a resoluÇÃo de problemas geomÉtricos … · desafios do mundo contemporâneo, uma vez que...
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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO
ENSINO FUNDAMENTAL
Helio Erece Bannach Stahlschmidt *1
Reinaldo Francisco *2
RESUMO
O presente estudo foi realizado em um Colégio Estadual da rede pública com um grupo de alunos da 7
a série do Ensino Fundamental, em turno contrário ao que frequentaram as aulas, durante o segundo
semestre do período letivo de 2011. O que se pretendeu neste estudo foi despertar a motivação dos estudantes a partir da crença de que não estariam aprendendo matemática pela matemática, mas sim descobrindo uma nova maneira de resolver problemas de seu cotidiano e para tal aplicando conhecimentos matemáticos. A prática foi realizada buscando aplicar as etapas da resolução de problemas elaborada por Polya, na tentativa de despertar nos alunos o gosto pela matemática, bem como pela possibilidade de que os conceitos matemáticos pudessem ser assimilados com mais facilidade a medida que se buscava contextualizar situações do cotidiano dos alunos. Para a aplicação do projeto de intervenção foi utilizada a metodologia da resolução de problemas, utilizando-se para tal de problemas com o objetivo de desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Gradativamente durante o período de aplicação do projeto de intervenção, verificou-se que os alunos apresentavam uma melhor disposição e naturalidade ao desenvolver as atividades propostas.
PALAVRAS-CHAVE: geometria, resolução de problemas, metodologia
INTRODUÇÃO
A resolução de problemas no processo ensino-aprendizagem na
matemática tradicionalmente trata-se de uma atividade desenvolvida após o ensino
de um conceito, como forma de aplicação do conteúdo desenvolvido, tal prática se
constitui em mais uma forma de resolução de exercícios, que por inúmeras vezes ao
invés de desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de interpretação de dados e
situações, acaba por gerar no aluno uma sensação de impotência, bloqueando a
criação de meios e estratégias de resolução, uma vez que o aluno se habitua em
ficar mais preocupado com as operações que terá que usar para resolver o problema
do que com a interpretação da situação e com os processos envolvidos na sua
solução.
*1 Professor da rede pública do Paraná, atuando no Colégio Estadual Sebastião Paraná no município de Palmas, Paraná. Especialista em Metodologia do Ensino de Matemática. Licenciado em Ciências-Matemática pela FACEPAL – Palmas – PR. * 2 Professor da UNICENTRO atuando em Guarapuava e Laranjeiras do Sul. Mestre em Física. Licenciado em Educação Física e Física.
Neste estudo, foi utilizada a metodologia da resolução de problemas como
uma alternativa interdisciplinar no ensino da Matemática, com vistas a
contextualização, por acreditar que a sua proposição aos alunos da 7ª série do
Ensino Fundamental, poderia proporcionar um ganho de conhecimentos, bem como
desenvolver significativamente o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático.
Como a Matemática é uma disciplina com características relevantes,
entende-se a necessidade de que para compreendê-la, não basta conhecer, é
necessário criar, é preciso que o processo ensino aprendizagem tenha uma
caminhada que apresente desafios, e que estes sejam interdisciplinares, aplicada
com o devido cuidado mediante uma metodologia consistente e capaz de
acompanhar a evolução do conhecimento.
Os alunos precisam ser inseridos na sociedade, e cabe a escola colaborar
para que saibam tomar iniciativas rápidas e precisas, possibilitando-lhes resolver os
problemas que aparecerão em sua vida, ter uma concepção do certo e errado.
Na Matemática a resolução de exercícios, aplicação de fórmulas, não é
suficiente para a construção do conhecimento desse cidadão e seu meio, o
importante é dar condições a esse aluno (cidadã), motivação e interesse e a
capacidade de criar a sua inserção e atitude no meio do qual faz parte.
No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples,
pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar
ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.
Neste sentido, a metodologia da resolução de problemas pode estimular a
curiosidade do aluno e fazendo-o se interessar pela Matemática, e ainda munindo-o
de recursos para tentar resolvê-los, adquirindo criatividade e aprimorando o
raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.
As Diretrizes Curriculares Estaduais (2008), asseveram que a Educação
Matemática possibilita ao professor balizar sua ação docente, fundamentado numa
ação crítica que conceba a matemática como atividade humana em construção. Um
ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação
de conceitos e formulação de ideias, reitera-se que a matemática deve ser aprendida
não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que a
partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o
desenvolvimento da sociedade.
O que se pretendeu neste estudo foi despertar a motivação dos estudantes
a partir da crença de que não estariam aprendendo matemática pela matemática,
mas sim descobrindo uma nova maneira de resolver problemas de seu cotidiano e
para tal aplicando conhecimentos matemáticos.
É importante que o professor assegure em suas aulas um espaço de
discussão, no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver,
estabelecendo estratégias diferenciadas, levantem hipóteses, por se tratar de
situações que favorecem o pensamento matemático livre do apego às regras.
Acredita-se que um dos grandes problemas que diz respeito ao ensino da
Matemática, e da escola está na dificuldade dos alunos em resolver problemas,
assim é importante que esta prática faça parte do cotidiano das aulas de Matemática,
durante todo o processo de ensino e não apenas na etapa de consolidação do
conhecimento.
As Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática (2008), orientam para a
articulação dos conteúdos estruturantes com os específicos, estabelecendo relações
de interdependência que enriquecem o processo pedagógico, bem como de que
sejam abandonadas as formas fragmentadas como se os conteúdos existissem em
patamares distintos e sem vínculos.
Desta forma busca-se atender as orientações das DCEs (2008), articulando
o conteúdo estruturante geometria, com números e álgebra, a partir da opção
metodológica da resolução de problemas, sendo utilizados para sua resolução as
etapas propostas por Polya.
A escola não pode continuar a ser vista como o espaço de disseminação do
conhecimento, mas sim como espaço de construção do conhecimento e como tal é
preciso que se busquem metodologias apropriadas e capazes de atender aos
desafios do mundo contemporâneo, uma vez que precisa ir além da apropriação do
conhecimento historicamente acumulado, é preciso contribuir para a formação do
cidadão.
O desenvolvimento da habilidade de resolver problemas e a capacidade de
utilização do pensamento reflexivo é considerado como sendo o resultado principal a
ser observado na aprendizagem matemática.
Considerando o exposto buscou-se durante a implementação deste estudo
responder as seguintes questões: como desenvolver a metodologia da resolução de
problemas no Ensino Fundamental, de maneira a tornar o processo de ensino-
aprendizagem em Matemática interessante e desafiador? Quais os tipos de
problemas que podem ser utilizados?
REFERENCIAL TEÓRICO
Resolução de Problemas
Entende-se que a aprendizagem torna-se significativa quando o aluno
encontra uma situação de resolução de problemas. A resolução de problemas
consiste em um paradigma de ensino-aprendizagem, que tem como objetivo colocar
o aluno como foco central dessa interação, e capacitando-o a construir seu
conhecimento a partir da solução de problemas.
