abordagem bayesiana para identificaÇÃo de...

ABORDAGEM BAYESIANA PARA IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS EM

COMPÓSITOS LAMINADOS ATRAVÉS DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Luiz Alberto da Silva Abreu

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Hélcio Rangel Barreto Orlande

Rio de Janeiro

Março de 2011




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Hélcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________

Profª. Carolina Palma Naveira Cotta, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Rodrigo Otávio de Castro Guedes, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2011

iii

Abreu, Luiz Alberto da Silva

Abordagem Bayesiana para Identificação de Falhas

em Compósitos Laminados Através da Transferência de

Calor/ Luiz Alberto da Silva Abreu. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011.

XVIII, 138 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2011.

Referencias Bibliográficas: p. 116-118.

1. Problemas Inversos. 2. Detecção de falhas em

Compósitos Laminados. 3. Transformada Integral

Generalizada. 4. Metropolis-Hastings. I. Orlande, Helcio

Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Titulo.

iv

“Amor com amor se paga...”

Sta. Teresinha do Menino Jesus

Dedico este trabalho à Deus,

à minha família e

aos meus amigos.

v

AGRADECIMENTOS

DEUS,

Autor da minha vida e de tudo o que foi criado, pela sua presença real e perceptível.

MINHA ESPOSA MILENA

Pelo carinho e paciência. Uma pessoa realmente especial. Pela disponibilidade de ajudar, Amor com Amor se paga...

MEUS PAIS E FAMILIARES:

que souberam dividir os momentos difíceis neste ano de chuvas incomuns,

AOS AMIGOS DA REPÚBLICA

Gustavo, Alisson, Vanessa e Joyce, pela ajuda e paciência logo no início de tudo, Quando ainda estava me adaptando ao Rio.

ALUNO DE MESTRADO DIEGO

Pelas incansáveis discussões teóricas, durante todo o curso foi um amigo com quem pude contar

MEU ORIENTADOR PROF. HELCIO

Pela sua constante participação no trabalho, incentivando e acompanhando de perto. Sua ajuda foi fundamental para que tudo fosse realizado.

DEMAIS AMIGOS

Agradeço ainda à todos os amigos que fiz neste período,entre eles: Prof. Renato Cotta, Prof. João Nazareno a Profª. Carolina Naveira Cotta

os alunos de mestrado: Karol, Milena, Guilherme, Marcelo.

vi

Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Março/2011

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Programa: Engenharia Mecânica

Atualmente, materiais compósitos são comumente utilizados na engenharia, com

muitas aplicações práticas. Um típico exemplo envolvendo o uso de compósitos

formados por camadas de diferentes materiais é a indústria aeronáutica, devido à sua

grande força e rigidez, bem como sua densidade. Geralmente, tal tipo de compósito é

formado por camadas de diferentes materiais. A qualidade da adesão entre as camadas

tem um papel fundamental no desempenho e na vida útil da estrutura do compósito.

Desta forma, a detecção não destrutiva de falhas na ligação das camadas adjacentes é

extremamente importante para o monitoramento da saúde estrutural. Neste trabalho, foi

resolvido um problema inverso de condução de calor para a identificação do coeficiente

de troca térmica no contato, que pode ser diretamente associado à qualidade da adesão

entre as camadas. O problema físico envolve o aquecimento da superfície superior de

um compósito de duas camadas. A formulação do problema direto é solucionada com

um método hibrido que combina a Técnica da Transformada Integral Generalizada

(GITT) com diferenças-finitas. Medidas simuladas de temperatura na superfície

aquecida são usadas na análise do problema inverso para identificar a variação espacial

do coeficiente de troca térmica no contato na interface. O problema inverso é resolvido

através de Inferência Bayesiana, com o Método de Monte Carlo e Cadeia de Markov,

implementado através do Algoritmo Metropolis-Hastings. O resultado obtido revela que

a metodologia proposta é capaz de estimar quantitativamente e qualitativamente as

falhas de junções entre placas de diferentes tamanhos.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

BAYESIAN APPROACH FOR FAILURES IDENTIFICATION ON LAMINATED

COMPOSITES THROUGH HEAT TRANSFER


March /2011

Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande

Department: Mechanical Engineering

Composite materials are commonly used in engineering nowadays, with many

practical applications. One typical example involves the use of composites formed by

layers of different materials in the airplane industry, because of its greater strength and

stiffness. Generally, such kind of laminated composites is formed by layers of different

materials. The quality of the adhesion between layers plays a fundamental role for the

performance and lifetime of the composite structure. As a result, the non-destructive

detection of failures in the bonding of adjacent layers is extremely important for

structural health monitoring. In this paper, we solve an inverse heat conduction problem

for the identification of the interface thermal contact conductance, which can be directly

associated to the quality of the adhesion between layers. The physical problem involves

the heating of the external surface of a composite with two layers. The direct problem

formulation is solved with a hybrid method that combines the Generalized Integral

Transform Technique (GITT) and finite-differences. Simulated temperature

measurements taken at this heated surface are used in the inverse analysis to identify the

spatially varying interface contact conductance. Such measurements are assumed to be

taken with an infrared camera, which allows for high spatial resolution and high data

acquisition frequency. The present inverse problem is solved within the Bayesian

statistical paradigm, with a Markov chain Monte Carlo method implemented through

Metropolis-Hastings’ algorithm. The results obtained reveal that the proposed

methodology is capable of estimating quite well bonding failures of different sizes.

viii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO .................................................................................. 1

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................ 3

2.1 Materiais Compósitos ............................................................................. 3

2.2 Solução de Problemas de Condução de Calor ........................................ 6

2.3 Problemas Inversos em Transferência de Calor...................................... 8

2.4 Problema Inverso via Inferência Bayesiana ............................................ 8

CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO ....................................................................... 10

3.1 Modelo Físico ....................................................................................... 10

3.2 Formulação Matemática Geral .............................................................. 11

3.3 Formulação Matemática Adimensional ................................................ 12

3.4 Formulação Matemática particular com duas camadas ........................ 14

CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO ........................................... 16

4.1 Aplicando GITT nas Direções Longitudinais da Placa ........................ 16

4.2 Aplicando Diferenças Finitas na Direção Transversal da Placa ........... 21

4.3 Implementação Numérica ..................................................................... 25

4.4 Reordenando os autovalores ................................................................. 26

CAPÍTULO 5 - PROBLEMA INVERSO ................................................................... 28

5.1 Formulação do problema inverso.......................................................... 28

5.2 Solução do Problema Inverso ............................................................... 29

5.3 O Algoritmo Metropolis-Hastings ........................................................ 31

CAPÍTULO 6 - RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................... 34

6.1 Verificação da Solução do Problema Direto ......................................... 35

6.2 Problema Direto com falha de contato entre as placas ......................... 67

6.3 Solução do Problema Inverso ............................................................... 77

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................................................... 114

CAPÍTULO 8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................ 116

APÊNDICE A - Teste I em regime permanente ........................................................ 119

ix

APÊNDICE B - Teste I em regime transiente ........................................................... 121

APÊNDICE C - Teste II em regime transiente .......................................................... 125

APÊNDICE D - Teste III em regime transiente ........................................................ 129

APÊNDICE E - Teste IV em regime transiente ........................................................ 133

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘ MaxI ’ camadas. ....................... 10

Figura 4.1 - Discretização por diferenças finitas ao longo do eixo Z. ............................ 22

Figura 5.1 - Representação esquemática da obtenção de medidas experimentais.......... 28

Figura 6.1 - Esquema do problema geral. ....................................................................... 34

Figura 6.2 - Representação esquemática do teste 1, em regime permanente. ................ 38

Figura 6.3 - Gráfico de temperatura versus posição para um valor dech alto, em regime

permanente...................................................................................................................... 39

Figura 6.4 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 100s. .......... 40

Figura 6.5 - Gráfico de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime

permanente...................................................................................................................... 41

Figura 6.6 - Gráfico demonstrando a diminuição da descontinuidade do valor das

temperaturas na interface à medida que o ch →∞ . ......................................................... 42

Figura 6.7 - Representação esquemática do primeiro teste em regime transiente. ......... 44

Figura 6.8 - Gráfico de temperatura versos tempo para o teste 1, em regime transiente.

........................................................................................................................................ 46

Figura 6.9 - Posição z versus temperatura para o teste 1, em regime transiente. ........... 47

Figura 6.10 - Distribuição de temperatura na superfície, para o teste 1 em regime

transiente. ........................................................................................................................ 48

Figura 6.11 - Representação esquemática do segundo teste em regime transiente. ....... 50


........................................................................................................................................ 52

Figura 6.13 - Posição z versus temperatura para o teste 2, em regime transiente. ......... 53


transiente. ........................................................................................................................ 54

Figura 6.15 - Representação esquemática do terceiro teste em regime transiente ......... 54

Figura 6.16 - Temperatura versus tempo para o problema teste 3, em regime transiente.

........................................................................................................................................ 57

Figura 6.17 - Posição z versus temperatura para o teste 3, em regime transiente. ......... 58


transiente. ........................................................................................................................ 59

Figura 6.19 - Representação esquemática do quarto teste em regime transiente. .......... 59

xi


........................................................................................................................................ 63

Figura 6.21 - Posição z versus temperatura para o teste 4, em regime transiente .......... 64

Figura 6.22 - Distribuição de temperatura na superfície para o teste 4 em regime

transiente. ........................................................................................................................ 64

Figura 6.23 - Analise da solução de T x x ...................................................................... 65

Figura 6.24 - Analise da solução de T x y ...................................................................... 65

Figura 6.25 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de

calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................................. 68

Figura 6.26 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de

calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................................. 68

Figura 6.27 - Gráfico de distribuição de temperatura no tempo com Titânio exposto ao

fluxo de calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................... 70

Figura 6.28 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição

adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 6. ...................... 70


adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.065 ................ 71


adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.13. ................. 72


adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.065. ............... 73


adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.13. ................. 74

Figura 6.33 - Gráfico de variação espacial do biot de contato, cBi , com Titânio exposto

ao fluxo de calor com malha em x e y, 21x21. ............................................................... 75

Figura 6.34 - Gráfico de variação espacial do Biot de contato, cBi , com malha em x e y,

21x21. ............................................................................................................................. 75


adimensional Z=1, para 441 sensores, no tempo 0.065. ................................................. 76


adimensional Z=1, para malha em x e y = 21 x 21, no tempo 0.13. ............................... 77

Figura 6.37 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 80

Figura 6.38 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 81

xii

Figura 6.39 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 81

Figura 6.40 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um

ponto com contato. ......................................................................................................... 81
































xiii




ponto com contato. ....................................................................................................... 100

Figura 6.69 - Biot exato comparado com o Biot estimado. .......................................... 101

Figura 6.70 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 102

Figura 6.71 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 102


















Figura 6.85 – Biot exato comparado com o Biot estimado. ......................................... 112




ponto com contato térmico perfeito. ............................................................................. 113

Figura A.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ....................... 119

Figura B.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime transiente ........................... 121

Figura C.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ........................ 125

Figura D.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ........................ 129

Figura E.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ........................ 133

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 6.1 - Dimensões do material compósito ............................................................. 34

Tabela 6.2 - Temperatura dos meios externos e temperatura inicial da placa ................ 35

Tabela 6.3 - Propriedades Termofísicas dos Materiais utilizados .................................. 35

Tabela 6.4 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ........................ 38

Tabela 6.5 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito alto, em regime

permanente...................................................................................................................... 40

Tabela 6.6 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime

permanente...................................................................................................................... 41

Tabela 6.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime

permanente...................................................................................................................... 43

Tabela 6.8 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ............................. 46

Tabela 6.9 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 1, em regime

transiente. ........................................................................................................................ 47


permanente...................................................................................................................... 48

Tabela 6.11 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ........................... 52


transiente . ....................................................................................................................... 53

Tabela 6.13 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ........................... 57


transiente ......................................................................................................................... 57

Tabela 6.15 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ...................... 62


transiente ......................................................................................................................... 63


permanente...................................................................................................................... 66

Tabela 6.18 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ...................... 69


permanente...................................................................................................................... 72

Tabela 6.20 - Parâmetros de entrada para o problema inverso ....................................... 78

Tabela 6.21 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 80

Tabela 6.22 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ....................... 82

xv







Tabela 6.29 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ..................... 101

Tabela 6.30 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor ..................... 104

Tabela 6.31 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor ..................... 107

Tabela 6.32 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ..................... 109

Tabela 6.33 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. .................... 112

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLOS LATINOS

a - Comprimento dimensional do material compósito, em [ ]m .

A - Comprimento adimensional do material compósito.

b - Largura dimensional do material compósito, em [ ]m .

B - Largura adimensional do material compósito.

(...)Bi - Número de Biot, adimensional.

c - Espessura dimensional do material compósito, em [ ]m .

1matc - Espessura do material 1 que compõe o compósito laminado, em [ ]m .

2matc - Espessura do material 2 que compõe o compósito laminado, em [ ]m .

C - Espessura adimensional do material compósito.

gradx - Número de sensores na direção x, na superfície do compósito laminado.

grady - Número de sensores na direção y, na superfície do compósito laminado.

(...)h - Coeficiente de transferência de calor, em 2W m K .

(...)k - Condutividade térmica dos materiais que formam o compósito

laminado, em [ ]W mK .

IJF - Número máximo de autovalores reordenados.

n - Tempo discretizado, na malha de diferenças finitas.

tn - Posição discretizada referente ao tempo, no vetor de medidas

realizadas.

medN - Número máximo de medidas realizadas.

máxN - Número de nós na malha de diferenças finitas para o tempo

discretizado.

,(...)Nψ - Integral de normalização para a direção x.

,(...)Nϕ - Integral de normalização para a direção y.

,(...)ZN - Integral de normalização para a direção z.

P - Vetor de parâmetros, no problema inverso.

q - Fluxo de calor imposto à superfície superior do compósito laminado.

xvii

t - Tempo dimensional, em [ ]s

iT - Temperatura nas camadas do compósito laminado, em oC

T∞ - Temperatura do fluido em que a superfície inferior do compósito

laminado esta em contato, em oC .

*T∞ - Temperatura do fluido em que a superfície superior do compósito

laminado esta em contato, em oC .

v - Matriz de covariância dos parâmetros no problema inverso.

W - Inversa da matriz de covariância dos erros de medição.

x - Variável independente para a direção x, em [ ]m

X - Variável independente adimensional, para a direção x.

y - Variável independente para a direção y, em [ ]m .

Y - Variável independente adimensional, para a direção y.

Y - Vetor contendo as todas as temperaturas medidas na superfície do

compósito laminado em diferentes tempos.

z - Variável independente para a direção z, em [ ]m.

cz - Posição dimensional da interface entre as camadas do compósito

laminado particular com duas camadas, em [ ]m .

cZ - Posição adimensional da interface entre as camadas do compósito

laminado particular com duas camadas.

Z - Variável independente adimensional, para a direção z

SÍMBOLOS GREGOS

(...)α - Difusividade térmica dos materiais que formam o compósito laminado,

em 2m s .

(...)β - Autovalores para a direção x.

(...)γ - Autovalores para a direção y.

(...)η - Autovalores para a direção z.

xviii

iθ - Temperaturas adimensionais nas camadas do compósito laminado.

θɶ - Temperatura transformada

(...)λ - Autovalores reordenados.

µ - Média dos parâmetros, da informação a priori gaussiana, no problema

inverso.

σ - Desvio padrão das medidas.

Biσ - Desvio padrão da informação a priori gaussiana.

τ - Tempo adimensional.

ϕ - Autofunções para a direção x.

ψ - Autofunções para a direção y.

1

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

A análise de falhas em compósitos laminados constitui uma importante área do

conhecimento em engenharia, devido à sua crescente aplicação em diversos campos da

indústria. Muitas razões contribuem para este crescimento, dentre os quais se destacam:

a necessidade de materiais mais leves, fáceis de instalar e transportar, mais resistentes e

com propriedades termofísicas, acústicas e mecânicas cada vez mais específicas para

uma determinada aplicação (AMITECH, 2010).

Atualmente existem diversas aplicações para os compósitos laminados, com

destaque para as indústrias de defesa, hidráulica, naval, aeronáutica e petrolífera. Nesta

última, tais materiais vêm sendo usados, por exemplo, em tubulações e tanques, por

serem leves e resistentes à corrosão. Assim, investimentos vêm sendo feitos para evitar

os inúmeros problemas que podem ser causados por falhas internas e externas nestes

materiais (AMITECH, 2010).

Desta forma, a caracterização e análise do comportamento destes novos

materiais vêm se tornando fundamental para sua correta aplicação. Destaca-se neste

trabalho a grande importância em avaliar e qualificar o surgimento de falhas internas

dos compósitos laminados, especialmente nas juntas entre as placas que formam estes

materiais.

Este trabalho tem como principal objetivo analisar, do ponto de vista térmico, a

existência de possíveis falhas entre as camadas de um material compósito laminado.

Esta análise será realizada em duas etapas, a saber: a solução do problema direto; e a

solução do problema inverso de transferência de calor de detecção de falhas na adesão

entre placas de materiais compósitos laminados. A solução do problema inverso será

obtida com o método de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC) (KAIPIO e

SOMERSALO, 2004). Devido à complexidade da solução do problema direto, que será

detalhado adiante, propõe-se aqui uma solução do mesmo através de uma técnica

híbrida que faz uso da Transformada Integral Generalizada (GITT) (COTTA, 1993) e de

diferenças finitas (PLETCHER e ANDERSON, 1997), considerando um coeficiente de

troca térmica no contato dependente da posição na superfície, ��, ��.

No capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica sobre os assuntos

referentes à elaboração deste trabalho. Buscou-se focar nesta revisão: os conhecimentos

básicos sobre compósitos laminados, bem como as técnicas existentes para a solução de

problemas diretos e inversos em condução de calor através de meios compostos por

2

mais de uma camada. Desta forma, pode-se situar o presente trabalho no atual contexto

dos estudos existentes na literatura.

No capítulo 3 propõe-se um modelo físico e matemático para o problema direto

de condução de calor tridimensional transiente através de um meio composto com

coeficiente de transferência de calor no contato, ��, ��, variando na seção transversal

do material. Inicialmente, propõe-se uma formulação geral dimensional e adimensional.

Em seguida, no capítulo 4, o problema direto é solucionado para um caso particular

(envolvendo duas camadas de um compósito laminado) através de um método híbrido

(analítico/numérico) utilizando para isto a técnica de transformada integral generalizada

e o método de diferenças finitas.

No capítulo 5 é apresentada a solução do problema inverso de transferência de

Calor, utilizando o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC). No

problema inverso utilizaram-se medidas de temperatura realizadas na superfície do

material, onde se aplicou um fluxo de calor conhecido. Com estas medidas e

conhecendo as propriedades de cada material que compõe o compósito laminado,

estimou-se o coeficiente de transferência de calor no contato. Desta forma, pode-se não

apenas quantificar locais onde existam falhas nas interfaces entre os compósitos, mas

também qualificar estas falhas.

No Capítulo 6 são apresentados e discutidos os resultados obtidos. Inicialmente

buscou-se verificar a solução do problema direto. Para isto, foram usados quatro testes

cujas soluções analíticas são apresentadas nos apêndices deste trabalho. Utilizando a

solução do problema direto, foram simuladas medidas de temperatura com erros

controlados para gerar resultados de alguns casos da solução do problema inverso,

envolvendo materiais utilizados na indústria aeronáutica. Considerou-se diferentes

informações a priori (informativa e não-informativa) e avaliou-se diferentes níveis de

erros das medidas, assim como a convergência das cadeias de Markov.

O capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho, contendo um balanço daquilo

que foi realizado aqui. Neste capítulo também são apresentadas sugestões para trabalhos

futuros.

3

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Materiais Compósitos

Segundo a literatura, um material “composto”, ou “compósito” é definido como

o resultado da combinação de dois ou mais materiais distintos em suas propriedades

físicas. Trata-se de uma classe de um meio heterogêneo cujo objetivo é a obtenção de

um material que, combinando as características de seus componentes, apresente um

desempenho mecânico, acústico, térmico, etc, desejado (JONES, 1975).

Os materiais compósitos têm sido utilizados cada vez mais em substituição dos

materiais convencionais, devido à carência dos mesmos em atender às crescentes

exigências do mercado (FARO, 2008). De acordo com o tipo dos materiais constituintes

e dos processos de fabricação, há diferentes classificações de materiais compósitos, tais

como: Compósitos Fibrosos; Compósitos Particulados; Compósitos Laminados

(GIBSON, 1994).

Os Compósitos Laminados apresentam-se pela laminação de diferentes camadas,

de materiais distintos (como fibra de vidro, resinas, etc) a combinação destas diferentes

camadas resulta num material cujas características são melhoradas de acordo com a

expectativa de aplicação do mesmo (GIBSON, 1994). Nas indústrias aeronáutica, naval

ou petrolífera, algumas características são freqüentemente encontradas como: aumento

da resistência mecânica, durabilidade, resistência à corrosão, menor peso, maior

facilidade na instalação, etc (AMITECH, 2010).

Em geral muitos consideram que materiais compósitos são a última palavra em

tecnologia de materiais para uso aeronáutico (ZANATTA, 2010), por reunirem

especificamente duas propriedades de suma importância para este setor: baixo peso e

alta resistência. Existem vários métodos de fabricação de compósitos laminados, a

saber: (i) Laminação manual; (ii) Laminação a vácuo ; (iii) Métodos automatizados;

entre outros.

Na laminação manual, o método mais comum, consiste em banhar as fibras de

material escolhido com a matriz sobre um molde (esta matriz pode ser de alguma resina,

por exemplo epóxi) camada por camada, retirando o excesso de resina com uma

espátula e um rolo. Na laminação a vácuo o processo é semelhante, com a diferença que

o compósito é selado em uma bolsa plástica que por sua vez é conectada através de

tubos e válvulas, a uma bomba de vácuo. Neste processo existe uma maior compactação

da peça e assim, menos chances de formação de falhas internas. Nos processos

4

automáticos todo o processo automatizado tem temperatura e pressão controladas de

maneira a evitar que falhas internas ocorram. Este métodos de fato são os mais

utilizados pela indústria, embora não garantam que possam haver falhas nas junções

entre as resinas e as fibras. Um dos tipos de compósito mais comum é aquele formado

por estruturas em sanduíche. A idéia de sanduíche se deve ao fato de que um

componente apresenta duas camadas externas feitas, no caso, em laminados de

materiais compostos, e um núcleo, normalmente feito com alguma forma de espuma

expansível (poliestireno, poliuretano) ou o famoso “honeycomb”, ou “colméia”

(ZANATTA, 2010).

Algumas camadas constituintes de meios compósitos laminados são reforçadas

com fibras e outros materiais, que vistos microscopicamente são meios heterogêneos

(REDDY, 1997). Porém, espera-se tratar estas camadas neste trabalho como meios

homogêneos do ponto de vista macroscópico, ou seja, as propriedades em cada camada

do material não homogêneo serão analisadas através de seus valores efetivos. Ambos os

casos estão largamente analisados na literatura (ÖZIŞIK, 1993, MIKHAILOV e

ÖZIŞIK, 1984, COTTA, 1993), destaca-se que do ponto de vista macroscópico, o

tratamento dado para os compósitos laminados pode-se dar a qualquer material

composto, constituído por várias placas.

Conforme (DA SILVA, et al., 2008), através de um estudo comparativo das

propriedades mecânicas em flexão de um laminado hibrido e de dois outros laminados,

um apenas com fibras de vidro e um apenas com fibras de curauá, obteve-se um

resultado excelente para o novo laminado híbrido.

Segundo (CÂNDIDO, et al., 2000), a técnica de fabricação de laminados de

material pré-impregnado com bordas moldadas é uma opção interessante para a

industrialização da produção de compósitos poliméricos avançados por laminação a

vácuo e cura em autoclave, porque reduz custos de fabricação e não há perda de peças

por delaminação de borda devido ao corte. Entretanto, deve-se atentar para o fato de que

há uma predisposição para o surgimento de bolsas de resina no material. Portanto é

preciso que seja escolhida uma seqüência de empilhamento que não favoreça tal

desvantagem.

