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A IDENTIFICAÇÃO DE PROPRIEDADES E A

HABILIDADE DE PLANIFICAÇÃO DE FIGURAS

GEOMÉTRICAS ESPACIAIS

Odaléa Aparecida Viana

Universidade Federal de Uberlândia , Brasil [email protected]

RESUMO

Questões sobre geometria espacial destinadas a alunos do ensino

fundamental costumam avaliar o conhecimento sobre figuras

tridimensionais por meio da planificação destas. Este trabalho buscou

identificar relações entre a habilidade de planificar e a nomeação e a

identificação de propriedades de figuras espaciais, características dos níveis

elementares de formação conceitual. Foram sujeitos 147 alunos do sexto e

do sétimo de escola pública, que responderam a um questionário tipo lápis e

papel. O desempenho foi considerado fraco e as análises estatísticas

revelaram que os estudantes se saíram melhor na questão de planificação

que na de conceituação. A correlação moderada entre os desempenhos nas

duas questões mostra que a habilidade de planificação pode estar

relacionada ao conhecimento declarativo dos sujeitos, mas há vários casos

em que os desenhos parecem demonstrar manipulação de imagens mentais,

independente de níveis mais elevados de formação conceitual. O trabalho

sugere atividades que levem o aluno a explorar e descrever propriedades de

figuras tridimensionais e a formar e manipular imagens por meio da

elaboração de desenhos de planificação destas.

Palavras-chave: ensino de geometria, geometria espacial, formação de conceitos, planificação.

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

ABSTRACT

Spatial geometry questions destined to elementary school usually evaluate

the knowledge of three-dimensional pictures by means of their planning.

This work aimed to identify relations between the ability to plan and the

nomination and identification of spatial pictures properties, which are

typical of elementary levels of conceptual formation. The subjects were 147

students from sixth and seventh grade of public school, who answered a

questionnaire in a pencil and paper type. The performance was considered

low and the statistical analysis revealed that the students did better in the

planning question than in the conceptualization one. The moderated co-

relation between the performances in the two questions reveals that the

ability of planning can be related to declarative knowledge of the subjects,

but there are several cases in which the drawings seems to demonstrate

manipulation of mental images, regardless of higher levels of conceptual

formation. This work suggests activities that lead the student to explore and

describe properties of three-dimensional pictures and to form and

manipulate images by means of elaborating planning drawings of these

pictures.

Keywords: geometry teaching, spatial geometry, concepts formation,

planning.

1 Introdução

O trabalho com a geometria espacial é proposto pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997) para ser iniciado já nos primeiros anos do ensino

fundamental a partir da manipulação dos sólidos geométricos e da exploração de suas

propriedades e regularidades, com vistas à formação de conceitos.

No entanto, pesquisas mostram que alunos do ensino fundamental e do médio têm

dificuldades para resolver questões relativas à formação de conceitos e ao

desenvolvimento de habilidades em geometria espacial, conforme mostram, entre

outros, os trabalhos de Nascimento et al.(2004), Vasconcelos (2004) e Viana (2010).

Muitos alunos do ensino médio confundem poliedros com polígonos, conforme pode ser


visto em Proença (2008) e em Proença e Pirola (2011), e outros demonstram estar em

um nível de compreensão e de desenvolvimento de habilidades bem aquém do requerido

pela série (VIANA, 2005, 2010).

São várias as formas de avaliar o conhecimento relativo à geometria espacial,

tendo sido encontradas pesquisas que solicitam, entre outros itens, a nomeação e a

descrição de propriedades e também o desenho da planificação de figuras

(BOIAGO&VIANA, 2010; VIANA, MARIM, FRANCO, 2009).

Nos testes de avaliação educacional feitos em larga escala por órgãos

governamentais, não é raro encontrar, na área de matemática, questões relativas ao

conhecimento em geometria espacial. No enunciado destas questões geralmente é

apresentada uma figura geométrica espacial e é solicitada a identificação da planificação

correta − que deve ser escolhida entre várias alternativas.