De acordo com Libâneo (2004), a metodologia da resolução de problemas
não consiste em apenas buscar a resolução do problema, exige o entendimento de
sua finalidade e utilidade em relação à situação questionada, bem como quais os
objetivos de aprendizagem. Portanto, pode-se dizer que se constitui em uma atitude
de construção do conhecimento em que todas as etapas utilizadas são fundamentais
e não apenas o resultado final obtido. É preciso que os alunos identifiquem a partir
da situação, quais são os objetivos de estudo, para a solução da dificuldade em
questão. Assim, estimular o aluno a ser um constante pesquisador, é sem dúvida
uma das tarefas que a aprendizagem fundamentada nessa abordagem pode realizar.
Pretendeu-se a metodologia da resolução de problemas opor-se ao modelo
transmissor e bancário de ensino, oportunizando a interatividade e participação e
não a cópia e reprodução de tarefas, uma vez que esta tendência pressupõe como
linha norteadora a participação e a informação como alicerce do exercício da
democracia, fazendo o vínculo indivíduo-sociedade, formando uma comunidade de
aprendizagem.
Acredita-se que a abordagem, a informação, a estratégia e a distribuição de
tarefas a serem cumpridas pelos alunos é que tornará a aprendizagem, um espaço
para que os educandos possam pensar e julgar por si, desenvolvendo o pensamento,
a autonomia e a criatividade. Possibilitando assim, que os aprendizes, ao
determinarem, opinarem, debaterem, se tornem protagonistas, comprometendo-se
com o social, buscando a sua identidade como sujeitos históricos e culturais. É na
mediação do professor que se encontra o segredo para desencadear o processo de
construção da aprendizagem, através da resolução de problemas de forma
intencional, sistemática e planejada, potencializando ao máximo as capacidades do
aluno.
De acordo com Smole e Diniz (2001), cabe ao professor a tarefa de
assegurar um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas
que irão resolver, elaborem estratégias, levantem, hipóteses, e façam o registro da
solução encontrada ou dos recursos utilizados para chegar ao resultado, uma vez
que esta prática favorece a formação do pensamento matemático livre do apego ás
regras.
Schoenfeld citado nas Diretrizes Curriculares Estaduais (2008), assevera
que a resolução de problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos
e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos sujeitos
do processo de ensino e aprendizagem.
Busca-se, assim, que a aprendizagem da matemática consista na criação
de estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e construir significado às
idéias matemáticas, capacitando-o a estabelecer relações, justificar, analisar, discutir
e criar, superando o ensino baseado no desenvolvimento de habilidades, e na
fixação de conceitos, na memorização e na lista de incontáveis exercícios.
No mundo contemporâneo, o ensino da matemática deve ser visto como um
instrumento para a compreensão, a investigação, a inter-relação com o ambiente, e
seu papel de agente de modificações do indivíduo, provocando mais do que simples
acúmulo de conhecimento técnico, o progresso do discernimento político, concepção
esta que vem sendo discutida desde a década de 1990, uma vez que o Currículo
Básico (1990, p.66), sugeria que:
“(...) aprender matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível.”
Considerando o exposto e por acreditar que o desenvolvimento do
raciocínio matemático é o que se busca com a proposição da metodologia da
resolução de problemas, possibilitando desta forma que os alunos percebam esta
ciência na mais simples de suas ações diárias.
Dante (2003, p.15-16), cita como objetivos na resolução de problemas: Fazer com que o aluno pense produtivamente; desenvolver o raciocínio do aluno; preparar o aluno para enfrentar situações novas; dar oportunidades aos alunos de se envolverem com suas aplicações; tornar as aulas de
matemáticas mais interessantes e desafiadoras; equipar o aluno com estratégias e procedimentos que auxiliam na análise e na solução de situações onde se procura um ou mais elementos desconhecidos.
A metodologia da resolução de problemas se encontra ligada a criatividade
e a tomada de decisão e considerada o resultado do pensamento produtivo
(pensamento criativo, pensamento divergente, imaginação criadora). E campo de
conhecimento humano já esteve, em sua forma inicial, na lógica tradicional e hoje
surge com a designação de Heurística.
Popper (1978, p. 14), assevera que:
… cada problema surge da descoberta de que algo não está em ordem com o nosso suposto conhecimento ou examinado logicamente, da descoberta de uma contradição interna entre nosso suposto conhecimento e os fatos; ou declara talvez mais corretamente, da descoberta de uma contradição entre nosso suposto conhecimento e os supostos fatos.
Teorias, por sua vez, surgiram novos problemas e ampliaram as áreas de
aplicação, como vemos o esquema a seguir:
Para Hilbert (apud KNEEBONE, 1963, p. 234), os problemas tinham um
papel específico na pesquisa matemática. Ele sumarizou sua visão nos seguintes
termos:
O grande significado dos problemas definidos para o progresso da Matemática em geral é a parte importante que eles desempenham no trabalho de Matemática individual são inegáveis. A medida que o ramo de conhecimento oferece uma abundância de problemas, está numa condição de florescimento, mas o escasseamento de práticas é um sinal de morte próxima ou de estagnação de desenvolvimento independente como todos os empreendimentos humanos são dirigidos para objetivos, assim também a pesquisa matemática necessita de problemas.
Ora, a lógica foi considerada a “arte da ciência do raciocínio”, a ciência das
“leis do pensamento”, as ciências das operações da inteligência na pesquisa da
verdade. Com a mudança dos rumos da Filosofia, a lógica foi conduzida para a
precisão e o vigor, não entende desde então às necessidades da criatividade. Por
outro lado, a Psicologia afastou-se desse tipo de assunto voltando-se para o estudo
dos sentimentos subjetivos e para o ajuste do homem às condições sociais.
Se uma situação constitui ou não um problema, isso depende de como a
pessoa que está sendo confrontada com tal situação responde a ela. Podemos dizer
que um indivíduo encara uma situação como sendo um problema quando ele:
1) Compreende a situação e não encontra uma solução óbvia imediata;
2) Reconhece que a situação exige uma ação;
3) Quer ou precisa agir sobre a situação.
Entende-se que há um problema real quando o sujeito está colocado numa
situação não satisfatória e, ao mesmo tempo, diante de uma impossibilidade de
modificá-la.
Saviani (1995, p. 19), coloca que a existência do problema é a necessidade,
adverte que, “… uma questão em si não caracteriza um problema, nem mesmo
aquele cuja resposta é desconhecida, mas uma questão cuja resposta se
desconhece e se necessita conhecer. Eis aí um problema. Algo que eu não sei é um
problema”.
A Matemática, como outras áreas de conhecimento, desenvolveu-se através
de uma combinação entre problemas e teorias. Os conceitos matemáticos têm sido
elaborados ao longo da história com o fruto de uma atividade que surgiu da
necessidade de resolver problemas. Os problemas geraram a formulação de
conceitos, teorias e técnicas para resolvê-los.
