��





��xx11= 2 - D SURGXomR GH SRUWDV SDVVD SDUD � SRU PLQXWR�

��xx22 = 6 - VmR SURGX]LGDV � MDQHODV SRU PLQXWR.

9


� � � �

B=(0,6)B=(0,6)B=(0,6)

B1 ={P3 , P2 , P5 }BB1 1 ={P={P3 3 , P, P22 , P, P55 }}

X1=(0,6,4,0,6)XX11=(=(0,6,4,0,0,6,4,0,66))

C=(2,6)C=(2,6)C=(2,6)

B2 ={P3 , P2, P1}BB2 2 ={P={P3 3 , P, P22, P, P11}}

X2=(2,6,2,0,0)XX22=(=(22,6,2,0,0),6,2,0,0)

(��)(��)�� )��)��!+ "��!+ "��

x1 entra

x5 sai

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA


� � � �

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 001

213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1

��"�� "��,��"�� "��,��

�� 48$'52� 6%$ ;�� 48$'52� 6%$ ;��

7RGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV (cj -zj ≤ 0) ⇒ D VROXomR X2 = (2,6,2,0,0) p D VROXomR ySWLPD�

7RGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV (cjj --zzjj ≤≤ 0) ⇒ D VROXomR X2 = (2,6,2,0,0) p D VROXomR ySWLPD�

10


� � � �

��"�� "��"�� "��

2 SODQR ySWLPR GH SURGXomR� SRU PLQXWR� ;� �� WHP

R VHJXLQWH VLJQLILFDGR HFRQyPLFR�

5HIHUHQWH j SURGXomR�

� SURGX]LU � SRUWDV SRU PLQXWR�

� SURGX]LU � MDQHODV SRU PLQXWR�

(VWH SODQR JDUDQWH XP OXFUR WRWDO GH �� (XURV�

5HIHUHQWH DRV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV�

� ILFDP VHP XWLOL]DU � XQLGDGHV GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR ��

� ILFDP FRPSOHWDPHQWH HVJRWDGDV DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR

GDV VHFo}HV � H ��


� � � �

2 TXH DFRQWHFHULD VH HP OXJDU GH VHU HVFROKLGR θ FRPRPtQLPR GRV TXRFLHQWHV IRVVH HVFROKLGR XP YDORU VXSHULRU

D HVWH PtQLPR"

2 TXH DFRQWHFHULD VH HP OXJDU GH VHU HVFROKLGR θ FRPRPtQLPR GRV TXRFLHQWHV IRVVH HVFROKLGR XP YDORU VXSHULRU

D HVWH PtQLPR"

6H IRVVH HVFROKLGR XP θ VXSHULRU DR PtQLPR GRV

TXRFLHQWHV D VROXomR EiVLFD TXH VH REWHULD QmR VHULD

DGPLVVtYHO �6%1$�� LVWR VLJQLILFD TXH H[LVWH SHOR PHQRV

XPD YDULiYHO QHJDWLYD QHVWD VROXomR�

6H IRVVH HVFROKLGR XP θ VXSHULRU DR PtQLPR GRV

TXRFLHQWHV D VROXomR EiVLFD TXH VH REWHULD QmR VHULD

DGPLVVtYHO �6%1$�� LVWR VLJQLILFD TXH H[LVWH SHOR PHQRV

XPD YDULiYHO QHJDWLYD QHVWD VROXomR�

(VFROKHQGR XP(VFROKHQGR XP θθ 6XSHULRU DR 0tQLPR GRV 4XRFLHQWHV�6XSHULRU DR 0tQLPR GRV 4XRFLHQWHV�

Em cada iteração do algoritmo Simplex, durante o processo de mudança de base, é calculado um valor θθ igual ao mínimo dos quocientes (ver capítulo 4.1.): a variável não básica que atinge o mínimo dos quocientes sai e a variável básica que entra aumenta o seu valor desde 0 até este valor θθ ..

11


� � � �

Linha 1: NÃO MUDAo coeficiente na coluna

pivotal é igual a 0.

1 0 1 0 0 4x3x4x2

0 0 5

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

412 18

x3x4x5

0 0 0

3 5 0 0 0cj


zzj j ccjj --zzjj

bb

000 0 0 0 03 5 0 0 0

3/2 1 0 0 1/2 9

Linha 3: linha pivotal dividir pelo pivot 2

-3 0 0 -1 - 61

$ QRYD VROXomR EiVLFDX1= (0,9,4,-6,0) p QmR DGPLVVtYHO� x4=-6<0$ QRYD VROXomR EiVLFDX1= (0,9,4,(0,9,4,--66,0),0) pp QmR DGPLVVtYHO� x4=-6<0


([HPSOR 3URWyWLSR�([HPSOR 3URWyWLSR�

Linha2: linha anterior -(coeficiente na coluna pivotal x nova linha pivotal)

0 2 0 1 0 12-(2) 3/2 1 0 0 1/2 9

-3 0 0 1 -1 -6

Linha2: linha anterior -(coeficiente na coluna pivotal x nova linha pivotal)

0 2 0 1 0 12-(2) 3/2 1 0 0 1/2 9

-3 0 0 1 -1 -6

92

18,

2

12max2 =

=x ⇒θ = 9


� � � �

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

B (0,6)SBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA

A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) P3 , P4 , P5PP3 3 , P, P44 , P, P55X0 =(0,0,4,12,18)XX0 0 =(0,0,4,12,18)=(0,0,4,12,18)

F=(0,9)F=(0,9)F=(0,9) P2 , P3, P4PP2 2 , P, P33, P, P44X1=(0,9,4,-6,0)XX11=(0,9,4,=(0,9,4,--66,0),0)

6%$

6%1$


([HPSOR *UiILFR�([HPSOR *UiILFR�

12


� � � �

x3= 4 - x1

⇒ x3= 4 – 0 = 4

xx33= 4 - xx11

⇒ xx33= 4 – 0 = 4

x3= 4 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a sua disponibilidade

xx33= 4 - a capacidade de produção não utilizada da 1ª secção é igual a sua disponibilidade

x4 = 12 - 2x2

⇒ x4 = 12 - 18 = -6

xx4 4 = 12 - 2xx22

⇒ xx44 = 12 - 18 = -6

x4= -6 – a capacidade de produção da 2ª secção é ultrapassada em 6 unidades

xx44= -6 – a capacidade de produção da 2ª secção é ultrapassada em 6 unidades

x5 = 18 - 3x1 - 2x2

⇒ x5 = 18 - 18 = 0

xx5 5 = 18 - 3xx1 1 - 2xx22

⇒ xx5 5 = 18 - 18 = 00x5= 0 - a capacidade de produção da

3ª secção está esgotada

xx55= 0 - a capacidade de produção da 3ª secção está esgotada


,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD GD 1RYD 6ROXomR,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD GD 1RYD 6ROXomR XX11 ��





��xx11= 0 - QmR VH SURGX]HP SRUWDV

��xx22 = 9 - VmR SURGX]LGDV � MDQHODV SRU PLQXWR.


� � � �


,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GR ([HPSOR 3URWyWLSR�,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GR ([HPSOR 3URWyWLSR�

2 SODQR GH SURGXomR ;� �� p LQDFHLWiYHO�

(P WHUPRV HFRQyPLFRV� D HVFROKD GR θ � VLJQLILFD TXH VH

SUHWHQGHX SURGX]LU � MDQHODV SRU PLQXWR� HVJRWDQGR D

FDSDFLGDGH GH SURGXomR �SRU PLQXWR� GD VHFomR � H

XOWUDSDVVRX�VH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR �SRU PLQXWR� GD

VHFomR � HP � XQLGDGHV�

13


� � � �

2 TXH DFRQWHFHULD VH HP OXJDU GH VHU HVFROKLGR θ FRPR RPtQLPR GRV TXRFLHQWHV IRVVH HVFROKLGR XP YDORU LQIHULRU

D HVWH PtQLPR"

2 TXH DFRQWHFHULD VH HP OXJDU GH VHU HVFROKLGR θ FRPR RPtQLPR GRV TXRFLHQWHV IRVVH HVFROKLGR XP YDORU LQIHULRU

D HVWH PtQLPR"

$ HVFROKD GXP YDORU GH θ LQIHULRU DR PtQLPR GRV

TXRFLHQWHV QmR YLROD D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR

EiVLFD PDV FRQGX] D XPD VROXomR QmR EiVLFD �61%$��

$ HVFROKD GXP YDORU GH θ LQIHULRU DR PtQLPR GRV

TXRFLHQWHV QmR YLROD D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR

EiVLFD PDV FRQGX] D XPD VROXomR QmR EiVLFD �61%$��

(VFROKHQGR XP(VFROKHQGR XP θθ ,QIHULRU DR 0tQLPR GRV 4XRFLHQWHV�,QIHULRU DR 0tQLPR GRV 4XRFLHQWHV�

Em cada iteração do algoritmo Simplex, durante o processo de mudança de base, é calculado um valor θθ igual ao mínimo dos quocientes (ver capítulo 4.1.): a variável não básica que atinge o mínimo dos quocientes sai e a variável básica que entra aumenta o seu valor desde 0 até este valor θθ ..


� � � �


,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�

1R H[HPSOR SURWyWLSR� ORJR QD SULPHLUD LWHUDomR GR DOJRULWPR

6LPSOH[� SDVVD�VH GXPD VLWXDomR GH QmR SURGX]LU QDGD j

SURGXomR GH � MDQHODV� VHQGR HVWH R YDORU GH θ TXDQGR pHVFROKLGR FRPR PtQLPR GRV TXRFLHQWHV� $R VHUHP SURGX]LGDV �

MDQHODV ILFD FRPSOHWDPHQWH HVJRWDGD D FDSDFLGDGH GH

SURGXomR GD VHFomR Q� ��

(P WHUPRV HFRQyPLFRV� VH HP OXJDU GH HVFROKHU XP θ FRPR RPtQLPR GRV TXRFLHQWHV� IRVVH HVFROKLGR XP θ� WDO TXH�� θ � �� LVWR VLJQLILFD TXH D SURGXomR �SRU PLQXWR� GH PHQRVGH � MDQHODV �SRU H[HPSOR [� θ� H D QmR SURGXomR GH SRUWDV�[� �� QmR HVJRWDP D FDSDFLGDGH GH SURGXomR �SRU PLQXWR�

GH QHQKXPD GDV WUrV VHFo}HV� L�H�� QmR VH HVWmR D XWLOL]DU

RSWLPDPHQWH RV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV�

14


� � � �

AA(0,0)SBASBA EE

(4,0)SBASBA

KK

3x1+2x2=18x1=4

x2=6

x1=0

x2=0

DD(4,3)(4,3)SBASBA

BB(0,6)SBASBA

CC(2,6)SBASBA

HH(6,0)

SBNASBNA

GG(4,6)(4,6)

SBNASBNA

FF(0,9)

SBNASBNA

A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0)

B0={P3 , P4 , P5 }BB00={={PP3 3 , P, P44 , P, P55 }}

X0=(0,0,4,12,18)XX00=(0,0,4,12,18)=(0,0,4,12,18)

6%$6%$

61%$61%$

0 < 0 < θθ < 6< 6

0 < 0 < θθ < 6< 6SNBASNBA


([HPSOR *UiILFR([HPSOR *UiILFR

(VWHV UHVXOWDGRV FRQILUPDP TXH R ~QLFR YDORU GH θ TXHJDUDQWH TXH D QRYD VROXomR VHMD VLPXOWDQHDPHQWH EiVLFD H

DGPLVVtYHO p TXDQGR θ p LJXDO DR PtQLPR GRV TXRFLHQWHV�

(VWHV UHVXOWDGRV FRQILUPDP TXH R ~QLFR YDORU GH θθ TXHJDUDQWH TXH D QRYD VROXomR VHMD VLPXOWDQHDPHQWH EiVLFD H

DGPLVVtYHO p TXDQGR θ p LJXDO DR PtQLPR GRV TXRFLHQWHV�


� � � �

)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP 7HUPRV GH $FWLYLGDGHV�)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP 7HUPRV GH $FWLYLGDGHV�


(Minimizar)sujeito a

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0



a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2…

aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0



x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0


P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0



x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0


P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t

x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0

Forma PadrãoForma Padrão Em Termos de ActividadesEm Termos de Actividades

15


� � � �

)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�


Maximizar Z=3x1+ 5 x2

sujeito a

x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

103

022

100

010

001

41218

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

Actividade PrincipalP1- produção de

portas por minuto


janelas por minuto

Actividade AuxiliarP3- não utilização da

capacidade de produção da secção 1 por minuto


capacidade de produção da secção 2 por minuto.


capacidade de produção da secção

3 por minuto

As variáveis xxjj

correspondem aos níveis das actividades


� � � �

,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�

([HPSOR SURWyWLSR� 6%$ LQLFLDO([HPSOR SURWyWLSR� 6%$ LQLFLDO �� ;;��

2 SODQR LQLFLDO GH SURGXomR� SRU PLQXWR� FRUUHVSRQGH D XP

SURJUDPD HP TXH QmR VH SURGX] QDGD ILFDQGR WRWDOPHQWH

GLVSRQtYHO D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GH FDGD VHFomR� L�H�

� ILFDP VHP XWLOL]DU DV � XQLGDGHV GLVSRQtYHLV GD VHFomR ��

� ILFDP VHP XWLOL]DU DV �� XQLGDGHV GLVSRQtYHLV GD VHFomR ��

� ILFDP VHP XWLOL]DU DV �� XQLGDGHV GLVSRQtYHLV GD VHFomR �

2EYLDPHQWH� R OXFUR WRWDO p QXOR�

QmR VH SURGX]� QmR VH JDVWD� QmR VH OXFUD�

16


� � � �


0XGDQoD GH %DVH� GH ;0XGDQoD GH %DVH� GH ;�� SDUD ; �� SDUD ;��

$ DFWLYLGDGH 3�p LQFOXtGD HP VXEVWLWXLomR GD DFWLYLGDGH 3

��

(VWD PXGDQoD HFRQRPLFDPHQWH VLJQLILFD�

� D SDVVDJHP GD VLWXDomR TXH FRQVLVWH HP QDGD SURGX]LU DXPD QRYD VLWXDomR HP TXH VH SURGX]HP � MDQHODV SRUPLQXWR�

� D DFWLYLGDGH SULQFLSDO PDLV OXFUDWLYD� 33� � p DFWLYDGD DRQtYHO Pi[LPR FRPSDWtYHO FRP DV UHVWULo}HV GHFDSDFLGDGH �θ

� �� DQXODQGR DVVLP R QtYHO GD

DFWLYLGDGH 3��HVJRWDQGR FRPSOHWDPHQWH D FDSDFLGDGH GH

SURGXomR GD VHFomR �� H LPSOLFDQGR DGDSWDo}HV DR QtYHOGH IXQFLRQDPHQWR GDV UHVWDQWHV DFWLYLGDGHV� 2 OXFUR WRWDOp GH �� H YHULILFD�VH TXH DLQGD SRGH DXPHQWDU�


� � � �


0XGDQoD GH %DVH� GH ;0XGDQoD GH %DVH� GH ;�� SDUD ; �� SDUD ;��

$ DFWLYLGDGH 3�p LQFOXtGD HP VXEVWLWXLomR GD DFWLYLGDGH 3

�� (VWD

PXGDQoD HFRQRPLFDPHQWH VLJQLILFD�

� D SDVVDJHP GD VLWXDomR TXH FRQVLVWH HP QmR SURGX]LU SRUWDV D

XPD QRYD VLWXDomR HP TXH VH SURGX]HP � SRUWDV SRU PLQXWR�

� D DFWLYLGDGH SULQFLSDO PDLV OXFUDWLYD� 3�� p DFWLYDGD DR QtYHO

Pi[LPR FRPSDWtYHO FRP DV UHVWULo}HV GH FDSDFLGDGH �θθ��

DQXODQGR DVVLP R QtYHO GD DFWLYLGDGH 33� �HVJRWDQGR

FRPSOHWDPHQWH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR �� H

LPSOLFDQGR DGDSWDo}HV DR QtYHO GH IXQFLRQDPHQWR GDV UHVWDQWHV

DFWLYLGDGHV� 2 OXFUR WRWDO p GH �� H YHULILFD�VH TXH Mi QmR p

SRVVtYHO DXPHQWDU PDLV�

17


� � � �


3ODQR ySWLPR GR ([HPSOR 3URWyWLSR�3ODQR ySWLPR GR ([HPSOR 3URWyWLSR�

2 SODQR ySWLPR GH SURGXomR� SRU PLQXWR� ;� ��

LQFOXL � DFWLYLGDGHV�

� SURGX]LU � SRUWDV SRU PLQXWR�

� SURGX]LU � MDQHODV SRU PLQXWR�

(VWH SODQR JDUDQWH XP OXFUR WRWDO GH �� (XURV SRU PLQXWR�

5HIHUHQWH DRV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV�

� ILFDP VHP XWLOL]DU � XQLGDGHV GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR ��

� ILFDP FRPSOHWDPHQWH HVJRWDGDV DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR

GDV VHFo}HV � H ��

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 0pWRGR 6LPSOH[

��7pFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDV

� 0pWRGR GDV SHQDOLGDGHV �³%LJ 0´��

� 0pWRGR GDV GXDV IDVHV�


� � � �


sujeito a

x1 ≤ 42 x2 ≤ 12

3 x1 + 2 x2 = 18

x1, x2 ≥0

6XSRQKD�VH TXH p PRGLILFDGR R H[HPSOR SURWyWLSR

UHTXHUHQGR DJRUD TXH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � VHMD XWLOL]DGD QR Pi[LPR GD VXD GLVSRQLELOLGDGH

�� XQLGDGHV��

Em vez de desigualdade,

tem-se uma igualdade

��

2


� � � �


sujeito a

x1 ≤ 42 x2 ≤ 12

3 x1 + 2 x2 = 18

x1, x2 ≥0

&RPR D UHVWULomR � GR SUREOHPD p XPD UHVWULomR GH

LJXDOGDGH� SDUD UHGX]LU R SUREOHPD QD IRUPD SDGUmR

DSHQDV p SUHFLVR DGLFLRQDU GXDV YDULiYHLV GH IROJDV [�� [

��

Maximizar Z = 3 x1 + 5 x2

sujeito a

x1 + = 42 x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 = 18

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

x3

0RGLILFDQGR R ([HPSOR 3URWyWLSR��0RGLILFDQGR R ([HPSOR 3URWyWLSR��


� � � �

QmR H[LVWH XPD YDULiYHO GH IROJD TXH SRVVD VHU XWLOL]DGD

FRPR YDULiYHO EiVLFD LQLFLDO SDUD D HTXDomR ��

UHVXOWD GLItFLO LGHQWLILFDU XPD 6%$ LQLFLDO�

D PDWUL] $$ TXH FRUUHVSRQGH DR VLVWHPD GH HTXDo}HV

QmR FRQWpP XPD VXEPDWUL] LGHQWLGDGH %%�

$JRUD Ki XP SUREOHPD�$JRUD Ki XP SUREOHPD�

D PDWUL] $ QmR FRQWpP XPD PDWUL] LGHQWLGDGH�D PDWUL] $ QmR FRQWpP XPD PDWUL] LGHQWLGDGH�

Uma variável pode ser tomada comobásica desde que tenha coeficiente 1

na equação em presença e

coeficientes nulosnas restantes


sujeito a

x1 + = 42 x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 = 18

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

x3


sujeito a

x1 + = 42 x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 = 18

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

x3

3


� � � �

2 TXH ID]HU VH QD IRUPD SDGUmR GH XP SUREOHPD GH 3/

QmR p SRVVtYHO LGHQWLILFDU XPD 6%$ LQLFLDO� L�H�� D

PDWUL] $ GDV UHVWULo}HV QmR FRQWpP XPD VXEPDWUL]

LGHQWLGDGH"

2 TXH ID]HU VH QD IRUPD SDGUmR GH XP SUREOHPD GH 3/

QmR p SRVVtYHO LGHQWLILFDU XPD 6%$ LQLFLDO� L�H�� D

PDWUL] $$ GDV UHVWULo}HV QmR FRQWpP XPD VXEPDWUL]

LGHQWLGDGH"

2 SURFHGLPHQWR XVXDO TXH p XWLOL]DGR QHVWHV FDVRV p D

WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV�

2 SURFHGLPHQWR XVXDO TXH p XWLOL]DGR QHVWHV FDVRV p D

WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV�

�� !� ��"�� !� ��"��

$ WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDV p XP SURFHGLPHQWR

LQWHJUDGR QR PpWRGR VLPSOH[ TXH SHUPLWH XOWUDSDVVDU

R GHVFRQKHFLPHQWR GH TXDOTXHU 6%$ LQLFLDO QXP

SUREOHPD GH 3/ QD IRUPD SDGUmR�

$ WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDV p XP SURFHGLPHQWR

LQWHJUDGR QR PpWRGR VLPSOH[ TXH SHUPLWH XOWUDSDVVDU

R GHVFRQKHFLPHQWR GH TXDOTXHU 6%$ LQLFLDO QXP

SUREOHPD GH 3/ QD IRUPD SDGUmR�


� � � �

(P TXH FRQVLVWH D WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV"(P TXH FRQVLVWH D WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV"

$ WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV FRQVLVWH HP

FRQVWUXLU XP SUREOHPD DX[LOLDU LQWURGX]LQGR XPD QRYD

YDULiYHO� FKDPDGD YDULiYHO DUWLILFLDO� HP FDGD XPD GDV

UHVWULo}HV RQGH QmR IRL SRVVtYHO DGLFLRQDU XPD

YDULiYHO GH IROJD� VHQGR HVWD WRPDGD FRPR YDULiYHO

EiVLFD SDUD HVVD HTXDomR� 'HVWD IRUPD ILFD JDUDQWLGD

D H[LVWrQFLD GH XPD YDULiYHO EiVLFD HP FDGD

HTXDomR H D SRVVLELOLGDGH GH LGHQWLILFDU XPD 6%$

LQLFLDO�

$ WpFQLFD GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV FRQVLVWH HP

FRQVWUXLU XP SUREOHPD DX[LOLDU LQWURGX]LQGR XPD QRYD

YDULiYHO� FKDPDGD YDULiYHO DUWLILFLDO� HP FDGD XPD GDV

UHVWULo}HV RQGH QmR IRL SRVVtYHO DGLFLRQDU XPD

YDULiYHO GH IROJD� VHQGR HVWD WRPDGD FRPR YDULiYHO

EiVLFD SDUD HVVD HTXDomR� 'HVWD IRUPD ILFD JDUDQWLGD

D H[LVWrQFLD GH XPD YDULiYHO EiVLFD HP FDGD

HTXDomR H D SRVVLELOLGDGH GH LGHQWLILFDU XPD 6%$

LQLFLDO�

�� !� ��"�� !� ��"��

4


� � � �

�� !� ��"�� #$%�� !�� !� ��"�� #$%�� !��

2 REMHFWLYR GHVWD WpFQLFD FRQVLVWH HP�

� FRQVHJXLU TXH� QR SUREOHPD DX[LOLDU� DV LWHUDo}HV GR

PpWRGR VLPSOH[ DXWRPDWLFDPHQWH IRUFHP D DQXODomR

GDV YDULiYHLV DUWLILFLDV� XPD SRU XPD� DWp TXH VHMDP

WRGDV HOLPLQDGDV� (VWH IDFWR VLJQLILFD TXH SRGH VHU REWLGD

XPD 6%$ SDUD R SUREOHPD RULJLQDO GH 3/�

As variáveis artificias não podem ser confundidas com as variáveis de folga, não têm qualquer

significado económico, são um mero artifício matemático.

As variáveis artificias não podem ser confundidas com as variáveis de folga, não têm qualquer

significado económico, são um mero artifício matemático.


� � � �

([LVWHP GRLV PpWRGRV DOWHUQDWLYRV TXH LPSOHPHQWDP

HVWD WpFQLFD� GHWHUPLQDQGR GXDV YDULDQWHV GR PpWRGR

VLPSOH[�

�� 2 PpWRGR GDV 'XDV )DVHV�

�'DQW]LQJ� 2UGHU� :ROIH � ��

�� 2 PpWRGR GDV 3HQDOLGDGHV �³ELJ�0´��

�&KDUQHV� &RRSHU� +HQGHUVRQ��

��&'�� &'�� !� ��"�� !� ��"��

5


� � � �

�� (�� ($ �$ �))�*��*��

1HVWH PpWRGR� DV YDULiYHLV DUWLILFLDV VmR ³IRUWHPHQWH´

SHQDOL]DGDV QD IXQomR REMHFWLYR GR SUREOHPD GH 3/ GH

PRGR D SURYRFDU ³UDSLGDPHQWH´ R VHX DQXODPHQWR�

$VVLP FRPR FRHILFLHQWHV GDV YDULiYHLV DUWLILFLDV QD I�R� p

LQWURGX]LGR XP SDUkPHWUR 0 �XPD FRQVWDQWH SRVLWLYD

DUELWUDULDPHQWH JUDQGH�


� � � �

��(��($ �$ �))�*��*�

&RQVLGHUH R SUREOHPD GH 3/ QD IRUPD SDGUmR�

�RV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV bj≥�� j=1,2,….,m

�QmR H[LVWH TXDOTXHU YDULiYHO TXH SRVVD VHU WRPDGD FRPR EiVLFD�

3DUD D DSOLFDomR GR PpWRGR GR�ELJ�0� SDVVD�VH DR VHJXLQWH SUREOHPD

DX[LOLDU�

xn+1, xn+2,…,xn+m - variáveis artificias,M - coeficiente de penalização atribuído a estas variáveis

Maximizar z = c1x1 +... + cnxn-Mxn+1 -... -Mxn+msujeito a

a11x1 + ….+ a1n xn+ xn+1 = b1

xj≥ 0, j=1,2,….,n,n+1,…,n+m

a21x1 + ….+ a2n xn + xn+2 = b2

am1x1+ …. + amn xn + xn+m= bm

.

.

.

6


� � � �

��(��($ �$ �))�*��*�

� 8PD 6%$ GR SUREOHPD DX[LOLDU p XPD 6%$ GR SUREOHPD

RULJLQDO VH DV YDULiYHLV DUWLILFLDV GD VROXomR VmR

QXODV�

� 6H D VROXomR ySWLPD GR SUREOHPD DX[LOLDU p XPD 6%$ GR

SUREOHPD RULJLQDO� HQWmR HVWD VROXomR WDPEpP p

ySWLPD SDUD R SUREOHPD RULJLQDO�

� 2 PpWRGR VLPSOH[� QD PHGLGD HP TXH SURFHGH j

PHOKRULD GD I�R�� WHQGHUi �QDWXUDOPHQWH� D HOLPLQDU GD

EDVH DV YDULiYHLV DUWLILFLDV� SRLV HVWmR SHQDOL]DGDV

FRP FRHILFLHQWHV DUELWUDULDPHQWH JUDQGHV�

� � 0 � QRV SUREOHPDV GH PD[LPL]DomR

� 0 � QRV SUREOHPDV GH PLQLPL]DomR


� � � �

&RPR KDELWXDOPHQWH QR PpWRGR VLPSOH[� SDUD GHWHUPLQDU D

YDULiYHO TXH HQWUD VHOHFFLRQDU DTXHOD FRP PDLRU FXVWR

UHGX]LGR HQWUH DV TXH WHQKDP R FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR�

Obviamente que os vectores candidatos a entrar na base devem ser

escolhidos apenas entre os vectores não artificias

(a penalidade M para as variáveis artificias impede a re-entrada destas)

��(��($ �$ �))�*��*�

&RPR KDELWXDOPHQWH QR PpWRGR VLPSOH[� SDUD GHWHUPLQDU D

YDULiYHO TXH VDL VHOHFFLRQDU jTXHOD TXH DWLQJH R PtQLPR

GRV TXRFLHQWHV�

7


� � � �

encontrou-se uma SBA inicial para o problema inicial (que ou

é degenerada ou se obtém eliminando restrições

redundantes)

�� $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV QD EDVH H WRGRV RV FXVWRV

UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV �TXDGUR ySWLPR��

�� $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV QD EDVH H WRGRV RV FXVWRV


�� 7RGRV RV YHFWRUHV DUWLILFLDLV IRUDP HOLPLQDGRV GD EDVH�� 7RGRV RV YHFWRUHV DUWLILFLDLV IRUDP HOLPLQDGRV GD EDVH�

2 DOJRULWPR2 DOJRULWPR 6LPSOH[6LPSOH[ SDUD R SUREOHPD DX[LOLDU FXOPLQDSDUD R SUREOHPD DX[LOLDU FXOPLQD

QXPD GDV VHJXLQWHV VLWXDo}HV�QXPD GDV VHJXLQWHV VLWXDo}HV�

Obteve-se uma SBA do problema original. A partir deste momento retoma-se o critério habitual do método simplex até se atingir uma solução óptima.

Neste caso existem duas alternativas:Neste caso existem duas alternativas:

a)a) Existe pelo menos uma variável artificial básica com valor estritamente positivo.

o conjunto K é vazio, oproblema é impossível.

b) Todas as variáveis artificias são nulas.b)b) Todas as variáveis artificias são nulas.


� � � �

D�D� H[LVWH SHOR PHQRV XPD YDULiYHO DUWLILFLDO EiVLFD FRP

YDORU HVWULWDPHQWH SRVLWLYR

R VLVWHPD GH UHVWULo}HV SDUD R SUREOHPD DX[LOLDU Vy

p VDWLVIHLWR FRP YDULiYHLV DUWLILFLDLV HVWULWDPHQWH

SRVLWLYDV�

R FRQMXQWR . p YD]LR� R SUREOHPD p LPSRVVtYHO�

DV UHVWULo}HV GR SUREOHPD RULJLQDO VmR

LQFRPSDWtYHLV�

�� $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDV QD EDVH H WRGRV RV FXVWRV




0pWRGR GR ³0pWRGR GR ³ELJELJ��0´� DLQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV��0´� DLQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV��

8


� � � �

E� 7RGDV DV YDULiYHLV DUWLILFLDV VmR QXODV�E�E� 7RGDV DV YDULiYHLV DUWLILFLDV VmR QXODV�

REWpP�VH XPD

6%$ LQLFLDO GHJHQHUDGD

SDUD R SUREOHPD RULJLQDO

([LVWH SHOR PHQRV XP

YHFWRU QmR DUWLILFLDO IRUD GD

EDVH TXH SRGH VXEVWLWXLU XP

YHFWRU DUWLILFLDO

SURFHGH�VH j VXD VXEVWLWXLomR

0pWRGR GR ³0pWRGR GR ³ELJELJ��0´� DLQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV��0´� DLQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDLV��

1mR H[LVWH QHQKXP YHFWRU

QmR DUWLILFLDO IRUD GD EDVH

TXH SRGH VXEVWLWXLU XP

YHFWRU DUWLILFLDO

H[LVWHP UHVWULo}HV UHGXQGDQWHV

HOLPLQDP�VH GR TXDGUR VLPSOH[

DV OLQKDV FRUUHVSRQGHQWHV jV

YDULiYHLV DUWLILFLDLV EiVLFDV H

REWpP�VH XPD 6%$ LQLFLDO SDUD

R SUREOHPD RULJLQDO






� � � �

��$ �$ � (�*��(�*��([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR�([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR�

P3 P4 P5

1 0 00 1 00 0 1

B0 =

P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1

A =


sujeito a

x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2 x2 = 18

x1, x2 ≥0


sujeito a

x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2 x2 = 18

x1, x2 ≥0

Maximizar z = 3x1 + 5x2 - M x5


x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

2 x2 + x4 = 12

3x1 + 2 x2 + x5 = 18

Este problema não contém uma submatriz identidade, pelo que é

adicionada uma variável artificial x5 . Passa-se a resolver este problema auxiliar

9


� � � �

Agora é possível identificar uma SBA inicial X0 =(0,0,4,12,18).

([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 6ROXomR *UiILFD�([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 6ROXomR *UiILFD�

'R SRQWR GH YLVWD JHRPpWULFR R HIHLWR GH SDVVDU D XP

SUREOHPD DX[LOLDU FRP YDULiYHLV DUWLILFLDV p HTXLYDOHQWH D

DXPHQWDU D UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH �

'R SRQWR GH YLVWD JHRPpWULFR R HIHLWR GH SDVVDU D XP

SUREOHPD DX[LOLDU FRP YDULiYHLV DUWLILFLDV p HTXLYDOHQWH D

DXPHQWDU D UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH �

3x1+2x2=18

x2=6

E=E=(4,0)A=A=(0,0)

B=B=(0,6)

x2=0

x1=0

D=D=(4,3)(4,3)

C=C=(2,6)

A região de admissibilidade do problema auxiliar (com a introdução

de uma variável artificial) é aumentada: de um segmento de recta no problema original passamos a toda

a região sombreada.

A região de admissibilidade para o

exemplo protótipo modificado é o

segmento de recta que une CD



x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

2 x2 + x4 = 12

3x1 + 2 x2 + x5 = 18



x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

2 x2 + x4 = 12

3x1 + 2 x2 + x5 = 18

variável artificial


� � � �

1 0 1 0 00 2 0 1 03 2 0 0 1

zzjj

ccjj--zzjj

bbx3x4x5

0 0

-M

3 5 0 0 Mcj


-

412 18

z0= 0 x 4 + 0 x 12 -M x 18 = -18 M

-3M

3+ 3M

X0 =(0,0,4,12,18) contêm a variável artificial x5 = 18X0 =(0,0,4,12,18) contêm a variável artificial x5 = 18([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR�([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 0pWRGR GR ³0pWRGR GR ³ELJELJ��0´�0´�

-18M

c1 - z1 =3 - (0 x 1 + 0 x 0 -M x 3)=3 + 3 M

c2 - z2 =5 - (0 x 0 + 0 x 2 -M x 2)=5 + 2 M

máximomáximo

mínimo mínimo

Calculando os custos reduzidos:

Para as variáveis básicas cj -zj =0

-2M

5+2MLinha 1 e 2: NÃO MUDAM

Calculando o novo quadro:

Linha3: linha anterior -(coeficiente coluna pivotal x nova linha pivotal)

3 2 0 0 1 18-(3) 1 0 1 0 0 4

0 2 -3 0 1 6

Linha3: linha anterior -(coeficiente coluna pivotal x novalinha pivotal)

3 2 0 0 1 18-(3) 1 0 1 0 0 4

0 2 -3 0 1 6

x1x4x5

3 0

-M

1 0 1 0 0 4

0 2 -3 0 1 6

0 2 0 0 121

0 0 -M

0 0 0

10


� � � �

z0= 3 x 4 + 0 x 12 - M x 6= 12 -6 M

-2M 3+3M

-3-3M

0 0 -M

0 0 0

0pWRGR0pWRGR %LJ%LJ ³0´��³0´��

12 -6 M

c2 - z2 =5 - (3 x 0 + 0 x 2 -M x 2)=5 + 2 M

c3 - z3 =0 - (3 x 1 + 0 x 0 -Mx -3)=-3 - 3 M

máximomáximo


X1 =(4,0,0,12,6) contêm a variável artificial x5 = 6X1 =(4,0,0,12,6) contêm a variável artificial x5 = 6

5+2M


1 0 1 0 00 2 0 1 00 2 -3 0 1

412 6

x1x4x5zzjj

3 0

-M

3 5 0 0 Mcj


ccjj--zzjj

-

1 0 1 0 0 4x1x4x2

3 0 5 0 1 -3/2 0 1/2 3

0 0 3 -1 61Linha 1: NÃO MUDA

Linha 3: dividir pelo pivot 2

Calculando o novo quadro:

$ QRYD VROXomR ;� �� QmR FRQWpP

YDULiYHLV DUWLILFLDLV�


0 2 0 1 0 12-(2) 0 1 -3/2 0 1/2 3

0 0 3 1 -1 6

Linha2: linha anterior -(coeficiente coluna pivotal x nova linha pivotal )

0 2 0 1 0 12-(2) 0 1 -3/2 0 1/2 3

0 0 3 1 -1 6


0 2 0 1 0 12-(2) 0 1 -3/2 0 1/2 3

0 0 3 1 -1 6


0 2 0 1 0 12-(2) 0 1 -3/2 0 1/2 3

0 0 3 1 -1 6


� � � �

x1x3x2

3 0 5

$ QRYD 6%$ p ;� ��$ QRYD 6%$ p ;� ��

Linha 2: linha pivotal dividir pelo pivot: 3

1 0 1 0 00 0 3 1 -10 1 -3/2 0 1/2

46 3

x1x4x2

3 0 5

3 5 0 0 Mcj


zzjjccjj--zzjj

bb

27273 5 -9/2 0 5/2

0 9/2 0 -M-5/20

-

1 0 0 -1/3 1/3 2 0 0 1 1/3 -1/3 20 1 0 1/2 0 6

([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 0pWRGR([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 0pWRGR %LJ%LJ ³0´��³0´��


1 0 1 0 0 4 -(1) 0 0 1 1/3 -1/3 2

1 0 0 -1/3 1/3 2


1 0 1 0 0 4 -(1) 0 0 1 1/3 -1/3 2

1 0 0 -1/3 1/3 2


0 1 -3/2 0 1/2 3 -(-3/2)0 0 1 1/3 -1/3 2

0 1 0 1/2 0 6


0 1 -3/2 0 1/2 3 -(-3/2)0 0 1 1/3 -1/3 2

0 1 0 1/2 0 6

$ 6%$ ;� �� p D 6%$ LQLFLDO SDUD R SUREOHPD RULJLQDO�$ 6%$ ;� �� p D 6%$ LQLFLDO SDUD R SUREOHPD RULJLQDO�

11


� � � �

bb1 0 0 -1/3 1/30 0 1 1/3 -1/30 1 0 1/2 0

226

x1x3x2

3 0 5

3 5 0 0 Mcj


-

zzjj

ccjj--zzjj

3/2

-3/2


([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 0pWRGR([HPSOR 3URWyWLSR 0RGLILFDGR� 0pWRGR %LJ%LJ ³0´��³0´��

36

c4- z4 =0 - (3x (-1/3) + 0 +5x(1/2))= 1 - 5/2 = -3/2

c5- z5 = -M - (3 x (1/3) + 0 + 0)=- M - 1

3 5 00 00

1

-M-1


X3 =(2,6,2,0,0) X3 =(2,6,2,0,0)

Nas colunas onde no quadro inicial se encontrava a matriz identidade, correspondentes às variáveis de folga xx33 e xx44 e à variável artificial xx55 ,

encontra-se a inversa da base B-1 correspondente à solução actual.

$ 6%$ ;� ��p ySWLPD�

$ 6%$ ;� ��p ySWLPD�

B-1


� � � �

��+,�-."�� /��+,�-."�� /��

Maximizar z= x1 + 2 x2 + x3sujeito a

x1 + x2 = 62x1 + 3 x2 + 3 x4 = 122x1 + x2 + x3 + x4 = 18

x1 , x2, , x3 , x4 ≥ 0

Maximizar z= x1 + 2 x2 + x3 -M x5 -M x6

sujeito a x1 + x2 + x5 = 6

2x1 + 3 x2 + 3 x4 + x6 = 12

2x1 + x2 + x3 + x4 = 18

x1 , x2, , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

xx5 5 , x, x66- variáveis artificiais

Este problema está na forma padrão e não contém uma submatriz identidade, mas existe um vector unitário, o vector

P3. Neste caso é preciso adicionar duas variáveis artificiais x5 e x6

P5 P6 P3

1 0 00 1 00 0 1

B0 =

P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 1 0 0 1 02 3 0 3 0 12 1 1 1 0 0

A =

12


� � � �

0 -1/2 0 -3/2 1 -1/2

1 3/2 0 3/2 0 1/2

0 -2 1 -2 0 -1

x5x1x3

-M

1

1

1 2 1 0 -M -Mcj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx44 xx55 xx66XXBBCCBB

ccjj --zzj j

bb

zzj j ccjj --zzjj

zzj j

0

6

6

1 –1/2-1/2M 1 –1/2+3/2M –M 1/2+1/2M

0 5/2-1/2M 0 1/2-3/2M 0 1/2-3/2M

0 1 0 3 -2 11 0 0 -3 3 -10 0 1 4 -4 1

x2x1x3

1212

1 2 1 7 0 0 0 0 0 -7 5-M 2-M

1212

([HPSOR �� 6%$ ,QLFLDO 'HJHQHUDGD�([HPSOR �� 6%$ ,QLFLDO 'HJHQHUDGD�Considere-se o seguinte quadro correspondente ao problema do

exemplo 2. A solução é óptima (todos os custos reduzidos são não

positivos), mas existe ainda uma variável artificial básica x5 nula.

Deve proceder-se à sua substituição por um vector não artificial.

Toma-se por exemplo xx2 2 para substituir xx5 5 (isto é possível porque

na intersecção da coluna correspondente a xx22 com a linha

correspondente a xx5 5 está um elemento não nulo)

21

1

0

6

6

$ 6%$ ; �� p GHJHQHUDGD H ySWLPD

Um vector artificial está em condições de ser substituído na base desde que na

intersecção da respectiva linha com as colunas associadas aos vectores não

artificiais exista pelo menos um elemento diferente de zero, tomando como pivot

qualquer deles.


� � � �

��/'��0��/'��0��

2 SUREOHPD GH 3/ p UHVROYLGR HP GXDV IDVHV�

�� )DVH� &RQVWUyL XP QRYR SUREOHPD DX[LOLDU FRP R REMHFWLYR GH

REWHU XPD 6%$ LQLFLDO SDUD R SUREOHPD RULJLQDO �VH LVWR p

SRVVtYHO��

�� )DVH� 7RPDQGR FRPR 6%$ LQLFLDO D VROXomR REWLGD QD �� )DVH�

DSOLFD R DOJRULWPR 6LPSOH[� SDUD GHWHUPLQDU D VROXomR

ySWLPD�

13


� � � �

��/'��0��/'��0��

Minimizar z' = xn+1+xn+2... + xn+msujeito a

a11x1 + ….+ a1n xn+ xn+1 = b1

xj≥ 0, j=1,2,….,n,n+1,…,n+m

a21x1 + ….+ a2n xn + xn+2 = b2

am1x1+ …. + amn xn + xn+m= bm

.

.

.

xn+1, xn+2,…,xn+m - variáveis artificias.

o objectivo consiste em minimizar a soma das

variáveis artificias

&RQVLGHUH R SUREOHPD GH 3/ QD IRUPD SDGUmR�

�RV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV bj≥�� j=1,2,….,m

�QmR H[LVWH TXDOTXHU YDULiYHO TXH SRVVD VHU WRPDGD FRPR EiVLFD�

3DUD D DSOLFDomR GR PpWRGR GDV GXDV IDVHV p SUHFLVR FRQVWUXLU R

VHJXLQWH SUREOHPD DX[LOLDU�


� � � �

��/'��0��/'��0��

� 4XDOTXHU 6%$ GR SUREOHPD DX[LOLDU p XPD 6%$ GR

SUREOHPD RULJLQDO VH DV YDULiYHLV DUWLILFLDLV GD VROXomR

VmR QXODV�

� 2EWpP�VH XPD 6%$ FRP DV YDULiYHLV DUWLILFLDLV LJXDLV D

]HUR VH H Vy VH R YDORU GD I�R� DUWLILFLDO p LJXDO D ]HUR

�] ��

� $ DSOLFDomR GR DOJRULWPR VLPSOH[ HOLPLQDUi GD EDVH RV

YHFWRUHV DUWLILFLDLV �FDVR R SUREOHPD QmR VHMD

LPSRVVtYHO�� SRLV DV YDULiYHLV LQLFLDLV �QmR DUWLILFLDLV� WrP

FRHILFLHQWHV QXORV QD I�R� TXH VH SUHWHQGH PLQLPL]DU�

14


� � � �

0pWRGR GDV 'XDV )DVHV��0pWRGR GDV 'XDV )DVHV��

1R ILP GD �� IDVH� HP TXH VH DWLQJLX D VROXomR ySWLPD GR SUREOHPD

DX[LOLDU� HVWi�VH SHUDQWH XPD GDV VHJXLQWHV VLWXDo}HV�

1º. 7RGRV RV YHFWRUHV DUWLILFLDLV IRUDP HOLPLQDGRV GD EDVH�z'=0��1º. 7RGRV RV YHFWRUHV DUWLILFLDLV IRUDP HOLPLQDGRV GD EDVH�z'=0��

Obteve-se uma SBA do problema original, pelo que a SBA obtida constituiuma SBA inicial para o problema original. Passa-se directamente à 2ª fase do método simplex.

2º. $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDV QD EDVH�2º. $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDV QD EDVH�

Existem duas alternativas:

z'>0: H[LVWH SHOR PHQRV XPD YDULiYHO DUWLILFLDOEiVLFD FRP YDORU HVWULWDPHQWH SRVLWLYR

R FRQMXQWR . p YD]LR� R

SUREOHPD p LPSRVVtYHO�

z'=0: WRGDV DV YDULiYHLV DUWLILFLDV VmR QXODV�2EWpP�VH RX XPD 6%$

LQLFLDO GHJHQHUDGD RX

XPD UHVWULomR UHGXQGDQWH


� � � �

��/'��0��/'��0��

REWpP�VH XPD

6%$ LQLFLDO GHJHQHUDGD

SDUD R SUREOHPD RULJLQDO

([LVWH SHOR PHQRV XP YHFWRU



YHFWRU DUWLILFLDO

SURFHGH�VH j VXD VXEVWLWXLomR H[LVWHP UHVWULo}HV UHGXQGDQWHV

HOLPLQDP�VH GR TXDGUR VLPSOH[ DV

OLQKDV FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV

DUWLILFLDLV EiVLFDV H REWpP�VH XPD

6%$ LQLFLDO SDUD R SUREOHPD RULJLQDO

2º. $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDV QD EDVH H z'=02º. $LQGD VXEVLVWHP YHFWRUHV DUWLILFLDV QD EDVH H z'=0

1mR H[LVWH QHQKXP YHFWRU



YHFWRU DUWLILFLDO

15


� � � �

��'��'��

Minimizar z= 4x1 + 12 x2 + 18 x3sujeito a

x1 + 3 x3 ≥ 32x2 + 2 x3 ≥ 5

x1 , x2 ,, x3 ≥ 0


x1 + 3 x3 - x4 = 32x2 + 2 x3 - x5 = 5

x1 , x2, , x3 , x4 , x5 ≥ 0


x1 + 3 x3 - x4 = 32x2 + 2 x3 - x5 + x6 = 5

x1 , x2, , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0x6- variável artificial

Redução à forma padrão: introduzem-se duas

variáveis de folga x4 , x5

Como não é possível identificar uma matriz identidade introduz-se uma

variável artificial x6 na restrição nº 2 (para a equação nº1 a variável x1

pode ser tomada como variável básica inicial).