A justificativa para esse tipo de questão pode ser encontrada nas matrizes de

referência dessas provas, em que são apontadas as habilidades para identificar figuras

geométricas e suas propriedades a partir das respectivas planificações. Pode-se supor,

então, que o conhecimento sobre um conceito em um nível de identificação de

propriedades deve estar relacionado à habilidade de planificar a figura que representa o

conceito. Assim, por exemplo, o aluno demonstraria estar em um nível de identificação

de propriedades do cilindro se pudesse identificar a planificação correta, conforme

mostra a questão da Figura 1.

Exemplo 1 (Simulado da Prova Brasil – 4º série) Observe o bumbo que Beto gosta de tocar. Ele

tem a forma de um cilindro

Qual é o molde do cilindro?

(A) (B) (C) (D)

Figura 1. Exemplo de questão de geometria

Várias pesquisas (SANTOS, 2003; SANTOS, 2007) buscaram explicar a

formação conceitual por meio do modelo de níveis hierárquicos de Van Hiele (1986),

mas poucos trabalhos avaliaram a geometria espacial (SOLER, 2004; VIEIRA, 2010). A

síntese da literatura internacional sobre o tema, feita por Owness e Outhred (2006),

indica muitos trabalhos que tomaram por base a referida teoria e poucos enfatizando a


geometria espacial (KOHANOVÁ, 2007). Não foram encontrados trabalhos que

avaliassem a habilidade de planificação.

A habilidade para planificar figuras espaciais foi estudada por Viana (2005, 2009)

como um item do componente espacial da habilidade matemática. A autora encontrou

relações entre esta habilidade e o raciocínio espacial. Sabe-se da importância do

raciocínio espacial e da capacidade de visualização no ensino da geometria e há estudos

que propõem metodologias diferenciadas para a produção de imagens que favoreçam a

aprendizagem nessa área de conhecimento (RITTER, 2011).

Apesar da importância da habilidade espacial em geometria, considerou-se que a

descrição de propriedades de figuras também devesse fazer parte da avaliação

conceitual em geometria. Como não foram encontrados trabalhos que relacionassem a

habilidade de planificar figuras espaciais com a identificação ou com a descrição de

propriedades dessas figuras − características do segundo nível de formação conceitual

−, questionou-se se haveria relação entre essas variáveis.

2 Avaliação de conceitos e de habilidades

As avaliações realizadas pelo Programa de Avaliação da Rede Pública do Sistema

Mineiro de Avaliação da Educação Pública – Proeb/Simave (Minas Gerais, 2009), pelo

Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp (SÃO

PAULO, 2009), pela Prova Brasil (BRASIL, 2008) e pelo Exame Nacional do Ensino

Médio - ENEM do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio

Teixeira – INEP (BRASIL, s/d) trazem questões com base em suas matrizes de

referência.

No bloco Espaço e Forma, alguns descritores relativos à geometria espacial dessas

matrizes apontam objetivos com pontos em comum, conforme mostra o Quadro1. Pode-

se observar que vários sistemas de avaliação pesquisados indicam a planificação como

forma de o aluno identificar figuras espaciais.


Quadro 1. Descritores das matrizes de referência Sistema de avaliação

Série/ano Descritor

SARESP 6º série (7º ano) do EF

H18 - Identificar figuras espaciais a partir de suas planificações.

SAEB 8ª série (9ª ano) do EF

D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com suas planificações.

SAEB 8ª série (9ª ano) do EF

D3 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.

SARESP 8ª série (9ª ano) do EF

H23 - Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações.

PROEB 8ª série (9ª ano) do EF

D2 - Identificar propriedades de figuras tridimensionais, relacionando-as com suas planificações.

SARESP 3ª série EM H25 - Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações.

PROEB 3ª série EM D1 - Reconhecer a planificação de figuras tridimensionais mais usuais (prismas, pirâmides, paralelepípedo, cubo, cilindro e cone)

ENEM EM H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.

Em algumas questões destas provas são apresentadas diferentes planificações para

a mesma figura espacial, seja esta apresentada na forma de desenho ou descrita

verbalmente. A Figura 2 mostra exemplos de questões de geometria espacial para o

quinto ano do ensino fundamental e pode-se supor que elas estejam relacionadas com a

formação e a manipulação de imagens mentais.