Existem inúmeras razões para o surgimento de falhas em compósitos laminados.

As mais comuns são: danos provenientes do processo de fabricação e presença de

tensões internas entre as camadas do compósito ou nas fibras que estas contêm em sua

construção (LIU, 1988). Desta forma, uma grande parte dos danos encontrados em

5

compósitos laminados estão presentes internamente no material e são observados

externamente apenas em situações extremas (MORAES, 1999).

Segundo a literatura (SCHÖNTAG, 2009), encontram-se diferentes

classificações para os tipos de danos em materiais compósitos laminados, de maneira

geral os principais termos são: “delaminations” ou “disbonds”, “ debonds” e “kissing

bonds”.

Delaminação (delamination) ou disbonds refere-sem ao descolamento de uma

lâmina ou uma parte de uma lâmina que compõe o material compósito laminado,

debonds é o termo utilizado quando esta falha ocorre numa região onde já havia sido

realizado um reparo, e finalmente kissing bonds é o termo utilizado para falhas

ocorridas por falta de material aderente entre as interfaces (SCHÖNTAG, 2009).

Entretanto existem inúmeras outras nomenclaturas utilizadas para diferentes casos de

falhas em compósitos laminados, cita-se aqui apenas os mais utilizados e comuns.

Neste contexto, conclui-se que é de grande importância conhecer, quantificar e

qualificar estas falhas internas na indústria como as delaminações internas, devido às

diversas aplicações envolvendo grandes custos, transporte de materiais com alto risco

para o meio ambiente (como na indústria petrolífera) e outros. Para detectar falhas em

compósitos laminados, existem diversos métodos dentre os quais destacam-se os

ensaios não-destrutivos (END), de grande interesse no mercado, entre eles: Exames

ultrasonografia do tipo “C-Scanning”, de radiografia, inspeção visual, exame por

transmissão de luz, microscopia, termografia de infravermelho, (MORAES, 1999).

De acordo com (FRANCO, et al., 2006), a caracterização de fraturas de

laminados de tecidos de fibras de vidro-epoxi , através de técnicas de investigação e

análise de falhas, permite estabelecer o início da falha e qual a seqüência de falhas no

laminado. Através do ensaio de cisalhamento interlaminar, observaram-se múltiplos

cisalhamentos, além de cisalhamento intralaminar nos compósitos analisados. A

microscopia eletrônica de varredura não pode determinar a direção ou modo da falha.

De acordo com (SCHÖNTAG, 2009), existem muitos métodos para adetecção

de falhas em compósitos laminados, através de diversos tipos de END’s, entretanto

poucos são eficientes aos detectar delaminações. Em seu trabalho (SCHÖNTAG, 2009)

propos um estudo para caracterizar a profundidade em que se localizam defeitos

internos em materiais compósitos, apresentando um estudo sobre shearografia associado

ao carregamento vibracional.

6

Segundo (HUNG, et al., 2007), existe a possibilidade de detectar profundidade

da falha de maneira inversa, quando é conhecida a temperatura do material e as

propriedades do mesmo (o que é proposto neste trabalho). Entretanto, encontrou-se

nesta pesquisa apenas a metodologia direta, onde aplica-se calor uniformemente sobre a

superfície do material a ser avaliado e monitora-se as alterações na distribuição de

temperaturas por um determinado período de tempo (SKF, 2011, JARRETA NETO,

2009, PREDMESKY e ZALUZEC, 2000).

Nestes métodos diretos, aplica-se uma fonte uniforme de calor numa superfície e

a utilizando uma câmera termográfica monitora-se a mesma, desta forma, quando uma

estrutura está livre de falhas, a distribuição de temperaturas não muda conforme a

superfície se aquece e se resfria, mas permanece uniforme. Entretanto, as áreas com

falha se aquecem mais em comparação com áreas bem coladas, devido à um baixo

coeficiente de troca térmica de contato entre estes materiais. Nestas abordagens, a

região superficial onde existe falha é determinada, mas a profundidade onde esta falha

ocorre não é mensurada, diferente do que ocorre na abordagem através do problema

inverso (SKF, 2011). Assim de maneira simplificada, conhecer a profundidade onde a

falha se encontra significa determinar a posição exata onde a mesma ocorre e assim

todas as suas dimensões.

2.2 Solução de Problemas de Condução de Calor

Soluções analíticas para problemas de difusão de calor, inclusive em meios

compostos, são encontradas na literatura (ÖZIŞIK, 1993) para diversos casos de

equações diferenciais parciais (homogêneas e não homogêneas) que regem estes

problemas, utilizando para isto as técnicas de separação de variáveis e a Técnica da

Transformada Integral Clássica (CITT).

Foram obtidas soluções para o caso composto por um único material para

diversas classes de problemas, com modelos transientes uni, bi e tridimensionais com

condições de contorno homogêneas e não-homogêneas (ÖZIŞIK, 1993), inclusive para

alguns casos onde o meio é considerado heterogêneo e suas propriedades termofísicas

variam em seu interior.

Foram obtidas ainda (ÖZIŞIK, 1993) soluções para meios compostos por várias

camadas, de materiais diferentes, cujas propriedades são constantes dentro de cada uma

destas (abordagem a ser utilizada aqui para o problema de difusão de calor em

compósitos laminados). Entretanto, para este caso, as soluções devido à complexidade

7

do mesmo são mais restritas, sendo encontradas soluções apenas unidimensionais, com

a existência de uma resistência de contato constante ou problemas tridimensionais onde

considerou-se a hipótese de contato térmico perfeito.

Em princípio, não foram encontrados na literatura soluções analíticas

envolvendo um problema tridimensional que se considerasse uma resistência térmica de

contato entre os meios, que pudesse variar espacialmente. Esta suposição é essencial

para a formulação do problema direto que se pretende resolver aqui, para a análise de

falhas em compósitos laminados.

Soluções analíticas para problemas de difusão de calor estão compiladas

considerando sete classes de formulações (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984). As soluções

obtidas para os materiais compostos são considerados como um caso especial do

problema de classe II, definido e solucionado por (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984).

Nestes casos existe a necessidade da solução de um problema de autovalor associado e

de uma busca por seus autovalores. Este trabalho é de grande complexidade, pois

envolve equações transcendentais que dificultam muito a busca por estes autovalores

(COTTA, 1993). Nestes casos precisa-se de uma técnica mais acurada para encontrar

estes autovalores, como a contagem de sinais ou a Transformada Integral Generalizada

(COTTA, 1993), que constitui um avanço na solução de problemas de Sturm-Liouville.

A técnica por trás da solução utilizando contagem de sinais para a determinação

destes autovalores foi expandida e encontram-se na literatura alguns tópicos sobre este

assunto (COTTA e NOGUEIRA, 1988, MULHOLLAND e COBBLE, 1972).

A técnica da Transformada Integral Clássica posteriormente foi acrescida de

uma abordagem híbrida dando origem à Técnica da Transformada Integral Generalizada

(GITT), oferecendo assim a possibilidade de resolver problemas antes tratados como

não transformáveis através de uma abordagem numérico-analítica (COTTA, 1993).

Problemas de autovalor envolvendo meios heterogêneos, com propriedades internas do

meio variáveis , foram resolvidos, (NAVEIRA COTTA, 2009), inclusive expandindo as

propriedades termofísicas do meio em autofunções, permitindo uma abordagem

totalmente analítica do sistema transformado.

Soluções puramente numéricas são encontradas na literatura para casos

envolvendo transferência de calor tridimensional ou em meios compostos. Observou-se

que o custo computacional destas técnicas é alto (WANG, et al., 2003), mesmo quando

são usadas técnicas relativamente modernas (Método ADI-3D). Tal custo

computacional torna difícil a solução do problema inverso através do método MCMC

8

(KAIPIO e SOMERSALO, 2004), o qual necessita da solução do problema direto

milhares de vezes durante sua execução.

2.3 Problemas Inversos em Transferência de Calor

Nos problemas diretos, tradicionalmente conhecidos, as causas são dadas e os

efeitos das mesmas são determinados. Por outro lado nos problemas inversos os efeitos

(como distribuição de temperaturas numa placa) são dados, e as causas são estimadas

(ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000).

Problemas inversos são encontrados em diversas áreas da ciência e engenharia.

Cientistas e engenheiros de diversas áreas, assim como físicos matemáticos etc estão

interessados em solucionar problemas inversos por diferentes razões (ÖZIŞIK, 1993).

Este trabalho está focado na solução de um problema inverso em condução de

calor (Inverse heat Conduction Problems - IHCP) com o objetivo de utilizar os

resultados para determinar qualitativamente falhas em compósitos laminados. Como já

foi dito anteriormente, a solução particular deste problema inverso é de grande interesse

para as indústrias de materiais, petrolífera, aeroespacial, entre outras.

Existem diversas obras literárias sobre problemas inversos em transferência de

calor, destacam-se inicialmente alguns trabalhos pioneiros, os quais venceram as

primeiras grandes dificuldades impostas pela instabilidade e caráter mal posto típico

desta classe de problemas. Entre os cientistas pioneiros pode-se citar: A. N. Tikhonov,

O.M. Alifanov e J. V. Beck (ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000).

Os conceitos fundamentais sobre IHCP podem ser encontrados em (ÖZIŞIK e

ORLANDE, 2000), juntamente com quatro técnicas de solução de problemas inversos

em transferência de Calor, tanto para estimativa de parâmetros como para estimativa de

funções. Além de soluções de interesse prático na engenharia envolvendo problemas de

condução, convecção e radiação.

2.4 Problema Inverso via Inferência Bayesiana

Na abordagem estatística Bayesiana tenta-se utilizar toda a informação

disponível a priori a fim reduzir a quantidade de incerteza em um problema. Ou seja,

enquanto a informação nova é obtida, nela está combinada toda a informação

precedente, dando a base para procedimentos estatísticos. O mecanismo formal usado

para combinar a informação nova com a informação previamente disponível é

9

conhecido como o teorema de Bayes (WINKLER, 2003, PLETCHER e ANDERSON,

1997).

O algoritmo de Metropolis-Hastings é um dos Métodos MCMC (KAIPIO e

SOMERSALO, 2004). A cadeia de Markov é um caso particular de um processo

estocástico com estados discretos e apresenta a propriedade Markoviana (uma

homenagem ao matemático Andrei A. Markov). Esta propriedade, também chamada de

memória Markoviana, define que os estados anteriores são irrelevantes para a predição

dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido. Desta forma o processo

Markoviano depende apenas do estado atual (ORLANDE, 2009).

Técnicas Bayesianas foram utilizadas para identificar simultaneamente a

condutividade térmica, a capacidade térmica e um fluxo de calor, num problema inverso

unidimensional não-linear de transferência de calor. Utilizou-se para isto o algoritmo

Metropolis-Hastings, citado anteriormente (MOTA, et al., 2008).

Dois filtros Bayesianos foram utilizados, um linear e outro não-linear, com

sucesso para estimar o perfil transiente de temperaturas num problema de transferência

de calor linear e em outro não-linear. Especificamente os filtros utilizados foram os

Filtro de Kalman e Filtro de Partículas (ORLANDE, et al., 2008).

Na identificação de propriedades e parâmetros termofísicos variáveis, utilizando

técnicas bayesianas de estimativa de parâmetros e funções, a utilização da técnica de

termografia por infravermelho é de grande interesse, fornecendo uma quantidade

representativa de medidas, tanto no espaço quanto no tempo, criando assim novos

horizontes na análise da condução de calor em meios heterogêneos (FUDYM, 2006 ,

FUDYM, et al., 2007].

A técnica da transformada integral generalizada (GITT) foi aplicada na análise dos

problemas direto e inverso de condução de calor em meios heterogêneos, incluindo uma

abordagem inovadora de análise inversa no campo transformado, realizando a

transformação integral dos dados experimentais (NAVEIRA COTTA, et al., 2009).

10

CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO

3.1 Modelo Físico

O objetivo deste trabalho é a detecção e qualificação de falhas de contato na

interface de placas de compósitos laminados, através da identificação da distribuição

espacial da resistência de contato e fazendo uso da solução de um problema inverso de

transferência de calor. Desta forma, considera-se neste trabalho um meio compósito

laminado com máxI camadas, resultando em uma espessura total c . Todas as placas são

consideradas com os mesmos comprimentos e larguras dados por a e b ,

respectivamente, tal como ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘ MaxI ’ camadas.

Assume-se a existência de uma resistência de contato, modelada através de um

coeficiente de transferência de calor de contato ( ),cih x y , entre cada uma destas

camadas, o subscrito max1,2, ,i I= … corresponde ao número da camada, neste capítulo.

Tal coeficiente é muito pequeno nas posições onde houver falha e muito grande onde

houver contato térmico perfeito entre as camadas. Por simplicidade, será utilizado o

sistema cartesiano de coordenadas retangulares e serão consideradas propriedades

térmicas constantes dentro de cada camada que constitui o compósito laminado. As

superfícies laterais perda de calor desprezível e as superfícies superior e inferior estarão

submetidas à troca de calor por convecção, sendo na superfície inferior com um meio à

uma temperatura ambiente T∞ e na superfície superior, com um meio à uma temperatura

diferente *T∞ . Um fluxo de calor ( ), ,q x y t é considerado imposto sobre a superfície

superior, conforme indicado na figura 3.1.

11

3.2 Formulação Matemática Geral

A equação de condução de calor para o caso tridimensional transiente com

multicamadas pode ser escrita para as regiões 0 x a< < ,0 y b< < e 1i iz z z− < < , para

um tempo 0t > , da seguinte forma, (ÖZIŞIK, 1993).

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

, , , , , , , , , , ,1 ,i i i i

i

T T T T

t x y z

x y z t x y z t x y z t x y z t

α∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

(3.1)

onde neste capítulo o subscrito max1,2, ,i I= … corresponde ao número da camada e iα

corresponde a difusividade térmica do material ‘i ’.

A condição de contorno em 0 0z z= = para 0 x a< < ,0 y b< < e 0t > pode ser

escrita como:

( ) ( )1

0 11 0

, , ,, , ,

Th

x y z tk x y z t hT

zT∞− =

∂+

∂ (3.2)

onde ( )k corresponde a condutividade térmica nas diferentes camadas e ( )h é o

coeficiente de troca térmica, nos índices 0 e máxI entre os meios fluidos e as superfícies

inferior e superior do compósito, os demais índices referem-se ao coeficiente de troca

térmica entre as placas, cih .

Na interface entre as placas, para 0 x a< < ,0 y b< < , iz z= , para 0t > e

considerando ( )max1,2, , 1i I= −… escrevemos:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

, , , , , ,

, , ,, , , , ,, ,

i i

ici i i

i i

i

T T

z zT

h x y T

x y z t x y z tk k

x y z tk x y z T

zt x y z t

++

+

=

−

∂ ∂∂ ∂

∂=

∂

(3.3)

12

No contorno em maxIz z c= = para0 x a< < , 0 y b< < e 0t > temos:

( ) ( ) ( )max

max max max max

*, , ,

, , , , ,II I I I

x y z tThk x y z t h T q

zy tT x∞

∂+ = +

∂ (3.4)

Nos contornos 0x = , x a= e 0 y b≤ ≤ para 0 z c< < e 0t > considerou-se a

hipótese de perda de calor desprezível, ou seja:

( ), , ,

0iT x y x t

x

∂=

∂ (3.5)

Da mesma maneira, nos contornos 0y = , y b= e0 x a≤ ≤ para 0 z c< < e 0t >

considerou-se a hipótese de perda de calor desprezível, ou seja:

( ), , ,

0iT x y x t

y

∂=

∂ (3.6)

Considerando a condição inicial para 0 x a< < ,0 y b< < ,0 z c< < , para 0t =

como temperatura uniforme, dada pela temperatura do meio em contato com a

superfície superior da placa, isto é,

( )

max

*,

1,

,

2, ,

,i x y z t T TT

i I∞

== =

… (3.7)

onde *T é a temperatura inicial do compósito laminado.

3.3 Formulação Matemática Adimensional

Utilizando os seguintes grupos adimensionais:

( )

( ) ( )

* *

* * *

* *

2

; ; ; ;

; ; ; ; ;

,; , ;

ref i iref i i

ref ref ref

ref cici

ref

k T T kT T qq q k

c q kT T

yx z a bX Y Z A B

c c c c ct h X Y c

Bi X Ykc

αθ α

α

ατ

∞∞

∞

−−= = = = =

−

= = = = =

= =

(3.8)

13

onde o subscrito ref indica que são parâmetros de referência, estes serão definidos

numericamente na apresentação dos resultados, os sobrescritos * indicam propriedades

ou parâmetros adimensionais.

Com estes grupos adimensionais pode-se reescrever as equações (3.1) até (3.7),

inicialmente em 0 X A< < ,0 Y B< < , 1i iZ Z Z− < < , para 0τ > e considerando

max1,2, ,i I= … :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

* 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,1 i i i i

i

X Y Z X Y Z X Y Z X Y

Z

Z

X Y

τ τ τθ τθ θ θα τ

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ (3.9)

no contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ > :

( ) ( )1*

1 0 1

, , ,, , , 0k Bi

Z

X Y ZX Y Z

θθ

ττ

∂− + =

∂ (3.10)

na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , iZ Z= , para 0τ > e

considerando ( )max1,2, , 1i I= −… :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1* *1

*1

, , , , , ,

, , ,, , , , ,, ,

i ii i

ii ci i i

X Y Z X Y Z

X Y Z

k kZ Z

k Bi X Y X Y Z X Y ZZ

τ τθ θ

θθ τθ

ττ

++

+

=

∂ ∂ ∂ ∂

∂ = − ∂

(3.11)

no contorno em max

1IZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > :

( )max

max max max max

* * *, ,II I I Ik Bi q X Y Bi

Z

θθ τ θ∞

∂+ = +

∂ (3.12)

onde ** * *

* *

1T T

T

T

T T T

Tθ ∞ ∞∞

∞ ∞

∞

∞

∞= =−− = −

−−

14

nos contornos 0X = , X A= e 0 Y B≤ ≤ :

( ), , ,

0i X Y Z

X

θ τ∂=

∂ (3.13)

nos contornos 0Y = , Y B= e 0 X A≤ ≤ :

( ), , ,

0i X Y Z

Y

θ τ∂=

∂ (3.14)

considerando a condição inicial para 0 X A< < ,0 Y B< < ,0 1Z< < , para 0τ = e

considerando max1,2, ,i I= …

*

**

* * *0i

TT T T

T T T Tθ θ ∞ ∞ ∞

∞ ∞

−− −

−= = = = (3.15)

3.4 Formulação Matemática particular com duas camadas

Nesta seção, particulariza-se a formulação geral dada pelas equações (3.9-3.15)

para o caso envolvendo apenas duas camadas, o qual será abordado neste estudo. O

subscrito i deixará de ser necessário para representar as diferentes camadas do material

compósito, desta maneira será reutilizado daqui para frente para representar os

autovalores na direçãoX . Para 0 X A< < ,0 Y B< < e 0τ > temos:

2 2 21 1 1 1

* 2 2 21

2 2 22 2 2 2

* 2 2 22

1

Para 0 11

X Y ZZ

X Y Z

θ θ θ θα τ

θ θ θ θα τ

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ < <∂ ∂ ∂ ∂ = + +

∂ ∂ ∂ ∂

(3.16)

Lembrando que ( )* *, ,q X Y qτ = , ( )1 1, , ,X Y Z τθ θ= e ( )2 2, , ,X Y Z τθ θ= no

contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ >

* 11 0 1 0k Bi

Z

θ θ+− ∂ =∂

(3.17)

15

na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , cZ Z= , para 0τ > :

( )[ ]

* *1 21 2

* 11 2 1,c

k kZ Z

k Bi X YZ

θ θ

θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

= − ∂

(3.18)

no contorno em max

1IZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > :

* * *22 2 2 2k Bi q Bi

Z

θ θ θ∞∂ + = +∂

(3.19)

nos contornos 0,X X A= = e0 Y B≤ ≤ :

( ) ( )1 2, , , , , ,

0X

X Y Z X Y

X

Zθ θτ τ∂ ∂=

∂=

∂ (3.20)

nos contornos 0,Y Y B= = e0 X A≤ ≤ :

( ) ( )2 1, ,

0, , , ,

Y

X Y Z X Y

Y

Zθ θτ τ∂ ∂∂

= =∂

(3.21)

para a condição inicial:

* *1 2 * * * *

*

0T T T

T T

T

T Tθ θ ∞ ∞ ∞

∞ ∞

= = = −−

− =−

(3.22)

16

CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO

Neste capítulo apresenta-se a técnica de solução do problema direto, envolvendo

a formulação do problema físico dado pelas equações (3.16-3.22). A partir deste

capítulo o subscrito i será utilizado para representar o índice dos diferentes autovalores

na direção adimensional X.

Para o problema direto, são consideradas conhecidas a geometria das placas, as

propriedades termofísicas do meio, as condições de contorno e as condições iniciais. O

objetivo do problema direto é determinar o campo de temperaturas nas placas. A

solução do problema direto é obtida aqui utilizando-se um método híbrido, aplicando-se

a Transformada Integral Generalizada (GITT) (COTTA, 1993) nas direções

longitudinais da placa (direções X e Y) e diferenças finitas na direção transversal da

placa (direção z), conforme descrito a seguir.

4.1 Aplicando GITT nas Direções Longitudinais da Placa

Definindo um par, transformada-inversa, para X e Y (ÖZIŞIK, 1993, COTTA,

1993):

( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0

, , , , , ,

, , , , , ,

A B

i j i j

X Y

i j i ji j

Z X Y Z dYdX

X Y Z Z

θ β γ τ ψ ϕ θ τ

θ τ ψ ϕ θ β γ τ

= =

∞ ∞

= =

=

=

∫ ∫

∑∑

ɶ

ɶ (4.1)

onde as autofunções normalizadas são definidas como:

, ,

jii j

i jN Nψ ϕ

ϕψψ ϕ= = (4.2)

e podem ser obtidas diretamente de (ÖZIŞIK, 1993), ou seja, solucionando os

problemas auxiliares:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2

0;0 0;0

0; 0 ; 0; 0

0; 0;

X YX X A Y Y B

X Y

X YX Y

X A Y BX Y

ψ ϕβ ψ γ ϕ

ψ ϕ

ψ ϕ

∂ ∂+ = < < + = < < ∂ ∂

∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂

(4.3)

17

ou seja:

( )

( )

00 ,0 0

,0 ,0

,

, ,

1onde para 0

cosonde para 0

2ii

i i i

i i

N AN N

X AN

N N

ψψ ψ

ψψ ψ

ψψ β

βψψ β

= = = =

= = = ≠

(4.4)

e

( )

( )

00 ,0 0

,0 ,0

,

, ,

1onde = para 0

cosonde para 0

2jj

j j j

j j

N BN N

Y BN

N N

ϕϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ γ

γϕϕ γ

= = =

= = = ≠

(4.5)

onde ( ) ( ) 2

,

0

,A

i i iN X dXψ β ψ β= ∫ e ( ) ( ) 2

, ,

0

,B

j j j jN N Y dYϕ ϕγ γ = ∫ . Os autovalores iβ

e jγ são as raízes positivas das equações transcendentais

( )00 0

sin 0 0i iA

ββ β

= = ≠

(4.6)

( )00 0

sin 0 0j jB

γγ γ

= = ≠

(4.7)

operando com 0 0

_A B

i j

X Y

dYdXψ ϕ= =∫ ∫ as equações (3.16-3.22) que governam o problema

com duas camadas, podemos reescrevê-las da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 1 2 2

1* 21

22 2 2 2

2* 22

, , , , , ,1, , ,

, , , , , ,1, , ,

i j i j

i j i j

i j i j

i j i j

Z ZZ

Z

Z ZZ

Z

θ β γ τ θ β γ τβ γ θ β γ τ

α τ

θ β γ τ θ β γ τβ γ θ β γ τ

α τ

∂ ∂= − +

∂ ∂

∂ ∂= − +

∂ ∂

ɶ ɶɶ

ɶ ɶɶ

(4.8)

no contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ > :

( ) ( )1*

1 0 1

, , ,, , , 0

i j

i j

Zk Bi Z

Z

θ β γ τθ β γ τ+

∂−

∂=

ɶɶ (4.9)

18

no contorno em 1NZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > :

( ) ( ) ( )2*

2 2 2

, , ,, , , ,

i j

i j

Zk Bi Z d i j

Z

θ β γ τθ β γ τ

∂+ =

∂

ɶɶɶ (4.10)

onde ( ) ( )* *2

0 0 0 0

, , ,A B A B

i j i j

X Y X Y

d i j q X Y dYdX Bi dYdXτ ψ ϕ θ ψ ϕ∞= = = =

= +∫ ∫ ∫ ∫ɶ e deve ser calculado

considerando que e i jψ ϕ são diferentes para ( )0 e 0i i= ≠ e ( )0 e 0j j= ≠ .