P1 P6

1 00 1

B0 =P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 0 3 -1 0 00 2 2 0 –1 1

A =


� � � �

$ 6%$ LQLFLDO SDUD D�� IDVH p

;� ��


;� ��

1 0 3 -1 0 0

0 2 2 0 -1 1

35

x1

x6

0

1

0 0 0 0 0 1

550 2 2 0 -1 10 2 2 0 -1 0

0

0

x1

x2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

cj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55 xx66XXBBCCBB

zzjj

zzjj --ccjj

bb

zzj j

zzjj --ccjj

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

00

Minimizar z'= x6sujeito a

x1 + 3 x3 - x4 = 32x2 + 2 x3 - x5 + x6 = 5

x1, x2,, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

x6- variável artificial

��/'��0��,�12�0��/'��0��,�12�0��

1D �� IDVH DSOLFD�VH R PpWRGR VLPSOH[ DR SUREOHPD DX[LOLDU SDUD

GHWHUPLQDU XPD 6%$ LQLFLDO SDUD D �� )DVH�

16


� � � �

$ VROXomR ySWLPD p

; ��

$ VROXomR ySWLPD p

; ��


x1 + 3 x3 - x4 = 32x2 + 2 x3 - x5 + x6 = 5

x1, x2,, x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

x6- variável artificial

��/'��0��,�+2�0��/'��0��,�+2�0��

1D �� IDVH DSOLFD�VH R PpWRGR VLPSOH[ DR SUREOHPD RULJLQDO

SDUD GHWHUPLQDU D VROXomR ySWLPD �VH H[LVWH��

x1

x2

4

12

4242

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzj j

zzjj --ccjj

bbcj

XXBBCCBBxx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55 xx66

4 12 18 0 0 0

4 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18

12

x3

x2

zzj j

zzjj --ccjj

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6 6

3636

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2


� � � �

x1

x2

4

12

4 12 18 0 0 0

42424 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18

12

x3

x2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzj j

zzjj --ccj j

bbcj

XXBBCCBBxx11 xx2 2 xx33 xx4 4 xx55 xx66

zzj j

zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6 6

3636

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

x1

x2

4

12

4 12 18 0 0 0

42424 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18

12

x3

x2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzj j

zzjj --ccj j

bbcj


zzj j

zzjj --ccj j

bbcj


zzj j

zzjj --ccj j

bbcj


zzjj --ccj j

bbbbcj


cj


zzj j

zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6 6

3636

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

0pWRGR GDV GXDV IDVHV� ([HPSOR ��0pWRGR GDV GXDV IDVHV� ([HPSOR ��

$ LQYHUVD GD EDVH HQFRQWUD�VH

QD FROXQDV FRUUHVSRQGHQWHV j

YDULiYHO x1 H j YDULiYHO DUWLILFLDO

xx66

P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 0 3 -1 0 00 2 2 0 –1 1

A =

P3 P2

3 02 2

B = 1/3 0-1/3 1/2

B-1 =

P1 P6

1 00 1

B0 =

A base que corresponde à solução óptima X*=(0,3/2,1,0,0)

17


� � � �

$ WpFQLFD GH YDULiYHLV DUWLILFLDLV�

FRPR SDUWH LQWHJUDQWH GR PpWRGR VLPSOH[�

FRQVWLWXL XPD WpFQLFD PDWHPiWLFD

VXILFLHQWHPHQWH JHUDO TXH SHUPLWH UHVROYHU

TXDOTXHU WLSR GH SUREOHPD GH 3/�

LQGHSHQGHQWHPHQWH GD QDWXUH]D GDV UHVWULo}HV

GR SUREOHPD� GHWHFWDQGR DLQGD� VH HVVH IRU R

FDVR� D H[LVWrQFLD GH UHVWULo}HV UHGXQGDQWHV H D

LQH[LVWrQFLD GH VROXo}HV DGPLVVtYHLV�

3��'�4��3��'�4��

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 'XDOLGDGH�

�� 'HILQLomR GR 3UREOHPD 'XDO�


� � � �

2 TXH p GXDOLGDGH HP 3URJUDPDomR /LQHDU"2 TXH p GXDOLGDGH HP 3URJUDPDomR /LQHDU"

'XDOLGDGH VLJQLILFD D H[LVWrQFLD GH XP RXWURSUREOHPD GH 3/� DVVRFLDGR D FDGD SUREOHPD GH3/�

(VVH RXWUR SUREOHPD GHVLJQD�VH SRU

SUREOHPD GXDO �'��

1HVWD UHODomR FRP R SUREOHPD GXDO R SUREOHPD

RULJLQDO GHVLJQD�VH SRU

SUREOHPD SULPDO �3��

'XDOLGDGH VLJQLILFD D H[LVWrQFLD GH XP RXWURSUREOHPD GH 3/� DVVRFLDGR D FDGD SUREOHPD GH3/�

(VVH RXWUR SUREOHPD GHVLJQD�VH SRU

SUREOHPD GXDO �'��

1HVWD UHODomR FRP R SUREOHPD GXDO R SUREOHPD

RULJLQDO GHVLJQD�VH SRU

SUREOHPD SULPDO �3��

��

2


� � � �

2V SUREOHPDV SULPDO �3� H GXDO �'� VmR FRQKHFLGRV SRU

SDU GH SUREOHPDV GXDLV �3��'�

2V SUREOHPDV SULPDO �3� H GXDO �'� VmR FRQKHFLGRV SRU

SDU GH SUREOHPDV GXDLV �3��'�

��

� �3��'� VmR VXSRUWDGRV SHOR PHVPR VLVWHPD GHSDUkPHWURV�

� D UHVROXomR GH XP GHOHV FRQVWLWXL D UHVROXomR VLPXOWkQHDGR RXWUR�

� D VROXomR GH XP� HVWi FRPSOHWDPHQWH GHWHUPLQDGD SHODVROXomR GR RXWUR�

2 SDU GH SUREOHPDV GXDLV �3�� '� QmR p PDLV GR TXHXP SDU GH UHSUHVHQWDo}HV PDWHPiWLFDV

GR PHVPR SUREOHPD UHDO�


� � � �

uma restrição uma restrição

uma variáveluma variável

matriz A matriz A A

uma variáveluma variável

uma restriçãouma restrição

matriz A transpostamatriz A transpostaA transposta

1ª1ª

2ª2ª

3ª3ª

um coeficiente da f.oum coeficiente da f.o um termo independenteum termo independente4ª4ª

um termo independenteum termo independente um coeficiente da f.o.um coeficiente da f.o.5ª5ª

��

XP SUREOHPDXP SUREOHPD R RXWUR SUREOHPDR RXWUR SUREOHPD

3


� � � �

um problema de maximização com restrições de

desigualdade do tipo (≤)

um problema de maximização com restrições de

desigualdade do tipo (≤)

um problema de minimização com restrições de desigualdade do tipo (≥)




um problema de maximização com restrições de desigualdade do tipo (≤)

um problema de maximização com restrições de desigualdade do tipo (≤)

6ª6ª

7ª7ª

��

XP SUREOHPDXP SUREOHPD R RXWUR SUREOHPDR RXWUR SUREOHPD


� � � �

��

3UREOHPD3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO

Maximizar

sujeito a

i=1,...,M, j=1,...,N

∑=

≤N

jijij bxa

1∑

=

≤N

jijij bxa

1

∑=

=N

jjj xcz

1∑

==

N

jjj xcz

1

0≥jx 0≥jx

3UREOHPD3UREOHPD 'XDO'XDO

∑=

=M

iii ybw

1∑

==

M

iii ybw

1

∑=

≥M

ijiij cya

1∑

=≥

M

ijiij cya

1

0≥iy 0≥iy

sujeito a

Minimizar

i=1,...,M, j=1,...,N

4


� � � �

2 GXDO GR SUREOHPD GXDO p

R SUREOHPD SULPDO�

$ UHODomR HQWUH RV GRLV SUREOHPDV

p UHFtSURFD�

6H XP GRV SUREOHPDV

LQGLVWLQWDPHQWH IRL GHVLJQDGR

SULPDO�HQWmR R RXWUR p GHVLJQDGR

GXDO�

��


� � � �

(D): (D): w = b1y1+b2y2+…+bmym

y1≥≥00y2≥≥00

.

.

.

ym≥≥00

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n...

am1 am2 … amn

≤≤ b1≤≤ b2

.

.

.

≤≤ bm

c1 c2 … cn

xx11≥≥0 0 xx22≥≥0 0 …. xxnn≥≥00

MaxMax zz

(P): (P): ai1x1+ai2x2+…ainxn ≤ bi

Problema dualProblema dual

Problema Problema primalprimal

(P): (P): z =c1x1+c2x2+…cnxn

Min wMin w

≥≥ ≥≥ ≥≥

(D): (D): a1jy1+a2jy2+…amjym≥≥ cj

ccjj-- coeficientes da f.o do (P)(P)

ccjj-- termos independentes

do (D)(D)

bbii -- coeficientes da f.o. do (D)(D)

bbii -- termosindependentes

do (P)(P)

� �� !��"��!��"�� ##��

5


� � � �

(D)(D)--w = 4 y1 + 12y2+ 18 y3

y1≥≥00y2≥≥00y3≥≥00

1 0 0 23 2

≤≤ 4≤≤ 12 ≤≤ 18

3 5

xx11≥≥0 0 xx22≥≥0 0

MaxMax zz

(P)(P)-- 1ª rest.: : x1 ≤ 4

Problema dualProblema dual


(P): (P): z =3x1+5x2

Min wMin w

≥≥ ≥≥

(D)(D)--1ª rest.: : y1 + 3 y3 ≥≥ 3

(D)(D) -2ª rest.:: 2 y2+ 2 y3 ≥≥ 5

(D)(D)-- 3 3 variáveis:yy1 1 , , yy22, , yy33

(P)(P)-- 2ª rest.: : 2x2 ≤ 12

(P)(P)-- 3ª rest.: : 3x1+ 2x1 ≤ 18

(P)(P)-- 2 2 variáveis:xx1 1 , , xx22

� �� !��"��!��"�� $%�� $%��


� � � �

Maximizar z= 3 x1 + 5 x2

sujeito a

x1 ≤ 42 x2 ≤ 12

3x1 + 2 x2 ≤ 18

x1, x2 ≥0

Minimizar w= 4y1 + 12y2 + 18y3

sujeito a

y1 + 3y3 ≥ 32y2 +2 y3 ≥ 5

y1, y2, y3 ≥ 0

$%�� &�� $%�� &��

3UREOHPD3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO 3UREOHPD 'XDO3UREOHPD 'XDO

6


� � � �

&RPR GHWHUPLQDU D VROXomR GR SUREOHPD GXDO

SDUD R H[HPSOR SURWyWLSR"

&RPR GHWHUPLQDU D VROXomR GR SUREOHPD GXDO

SDUD R H[HPSOR SURWyWLSR"

$ VROXomR SDUD R SUREOHPD GXDO GR H[HPSOR

SURWyWLSR IRL Mi GHWHUPLQDGD H SRGH VHU HQFRQWUDGD

QR TXDGUR ySWLPR GR SUREOHPD SULPDO QD OLQKD GRV

zj FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV GH IROJDV x3, x4, x5 �

RQGH LQLFLDOPHQWH VH HQFRQWUDYD D EDVH LQLFLDO�

$ VROXomR SDUD R SUREOHPD GXDO GR H[HPSOR

SURWyWLSR IRL Mi GHWHUPLQDGD H SRGH VHU HQFRQWUDGD

QR TXDGUR ySWLPR GR SUREOHPD SULPDO QD OLQKD GRV

zj FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV GH IROJDV x3, x4, x5 �

RQGH LQLFLDOPHQWH VH HQFRQWUDYD D EDVH LQLFLDO�

'��$%�� '��$%��


� � � �

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 001

213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1

4XDGUR ySWLPR GR SUREOHPD SULPDO

a solução óptima para o problema

dual é:yy1 1 = 0 , = 0 ,

yy2 2 = 3/2,= 3/2,yy3 3 =1=1

colunas correspondentes à

inversa da base associada à

solução óptima

'��$%�� '��$%��

as variáveis de folga do dual têm valor simétrico ao valor dos custos

reduzidos correspondentes às colunas das variáveis de decisão

yy4 4 = 0 , = 0 , yy5 5 = 0= 0

7


� � � �

&RQVLGHUH XP SUREOHPD GH PD[LPL]DomR FRQWHQGR

UHVWULo}HV GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR �≥��

6H XPD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH IRU GR WLSR RSRVWR DR GD

UHVSHFWLYD IRUPD FDQyQLFD� HQWmR D FRUUHVSRQGHQWH YDULiYHO

GXDO p QmR SRVLWLYD�

6H XPD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH IRU GR WLSR RSRVWR DR GD

UHVSHFWLYD IRUPD FDQyQLFD� HQWmR D FRUUHVSRQGHQWH YDULiYHO

GXDO p QmR SRVLWLYD�

Prova:

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=∑ ≥

jijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

∑=

=N

jjj xcz

1

maximizar

sujeito a:

∑ −≤−j

ijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

As restrições de desigualdades do tipo (≥) podem ser sempre convertidas em restrições do tipo (≤) multiplicando por (-1) ambos os membros.

&DVR �� 8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR��&DVR �� 8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR��


� � � �

0'

22≤−=

iyyi

Designando por yyi1 i1 e yy’’i2i2

as variáveis duais correspondentes às restrições de desigualdade tem-se o problema dual:

♦

minimizar

sujeito a:

∑∑ −=i

iii

iyi ybbw '

2211

∑ ∑ ≥−i i

jijiiji cyaya '

2211

pi ,...,2,11 = Mppi ,...,2,12 ++=

Nj ,.........2,1=

0, '

21≥

iyyi

minimizar

sujeito a: ∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

02

≤iy

Nj ,.........2,1=

a cada restrição de desigualdade do tipo oposto corresponde

uma variável dual não positiva

&DVR ��&DVR �� 8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR��8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR��

8


� � � �

Minimizar

sujeito a

∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

02

≤iy

Nj ,.........2,1=

Maximizar

sujeito a

∑=

=N

jjj xcz

1

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=

∑ ≥j

ijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

(��)&�(��)&�8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR�8PD UHVWULomR GH GHVLJXDOGDGH GR WLSR RSRVWR�

3UREOHPD 3ULPDO 3UREOHPD 'XDO3UREOHPD 'XDO


� � � �

Maximizar w= 5y1 + 18 y2 + 12 y3+ 22 y4

sujeito a

y1 + 2 y3 + 4 y4 ≤ 5y2 + y3 + y4 ≤ 1

y1 + 2y2 + y4 ≤ 3

y1, y2, y3 ≥ 0, y4 ≤ 0

(��)&�$%��(��)&�$%��

Minimizar z= 5 x1 + x2 + 3 x3

sujeito a

x1 + x3 ≥ 5x2 + 2 x3 ≥ 18

2x1 + x2 ≥ 124 x1 + x2 + x3 ≤ 22

x1, x2, x3 ≥ 0

Como esta restrição é de tipo oposto corresponde-lhe uma variável dual não positiva

3UREOHPD 3ULPDO 3UREOHPD 'XDO

9


� � � �

3RGH VHU GHPRQVWUDGR D SDUWLU GR IDFWR GH TXH TXDOTXHU

UHVWULomR GH LJXDOGDGH SRGH VHU FRQYHUWLGD HP GXDV

UHVWULo}HV GH GHVLJXDOGDGH GH XP PHVPR WLSR�

3URYDU��

6H XPD UHVWULomR IRU GH LJXDOGDGH�

HQWmR D FRUUHVSRQGHQWH YDULiYHO GXDO p OLYUH�

6H XPD UHVWULomR IRU GH LJXDOGDGH�

HQWmR D FRUUHVSRQGHQWH YDULiYHO GXDO p OLYUH�

&DVR �� 8PD UHVWULomR GH LJXDOGDGH�&DVR �� 8PD UHVWULomR GH LJXDOGDGH�

♦


� � � �

Maximizar

sujeito a

∑=

=N

jjj xcz

1

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=

Mppi ,...,2,12 ++=∑ =j

ijji bxa22

Minimizar

sujeito a

∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

Nj ,.........2,1=livresyi2

&DVR �� 8PD UHVWULomR GH LJXDOGDGH�&DVR �� 8PD UHVWULomR GH LJXDOGDGH�

3UREOHPD 3ULPDO 3UREOHPD 'XDO

10


� � � �

XPD UHVWULomR iXPD UHVWULomR ii

≤≤≤

XPD YDULiYHO iXPD YDULiYHO i

≥ 0≥≥ 00

≥≥≥ ≤ 0≤≤ 00

=== livrelivrelivre

�� ##��3UREOHPD3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO

0D[LPL]DomR0D[LPL]DomR

3UREOHPD GXDO3UREOHPD GXDO

0LQLPL]DomR0LQLPL]DomR

XPD YDULiYHO jXPD YDULiYHO jj

≥ 0≥≥ 00

XPD UHVWULomR jXPD UHVWULomR j

≥≥≥

≤ 0≤≤ 00 ≤≤≤

livrelivrelivre ===

Restrição de tipo oposto



� � � �

XPD UHVWULomR iXPD UHVWULomR ii

≥≥≥XPD YDULiYHO iXPD YDULiYHO i

≥ 0≥≥ 00

≤≤≤ ≤ 0≤≤ 00

=== livrelivrelivre

�� ##��3UREOHPD3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO��

0LQLPL]DomR0LQLPL]DomR

3UREOHPD GXDO�3UREOHPD GXDO�

0D[LPL]DomR0D[LPL]DomR

XPD YDULiYHO jXPD YDULiYHO jj

≥ 0≥≥ 00

XPD UHVWULomR jXPD UHVWULomR j

≤≤≤

≤ 0≤≤ 00 ≥≥≥

livrelivrelivre ===



11


� � � �

Maximizar z= 5 x1 + 12 x2 +4 x3

x1 + 2 x2 + x3 ≤ 102 x1 - x2 + 3 x3 == 8

x1 , x2 , x3 ≥0

sujeito a:

Primal : 2 restrições,3 variáveis

⇔ Dual : 2 variáveis,3 restrições



Primal : x1 , x2 , x3 ≥ 0

⇔ Dual : 3 restrições de tipo ≥

Primal : xx1 1 ,, xx2 2 , x, x3 3 ≥ 0

⇔ Dual : 3 restrições de tipo ≥≥

Primal : restrição nº 1 tipo ≤⇔ Dual : y1 ≥ 0

Primal : restrição nº 1 tipo ≤≤⇔ Dual : yy1 1 ≥ 0

Minimizar w= 10 y1 + 8 y2

, yy2 2 livre

sujeito a:

y1 +3 y2 ≥≥ 4

y1 + 2y2 ≥≥ 5 2 y1 - y2 ≥≥ 12

yy1 1 ≥0

*��$%��)�*��$%��)�

Primal : restrição nº 2 tipo =

⇔ Dual : y2 livre

Primal : restrição nº 2 tipo = =

⇔ Dual : yy22 livre

3ULPDO

'XDO

restrições duais:

variáveis duais:


� � � �

Maximizar w= -20 y1 + 8y2+ 100 y3

x1 - x2 + 5 x3 + x5 ≥ 8

Minimizar z= x1 + 6 x2 -7 x3+ x4 - 5 x5

-5 x1 + 4 x2 - 13 x3 + 2 x4 - 5 x5 == - 20

2 x1 - x3 + x4 ≤≤ 100 x1 , x2 ≥0 , x3 livre, x4 ≥0, x5 ≤ 0

sujeito a:





, yy22 ≥0

sujeito a:

-13 y1 +5 y2 - y3 == -7

-5 y1 + y2 + 2 y3 ≤ 1 4 y1 - y2 ≤ 6

2 y1 + y3 ≤ 1 -5 y1 + y2 ≥≥ - 5

(P) : x1 , x2 , x4 ≥0

⇔ (D) :rest. 1, 2, 4 tipo≤(P) : xx1 1 ,, xx2 2 , x, x44 ≥0

⇔ (D) :rest. 1, 2, 4 tipo≤(P) : x3 livre

⇔ (D) :rest. 3 tipo =

(P) : x3 livre⇔ (D) :rest. 3 tipo ==

(P) : x5 ≤0⇔ (D) :rest. 5 tipo ≥

(P) : xx5 5 ≤0⇔ (D) :rest. 5 tipo ≥≥

(P) : :rest. 1 tipo =⇔ (D) : y1 livre

(P) : :rest. 1 tipo ==⇔ (D) : yy11 livre

(P) : :rest. 2 tipo ≥⇔ (D) : y2 ≥0

(P) : :rest. 2 tipo ≥≥⇔ (D) : yy22 ≥0

(P) : :rest. 3 tipo ≤⇔ (D) : y3 ≤ 0

(P) : :rest. 3 tipo ≤≤⇔ (D) : yy33 ≤ 0 yy1 1 livre , yy33 ≤ 0

)RUPXODomR GR SUREOHPD GXDO� ([HPSOR ��)RUPXODomR GR SUREOHPD GXDO� ([HPSOR ��3ULPDO

'XDO

restrições duais:

variáveis duais:

12


� � � �

Minimizar w= 5 y1 + 3y2+ 8 y3

- x1 + 5 x2 ≥ 3

Maximizar z= 5x1 + 6 x2

x1 + 2 x2 == 5

4 x1 + 7 x2 ≤≤ 8

x1 livre , x2 ≥0

sujeito a:





, yy22 ≤ 0

sujeito a: y1 - y2 + 4 y3 = 5 2 y1 +5 y2 + 7 y3 ≥ 6

(P) : x2 ≥0⇔ (D) :rest. 2 tipo ≥

(P) : xx22 ≥0⇔ (D) :rest. 2 tipo ≥≥

(P) : x1 livre⇔ (D) :rest 1 tipo =

(P) : x1 livre⇔ (D) :rest 1 tipo ==

(P) : :rest. 1 tipo =⇔ (D) : y1 livre

(P) : :rest. 1 tipo ==⇔ (D) : yy11 livre

(P) : :rest. 2 tipo ≥⇔ (D) : y2 ≤ 0

(P) : :rest. 2 tipo ≥≥⇔ (D) : yy22 ≤ 0

(P) : :rest. 3 tipo ≤⇔ (D) : y3 ≥0

(P) : :rest. 3 tipo ≤≤⇔ (D) : yy33 ≥0 yy1 1 livre , yy33 ≥0

)RUPXODomR GR SUREOHPD GXDO� ([HPSOR ��)RUPXODomR GR SUREOHPD GXDO� ([HPSOR ��

3ULPDO

'XDO

restrições duais:

variáveis duais:


� � � �

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥0≥Y

�� +��,�� +��,�� *��(�� *��(��

Minimizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≥0≥X

Maximizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≤0≥Y



13


� � � �

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY

�� +��,�� +��,�� *��*��

Minimizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Maximizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≤livreY




� � � �

2 HVWXGR GD GXDOLGDGH HP 3URJUDPDomR /LQHDU

FRQVLGHUD XP SUREOHPD �R TXDO p JHUDOPHQWH

GHVLJQDGR SRU SUREOHPD GXDO� GLVWLQWR GDTXHOH

TXH VH SUHWHQGH UHVROYHU �SUREOHPD SULPDO��

PDV FXMD DERUGDJHP SHUPLWH REWHU DOJXPDV

FRQFOXV}HV GLUHFWDPHQWH UHODFLRQDGDV FRP R

SUREOHPD RULJLQDO �SUREOHPD SULPDO��

QRPHDGDPHQWH UHIHUHQWH jV FRQGLo}HV GH

RSWLPDOLGDGH�

2 HVWXGR GD GXDOLGDGH HP 3URJUDPDomR /LQHDU

FRQVLGHUD XP SUREOHPD �R TXDO p JHUDOPHQWH

GHVLJQDGR SRU SUREOHPD GXDO� GLVWLQWR GDTXHOH

TXH VH SUHWHQGH UHVROYHU �SUREOHPD SULPDO��

PDV FXMD DERUGDJHP SHUPLWH REWHU DOJXPDV

FRQFOXV}HV GLUHFWDPHQWH UHODFLRQDGDV FRP R

SUREOHPD RULJLQDO �SUREOHPD SULPDO��

QRPHDGDPHQWH UHIHUHQWH jV FRQGLo}HV GH

RSWLPDOLGDGH�

�� (�� (��

1


� � � �

��


�� 3URSULHGDGHV�

� 3URSULHGDGHV )XQGDPHQWDLV�

� 3URSULHGDGH GRV 'HVYLRV &RPSOHPHQWDUHV�

�FRPSOHPHQWDULGDGH GDV VODFNV�


� � � �

��

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥0≥Y


Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY


2


� � � �

3URYD�

&RQVLGHUH R DQWHULRU SDU GH SUREOHPDV GXDLV �3��'� QD IRUPD FDQyQLFD�

6H ; p DGPLVVtYHO SDUD �3� H < p DGPLVVtYHO SDUD �'� HQWmR�

z z = = cct t XX ≤≤ bbtt Y Y = w= w�L�H�� R YDORU GD IXQomR REMHFWLYR GH TXDOTXHU

VROXomR DGPLVVtYHO GR SUREOHPD SULPDO� QmR H[FHGH R YDORU GD

IXQomR REMHFWLYR GR SUREOHPD GXDO�

wYbAXYYAXXcz ttttt =≤=≤=

bAX ≤0≥Y

wYbbYAXY ttt ==≤

cYAt ≥0≥X zXccXYAX tttt ==≥

((aa))

((bb))

de b e aa

FRPR ; H < VmR VROXo}HV DGPLVVtYHLV SDUD RV UHVSHFWLYRV

SUREOHPDV SULPDO�GXDO HQWmR�

multiplicação de matrizes e vectores.wYbXcz tt =≤= ♦

7HRUHPD �� IUDFR GH GXDOLGDGH�7HRUHPD �� IUDFR GH GXDOLGDGH�

multiplicando por Yt

ambos membros

multiplicando por Xt

ambos membros

X é SBAPY é SBAD

Y é SBADX é SBAP


� � � �

3URYD�pelo teorema 5.1 qualquer

solução admissível X do primal

por hipótese

de (a) e (b)de (a) e (b)

; p D VROXomR ySWLPD GR SULPDO

♦

6H ; p DGPLVVtYHO SDUD �3� H < p DGPLVVtYHO SDUD �'� H RV

YDORUHV ySWLPRV GDV UHVSHFWLYDV IXQo}HV REMHFWLYR FRLQFLGHP� L�H��

z z = = cct t XX == bbtt YY** = w= w** � HQWmR ; p D VROXomR ySWLPD GR SULPDO H

< p D VROXomR ySWLPD GR GXDO

*YbXc tt ≤

** YbXc tt =*XcXc tt ≤De igual forma, pode ser

demonstrado que Y* é a solução óptima do dual

De igual forma, pode ser demonstrado que Y* é a solução óptima do dual

&RUROiULR �� FRUROiULR GR WHRUHPD IUDFR GH GXDOLGDGH�&RUROiULR �� FRUROiULR GR WHRUHPD IUDFR GH GXDOLGDGH�

((aa))

((bb))

3


� � � �

3URYD3URYD��&RQVLGHUH R SUREOHPD SULPDO GH PD[LPL]DomR QD IRUPD SDGUmR H

VHMD $ D PDWUL] GDV UHVWULo}HV�

X*é solução óptima do primal

6H R SULPDO WHP VROXomR ySWLPD �L�H� WHP ySWLPR ILQLWR� HQWmR R

UHVSHFWLYR GXDO WDPEpP WHP H RV FRUUHVSRQGHQWHV YDORUHV ySWLPRV

] H Z FRLQFLGHP�

=

=

−

0*

1

*

* bB

X

XX

N

B

njPBcczc jtBjjj ,...2,1,01 =∀≤−=− −

7HRUHPD ��UHODo}HV HQWUH DV VROXo}HV ySWLPDV7HRUHPD ��UHODo}HV HQWUH DV VROXo}HV ySWLPDV SULPDOSULPDO H GXDO��H GXDO��

Faça-se Y* = ( y1 , y2 , ..., ym )

njjj PYc ,...,2,1* ,0 =∀≤− cYAt ≥*

Y* é uma SBA do problema dual

p D VROXomR ySWLPD SDUD R SUREOHPD GXDO1* −= BcY t

B ♦***** 1* wYbbYbBcXcXcz tt

BBtB

t ====== − t

Minimizar w= ytbs. a

AtY ≥ cY livres

pelo critério de optimalidade para a solução primal, todos os custos

reduzidos são não negativos


� � � �

3URYD � ��

�� 8P SUREOHPD GH 3/ WHP ySWLPR ILQLWR VH H Vy H[LVWLUHP VROXo}HV

DGPLVVtYHLV SDUD RV SUREOHPDV SULPDO�GXDO�

�� 6H DOJXP GRV SUREOHPDV QmR WHP ySWLPR ILQLWR� HQWmR R RXWUR

QmR SRVVXL VROXo}HV DGPLVVtYHLV� L�H�� p LPSRVVtYHO�

VH ; p DGPLVVtYHO SDUD �3�

♦

wYbXcz tt =≤=

wYbXcz tt =≤= **

VH < p DGPLVVtYHO SDUD �'�

pelo Teoremafraco de dualidade

D VROXomR ySWLPD ; WDPEpP YHULILFD�

Z p ILQLWR ] p ILQLWR

R SULPDO WHP ySWLPR ILQLWR R GXDO WHP ySWLPR ILQLWR

R YDORU GD I� R� z = ctX

R YDORU GD I�R� Z= btY

7HRUHPD )XQGDPHQWDO GD 'XDOLGDGH�7HRUHPD )XQGDPHQWDO GD 'XDOLGDGH�

pelo Teorema 5.2

4


� � � �

DQDORJDPHQWH p SRVVtYHO GHPRQVWUDU TXH VH R GXDO QmR WHP ySWLPR

ILQLWR� HQWmR R SULPDO QmR WHP VROXo}HV DGPLVVtYHLV�

3URYD ��3URYD ��

VXSRQKD TXH R SULPDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR �L�H� ] → ∞��

♦

VXSRQKD DR FRQWUiULR TXH R GXDO WHP VROXo}HV DGPLVVtYHLV�

VHMD < XPD VROXomR GXDO DGPLVVtYHO �6%$'� �

pelo Teorema fraco de dualidade wYbXcz tt =≤= p OLPLWDGD ��

DEVXUGR �� SRU KLSyWHVHV ] → ∞�

R GXDO QmR WHP VROXo}HV DGPLVVtYHLV

7HRUHPD )XQGDPHQWDO GD 'XDOLGDGH�7HRUHPD )XQGDPHQWDO GD 'XDOLGDGH�

�� 6H DOJXP GRV SUREOHPDV QmR WHP ySWLPR ILQLWR� HQWmR R RXWUR

QmR SRVVXL VROXo}HV DGPLVVtYHLV� L�H�� p LPSRVVtYHO�


� � � �

��

6HJXQGR R 7HRUHPD IXQGDPHQWDO GD GXDOLGDGH SRGH FRQFOXLU�

VH TXH SDUD RV SUREOHPDV SULPDO�GXDO� YHULILFD�VH XPD H Vy

XPD GDV VHJXLQWHV VLWXDo}HV�

� DPERV WrP VROXo}HV ySWLPDV ; H < H RV YDORUHV ySWLPRV GDV

UHVSHFWLYDV IXQo}HV REMHFWLYR FRLQFLGHP� ] Z

� VH XP SUREOHPD QmR WHP ySWLPR ILQLWR� HQWmR R RXWUR p

LPSRVVtYHO�

� DPERV RV SUREOHPDV VmR LPSRVVtYHLV�

5


� � � �

$PERV RV 3UREOHPDV VmR ,PSRVVtYHLV� ([HPSOR�$PERV RV 3UREOHPDV VmR ,PSRVVtYHLV� ([HPSOR�

Maximizar z= x1 + x2

sujeito a - x1 + x2 = 4x1 - x2 = 4

x1 , x2 , ≥ 0

PrimalPrimal

Minimizar w = 4 y1 + 4 y2

sujeito a - y1 + y2 ≥ 1y1 - y2 ≥ 1

y1 , y2, livres

DualDual


� � � �

3UREOHPD GXDO� )RUPD &DQyQLFD H )RUPD 3DGUmR�3UREOHPD GXDO� )RUPD &DQyQLFD H )RUPD 3DGUmR�

)RUPD FDQyQLFD)RUPD FDQyQLFD

Maximizar z= ctXs. a

A X ≤ bX ≥ 0

reduzir à forma padrão

6H XPD VROXomR p DGPLVVtYHO SDUD R SUREOHPD GXDO QD IRUPD SDGUmR

FRP YDULiYHLV GXDLV OLYUHV� p DGPLVVtYHO SDUD R SUREOHPD GXDO GR

SUREOHPD RULJLQDO QD IRUPD FDQyQLFD� L�H�� YHULILFDP�VH DV UHVWULo}HV

GH QmR QHJDWLYLGDGH SDUD DV YDULiYHLV GXDLV�

6H XPD VROXomR p DGPLVVtYHO SDUD R SUREOHPD GXDO QD IRUPD SDGUmR

FRP YDULiYHLV GXDLV OLYUHV� p DGPLVVtYHO SDUD R SUREOHPD GXDO GR

SUREOHPD RULJLQDO QD IRUPD FDQyQLFD� L�H�� YHULILFDP�VH DV UHVWULo}HV

GH QmR QHJDWLYLGDGH SDUD DV YDULiYHLV GXDLV�


A X + I Xs = bX, Xs ≥ 0


AtY ≥ cIY≥ 0

Y livres

Fica redundante, pode ser eliminada, e

obtém-se a forma canónica do problema

dual


AtY ≥ cY≥ 0

)RUPD SDGUmR)RUPD SDGUmR

Dual

Primal

Dual

PrimalA matriz das

restrições pode ser decomposta como:

[A, I], Xs é o vector das variáveis

de folga

6


� � � �

)RUPXODQGR R 3UREOHPD 'XDO D SDUWLU GD )RUPD)RUPXODQGR R 3UREOHPD 'XDO D SDUWLU GD )RUPD 3DGUmR�3DGUmR�


Maximixar z= 3x1 + 5x2

sujeito a x1 ≤ 4

2x2 ≤ 123 x1 + 2x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar w= 4y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a y1 + 3 y3 ≥ 3

2y2 + 2 y3 ≥ 5y1 ≥ 0

y2 ≥ 0y3 ≥ 0

y1 , y2, , y3 – livres



2y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2, , y3 ≥ 0

Maximixar z= 3x1 + 5x2

sujeito a x1 + x3 = 4

2x2 + x4 = 123 x1+ 2x2 + x5 = 18

x1 , x2 ,x3 , ,x4 ,x5 ≥ 0

)RUPD FDQyQLFD)RUPD FDQyQLFD

reduzir à forma padrão

Ficam redundantes, podem ser eliminadas, e obtém-se a forma canónica do problema dual

)RUPD SDGUmR)RUPD SDGUmR

Dual

Primal

Dual

Primal


� � � �

9DULiYHLV GH 'HFLVmR 'XDLV H 4XDGUR9DULiYHLV GH 'HFLVmR 'XDLV H 4XDGUR 3ULPDO3ULPDO ÏSWLPR�ÏSWLPR�

5HODomR ��5HODomR �� 2V YDORUHV GDV YDULiYHLV GH GHFLVmR GD VROXomR ySWLPD

GXDO HQFRQWUDP�VH QR TXDGUR VLPSOH[ ySWLPR QD OLQKD ]]MM QDV FROXQDV

FRUUHVSRQGHQWHV j EDVH LQLFLDO GH LGHQWLGDGH %GH LGHQWLGDGH %22 ,� ,�

$ PDWUL] GDV UHVWULo}HV SDUD R SUREOHPD QD IRUPD SDGUmR SRGH VHU

GHFRPSRVWD FRPR� [[NNO O BBOO] = [ ] = [ AA I I ] , ] , BBO O = I .= I .

4XDGUR4XDGUR VLPSOH[VLPSOH[ yySWLPRSWLPR

Y= (y1 , y2 ,..., ym ) = CBB-1

BB-1-1 NNOO BB-1-1bbXXBB

CCBB BB-1-1 bbCCB B BB-1-1 NNOO

CCNNOO -C-CB B BB-1-1 NNOO

BB-1-1II

CCB B BB-1-1

CCJ J -C-CB B BB-1-1

XXNNOO XXBB

OO

zzjj

ccj j -z-zj j

CCBB

bb

valor da f.o.z*=w*

variáveis dedecisão duais

'XDO'XDO3ULPDO3ULPDO

m variáveis de decisão duais que correspondem

às m restrições primais


A X ≤ bX ≥ 0


A X + I Xs = bX, Xs ≥ 0


AtY ≥ cIY≥ 0

Y livres


AtY ≥ cY≥ 0

7


� � � �

BB-1-1 NNOO BB-1-1bbXXBB

CCBB BB-1-1 bbCCB B BB-1-1 NNOO

CCNNOO -C-CB B BB-1-1 NNOO

BB-1-1II

CCB B BB-1-1

CCJ J -C-CB B BB-1-1

XXNNOO XXBB

OO

zzjj

ccj j -z-zj j

CCBB

bb

variáveis dedecisão duais

variáveis defolgas duais

9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV H 4XDGUR9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV H 4XDGUR 3ULPDO3ULPDO ÏSWLPR�ÏSWLPR�

5HODomR ��5HODomR �� 2V YDORUHV GDV YDULiYHLV GH IROJD FRUUHVSRQGHQWHV j

VROXomR ySWLPD GXDO HQFRQWUDP�VH QR TXDGUR VLPSOH[ ySWLPR H VmR RV

VLPpWULFRV GRV HOHPHQWRV GD OLQKD GRV FXVWRV UHGX]LGRV QDV FROXQDV

FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV GH GHFLVmR SULPDLV�

4XDGUR4XDGUR VLPSOH[VLPSOH[ yySWLPRSWLPR

¬V Q YDULiYHLV GH IROJD GXDLV FRUUHVSRQGHP jV Q YDULiYHLV GH

GHFLVmR SULPDLV� Ys =( ym+1 , ym+2 ,..., ym+n )

AtY ≥ c

substituindo por Y=CBB-1

At CBB-1 - I Ys = c

-Ys = c - At CBB-1 = c - CBB-1 A

-Ys = CNº – CBB-1 N0-Ys = CNº – CBB-1 N0

⇒⇒

⇒⇒

At Y - I Ys = c⇒⇒

( por hipótese as colunas de NNO O correspondem às colunas da matriz A )

⇒⇒


� � � �

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 001

213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1

a solução óptima para o problema dual

é:yy1 1 = 0 , = 0 ,

yy2 2 = 3/2,= 3/2,yy3 3 =1=1

as variáveis de folga do dual são simétricas aos

custos reduzidos correspondentes às

colunas das variáveis de decisão primais

yy4 4 = 0 , = 0 , yy5 5 = 0= 0

�� !"� �� !"� �� #��#��

8


� � � �

5HODomR ��5HODomR �� $ FDGD VROXomR EiVLFD SULPDO �6%3�� DGPLVVtYHO RX QmR

DGPLVVtYHO� FRUUHVSRQGH�OKH XPD VROXomR EiVLFD GXDO �6%'�� DGPLVVtYHO

RX QmR DGPLVVtYHO� D TXH FKDPDPRV VROXomR FRPSOHPHQWDU�

2 IDFWR GH QmR VHU XP

TXDGUR ySWLPR SDUD R

SULPDO� VLJQLILFD TXH D

VROXomR GR GXDO QmR p

DGPLVVtYHO�

#�� #��

0 5 0 0

3 0 0 0

52

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

52-

0 5 0 0

3 0 0 0

5252

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bbbb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 03 5 0 0 0

300

0 1 0 12 00 1 0 12 0

52- 52- 52-

X =( 0,6,4,0,6) SBAP ⇔VROXomR FRPSOHPHQWDU Y = ( 0,5/2, 0, -3, 0) - SBNAD

Variáveis de decisão duais:y1 = 0 ,

y2 = 5/2,y3 =0

as variáveis de folga duais y4 = -3 , y5 = 0

([HPSOR SURWyWLSR� �� 4XDGUR 6LPSOH[ �D VROXomR QmR p ySWLPD�


� � � �

6H WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV� L�H�� FM�]M ≤� YHULILFD�VHR FULWpULR GH RSWLPDOLGDGH SDUD D VROXomR SULPDO

5HODomR �� 6H QXP TXDGUR VLPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH D XPD VROXomR

EiVLFD SULPDO �6%3� �DGPLVVtYHO RX QmR DGPLVVtYHO� WRGRV RV FXVWRV

UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV HQWmR D VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU p

DGPLVVtYHO �6%$'� �

5HODomR ��5HODomR �� 6H QXP TXDGUR VLPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH D XPD VROXomR

EiVLFD SULPDO �6%3� �DGPLVVtYHO RX QmR DGPLVVtYHO� WRGRV RV FXVWRV

UHGX]LGRV VmR QmR SRVLWLYRV HQWmR D VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU p

DGPLVVtYHO �6%$'� �

<< p XPD 6%$'� �VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO SDUD R GXDO�

ccj j -- CCB B BB--1 1 PPjj ≤≤ 0 0 ∀ j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

ccjj --YYttPPjj ≤≤ 0 0 ∀ j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

YYttPPjj ≥≥ ccjj ∀ j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

YYttAA ≥≥ cc

YYtt=C=CB B BB--11

6ROXomR 'XDO &RPSOHPHQWDU� &ULWpULR GH $GPLVVLELOLGDGH�6ROXomR 'XDO &RPSOHPHQWDU� &ULWpULR GH $GPLVVLELOLGDGH�

( neste caso por hipótese A A refere-se à matriz de restrições correspondente ao problema na forma padrão, já que são incluídas todas as colunas do quadro simplex)

AAttYY ≥≥ cc

9


� � � �

5HODomR �� 6H DPERV RV SUREOHPDV WrP VROXo}HV DGPLVVtYHLV

�DPERV VmR SRVVtYHLV� HQWmR DPERV WrP ySWLPR ILQLWR H RV

FRUUHVSRQGHQWHV YDORUHV ySWLPRV ] H Z FRLQFLGHP

5HODomR ��5HODomR �� 6H DPERV RV SUREOHPDV WrP VROXo}HV DGPLVVtYHLV

�DPERV VmR SRVVtYHLV� HQWmR DPERV WrP ySWLPR ILQLWR H RV

FRUUHVSRQGHQWHV YDORUHV ySWLPRV ] H Z FRLQFLGHP

5HODomR �� 6H DOJXP GRV SUREOHPDV QmR WHP ySWLPR ILQLWR�HQWmR R

RXWUR QmR SRVVXL VROXo}HV DGPLVVtYHLV �p LPSRVVtYHO��

5HODomR ��5HODomR �� 6H DOJXP GRV SUREOHPDV QmR WHP ySWLPR ILQLWR�HQWmR R

RXWUR QmR SRVVXL VROXo}HV DGPLVVtYHLV �p LPSRVVtYHO��

5HODomR HQWUH DV 6ROXo}HV GRV 3UREOHPDV5HODomR HQWUH DV 6ROXo}HV GRV 3UREOHPDV 3ULPDO3ULPDO±±'XDO�'XDO�

1HQKXP GRV GRLV

SUREOHPDV WrP

VROXo}HV DGPLVVtYHLV

Z → ∞R SUREOHPD GXDO QmR

WHP ySWLPR ILQLWR

,PSRVVtYHO

. ∅

] → ∞R SUREOHPD SULPDO QmR

WHP ySWLPR ILQLWR

] Z

DPERV RV SUREOHPDV

WrP ySWLPR ILQLWR

3RVVtYHO

.≠∅

,PSRVVtYHO

. ∅

3RVVtYHO

.≠∅

35,0$/

'8$/


� � � �

5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�

([HPSOR SURWyWLSR�([HPSOR SURWyWLSR�



2y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2 , y3 ≥ 0


sujeito a y1 + 3 y3 - y4 = 3

2y2 + 2 y3 - y5 = 5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0


sujeito a y1 + 3 y3 - y4 = 3

2y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1 , y2, , y3 , y4 , y5 , y6 ≥ 0y6 - variável artificial

Redução à forma padrão: subtraiam-se duas variáveis de folga y4 , y5

Como não é possível determinar uma matriz identidade introduz-se

uma variável artificial y6 na restrição nº 2 (para a equação nº1 a variável y1 pode ser tomada como

variável básica inicial).

