A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA NO ENSINO-

APRENDIZAGEM

Cícero Santos – (Escola Conde Corrêa de Araújo - ciceropinheiro_mat@yahoo.com.br)

Diógenes Maclyne – (Colégio Souza Leão – diogenesmmelo@yahoo.com.br)

INTRODUÇÃO

Ao analisar a atual educação, e mais precisamente, o modo que os educadores estão

acostumados a transmitir os conhecimentos aos alunos, deparar-se-á com uma grande

defasagem entre a forma tradicional de se dar aulas e as necessidades do mundo

moderno. No entanto, nota-se que hoje muitos dos professores procuram capacitar-se e

descobrir novas formas de estabelecer o processo de ensino-aprendizagem, com a

intenção de não somente melhorar a qualidade das aulas, mas também de adotar

estratégias que levem o aluno a questionar e traçar novos caminhos, como forma de

ultrapassar as dificuldades que se apresentam.

Percebe-se um modelo de ensino em que os alunos não são incentivados a pensar e

a serem sujeitos ativos nesse processo, mas sim meros depósitos das informações que

lhe são transmitidas, e particularmente na matemática, de maneira mecânica, onde o ato

de decorar fórmulas, gráficos, tabelas, entre outros, torna-se comum e usual.

Nessa perspectiva, tenta-se mostrar a importância do educador ter a noção de que

ele não é apenas um transmissor de conteúdos, mas um formador de opinião, e para isso

se faz necessário que o mesmo tenha o objetivo de transformar, ou, ao menos, melhorar

aquilo que está posto.

Respaldada na necessidade humana de compreender e interferir nos fenômenos que

a cercam, a Modelagem Matemática está proposta como um método de ensino-

aprendizagem que tem por propósito não somente fazer com que os alunos assimilem

melhor o conteúdo matemático aquilo que lhe é transmitido, mas, principalmente,

coloca-se como um procedimento de ensino em que o aluno deixa de ser um sujeito

passivo para ser ativo no processo de aprendizagem.

No entanto, o desconhecido sempre tende a produzir o receio e também a rejeição,

de forma que a adoção de novas estratégias de ensino-aprendizagem tem, algumas

vezes, enfrentado a resistência dos professores, em particular, dos professores de

matemática, o que tende a perpetuar a maneira tradicional de se transmitir esse

conhecimento.

Posteriormente, diante desses fatos, investigou-se o que é Modelagem Matemática e

como a mesma pode ser utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem. Finalmente,

foi estabelecida uma avaliação das várias etapas da Modelagem Matemática como

estratégia de ensino-aprendizagem dentro dos pressupostos da Didática.

A MODELAGEM MATEMÁTICA

O Que é Modelagem Matemática?

Segundo Bassanezi (2004),

“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”. (Bassanezi, 2004, p.24)

Bassanezi defende que a “Modelagem é eficiente a partir do momento que nos

conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade, ou

seja, que estarmos sempre elaborando sobre representações de um sistema ou parte

dele”. (2004:24)

Modelos Matemáticos e Situações Problemas Envolvendo Modelagem

Matemática.

Para Bassanezi (2004), a Modelagem Matemática de uma situação problema real

deve seguir uma seqüência de etapas, de maneira simples visualizadas e discriminadas

na figura.

2

Figura 1 (BASSANEZI , 2000, p.27)

Na figura 1 as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um

modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo

dinâmico, indicado pelas setas pontilhadas.

1. Experimentação: É uma atividade essencialmente laboratorial onde se processa

a obtenção de dados;

2. Abstração: É o procedimento que deve levar à formulação dos Modelos

Matemáticos;

3. Resolução: O modelo matemático é obtido quando se substitui a linguagem

natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente – é como num

dicionário, a linguagem matemática admite “sinônimos” que traduzem os

diferentes graus de sofisticação da linguagem natural;

3

4. Validação: É o processo de aceitação ou não do modelo proposto. Nesta etapa,

os modelos, juntamente com as hipóteses que lhes são atribuídas, devem ser

testados em confronto com os dados empíricos, comparando suas soluções e

previsões com os valores obtidos no sistema real. O grau de aproximação

desejado destas previsões será o fator preponderante para validação;

5. Modificação: Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a

rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os modelos são obtidos

considerando simplificações e idealizações da realidade, suas soluções

geralmente não conduzem às previsões corretas e definitivas, pois o

aprofundamento da teoria implica na reformulação dos modelos. Nenhum

modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poder-

se-ía dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação de novos

modelos, sendo esta reformulação dos modelos uma das partes fundamentais do

processo de modelagem.