Serão considerados dois casos particulares para a função ( )* , ,q X Y τ , a primeira

delas considera que a função é constante igual a constq em todo o tempo e uniforme em

toda a superfície da placa. O segundo caso considera que esta função será constante no

tempo, dada por constq e uniforme somente nas posições entre 10 X A≤ ≤ e 10 Y B≤ ≤ ,

sendo nula fora desta região. As posições intermediárias 1A e 2B são definidas da

seguinte maneira: 10 A A< < e 10 B B< < .

Desta forma, no primeiro caso, as integrais existentes em ( ) ,d i jɶ que compõe o

sistema que soluciona ( )1 , , ,m u Zθ β γ τɶ e em ( )2 , , ,m u Zθ β γ τɶ podem ser calculadas

analiticamente para ( 0, 0)i j= = , ( 0, 0)i j= ≠ , ( 0, 0)i j≠ = e ( 0, 0)i j≠ ≠

respectivamente da seguinte forma:

( )

( )( )

( ) ( )( )

*0 0 2

0 0

*

0 0

*2

2

*

0

2

0

( , )

( , )

(

2 sin( )( )

2 sin

2sin si

,

,n

)

( )

i j const

consti j

const

i j

j

j

i

i

i j

i j

const

i j

A

d A B q B

B Bi

B

i

qd

qd

B A Bi

A

A B Bi

A

q

Bd

β γ θ

β γγ θ

γ

ββ

β

θβ γ

θβ γ

γβ γ

= = ∞

= ≠

∞≠ =

∞≠ ≠

∞ +

+

= +

=

=

=+

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

(4.11)

Similarmente, as integrais existentes em ( ) ,d i jɶ podem ser calculadas para o

segundo caso, onde as integrais podem ser calculadas analiticamente reescrevendo-as da

seguinte forma: ( ) ( )1 1

* *2

0 0 0 0

, , ,A B A B

i j i j

X Y X Y

d i j q X Y dYdX Bi dYdXτ ψ ϕ θ ψ ϕ∞= = = =

= +∫ ∫ ∫ ∫ɶ .

19

Como pode ser visto neste caso a integração é realizada apenas onde o fluxo de

calor é imposto. Assim o termo transformado ( ) ,d i jɶ para este caso é escrito como:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2*

0 0

0 0

*

0 0

*

0 0

1 1

*2 1 1

2 1 1

2 1 1

( , )

( , )

( , )

2 sin sin

2 sin sin

2 sin sin sin si, )

n(

j j

consti j

const

i j

const

i j

co

j

i i

i

i j i j

i

st

i

j

n

j

Bi AB A B

A B

ABi B A B

A B

BBi A B A

A B

Bi A B A B

qd

qd

qd

q

Bd

A

θβ γ

β γ

θβ

θ γ γ

γ

β ββ

β γ β γ

γ

ββ γ

θγ

∞

∞= =

= ≠

∞≠ =

∞≠ ≠

= +

+

+

+

=

=

=

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

(4.12)

Para a condição inicial, onde a aplicação da transformada é zero:

* *1 2 0θ θ= =ɶ ɶ (4.13)

Finalmente na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , iZ Z= , para

0τ > serão consideradas as equações:

( ) ( )

( ) ( )[ ]

1 2* *1 2

1,( , )*1 2 1

0 0

, , , , , ,

, , ,,

i j i j

A Bi j i j

i j c

X Y

Z Zk k

Z Z

Zk Bi X Y dYdX

Z

θ β γ τ θ β γ τ

θ β γ τψ ϕ θ θ

= =

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂

=

= −∫ ∫

ɶ ɶ

ɶ (4.14)

Para transformar o termo do lado direito da equação (4.14) deve-se lembrar que

1θ e 2θ podem ser escritas, usando as fórmulas da inversa (equações (4.1)) como:

( ) ( )

( ) ( )

1 10 0

2 20 0

, , , , , ,

, , , , , ,

m u m um u

m u m um u

X Y Z Z

X Y Z Z



∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

=

=

∑∑

∑∑

ɶ

ɶ (4.15)

20

Substituindo as equações (4.15) na equação (4.14) obtêm-se a equação na

interface entre as placas como:

( )1,( , )*1 2,( , ) 1,( , )

0 0

, , ,i jm u m u

m u

k A i j m uZ

θθ θ

∞ ∞

= =

∂ = − ∂ ∑∑

ɶɶ ɶ (4.16)

Onde:

( ) ( )0 0

, , , ,A B

i m j u c

X Y

A i j m u Bi X Y dYdXψ ψ ϕ ϕ= =

= ∫ ∫ (4.17)

Assim como no cálculo de dɶ , serão consideradas duas possibilidades para a

função ( ),cBi X Y , na primeira ela será considerada constante na posição e no segundo

caso (de interesse para este trabalho) ela será considerada dependente da posição em X e

Y. Para os casos onde o ( ),cBi X Y const= pode-se utilizar a propriedade de

ortogonalidade, desta forma pode-se escrever:

( )

{ {0 0

0, 0,1, 1,

, , ,A B

c i m j u

X Y

i m j ui m j u

A i j m u Bi dX dYψ ψ ϕ ϕ= =

≠ ≠= =

= ∫ ∫��

(4.18)

( ) 0 , para i m ou , , ,

, para ou c

j uA i j m u

Bi i m j u

≠ ≠= = =

(4.19)

Neste trabalho as integrais com Biot variando superficialmente, ( ),cBi X Y ,

serão obtidas realizando a integração da equação (4.17) através de métodos numéricos,

uma vez que a função ( ),cBi X Y será estimada através da solução do problema inverso

conforme descrito no capítulo 5.

Especificamente no problema direto, a integral poderia ser calculada inclusive

analiticamente, uma vez que a função ( ),cBi X Y seria conhecida. Porém optou-se por

métodos numéricos, devido ao fato de que no problema inverso esta função ( ),cBi X Y

será desconhecida e serão obtidas estimativas para a mesma em pontos discretos de uma

malha computacional em X e Y. Utilizou-se então aproximações por Cubic Splines

(CONTE e DE BOOR, 1980) para fazer o cálculo destas integrais.

21

Optou-se neste trabalho ainda por não utilizar a técnica da transformada integral

generalizada também na direção Z devido à grande dificuldade em encontrar os

autovalores associados às soluções obtidas com este método. Como existe uma variação

espacial do ( ),cBi X Y seria necessário que a técnica de contagem de sinais fosse

expandida para este caso.

Os autovalores necessitam de uma técnica específica (contagem de sinais) para

serem encontrados devido à grande complexidade das autofunções e com isto a

ocorrência de autovalores em freqüências e amplitudes com variações muito bruscas.

Exigindo que o método de detecção das raízes das autofunções seja muito refinado e

desta forma demore um tempo computacional excessivo.

Desta forma, o termo ( ), , ,i j Zθ β γ τɶ será resolvido numericamente utilizando o

método de diferenças finitas, conforme descrito a seguir.

4.2 Aplicando Diferenças Finitas na Direção Transversal da Placa

Considerando o método implícito de diferenças finitas as equações governantes

transformadas (equações 4.8) podem ser reescritas na forma para 0 X A< < ,0 Y B< < e

para a posição discretizada 0 fk K< < (ver figura 4.1) (PLETCHER e ANDERSON,

1997) para um tempo discretizado 0n> .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 11, , , 1, , , 1, , , 1 1, , , 1, , , 1 2 2 1

1, , ,* 21 1

1 1 1 12, , , 2, , , 2, , , 1 2, , , 2, , , 1 2 2 1

2, , ,* 22 2

21

21

n n n n ni j k i j k i j k i j k i j k n

i j i j k

n n n n ni j k i j k i j k i j k i j k n

i j i j k

Z

Z

θ θ θ θ θβ γ θ

α τ

θ θ θ θ θβ γ θ

α τ

+ + + +− + +

+ + + +− + +

− − += − +

∆ ∆

− − += − +

∆ ∆

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ

(4.20)

Onde o subscrito 1,0,..., , ...c c fk K K K+= , sendo cK e 1cK + as posições de interface

(como mostra a figura 4.1), e max0,1,...n N= o tempo discretizado. Foram considerados

na discretização a existência de quatro nós fictícios demonstrados na figura pela linha

pontilhada e pelo ‘ * ’. Podendo por simplicidade desprezar então o subscrito referente

ao material 1 e 2, uma vez que o nó discretizado já carrega esta informação.

22

Figura 4.1 - Discretização por diferenças finitas ao longo do eixo Z.

Reescrevendo a equação (4.20) em 0 X A< < ,0 Y B< < :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 11 1 1, , , , 1 , , , , 1

1 1 12 2 2, , , , 1 , , , , 1

para 0 1

n n n ni j k i j k i j k i j k


R S RZ

R S R

θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + +− +

+ + +− +

= − + − < <= − + −

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ (4.21)

onde *1 1 2

1

RZ

τα ∆=∆

, *2 2 2

2

RZ

τα ∆=∆

, ( )* 2 21 1 1( , ) 2 1i jS i j R α τ β γ = + ∆ + + ,

( )* 2 22 2 2( , ) 2 1i jS i j R α τ β γ = + ∆ + +

Escrevendo a equação (4.20) para o nó 0k = obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1, ,0 , , 1 , ,0 , ,1( , )n n n ni j i j i j i jR S i j Rθ θ θ θ+ + +

−= − + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.22)

onde o termo ( ) ( )*0

1 1, , 1 , ,

n ni j i j K

θ θ+ +− =ɶ ɶ é a temperatura obtida no nó fictício *

0K (Figura 4.1) obtido

a partir da discretização da condição de contorno em 0Z = , ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )*0

1 1 1 11 0, , 1 , ,0 , ,1*, ,

1

2n n n ni j i j i ji j K

Z Bi

kθ θ θ θ+ + + +

−

∆= = − +ɶ ɶ ɶ ɶ (4.23)

23

Assim reescrevendo a equação (4.21) utilizando (4.22), a equação para o nó

0k = pode ser escrita como:

( ) ( ) ( )1 11 0

1 1 1, ,0 , ,0 , ,1*1

( , ) 2 2n n ni j i j i j

Z BiS i j R R

kθ θ θ+ + ∆= + −

ɶ ɶ ɶ (4.24)

Escrevendo a equação (4.20) para o nó fk K= obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2, , , , 1 , , , , 1( , )

f f f f

n n n n

i j K i j K i j K i j KR S i j Rθ θ θ θ+ + +

− += − + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.25)

O termo ( ) ( )*

1 1, , 1 , ,c f

n ni j K i j K

θ θ+ ++ =ɶ ɶ é a temperatura obtida no nó fictício em *

fK , obtida pela

equação de contorno discretizada em 1Z = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 1 12 22* *, , 1 , , , , 1, ,

2 2

2 2,

f f ff

n n n n

i j K i j K i j Ki j K

Z Zd i j Bi

k kθ θ θ θ+ + + +

+ −

∆ ∆= = − +ɶɶ ɶ ɶ ɶ (4.26)

Podendo ser reescrita como:

( ) ( ) ( ) ( )1 12 22 2 2 2 2* *, , , , 1 , ,

2 2

2 ( , ) 2 2 ,f f f

n n n

i j K i j K i j K

Z ZR S i j R Bi R d i j

k kθ θ θ+ +

−

∆ ∆= − + + −

ɶɶ ɶ ɶ (4.27)

Para o primeiro nó de interface, pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 11 1 1, , , , 1 , , , , 1

( , )c c c c

n n n ni j K i j K i j K i j K

R S i j Rθ θ θ θ+ + +− +

= − + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.28)

O termo ( )*

1

, , 1c

n

i j Kθ +

+ɶ é obtido de uma das duas equações de contorno discretizadas,

em cZ Z= , note a utilização do nó fictício de interface *1cK + , assim pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 1 11, , 1 , , , , 1*, , 1

0 01

2, , ,

c c cc

n n n nm u K m u K i j Ki j K

m u

ZA i j m u

kθ θ θ θ

∞ ∞+ + + +

+ −+= =

∆ = − + ∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ (4.29)

24

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11

1 1 1, , , , 1 , , , , 1 , ,*0 01

2 ( , ) 2 , , ,c c c c c

n n n n ni j K i j K i j K m u K m u K

m u

ZR S i j R A i j m u

kθ θ θ θ θ

∞ ∞+ + + +

− += =

∆ = − + − − ∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (4.30)

Para o segundo nó da interface pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 12 2 2, , 1 , , 1 , , 2, ,

( , )c c cc

n n n ni j K i j K i j Ki j K

R S i j Rθ θ θ θ+ + ++ + += − + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.31)

O termo ( )*

1

, , c

n

i j Kθ +ɶ sai da manipulação algébrica das duas equações discretizadas do

contorno na interface, utilizando os nós de interface * 1cK + e *cK :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 1 12, , 1 , , , , 2*, ,

0 02

2, , ,

c c cc

n n n nm u K m u K i j Ki j K

m u

ZA i j m u

kθ θ θ θ

∞ ∞+ + + +

+ += =

∆ = − − + ∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ (4.32)

Desta forma a segunda equação discretizada na interface pode ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12

2 2 2, , 1 , , 1 , , , , 1 , , 2*0 02

2 , , , ( , ) 2c c c c c

n n n n ni j K m u K m u K i j K i j K

m u

ZR A i j m u S i j R

kθ θ θ θ θ

∞ ∞+ + + +

+ + + += =

∆ = − + − ∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (4.33)

Em resumo pode-se reescrever o problema (4.20) a (4.33) discretizado pelo

método de diferenças finitas na direção Z, como sendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 01 1 1, ,0 , ,0 , ,1*

1

1 1 11 1 1, , , , 1 , , , , 1

1 1 111 1 1, , , , 1 , , , , 1 , ,*

1

( , ) 2 2

( , )

2 ( , ) 2 , , ,c c c c

n n ni j i j i j


n n n ni j K i j K i j K m u K m u

Z BiS i j R R

k

R S i j R

ZR S i j R A i j m u

k

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

+ +

+ + +− +

+ + +− +

∆= + −

= − + −

∆= − + − −

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0

1 1 1 122 2 2, , 1 , , 1 , , , , 1 , , 2*

0 02

1 12 2 2, , , , 1 , , , , 1

2 , , , ( , ) 2

( , )

c

c c c c c

nK

m u

n n n n ni j K m u K m u K i j K i j K

m u


ZR A i j m u S i j R

k

R S i j R

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

∞ ∞+

= =

∞ ∞+ + + +

+ + + += =

+ + +− +

∆ = − + −

= − + −

∑∑

∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 12 22 2 2 2 2* *, , , , 1 , ,

2 2

2 ( , ) 2 2 ,f f f

n n n

i j K i j K i j K

Z ZR S i j R Bi R d i j

k kθ θ θ+ +

−

∆ ∆= − + + −

ɶɶ ɶ ɶ

(4.34)

25

O sistema dado pelas equações (4.34) é resolvido para cada um dos índices i,j

resultantes da transformação integral nas direções X e Y, conforme detalhado acima na

seção 4.1. Este sistema é acoplado nas condições de contorno na interface cZ Z= , que

resulta nas equações discretizadas (4.34). A solução numérica deste sistema acoplado é

discutida abaixo.

4.3 Implementação Numérica

O sistema (4.34) foi resolvido numericamente em ambiente de programação

FORTRAN. Para isto, foi utilizado o método de Gauss-Seidel com SOR (successive

over relaxation), que é uma técnica utilizada comumente para acelerar a convergênca de

métodos iterativos de ponto fixo como o Gauss Seidel.(CONTE e DE BOOR, 1980).

Uma vez que o sistema esta discretizado e os nós de interface são ck K= e 1ck K= + ,

pode-se reescrever o sistema de equações (4.35) da seguinte forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 01 1 1, ,0 , ,0 , ,1 *

1

1 1 11 1 1, , , , , , 1 , , 1

1 1 111 1, , , , , , 1 , , 1 , ,*

1

2 ( , ) 2

( , )

2 2 , , ,c c c c

n n ni j i j i j


n n n ni j K i j K i j K m u K m u K

Z BiR S i j R

k

R R S i j

ZR R A i j m u

k

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

+ +

+ + +− +

+ + +− +

∆ = + +

= + +

∆= + + −

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

0 0

1 1 1 122 2 2, , 1 , , 1 , , 1 , , , , 2*

0 02

1 12 2, , , , , , 1 , ,

( , )

2 , , , 2 ( , )

c

c c c c c

n

m u

n n n n ni j K i j K m u K m u K i j K

m u

n n ni j k i j k i j k i j k

S i j

ZR A i j m u R S i j

k

R R

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

∞ ∞+

= =

∞ ∞+ + + +

+ + + += =

+ +− +

∆ = − − +

= + +

∑∑

∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ( )

( ) ( ) ( ) ( )

121

1 1 2 22 2 2 2 2* *, , , , , , 1

2 2

( , )

2 2 , ( , ) 2f f f

n

n n n

i j K i j K i j K

S i j

Z ZR R d i j S i j R Bi

k kθ θ θ

+

+ +−

∆ ∆ = + + +

ɶɶ ɶ ɶ

(4.35)

Existem, portanto, dois nós de interface referentes às duas temperaturas

existentes no mesmo ponto, na posição cZ Z= , um para o material 1 e outro para 2

respectivamente.

Como pode ser observado, para a solução do problema é necessário que se saiba

a priori os valores de ( ) ( )1 1, , 1 , , e

c c

n nm u K m u Kθ θ+ +

+ɶ ɶ . Então a forma definida neste trabalho para

conseguir calcular as temperaturas a cada tempo foi considerando um método iterativo.

26

Assim obtêm-se ( ) ( )1 1

, , 1 , , e c c

n ni j K i j Kθ θ+ +

+ɶ ɶ ao final do processo iterativo do método de Gauss-

Seidel com SOR (CONTE e DE BOOR, 1980).

A solução final do problema é encontrada ao substituir os resultados obtidos

pelo método de diferenças finitas na fórmula da inversa, obtendo desta forma:

( ) ( )0 0

, , , , , ,i j i ji j

X Y Z Zθ τ ψ ϕ θ β γ τ∞ ∞

= =

=∑∑ ɶ (4.36)

Estes somatórios serão truncados num valor onde os resultados obtidos já

tenham convergido para uma solução estável, conforme será discutido no capítulo de

resultados.

4.4 Reordenando os autovalores

Visando aumentar a velocidade de convergência das séries representadas, nas

equação(4.1), diminuindo o tempo de CPU, utilizou-se ainda a técnica de

reordenamento dos autovalores obtidos nas equações (4.6) e (4.7) (CORREA, et

al.,1997). Assim, cada somatório duplo pode ser reescrito como um somatório simples,

desta forma, aplicando o reordenamento no sistema de equações (4.35):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 01 1 1,0 ,0 ,1 *

1

1 1 11 1 1, , , 1 , 1

1 1 1 111 1, , , 1 , 1 ,*

01

2 ( ) 2

( )

2 2 ,c c c c c

n n nij ij ij

n n n nij k ij k ij k ij k

n n n n nij K ij K ij K mu K mu K

mu

Z BiR S ij R

k

R R S ij

ZR R A ij mu

k

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

+ +

+ + +− +

∞+ + + +

− +=

∆ = + +

= + +

∆ = + + −

∑

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1 122 2 2, 1 , 1 , 1 , , 2*

02

1 1 12 2 2, , , 1 , 1

12, ,

( )

2 , 2 ( )

( )

2

c c c c c

f f

n n n n nij K ij K mu K mu K ij K

mu

n n n nij k ij k ij k ij k

n n

ij K ij K

S ij

ZR A ij mu R S ij

k

R R S ij

R

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

∞+ + + +

+ + + +=

+ + +− +

+

∆ = − − +

= + +

= +

∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ( ) ( )1 2 2

2 2 2 2* *, 12 2

2 ( ) 2f

n

ij K

Z ZR d ij S ij R Bi

k kθ +

−

∆ ∆ + +

ɶɶ

(4.37)

27

onde: ( )*1 1 1( ) 2 1iS ij R α τ λ = + ∆ + e ( )*

2 2 2( ) 2 1iS ij R α τ λ = + ∆ + , 2 2ij i jλ β γ= + , os

subscritos i e j que representavam os índices dos autovalores nas direções X e Y,

passaram a ser representados por um único subscrito ij que representa o índice dos

autovalores reordenados em ijλ .

Utilizando esta técnica são utilizados os autovalores mais relevantes na obtenção

do resultado final (CORREA, et al., 1997). O resultado final pode ser escrito na forma:

( ) ( )0

, , , ( ) , ,ijij

X Y Z ij Zθ τ ψϕ θ λ τ∞

=

=∑ ɶ (4.38)

onde ( ) i jijψϕ ψ ϕ= e são obtidos conforme explicado no item 4.1.

Este somatório será truncado quando os valores obtidos para 510ijte

λ− −< ,

considerando então o somatório reescrito da seguinte maneira:

( ) ( )0

, , , ( ) , ,IJF

ijij

X Y Z ij Zθ τ ψϕ θ λ τ=

=∑ ɶ (4.39)

Onde IJF será o número máximo de termos da série.

28

CAPÍTULO 5 - PROBLEMA INVERSO

5.1 Formulação do problema inverso

No problema inverso, devido à complexidade do problema direto e ao objetivo

principal deste trabalho de analisar e qualificar falhas em compósitos laminados, optou-

se inicialmente em estimar apenas o coeficiente de troca térmica no contato entre as

placas, ( ),ch x y .

Assumiu-se que as propriedades de cada material que compõe este compósito

são conhecidas deterministicamente, assim como o fluxo de calor imposto, as

temperaturas *T∞ e T∞ , os coeficientes de troca térmica 0h e Nh e as dimensões da placa

a , b , e c . A estimativa destes parâmetros também pode ser considerada na solução do

problema inverso em trabalhos futuros, (até mesmo levando-se em conta incertezas nos

valores julgados conhecidos a priori para os mesmos, através de uma abordagem que se

baseie em inferência Bayesiana). Considerou-se então que são tomadas medidas de

temperatura na superfície do compósito laminado, onde é imposto o fluxo de calor.

Considera-se que cada região reticulada, mostrada na figura 5.1, constituirá uma

região cuja temperatura pode ser obtida através de uma câmera de termografia por

infravermelho, onde estes reticulados constituirão os pixels da câmera. Desta forma

pode-se formar uma matriz de temperaturas experimentais ( ), ,meas X Y tT i j n , assumindo

que estas temperaturas serão tomadas a cada intervalo de tempo t∆ e que haverá um

número máximo de medidas medN com o tempo.

Figura 5.1 - Representação esquemática da obtenção de medidas experimentais.