P1 P6

1 00 1

B0 =P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 0 3 -1 0 00 2 2 0 –1 1

A =

10


� � � �


<� ��


<� ��

1 0 3 -1 0 0

0 2 2 0 -1 1

35

y1

y6

0

1

0 0 0 0 0 1

550 2 2 0 -1 10 2 2 0 -1 0

0

0

y1

y2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

cj yy11 yy22 yy3 3 yy4 4 yy5 5 yy66YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccjj

bb

zzj j

zzjj --ccjj

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

00

Minimizar w'= y6

sujeito a y1 + 3 y3 - y4 = 3

2y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1, y2,, y3, y4, y5, y6 ≥ 0

y6- variável artificial

([HPSOR SURWyWLSR�5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�([HPSOR SURWyWLSR�5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�

0pWRGR GDV GXDV IDVHV� �� )DVH�0pWRGR GDV GXDV IDVHV� �� )DVH�

Para aplicação da 1ª fase constrói-se o problema auxiliar:


� � � �

$ VROXomR ySWLPDp < ��

$ VROXomR ySWLPDp < ��

y1

y2

4

12

4 12 18 0 0 0

42424 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18

12

y3

y2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzjj

zzjj --ccjj

bbcj

YYBBCCBByy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy55 yy66

zzj j

zzjj --ccjj

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6

3636

Minimizar w= 4y1 + 12 y2 + 18 y3sujeito a

y1 + 3 y3 - y4 = 32y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1, y2,, y3, y4, y5, y6 ≥ 0

y6- variável artificial

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

([HPSOR SURWyWLSR�5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�([HPSOR SURWyWLSR�5HVROXomR GR 3UREOHPD 'XDO�

0pWRGR GDV GXDV IDVHV� �� )DVH�0pWRGR GDV GXDV IDVHV� �� )DVH�

11


� � � �

y3

y2

18

12

4 12 18 0 0 0

zzjjzzj j -c-cjj

bbcj

YYBBCCBByy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy5 5 yy66

-2-2 0 0 -662 12 18 -2 -6 36

1/3 0 1 - 0 11/3 0

-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2

y3

y2

18

12

4 12 18 0 0 0

zzjjzzj j -c-cjj

bbbbcj


-2-2 0 0 -6-2-2 0 0 -6-2 0 0 -662 12 18 -2 -6 3662 12 18 -2 -6 36

1/3 0 1 - 0 11/3 01/3 0 1 - 0 11/3 0 1 - 0 11/3 0

-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 001

213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

2 5

0

3

-1

a solução óptima para o dual é:

y1 = 0 , y2 = 3/2, y3 =1

as variáveis de folga do dual y4 = 0 , y5 = 0

a solução óptima para o primal, x1 = 2 , x2 = 6,encontram-se na linha zj nas colunas correspondentes à

matriz inicial identidade, i.e.,nas colunas correspondentes a y1 e à variável artificial y6

as variáveis de folga do primal são

simétricas aos custos reduzidos das colunas

correspondentes às variáveis de decisão

duais:x3 = 2 , x4 = 0, x5 = 0

3DU GH 3UREOHPDV3DU GH 3UREOHPDV 3ULPDO3ULPDO��'XDO� 4XDGURV ÏSWLPRV�'XDO� 4XDGURV ÏSWLPRV�

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal:: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))z*= w*=36zz**= = ww**=36=36


� � � �

6%$3 ;� �� ]� �6%$3 ;� �� ]� � 6%1$' <� �� Z� �6%1$' <� �� Z� �

6%$3 ;� �� ]� ��6%$3 ;� �� ]� �� 6%1$' <� �� Z� ��6%1$' <� �� Z� ��

3ULPDO� ; ��3ULPDO3ULPDO�� ; ; �� 'XDO� < ��'XDO�'XDO� < < ��

6%$3 ;� �� ]� ��6%$3 ;� �� ]� �� 6%$' <� �� Z� ��6%$' <� �� Z� ��

] Z

��

] Z

��

6ROXo}HV FRPSOHPHQWDUHV

!"� �� $�#�� !"� �� $�#��

12


� � � �

HQWmR XPD UHVWULomR L GR SUREOHPD SULPDO SRGH VHU UHSUHVHQWDGD FRPR�

5HVWULo}HV GR 3UREOHPD5HVWULo}HV GR 3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO HP 1RWDomR 9HFWRULDO�HP 1RWDomR 9HFWRULDO�

AX =

PP1→ a11 a12 … a1n

PP2→ a21 a22 … a2n....PPii →→ aaii11 aaii22 … … aainin

PPm→ am1 am2 … amn

x1

x2

...xJ

xn

≤≤

b1

b2...bi

bm

Pi X ≤ biPi X ≤≤ bi

i =1,2,...,m

&RQVLGHUH D PDWUL] $$ GR SUREOHPD SULPDO UHSUHVHQWDGD SRU

P OLQKDV 33LL��


� � � �

HQWmR XPD UHVWULomR M GR SUREOHPD GXDO SRGH VHU UHSUHVHQWDGD FRPR�

Yt Pj ≥ cjYYt t PPj j ≥≥ ccjj

5HVWULo}HV GR 3UREOHPD 'XDO HP 1RWDomR 9HFWRULDO�5HVWULo}HV GR 3UREOHPD 'XDO HP 1RWDomR 9HFWRULDO�

AAttYY = = YYttAA== yy1 1 yy2 2 ... ... yyii … … yymm

≥≥

P1 … PPj j … Pna11 … aa11jj … a1n

a21 … aa22jj … a2n...am1 … aamjmj … amn

c1c2...cj

cn

t

j =1,2,...,n

&RQVLGHUH D PDWUL] $$ GR SUREOHPD SULPDO UHSUHVHQWDGD SRU Q

FROXQDV 33MM��

13


� � � �

� VH Pi X = bi SDUD R SUREOHPD SULPDO�

� VH YtPj = cj SDUD R SUREOHPD GXDO

8PD UHVWULomR HQFRQWUD�VH VDWXUDGD

VH YHULILFD D LJXDOGDGH�

8PD UHVWULomR HQFRQWUD�VH VDWXUDGD

VH YHULILFD D LJXDOGDGH�

&DVR FRQWUiULR D UHVWULomR HQFRQWUD�VH

QmR VDWXUDGD

&DVR FRQWUiULR D UHVWULomR HQFRQWUD�VH

QmR VDWXUDGD

%�� #��&��#��%�� #��&��#��

� VH Pi X < bi SDUD R SUREOHPD SULPDO�

� VH YtPj > cj SDUD R SUREOHPD GXDO


� � � �

��'�($��'�($�� ) �� ) ��

6H ; H < VmR VROXo}HV ySWLPDV SDUD R SULPDO �3� H GXDO�'��

UHVSHFWLYDPHQWH� HQWmR YHULILFDP D VHJXLQWH SURSULHGDGH GHVLJQDGD

FRPR SURSULHGDGH GRV GHVYLRV FRPSOHPHQWDUHV RX

FRPSOHPHQWDULGDGH GDV VODFNV�

�� 6H XPD YDULiYHO GH GHFLVmR GH TXDOTXHU GRV SUREOHPDV IRU QmR

QXOD QD VROXomR ySWLPD� HQWmR� QR RXWUR SUREOHPD D UHVWULomR

DVVRFLDGD D HVVD YDULiYHO HQFRQWUD�VH VDWXUDGD�L�H�� D YDULiYHO GH

IROJD FRUUHVSRQGHQWH p QXOD�

�� 6H XPD UHVWULomR GH TXDOTXHU GRV SUREOHPDV QmR VH HQFRQWUD

VDWXUDGD QD VROXomR ySWLPD GHVVH SUREOHPD �VH XPD YDULiYHO GH

IROJD p SRVLWLYD� HQWmR� QR RXWUR SUREOHPD� D YDULiYHO GH GHFLVmR

DVVRFLDGD D HVVD UHVWULomR p QXOD�

14


� � � �

(P VtQWHVH D SURSULHGDGH GRV GHVYLRV FRPSOHPHQWDUHV SRGH

UHVXPLU�VH SHOD VHJXLQWHV H[SUHVV}HV�

p QXOR R SURGXWR GD M�pVLPD YDULiYHO GH GHFLVmR GR SULPDO

SHOD M�pVLPD YDULiYHO GH IROJD GR GXDO

I.I.

p QXOR R SURGXWR GD L�pVLPD YDULiYHO GH GHFLVmR GR

GXDO SHOD L�pVLPD YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO�

1,...n,0)( ** =∀=− jcPYx jj

t

j

1,...,n,0*jm

* =∀=× + jyxj

1,...m,0)( ** =∀=− iXPby iii

1,...,m,0*in

* =∀=× + ixyj

II.II.

3URSULHGDGH GRV 'HVYLRV��3URSULHGDGH GRV 'HVYLRV��


� � � �

D YDULiYHO GH IROJD GR SUREOHPD GXDO DVVRFLDGD D HVVD

UHVWULomR p QXOD

D UHVWULomR GR SUREOHPD GXDO DVVRFLDGD D HVVD YDULiYHO HQFRQWUD�

VH VDWXUDGD

pela propriedade de desvios complementares

0* >jx 0* =+ jmy

jmjmjj cyayaya =+++ **22

*11 ...

0* =− jj

tcPY

jj

tcPY =*

0* >jx

0* =+ jmy

1,...,n,0)( ** =∀=− jcPYx jj

t

j

3URSULHGDGH GRV GHVYLRV��3URSULHGDGH GRV GHVYLRV��

,� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH IROJD FRUUHVSRQGHQWH GR GXDO p QXOD�

,�,� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR


15


� � � �

D UHVWULomR GR SUREOHPD GXDO

DVVRFLDGD HQFRQWUD�VH QmR

VDWXUDGD


1,...,n,0)( ** =∀=− jcPYx jj

t

j

0* =jx

jmjmjj cyayaya >+++ **22

*11 ...

0* >+ jmy

jj

tcPY >*

0* >− jj

tcPY

0* >+ jmy

0* =jx


,,� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR D

YDULiYHO GH GHFLVmR FRUUHVSRQGHQWH GR SULPDO p QXOD�

,,�,,� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR D



� � � �

0* >iy 0* =+imx

0* >+imx 0* =iy


,,,� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH IROJD FRUUHVSRQGHQWH GR SULPDO p QXOD�

,,,�,,,� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH IROJD FRUUHVSRQGHQWH GR SULPDO p QXOD�

,9� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR FRUUHVSRQGHQWH GR GXDO p QXOD�

,9�,9� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR FRUUHVSRQGHQWH GR GXDO p QXOD�

16


� � � �

�� ) �� ) ��

�$ YDULiYHLV GH GHFLVmR SULPDLV SRVLWLYDV FRUUHVSRQGHP UHVWULo}HV

GXDLV VDWXUDGDV �L�H��YDULiYHLV GH IROJD GXDLV QXODV� VODFNV QXODV��

� $ UHVWULo}HV GXDLV QmR VDWXUDGDV �L�H�YDULiYHLV GH IROJD GXDLV

SRVLWLYDV� VODFNV SRVLWLYDV� FRUUHVSRQGHP YDULiYHLV GH GHFLVmR

SULPDLV QXODV�

H UHFLSURFDPHQWH�

� $ YDULiYHLV GH GHFLVmR GXDLV SRVLWLYDV FRUUHVSRQGHP UHVWULo}HV

SULPDLV VDWXUDGDV �L�H� YDULiYHLV GH IROJD SULPDLV QXODV� VODFNV

QXODV��

� $ UHVWULo}HV SULPDLV QmR VDWXUDGDV �L�H� YDULiYHLV GH IROJD

SULPDLV SRVLWLYDV� VODFN SRVLWLYR� FRUUHVSRQGHP YDULiYHLV GH

GHFLVmR GXDLV QXODV


� � � �

YDULiYHLV GH GHFLVmRYDULiYHLV GH GHFLVmR

x1= 2xx11= = 22 y4= 0yy44= = 00

x2= 6xx22= = 66 y5= 0yy55= = 00

x3= 2xx33= = 22 y1= 0yy11= = 00

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal: : X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual: Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))

YDULiYHLV GH IROJDYDULiYHLV GH IROJD

YDULiYHLV GH IROJDYDULiYHLV GH IROJD YDULiYHLV GH GHFLVmRYDULiYHLV GH GHFLVmR

x4= 0xx44= = 00 y2= 3/2yy22= = 3/23/2

x5= 0xx55= = 00 y3= 1yy33= = 11

os produtos das variáveis de decisão do primal

pelas correspondentes variáveis de folga do

dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do primal

pelas correspondentes variáveis de folga do

dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do dual pelas

correspondentes variáveis de folga do

primal são nulos


correspondentes variáveis de folga do

primal são nulos

�� ) �� ) �� !"� �� !"� ��

17


� � � �

$SOLFDQGR 'XDOLGDGH H DV 3URSULHGDGHV GH 'HVYtRV$SOLFDQGR 'XDOLGDGH H DV 3URSULHGDGHV GH 'HVYtRV

&RPSOHPHQWDUHV SDUD UHVROYHU R 3UREOHPD 3ULPDO�&RPSOHPHQWDUHV SDUD UHVROYHU R 3UREOHPD 3ULPDO�

Minimizar z= 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 +3x5

sujeito a x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 ≥ 4

2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 ≥ 3

x1 , x2 ,, x3 ,, x4 ,, x5 ≥ 0

Maximizar w = 4 y1 + 3 y2

sujeito a y1 + 2 y2 ≤ 2y1 - 2 y2 ≤ 3

2 y1 + 3 y2 ≤ 5y1 + y2 ≤ 2

3 y1 + y2 ≤ 3

y1 , y2, ≥ 0

Primal Primal de de MinimizaçãoMinimização

Dual de MaximizaçãoDual de Maximização

&RPR R SUREOHPD GXDO p XP SUREOHPD FRP GXDV

YDULiYHLV SRGH VHU UHVROYLGR JUDILFDPHQWH�

A solução óptima para o dual é:

Y*= ( 4/5, 3/5 ) com um valor óptimo de 5


� � � �

substituindo

por y1 e y2

8WLOL]DQGR R GXDO H DV SURSULHGDGHV��

�� 3HOD SURSULHGDGH GRV GHVYLRV FRPSOHPHQWDUHV VH D YDULiYHO GH GHFLVmR GR

GXDO p SRVLWLYD HQWmR D YDULiYHO GH IROJD FRUUHVSRQGHQWH GR SULPDO p QXOD�

�� 3HOD SURSULHGDGH GRV GHVYLRV FRPSOHPHQWDUHV VH D YDULiYHO GH GHFLVmR GR

GXDO p SRVLWLYD HQWmR D YDULiYHO GH IROJD FRUUHVSRQGHQWH GR SULPDO p QXOD�

�� &DOFXODU DV YDULiYHLV GH IROJD GXDLV� VXEVWLWXLQGR RV YDORUHV GH \� ��

\� �� QDV UHVWULo}HV GXDLV�

�� &DOFXODU DV YDULiYHLV GH IROJD GXDLV� VXEVWLWXLQGR RV YDORUHV GH \\��

\\�� QDV UHVWULo}HV GXDLV�

y3 = = 2 - y1 - 2 y2 ⇒⇒ y3 = = 2 - 4/5 - 6/5 ⇒⇒ y3 = = 0

X* = X* = (( xx11, , xx2 2 , , xx3 3 , , xx4 4 , , xx5 5 ,, xx6 6 , , xx77 ) )

variáveis de decisão variáveis de folga

Y* = Y* = (( yy11, , yy22 , , yy3 3 , , yy4 4 , , yy5 5 ,, yy6 6 , , yy77 ) )


prop.desvios

complementares⇒⇒ xx11 ≥≥ 0

substituindo

por y1 e y2

y4 = = 3 - y1 + 2 y2 ⇒⇒ y4 = = 3 - 4/5 + 6/5 ⇒⇒ y4 =1=13/5 xx22 = = 0

substituindo

por y1 e y2

y5= = 5 - 2 y1 - 3 y2 ⇒⇒ y5 = = 5 - 8/5 - 9/5 ⇒⇒ y5 = 8= 8/5 xx33 = = 0

substituindo

por y1 e y2

y6 = = 2 - y1 - y2 ⇒⇒ y6 = = 2 - 4/5 - 3/5 ⇒⇒ y6 = 3= 3/5 xx44 = = 0

< � �� p D VROXomR ySWLPD GR SUREOHPD GXDO REWLGD JUDILFDPHQWH

prop.desvios

complementares⇒⇒yy1 1 = = 4/5 xx6 6 = = 0

prop.desvios

complementares⇒⇒yy2 2 = = 3/5 xx77= = 0

substituindo

por y1 e y2

y7 = = 3 - 3 y1 - y2 ⇒⇒ y7 = = 3 - 12/5 - 3/5 ⇒⇒ y7 = = 0 xx55 ≥≥ 0

prop.desvios

complementares⇒⇒

prop.desvios


prop.desvios


prop.desvios


18


� � � �

8WLOL]DQGR R GXDO H DV SURSULHGDGHV��8WLOL]DQGR R GXDO H DV SURSULHGDGHV��

$ VROXomR SULPDO ySWLPD p X* = X* = (( 1 , 0 , 0 ,1 , 0 , 0 , 0 ,0 , 1 , 1 , 00 , , 00 ) )

�� &DOFXODU x1 ≥ � � x5 ≥ � VXEVWLWXLQGR x2= x3 = x4 = 0 QDV UHVWULo}HV SULPDLV�� &DOFXODU x1 ≥ � � x5 ≥ � VXEVWLWXLQGR x2= x3 = x4 = 0 QDV UHVWULo}HV SULPDLV

x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 - x6 = 4substituindo por

xx22== xx3 3 == xx4 4 == xx66== 0⇒⇒ x1 + 3 x5 = = 4

X* =X* = (( xx11, , xx2 2 , , xx3 3 , , xx4 4 , , xx5 5 ,, xx6 6 , , xx77 ) )


Y* =Y* = (( yy11, , yy22 , , yy3 3 , , yy4 4 , , yy5 5 ,, yy6 6 , , yy77 ) )


2x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 – x7 = 3substituindo por

xx22== xx3 3 == xx4 4 == xx66== 0⇒⇒ 2 x1 + x5 = = 3xx11 = = 1 xx55 = 1= 1⇒⇒

$ VROXomR GXDO ySWLPD p Y* = Y* = (( 4/5 , , 3/5 , 0 , 1, 0 , 13/5 , 8, 8/5 , 3, 3/5 , 0 , 0 ))

Os produtos das variáveis de decisão primais(duais) com as correspondentes variáveis de

folga duais (primais) são nulos

Minimizar z= 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 +3x5

sujeito a x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 ≥ 4

2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 ≥ 3

x1 , x2 ,, x3 ,, x4 ,, x5 ≥ 0

1


� � � �

��


�� $OJRULWPR 'XDO 6LPSOH[�


� � � �

SBAPSBAPSBAPPrimalPrimal ::

1R FDVR GH ySWLPR ILQLWR R DOJRULWPR 3ULPDO DSOLFDGR DR

SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$3� D TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$'� SURVVHJXLQGR GH 6%$3 �6%1$'�

HP 6%$3 �6%1$'� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV

DGPLVVtYHLV GR SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR DV

VROXo}HV ySWLPDV SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV


SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$3� D TXH


HP 6%$3 �6%1$'� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV

DGPLVVtYHLV GR SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR DV

VROXo}HV ySWLPDV SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR ILQLWR� ÏSWLPR ILQLWR

SBAPSBAPSBAP SBAPSBAPSBAP

SBNADSBNADSBNAD SBNADSBNADSBNAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……

X*X*-- solução óptima

para o primal

z*= z*= ww* * finitofinito

Y*Y*-- solução óptima para o dual

��

2


� � � �

SBAP X0 = ( 0,0,4,12,18 ), zº=0SBAPSBAP XX00 = = (( 0,0,0,0,4,12,184,12,18 ), ), zzº=0º=0 SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 ) , wº=0SBNADSBNAD YY00 = = (( 0,0,0,0,00,,--3,3,--5 5 ) ,) , wwº=0º=0

SBAP X1 = ( 0,6,4, 0, 6) , z1=30SBAPSBAP XX11 = = (( 0,6,0,6,4, 0, 64, 0, 6) ,) , zz11=30=30 SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 ) , w1=30SBNADSBNAD YY11 = = (( 0,5/2,0,5/2,00,,--3,0 3,0 ) ,) , ww11=30=30

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal:: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))

SBAP X2 = ( 2,6,2, 0, 0) , z2=36SBAPSBAP XX22 = = (( 2,6,2,6,2, 0, 02, 0, 0) ,) , zz22=36=36 SBAD Y2= ( 0,3/2,1, 0,0 ) , w2=36SBADSBAD YY22= = (( 0,3/2,0,3/2,11, 0,0 , 0,0 ) ,) , ww22=36=36

z*= w*=36zz**= = ww**=36=36

6ROXo}HV FRPSOHPHQWDUHV

��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR 3URWyWLSR� 3UREOHPD 3ULPDO� ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR 3URWyWLSR� 3UREOHPD 3ULPDO

6ROXo}HV ySWLPDV�


� � � �

SBAPSBAPSBAPPrimalPrimal ::

1R FDVR GH ySWLPR QmR ILQLWR R DOJRULWPR 3ULPDO DSOLFDGR

DR SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$3� D TXH


HP 6%$3 �6%1$'� VHP QXQFD REWHU XPD 6%$'� H FRQFOXLU

TXH R SULPDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�

VHQGR HQWmR R GXDO LPSRVVtYHO�


DR SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$3� D TXH


HP 6%$3 �6%1$'� VHP QXQFD REWHU XPD 6%$'� H FRQFOXLU

TXH R SULPDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�

VHQGR HQWmR R GXDO LPSRVVtYHO�

SBAPSBAPSBAP

SBNADSBNADSBNAD SBNADSBNADSBNADDual:Dual:

……

……

Óptimo não finito

para o primal

K=K=∅∅ para o dual, i.e. o dual é

impossível

��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR QmR ILQLWR�� ÏSWLPR QmR ILQLWR�

3


� � � �

SBNAPSBNAPSBNAPPrimalPrimal :: SBNAPSBNAPSBNAP SBAPSBAPSBAP

SBADSBADSBAD SBADSBADSBAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……Y*Y*-- solução óptima para o

dual


X*X*-- solução óptima para o

primal


SUREOHPD GXDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3� HP

6%$' �6%1$3� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV DGPLVVtYHLV GR

SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR VROXo}HV ySWLPDV

SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV


SUREOHPD GXDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3� HP

6%$' �6%1$3� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV DGPLVVtYHLV GR

SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR VROXo}HV ySWLPDV

SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV

O dual do problema dual é o problema primalO dual do problema dual é o problema primal

��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR ILQLWR�� ÏSWLPR ILQLWR�


� � � �

SBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 ) , wº=42SBADSBAD YY00 = = (( 3,5/23,5/2,0,0,0,0 ,0,0 ) ,) , wwº=42º=42 SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6 ) , zº=42SBNAPSBNAP XX00 = = (( 4,6,4,6,0, 0,0, 0,--6 6 ) ,) , zzº=42º=42

SBAD Y1 =( 0,3/2,1, 0, 0) , w1=36SBADSBAD YY1 1 ==(( 0,3/2,0,3/2,11, 0, 0, 0, 0) ,) , ww11=36=36 SBAP X1 = ( 2,6, 2, 0, 0 ) , z1=36SBAPSBAP XX11 = = (( 2,6, 2,6, 2, 0, 0 2, 0, 0 ) ,) , zz11=36=36

Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )DualDual:: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 )) Primal : X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal :: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,02,0,0 ) ) w*= z*=36ww**= = zz**=36=36

6ROXo}HV FRPSOHPHQWDUHV6ROXo}HV FRPSOHPHQWDUHV

��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR 3URWyWLSR� 3UREOHPD 'XDO�� ÏSWLPR ILQLWR� ([HPSOR 3URWyWLSR� 3UREOHPD 'XDO�

6ROXo}HV ySWLPDV6ROXo}HV ySWLPDV

4


� � � �

SBADSBADSBAD

PrimalPrimal::

SBADSBADSBAD

SBNAPSBNAPSBNAP SBNAPSBNAPSBNAP

Dual:Dual: ……

……

Óptimo não finito para o dual

K=0 K=0 para o primal, i.e. o primal

é impossível


DR SUREOHPD GXDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� D TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3�

HP 6%$' �6%1$3� VHP QXQFD REWHU XPD 6%$3� H FRQFOXLU

TXH R GXDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�

VHQGR HQWmR R SULPDO LPSRVVtYHO�


DR SUREOHPD GXDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� D TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3�

HP 6%$' �6%1$3� VHP QXQFD REWHU XPD 6%$3� H FRQFOXLU

TXH R GXDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�


��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR QmR ILQLWR�� ÏSWLPR QmR ILQLWR�


� � � �

SBNAPSBNAP SBADSBADSBAD

SBAPSBAPSBAP SBNADSBNAD

Primal Primal (maximização)(maximização)

DualDual((minimizaçãominimização))

z, w

z*=w*

supersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima

subsub--óptimaóptima supersuper--óptima óptima

óptimaóptimaPercurso do

algoritmo Primalaplicado ao

problema primal

Percurso do algoritmo Primal

aplicado ao problema dual

X*XX** YY**

��

5


� � � �

(P TXH FRQVLVWH R DOJRULWPR GXDO 6LPSOH["(P TXH FRQVLVWH R DOJRULWPR GXDO 6LPSOH["

O algoritmo dual Simplex tem um comportamento homólogo ao

algoritmo primal do simplexaplicado ao problema dual

O algoritmo dual Simplex tem um comportamento homólogo ao

algoritmo primal do simplexaplicado ao problema dual

�� ! ��"! ��"��

2 DOJRULWPR GXDO 6LPSOH[ FRQVLVWH HP SDUWLU GXPDVROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO GXDO �6%$'�� D TXHFRUUHVSRQGH XPD VROXomR EiVLFD QmR DGPLVVtYHOSULPDO�6%1$3��SURVVHJXLQGR DWp�

�� VH DWLQJLU XPD VROXoD} EiVLFD DGPLVVtYHO

SULPDO �6%$3� H FRQFOXLU TXH R SUREOHPD WHPySWLPR ILQLWR�

�� QXQFD VH DWLQJLU XPD VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO

SULPDO� H FRQFOXLU TXH R SUREOHPD GXDO QmR WHP

ySWLPR ILQLWR� VHQGR HQWmR R SULPDO LPSRVVtYHO�

2 DOJRULWPR GXDO 6LPSOH[ FRQVLVWH HP SDUWLU GXPDVROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO GXDO �6%$'��6%$'�� D TXH

FRUUHVSRQGH XPD VROXomR EiVLFD QmR DGPLVVtYHOSULPDO��6%1$3��6%1$3��SURVVHJXLQGR DWp�

�� VH DWLQJLU XPD VROXoD} EiVLFD DGPLVVtYHO

SULPDO �6%$3� H FRQFOXLU TXH R SUREOHPD WHPySWLPR ILQLWR�

�� QXQFD VH DWLQJLU XPD VROXomR EiVLFD DGPLVVtYHO

SULPDO� H FRQFOXLU TXH R SUREOHPD GXDO QmR WHP

ySWLPR ILQLWR� VHQGR HQWmR R SULPDO LPSRVVtYHO��


� � � �

SBNAPSBNAPSBNAPPrimalPrimal :: SBNAPSBNAPSBNAP SBAPSBAPSBAP

SBADSBADSBAD SBADSBADSBAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……

X*X*-- solução óptima para o

primal


Y*Y*-- solução óptima para o dual

1R FDVR GH ySWLPR ILQLWR R DOJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR

SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3�SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3� HP

6%$' �6%1$3� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV DGPLVVtYHLV

GR SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR VROXo}HV

ySWLPDV SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV�

1R FDVR GH ySWLPR ILQLWR R DOJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR

SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD 6%$'� j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3�SURVVHJXLQGR GH 6%$' �6%1$3� HP

6%$' �6%1$3� DWp REWHU XP SDU GH VROXo}HV DGPLVVtYHLV

GR SULPDO H GR GXDO �6%$3 H 6%$'� TXH VmR VROXo}HV

ySWLPDV SDUD RV UHVSHFWLYRV SUREOHPDV�

��

&DVR �&DVR �� ÏSWLPR ILQLWR�� ÏSWLPR ILQLWR�

6


� � � �

SBADSBADSBAD

PrimalPrimal ::

SBADSBADSBAD

SBNAPSBNAPSBNAP SBNAPSBNAPSBNAP

Dual:Dual: ……

…… KK vaziovazio para o primal, i.e. o primal

é impossível

Óptimo não finito para o dual

1R FDVR GH SUREOHPD LPSRVVtYHO R DOJRULWPR 'XDO

DSOLFDGR DR SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD

6%$'� D TXH FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH

6%$' �6%1$3� HP 6%$' �6%1$3� VHP QXQFD DWLQJLU XPD

6%$3� H FRQFOXLU TXH R GXDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�


1R FDVR GH SUREOHPD LPSRVVtYHO R DOJRULWPR 'XDO

DSOLFDGR DR SUREOHPD SULPDO FRQVLVWH HP SDUWLU GH XPD

6%$'� D TXH FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3� SURVVHJXLQGR GH

6%$' �6%1$3� HP 6%$' �6%1$3� VHP QXQFD DWLQJLU XPD

6%$3� H FRQFOXLU TXH R GXDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR�


��

&DVR �&DVR �� 3UREOHPD LPSRVVtYHO�� 3UREOHPD LPSRVVtYHO�


� � � �

SBNAPSBNAP SBADSBAD

SBAPSBAP SBNADSBNADSBNAD

PrimalPrimal(maximização)(maximização)

Dual(minimização)

z, w

z*=w*

supersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima


óptimaóptima

Percurso do algoritmo dual

aplicado ao problema dual

Percurso do algoritmo dual

aplicado ao problema primal

X*XX** YY**

�� #�� #��

Enquanto o algoritmo primal mantém a admissibilidade da solução primal,o algoritmo dual, mantém a admissibilidade da solução dual.

Enquanto o algoritmo primal mantém a admissibilidade da solução primal,o algoritmo dual, mantém a admissibilidade da solução dual.

Move-se de uma solução primal

super-óptima, mas não admissível até

atingir uma solução primal admissível

Move-se de uma solução dual super-

óptima, mas não admissível até

atingir uma solução dual admissível

7


� � � �

$ VROXomR EiVLFDSULPDO p

DGPLVVtYHO"

&RQVWUXLU R TXDGUR VLPSOH[FRUUHVSRQGHQWH D XPD 6%$'

FRPSOHPHQWDU�WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV QmR SRVLWLYRV�

),0 ��),0 ��D VROXomR p ySWLPDD VROXomR p ySWLPD

0RYHU�VH SDUD XPD

6%$' �PHOKRU�

SimSim

NãoNão

�� ! ��"! ��"��$��"��$��"��#��#��


� � � �

NãoNão

SimSim

&RQVWUXLU TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH D&RQVWUXLU TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH D

XPDXPD 6%$' FRPSOHPHQWDU6%$' FRPSOHPHQWDU

,1Ë&,2,1Ë&,2)RUPD 3DGUmR

$ VROXomREiVLFD SULPDOp DGPLVVtYHO "

),0),0D VROXomR pySWLPD ��

&DOFXODU QRYD 6%3�$FWXDOL]DU TXDGUR&DOFXODU QRYD 6%3�$FWXDOL]DU TXDGUR

FRUUHVSRQGHQWH j QRYDFRUUHVSRQGHQWH j QRYD 6%$'6%$' FRPSOHPHQWDU�FRPSOHPHQWDU�

'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFD'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFDQHJDWLYD TXH VDL GDQHJDWLYD TXH VDL GD 6%1$36%1$3

ÏSWLPR QmRILQLWR SDUD R

GXDO "

),0),0R SULPDO p

LPSRVVtYHO ��

'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmREiVLFD TXH HQWUD SDUD DEiVLFD TXH HQWUD SDUD D

6%1$36%1$3

SimSim

Não

critério de admissibilidade para o dual:∀ j : cj-zj≤ 0

critério de admissibilidadepara o primal:

xi ≥ 0 , ∀ xi ∈ XB

critério de óptimo não finito para o dual

∀ j: xs j≥ 0

critério de saídamin { xi : xi < 0 , xi ∈ XB }= xs

determinar a linha pivotal ss

$OJRULWPR 'XDO�$OJRULWPR 'XDO�


min cj - zj : xsj < 0 xsj

determinar a coluna pivotal

8


� � � �

([HPSOR� 5HGXomR i IRUPD SDGUmR�([HPSOR� 5HGXomR i IRUPD SDGUmR�

-2 x1 - 7x2 - 2x3 - 2x4 + x5 = -20

7 x1 + 2 x2 + 6x3 - 2x4 + x6 = 35

-4x1 - 5x2 + 3x3 + 2x4 + x7 = -15

2 x1 + 7x2 + 6x3 + 5x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 , x7 ≥ 0

2 x1 + 7 x2 + 2 x3 + 2 x4 - x5 = 20

7 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 2 x4 + x6 = 35

4 x1 + 5 x2 - 3 x3 - 2 x4 - x7 = 15

2 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 5 x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 , x7 ≥ 0

2 x1 + 7 x2 + 2 x3 + 2 x4 ≥ 20

7 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 2 x4 ≤ 35

4 x1 + 5x2 - 3 x3 - 2 x4 ≥ 15

2 x1 + 7 x2 + 6x3 + 5 x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3 , x4 ≥ 0

Multiplicando por (-1) as equações 1 e

3 , obtém-se uma matriz inicial

identidade


� � � �

XBx5x6x7

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

-2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0-4 -5 3 2 0 0 1

P5 P6 P7

1 0 00 1 00 0 1

P0

-2035

-15==

A SBP inicial X0 = ( 0, 0, 0, 0, -20, 35, -15 ) é não admissível.

3DVVR �� 'HWHUPLQDU XPD 6%3 LQLFLDO TXH FRUUHVSRQGH D XPD

6%$'� &RQVWUXLU R TXDGUR VLPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH�

3DVVR �� 'HWHUPLQDU XPD 6%3 LQLFLDO TXH FRUUHVSRQGH D XPD

6%$'� &RQVWUXLU R TXDGUR VLPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH�

&RP D UHGXomR j IRUPD SDGUmR� p SRVVtYHO LGHQWLILFDU XPD 6%36%3 TXH

FRUUHVSRQGD D XPD 6%$'6%$' FRPSOHPHQWDU�

�YHULILFD � ∀∀ M �M � FFMM��]]MM≤≤ �� MM ��«�Q� ��«�Q�

$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� GHWHUPLQDQGR XPD 6%3 LQLFLDO�$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� GHWHUPLQDQGR XPD 6%3 LQLFLDO�

9


� � � �

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

00valor da f.o.

verifica o critério de optimalidade:

os custos reduzidos são não positivos, i.e. a solução dual complementar é

admissível.0 0 0 0 0 0 0

�� TXDGUR� 3DVVR �� &RQVWUXomR GR �� TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH j

6%1$3 ;� � ��

�� TXDGUR�� TXDGUR� 3DVVR �3DVVR �� &RQVWUXomR GR �� TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH j

6%1$3 ;� � ��

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� TXDGUR$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� TXDGUR 6LPSOH[6LPSOH[

FRUUHVSRQGHQWH j 6%3 ,QLFLDO�FRUUHVSRQGHQWH j 6%3 ,QLFLDO�


� � � �

∃ xi ∈ Xk

B , WDOTXH

xi< 0 ?

3DVVDU DR SDVVR VHJXLQWH

),0),0D VROXomR pySWLPD ��Não

Sim


3DVVR �3DVVR �� 7HVWH GH DGPLVVLELOLGDGH SDUD D VROXomR� 7HVWH GH DGPLVVLELOLGDGH SDUD D VROXomR SULPDOSULPDO��

([LVWH DOJXP xi ∈ Xk

B � WDO TXH xi< 0 , i=1,…m "

� 1mR� R SURFHVVR WHUPLQD� D VROXomR EiVLFD GR SULPDO p

DGPLVVtYHO� L�H�� D VROXomR p ySWLPD SDUD R SULPDO�

� 6LP� R SURFHVVR SURVVHJXH�

10


� � � �

X0

B= ( -20 , 35, -15 )XX00

BB= ( = ( --20 , 35, 20 , 35, --15 )15 )

∃∃ xxii ∈∈ XX00

B B , , tal tal queque

xxii< 0 ?< 0 ?

SimSim


XX00 não é admissível para o primal

(SBNAP)

$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� 4XDGUR�$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� 4XDGUR�


([LVWH DOJXPD YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD"([LVWH DOJXPD YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD"


� � � �

Critério de saída:

min { xi ∈ XkB : xi < 0 } = xs

i

Critério de saída:


i

linha pivotal ss

XXBB xx1 1 …… xxjj … … xxnn

xxii11x11 ... x1j … x1n

xxii2 2 x21 … x2j … x2n

.

.

xxiiSS<0 xxs1s1 … xxsjsj … xxsnsn

..

.

xxiiMMxm1 ... xmj … xmn


3DVVR �3DVVR ��'HWHUPLQDQGR D YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD TXH VDL��'HWHUPLQDQGR D YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD TXH VDL�

11


� � � �

min { xi ∈ Xk

B : xi < 0 } = -20

a variável candidata

a sair é: x5

linhapivotal

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5

x6

x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

→→ mínimo mínimo


3DVVR �3DVVR ��'HWHUPLQDQGR D YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD TXH VDL��'HWHUPLQDQGR D YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD TXH VDL�


� � � �


ii

Existe algumxsj < 0 ?


),0),0ySWLPR QmRILQLWR SDUD RGXDO� L�H�� R

SULPDO QmR WHPVROXo}HV

DGPLVVtYHLV�R SULPDO pLPSRVVtYHO

NãoNão

SimSim

Existe alguma componente negativa na

linha pivotal ?


xxii11x11 ... x1j … x1n

xxii2 2 x21 … x2j … x2n

.

.


..

.



3DVVR �3DVVR �� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO

��SULPDOSULPDO LPSRVVtYHO��LPSRVVtYHO��

12


� � � �

Existe alguma componente negativa na linha pivotal ?

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5

x6

x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

→→ mínimo mínimo Há 2

componentes negativas na

linha pivotal, i.e., é possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Há 2 componentes negativas na

linha pivotal, i.e., é possível passar ao passo seguinte

do algoritmo


3DVVR �3DVVR �� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO�� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO�


� � � �

�� 6HOHFFLRQDU RV FRHILFLHQWHV QHJDWLYRV GD OLQKD

SLYRWDO VV � [[VMVM ��

�� 'LYLGLU RV TXRFLHQWHV HQWUH RV FXVWRV UHGX]LGRVH FDGD XP GHVWHV FRHILFLHQWHV QHJDWLYRV

,...,n,sjsj

jj jxx

zc21 ,0 : =<

−


3DVVR �3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�

�� 6HOHFFLRQDU D FROXQD U RQGH VH DOFDQFH R

PHQRU GRV TXRFLHQWHV�FULWpULR GH HQWUDGD��

sr

rrsj

sj

jj

j xzc

xx

zc −=

<

−

= 0min0

θ

linha pivotal ss


xxii11x11 ... x1j … x1n

xxii2 2 x21 … x2j … x2n

.

.


..

.


linha pivotal ss


xxii11x11 ... x1j … x1n

xxii2 2 x21 … x2j … x2n

.

.


..

.



xxii11x11 ... x1j … x1n

xxii2 2 x21 … x2j … x2n

.

.


..

.


A escolha de θ0 como o mínimo desta expressão

garante a admissibilidade da nova solução dual, já que o

percurso deste algoritmo dual Simplex é mover-se duma SBAD para outra SBAD “

melhor”.

A escolha de θ0 como o mínimo desta expressão

garante a admissibilidade da nova solução dual, já que o

percurso deste algoritmo dual Simplex é mover-se duma SBAD para outra SBAD “

melhor”.

13


� � � �

-2/-2= 1-5/-4= 5/4↑↑ mminimoinimo


pivot

→→ mínimomínimo

zzj j

zzjj --ccjj

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5

x6

x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0


3DVVR �3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�


� � � �

$ YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD TXH VDL

$ YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD xrxxrr

1ª1ª

2ª2ª

SBP:X0 = ( x1 , x2, xs ,..,xm,0,..,0 )

SBP:X0 = ( x1 , x2, xs ,..,xm,0,..,0 )

nova SBP:X1 = ( x1 , x2 ,xr ,..,xm,0,..,0 )

nova SBP:X1 = ( x1 , x2 ,xr ,..,xm,0,..,0 )

xr entra

xs sai

xsxxss


3DVVR �3DVVR �� &DOFXODU QRYD 6%3 FRP 6%$' FRPSOHPHQWDU�� &DOFXODU QRYD 6%3 FRP 6%$' FRPSOHPHQWDU�

�� &RQVWUXLU R QRYR TXDGUR�� &RQVWUXLU R QRYR TXDGUR VLPSOH[VLPSOH[��

&DOFXODU R QRYR TXDGUR DSOLFDQGR R PpWRGR GH *DXVV�-RUGDQ�

WRPDQGR R SLYRW FRPR HOHPHQWR UHGXWRU�

14


� � � �

6%3 LQLFLDO ;� �

X0

B = (x5 , x6 , x7 )

X0 = (0,0,0,0,-20, 35, -15)

6%3 LQLFLDO ;;��

XX00

B B = (= (xx55 , , xx6 6 , , xx77 ))

X0 = (0,0,0,0,-20, 35, -15)

6%3 ;� �

X1

B= ( x1 , x6 , x7 )

X1 = ?

6%3 ;;��

XX11

BB= ( = ( xx11 , xx66 , xx77 )

X1 = ?

x1 entra

x5 sai


3DVVR �3DVVR �� &DOFXODU QRYD 6%3 FRP 6%$' FRPSOHPHQWDU�� &DOFXODU QRYD 6%3 FRP 6%$' FRPSOHPHQWDU�


$ YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD x1xx11

1ª1ª

2ª2ª

x5xx55


� � � �

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

Linha 1: linha pivotal dividir pelo pivot: -2

Linha 2: linha anterior -(coeficiente coluna pivot x nova linha pivot)

7 2 6 -2 0 1 0 35-(7) 1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

0 25/2 47/2 -16 7/2 1 0 -35 zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5

x6

x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

0 25/2 47/2 -16 7/2 1 0 -35

0 -11 -7 10 -2 0 1 25

x1x6x7

2 0 0


-4 -5 3 2 0 0 1 -15+4x 1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

0 -11 -7 10 -2 0 1 25

�� %"�� %"��&��'��(��!)��*��&��'��(��!)��*��

15


� � � �

zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBBb

200

os custos reduzidos são não positivos, i.e., a solução dual

complementar é admissível.

2 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0


3DVVR �� &RQVWUXLU R TXDGUR3DVVR �� &RQVWUXLU R TXDGUR 6LPSOH[6LPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH jFRUUHVSRQGHQWH j

QRYD 6%3 ;QRYD 6%3 ;��


� � � �

X1

B= ( 10 , -35 , 25 )XX11

BB= ( 10 , = ( 10 , --3535 , 25 ), 25 )

∃ xi ∈ X0B ,

tal quexi< 0 ?

SimSim


X1 não é admissível para o primal

(SBNAP)

$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� TXDGUR�$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR� �� TXDGUR�

3DVVR �� 7HVWH GH DGPLVVLELOLGDGH SDUD D VROXomR3DVVR �� 7HVWH GH DGPLVVLELOLGDGH SDUD D VROXomR SULPDOSULPDO��


16


� � � �

a variável candidata a sair

é: x6

linhapivotal


zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0


3DVVR �3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFD TXH VDL�� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFD TXH VDL�


� � � �

Existe algum xx5j5j < 0 < 0 na linha pivotal ?


zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

Há uma componente

negativa na linha pivotal, i.e., é

possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Há uma componente

negativa na linha pivotal, i.e., é

possível passar ao passo seguinte

do algoritmo


3DVVR �� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO�3DVVR �� 7HVWH GH ySWLPR QmR ILQLWR SDUD R GXDO�

SUREOHPD LPSRVVtYHO SDUD RSUREOHPD LPSRVVtYHO SDUD R SULPDOSULPDO��

17


� � � �

-1/-16= 1/16

mmínimoínimo ↑↑

→→ minimominimo

zzj j

zzjj --ccj j

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0


3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�3DVVR �� 'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD�


� � � �


3DVVR �3DVVR �� &DOFXODU QRYD 6%3 ;� &DOFXODU QRYD 6%3 ;��

6%3 LQLFLDO ;� �

X1

B = (x1 , x6 , x7 )

X1 = (10,0,0,0,0, -35, 25)

6%3 LQLFLDO ;;��

XX11

B B = (= (xx1 1 , , xx66 , , xx77 ))

X1 = (10,0,0,0,0, -35, 25)

6%3 ;� �

X2

B= ( x1 , x4 , x7 )

X2 = ?

6%3 ;;��

XX22

BB= ( = ( xx11 , xx44 , xx77 )

X2 = ?

x4 entra

x6 sai


$ YDULiYHO QmR EiVLFD TXH HQWUD x4xx44

1ª1ª

2ª2ª

x6xx66

18


� � � �

0 -25/32 -47/32 1 -7/32 -1/16 0 35/16

x1x4x7

2 5 0

zzj j

zzjj --ccjj

x1x6x7

20 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

200

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

2 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

1 1/16 7/16 0 -1/16 1/8 0 45/8

0 -51/16 123/16 0 3/16 5/8 1 75/8


3DVVR �3DVVR �� &DOFXODU QRYD 6%3 ;� &DOFXODU QRYD 6%3 ;��


� � � �

os custos reduzidos são não positivos, i.e. a solução dual

complementar é admissível

zzjj

zzjj --ccj j

x1x4x7

2 5 0

2 7 6 5 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

355/16

0 -25/32 -47/32 1 -7/32 -1/16 0 35/16

1 1/16 7/16 0 -1/16 1/8 0 45/8

0 -51/16 123/16 0 3/16 5/8 1 75/8

$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR�$OJRULWPR 'XDO� ([HPSOR�

3DVVR �3DVVR �� &RQVWUXLU R �� TXDGUR� &RQVWUXLU R �� TXDGUR 6LPSOH[6LPSOH[ FRUUHVSRQGHQWHFRUUHVSRQGHQWH

j QRYD 6%3 ;j QRYD 6%3 ;��

;� �� ;� ��

0 -345/32 -399/32 0 -39/32 -1/16 0

2 -121/32 -207/32 4 -39/32 -1/16 0

19


� � � �

X2

B= ( 45/8 , 35/16 ,75/8 )X2

B= ( 45/8 , 35/16 ,75/8 )

∃ xi ∈ X2B ,

tal quexi< 0 ?

