UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLANDIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICALISTA DE EXERCICIOS DE ESTATISTICAProfessor: Heyder Diniz Silva

1 Estatıstica Descritiva

1. Dizer se as variaveis abaixo sao discretas ou continuas.

a) Numero de livros em uma estante de biblioteca.

b) Soma de pontos obtidos ao lancar um par de dados.

c) Diametro de esferas.

d) Resistencia a compressao simples de tijolos.

e) Numero de parafusos defeituosos produzidos em uma fabrica.

f) Numero de casas de uma cidade sem rede de esgoto

2. Dispor os numeros 17,45,38,27,6,48,11,57,34,22,11 em um rol e determinar a media, medi-ana, moda, amplitude total, variancia, desvio padrao, coeficiente de variacao e erro padraoda media. Interprete os resultados obtidos. Obs.: Os valores possuem uma unidade uqualquer

3. Uma empresa fabricante de um componente que faz parte de um sistema hidraulico, desejaestudar a confiabilidade desse componente no sistema. Tal sistema inclui uma ligacao emparalelo de 14 desses componentes. A seguir temos a distribuicao de frequencias para onumero de componentes pifados em um certo perıodo de tempo. Pede-se:

a) Distribuicao de frequencia percentual;

b) Descrever a distribuicao de frequencias;

c) Grafico de barras da distribuicao;

d) Distribuicao de frequencia acumulada e grafico da frequencia acumulada;

e) Em que frequencia ocorre mais de um componente pifado no sistema?

f) Calcular a media, mediana, moda, amplitude total, variancia, desvio padrao, coefici-ente de variacao e erro padrao da media.

g) Qual e o numero de componentes pifados que define o primeiro quartil? E o terceiroquartil?

4. Abaixo sao apresentados dois conjuntos de dados. O primeiro refere-se a umidade do soloe o segundo refere-se a densidade do solo. Quem e mais variavel, umidade ou densidade?Justifique a resposta.

umidade do solo (cm3/cm3) 23;25;27;28;29;32 densidade do solo (g/cm3)1,22;1,15;1,28;1,13;1,19;1,22

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Tabela 1: Distribuicao de frequencias para o numero de componentes pifados em um certoperıodo de tempo, no sistema produzido pela empresa HDR.

Node comp.pifados Frequencia0 191 302 463 584 455 196 27 28 09 110 011 112 013 014 1

5. Foram feitas 30 determinacoes de densidade do solo (g/cm3) de certo solo, com o obje-tivo de caracteriza-lo fisicamente para fins de construcao civil. Os resultados foram osseguintes: 1,22 1,29 1,33 1,36 1,39 1,40 1,41 1,42 1,45 1,52 1,26 1,30 1,34 1,36 1,40 1,401,42 1,43 1,48 1,52 1,27 1,32 1,35 1,37 1,40 1,40 1,42 1,44 1,48 1,58

a) Distribua os dados em 7 classes e comente sobre a distribuicao.

b) Qual e o Limite Superior (LS) da classe 3?

c) Qual e o Limite Inferior (LI) da classe 7?

d) Qual e o Ponto Medio (PM) da classe 5?

e) Qual e a porcentagem das densidades cujo valor nao ultrapassa 1, 43 g/cm3?

f) Qual e a porcentagem das densidades cujo valor e maior ou igual a 1, 35 g/cm3?

g) Qual e a porcentagem das densidades cujo valor e de 1, 31 g/cm3, no mınimo, masinferior a 1, 49 g/cm3?

h) Construir o histograma, polıgono de frequencia e a ogiva desta distribuicao.

i) Calcular a media, mediana, moda, variancia, desvio padrao e o coeficiente de variacaopara os dados nao agrupados e agrupados e fazer os devidos comentarios.

6. A distribuicao de frequencias abaixo refere-se a dureza de 30 pecas de alumınio.

a) Calcular media, mediana, moda, variancia, desvio padrao e coeficiente de variacao

b) Fazer o histograma

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Tabela 2: Distribuicao de frequencias da dureza de 30 peca de alumınio.

DUREZA FREQUENCIAS46,975` 54,425 254,425`61,875 4

61,875` 69,325 569,325` 76,775 976,775` 84,225 484,225` 91,675 491,675` 99,125 2

TOTAL 30

c) Discutir a distribuicao de frequencias ( natureza da distribuicao e porcentagens)

7. Abaixo tem-se o peso (kg) e altura (cm) de uma amostra de 10 pessoas. Calcular media,variancia, desvio padrao, Coeficiente de Variacao e erro padrao da media e dizer quem emais variavel justificando a sua resposta.

INDIVIDUO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10PESO (kg) 79 83 57 52 67 70 50 53 75 68ALTURA (cm) 172 181 165 156 172 180 162 156 171 173

Agora transforme os dados de altura para m e recalcule as medidas de posicao e dispersao.Compare os resultados e discuta.

8. O numero de desquites na cidade, de acordo com a duracao do casamento esta represen-tado a seguir:

Anos de casamento Numero de desquites0 ` 6 28006 ` 12 140012 ` 18 60018 ` 24 15024 ` 32 50total 5000

a) Qual a duracao media dos casamentos? e a mediana? Interprete ambas.

b) Encontre a variancia e o desvio padrao da duracao dos casamentos na cidade.

c) Faca a representacao grafica do numero de desquites, de acordo com a duracao docasamento e interprete a figura obtida.