29

Como pode ser observado na representação esquemática da figura 5.1, o número

de medidas na superfície dependerá da resolução da câmera termográfica, considera-se

que iX, jY, neste capítulo serão respectivamente as posições discretizadas dos sensores na

direção x e y e que o número máximo de sensores em cada direção serão gradxe

grady.

Os parâmetros adimensionais estimados neste problema serão ( ),c X YBi i j , nas

posições discretizadas iX, jY . Destaca-se aqui, uma grande dificuldade deste problema

que implica em que este termo não transformável deverá ser integrado na solução do

problema direto por GITT. Nas soluções utilizadas no problema inverso, estes valores

pontuais do ( ),c X YBi i j serão integrados numericamente utilizando cubic splines

(CONTE e DE BOOR, 1980) através das sub-rotinas IMSL (COMPAC, 1997).

5.2 Solução do Problema Inverso

O problema inverso em estudo foi resolvido utilizando-se inferência Bayesiana,

através do algoritmo de Metropolis-Hastings, que é uma implementação do Método de

Monte Carlo baseados em Cadeias de Markov (MCMC - Markov Chain Monte Carlo)

(KAIPIO e SOMERSALO, 2004)

Um estimador Bayesiano está basicamente preocupado em analisar a densidade

de probabilidade a posteriori. Esta consiste na probabilidade condicional dos

parâmetros, dadas as medidas realizadas, enquanto a verossimilhança é a probabilidade

condicional das medidas experimentais, dados os parâmetros (KAIPIO e

SOMERSALO, 2004, TAN, et al., 2006).

Nas técnicas estatísticas Bayesianas, tenta-se utilizar toda a informação

disponível a priori a fim reduzir a incerteza atual em um problema. Ou seja, quando a

informação nova é obtida, ela é combinada com toda a informação precedente, dando a

base para procedimentos estatísticos. O mecanismo formal usado para combinar a

informação nova com a informação previamente disponível é conhecido como o

teorema de Bayes (WINKLER, 2003, KAIPIO e SOMERSALO, 2004, TAN, et al.,

2006):

( ) ( )

( ) ( )( )

prioriposteriori

π ππ π

π= =

P Y PP P Y

Y (4.40)

30

onde:

( )posterioriπ P = densidade de probabilidade a posteriori;

( )prioriπ P = densidade de probabilidade a priori;

( )|π Y P = verossimilhança;

( )π Y = densidade de probabilidade das medidas;

Desta forma, considera-se que a matriz de parâmetros encontrada na formulação

matemática do problema inverso, seja escrita como:

( )1,1 1,2 1,

2,1 2,

,1 ,2 ,

,

J

JX Y

I I I J

Bi Bi Bi

Bi BiBi i j

Bi Bi Bi

≡ ≡

P

⋯

⋱

⋮ ⋮

⋯

(5.1)

e considera-se ainda que ( ), ,meas X Y tT i j n=Y , contendo as temperaturas medidas nos

pontos iX e jY da superfície até o tempo final do experimento.

Assumindo que o erro relacionado com as medidas é aditivo e com distribuição

gaussiana, com média e desvio padrão conhecidos e independentes dos parâmetros P, a

verossimilhança pode ser expressa como (KAIPIO e SOMERSALO, 2004):

1/2/2 1 1

( ) (2 ) exp ( ) ( )2

medN Tπ π−− − = −

Y P W Y - T W Y - T (5.2)

ondeW é a inversa da matriz de covariância dos erros de medição. Para medidas não

correlacionadas, esta matriz é dada por:

21

22

2

1/ 0

1/

0 1/medN

σσ

σ

=

W⋱

(5.3)

onde σ é o desvio padrão das medidas.

31

Considerou-se neste trabalho dois casos para a informação a priori, no primeiro a

informação a priori era informativa gaussiana, no segundo a informação a priori era

considerada com distribuição não-informativa uniforme. Em ambos os casos

considerou-se ainda que fisicamente ( ), 0cBi X Y > .

No primeiro caso tem-se:

1/2/2 11( ) (2 ) exp ( ) ( )

2medN Tπ π −− − = −

P V P -µ V P - µ (5.4)

onde µ e V são respectivamente a média e a matriz de covariância de Pcomposta pelo

desvio padrão ( ),Bi X Yi jσ , que também será considerado constante.

Utilizando a informação a priori Uniforme, no segundo caso, será considerado

um intervalo onde todos os valores de ( ),cBi X Y são equiprováveis. O limite inferior

deste intervalo é tomado como sendo zero, já que fisicamente tem-se ( ), 0cBi X Y > . O

limite superior deste intervalo (VC) é tomado como um valor suficientemente grande de

( ),cBi X Y que caracterize numericamente um contato perfeito. A probabilidade da

ocorrência de ( ),cBi X Y fora deste intervalo é nula.

5.3 O Algoritmo Metropolis-Hastings

Embora o uso de algumas distribuições a priori resultem em distribuições a

posteriori analíticas, permitindo assim que estimadores baseados em técnicas de

minimização possam ser usados, como no uso da função objetivo maximum a

posteriori, casos gerais requerem integrações de funções randômicas. Nestes casos, é

interessante gerar amostras da distribuição a posteriori de modo que inferência sobre a

distribuição seja obtida através de inferência sobre tais amostras.

O Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov é então usado com o

objetivo de se gerar as amostras da distribuição (KAIPIO e SOMERSALO, 2004, TAN,

et al., 2006). Como foi dito anteriormente utilizou-se o algoritmo Metropolis-Hastings

para implementação do Método de Monte Carlo com Cadeia de Markov.

32

Tal algoritmo se baseia na escolha de uma função de distribuição ( )( )1* , tp −P P

que será utilizada para gerar um novo ponto candidato *P a partir do estado atual ( )1t−P

da cadeia de Markov.

O algoritmo de Metropolis-Hastings pode ser resumido nos seguintes passos

(TAN, et al., 2006, KAIPIO e SOMERSALO, 2004):

1. Gere um ponto candidato *P a partir da distribuição ( )( )1* , tp −P P ;

2. Calcule o fator de aceitação:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )1* *

1 1 *

| ,min 1,

| ,

t

t t

p

p

πα

π

−

− −

=

P Y P P

P Y P P (5.5)

3. Gere um valor ( )0,1U U∼ .

4. Se U α≤ , faça ( ) *t =P P , caso contrário faça ( ) ( )1t t−=P P .

5. Retorne ao passo 1 e gere a seqüência ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nP P P… .

Observa-se que para uma distribuição simétrica para ( )( )1* , tp −P P , como por

exemplo o modelo de random-walk cujos incrementos são obtidos de uma distribuição

normal, pode-se reduzir a equação (5.5) a:

( ) ( )( )1* *| ,

min 1,

tpπα

−

=P Y P P

( )( ) ( )( )1 1 *| ,t tpπ − −P Y P P

( )( )( )

*

1

|min 1,

|t

π

π −

=

P Y

P Y (5.6)

Assim, a razão de Hastings torna-se:

( )

( )( ) ( ) ( )

* * *

1 11

| ( ) ( )

( ) ( )|

priori

t ttpriori

π π π

π ππ − −−=

P Y P Y P

P Y PP Y (5.7)

33

Utilizando a informação a priori Gaussiana, pode-se escrever:

a verossimilhança como:

( ) ( ) 2

21 1 1

, , , ,1( ) exp

2

med

X Y t

Ngradx gradymeas t t

i j n

T i j n T i j nπ

σ= = =

= −

∑ ∑ ∑-

Y P (5.8)

e a informação a priori, Gaussiana como:

( ) ( ) 2

21 1

, ,1( ) exp

2X Y

gradx gradyX Y X Y

i j Bi

Bi i j i jµπ

σ= =

= −

∑ ∑-

P (5.9)

34

CAPÍTULO 6 - RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste trabalho são apresentados os resultados obtidos para o problema direto de

transferência de calor e para o problema inverso. Inicialmente foi feita a verificação da

solução do problema direto através de diversos testes, cujas soluções são encontradas

detalhadamente na literatura (ÖZIŞIK, 1993). Em seguida foram solucionados alguns

casos do problema inverso, utilizando-se medidas simuladas de temperatura, e

envolvendo diferentes formas funcionais da função ( ),cBi X Y .

Em todos os casos estudados abaixo, considerou-se as mesmas dimensões do

material compósito, onde os materiais 1 e 2 têm respectivamente espessuras 1matc e

2matc , onde o material 2 é aquele cuja superfície perpendicular ao eixo z está exposta ao

fluxo de calor ( ), ,q x y t na posição z = c (ver figura 6.1).

Figura 6.1 - Esquema do problema geral.

As dimensões do material compósito estão descritas na tabela 6.1, enquanto na

tabela 6.2 são apresentadas as temperaturas dos meios inferior e superior que trocam

calor por convecção com a placa, assim como a sua temperatura inicial.

Tabela 6.1 - Dimensões do material compósito

a [ ]m b [ ]m c [ ]m [ ]1matc m [ ]

2matc m [ ]cz m

0.10 0.10 0.010 0.005 0.005 10.005matc c− =

35

Tabela 6.2 - Temperatura dos meios externos e temperatura inicial da placa

*T oC T∞oC *T∞

oC

25.0 25.0 30.0

Nos diversos resultados obtidos nesta seção, foram utilizados combinações dos

seguintes materiais para formar o compósito laminado: nylon 6-6, titânio, latão, fibra de

grafite e poliestireno expandido (Isopor). As propriedades destes materiais estão

dispostas na tabela 6.3 (INCROPERA e DE WITT, 2003, CALLISTER e WILLIAM,

2002). Os valores de referência para os problemas adimensionais serão sempre as

propriedades do material constituinte do compósito laminado que for pior condutor

térmico.

Tabela 6.3 - Propriedades Termofísicas dos Materiais utilizados

Material Wk mK

2610 msα ⋅

poliestireno expandido (isopor) 0.027 0.40

nylon 6,6 0.240 1.26

Latão (70% Cu,45% Zn) 110.000 33.90

titânio 21.900 9.32

fibra de grafite (25% volume) em epóxi 0.870 0.66

6.1 Verificação da Solução do Problema Direto

Foram resolvidos casos particulares do problema geral onde a solução

puramente analítica pode ser obtida na literatura (ÖZIŞIK, 1993), para então comparar

com os resultados obtidos (resultados analíticos) com a solução geral proposta neste

trabalho (resultados numéricos). Por questão de simplicidade optou-se por comparar os

resultados obtidos na forma dimensional, evitando assim que a formulação de cada um

dos testes fosse adimensionalizada.

Os primeiros quatro testes (um em regime permanente e três em regime

transiente) foram realizados considerando que o fluxo de calor e o coeficiente de troca

térmica no contato fossem uniformes na superfície perpendicular ao eixo z. Em todos os

testes de verificação do problema direto, foram considerados uma malha com 20 nós em

36

Z e um número máximo de termos na série de 150IJF = . Entretanto, como neste

trabalho o tempo de CPU tem grande importância, para a solução do problema inverso

utilizou-se uma malha com apenas 6 nós, uma vez os resultados obtidos com 6 ou 20

nós na posição z c= , onde serão tomadas as medidas de temperatura, estão

suficientemente próximos dos resultados analíticos. Lembrando que existem dois nós na

região de interface. Os casos teste usados na verificação foram os seguintes:

1. O primeiro teste consistiu na solução de um problema de transferência de

calor unidimensional na direção z, em regime permanente, numa placa

composta por dois materiais iguais, considerando a existência de um

coeficiente de troca térmica de contato. Este teste permitiu primeiramente

avaliar as soluções obtidas quando o problema geral atinge o regime

permanente e avaliar a influência do coeficiente de troca térmica no contato

nas temperaturas medidas na posição z = zc.

2. O segundo teste, primeiro de uma série de 4 testes em regime transiente,

consistiu na solução de um problema unidimensional de transferência de

calor numa placa, cuja espessura representa a espessura de apenas uma das

placas no problema geral. Num dos contornos deste problema teste

considerou-se isolamento térmico perfeito, desta forma simulou-se o mesmo

efeito obtido numa região do problema geral onde o coeficiente de troca

térmica no contato fosse muito pequeno. Assim, comparou-se o resultado do

problema teste com o resultado obtido numa das placas do problema geral.

3. O segundo teste em regime transiente, consistiu na solução de um problema

unidimensional de transferência de calor numa placa, cuja espessura

representa a espessura de apenas uma das placas no problema geral. Neste

caso, no contorno z c= deste problema teste, considerou-se que a

temperatura nesta posição fosse conhecida e igual à temperatura T∞ . Desta

forma, simulou-se o mesmo efeito obtido numa região do problema geral

onde o coeficiente de troca térmica no contato fosse muito grande e que o

material 1, exposto a temperatura T∞ tivesse uma alta condutividade térmica.

Assim, comparou-se o resultado do problema teste com o resultado obtido

numa das placas do problema geral.

37

4. O terceiro teste em regime transiente, consistiu na solução de um problema

unidimensional de transferência de calor numa placa, cuja espessura

representa a soma das espessuras das duas placas que formam o material

compósito do problema geral. Neste caso, considerando que o compósito no

problema geral fosse composto por duas placas de um mesmo material,

pode-se comparar os resultados obtidos para um coeficiente de troca térmica

muito grande no problema geral, com os resultados obtidos quando o contato

térmico é perfeito.

5. O quarto teste em regime transiente consistiu num problema de transferência

de calor tridimensional exposto a um fluxo de calor dependente da posição

z c= , na superfície perpendicular ao eixo z. Considerou-se um problema

composto por apenas um material com espessura igual à soma da espessura

dos dois materiais no problema geral, onde considerou-se um coeficiente de

contato térmico muito alto com os dois materiais que formam o compósito

laminado iguais.

6.1.1 Problema teste em regime permanente – análise na direção z

Comparou-se primeiramente as temperaturas obtidas pelo programa geral

considerando no mesmo que o fluxo de calor imposto e que o coeficiente de troca

térmica no contato eram constantes em toda a superfície perpendicular ao eixo z do

compósito laminado. Desta forma, as temperaturas obtidas deverão ser as mesmas em

cada ponto x, y do problema geral e mudará apenas em cada nó da malha computacional

na direção z, caracterizando um problema que pode ser considerado unidimensional na

direção z.

Assim, o primeiro problema proposto consistirá num problema unidimensional

nesta direção, em regime permanente, num meio composto por duas camadas, com

propriedades térmicas constantes em cada material que compõe o compósito laminado

que será formado por duas placas de um mesmo material, o nylon 6-6, cujas

propriedades termofísicas estão na tabela 6.3. Os parâmetros de entrada utilizados na

solução deste problema estão na tabela 6.4.

38

Tabela 6.4 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente.

20Wh

m K

22Wh

m K

2constWq

m

100 100 1000

Este problema teste pode ser representado conforme a na figura 6.2:

Figura 6.2 - Representação esquemática do teste 1, em regime permanente.

e pode ser formulado da seguinte maneira:

( )

( )

21

2

22

2

0; Para 0

0; Para

c

c

d T zz z

dz

d T zz z c

dz

= < <

= < < (6.1)

sujeito as condições de contorno e interface:

( ) ( ) 0

11 0 1 em 0dT z

h T zd

Tz

k h z∞+− = = (6.2)

( ) ( )

( ) ( ) ( )2

1 2

1

1 2

11

em

c

c

dT z dT z

dz dzdT z

h T z T z

kz

d

kz

kz

= =

− =

(6.3)

( ) ( )2

2 2 2 2* em constk h T

dT zh T z

dzq z c∞+ = + = (6.4)

Considerando as dimensões da placa (tabela 6.1), as temperaturas impostas

(tabela 6.2), as propriedades do nylon 6-6 e os parâmetros de entrada (tabela 6.4), a

solução desde problema, pode ser escrita como:

39

( )

( )

1

2

172.8 72000

1152 71.04 1152 71.04

892.8

25

72000

1152 71.04 1152 71.04 40

c c

c c

c c

c c

h hT z z

h h

h hT z

hz

h

= ++ +

+=

+

−+ +

(6.5)

Espera-se verificar neste teste se a solução obtida para o problema geral atingirá

em regime permanente o mesmo valor obtido para o problema equivalente analítico e

ainda confirmar a influência de hc na solução. Espera-se que quando o valor de hc for

suficientemente grande, seja caracterizada a não existência de falha no contato e assim

as temperaturas no ponto de interface cz sejam 1 2T T≃ , representando contato perfeito.

Por outro lado, quando o valor de hc for pequeno, tendendo a zero, existirá uma

descontinuidade da temperatura na interface.

No gráfico da figura 6.3, estão dispostos os resultados obtidos quando

21000cWh

m K =

. Como se esperava, 1 2T T≃ e as temperaturas obtidas numericamente

estão muito próximas daquelas obtidas com a solução analítica.

Figura 6.3 - Gráfico de temperatura versus posição para um valor dech alto, em regime permanente.

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, z [m]

Material 1:Nylon e Material 2:Nylon tempo t=100s

numericoanalitico

40

Na tabela 6.5 pode-se observar que os erros entre os resultados analíticos e

numéricos são muito pequenos, nesta tabela comparou-se os resultados obtidos no

regime permanente para algumas diferentes posições discretizadas na direção Z, como

foi demonstrado no esquema da figura 4.1, optou-se por analisar as posições

discretizadas uma vez que pretende-se avaliar a descontinuidade entre as duas

temperaturas medidas na mesma posição de interface, onde uma se refere ao material 1

e a outra ao material 2.

Tabela 6.5 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito alto, em regime permanente.

tempo (s) Resultado Numérico, T (ºC) Resultado Analítico, T (ºC) Erro absoluto

k = 0 27.3936170213 27.4669134466 0.0732964253

k = kc 32.1178611422 32.3879269390 0.2700657968

k = kc+1 32.6196808511 32.6346627844 0.0149819333

k = kf 37.3439249720 37.3585260804 0.0390990194

Como também era previsto, as temperaturas obtidas numericamente foram iguais

em toda a superfície, como pode ser comprovado na figura 6.4, que apresenta as

temperaturas nas posições z = c e z = 0. Pode-se ainda perceber que o número de termos

na série foi suficiente para a convergência da mesma, uma vez que não são observadas

oscilações característica na falta de termos em resultados obtidos através de expansão

em séries trigonométricas, como as utilizadas no problema direto na técnica GITT.

Figura 6.4 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 100s.


z=cz=0

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

x [m]

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

y [m]

26 28 30 32 34 36 38 40 42

T(x,y,z,t) [ºC]

41

Assumindo agora que o 20.0001cWh

m K =

obteve-se os resultados

apresentados na Figura 6.5 e na tabela 6.6.

Tabela 6.6 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime permanente.

tempo (s) Resultado Numérico, T (ºC) Resultado Analítico, T (ºC) Erro absoluto

k = 0 25.0000149999 25.0000144106 0.0000005893

k = kc 25.0000446050 25.0000432909 0.0000013141

k = kc+1 39.9999537503 39.9168935743 0.0830601760

k = kf 39.9999833554 39.9603782706 0.0396050848

Figura 6.5 - Gráfico de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime permanente.

Neste caso os resultados obtidos numericamente também foram verificados com

êxito, através da comparação com os resultados analíticos. As temperaturas de interface

são descontínuas, significando que neste ponto existe uma falha no material, conforme

já era esperado.

O Gráfico da Figura 6.6, demonstra que à medida que o ch →∞ a distribuição de

temperaturas, de fato, tende àquela de contato térmico perfeito. Nota-se que os valores

obtidos para o modelo com duas camadas de mesmo material quando ch →∞ se

aproximam aos obtidos pelo modelo envolvendo um único material. Este fato confirma

o funcionamento do programa, no regime permanente.

24

26

28

30

32

34

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38

40

42

44

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, z [m]


numericoanalitico

42

Figura 6.6 - Gráfico demonstrando a diminuição da descontinuidade do valor das temperaturas na

interface à medida que o ch →∞ .

6.1.1.1 Análise de convergência do problema teste 1, em regime permanente

Utilizando a resposta analítica em regime estacionário pode-se realizar a análise

de convergência da série do problema geral. Observou-se que o número mínimo de

termos para a convergência da série aumenta na medida em que são utilizadas malhas

computacionais em z mais refinadas. Desta forma, fixou-se uma malha computacional

em z com 20 nós. Na tabela 6.7 é apresentada uma tabela de convergência para a série

que resolve o problema direto, da equação (4.41), para o tempo final onde o regime

transiente é atingido, 100t s= e para a posição onde o fluxo de calor é imposto.

Foram consideradas algumas diferentes posições em x e y para demonstrar que

os valores são iguais, como era previsto teoricamente (ÖZIŞIK, 1993) e diferentes

números máximos ná série, lembrando que existe um critério de convergência da série

quando 510ijte

λ− −< . Como pode ser visto na tabela 6.7 a convergência da série acontece

rapidamente, o que não ocorre nos casos com variação espacial do Biot de contato ou do

termo fonte.

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T

[ºC

]

Posição, z [m]


hc = 0.0001 [w/m^2K]hc = 300 [w/m^2K]hc = 1000 [w/m^2K]

analitico com 1 material

43

Tabela 6.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime permanente.

Número máximo de termos

100 temperatura em regime permanenteft s= = x = 0.0 mm y = 0.0 mm

x = 50 mm y = 50 mm

x = 100 mm y = 100 mm

IJF = 1 37.358785923901 37.358785923901 37.358785923901

IJF = 50 37.358785917148 37.358785917148 37.358785917148

IJF = 100 37.358785917147 37.358785917147 37.358785917147

IJF = 150 37.358526080480 37.358526080480 37.358526080480

IJF = 200 37.358520488649 37.358520488649 37.358520488649

Solução analítica 37.343924972000 37.343924972000 37.343924972000

6.1.2 Problema teste 1 em regime transiente

No regime transiente foram realizados quatro testes visando validar a solução

numérica proposta, buscou-se diferentes casos onde pudessem ser testadas as diversas

possibilidades existentes de valores para as regiões de contorno e interface.

O primeiro desta série de testes em regime transiente teve por objetivo avaliar a

influência do coeficiente de troca térmica no contato entre as placas de material

compósito, quando este é muito baixo e reproduz um isolamento térmico entre as

placas.

Considerou-se neste caso que o coeficiente de troca térmica no contato entre as

placas fosse constante assim como o fluxo de calor, no tempo e em toda a superfície do

material perpendicular ao eixo z, tornando o problema unidimensional na direção z.

Considera-se que a posição 1matz c= no problema geral corresponde à posição 0z = no

problema teste. A espessura total no problema geral corresponde à 1 2mat matc c c= + . No

problema teste, como se considerou que existe um isolamento térmico e só existe

condução a partir do material 2, a espessura total considerada é de 2matc c= . O problema

teste pode ser entendido através da representação esquemática da figura 6.7. Do lado

esquerdo da figura pode ser visualizado o efeito de um coeficiente de troca térmica no

contato muito baixo, através das linhas pontilhadas representando um isolamento

fictício na interface entre as placas.

44

Figura 6.7 - Representação esquemática do primeiro teste em regime transiente.

Este problema teste pode ser formulado, utilizando a equação do calor, da

seguinte maneira (ÖZIŞIK, 1993):

( ) ( )

2

2

22

1, 0 e 0

, ,mat

T Tz c t

t

z t z t

zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.6)

sujeito as condições de contorno:

( )

0, ,

0 e 0T

zz

tt

z∂= = >

∂ (6.7)

( ) ( )( )

2

*2 2

,, , e 0const mat

Tk h T T q z c

z

zz t t

t∞

∂+ − = = >

∂ (6.8)

e sujeito a condição inicial:

2

, 0 e 0ini matT T z c t= ≤ ≤ = (6.9)

Para que este problema tenha suas condições de contorno homogeneizadas e

uma convergência mais rápida, é proposto um filtro que permita homogeneizar as

condições de contorno. Este filtro consiste na solução do problema em regime

permanente associado ao problema geral. Desta forma a solução final poderá ser escrita

como:

45

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.10)

onde ( )F z corresponde a solução em regime estacionário do problema teste completo,

corresponde a um filtro e ( ),fT z t corresponde ao problema filtrado homogêneo que foi

solucionado através da técnica CITT (ÖZIŞIK, 1993).