Não FIMa solução é óptima !!!

;� p DGPLVVtYHO SDUD R SULPDO �6%$3�� VHQGR D VROXomRySWLPD SDUD R SULPDO�

$ VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU <� &%%�� p DGPLVVtYHO SDUD R

GXDO �6%$'�� VHQGR D VROXomR ySWLPD SDUD R GXDO�

;� p DGPLVVtYHO SDUD R SULPDO �6%$3�� VHQGR D VROXomRySWLPD SDUD R SULPDO�

$ VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU <� &%%�� p DGPLVVtYHO SDUD R

GXDO �6%$'�� VHQGR D VROXomR ySWLPD SDUD R GXDO�





� � � �

�� '�� '��

2 $OJRULWPR 'XDO 6LPSOH[ HQYROYH�

� XPD 6%$' FRPR SRQWR GH SDUWLGD j TXDO FRUUHVSRQGH

XPD 6%1$3�

� XP PHFDQLVPR TXH GHWHUPLQD D SDVVDJHP SDUD XPD

QRYD 6%$' �PHOKRU� GR TXH D DQWHULRU�

� FULWpULRV GH SDUDJHP TXH LQGLFDP VH R SUREOHPD SULPDO

WHP ySWLPR ILQLWR �VROXomR ySWLPD� RX VH R SUREOHPD

SULPDO p LPSRVVtYHO �QHVWH FDVR R SUREOHPD GXDO QmR

WHP ySWLPR ILQLWR��

1


� � � �

��


�� ÈOJHEUD GR $OJRULWPR 'XDO 6LPSOH[� &RQFOXV}HV�


� � � �

$ VROXomR EiVLFDSULPDO p

DGPLVVtYHO"

&RQVWUXLU R TXDGUR VLPSOH[FRUUHVSRQGHQWH D XPD 6%$'

FRPSOHPHQWDU�WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV QmR SRVLWLYRV�

),0 ��),0 ��D VROXomR p ySWLPDD VROXomR p ySWLPD

0RYHU�VH SDUD XPD

6%$' �PHOKRU�

SimSim

NãoNão

��

2


� � � �

NãoNão

SimSim

&RQVWUXLU TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH D&RQVWUXLU TXDGUR FRUUHVSRQGHQWH D

XPDXPD 6%$' FRPSOHPHQWDU6%$' FRPSOHPHQWDU

,1Ë&,2,1Ë&,2)RUPD 3DGUmR

$ VROXomR$ VROXomREiVLFDEiVLFD SULPDOSULPDOp DGPLVVtYHO "p DGPLVVtYHO "

),0),0D VROXomR pySWLPD ��

&DOFXODU QRYD 6%3�$FWXDOL]DU TXDGUR&DOFXODU QRYD 6%3�$FWXDOL]DU TXDGUR

FRUUHVSRQGHQWH j QRYDFRUUHVSRQGHQWH j QRYD 6%$'6%$' FRPSOHPHQWDU�FRPSOHPHQWDU�

'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFD'HWHUPLQDU D YDULiYHO EiVLFDQHJDWLYD TXH VDL GDQHJDWLYD TXH VDL GD 6%1$36%1$3

ÏSWLPR QmRÏSWLPR QmRILQLWR SDUD RILQLWR SDUD R

GXDO "GXDO "

),0),0R SULPDO p

LPSRVVtYHO ��

'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmR'HWHUPLQDU D YDULiYHO QmREiVLFD TXH HQWUD SDUD DEiVLFD TXH HQWUD SDUD D

6%1$36%1$3

SimSim

Não

critério de admissibilidade para o dual:∀ j : cj-zj≤ 0

critério de admissibilidadepara o primal:

xi ≥ 0 , ∀ xi ∈ XB

critério de óptimo não finito para o dual

∀ j: xs j≥ 0

critério de saídamin { xi : xi < 0 , xi ∈ XB }= xs

determinar a linha pivotal ss



min cj - zj : xsj < 0 xsj

determinar a coluna pivotal


� � � �

��

2 $OJRULWPR 'XDO 6LPSOH[ HQYROYH�

� XPD 6%$' FRPR SRQWR GH SDUWLGD j TXH FRUUHVSRQGH XPD6%1$3�

� XP PHFDQLVPR TXH GHWHUPLQD D SDVVDJHP SDUD XPDQRYD 6%$' �PHOKRU� GR TXH D DQWHULRU�

� FULWpULRV GH SDUDJHP TXH LQGLFDP VH R SUREOHPD WHP ySWLPRILQLWR RX VH R SUREOHPD p LPSRVVtYHO�

(VWD SDVVDJHP GH 6%$' SDUD 6%$' GHYH YHULILFDU RV VHJXLQWHVREMHFWLYRV�

� LU HOLPLQDQGR DV YDULiYHLV QHJDWLYDV GD VROXomR SULPDO SDUDSRGHU DWLQJLU� FDVR VHMD SRVVtYHO� XPD VROXomR SULPDODGPLVVtYHO �6%$3�� L�H�� DWLQJLU D VROXomR SULPDO ySWLPD�

� PDQWHU D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR GXDO�

� �PHOKRUDU� �RX SHOR PHQRV QmR SLRUDU� R YDORU GD I�R� GXDO DWpTXH VHMD DWLQJLGR R VHX YDORU ySWLPR� RX VH FRQFOXD TXH RSUREOHPD GXDO QmR WHP ySWLPR ILQLWR� VHQGR HQWmR R SULPDOLPSRVVtYHO�

3


� � � �

se existir pelo menos uma variável básica negativa na solução primal

&RQVLGHUH R SDU GH SUREOHPDV SULPDO�GXDO QD IRUPD FDQyQLFD�

se verificar o critério de optimalidade, i,e, cj -zj ≤ 0 ∀ j

Ver prova no capítulo 5.2,

relação 4

a solução primal é não admissível ( SBNAP )( SBNAP )

a solução dual complementar é admissível (SBAD)(SBAD)

!��"�� !��"��

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

3UREOHPD3UREOHPD 3ULPDO3ULPDO

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY

3UREOHPD 'XDO3UREOHPD 'XDO


� � � �

Suponha xs0 < 0(a linha pivotalcorresponde à variável básica

negativa xs )

4XDGUR4XDGUR 6LPSOH[6LPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH j XPD 6%1$3�FRUUHVSRQGHQWH j XPD 6%1$3�

6XSRQKD�

� XPD EDVH % FRQVWLWXtGD SHORV SULPHLURV P YHFWRUHV P1 ,..., PmH TXH H[LVWH SHOR PHQRV XPD YDULiYHO EiVLFD QHJDWLYD⇒ D VROXomR SULPDO p QmR DGPLVVtYHO �6%1$3��6%1$3��

� R FULWpULR GH RSWLPDOLGDGH VH YHULILFD � cj -zj ≤ 0 ∀ j )⇒ D VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU p DGPLVVtYHO�6%$'��6%$'�

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzjj

CCBB bb

ccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ...... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzjj

CCBB bbbb

ccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ...... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

4


� � � �

0 0

0' →>→<→<

=srx

xx s

s

�� #� �� $�� %"&�� '��(�� #� �� $�� %"&�� '��(�

�VH R SLYRW� xsr� p VHOHFFLRQDGR HQWUH RV FRHILFLHQWHV QHJDWLYRV GD

OLQKD SLYRWDO� GHSRLV GH FDOFXODU R QRYR TXDGUR H GLYLGLU HVWD OLQKDSHOR SLYRW�XP Q~PHUR QHJDWLYR� REWpP�VH XP YDORU SRVLWLYR SDUDD YDULiYHO EiVLFD TXH HQWUD

&ULWpULR GH HQWUDGD�&ULWpULR GH HQWUDGD�

6HOHFFLRQDU D FROXQD U RQGH VH DOFDQFH R PHQRU GRV TXRFLHQWHV�

sr

rrsj

sj

jj

j x

zcx

x

zc −=

<

−

= 0min0

θ

2EMHFWLYR �2EMHFWLYR �� HOLPLQDU DV YDULiYHLV QHJDWLYDV GD VROXomR SULPDO��

� VH QmR H[LVWLUHP FRHILFLHQWHV QHJDWLYRV QD OLQKD SLYRWDO� p

LPSRVVtYHO DWLQJLU XP YDORU SRVLWLYR SDUD HVWD YDULiYHO� L�H�

QXQFD p DWLQJLGD XPD 6%$3� VHQGR R SULPDO LPSRVVtYHO�


� � � �

$ HVFROKD GH θ�FRPR R PtQLPR GRV TXRFLHQWHV JDUDQWH D

DGPLVVLELOLGDGH GXDO GD QRYD VROXomR �

3DUD YHULILFDU D DGPLVVLELOLGDGH GXDO GD QRYD VROXomR WHP�VH GH

YHULILFDU TXH SDUD R QRYR TXDGUR WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR

QmR SRVLWLYRV�

�� #� �� $�� %"&�� '��)�� #� �� $�� %"&�� '��)�

2EMHFWLYR �2EMHFWLYR �� 0DQWHU D DGPLVVLELOLGDGH GD QRYD VROXomR GXDO�

sr

rrsj

sj

jj

j x

zcx

x

zc −=

<

−

= 0min0

θ

5


� � � �

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzj j

CCBB bbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ... ... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzj j

CCBB bbbbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ... ... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

)()()( 'rr

sr

sjjjjj zc

x

xzczc −−−=−

�� #� �� $�� *�%"&�� '��)�� #� �� $�� *�%"&�� '��)�

3URYDU TXH SDUD R QRYR TXDGUR WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR

QmR SRVLWLYRV� L�H�� (cj -zj)' ≤ 0 ∀ j:�� 3DUD RV YHFWRUHV GD QRYD EDVH RV FXVWRV UHGX]LGRV

VmR QXORV ,

�� 3DUD RV YHFWRUHV IRUD GD EDVH �H[FHSWR j=r��

�� 3DUD R YHFWRU TXH VDL GD EDVH PPss �

0)(

)( ' ≤−−=−sr

rrss x

zczc

Para os casos 1 e 3 os custos reduzidos do novo quadro são não positivos.Falta apenas verificar se os custos reduzidos são também não positivos para os vectores fora da base (excepto Pr ).

Para os casos 1 e 3 os custos reduzidos do novo quadro são não positivos.Falta apenas verificar se os custos reduzidos são também não positivos para os vectores fora da base (excepto Pr ).

Os custos reduzidos para o novo quadro podem também ser

calculados pelaregra da estrela

(PROVAR !!!).

Os custos reduzidos para o novo quadro podem também ser

calculados pelaregra da estrela

(PROVAR !!!).


� � � �

Caso 1: xsj ≥ 0Caso 1: xsj ≥ 0

0)( ≥− rrsr

sj zcx

x

)()( 'jjjj zczc −≤−

0)( ≤− jj zc

0:, 0)( ' ≥∀≤− sjjj xjzc

0)(,0,0 ≤−<≥ rrsrsj zcxxcomo

como a solução anterior era dual admissível, então:

3DUD RV YHFWRUHV IRUD GD EDVH RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR3DUD RV YHFWRUHV IRUD GD EDVH RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR

QmR SRVLWLYRV"QmR SRVLWLYRV"

Caso 2: xsj < 0Caso 2: xsj < 0

0:, 0)( ' <∀≤− sjjj xjzc

como rrsj

jj

j

zcx

zc −=

<

−

= 0 min0θ

0:, <∀−

≤−sj

sj

jj

sr

rr xjx

zc

x

zc

0:,0)()( <∀≤−−− sjrrsr

sjjj xjzc

x

xzc

GR FDVR � H FDVR � SRGH FRQFOXLU�VH TXH D QRYD VROXomR p WDPEpP

GXDO DGPLVVtYHO

)()()( 'rr

sr

sjjjjj zc

x

xzczc −−−=− ≤ 0 ? rjBPj ≠∉ ,

multiplicando ambos os membros por xsj<0, obtém-se:

6


� � � �

3URFHGHQGR j PXGDQoD GH EDVH REWpP�VH R QRYR YDORU GD I�R�

GXDO Z¶ �

soxww o'

�+=

0�,0 00 ≥<sx

ww ≤'

$ VHOHFomR GD FROXQD U SHOR FULWpULR H[SRVWR� JDUDQWH TXH

R YDORU GD I�R� GXDO PHOKRUD �RX SHOR PHQRV QmR SLRUD�"

$ VHOHFomR GD FROXQD UU SHOR FULWpULR H[SRVWR� JDUDQWH TXH

R YDORU GD I�R� GXDO PHOKRUD �RX SHOR PHQRV QmR SLRUD�"

(VWD H[SUHVVmR H[SULPH R YDORU

GD QRYD I�R� GXDO HP IXQomR GD

DQWHULRU H YHULILFD TXH VH

HVFROKHU SDUD VDLU D YDULiYHO

QHJDWLYD FRP PHQRU YDORU

HQWmR REWpP�VH XP PDLRU

GHFUpVFLPR SDUD R QRYR YDORU GD

I�R�� R TXH IXQGDPHQWD R FULWpULR

GH VDtGD

sorrsr

soB xwzc

x

xbBcw 0

'� )( 1 +=−+= −

+� �� ,��+��-�� %��+� �� ,��+��-�� %��


� � � �

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a

y1 + 3 y3 ≥ 3

2 y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2 , y3 ≥ 0

�� "�� "�� $��.� ��$��.� ��

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a

y1 + 3 y3 - y4 = 3

2 y2 + 2 y3 - y5 = 5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0

multiplicando por (-1) as equações obtém-se:

reduzindo à forma padrão

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a

- y1 - 3 y3 + y4 = −3

- 2 y2 - 2 y3 + y5 = −5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0

7


� � � �

-1 0 -3 1 0

0 -2 -2 0 1

-3-5

y4

y5

0

0

4 12 18 0 0

000 0 0 0 0-4 -12 -18 0 0

0

12

y4

y2

-1 0 -3 1 0 -3

0 1 1 0 -1/2 5/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy55 bbcj

YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccjj

zzjj

zzjj --ccjj

0 12 12 0 -6 3030

→→mínimo mínimo

verifica o critério de admissibilidade

para o dual :os custos reduzidos são não positivos

-12/-2= 6

↑↑ mminimoinimo-18/-2= 9

-4 0 -6 0 -6


$OJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR 3UREOHPD 'XDO�$OJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR 3UREOHPD 'XDO�

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a

- y1 - 3 y3 + y4 = −3

- 2 y2 - 2 y3 + y5 = −5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0


� � � �

-1 0 -3 1 0

0 1 1 0 -1/2

-3

5/2

y4

y2

0

12

4 12 18 0 0

30300 12 12 0 -6 -4 0 -6 0 -6

18

12

y3

y2

1/3 0 1 -1/3 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bcj

YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccj j

zzj j

zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 3636


↑↑ mmínimoínimo -6/-3= 2

-2 0 0 -2 -6

como as restrições foram multiplicadas por

–1, as variáveis de decisão primais

correspondem aos valores simétricos dos zj

nas colunas onde se encontrava a base

inicial

os valores simétricos

correspondem às variáveis de folga

do primal

$ VROXomR ySWLPD p < ��$ VROXomR ySWLPD p < ��

([HPSOR 3URWyWLSR� $OJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR([HPSOR 3URWyWLSR� $OJRULWPR 'XDO DSOLFDGR DR

3UREOHPD 'XDO�3UREOHPD 'XDO�

8


� � � �

-1 0 -3 1 0

0 1 1 0 -1/2

-35/2

y4

y2

0

12

4 12 18 0 0

30300 12 12 0 -6 -4 0 -6 0 -6

18

12

y3

y2

1/3 0 1 -1/3 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bbcj

YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccj j

zzj j

zzjj --ccj j

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bbbbcj

YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccj j

zzj j

zzjj --ccj j

cj

YYBBCCBB

zzj j

zzjj --ccj j

zzj j

zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 3636

↑↑ mminimoinimo

-2 0 0 -2 -6

y1

y2

4

12

4 12 18 0 0 0

4242 4 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18

12

y3

y2

1 0 3 -1 0 0 3

0 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzjj

zzj j -c-cjj

bbcj


zzjj

zzj j -c-cjj

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6

3636

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

$ VROXomR ySWLPD p < �� FRP Z ��$ VROXomR ySWLPD p < �� FRP Z ��

��"�� $��.� ��"�� $��.� ��/�� /�� 0�� 0��


� � � �

3636

3030

PrimalPrimal Dualz, wsupersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima


Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual aplicado

ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao dualSBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 )SBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 )4242

SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6)SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6)

SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0) z*=w*=36óptimaóptima

SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)

00

O percurso do algoritmo primal(dual) aplicado ao problema

primal(dual)

O percurso do algoritmo primal(dual) aplicado ao problema

primal(dual)

O percurso do algoritmo dual (primal) aplicado

ao problema dual (primal)

O percurso do algoritmo dual (primal) aplicado

ao problema dual (primal)

3HUFXUVR GRV $OJRULWPRV3HUFXUVR GRV $OJRULWPRV 3ULPDO3ULPDO H 'XDOH 'XDO 6LPSOH[6LPSOH[ DSOLFDGRV DRDSOLFDGRV DR

3DU GH 3UREOHPDV 33DU GH 3UREOHPDV 3��' GR ([HPSOR 3URWyWLSR' GR ([HPSOR 3URWyWLSR

9


� � � �

9DQWDJHP� 3DUWLFXODUPHQWH

~WLO QD UHVROXomR GH

SUREOHPDV GH PLQLPL]DomR

FRP UHVWULo}HV GR WLSR �≥��QmR H[LVWLQGR TXDOTXHU

UHVWULomR TXDQWR DR VLQDO GRV

EL��

9DQWDJHP�9DQWDJHP� 3DUWLFXODUPHQWH

~WLO QD UHVROXomR GH

SUREOHPDV GH PLQLPL]DomR

FRP UHVWULo}HV GR WLSR �≥��QmR H[LVWLQGR TXDOTXHU

UHVWULomR TXDQWR DR VLQDO GRV

EL��

/LPLWDomR� $OWHUDo}HV

SRVWHULRUHV QRV SDUkPHWURV

H[LJHP� HP PXLWRV FDVRV� D

UHVROXomR GR SUREOHPD D

SDUWLU GR LQtFLR�

/LPLWDomR�/LPLWDomR� $OWHUDo}HV


H[LJHP� HP PXLWRV FDVRV� D

UHVROXomR GR SUREOHPD D

SDUWLU GR LQtFLR�

9DQWDJHP� $OWHUDo}HV


GLVSHQVD D UHVROXomR D SDUWLU

GR LQtFLR� e PXLWR ~WLO QR

DQiOLVH GH VHQVLELOLGDGH H

SyV�RSWLPL]DomR�

9DQWDJHP�9DQWDJHP� $OWHUDo}HV


GLVSHQVD D UHVROXomR D SDUWLU

GR LQtFLR� e PXLWR ~WLO QR

DQiOLVH GH VHQVLELOLGDGH H

SyV�RSWLPL]DomR�

/LPLWDomR� &RPR RV WHUPRV

LQGHSHQGHQWHV HVWmR

UHVWULQJLGRV � EL≥ � � �

UDUDPHQWH GLVSHQVD D WpFQLFD

GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV�

SDUWLFXODUPHQWH QD UHVROXomR

GRV SUREOHPDV GH PLQLPL]DomR

FRP UHVWULo}HV GR WLSR �≥� �

/LPLWDomR�/LPLWDomR� &RPR RV WHUPRV

LQGHSHQGHQWHV HVWmR

UHVWULQJLGRV � EL≥ � � �

UDUDPHQWH GLVSHQVD D WpFQLFD

GDV YDULiYHLV DUWLILFLDLV�

SDUWLFXODUPHQWH QD UHVROXomR

GRV SUREOHPDV GH PLQLPL]DomR

FRP UHVWULo}HV GR WLSR �≥� �

�� '�� '��


� � � �

�� '�� '��

,QtFLR� XPD 6%$3,QtFLR�,QtFLR� XPD 6%$3

,WHUDomR�

PRYH�VH GH 6%$3 HP 6%$3

FRP PHOKRULD GD I�R� SULPDO

,WHUDomR�,WHUDomR�

PRYH�VH GH 6%$3 HP 6%$3

FRP PHOKRULD GD I�R� SULPDO

&ULWpULRV GH SDUDJHP�

�� VH YHULILFD R FULWpULR GH

RSWLPDOLGDGH� HQWmR R

SUREOHPD WHP ySWLPR ILQLWR�

�� VH QmR H[LVWH QHQKXPD

FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD

FROXQD SLYRWDO�HQWmR R

SUREOHPD QmR WHP ySWLPR

ILQLWR�

&ULWpULRV GH SDUDJHP�&ULWpULRV GH SDUDJHP�

�� VH YHULILFD R FULWpULR GH

RSWLPDOLGDGH� HQWmR R



FRPSRQHQWH SRVLWLYD QD

FROXQD SLYRWDO�HQWmR R

SUREOHPD QmR WHP ySWLPR

ILQLWR�

,QtFLR� XPD 6%$' j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3

,QtFLR�,QtFLR� XPD 6%$' j TXH

FRUUHVSRQGH XPD 6%1$3

,WHUDomR�

PRYH�VH GH 6%$' SDUD 6%$'

FRP PHOKRULD GD I�R� GXDO�

,WHUDomR�,WHUDomR�

PRYH�VH GH 6%$' SDUD 6%$'

FRP PHOKRULD GD I�R� GXDO�

&ULWpULRV GH SDUDJHP�

�� VH DWLQJH XPD VROXomR

DGPLVVtYHO SULPDO� HQWmR R



FRPSRQHQWH QHJDWLYD QD OLQKD

SLYRWDO� HQWmR R SUREOHPD p

LPSRVVtYHO�

&ULWpULRV GH SDUDJHP�&ULWpULRV GH SDUDJHP�

�� VH DWLQJH XPD VROXomR

DGPLVVtYHO SULPDO� HQWmR R



FRPSRQHQWH QHJDWLYD QD OLQKD

SLYRWDO� HQWmR R SUREOHPD p

LPSRVVtYHO�

1


� � � �

��

&DStWXOR �� 'XDOLGDGH

��,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD�

� 3UREOHPD GXDO� SUHoRV VRPEUD H SHUGDV GH

RSRUWXQLGDGH�

� 3URSULHGDGH GRV GHVYLRV FRPSOHPHQWDUHV


� � � �

)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�)RUPXODomR GR 3UREOHPD GH 3/ HP WHUPRV GH $FWLYLGDGHV�


Maximizar Z=3x1+ 5 x2

sujeito a

x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

103

022

100

010

001

41218

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =


portas por minuto


janelas por minuto






capacidade de produção da secção

3 por minuto

As variáveis xxjj

correspondem aos níveis das actividades

2


� � � �

��

YDULiYHLV GH GHFLVmR�

� x1 � QtYHO GH SURGXomR GH SRUWDV SRU PLQXWR�

� x2 � QtYHO GH SURGXomR GH MDQHODV SRU PLQXWR�XQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH ItVLFD

YDULiYHLV GH IROJD�

� x3 � FDSDFLGDGH GH SURGXomR QmR XWLOL]DGD QD �� VHFomR�SRU PLQXWR�



XQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH ItVLFD

IXQomR REMHFWLYR → PD[�

0D[LPL]DU0D[LPL]DU R OXFUR WRWDO SRU PLQXWR�XQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH PRQHWiULD �(XURV�


� � � �

y1 + 3 y3 ≥ 3yy1 1 + + 33 yy33 ≥≥ 33

minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3minimizar w = minimizar w = 4 4 yy1 1 ++ 1212 yy2 2 ++ 1818 yy33

y1 , y2 , y3 ≥ 0 yy1 1 , yy2 2 , yy3 3 ≥ 0 0

$V YDULiYHLV GH GHFLVmR GXDLV

\\�� \� \

�� \� \

��

VmR YDORUL]Do}HV XQLWiULDV D

DWULEXLU D FDGD UHFXUVR H

SRGHP VHU LQWHUSUHWDGDV

FRPR D FRQWULEXLomR DR OXFUR

WRWDO SRU FDGD XQLGDGH

GH UHFXUVR L XWLOL]DGD�

(VWHV VmR SUHoRV LQWHUQRV�

WDPEpP GHVLJQDGRV FRPR

SUHoRV VRPEUD

R YDORU GD I�R� WUDGX]

R YDORU WRWDO DWULEXtGR

DRV UHFXUVRV

2 y2 + 2 y3 ≥ 52 2 yy2 2 + + 22 yy33 ≥≥ 55

�� !��!��

3


� � � �

642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 6

3x 1 + 2 x 2 = 18

Região de admissibilidade x 1 = 5

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

y1* = 0

Se incrementar a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade ( b 1 = 5 ) o valor óptimo

( z*=36 ) não muda.Este recurso é abundante

( "gratis")

yy11** = 0= 0

Se incrementar a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade ( b 1 = 5 ) o valor óptimo

( z*=36 )( z*=36 ) não mudanão muda.Este recurso é abundante

( "gratis")

X*=(2, 6)

�� "�#�� $�� "�#�� $��!��#��%��& ��!��#��%��& ��


� � � �

642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 12/2=6

3x 1 + 2 x 2 = 18Região de admissibilidade

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

y2* =3/2

Se incrementar a capacidade de

produção da secção 2 em 1 unidade

( b 2 = 13 ) o valor óptimo será

incrementado em 3/2 Euros ( z*=37 ½ ).

Este recurso é escasso.

yy22** =3/2=3/2



( b 2 = 13 ) o valor óptimo será

incrementado em 3/2 Euros ( z*=37 ½ )( z*=37 ½ )..

Este recurso é escasso.escasso.

x 2 = 13/2

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 37 1/2

X*=(5/3, 13/2)

�� "�#�� '�� "�#�� '��!��#��%��& ��!��#��%��& ��

4


� � � �

642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 12/2=6

3x 1 + 2 x 2 = 19


z*= 3x1 + 5 x

2 = 36

y3* =1



( b3 = 19) o valor óptimo será

incrementado em 1Euro( z*=37 ) .

Este recurso é escasso.

yy33** =1=1



( ( bb33 = 19)= 19) o valor óptimo será

incrementado em 1Euro( z*=37 ) .( z*=37 ) .

Este recurso é escasso.escasso.

z*= 3x1 + 5 x

2 = 37

X*=(7/3, 6)

�� #�� (�� #�� (��!��#��%��& ��!��#��%��& ��


� � � �

y1 + 3 y3 ≥ 3yy1 1 + + 33 yy33 ≥≥ 33

5HVWULo}HV )XQFLRQDLV 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�5HVWULo}HV )XQFLRQDLV 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�

HVWD UHVWULomR VLJQLILFD TXH DYDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV

UHFXUVRV JDVWRV QD SURGXomR GH XPDSRUWD QmR GHYH VHU LQIHULRU DR VHXUHVSHFWLYR OXFUR XQLWiULR� � (XURV


UHFXUVRV JDVWRV QD SURGXomR GH XPDSRUWD QmR GHYH VHU LQIHULRU DR VHXUHVSHFWLYR OXFUR XQLWiULR� � (XURV

Se y1 e y3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 1 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma porta gasta 1 unidade de produção da secção 1 e3 unidades de produção da secção 3 então

a expressão y1 + 3 y3 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma porta. Como 3 Euros é o lucro unitário duma porta, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porquese verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam portas.

Se yy1 1 e yy3 3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 1 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma porta gasta 1 unidade de produção da secção 1 e3 unidades de produção da secção 3 então

a expressão yy1 1 + + 33 yy33 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma porta. Como 3 Euros é o lucro unitário duma porta, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porquese verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam portas.

5


� � � �

5HVWULo}HV )XQFLRQDLV 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�5HVWULo}HV )XQFLRQDLV 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�

2 y2 + 2 y3 ≥ 52 2 yy2 2 + + 22 yy33 ≥≥ 55 HVWD UHVWULomR VLJQLILFD TXH DYDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV

UHFXUVRV JDVWRV QD SURGXomR GH XPDMDQHOD QmR GHYH VHU LQIHULRU DR VHXUHVSHFWLYR OXFUR XQLWiULR� � (XURV�


UHFXUVRV JDVWRV QD SURGXomR GH XPDMDQHOD QmR GHYH VHU LQIHULRU DR VHXUHVSHFWLYR OXFUR XQLWiULR� � (XURV�

Se y2 e y3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 2 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma janela gasta 2 unidades de produção da secção 2 e2 unidades de produção da secção 3 então

a expressão 2 y2 + 2 y3 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma janela. Como 5 Euros é o lucro unitário duma janela, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porque se verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam janelas.

Se yy2 2 e yy3 3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 2 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma janela gasta 2 unidades de produção da secção 2 e2 unidades de produção da secção 3 então

a expressão 22 yy2 2 + + 22 yy33 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma janela. Como 5 Euros é o lucro unitário duma janela, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porque se verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam janelas.


� � � �

y1 , y2 , y3 ≥ 0yy1 1 , yy2 2 , yy3 3 ≥ 00

#�� )�� *��#�� )�� *��*�� *��

HVWDV UHVWULo}HV VLJQLILFDP

TXH D YDORUL]DomR XQLWiULD

�SUHoR VRPEUD� ³FXVWR´

LQWHUQR� GRV UHFXUVRV

GHYH VHU QmR QHJDWLYD�

FDVR FRQWUiULR�

D XWLOL]DomR GHVWH UHFXUVR

QmR VHULD UHQWiYHO� SHOR TXH

VHULD PHOKRU QmR XWLOL]DU

HVWH UHFXUVR QR DEVROXWR�

HVWDV UHVWULo}HV VLJQLILFDP

TXH D YDORUL]DomR XQLWiULD

�SUHoR VRPEUD� ³FXVWR´

LQWHUQR� GRV UHFXUVRV

GHYH VHU QmR QHJDWLYD�

FDVR FRQWUiULR�

D XWLOL]DomR GHVWH UHFXUVR

QmR VHULD UHQWiYHO� SHOR TXH

VHULD PHOKRU QmR XWLOL]DU

HVWH UHFXUVR QR DEVROXWR�

6


� � � �

y4 = y1 + 3 y3 - 3yy4 4 = y= y1 1 + + 33 yy33 -- 33D YDULiYHO GH IROJD y4 UHSUHVHQWD

D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH

GD SURGXomR GH XPD SRUWD� L�H��D GLIHUHQoD HQWUH

D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGDDRV UHFXUVRV JDVWRV

�³FXVWR LQWHUQR´� QD IDEULFDomRGXPD SRUWD

H R VHX OXFUR XQLWiULR�

D YDULiYHO GH IROJD yy4 4 UHSUHVHQWD


GD SURGXomR GH XPD SRUWD� L�H��D GLIHUHQoD HQWUH

D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGDDRV UHFXUVRV JDVWRV

�³FXVWR LQWHUQR´� QD IDEULFDomRGXPD SRUWD


Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i.e.,

há perda de oportunidade da produção duma porta, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,

“custo interno = lucro” pelo que é economicamente rentávelactivar esta actividade e a perda de oportunidade é nula.

Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i.e.,

há perda de oportunidade da produção duma porta, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,


9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD


� � � �

D YDULiYHO GH IROJD \�

UHSUHVHQWD


GD SURGXomR GH XPD MDQHOD� L�H��

D GLIHUHQoD HQWUH

D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV

UHFXUVRV JDVWRV

QD IDEULFDomR GXPD MDQHOD


D YDULiYHO GH IROJD \\��

UHSUHVHQWD


GD SURGXomR GH XPD MDQHOD� L�H��

D GLIHUHQoD HQWUH

D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV

UHFXUVRV JDVWRV

QD IDEULFDomR GXPD MDQHOD


y5 = 2 y2 + 2 y3 - 5yy5 5 = = 2 2 yy2 2 + + 22 yy33 - 55

9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�9DULiYHLV GH )ROJD 'XDLV� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD�

Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i,e,

há perda de oportunidade da produção duma janela, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,


Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i,e,

há perda de oportunidade da produção duma janela, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,


7


� � � �

y1* = 0yy11

** = 0= 0 6H LQFUHPHQWDUPRV D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � HP � XQLGDGH� R YDORU GD I�R� �OXFUR� QmR

p DOWHUDGR�

6H LQFUHPHQWDUPRV D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � HP � XQLGDGH� R YDORU GD I�R� �OXFUR� QmR

p DOWHUDGR�

3ULPDO� ; ��3ULPDO3ULPDO�� ; ; �� 'XDO� < �� 'XDO�'XDO� < < �� z*= w*=36zz**= = ww**=36=36

y2* = 3/2yy22

** = 3/2= 3/2

y3* = 1yy33

** = 1= 1


VHFomR � HP � XQLGDGH� R YDORU GD I�R� �OXFUR� p

LQFUHPHQWDGR HP �� (XURV



LQFUHPHQWDGR HP �� (XURV



LQFUHPHQWDGR HP � (XUR�



LQFUHPHQWDGR HP � (XUR�

�� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� 3UHoRV 6RPEUDV�,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� 3UHoRV 6RPEUDV�


� � � �

y4* = 0yy44

** = 0= 0$ SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GH XPD

SRUWD SRU PLQXWR p QXOD� REYLDPHQWH VH IRVVH

SRVLWLYD QmR HUDP SURGX]LGDV SRUWDV

$ SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GH XPD

SRUWD SRU PLQXWR p QXOD� REYLDPHQWH VH IRVVH

SRVLWLYD QmR HUDP SURGX]LGDV SRUWDV

y5* = 0yy55

** = 0= 0 $ SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GH XPD

MDQHOD SRU PLQXWR p QXOD� REYLDPHQWH VH IRVVH

SRVLWLYD QmR HUDP SURGX]LGDV MDQHODV

$ SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GH XPD

MDQHOD SRU PLQXWR p QXOD� REYLDPHQWH VH IRVVH

SRVLWLYD QmR HUDP SURGX]LGDV MDQHODV

�� +�� +�� ,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� 3HUGD GH RSRUWXQLGDGH,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� 3HUGD GH RSRUWXQLGDGH

3ULPDO� ; ��3ULPDO3ULPDO�� ; ; �� 'XDO� < �� 'XDO�'XDO� < < �� z*= w*=36zz**= = ww**=36=36

8


� � � �

��

YDULiYHLV GH GHFLVmR�

� y1 � SUHoR VRPEUD GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR �

� y2 � SUHoR VRPEUD GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR �

� y3 � SUHoR VRPEUD GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR �XQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH PRQHWiULD �(XURV�

YDULiYHLV GH IROJD�

� y4 � SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GXPD SRUWD

� y5 � SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GXPD MDQHODXQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH PRQHWiULD �(XURV�

IXQomR REMHFWLYR → PLQ�

0LQLPL]DU D YDORUL]DomR LQWHUQD WRWDO GRV UHFXUVRV JDVWRV SHODVDFWLYLGDGHV

XQLGDGH GH PHGLGD� XQLGDGH PRQHWiULD �(XURV�


� � � �

�� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR


�� 6H D YDULiYHO GH GHFLVmR GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR


6HPSUH TXH XPD DFWLYLGDGH M VHMD DFWLYDGD D XP QtYHO

HVWULWDPHQWH SRVLWLYR� D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRVUHFXUVRV TXH XWLOL]D GHYH VHU LJXDO

DR OXFUR XQLWiULR TXH VH REWpP GHVVD DFWLYLGDGH� L�H��D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH SDUD HVWD DFWLYLGDGH p QXOD

6HPSUH TXH XPD DFWLYLGDGH M VHMD DFWLYDGD D XP QtYHO

HVWULWDPHQWH SRVLWLYR� D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRVUHFXUVRV TXH XWLOL]D GHYH VHU LJXDO

DR OXFUR XQLWiULR TXH VH REWpP GHVVD DFWLYLGDGH� L�H��D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH SDUD HVWD DFWLYLGDGH p QXOD


0* >jx 0* =+ jmy

jmjmjj cyayaya =+++ **22

*11 ...0* >jx

as variáveis são das soluções

óptimas X* e Y*


óptimas X* e Y*

�� ,�� ,��

Se interpretar a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa

actividade como um “custo interno”, esta restrição significa que “custo=lucro”, pelo que é

rentável que esta actividade esteja activada a um nível positivo.

9


� � � �

�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR D


�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR GXDO p SRVLWLYD HQWmR D



óptimas X* e Y*


óptimas X* e Y*

0* =jx

jmjmjj cyayaya >+++ **22

*11 ...

0* >+ jmy

0* >+ jmy

6H D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV UHFXUVRV JDVWRV

QXPD DFWLYLGDGH M p PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR�

HQWmR FRP D DFWLYDomR GHVVD DFWLYLGDGH QmR VH HVWi D

ID]HU XPD XWLOL]DomR ySWLPD GHVWHV UHFXUVRV� L�H�� HVVD

DFWLYLGDGH QmR p UHQWiYHO SHOR TXH QmR GHYH VHU DFWLYDGD �

6H D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD DRV UHFXUVRV JDVWRV

QXPD DFWLYLGDGH M p PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR�

HQWmR FRP D DFWLYDomR GHVVD DFWLYLGDGH QmR VH HVWi D

ID]HU XPD XWLOL]DomR ySWLPD GHVWHV UHFXUVRV� L�H�� HVVD

DFWLYLGDGH QmR p UHQWiYHO SHOR TXH QmR GHYH VHU DFWLYDGD �


�� ,�� ,��

Se interpretar a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa actividade como

um “custo interno”, esta restrição significa que

custo>lucro, pelo que não é rentável activar esta actividade


� � � �

�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p QXOD�

�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p SRVLWLYD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p QXOD�

0* =iy0* >+inx

ininii bxaxaxa <+++ **22

*11 ...

6H D FDSDFLGDGH QmR XWLOL]DGD GR UHFXUVR L p SRVLWLYD�

HQWmR D YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GHVWH UHFXUVR

p QXOD� L�H�� HVWH UHFXUVR p DEXQGDQWH ��PHUFDGRULD

JUiWLV�� R SUHoR GDV PHUFDGRULDV TXH HVWmR HP H[FHVVR�

GHYH FDLU DWp ]HUR SRU OHL GD RIHUWD�SURFXUD�

0* >+inx

1,…m,0)( ** =∀=− iXPby iii


�� ,�� ,��

Esta restrição não está saturada, i.e., que este recurso não está esgotado, é abundante

10


� � � �

�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p QXOD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p SRVLWLYD�

�� 6H D YDULiYHO GH IROJD GR SULPDO p QXOD HQWmR

D YDULiYHO GH GHFLVmR GR GXDO p SRVLWLYD�

0* >iy0* =+inx

ininii bxaxaxa =+++ **22

*11 ...

6H D FDSDFLGDGH QmR XWLOL]DGD GR UHFXUVR L p QXOD�

HQWmR D YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GHVWH

UHFXUVR p SRVLWLYD� L�H�� HVWH UHFXUVR p HVFDVVR ��QmR

Ki VREUDV³��3RU FDGD XQLGDGH H[WUD TXH VHMD

LQFUHPHQWDGD HVWH UHFXUVR L� REWpP�VH XP LQFUHPHQWR

GH \L QD I�R� �OXFUR WRWDO� �

6H D FDSDFLGDGH QmR XWLOL]DGD GR UHFXUVR L p QXOD�

HQWmR D YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GHVWH

UHFXUVR p SRVLWLYD� L�H�� HVWH UHFXUVR p HVFDVVR ��QmR

Ki VREUDV³��3RU FDGD XQLGDGH H[WUD TXH VHMD

LQFUHPHQWDGD HVWH UHFXUVR L� REWpP�VH XP LQFUHPHQWR

GH \L QD I�R� �OXFUR WRWDO� �

0* =+inx

1,…m,0)( ** =∀=− iXPby iii


�� ,�� ,��

Como a variável de folga é nula, esta restrição está saturada, i.e.,

este recurso está esgotado, é escasso


� � � �

variáveis de decisãovariáveis de decisão

x1= 2xx11= = 22 y4= 0yy44= = 00

x2= 6xx22= = 66 y5= 0yy55= = 00

x3= 2xx33= = 22 y1= 0yy11= = 00

variáveis de folgavariáveis de folga

variáveis de folgavariáveis de folga variáveis de decisãovariáveis de decisão

x4= 0xx44= = 00 y2= 3/2yy22= = 3/23/2

x5= 0xx55= = 00 y3= 1yy33= = 11

os produtos das variáveis de decisão do

primal pelas correspondentes

variáveis de folga do dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do

primal pelas correspondentes

variáveis de folga do dual são nulos


correspondentes variáveis de folga do primal são nulos


correspondentes variáveis de folga do primal são nulos

�� ,�� ,��

3ULPDO� ; ��3ULPDO3ULPDO�� ; ; �� 'XDO� < �� 'XDO�'XDO� < < ��

11


� � � �

x1* . y4

*= 0xx11** .. yy44

**= = 00 2 . 0 =02 . 02 . 0 =0=0

'HYHP VHU SURGX]LGDV � SRUWDV SRU PLQXWR�

VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD GRV UHFXUVRV JDVWRV

QD IDEULFDomR GH XPD SRUWD LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR�

SHOR TXH p UHQWiYHO SURGX]LU � SRUWDV �L�H��

D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH p QXOD�

&DVR D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH IRVVH SRVLWLYD�

ORJLFDPHQWH QmR VH SURGX]LULDP SRUWDV�

'HYHP VHU SURGX]LGDV � SRUWDV SRU PLQXWR�


QD IDEULFDomR GH XPD SRUWD LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR�

SHOR TXH p UHQWiYHO SURGX]LU � SRUWDV �L�H��



ORJLFDPHQWH QmR VH SURGX]LULDP SRUWDV�

�� ,�� ,��



� � � �

'HYHP VHU SURGX]LGDV � MDQHODV SRU PLQXWR�


QD IDEULFDomR GH XPD MDQHOD LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR�

SHOR TXH p UHQWiYHO SURGX]LU � MDQHODV �L�H��



ORJLFDPHQWH QmR VH SURGX]LULDP MDQHODV�

'HYHP VHU SURGX]LGDV � MDQHODV SRU PLQXWR�


QD IDEULFDomR GH XPD MDQHOD LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR�

SHOR TXH p UHQWiYHO SURGX]LU � MDQHODV �L�H��



ORJLFDPHQWH QmR VH SURGX]LULDP MDQHODV�

�� ,�� ,��

x2* . y5

*= 0xx22** .. yy55

**= = 00 6 . 0 = 06 . 06 . 0 = 0= 0


12


� � � �

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD�

GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � SRU PLQXWR p QXOD� SHOR

IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR DEXQGDQWH�

GR TXDO VREUDP � XQLGDGHV GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR�

� D FDSDFLGDGH GH SURGXomR QmR XWLOL]DGD GD VHFomR �

p LJXDO D � XQLGDGHV �


GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � SRU PLQXWR p QXOD� SHOR

IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR DEXQGDQWH�

GR TXDO VREUDP � XQLGDGHV GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR�

� D FDSDFLGDGH GH SURGXomR QmR XWLOL]DGD GD VHFomR �

p LJXDO D � XQLGDGHV �

�� ,�� ,��


x3* . y1

*= 0xx33** .. yy11

**= = 00 2 . 0 = 02 . 02 . 0 = 0= 0


� � � �

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � SRU PLQXWR p SRVLWLYD �LJXDO D �� SHOR IDFWR� GHVWH VHU

XP UHFXUVR HVFDVVR� GR TXDO QmR Ki VREUDV�

� D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � HVWi HVJRWDGD �

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � SRU PLQXWR p SRVLWLYD �LJXDO D �� SHOR IDFWR� GHVWH VHU



$ HYHQWXDO GLVSRQLELOLGDGH DGLFLRQDO GH � XQLGDGH GD FDSDFLGDGH

GH SURGXomR QD VHFomR � SRU PLQXWR SRVVLELOLWDULD XP

LQFUHPHQWR GH �� (XURV QR YDORU GR OXFUR WRWDO

$ HYHQWXDO GLVSRQLELOLGDGH DGLFLRQDO GH � XQLGDGH GD FDSDFLGDGH

GH SURGXomR QD VHFomR � SRU PLQXWR SRVVLELOLWDULD XP

LQFUHPHQWR GH �� (XURV QR YDORU GR OXFUR WRWDO

�� ,�� ,��


x4* . y2

*= 0xx44** .. yy22

**= = 00 0 . 3/2 = 00 . 3/20 . 3/2 = 0= 0

13


� � � �

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR

GD VHFomR � SRU PLQXWR p SRVLWLYD �LJXDO D �� SHOR IDFWR� GHVWH VHU



$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR

GD VHFomR � SRU PLQXWR p SRVLWLYD �LJXDO D �� SHOR IDFWR� GHVWH VHU



$ HYHQWXDO GLVSRQLELOLGDGH DGLFLRQDO GH � XQLGDGH GD

FDSDFLGDGH GH SURGXomR QD VHFomR � SRU PLQXWR

SRVVLELOLWDULD XP LQFUHPHQWR GH � (XUR QR YDORU GR OXFUR WRWDO

$ HYHQWXDO GLVSRQLELOLGDGH DGLFLRQDO GH � XQLGDGH GD

FDSDFLGDGH GH SURGXomR QD VHFomR � SRU PLQXWR

SRVVLELOLWDULD XP LQFUHPHQWR GH � (XUR QR YDORU GR OXFUR WRWDO

�� ,�� ,��


x5* . y3

*= 0xx55** .. yy33

**= = 00 0 . 1 = 00 . 10 . 1 = 0= 0


� � � �

DV YDULiYHLV GH IROJD

SULPDLV UHSUHVHQWDP D

FDSDFLGDGH QmR XWLOL]DGD

GRV UHFXUVRV


SULPDLV UHSUHVHQWDP D

FDSDFLGDGH QmR XWLOL]DGD

GRV UHFXUVRV

DV YDULiYHLV GH GHFLVmR

GXDLV UHSUHVHQWDP RV

SUHoRV VRPEUDV GRV

UHFXUVRV


GXDLV UHSUHVHQWDP RV

SUHoRV VRPEUDV GRV

UHFXUVRV


SULPDLV UHSUHVHQWDP RV

QtYHLV GDV DFWLYLGDGHV


SULPDLV UHSUHVHQWDP RV

QtYHLV GDV DFWLYLGDGHV


GXDLV UHSUHVHQWDP D SHUGD

GH RSRUWXQLGDGH GDV

DFWLYLGDGHV


GXDLV UHSUHVHQWDP D SHUGD

GH RSRUWXQLGDGH GDV

DFWLYLGDGHV

m recursosm recursosm recursos

n actividadesn actividadesn actividades

unidades físicas unidades monetárias

f.o.f.o.f.o. OXFUR WRWDO GDV DFWLYLGDGHV

→ PD[LPL]DU

OXFUR WRWDO GDV DFWLYLGDGHV

→ PD[LPL]DU

YDORUL]DomR LQWHUQD WRWDO

GRV UHFXUVRV JDVWRV SHODV

DFWLYLGDGHV → PLQLPL]DU

YDORUL]DomR LQWHUQD WRWDO

GRV UHFXUVRV JDVWRV SHODV

DFWLYLGDGHV → PLQLPL]DU

�� -- � ��


1


� � � �

��

&DStWXOR �� 'XDOLGDGH

��,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD�

� ,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GR $OJRULWPR 3ULPDO

6LPSOH[


� � � �

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym≥ cj ∀ j=1,…n aa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm≥ ccj j ∀∀ j=1,…n

minimizar w = b1y1+ b2y2 +... + bmymminimizar w = bminimizar w = b11yy11++ bb22yy2 2 +...+... ++ bbmmyymm

yi≥ 0 ∀ i=1,…m yyii≥ 0 0 ∀∀ i=1,…m

As n restrições duais estão associadas às

n actividades. Como a cada restrição dual

corresponde uma variável de folga dual, então as n

variáveis de folga duais estão

associadas àsn actividades

as m variáveis de decisão duais

estão associadas aos m recursos

��

2


� � � �

��

'DV UHODo}HV HQWUH RV SUREOHPDV SULPDO�GXDO VDEH�VH TXH D

FDGD VROXomR EiVLFD SULPDO ; FRUUHVSRQGH XPD VROXomR EiVLFD

GXDO FRPSOHPHQWDU < H TXH RV YDORUHV GDV UHVSHFWLYDV I�R�

FRLQFLGHP�

z = w = bz = w = b11yy11++ bb22yy2 2 +...+... ++ bbmmyymm

3DUD HVWH SDU GH VROXo}HV EiVLFDV FRPSOHPHQWDUHV ; H < �

� DV YDULiYHLV GXDLV yi � SUHoRV VRPEUDV� UHSUHVHQWDP D

YDORUL]DomR XQLWiULD D DWULEXLU D FDGD UHFXUVR i.