Krulik (1997), considera que é a resolução de problemas a própria razão do
ensino de matemática, entende-se assim que é de fundamental importância discutir
e abordar novas metodologias para que o ensino da matemática se torne cada vez
melhor, permitindo que os alunos resolvam problemas, não de forma mecânica, mas
com um raciocínio lógico e coerente.
O ensino de Matemática torna-se muito mais interessante à medida que se
utiliza de bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que remetem
a reprodução de fórmulas e se distanciam da realidade do aluno.
De acordo com as DCEs (2008, p.69), no processo pedagógico o aluno
deve ser estimulado a :
- partir de situações-problema internas ou externas à matemática;
- pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos problemas;
- elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;
- perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;
-sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada,
generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares;
-socializar os resultados obtidos, utilizando para isso, uma linguagem adequada;
-argumentar a favor ou contra os resultados.
Concorda-se com Klausmeier (1977), ao ressaltar que resolver problemas
torna a espécie humana capaz de se adaptar ao ambiente físico, bem como de
modificá-lo. Muitas soluções para problemas já foram encontradas por gerações
anteriores, mas toda pessoa e toda geração também encontra problemas que
exigem novas soluções.
Para Polya (1975), “Resolver problemas é uma habilidade prática, como
nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática.
(...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar
um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas”.
Considerando que o dia a dia das pessoas é permeado de problemas,
inclusive matemáticos entende-se que é essencial que os alunos desenvolvam esta
habilidade, possibilitando ainda que a matemática seja percebida de forma
contextualizada.
É importante ressaltar que tal habilidade não deve ser adquirida de forma
mecanizada, o importante é que o aluno perceba a necessidade de mobilizar
diferentes estratégias, aliando criatividade e raciocínio lógico.
Polya (1975), foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de
resolução de problemas específica para a matemática, trata-se de uma referência no
assunto, uma vez que suas idéias representam uma grande inovação em relação às
idéias de resolução de problemas existentes até então.
Na tentativa de organizar o processo de resolução de problemas, Polya
(1975) o dividiu em quatro etapas. No entanto, é importante ressaltar que nunca
pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma seqüência de etapas a serem
percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou necessário
voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como uma ‘poção mágica’ para
resolver problemas matemáticos.
São quatro as etapas para resolução de um problema segundo Polya (1975):
· Compreender o problema;
O primeiro passo consiste no entendimento do problema. Nesta etapa é
importante que o professor faça perguntas como: Qual é a incógnita? Quais são os
dados? Quais são as condições? É possível satisfazer as condições? Elas são
suficientes ou não para determinar a incógnita? Existem condições redundantes ou
contraditórias? É também importante a construção de figuras com o objetivo de
esquematizar a situação proposta, sobretudo introduzindo-se notação adequada.
Sempre que possível, procurar separar as condições em partes.
· Elaborar um plano;
Etapa em que deverão ser encontradas conexões entre os dados e a
incógnita. É conveniente levar em conta problemas auxiliares ou particulares caso
uma conexão não seja encontrada em tempo razoável. É também importante fazer
perguntas como:
Já encontrou este problema ou um parecido?
Conhece um problema semelhante? Teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
Verifique a incógnita e busque encontrar um problema familiar e que possua uma
incógnita semelhante. Caso o encontre e saiba resolvê-lo, tente aproveitá-lo.
Você pode usar seu resultado ou método? É necessário introduzir algum elemento
auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos? Consegue enunciar o problema de
outra maneira?
Caso não consiga resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido.
Consegue imaginar um caso particular mais acessível? E um caso mais geral e/ou
mais acessível? Consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas
parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita: como ela
varia agora? Consegue obter alguma coisa desde os dados? É capaz de imaginar
outros dados capazes de produzir a incógnita? Consegue alterar a incógnita ou os
lados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais
próximos?
· Executar o plano:
Trata-se da etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. No
entanto, a maioria dos principiantes tende a pular esta etapa prematuramente e
acabam se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se
enredando terrivelmente na execução (e, deste modo, acabam sendo obrigados a
voltar para a etapa anterior e elaborar uma nova estratégia).
Ao executar a estratégia, recomenda-se a verificação de cada passo. Você
consegue mostrar que cada um deles está correto?
· Fazer o retrospecto ou verificação:
Etapa em que se deve examinar a solução obtida, verificando os resultados
e os argumentos utilizados. Pode-se obter a solução de algum outro modo? qual a
essência do problema e do método de resolução aplicado?
Conforme Schoenfeld (1985), a compreensão e o ensino da matemática
devem ser abordados como um domínio de resolução de problemas. Em seu livro
Mathematical Problem Solving (1985), ele afirma que quatro categorias de
conhecimento ou habilidades são necessárias para alguém obter sucesso na
matemática:
1. Recursos: conhecimento de procedimentos e questões da matemática.
2. Heurísticas: estratégias e técnicas para resolução de problemas, tais como
trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras.
3. Controle: decisões sobre quando e quais recursos usar.
4. Convicções: uma visão matemática do mundo, que determina como alguém
aborda um problema.
Percebe-se, por Schoenfeld, que o conhecimento de heurística de resolução
de problemas consiste em uma habilidade importantíssima para um bom matemático,
ou seja, não basta apenas ser um bom conhecedor da teoria matemática para ser
um bom ‘resolvedor de problemas’.
Diferentemente do que ocorre em muitas disciplinas, muito mais importantes
que erudição e treinamento são:
a) Uma intuição cultivada, capaz de fazer ressonar as informações dadas no
problema com conhecimentos e experiências do resolvedor.
b) Uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz de relacionar itens
conceitualmente e/ou proceduralmente muito distantes entre si.
Kantowski (1980), mediante longas observações, dividiu o continuum das
capacidades pessoais de resolução de problemas matemáticos em quatro estágios.
Novamente, a dotação genética e a qualidade da orientação didática
determinarão quão longe uma dada pessoa conseguirá ir nesse continuum.
Inerte: a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja
resolver um problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde
começar. O máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir
procedimentos de resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e
exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos
exercícios e é necessário que esses sejam bastante exemplificados.
Imitador: com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer
exercícios, mas ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de
participar produtivamente em grupos estejam discutindo a resolução de problemasde
tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho.
Capaz: atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser
variantes relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu.
Avançado: além de demonstrar uma capacidade superior de resolução,
através da velocidade de resolução, da variedade e da maior complexidade dos
problemas que é capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber
processos de resolução diferentes dos que tinha aprendido.
É interessante apontar a classificação de problemas realizada por Dante
(2003, p.16-21):
1. Exercícios de reconhecimentos: seu objetivo é fazer com que o aluno
reconheça, identifique ou lembre um conceito, uma definição, etc.;
2. Exercícios de algoritmos: Seu objetivo é treinar a habilidade em executar
um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores;
3. Problemas-padrão: Seu objetivo é recordar e fixar os fatos básicos
através dos algoritmos das quatros operações fundamentais, além de reforçar o
vínculo existentes entre essas operações e seu emprego nas situações do dia-a-dia.