Exemplo 2- 5º ano - PROEB/ SIMAVE

Marcelo desenhou em seu caderno a planificação de um cubo. Qual das figuras abaixo representa o

desenho de Marcelo?

Exemplo 3 – 5º ano -Prova Brasil Os alunos da 4a série estão montando um cubo para fazer um dado para a aula de matemática. Eles utilizam o molde abaixo, onde os números 3 e 4 representam duas de suas

faces paralelas

Sabendo que no dado a soma dos números em duas faces paralelas quaisquer totaliza sempre 7, que algarismos

deverão estar escritos nas faces vazias? (A) (C)

(B) (D)

Figura 2. Exemplos de questões envolvendo a planificação

No Exemplo 2, o aluno deve movimentar mentalmente cada planificação

apresentada e decidir qual delas é a que permite a formação do cubo. Todas elas são

formadas por seis quadrados e mesmo a alternativa correta (c) apresenta uma

planificação diferente das que tradicionalmente aparecem nos livros didáticos. No

Exemplo 3, o aluno deve utilizar cada uma das superfícies apresentadas, formar a

1 2 5 6

2 1 6 5

2 5 1 6

1 2 6 5

3

4


imagem mental do cubo e girá-lo de modo a conferir se a soma das faces opostas é igual

a sete, conforme indica o enunciado da questão. Assim, considera-se que estas duas

questões apresentadas parecem ter pouca relação com o conceito de cubo em um nível

de análise de propriedades.

A nomeação das figuras, na maioria das vezes, não é avaliada nas questões de

planificação das provas analisadas. A Figura 3 mostra exemplos de questões de

geometria para o nono ano do ensino fundamental e terceira série do ensino médio. O

exemplo 4 da Figura 3 mostra um desenho que sugere um prisma e as alternativas

apresentadas já indicam retângulos e triângulos como faces da figura. O Exemplo 5,

apesar de o enunciado conter a palavra tetraedro, este já traz a indicação de uma

pirâmide de quatro faces triangulares, o que facilita a tomada de decisão acerca da

alternativa correta.

Exemplo 4 - 9º ano EF - Prova Brasil

É comum encontrar em acampamentos barracas com fundo e que têm a forma apresentada na figura

abaixo.

Qual desenho representa a planificação dessa barraca? (A) (B)

(C) (D)

Exemplo 5 – 3ª série EM- Saresp Uma determinada caixa de presentes tem a forma de um tetraedro regular, que nada mais é do que uma pirâmide em que todas as faces são triângulos eqüiláteros. Essa caixa, desmontada, corresponde à planificação descrita

em: (A) (B) .

(C) (D)

.

Figura 3. Exemplos de questões de geometria espacial.

Na maioria das questões analisadas, o aluno pode ser levado a manipular

mentalmente cada uma das planificações apresentadas de modo a verificar, em um

processo de tentativas, se aquela alternativa poderia montar a figura tridimensional.

Supõe-se que essa ação mental seja diferente daquela em que o sujeito, mediante a

apresentação do desenho de uma figura espacial, forma a imagem mental, modifica essa

imagem “abrindo” as superfícies e representa graficamente sua planificação. Na

presente pesquisa, foi feita a opção por esta última ação, ou seja, considera-se como

habilidade de planificação aquela em que o sujeito desenha a planificação a partir da

percepção de uma figura espacial na forma de desenho em perspectiva.


Quanto à parte conceitual, as provas oficiais apresentadas utilizam as questões de

planificação como uma maneira de verificar se os alunos identificam figuras espaciais,

identificam propriedades de figuras e diferenças entre figuras bidimensionais e

tridimensionais. Outra forma de avaliar a identificação de propriedades é solicitar que o

aluno as descreva, e esta foi a metodologia adotada na presente pesquisa.