� FDGD PHPEUR bbii yyii UHSUHVHQWD D FRQWULEXLomR SDUD R OXFUR WRWDO

] TXDQGR VmR JDVWDV bbii XQLGDGHV GR UHFXUVR L�


� � � �

complementaridade de slacks

4XDGUR 6LPSOH[ ÏSWLPR� $QiOLVH GDV 6ODFNV 'XDLV�4XDGUR 6LPSOH[ ÏSWLPR� $QiOLVH GDV 6ODFNV 'XDLV�

ym+j = zj - cj ≥ 0 , ∀ j= 1, …, nyymm+j+j = = zzj j -- ccj j ≥≥ 0 0 , , ∀∀ j= 1, …, nj= 1, …, n

cj - zj ≤ 0 , ∀ j= 1, …, nccjj -- zzjj ≤≤ 00 , ∀∀ j= 1, …, nj= 1, …, n

1º caso: ym+j = zj - cj = 01º caso:1º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j = 0= 0

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym= cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm== ccjj

2º caso: ym+j = zj - cj > 02º caso:2º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j > 0> 0

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym > cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm >> ccjj

a valorização interna dos recursos gastos na actividade j é igualé igual ao seu lucro unitário

No quadro simplex as variáveis de folgas duais são

simétricas aos custos reduzidos nas colunas correspondentes às n

variáveis de decisão primais

a perda de oportunidade da actividade jé nula

o nível da actividade j é positivo (está incluída no plano óptimo)

a valorização interna dos recursos gastos na actividade j é superioré superior ao seu lucro unitário

a perda de oportunidade da actividade j é positiva

o nível da actividade j é nulo (não está incluída no plano óptimo)

3


� � � �

complementaridade de slacks

4XDGUR 6LPSOH[ ÏSWLPR� 3UHoRV 6RPEUD�4XDGUR 6LPSOH[ ÏSWLPR� 3UHoRV 6RPEUD�

yi ≥ 0 , ∀ i= 1, …,myyii ≥≥ 0 0 , , ∀∀ i= 1, …,mi= 1, …,m

&RPR QR TXDGUR ySWLPR WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV VmR QmRSRVLWLYRV� D VROXomR GXDO p DGPLVVtYHO�

1º caso: yi = 01º caso:1º caso: yyi i = = 00 2º caso: yi > 02º caso:2º caso: yyi i > > 00

o preço sombra do recurso ié nulo

a capacidade não utilizada do recurso i é positiva

(o recurso é abundante )

o preço sombra do recurso ié positivo

a capacidade não utilizada do recursoi é nula

(o recurso é escasso )

No quadro simplex as variáveis de decisão duais

encontram-se na linha dos zj

nas colunas correspondentes à matriz inicial identidade.


� � � �

variáveis de folgas duais

ccnn+1 +1 … … ccnn+m+m

XXBB

z*z*zzj j

ccjj --zzjj

CCBB bbccj j cc1 1 cc22 ...... ccnn

xx1 1 xx22 ...... xxnn xxnn+1 +1 … … xxnn+m +m x11 x12 ... x1n…

xi1 xi2 ... xin

xm1 xm2 ... xmn

x1n+1 ... x1n+m

…

xin+1 ... xin+m

xmn+1 ... xmn+m

_b1_bi

_bn

xxBB11

xxBBii

xxBBmm

ccBB11

ccBBii

ccBBmm

c1 -z1 c2 -z2 … cn -zn cn+1 -zn+1 ... cn+m -zn+m

z1 z2 … zn y1 … ym

-ym+1 -ym+2 …. - ym+n

yymm+j+j = = zzj j -- ccj j < 0 < 0

ccj j -- zzj j = = -- yymm+j+j > 0> 0

ccj j -- zzj j = 0= 0 -- zznn+i+i > 0> 0

yyii = = zznn+i +i << 00

∃ j , j=1…n , tal que:

variáveis de decisão duais

ou, ∃ j , j=n+1…n+m , tal que:

�� ! "��#��$� �� %�� ! "��#��$� �� %��

Suponha-se que as colunas da base inicial correspondem às m variáveis de folgas

o quadro simplex não é óptimo, pelo que existe pelo

menos um custo reduzido positivo.

4


� � � �

0XGDQoD GH %DVH� $QiOLVH GDV 6ODFNV 'XDLV�0XGDQoD GH %DVH� $QiOLVH GDV 6ODFNV 'XDLV�

Considere um plano não óptimo em que ∃ j : xj = 0, i.e., a actividade j não está incluída no plano, i,e., o seu nível é nulo.

Considere um plano não óptimo em que ∃ j : xj = 0, i.e., a actividade j não está incluída no plano, i,e., o seu nível é nulo.

1º caso: ym+j = zj - cj < 0 : a variável de

folga dual correspondente é negativa

1º caso:1º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j < 0< 0 : a variável de

folga dual correspondente é negativanegativa

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym< cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm<< ccjj

2º caso: ym+j = zj - cj >0: a variável de

folga dual correspondente é positiva

2º caso:2º caso: ym+j = zj - cj >0: a variável de

folga dual correspondente é positivapositiva

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym > cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm >> ccjj

a nnãão activao activaçãçãoo de uma unidade da actividade j implica uma perda de | yymm+j+j| no

valor do lucro total.

a perda de oportunidade da nnãão activao activaçãçãoode uma unidade da actividade j

é igual a | yymm+j +j |

os recursos disponíveis seriam melhor utilizados se fosse activadase fosse activada esta

actividade ao nível máximo possível.

a activaactivaçãçãoo de uma unidade da actividade j implica uma perda de yymm+j +j no valor

do lucro total.

a perda de oportunidade da activaactivaçãçãoode uma unidade da actividade j

é igual a yymm+j+j

os recursos já estão sendo gastos noutras actividades de forma mais vantajosa e nnãão o devem ser desviadosdevem ser desviados para esta actividade

Candidato a entrar na base


� � � �

0XGDQoD GD %DVH� $QiOLVH GRV 3UHoRV 6RPEUDV�0XGDQoD GD %DVH� $QiOLVH GRV 3UHoRV 6RPEUDV�

Considere um plano não óptimo em que ∃ i : xn+i = 0 .Como a variável de folga xn+i é nula,

então o recurso i está esgotado ( é escasso )

Considere um plano não óptimo em que ∃ i : xn+i = 0 .Como a variável de folga xn+i é nula,

então o recurso i i está esgotado ( é escasso )

1º caso:1º caso: yyii = = zznn+i +i < 0< 0 :

o preço sombra do recurso i é negativonegativo

2º caso:2º caso: yi = zn+i >0:

o preço sombra do recurso i é positivopositivo

deve ser diminuser diminuíídada a utilização deste recurso até que a sua contribuição por

unidade para o lucro total (preço sombra) seja não negativa.

o valor da variável de folga correspondente deve ser incrementado de

zero a um valor positivo, i.e., o recurso i deixa de ser escasso.

como a sua contribuição para o lucro total éé positivapositiva é vantajosovantajoso continuar a utilizar este recurso ao máximo da sua

disponibilidade

o valor da variável de folga correspondente

não deve ser incrementado

Candidato a entrar na base

5


� � � �

2 REMHFWLYR GR $OJRULWPR 3ULPDO 6LPSOH[ p SURFXUDU XP PRGR

GH XWLOL]DU RV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV GD IRUPD PDLV YDQWDMRVD

�ySWLPD� SRVVtYHO �

,VWR VLJQLILFD� DWLQJLU XPD 6%$3� TXH YHULILTXH R

FULWpULR GH RSWLPDOLGDGH

,VWR VLJQLILFD� TXH D 6%1$' FRPSOHPHQWDU DWLQMD XPD

6%$'� TXH YHULILTXH DV UHVWULo}HV GR SUREOHPD GXDO

(FRQRPLFDPHQWH� LVWR VLJQLILFD DWLQJLU D XWLOL]DomR

PDLV YDQWDMRVD �ySWLPD� SDUD WRGRV RV UHFXUVRV

GLVSRQtYHLV�

��"��&��' �� "��&��' �� ! "��#�� ! "��#��


� � � �

��"��&��' �� "��&��' �� ! "��#�� ! "��#��

2 TXH ID] R $OJRULWPR 3ULPDO 6LPSOH[ p DQDOLVDU WRGDV DV

YDULiYHLV QmR EiVLFDV GD 6%$3 HP FXUVR� SDUD GHWHUPLQDU VH

H[LVWH DOJXPD TXH SRVVD SURSRUFLRQDU XPD XWLOL]DomR PDLV

YDQWDMRVD GRV UHFXUVRV DR VHU LQFUHPHQWDGR R VHX YDORU GH

]HUR D XP YDORU SRVLWLYR�

� 6H QHQKXPD YDULiYHO QmR EiVLFD HVWi HP FRQGLo}HV GH

VXEVWLWXLU XPD GDV YDULiYHLV EiVLFDV� L�H�� QHQKXPD UH�

GLVWULEXLomR QD XWLOL]DomR GRV UHFXUVRV JDUDQWH XPD PHOKRULD GR

OXFUR� HQWmR D VROXomR DFWXDO p ySWLPD�

� &DVR FRQWUiULR�VH H[LVWH XPD RX PDLV YDULiYHLV HP FRQGLo}HV

GH PHOKRUDU D UHQWDELOLGDGH GRV UHFXUVRV� HQWmR LQFUHPHQWD�VH

R YDORU GHVVD YDULiYHO WDQWR TXDQWR VHMD SRVVtYHO DWp TXH VHMDP

DOWHUDGDV DV YDORUL]Do}HV GRV UHFXUVRV� ,VWR FRQGX] D XPD QRYD

6%$�

6


� � � �


subsub--óptimaóptima supersuper--óptimaóptima

Algoritmo dual

aplicado ao o dual

Algoritmo dual

aplicado aoprimal

Algoritmo primal

aplicado ao

primal

Algoritmo primal

aplicado ao dual

z*=w*=36óptimaóptima

SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18) 00

&#�"��'� "��&#�"��'� "�� (�� (�� ! "��#�� ! "��#��


� � � �

máximo máximo

a não produção de janelas tem uma maior perda de oportunidade, pelo que

esta actividade vai ser activada ao nível máximo possível

SBAP X0 =(0,0,4,12,18) ⇔ SBNAD Y0 =(0,0,0,-3, -5)SBAP XSBAP X0 0 =(0,0,4,12,18) =(0,0,4,12,18) ⇔⇔ SBNAD YSBNAD Y0 0 =(0,0,0,=(0,0,0,--3, 3, --5)5)

x3x4x5

0

1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1

4 12 18

000

3 5 0 0 0cjXXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55

zzjj

ccj j -z-zj j

bb

000 0 0 0

3 5 0 0 0

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 1 é nulonulo . .

Este recurso é abundanteabundante (sobram 4 unidades)

yy22= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 2 é nulonulo ..


yy33= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 3 é nulo.nulo.

Este recurso é abundante abundante (sobram 18 unidades)

yy44= = -- 33 : a perda de oportunidade da não produçãonão produçãode uma porta é de 3 3 EurosEuros por unidade.

yy5 5 = = --55 : a perda de oportunidade da não produçãonão produçãode uma janela é de 5 5 EurosEuros por unidade.

(�)� �� $� �� %��(�)� �� $� �� %��([HPSOR 3URWyWLSR� �� 4XDGUR�([HPSOR 3URWyWLSR� �� 4XDGUR�

7


� � � �

y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.0 ) -3= 0 - 3 = -3

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.0 ) --33= 0 -- 3 = -3

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.0 + 2.0 ) -5

= 0 - 5 = -5

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.0 ++ 2.0 ) --55

= 0 -- 5 = -5

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma janela ( 5 ), i.e., a perda de oportunidade da não produção duma janela é

de 5 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta actividade.

(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de uma janela está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero)

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma janela ( 5 ), i.e., a perda de oportunidade da não produçãonão produção duma janela é

de 5 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta actividade.

(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de uma janela está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero)

Produzir Produzir janelasjanelas

*+�� (�)� �� *+�� (�)� �� !��,�!��,� ��

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma

porta ( 3 ), i.e., a perda de oportunidade da não produção duma porta é de 3 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se

fosse activada esta actividade.(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de

uma porta está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero).

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma

porta ( 3 ), i.e., a perda de oportunidade da não produçãonão produção duma porta é de 3 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se

fosse activada esta actividade.(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de

uma porta está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero).

Produzir Produzir portasportas


� � � �


x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11


portas por minuto


portas por minuto

2x2+ x4=12 ⇒ x4= 12 - 2x22xx22++ xx44=12 ⇒ xx44= 12 - 2xx22


janelas por minuto


janelas por minuto

3x1+ 2x2+ x5=18 ⇒x5= 18 - 3x1 - 2x2

3xx11++ 2xx22++ xx55=18 ⇒xx55= 18 - 3xx11 - 2xx22




&#�"��'� "��$� �� %��-�&#�"��'� "��$� �� %��-�..�� →→ ..��

(�)� �� "��/�� (�)� �� "��/��



$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV MDQHODV�

7HQGR HP FRQWD D GLVSRQLELOLGDGH GRV UHFXUVRV� R QtYHO Pi[LPR

SRVVtYHO SDUD D SURGXomR GH MDQHODV p GH � SRU PLQXWR�

8


� � � �

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)3030



Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual

aplicado aoo primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao dual


SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18) 00

&#�"��'� "��&#�"��'� "�� (�� (�� ! "��#�� ! "��#��


� � � �

máximo máximo

SBAP XSBAP X1 1 =(0,6,4,0,6) =(0,6,4,0,6) ⇔⇔ SBNAD YSBNAD Y1 1 =(0,5/2,0,=(0,5/2,0,--3,0)3,0)

3 5 0 0 0

300

4 6 6

x3x2x5

050

cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 1 é nulonulo . . Este recurso é abundanteabundante (sobram 4 unidades)

yy22= 5/ 2= 5/ 2 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 2 é 5 / 2.5 / 2.

Este recurso é escasso escasso (está esgotado)

yy33= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 3 é nulo.nulo.

Este recurso é abundante abundante (sobram 6 unidades)

yy44= = -- 33 : a perda de oportunidade da não produçãonão produçãode uma porta é de 3 3 EurosEuros por unidade.

yy5 5 = 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoproduçãode uma janela é nula.nula.

Estão a ser produzidas 6 janelas por minuto .6 janelas por minuto .

a não produção de portas tem uma perda de oportunidade positiva, pelo que vai ser activada esta actividade

ao nível máximo possível

(�)� �� $� �� %��(�)� �� $� �� %��([HPSOR 3URWyWLSR� �� 4XDGUR�([HPSOR 3URWyWLSR� �� 4XDGUR�

9


� � � �

y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.0 ) -3

= 0 - 3 = -3

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.0 ) --33

= 0 -- 3 = -3

$ YDORUL]DomR LQWHUQD D DWULEXLU j SURGXomR GH

XPD SRUWD p QXOD H PHQRU GR TXH R OXFUR TXH VH

REWpP VH IRVVH SURGX]LGD XPD SRUWD �� L�H�� D

SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD QmR SURGXomR GXPD

SRUWD p GH � (XURV� L�H��RV UHFXUVRV VHULDP

PHOKRU XWLOL]DGRV VH IRVVH DFWLYDGD HVWD

DFWLYLGDGH�

�FRPR RV UHFXUVRV TXH SDUWLFLSDP QD IDEULFDomR

GH XPD SRUWD QmR HVWmR HVJRWDGRV� R SUHoR

VRPEUD SDUD HOHV p QXOR�


XPD SRUWD p QXOD H PHQRU GR TXH R OXFUR TXH VH

REWpP VH IRVVH SURGX]LGD XPD SRUWD �� L�H�� D

SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD QmR SURGXomRQmR SURGXomR GXPD

SRUWD p GH � (XURV� L�H��RV UHFXUVRV VHULDP

PHOKRU XWLOL]DGRV VH IRVVH DFWLYDGD HVWD

DFWLYLGDGH�

�FRPR RV UHFXUVRV TXH SDUWLFLSDP QD IDEULFDomR

GH XPD SRUWD QmR HVWmR HVJRWDGRV� R SUHoR

VRPEUD SDUD HOHV p QXOR�

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.5/2 + 2.0 ) -5= 5 - 5 = 0

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.5/2 ++ 2.0 ) --55= 5 -- 5 = 0



XPD MDQHOD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR

XQLWiULR �� SHOR TXH D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD

SURGXomR GXPD MDQHOD p QXOD


XPD MDQHOD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR

XQLWiULR �� SHOR TXH D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD

SURGXomR GXPD MDQHOD p QXOD


0+�� -�(�)� �� 0+�� -�(�)� �� !��,�!��,� ��


� � � �

$QDOLVH�VH D SURGXomR GDV SRUWDV�

&#�"��'� "��$� �� %��-�&#�"��'� "��$� �� %��-�..�� →→ ..��

$QiOLVH GRV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV�$QiOLVH GRV UHFXUVRV GLVSRQtYHLV�

x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11


portas por minuto


portas por minuto

x4= 0xx44= 0 a capacidade de produção está esgotada

a capacidade de produção está esgotada

3x1- x4+ x5=6 ⇒x5= 6 - 3x1 – x4 = 6 - 3x1

3xx11-- xx44++ xx55=6 ⇒xx55= 6 - 3xx11 – xx4 4 = 6 - 3xx11


portas por minuto


portas por minuto




xx1 1 xx22 xx33 xx44 xx551 0 1 0 00 1 0 1/2 03 0 0 -1 1

xx11

xx22xx33xx44xx55

466

=

7HQGR HP FRQWD D GLVSRQLELOLGDGH GRV UHFXUVRV� R QtYHO Pi[LPR

SRVVtYHO SDUD D SURGXomR GH SRUWDV p GH � SRU PLQXWR�

10


� � � �

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 1 é nulonulo . .


yy22= 3/ 2= 3/ 2 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 2 é 3 / 2.3 / 2.


yy33= 1= 1 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 3 é 11..


yy44= 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoproduçãode uma porta é nula.nula.

Estão a ser produzidas 2 portas por minuto2 portas por minuto

yy5 5 = 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoproduçãode uma janela é nula.nula.

Estão a ser produzidas 6 janelas por minuto .6 janelas por minuto .

X* = (2,6,2,0,0) é óptimapara o primal e

Y* = (0,3/2,1,0,0) é óptimapara o dual

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 01 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

2 5

0

3

-1

SBAP X* =(2,6,2,0,0)⇔ SBAD Y* =(0,3/2,1,0,0)SBAP XSBAP X* * =(2,6,2,0,0)=(2,6,2,0,0)⇔⇔ SBAD Y*SBAD Y* =(0,3/2,1,0,0)=(0,3/2,1,0,0)

(�)� �� $� �� %��(�)� �� $� �� %��([HPSOR 3URWyWLSR� 4XDGUR ySWLPR�([HPSOR 3URWyWLSR� 4XDGUR ySWLPR�


� � � �

y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.1 ) -3= 3 - 3 = 0

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.1 ) --33= 3 -- 3 = 0

$ YDORUL]DomR LQWHUQD D DWULEXLU j SURGXomR GH XPD

SRUWD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR

SHOR TXH D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR GH

XPD SRUWD p QXOD


SRUWD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR


XPD SRUWD p QXOD

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.3/2 + 2.1 ) -5= 5 - 5 = 0

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.3/2 ++ 2.1 ) --55= 5 -- 5 = 0



MDQHOD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR


XPD MDQHOD p QXOD


MDQHOD p GH � (XURV H LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR


XPD MDQHOD p QXOD


R SUHoR VRPEUD SDUD D VHFomR � FDLX GH �� SDUD �� TXDQGR

IRL FRPSHQVDGR SHOD XWLOL]DomR GRV RXWURV UHFXUVRV

�� 1"� �-�(�)� �� 1"� �-�(�)� �� !��,�!��,� ��

11


� � � �

3636


subsub--óptimaóptima supersuper--óptimaóptima

Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado aodual


SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6) 3030

00

SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)

&#�"��'� "��&#�"��'� "�� ! "��#�� ! "��#��


� � � �

��"��&��' ��&#�"��"��&��' ��&#�"��

1XP ODERUDWyULR IDUPDFrXWLFR VmR PDQXIDFWXUDGRV � SURGXWRV�

SDVVDQGR SRU � RSHUDo}HV GLIHUHQWHV� 2 WHPSR �HP K��

UHTXHULGR SRU FDGD XQLGDGH GH FDGD SURGXWR� D FDSDFLGDGH

GLiULD GH FDGD RSHUDomR �HP K�GLD� H R OXFUR XQLWiULR SRU

XQLGDGH YHQGLGD GH FDGD SURGXWR�HP (XURV� VmR RV VHJXLQWHV�

Tempo por unidade

Operação Nº 1 3 Capacidadeoperativa

1 2 1 5

2 0 2 11

3 3 2 8

Lucro unitário(Euros)

5 3

Produtos

2

3

1

4

4

12


� � � �

Maximizar Z = 5 x1 + 4 x2 + 3x3

sujeito a

x1 , x2 ,x3 , x4 ,x5 , x6 ≥ 0

243

314

122

100

010

5118

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

001

+ x6

PP11-- produção diária do produto 1



PP55- capacidade operativa não

utilizada, relativamente à

operação 2

PP66 - capacidade operativa não


operação 3

PP44 -- capacidade operativa não


operação1

��2�� (�� 2�� (��


� � � �

ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -1 0 -5 0 -2 1 0 0 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

1313 0 -3 0 -1 0 -1

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 )XX* * = ( = ( 2, 0, 12, 0, 1, , 0, 1, 00, 1, 0 ))

D� 'HVFUHYD DV VROXo}HV ySWLPDV SULPDO H GXDO H MXVWLILTXH

HFRQRPLFDPHQWH� XWLOL]DQGR D FRPSOHPHQWDULGDGH GH VODFNV

D� 'HVFUHYD DV VROXo}HV ySWLPDV SULPDO H GXDO H MXVWLILTXH


Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )YY* * = ( = ( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

x1 x y4 = 2 x 0 =0

x2 x y5 = 0 x 3 =0

x3 x y6 = 1 x 0 =0

x4 x y1 = 0 x 1 =0

x5 x y2 = 1 x 0 =0

x6 x y3 = 0 x 1 =0

&#�"��-�!��'"� ��&#�"��-�!��'"� ��"� ��"� ��33 ��

13


� � � �

x1* . y4

*= 0xx11** . y. y44

**= = 00 2 . 0 =02 2 . . 00 =0=0

Primal: X* = ( 2,0,1,0,1,0 )PrimalPrimal: : XX* * = (= ( 2,0,12,0,1,,0,1,00,1,0 )) Dual: Y* = (1,0,1,0,3 0 )Dual: Y* = Dual: Y* = ((1,0,1,1,0,1,0,3 00,3 0 ))

6mR PDQXIDFWXUDGDV � XQLGDGHV GR SURGXWR � GLDULDPHQWH�

VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD jV KRUDV JDVWDV QDV

RSHUDo}HV SDUD SURGX]LU XPD XQLGDGH GR SURGXWR �

LJXDO DR VHX OXFUR XQLWiULR�

SHOR TXH D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR

GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � p QXOD�

&DVR D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH IRVVH SRVLWLYD D SURGXomR GHVWH

SURGXWR QmR VHULD FRQWHPSODGD�

6mR PDQXIDFWXUDGDV � XQLGDGHV GR SURGXWR � GLDULDPHQWH�






&DVR D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH IRVVH SRVLWLYD D SURGXomR GHVWH

SURGXWR QmR VHULD FRQWHPSODGD�

,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� &RPSOHPHQWDULGDGH GH,QWHUSUHWDomR (FRQyPLFD� &RPSOHPHQWDULGDGH GH 6ODFNV6ODFNV��

([HPSOR� 3URGXomR 3HUGD GH 2SRUWXQLGDGH�([HPSOR� 3URGXomR 3HUGD GH 2SRUWXQLGDGH�


� � � �

$ SURGXomR GR SURGXWR � QmR p FRQWHPSODGD�

VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD jV KRUDV TXH VHULDP

JDVWDV QDV RSHUDo}HV SDUD SURGX]LU XPD XQLGDGH GR SURGXWR �

PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR�

$ SURGXomR GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � LPSOLFDULD

XPD UHGXomR GH � (XURV QR OXFUR WRWDO� SHOR TXH

D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH GD SURGXomR

GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � p GH � (XURV�


VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXtGD jV KRUDV TXH VHULDP

JDVWDV QDV RSHUDo}HV SDUD SURGX]LU XPD XQLGDGH GR SURGXWR �

PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR�

$ SURGXomR GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � LPSOLFDULD






x2* . y5

*= 0xx22** . y. y55

**= = 00 0 . 3 =00 0 . . 33 =0=0


14


� � � �

'HYH VHU PDQXIDFWXUDGD � XQLGDGH GR SURGXWR � GLDULDPHQWH�






&DVR D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH IRVVH SRVLWLYD

D SURGXomR GHVWH SURGXWR QmR VHULD FRQWHPSODGD�







&DVR D SHUGD GH RSRUWXQLGDGH IRVVH SRVLWLYD

D SURGXomR GHVWH SURGXWR QmR VHULD FRQWHPSODGD�



x3* . y6

*= 0xx33** . y. y66

**= = 00 1 . 0 =01 1 . . 00 =0=0



� � � �

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GH XPD KRUD SRU GLD QD

RSHUDomR � p SRVLWLYD H LJXDO D � (XUR� SHOR IDFWR� GHVWH VHU XP

UHFXUVR HVFDVVR� GR TXDO QmR Ki VREUDV� R TXH VLJQLILFD TXH

D FDSDFLGDGH GLiULD SDUD D RSHUDomR � � � K�GLD� HVWi HVJRWDGD�

$ GLVSRQLELOLGDGH DGLFLRQDO GH � KRUD GLiULD QD RSHUDomR �

SRVVLELOLWDULD XP LQFUHPHQWR GH � (XUR QR YDORU GR OXFUR WRWDO�

$ YDORUL]DomR LQWHUQD �SUHoR VRPEUD� GH XPD KRUD SRU GLD QD

RSHUDomR � p SRVLWLYD H LJXDO D � (XUR� SHOR IDFWR� GHVWH VHU XP

UHFXUVR HVFDVVR� GR TXDO QmR Ki VREUDV� R TXH VLJQLILFD TXH

D FDSDFLGDGH GLiULD SDUD D RSHUDomR � � � K�GLD� HVWi HVJRWDGD�




([HPSOR� 5HFXUVR 3UHoR 6RPEUD�([HPSOR� 5HFXUVR 3UHoR 6RPEUD�

x4* . y1

*= 0xx44** . y. y11

**= = 00 0 . 1 =00 0 . . 11 =0=0


15


� � � �


GH XPD KRUD SRU GLD �K�GLD� QD RSHUDomR � p QXOD�

SHOR IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR DEXQGDQWH�

GR TXDO VREUD � KRUD GLiULD GR WRWDO GH KRUDV GLVSRQtYHLV

SDUD HVWD RSHUDomR �� K�GLD�

2 WHPSR GLiULR QmR XWLOL]DGR QD RSHUDomR � p GH � KRUD �


GH XPD KRUD SRU GLD �K�GLD� QD RSHUDomR � p QXOD�


GR TXDO VREUD � KRUD GLiULD GR WRWDO GH KRUDV GLVSRQtYHLV

SDUD HVWD RSHUDomR �� K�GLD�

2 WHPSR GLiULR QmR XWLOL]DGR QD RSHUDomR � p GH � KRUD �



x5* . y2

*= 0xx55** . y. y22

**= = 00 1 . 0 =01 1 . . 00 =0=0



� � � �


GH XPD KRUD SRU GLD QD RSHUDomR � p SRVLWLYD H LJXDO D � (XUR�

SHOR IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR HVFDVVR�

GR TXDO QmR Ki VREUDV� R TXH VLJQLILFD TXH

D FDSDFLGDGH GLiULD SDUD D RSHUDomR � � � K�GLD� HVWi HVJRWDGD �




GH XPD KRUD SRU GLD QD RSHUDomR � p SRVLWLYD H LJXDO D � (XUR�

SHOR IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR HVFDVVR�

GR TXDO QmR Ki VREUDV� R TXH VLJQLILFD TXH

D FDSDFLGDGH GLiULD SDUD D RSHUDomR � � � K�GLD� HVWi HVJRWDGD �





x6* . y3

*= 0xx66** . y. y33

**= = 00 0 . 1 =00 0 . . 11 =0=0


�


� � � �

��

&DStWXOR �� $QiOLVH SyV�RSWLPDO

� $OWHUDo}HV GLVFUHWDV QRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�

� $OWHUDo}HV GLVFUHWDV QRV FRHILFLHQWHV GD IXQomR REMHFWLYR�


� � � �

VH ;; %%��%%��∆∆

NNEE ≥≥ �� HQWmR D QRYD VROXomR PDQWpP

D DGPLVVLELOLGDGH� ORJR WDPEpP p ySWLPD� H ] ] →→ ] � \ ] � \ NN∆∆EE

NN��

8P WHUPR LQGHSHQGHQWH ENVRIUH XP DFUpVFLPR�RX GHFUpVFLPR��

PDQWHQGR�VH LQDOWHUDGRV WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR�

8P WHUPR LQGHSHQGHQWH EENNVRIUH XP DFUpVFLPR�RX GHFUpVFLPR��

PDQWHQGR�VH LQDOWHUDGRV WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR�

∃ N� N ��«�P WDO TXH EN

→ EN� ∆E

N� ∆E

N≠ �∃∃ N� N ��«�PN� N ��«�P WDO TXH EE

NN→→ EE

NN�� ∆∆EE

NN�� ∆∆EE

NN≠≠ ��

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→ %��E�%��∆NE ;

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∆NE ��«��∆E

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→→ %%��EE��%%��∆∆NNEE ; ;

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NNEE ��

∆∆NNEE �� ««��∆∆EE

NN��««��

FDVR FRQWUiULR� DSOLFD�VH R DOJRULWPR GXDO VLPSOH[� XPD YH]

TXH D VROXomR p SULPDO QmR DGPLVVtYHO H RV FXVWRV UHGX]LGRV

PDQWpP�VH QmR SRVLWLYRV�

��

QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[ ILFD DOWHUDGD DSHQDV D FROXQD E

�


� � � �

$QDOLVH DV FRQVHTXrQFLDV HFRQyPLFDV H GH SURGXomR TXH GHFRUUHP

VH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � SDVVD GH �� SDUD ��

XQLGDGHV� E�

→ E��


VH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � SDVVD GH �� SDUD ��

XQLGDGHV� EE��

→→ EE��

X*B → X*

B+ B-1∆b, ∆b=(0,12,0)XX**BB →→ XX**

BB+ + BB--11∆∆bb,, ∆∆b=(0,12,0)b=(0,12,0)

0 12

0

==1 1/3 -1/30 1/2 00 -1/3 1/3

XX**B B + + BB--1 1 xx ∆∆ bb = = novanova XX**

BB

++b26

2

b6

12

-2

&RPR D QRYD VROXomR p SULPDO QmR DGPLVVtYHO H GXDO DGPLVVtYHO �DV OLQKDV

GRV FXVWRV UHGX]LGRV QmR VRIUHUDP DOWHUDomR� HQWmR SRGH VHU DSOLFDGR R

DOJRULWPR GXDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD VROXomR ySWLPD DGPLVVtYHO�


GRV FXVWRV UHGX]LGRV QmR VRIUHUDP DOWHUDomR� HQWmR SRGH VHU DSOLFDGR R

DOJRULWPR GXDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD VROXomR ySWLPD DGPLVVtYHO�

<0<0

BB--1 1

$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV� ([HPSOR SURWyWLSR$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV� ([HPSOR SURWyWLSR

4XDGUR ySWLPR

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1


� � � �

x 1 = 4

x 2 = 24/2=12

3x 1 + 2 x 2 = 18

Nova K

x 2 =12/2=6

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

10

642 x1

2

4

6

8

x2

12

8 10 12

Nova solução óptimaX*=(0, 9,4,6,0)

Alterando a restrição 2 obtém-se a SBNA X = (-2, 12,6,0,0)

super-óptimaz*= 3x 1 + 5 x 2 = 54

óptimaz = 3x 1 + 5 x 2 = 45

Solução óptimaX*=(2, 6,2,0,0)

$R VHU LQFUHPHQWDGD D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � HP �� XQLG��

REWpP�VH XPD QRYD VROXomR VXSHU�ySWLPD� ; �� SULPDO QmR

DGPLVVtYHO� 1HVWH FDVR� SRGH�VH DSOLFDU R DOJRULWPR GXDO VLPSOH[

SDUD DWLQJLU XPD VROXomR SULPDO DGPLVVtYHO� ORJR ySWLPD�

$ VROXomR ; �� p D QRYD VROXomR ySWLPD

FRP XP YDORU ySWLPR GH �� (XURV�

$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV� ([HPSOR JUiILFR�$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV� ([HPSOR JUiILFR�

�


� � � �

x3

x2

x1

54

053

612-2

0 0 1 1/3 -1/30 1 0 1/2 01 0 0 -1/3 1/3

050

x3

x2

x4

1 0 1 0 0 4

-3 0 0 1 -1 6

4545-9/2 0 0 0 -5/2

3 5 0 3/2 10 0 0 -3/2 -1

3/2 1 0 0 1/2 9

15/2 5 0 0 5/2

��

ccjj --zzj j

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

zzjj

ccjj --zzjj

3 5 0 0 0 X* = ( 0, 9, 4, 6, 0 )XX* * = (= ( 0, 9,0, 9, 4, 6, 04, 6, 0 ))

Y* = ( 0, 0, 5/2, 9/2, 0 )YY* * = (= ( 0, 0, 0, 0, 5/25/2,, 9/29/2, 0, 0 ))

x1 . y3 =0 x 9/2 = 0

x2 . y4 =9 x 0 = 0

x3 . y1 = 4 x 0 = 0

x4 . y2 = 6 x 0 = 0

x5. y3 = 0 x 5/2 = 0


� � � �

passa de 12 para 24 unidades

A capacidade de produção

da secção 2X* = ( 2, 6, 2, 0 ,0 ), z*=36Y* = ( 0, 3/2, 1, 0, 0 )

XX** = (= ( 2, 6,2, 6, 2, 0 ,02, 0 ,0 ),), z*=36Y*Y* = = (( 0, 3/2, 10, 3/2, 1, , 0, 00, 0 ))

X* = ( 0, 9, 4, 6, 0 ), z*=45Y* = ( 0, 0, 5/2, 9/2, 0 )

XX* * = (= ( 0, 9,0, 9, 4, 6, 04, 6, 0 ),), z*=45Y* = Y* = (( 0, 0, 5/20, 0, 5/2, , 9/2, 09/2, 0 ))

$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�$OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�

,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD�,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD�


$R LQFUHPHQWDU D FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD VHFomR � GH �� SDUD �� XQLGDGHV

SRU PLQXWR� R QRYR SODQR ySWLPR�

� QmR FRQWHPSOD D SURGXomR GH SRUWDV

a perda de oportunidade da produção duma porta é igual a 4.5 Euros (\� ��

� VHUmR SURGX]LGDV � MDQHODV SRU PLQXWR

evidentemente a perda de oportunidade da produção duma janela é nula (\� ��

(FRQRPLFDPHQWH p YDQWDMRVR HVWH LQFUHPHQWR GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

VHFomR � HP �� XQLGDGHV SRU PLQXWR� SRLV REWpP�VH XP LQFUHPHQWR GH �

(XURV QR OXFUR WRWDO ��

3ODQR ySWLPR DQWHV GR3ODQR ySWLPR DQWHV GR

LQFUHPHQWRLQFUHPHQWR

3ODQR ySWLPR GHSRLV GR3ODQR ySWLPR GHSRLV GR


�


� � � �

passa de 12 para 24 unidades

A capacidade de produção

da secção 2X* = ( 2, 6, 2, 0, 0 ), z*=36Y* = ( 0, 3/2, 1, 0, 0 )

XX** = (= ( 2, 6,2, 6, 2, 0, 02, 0, 0 ),), z*=36Y*Y* = = (( 0, 3/2, 10, 3/2, 1, , 0, 00, 0 ))

X* = ( 0, 9, 4, 6, 0 ), z*=45Y* = ( 0, 0, 5/2, 9/2, 0 )

XX* * = (= ( 0, 9,0, 9, 4, 6, 04, 6, 0 ),), z*=45Y* = Y* = (( 0, 0, 5/20, 0, 5/2, , 9/2, 09/2, 0 ))



5HIHUHQWH DRV UHFXUVRV�

�2 UHFXUVR � FRQWLQXD VHQGR XP UHFXUVR DEXQGDQWH SHOR TXH R VHX SUHoR

VRPEUD PDQWpP�VH QXOR �[� �� \� ��

Como o novo plano não inclui a produção de portas, a capacidade de produção não utilizada da secção 1 é igual

ao seu valor máximo disponível (x3=4).

�2 UHFXUVR � SDVVD GH UHFXUVR HVFDVVR SDUD UHFXUVR DEXQGDQWH SHOR TXH R

VHX SUHoR VRPEUD p DJRUD QXOR �[� �� \� ��

No novo plano sobram 6 unidades do recurso 2, e o seu preço sombra cai de 3/2 até zero (y2=3/2 →→ y2=0).

�2 UHFXUVR � FRQWLQXD VHQGR XP UHFXUVR HVFDVVR H R VHX SUHoR VRPEUD

DXPHQWD GH � SDUD �� (XURV �[� �� \� ��

Como a capacidade de produção da secção 3 é a única que fica esgotada, sendo utilizada ao seu nível máximo

disponível para a produção das 9 janelas ( 3. 0 + 2 . 9 = 18 ), o seu preço sombra é positivo e igual a 2,5 Euros

2 OXFUR WRWDO ] F� [� �� (XURV E� \� ��

� �� Z






� � � �

∃ O� O ��«�Q WDO TXH FO → FO� ∆FO � ∆FO ≠ �∃∃ O� O ��«�QO� O ��«�Q WDO TXH FFOO →→ FFOO �� ∆∆FFOO �� ∆∆FFOO ≠≠ ��

QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[ p DOWHUDGD D OLQKD GRV FXVWRV

UHGX]LGRV

��

D DGPLVVLELOLGDGH GD VROXomR SULPDO PDQWpP�VH� PDV SRGH

GHL[DU GH VHU ySWLPD

D VROXomR GXDO FRPSOHPHQWDU SRGH GHL[DU GH VHU DGPLVVtYHO�

8P FRHILFLHQWH FO VRIUH XP DFUpVFLPR � RX GHFUpVFLPR��

PDQWHQGR�VH WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR LQDOWHUDGRV�

8P FRHILFLHQWH FFOO VRIUH XP DFUpVFLPR � RX GHFUpVFLPR��


�


� � � �

VH FFOO �� ]]OO →→ ��FFOO �� ∆∆FFOO�� ]]OO ≤≤ �� D VROXomR SULPDO PDQWpP D

RSWLPDOLGDGH� R YDORU GD I�R� QmR ILFD DOWHUDGR






ILFD DOWHUDGR DSHQDV R FXVWR UHGX]LGR FRUUHVSRQGHQWH D HVWD

YDULiYHO QmR EiVLFD� FFOO �� ]]OO

&DVR �� R FRHILFLHQWH FOFRUUHVSRQGH D XPD YDULiYHO QmR EiVLFD�&DVR �� R FRHILFLHQWH FF

OOFRUUHVSRQGH D XPD YDULiYHO QmR EiVLFD�

FDVR FRQWUiULR� FFOO �� ]]OO →→ ��FFOO �� ∆∆FFOO�� ]]OO ! �! �

DSOLFD�VH R DOJRULPR SULPDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD QRYD

VROXomR ySWLPD�

��


� � � �

VH ∀∀ M�M� FFMM�� ]]MM ≤≤ �� HQWmR D VROXomR SULPDO PDQWpP D

RSWLPDOLGDGH H R YDORU GD I�R� ILFD DOWHUDGR� ] ] →→ ] �] �∆∆FFOO [[OO






WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV ILFDP DIHFWDGRV �H[FHSWXDQGR

HYLGHQWHPHQWH RV FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV EiVLFDV TXH

VmR VHPSUH QXORV�

&DVR �� R FRHILFLHQWH FOFRUUHVSRQGH D XPD YDULiYHO EiVLFD�&DVR �� R FRHILFLHQWH FF

OOFRUUHVSRQGH D XPD YDULiYHO EiVLFD�

FDVR FRQWUiULR� ∃ M�M� FFMM �� ]]MM ! �! �

DSOLFD�VH R DOJRULPR SULPDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD QRYD

VROXomR ySWLPD�

��

�


� � � �


VH R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � SDVVD GH � D � (XURV


VH R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � SDVVD GH � D � (XURV

c1 → c1 + ∆c1 = 3 + 5 = 8c1 → c1 + ∆c1 = 3 + 5 = 8

&RPR D VROXomR GHL[D GH VHU ySWLPD �H[LVWH XP FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR��

HQWmR SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[

SDUD GHWHUPLQDU XPD QRYD VROXomR ySWLPD �

&RPR D VROXomR GHL[D GH VHU ySWLPD �H[LVWH XP FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR��

HQWmR SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[


$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R� ([HPSOR SURWyWLSR$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R� ([HPSOR SURWyWLSR

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 0

1 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2

x1

6

2

25

0

3

-1

4XDGUR ySWLPR

x3

x2

x1

058

262

0 0 1 1/3 -1/30 1 0 1/2 01 0 0 -1/3 1/3

ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55XXBBCCBB bb

zzj j

8 5 0 0 0

8 5 0 -1/6 8/3 36

0 0 0 1/6 -8/3

ccj j

x3

x2

x1

058

262

0 0 1 1/3 -1/30 1 0 1/2 01 0 0 -1/3 1/3

ccjj --zzjj


zzj j

8 5 0 0 0

8 5 0 -1/6 8/3 36

0 0 0 1/6 -8/3

ccj j

Foi alterado o lucro unitário duma variável básica


� � � �

K

10

642 x1

2

4

6

8

x2

12

8 10 12

Nova f.o: z = 8x 1 + 5 x 2

$R VHU DOWHUDGR R JUDGLHQWH GD IXQomR REMHFWLYR D VROXomR ; ��

GHL[D GH VHU ySWLPD� 1HVWH FDVR SDUD REWHU D VROXomR ySWLPD SRGH�VH DSOLFDU

R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[� $ VROXomR ; �� p D QRYD VROXomR

ySWLPD FRP XP YDORU GH �� (XURV SDUD R OXFUR WRWDO�

$R VHU DOWHUDGR R JUDGLHQWH GD IXQomR REMHFWLYR D VROXomR ; ��

GHL[D GH VHU ySWLPD� 1HVWH FDVR SDUD REWHU D VROXomR ySWLPD SRGH�VH DSOLFDU

R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[� $ VROXomR ; �� p D QRYD VROXomR

ySWLPD FRP XP YDORU GH �� (XURV SDUD R OXFUR WRWDO�

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R� 5HSUHVHQWDomR JUiILFD$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R� 5HSUHVHQWDomR JUiILFD

f.o: z = 3x 1 + 5 x 2

Nova solução óptimaX* = ( 4, 3, 0, 6, 0 )

z*=47

Alterando o lucro unitário do produto 1 de 3 para 8 Euros a

SBA X = (2, 6, 2, 0, 0) deixa de ser óptima

Alterando o lucro unitário do produto 1 de 3 para 8 Euros a

SBA X = (2, 6, 2, 0, 0) deixa de ser óptima

O gradiente da f.o. foi alterado

Solução óptima:X* = ( 2, 6, 2, 0, 0 )

z*=36

�


� � � �

058

4747

X* = ( 4, 3, 0, 6, 0 )XX* * = (= ( 4, 3,4, 3, 0, 6, 00, 6, 0 ))

Y* = ( 1/2, 0, 5/2, 0, 0 )YY* * = (= ( 1/21/2, 0, , 0, 5/25/2,, 0, 00, 0 ))

x1 . y3 =4 x 0 = 0

x2 . y4 =3 x 0 = 0

x3 . y1 = 0 x 1/2 = 0

x4 . y2 = 6 x 0 = 0

x5. y3 = 0 x 5/2 = 0

�� !��"� �� !��"� ��

x3

x2

x1

058

262

0 0 1 1/3 -1/30 1 0 1/2 01 0 0 -1/3 1/3

ccjj --zzj j


zzj j

zzj j

ccjj --zzj j

8 5 0 0 0

8 5 0 -1/6 8/3 36

0 0 0 1/6 -8/3

ccj j

x4

x2

x1

0 0 3 1 -10 1 -3/2 0 1/21 0 1 0 1/3

8 5 1/2 0 5/2

0 0 -1/2 0 -5/2

634


� � � �

passa de 3 para 8 Euros

O lucro unitário do produto 1

X* = ( 2, 6, 2, 0, 0 ), z*=36Y* = ( 0, 3/2, 1, 0, 0 )

XX** = (= ( 2, 6,2, 6, 2, 0, 0 2, 0, 0 ),), z*=36Y*Y* = = (( 0, 3/2, 10, 3/2, 1, , 0, 00, 0 ))

X* = ( 4, 3, 0, 6, 0 ) , z*=47Y* = (1/2, 0, 5/2, 0, 0 )

XX* * = (= ( 4, 3,4, 3, 0, 6, 00, 6, 0 )) , , z*=47Y* = Y* = ((1/2, 0, 5/21/2, 0, 5/2, , 0, 00, 0 ))

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�



$R LQFUHPHQWDU R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � GH � (XURV SDUD � (XURV� R QRYR

SODQR ySWLPR YDL LQFOXLU�

� D SURGXomR GH � SRUWDV SRU PLQXWR �HP OXJDU GDV � SRUWDV�

evidentemente a perda de oportunidade da produção duma porta é nula (\� ��

� D SURGXomR GH � MDQHODV SRU PLQXWR �HP OXJDU GDV � MDQHODV�

evidentemente a perda de oportunidade da produção duma janela é nula (\� ��

(FRQRPLFDPHQWH p YDQWDMRVR HVWH LQFUHPHQWR GR OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR ��

SRLV REWpP�VH XP LQFUHPHQWR GH �� (XURV QR OXFUR WRWDO

��





�


� � � �




�2 UHFXUVR � SDVVD D VHU XP UHFXUVR HVFDVVR SHOR TXH R VHX SUHoR VRPEUD


no novo plano de produção a capacidade de produção da secção 1 fica esgotada.