Genericamente, Biembengut e Hein (2005), apresentam o modelo de Modelagem

Matemática abaixo, no qual matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a

modelagem é o meio de fazê-los interagir.

Figura 2 (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 13)

Essa interação, que permite representar um fenômeno através da linguagem

matemática (modelo matemático), envolve uma série de procedimentos, que podem ser

agrupados em três etapas, subdivididas em seis subetapas, a saber:

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a) Interação

Reconhecimento da situação-problema;

Familiarização com o assunto a ser modelado referencial teórico.

b) Matematização

Formulação do problema hipóteses;

Resolução do problema em termos do modelo;

c) Modelo matemático

Interpretação da solução;

Validação do modelo avaliação.

Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser

retomado na segunda etapa – Matematização – mudando-se ou ajustando hipóteses,

variáveis, etc.

Figura 3 (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 15)

É importante ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre todas

as fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma adequada

(Biembengut:1999).

A Modelagem Matemática Aplicada ao Ensino

Para Toledo (1997), uma pergunta é comum entre os alunos: “Para que eu preciso

estudar matemática?”. Essa não tem sido respondida de maneira correta, pois, exceto

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algumas questões de troco, pagamento e compras, esta disciplina não tem sido

transmitida em sua essência, mas apenas como uma lista de exercícios e problemas-tipo

que devem ser resolvidos pelo aluno que deve necessariamente chegar ao resultado que

o professor espera. Sendo assim, grande parte do conteúdo, continua sendo tratada de

modo totalmente desligado dos outros conteúdos escolares e da vida do aluno fora da

escola. Não se estabelece desta maneira, o vínculo tão importante no aprendizado entre

a teoria estudada e a prática do que foi aprendido através das situações vivenciadas

pelos estudantes.

Novamente, Toledo (1997) enfatiza que com os modernos mecanismos

computacionais e de memória é preferível se fazer “cabeças bem cheias” que “cabeças

bem feitas”, apesar de nesta sociedade ser possível à junção de ambas. Desse modo, os

conceitos fundamentais devem, a partir de seus diferentes enfoques, indicar o caminho

para as suas possíveis aplicações e extensões que o aluno poderá, no futuro, buscar se

assim precisar. Daí a importância de se ensinar a aprender, tendo em vista o fato de que

a aprendizagem é contínua, já que faz parte de um processo. O campo do conhecimento

é complexo e infinito. Uma vez ensinado a aprender, o aluno, mesmo após desvinculado

da escola, continuará a buscar novos horizontes, orientado desta vez, não por um

professor, mas pelo conhecimento outrora adquirido que ele agora ampliará.

Diante de todo o avanço tecnológico é primordial se repensar qual o objetivo da

matemática, pois esta não mais deve ser estudada de maneira mecânica, já que

“Se antes era necessário fazer contas rápidas e corretamente, hoje é importante saber por que os algoritmos funcionam, quais são as idéias e os conceitos neles envolvidos, qual a ordem de grandeza de resultados que se pode esperar de determinados cálculos e quais as estratégias mais eficientes para enfrentar uma situação-problema, deixando para as máquinas as atividades repetitivas, a aplicação de procedimentos padrões e as operações de rotina”. (TOLEDO, 1997, p 37).

A capacidade de manejar situações novas, reais, pode ser alcançada mediante a

Modelagem Matemática e a Resolução de Problemas, mas para isso se faz necessário a

aquisição da capacidade de analisar e interpretar dados estatísticos, saber resolver

situações de conflito e tomar decisões.

Ao se propor a analisar uma situação ou fator real cientificamente, ou seja,

substituir a visão ingênua desta realidade por uma postura crítica e interpretativa, deve-

se fazer uso de uma linguagem mais específica e adequada, que racionalize e facilite o

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pensamento. O uso da matemática tem como objetivo principal extrair, da situação-

problema, a parte essencial e formalizá-la em um contexto abstrato onde o pensamento

pode ser absorvido com uma pequena dose de linguagem. Assim, a matemática pode ser

vista como um instrumento intelectual capaz de transformar idéias concebidas em

situações empíricas. Dessa forma, a matemática passou a ser vista no mundo das

pesquisas científicas como agente unificador do mundo racionalizado devido,

principalmente, ao seu poder de síntese e generalização.