Identificar propriedades é uma característica referente a um segundo nível de

conceituação em geometria, conforme a teoria de Van Hiele (1986). Esta teoria tem

sido largamente utilizada por pesquisadores para explicar a formação de conceitos que,

segundo o autor, acontece de acordo com níveis hierárquicos de compreensão. Em um

Nível 1, do reconhecimento, os sujeitos identificam e nomeiam uma figura geométrica

pela sua aparência global, não percebendo características ou atributos. Em um segundo

nível, são descritas propriedades das figuras e, no nível seguinte, são estabelecidas

relações entre os conceitos. O quarto nível refere-se à capacidade de demonstrar

teoremas em uma linguagem formal. E, finalmente, no último nível o sujeito pode

comparar outros sistemas geométricos diferentes da geometria euclidiana.

Conforme descrito por Pozo (1998), o conhecimento sobre conceitos pode ser

avaliado de várias formas; entre elas, pode-se solicitar o reconhecimento da definição,

uma exposição temática, a identificação e a categorização de exemplos mediante

técnicas de evocação e também a resolução de problemas. Apesar disso, todas as formas

de avaliar conceitos apresentam vantagens e perigos potenciais, conforme pondera o

autor. Neste trabalho, para avaliar a conceituação dos sujeitos acerca das figuras

geométricas espaciais, optou-se por solicitar dos sujeitos o reconhecimento, a nomeação

e a descrição de propriedades dos conceitos por meio de um aspecto figural.

Assim, ao apresentar o desenho de uma caixa retangular, questionou-se se o

estudante consideraria o desenho como representação figural do conceito de

paralelepípedo e se conseguiria descrever, por meio de palavras, suas propriedades,

relacionando as figuras espaciais com as planas.

Conforme definido por Sternberg (2000), o conhecimento declarativo é um

corpo organizado de informações sobre objetos, idéias ou eventos e que pode ser

expresso em palavras ou em outros símbolos. No campo das figuras geométricas, o

conhecimento declarativo pode, nessa perspectiva, ser expresso por meio da nomeação e

da descrição de propriedades de figuras tridimensionais.


3 Conceitos e imagens

Os conceitos analisados neste trabalho referem-se às figuras geométricas

paralelepípedo, pirâmide, prisma e cilindro. De acordo com Fischbein (1993), as figuras

geométricas possuem duas naturezas, pois são ao mesmo tempo imagem e conceito, o

que as caracterizam como “conceito figural”.

Ao solicitar o nome de uma figura e a descrição de suas propriedades –

características do Nível 2 de formação conceitual de Van Hiele (1986) – avalia-se o que

Fischbein (1993) chamou de componente conceitual da figura, já que, segundo o autor,

esta pode ser expressa por meio de palavras faladas ou escritas, com maior ou menor

grau de formalismo. Assim, ao apresentar o desenho de uma caixa retangular,

questionou-se se o estudante consideraria o desenho como uma representação figural do

conceito de paralelepípedo e se conseguiria descrever suas propriedades, relacionando a

figura espacial com as planas que estão em suas faces, por meio de palavras escritas.

Quanto à planificação de figuras espaciais, Viana (2005) identificou a habilidade

de planificar figuras como um item do componente espacial da habilidade matemática,

na perspectiva de Krutetskii (1976). Para o autor, as habilidades matemáticas são

características psicológicas individuais que influenciam o sucesso do indivíduo na

disciplina matemática em âmbito escolar e implicam em aspectos como rapidez,

facilidade e meticulosidade no domínio dos conhecimentos, destrezas e hábitos,

próprios da matemática.

O componente espacial dessa habilidade indicaria a facilidade de uma pessoa em

lidar com conceitos espaciais, principalmente para seccionar, rotacionar e planificar

figuras geométricas. Viana (2008) encontrou relação entre a habilidade de planificação e

o raciocínio espacial. Este último, avaliado por meio de testes psicológicos, é definido

por Primi e Almeida (2000) como a capacidade de visualização, isto é, de criar

representações mentais visuais e de manipulá-las transformando-as em novas

representações.