�2 UHFXUVR � SDVVD GH UHFXUVR HVFDVVR SDUD UHFXUVR DEXQGDQWH SHOR TXH

R VHX SUHoR VRPEUD p DJRUD QXOR �[� �� \� ��

no novo plano sobram 6 unidades do recurso 2 e o seu preço sombra cai de 3/2 até zero (y2=3/2 →→ y2=0).



como a capacidade de produção da secção 3 fica esgotada, o seu preço sombra é positivo e igual a 2,5 Euros

2 OXFUR WRWDO�

] F� [�� F� [� �� E� \�� E� \� �

� �� Z





passa de 3 para 8 Euros

O lucro unitário do produto 1

X* = ( 2, 6, 2, 0, 0 ), z*=36Y* = ( 0, 3/2, 1, 0, 0 )

XX** = (= ( 2, 6,2, 6, 2, 0, 0 2, 0, 0 ),), z*=36Y*Y* = = (( 0, 3/2, 10, 3/2, 1, , 0, 00, 0 ))

X* = ( 4, 3, 0, 6, 0 ) , z*=47Y* = (1/2, 0, 5/2, 0, 0 )

XX* * = (= ( 4, 3,4, 3, 0, 6, 00, 6, 0 )) , , z*=47Y* = Y* = ((1/2, 0, 5/21/2, 0, 5/2, , 0, 00, 0 ))


� � � �

1XP ODERUDWyULR IDUPDFrXWLFR VmR PDQXIDFWXUDGRV � SURGXWRV �

SDVVDQGR SRU � RSHUDo}HV GLIHUHQWHV�

2 WHPSR �HP KRUDV� UHTXHULGR SRU FDGD XQLGDGH GH FDGD SURGXWR� D

FDSDFLGDGH GLiULD GH FDGD RSHUDomR �HP K�GLD� H R OXFUR XQLWiULR SRU


1XP ODERUDWyULR IDUPDFrXWLFR VmR PDQXIDFWXUDGRV � SURGXWRV �

SDVVDQGR SRU � RSHUDo}HV GLIHUHQWHV�

2 WHPSR �HP KRUDV� UHTXHULGR SRU FDGD XQLGDGH GH FDGD SURGXWR� D

FDSDFLGDGH GLiULD GH FDGD RSHUDomR �HP K�GLD� H R OXFUR XQLWiULR SRU


�"��"�##$�� %��!��$�� %��!��

Tempo por unidade

Operação Nº 1 3 Capacidadeoperativa

1 2 1 5

2 4 2 11

3 3 2 8

Lucro unitário(Euros)

5 3

Produtos

2

3

1

4

4


� � � �

Maximizar z = 5 x1 + 4 x2 + 3x3

sujeito a

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

243

314

122

100

010

5118

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =001

+ x6

33�� SURGXomR

GLiULD GR

SURGXWR �

33�� SURGXomR GLiULD

GR SURGXWR �

33�� SURGXomR GLiULD

GR SURGXWR �

33�� QmR XWLOL]DomR

GD FDSDFLGDGH GLiULD

GD RSHUDomR �



GD RSHUDomR �



GD RSHUDomR �

�"��"�##$�� %��!��$�� %��!��


� � � �

ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

13130 -3 0 -1 0 -1

D� 'HVFUHYD DV VROXo}HV ySWLPDV SULPDO H GXDO H MXVWLILTXH�DV�


D� 'HVFUHYD DV VROXo}HV ySWLPDV SULPDO H GXDO H MXVWLILTXH�DV�


3yV3yV��2SWLPL]DomR� ([HPSOR�2SWLPL]DomR� ([HPSOR�

6ROXo}HV ySWLPDV6ROXo}HV ySWLPDV SULPDOSULPDO H GXDO�H GXDO�

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 )XX* * = (= ( 2, 0,2, 0, 1,1, 0, 1, 00, 1, 0 ))

Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )YY* * = (= ( 1, 0, 1,1, 0, 1, 0, 3, 00, 3, 0 ))

x1 . y4 =2 x 0 = 0

x2 . y5 =0 x 3 = 0

x4 . y1 = 0 x 1 = 0

x5 . y2 = 1 x 0 = 0

x6. y3 = 0 x 1 = 0x3 . y6 =1 x 0 = 0

Valores simétricos dos valores das

variáveis de decisão duais

valores simétricos dos valores das

variáveis de folga duais

BB--11

�


� � � �

x1* . y4

*= 0xx11** .. yy44

**= = 00 2 . 0 =022 . . 00 =0=0

3ULPDO� X*=( 2, 0, 1, 0, 1, 0 )3ULPDO3ULPDO�� XX**=(=( 2, 2, 0, 1, 0, 1, 0 )) 'XDO� Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )'XDO�'XDO� YY* * = (= ( 1, 0, 1, 00, 3, 0 )

5HIHUHQWH j SURGXomR GR SURGXWR ��

'HYHP VHU PDQXIDFWXUDGDV � XQLGDGHV GR SURGXWR � GLDULDPHQWH�

VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXLGD jV KRUDV JDVWDV QDV





Caso a perda de oportunidade fosse positiva, a produção deste produto não seria

contemplada


'HYHP VHU PDQXIDFWXUDGDV � XQLGDGHV GR SURGXWR � GLDULDPHQWH�

VHQGR D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXLGD jV KRUDV JDVWDV QDV






contemplada

,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GDV VROXo}HV ySWLPDV,QWHUSUHWDomR HFRQyPLFD GDV VROXo}HV ySWLPDV

XWLOL]DQGR D FRPSOHPHQWDULGDGH GDVXWLOL]DQGR D FRPSOHPHQWDULGDGH GDV VODFNVVODFNV ��


� � � �

x2* . y5

*= 0xx22** .. yy55

**= = 00 0 . 3 = 000 . . 33 = 0= 0

3ULPDO� X*=( 2, 0, 1, 0, 1, 0 )3ULPDO3ULPDO�� XX**=(=( 2, 00, 1, 0, 1, 0 )) 'XDO� Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )'XDO�'XDO� YY* * = (= ( 1, 0, 1, 0, 33, 0 )



SRLV D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXLGD jV KRUDV TXH VHULDP JDVWDV

QDV RSHUDo}HV SDUD SURGX]LU XPD XQLGDGH GR SURGXWR �

p PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR� L�H��

D SURGXomR GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � LPSOLFDULD






SRLV D YDORUL]DomR LQWHUQD DWULEXLGD jV KRUDV TXH VHULDP JDVWDV

QDV RSHUDo}HV SDUD SURGX]LU XPD XQLGDGH GR SURGXWR �

p PDLRU GR TXH R VHX OXFUR XQLWiULR� L�H��

D SURGXomR GH XPD XQLGDGH GR SURGXWR � LPSOLFDULD






��


� � � �

x3* . y6

*= 0xx33** .. yy66

**= = 00 1 . 0 =011 . . 00 =0=0










contemplada.









contemplada.




� � � �

x4* . y1

*= 0xx44** .. yy11

**= = 00 0 . 1 =000 . . 11 =0=0


5HIHUHQWH DR UHFXUVR ��

2 SUHoR VRPEUD �YDORUL]DomR LQWHUQD�

GH XPD KRUD SRU GLD QD RSHUDomR � p SRVLWLYR H LJXDO D � (XUR�

SHOR IDFWR GHVWH VHU XP UHFXUVR HVFDVVR� GR TXDO QmR Ki VREUDV�

L�H�� D FDSDFLGDGH GLiULD SDUD D RSHUDomR � �� K�GLD� HVWi HVJRWDGD�

A disponibilidade adicional de 1 hora diária na operação 1 possibilitaria um

incremento de 1 Euro no valor do lucro total.










��


� � � �

x5* . y2

*= 0xx55** .. yy22

**= = 00 1 . 0 =011 . . 00 =0=0




GH XPD KRUD SRU GLD QD RSHUDomR � p QXOR�


GR TXDO VREUD � KRUD GLiULD GR WRWDO GDV KRUDV GLVSRQtYHLV

SDUD HVWD RSHUDomR �� K�GLD��

O tempo diário não utilizado na operação 2 é de 1 hora.



GH XPD KRUD SRU GLD QD RSHUDomR � p QXOR�


GR TXDO VREUD � KRUD GLiULD GR WRWDO GDV KRUDV GLVSRQtYHLV

SDUD HVWD RSHUDomR �� K�GLD��

O tempo diário não utilizado na operação 2 é de 1 hora.




� � � �

x6* . y3

*= 0xx66** .. yy33

**= = 00 0 . 1 =000 . . 11 =0=0


















��


� � � �

ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

13130 -3 0 -1 0 -1ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bbbb

13130 -3 0 -1 0 -1

E� $QDOLVH DV FRQVHTXrQFLDV HFRQyPLFDV H GH SURGXomR TXH GHFRUUHP

VH D FDSDFLGDGH GLiULD GD RSHUDomR � SDVVDU GH � K�GLD SDUD �� K�GLD�

E�E� $QDOLVH DV FRQVHTXrQFLDV HFRQyPLFDV H GH SURGXomR TXH GHFRUUHP

VH D FDSDFLGDGH GLiULD GD RSHUDomR � SDVVDU GH � K�GLD SDUD �� K�GLD�

X*B → X*

B+ B-1∆b, ∆b=(0,0,4)XX**BB →→ XX**

BB+ + BB--11∆∆b,b, ∆∆b=(0,0,4)b=(0,0,4)

B-1


GRV FXVWRV UHGX]LGRV QmR VRIUHUDP DOWHUDomR� SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR

GXDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD VROXomR ySWLPD DGPLVVtYHO�


GRV FXVWRV UHGX]LGRV QmR VRIUHUDP DOWHUDomR� SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR

GXDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD VROXomR ySWLPD DGPLVVtYHO�

<0<0



0 0

4==

2 0 -1-2 1 0-3 0 2

XX**B B + + BB--1 1 xx ∆∆ bb = = novanova XX**

BB

++b21

1

b-219


� � � �

x1

x5

x3

17

503

-219

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

003

x6

x5

x3

-1 - 2 0 - 2 0 1 2

2 3 1 1 0 0 5

1515-1 -5 0 -3 0 0

5 7 3 1 0 10 -3 0 -1 0 -1

0 -5 0 - 2 1 0 1

6 9 3 3 0 0



X* = ( 0, 0, 5, 0, 1, 2 )XX* * = (= ( 0, 0,0, 0, 5,5, 0, 1, 20, 1, 2 ))

Y* = ( 3, 0, 0, 1, 5, 0 )YY* * = (= ( 3, 0, 0,3, 0, 0, 1, 5, 01, 5, 0 ))

x1 . y4 =0 x 1 = 0

x2 . y5 =0 x 5 = 0

x4 . y1 = 0 x 3 = 0

x5 . y2 = 1 x 0 = 0

x6. y3 = 2 x 0 = 0x3 . y6 =5 x 0 = 0

ccjj --zzj j

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5 xx66

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

zzjj

ccjj --zzjj

5 4 3 0 0 0

��


� � � �

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 ), z*=13Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )

XX* * = (= ( 2, 0, 1,2, 0, 1, 0, 1, 00, 1, 0 ),), z*=13Y* = Y* = (( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

X* = ( 0, 0, 5, 0, 1, 2 ), z*=15Y* = ( 3, 0, 0, 1, 5, 0 )

XX* * = (= ( 0, 0, 5,0, 0, 5, 0, 1, 20, 1, 2 ),), z*=15Y* = Y* = (( 3, 0, 03, 0, 0, , 1, 5, 01, 5, 0 ))

([HPSOR� $OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�([HPSOR� $OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�



$R VHU LQFUHPHQWDGD D FDSDFLGDGH GLiULD GD RSHUDomR � GH � K�GLD SDUD ��

K�GLD� R QRYR SODQR ySWLPR�

�QmR FRQWHPSOD DJRUD D SURGXomR GR SURGXWR �

a perda de oportunidade da produção duma unidade do produto 1 passa a ser igual a 1 Euro(\

� ��

�FRQWLQXD VHP FRQWHPSODU D SURGXomR GR SURGXWR �

a perda de oportunidade da produção duma unidade do produto 2 é igual a 5 Euros (\� ��

�DXPHQWD D SURGXomR GLiULD GR SURGXWR � �GH � SDUD � XQLGDGHV�

a perda de oportunidade da produção duma unidade do produto 3 continua nula (\� ��

(FRQRPLFDPHQWH p YDQWDMRVR HVWH LQFUHPHQWR GD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GD

RSHUDomR � HP � K�GLD� SRLV REWpP�VH XP LQFUHPHQWR GH � (XURV QR OXFUR WRWDO

GLiULR ��




LQFUHPHQWRLQFUHPHQWRA capacidade diária

da operação 3

passa de 8 h/dia para 12 h/dia.


� � � �

([HPSOR� $OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�([HPSOR� $OWHUDomR GRV WHUPRV LQGHSHQGHQWHV�




DXPHQWD GH � SDUD � (XURV SRU K�GLD �[� �� \� ��

a capacidade de produção da operação 1 mantém-se esgotada, sendo utilizada ao seu nível máximo disponível

para a produção de um único produto: o produto 3 ( 1 h/dia * 5 unidades do produto 3 =5 h/dia )


VRPEUD FRQWLQXD QXOR �[� �� \� ��

no novo plano também sobra 1 hora da operação 2


R VHX SUHoR VRPEUD FDL DWp ]HUR �[� �� \� ��

No novo plano sobram agora 2 horas da operação 3, e o seu preço sombra cai de 1 até zero (y3=1 →→ y3=0)

2 OXFUR WRWDO ] F�[� � � � �� (XURV E

�\� � � � Z





X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 ), z*=13Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )

XX* * = (= ( 2, 0, 1,2, 0, 1, 0, 1, 00, 1, 0 ),), z*=13Y* = Y* = (( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

X* = ( 0, 0, 5, 0, 1, 2 ), z*=15Y* = ( 3, 0, 0, 1, 5, 0 )

XX* * = (= ( 0, 0, 5,0, 0, 5, 0, 1, 20, 1, 2 ),), z*=15Y* = Y* = (( 3, 0, 03, 0, 0, , 1, 5, 01, 5, 0 ))

A capacidade diária da operação 3

passa de 8 h/dia para 12 h/dia.

��


� � � �

F� $QDOLVH DV FRQVHTXrQFLDV HFRQyPLFDV H GH SURGXomR TXH GHFRUUHP

VH R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � SDVVD GH � D � (XURV�

F�F� $QDOLVH DV FRQVHTXrQFLDV HFRQyPLFDV H GH SURGXomR TXH GHFRUUHP

VH R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � SDVVD GH � D � (XURV�

c1 → c1 + ∆c1 = 5 + 2 = 7cc11 →→ cc11 + + ∆∆cc11 = = 5 + 5 + 22 == 77

&RPR D VROXomR DGPLVVtYHO SULPDO GHL[D GH VHU p ySWLPD �H[LVWH XP

FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR� SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[


&RPR D VROXomR DGPLVVtYHO SULPDO GHL[D GH VHU p ySWLPD �H[LVWH XP

FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR� SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[


ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -1 0 -5 0 -2 1 0 0 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

1313 0 -3 0 -1 0 -1 ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

211

x1

x5

x3

703

77 4 3 0 0 0

xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

170 -7 0 -5 0 1




� � � �

x1

x5

x3

17

703

211

1 2 0 2 0 -10 -5 0 -2 1 00 -1 1 -3 0 2

700

x1

x5

x6

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -1/2 1/2 -3/2 0 1 1/2

35/235/20 -13/2 -1/2 -7/2 0 0

ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5 xx66

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

zzjj

ccjj --zzjj

7 4 3 0 0 0

7 11 3 5 0 -1 0 -7 0 -5 0 1

0 -5 0 - 2 1 0 1

7 21/2 7/2 7/2 0 0



X* = ( 5/2, 0, 0, 0, 1, 1/2 )XX* * = (= ( 5/25/2, 0,, 0, 0,0, 0, 1, 0, 1, 1/21/2 ))

Y* = ( 7/2, 0, 0, 0, 13/2, 1/2 )YY* * = (= ( 7/27/2, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 13/213/2, , 1/21/2 ))

x1 . y4 = 5/2 x 1=0

x2 . y5=0x 13/2 = 0

x4 . y1 = 0 x 7/2 = 0

x5 . y2 = 1 x 0 = 0

x6. y3 = 1/2 x 0 = 0x3 . y6 = 0x 1/2 = 0

��


� � � �

O lucro unitário do produto 1 passa de 5 para 7 Euros

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 ), z*=13Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )

XX* * = (= ( 2, 0, 1,2, 0, 1, 0, 1, 00, 1, 0 ),), z*=13Y* = Y* = (( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

X* = (5/2, 0, 0, 0, 1, 1/2), z*=17,5Y* = (7/2, 0, 0, 0, 13/2, 1/2 )

XX* * = (= (5/25/2, 0,, 0, 0,0, 0, 1, 0, 1, 1/21/2), ), z*=17,5Y* Y* = = ((7/2, 0, 0,7/2, 0, 0, 0, 0, 13/213/2, , 1/21/2 ))

([HPSOR� $OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�([HPSOR� $OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�



$R LQFUHPHQWDU R OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR � GH � (XURV SDUD � (XURV� R QRYR

SODQR ySWLPR�

�FRQWHPSOD D SURGXomR GLiULD GH �� XQLGDGHV GR SURGXWR �

evidentemente a perda de oportunidade da produção duma unidade do produto 1 é nula

(\� ��

�QmR FRQWHPSOD D SURGXomR GRV SURGXWRV � H �

as perdas de oportunidade da produção duma unidade do produto 2 e do produto 3 são positivas

e iguais a 6,5 Euros e 0,5 Euros respectivamente (\� �� \� ��

(FRQRPLFDPHQWH p YDQWDMRVR HVWH LQFUHPHQWR GR OXFUR XQLWiULR GR SURGXWR

�� SRLV REWpP�VH XP LQFUHPHQWR GH �� (XURV QR OXFUR WRWDO GLiULR�






� � � �

([HPSOR� $OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�([HPSOR� $OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD I�R�




DXPHQWD GH � SDUD �� (XURV SRU K�GLD �[� �� \� ��

a capacidade de produção da operação 1 mantém-se esgotada, sendo utilizada ao seu nível máximo disponível

para a produção de um único produto: o produto 1 ( 2 h/dia * 2,5 unidades do produto 3 =5 h/dia )


VRPEUD FRQWLQXD QXOR �[� �� \� ��

no novo plano também sobra 1 hora da operação 2


R VHX SUHoR VRPEUD p DJRUD QXOR �[� �� \� ��

no novo plano sobram agora 0,5 horas da operação 3, e o seu preço sombra cai de 1 até zero (y3=1 →→ y3=0)

2 OXFUR WRWDO ] F� [� �� (XURV E� \� �

� �� Z



O lucro unitário do produto 1 passa de 5 para 7 Euros

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 ), z*=13Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )

XX* * = (= ( 2, 0, 1,2, 0, 1, 0, 1, 00, 1, 0 ),), z*=13Y* = Y* = (( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

X* = (5/2, 0, 0, 0, 1, 1/2), z*=17,5Y* = (7/2, 0, 0, 0, 13/2, 1/2 )

XX* * = (= (5/25/2, 0,, 0, 0,0, 0, 1, 0, 1, 1/21/2), ), z*=17,5Y* Y* = = ((7/2, 0, 0,7/2, 0, 0, 0, 0, 13/213/2, , 1/21/2 ))



1


� � � �

��

&DStWXOR �� $QiOLVH SyV�RSWLPDO

� $OWHUDo}HV GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] GDV UHVWULo}HV�

� ,QWURGXomR GH XPD QRYD YDULiYHO�

� ,QWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR�


� � � �

PP1 1 …… PPll …… PPn n PPnn+1+1 …… PPnn+m+ma11 …a1l …a1n a1n+1 …a1n+ma21 …a2l …a2n a2n+1 …a1n+m

.

.

.

ak1 …aaklkl …akn akn+1 …akn+m...

am1…aml … amn amn+1 …amn+n

AA=

NN**

x B*-1x BB**--11

BB**--11BB**= I= I

BB**

BB**--11NN

6XSRQKD TXH XP FRHILFLHQWH aNOGXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH

ySWLPD 3O∉ % VRIUH XP DFUpVFLPR �RX GHFUpVFLPR� ∆akl � PDQWHQGR�

VH WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR LQDOWHUDGRV�

6XSRQKD TXH XP FRHILFLHQWH aNOGXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH

ySWLPD 33OO∉∉ %% VRIUH XP DFUpVFLPR �RX GHFUpVFLPR� ∆∆aaklkl � PDQWHQGR�

VH WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR LQDOWHUDGRV�

aaklkl →→ aaklkl + + ∆akl

a coluna do quadro simplex correspondente à variável não básica xxl l é alterada:

BB**--11PPll →→ BB**--1 1 ( ( PPll ++ ∆∆kkPPll ))

XXBB

zzzzjj

ccj j -z-zjj

CCBB bbccj j cc11 … cl l… ccn n ccnn+1 +1 … ccnn+m+m

xx11 … xl l… xxn n xxn+1 n+1 … xxn+mn+m

x11 … xx11ll … x1n 1 1 … 00..

.

xk1 … xxkl kl … xkn 0 0 … 00...

xm1 … xxml ml …xmn 0 0 … 11

xxBB11...

xxBBkk...

xxBBmm

ccBB11...

ccBBkk...

ccBBmm

c1 - z1 ...c1 - z1 cn- zn 00 … 00

z1 ... zl … zn zn+1 ... zn+m

bb11...

bbkk...

bbmm

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPDp FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD

2


� � � �

VH R QRYR FXVWR UHGX]LGR FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO QmR EiVLFD [O

SHUPDQHFH QmR SRVLWLYR� HQWmR D VROXomR REWLGD SHUPDQHFH ySWLPD

akl → akl + ∆ akl , ∆ akl ≠ 0 , Pl ∉ B*aaklkl →→ aaklkl + + ∆∆ aakl kl , , ∆∆ aaklkl ≠≠ 0 , 0 , PPll ∉∉ BB**

QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[ ILFD DOWHUDGD DSHQDV D FROXQD

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO QmR EiVLFD [[OOH R VHX UHVSHFWLYR FXVWR

UHGX]LGR�

FDVR FRQWUiULR� DSOLFD�VH R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[�

SDUD DWLQJLU XPD QRYD VROXomR ySWLPD�

B-1 Pl → B-1( Pl + ∆kPl ) = B-1 Pl + B-1∆kPl , ∆kPl =(0,…,0, ∆akl ,0,…,0)

BB--11 PPll →→ BB--11( ( PPll + + ∆∆kkPPll )) = = BB--11 PPll + + BB--11∆∆kkPPl l , , ∆∆kkPPll =(0,=(0,……,0, ,0, ∆∆aaklkl ,0,,0,……,0),0)coluna actual

correspondente à x lnova coluna

correspondente à x l

cl - zl → cl - ctB (B-1 Pl + B-1∆kPl ) = (cl - zl) - ct

B B-1 ∆kPl , ∆kPl =(0,…,0, ∆akl ,0,…,0)

ccll -- zzl l →→ ccll -- ccttBB (B(B--11 PPll + + BB--11∆∆kkPPll )) = (= (ccll -- zzll)) -- cctt

B B BB--11 ∆∆kkPPl l , , ∆∆kkPPll =(0,=(0,……,0, ,0, ∆∆aaklkl ,0,,0,……,0),0)custo reduzido actual

correspondente à x lnovo custo reduzidocorrespondente à x l

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�

&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPDp FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD


� � � �

akl→ akl + ∆ akl , ∆ akl ≠ 0 , Pl ∉ B*aaklkl→→ aaklkl + + ∆∆ aaklkl , , ∆∆ aaklkl ≠≠ 0 , 0 , PPll ∉∉ BB**

3DVVR �� &DOFXODU R YHFWRU %%��∆∆NN33OO, RQGH ∆∆

NN33OO �� ««�� ∆∆aa

NONO��««��

3DVVR �� 8WLOL]DQGR HVWH YHFWRU FDOFXODU R QRYR FXVWR UHGX]LGR

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO QmR EiVLFD xl SHOD H[SUHVVmR�

FFOO�� ]]

OO→→ ��FF

OO�� ]]

OO�� FFWW

%%%%��∆∆

NN33OO

3DVVR �� $QDOLVDU R QRYR FXVWR UHGX]LGR�

�� 6XEVWLWXLU D FROXQD GR TXDGUR VLPSOH[ FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO QmR

EiVLFD xxl l SHOD QRYD FROXQD BB--11 PPll + + BB--11∆∆kkPPl l H R VHX FRUUHVSRQGHQWH FXVWR

UHGX]LGR SHOR QRYR YDORU SRVLWLYR�

�� $SOLFDU R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD QRYD VROXomR

ySWLPD�

&DVR �� R QRYR FXVWR UHGX]LGR SHUPDQHFH QmR SRVLWLYR� D VROXomR

REWLGD SHUPDQHFH ySWLPD�&DVR �� R QRYR FXVWR UHGX]LGR p SRVLWLYR �


&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPDp FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD

3


� � � �


sujeito a

x1 ≤ 4

2x2 ≤ 24

2 x1 + 2x2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0


sujeito a

x1 ≤ 4

2x2 ≤ 24

3 x1 + 2x2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

A VROXomR ySWLPD SDUD HVWH SUREOHPD IRLHQFRQWUDGD H p ; � ��

6XSRQKD TXH R OXFUR XQLWiULR GXPD SRUWD IRL DOWHUDGR GH � SDUD �

(XURV H TXH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR XWLOL]DGD QD VHFomR � SDUD D

VXD SURGXomR IRL UHGX]LGR GH � SDUD � XQLGDGHV� L�H��

x1 �YDULiYHO QmR EiVLFD� � c1 →→ c1 + 1 = 4 H a31 →→ a31 - 1= 2


&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

([HPSOR �([HPSOR �


� � � �

x3

x2

x4

050

1 0 1 0 0 4

-3 0 0 1 -1 6

4545 -9/2 0 0 0 -5/2ccj j -z-zj j

x x11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

3 5 0 0 0

3/2 1 0 0 1/2 9

15/2 5 0 0 5/2

Para x1 (variável não básica) : c1 → 3 + 1 = 4 e a31→ 3 - 1= 2Para x1 (variável não básica) : c1 →→ 3 + 1 = 4 e a31→→ 3 - 1= 2

3DVVR �� &DOFXODU %��∆3�� ∆3

� � �� 3DVVR �� &DOFXODU %%��∆∆33

�� ∆∆33

��

3DVVR �� &DOFXODU �F�� ]

�� ∆ F

�� FW

%%��∆3

�� ∆ F

� �3DVVR �� &DOFXODU �FF

�� ]]

�� ∆∆ FF

�� FFWW

%%%%��∆∆33

�� ∆∆ FF

��

0-1/2

1

0 5 0-9/2 + 1 - = = -9/2 + 1 + 5/2 = = - 1 ≤ 0

0 0

-1

==1 0 00 0 1/20 1 -1

0-1/2

1

3DVVR �� $QDOLVDU R QRYR R QRYR FXVWR UHGX]LGR� FRPR p QHJDWLYR D VROXomR p

ySWLPD�

3DVVR �� $QDOLVDU R QRYR R QRYR FXVWR UHGX]LGR� FRPR p QHJDWLYR D VROXomR p

ySWLPD�


&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU QmR LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

([HPSOR �([HPSOR �

4


� � � �

6XSRQKD TXH XP FRHILFLHQWH aNOGXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

3O∈ % � VRIUH XP DFUpVFLPR �RX GHFUpVFLPR� ∆akl � PDQWHQGR�VH

WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR LQDOWHUDGRV�

6XSRQKD TXH XP FRHILFLHQWH aNOGXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

33OO∈∈ %% � VRIUH XP DFUpVFLPR �RX GHFUpVFLPR� ∆∆aaklkl � PDQWHQGR�VH

WRGRV RV UHVWDQWHV SDUkPHWURV GR PRGHOR LQDOWHUDGRV�


&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

akl → akl + ∆ akl , ∆ akl ≠ 0 , Pl ∈ B*aaklkl →→ aaklkl + + ∆∆ aakl kl , , ∆∆ aaklkl ≠≠ 0 , 0 , PPll ∈∈ BB**

Uma alteração numa coluna da matriz A do problema que pertença à base óptima, conduz a uma nova base B* e a uma inversa (se |B*|≠ 0), e consequentemente a um novo quadro

simplex, em que se pode verificar qualquer uma das situações seguintes:

&DVR �� 6ROXomR EiVLFD SULPDO DGPLVVtYHO FRP FRPSOHPHQWDU GXDO WDPEpP

DGPLVVtYHO� D QRYD VROXomR p ySWLPD�

&DVR �� 6ROXomR EiVLFD SULPDO DGPLVVtYHO FRP FRPSOHPHQWDU GXDO QmR DGPLVVtYHO�

DSOLFDU R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD QRYD VROXomR ySWLPD�

&DVR �� 6ROXomR EiVLFD SULPDO QmR DGPLVVtYHO FRP FRPSOHPHQWDU GXDO DGPLVVtYHO�

DSOLFDU R DOJRULWPR GXDO VLPSOH[ SDUD DWLQJLU XPD QRYD VROXomR ySWLPD�

&DVR �� 6ROXomR EiVLFD SULPDO QmR DGPLVVtYHO FRP FRPSOHPHQWDU GXDO WDPEpP

QmR DGPLVVtYHO� UHVROYHU GHVGH R LQtFLR R QRYR SUREOHPD�


� � � �

akl→ akl + ∆ akl , ∆ akl ≠ 0 , Pl ∈ B*aaklkl→→ aaklkl + + ∆∆ aaklkl , , ∆∆ aaklkl ≠≠ 0 , 0 , PPll ∈∈ BB**

3DVVR �� &DOFXODU R YHFWRU %%��∆∆NN33OO� RQGH ∆∆

NN33OO �� ««�� ∆∆aaklkl ��««��

H VXEVWLWXLU D FROXQD GR TXDGUR VLPSOH[ GH LGHQWLGDGH

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD [[OOSHOD QRYD FROXQD�

%%��33OO�� %%��∆∆

NN33OO

3DVVR �� 5HDOL]DU DV RSHUDo}HV GH SLYRWDomR SDUD WUDQVIRUPDU

QRYDPHQWH HVWD FROXQD QXPD FROXQD GH LGHQWLGDGH�

WRPDQGR FRPR SLYRW D FRPSRQHQWH GD FROXQD

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD xl �

3DVVR �� $QDOLVDU D DGPLVVtELOLGDGH GDV VROXo}HV SULPDO H GXDO

SDUD GHWHUPLQDU R SDVVR D VHJXLU VHJXQGR RV � FDVRV

DQWHULRUHV�



5


� � � �

Maximizar Z = 3 x1 + 3 3 x2 sujeito a

x 1 ≤ 43 3 x 2 ≤ 24

3 x1 + 4 4 x 2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Maximizar Z = 3x1 + 5x2sujeito a

x 1 ≤ 42x 2 ≤ 24

3x1 + 2x 2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

3DUD x2 �YDULiYHO EiVLFD��c2 → c2 - 2 =3, a22→ a22 + 1= 3 , a32→ a32 + 2= 43DUD x2 �YDULiYHO EiVLFD��c2 →→ c2 - 2 =3, a22→→ a22 + 1= 3 , a32→→ a32 + 2= 4

6XSRQKD�VH TXH R OXFUR XQLWiULR GXPD MDQHOD IRL DOWHUDGR GH � SDUD �

(XURV H TXH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR XWLOL]DGD QD VHFomR � SDUD D VXD

SURGXomR WLYH XP DXPHQWR GH � XQLGDGH H QD VHFomR � GH � XQLGDGHV

6XSRQKD�VH TXH R OXFUR XQLWiULR GXPD MDQHOD IRL DOWHUDGR GH � SDUD �

(XURV H TXH D FDSDFLGDGH GH SURGXomR XWLOL]DGD QD VHFomR � SDUD D VXD

SURGXomR WLYH XP DXPHQWR GH � XQLGDGH H QD VHFomR � GH � XQLGDGHV

$ VROXomR ySWLPD SDUD HVWH SUREOHPD IRLHQFRQWUDGD �YHU FDStWXOR �� H p

; � ��

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�

([HPSOR ��([HPSOR ��


� � � �

x3

x2

x4

050

1 0 1 0 0 4

-3 0 0 1 -1 6

4545 -9/2 0 0 0 -5/2ccj j -z-zj j

x x11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

3 5 0 0 0

3/2 1 0 0 1/2 9

15/2 5 0 0 5/2

Passo 1: &DOFXODU %��∆ 3�� ∆3

� � ��

&DOFXODU D QRYD FROXQD GR TXDGUR VLPSOH[

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD x2�

Passo 1: &DOFXODU %%��∆∆ 33�� ∆∆33

��

&DOFXODU D QRYD FROXQD GR TXDGUR VLPSOH[

FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD x2�

0 1 2

==1 0 00 0 1/20 1 -1

0 2

-1

01 0

++

3DUD x2 �YDULiYHO EiVLFD�� c2 → c2 - 2 = 3, a22→ a22 + 1= 3 , a32→ a32 + 2= 43DUD x2 �YDULiYHO EiVLFD�� c2 →→ c2 - 2 = 3, a22→→ a22 + 1= 3 , a32→→ a32 + 2= 4

$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�$OWHUDomR GRV FRHILFLHQWHV GD PDWUL] $ GH UHVWULo}HV�&DVR �&DVR �� aaklkl p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�p FRHILFLHQWH GXP YHFWRU LQFOXtGR QD EDVH ySWLPD�


BB--1 1

4XDGUR ySWLPR

6


� � � �

3DVVR �� &DOFXODU R QRYR TXDGUR VLPSOH[

SDUD WUDQVIRUPDU QRYDPHQWH D

FROXQD FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD

x2 QXPD FROXQD LGHQWLGDGH

3DVVR �� &DOFXODU R QRYR TXDGUR VLPSOH[

SDUD WUDQVIRUPDU QRYDPHQWH D

FROXQD FRUUHVSRQGHQWH j YDULiYHO EiVLFD

xx2 2 QXPD FROXQD LGHQWLGDGH

3DVVR �� $ VROXomR p DGPLVVtYHO SDUD R

SULPDO H QmR DGPLVVtYHO SDUD R GXDO

�H[LVWH XP FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR� Mi QmR

p ySWLPD��

DSOLFDU R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[

3DVVR �� $ VROXomR p DGPLVVtYHO SDUD R

SULPDO H QmR DGPLVVtYHO SDUD R GXDO

�H[LVWH XP FXVWR UHGX]LGR SRVLWLYR� Mi QmR

p ySWLPD��

DSOLFDU R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[




0 1 2

==1 0 00 0 1/20 1 -1

0 2

-1

01 0

++

x3

x2

x4

45

050

496

1 0 1 0 0 3/2 2 0 0 1/2-3 -1 0 1 -1

030

x3

x2

x4

1 0 1 0 0 4

-9/4 0 0 1 -3/4 21/2

27/227/23/4 0 0 0 -3/4

15/2 10 0 0 5/2

-9/2 -7 0 0 -5/2

3/4 1 0 0 1/4 9/2

9/4 3 0 0 3/4

ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

zzjj

ccjj --zzjj

3 3 0 0 0


� � � �

ccjj --zzj j

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5

cj

XXBBCCBB b

zzj j

zzj j

ccjj --zzj j

3 3 0 0 0

x3

x2

x4

030

330

x1

x2

x4

1 0 1 0 0 4

0 0 9/4 1 -3/4 39/2

33/233/20 0 -3/4 0 -3/4

9/4 3 0 0 3/43/4 0 0 0 -3/4

0 1 -3/4 0 1/4 3/2

3 3 3/4 0 3/4

3DVVR �� $SOLFDU R DOJRULWPR

SULPDO VLPSOH[�

1 0 1 0 0 4

-9/4 0 0 1 -3/4 21/23/4 1 0 0 1/4 9/2

27/227/2

$V VROXo}HV ySWLPDV�

; � � � ��

< ��

] Z ��


; � � � ��

< ��

] Z ��

calculando o mínimo dos quocientes:

PLQ � �


PLQ � ��

� �




7


� � � �

6XSRQKD VHMD SUHFLVR LQWURGX]LU XPD QRYD YDULiYHO xxnn+1 +1 QR VHJXLQWH SUREOHPD GH 3/�

∑=j

jj xcz

∑ =j

ijij bxa

0≥jx

mi ,...,2,1=nj ,...,2,1=

MaximizarMaximizar11 +++= ∑ nn

jjj xcxcz

ininj

jij bxaxa =+ ++∑ 11

0≥jx

mi ,...,2,1=nj ,...,2,1=

MaximizarMaximizar

01 ≥+nx

+ xn+1 + xxnn+1 +1

��


� � � �

&DVR �� VH ccnn+1 +1 -- zznn+1+1 ≤≤ 0 0 D VROXomR Mi REWLGD SHUPDQHFH ySWLPD

A solução óptima X* do problema original constitui uma SBA para o

problema ampliado, com xxnn+1+1 como variável não básica, i.e., xxnn+1+1 = 0= 0

3DVVR ��3DVVR �� ,QWURGX]LU D QRYD FROXQD BB--11PPn+1n+1� FRUUHVSRQGHQWH j QRYD

YDULiYHO QmR EiVLFD xxnn+1 +1 � QR TXDGUR VLPSOH[ ySWLPR H

FDOFXODU R VHX FXVWR UHGX]LGR ccnn+1 +1 -- zznn+1 +1 �

3DVVR �3DVVR �� $QDOLVDU R YDORU GR FXVWR UHGX]LGR ccnn+1 +1 -- zznn+1 +1 �

&DVR �� VH ccnn+1 +1 -- zznn+1 +1 ! �! � D VROXomR REWLGD GHL[D GH VHU ySWLPD�

DSOLFD�VH R DOJRULWPR SULPDO VLPSOH[� LQWURGX]LQGR R YHFWRU PPnn+1+1

QD EDVH�

��

$ LQWURGXomR GH XPD QRYD YDULiYHO SRGH DPSOLDU D UHJLmR GH

DGPLVVLELOLGDGH . H DOWHUDU R JUDGLHQWH GD I�R�� L�H�� D VROXomR

REWLGD SRGH GHL[DU GH VHU ySWLPD SDUD R QRYR SUREOHPD�

8


� � � �

&DVR �� $ VROXomR Mi REWLGD YHULILFD D QRYD UHVWULomR� D VROXomR SHUPDQHFH

ySWLPD� ),0 ��

$ LQWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR QmR DOWHUD R JUDGLHQWH GD I�R��

PDV SRGH UHVWULQJLU D UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH .� L�H�� D VROXomR

ySWLPD REWLGD SRGH GHL[DU GH VHU DGPLVVtYHO SDUD R QRYR SUREOHPD�

3DVVR �� 9HULILFDU VH D VROXomR Mi REWLGD YHULILFD D QRYD UHVWULomR�

&DVR �� $ VROXomR Mi REWLGD QmR YHULILFD D QRYD UHVWULomR� L�H�� GHL[D GH VHU

DGPLVVtYHO SDUD D QRYD UHJLmR GH DGPLVVLELOLGDGH� GHWHUPLQDU D

QRYD VROXomR ySWLPD�

��

3DVVR �� ,QWURGX]LU QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[�

�� XPD YDULiYHO GH IROJD RX XPD YDULiYHO DUWLILFLDO FRPR YDULiYHO EiVLFD

DVVRFLDGD j QRYD UHVWULomR

�se a nova restrição é de tipo ≤ ou ≥ , introduzir uma variável de folga �se a nova restrição é de igualdade, introduzir uma variável artificial

�� XPD QRYD OLQKD QR TXDGUR FRP RV FRHILFLHQWHV GD QRYD UHVWULomR�

�� XPD QRYD FROXQD GH LGHQWLGDGH FRUUHVSRQGHQWH j QRYD YDULiYHO EiVLFD�


� � � �

3DVVR �� 3URFHGHU DV RSHUDo}HV GH SLYRWDomR QHFHVViULDV SDUD

FRQYHUWHU D ]HUR WRGRV RV FRHILFLHQWHV GDV YDULiYHLV

EiVLFDV QD QRYD OLQKD� L�H� �FRQYHUWHU QRYDPHQWH WRGDV DV

FROXQDV FRUUHVSRQGHQWHV DV YDULiYHLV EiVLFDV HP FROXQDV

LGHQWLGDGH�

3DVVR �� $QDOLVDU D DGPLVVLELOLGDGH GDV QRYDV VROXo}HV SULPDO H

GXDO�

�DGPLVVLELOLGDGH GD VROXomR GXDO� como os custos reduzidos

correspondentes às variáveis não básicas não sofreram alteração (os únicos

diferentes de zero), a nova solução permanece óptima, i.e, permanece dual

admissível.

,QWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR,QWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR

&DVR ��&DVR �� $ VROX$ VROXomomR MR Mii REWLGD QREWLGD QmmRR YHULILFD D QRYD UHVWULomR HYHULILFD D QRYD UHVWULomR H

HVWD p GH GHVLJXDOGDGH� GH WLSR �HVWD p GH GHVLJXDOGDGH� GH WLSR �≤≤ � RX �� RX �≥≥� ��

9


� � � �

3DVVR �� $QDOLVDU D DGPLVVLELOLGDGH GDV QRYDV VROXo}HV SULPDO H GXDO�

DGPLVVLELOLGDGH GD VROXomR SULPDO� a solução já obtida é não admissível para o problema com a nova restrição e as primeiras m componentes da nova solução coincidem com as da solução óptima original (as restantes linhas do quadro não sofreram qualquer alteração).

�&DVR �� D QRYD UHVWULomR p GH GHVLJXDOGDGH� GH WLSR ≤ RX ≥�como a solução é primal não admissível e as restantes linhas não sofreram qualquer alteração o valor da nova variável de folga deve ser negativo. Neste caso tem-se uma solução básica admissível do dual , mas não admissível para o primal : aplicar o algoritmo dual simplex para atingir uma nova solução óptima.

�&DVR �� D QRYD UHVWULomR p GH LJXDOGDGH�

como a solução é primal não admissível e as restantes linhas não sofreram qualquer alteração o valor da nova variável artificial deve ser diferente de zero.�se o valor da variável artificial é negativo: aplicar o algoritmo dual simplex para

atingir uma nova solução óptima�se o valor da variável artificial é positivo: aplicar o método das duas fases ou do

big M para eliminar esta variável artificial da base e atingir uma solução óptima.

��


� � � �


x 1 ≤ 42x 2 ≤ 24

3x1 + 2x 2 ≤ 182x1 + 3x 2 ≤ 24

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

,QWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR� ([HPSOR ��,QWURGXomR GH XPD QRYD UHVWULomR� ([HPSOR ��

6XSRQKD TXH IRL LQWURGX]LGD XPD QRYD VHFomR � �VHFomR GH

DFDEDPHQWRV� FRP XPD FDSDFLGDGH GH SURGXomR GH �� XQLGDGHV SRU

PLQXWR� 6DEHQGR TXH XPD SRUWD XWLOL]D � XQLGDGHV GD FDSDFLGDGH GH

SURGXomR GD VHFomR � H XPD MDQHOD XWLOL]D � XQLGDGHV DQDOLVH VH R

SODQR DFWXDO FRQWLQXD D VHU ySWLPR� FDVR FRQWUiULR�GHWHUPLQH XP QRYR

SODQR ySWLPR

QRYD UHVWULomRFRUUHVSRQGHQWH j VHFomR �


x 1 ≤ 42x 2 ≤ 24

3x1 + 2x 2 ≤ 18

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

$ VROXomR ySWLPD SDUD HVWHSUREOHPD p ; � ��

10


� � � �

3DVVR �� ,QWURGX]LU QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[ D QRYD UHVWULomR�3DVVR �� ,QWURGX]LU QR TXDGUR ySWLPR VLPSOH[ D QRYD UHVWULomR�

�� LQWURGX]LU XPD QRYD YDULiYHO GH IROJD

x6 DVVRFLDGD D HVWD UHVWULomR�

2x1 +3x 2 + x 6 = 24 FRPR YDULiYHO EiVLFD�

nova coluna de identidade correspondente á variável básica

x6

nova linha correspondente à variável básica x6

�� LQWURGX]LU XPD QRYD OLQKD FRP RV

FRHILFLHQWHV GD QRYD UHVWULomR�

�� LQWURGX]LU XPD QRYD FROXQD GH

LGHQWLGDGH FRUUHVSRQGHQWH D x6

xx6 6

x60

0

0

0

0

10

0

2 3 0 0 0 24

Como 2 . 0 + 3 . 9 >> 24 a solução óptima não verifica esta nova restrição, i.e., deixou de ser primal admissível pelo que é preciso determinar uma nova solução óptima.

3DVVR �� $ VROXomR ySWLPD YHULILFD D QRYD UHVWULomR� 2x1 + 3x 2 ≤ 24 "3DVVR �� $ VROXomR ySWLPD YHULILFD D QRYD UHVWULomR� 2x1 + 3x 2 ≤ 24 "


bbCB

cj

4545

x3

x2

x4

050

1 0 1 0 0 4

-3 0 0 1 -1 6

-9/2 0 0 0 -5/2ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx55

zzjj

3 5 0 0 0

3/2 1 0 0 1/2 9

15/2 5 0 0 5/2

XB


� � � �

x3

x2

x4

x6

45

0500

ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5 xx66

cj

XXBBCCBB bb

zzj j

zzjj

ccjj --zzjj

3 5 0 0 0 0

15/2 5 0 0 5/2 0-9/2 0 0 0 5/2 0

1 0 1 0 0 0 4

-3 0 0 1 -1 0 6 3/2 1 0 0 1/2 0 9

2 3 0 0 0 1 24

0500

4545

x3

x2

x4

x6

15/2 5 0 0 5/2 0-9/2 0 0 0 -5/2 0

1 0 1 0 0 0 4

-3 0 0 1 -1 0 6 3/2 1 0 0 1/2 0 9

-5/2 0 0 0 -3/2 1 -3


2 3 0 0 0 1 24-3x 3/2 1 0 0 1/2 0 9

-5/2 0 0 0 -3/2 1 -3

3DVVR �� 3URFHGHU jV RSHUDo}HV GH SLYRWDomR QHFHVViULDV SDUDFRQYHUWHU D ]HUR WRGRV RV FRHILFLHQWHV GD QRYD OLQKD TXHSHUWHQoDP DV FROXQDV LGHQWLGDGH FRUUHVSRQGHQWHV jVYDULiYHLV EiVLFDV�

3DVVR �� 3URFHGHU jV RSHUDo}HV GH SLYRWDomR QHFHVViULDV SDUDFRQYHUWHU D ]HUR WRGRV RV FRHILFLHQWHV GD QRYD OLQKD TXHSHUWHQoDP DV FROXQDV LGHQWLGDGH FRUUHVSRQGHQWHV jVYDULiYHLV EiVLFDV�

este coeficiente devia ser 0 0 já que pertence a uma coluna de

identidade correspondente à

variável básica x2


11


� � � �

x3

x2

x4

x6

45

0500

ccjj --zzjj

xx11 xx2 2 xx3 3 xx4 4 xx5 5 xx66

cj

XXBBCCBB bb

zzjj

zzj j

ccjj --zzjj

3 5 0 0 0 0

15/2 5 0 0 5/2 0-9/2 0 0 0 -5/2 0

1 0 1 0 0 0 4

-3 0 0 1 -1 0 6 3/2 1 0 0 1/2 0 9

-5/2 0 0 0 -3/2 1 -3

0500

40

x3

x2

x4

x5

10/3 5 0 0 0 5/3-1/3 0 0 0 0 -5/3

1 0 1 0 0 0 4

-4/3 0 0 1 0 -2/3 8 2/3 1 0 0 0 1/3 8

5/3 0 0 0 1 -2/3 2

3DVVR �� $ QRYD VROXomR p SULPDO QmR DGPLVVtYHO H GXDO DGPLVVtYHO SHORTXH SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR GXDO�

3DVVR �3DVVR �� $ QRYD VROXomR p SULPDO QmR DGPLVVtYHO H GXDO DGPLVVtYHO SHORTXH SRGH VHU DSOLFDGR R DOJRULWPR GXDO�



PLQ �


PLQ � � �

� �

�

�


; � ��

< � ��

] Z ��


; � ��

< � ��

] Z ��

1


� � � �

��

&DStWXOR ��

2 SUREOHPD GH WUDQVSRUWH �37��

� 'HILQLomR H DSUHVHQWDomR VREUH IRUPD GH UHGH�

� )RUPXODomR GR FDVR HTXLOLEUDGR H QmR HTXLOLEUDGR�

([HPSORV

� 3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV�


� � � �

��

8P GRV SULQFLSDLV SURGXWRV GD ILUPD /DFWRVDO p R OHLWH�

2V SDFRWHV GH OHLWHV VmR HPSDFRWDGRV

HP � IiEULFDV

H GHSRLV VmR GLVWULEXtGRV GH FDPLmR

SDUD TXDWUR DUPD]pQV

&RQKHFHQGR RV FXVWRV GH WUDQVSRUWH� D SURFXUD SUHYLVWD

SDUD FDGD DUPD]pP H DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR GH

FDGD IiEULFD� SUHWHQGH�VH�

237,0,=$5 2 352*5$0$ '( ',675,%8,d2 ',È5,2

'2 /(,7(�

2


� � � �

��

2V GDGRV GRV FXVWRV GH XPD FDUJD GH OHLWH SDUD FDGD FRPELQDomR

IiEULFD�DUPD]pP H GDV RIHUWDV�SURGXomR� H SURFXUDV� HP FDUJDV GH

FDPLmR�GLD� VmR RV VHJXLQWHV�

24 cargas diárias de leite devem

ser produzidas e distribuídas



&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV


� � � �

Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +

2 x32 + 2 x33 + x34

sujeito a:

x11 + x12 + x13+ x14 = 6x21 + x22 + x23+ x24 = 8

x31 + x32 + x33+ x34 = 10x11 + x21 + x31 = 4

x12 + x22 + x32 = 7x13 + x23 + x33 = 6

x14 + x24 + x34 = 7

xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

�� &XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

&XVWR SRU FDUJD GHFDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

3


� � � �

x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

A=A=

�� !�� !��

$ PDWUL] GDV UHVWULo}HV GR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH SDUD

R H[HPSOR SURWyWLSR DSUHVHQWD D VHJXLQWH HVWUXWXUD�


� � � �

)iEULFDV)iEULFDV $UPD]pQV$UPD]pQV

111

222

333

111

222

333

444

c11

x11

c34x34

��"�� "��

4


� � � �

&DUJDV GH OHLWH&DUJDV GH OHLWH&DUJDV GH OHLWH 8QLGDGHV GH XP SURGXWR8QLGDGHV GH XP SURGXWR8QLGDGHV GH XP SURGXWR

� IiEULFDV� IiEULFDV� IiEULFDV P RULJHQVP RULJHQVP RULJHQV

� DUPD]pQV� DUPD]pQV� DUPD]pQV Q GHVWLQRVQ GHVWLQRVQ GHVWLQRV

3URGXomR GD IiEULFD L3URGXomR GD IiEULFD3URGXomR GD IiEULFD L DL RIHUWD GD RULJHP LDDLL RIHUWD GD RULJHPRIHUWD GD RULJHP LL

3URFXUD QR DUPD]pP M3URFXUD QR DUPD]pP3URFXUD QR DUPD]pP M EM SURFXUD QR GHVWLQR MEEMM SURFXUD QR GHVWLQRSURFXUD QR GHVWLQR MM

&XVWR GH WUDQVSRUWHSRU FDUJD GD IiEULFD LSDUD R DUPD]pP M

&XVWR GH WUDQVSRUWH&XVWR GH WUDQVSRUWHSRU FDUJD GD IiEULFDSRU FDUJD GD IiEULFD LSDUD R DUPD]pPSDUD R DUPD]pP M

FLM FXVWR SRU XQLGDGHWUDQVSRUWDGD GD RULJHP L

SDUD R GHVWLQR M

FFLMLM FXVWR SRU XQLGDGHFXVWR SRU XQLGDGHWUDQVSRUWDGD GD RULJHPWUDQVSRUWDGD GD RULJHP LL

SDUD R GHVWLQRSDUD R GHVWLQR MM

��#��#��


� � � �

[LM FDUJDV D GLVWULEXLUGD IiEULFD L

SDUD R DUPD]pP M

[[LMLM FDUJDV D GLVWULEXLUFDUJDV D GLVWULEXLUGD IiEULFDGD IiEULFD L

SDUD R DUPD]pPSDUD R DUPD]pP M

[LM XQLGDGHV DGLVWULEXLUGD RULJHP L

SDUD R GHVWLQR M

[[LMLM XQLGDGHV DXQLGDGHV DGLVWULEXLUGDGLVWULEXLUGD RULJHPRULJHP LL

SDUD R GHVWLQRSDUD R GHVWLQR MM

'HWHUPLQDU R SODQRySWLPR GH GLVWULEXLomRGLiULD GR OHLWH GDVIiEULFDV SHORV

DUPD]pQV WHQGR FRPRREMHFWLYR D

PLQLPL]DomR GR FXVWRWRWDO

'HWHUPLQDU R SODQRR SODQRySWLPR GH GLVWULEXLomRySWLPR GH GLVWULEXLomRGLiULD GR OHLWHGLiULD GR OHLWH GDVIiEULFDV SHORV

DUPD]pQV WHQGR FRPRREMHFWLYR DD

PLQLPL]DomRPLQLPL]DomR GR FXVWRGR FXVWRWRWDOWRWDO

'HWHUPLQDU R SODQR

ySWLPR GH GLVWULEXLomR

GHVVH SURGXWR GDV

RULJHQV SHORV GHVWLQRV

WHQGR FRPR REMHFWLYR

D PLQLPL]DomR GR

FXVWR WRWDO

'HWHUPLQDU R SODQRR SODQR

ySWLPR GH GLVWULEXLomRySWLPR GH GLVWULEXLomR

GHVVH SURGXWRGHVVH SURGXWR GDV

RULJHQV SHORV GHVWLQRV

WHQGR FRPR REMHFWLYR

D PLQLPL]DomRPLQLPL]DomR GRGR

FXVWR WRWDOFXVWR WRWDO

��#��#��

5


� � � �

2IHUWD WRWDO 3URFXUD WRWDO2IHUWD WRWDO 3URFXUD WRWDO

Destino

Origem 1 2 … n1 2 … n Oferta

11

22......

mm

aa11

aa22

..

..

..

aamm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i ==∑∑ bbjj

cc1111 cc1212 cc1n1n


ccm1m1 ccm2m2 ccmnmn

xx1111 xx1212xx1n1n

……

xx2121 xx2222xx2n2n

……

xxm1m1 xxm2m2xxmnmn……

..

..

..

..

..

..

..

..

..

Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso

contrário está não equilibrado.

��$��%� � ��$��%� � ��


� � � �

2IHUWD WRWDO 3URFXUD WRWDO2IHUWD WRWDO 3URFXUD WRWDO

Destino

Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta

11

22

33

66

88

1010

Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424

11 22 44

44 33 44xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

33xx13 13

22xx23 23

00 22 11xx31 31 xx32 32 xx3434

22xx33 33

Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado.

��$��%� � ��$��%� � ��

6


� � � �

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcz

1 1

∑=

=n

jiij ax

1

0≥ijx

mi ,...,2,1 , =

nj ,...,2,1 , =

Minimizar

sujeito a:restrições de

oferta

nj ,...,2,1 , =∑=

=m

ijij bx

1

restrições de procura

mi ,...,2,1 , =

��&��&��


� � � �

OrigensOrigens DestinosDestinosc11x11

cijxij

cmnxmn

aa11

aaii

aamm

bb11

bbjj

bbnn

111

iii

mmm

.

.

.

.

.

.

111

jjj

nnn

.

.

.

.

.

.

Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rederepresentados por nodos e arcos.

Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos

através dos quais o produto pode ser transportado.

��"��"��

7


� � � �

2 SUREOHPD GH WUDQVSRUWH DSUHVHQWD XPD

HVWUXWXUD HVSHFLDO HYLGHQFLDGD SHOD GLVSRVLomR

GDV UHVWULo}HV�

A matriz dos coeficientes das

restrições é apenas constituída por uns (1)

e zeros (0) . Cada variável xij tem como coeficientes apenas 2

uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa

ao destino j

A matriz dos coeficientes das

restrições é apenas constituída por uns (1)

e zeros (0) . Cada variável xij tem como coeficientes apenas 2

uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa

ao destino j

x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n … xm1 xm2 ... xmn

A=A=..

....

....

..

restrições dos destinos

restrições das origens

��& �� !��& �� !��


� � � �

Destino

Origem1 2 … n1 2 … n n+1n+1 Oferta

11

22......

mm

aa11

aa22......

aamm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i --∑∑ bbjj




xx11 11 xx12 12 xx1n 1n … …

xx21 21 xx22 22 xx2n 2n … …

xxm1 m1 xxm2 m2 xxmn mn … …

..

..

..

..

..

..

..

..

..

00

00

00

xx1 n+1 1 n+1

xx2 n+12 n+1

xxmm n+1 n+1

Adicionar destino fictício

��'"�� (��&��'"�� (��&��

8


� � � �

'"�� (��&��'"�� (��&��)*��)*��

8PD PXOWLQDFLRQDO SURGX] DYL}HV FRPHUFLDLV SDUD GLYHUVDV

FRPSDQKLDV GH DYLDomR� $ ~OWLPD HWDSD QR SURFHVVR GH

SURGXomR p D SURGXomR GH PRWRUHV VHJXLGR GD VXD LQVWDODomR

QR DYLmR�

3DUD FXPSULU RV FRQWUDWRV HVWDEHOHFLGRV GHYH VHU GHWHUPLQDGR

R SODQR ySWLPR GH SURGXomR GRV PRWRUHV SDUD RV SUy[LPRV

TXDWUR PHVHV�


� � � �

os custos em milhões de dólares

'"�� (��&��'"�� (��&��)*��)*��

2V GDGRV SDUD R SODQR GD SURGXomR SDUD RV TXDWUR PHVHVIXWXURV VmR RV VHJXLQWHV�

��

��

��

��

3URGXomR

Pi[LPD

��

��

��

&XVWR

XQLWiULR

GH SURGXomR

��

��

��

,QVWDODo}HV

SURJUDPDGDV

��

��

�

&XVWR XQLWiULR

GH

DUPD]HQDPHQWR

0rV

9


� � � �

'"�� (��&��'"�� (��&��)*��)*��

(VWH SUREOHPD SRGH VHU UHIRUPXODGR FRPR XP SUREOHPD GHWUDQVSRUWH� WRPDQGR FRPR�

� 2ULJHP i � SURGXomR GH PRWRUHV QR PrV i

(i =1,2,3,4)

� 'HVWLQR j � LQVWDODomR GH PRWRUHV QR PrV j

�j=1,2,3,4�

� xij � TXDQWLGDGHV GH PRWRUHV SURGX]LGRV QR PrV L D VHUHP

LQVWDODGRV QR PrV M

�xij �� VH i>j �SULPHLUR SURGX]LU� GHSRLV LQVWDODU�

� cij � FXVWR SRU XQLGDGH GH SURGXomR H DUPD]HQDPHQWR

�cij= M, se i>j, FRPR QmR H[LVWH FXVWR UHDO DVVRFLDGR FRP

HVWHV GDGRV� SRGHP VHU SHQDOL]DGRV FRP XP 0

DUELWUDULDPHQWH JUDQGH�


� � � �

x11 + x12 + x13+ x14 ≤ 25

x21 + x22 + x23+ x24 ≤ 35x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 30

x41 + x42 + x43+ x44 ≤ 10

Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade.

Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .

Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade.

Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .

'"�� (��&��'"�� (��&��)�� !��"��)�� !��"��

$V UHVWULo}HV GH RIHUWD FRUUHVSRQGHP j SURGXomR GH PRWRUHV

SDUD FDGD PrV i� (VWDV UHVWULo}HV VmR GH GHVLJXDOGDGHOLPLWDGDV SHOD FDSDFLGDGH Pi[LPD GH SURGXomR SRU PrV�

��

��

��

��

Produçãomáxima

��

��

��

Custo unitário

de produção

��

��

��

Instalaçõesprogramadas

��

��

�

Custo unitário de

armazenamento

0rV

��

��

��

��

Produçãomáxima

��

��

��

Custo unitário

de produção

��

��

��


��

��

�

Custo unitário de

armazenamento

0rV

10


� � � �

x11 + x21 + x31+ x32 = 10

x21 + x22 + x23+ x24 = 15x31 + x32 + x33+ x34 = 25

x41 + x42 + x43+ x44 = 20

Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes

a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal

como no método do “big M”.

Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes

a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal

como no método do “big M”.

'"�� (��&��'"�� (��&��)�� !��&��)�� !��&��

$V UHVWULo}HV GH SURFXUD FRUUHVSRQGHP DR SODQR GH

LQVWDODomR SDUD FDGD PrV j� (VWDV UHVWULo}HV VmR GH LJXDOGDGH�

FRUUHVSRQGHQGR DR Q~PHUR GH LQVWDODo}HV UHTXLVLWDGDV SDUD

FDGD PrV�

��

��

��

��

Produçãomáxima

��

��

��

Custo unitário

de produção

��

��

��


��

��

�

Custo unitário de

armazenamento

0rV

��

��

��

��

Produçãomáxima

��

��

��

Custo unitário

de produção

��

��

��


��

��

�

Custo unitário de

armazenamento

0rV


� � � �

3030

Destino

Origem 1 2 3 4 1 2 3 4 55 Oferta

11

22

33

44

2525

3535

3030

1010

Procura 10 10 1515 25 25 2020 3030

1.0801.080xx1111 xx1212 xx1414

xx2121 xx2222 xx2424

xx1515

xx2525

1.0951.095 1.1101.110 1.1251.125xx1313

MM 1.1101.110 1.1251.125 1.1401.140xx2323

MM MM 1.1001.100 1.1151.115xx3131 xx3232 xx3434 xx3535xx3333

MM MM MM 1.1301.130xx4141 xx4242 xx4444 xx4545xx4343

00

00

00

00

(VWH SUREOHPD UHIRUPXODGR FRPR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH

DSUHVHQWD R VHJXLQWH TXDGUR�

Os custos são calculados tomando os dados dos custos

de produção e de armazenamento. Por exemplo

para a variável x24 que representa o número de

motores produzidos no mês 2a serem instalados no mês 4,

o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015

=1.140

Os custos são calculados tomando os dados dos custos

de produção e de armazenamento. Por exemplo

para a variável xx24 24 que representa o número de

motores produzidos no mês 22a serem instalados no mês 4,4,

o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015

=1.140

Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u.

'"�� (��&��'"�� (��&��)��+��)��+��

11


� � � �

Destino

Origem1 2 … n 1 2 … n Oferta

11

22......

mm

m+1m+1

aa11

aa22......

aamm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn

∑∑bbjj --∑∑ aaii




xx11 11 xx12 12 xx1n 1n … …

xx21 21 xx22 22 xx2n 2n

… …

xxm1 m1 xxm2 m2 xxmn mn

… …

..

..

..

..

..

..

..

..

..

00 00 00xxmm+1,1 +1,1 xxmm+1,2 +1,2 xxmm+1,n +1,n

… …

Origem fictícia

��'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��


� � � �

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,*�� &��,*�� &��

8PD HPSUHVD DGPLQLVWUD D GLVWULEXLomR GH iJXD GXPD UHJLmR�

3DUD LVWR p SUHFLVR FDQDOL]DU D iJXD GH � ULRV TXH HVWmR

VLWXDGRV IRUD GD UHJLmR H GLVWULEXL�OD SDUD � FLGDGHV�

$JRUD R JHUHQWH GD HPSUHVD SUHWHQGH GLVWULEXLU WRGD D iJXD

GLVSRQtYHO GRV � ULRV SDUD DV � FLGDGHV� GH IRUPD D SHOR

PHQRV VDWLVID]HU DV QHFHVVLGDGHV HVVHQFLDLV GH FDGD XPD�

PLQLPL]DQGR R FXVWR WRWDO�

12


� � � �

2V GDGRV GRV FXVWRV H UHTXHULPHQWRV SDUD R SODQR GH

GLVWULEXLomR GH iJXD VmR RV VHJXLQWHV�

os custos por unidade de medida.

♦ A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas

♦ O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um Marbitrariamente grande.

♦ A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,*�� &��-��,*�� &��-��

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR


� � � �

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,*�� &��-��,*�� &��-��

(VWH SUREOHPD SRGH VHU UHIRUPXODGR FRPR XP SUREOHPD GH

WUDQVSRUWH� WRPDQGR FRPR�

� 2ULJHP i ± R ULR i (i =1,2,3)

� 'HVWLQR j ± D FLGDGH j �j=1,2,3,4�

� xij � TXDQWLGDGH GH iJXD D HQYLDU GR ULR i SDUD D FLGDGH j

� cij � FXVWR XQLWiULR GD GLVWULEXLomR GD iJXD GR ULR i SDUD D FLGDGH j

13


� � � �

x11 + x12 + x13+ x14 = 50

x21 + x22 + x23+ x24 = 60x31 + x32 + x33+ x34 = 50

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,�� !��"��,�� !��"��

$V UHVWULo}HV GH RIHUWD FRUUHVSRQGHP jV UHVWULo}HV GRV ULRV

�RULJHQV�� &RPR GHYHUi VHU GLVWULEXtGD WRGD D iJXD GLVSRQtYHO

GRV � ULRV� HVWDV � UHVWULo}HV VmR GH LJXDOGDGH� XPD SRU FDGD

ULR�

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR


� � � �

x11 + x21 + x31 ≤ 50

&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH&LGDGH �&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH

x11 + x21 + x31 ≥ 30 limite inferiorlimite inferior

limite superiorlimite superior

&LGDGH �� SURFXUD QHFHVVLGDGH&LGDGH �&LGDGH �� SURFXUD QHFHVVLGDGH

x12 + x22 + x32 = 70

x13+ x23 + x33 ≤ 30


limite superiorlimite superior


x14 + x24 + x34 ≥ 10 limite inferiorlimite inferior

x14 + x24 + x34 ≤ 60 limite superiorlimite superior

O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes

cidades (30+ 70 =100) ⇒ 160 160 -- 100 = 60100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4

para além da necessidade mínima )

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,�� !��&��,�� !��&��

$V UHVWULo}HV GH SURFXUD GHWHUPLQDP D TXDQWLGDGH GH iJXD TXHGHYH VHU IRUQHFLGD D FDGD FLGDGH� H WrP OLPLWHV VXSHULRUHV H LQIHULRUHV�H[FHSWR D FLGDGH �� RQGH FRLQFLGHP D SURFXUD FRP D QHFHVVLGDGHPtQLPD��

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

14


� � � �

Cidades

Origem 1 2 1 2 3 4 3 4 Oferta

Rio 1Rio 1

Rio 2Rio 2

Rio 3Rio 3

Rio Rio FicticioFicticio

5050

6060

5050

5050

Procura 50 50 7070 30 30 6060

1616 1313 1717

1414 1313 1515

00 00 00

xx1111 xx1212 xx1414

xx2121 xx2222 xx2424

xx4141 xx4242 xx4444

2222xx1313

1919xx2323

1919 2020 MMxx3131 xx3232 xx3434

2323xx3333

00

xx4343

Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a:

Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades.

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,��+��,��+��


� � � �

Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício.

&LGDGH �� &RPR QmR WHP

QHFHVVLGDGH PtQLPD� HQWmR QmR p

SUHFLVR DOWHUDU QDGD�

&LGDGH �&LGDGH �� &RPR QmR WHP

QHFHVVLGDGH PtQLPD� HQWmR QmR p

SUHFLVR DOWHUDU QDGD�

&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH

�� ! �� &RPR R ULR ILFWtFLR

IRUQHFH DSHQDV �� XQLGDGHV� SHOR

PHQRV ILFD JDUDQWLGR TXH DV ��

XQLGDGHV PtQLPDV QmR SRGHP VHU

REWLGDV GHVWH ULR� 1mR p SUHFLVR

DOWHUDU QDGD�

&LGDGH �&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH

�� ! �� &RPR R ULR ILFWtFLR

IRUQHFH DSHQDV �� XQLGDGHV� SHOR

PHQRV ILFD JDUDQWLGR TXH DV ��

XQLGDGHV PtQLPDV QmR SRGHP VHU

REWLGDV GHVWH ULR� 1mR p SUHFLVR

DOWHUDU QDGD�

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,��.�-� �� " &�/& ��,��.�-� �� " &�/& ��

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

15


� � � �

&LGDGH �� SURFXUD QHFHVVLGDGH

(VWD FLGDGH QmR SRGH VHU IRUQHFLGD

SHOR ULR ILFWtFLR� 3DUD LVWR p SUHFLVR

SHQDOL]DU FRP 0 R SHUFXUVR TXH XQH

R ULR ILFWtFLR FRP D FLGDGH ��

&LGDGH �&LGDGH �� SURFXUD QHFHVVLGDGH

(VWD FLGDGH QmR SRGH VHU IRUQHFLGD

SHOR ULR ILFWtFLR� 3DUD LVWR p SUHFLVR

SHQDOL]DU FRP 0 R SHUFXUVR TXH XQH

R ULR ILFWtFLR FRP D FLGDGH ��

&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH

(VWD FLGDGH GHYH VHU GLYLGLGD HP �

GHVWLQRV� XP TXH YHULILFD D

QHFHVVLGDGH PtQLPD �RQGH R ULR

ILFWtFLR ILFD SHQDOL]DGR� H R RXWUR

TXH FRUUHVSRQGH j TXDQWLGDGH GH

iJXD TXH SRGH VHU WRPDGD DOpP GR

UHTXHULPHQWR PtQLPR�

&LGDGH �&LGDGH �� SURFXUD ! QHFHVVLGDGH

(VWD FLGDGH GHYH VHU GLYLGLGD HP �

GHVWLQRV� XP TXH YHULILFD D

QHFHVVLGDGH PtQLPD �RQGH R ULR

ILFWtFLR ILFD SHQDOL]DGR� H R RXWUR

TXH FRUUHVSRQGH j TXDQWLGDGH GH

iJXD TXH SRGH VHU WRPDGD DOpP GR

UHTXHULPHQWR PtQLPR�

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,��.�-� �� " &�/& ��,��.�-� �� " &�/& ��

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR

��Necessidades

mínimas

∞

�

��

��

4

��

��

��

��

2

��

��

��

3

��

��

��

1

3URFXUD

��

��

ForneceCidade5LR


� � � �

Cidades

Origem 1 1' ' 11'' '' 2 2 3 4 3 4 Oferta

Rio 1Rio 1

Rio 2Rio 2

Rio 3Rio 3

Rio Rio FicticioFicticio

5050

6060

5050

5050

Procura 3030 2020 7070 30 30 6060

1616 1313 1717

1414 1313 1515

00 MM 00

2222

1919

1919 2020 MM2323

00

1616

1414

MM

1919

O rio fictício está penalizado para a cidade 2

A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas

de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a

cidade 1'.

(VWH p R TXDGUR ILQDO GRV FXVWRV SDUD R SUREOHPD GH

GLVWULEXLomR GD iJXD� IRUPXODGR FRPR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH�

'"�� "�� (��&��'"�� "�� (��&��,��&��,��&��

16


� � � �

3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH� 3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV��3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH� 3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV��

� 6H XP SUREOHPD GH WUDQVSRUWH HVWi HTXLOLEUDGR� L�H�� D RIHUWD

WRWDO p LJXDO j SURFXUD WRWDO� HQWmR WHP VHPSUH VROXo}HV

DGPLVVtYHLV�

� 6H XP SUREOHPD GH WUDQVSRUWH QmR HVWi HTXLOLEUDGR�L�H�� D RIHUWD

WRWDO QmR p LJXDO j SURFXUD WRWDO� HQWmR SRGH VHU LQWURGX]LGD

XPD RULJHP RX XP GHVWLQR ILFWtFLR SDUD FRQYHUWHU DV UHVWULo}HV

GH GHVLJXDOGDGH HP LJXDOGDGH H SRGHU REWHU DVVLP XP SUREOHPD

HTXLOLEUDGR�

� 2 SUREOHPD GH WUDQVSRUWH WHP VHPSUH ySWLPR ILQLWR�

� 4XDOTXHU 6%$ GR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH WHP QR Pi[LPR P�Q��

YDULiYHLV EiVLFDVDo total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.


� � � �

1 1 0 … 0 00 1 1 … 0 00 0 1 … 0 0

...0 0 0 … 1 10 0 0 … 0 1

B=B=

3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH� 3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV��3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH� 3URSULHGDGHV IXQGDPHQWDLV��

�$ EDVH FRUUHVSRQGHQWH D TXDOTXHU 6%$ GR SUREOHPD GHWUDQVSRUWH p XPD PDWUL] WULDQJXODU�

� 6H DV TXDQWLGDGHV GDV RIHUWDV H SURFXUDV VmR YDORUHV LQWHLURV�

HQWmR TXDOTXHU 6%$ WHP VHPSUH YDORUHV LQWHLURV�Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções.

17


� � � �

Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base BB tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23, P33, P34 e eliminando à restrição 4.

P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34(1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1(4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0(5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0(6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0(7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A=A=

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(3) 0 0 0 0 1 1(5) 0 1 1 0 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(7) 0 0 0 0 0 1

B =B =

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1

B =B =

%DVH H 6ROXomR %iVLFD $GPLVVtYHO SDUD R 37�%DVH H 6ROXomR %iVLFD $GPLVVtYHO SDUD R 37�Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +

4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +2 x32 + 2 x33 + x34

sujeito a:

x11 + x12 + x13+ x14 = 6x21 + x22 + x23+ x24 = 8

x31 + x32 + x33+ x34 = 10x11 + x21 + x31 = 4

x12 + x22 + x32 = 7x13 + x23 + x33 = 6

x14 + x24 + x34 = 7

xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Trocando as linhas obtém-se uma matriz BB

triangular


� � � �

XB

x11

x12

x22

x23

x33

x34

67 86

107

==

8PD 6%$ GR SUREOHPD p� ; �� 8PD 6%$ GR SUREOHPD p� ;; ��

&RPR D PDWUL] % p WULDQJXODU D VROXomR GR VLVWHPD p LPHGLDWD�

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1

x34 =7x34 =7

x33 + x34 =10

x23 + x33 = 6

x33 =3x33 =3

x23 =3x23 =3

x22 + x23 = 8 x22 =5x22 =5

x12 + x22 = 7 x12 =2x12 =2

x11 + x12 = 6 x11 =4x11 =4

8PD 6ROXomR EiVLFD $GPLVVtYHO SDUD R 37�8PD 6ROXomR EiVLFD $GPLVVtYHO SDUD R 37�

1


� � � �

��

&DStWXOR ��

5HVROXomR GR 3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH �37��

� 2EWHQomR GH XPD 6%$ LQLFLDO�

� 0pWRGR GR FDQWR 1�:�

� 0pWRGR GR PtQLPR GD PDWUL] GH FXVWRV�

� 0pWRGR GH 9RJHO�

� 2EWHQomR GD VROXomR ySWLPD�

� 0pWRGR GH 'DQW]LJ�


� � � �

��

8QV GRV SULQFLSDLV SURGXWRV GD ILUPD /DFWRVDO p R OHLWH�

2V SDFRWHV GH OHLWHV VmR HPSDFRWDGRV

HP � IiEULFDV

H GHSRLV VmR GLVWULEXtGRV GH FDPLmR

SDUD TXDWUR DUPD]pQV

&RQKHFHQGR RV FXVWRV GH WUDQVSRUWH� D SURFXUD SUHYLVWD

SDUD FDGD DUPD]pP H DV FDSDFLGDGHV GH SURGXomR GH

FDGD IiEULFD� SUHWHQGH�VH�

237,0,=$5 2 352*5$0$ '( ',675,%8,d2 ',È5,2

'2 /(,7(�

2


� � � �

��

2V GDGRV GRV FXVWRV GH XPD FDUJD GH OHLWH SDUD FDGD FRPELQDomR

IiEULFD�DUPD]pP H GDV RIHUWDV�SURGXomR� H SURFXUDV� HP FDUJDV GH

FDPLmR�GLD� VmR RV VHJXLQWHV�





&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV


� � � �

Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total

��

Destino


11

22

33

66

88

1010

Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424

11 22 44

44 33 44xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

33xx13 13

22xx23 23

00 22 11xx31 31 xx32 32 xx3434

22xx33 33

Destino

Origem

Destino


11

22

33

66

88

1010

Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424

1111 2222 4444

4444 3333 4444xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

3333xx13 13

2222xx23 23

0000 2222 1111xx31 31 xx32 32 xx3434

2222xx33 33

&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

3


� � � �

$ 6%$ YHULILFD R$ 6%$ YHULILFD RFULWpULR GHFULWpULR GH

RSWLPDOLGDGHRSWLPDOLGDGH""

2EWHQomR GH XPD 6%$2EWHQomR GH XPD 6%$LQLFLDOLQLFLDO

),0 ��),0 ��D VROXomR pD VROXomR pySWLPDySWLPD

0RYHU0RYHU��VH SDUD XPD 6%$VH SDUD XPD 6%$

�PHOKRU��PHOKRU�

SimSim

NãoNão

��


� � � �

�� !��"#�� $ �� !��"#�� $ ��%&��'��(��%&��'��(��

$ YDULiYHO EiVLFD HVFROKLGD p� HP FDGD TXDGUR�D YDULiYHO

VLWXDGD QR FDQWR VXSHULRU HVTXHUGR �GDTXL R QRPH GR FDQWR GR

1:��

$ SULPHLUD YDULiYHO EiVLFD HVFROKLGD VHUi VHPSUH x11� GHSRLV

FRQVRDQWH WHQKD VLGR WUDoDGD D FROXQD � RX D OLQKD ��

VHUi HVFROKLGD FRPR YDULiYHO EiVLFD x12 RX x21 UHVSHFWLYDPHQWH� H

DVVLP VXFHVVLYDPHQWH DWp WHUHP VLGR WUDoDGDV WRGDV DV OLQKDV H WRGDV

DV FROXQDV�

Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o facto de

não considerar os custos na identificação da SBA inicial.

4


� � � �

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 1122

66

88

1010

44 22

55 33

7733

1º1º. x11 =min (4,6 )= 422

2º2º. x12 =min (7,2 )= 2

3º3º. x22 =min (5,8 )= 5

55

4º4º. x23=min (6,3 )= 3

33

33

775º5º. x33=min (3,10 )= 3

6º6º. x34=min (7,7 )= 7

6%$ LQLFLDO� ;� � � � �� ]� ��6%$ LQLFLDO� ;� � �� ]� ��

�� %&��'��(�� %&��'��(��


� � � �

�� !��"#�� $ �� !��"#�� $ ��%&��%)� ��%�� *��'��%&��%)� ��%�� *��'��

$ YDULiYHO EiVLFD HVFROKLGD p D YDULiYHO TXH FRUUHVSRQGH DR

PHQRU FXVWR�HP FDVR GH HPSDWH D HVFROKD p DUELWUiULD��

$ SULPHLUD YDULiYHO EiVLFD HVFROKLGD VHUi VHPSUH D GH PHQRU

FXVWR� GHSRLV VHUi HVFROKLGD FRPR YDULiYHO EiVLFD D GH PHQRU

FXVWR QR TXDGUR UHVXOWDQWH FRQVRDQWH R TXH IRL WUDoDGR� H

DVVLP VXFHVVLYDPHQWH� DWp WHUHP VLGR WUDoDGDV WRGDV DV OLQKDV

H WRGDV DV FROXQDV�

Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução óptima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBA inicial.

5


� � � �

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 1122

66

88

101044 66

1166

66

11

1º:1º: min (cij )= c31= 0⇒⇒ x31 =min (4,10)= 4

1

2º2º: min (cij) =c34= 1 ⇒x34 = min ( 7, 6 )= 6

3º3º: min (ci) = c12=c23= 2⇒ x12 = min ( 7, 6 ) = 6

1

4º4º: min (cij) =c23= 2⇒ x23= min ( 6, 8 ) = 6

22 1

6

5º5º: min (cij)= c22= 3 ⇒x22= min ( 2, 1 ) = 1

6º6º: min (cij) =c24= 4 ⇒x24=min (1, 1 ) =1

6%$ LQLFLDO� ;� � � � �� ] ��6%$ LQLFLDO� ;;�� ] ��

�� %&��%)� ��'�� %&��%)� ��'��


� � � �

�� !��"#�� $ �� !��"#�� $ ��%&��%&��+��+��

$ YDULiYHO EiVLFD HVFROKLGD p� HP FDGD TXDGUR�D YDULiYHO TXH

FRUUHVSRQGH DR PHQRU FXVWR GD OLQKD RX FROXQD DVVRFLDGD j

PDLRU GDV GLIHUHQoDV HQWUH RV GRLV PHQRUHV FXVWRV GH FDGD

OLQKD H FDGD FROXQD�HP FDVR GH HPSDWH D HVFROKD p DUELWUiULD��

Este método identifica uma SBA inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.

6


� � � �

11 00 00 33

11 22 44

44 33 44

33

00 22 1122

22

3377

1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

2º2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças)= 3 , coluna 4.

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna:

min (cij: j=4)= c34= 1⇒ x34= min ( 7, 10 ) = 7

,WHUDomR �� x34 �,WHUDomR ��,WHUDomR �� xx3434 ��

44 77 6 6 77

11

11

11

máximo

1010

88

6 6

mínimo

�� %&�� %&��+��+��


� � � �

11 22 33 44

44 33 4422

33

88

6 6

44 77 66

00 22 112277

11

33

1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados

2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha:

min (cij: i=3)= c31= 0⇒ x31= min ( 4, 3 ) = 3

,WHUDomR �� [�� ,WHUDomR �� [[

��

máximo

11 00 00

11

11

22

mínimo

�� %&�� %&��+��+��,��,

7


� � � �

11 22 33

44 33 4422 88

6 6

44 77 66

00 22 112233

44

77

11

11

1º:1º: calcular as novasdiferenças relativasapenas aos elementosnão traçados

2º2º: Seleccionar a maiordas diferenças :

max (diferenças) = 3e corresponde à coluna 1.

3º3º: Seleccionar o menordos custos para esta coluna:

min (cij: j=1) = c11= 1⇒ x11= min ( 1, 6 ) = 1


��

33 11 11

11

11

mínimo

55

máximo

�� %&�� %&��+��+��-��-


� � � �

88

6 6 55

44 77 6 6

77

11

33

44 33 4422

00 22 112233

22 4411

11

11 11

55

1º:1º: calcular as novas diferenças relativasapenas aos elementos não traçados: todas são iguais a 1, pelo que pode ser escolhida qualquer delas .

2º2º: Seleccionar a coluna 2 e o menor dos seus custos :

min (cij: j=2) = c12= 2⇒ x12= min ( 7,5 ) = 5


��

11

11

mínimo

22

�� %&�� %&��+��+��.��.

8


� � � �

As restantes quadrículas podem ser

preenchidas imediatamente:

xx2222== 22xx2323== 66 88

22 6 6

77

33

44 33 4422

00 22 112233

22 4411

1155

22 66

6%$ LQLFLDO� ;� � � � �� ] ��6%$ LQLFLDO� ;;�� ] ��

�� %&�� %&��+��+��/��/


� � � �

]]�� ;;��

;;��

;;��

]]��

]]��

mais fácil

menos fácil

"pior" SBA

"melhor" SBA

Método SBA inicial f.o.

&DQWR GR 1:

0tQLPR GH FXVWRV

9RJXHO

�� !��"#�� $ �� !��"#�� $ ��

9


� � � �

A solução dual éadmissível:

ui + vj- cij≤ 0 , ( i , j ) ∉ IB ?

Passar ao passo seguinte

FIMa solução é óptima !!!

Sim

Não

Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),

por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) ∈ IB

��, �!�� , �!�� %&��%&��0��* ��0��* ��'� �&� ��'� �&� ��


� � � �

2EWHQomR GD VROXomR ySWLPD�0pWRGR GH2EWHQomR GD VROXomR ySWLPD�0pWRGR GH 'DQW]LQJ'DQW]LQJ��

3DVVR �� &ULWpULR GH3DVVR �� &ULWpULR GH RSWLPDOLGDGHRSWLPDOLGDGH��

� 2 SULPHLUR SDVVR� TXH FRQVLVWH HP WHVWDU D RSWLPDOLGDGH GD

6%$ DFWXDO SRGH VHU H[HFXWDGR UHFRUUHQGR j 'XDOLGDGH�

3DUD R HIHLWR p QHFHVViULR GHWHUPLQDU D FRUUHVSRQGHQWH VROXomR

GXDO�

� (QTXDQWR QD DSUHVHQWDomR WDEXODU GR PpWRGR VLPSOH[ HVWD

VROXomR SRGH VHU OLGD GLUHFWDPHQWH QR TXDGUR UHVSHFWLYR� FRP

D DSUHVHQWDomR WDEXODU GR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH LVVR QmR

DFRQWHFH�

&RQWXGR� DWHQGHQGR j VLPSOLFLGDGH GD HVWUXWXUD GR SUREOHPD

GXDO GH WUDQVSRUWH�

p IiFLO GHWHUPLQDU D VROXomR GXDO�

10


� � � �

u1 livreu2 livreu3 livrev1 livrev2 livrev3 livrev4 livre

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1

= = 6= = 8= = 10= = 4= = 7= = 6= = 7

1 2 3 4 4 3 2 4 0 2 2 1

xx1111≥≥0 0 xx1212≥≥0 0 xx1313≥≥0 0 xx1414≥≥0 0 xx2121≥≥0 0 xx2222≥≥0 0 xx2323≥≥0 0 xx2424≥≥00 xx3131≥≥00 xx3232≥≥0 0 xx3333≥≥00 xx3434≥≥00

Min zMin zProblema dualProblema dual


Diagrama de TuckerDiagrama de Diagrama de TuckerTucker

MaxMax ww

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤

1��0��1��0��&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV


� � � �

Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 +4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4

sujeito a:u1 + v1 ≤ 1u1 + v2 ≤ 2u1 + v3 ≤ 3u1 + v4 ≤ 4

u2 + v1 ≤ 4u2 + v2 ≤ 3u2 + v3 ≤ 2u2 + v4 ≤ 4

u3 + v1 ≤ 0u3 + v2 ≤ 2u3 + v3 ≤ 2u3 + v4 ≤ 1

ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

1��0��1��0��&XVWR SRU FDUJD GH

FDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

&XVWR SRU FDUJD GHFDPLmR

$UPD]pQV

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD)iEULFDV

11


� � � �

x11= 4xx1111= 4= 4 u1 + v1 = 1uu11 ++ vv1 1 == 11

x12 = 2xx12 12 = 2= 2 u1 + v2 = 2uu11 ++ vv2 2 == 22

x22 = 5xx22 22 = 5= 5 u2 + v2 = 3uu22 ++ vv2 2 == 33

x23 = 3xx23 23 = 3= 3 u2 + v3 = 2uu22 ++ vv3 3 == 22

x33 = 3xx33 33 = 3= 3 u3 + v3 = 2uu33 ++ vv3 3 == 22

x34 = 7xx34 34 = 7= 7 u3 + v4 = 1uu33 ++ vv4 4 == 11

3DUD D 6%$ LQLFLDO REWLGD SHOR 0pWRGR GR &DQWR 1�:;� � � � �� WHP�VH�

De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada

variável básica do problema primal se encontra associada

uma restrição saturada no problema dual .