O ensino da Matemática nas escolas tem ocorrido de maneira desvinculada da

realidade. Um teorema é ensinado seguindo o esquema: enunciado, demonstração e

aplicação, quando a melhor forma seria a maneira inversa (a mesma que deu origem ao

teorema), sendo primeira sua motivação, a formulação de hipóteses, a validação das

hipóteses e novos questionamentos e por fim seu enunciado. Assim se estaria chegando

ao objetivo tão perseguido pela modelagem que é o binômio ensino–aprendizagem,

reinventando o resultado juntamente com os alunos.

A separação artificial entre a “Matemática Pura” e a “Matemática Aplicada” leva a

crer que a primeira se interessa mais pelas formalizações teóricas enquanto que a

segunda se dedica a suas aplicações. A verdade é que toda a matemática é válida, desde

que atenda a vários interesses, não só a seus usuários e toda a sociedade, mas também os

seus, seja ela pura e aplicada.

Vários argumentos podem ser utilizados a favor do uso da Modelagem Matemática,

e segundo Bassanezi (2004), alguns destes podem ser de natureza:

Formativa: através das aplicações matemáticas e resoluções de problemas se

desenvolvem capacidades e atitudes críticas, criativas, e explorativas;

De competência crítica: os estudantes são preparados para a vida real como

cidadãos atuantes na sociedade, formando suas próprias opiniões;

Utilidade: o aluno aprenderá a fazer da matemática um instrumento para a

resolução de seus problemas em diversas situações;

Intrínseca: pois a inclusão da modelagem com suas resoluções de problemas e

aplicações fornecem ao estudante uma forma mais eficiente de entender e

interpretar a própria matemática em seus meandros;

Aprendizagem: pois os processos aplicativos do método da modelagem

possibilitam um melhor entendimento dos argumentos matemáticos, assimilação

de conceitos e resultados, e valorização da disciplina.

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Em contrapartida, apesar de todos esses argumentos favoráveis ao uso da

Modelagem Matemática, há os que colocam obstáculos principalmente quando se trata

da aplicação em cursos regulares. Obstáculos como:

Instrucionais: os cursos regulares têm programas que devem necessariamente ser

cumpridos e a modelagem, por ter um processo um tanto longo interromperiam

os mesmos;

Ideológicos: por acreditarem que a matemática é algo intocável que não tem

relacionamento algum com o contexto sócio-cultural e político;

Costume arraigado: o aluno acostumou-se a ter o professor como um depósito de

informações que lhes são transmitidas de maneira mecânica e objetiva sem

nenhuma participação do aluno em sala de aula nesse processo, podendo

dificultar o novo método;

Formação heterogênea da classe;

Tema escolhido para a modelagem pode não ser motivador para todos causando

desinteresse por parte de alguns;

O professor pode não se sentir capacitado para desenvolver modelagem, ou por

falta de conhecimento do processo ou por medo de se encontrar em situações

desconfortáveis ligadas a resoluções em áreas que desconhecem.

A Modelagem Matemática, no ensino, deve ser vista apenas como uma estratégia

de aprendizagem, onde o objetivo principal não é de se chegar a um modelo, mas seguir

etapas aonde o conteúdo matemático vai sendo, no decorrer do processo, sistematizado

e aplicado.

Com toda esta resolução ocasionada pela informática, os conceitos matemáticos

tornaram-se implícitos, pois os programas de computação são capazes de realizar

cálculos em frações de segundos, o que manualmente levariam horas para o homem

resolver. Dessa forma, o homem é, aos poucos, substituído por máquinas que, apesar de

chegar ao resultado do problema, não fazem uso da lógica e não se interrogam sobre os

processos. Estas não possuem o poder da abstração, único do ser humano. Contudo, o

avanço das técnicas mecânicas trouxe consigo uma desmatematização natural das

pessoas em geral, o que acarretou uma desvalorização dos conhecimentos matemáticos,

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pois se interroga sobre a função de se decorar teoremas e fórmulas se no computador já

estão todas armazenadas.

A Modelagem Matemática deve auxiliar o ensino e não gerar um trabalho a mais,

sendo assim o professor não deve interromper sua seqüência de ensino para fazer à parte

uma atividade de modelagem matemática. Esta deve estar em consonância com o

programa estudado e não ser algo à parte.