9. O departamento de pessoal de uma firma fez um levantamento dos salarios dos 120 fun-cionarios do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:

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Faixa salarial (x salarios mınimos) Frequencia relativa0 ` 2 0,252 ` 4 0,404 ` 6 0,206 ` 8 0,15Total 1,00

a) Esboce o histograma correspondente

b) Calcule a media, mediana e moda e desvio padrao.

c) Se for concedido um abono de 2 salarios mınimos a todos os funcionarios, haveraalteracao na media? E na variancia? Justifique sua resposta, e em caso afirmativoquais serao seus novos valores?

d) Caso todos os funcionarios tenham seus salarios dobrados, havera alteracao na media?E na variancia? Justifique sua resposta, e em caso afirmativo quais serao seus novosvalores?

e) Quantos funcionarios recebem entre 4 e 6 salarios mınimos?

10. Para se estudar o desempenho de duas companhias corretoras de acoes, selecionou-se paracada uma delas duma amostra aleatoria das acoes negociadas no ultimo ano. Para cadaacao negociada, calculou-se a porcentagem de lucro apresentada. Os dados obtidos estaolistados a seguir:

Corretora A Corretora B45 60 54 57 55 5862 55 70 50 52 5938 48 64 59 55 5655 56 55 61 52 5354 59 48 57 57 5065 55 60 55 58 54

59 51 56

a) Calcule a media, mediana, moda, variancia, desvio padrao e coeficiente de variacaopara as duas corretoras.

b) Caso voce fosse um investidor, qual das duas corretoras contrataria para negociar suasacoes? Justifique sua resposta.

c) Supondo que o gerente da outra corretora tenha lido sua justificativa para nao contrata-la, como ele poderia contesta-la?

d) Qual das duas corretoras e mais estavel quanto aos lucros obtidos?

11. Os dados a baixo referem-se ao peso vivo, em kg de uma amostra de 30 bois, de umadeterminada propriedade rural. 530 702 843 695 778 875 534 825 673 541 705 714 954511 744 557 635 858 535 643 827 785 557 691 723 595 553 730 524 507

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a) Calcular a media, mediana, moda, amplitude total, variancia, desvio padrao e coefici-ente de variacao para o peso vivo dos bois e interpretar cada uma delas.

b) Transformar os dados para arroba (uma arroba = 15 kg) e repetir o item a).

c) Organizar os dados na forma de uma distribuicao de frequencia e interpretar.

d) Repetir o item a, usando os dados tabelados

e) Comparar os resultados obtidos em a e d. Porque a diferenca

f) Construir um histograma representativo da distribuicao de frequencia dos pesos dosbois.

12. Estudando o numero de leitoes do sexo masculino, nascidos em 24 leitergadas de tamanho3, observou-se os seguintes resultados 0 2 1 3 1 0 2 1 2 1 2 1 1 3 1 0 3 2 1 2 2 2 1 2

a) Calcular a media, mediana, moda, amplitude total, variancia, desvio padrao e coefici-ente de variacao para o numero de leitoes do sexo masculino e interpretar cada umadelas.

b) Organizar os dados na forma de uma distribuicao de frequencia e interpretar.

c) Repetir o item a, usando os dados tabelados.

d) Comparar os resultados obtidos em a e c.

e) Justificar a contradicao entre os ıtens e) do exercıcio anterior e d) do presente exercıcio.

13. Qual variavel apresentou maior variacao, o peso dos bois (exercıcio 11)ou o numero deleitoes do sexo masculino (exercıcio 12)?

14. Estudando-se o consumo diario de leite, verificou-se que em certa regiao, 20% das famıliasconsomem menos de um litro de leite por dia, 50% consomem entre 1 e 2 litros por dia,20% entre 2 e 4 litros por dia e os 10% restantes consomem entre 4 e 6 litros de leite pordia.

a) Escreva estas informacoes na forma de uma distribuicao de frequencia

b) Calcular a media, mediana, moda, variancia, desvio padrao e coeficiente de variacaodo consumo diario de leite e interpretar.

15. Os pesos (kg) de 40 alunos estao relacionados a seguir:

69 57 72 54 93 68 72 58 59 7449 60 76 65 62 64 66 83 70 4560 81 71 67 68 67 50 81 73 5364 63 53 75 65 58 80 60 63 53

a) Apresentar estes dados na forma de uma distribuicao de frequencia e analisa-la.

b) construir um histograma.

c) Classificar a distribuicao dos dados.

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d) Calcular a media, mediana, moda, variancia, desvio-padrao, e coeficiente de variacao,utilizando os dados originais, interpretando cada uma destas medidas.

e) repetir o item d, utilizando a distribuicao de frequencias construıda.

f) Comparar os resultados obtidos em d e e, explicando as razoes das possıveis diferencasobtidas. Caso existam diferencas, qual dos dos resultados e mais preciso? Justifique.

2 Probabilidades

1. Defina um espaco amostral para os seguintes experimentos:

a) Lancamento de uma moeda e um dado.

b) Investigam-se famılias com 4 criancas, anotando-se a configuracao segundo o sexo.

c) Mede-se o consumo diario de agua de uma certa cidade. Sabe-se que este consumonao e inferior a 100000 m3 .

d) Tempo de decomposicao de lixo urbano em um aterro sanitario.