De uma maneira geral, eles não aguçam a curiosidade do aluno e nem o desafiam;
4. Problemas-processo ou heurísticos: Seu objetivo é fazer o aluno pensar,
elaborar um plano, tentar uma estratégia de acordo com sua intuição, testar essa
estratégia é verificar se chegou à solução correta. Para isso ele usa uma grande
variedade de processos de pensamentos. Esse tipo de problemas aguça a
curiosidade do aluno e permite que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e
seu espírito explorador;
5. Problemas de aplicação: São aqueles que retratam situações reais do dia
a dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. Por meio de
conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar uma
situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos e levantamentos
de dados.
6. Problemas de quebra-cabeça: São aqueles que envolvem e desafiam
grande parte dos alunos. Geralmente constituem a chamada Matemática recreativa,
e sua solução depende, quase sempre, de um golpe de sorte ou de facilidade em
perceber algum truque, que é chamada de solução.
Esta classificação é criticada por Lopes (1994, p.34), o qual alega que: Tais
classificações pouco auxiliam os professores na compreensão e exploração das
atividades de resolução de problemas e expressa uma visão reducionista no que se
refere a objetivos didáticos e educacionais pretendidos pela Educação Matemática.
Acrescenta ainda Lopes (1994, p.36), que:
Os professores ao planejarem seu trabalho, selecionando atividades de resolução de problemas, devem estabelecer claramente os objetivos que pretendem atingir. Para se desenvolver uma boa atividade, o que menos importa é saber se um problema é de aplicação ou de quebra-cabeça. O principal é analisar o potencial do problema no desenvolvimento de capacidades cognitivas, procedimentos e atitudes e na construção de conceitos e aquisição de fatos da Matemática. O melhor critério para organizar um repertório é selecionar, ou mesmo formular, problemas que possibilitem aos alunos pensar sobre o seu próprio pensamento, que os coloquem diante de variadas situações.
Entende-se que o importante na metodologia da resolução de problemas
está em proporcionar aos alunos situações que lhes coloquem em cheque-mate com
sua capacidade de criar suas próprias estratégias, entendendo os procedimentos
das mesmas, seja utilizando operações matemáticas já aprendidas ou criando novas
soluções. Não basta tão somente ensinar a resolver problemas, mas criar o hábito
nos alunos de propor situações problemas, relacionando com o seu dia-a-dia,
elencando quais acontecimentos sociais merecem atenção e estudo.
Incentivar o hábito da problematização e a busca de respostas, vai criando no
aluno o prazer em aprender, nessa direção, Pozo e Echeverría (1998, p.45), afirmam
que:
Em função de seus valores formadores do desenvolvimento de estratégias de pensamento e raciocínio, a Matemática é o idioma das ciências e tecnologias. Nesse sentido, aprender a resolver problemas matemáticos e a analisar como os especialistas e os não-especialistas resolvem esse tipo de tarefas pode contribuir para um aumento do conhecimento científico e tecnológico de maneira geral. A complexidade do mundo atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma ferramenta muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas como, por exemplo, pedir um empréstimo, analisar os resultados eleitorais, jogar na Loteria Esportiva ou tomar decisões no âmbito do consumo diário.
É essencial que se perceba a diferença entre exercícios e problemas. No
primeiro o aluno não precisa decidir sobre o procedimento a ser utilizado para se
chegar à solução. Para que uma determinada situação seja considerada um
problema, deverá implicar em um processo de reflexão, de tomada de decisões
quanto ao caminho a ser utilizado para a sua resolução.
Dante (2003), também faz esta diferenciação, para o qual, o exercício serve
para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. E problema “é a
descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não temos
previamente nenhum algoritmo que garanta a sua solução”.
Entende-se que ao propor determinada situação problema, o aluno possa
buscar nos conceitos matemáticos já aprendidos uma solução ou criar ele mesmo a
sua estratégia de resolução, seja qual for o tipo de problema. Pozo e Echeverría
(1998, p.17), afirmam que: “Quando a prática nos proporciona a solução direta e
eficaz para a solução de um problema escolar ou pessoal, acabaremos aplicando
essa solução rotineiramente e a tarefa servirá, simplesmente, para exercitar
habilidades que já foram adquiridas.
Acredita-se que este processo pode criar nos alunos hábitos de buscar
resolver problemas pode motivá-los a se envolver em situações novas e diferentes
atitudes em relação ao conhecimento.
Conforme Smole e Centurión (1992, p.9), É, pois fundamental que o estudo
da Matemática seja colocado em situações-problema que possibilite a participação
ativa na construção do conhecimento matemático. O aluno desenvolve seu
raciocínio participando de atividades, agindo e refletindo sobre a realidade que o
cerca, fazendo uso de informações de que dispõe. Se quisermos melhorar o
presente estado de conhecimento, devemos nos questionar sobre como pode, de
fato nosso aluno desenvolver o pensamento crítico ou raciocínio lógico.
A elaboração dos problemas coloca o professor, no papel de incentivador,
facilitador, interventor das idéias apresentadas pelos alunos, de modo que estas
sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem idéias de resolução,
para que em seguida se possa trazer tais idéias para os conteúdos que se deseja
introduzir.
A PRÁTICA
A presente unidade didática foi aplicada em uma turma de sétima série do
Ensino Fundamental de um colégio da rede pública, no turno vespertino, a partir das
seguintes ações:
a) Contato com a direção e equipe pedagógica, bem como com os docentes
que atuam nas séries em questão, para a definição da classe a ser implementado o
projeto.
b) Análise e discussão do professor regente da classe, para possíveis
sugestões e modificações.
c) Definição do cronograma de aplicação, tarefa esta realizada com o
professor e com a equipe pedagógica.
d) Discussão e apresentação do projeto para a classe, tendo em vista
despertar a motivação dos alunos em participar ativamente das aulas.
e) A proposta de implementação teve início ao ser disponibilizado aos
alunos o conceito de problema, para que pudessem constatar que estes fazem parte
do cotidiano das pessoas.
f) Foi explicado aos alunos como se desenvolve as etapas da resolução de
problemas sugeridas por Polya, resolvendo problemas com os alunos.
g) Explicação aos alunos do conceito de Geometria e de Álgebra, partindo
de problemas contextualizados.
h) Resolução dos problemas propostos nas atividades.
i) Paralela a implementação os alunos foram registrando as dificuldades que
foram apresentando em relação as atividades propostas, tendo em vista a
possibilidade de avaliarem seu próprio crescimento.
A intervenção foi realizada utilizando-se da resolução de problemas como
uma alternativa interdisciplinar de contextualização no ensino da Matemática, para
os alunos do Ensino Fundamental da 7ª série.