A Modelagem Matemática, no ensino, tem o objetivo de desenvolver o conteúdo

programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno para que

crie seu próprio modelo-modelagem. A Modelagem Matemática parte de uma situação

tema e sobre ela desenvolve questões, confere ao conhecimento significado, seja nos

conceitos matemáticos, seja no tema em estudo. Essa metodologia faz com que a

matemática deixe de ser algo desvinculado do contexto sócio–cultural–político e sem

preocupação de tornar-se utilitária, pois o que tem ocorrido é um distanciamento entre a

matemática e o mundo real.

Segundo Biembengut e Hein (2005, p.19-27), para implementar a modelação

matemática sugere-se que o professor faça, inicialmente, um levantamento sobre os

alunos: a realidade socioeconômica, o tempo disponível para realização de trabalho

extraclasse e o conhecimento matemático que possuem – diagnóstico. Com base nesse

diagnóstico, planeja-se como implementar a modelação, isto é, como desenvolver o

conteúdo programático, como orientar os alunos na realização de seus modelos

matemáticos-modelagem e como avaliar o processo.

Para pôr em prática o método, Biembengut e Hein (2005), sugerem cinco passos:

1º) Diagnóstico

Nessa etapa o diagnóstico mais o número de alunos e o horário da disciplina são

determinantes para o planejamento da aula como os exemplos utilizados pelo autor:

A realidade socioeconômica dos alunos, bem como seus interesses e metas são

essenciais na decisão sobre como efetuar a escolha do tema que norteará o

desenvolvimento do programa.

O grau de conhecimento matemático permite estabelecer os conteúdos

matemáticos, bem como a ênfase necessários e o número de exercícios a serem

propostos em cada etapa.

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O horário da disciplina (período diurno, vespertino, noturno ou final do período)

determina a dinâmica da aula.

2º) Escolha do tema

Para poder se desenvolver o conteúdo programático terá que se ter necessariamente

um tema que será transformado em modelo matemático e terá que ser único a cada

tópico matemático. Contudo, se a forma de escolha desse tema se dará unicamente pelo

professor ou conjuntamente com os alunos, isso caberá ao professor.

3º) Desenvolvimento do conteúdo programático

Dentro desse subtema temos alguns tópicos como a interação, matematização e

modelo matemático, cada um com suas características próprias.

4º) Orientação de modelagem

Nessa etapa ver-se-á que o objetivo da modelagem é criar condições para que os

alunos aprendam a fazer modelos matemáticos aprimorando seus conhecimentos.

5º) Avaliação do Processo

Nessa etapa o professor deverá fazer uma analise do percurso percorrido pelo aluno

no decorrer do processo ensino-aprendizagem, tendo em vista o fato de observar o que o

aluno criou e até que ponto foi desenvolvida sua capacidade de solucionar problemas,

fazendo uso desse método.

O professor pode escolher o tema ou propor que os alunos o escolham; contudo, a

escolha do tema pelos alunos tanto pode ser positiva, uma vez que esses se sentirão co-

autores do processo, quanto pode ser negativa, pois o tema escolhido pode não ser

adequado para desenvolver o programa, ou ser muito complexo, exigindo do professor

um tempo que este não dispõe para aprender/ensinar e ainda pode haver um discenso

entre os alunos no ato da escolha do tema, cabendo ao professor escolher o que mais

convier e que estiver em maior sintonia com o conhecimento e a expectativa dos alunos.

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Como muitas vezes o tema escolhido é muito abrangente, principalmente em

relação ao tempo disponível, faz-se necessário que o professor tome consciência disso e

oriente os alunos para que, antes de dar início ao trabalho de modelagem, faça-se um

levantamento de dados a fim de se formalizar com o tema escolhido, levantem algumas

questões sobre o tema, elaborem uma síntese do tema, entrevistem um especialista no

assunto, entre outras atividades que ajudem o tema a ficar mais acessível e compatível.

A partir daí, o professor deve ser o orientador dos vários grupos formados e fiscalizá-

los, no sentido de analisar o processo e evolução de cada grupo.