2. Um lote e formado por 10 pecas boas, 4 com defeitos leves, e 2 com defeitos graves.Uma peca e retirada ao acaso deste lote. Calcule a probabilidade de que esta peca:

(a) Seja boa P (Boa) = P (A) = 1016

= 58

= 0, 625

(b) Apresente defeito leve

P (DefeitoLeve) = P (B) = 416

= 14

= 0, 250

(c) Apresente defeito grave

P (DefeitoGrave) = P (C) = 216

= 18

= 0, 125

(d) Apresente defeito independentemente do tipo

P (Defeito) = 1− P (Boa) = 1− 0, 625 = 0, 375 ou

P (Defeito) = P (B) + P (C) = 0, 259 + 0, 125 = 0, 375

(e) Seja Boa ou tenha Defeito Leve

P (BoaouDefeitoLeve) = P (A) + P (B) = 0, 625 + 0, 250 = 0, 875

3. Considere o mesmo lote anterior, porem que sejam observadas duas pecas, retiradasao acaso, com reposicao das mesmas e calcule as probabilidades que:

(a) Ambas serem Boas

P (PrimeiraserBoa) = P (A) = 0, 625

P (SegundaserBoa) = P (A) = 0, 625

P (AmbasseremBoas) = P (PrimeiraserBoa).P (SegundaserBoa) = 0, 625.0, 625 =0, 3906

(b) Nenhuma seja boa

P (NenhumaBoa) = 1− P (AmbasDefeituosas)

P (Ambasdefeituosas) = 0, 375.0, 375 = 0, 1406

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(c) Pelo menos uma seja Boa

P (PelomenosumaBoa) = 1− P (NenhumaBoa)1− 0, 1406 = 0, 8594

4. Considere agora que as pecas do Exemplo 2 sejam retiradas sem reposicao e calcule asprobabilidades de que:

(a) Ambas sejam Boas

P (PrimeiraBoa) = 1016

P (SegundaBoa) = 915

P (AmbasBoas) = 1016

915

= 90240

= 0, 375

(b) Uma seja Boa

P (PrimeiraBoa) = 1016

615

= 0, 250

P (SegundaBoa) = 616

1015

= 0, 250

P (UmaBoa) = 0, 250 + 0, 250 = 0, 500

5. Um fluxo vai de I ate II passando pelos componentes (identicos) A e B, conforme mostrao esquema abaixo. As probabilidades de sucesso (nao falha) sao respectivamente p(A)e p(B). O fluxo so se interrompe se os componentes A e B falharem.

A BI ——-

⊗——-

⊗—— II

a) Defina o espaco amostral do experimento.

b) Liste o evento F ”O componente A nao funciona ou o componente B nao funciona”

c) Como se calcularia a probabilidade desse evento?

d) Se A e B sao eventos independentes e sabendo-se que P (B) = 0, 95 e por causa dasimetria P (A) = 0, 95. Calcule a probabilidade do evento F.

e) Considere que a probabilidade de B continuar funcionado depende de A estar fun-cionando ou nao. Por exemplo, se A estiver funcionando P (B) = 0, 95, mas se Afalhar, P (B) = 0, 80. Devido a simetria a recıproca e verdadeira. Se nao sabemosse o componente A esta funcionando ou nao, qual a probabilidade de que B estejafuncionando?

f) Calcule a confiabilidade do sistema, para uma confiabilidade dos componentes de0,95.

6. A probabilidade de que A resolva um problema e de 23

e a probabilidade de que B resolvae de 3

4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser

resolvido?

7. As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram sao p e q, respectiva-mente. Qual a probabilidade:

a) de que nenhum evento ocorra?

7

b) de que pelo menos um destes eventos ocorra?

8. Para selecionar seus funcionarios, uma empresa oferece aos candidatos um curso detreinamento durante uma semana. Ao final eles sao submetidos a uma prova e 25%sao classificados como bons (B), 50% como medios (M) e os restantes 25% como fra-cos (F). Como medida de economia, o departamento de selecao pretende substituir otreinamento por um teste contendo perguntas de conhecimentos gerais e especıficos.Mas, para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivıduo aprovadono teste ser considerado fraco caso fizesse o teste. De acordo com os resultados re-ceberam os conceitos aprovado (A) ou reprovado (R). Sabendo que P (A/B) = 0, 20;P (A/M) = 0, 25 e P (A/F ) = 0, 05; encontrar P (F/A).

9. Cada uma de duas pessoas lanca tres moedas equilibradas. Qual a probabilidade deque elas obtenham o mesmo numero de caras?

10. Lanca-se uma moeda 4 vezes, considerando que a moeda seja honesta , [P (cara) =P (coroa)], pede-se :

a) Determinar o espaco amostral.

b) Apresentar uma tabela com o numero de caras e suas respectivas probabilidades.

c) Considere que P (cara) = 0.6 e repita o item b.

11. Os eventos A e B de um mesmo espaco amostral sao tais que P (A) = P (B) = 0.5 eP (A/B) = 0.2. Determine :

a) P (A/B)

b) P (Ac/B).