A formação de imagens mentais tem sido estudada por Viana (2005, 2009) com

base na teoria de Kosslyn (1995), no âmbito da aprendizagem escolar da geometria

espacial. Várias atividades e tarefas que são desempenhadas pelos estudantes nesta

disciplina demandam ações com figuras geométricas e isto implica na habilidade de

formar imagens mentais, manter essas imagens, inspecioná-las, acrescentá-las,


modificá-las e relacioná-las com outras figuras.

Uma imagem mental visual é um tipo de ativação do campo visual que pode não

ser causada por estímulo sensorial imediato e Kosslyn (1995) defende a hipótese que a

imagem mental visual e a percepção visual compartilham mecanismos comuns. Com

base em aspectos neurológicos, o autor propõe um modelo para explicar como o

organismo processa as informações visuais através de certas áreas do cérebro e de suas

conexões.

O modelo de Kosslyn estabelece sete subsistemas que são usados para explicar a

arquitetura inata que permite ao homem reconhecer o mundo através da visão. Assim,

um indivíduo perceberia um objeto, ou seja, um estímulo visual, utilizando os seguintes

subsistemas: (1) campo visual; (2) painel de atenção; (3) sistema de codificação de

propriedades do objeto (forma, textura, cor); (4) sistema de codificação de propriedades

espaciais (localização e tamanho); (5) memória associativa (para reconhecimento ou

identificação); (6) sistema mais complexo de procura da informação (depende de

conhecimentos, de experiências e de informações contextuais) e (7) sistema de mudança

da atenção (e o processo se reinicia).

O autor aponta diferenças entre as imagens e os perceptos. A imagem mental

desaparece, esvanece rapidamente, o que demanda esforço para mantê-la nítida; ela

pode ser criada a partir de informações armazenadas na memória e também pode ser

modificada, distendida e movimentada. Apesar dessas diferenças, o autor admite que os

mesmos componentes do modelo que explicam a percepção também são usados para

explicar os processos de formação e de manipulação de imagens mentais.

Viana (2005) considera que a habilidade de planificação consiste nas ações de

formar a imagem mental da figura, de inspecioná-la e movimentá-la, mudando o

referencial – ou o ponto de vista – de modo a rebater as faces de um poliedro ou de

desenvolver as superfícies de corpos redondos em um único plano e de representar a

imagem final pictoricamente. Essa habilidade pode ser explicada por meio do modelo

citado, já que o sujeito deve formar a imagem mental da figura (subsistema1), focalizar

partes dessa imagem (subsistema 2), codificar e reconhecer propriedades espaciais

(subsistemas 3, 4 e 5), tendo por base as informações e conhecimentos adquiridos

(subsistema 6).

Parece, então, que todos os citados subsistemas devem ser ativados para que o

sujeito possa planificar as figuras. Entre eles, destaca-se o subsistema 6, pois este está

ligado aos conhecimentos que o individuo possui acerca do objeto. Assim, com base no


modelo, esta pesquisa procura explicar como o conhecimento relativo a figuras

espaciais - ao qual se refere o subsistema 6 - deve influenciar na formação e

manipulação das imagens mentais envolvidas nas atividades de planificação.

Uma das maneiras de avaliar a habilidade de planificar figuras é verificar se o

sujeito identifica uma planificação correta entre várias alternativas. Outra forma é

analisar o desenho da planificação feito com lápis e papel. Na presente pesquisa,

conforme já indicado, optou-se por esta última.

4 Objetivo, sujeitos, materiais e procedimentos

Esta pesquisa, de caráter descritivo, teve por objetivo verificar, junto a alunos do

ensino fundamental, a existência de relações entre a habilidade de planificação e a

conceituação, ou seja, a identificação e a nomeação de propriedades relativas às

principais figuras geométricas espaciais: paralelepípedo, pirâmide, prisma e cilindro.

Foram sujeitos 147 alunos de sexto e sétimo ano de uma escola da rede municipal

de uma cidade de Minas Gerais, o que caracterizou uma amostra de conveniência.

Considerou-se que alunos destas séries teriam formado os conceitos elementares da

geometria espacial ao longo dos anos iniciais do ensino fundamental e teriam alguma

experiência com a planificação de figuras tridimensionais. Os sujeitos responderam ao

questionário durante a aula, com autorização do professor.