O ideal é estimular o grupo a apresentar um maior número possível de abordagens

sobre o problema. É nesse ponto que a modelagem mexe com a interpretação e o

raciocínio dos alunos quando esses têm que propor problemas e soluções para os

mesmos. Uma forma de analisar se o aluno conseguiu vencer os obstáculos e aprender

com o método: o professor pode avaliar o empenho do aluno através de sua

participação, assiduidade, cumprimento das tarefas e espírito coletivo; como também

por aspectos objetivos como provas, exercícios e trabalhos, etc.

O modelo deve ser observado a todo tempo, pois se este for inadequado para atingir

determinados objetivos, deve-se procurar novos caminhos ou analisá-lo de modo

comparativo, tomando por referência um outro já existente. O modelo não é uma

verdade absoluta, mas apenas uma aproximação da realidade; sendo assim, sujeito a

mudanças. Por isso, a modelagem matemática é justamente esse processo de busca por

modelos adequados, como protótipos de determinadas entidades. Processo este que esta

sempre sujeito a modificações, não sendo definitivo.

Logo, o desafio do professor que toma o caminho da modelagem como método de

ensino é ajudar o aluno a compreender, construindo relações matemáticas em cada etapa

do processo de aprendizagem.

Um Exemplo da Aplicação da Modelagem Matemática ao Ensino: Construção de

uma Casa

Existem inúmeras maneiras que se poderia adotar para construção de uma casa,

entretanto, em todas elas se faz necessário: mão de obra, terreno, material (cimento,

tijolo, brita), a planta da casa, entre outros. Pra projetá-la não basta decidir sobre o

tamanho, fachada, formato, mas é preciso também procurar meios que garantam o

conforto desse ambiente, por meio do posicionamento dos cômodos e aberturas (janelas

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e portas), temperatura, luminosidade e ventilação. Nesse contexto, o projetista terá que

observar o posicionamento do sol no decorrer do ano, o clima da região, assim como as

condições do terreno.

Nesse exemplo, tem-se a pretensão de mostrar algumas questões relacionadas a

construção de uma casa através da feitura de uma planta e uma maquete. Nessas

questões, tem-se a possibilidade de levantar questões que envolvem geometria plana e

espacial, sistemas de medidas, produto notável, porcentagem, relações métricas do

triângulo retângulo, dentre outras.

O professor pode começar o trabalho com uma discussão informal a cerca do tema,

com seus alunos, abordando questões do tipo: O que é necessário para se construir uma

casa? Como o pedreiro sabe a medida e o modelo de uma casa? Como e onde construir?

Após essas perguntas, propor que os alunos façam um esboço de uma planta baixa de

uma casa, sendo essa atividade de forma livre e espontânea, sem orientação de qualquer

natureza, o que servirá para avaliar o conhecimento dos alunos sobre os conceitos de

medida e geométricos.

Como fazer uma planta baixa de uma casa?

O primeiro passo é garantir que os seguimentos que representam as paredes,

estejam paralelos e/ou perpendiculares, caso a forma dos interiores seja quadrilátera. As

aberturas (postas e janelas) também devem estar indicadas.

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Figura 7. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 53)

Como o construtor sabe o tamanho da casa que se quer construir?

A palavra “tamanho” nos remete a idéia de medida. As medidas são padrões

específicos que relacionam cada objeto de “estrutura” semelhantes.

O construtor executa uma obra por meio da planta – desenho, que deve ser

semelhante à casa que se quer construir, porém reduzida. O processo utilizado para

reduzir ou aumentar um desenho, sem alterar a forma, é denominado escala.

1 cm da planta (1m da casa ou 1:100 (escala de 1por 100)

ou então,

2 cm da planta 1 m da casa ou 2:100 (escala de 2 por 100).

Figura 8. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 55)

Qual é a medida e o lugar ideal do terreno para construir a casa?

13

8,3 m

Tendo em vista o fato de que há normas e de que estas variam de região para

região, na planta deve constar também o espaço que será ocupado pelas paredes, bem

como as medidas relativa ao terreno e à parte deste que será ocupada pela casa, ou seja,

a área do terreno, da casa e dos cômodos.

A área de uma figura geométrica plana é o número que expressa a “medida” da

superfície dessa figura numa certa unidade.

Supondo que o terreno e planta da casa tenham formas retangulares e que as medidas

desses sejam, respectivamente: 12m por 25m e 8m por 10m.

Portanto, a área

do terreno é 12m x 25m = 300m² e

da planta baixa da casa, 8m x 10m = 80m².