12. Um malandro imaginou que poderia ganhar dinheiro facil de pessoas ingenuas utili-zando uma moeda, da seguinte maneira. Se em quatro lancamentos consecutivos eleobtivesse 3 ou mais caras venceria aposta , se obtivesse 2 ou menos perderia e casocontrario haveria empate. Considerando que a moeda utilizada seja honesta responda:

a) Qual a probabilidade do malandro ganhar a aposta.

b) Qual a probabilidade do malandro perder a aposta.

13. De 100 pessoas que se candidataram ao emprego de programador em uma empresa, 40possuıam experiencia anterior, 30 curso superior , e destes 20 possuıam ambos.

a) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso su-perior ou experiencia anterior?

b) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso su-perior e experiencia anterior?

14. Uma amostra aleatoria de 10 firmas, que empregam ao todo 8000 pessoas, mostrouque ocorreram 400 acidentes de trabalho no ano anterior. Calcule a probabilidade deocorrencia de acidentes de trabalho e expresse o resultado em porcentagem.

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Tabela 3: Distribuicao de renda e 500 famılias.

NIVEL DE RENDA( R$) No DE FAMILIASmenos que 200 60

200 a 800 100800 a 1500 1601500 a 2000 140mais de 2000 40

total 500

15. A partir dos dados da tabela 1 calcule:

a) Qual a probabilidade de que uma famılia aleatoriamente escolhida possua rendamenor que R$ 200,00

b) entre R$ 200 e R$ 800

c) menor que R$ 1500

d) entre R$200 e R$ 2000

3 Distribuicoes de Variaveis Aleatorias

1. O sangue humano e classificado em 4 tipos, A, B, O e AB. Numa certa populacao,sabe-se que a porcentagem de pessoas com estes tipos e 0,40 ; 0,45 ; 0,10 e 0,05respectivamente. Qual a probabilidade de que em 5 indivıduos escolhidos ao acaso,nesta populacao hajam:

a) 2 do tipo A

b) 3 do tipo A

c) 5 do grupo O.

2. Suponha que haja em media 2 suicıdios por 50000 habitantes por ano. Em uma cidadecom 100000 habitantes, qual a probabilidade de que em um ano ocorram:

a) 0 suicıdios.

b) 1 suicıdio.

c) 2 suicıdios.

d) 2 ou mais suicıdios.

3. O numero de navios cargueiros que chegam a um porto em cada dia, segue uma distri-buicao Poisson com media 2. As atuais instalacoes do porto, podem atender a 3 naviospor dia. Se mais de 3 navios chegarem ao porto em um dia, os excedentes deveraoseguir para outro porto.

9

a) Em um dia, qual a probabilidade de que se envie navios para outro porto?

b) Qual o numero esperado de navios a chegar em um dia?

c) Qual o numero esperado de navios a serem enviados diariamente a outros portos?

4. Suponha que em um livro de 585 paginas, contenha 43 erros de tipograficos. Se esseserros estiverem aleatoriamente distribuıdos pelo livro, qual e a probabilidade de 10paginas, escolhidas ao acaso estarem livres de erros?

5. A probabilidade de que um lancamento de foguete seja bem sucedido e de 0.80. Quala probabilidade de que em 6 todos sejam bem sucedidos

6. Um departamento e composto por 5 engenheiros e 9 tecnicos. Se 5 indivıduos foremaleatoriamente escolhidos e se lhes atribuir um projeto, qual a probabilidade de que ogrupo do projeto inclua exatamente 2 engenheiros?

7. As criancas com anemia de Cooley sao quase sempre, filhos de casais assintomaticosque correm um risco de 25% de gerar outra crianca com esta anemia. Os casais com talrisco podem ser diagnosticados por intermedio de exames laboratoriais relativamentesimples. Entre tais casais com 5 filhos qual o percentual esperado daqueles com anemiade Cooley manifestada em:

a) um filho;

b) tres filhos;

c) todos os filhos;

d) em media quantos filhos com esta anemia voce espera encontrar.

8. Em uma maternidade nascem, em media, 20 criancas por dia. Considerando que a pro-babilidade de nascer um menino e igual a de nascer uma menina, qual a probabilidadede, em um determinado dia:

a) Todos os recem-nascidos serem meninos?

b) Todos os recem-nascidos serem meninas?

c) 10 recem-nascidos serem meninos e 10 serem meninas?

d) Nascerem alternadamente um menino e uma menina?

e) 11 recem nascidos serem meninos e 9 serem meninas?

9. A probabilidade de um estudante, que ingressa em um colegio, graduar-se e de 0,4.De-terminar a probabilidade de entre 5 estudantes:

a) Nenhum graduar-se;

b) Pelo menos um graduar-se;

c) Um graduar-se;

10. Determinar as seguintes probabilidades pela normal padronizada (area limitada pelacurva)

10

a) P (= 0 ≤ z ≤ 1, 2);

b) P (−0, 68 ≤ z ≤ 0);

c) P (−0, 46 ≤ z ≤ 2, 21);

d) P (z ≥ 0, 75);

e) P (z ≤ −3, 0);

f) P (z ≤ 1, 43);

11. Obter os seguintes valores da distribuicao t de Student:

a) t∗ : P (−t∗ ≤ t ≤ t∗) = 0, 95 com 13 g.l.

b) t∗ : P (−t∗ ≤ t ≤ t∗) = 0, 90 com 25 g.l.

c) t∗; P (t∗ ≥ t) = 0, 05 com 20 g.l.

d) t∗; P (t ≤ t∗) = 0, 10 com 9 g.l.

e) P (−2, 021 <≤< 2, 021) com 40 g.l.

