a— c) · —-r)cv-nj cq/l/2) taj\j lqv,‘ 4 l4 q+5,c(+5):)cj +6x’-(uxd =0 (+)(x-c3)=0:== %l5:0...

$: a— C) · —-r)cv-nJ CQ/L/2) taJ\J LQV,‘ 4 L4 Q+5,c(+5):)cJ +6x’-(UXD =0 (+)(x-c3)=0:== %L5:0 ou K_L10=D)c =LIc3 4&ji.: 4) Le quadruple de l’âge que Thomas aura darts quatre$
c:L

fl+

dd

rid

-,

C-)

c:311

U)

0Z30U)0C-)C00C,)

CNa)00-CC)

ExLu

C44JC-

4-0-C‘

b)

C000SW0C04-0LI)

SWC-04-WLI)

W0C-00Li)C04-00C0E(I)W-J

—%

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I)

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C04-C‘4—

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%c)L00C0c)0c)000L0Ec’)‘I,c)Z10-

L0c)00U,

t)4-Cci)

0

4:-z4

C-.

W00C0UWLI,

0Li)W00C-0EWC-.

WD0C-.00LI)

4-CW0LI)

W

Wa-

0C-.

LI)WE(0C>

%

0a-

W0C04-0Ua-

4-

ci)

C0>Z3U

,

U,

C04-0U

4-.

U,

ci)

Lci):34-Uci)

‘4-.‘4

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Eci)xw

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U)

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LI)WC

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U)

C04-.0C-.

a-

0U)

We-1

4-Cci)

£ci):30L

.0‘-ci)0‘cc

4c3

.4-+

+-Qa

I4.

Chapitre 2

C) bivision dun polyn6me par un bin6me

Méthode : Procéder de lo mme fcçon qu’avec es nombres (crochet).

Sciences naturelles

Remarque : La division est possible seulemerit si on suppose que le diviseur estnon riul.

Exemples : 1. Effectuer Ies divisions suivantes.

2x2 +7x+5a)x+1 (++

:i)X2zXJ

-

0

L’zxJ+

. 2f5

0 I15+12x2+lOx+8x3

4x2 +5L C’

( x)+ tz

(1 (a

U

b)

1\L’ ‘

2

Chapitre 2

j 0

4x3 —1c)

x—110

2. LQ superficie d’une feullie tricrngulaire est représeritée par le polyriôme suivcint(3x2 +4x+1)cm2.

ScichQnt que Ic base mesure(3x+1)cm , trouve Ia mesure le Ia hauteur.

c VOb

zJ) -

0

4%

3

Sciences naturelles

4-4 f

Reste:

EMJa;bJ ftcLj&4Ji

(I

DI I Y ( LL4A.,

/

A)

) (ixiI (g)

i)

==p

J) Tou:okZA

+i)

[7%x4a)

z+

Chapitre 2 Sciences naturelles

2.2 La factorisation

Factoriserun polyriôme consiste a I’exprimer sous Ia forme d’un produit

de facteurs premiers.

Par convention, les facteurs sorit des polyn8mes de degré iriférieur aupolyn6me de depart.

I bévelopper

(a—3)(a+2b)=a2+2ab—3a—6b

K:: Factorise

A) Factorisation par mise en evidence

Simplemise en evidence : Mise en evidence du facteur commun de tous Ies((N::) termes.

Toujours Ia premiere f.actorisation a

Procedure

1. Trouver le plus grand facteur commuri de tous les termes du polyri6rne.

2. Mettre en evidence le facteur commuri trouvé et diviser chaque terme par cefacteur commun.

Exemples : Factoriser les polyn8mes suivarits.

a) 10a2b4+25ab5 b) 18x4—6y+9z

= ab ( ZG4) -(x-Z ÷L)

4


bouble mise en evidence

(o)

Procedure

Simple mise en evidence effectuée a deux niveaux.Utiliser cette factorisation Iorsquil y a unnombre pairdetermes( 4, 6, 8 ,... termes ).

1, R1A 3 1 iJJ jLvv*1Lti iii )I 1

2. A I i i hLI ) ;

3.

4.

Exemples : Factoriser les polyn6rnes suivants.

a)

a( (x%M4) +i\((x+)

c) 6x2 +l5xy—8x--20y—--

b) xy+2x+y+2

C) 3 2 2U) OX —OX —4x y+3xy

x ( a (-3) -

5

(1 o‘1p1v) ILAJ\±LLA)

.-zl—-———-- - riT” IT)__ — 1

ZQaL LA 3 L’ ML) M Edij rA:k:tJ I

LLLl*L± LA 3 t Li i £2JJYYbL )c4Ls J,i’ngrt /LThYWJYL)

++E‘4—0E(0C4-Cz0C04-004-U0

LL

ci.r:0

..

)--

£_z-UU0

c

1—

)CI

L++

J\\_

d)

I

::‘

II

r:r>

fl+

_,

-I-

+#—

%‘

:..