14

bd

a

c

área da casa = (a x b ) m²

área do terreno = (c x d) m²

Figura 9. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 56)

Quando o espaço físico é pequeno e se quer um melhor aproveitamento, o ideal é

procurar saber as medidas dos objetos, bem como planejar sua distribuição no espaço

para estabelecer as medidas dos ambientes.

Como a porta ocupa um espaço significativo, uma alternativa é posicioná-la no

“canto”, de tal forma que, estando aberta, determine um ângulo de 90º.

Área útil e área construída: como relacioná-las?

Faça o esboço de uma planta baixa de forma retangular, supondo que as medidas

internas sejam 7m e 8m, respectivamente, e a espessura da parede seja 0,15m.

Figura 10. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 57)

15

8 m

7 m

0,15m

Temos que:

Área total = área útil (interna) + área ocupada pelas paredes + área ocupada pelas

colunas.

Neste caso, representando a identidade, numericamente:

[8 + 2 (0,15)] x [7 + 2 (0,15)] = (7 x 8) + 2 [ 7 x (0,15) + 8 x (0,15) ] + 4 (0,15 ²)

Como o esboço pode ser a forma de outro ambiente, variando somente as medidas,

pode-se considerar:

8m = a

7m = b

0,15m = c

Substituindo na expressão numérica acima, obtem-se uma expressão algébrica que nos

sugere um produto entre polinômios.

( a + 2c) x (b + 2c) = (ab) + 2 (bc + ac) + 4 (c ²)

Se a forma do ambiente for quadrada, isto é, se a = b, a expressão algébrica fica:

(a + 2c) x ( a + 2c) = (a ²) + 2 (ac + ac) + 4 (c ²)

(a + 2c) ² = a ² + 4 ac + 4c ²

Esse processo de construção de uma casa envolve uma série de etapas, como a

construção de alicerce, paredes, laje, telhado, acabamento etc. Assim, faz-se uso de

modelos como a maquete que permite se ter a noção de como será a casa, como também

a quantidade de material necessário para a construção.

Que escala usar?

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A escala depende da espessura do material que será usado como parede. Por

exemplo, supondo que o material utilizado seja placas de isopor de 8mm de espessura.

A espessura da parede de uma casa: 15 cm

a espessura da parede da maquete: 8mm = 0,8 cm

Um metro é igual a 100 cm

Tamanho Real Cartolina

100 cm X

15 cm (parede) 0,8 cm

Determinando a escala para a maquete

X = 100 x 0,8 = 5,33... (escala)

15

ou seja, 5,33 : 100.

Um número obtido para escala fará com que a maquete fique muito grande. No

exemplo, a casa de 7,3m por 8,3m ocuparia um papel de 38,9cm por 44,2cm. Além

disso, os cálculos, nas respectivas transformações, serão dispendiosos. Uma

alternativa é usar uma escala 4: 100 (quatro por cem), a parede real teria uma

espessura de 20cm, fora dos padrões normais. Se você tem um papel sulfite, que

escala adotaria para fazer a planta da casa 7,3m por 8,3m, usando o máximo de

folha?

Como fazer as paredes da maquete e montar?

A partir das medidas reais da casa, como altura das paredes, tamanho de cada

ambiente, etc., calculam-se os valores correspondentes da maquete e delineiam-se as

partes sobre o material, efetuando, assim, o corte. Uma vez cortada às paredes, é só

montar.

Para que se possa montar a maquete, uma alternativa é fazer um levantamento

do número de paredes e respectivas medidas e, em seguida, cortá-las todas de uma

vez. É preciso analisar a maneira ideal para o corte da folha de isopor ou papelão,

riscar, para, em seguida cortar.

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As paredes da maquete da casa, uma vez cortadas e montadas, sugerem a forma

de um prisma. Prisma, pirâmide, esfera, cilindro e cone são denominados sólidos

geométricos.

Figura 11. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 61)

Esta atividade inicia-se com o trabalho artesanal. Sugere-se que o conceito de

sólido geométrico seja apresentado após o corte e montagem das paredes da

maquete. Dependendo do grau de escolaridade dos alunos, solicita-se que os

mesmos tragam os mais diferentes tipos de embalagens ou objetos como caixas (em

forma de prismas), latas (em forma de cilindros), copinhos plásticos (forma de

tronco de cone) etc.