12. Obter os seguintes valores da distribuicao de χ2 :

a) χ2∗ : P (χ2∗ ≥ χ2) = 0, 025 com 21 g.l.

b) χ2∗ : P (χ2∗ ≤ χ2) = 0, 025 com 21 g.l.

c) χ21, χ

22 : P (χ2

1 ≤ χ2 ≤ χ22) = 0, 90 com 15 g.l.

d) χ21, χ

22 : P (χ2

1 ≤ χ2 ≤ χ22) = 0, 95 com 20 g.l.

e) P (19, 768 ≤ χ2 ≤ 45, 722) com 29 g.l.

13. Obter os seguintes valores da distribuicao F de Snedecor:

a) F ∗ : P (F > F ∗) = 0, 10 com v1 = 5 e v2 = 25 g.l.

b) F ∗ : P (F < F ∗) = 0, 90 com v1 = 5 e v2 = 25 g.l.

c) F1, F2 : P (F1 < F < F2) = 0, 95 com v1 = 13 e v2 = 29 g.l.

d) F : P (F > 1, 84) com v1 = 20 e v2 = 40 g.l.

e) F : P (F > 1, 96) = 0, 10 com v1 = 40 e v2 = 21 g.l.

14. Ao analisar a distribuicao do peso corporal de 10000 recem nascidos do sexo mascu-lino de uma populacao constatou-se que a media era igual a 3,400 kg sendo o desviopadrao igual a 0,600 kg. Qual a probabilidade de um recem nascido do sexo masculinoapresentar:

a) peso igual ou inferior a 2,500 kg;

b) peso entre 2,600 e 3,600 kg;

15. O peso medio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma determinada universidade ede 75,5 kg, e o desvio padrao e de 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estao normalmentedistribuıdos, determinar quantos estudantes pesam:

11

a) entre 60 e 77,5 kg

b) mais que 92,5 kg.

c) menos que 58 kg.

d) mais que 60 kg.

16. Em um exame de estatıstica, a media foi de 78 e a variancia 100. Considerando que 42alunos prestaram o exame, e as notas obtidas seguem a distribuicao normal, quantosalunos tiraram notas:

a) maior que 88;

b) entre 68 e 88;

c) menor que 60;

17. O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de modo queuma media de 13,0 kg de cereal e colocada por saco. E claro que nem todos os sacostem precisamente 13 kg , devido a fontes aleatorias de variacao. O desvio padrao dopeso lıquido e 0,1 kg, sabendo que o peso lıquido dos sacos segue distribuicao normal,determine:

a) A probabilidade de um saco aleatoriamente escolhido conter

i. a1) entre 13,0 e 13,2 kg

ii. a2) entre 12,8 e 13,1 kg

iii. a3) mais que 13,25 kg

b) A probabilidade de que um consumidor mal informado , mova uma acao contra acompanhia, por ter adquirido um saco que apresentou um peso lıquido menor que13,0 kg

18. O tempo gasto numa determinada oficina mecanica para se consertar a transmissao deum automovel tem distribuicao normal com media 45 minutos , e variancia 0, 64 minutos2.O mecanico planeja comecar o concerto do automovel de um cliente 10 minutos aposo carro ter sido deixado na oficina, comunicando ao cliente que o carro estara prontoem uma hora.

a) Qual a probabilidade do mecanico estar errado?

b) Qual deve ser a previsao de tempo de trabalho para que haja 0,90 de probabilidadede que o concerto fique pronto no tempo previsto?

19. A vida util de uma certa marca de pneus radiais tem distribuicao normal com media38000 km e desvio padrao 3000km.

(a) Qual a probabilidade de que um pneu aleatoriamente escolhido dure mais que45000 km?

(b) e menos que 30000km?

12

(c) Um comerciante compra 500 pneus desta marca, desejando revende-los. Destes,quantos voce espera que dure mais de 40000 km?

(d) Supondo que o fabricante substitua todos os pneus que durarem menos que 25000km, quantos pneus comprados pelo comerciante do item c) voce espera que sejamsubstituıdos?

(e) Caso o fabricante deseje substituir no maximo 2% dos pneus produzidos, qualdeve ser o prazo de garantia para os pneus?

20. Uma variavel aleatoria X tem a seguinte distribuicao de probabilidade:

X -2 -1 0 1 2 3 4 5P (X = x) 0,10 0,20 0,15 0,20 0,10 0,15 0,05 0,05

(a) Prove que P (X = x) e uma funcao de probabilidade.

(b) Faca o grafico de P (X = x).

(c) Encontre a funcao particao.

(d) Faca o grafico da funcao particao.

(e) Calcule as seguintes probabilidades

i. P (X = 1)

ii. P (X ser negativo)

iii. P (X = 4, 5)

iv. P (X ser par)

v. P (X(3)

vi. P (X > 0)

vii. P (−1 < X < 3)

viii. P (X > 4)

21. Dez por cento dos disquetes de computadores produzidos em uma fabrica, apresentamdefeitos. Em uma caixa com dez disquetes:

a) Qual e a probabilidade de no maximo um apresentar defeito?

b) Qual e a funcao de probabilidade da variavel X?

c) Construa a funcao de distribuicao da variavel X.