+c

U),

N--

>2.

7+)•%

%

Ii11

+

H-

itq

U)

ci)a)DCoCU)

a)C)

Cci)0U)

iiC

o

+C-I-CCC-1

0

‘Cl

c)

Ii

“4

-

4

•1

ci

:r:T

)\%

%(

>-

11

j‘-4

c’io

:1‘

‘>

.

?jtfl—

%v

%t—

?-I(?-4

:ZL

4-—

--‘

I-‘--

c:’1-

1’‘

h7’

>k‘%

__

_);>

-1t

IiI’

1111


C) Factorisation d’un trin6me carré parfait et d’une difference decarres

Les identités algébriques remcirquQbles permettent, Iorsqu’on Ies recorin&t, de

fcictoriser rcipidemert les polynômes qui leur sont cissociés.

, I)J

(a+b)2= rnb÷

%J

Pour recorrnaItre une difference de corrés:

• •

/___ . . ‘— I’__ I

r1çitr, 41i’4JU) hA) *iAmLJ

rc.P.Exemple : Ideritifie Ies trin8mes corrés parfciits et les differences de corrés.

+lOx+254/4/

2( ‘c)C)

b) 4x2—20

2 t/f

c) 4x2—Uyx+9y2

4

;(ax’SLt’)

i- 1h kTrir6mes carrésparfaits

(a—b)2

(a+b)(a—b)z

Pour recorrnaItre un trin6me carré parfait

1-

2-

4 ifférence de corrés

z IO%JX +XfCi

1- Li 1

2-

1L jbj AAi LIJ

I

Ii

C0

-+—

Ird

N

JI

LI)a)CU

)a)0

0s)L.

0(3E(04-

00•1-0L.04-(30

LL

0a)-CC-)

0÷

++

rc:s

Co

%0

++

‘—i

c’i

4-

II0

++4-

—S

U

ii

Ui

t),-

i

1%

%ç

UI

11j(

F11

++

±c

u +p

—?:

•4-

+I

C)

.0

i’ji÷

+-

m,

-r I-

-1

IC

’

‘_u/

f%%

tz

t:

__\

—

t

(0

Cl,

C) CD

•

C) CD (1)

D C CD CD C,,


2 . 3 Les expressions rationnelles

Urie expression rationnelle est urie expression algébrique exprimée sous Ia formed’uri rapport (riumérateur sur dériomiriateur) de polyn6mes.

Remarque : 1) Ure expression ratioririelle ri’est pas toujours défirile puisqu’on peut. .

y trouver une division par 0.2) II faut alors poser les restrictions, c’est-à-dire préciser les

valeurs pour lesquelles I’expression est iridétermiriée.3) Les restrictions doivent tre posées AVANTde simplifier

l’expressiori ratiorinelle.:

A) La simplification d’expressions algébriques

Procedure :

1. Factoriser le riumérateur et le dénominateur.

2. Poser les restrictions.

3. Simplifier pour rendre irréductible.

Exemples : Simplifier l’expression rationnelle suivarite.‘

. ‘±% t3x

x3+6x2+5x x(xZ++)a)

2x + 2 . , C +‘ ) ( +5)=

EQ Sz(-H

= 4(

X)+Xja) .___________

i.

10

II

II p 1±

D

51)

1.>

cN

L IL

r)

+ 00

>< N’

U

C) fl ><

C)’

-4k

c_ C’

C)

cri%

+

It ?<+

I

Li

c—+

‘Iii

I

,I

t?

t

I’ r- c_

+ ..--.% ‘%=

(I

; i4c)

4

+ 0 -D

+

- -

-I

II•

S

I

II“

pp

HI

++

IC

I’

QI

IE

?<

ID

p&

-(

I4

n

+3_

p 5EY

0cm

,6

_>

<T

h< ‘-

---

c -U’

C p 1— ii

Chapitre 2

B) Operations sur les expressions algébriques

MULTIPLICATION

Procedure

1. Factoriser les riurnérateurs et Ies dériominateurs.

2. Poser Ies restrictions.

3. Simplifier les facteurs communs.

RESTRICTIONS:

Exemple : Effectuer l’opération suivante:

x2—4x—21 x+1.

2x2+7x+3 2x—14

L : )ç -

a(x+i)

i Xi’3 x’k

,J _ktx.ZI

o

=L+b,c xA+

()) + t

=

Sciences naturelles

1) Préciser les valeurs pour lesquelles l’expression esti ndéterminée. V V

2) Les restrictions doivent tre posées de simplifierl’expression rationnelle.

(÷l)(3’l =(

\rLCfl1X’

.

= z (-)

)(44O a,x.+i*o#.1i)


bIVI5ION

Procedure

1. Factoriser es riumérateurs et Ies dénominczteurs.


3.Multiplier par I’inverse multiplicatif du diviseur.

4. Simplifier les facteurs commuris

RESTRICTIONS: 1) Préciser les valeurs pour lesquelles l’expression estindéterminée.