Se o objetivo é ensinar ou então exercitar operações com números decimais, isto

será alcançado plenamente, uma vez que terão de transformar cada medida (janela,

porta, paredes etc,) para ser usada na maquete e calcular a quantidade de

revestimentos, tijolos etc. no caso de se tratar do ensino médio, etapa em que o

assunto é geometria espacial, a elaboração de uma maquete pode servir de ponto de

partida para a introdução de todo os tópicos do programa: definição, área e volume

dos sólidos geométricos.

Como calcular a quantidade de tijolos, azulejos e pisos para uma casa?

Qual a quantidade de tinta para as paredes?

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Tomando-se uma parede com as seguintes medidas:

Figura 12 (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 62)

área da parede = área total – área das janelas

= (3 m) x ( 6 m) – 2 x ( 1m x 1,5 m)

= 18 m² - 3 m² = 15 m²

área da face do tijolo = 5 cm x 20 cm = 100 cm²

ou

0,05 m x 0,20 m = 0,0100 m²

fazendo área da parede : área do tijolo = total de tijolos

15 m² : 0,0100 m² = 1500 tijolos.

Desta mesma forma, pode-se encontrar o número de pisos, telhas, azulejos. Vale

lembrar que os revestimentos como piso e azulejo são vendidos em m² e em caixas.

Algumas caixas têm 1m²; outras, pouco mais. Depende do tamanho do revestimento.

Por que os telhados têm forma triangular?

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Figura 13. (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 63)

A forma triangular aparece em diversas estruturas, como portões, telhados,

pontes, dentre outras. Em portões ou porteiras feitos de madeira, costuma-se colocar

uma tábua – travessa. Isso porque o triângulo é uma figura rígida, ao contrário de

quadrados e retângulos que podem mudar de forma, ou seja, os lados não se alteram

com a variação do ângulo.

Figura 14 (BEIMBENGUT; HEIN, 2005, p. 63)

As estruturas triangulares possuem maior resistência aos pesos nelas exercidos.

O projeto da casa, incluindo a maquete, pode ser considerado um Modelo

Matemático. Por meio desse modelo, pode-se fazer um orçamento, uma estimativa

do quanto custará para fazer a casa (materiais, mão-de-obra, impostos etc.), bem

como do tempo que pode levar para construí-la.

Os materiais de construção são adquiridos de acordo com uma determinada

unidade de medida, como, por exemplo:

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fios, canos, madeiras - metro

pisos e revestimentos – metro quadrado (área)

areia, terra – metro cúbico

tinta – litro

prego – quilograma

Usando-se uma tabela, pode-se dispor de todos os itens necessários e devidas

quantidades, como também de preços. Os preços podem ser obtidos em revistas

especializadas. Os especialistas (pedreiro, carpinteiro, pintor, dentre outros), em geral,

cobram por metro quadrado construído ou tempo necessário para fazer o serviço. Assim,

tendo-se o orçamento será possível prever o custo e o tempo para a construção. A tabela

feita, previamente, poderá ser facilmente alterada se houver alguma mudança nas

quantidades ou preços dos produtos ou serviços.

Quantidade Material Unidade Valor Unitário Valor Total

Tijolos Pç

Telhas Pç

Pisos m²

Azulejos m²

Cimento Kg

Areia m³

......... .......

Mão de Obra m²

Valor Total

Nesta etapa pode-se sugerir que se faça um levantamento de preços de materiais de

construção e dos materiais utilizados na maquete e organizem duas tabelas. Por

exemplo:

21

uma com o orçamento real dos materiais de construção que seriam gastos numa

casa nos padrões projetados (os preços levantados por meio de uma pesquisa ou

de tabelas de preços distribuídos pelas lojas como propaganda/oferta);

outra com o orçamento dos materiais gastos na construção da maquete, como

isopor, cola, alfinete, cartolina etc.

Para fazer esses orçamentos, o aluno utilizará de todas as unidades de medidas

propostas no decorrer do trabalho e, também, efetuará inúmeros cálculos, envolvendo as

quatro operações com números inteiros positivos e racionais na forma decimal e

fracionária. Dessa forma, este momento é excelente para avaliar o trabalho.

Vale ressaltar também que os dois orçamentos podem ser considerados modelos

matemáticos, uma vez que retratam, sob certa óptica, a quantidade necessária de

material para a construção de uma casa ou da maquete projetada. As aplicações são

muitas. O importante é adaptá-las à forma mais conveniente, para que se possa motivar

e aprender matemática.