A solução para o filtro, ( )F z , considerando as dimensões da placa (tabela 6.1),

as temperaturas impostas (tabela 6.2), as propriedades do nylon 6-6 e os parâmetros de

entrada (tabela 6.4), a solução desde problema, pode ser escrita como: vide Apêndice B,

( ) *F z T∞= (6.11)

A solução do problema homogêneo, resolvido através da técnica CITT e cuja

solução também esta detalhada no Apêndice B, é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 222

'2'

,1 20

' ,, , '

m

m

ttm matt

f m f inim m

m

q t Z ceT z t Z z T e dt

N k

α βα β

α ββ

ββ

−∞

=

= +

∑ ∫ (6.12)

onde ( ) ( )( ) ( )2

,

0

,matc

f ini i im n mT T F z Z z dzββ = −∫ .

De (ÖZIŞIK, 1993) temos que:

( ) ( ), cosm mZ z zβ β= (6.13)

( ) ( )2

2 22 2

22 2 22 2

12 ,m

m mat m

H hH

N kc H H

ββ β

+ = =

+ +

(6.14)

Os autovalores mβ são as raízes positivas das equações transcendentais:

( )2 2tanm m matc Hβ β = (6.15)

46

Para que no problema geral fossem reproduzidos os mesmos efeitos do problema

teste considerou-se o nylon 6-6 como material 2 e poliestireno expandido (isopor) como

material 1, cujas propriedades encontram-se na tabela 6.3. Considerou-se ainda um

coeficiente de troca térmica no contato pequeno, ( ) 2, 0.0001cWh x y

m K =

a fim de

simular a condição de isolamento térmico do caso-teste. Os outros parâmetros de

entrada para o problema estão na tabela 6.8.

Tabela 6.8 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente

20Wh

m K

22Wh

m K

2constWq

m

100 100 1000

No problema teste considerou-se os mesmos parâmetros de entrada do problema

geral, entretanto este problema teste reproduz os efeitos no problema geral entre

1 2mat matc z c≤ ≤ . Assim, terão como entrada espessura 2matc ,coeficiente de troca térmica

na posição 2matz c= igual a 2h e fluxo de calor exposto nesta posição igual aconstq .

Na figura 6.8 os resultados analíticos obtidos com a solução deste problema teste

são comparados com a solução do problema direto geral, para a posição z = c no

problema geral e para a posição 2matz c= no problema teste.


24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tem

pera

tura

, T [º

C]

tempo, t [s]

Material 1:Isopor e Material 2:Nylon na posição z=c, x=0 e y=0

numericoanalitico

47

Como pode ser visto no gráfico o resultado obtido permite a verificação da

solução do programa numérico para este caso teste, graficamente pode ser notado que o

erro existente é mínimo, entretanto, na tabela 6.9 pode ser visto o percentual de erros

relativos para a posição onde o fluxo de calor é imposto, � , para alguns diferentes

tempos. Os resultados analíticos foram obtidos através da plataforma Mathematica,

foram utilizados 300 termos na série, para a convergência do problema teste.

Tabela 6.9 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 1, em regime transiente.

tempo (s) Resultado Numérico, T (ºC) Resultado Analítico, T (ºC) Erro Relativo (%)

0 25.0000000000000 25.0033801856525 0.0135207426

20 37.1263972908883 36.9446758856235 0.4894668444

40 39.0033921061276 38.8842608389344 0.3054382216

60 39.7417467789071 39.5898215462890 0.3822812154

80 39.9341629036358 39.8464864619481 0.2195524717

100 39.9832076681462 39.9370859779711 0.1153526514

Na figura 6.9 pode ser visto que, como previsto, um valor baixo no coeficiente

de troca térmica no contato pode ser modelado como um isolamento térmico neste

ponto. A figura 6.10 mostra que a temperatura em toda a superfície é uniforme.

Figura 6.9 - Posição z versus temperatura para o teste 1, em regime transiente.

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, z [m]

Material 1:Isopor e Material 2:Nylon tempo t=100s

numericoanalitico

48

Figura 6.10 - Distribuição de temperatura na superfície, para o teste 1 em regime transiente.

6.1.2.1 Análise de convergência do problema teste 1, em regime transiente

Utilizando a resposta analítica em regime transiente pode-se realizar também a

análise de convergência da série do problema geral. Manteve-se fixa uma malha

computacional em � com 20 nós. Na tabela 6.10 é apresentada uma tabela de

convergência para a série que resolve o problema direto, para diferentes tempos e para

três posições fixas na superfície � onde o fluxo de calor é imposto.

Como pode ser visto na tabela 6.10 a convergência da série acontece

rapidamente da mesma forma que no caso anterior, esta análise de convergência é

análoga a todos os testes em regime transiente com fluxo de calor uniforme na

superfície superior, portanto, será realizada apenas neste item.



10ft s= x = 0.0 mm y = 0.0 mm

x = 50 mm y = 50 mm

x = 100 mm y = 100 mm

IJF = 1 35.0967808277327 35.0967808277327 35.0967808277327

IJF = 50 35.2018358349316 35.2018358349316 35.2018358349316

IJF = 100 35.2018398608054 35.2018398608054 35.2018398608054

IJF = 150 35.0197595864268 35.0197595864268 35.0197595864268


Material 1:Isopor e Material 2:Nylon tempo t=100s

z=cz=0

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

x [m]

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

y [m]

26 28 30 32 34 36 38 40 42

T(x,y,z,t) [ºC]

49


20ft s= x = 0.0 mm y = 0.0 mm

x = 50 mm y = 50 mm

x = 100 mm y = 100 mm

IJF = 1 37.4534875108709 37.4534875108709 37.4534875108709

IJF = 50 37.0028340292732 37.0028340292732 37.0028340292732

IJF = 100 37.1520286084707 37.1520286084707 37.1520286084707

IJF = 150 37.1263972908883 37.1263972908883 37.1263972908883



50ft s= x = 0.0 mm y = 0.0 mm

x = 50 mm y = 50 mm

x = 100 mm y = 100 mm

IJF = 1 39.7096846467752 39.7096846467752 39.7096846467752

IJF = 50 39.6426060449239 39.6426060449239 39.6426060449239

IJF = 100 39.6426063411726 39.6426063411726 39.6426063411726

IJF = 150 39.4884841883616 39.4884841883616 39.4884841883616



O teste 2 em regime transiente teve por objetivo avaliar a influência do

coeficiente de troca térmica no contato entre as placas de material compósito, quando

este é muito alto e reproduz um contato térmico perfeito entre as placas. Entretanto

considerou-se ainda que o coeficiente de troca térmica 0h na posição z = 0 fosse muito

alto e que o material 1 fosse um bom condutor térmico. Com estas suposições espera-se

que a temperatura no material 1 seja sempre uniforme e igual a temperatura à que o

mesmo está exposto em z = 0, ou seja, ( )11 , , ,matT x y c t T∞= .

Considerou-se neste caso que o coeficiente de troca térmica no contato fosse

constante assim como o fluxo de calor, no tempo e em toda a superfície do material

perpendicular ao eixo z, tornando o problema unidimensional na direção z.

O problema teste pode ser entendido através da representação esquemática da

figura 6.11.

50

Figura 6.11 - Representação esquemática do segundo teste em regime transiente.



( ) ( )

2

2

22

1, 0 e 0

, ,mat

T Tz c t

t

z t z t

zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.16)


( ) , , 0 e 0T T z tz t ∞= = > (6.17)

( ) ( )( )

2

*2 2

,, , e 0const mat

Tk h T T q z c

z

zz t t

t∞

∂+ − = = >

∂ (6.18)


2

, 0 e 0ini matT T z c t= ≤ ≤ = (6.19)




51


como:

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.20)


corresponde a um filtro e foi aplicado para permitir que a solução do problema teste

fosse obtida mais facilmente utilizando o método CITT, (ÖZIŞIK, 1993).



entrada (tabela 6.4), a solução desde problema, pode ser escrita como (vide Apêndice

C):

( ) 25 + 675.676 zF z = (6.21)

A solução do problema homogêneo resolvido através da técnica CITT, também

está detalhada no Apêndice C e tem a seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 222

'2'

,1 20

' ,, , '

m

m

ttm matt

f m f inim m

m


N k

α βα β

α ββ

ββ

−∞

=

= +

∑ ∫ (6.22)

onde ( ) ( )( ) ( )2

,

0

,matc



( ) ( ), sinm mZ z zβ β= (6.23)

( ) ( )2

2 22 2

22 2 22 2

12 ,m

m mat m

H hH

N kc H H

ββ β

+ = =

+ +

(6.24)

52


( )2 2cotm m matc Hβ β = − (6.25)


teste considerou-se o nylon 6-6 como material 2 e latão como material 1, cujas

propriedades estão na tabela 6.3. Considerou-se ainda um coeficiente de troca térmica

alto, ( ) 2, 10000cWh x y

m K =

, os outros parâmetros de entrada estão na tabela 6.11.


20Wh

m K

22Wh

m K

2constWq

m

10000 100 1000


geral. Entretanto este problema teste reproduz os efeitos no problema geral entre

1 2mat matc z c≤ ≤ . Assim, terão como espessura 2matc , coeficiente de troca térmica na

posição 2matz c= igual a 2h e fluxo de calor exposto nesta posição igual aconstq .

Na figura 6.12 os resultados analíticos obtidos com a solução deste problema

teste foram comparados com a solução do problema direto geral. Nesta figura são

comparados os resultados de temperatura versos tempo para a posição z = c no

problema geral e para a posição 2matz c= do problema teste.


24

26

28

30

32

34

36

38

0 10 20 30 40 50

Tem

pera

tura

, T [º

C]

tempo, t [s]

Material 1:Latão e Material 2:Nylon na posição z=c, x=0 e y=0

numericoanalitico

53

Como pode ser visto na figura 6.12 e na tabela 6.12 de fato os resultados obtidos

para o problema teste 2 também confirmam a solução do problema geral proposta neste

trabalho. Assim como era esperado a temperatura no material 1 foi constante e igual a

temperatura T∞ , permitindo que as comparações pudessem ser feitas com o problema

unidimensional com temperatura prescrita no contorno da posição 0z = do problema

teste, que corresponde a posição 1matc c= no problema geral (ver figura 6.13).

Os resultados analíticos foram obtidos através da plataforma Mathematica,

foram utilizados 300 termos na série, para a convergência do problema teste.

Tabela 6.12 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 2, em regime transiente .


0 25.0000000000 25.0202633835 0.0810535342

10 34.4576229848 34.2761707656 0.5265952887

20 34.9628631498 34.8898888924 0.2087193405

30 35.0117937794 34.9523863284 0.1696783984

40 35.0148683107 34.9587514582 0.1602657818

50 35.0150086116 34.9593808584 0.1588683121


24

26

28

30

32

34

36

38

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T

[ºC

]

Posição, z [m]

Material 1:Latão e Material 2:Nylon tempo t=50s

numericoanalitico

54

A distribuição de temperaturas nas superfícies do material compósito são de fato

uniformes, como pode ser visto na figura 6.14. Desta forma também pode ser

confirmada a hipótese de regime unidimensional para o problema teste.



O teste 3 em regime transiente teve por objetivo avaliar a influência do

coeficiente de troca térmica no contato entre as placas de material compósito, quando

este é muito alto e reproduz um contato térmico perfeito entre as placas. Este teste em

regime transiente complementa o teste em regime permanente resolvido no item 6.1.1,

onde considerou-se que o material 1 fosse igual ao material 2 e a espessura foi

1 2mat matc c c= + ,conforme a representação esquemática da figura 6.15.

Figura 6.15 - Representação esquemática do terceiro teste em regime transiente

Material 1:Latão e Material 2:Nylon tempo t=50s

z=cz=0

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

x [m]

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

y [m]

24 26 28 30 32 34 36 38

T(x,y,z,t) [ºC]

55

Considerou-se neste caso que o coeficiente de troca térmica no contato fosse

constante assim como o fluxo de calor, no tempo e em toda a superfície do material

perpendicular ao eixo z, tornando o problema unidimensional na direção z.



( ) ( )2

2

1, 0 e 0

, ,T Tz c t

t z

z t z t

α∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.26)


( ) ( )( )0 0, 0 e 0

,,

Tk h T T

z tz

zt z t∞

∂− + − = = >

∂ (6.27)

( ) ( )( )*

2 , 0, e ,

const

Tk h T T q z c tz t

z

z t∞

∂+ − = = >

∂ (6.28)


, 0 e 0iniT T z c t= ≤ ≤ = (6.29)





como:

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.30)


corresponde a um filtro e foi aplicado para permitir que a solução do problema teste

fosse obtida mais facilmente utilizando o método CITT (ÖZIŞIK, 1993).



entrada (tabela 6.4), pode ser escrita como (vide Apêndice D):

56

( ) 27.5 + 1000 zF z = (6.31)

O problema filtrado, resolvido através da técnica CITT e cuja solução também

esta detalhada no Apêndice D, tem a seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )2

,1

, ,mt

f m f inim m

m

eT z t Z z T

N

αβ

ββ

β−∞

=

=∑ (6.32)

onde ( ) ( )( ) ( )2

,

0

,matc



( ) ( ) ( ) 00 0, cos sin ,m m m m

hZ z z H z H

kβ β β β= + = (6.33)

( ) ( ) ( )

1

2 2 02 20 0 0 22 2

2

12 , ,m

m m

hH hH c H H H

N k kHβ

β β

− = + + + = =

+

(6.34)


( ) ( )0 22

0 2

tan mm

m

H Hc

H H

ββ

β+

=−

(6.35)


teste considerou-se o nylon 6-6 como material 1 e 2, e suas propriedades podem ser

encontradas na tabela 6.3.

Considerou-se ainda um coeficiente de troca térmica no contato alto,

( ) 2, 10000cWh x y

m K =

Os outros parâmetros de entrada para o problema são

apresentados na tabela 6.13. Os resultados analíticos foram obtidos através da

plataforma Mathematica, foram utilizados 300 termos na série da Eq. 6.32, para a

convergência do problema teste.

57


( )20Wh

m K ( )22

Whm K

( )2constWq

m

100 100 1000


geral entre 0 z c≤ ≤ . Na figura 6.16 e na tabela 6.14 os resultados analíticos obtidos

com a solução deste problema teste foram comparados com a presente solução do

problema direto geral. Nesta figura são comparados os resultados de temperatura versos

tempo para a posição z = c.


Os resultados obtidos de temperatura versus tempo para o teste 3, na posição

z c= foram muito satisfatórios, como pode ser visto na figura 6.16 e na tabela 6.14. Os

resultados numéricos estão em perfeita concordância, na escala gráfica, com os

resultados analíticos obtidos para o problema teste, porém existe um pequeno erro

percentual como pode ser observado na tabela 6.14.

Tabela 6.14 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 3, em regime transiente


0 25.0000000000 25.0884508657 0.3538034628

20 35.9892420837 35.8618643329 0.3539328515

40 36.9536570431 36.9163932882 0.1008391533

60 37.3079887447 37.2878263628 0.0540430684

80 37.4164283229 37.4228179875 0.0170771635

100 37.4431615983 37.4704670791 0.0729251474

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tem

pera

tura

, T [º

C]

tempo, t [s]

Material 1:Nylon e Material 2:Nylon na posição z=c, x=0 e y=0

numericoanalitico

58

Desta forma comprovou-se através destes 3 testes que a solução em regime

transiente proposta neste trabalho é valida quando o fluxo de calor imposto e o

coeficiente de troca térmica no contato forem constantes no tempo e através da

superfície perpendicular ao eixo z.

Na figura 6.17 apresenta-se o perfil de temperatura em relação à direção z.

Observa-se que os resultados numéricos e analíticos são muito próximos até a posição

de interface � �� . A partir desta posição, entre a região

10 matz c≤ ≤ , os resultados

em escala gráfica são idênticos, entretanto numericamente eles diferem um pouco

devido ao fato de que o contato térmico não é perfeito e sim uma aproximação disto,

entretanto, pode ser visto que �� na região de interface em � �� 0.0055�, o

valor do coeficiente de transferência de calor no contato térmico utilizado foi

2( , ) 1000cWh x y

m K =

.


Como era esperado, a distribuição de temperaturas nas superfícies do material

compósito foram uniformes, como mostra a figura 6.18.

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, z [m]


numericoanalitico

59


6.1.5 Problema teste 4, tridimensional e em regime transiente

No problema teste 4 é proposto um teste em regime transiente tridimensional,

resolvido analiticamente e comparado com uma configuração equivalente no problema

geral tratado neste trabalho. O objetivo deste teste consistiu em demonstrar que o

problema geral foi corretamente resolvido quando o fluxo de calor é dependente da

posição em x e y.

Considerou-se um problema tridimensional semelhante ao problema resolvido

neste trabalho. Entretanto, no problema teste existe apenas um material, como mostra o

esquema da figura 6.19. Neste caso o fluxo de calor dependerá da posição em xey .

Figura 6.19 - Representação esquemática do quarto teste em regime transiente.


z=cz=0

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

x [m]

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

y [m]

24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

T(x,y,z,t) [ºC]

60

Como pode ser observado no esquema considerou-se apenas um material neste

teste, ou seja, no problema tridimensional o material 1 é igual ao material 2, tal como no

terceiro teste em regime transiente examinado acima.

O fluxo de calor no problema geral terá a variação descrita no item 4.11. Esta

função é constante no tempo uniforme na região entre 0 � � � �� e 0 � � � �� e nulo

fora dela. Este problema teste pode ser formulado, utilizando a equação de condução de

calor da seguinte maneira (ÖZIŞIK, 1993) para 0 � � � ��, 0 � � � ��, 0 � � � e

� � 0:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

, , , , , , , , , , , ,1 T T T T

t x y z


α∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

(6.36)

sujeito as condições de contornoem 0, ,0 ,0 para 0x x a y b z c t= = ≤ ≤ ≤ ≤ > :

0T

x

∂ =∂

(6.37)

sujeito as condições de contornoem 0, ,0 ,0 para 0y y b x a z c t= = ≤ ≤ ≤ ≤ > :

0T

y

∂ =∂

(6.38)

em 0,0 ,0 e 0z x a y b t= ≤ ≤ ≤ ≤ > :

( ) ( )( )0

,0 , ,

Tk h T T

tz

z

zt ∞

∂− + − =

∂ (6.39)

em ,0 ,0 e 0z c x a y b t= ≤ ≤ ≤ ≤ > :

( ) ( )( ) ( )*

2

,, , ,

Tk

zh T T q y

tt

zz x t

∞

∂+ − =

∂ (6.40)

A condição inicial é de temperatura uniforme em todo o compósito:

iniT T T∞= = (6.41)

61

A solução analítica deste problema pode ser obtida dividindo-o em dois

problemas, o primeiro permanente e não-homogêneo, enquanto o segundo é transiente

homogêneo. Desta forma, considera-se que o problema pode ser reescrito da seguinte

maneira:

( ) ( ) ( ), , , , , ,fT x y z t T x y z t F z= + (6.42)


problema filtro, e foi aplicado para permitir que a solução do problema teste fosse

obtida mais facilmente utilizando o método CITT (ÖZIŞIK, 1993).



entrada (tabela 6.4), a solução desde problema, pode ser escrita como (vide Apêndice

E):

( ) 25.83 + 333.33 zF z = (6.43)

O problema homogêneo é resolvido através da técnica CITT, e cuja solução,

também esta detalhada no Apêndice E, tem a seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2 2

,0 0 1

, , ,, , , m n k tm n k

f f inim n k x m y n z k

X x Y y Z zT x y z t e T A

N N N

α β γ ηβ γ ηβ γ η

∞ ∞ ∞ − + +

= = =

= + ∑∑∑ (6.44)

onde

( )( ) ( ) ( ) ( ),

0 0 0

, , ,c b a

f ini ini m n kT T F z X x Y y Z z dxdydzβ γ η= −∫ ∫ ∫ (6.45)

e

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 '

0 0 0

,, , 'm n k

a btt k

const m n

z c

Z zA e q X x Y y dydx dt

k

α β γ η ηα β γ+ +

=

=

∫ ∫ ∫ (6.46)


62

( ) ( )( ) ( )

0

21 para 0,

,cos para 0,

x mm

m m x m

NaX x

x N a

β ββ

β β β

= == ≠ =

(6.47)

e

( ) ( )

( ) ( )0

21 para 0,

,cos para 0,

y n

n

n n y n

NaY y

y N a

γ γγ

γ γ γ

= == ≠ =

(6.48)

( ) ( ) ( )1, cos sink k k kZ z z H zη η η η= + (6.49)

e

( ) ( ) ( )

1

2 2 20 02 2

2

12 k

z k k

HH c H

N Hη

η η

− = + + +

+

(6.50)

onde 0 20 2,

h hH H

k k= = , os autovalores ��, �� e ! são as raízes positivas das equações

transcendentais:

( )00 0

sin 0 0m mA

ββ β

= = ≠

(6.51)

( )00 0

sin 0 0n nB

γγ γ

= = ≠

(6.52)

e

( ) ( )0 22

0 2

tan kk

k

H Hc

H H

ηη

η+

=−

(6.53)


teste considerou-se o nylon 6-6 como material 1 e material 2,cujas propriedades estão na

tabela 6.3. Considerou-se ainda um coeficiente de troca térmica no contato alto,

( ) 2, 10000cWh x y

m K =

, e os outros parâmetros de entrada apresentados na tabela

6.15.


( )20Wh

m K ( )22

Whm K

( )2constWq

m

100 100 1000

63

Na figura 6.20 compara-se a evolução da temperatura com o tempo na posição

� � 0 " � . A concordância entre os resultados numéricos e os resultados

analíticos é perfeita, em escala gráfica. Na tabela 6.16 pode ser observado que existe um

pequeno erro percentual entre os resultados obtidos, nesta tabela os resultados foram

comparados para diversos tempos fixando as posições � 0, � 0 e � . Nesta

posição existe um fluxo de calor aplicado. Os resultados analíticos foram obtidos com

truncamento após 400 termos na convergência das séries em � , � e �.


Tabela 6.16 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 4, em regime transiente


0 25.0000000000 25.1328484723 0.5313938894

20 35.6699117139 35.5501292291 0.3358081897

40 36.6388381008 36.6022616492 0.0998297257

60 36.9858122119 36.9666430381 0.0518284517

80 37.0766735033 37.0947076926 0.0486402572

100 37.0973427965 37.1380961805 0.1098552643

Como aconteceu no teste anterior existe uma pequena diferença para posições z

menores do que a posição de interface, possivelmente por conta de se utilizar um valor

finito, embora grande, para o coeficiente de transferência de calor no contato entre os

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tem

pera

tura

, T [º

C]

tempo, t [s]

Material 1:Nylon e Material 2:Nylon na posição z=c, x=0 e y=0

numericoanalitico

64

materiais 1 e 2. Como pode ser visto na figura 6.21, esta diferença, entretanto, é muito

pouco significativa.

Figura 6.21 - Posição z versus temperatura para o teste 4, em regime transiente

A figura 6.22 apresenta os resultados obtidos ao final de 100s para a distribuição

de temperatura nas superfícies � 0 " � . Esta figura mostra claramente as maiores

temperaturas na região onde o fluxo de calor é imposto à placa.

Figura 6.22 - Distribuição de temperatura na superfície para o teste 4 em regime transiente.

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, z [m]


numericoanalitico


z=cz=0

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

x [m]

0 0.02

0.04 0.06

0.08 0.1

y [m]

24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

T(x,y,z,t) [ºC]

65

Comparou-se ainda as temperaturas obtidas numericamente e analiticamente,

para a posição � , conforme mostrado nas figuras 6.23 e 6.24, que apresentam os

perfis de temperatura em y e x, respectivamente. Novamente, a concordância em escala

gráfica entre as soluções numérica e analítica é excelente.