2) Les dénominateurs ainsi que le numérateur a droite du ÷ nepeuvent tre égaux a zero.

3) Les restrictions doivent tre posées ]de simplifierl’expression rationnelle.

Exemple : Effectuer l’opération suivante.

x2—4x—212x—8 ()(K*)2x2+7x+3 • 2x+1

LrL• z±)( 4X4,i Lx- .

c) 0 (%44 .

(5: --j

= )c..i — . 2x+II x-1)

at

L + ) + I 0 x 0

ax-1) X’/2j

OL #i/a I 13


AbbITION Er SOUSTRACTIQN

Procedure

1. Factoriser les riumérciteurs et Ies déromiriciteurs.

2. Trouver le plus petit commuri multiple.


4. Exprimer chcique fraction sur ce dénominoteur.

5.Effectuer les opérQtions sur les numérateurs.

6. Factoriser le nouveau numérateur afin de simplifier, sail , a lieu, les facteurscommuns.

Exemple : Effectuer les operations suivantes.

5()

a) —+-—ix+4 qx+2

+z) +

_______

()(+)

t_ii:±L(u-) (f2)

() (x+)

(4Lj

I

••_% — .

J\mz:L:I/ a dAflOhiIY\D±QLL/VlJ/44Ycb

- +l

=a()L*:)

X:O

4 -ox—Lj

Xj—L 14oU

(:+L )(f)

U)

a)a)(13CU)

C)

Ca)C)

U)

3c:,c

I);211

o-T

>‘Cl0

0

1iIS

0IX

\,

0

It

>CL

‘%cI

‘—4

Q+

4-+

c1I-

I\

CN

4-

.IT

(‘3C

•s

0-0

>2

II

T-7

T\-,

>4-7

—:1-

1k1

7

x+

.

‘—

IIi

‘-

x+7

.

>

in+

++

T><

)

>+

T+

7+cC

)

+>:

tci+11

HI’

IIii

IIii

II

Chapitre 2

2 . 4 La resolution déquations du second degré

Sciences naturelles

- aucurie solution- une seule solution- deux solutions

Remarque: I AJ V±i1i) ) 1fAfJ ) LVOUi7LOl\fi/I) cA L ‘J Jivi dj $j

16

Résoudre une equation du second degré a une variable signifie trouver Ia oules valeurs de Ia variable pour que l’équation soit respectée.

Ces valeurs sont appelées << les solutions >> ou << les racinès >> de l’équation.

Une equation du second degré peut posséder:

A) Resolution dune equation du second degré par factorisation

Procedure

1. çQAJYLAJ 4zEus) AJ o-

aJyAa+bL÷p=o) 1) 1

2. C*iAJ L

3. AJ dLtJ

___

:= Q= Jj

4. A V I A J 1) ) /L.,


Exemples :

1) Résoudre les expressions suivarites.

2 to L 2a) lOOx =121 .• _— ) 2x =20x—50

lOOK -1Z

(IO+11)(0Xh1)0

=\O+’D U DLfO

(jo:LL

10 10 D X-b C)

-tilcD tO

2) Le carré d’un riombre augmerité de son double égale 0. Quel est ce nombre?

0 \ QvrU .

4 IK

)c ()K+%1) C:)

X%:Q C)L)--

X% U

II (\• ‘

Li jj I

17


3) boris une salle de spectacle, Marie a foit placer 1800 chaises.Le riombre de chaises par rangée équivaut au nombre derarigées plus 5. Combieri y a-t-iI de chaises par rarigée dartscette salle?

o+ ôrnr Y\LjJ : x : H

— -r) cv-nJ CQ/L/2) taJ\J LQV,‘ 4 L4 Q+ 5

,c( +5):

)cJ +6x’- (UXD =0

(+)(x-c3) =0

:== %L5:0 ou K_L10=D

)c =LIc3

4&ji.:

4) Le quadruple de l’âge que Thomas aura darts quatre arts est égal au carré de l’âgequ’il avait II y a 4 arts. Quel est l’âge actuel de Thomas?

lii &cQJ /d:LLLü cIiJ

-

xJ— xJ+’

,K c:::

cD

xJ I

,/ 2 ‘(V

18

1\iJ jJ (i

+) (x-)

‘C

OL)

?3


5) Anne a acheté un terrain rectangulaire deux fois plus large que long. Si l’aire dece terrain est de 1 922 m2, quelles sont ses dimensions?

/

j%& Od” LLJ\)

.Lt

Remarque : Mme si Ia resolution de l’équation donne deux solutions, il se peut que l’uned’elles soit rejetée selon le contexte.

=

., J/J ‘I

Zx2(

(-i) (-L

=> OL

%Wa. ft)

19

a— c) · —-r)cv-nj cq/l/2) taj\j lqv,‘ 4 l4 q+5,c(+5):)cj +6x’-(uxd =0 (+)(x-c3)=0:== %l5:0...

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