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RESULTADOS E DISCUSSÃO

Não apenas a escola é local de aprendizagem, mas todo e qualquer lugar onde os

alunos estabeleçam relações, tanto com pessoas quanto à natureza. Contudo, é a escola

que ensina os conhecimentos sistematizados e que dá aos alunos melhores condições de

decodificar e analisar as mensagens que lhes são repassadas no cotidiano. Nesse

contexto, a Didática tem grande papel, pois possibilita ao professor ensinar de maneira

que os alunos tenham condições de entender o que lhes é transmitido.

A prática educativa deve ser voltada para a formação não apenas de um estudante,

mas de agentes ativos da mudança da realidade como um todo. Para isso, o educador

deve se valer de métodos eficazes que estejam vinculados ao método de reflexão,

compreensão e mudança da realidade que cada situação didática dê margem. Assim, os

métodos de ensino vão depender dos objetivos primordiais da aula, ou seja, dependerão

do que o professor pretende com essa aula determinada como expor o assunto,

desenvolvimento de habilidades, explicação de conceitos etc, ao mesmo tempo em que

dependem os objetivos gerais previstos nos planos de ensino, tanto da escola como dos

professores.

O processo de ensino se caracteriza pela combinação de métodos, conteúdos e

formas de organização do processo de ensino-aprendizagem que facilitem a função

docente de fazer com que os alunos assimilem os conteúdos, aprimorem e desenvolvam

suas capacidades e habilidades no estudo. Chama-se de método de ensino a seqüência

de ações desenvolvidas pelo professor ao dirigir e estimular o processo de ensino em

função da aprendizagem dos alunos, utilizando, intencionalmente, o conjunto de ações,

passo, condições externas e procedimentos.

A Modelagem Matemática como estratégia de ensino-aprendizagem pode ser

entendida como um método de ensino, uma vez que reúne as qualidades para tal. Ela faz

uso do cotidiano do aluno ou então de algo que é de seu interesse, mesmo que não faça

parte do seu dia a dia. Ao tentar desenvolver a capacidade do indivíduo de solucionar

problemas, habilita-o a organizar dados, observar situações e objetos, abstrair

compreendendo certos limites, demonstrar hipóteses, pesquisar conhecimentos teóricos

e práticos, conhecer o processo de desenvolvimento e organização da matemática e

desenvolver seu senso crítico para poder concluir se o modelo atingido condiz com o

fenômeno observado. Ou seja, através da Modelagem, pode-se atingir não somente os

objetivos gerais como também os objetivos parciais do ensino.

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A Modelagem Matemática propõe a construção do conhecimento matemático a

partir do conhecimento do aluno, não desprezando a este conhecimento, mas agregando-

o e dando a ele uma forma acadêmica. Assim, como o processo de atingir o

conhecimento se faz de forma construtiva, também o é a avaliação, que passa agora a

não ser uma prova ou um questionário ou lista, mas sim um conjunto de informações,

que vão desde o conhecimento inicial do aluno, sua postura investigativa e

questionadora em relação ao fenômeno e aos resultados atingidos, como, é claro, a

assimilação do conteúdo inicial que se pretendia trabalhar.

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CONCLUSÃO

O objetivo inicial do trabalho foi relacionar a utilização da Modelagem Matemática

como estratégia de ensino-aprendizagem com a teoria da Didática. Concluí-se que essa

relação não só é pertinente, como também a utilização das propostas apresentadas pela

Modelagem Matemática obedece criteriosamente, às normas técnicas estabelecidas pela

Didática da Matemática. Além disso, a Modelagem Matemática propicia, dentro de sua

estratégia, atingir os objetivos do processo de ensino-aprendizagem de forma

satisfatória. Pois entende-se que utilizar Modelagem pode ser uma forma de solução

para o déficit de aprendizagem que os alunos têm em relação à matemática.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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www.somatematica.com.br/artigos/a8 - Acesso em: 21/07/2006)

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Paulo: Ed. Contexto, 2004. 389 páginas.

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Paulo: Editora Contexto, 2005. 127 páginas.

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grau. Série Formação do Professor). 261 páginas.

PAIN, Sara. A Função da Ignorância. Trad. De Alceu Edir Fullaman. Porto alegre:

Artes Medicas, 1987. 261 páginas.

TOLEDO, Marilia; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois. São

Paulo: FTD, 1997. 335 páginas.

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