Foram também colocadas várias situações-problemas nos murais da escola,
a fim de que se possa perceber que a linguagem matemática pode ser utilizada
como uma ferramenta de comunicação, enriquecendo a capacidade de transmissão,
simplificando modos de pensar aguçando a criticidade e a criatividade dos alunos.
A seguir são apresentadas as atividades que foram desenvolvidas junto aos
durante o período da intervenção.
Os objetivos que se pretendia alcançar mediante o desenvolvimento das
atividades propostas foram :
- Identificar monômios como generalizações das operações e propriedades dos
números já estudados.
- Desenvolver habilidades de cálculos com monômios e polinômios a partir da
resolução de problemas.
De acordo com Ribeiro (2010, p.41), “A representação geométrica constitui-
se em uma importante ferramenta utilizada para o entendimento dos conceitos de
monômio e polinômio, utilizados para representar áreas e volumes, quadrado da
soma e da diferença entre dois termos.”
Área é a medida de uma superfície. É possível encontrar a área de uma
superfície verificando quantas unidades de área cabem dentro dessa superfície.
Perímetro consiste na medida do contorno de uma forma geométrica plana.
Em um polígono, o perímetro é dado pela soma das medidas dos seus lados.
Para a execução das atividades o professor orientou os aluno para que
fosse recortado o polígono solicitado, conforme suas respectivas medidas, em papel
quadriculado e colá-lo abaixo da atividade copiada, na seqüência deverá ser
representada as medidas dos lados realizando os cálculos indicados.
Em conjunto com o professor os alunos estabeleceram as unidades de
medida, sugerindo-se que a medida do lado de um “quadradinho” seria uma unidade
de medida de comprimento e então um “quadradinho” seria uma unidade de área.
Para a primeira atividade foi aprimorado o conceito de perímetro e área,
bem como as figuras geométricas planas, tendo em vista a necessidade do domínio
destes conteúdos para o desenvolvimento dos polinômios.
Após a revisão do conceito de perímetro, área e das formas geométricas
planas, foram desenvolvidas as seguintes atividades:
1) Recorte e cole um quadrado com 4 unidades de medida de lado. Quantas
unidades de área são necessárias para recobrir o quadrado?
Nesta atividade inicialmente os alunos se mostraram surpresos, uma vez
que não era usual esta metodologia ser utilizada na classe, no entanto, houve uma
boa participação e gradativamente todos compreenderam o objetivo da atividade,
mostrando-se motivados, verificaram que foram necessárias 16 unidades de área
para recobrir o quadrado.
Em relação ao quadrado, foram orientados a observar que se trata de uma
figura geométrica plana que apresenta quatro lados com a mesma medida, quatro
ângulos retos, ou seja, igual a 90 graus, que seus lados são paralelos.
2) Recorte e cole um retângulo com cinco unidades de medida na base em 3
unidades de medida de lado. Quantas unidades de área são necessárias para
recobrir a superfície do retângulo?
Novamente os alunos foram orientados a realizar a atividade e a observar
que foram necessárias 15 unidades de área para recobrir o retângulo, passando
então a responder os seguintes questionamentos :
a)Quantos ângulos possui um retângulo ?
b) É correto afirmar que um retângulo possui quatro ângulos retos ?
c) Qual o perímetro deste retângulo, sabendo que cada unidade de área possui 0,7
cm de comprimento e 0,5 cm de largura ?
Sabendo que o comprimento de uma unidade de área era 0,7 cm e o
retângulo possuía 5 unidades de área , a operação efetuada foi 5 x 0,5 = 3,5 cm.
A largura de uma unidade de área é de 0,5 cm, como o retângulo possui 3
unidades de largura a operação a ser efetuada é 3 x 0,5 = 1,5 cm.
Sabendo que o perímetro consiste na soma das medidas dos lados do
retângulo e que estes são paralelos entre si, seu perímetro é P = ( 2 x 3,5) + (2 x 1,5),
logo: P = 7 + 3 = 10 cm.
Na seqüência foram disponibilizadas trenas que foram utilizadas para a
resolução da terceira atividade, sendo primeiramente realizada uma rápida
retrospectiva acerca das unidades de medida.
3)Utilizando a trena, meça os lados de sua sala de aula e responda:
a) A sala de aula possui a forma quadrangular ? Explique:
Após os alunos medirem os lados da sala de aula, foram estimulados a
realizarem um esboço da mesma, e em seguida o professor orientou que para a
realização deveriam fazer com que um metro fosse equivalente a um centímetro. A
partir de questionamentos os alunos verificaram que sala de aula não tem a forma
quadrangular, pois seus lados não possuem a mesma medida, mas sim a forma de
um retângulo, aproveitando-se o momento para questionar quanto ao número de
lados, ângulos e paralelismo.
b)É correto afirmar que seus lados são paralelos ? Por quê?
Os alunos demonstraram que haviam assimilado os conceitos até então
trabalhados, afirmando que a sala de aula possui lados opostos paralelos, pois
mantém entre si a mesma distância e explicando que é devido ao fato de manterem
a mesma distância entre si.
b) Quantos metros de rodapé são necessários para a sala de aula, sabendo que
mede 6 e 8 metros.
Decorrente das discussões anteriormente realizadas acerca de perímetro,
os alunos afirmaram rapidamente que são necessários 30 metros de rodapé para a
sala de aula.
4)Sabendo que um quadrado tem perímetro igual a 20 cm, responda:
a) Quantas unidades de área são necessárias para recobrir este quadrado ?
Solicitou-se que os alunos a partir das unidades de área (quadradinhos) de
que dispunham, realizassem a atividade, verificando que eram necessários 25
quadradinhos e que portanto o lado do quadrado era de 5 unidades de área.
Para a resolução do problema foi disponibilizado tempo para que os alunos
propusessem diferentes estratégias para a definição da área do quadrado, somente
após este momento é que o professor a partir das resoluções apresentadas chegou
a expressão: A = l x l = l2.
b) Qual a área deste quadrado ?
A = l x l = l2
A = 5 x 5 = 25
A = 25 cm2
5)Recorte e cole um retângulo cujas dimensões sejam x e y. Calcule a sua área.
Sendo x = 5 e y = 7
Também na resolução deste problema os alunos foram orientados a
inicialmente, recortar e colar o retângulo, para somente após aplicar a expressão
para o cálculo da área.
A = 5 . 7
A = 35 unidades de área.
6)Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das
figuras abaixo:
Oralmente os alunos foram estimulados primeiramente a fazer o
reconhecimento da figura plana, chamando a atenção para o número de lados,
número de ângulos, a verificação dos lados que são paralelos, sendo que, afirmaram
sem apresentar dificuldades que se tratava de um polígono denominado retângulo,
considerando que possui 4 ângulos retos e como seus lados são paralelo,
rapidamente apontaram a expressão algébrica: P = 2x + 2 y .