Figura 6.23 - Analise da solução de T x x

Figura 6.24 - Analise da solução de T x y

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, x [m]


numericoanalitico

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tem

pera

tura

, T [º

C]

Posição, y [m]


numericoanalitico

66

6.1.5.1 Análise de convergência do problema teste 4, em regime transiente

Utilizando a resposta analítica em regime transiente pode-se realizar também a

análise de convergência da série do problema geral neste caso. Manteve-se novamente

fixa uma malha computacional em � com 20 nós. Na tabela 6.10 é apresentada uma

tabela de convergência para a série que resolve o problema direto, para diferentes

tempos e para três posições fixas na superfície � onde o fluxo de calor é imposto.

Estas posições foram uma na posição x = 0.1m e y = 0.1m e duas outras posições

simétricas em x e y, desta forma devendo apresentar valores próximos quando

comparados.



10ft s= x = 0.0 mm y = 10.0 mm

x = 10.0 mm y = 0.0 mm

x = 100.0 mm y = 100.0 mm

IJF = 5 31.8964 31.8964 29.1124

IJF = 50 35.0832 35.0832 28.2317

IJF = 100 34.6429 34.6429 28.2740

IJF = 150 34.6424 34.6424 28.3730



20ft s= x = 0.0 mm y = 10.0 mm

x = 10.0 mm y = 0.0 mm

x = 100.0 mm y = 100.0 mm

IJF = 5 32.7759 32.7759 29.6371

IJF = 50 36.3726 36.3726 28.6537

IJF = 100 36.1032 36.1032 28.7009

IJF = 150 35.9227 35.9227 28.8018



50ft s= x = 0.0 mm y = 10.0 mm

x = 10.0 mm y = 0.0 mm

x = 100.0 mm y = 100.0 mm

IJF = 5 33.4325 33.4325 30.0292

IJF = 50 37.3246 37.3246 28.9756

IJF = 100 37.0330 37.0330 29.0248

IJF = 150 36.8728 36.8728 29.1260


67

6.2 Problema Direto com falha de contato entre as placas

Faz-se agora uma avaliação qualitativa da solução, para um caso em que o

coeficiente de transferência de calor no contato não é uniforme, simulando assim uma

região com falha de contato. Neste caso, considera-se o fluxo de calor uniforme em toda

a superfície é ( ) 2, 1000 cWh x y

m K =

para a região de contato é

( ) 2, 0 cWh x y

m K =

para a região sem contato, este valor utilizado na região de

contato, como foi avaliado anteriormente, corresponde a uma boa aproximação do que

seria um contato térmico perfeito, e corresponde para os materiais tratados aqui a

( ), 12cBi X Y = .

Na solução deste caso com coeficiente de transferência de calor variável no

contato serão utilizadas interpolações por cubic splines para a solução das integrais de

hc (x,y), conforme foi explicado no capítulo 4. Os resultados abaixo são apresentados na

forma adimensional.

O Material utilizado a partir desde item será um material utilizado na indústria

aeronáutica, formado por fibra de grafite e titânio, cujas propriedades são apresentadas

na tabela 6.3.

6.2.1 Titânio exposto ao fluxo de calor

Neste primeiro teste será considerada uma malha de análise de medidas de

temperatura em x e y igual à 11x11, ou seja, será considerado que a temperatura será

medida em 121 pontos da superfície. Considerando que estas temperaturas serão

medidas com uma câmera termográfica, pode-se dizer que a resolução inicial da mesma

seria de 11x11. Define-se então um valor discreto para o Bic(X,Y) para ponto de

temperatura medida, baseado na seguinte função:

( )

( )

para 2 3 e 2 3, 0

para 7 8 e 5 6

, 12 nas outras regiões

c

c

X YBi X Y

X Y

Bi X Y

≤ ≤ ≤ ≤= ≤ ≤ ≤ ≤

=

(6.54)

68

Esta função do número de Biot de contato pode ser observada nas figuras 6.25 e 6.26.

Na figura 6.26, podem ser vistas mais claramente as regiões da superfície onde o

contato térmico é perfeito e onde existem falhas.

Figura 6.25 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de calor com

malha em x e y, 11x11.

Figura 6.26 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de calor com


0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0

2

4

6

8

10

12

Biot

Variação do Biot em X e Y

X

Y

Biot


0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

2

4

6

8

10

12

69

Considerando os valores de entrada da tabela 6.18 e considerando o material 1

como o epóxi com grafite e material 2 o titânio, foram realizados os primeiros testes do

problema direto.


( )20Wh

m K ( )22

Whm K

( )2constWq

m

10 100 1000

A variação da temperatura adimensional com o tempo, obtida com a função dada

pela equação 6.42, é apresentada na figura 6.27 para as posições 0x = , 0y = e z c= .

Observa-se que o problema atingiu o regime permanente aproximadamente após o

tempo adimensional 6, ou seja, aproximadamente 900 segundos. A temperatura

adimensional foi negativa devido à temperatura de referência utilizada na

adimensionalização, de acordo com a equação (3.8), sendo que a temperatura

dimensional para a qual o problema convergiu em regime permanente, nesta posição, foi

de 38.7 oC e aumentou com o tempo.

Na figura 6.28, é apresentada a distribuição de temperaturas na superfície em

� . Observa-se, entretanto, que a temperatura ‘dimensional’ aumenta com o tempo e

que as regiões de falha tiveram temperatura dimensional maior do que as regiões onde

não havia falha.

Isto pode ser confirmado pela equação (3.8) e é explicado devido a uma

temperatura adimensional definida como: * *

T T

T Tθ ∞

∞

−=−

, uma vez que *T T∞ = e que nos

testes realizados *T T∞ ∞> , então à medida que ( ), , ,T x y z t aumenta, o valor de

( ), , ,X Y Zθ τ diminui. Pela tabela 6.2 pode ser visto que ( )* 5T T∞− = − .

70

Figura 6.27 - Gráfico de distribuição de temperatura no tempo com Titânio exposto ao fluxo de calor com


Figura 6.28 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição adimensional Z=1, onde

o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 6.

O tempo de CPU gasto na solução deste problema, até que o regime permanente

fosse atingido, foi de 40s. Tal tempo computacional é considerado alto, já que o foco

deste estudo é a solução problema inverso através do Método de Monte Carlo com

Cadeia de Markov, o que pode requerer milhares de avaliações da solução do problema

direto. Assim, utilizou-se um tempo final no experimento simulado menor do que

aquele necessário para o regime permanente, além disto, é sabido (ÖZIŞIK e

ORLANDE, 2000) que tipicamente as medidas realizadas no regime transiente possuem

maiores informações para a solução do problema inverso.

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 1 2 3 4 5 6 7

Tem

pera

tura

Adi

men

sion

al

tempo adimensional

Titânio exposto ao fluxo de calor na posição Z=1, X=0 e Y=0

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-2.754-2.752-2.75

-2.748-2.746-2.744-2.742-2.74

-2.738

Theta(X,Y,Z,t)

Titanio exposto ao fluxo de Calor

X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-2.754-2.752-2.75-2.748-2.746-2.744-2.742-2.74-2.738

71

Por outro lado, é necessário que exista uma variação de temperatura significativa

na superfície onde são feitas as medições, para possibilitar uma estimativa adequada da

função desconhecida. Assim o fluxo de calor foi aumentado para 225000constq W m =

, ou seja, uma potência aplicada de aproximadamente [ ]250 W para a área tratada neste

trabalho. Na figura 6.29 pode ser vista a distribuição de temperatura na superfície

aquecida (posição adimensional Z = 1), considerando o tempo final 0.065τ = . Para este

caso, o tempo de CPU foi significativamente menor, sendo da ordem de 2.8s.


o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.065

Nos casos avaliados, esta variação de temperatura se mostrou adequada para a

solução do problema inverso quando o desvio padrão das medidas simuladas fosse de

0.001σ = . Porém, ao se aumentar o desvio padrão para 0.01σ = foi necessário utilizar

um tempo final maior, uma vez este desvio padrão produziu erros cuja ordem de

grandeza impossibilitava que a variação das temperaturas obtidas nas regiões de contato

e das regiões de falha fosse identificada. Utilizou-se então o tempo final de 0.13τ = . A

variação de temperatura para este caso pode ser vista na figura 6.30 e o tempo de CPU

foi 3.29 segundos.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-5-4.95-4.9

-4.85-4.8

-4.75-4.7

-4.65-4.6

-4.55

Theta(X,Y,Z,t)


X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-5-4.95-4.9-4.85-4.8-4.75-4.7-4.65-4.6-4.55

72


o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.13.

6.2.2 Análise de convergência do problema direto

Realizou-se a análise de convergência da série do problema geral apenas para o

caso com titânio exposto ao fluxo, uma vez que os resultados obtidos com a outra face

do compósito laminado exposta ao fluxo, a análise de convergência dos resultados é

análoga. Manteve-se uma malha computacional em z com 6 nós, a mesma que será

utilizada no problema direto, devido a necessidade de ser utilizado o menor tempo de

CPU possível. Na tabela 6.19 é apresentada uma tabela de convergência para a série que

resolve o problema direto, para diferentes tempos e para três posições fixas na superfície

z c= onde o fluxo de calor é imposto. Estas posições foram uma numa região com bom

contato térmico e duas outras posições com falha no contato térmico em x e y, desta

forma devendo apresentar valores próximos quando comparados. Como pode ser visto

os valores de temperatura.



26 e 1000f consq W mτ = = X = 0.0 Y = 0.0

X = 2.0 Y = 2.0

X = 7.0 Y = 5.0

IJF = 10 -2.739951 -2.739876 -2.739893

IJF = 50 -2.740758 -2.744466 -2.743866

IJF = 100 -2.740678 -2.751876 -2.751689

IJF = 150 -2.740984 -2.753444 -2.752601

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-8.7-8.6-8.5-8.4-8.3-8.2-8.1

-8-7.9-7.8

Theta(X,Y,Z,t)


X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-8.7-8.6-8.5-8.4-8.3-8.2-8.1-8-7.9-7.8

73


20.065 e 25000f consq W mτ = = X = 0.0 Y = 0.0

X = 2.0 Y = 2.0

X = 7.0 Y = 5.0

IJF = 10 -7.987722 -7.971328 -7.976237

IJF = 50 -7.978068 -8.400835 -8.365097

IJF = 100 -7.957970 -8.695596 -8.671369

IJF = 150 -7.960531 -8.681492 -8.658416


20.13 e 25000f consq W mτ = = X = 0.0 Y = 0.0

X = 2.0 Y = 2.0

X = 7.0 Y = 5.0

IJF = 10 -4.630266 -4.619972 -4.624899

IJF = 50 4.605672 -4.885096 -4.860527

IJF = 100 -4.580167 -4.983206 -4.983459

IJF = 150 -4.579754 -4.994525 -4.984449

6.2.3 Fibra de grafite em epóxi exposta ao fluxo de calor com malha em x e

y, 11x11

Neste caso, considerou-se a mesma função de Biot de contato do item anterior,

dada pela equação (6.54), assim como os mesmos parâmetros de entrada. Nas figuras

6.31 e 6.32 são apresentados, respectivamente, as distribuições de temperatura para os

tempos finais 0.065τ = e 0.13τ = :



0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-13.45-13.4

-13.35-13.3

-13.25-13.2

-13.15-13.1

-13.05-13

Theta(X,Y,Z,t)

Epóxi com fibra de grafite exposta ao fluxo de Calor

X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-13.45-13.4-13.35-13.3-13.25-13.2-13.15-13.1-13.05-13

74



Pode ser observado pelas figuras 6.31 e 6.32 que as temperaturas na região onde

existe falha no contato térmico têm um formato gráfico bem semelhante àquele

demonstrado na Figura 6.25 para a variação do Biot de contato. Isto não ocorreu nas

figuras 6.29 e 6.30 devido ao fluxo de calor ter sido imposto num material melhor

condutor térmico. Como era esperado, com a imposição do fluxo de calor no epóxi com

fibra de grafite a perda de calor para o meio foi menor e assim, o calor pode ser

transmitido de maneira mais homogênea. Pode ser observado nestas figuras 6.31.

Como esperado, as temperaturas obtidas foram adimensionalmente menores

(dimensionalmente maiores) do que àquelas obtidas nas figuras 6.29 e 6.30, devido às

características dos materiais (ÖZIŞIK, 1993). Deve-se ainda ressaltar que até este tempo

adimensional, as temperaturas do material tiveram uma variação que permite utilizar a

hipótese de propriedades térmicas constantes, dentro dos materiais.

6.2.4 Titânio exposto ao fluxo de calor com malha em x e y, 21x21

Este caso é análogo àquele apresentado no item 6.2.1 anteriormente, mas o

número de medidas de temperatura na superfície da placa de material compósito é

ampliado e por conseqüência a resolução espacial da função ( ),cBi X Y a ser estimada.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-19.5

-19

-18.5

-18

-17.5

-17

-16.5

Theta(X,Y,Z,t)

Epóxi com fibra de grafite exposta ao fluxo de Calor

X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-19.5

-19

-18.5

-18

-17.5

-17

-16.5

75

Desta forma, existe um maior número de regiões onde o ( ),cBi X Y será estimado,

permitindo que falhas menores do que no caso anterior sejam detectadas. Neste caso

será considerada uma malha computacional em x e y de 21x21, com a seguinte função

para o ( ),cBi X Y , que representam as regiões de falhas menores (ver figuras 6.32 e

6.33):

( )

( )

para 3.0 3.5 e 3.0 3.5, 0

para 7.5 8.0 e 7.5 8.0

, 12 nas outras regiões

c

c

X YBi X Y

X Y

Bi X Y

< < < <= < < < <

= (6.55)

Figura 6.33 - Gráfico de variação espacial do biot de contato, cBi , com Titânio exposto ao fluxo de calor

com malha em x e y, 21x21.

Figura 6.34 - Gráfico de variação espacial do Biot de contato, cBi , com malha em x e y, 21x21.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot


Biot Exato

X

Y

Biot


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

0

2

4

6

8

10

12

76

A distribuição de temperatura na superfície aquecida (Z=1), para os tempos

adimensionais de 0.065 e 0.13 (em termos dimensionais 10s e 20s, respectivamente) são

apresentadas nas figuras 6.34 e 6.35, respectivamente. Observa-se que as temperaturas

entorno da região com falha no contato térmico obtidas neste caso foram semelhantes

àquelas obtidas nas figuras 6.29 e 6.30, onde a área com falha era maior.

Verifica-se que da mesma forma que ocorreu naqueles gráficos, figuras 6.29 e

6.30, o fato do titânio ser um bom condutor térmico fez com que entorno da região com

falha houvesse uma troca de calor, desta forma, observa-se nas figuras 6.35 e 6.36 uma

variação de temperaturas suave nas posições em torno da falha. Num caso com uma

malha mais refinada com o epóxi com fibra de grafite exposta ao fluxo de calor, a

região em torno da falha teria muito menos troca de calor, e se assemelharia ainda mais

a figura 6.33, para a variação do ( ),cBi X Y .

Figura 6.35 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição adimensional Z=1, para

441 sensores, no tempo 0.065.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-4.92-4.9

-4.88-4.86-4.84-4.82-4.8

-4.78-4.76-4.74-4.72

Theta(X,Y,Z,t)


X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-4.92-4.9-4.88-4.86-4.84-4.82-4.8-4.78-4.76-4.74-4.72

77

Figura 6.36 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição adimensional Z=1, para

malha em x e y = 21 x 21, no tempo 0.13.

6.3 Solução do Problema Inverso

Neste trabalho foram utilizadas medidas experimentais simuladas, obtidas a

partir da solução do problema direto, cujo desvio padrão do erro é controlado. Para isto,

a partir da solução do problema direto, juntamente com um número randômico

( )0,1Nω ∼ e um desvio padrão dos erros de medição igual a σ obtém-se:

( )( , , , ) , , ,meas X Y exato X Y exatoT i j n T i j n ωσ= = +Y P P (6.56)

onde exatoP é o vetor contendo o valor exato de #$��%, &� nos pontos discretos na

superfície $', () , onde a temperatura T é calculada, com intervalos t∆ no tempo até o

número máximo de medidas maxN no tempo final ft .

Utilizou-se um modelo Markoviano para gerar os pontos candidatos, onde

(1 2 )t t t tP P P ω+∆ = + ∆ − , sendo que ( )0,1t Uω ∼ (ORLANDE, 2009) e 25 10P −∆ = × .

Percentuais de aceitação muito altos ou muito baixos podem fazer com que a cadeia

demore muito tempo para estabilizar ou podendo até mesmo divergir. Com este valor de

DP a taxa de aceitação dos estados da cadeia de Markov foi de aproximadamente 25%.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

-8.8-8.75-8.7

-8.65-8.6

-8.55-8.5

-8.45

Theta(X,Y,Z,t)


X

Y

Theta(X,Y,Z,t)

-8.8-8.75-8.7-8.65-8.6-8.55-8.5-8.45

78

Foram considerados abaixo, problemas inversos envolvendo um compósito

laminado utilizado na indústria aeronáutica, constituído de uma placa de Titânio e outra

de Epóxi com fibra de grafite, cujas propriedades estão na tabela 6.3. Testou-se

inicialmente a exposição do titânio ao fluxo de calor e posteriormente do epóxi com

fibra de grafite.

Em todos os casos apresentados para a solução do problema inverso considerou-

se como estado inicial da cadeia de Markov o valor uniforme de #$��%, &�= 0 6=P .

Este valor corresponde à metade do valor exato de #$��%, &� onde há contato entre as

placas, os demais parâmetros de entrada estão na tabela 6.18:

Tabela 6.20 - Parâmetros de entrada para o problema inverso

( )20Wh

m K ( )22

Whm K

IJF Numero Estados da cadeia de Markov

( )t s∆ ( )2constWq

m

10 100 100 15000 0.1 25000

Foram examinadas abaixo informações a priori Gaussianas e uniformes para os

parâmetros a serem estimados, que representam os valores da função #$��%, &� em cada

um dos elementos de área estipulados pela resolução considerada para a câmera. Foram

realizadas estimativas com desvio padrão da informação a priori Gaussiana, *+,, iguais

a 0.2µ e 0.6µ , onde µ é a média dos parâmetros, e µ é suposta conhecida, considerou-

se ainda como informação a priori, que ( ),cBi X Y nunca assumiria números negativos,

uma vez que ( ), 0cBi X Y = ou muito baixos, caracterizam que existe uma falha no

contato entre as placas, assim, este Biot então não pode ser negativo.

Para os casos utilizando informação a priori uniforme, não-informativa,

considerou-se que os valores obtidos para os pontos candidatos para a estimativa do

#$��%, &� estariam entre 0 e 50. Com relação às resoluções espaciais consideradas,

foram examinados dois casos, a saber: (i) resolução de 121 elementos (malha espacial

de 11 por 11) e (ii) resolução de 441 elementos (malha espacial de 21 por 21). Com

relação aos erros de medição, foram analisados casos com erros de medição iguais a

0.1% e 1% da maior temperatura medida

Os resultados obtidos foram quantitativamente avaliados através do cálculo do

erro RMS da função estimada, que é definido como:

79

( ) ( ) 2

, ,1 1

, ,X Y

gradx grady

c exato X Y c estimado X Yi j

RMS

Bi i j Bi i j

Egradx grady

= =

− =

⋅

∑ ∑ (6.57)

A seguir são apresentados e discutidos em detalhe os resultados obtidos para os

casos analisados.

6.3.1 Informação a priori informativa gaussiana, com - ./01234, desvio

padrão das medidas igual a 0.1% da maior temperatura medida e com

desvio padrão da informação a priori 5./ 6. 76-. Utilizando 121 sensores

na superfície

6.3.1.1 Com titânio exposto ao fluxo de calor.

São apresentados nesta seção os resultados para o titânio exposto ao fluxo de

calor com informação a priori informativa gaussiana, com média µ , constante e igual

ao número de Biot exato da região de contato térmico perfeito, cBi , e desvio padrão da

informação a priori Biσ igual a 20% da média µ . Desta forma, assumiu-se a priori que

a adesão entre as placas que compõe o compósito laminado era perfeita. Assim, nas

regiões onde o contato não fosse perfeito, a solução do problema inverso deveria

retornar números de Biot de contato nulos. Este caso em análise corresponde ao

problema direto analisado na seção 6.2.1, cujo gráfico de distribuição de temperaturas

no tempo final utilizado 8 0.065 está na figura 6.29.

Os resultados obtidos para este caso são apresentados na tabela 6.21 e nas

figuras 6.37 até 6.40. A figura 6.37 apresenta a comparação entre as funções exata e

estimada. Tal comparação também é feita na figura 6.38 através de um gráfico de

contorno. A figura 6.39 apresenta os valores estimados para os desvios-padrão dos

valores pontuais da função na malha espacial considerada. As cadeias de Markov para

dois pontos desta malha espacial são apresentadas na figura 6.40. O ponto considerado

para análise da cadeia de Markov em uma região correspondente a contato perfeito foi

aquele na posição � 0, � 0, enquanto o ponto na região correspondente à falha foi

aquele na posição � 2, � 3.

80

Tabela 6.21 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor.

Erro RMS

Tempo de CPU ( s )

Taxa de Aceitação

0.1576 49314 23%

As figuras 6.37 e 6.38 mostram uma excelente concordância entre as funções

exata e estimada (valor médio da cadeia de Markov depois de desprezados o período de

aquecimento de 6000 amostras). De fato, o erro RMS correspondente a esta estimativa é

de 0.1576. Além disso, a dispersão dos valores estimados é pequena, como pode ser

observado na figura 6.39. De fato, os desvios-padrão das estimativas encontram-se em

torno de 0.2.

A figura 6.40 mostra uma excelente convergência das cadeias de Markov

analisadas. De fato, o método usado é capaz de rapidamente distinguir as regiões de

contato daquelas com falhas, isto é, a partir de 6000 estados. Portanto, somente os

estados seguintes forma usados para os cálculos dos valores médios e dos desvios-

padrão das estimativas.

Figura 6.37 - Biot exato comparado com o Biot estimado.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot

Material 1:Epóxi com Fibras de Grafite e Material 2:Titanio

Biot ExatoBiot Estimado

X

Y

Biot

81

Figura 6.38 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita.

Figura 6.39 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato

Figura 6.40 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um ponto com contato.


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o

Estados da cadeia de Markov


falhacontato térmico perfeito

82

6.3.1.2 Com epóxi exposto ao fluxo de calor.

Este caso é semelhante ao anterior, mas considera-se que a placa de epóxi

revestido com fibra de grafite é exposta ao fluxo de calor, ao invés da placa de titânio.

Os resultados foram igualmente bons aos obtidos no caso anterior, como pode ser

visualizado nas figuras 6.41 a 6.44 e os valores de Biot de contato estimados foram

muito próximos dos valores exatos, como mostram as figuras 6.41 e 6.42.

De fato, o erro RMS neste caso (tabela 6.22) foi menor do que no caso anterior

(tabela 6.21), comprovando a qualidade dos resultados obtidos. Isto pode ser explicado

devido à maior variação de temperatura entre as regiões com falha no contato térmico e

as regiões sem falha, isto pode ser comprovado no gráfico de distribuição de

temperaturas para este caso, na figura 6.31, para o tempo final de 8 0.065.

Na figura 6.43 podem ser vistos os valores estimados para os desvios-padrão dos





aquele na posição � 2, � 3, os mesmos pontos analisados no caso anterior.


analisadas, comprovando que o método usado é capaz de rapidamente definir as regiões

de contato daquelas com falhas, isto é, a partir de 6000 estados (após o período de

aquecimento). Portanto, somente os estados seguintes foram usados para os cálculos dos

valores médios e dos desvios-padrão das estimativas, como no caso anterior.

Tabela 6.22 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor.