22. Uma olaria produz 20% dos seus tijolos fora dos padroes estabelecidos pela ABNT. SeX e a variavel que representa o numero de tijolos fora das normas, em uma amostrade 4 tijolos, pede-se:

a) A distribuicao de probabilidade da variavel X.

b) A Funcao de Distribuicao F(x)

c) A probabilidade de encontrar um tijolo fora das normas.

d) A probabilidade de encontrar mais de um tijolo fora das normas.

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23. A analise dos dados dos ultimos 50 anos de uma empresa de energia eletrica forneceu ovalor medio de um “black-out” por ano. Qual a probabilidade de ocorrer no proximoano:

a) nenhum “black-out”?

b) no mınimo dois “black-out”?

c) de 2 a 4 “black-out”?

24. Em um laboratorio de analises quımicas, foram examinadas 120 caixas de determinadoproduto, quanto a sua especificacao tecnica. Cada caixa continha 6 frascos do produto.Anotou-se o numero de frascos que atendiam as especificacoes. Os resultados foram:

No de frascos (xi) 0 1 2 3 4 5 6No de caixas (fi) 2 5 3 10 28 30 42

(a) Estime o numero medio de frascos que atendem as especificacoes por caixa.

(b) Estime a proporcao de frascos que atendem as especificacoes (considerando adistribuicao Binomial)

(c) Calcule a funcao de probabilidade e estime, pela binomial, as frequencias espera-das para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 frascos dentro das especificacoes.

(d) Comente sobre a qualidade do ajuste da binomial aos dados observados.

25. A porcentagem de alcool (100x) em um certo composto pode ser considerado umavariavel aleatoria com a seguinte funcao de densidade:

f(x) =

{2x3(1− x) 0 ≤ x ≤ 1

0 p.o.v.

(a) Prove que f(x) e uma funcao de densidade

(b) Faca o grafico de f(x)

(c) Determine a probabilidade de x estar entre 0,4 e 0,9

(d) Encontre F (x)

(e) Faca o grafico de F (x)

(f) Use F(x) para calcular P (0, 4 ≤ X ≤ 0, 9)

26. O diametro X de rolamentos de esferas fabricados por certa industria tem distribuicaoN(0, 6140; (0, 0025)2). O lucro T de cada esfera depende de seu diametro, sendo:

T = 0, 10 se a esfera e boa (0, 6100 ≤ X ≤ 0, 6180)T = 0, 05 se a esfera e recuperavel(0, 6080 ≤ X ≤ 0, 6100)ou(0, 6180 ≤ X ≤ 0, 6200)T = −0, 10 se a esfera e defeituosa(X ≤ 0, 6080ouX ge0, 6200)

Calcular:

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a) As probabilidades das esferas serem boas, recuperaveis e defeituosas

b) E(T )

27. Suponha que um mecanismo eletronico tenha um tempo de vida X (em unidades de1000 horas) que e considerado uma variavel aleatoria continua com a seguinte f.d.p.:

f(x) = e−x, X > 0

Suponha que o custo de fabricacao de um item seja R$2,00 e o preco de venda R$5,00.O fabricante garante total devolucao se X¡0,9. Qual o lucro esperado por item?

28. De um lote de produtos manufaturados, extraımos 100 ıtens ao acaso; se 10% dos ıtensdo lote sao defeituosos, calcular a probabilidade de 12 ıtens serem defeituosos. (Use aaproximacao normal)

29. Suponha que o peso de caixas de um certo produto e normalmente distribuıdo commedia de 18, 5kg e variancia de 0, 10kg2.

a) Qual a probabilidade de que uma caixa tenha:

i. Peso inferior a 18,5 kg?

ii. Peso superior a 19,0 kg?

iii. Peso entre 17,0 e 10,0 kg?

b) Qual e o limite de peso acima do qual estao 95% das caixas?

c) Qual e o limite de peso abaixo do qual estao 10% das caixas?

d) Quais sao os limites de peso entre os quais encontram-se 60% das caixas (sendoque 20% das caixas estao acima do limite superior e 20% estao abaixo do limiteinferior)?

30. Uma pesquisa sobre rotatividade de mao-de-obra, para uma amostra de 40 pessoasforam observadas duas variaveis: numero de empregos nos ultimos dois anos (X) esalario mais recente, em salarios mınimos (Y ). Os resultados foram:

IND. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18X 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 4 1 2Y 6 2 4 1 4 1 3 5 2 2 5 2 6 6 2 2 5 5

IND. 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36X 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 4 2 4 3 1 3Y 4 2 1 5 4 2 1 5 4 3 2 1 1 6 2 1 4 2

a) Usando a mediana, classifique os indivıduos em dois nıveis, alto e baixo, para cadauma das variaveis e construa a distribuicao conjunta das duas classificacoes.

b) Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco?

c) Sabendo que a pessoa e de baixa rotatividade, qual a probabilidade de que ela ganhepouco?

d) Verifique se ha dependencia entre rotatividade e salario.

e) Calcule a covariancia entre X e Y .