O instrumento era composto por um prova com duas questões, descritas a seguir.

1ª questão: Conceituação

Esta questão tinha por objetivo avaliar os conceitos relativos a quatro figuras

(cilindro, pirâmide, paralelepípedo e prisma hexagonal) por meio da nomeação e

descrição de propriedades. Foram apresentados quatro desenhos em perspectiva das

figuras citadas, e foram atribuídos de zero a dois pontos e meio para cada figura,

totalizando 10 pontos para essa questão. Foram consideradas como corretas as

descrições do tipo: cilindro, duas bases circulares; pirâmide, tem cinco faces, com uma

face quadrada e as outras triângulos; paralelepípedo, possui seis faces retangulares, oito

vértices e doze arestas etc. Para descrições parciais, por exemplo, as que indicavam o

número de faces, ou a forma de algumas faces, atribuiu-se de meio a um ponto e meio.

2ª questão: Planificação

Nesta segunda questão eram apresentadas novamente as quatro figuras e eram

solicitadas suas planificações. Antes, havia a apresentação e explicação sobre duas

planificações distintas de um cubo, como exemplo do que estava sendo solicitado.


Foram atribuídos entre um ponto e meio a dois pontos e meio para as planificações

regulares e boas, ou seja, as que apresentavam o número correto de faces e articulação

correta entre elas (para os poliedros), mesmo que houvesse erros de medidas. A

planificação correta do cilindro era dada pelo retângulo com duas circunferências

tangentes e com medidas adequadas. As notas variaram de meio a um ponto para as

planificações fracas em que não era observada a proporção entre as medidas das arestas,

erros no número de faces ou não se observavam os círculos tangentes ao retângulo que

representava a superfície lateral do cilindro. Convém esclarecer que a maioria das

planificações foi feita à mão livre, ou seja, sem a utilização de instrumentos de desenho.

Assim, não foram considerados os erros de medidas ou a retidão das linhas que

dependeriam desses instrumentos.

5 Resultados

Os desempenhos dos sujeitos na Conceituação e na Planificação e também na

prova como um todo são mostrados na Tabela 1.

Tabela 1. Estatísticas do desempenho dos sujeitos

Estatísticas Desempenho em Conceituação

Desempenho em Planificação

Desempenho geral

N válido 145 145 145 Mínimo 0,0 0,0 ,00 Máximo 8,3 9,4 15,2 Mediana 0,8 1,3 2,3 Moda 0,0 0,0 0,0 Média 1,3538 2,3986 3,7524 D.padrão 1,4996 2,8768 3,7687

Nota-se que os alunos tiveram baixo desempenho, já que a prova valia 20 pontos.

Os sujeitos do sétimo ano tiveram um desempenho médio superior ao do sexto ano,

conforme pode ser verificado na Figura 4, mas essa diferença não foi considerada

significativa (t143 = - 0,759, p = 0,449). A análise estatística mostrou também que os

sujeitos tiveram melhor desempenho na questão de planificação que na de conceituação

(t144 = - 4,808, p = 0,05).


Figura 4. Desempenho na Planificação e Desempenho na Conceituação por ano.

Com o objetivo de verificar relação entre o desempenho na questão de conceitos e

na questão da planificação foi calculado o coeficiente de correlação de Pearson, tendo

sido encontrada correlação moderada e significativa entre as variáveis (r = 0,426, p =

0,000), o que leva a concluir que houve uma tendência de os sujeitos com melhores

desempenhos em planificação tenderem a ter os melhores desempenhos em

conceituação; os sujeitos com desempenhos mais fracos em planificação também

tenderam a ter desempenhos inferiores em conceituação. Essa relação é ilustrada pela

Figura 5.