Também em relação a esta figura realizou-se a mesma argumentação
anterior, sendo que os alunos também facilmente deduziram se tratar de um
quadrado e como tal teria quatro lados com as mesmas medidas, desta maneira a
expressão que representa o perímetro apresentada foi: P = 4 a
Para a dedução do perímetro deste polígono os alunos demonstraram um
pouco de dificuldade para visualizar as medidas correspondentes, mas sendo
incentivados a determinaram que teria a seguinte representação: 2 m + 3 k + 2 k + x
+ 2 t
7)Um quadrado de lado com medida igual a x teve seus lados aumentados em 2 cm.
a) Faça a representação geométrica.
Para que se pudesse verificar o desenvolvimento da autonomia, os alunos
foram incentivados a fazer a representação geométrica conforme a sua escolha,
sendo que alguns utilizaram as medidas de área (quadradinhos) que foram utilizadas
nos problemas iniciais, outros fizeram a representação por meio de desenhos.
b) Qual expressão algébrica representa a área desse quadrado aumentado?
A = (x + 2) . (x + 2)
8)Pedrinho fez uma mesa de formato quadrado. Ao entregá-la percebeu que havia
um erro de medida, pois a mesa estava maior do que deveria. Considerando que
teria que reduzir a mesa em 5 cm no comprimento e 5 cm na largura, qual é a
medida de cada lado da mesa se ela está ocupando uma área de 4 m2?
Antes da aplicação da fórmula, os alunos foram orientados a seguir as
etapas da resolução de problemas proposta por Polya, sendo que tiveram liberdade
para buscar diferentes estratégias de solução, realizando esquemas, fazendo
esboços de desenhos, definindo um caminho para chegar ao resultado, levantando
hipóteses, questionando.
A = a . a
4 = a2
a = √4
a = 2 m
a) Que área a mesa ocupará após Pedrinho fazer a redução necessária?
A = 4 – 0,25
A = 3,75 m2
b) Qual é a diferença entre a área que a mesa está ocupando e a área que deveria
ocupar?
A diferença é de 0,25 m2
9)Recorte e cole as figuras na seqüência indicada:
Também nesta atividade, os alunos foram orientados a buscar estratégias
diferenciadas, onde pode-se observar que alguns realizaram desenhos, esboços
utilizando a unidade de área, que foi realizada nas primeiras atividades.
a) Se um retângulo tem lados medindo 4 e a, qual é a sua área?
A = 4. a
b) Se um retângulo tem lados medindo 2 e a, qual é a sua área?
A = 2. a
c) Recortando novamente dois retângulos congruentes aos anteriores e colando-os
um ao lado do outro, de modo que os lados congruentes de cada retângulo se
justaponham, que polígono você obtém?
Nesta etapa, foi explorado o conceito de congruência, sendo representados
os polígonos utilizando as medidas de área utilizadas nos exercícios anteriores,
possibilitando desta forma a visualização da figura, sendo dada liberdade para que
levantassem hipóteses, discutissem as opiniões apontadas, para que se chegasse a
conclusão, desta forma a sistematização foi ocorrendo naturalmente.
d) Quais são as medidas dos lados do polígono assim obtido ? Qual a área de sua
superfície?
A = 8 a
A = 10 a
e) Se um quadrado possui lado medindo a, qual é a sua área?
A = a2
f) Se um retângulo possui lados medindo 3 e a, qual é o valor da sua área ?
A = 3 a
10)Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode
ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base
maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.
Na resolução desta atividade, houve a possibilidade de voltar a discutir
noções de paralelismo, sendo realizada a técnica do recorte para que estes
pudessem verificar que se cortarmos o trapézio na parte pontilhada esta se encaixa
ao lado oposto formando assim um retângulo, sendo que os alunos percebram o
sentido da fórmula, sem que houvesse a necessidade de decorá-la, pois verificou-se
que de fato houve entendimento, facilitando assim que o conceito fosse assimilado
com naturalidade.
A = (B + b) x h/2
A = (9 + 4) x 3/2
A = 13 cm x 1,5 cm
A = 19,5 cm2
11)Determine figuras geométricas com áreas que possam ser representadas pelas
seguintes expressões algébricas:
Nesta atividade os alunos foram incentivados a fazer a representação das
figuras e não apenas a determinar as figuras, utilizando esboços, colagem e outras
formas de representação.
a) 3 . x
b) m . n
c) 4 . a
12) Utilizando desenhos determine geometricamente:
a) 2 a . 3 a = 6 a2
Também nesta atividade foi disponibilizado aos alunos unidades de área
para que pudessem realizar as representações.
13) Utilizando papel quadriculado determine geometricamente: (a + 2)2.
a) Recorte as seguintes peças no papel quadriculado:
- um quadrado de lado de medida a
- dois retângulos com lados medindo a e 2
- um quadrado de lado de medida 2a.
14) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente:
a) (a + 5)2
b) (x + 3) 2
15) Utilizando papel quadriculado determine geometricamente:
(x – 2) 2:
a) Recorte um quadrado de lado x.
b) Recorte de um dos lados desse quadrado (altura) um retângulo cuja área seja 2x.
c) Recorte do outro lado desse quadrado (base) um retângulo cuja área seja 2x.
d) Qual é a área da superfície do quadrado cujo lado é representado por (x – 2)?
16) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente:
a) (x – 3) 2
b) (a – 1) 2
17) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente: (a + 2) . (a – 2).
a) Recorte um quadrado cujo lado mede a.
b) Acrescente a um dos lados (base) um retângulo cujos lados medem 2 e a.
c) Retire da base do quadrado um retângulo cujos lados medem 2 e a e recorte o
excesso.
18)Carlos comprou uma porta para colocar em sua casa com as seguintes medidas:
(x + 75 ) cm
x cm
a) A porta tem 75 cm de largura. Qual é a área de sua superfície ?
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao finalizar as atividades relativas ao Programa de Desenvolvimento Educacional,
realizadas durante o período de dois anos, pode-se afirmar que estas foram extremamente
proveitosas tanto para o docente como para os alunos que participaram das aulas durante a
aplicação do projeto de intervenção.
O tema desenvolvido foi relevante para que a prática docente se realizasse de
maneira a tornar o momento de aprendizagem mais interessante e proveitoso, bem como
pelo fato de que os conceitos trabalhados fossem assimilados pelos alunos com mais
facilidade.
Acredita-se que de fato os conceitos matemáticos podem ser assimilados a partir
da metodologia da resolução de problemas, pois, pode-se perceber que os alunos
mostravam maior interesse em participar das aulas tornando-as mais dinâmicas e
proveitosas, assim como, puderam perceber que a Matemática é uma ciência que faz parte
do cotidiano das pessoas e como tal precisa ser entendida dentro de um contexto para que
possa ter significado.
A medida que as aulas foram se desenvolvendo pode-se perceber que os alunos
passaram a demonstrar segurança ao discutir os conceitos geométricos que foram
trabalhados, e mostraram desenvoltura ao aplicar as etapas da resolução de problemas
elaboradas por Polya.