Erro RMS

Tempo de CPU ( s )

Fator de Aceitação

0.1206 50128 20%

83




0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot

Material 1:Titanio e Material 2:Epóxi com Fibras de Grafite


X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

84




desvio padrão da informação a priori 5./ 6. <6-. Utilizando 121 sensores

na superfície


Neste teste aumentou-se o desvio padrão da informação a priori, isto é,

considera-se maior a incerteza na informação disponível sobre os parâmetros antes de

serem tomadas as medidas de temperatura no experimento idealizado. Considerou-se a

informação a priori na forma de uma distribuição gaussiana conforme nos casos

anteriores, com valor médio igual ao valor de cBi exato num ponto onde existe contato

térmico perfeito, mas com desvio-padrão de 60% deste valor exato. Como era esperado

os resultados obtidos foram um pouco piores daqueles obtidos com desvio padrão de

20%, como mostra a tabela 6.23.

Os resultados obtidos estão na tabela 6.23 e nas figuras 6.45 a 6.48 onde pode

ser visto que houve uma excelente concordância entre as funções exata e estimada para

o Biot no contato (valor médio da cadeia de Markov depois de desprezados o período de

aquecimento, de 8000 amostras). O erro RMS correspondente a esta estimativa é de 0.7

e a dispersão dos valores estimados (figura 6.47), os desvios-padrão das estimativas

encontram-se em torno de 0.6 conforme era previsto.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




85


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


0.7 50420 21%

A comparação das figuras 6.45, 6.46 com as figuras 6.36, 6.37 mostra

claramente que a função não é tão bem estimada quando a informação a priori

disponível tem maior incerteza. De fato, o erro RMS é maior neste caso, quando

comparado com aquele do caso 6.3.1 (ver tabelas 6.21 e 6.22 e os gráficos das figuras

6.37 e 6.38), bem como o desvio-padrão das estimativas é maior (ver figuras 6.39 e

6.47).

O comportamento das cadeias de Markov para este caso é semelhante daquelas

dos casos anteriores. O ponto considerado para análise da cadeia de Markov em uma

região correspondente a contato perfeito foi aquele na posição � 0, � 0, enquanto o

ponto na região correspondente à falha foi aquele na posição � 2, � 3 .

Os resultados obtidos são excelentes, tendo em vista o caráter pouco informativo

da distribuição a priori usada.


0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot

86





Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




87


Repete-se aqui o caso anterior, mas com o fluxo de calor imposto na outra face

do material, isto é, sobre a placa de epóxi com grafite. Os resultados foram igualmente

bons aos obtidos no caso anterior, os valores de Biot de contato estimados foram muito

próximos dos valores exatos como pode ser visualizado nas figuras 6.49 a 6.50.

De fato, o erro RMS neste caso (tabela 6.24) foi menor do que no caso anterior

(tabela 6.23), comprovando a qualidade dos resultados obtidos. Isto pode ser explicado

novamente, devido à maior variação de temperatura entre as regiões com falha no

contato térmico e as regiões sem falha, isto pode ser visualizado no gráfico de

distribuição de temperaturas para este caso (sem o erro simulando medidas), na figura

6.31, para o tempo final de 8 0.065.







A figura 6.52 mostra uma boa convergência das cadeias de Markov analisadas,

comprovando que o método usado é capaz de distinguir as regiões de contato daquelas

com falhas, a partir de 8000 estados (após o período de aquecimento).

A comparação das figuras 6.49, 6.50 com as figuras 6.45, 6.46 e ainda com as

figuras 6.37 e 6.38, mostra que a função não é tão bem estimada quando a informação a

priori disponível tem maior incerteza e ainda quando o material exposto ao fluxo de

calor tem maior condutividade térmica, devido aos fatores comentados anteriormente.

Os resultados obtidos para este caso (tabela 6.24 e figuras 6.49 a 6.52),

entretanto confirmam que neste caso é possível estimar com boa precisão o Biot de

contato, mesmo com priori pouco informativa e com sua maior incerteza.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


0.3100 50801 0.28%

88




0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

89


6.3.3 Informação a priori não-informativa uniforme, com 6 � = � >6,

desvio padrão das medidas igual a 0.1% da maior temperatura medida.

Utilizando 121 sensores na superfície

Nesta seção aborda-se o caso em que considera-se uma distribuição a priori não

informativa, codificada na forma de uma distribuição uniforme, com valores

equiprováveis no intervalo 0 � #$��%, &� � 50, e probabilidade nula fora deste

intervalo.


Inicialmente pode-se perceber que o erro RMS (vide tabela 6.25) obtido para

este caso foi maior do que o dos casos anteriores, onde havia uma informação a priori

informativa. Por outro lado tal erro é aceitável já que a função exata foi muito bem

recuperada, conforme ilustrado nas figuras 6.52 e 6.53, apesar da pouquíssima

informação a priori. Este caso em análise corresponde ao problema direto analisado na

seção 6.2.1, cujo gráfico de distribuição de temperaturas no tempo final utilizado

8 0.065 está na figura 6.29.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




90

Observa-se nas figuras 6.52 e 6.53 que a função estimada foi bastante próxima

da função exata, destaca-se que nos pontos onde havia falha no contato térmico a

qualidade da estimativa foi muito alta.







A figura 6.56 mostra uma boa convergência das cadeias de Markov analisadas,

comprovando que o método usado é capaz de distinguir as regiões de contato daquelas

com falhas, a partir de 8000 estados (após o período de aquecimento) mesmo neste caso

onde existe muito pouca informação a priori, por ela ser uniforme e não-informativa.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


1.35 25985 23%


0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18

Biot



X

Y

Biot

91





Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Bio

t Est

imad

o




92


Este caso é semelhante ao anterior, entretanto, considera-se que a placa de epóxi

revestido com fibra de grafite está exposta ao fluxo de calor, ao invés da placa de

titânio. Os resultados foram igualmente bons aos obtidos no caso anterior, como pode

ser visualizado nas figuras 6.57 a 6.69 e a função de Biot de contato muito bem

recuperada como mostram as figuras 6.57 e 6.58. De fato, o erro RMS (tabela 6.26) foi

maior do que os casos onde a priori era informativa, entretanto considerando a pouca

informação a priori neste, assim como no caso anterior, o valor RMS é perfeitamente

aceitável. O gráfico de distribuição de temperaturas para este caso pode ser visualizado

na figura 6.31, sem a adição dos erros de medição simulados, para o tempo final de

8 0.065.







A figura 6.60 mostra que o valor do ponto de contato teve convergência para um

valor menor do que esperado, porém dentro da variação esperada para estes casos com

informação a priori não-informativa, mesmo assim, comprova que o método usado é

capaz de distinguir com boa precisão as regiões de contato daquelas com falhas. O

período de aquecimento utilizado neste caso foi de 6000 amostras. Portanto, somente os

estados seguintes ao período de aquecimento foram usados para os cálculos dos valores

médios e dos desvios-padrão das estimativas, como nos casos anteriores.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


1.7716 23137 0.22%

93




0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

94




desvio padrão da informação a priori 5./ 6. 76-. Utilizando 441 sensores

na superfície


Este caso é correspondente ao primeiro caso estudado, item 6.3.1, mas

aumentou-se a resolução espacial das medidas de temperatura e, por conseqüência, da

função a ser estimada. Tal fato permite analisar a capacidade do presente método de

estimativa para identificar falhas de contato de menores dimensões. Consideraram-se

ainda outros casos com uma maior resolução espacial, mas o tempo computacional para

a solução do problema inverso seria extremamente alto.

De fato, com esta resolução espacial de 441 pontos na superfície foram

necessários 137197 segundos para obter 10000 estados da cadeia de Markov, ou seja,

aproximadamente 38 horas. Num caso 50 x 50 o tempo chegaria a 8 ou 9 dias para

alcançar o mesmo número de estados da cadeia. Por este motivo, nos casos

apresentados para uma resolução de uma malha com 21x21 pontos, foram utilizados

apenas 10000 estados e não 15000 estados como nos casos com 11x11 pontos na malha,

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




95

dos quais os primeiros 8000 estados foram desprezados por estarem no período de

aquecimento. Entretanto, como poderá ser visto, mesmo com menos estados é possível

verificar a eficácia do método.

Os resultados obtidos para este caso estão na tabela 6.27 e nas figuras 6.61 a

6.64. Na tabela 6.27 pode ser visto que o erro RMS para este caso foi muito baixo,

comprovando a qualidade da estimativa obtida.


claramente que a função foi tão bem estimada quanto no caso com menor número de

pontos na malha em x e y, fica claro nestas figuras em escala gráfica as regiões de falha

e de contato, assim como a qualidade da recuperação dos valores do #$��%, &� em

ambos os casos. De fato, o erro RMS é semelhante quando comparado com o caso 6.3.1

(ver tabelas 6.21 e 6.22 e os gráficos das figuras 6.37 e 6.38), o mesmo não ocorre com

o desvio-padrão das estimativas, que neste caso (ver Figura 6.63) é maior do que o

apresentado no primeiro caso (ver figura 6.39), nota-se que devido à utilização de

poucos estados da cadeia de Markov (ver figura 6.64), utilizou-se os estados entre 8000

e 10000 onde o período de aquecimento havia terminado, o desvio padrão esteve acima

do esperado.

O comportamento das cadeias de Markov para este caso se mostrou semelhante

aquele apresentado nos casos anteriores, entretanto como dito anteriormente, o

problema foi interrompido após 10000 estados, devido ao alto tempo computacional. O

ponto considerado para análise da cadeia de Markov em uma região correspondente a

contato perfeito foi aquele na posição � 0, � 0, enquanto o ponto na região

correspondente à falha foi aquele na posição � 3, � 3.5.

Os resultados obtidos são excelentes, e mostram que com a otimização do tempo

de CPU na solução do problema direto, malhas muito mais refinadas podem ser

utilizadas para conseguir distinguir regiões com falhas bem pequenas.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


0.24 137197 19%

96




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

97



padrão das medidas igual a 1% da maior temperatura medida e com desvio

padrão da informação a priori 5./ 6. 76-. Utilizando 121 sensores na

superfície

Considera-se nesta seção e naquelas seguintes, casos envolvendo erros de

medição 10 vezes maiores do que aqueles analisados acima. Inicialmente os resultados

não foram bons, observou-se então que com este erro, no tempo final 8 0.065 as

temperaturas tinham uma pequena variação entre os pontos de contato e os pontos de

falha, como mostram os gráficos de perfil de perfil de temperatura neste tempo (vide

figuras 6.29 e 6.31 com perfil de temperatura sem erro de medição). Desta maneira,

tinham a mesma ordem de grandeza do desvio padrão o que impossibilitava a detecção

da influência do Biot de contato.

Para solucionar este problema considerou-se então um novo tempo final igual a

8 0.13 em todos os casos com este desvio padrão de 1% da temperatura máxima,

desta forma conforme pode ser observado nas figuras 6.30 e 6.32 houve uma maior

variação de temperatura entre as regiões de contato e com falha. Este aumento no tempo

final resultou em um aumento de mais de 30% no tempo computacional envolvido,

conforme analisado abaixo.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000

Bio

t Est

imad

o




98


Os resultados obtidos para este caso foram especialmente bons, como podem ser

visualizados na tabela 6.28 e nas figuras 6.65 a 6.68. As figuras 6.65 e 6.66, apresentam

a comparação entre as funções exata e estimada. A figura 6.67 apresenta os valores

estimados para os desvios-padrão dos valores pontuais da função na malha espacial

considerada.

As cadeias de Markov para dois pontos desta malha espacial são apresentadas na

figura 6.68. O ponto considerado para análise da cadeia de Markov em uma região

correspondente a contato perfeito foi aquele na posição � 0, � 0, enquanto o ponto

na região correspondente à falha foi aquele na posição � 2, � 3, conforme foi

realizado em todos os casos com malha em X, Y de 11x11.

Comparando os resultados obtidos para este caso com o primeiro caso, 6.3.1.1

(vide tabela 6.21 e figuras (6.37 a 6.40)), pode ser observado que mesmo o erro das

medições aumentando 10 vezes os resultados obtidos não apenas são excelentes como

também não melhores do que os obtidos no primeiro caso teste, cujo erro de medição

era menor. Este fato pode ser explicado, pela maior diferença de temperatura entre os

pontos com contato e com falha, entretanto como foi visto a utilização de um tempo

final menor naquele caso permitiu a estimativa de funções com excelente qualidade e

com um tempo computacional muito menor.

A pequena incerteza considerada na informação a priori permitiu que o erro

RMS estivesse em torno de 0.06, muito pequeno como mostra a tabela 6.28, entretanto

nesta mesma tabela pode ser visto o aumento no tempo de CPU gasto na execução deste

problema até 15000 estados da cadeia de Markov.

Nas figuras 6.65 e 6.66 se confirma graficamente a excelente estimativa obtida,

sendo em escala gráfica, obtida uma estimativa idêntica a função exata. De fato,

conforme era esperado, o desvio padrão obtido (figura 6.67) esteve em torno de 0.2.


analisadas. De fato, o método usado foi capaz de rapidamente distinguir as regiões de

contato daquelas com falhas, isto é, a partir de 4000 estados.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


6.4857 x 10-2 80911 23%

99




0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

100



Este caso é semelhante ao caso 6.3.1.2, onde considera-se que a placa de epóxi

revestido com fibra de grafite é exposta ao fluxo de calor, ao invés da placa de titânio.

Neste caso da mesma maneira que foi realizado no caso anterior, o erro de medições foi

ampliado 10 vezes. Os resultados foram igualmente bons aos obtidos no caso anterior,

como pode ser visualizado nas figuras 6.69 a 6.72.

As figuras 6.69 e 6.70 mostram uma excelente concordância entre as funções

exata e estimada (valor médio da cadeia de Markov depois de desprezados o período de

aquecimento de 4000 amostras). De fato, o erro RMS correspondente a esta estimativa é

de 0.06, muito pequeno. Além disso, a dispersão dos valores estimados é pequena,

como pode ser observado na figura 6.71 os desvios-padrão das estimativas encontram-

se em torno de 0.2, como era esperado. Nesta figura 6.71 , podem ser vistos os valores

estimados para os desvios-padrão dos valores pontuais da função na malha espacial

considerada.

Novamente, mesmo com erro de medição maior, obteve-se neste caso

estimativas melhores do que aquelas obtidas no caso 3.3.1.2, cujo erro de medição era

de 0.1%, este fato pode ser explicado novamente devido à maior variação de

temperatura entre as regiões com falha no contato térmico e as regiões sem falha, isto

pode ser comprovado no gráfico de distribuição de temperaturas para este caso, na

figura 6.32, para o tempo final de 8 0.13.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




101




na região correspondente à falha foi aquele na posição � 2, � 3, os mesmos pontos

analisados no caso anterior. A figura 6.44 mostra uma excelente convergência das

cadeias de Markov analisadas, comprovando que o método usado é capaz de

rapidamente distinguir as regiões de contato daquelas com falhas, isto é, a partir de 4000

estados (após o período de aquecimento). Portanto, somente os estados seguintes foram

usados para os cálculos dos valores médios e dos desvios-padrão das estimativas, como

nos casos anteriores, Pode ser observada ainda, uma pequena diminuição do erro RMS

obtido neste caso em relação ao caso anterior com titânio exposto ao fluxo de calor

(vide tabelas 6.29 e 6.28), isto ocorreu devido à melhor definição das regiões de contato

e de falha na distribuição espacial de temperaturas na superfície.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


6.2031 x 10-2 66208.88 17%


0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot

102





Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




103



padrão da informação a priori 5./ 6. <6-. Utilizando 121 sensores na

superfície

Neste teste aumentou-se o desvio padrão da informação a priori, isto é,

considera-se maior a incerteza na informação disponível sobre os parâmetros antes de

serem tomadas as medidas de temperatura no experimento idealizado. Considerou-se a

informação a priori na forma de uma distribuição gaussiana conforme foi feito em

alguns casos anteriores, com valor médio igual ao valor de cBi exato num ponto onde

existe contato térmico perfeito, mas com desvio-padrão de 60% deste valor exato. Como

era esperado os resultados obtidos foram um pouco piores daqueles obtidos com desvio

padrão de 20%, apresentados no item 6.3.2.1.


Os resultados obtidos estão na tabela 6.30 e nas figuras 6.73 a 6.76 onde pode

ser visto que houve uma excelente concordância entre as funções exata e estimada para

o Biot no contato. O erro RMS correspondente a esta estimativa é de 0.1948 e a

dispersão dos valores estimados (figura 6.75), os desvios-padrão das estimativas

encontram-se em torno de 0.6 conforme era previsto.




na região correspondente à falha foi aquele na posição � 2, � 3, os mesmos pontos

analisados no caso anterior. A figura 6.76 mostra novamente uma excelente

convergência das cadeias de Markov analisadas, comprovando que o método usado é

capaz de rapidamente distinguir as regiões de contato daquelas com falhas, isto é, a

partir de 6000 estados (após o período de aquecimento).

Comparando os resultados obtidos neste caso (figuras 6.73 a 6.76) com os

resultados obtidos com a mesma informação a priori (6.3.2.1), porém com erro de

medição menor, observa-se novamente que o tempo final do experimento permitiu que

as estimativas fossem melhores do que naquele caso, mesmo que neste caso os erros de

medição fossem menores. Ao comparar este caso com o caso onde os erros de medição

são iguais porém a informação a priori possuía um desvio padrão da informação a

104

priori maior, isto é, uma maior a incerteza na informação disponível sobre os

parâmetros antes de serem tomadas as medidas de temperatura no experimento

idealizado, os resultados foram piores, como pode ser visto nas tabelas 6.29 e 6.28, onde

pode-se comparar a enorme diferença entre os erros RMS, embora mesmo assim as

estimativas obtidas neste caso são excelentes. Pode-se então concluir, que mesmo com

erros de medição altos com um ajuste adequado no tempo final do experimento pode-se

obter bons resultados.

Tabela 6.30 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor

Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


0.1948 44464 34%



0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

105



6.3.7 Informação a priori não-informativa uniforme, com 6 � = � >6,

desvio padrão das medidas igual a 1% da maior temperatura medida.

Utilizando 121 sensores na superfície

Nesta seção aborda-se novamente o caso em que considera-se uma distribuição a

priori não informativa, codificada na forma de uma distribuição uniforme, com valores

equiprováveis no intervalo 0 � #$��%, &� � 50, e probabilidade nula fora deste

intervalo. Porém neste caso, os erros de medição são 10 vezes maiores do que nos casos

anteriores onde esta abordagem foi realizada (vide item 6.3.3).


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




106


Este caso representa uma variação do caso estudado no item 6.3.3.1, porém

como foi dito anteriormente utilizou-se aqui um erro de medição 10 vezes maior e

conseqüentemente um tempo final igual aos casos com este erro, de 8 0.13. Os

resultados obtidos para este caso são apresentados na tabela 6.31 e nas figuras 6.77 a

6.80.

Inicialmente pode-se perceber que o erro RMS (vide tabela 6.31) obtido para

este caso foi muito maior do que todos os casos estudados anteriormente, devido a

necessidade de que para este caso fossem obtidos mais estados da cadeia de Markov

para que a mesma atingisse uma região de estabilidade. Por outro lado, tal erro é

aceitável já que a função exata foi bem recuperada, conforme ilustrado nas figuras 6.77

e 6.78, apesar da pouquíssima informação a priori e da pouca quantidade de estados na

cadeia de Markov. Este caso em análise corresponde ao problema direto analisado na

seção 6.2, cujo gráfico de distribuição de temperaturas no tempo final utilizado 8

0.13 está na figura 6.30.

Observa-se nas figuras 6.77 e 6.78 que a função estimada razoavelmente

próxima da função exata, destaca-se que nos pontos onde havia falha no contato térmico

a qualidade da estimativa foi muito alta.







A figura 6.80 mostra uma convergência mais lenta das cadeias de Markov

analisadas, comprovando que o método usado é capaz de distinguir as regiões de

contato daquelas com falhas, porém deve-se utilizar uma maior quantidade de estados

da cadeia de Markov após o período de aquecimento.

Entretanto, considerando a pouca informação a priori e o alto erro considerado

nas medições, pode-se dizer que estes resultados também estão excelentes e permitem

qualificar com razoável precisão as regiões onde existem falhas no contato térmico.

107

Tabela 6.31 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor

Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


2.47 16889 22%



0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18 20

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

108




Este caso consiste num caso semelhante ao último caso estudado, porém a placa

teve a superfície oposta exposta ao fluxo de calor, ou seja, neste caso o epóxi foi

exposto ao fluxo de calor.

Assim, como comparações anteriores em relação a mudança de posição do

compósito, esta alteração provocou uma pequena diminuição do erro RMS devido às

características de distribuição de temperatura do epóxi. Os resultados obtidos para este

caso estão apresentados na tabela 6.32 e nas figuras 6.81 a 6.84. Na tabela 6.32 observa-

se que assim como no caso anterior houve um erro RMS maior do que todos os casos


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.5

1

1.5

2

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




109

estudados, devido à pouca informação a priori disponível e ainda ao maior erro de

medição simulado. Entretanto, nas figuras 6.81 e 6.82 pode-se visualizar que a função

exata foi muito bem recuperada.






aquele na posição � 2, � 3, os mesmos pontos analisados nos casos anteriores.

Entretanto, considerando a pouca informação a priori e o alto erro considerado

nas medições, pode-se dizer que estes resultados também estão excelentes e permitem

qualificar com razoável precisão as regiões onde existem falhas no contato térmico.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


2.15 17632 31%


0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18

Biot



X

Y

Biot

110





Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.5

1

1.5

2

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Bio

t Est

imad

o




111



padrão da informação a priori 5./ 6. 76-. Utilizando 441 sensores na

superfície


Este caso correspondente ao primeiro caso estudado, item 6.3.1, mas com um

aumento na resolução espacial das medidas de temperatura e, por conseqüência, da

função a ser estimada. Corresponde também ao caso 6.3.4.1, porém aumentando o erro

de medição em 10 vezes.

De fato, com esta resolução espacial de 441 pontos na superfície foram

necessários 12850 segundos para obter 10000 estados da cadeia de Markov. Por este

motivo, nos casos apresentados para uma resolução de uma malha com 21x21 pontos,

foram utilizados apenas 10000 estados e não 15000 estados como nos casos com 11x11

pontos na malha, destes estados os primeiros 8000 estados foram desprezados por

estarem no período de aquecimento da cadeia.

Os resultados obtidos para este caso estão na tabela 6.33 e nas figuras 6.85 a

6.88. Na tabela 6.33 pode ser visto que o erro RMS para este caso foi muito baixo,

comprovando a qualidade da estimativa obtida.


claramente que a função foi tão bem estimada quanto no caso com menor número de

pontos na malha em x e y. De fato, o erro RMS é semelhante quando comparado com o

caso 6.3.1 (ver tabela 6.21 e 6.22 e os gráficos das figuras 6.37 e 6.38) e foi maior do

que o erro obtido no caso 6.3.4.1, devido ao maior erro de medição simulado.

Da mesma forma que ocorre no caso 6.3.4.1 o desvio-padrão das estimativas

(figura 8.87) é maior do que o esperado em torno de 0.20, nota-se que isto ocorreu

devido à utilização de poucos estados da cadeia de Markov (ver figura 6.88) onde

utilizou-se os estados entre 8000 e 10000 (estados após o período de aquecimento).

O comportamento das cadeias de Markov para este caso se mostrou promissor,

entretanto como dito anteriormente, o problema foi interrompido após 10000 estados,

devido ao alto tempo computacional (ver figura 6.88). O ponto considerado para análise

da cadeia de Markov em uma região correspondente a contato perfeito foi aquele na

posição � 0, � 0, enquanto o ponto na região correspondente à falha foi aquele na

posição � 3, � 3.5. Pode-se observar na figura 6.88 que a cadeia convergiu

112

rapidamente e após 8000 estados mesmo com erros de medição altos a cadeia já começa

a estabilizar.