Figura 5. Relação entre Desempenho na Conceituação e Desempenho na Planificação

Verificou-se que muitos sujeitos erraram a nomeação das figuras mais comuns e

que o prisma não recebeu nenhuma nomeação correta. O paralelepípedo e a pirâmide

receberam, respectivamente, os nomes de retângulo e de triângulo, por mais de 80% dos


sujeitos que nomearam essas figuras. Foi possível verificar, na descrição das figuras, a

utilização de termos não geométricos, como “comprido e redondo”, “afunilado”, e

também a de termos relativos à geometria plana, como “tem três lados”, “dois

quadrados”, “retângulo”, “hexágono”, entre outros.

Os desenhos das planificações foram classificados em categorias que indicaram a

qualidade das representações elaboradas pelos alunos. Foi possível verificar que os

sujeitos que elaboraram desenhos considerados como bons e regulares nem sempre

conseguiram descrever e nomear as respectivas figuras. O Quadro 2 ilustra esse dado

com relação ao cilindro. Da mesma forma, muitos alunos que planificaram corretamente

o paralelepípedo sequer conseguiram nomeá-lo (Quadro 3). Situações semelhantes

aconteceram com as figuras pirâmide e prisma, conforme ilustram o Quadro 4 e o

Quadro 5.

Quadro 2. Comparação entre planificação e conceituação do cilindro

Planificação Conceituação Categorias de

desenho N Exemplos Categorias de descrição N

Representações Boas e

Regulares 15

Corretas 0 Parcialmente corretas 13

Incorretas/não respondeu 2

Subtotal 15

Representações Fracas 23


Incorretas /não respondeu 9

Subtotal 23

Representações Incorretas

82



Subtotal 82

Não respondeu 27


Incorretas/não respondeu 13 Subtotal 27

Total 147 Total 147


Quadro 3. Comparação entre planificação e conceituação do paralelepípedo Planificação Nomeação/descrição

Categorias N Exemplos Categorias de descrição N


Regulares 33



Subtotal 33




Subtotal 33


64



Subtotal 64

Não respondeu 17


Incorretas/não respondeu 17 Subtotal

Total 147 Total 147

Quadro 4. Comparação entre planificação e conceituação da pirâmide Planificação Nomeação/descrição

Categorias de desenhos N Exemplos Categorias de descrição N


Regulares 37



Subtotal 37



Incorretas / Não respondeu 10

Subtotal 21


59


Incorretas / Não respondeu 40 Subtotal 59

Não respondeu 30



Total 147 Total 147


Quadro 5. Comparação entre planificação e conceituação do prisma Planificação Nomeação/descrição

Categorias de desenhos

N Exemplos Categorias de descrição N


Regulares 4



Subtotal 4




Subtotal 38

Representações Incorretas 73



Não respondeu 32



Subtotal 32 Total 147 Total 147

6 Discussão dos resultados

A análise dos desenhos de planificação feitos pelos sujeitos permitiu estabelecer

algumas categorias, com base no trabalho de Viana (2000; 2005), sendo assim possível

perceber a dificuldade de muitos alunos em realizar a tarefa. Na categoria chamada de

representações fracas, os desenhos parecem indicar que alguns sujeitos teriam formado

as imagens com base apenas na percepção; mesmo diante do exemplo dado da

planificação do cubo, não conseguiam empreender as ações relativas à inspeção e à

manipulação de imagens de modo a rebater as faces de um poliedro ou a desenvolver as

superfícies de corpos redondos. O modelo computacional de Kosslyn (1985) explica que

as ações citadas são possíveis por meio da ativação de vários subsistemas cerebrais e,

entre eles, aquele que fornece as informações e conhecimentos adquiridos acerca do

objeto.

O conhecimento ao qual se refere Kosslyn (1985) não é, necessariamente, escolar

tampouco declarativo. A moderada correlação entre as variáveis, encontrada na análise

quantitativa desse estudo, pode evidenciar alguns aspectos dessa afirmação. Mas,

também é possível observar, no Quadro 1, o número de sujeitos que planificou o

paralelepípedo (representações boas e regulares) e que não respondeu ou errou a

descrição da figura. Pode-se atribuir esse resultado ao fato de o paralelepípedo ser a


forma geométrica espacial mais utilizada no cotidiano do aluno. A experiência de

manipular objetos com essa forma – além daquela decorrente de um trabalho escolar

mais especifico – pode ter contribuído para a verificação das faces e possibilitado a

representação da planificação do paralelepípedo. No entanto, se esta experiência

favoreceu a habilidade de planificar, parece que ela não contribuiu da mesma maneira

para o sujeito nomear e identificar propriedades do paralelepípedo. Ou, pelo menos, não

favoreceu o conhecimento declarativo sobre esse conceito, na forma como este foi

avaliado na presente pesquisa.