Sabe-se que as etapas da resolução de problemas que foram propostas por Polya
não se constituem em uma poção mágica, para resolver todo e qualquer problema
matemático, mas podem ajudar bastante aquele que deseja se tornar um bom resolvedor
de problemas, uma vez que ajudam a organizar as ideias.
Durante a aplicação do projeto de intervenção, foi possível perceber que um
problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à
curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução, bem como
estimulam a curiosidade do aluno, fazendo com que se interessassem pela matemática.
Um professor conhecedor de heurísticas da resolução de problemas possui um
diferencial a seu favor, pois terá uma visão mais completa da matemática, e
consequentemente mais facilidade para organizar melhor o raciocínio, dispõe assim de um
importante recurso para desenvolver a sua metodologia e com isso facilitar e aprimorar o
processo ensino-aprendizagem tornando seus alunos mais criativos e encorajados a realizar
novas descobertas – o que é importante em todos os campos do conhecimento.
Espera-se que o estudo realizado possibilite que se perceba ainda que o ensino da
resolução de problemas não pode ser mecanizado, pois, a aprendizagem só será
significativa se professores e alunos se empenharem na construção de seus conhecimentos,
despertando o gosto pelo raciocínio independente.
É também importante ressaltar que a aplicação da metodologia da resolução de
problemas, possibilita desenvolver no aluno posicionamento crítico e independência diante
de situações novas e desafiadoras, capacitando-os ainda a realizar com mais tranquilidade
as avaliações externas do sistema tais como prova Brasil e SAEB, uma vez que são
fundamentadas na resolução de problemas.
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas da matemática. 7.ed. São Paulo: Ática, 2003.
ECHEVERRÍA, M. P. P.; POZO, J. I. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender . Porto Alegre: Artes Médicas, 1998. KANTOWSKI, Mary Grace. Pronlem solving. Mathematics Education research. EUA, ASCD, 1980. KLAUSMEIER, Herbert John. Aprendizagem e capacidades humanas. Tradução Maria CéliaTeixeira Azevedo de Abreu. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1977. KRULIK, Stephen e REYS, Robert E. A Resolução de problemas na matemática escolar. Tradução Hygino Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. LIBÂNEO, J. C. A didática e a aprendizagem do pensar e do aprender: a Teoria Histórico-cultural da Atividade e a contribuição de Vasili Davydov. São Paulo: Ática, 2004.
LOPES, Jairo de Araújo. Livro didático de matemática: concepção, seleção e possibilidade frente a descritores de análise e tendências em educação matemática. FE/UNICAMP. Campinas: Tese de Doutorado, 1994. PARANÁ. Currículo básico para a escola pública do Paraná. Curitiba: SEED, 1990. _______. Diretrizes Curriculares Estaduais. Matemática. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008. POLYA, G. Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1975. POPPER, K. R. Lógica das ciências sociais. Rio de Janeiro: Tempo brasileiro, 1978. RIBEIRO, J. Matemática. São Paulo: Scipione, 2010. SAVIANI, Dermeval Pedagogia histórico-crítica: primeiras aproximações. São Paulo: Cortez/Autores Associados, 1995. SMOLE, K. C. S.; CENTURIÓN, M. A matemática de jornais e revistas. RPM n. 20, 1º quadrimestre de 1992. SMOLE, Kátia Stocco.; DINIZ, Maria Ignez (org.). Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. 203 p.
PARANÁ GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
PARECER DO TRABALHO FINAL PDE
PROFESSORES PDE
1. IDENTIFICAÇÃO
a) INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO OESTE –
UNICENTRO.
b) PROFESSOR ORIENTADOR IES:REINALDO FRANCISCO
c) PROFESSOR PDE: HELIO ERECE BANNACH STAHLSCHMIDT
d) NRE:
PATO BRANCO
e) ÁREA/DISCIPLINA: MATEMÁTICA
f) TÍTULO DO ARTIGO:
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO
ENSINO FUNDAMENTAL
2. CRITÉRIOS DE ANÁLISE
O professor orientador deverá emitir parecer com base nos seguintes critérios:
Relação do artigo com os desafios da Educação Básica na atualidade. O presente
trabalho é adequado tanto na educação básica, quanto à área de atuação do professor,
pois é um tema fundamental no ensino de matemática.
Fundamentação teórica consistente. A fundamentação teórica é consistente e existe
articulação com o objeto de estudo.
Contribuição do trabalho para a educação pública paranaense. O presente trabalho é
relevante para a educação pública paranaense haja visto a metodologia utilizada.
Adequação do texto à forma de artigo científico. Adequado.
Adequação do texto à norma culta da Língua Portuguesa. Adequado.
3. PARECER CONCLUSIVO
( X ) Sou de parecer favorável quanto ao conteúdo, forma e adequação do texto
à norma culta da Língua Portuguesa para fins de publicação.
( ) Sou de parecer desfavorável.
Guarapuava - PR, 16 / 07 / 2012
Assinatura do Professor Orientador
REINALDO
FRANCISCO.
JUSTIFICATIVA:
O presente artigo refere-se ao estudo desenvolvido como os alunos da 7ª série do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Sebastião Paraná – EFM, em Palmas – PR. Para a aplicação
do projeto de intervenção foi utilizada a metodologia da resolução de problemas, utilizando-se
para tal de problemas com o objetivo de desenvolver o pensamento geométrico dos alunos,
devolvendo ao aluno o prazer da redescobertas das técnicas operatórias e motivando-os para
busca de novos conhecimentos. A fundamentação teórica apresentada é consistente, as
estratégias de ação e os resultados obtidos na implantação da proposta são apresentados de
forma bastante detalhada.
Guarapuava, 16 / 07 / 2012
___________________________
_
Assinatura do Professor Orientador
REINALDO FRANCISCO.
Pelo presente instrumento particular, de um lado Hélio Erece Bannach
Stahlschmidt, brasileiro, casado, professor, CPF nº 193.344.359-68, Cédula de
Identidade RG nº 1383315-0 residente e domiciliado à Rua Paulo de Araújo, 121 na
cidade de Palmas, Estado do Paraná, denominado CEDENTE, de outro lado a
Secretaria de Estado da Educação do Paraná, com sede na Avenida Água Verde, nº
2140, Vila Izabel, na cidade de Curitiba, Estado do Paraná, inscrita no CNPJ sob nº
76.416.965/0001-21, neste ato representada por seu titular Flávio Arns, Secretário
de Estado da Educação, brasileiro, portador do CPF nº….........................., ou, no
seu impedimento, pelo seu representante legal, doravante denominada
simplesmente SEED, denominada CESSIONÁRIA, têm entre si, como justo e
contratado, na melhor forma de direito, o seguinte:
Cláusula 1ª – O CEDENTE, titular dos direitos autorais da obra A RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO ENSINO
FUNDAMENTAL, cede, a título gratuito e universal, à CESSIONÁRIA todos os
direitos patrimoniais da obra objeto desse contrato, como exemplificativamente os
direitos de edição, reprodução, impressão, publicação e distribuição para fins
específicos, educativos, técnicos e culturais, nos termos da Lei 9.610 de 19 de
fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988 – sem que isso implique em
qualquer ônus à CESSIONÁRIA.