Os resultados obtidos são excelentes, e mostram novamente que com a

otimização do tempo de CPU na solução do problema direto, malhas muito mais

refinadas podem ser utilizadas para conseguir distinguir regiões com falhas bem

pequenas.


Erro RMS

Tempo de CPU ( s )


0.31 12850 26%

Figura 6.85 – Biot exato comparado com o Biot estimado.

0 2

4 6

8 10 0

2 4

6 8

10

0 2 4 6 8

10 12 14

Biot



X

Y

Biot


Biot Exato

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

Biot Estimado

0 2 4 6 8 10

X

0

2

4

6

8

10

Y

0

4

8

12

16

20

113



Figura 6.88 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um ponto com contato

térmico perfeito.


0 2

4 6

8 10

X

0 2

4 6

8 10

Y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Desvio Padrao

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2000 4000 6000 8000 10000

Bio

t Est

imad

o




114

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Este trabalho teve como objetivo detectar falhas de contato em compósitos

laminados, através da solução do problema inverso de transferência de calor. A análise

realizada toma como base medidas de temperatura em uma das superfícies da placa de

compósito através de uma câmera de termografia por infravermelho. As medições são

realizadas na mesma superfície que é aquecida através da imposição de um fluxo de

calor constante.

A solução do problema direto proposta aqui foi obtida através de uma técnica

híbrida, que faz uso da Transformada Integral Generalizada (GITT) e de diferenças

finitas, considerando um coeficiente de troca térmica no contato dependente da posição

na superfície, hc (x,y). A solução do problema direto foi verificada usando-se soluções

analíticas para diferentes casos.

A solução do problema inverso foi obtida com o método de Monte Carlo com

Cadeias de Markov (MCMC), tendo sido analisadas diversos tipos de distribuições a

priori para a função a ser estimada, incluindo distribuições Gaussianas e uniforme (não

informativa). Em todos os casos analisados foi possível determinar as regiões onde

existiam falhas além de conseguir, com boa precisão, identificar o valor do coeficiente

de troca térmica no contato.

Entre as maiores dificuldades encontradas, destaca-se a necessidade de muitos

termos na cadeia de Markov e com isto necessitar reduzir o tempo de CPU gasto na

solução do problema direto. Malhas computacionais com 11x11 pontos em x e y fazem

com que o problema direto leve cerca de 3 a 4 segundos o que faz com que o tempo

para a solução do problema inverso com 15000 estados da cadeia de Markov demore 10

a 15 horas.

Considera-se importante que em trabalhos futuros a solução do problema direto

seja otimizada, visando obter um menor tempo de CPU, possibilitando a solução de

problemas com um maior refinamento de malha na superfície a ser analisada.

Entretanto, é importante ressaltar que o tempo de CPU obtido neste trabalho já pode ser

considerado baixo considerando a complexidade do problema direto. Uma possibilidade

para aumentar a economia do tempo de CPU, consiste em usar as medidas

transformadas, reduzindo assim as medidas distribuídas espacialmente a alguns modos

transformados.

115

Sugere-se ainda que o coeficiente de troca térmica no contato seja expandido em

autofunções a fim de calcular analiticamente a integral que faz a transformação integral

em X e Y. Sugere-se ainda a realização de experimentos que validem a solução obtida

neste trabalho para os problemas direto e inverso.

116

CAPÍTULO 8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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119

APÊNDICE A - Teste I em regime permanente

Considerando um problema de condução de calor estacionário unidimensional,

num material compósito laminado constituído por duas placas de espessura 1matc e

2matc ,

conforme o esquema descrito na figura A.1.

Figura A.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente

Este problema de condução de calor tem a seguinte formulação matemática:

( )

( )1

1

21

2

22

2

0; Para 0

0; Para

mat

mat

d T zz c

dz

d T zc z c

dz

= < <

= < < (6.1)

sujeita às condições de contorno e interface:

( ) ( ) 0

11 0 1 em 0dT z

h T zd

Tz

k h z∞+− = = (6.2)

( ) ( )

( ) ( ) ( )1

1 21 2

121 1

em a

c

m t

dT z dT z

dz dzdT z

h T z T zd

k kc

kz

z

= =

= −

(6.3)

( ) ( )2

2 2 2 2* em constk h T

dT zh T z

dzq z c∞+ = + = (6.4)

A solução deste problema é obtida integrando duas vezes as equações (1):

120

( )( )

1 1 2

2 3 4

T z C zC

T z C zC

= +

= + (6.5)

e utilizando as equações de contorno e interface, pode-se formar o sistema de equações

para determinar os coeficientes constantes:

( )( )

1 1

1 2 1 0 0

1 2 2 4

1 2 1 2 3 4

*2 4 3 4 2 2

c mat mat

cons

k C C h T h

k C k C

k C h C c C C c C

k C C cC h q T h

∞

∞

− + − − + + + + +

=

=

=

=

(6.6)

desta forma considerando as dimensões da placa (tabela 6.1), as temperaturas impostas

(tabela 6.2), as propriedades do nylon 6-6 e os parâmetros de entrada (tabela 6.4),a

solução geral para o problema de transferência de calor pode ser escrito como:

( )

( )

1

2

172.8 72000

1152 71.04 1152 71.04

892.8

25

72000

1152 71.04 1152 71.04 40

c c

c c

c c

c c

h hT z z

h h

h hT z

hz

h

= ++ +

+=

+

−+ +

(6.7)

121

APÊNDICE B - Teste I em regime transiente

Considerando um problema de condução de calor transiente unidimensional,

numa placa com espessura 2matc , conforme o esquema descrito na figura B.1. Sujeito a

um isolamento térmico perfeito na posição z = 0 e a um fluxo de calor e troca de calor

por convecção em z = c.

Figura B.1 - Desenho esquemático do teste 1, em regime transiente

A formulação matemática deste problema é regida pela equação do calor

unidimensional transiente, como segue:

( ) ( )

2

2

22

1, 0 e 0

, ,mat

T Tz c t

t

z t z t

zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.1)

sujeita as condições de contorno:

( )

0, ,

0 e 0T

zz

tt

z∂= = >

∂ (6.2)

( ) ( )( )

2

*2 2

,, , e 0const mat

Tk h T T q z c

z

zz t t

t∞

∂+ − = = >

∂ (6.3)

e a condição inicial:

2

, 0 e 0ini matT T z c t= ≤ ≤ = (6.4)

122

A solução deste problema pode ser obtida inicialmente dividindo-o em dois

problemas, o primeiro contendo o problema permanente e o segundo contendo a parcela

transiente. Esta técnica é utilizada com a finalidade de homogeneizar as condições de

contorno do problema principal.

Desta forma, considera-se que o problema pode ser reescrito da seguinte

maneira:

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.5)

onde ( )F z , como foi dito anteriormente, corresponde a um filtro obtido a partir da

solução do problema estacionário correspondente. Considera-se então ( ),fT z t o

problema filtrado relacionado, cujas condições de contorno foram homogeneizadas.

Assim, aplicando a equação (5) nas equações (1) a (4), pode-se separar o

problema original nestes dois sub-problemas, a seguir a formulação matemática do

problema filtro:

( )2

220; Para 0 mat

d F zz c

dz= < < (6.6)

( )

0,em 0dF

dz

zz= = (6.7)

( ) ( )

2

*2 22 em mat

zk h T z

dFh F z

dzc∞= =+ (6.8)

A solução deste problema é análoga a solução do problema teste 1 em regime

permanente, porém aqui trata-se de uma placa com apenas um material. Esta solução é

obtida integrando a equação (6) duas vezes e utilizando as condições de contorno para

determinar os coeficientes constantes.

( ) *F z T∞= (6.9)

O problema filtrado, ( ),fT z t , possui a seguinte formulação matemática:

( ) ( )2

222

, ,1, Para 0 e 0f f

mat

T z t T z tz c t

t zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.10)

123

com as seguintes condições de contorno:

( )

0, 0 e 0,fT

z tz

z t∂= = >

∂ (6.11)

( ) ( )

22 2

,, , e 0f

f const mat

Tk h T q z

z tz t c t

z

∂+ = = >

∂ (6.12)

Juntamente com a condição inicial:

( ) ( ) 2Para 0 e , 0,f mi i tn az t TT z c tF z ≤ ≤= =− (6.13)

Para a solução do problema filtrado, ( ),fT z t , será utilizada a técnica da

transformada integral clássica, CITT (ÖZIŞIK, 1993 ,COTTA, 1993). Primeiramente,

definiu-se um par transformada-inversa:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

0

1

, , ' ', '

,, ,

matc

m m

z

mm

Z

f

fm

f

fm

T t Z z z t dz

Z zz

ransformada T T

Inversa tTN

T t

β β

ββ

β

=

∞

=

=

=

∫

∑ (6.14)

Aplicando a transformada integral no problema com relação a x obtém-se o

seguinte problema reduzido à um sistema de EDO’s:

( ) ( ) ( ) ( )22

2 22

,,, , para 0

m matf mm f m

Z cdT tT t q t t

dt k

ββα β β α+ = > (6.15)

( ) ( ),, para 0f f inim mt T tT β β= = (6.16)

Solucionando as equações (15) e (16) e utilizando a fórmula da inversa a solução

do problema filtrado pode ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 222

'2'

,1 20

' ,, , '

m

m

ttm matt

f m f inim m

mZ

q t Z ceT z t Z z T e d

kNt

α βα β

α ββ

ββ

−∞

=

= +

∑ ∫ (6.17)

124

onde ( ) ( )( ) ( )2

,

0

,matc


Pela literatura (ÖZIŞIK, 1993) pode-se obter diretamente as autofunções, que

são obtidas solucionando o problema auxiliar:

( ) ( )

( )

( ) ( )

22

2

2

0;0

0; 0

0;

Z zZ z z c

zZ z

zz

Z zH Z z z c

z

β∂

+ = < < ∂∂ = = ∂∂

+ = = ∂

(6.18)

cuja solução é

( ) ( ), cosm mZ z zβ β= (6.19)

onde

( ) ( )2

2 22 2

22 2 22 2

12 ,m

m matZ m

H hH

kc H HN

ββ β

+ = =

+ +

(6.20)

Lembrando que ( ) ( )2

2

0

,matc

mZ m Z z dN zβ β= ∫ . Os autovalores mβ são as raízes positivas

da equação transcedental:

( )2 2tanm m matc Hβ β = (6.21)

Desta forma, a solução do problema teste ( ),T z t é encontrada somando as

soluções do problema filtro ( )F z com o problema filtrado ( ),fT z t .

125

APÊNDICE C - Teste II em regime transiente


numa placa com espessura 2matc , conforme o esquema descrito na figura C.1. Sujeito a

uma temperatura prescrita na posição z = 0 e a um fluxo de calor e troca de calor por

convecção em z = c.

Figura C.1 - Desenho esquemático do teste 2, em regime transiente



( ) ( )

2

2

22

1, 0 e 0

, ,mat

T Tz c t

t

z t z t

zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.1)

sujeita as condições de contorno:

( ) , , 0 e 0T T z tz t ∞= = > (6.2)

( ) ( )( )

2

*2 2

,, , e 0const mat

Tk h T T q z c

z

zz t t

t∞

∂+ − = = >

∂ (6.3)

e a condição inicial:

2

, 0 e 0ini matT T z c t= ≤ ≤ = (6.4)

126






maneira:

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.5)






problema filtro:

( )2

220, Para 0 mat

d F zz c

dz= < < (6.6)

( ) ,em 0z T zF ∞= = (6.7)

( ) ( )

2

*2 22 em mat

zk h T z

dFh F z

dzc∞= =+ (6.8)





( ) 25 + 675.676 zF z = (6.9)


( ) ( )2

222

, ,1, Para 0 e 0f f

mat

T z t T z tz c t

t zα∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.10)

127


( ) 0, 0 , e 0fT z tz t = = > (6.11)

( ) ( )

22 2

,, , e 0f

f const mat

Tk h T q z

z tz t c t

z

∂+ = = >

∂ (6.12)


( ) ( ) 2Para 0 e , 0,f mi i tn az t TT z c tF z ≤ ≤= =− (6.13)


transformada integral clássica, CITT (ÖZIŞIK, 1993, COTTA, 1993). Primeiramente,

definiu-se um par transformada-inversa:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

0

1

, , ' ', '

,, ,

matc

m m

z

mm

Z

f

fm

f

fm

T t Z z z t dz

Z zz

ransformada T T

Inversa tTN

T t

β β

ββ

β

=

∞

=

=

=

∫

∑ (6.14)



( ) ( ) ( ) ( )22

2 22

,,, , para 0

m matf mm f m

Z cdT tT t q t t

dt k

ββα β β α+ = > (6.15)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 222

'2'

,1 20

' ,, , '

m

m

ttm matt

f m f inim Z m

m


N k

α βα β

α ββ

ββ

−∞

=

= +

∑ ∫ (6.17)

128

onde ( ) ( )( ) ( )2

,

0

,matc




( ) ( )

( )( ) ( )

22

2

2

0;0

0; 0

0;

Z zZ z z c

zZ z z

Z zH Z z z c

z

β∂

+ = < < ∂ = =∂ + = = ∂

(6.18)

cuja solução é:

( ) ( ), sinm mZ z zβ β= (6.19)

( ) ( )2

2 22 2

22 2 22 2

12 ,m

Z m mat m

H hH

N kc H H

ββ β

+ = =

+ +

(6.20)

Lembrando que ( ) ( )2

2

0

,matc

mZ m Z z dN zβ β= ∫ . Os autovalores mβ são as raízes positivas


( )2 2cotm m matc Hβ β = − (6.21)



129

APÊNDICE D - Teste III em regime transiente


numa placa com espessura c , conforme o esquema descrito na figura D.1. Sujeito a uma

troca de calor por convecção em z = 0 e a um fluxo de calor constante juntamente com

uma troca de calor por convecção em z = c.

Figura D.1 - Desenho esquemático do teste 3, em regime transiente



( ) ( )2

2

1, 0 e 0

, ,T Tz c t

t z

z t z t

α∂ ∂

= < < >∂ ∂

(6.1)


( ) ( )( )0 0, 0 e 0

,,

Tk h T T

z tz

zt z t∞

∂− + − = = >

∂ (6.2)

( ) ( )( )*

2 , 0, e ,

const

Tk h T T q z c tz t

z

z t∞

∂+ − = = >

∂ (6.3)


, 0 e 0iniT T z c t= ≤ ≤ = (6.4)

130

A solução deste problema pode ser obtida dividindo-o em dois problemas, o

primeiro contendo o problema permanente e o segundo contendo a parcela transiente.

Esta técnica é utilizada com a finalidade de homogeneizar as condições de contorno do

problema principal.


maneira:

( ) ( ) ( ), ,fT z t T z t F z= + (6.5)






problema filtro:

( )2

20, Para 0

d F zz c

dz= < < (6.6)

( ) ( ) 00 em 0

dFh F z

zk h T z

dz ∞− = =+ (6.7)

( ) ( )( )*

2 em const

zk T q z c

dFh F z

dz ∞ =− =+ (6.8)





( ) 27.5 + 1000 zF z = (6.9)


( ) ( )2

2

, ,1, Para 0 e 0f fT z t T z t

z c tt zα

∂ ∂= < < >

∂ ∂ (6.10)

131


( ) ( )0

,, 0 em 0 e 0 f

f

z tk z t

TT

zzh t

∂+

∂= = >− (6.11)

( ) ( )2 0 em , 0

,e f

f

z tz t

Tk h T z c t

z

∂+ = = >

∂ (6.12)


( ) ( ) Para, , 0 e 0inif zT z ct T tF z ≤− ≤= = (6.13)


transformada integral clássica, CITT (ÖZIŞIK, 1993, COTTA, 1993). Primeiramente,

definiu-se o par transformada-inversa:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0

1

, , ' ', '

,, ,

c

m m

z

f f

f fm

mm Z m

t Z z z t dTransformada T z

Z zz t t

N

T

Inversa T T

β β

ββ

β

=

∞

=

=

=

∫

∑ (6.14)



( ) ( )2,

, 0, para 0f mm f m

dT tT t t

dt

βαβ β+ = > (6.15)




( ) ( ) ( ) ( )2

,1

, ,mt

f m f inim Z

mm

eT z t Z z T

N

αβ

β ββ

−∞

=

=∑ (6.17)

132

onde ( ) ( )( ) ( ),

0

,c

f ini ini mmT T F z Z z dzββ = −∫ .



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

2

0

2

0;0

0; 0

0;

Z zZ z z c

zZ z

H Z z zz

Z zH Z z z c

z

β∂

+ = < < ∂ ∂− + = = ∂∂

+ = = ∂

(6.18)

cuja solução é:

( ) ( ) ( ) 00 0, cos sin ,m m m m

hZ z z H z H

kβ β β β= + = (6.19)

( ) ( ) ( )

1

2 2 02 20 0 0 22 2

2

12 , ,m

Z m m

hH hH c H H H

N k kHβ

β β

− = + + + = =

+

(6.20)

Lembrando que ( ) ( ) 2

0

,c

m mZN Z z dzβ β= ∫ . Os autovalores mβ são as raízes positivas


( ) ( )0 22

0 2

tan mm

m

H Hc

H H

ββ

β+

=−

(6.21)



133

APÊNDICE E - Teste IV em regime transiente

Considerando um problema de condução de calor transiente tridimensional,

conforme o esquema descrito na figura E.1. Sujeito uma troca de calor por convecção

em z = 0 e a um fluxo de calor variando na superfície perpendicular ao eixo z,

juntamente com uma troca de calor por convecção em z = c.

Figura E.1 - Desenho esquemático do teste 4, em regime transiente

O Fluxo de calor no problema será constante no tempo e será constante igual a

constq somente nas posições entre 10 x a≤ ≤ e 10 y b≤ ≤ . Este problema teste pode ser

formulado, utilizando a equação tridimensional transiente do calor, da seguinte maneira:

Para 0 ,0 ,0 e 0x a y b z c t< < < < < < > :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

, , , , , , , , , , , ,1 T T T T

t x y z


α∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

(6.1)

sujeito as condições de contornoem 0, , ,0 para 0x y x a y b z c t= = = = < < > :

0T T

x y

∂ ∂= =∂ ∂

(6.2)

em 0,0 ,0 e 0z x a y b t= < < < < > :

( ) ( )( )0

,0 , ,

Tk h T T

tz

z

zt ∞

∂− + − =

∂ (6.3)

134

em ,0 ,0 e 0z c x a y b t= < < < < > :

( ) ( )( ) ( )*

2

,, , ,

Tk

zh T T q y

tt

zz x t

∞

∂+ − =

∂ (6.4)

Em todo o compósito sujeito a condição inicial:

iniT T T∞= = (6.5)






maneira:

( ) ( ) ( ), , , , , ,fT x y z t T x y z t F z= + (6.6)






problema filtro:

( )2

20, Para 0

d F zz c

dz= < < (6.7)

( ) ( ) 00 em 0

dFh F z

zk h T z

dz ∞− = =+ (6.8)

( ) ( ) 2

*2 em

dFh F z h

dz

zk T z c∞+ = = (6.9)

135



entrada (tabela 6.4), a solução desde problema, pode ser escrita como:

( ) 25.83 + 333.33 zF z = (6.10)

O problema filtrado, resolvido através da técnica CITT e cuja solução também

esta detalhada no Apêndice E, tem a seguinte forma:

Para 0 ,0 ,0 e 0x a y b z c t< < < < < < > :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

1 , , , , , , , , , , , ,f f f fT T T T

t x y z


α∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

(6.1)

sujeito as condições de contornoem 0, , ,0 para 0x y x a y b z c t= = = = < < > :

0f fT T

x y

∂ ∂= =

∂ ∂ (6.2)

em 0,0 ,0 e 0z x a y b t= < < < < > :

( ) ( )0 0

,,f

f

Tk h T

z

z tz t

∂− + =

∂ (6.3)

em ,0 ,0 e 0z c x a y b t= < < < < > :

( ) ( ) ( )2

,, , ,f

f

Tk h T

z tz t q x y t

z

∂+ =

∂ (6.4)

Em todo o compósito sujeito a condição inicial:

( ) ( )f iniT T F z T F z∞= − = − (6.5)

136

Este problema filtrado será resolvido utilizando CITT. Assim, definindo um par

transformada inversa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 1

, ', ', ', ' ', , , ' , ' , '

, , ,, ,

'

, , , ,

f n k m n k f

m n

a b c

m

x y

kf f n k

z

mm n k x m y n z k

t x y z t dz dy dx

inve

transformada

T X x Y y Z z T

X x Y y Z zT T

N N N

rsa

x y z t t

γ η β γ η

β γ ηγ η

β γ η

β

β∞ ∞ ∞

= =

= = =

=

=

= ∑∑

∫ ∫ ∫

∑

(6.6)

Aplicando a técnica na equação governante do problema filtrado, obteve-se:

( ) ( ) ( )2 2 2 , , ,fm n k f k z c

dTT q x y t Z z

dt k

αα β γ η η=

+ + + = (6.7)

( ) ( ) ( ) ( ),

0 0 0

, , ,a b c

f ini ini m n kT T T X x Y y Z z dzdydxβ γ η∞= −∫ ∫ ∫ (6.8)

Este sistema de EDO’s foi solucionado e então aplicado na fórmula da inversa,

obtendo a solução do problema filtro:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2 2

,0 0 1

, , ,, , , m n k tm n k

f f inim n k x m y n z k

X x Y y Z zT x y z t e T A

N N N

α β γ ηβ γ ηβ γ η

∞ ∞ ∞ − + +

= = =

= + ∑∑∑ (6.9)

onde

( ) ( ) ( ) ( ),

0 0 0

, , ,a b c

f ini ini m n kT T T X x Y y Z z dzdydxβ γ η∞= −∫ ∫ ∫ (6.10)

E

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 '

0 0 0

,, , 'm n k

a btt k

const m n

z c

Z zA e q X x Y y dydx dt

k

α β γ η ηα β γ+ +

=

=

∫ ∫ ∫ (6.11)

como a variação do fluxo no contorno acontece apenas entre 10 x a≤ ≤ e 10 y b≤ ≤ , a

transformação do termo ( ), ,q x y t foi realizada apenas no intervalo onde a mesma era

diferente de zero.

137


são obtidas solucionando os problemas auxiliares:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22 222 2

22 2

0

2

0;00;0 0;0

0; 0 0; 0 0; 0

0; 0;0;

Y yX x Z zY y y bX x x a Z z z cyx z

X x Y y Z zx y H Z z z

x y zX x Z zY yx a H Z z z cy b

x zy

γβ η∂ ∂ ∂+ = < <+ = < < + = < < ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = − + = = ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= = + = = = =∂ ∂ ∂

(6.12)

cujas soluções são:

( ) ( )( ) ( )

0

21 para 0,

,cos para 0,

x mm

m m x m

NaX x

x N a

β ββ

β β β

= == ≠ =

(6.13)

( ) ( )

( ) ( )0

21 para 0,

,cos para 0,

y n

n

n n y n

NaY y

y N a

γ γγ

γ γ γ

= == ≠ =

(6.14)

( ) ( ) ( )1, cos sink k k kZ z z H zη η η η= + (6.15)

e

( ) ( ) ( )

1

2 2 20 02 2

2

12 k

z k k

HH c H

N Hη

η η

− = + + +

+

(6.16)

onde 00

hH

k= , 2

2

hH

k= , ( ) ( ) 2

0

,a

m mxN X x dxβ β= ∫ , ( ) ( ) 2

0

,b

n nyN Y y dyγ γ= ∫ ,

( ) ( ) 2

0

,c

k kzN Z z dzη η= ∫ e os autovalores ��, �� e ! são as raízes positivas das

equações transcedentais:

( )00 0

sin 0 0i ia

ββ β

= = ≠

(6.17)

( )00 0

sin 0 0j jb

γγ γ

= = ≠

(6.18)

138

e

( ) ( )0 22

0 2

tan kk

k

H Hc

H H

ηη

η+

=−

(6.19)



abordagem bayesiana para identificaÇÃo de...

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