Entre os sujeitos que fizeram representações incorretas do paralelepípedo, a

maioria descreveu de forma incorreta as propriedades da figura, o que indica que a

formação insuficiente de conceitos parece realmente interferir na manipulação das

imagens mentais produzidas a partir da percepção do desenho em perspectiva.

Com relação às outras figuras, foram encontradas várias planificações corretas

(por exemplo, da pirâmide) sem que os sujeitos tivessem nomeado os conceitos. No

caso do prisma, nenhum aluno sequer nomeou-o e poucos descreveram o número de

faces. Apesar disso, pode-se notar, até pelos desenhos da categoria “representações

fracas”, a tentativa dos sujeitos de inspecionar a imagem do prisma de modo a

identificar suas faces.

Dessa forma, a ação de planificar corretamente pode estar demonstrando, em

alguns casos, características mais ligadas à habilidade do sujeito em representar e

manipular mentalmente a figura que decorrentes do aprendizado escolar relativo a

conceitos de geometria.

Impressiona, neste trabalho, o número de planificações incorretas, o que pode

indicar que a habilidade matemática ligada ao componente espacial − conforme

estudada por Viana (2005) − pode não ter sido desenvolvida pelos sujeitos, no contexto

da pesquisa. Mas, impressiona ainda mais o fraco desempenho na questão que solicitava

a nomeação e a descrição de propriedades. Alguns alunos tentaram descrever a

quantidade de faces, arestas e vértices dos poliedros – propriedades avaliadas pelos

descritores das matrizes de referência das avaliações dos sistemas de avaliação escolar.

Apesar disso, as análises mostraram que a formação conceitual relativa às figuras

investigadas, na perspectiva de Van Hiele (1986), encontrava-se ainda, para os sujeitos

dessa pesquisa, em um nível inicial, aquém do esperado para estudantes do sexto e do

sétimo ano.


7 Considerações finais

O trabalho aqui descrito limitou-se a avaliar, por meio da nomeação e descrição

das propriedades de figuras elementares, o conhecimento declarativo dos sujeitos sobre

conceitos geométricos. Os resultados aqui discutidos conseguem amparar alguns dos

pressupostos adotados pelos sistemas de avaliação em larga escala, quando estes

incluem questões de planificação em suas provas com base nos descritores de suas

matrizes de referência. Ou seja, avaliar a habilidade de planificar pode ser uma forma de

verificar se o estudante identifica propriedades das figuras tridimensionais e se relaciona

as figuras planas com as espaciais.

O fraco desempenho dos sujeitos nas duas questões (conceituação e planificação)

permite considerar que a aprendizagem da geometria espacial ainda é um desafio para a

educação matemática.

Os PCN (BRASIL, 1997) sugerem que devem ser dadas oportunidades que

permitam a exploração de propriedades de figuras tridimensionais como forma de

favorecer a formação de conceitos. Considera-se que esta descrição seja feita tanto na

forma oral como na forma escrita, de modo a facilitar o estabelecimento de relações e o

avanço nos níveis de formação conceitual. Além disso, pedir para a criança desenhar a

planificação – ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma planificação pronta –

pode contribuir para a habilidade de formar, inspecionar e manipular imagens mentais,

um dos objetivos da geometria no que diz respeito ao desenvolvimento da habilidade

visual.

A discussão aqui iniciada deve fomentar novas pesquisas, com mais sujeitos e

pertencentes a outras séries do ensino fundamental, de modo a tornar o estudo mais

abrangente e explicativo.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais pelo

auxilio financeiro.

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