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4 Distribuicoes Amostrais

1. A distribuicao dos pesos de bovinos e normal com media 250 kg e variancia 144 kg2.

a) Qual e a probabilidade de uma amostra de 25 bovinos ter media menor que 254 kg?

b) Uma balanca tem capacidade de pesar ate 7400 kg. Qual e a probabilidade deultrapassar a capacidade da balanca uma amostra de: b.1 29 bovinos

b.2 30 bovinos

2. Considere uma populacao “Uniforme Discreta” constituıda pelos valores 1,2,3,4,5,6.

a) Determine a funcao de probabilidade da v. a. X.

b) Encontre a media (µx e o desvio padrao σx da populacao. Use os conceitos deEsperanca Matematica

c) Obtenha a distribuicao amostral de x para amostras de tamanho n = 2 tomadascom reposicao

d) Represente graficamente as distribuicoes de X e x

e) Determine e e mostre a relacao existente entre σx e σx.

f) Calcule P(X¡2,0) usando os resultados do Teorema do Limite Central

g) Repita o ıtem c, usando amostragem sem reposicao

h) Verifique que:

σx = σx√n

√N−nN−1

3. Um dispositivo eletronico de um pivo central da marca A tem duracao media de 1000he desvio padrao de 100h, enquanto que outro da marca B tem duracao media de 900he desvio padrao de 80h. Se forem testados 60 dispositivos de cada marca, qual e aprobabilidade dos de marca A terem vida media superior aos de B de no mınimo:

a) 130h.

b) 80h.

4. Um Latossolo Roxo compactado apresenta valor medio de densidade do solo de 2, 03 g/cm3.Qual a probabilidade da media de densidade do solo, de uma amostra de tamanho 16,que apresentou um desvio padrao de 0, 25 g/cm3,

a) Seja maior que 2, 16 g/cm3;

b) Seja menor que 1, 96 g/cm3;

c) Esteja entre 1, 92 g/cm3 e 2, 19 g/cm3.

5. Em um grande numero de pacientes portadores de certo tipo de cancer, verificou-seque o tempo medio de sobrevivencia, apos diagnosticado o cancer e de 38,3 meses,com desvio padrao 43,3 meses. Cem pacientes, nas mesmas condicoes clinicas foramsubmetidos a um tratamento com uma nova droga, e o tempo medio de vida observado

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foi de 46,9 meses. Qual a probabilidade de que este aparente aumento no tempo mediode sobrevivencia tenha sido causado por simples flutuacao do acaso? Com base nesteresultado, pode-se atribuir o aumento no tempo medio de sobrevivencia ao efeito dadroga?

6. As lampadas eletricas do fabricante A tem duracao media de 1400 horas com desviopadrao de 200 horas, enquanto as do fabricante B tem duracao media de 1200 horas comdesvio padrao de 100 horas. Se forem ensaiadas amostras aleatorias de 125 lampadasde cada marca, qual sera a probabilidade das da marca A apresentarem vida mediasuperior as da marca B m pelo menos:

a) 160 horas.

b) 250 horas.

7. Uma previa eleitoral mostrou que certo candidato recebeu 46% das intencoes de voto.Determinar a probabilidade de em uma secao eleitoral constituıda por:

a) 200 eleitores;

b) 1000 eleitores;

Escolhidos ao acaso na populacao de eleitores apresentar a maioria de votos a favordeste candidato.

5 Teoria da Estimacao

1. Uma maquina que enche pacotes de cafe estava regulada para enche-los com 500g emmedia. Agora ela se desrregulou e queremos saber qual a nova media µ. Uma amostrade 25 pacotes apresentou uma media igual a 485 g e variancia de 100 g2.

a) Construir um IC de 95% para µ.

b) Construir um IC de 90% para µ.

c) Comparar a e b e comentar.

d) Dimensionar uma nova amostra com uma confianca de 95%, supondo que se reduzao desvio padrao de 10 g para 5 g.

e) Dimensione uma amostra de modo que o erro cometido em (a) seja a metade dovalor encontrado.

f) Compare (d) e (e) e comente.

2. Para o exercıcio 1 utilize uma amostra de 50 pacotes e construa uma IC de 95% paraµ. Use Z e t e compare os resultados obtidos e, ainda, compare com os resultadosencontrados em (a) do exercıcio 1. Que conclusoes voce pode tirar a respeito?

3. Antes de uma eleicao, um determinado partido esta interessado em estimar a proporcaop de eleitores favoraveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelouque 60% dos eleitores eram favoraveis ao candidato em questao.

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a) Determine o tamanho da amostra necessario para que o erro cometido na estimativaseja de, no maximo, 0,01 com probabilidade de 80%.

b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% doseleitores eram favoraveis ao candidato em questao, construa um IC para a proporcaop. (Utilize α = 5%).

4. Estao sendo estudados dois processos (A e B) para conservar alimentos, cuja principalvariavel de interesse e o tempo de duracao dos mesmos. Sorteiam-se duas amostrasindependentes:

a) Para uma amostra nA=nB=100 latas que apresentou tempo medio de duracao de50 e 60 dias e variancia de 100 e 75 dias2 para A e B, respectivamente, construaum IC de 98% para a diferenca entre medias. O que se conclui este IC?

b) Agora foi tomada amostra de tamanhos nA = 16 e nB = 25 e verificou-se umamedia de 50 e 60 dias e variancia de 150 e 60 dias2 para A e B, respectivamente.Verifique se µA eµB sao estatisticamente iguais com uma confianca de 90%.

c) Usando os resultados obtidos em (b) construa um IC de 90% para a diferenca entremedias. O que se conclui com esse IC?

d) Repita (b) e (c) usando um intervalo de confianca de 99%.