De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada

variável básica do problema primal se encontra associada

uma restrição saturada no problema dual .

Sistema de Dantzigpara a SBA actual

�� " �� " ��0��* ��0��* ��


� � � �

u1 + v1 = 1uu11 ++ vv1 1 == 11

u1 + v2 = 2uu11 ++ vv2 2 == 22

u2 + v2 = 3uu22 ++ vv2 2 == 33

u2 + v3 = 2uu22 ++ vv3 3 == 22

u3 + v3 = 2uu33 ++ vv3 3 == 22

u3 + v4 = 1uu33 ++ vv4 4 == 11

Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é

redundante, este sistema de equações é indeterminado de

grau 1, pelo que a sua resolução é efectuada atribuindo um valor

arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a

partir desta as restantes( é habitual fazer uu1 1 =0 =0 )

v1 =1v1 =1

v2 =2v2 =2

u2 =1u2 =1

v3 =1v3 =1

u3 =1u3 =1

v4 =0v4 =0

u1 =0u1 =0�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�

�� !�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��

12


� � � �

!�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��

(VWD VROXomR SDUD DV YDULiYHLV GXDLV SRGH VHU REWLGD

GLUHFWDPHQWH QR TXDGUR GH WUDQVSRUWH FRUUHVSRQGHQWH j 6%$

HP SUHVHQoD�

(P VtQWHVH� IL[DQGR u1 �� GHVORFD�VH HP OLQKD DWUDYpV GDV

TXDGUtFXODV FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV EiVLFDV� SDUD REWHU

RV vj� 8PD YH] REWLGRV HVWHV� GHVORFD�VH HP FROXQD DWUDYpV

GDV TXDGUtFXODV FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV EiVLFDV

SDUD REWHU RV ui �

�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

2233

00 22 1177

2233

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

( 1 ) ( 1 ) u1+ v1=1 ⇒ 0 + v1=1

( 2 ) ( 2 ) u1+ v2=2 ⇒ 0 + v2=2

( 4 ) ( 4 ) u2+ v3=2 ⇒ 1 + v3=2

( 6 ) ( 6 ) u3+ v4=1 ⇒ 1 + v4=1

( 3 ) ( 3 ) u2+ v2=3 ⇒ u2+ 2 =3

( 5 ) ( 5 ) u3+ v3=2 ⇒ u3+ 1=2

�� !�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��


13


� � � �

!�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��

&RPR VmR VDWLVIHLWDV DV UHVWULo}HV GXDLV GH LJXDOGDGH GR

6LVWHPD GH 'DQW]LJ TXH FRUUHVSRQGHP jV YDULiYHLV SULPDLV

EiVLFDV� UHVWD DSHQDV YHULILFDU VH DV UHVWDQWHV UHVWULo}HV GXDLV

GH GHVLJXDOGDGH FRUUHVSRQGHQWHV jV YDULiYHLV SULPDLV QmR

EiVLFDV GR SULPDO� VmR LJXDOPHQWH VDWLVIHLWDV�

R TXH VLJQLILFD TXH D VROXomR GXDO p DGPLVVtYHO H

FRQVHTXHQWHPHQWH

D VROXomR SULPDO HP SUHVHQoD p ySWLPD�

,VWR p HTXLYDOHQWH D YHULILFDU TXH WRGRV RV FXVWRV UHGX]LGRV

SDUD DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV VHMDP QmR SRVLWLYRV�

A verificação de que uuii ++ vvj j ≤≤ ccijij , , ( ( i , j i , j ) ) ∉∉ IIB B , é equivalente a ((uuii ++ vvj j )) -- ccijij ≤≤ 00 ,,sendo o primeiro membro desta expressão de obtenção imediata no quadro de transporte.


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

2233

22 1177

2233

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

00

( 6 )( 6 ) u3+ v2 -2 = 1+ 2 -2= 1

( 3 )( 3 )u2+ v1 -4= 1+ 1 -4=-2

( 5 )( 5 ) u3+ v1 -0 = 1+ 1 -0= 2

-4-2

-3-2

2 1

( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2

( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+ 0 -4=-4

(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 0 -4=-3

�� !�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��

2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.

14


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

2233

22 1177

2233

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

00

-4-2

-3-2

2 1

Esta solução não é óptima, pois existem

valores positivos para ui + vj- cij nas

quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa

que as correspondentes restrições duais não

estão satisfeitas.

Esta solução não é óptima, pois existem

valores positivos para uuii ++ vvjj-- ccij ij nas

quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa

que as correspondentes restrições duais não

estão satisfeitas.

�� !�� !�� '� �&� �� '� �&� ��!�� !��

�� ([LVWH DOJXP ui + vj- cij > 0 , ( i , j ) ∉ IB "�� ([LVWH DOJXP uuii ++ vvjj-- ccijij >> 0 ,0 , ( ( i , j i , j ) ) ∉∉ IIBB ""


� � � �

max {ui + vj - cij : ui + vj - cij> 0 }maxmax {uuii ++ vvjj -- ccij ij : : uuii ++ vvjj -- ccijij> 0 > 0 }}

$ YDULiYHO D HQWUDU QD EDVH p HVFROKLGD GH DFRUGR FRP R FULWpULR�

Em caso de empate a escolha é arbitrária.

�� !�� !�� , �'� �&� ��, �'� �&� ��

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

2233

22 1177

2233

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

00

-4-2

-3-2

2 1

máximo máximo

A variável a

entrar é x31

A variável a

entrar é x31

15


� � � �

!�� !�� - �'� �&� ��"�)��- �'� �&� ��"�)��

�� 6HOHFFLRQDU R SHUFXUVR UHODWLYR j YDULiYHO TXH HQWUD DWULEXLQGR jV

TXDGUtFXODV QHOH LQFOXtGDV VLQDLV GH � RX � �

Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo θθ00, inicia-se um “processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da quadrícula da variável que entra, onde são identificadas quais são as quadrículas onde será preciso subtrair o valor θθ00, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adiciona-lo (com sinal +).Tudo com o objectivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas.

�� 6HOHFFLRQDU D YDULiYHO TXH VDL GH DFRUGR FRP R FULWpULR�

PLQ ^xij ∈∈ SHUFXUVR UHODWLYR j YDULiYHO TXH HQWUD �� xxijij WHP VLQDO �` θθ��

Em caso de empate a escolha é arbitrária.


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

2233

22 1177

2233

00

-4-2

-3

1º1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x31atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .

2º.2º. Seleccionar a variávelque sai:

θθ00 == min ( 4, 5, 3 ) = 3⇒ a variável xx333 sai

-

x31

+

- +

-

'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL�'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL�

mínimo

�� !�� !�� - �'� �&� ��"�)��- �'� �&� ��"�)��

16


� � � �

$ QRYD 6%$ REWpP�VH DGLFLRQDQGR H VXEWUDLQGR jV YDULiYHLV

TXH IRUPDP R FLFOR R YDORU GH θθ�� FRQVRDQWH HVWHMDPDIHFWDGDV FRP RX � UHVSHFWLYDPHQWH�

DV UHVWDQWHV YDULiYHLV PDQWrP RV VHXV YDORUHV LQDOWHUDGRV�

� �

!�� !�� . �!��2��"#��. �!��2��"#�


� � � �

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 1122

44 22

55

33 77

33

-

x31

+

- +

-

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 1122

11 55

22

00 77

66x13= 3

33

x11=4 -3 = 1

x12=2 + 3 = 5

x22=5 -3 = 2

x23=3 +3 = 6

x23=3 -3 = 0

;� � �� ]� ��

�� !�� !�� . �!��2��"#��. �!��2��"#�

17


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4411 55

22

33

2266

00 22 1177

22

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

( 1 )( 1 ) u1+ v1=1 ⇒ 0 + v1=1

( 2 )( 2 ) u1+ v2=2 ⇒ 0 + v2=2

( 4 )( 4 ) u2+ v3=2 ⇒ 1 + v3=2

( 6 )( 6 ) u3+ v4=1 ⇒ -1 + v4=1

( 3 )( 3 ) u2+ v2=3 ⇒ u2+ 2 =3

( 5 )( 5 ) u3+ v1=0 ⇒ u3+ 1=0

33


�� !�� !�� ,3�� '� �&� ��,3�� '� �&� ��!�� !��


� � � �

66

88

1010

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 4411 55

22

33

2266

22 1177

22

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

00

( 6 )( 6 ) u3+ v3 -2 =-1+ 1 -2= -2

( 3 )( 3 ) u2+ v1 -4= 1+ 1 -4=-2

( 5 )( 5 ) u3+ v2-2 =-1+ 2 -2= -1

-2-2

-1-2

-1 - 2

( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2

( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+2 -4=-2

(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 2 -4=-1

33

�� !�� !�� ,3�� '� �&� ��,3�� '� �&� ��!�� !��

�� &DOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV SDUD DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV�� &DOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV SDUD DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV�

18


� � � �

Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis

não básicas ui + vj - cij ≤ 0

Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis

não básicas uuii ++ vvjj -- ccij ij ≤≤ 00

66

88

1010

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 4411 55

22

33

2266

22 1177

22

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

00

-2-2

-1-2

-1 - 233

6ROXomR ySWLPD� ;� �� ]� ��6ROXomR ySWLPD� ;� �� ]]��

�� !�� !�� ,3�� '� �&� ��,3�� '� �&� ��!�� !��

�� ([LVWH DOJXP ui + vj- cij > 0 , ( i , j ) ∉ IB ?�� ([LVWH DOJXP uuii ++ vvjj-- ccijij >> 0 ,0 , ( ( i , j i , j ) ) ∉∉ IIBB ??

1


� � � �

��

�� &DVRV SDUWLFXODUHV GR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH�

� 'HJHQHUHVFrQFLD�

� 7pFQLFD GH 3HUWXUEDomR�

� 6ROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�


� � � �

��

$ RFRUUrQFLD GH GHJHQHUHVFrQFLD QR 3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH�

PDQLIHVWD�VH TXDQGR VXUJHP DV VHJXLQWHV VLWXDo}HV�

� (PSDWH QR SURFHVVR GH REWHQomR GH XPD 6%$ LQLFLDO� R TXH

FRQGX] D REWHQomR GH XPD 6%$ LQLFLDO GHJHQHUDGD�

� (PSDWH QR FULWpULR GH VDtGD� R TXH FRQGX] D DQXODomR GH SHOR

PHQRV XPD YDULiYHO EiVLFD�

Não está provado que o problema de transporte possa entrar em ciclo, pois até

ao momento não se conhece nenhum exemplo em que tal tenha ocorrido.

Uma solução é degenerada quando

existem variáveis básicas nulas.

Uma solução é degenerada quando

existem variáveis básicas nulas.

2


� � � �

��

$ WpFQLFD GH SHUWXUEDomR p DSOLFDGD FRP R REMHFWLYR GH SRGHU

LGHQWLILFDU TXDLV VmR DV YDULiYHLV EiVLFDV QXODV�

(VWH PpWRGR FRQVLVWH HP IRUPXODU XP QRYR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH�

VHP GHJHQHUHVFrQFLD� PRGLILFDQGR OLJHLUDPHQWH RV YDORUHV GH aaii H bbjj�

GH DFRUGR FRP DV VHJXLQWHV H[SUHVV}HV�

�� aaii = a= ai i + + εε para i =1,2,…,m

�� bbjj = = bbj j para j =1,2,…,n-1

�� bbnn = = bbn n + m+ mεε para j =n

SDUD εε ! �! � DUELWUDULDPHQWH SHTXHQR� SRU IRUPD D TXH D VROXomR

REWLGD VHMD PXLWR SUy[LPD GD FRUUHFWD�

A utilização manual da técnica da perturbação dispensa a atribuição de um valor concreto para εε ..


� � � �

&RQVLGHUH R VHJXLQWH SUREOHPD GH WUDQVSRUWH�

3URFXUD WRWDO �� 2IHUWD WRWDO ��

DGLFLRQDU XP GHVWLQR ILFWtFLR FRP SURFXUD LJXDO D ��

��

&XVWR SRU XQLGDGH GH

PHGLGD

'HVWLQRV

��

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

3URFXUD

��

��

2IHUWD2ULJHQV

3


� � � �

2 GHVWLQR � p ILFWtFLR FRP XPD SURFXUD

LJXDO D �� XQLGDGHV�

Destino


11

22

2020

4040

Procura 1010 1010 20 20 2020 6060==6060

88 11 00

55 77 00xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

33xx13 13

22xx23 23

Como m=2 e n=4 o número de variáveis básicas nas SBA é igual a m+n-1= 2+4-1= 5

��


� � � �

1010 1010 20 20 2020

88 11 0033

55 77 0022

2020

4040

1010 1010

2020

1º1º. x11 =min (10,20 )= 10

10102º2º. x12 =min (10,10 )= 10

3º3º. x23=min (20,40 )= 20

4º4º. x24=min (20,20 )= 20

$ 6%$ LQLFLDO� ;� � �� FRP ]� ��p GHJHQHUDGD� Mi TXH XPD YDULiYHO EiVLFD p QXOD�

�WHP DSHQDV � YDULiYHLV GLIHUHQWHV GH ]HUR�

2020 2020

�� !�"��#$%� � � ��!�"��#$%� � � ��&��'��()�&��'��()�

4


� � � �

x11=min (10, 20++εε )=10

x12=min (10, 10++εε )=10

x23=min (20--εε,40++εε )= 20--εε

x24=min (20+2+2εε, 20+2+2εε)= 20+2+2εε

x13=min (20, εε )= εε

1010 1010 20 20 2020 +2+2εε

20+20+εε

40+40+εε

88 11 0033

55 77 0022

1010 1010

2020+2+2εε

10+10+εε

$ YDULiYHO [�� ε→� SRGH VHU WRPDGD FRPR EiVLFD�

$ 6%$ ;� � �� FRP ]� ��

$ YDULiYHO [�� ε→ε→�� SRGH VHU WRPDGD FRPR EiVLFD�

$ 6%$ ;� � �� FRP ]� ��

2020--εε 20+220+2εε

εε εε

2020--εε

�� !�"��#$%� � � ��!�"��#$%� � � ��

e SUHFLVR DSOLFDU D 7pFQLFD GH 3HUWXUEDomR SDUD GHWHUPLQDU TXDO GDVYDULiYHLV QXODV SRGH VHU WRPDGD FRPR EiVLFD� SHUWXUEDQGR RV YDORUHV

GDV RIHUWDV �DFUHVFHQWDQGR ε HP WRGRV HOHV� H SHUWXUEDQGR DSHQDV

XP GRV YDORUHV GDV SURFXUDV �DFUHVFHQWDQGR �ε �


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

v1=8 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0


( 1 )( 1 ) u1+ v1=8⇒ 0 + v1=8

( 2 )( 2 ) u1+ v2=1 ⇒ 0 + v2=1

( 3 )( 3 ) u1+ v3=3 ⇒ 0 + v3=3

( 5 )( 5 ) u2+ v4=0 ⇒ -1 + v4=0

( 4 )( 4 ) u2+ v3=2 ⇒ u2+ 3 =2

�� !�"��*�� !�"��*�� !��'� �� !��'� ��

X0 = ( 1010 , 10, 10, , 00, 0, 0, 0, , 20, 2020, 20 )

5


� � � �

�� &DOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV SDUD DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV�� &DOFXODU RV FXVWRV UHGX]LGRV SDUD DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV

( 2 )( 2 ) u2+ v1 -5=-1+ 8 -5=2

( 1 )( 1 ) u1+ v4 -0 = 0+ 1 -0= 1

( 3 )( 3 ) u2+ v2 -7 = -1+ 1 -7=-7

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

1

-72

v1=8 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

�� !�"��*�� !�"��*�� !��'� �� !��'� ��


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

1

-72

v1=8 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

�� ([LVWH DOJXP ui + vj - cij > 0 � � i , j � ∉ ,%"�� ([LVWH DOJXP uuii ++ vvjj -- ccijij >> 00 �� i , ji , j �� ∉∉ ,,

%%"

Esta solução não é óptima, pois existem valores positivos para

ui + vj - cij nas quadrículas (1,4), (2,1), i.e., as correspondentes

restrições duais não estão satisfeitas.

Esta solução não é óptima, pois existem valores positivos para

uuii ++ vvjj -- ccij ij nas quadrículas (1,4), (2,1), i.e., as correspondentes

restrições duais não estão satisfeitas.

�� !�"��*�� !�"��*��

�� !��'� �� !��'� ��

6


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

1

-72

v1=8 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH HQWUD�'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH HQWUD�

máximo

$ YDULiYHO TXH

HQWUD p x21

$ YDULiYHO TXH

HQWUD p xx2121

�� !�"��*�� !�"��*��

��+!��'� �� +!��'� ��


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

1º1º. Seleccionar o percuso relativo à variável x21

atribuindo às quadrículas nele incluídas sináis de - ou + .

2º2º. Seleccionar a variável que sai:

θθ00 == min ( 10, 20 ) = 10⇒ a variável xx111 sai.

-

x21

+

-

mínimo mínimo

�� !�"��*�� !�"��*��

��+!��'� �� ,��+!��'� �� ,��

'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL $ YDULiYHO TXH

VDL p x11

$ YDULiYHO TXH

VDL p xx1111

7


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010

33

22

2020

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010 00

33

22

2020 2020

-

x21

+

-

00 1010

1010x21= 10 1010

x11=10 -10 = 0

x13=0 +10 = 10

x23=20 -10 = 10

X1 = ( 00 ,,1010,,1010, , 00,, 1010,, 00,, 1010,, 20 20 )z1 = 110

�� !�"��*�� !�"��*��

��-!��"��.��#$%��-!��"��.��#$%�A nova SBA obtém-se adicionando e

subtraindo às variáveis que formam o

ciclo o valor de θθ00 , consoante estejam

afectadas com “-” ou “+” ,

respectivamente;as restantes variáveis

mantêm os seus valores


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010

v1=6 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

( 4 )( 4 ) u2+ v1=5⇒ -1 + v1=5

(1 )(1 ) u1+ v2=1 ⇒ 0 + v2=1

( 2 )( 2 ) u1+ v3=3 ⇒ 0 + v3=3

( 3 )( 3 ) u2+ v3=2 ⇒ u2 + 3=2

( 5 )( 5 ) u2+ v4=0 ⇒ -1+ v4 =0

�� !�"��*�� !�"��*�� ,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH RSWLPDOLGDGHRSWLPDOLGDGH��

�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO� X1 = ( 0, 1010, , 1010, 0, 1010, 0, , 10, 2010, 20 )

8


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010( 3 )( 3 ) u2+ v2 -7

= -1+ 1 -7=-7

1-2

-7

( 1 )( 1 ) u1+ v1 -8 = 0+ 6 -8=-2

( 2 )( 2 ) u1+ v4 -0 = 0+1 -0=1

v1=6 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0




� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010

1-2

-7

v1=6 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

Esta solução não é óptima, pois existe um

valor positivo para ui + vj - cij na

quadrícula (1,4), o que significa que

a correspondente restrição dual não está

satisfeita.

Esta solução não é óptima, pois existe um

valor positivo para uuii ++ vvjj -- ccij ij na

quadrícula (1,4), o que significa que

a correspondente restrição dual não está

satisfeita.



%%"

9


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010

1-2

-7

v1=6 v2=1 v3=3 v4=1

u2= -1

u1=0

máximomáximo

�� !�"��*�� !�"��*�� ,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH HQWUDGD�,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH HQWUDGD�

'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH HQWUD�'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH HQWUD� $ YDULiYHO TXH

HQWUD p x14

$ YDULiYHO TXH

HQWUD p xx1414


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010

1º1º. Seleccionar o percuso relativo à variável x14atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .

2º2º. Seleccionar a variávelque sai:θθ00 == min ( 10, 20 ) = 10

⇒ a variável xx113 sai

- x14

+ -

mínimo mínimo

�� !�"��*�� !�"��*�� ,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH VDtGD�,WHUDomR �� 3DVVR �� &ULWpULR GH VDtGD�

'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL'HWHUPLQDU D YDULiYHO TXH VDL $ YDULiYHO TXH

VDL p x13

$ YDULiYHO TXH

VDL p xx1313

10


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010

33

22

1010

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010 1010

33

22

1010 20201010

- x14

+ -

00 1010

10102020

X2 = (0, 10, 0,10,10, 0, 20, 10 0, 10, 0,10,10, 0, 20, 10 )

z2 = 100

�� !�"��*�� !�"��*�� ,WHUDomR �� 3DVVR �� 2EWHQomR GXPD QRYD 6%$�,WHUDomR �� 3DVVR �� 2EWHQomR GXPD QRYD 6%$�

A nova SBA obtém-se adicionando e

subtraindo as variáveis que formam o

ciclo o valor de θθ00 , consoante estejam

afectadas com “-” ou “+” ,

respectivamente;as restantes variáveis

mantêm os seus valores.


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010

33

22

2020 10101010

1010

v1=5 v2=1 v3=2 v4=0

u2= 0

u1=0

( 4 )( 4 ) u2+ v1=5⇒ 0 + v1=5

( 1 )( 1 ) u1+ v2=1 ⇒ 0 + v2=1

( 2 )( 2 ) u1+ v4=0 ⇒ 0 + v4=0

( 3 )( 3 ) u2+ v4=0 ⇒ u2 + 0=2

( 5 )( 5 ) u2+ v3=2 ⇒ 0+ v3 =2


�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO�� 'HWHUPLQDU D VROXomR GXDO� X2 = ( 0, 1010, 0, 1010, 1010, 0, , 20, 1020, 10 )

11


� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010

33

22

2020 10101010

1010

v1=5 v2=1 v3=2 v4=0

u2= 0

u1=0

( 3 )( 3 ) u2+ v2 -7= 0 + 1 -7=-6

( 1 )( 1 ) u1+ v1 -8 = 0+ 5 -8=-3

( 2 )( 2 ) u1+ v3 -0 = 0+2 -3=-1

-1-3

-6




� � � �

2020

4040

1010 1010 20 20 2020 6060

88 11 00

55 77 00

1010

33

22

2020 10101010

1010

v1=5 v2=1 v3=2 v4=0

u2= 0

u1=0

-1-3

-6

$ VROXomR ;� �� FRP ]� �� p ySWLPD�

SRLV SDUD WRGDV DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV XL �YL � FLM ≤ �$ VROXomR ;� �� FRP ]� �� p ySWLPD�

SRLV SDUD WRGDV DV YDULiYHLV QmR EiVLFDV XXLL �� YYLL �� FFLMLM ≤≤ ��



%%"

12


� � � �

33 66 11 00

88 11 00

55 77 00

33

22

11

22

101010

1º.1º. acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

2º2º. max (diferenças) = 6corresponde à coluna 2

3º3º. menor dos custos para a coluna 2:

min (cij: j=2)= c12= 1⇒ x12=min ( 10, 20 ) =10

Iteração 1: x12= 10Iteração 1: Iteração 1: xx1212== 1010

1010 1010 20 20 2020máximo

40 40

2020

mínimo

�� !�"��#$%� � � ��!�"��#$%� � � ��0pWRGR GH0pWRGR GH 9RJHO9RJHO� 4XDGUR �� 4XDGUR ��


� � � �

88 00

55 00

33

22

11

771010

33 11 00

1010 20 20 2020

33

22

Iteração 2: x14= 10Iteração 2: Iteração 2: xx1414== 1010

máximo

mínimo

1010

1010

máximo

10

40 40

2020


1º.1º. acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

2º2º. max (diferenças) = 3,empate entre a coluna 1

e a linha 1: seleccionar arbitrariamente a linha 1.

3º3º. menor dos custos para a linha 1:

min (cij: i=1)= c14= 0⇒ x14=min ( 20, 10 ) =10

13


� � � �

55 0022

11

77

88 33

101000

1010

1010 20 20 2020

10

4040

As restantes quadrículas podem ser

preenchidas imediatamente:

x21= 10x23= 20x24= 10

2EWpP�VH XPD 6%$ LQLFLDO QmR GHJHQHUDGD�

;;�� FRP�� FRP ]��

Esta solução foi já obtida como a solução óptima, i.e., neste exemplo se aplicar o método de Vogel logo no início para determinar uma SBA inicial, não é preciso

aplicar a técnica de perturbação.

1010 10102020



� � � �

��#��/��*�� .��#��/��*�� .��

$ H[LVWrQFLD GH VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV SRGH VHU

LGHQWLILFDGD VH QR TXDGUR ySWLPR GR SUREOHPD GH WUDQVSRUWH

H[LVWLU DOJXPD YDULiYHO QmR EiVLFD FRP FXVWR UHGX]LGR QXOR�

L�H�� VH uuii ++ vvjj -- ccijij == 00 SDUD DOJXPD TXDGUtFXOD �i, j� TXH

FRUUHVSRQGD D XPD YDULiYHO QmR EiVLFD xxijij, (i, j) ∉ % �

No caso de existir alguma variável não básica com custo reduzido igual zero,

pode ser calculada uma solução óptima alternativa tomando como a variável

que entra esta variável não básica com custo reduzido nulo e determinando a

variável que sai pelo habitual critério de saída do algoritmo para o problema

de transporte.

14


� � � �

&ULWpULR SDUD VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

([LVWH DOJXP ui + vj - cij = 0, xij, (i, j) ∉ % "

&ULWpULR SDUD VROXo}HV ySWLPDV DOWHUQDWLYDV�

([LVWH DOJXP uuii ++ vvjj -- ccijij == 00, xxijij, (i, j) ∉ % "

200200

700700

100100

250250 350350 200 200 200 200

88 33 99

11 77 66250250

200200

150150

55

44200200

88 44

10010022

100100

v1=-3 v2= 3 v3= 0 v4= 2

u3=2

u2=4

u1=0

33

-7-5-11

0-4 - 3

Esta solução é óptima, pois para todas as

variáveis não básicasuuii ++ vvjj-- ccij ij ≤ 0 .0 .

3RGH VHU FDOFXODGD D VROXomR ySWLPD DOWHUQDWLYD� WRPDQGR D

YDULiYHO xx33 33 FRPR D YDULiYHO TXH HQWUD

Como u3 + v3 - c33 = 0 este problema tem

solução óptima alternativa

#��/��*�� .��#��/��*�� .��+��+!�0��*�� !�0��*��


� � � �

200200

700700

100100

250250 350350 200 200200 200

88 33 99

11 77 66250250

200200

150150

55

44200200

88 44100100

2233 x33 100100

- +

-

1º1º.. Seleccionar o percuso relativo à variável x33

atribuindo às quadrículas nele incluídas sináis de - ou + .

2º2º. Seleccionar a variávelque sai:

θθ00 == min ( 200, 100 ) = 100⇒ a variável xx334 sai

mínimomínimo

#��/��*�� .��#��/��*�� .��([HPSOR �([HPSOR �� 'HWHUPLQDQGR XPD VROXomR ySWLPD� 'HWHUPLQDQGR XPD VROXomR ySWLPD

DOWHUQDWLYD�DOWHUQDWLYD�

$ YDULiYHO TXH

VDL p x34

$ YDULiYHO TXH

VDL p xx3434

$ YDULiYHO TXH

HQWUD p x33

$ YDULiYHO TXH

HQWUD p xx3333

15


� � � �

200200

700700

100100

250250 350350 200 200 200 200

88 33 99

11 77 66250250

200200

150150

55

44

88 442233

200200

700700

100100

250250 350350 200 200 200 200

8888 3333 99

1111 7777 6666250250

200200

150150

5555

4444

8888 444422223333

100100 200200

00100100

200200

700700

100100

250250 350350 200 200200 200

88 33 99

11 77 66250250

200200

150150

55

44

20020088 44

10010022

10010033

-

x33

+

-

#��/��*�� .��#��/��*�� .��([HPSOR �([HPSOR �� 'HWHUPLQDQGR XPD VROXomR ySWLPD� 'HWHUPLQDQGR XPD VROXomR ySWLPD

DOWHUQDWLYD�DOWHUQDWLYD�

$ VROXomR

��

; ��

� � ��

é uma solução óptima alternativa

1


� � � �

��

&DStWXOR �� $OJXQV SUREOHPDV SDUWLFXODUHV GH 3/�

�� 2 3UREOHPD GH $IHFWDomR�

� )RUPXODomR FRPR 3UREOHPD GH 7UDQVSRUWH�

� 5HVROXomR SHOR 0pWRGR +~QJDUR


� � � �

��

6XSRQKD Q WUDEDOKDGRUHV D GLVWULEXLU SRU Q WDUHIDV GH IRUPD D

TXH FDGD WUDEDOKDGRU H[HFXWH DSHQDV XPD WDUHID� H TXH FDGD

WDUHID VHMD H[HFXWDGD DSHQDV SRU XP WUDEDOKDGRU�

&RQKHFHQGR RV FXVWRV GD UHDOL]DomR GH FDGD WDUHID SRU FDGD

WUDEDOKDGRU�

DIHFWDU RV WUDEDOKDGRUHV jV WDUHIDV GH IRUPD D

PLQLPL]DU RV FXVWRV�

2 SUREOHPD GH $IHFWDomR p XP FDVR SDUWLFXODU GR 3UREOHPD GH

7UDQVSRUWH GH GLPHQVmR �Q [ Q�� HP TXH�

� DV YDULiYHLV GH GHFLVmR xij SRGHP WRPDU YDORUHV � RX ��

� WRGDV DV RIHUWDV H SURFXUDV VmR XQLWiULDV�

2


� � � �

�� !�� !��

2 3UREOHPD GH $IHFWDomR HQYROYH D GHWHUPLQDomR GH Q�

SRVVtYHLV VROXo}HV�

� FDGD SRVVtYHO VROXomR �DIHFWDU FDGD WUDEDOKDGRU i D XPD

WDUHID ti, i =1,2,…n) SRGH VHU HQWHQGLGD FRPR XPD

SHUPXWDomR GH ��«Q� VHQGR HVWH Q~PHUR LJXDO D Q��

� D VROXomR ySWLPD FRUUHVSRQGH j SHUPXWDomR FRP FXVWR

PtQLPR�

SRU H[HPSOR�

� SDUD XP SUREOHPD FRP � WUDEDOKDGRUHV H � WDUHIDV R Q~PHUR

GH VROXo}HV SRVVtYHLV p LJXDO D � � ��

� SDUD XP SUREOHPD FRP �� WUDEDOKDGRUHV H �� WDUHIDV R

Q~PHUR GH VROXo}HV p LJXDO D ��

2EYLDPHQWH p GLItFLO REWHU D VROXomR ySWLPD SRU WHQWDWLYDV�


� � � �

n trabalhadoresn trabalhadoresn trabalhadores n origensn origensn origens

n tarefasn tarefasn tarefas n destinosn destinosn destinos

Cada trabalhador i é afectado a uma tarefaCada trabalhadorCada trabalhador ii é é afectado a uma tarefaafectado a uma tarefa ai = 1 , i = 1,2,..naaii = 1 , = 1 , i = 1,2,..n

Cada tarefa j é executada por um trabalhador

Cada tarefaCada tarefa jj é executada é executada por um trabalhadorpor um trabalhador bj = 1 , j = 1,2,..nbbjj = 1 , = 1 , j = 1,2,..n

cij: custo de afectar o trabalhador i

à tarefa j

ccijij: custo de afectar o : custo de afectar o trabalhador trabalhador ii

à tarefa à tarefa j j

cij: custo unitário de transporte da origem i

para o destino j

ccijij:: custo unitário de custo unitário de transporte da origem transporte da origem i i

para o destino para o destino jj

xij =1 , se o trabalhador ifor afecto pela tarefa j ;caso contrário xij = 0

xxijij =1 , se o trabalhador =1 , se o trabalhador iifor afecto pela tarefa for afecto pela tarefa j ;j ;caso contráriocaso contrário xxijij = 0 = 0

xij unidades a distribuirda origem i

para o destino j;xij =0,1

xxijij unidades a distribuirunidades a distribuirda origem da origem i i

para o destino para o destino j;j;xxijij =0,1=0,1

"�� "��

3


� � � �

∑∑= =

=n

i

n

jijij xcz

1 1

∑=

=n

jijx

1

1

1,0=ijx

ni ,...,2,1 , =

nj ,...,2,1 , =

Minimizar

sujeito a:cada trabalhador é afecto a uma só

tarefa

nj ,...,2,1 , =∑=

=n

iijx

1

1

cada tarefa é executada apenas

por um trabalhador

ni ,...,2,1 , =

��"�� #��$��"�� #��$��


� � � �

Destino

Origem1 2 … n1 2 … n Oferta

11

22......

nn

..

..

..

Procura 1 … …



ccm1n1 ccm2n2 ccmnnn

xx1111 xx1212 xx1n1n……

xx2121 xx2222 xx2n2n……

xxn1n1 xx xx……

..

..

..

..

..

..

..

..

..

n2n2 nnnn

1 1

1

1

1

��"�� #��$��"�� #��$��

4


� � � �

O facto de qualquer SBA do problema de afectação

ser altamente degenerada dificulta a

aplicação dos métodos de resolução do problema

de transporte

O facto de qualquer SBA do problema de afectação

ser altamente degenerada dificulta a

aplicação dos métodos de resolução do problema

de transporte

��$� ��" �� $� ��" ��

� 4XDOTXHU 6%$ GR SUREOHPD GH DIHFWDomR WHP VHPSUH

YDORUHV LQWHLURV H FRPR DV RIHUWDV H DV SURFXUDV VmR

XQLWiULDV� WHP�VH IRUoRVDPHQWH xij � RX xij � �

� 4XDOTXHU 6%$ GR SUREOHPD GH DIHFWDomR WHP Q

YDULiYHLV EiVLFDV HP YH] GH ��Q�� L�H� TXH TXDOTXHU

6%$ p DOWDPHQWH GHJHQHUDGD� FRQWHQGR �Q��

YDULiYHLV EiVLFDV QXODV�


� � � �

%�� %�� &'��(��&'��(��

(VWH PpWRGR FRQVLVWH HP DGLFLRQDU RX VXEWUDLU YDORUHV GH

IRUPD DGHTXDGD jV OLQKDV H jV FROXQDV GD PDWUL] GH FXVWRV GH

GLPHQVmR Q[Q SDUD REWHU XP SUREOHPD HTXLYDOHQWH FRP Q

]HURV HQTXDGUDGRV QD PDWUL] GH FXVWRV�

8PD YH] WUDQVIRUPDGD D PDWUL] GH FXVWRV QXPD PDWUL] FRP Q

]HURV HQTXDGUDGRV� HVVHV ]HURV FRUUHVSRQGHP j DIHFWDomR

ySWLPD� WRPDQGR�

�xij �� SDUD RV ]HURV HQTXDGUDGRV GD PDWUL] GH FXVWRV

WUDQVIRUPDGD

�xij �� SDUD RV UHVWDQWHV YDORUHV

$ VROXomR ySWLPD GR SUREOHPD GH DIHFWDomR QmR VH DOWHUD VH

XPD FRQVWDQWH IRU DGLFLRQDGD RX VXEWUDtGD D TXDOTXHU OLQKD RX

FROXQD GD PDWUL] GH FXVWRV

5


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

17.5 15 9 5.5 12

16

12

4.5

13

16.5 10.5

15.5 14.5

8

9.5

14

8.5

5

11

17.5

12

10.5

5.5

13

17.5

%�� $��%�� $��&'��(��)*�$��&'��(��)*�$��

&RQVLGHUH TXH H[LVWHP � WUDEDOKDGRUHV TXH GHYHP VHU

DIHFWDGRV D � WDUHIDV� $ PDWUL] GRV FXVWRV DVVRFLDGRV j

UHDOL]DomR GH FDGD WDUHID SRU FDGD WUDEDOKDGRU p D VHJXLQWH�


� � � �

%�� %�� &'��(��&'��(��

,QtFLR� 5HGXomR GD 0DWUL] GH &XVWRV�

�� 6XEWUDLU DRV HOHPHQWRV GH FDGD FROXQD GD PDWUL] GH FXVWRV RPtQLPR GHVVD FROXQD�

�� 1D PDWUL] UHVXOWDQWH� VXEWUDLU D FDGD OLQKD R UHVSHFWLYR PtQLPR�

,WHUDomR�

�� 'HVHQKDU R Q~PHUR PtQLPR GH WUDoRV TXH FREUHP WRGRV RV

]HURV GD PDWUL]

�� &ULWpULR GH SDUDJHP�R Q~PHUR PtQLPR GH WUDoRV p LJXDO D Q"�

� 6LP ± HQTXDGUDU Q ]HURV� XP SRU OLQKD H XP SRU FROXQD�

D VROXomR p ySWLPD� ),0�

� 1mR ± SDVVDU D ��

�� 5HGXomR GD PDWUL] GH FXVWRV�

� 'HWHUPLQDU R PHQRU YDORU QmR ULVFDGR θ�� 6XEWUDLU θ D WRGRV RV HOHPHQWRV QmR ULVFDGRV H VRPDU θ D WRGRV RV

HOHPHQWRV GXSODPHQWH ULVFDGRV�

� &RQVLGHUDU GH QRYR WRGRV RV ]HURV OLYUHV H YROWDU D ��

6


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

13 7 0.5 0.5 6.5

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

17.5 15 9 5.5 12

16

12

4.5

13

16.5 10.5

15.5 14.5

8

9.5

14

8.5

5

11

17.5

12

10.5

5.5

13

17.5

�� 6XEWUDLU R PHQRU

HOHPHQWR GH FDGD FROXQD D

WRGRV RV HOHPHQWRV GHVVD

FROXQD

17.5 - 4.5 = 13

16 - 4.5 = 11.5

12 - 4.5 = 7.5

4.5 - 4.5 = 0

13 - 4.5 = 8.5

menor elemento da coluna 1

&'��(��)*�$��&'��(��)*�$�� +�%�� &�� ,��- �� +�%�� &�� ,��- ��


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

12.5 6.5 0 0 6

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

�� 6XEWUDLU R PHQRU

HOHPHQWR GH FDGD OLQKD D

WRGRV RV HOHPHQWRV GHVVD

OLQKD

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

13 7 0.5 0.5 6.5

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

Existe empate na escolha do menor elemento da linha 1 (igual a 0.5).

Nas restantes linha o mínimo é zero, pelo que as restantes linhas não vão ser

alteradas

13 13 - 0.5 = 12.5

7 - 0.5 = 6.5

0.5 0.5 - 0.5 = 0

6.5 - 0.5 = 6

&'��(��)*�$��&'��(��)*�$�� +�%�� &�� ,��- �� +�%�� &�� ,��- ��

7


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

12.5 6.5 0 0 6

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

&'��(��)*�$��&'��(��)*�$��+�-� �'� ��+�-� �'� ��


]HURV GD PDWUL]�

�� &ULWpULR GH SDUDJHP� R Q~PHUR PtQLPR GH WUDoRV p LJXDO D �"�1mR ± SDVVDU D ��


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

12.5 6.5 0 0 6

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

12.5 6.5 0 0 6

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

11.5

7.5

0

8.5

8.5 2

7.5 6

0

1.5

5.5

0

0

6

12.5

7

5

0

7.5

12

1º1º. min {elementos da submatriz dos elementos não riscados } = 1.51.5

4º4º. Os restantes elementos não são alterados.

2º2º. Subtrair 1.51.5 a todos os elementos não riscados.

3º3º. Somar 1.51.5 aos elementos na intersecção dos traços.

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

11 5 0 0 4.5

10

7.5

0

7

7 2

7.5 7.5

0

0

7

0

0

7.5

14

7

3.5

0

7.5

10.5

&'��(��)*�$��&'��(��)*�$��+�%�� &�� ,��- ��+�%�� &�� ,��- ��

8


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

11 5 0 0 4.5

10

7.5

0

7

7 2

7.5 7.5

0

0

7

0

0

7.5

14

7

3.5

0

7.5

10.5

&'��(��)*�$��&'��(��)*�$��+�-� �'� ��+�-� �'� ��


]HURV GD PDWUL]�

�� &ULWpULR GH SDUDJHP� R Q~PHUR PtQLPR GH WUDoRV p LJXDO D �"�6LP ± HQTXDGUDU � ]HURV� XP SRU OLQKD H XP SRU FROXQD�D VROXomR p ySWLPD� ),0


� � � �

11 2 2 3 3 4 4 5 5

11

22

33

44

55

17.5 15 9 5.5 12

16

12

4.5

13

16.5 10.5

15.5 14.5

8

9.5

14

8.5

5

11

17.5

12

10.5

5.5

13

17.5

A solução óptima é : x13 = 1 , x24 = 1, x35 = 1, x41 = 1 , x52 = 1com um custo total : w = 9 + 5 + 5.5 + 4.5 + 9.5 = 33.5

A solução óptima é : xx1313 = 1 ,= 1 , xx2424 = 1, = 1, xx3535 = 1, = 1, xx4141 = 1 , = 1 , xx5252 = 1= 1com um custo total : w = 9 + 5 + 5.5 + 4.5 + 9.5 = 33.533.5

Matriz inicial de custos

&'��(��)*�$��+�� .$� ��&'��(��)*�$��+�� .$� ��

9


� � � �

-�� -��

� 8P SUREOHPD GH DIHFWDomR QmR HTXLOLEUDGR �TXDQGR R

Q~PHUR GH WUDEDOKDGRUHV H GH WDUHIDV VmR GLIHUHQWHV� p

UHVROYLGR SHOD LQWURGXomR GH WUDEDOKDGRUHV RX

WDUHIDV ILFWtFLRV �DQiORJR DR SUREOHPD GH 7UDQVSRUWH��

� $ LPSRVLomR GH DIHFWDo}HV LPSRVVtYHLV� L�H�� D

LPSRVLomR GH TXH XP GDGR WUDEDOKDGRU QmR SRGHUi

UHDOL]DU XPD GDGD WDUHID� SRGH VHU UHVROYLGD� WDPEpP GH

IRUPD DQiORJD DRV SUREOHPDV GH WUDQVSRUWH� DWUDYpV GD

LQWURGXomR GH XP YDORU GH FXVWR

0 DUELWUDULDPHQWH JUDQGH�


� � � �

��)/ � ��)/ � ��)*�$��)*�$��

8PD IiEULFD FRPSURX � QRYDV PiTXLQDV GH WLSRV GLIHUHQWHV� H

H[LVWHP � ORFDOL]Do}HV GLVSRQtYHLV SDUD DV VXDV UHVSHFWLYDV

LQVWDODo}HV�

$OJXPDV GHVWDV ORFDOL]Do}HV VmR SUHIHUtYHLV GR TXH RXWUDV�

SDUD GHWHUPLQDGDV PiTXLQDV� WHQGR HP FRQWD� R IOX[R LQWHQVR

GH WUDEDOKR� GHWHUPLQDGR SHOD PDQLSXODomR GRV PDWHULDLV� TXH

H[LVWLUi GHVGH HVWDV PiTXLQDV SDUD RXWURV ORFDLV GH WUDEDOKR�

$JRUD R GLUHFWRU GD IiEULFD TXHU GHWHUPLQDU FRPR DIHFWDU HVWDV

� QRYDV PiTXLQDV jV � ORFDOL]Do}HV GLVSRQtYHLV GH IRUPD D

PLQLPL]DU R FXVWR WRWDO GD PDQLSXODomR GRV PDWHULDLV�

$OpP GLVVR� D ORFDOL]DomR � QmR SRGH VHU FRQVLGHUDGD

SDUD D PiTXLQD �� Mi TXH HVWD LQWHUURPSH R FLFOR GH WUDEDOKR�

10


� � � �

2V GDGRV GRV FXVWRV H UHTXHULPHQWRV UHIHUHQWHV j PDQLSXODomR

GRV PDWHULDLV SRU PiTXLQDV H ORFDOL]DomR VmR RV VHJXLQWHV�

os custos por u.m.

��)/ � ��)/ � ��)*�$��)*�$��

��

��

��

/RFDOL]DomR

�

/RFDOL]DomR

�

/RFDOL]DomR

�

/RFDOL]DomR

�

0iTXLQDV


� � � �

11 2 2 3 3 4 4

11

22

33

44

13 10 12 11

15

5

0

M 13

7 10

0 0

20

6

0

Como o problema não está equilibrado é

preciso adicionar uma máquina fictícia

Como não pode ser instalada a máquina 2 na localização 2 é preciso penalizar com M

(VWH SUREOHPD FRUUHVSRQGH D XP SUREOHPD GH DIHFWDomR� H SRGH VHU

UHVROYLGR D SDUWLU GHVWH TXDGUR �PDWUL] LQLFLDO GH FXVWRV� SHOR

PpWRGR +~QJDUR�

(VWH SUREOHPD FRUUHVSRQGH D XP SUREOHPD GH DIHFWDomR� H SRGH VHU

UHVROYLGR D SDUWLU GHVWH TXDGUR �PDWUL] LQLFLDO GH FXVWRV� SHOR

PpWRGR +~QJDUR�

��)/ � ��)/ � ��)*�$��)*�$��

acetatosintroducaoinvestoperacproglinear

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