Cláusula 2ª – A CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra
autoral ao qual se refere a cláusula 1.ª deste contrato em qualquer tipo de mídia,
como exemplificativamente impressa, digital, audiovisual e web, que se fizer
necessária para sua divulgação, bem como utilizá-la para fins específicos,
educativos, técnicos e culturais.
Cláusula 3ª – Com relação a mídias impressas, a CESSIONÁRIA fica autorizada
pelo CEDENTE a publicar a obra em tantas edições quantas se fizerem necessárias
em qualquer número de exemplares, bem como a distribuir gratuitamente essas
edições.
Cláusula 4ª – Com relação à publicação em meio digital, a CESSIONÁRIA fica
autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, em tantas cópias
quantas se fizerem necessárias, bem como a reproduzir e distribuir gratuitamente
essas cópias.
Cláusula 5ª - Com relação à publicação em meio audiovisual, a CESSIONÁRIA fica
autorizada pelo CEDENTE a publicar e utilizar a obra, objeto deste contrato, tantas
vezes quantas se fizerem necessárias, seja em canais de rádio, televisão ou web.
Cláusula 6ª - Com relação à publicação na web, a CESSIONÁRIA fica autorizada
pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se
fizerem necessárias, em arquivo para impressão, por escrito, em página web e em
audiovisual.
Cláusula 7ª – O presente instrumento vigorará pelo prazo de 05 (cinco) anos
contados da data de sua assinatura, ficando automaticamente renovado por igual
período, salvo denúncia de quaisquer das partes, até 12 (doze) meses antes do seu
vencimento.
Cláusula 8ª – A CESSIONÁRIA garante a indicação de autoria em todas as
publicações em que a obra em pauta for veiculada, bem como se compromete a
respeitar todos os direitos morais do autor, nos termos da Lei 9.610 de 19 de
fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988.
Cláusula 9ª – O CEDENTE poderá publicar a obra, objeto deste contrato, em outra(s)
obra(s) e meio(s), após a publicação ou publicidade dada à obra pela
CESSIONÁRIA, desde que indique ou referencie expressamente que a obra foi,
anteriormente, exteriorizada (e utilizada) no âmbito do Programa de
Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação do Paraná –
SEED-PR.
Cláusula 10ª – O CEDENTE declara que a obra, objeto desta cessão, é de sua
exclusiva autoria e é uma obra inédita, com o que se responsabiliza por eventuais
questionamentos judiciais ou extrajudiciais em decorrência de sua divulgação.
Parágrafo único – por inédita entende-se a obra autoral que não foi cedida,
anteriormente, a qualquer título para outro titular, e que não foi publicada ou utilizada
(na forma como ora é apresentada) por outra pessoa que não o seu próprio autor.
Cláusula 11ª – As partes poderão renunciar ao presente contrato apenas nos casos
em que as suas cláusulas não forem cumpridas, ensejando o direito de indenização
pela parte prejudicada.
Cláusula 12ª – Fica eleito o foro de Curitiba, Paraná, para dirimir quaisquer dúvidas
relativas ao cumprimento do presente contrato.
E por estarem em pleno acordo com o disposto neste instrumento
particular a CESSIONÁRIA e o CEDENTE assinam o presente contrato.
Curitiba, 04 de junho de 2012.
______________________________________
CEDENTE
______________________________________
CESSIONÁRIA
______________________________________
TESTEMUNHA 1
______________________________________
TESTEMUNHA 2
Termo de Cessão Pessoa Física para Pessoa Física
Nos termos disponíveis do artigo 49 da Lei n. 9.610, por este instrumento o(a) Sr(a),
Hélio Erece Bannach Stahlschmidt , RG 1383315-0, CPF 193344359-68 , residente na rua:
Paulo de Araújo, 121 bairro: Centro, cidade de Palmas, na qualidade de titular dos direitos
autorais, doravante denominado CEDENTE, cede gratuitamente, pelo prazo indeterminado e
de modo absoluto, para utilização exclusiva da Secretaria de Estado da Educação do Paraná o
direito de uso referente ao(s) seguinte(s) material(is): A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL para o(a)
professor(a) __________________________, RG____________________ da Rede Estadual
de Ensino do Paraná, nesta ocasião denominada CESSIONÁRIO(A).
O CEDENTE fica ciente de que o material cedido pode ser publicado nas mídias
impressa e/ou Web.
Esta cessão afasta o CEDENTE e seus herdeiros de receberem qualquer espécie de
indenização ou compensação em virtude do uso e administração do material.
O(A) CESSIONÁRIO(A), por sua vez, compromete-se a utilizar o material descrito
para produção didático-pedagógica, sem fins lucrativos e com objetivos educacionais.
Para efeitos, este termo vai assinado pelas partes.
Palmas, 04 de junho de 2012.
_____________________________
CEDENTE
_____________________________
CESSIONÁRIO(A)
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
Ficha para Catálogo Artigo Final
Professor PDE/2010
Título A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Autor HÉLIO ERECE BANNACH STAHLSCHMIDT
Escola de Atuação COL. EST. SEBASTIÃO PARANÁ
Município da Escola PALMAS
Núcleo Regional de Educação PATO BRANCO
Orientador REINALDO FRANCISCO
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO
Área do Conhecimento/Disciplina MATEMÁTICA
Relação Interdisciplinar (indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Público Alvo (indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)
ALUNOS
Localização (identificar nome e endereço da escola de implementação)
Colégio Estadual Sebastião Paraná – EFM
Rua Benjamin Constant, 886
Resumo: (no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
O presente estudo foi realizado em um Colégio Estadual da rede pública com um grupo de alunos da 7
a série do Ensino
Fundamental, em turno contrário ao que frequentaram as aulas, durante o segundo semestre do período letivo de 2011. O que se pretendeu neste estudo foi despertar a motivação dos estudantes a partir da crença de que não estariam aprendendo matemática pela matemática, mas sim descobrindo uma nova maneira de resolver problemas de seu cotidiano e para tal aplicando conhecimentos matemáticos. A prática foi realizada buscando aplicar as etapas da resolução
de problemas elaborada por Polya, na tentativa de despertar nos alunos o gosto pela matemática, bem como pela possibilidade de que os conceitos matemáticos pudessem ser assimilados com mais facilidade a medida que se buscava contextualizar situações do cotidiano dos alunos. Para a aplicação do projeto de intervenção foi utilizada a metodologia da resolução de problemas, utilizando-se para tal de problemas com o objetivo de desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Gradativamente durante o período de aplicação do projeto de intervenção, verificou-se que os alunos apresentavam uma melhor disposição e naturalidade ao desenvolver as atividades propostas.