5. Em uma pesquisa de possuidores de carros em uma universidade, entre alunos e alunas,foram obtidos: 24 de 100 alunos possuem automoveis e 19 de 100 alunas possuem au-tomoveis. Encontre um IC de 92% para a diferenca entre proporcoes. Estatisticamenteexiste diferenca entre proporcao de alunos e alunas que possuem automoveis?

6 Teoria da Decisao

1. Sabe-se que determinado tipo de vacina contra gripe e 25% eficiente apos um perıodo de2 anos. Com o objetivo de determinar se novo tipo de vacina e superior em proporcionaruma protecao contra o mesmo vırus, por um tempo maior, escolhem-se ao acaso 20indivıduos que receberam a nova vacina. Estipulou-se que se 9 ou mais indivıduosque receberam a vacina, nao adquirissem o vırus, dentro de 2 anos, a nova vacinaseria superior aquela anteriormente usada. Teste a hipotese de que a nova vacina eigualmente eficiente a vacina atualmente em uso, contra a alternativa de que ela esuperior. (Use α = 0, 10).

2. O tempo medio gasto por estudantes para se matricularem numa certa universidade temsido de 50 minutos. Um novo metodo de matriculas usando modernos computadoresesta sendo implantado. Uma amostra aleatoria de 12 estudantes apresenta um tempomedio de 42 minutos com um desvio padrao de 11,9 minutos sob o novo sistema.Teste a hipotese que a media populacional e agora menor que 50, usando um nıvel designificancia de 5%.

3. Um fabricante de baterias de carro acredita que o tempo medio de duracao de suasbaterias e de 3 anos. Em um teste com 30 baterias verificou-se uma media de 2,8 anoscom um desvio padrao de 1,2 anos. Voce acha que µ < 3 anos? Use α = 0, 05

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4. Num inquerito com os telespectadores de uma cidade, 60 de 200 homens desaprovamcerto programa, acontecendo o mesmo com 75 de 300 mulheres. Ao nıvel de 0,10, hadiferenca real entre as opinioes de homens e mulheres?

5. O quociente de inteligencia de 16 estudantes de um colegio do centro de uma cidadeapresentou media 112 com desvio padrao de 10 enquanto que os de 12 estudantes deum colegio da periferia da mesma cidade apresentou media de 104 com desvio padraode 6.

a) Existe diferenca entre as variancias de QI (use α = 0.05)

b) Com base na conclusao de (a) formule e teste a hipotese de que nao existe diferencaentre medias de QI, contra a alternativa que existe diferenca.

6. O departamento de vendas de uma companhia de dentifrıcios deseja determinar se osabor de um novo dentifrıcio que pretende lancar tera influencia na venda. 50 adultosreceberam cada um amostras dos novos sabores e foram convidados a dar sua opiniaoapos usar o produto durante um mes. As opinioes registradas foram as seguintes:

SABOR

OPINIAO CHOCOLATE CAFE CHAMPANHAGOSTOU 20 26 41

NAO GOSTOU 30 24 9

Ha preferencia por algum sabor?

7. Uma industria especializada em eletrodomesticos fabricou um liquidificador em cin-co cores diferentes. Uma amostra de 300 vendas do produto forneceu os seguintesresultados:

cor azul bege branco verde vermelhoıtens vendidos 56 76 69 55 44

a) Teste a hipotese de que a distribuicao das vendas e ”uniforme discreta”(α = 5%)

b) Idem para (α = 5%)

c) Confronte as conclusoes de (a) com as de (b). Discuta

7 Regressao Linear e Correlacao

1. Suponha que um analista toma uma amostra aleatoria de 10 carregamentos de ca-minhoes feitos por uma companhia e anota a distancia em km e o tempo de entrega(dias).

Dist. - X 825 295 1070 550 480 920 1350 325 670 1215Dias - Y 3,5 1,0 4,0 2,0 1,0 3,0 4,5 1,5 3,0 5,0

Pede-se:

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a) Diagrama de dispersao

b) Equacao de regressao

c) Grafico de regressao

d) Variancias de a, b, e Yi (para Xi = 1000 km)

e) IC para a, b, e Yi com 95% de confianca

f) Teste de hipotese para a e b (α = 5%)

g) Calculo do coeficiente de correlacao e teste de hipotese para (.

h) Estimar a distancia em km para um tempo de 2,5 dias

i) Estimar o tempo em dias para uma distancia de 300 km

2. Um estudo com a cultura da batata foi feito aplicando-se nıveis diferentes de irrigacao,computando-se para cada nıvel a producao. Os dados coletados foram:

Nıvel (mm/dia)- X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5Producao (ton/ha)- Y 10 14 15 18 20 22 22

a) Fazer o diagrama de dispersao

b) Estimar a equacao de regressao

c) tracar a equacao

d) Interpretar a e b

e) Estimar a producao para uma irrigacao com 2,4 mm/dia

f) Qual seria o nıvel de irrigacao para produzir 12 ton/ha de batata?

g) Estimar a producao para uma irrigacao de 4mm/dia.

h) Fazer o teste de hipotese para a e b

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