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6a EDICAO - 2018

PREFACIO

Este material foi escrito com o objetivo de ser um livro-texto para a disciplina de Estatıstica

do Curso Basico na Academia Militar das Agulhas Negras.

Trata-se de uma coletanea com assuntos de Estatıstica Descritiva, Probabilidades e Es-

tatıstica Inferencial, que auxiliara os cadetes em seus estudos, ao mostrar a necessidade do

uso de tecnicas estatısticas que estao presentes em nosso dia a dia e nas atividades de carater

militar.

Cadeira de Estatıstica da AMAN.

i

SUMARIO

1 CONCEITOS BASICOS 1

2 DISTRIBUICAO DE FREQUENCIAS E REPRESENTACAO GRAFICA 5

3 MEDIDAS DE POSICAO 33

4 MEDIDAS DE DISPERSAO 48

5 MEDIDAS DE FORMA 58

6 MODELOS PROBABILISTICOS 656.1 Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 DISTRIBUICOES AMOSTRAIS 917.1 Distribuicao da Media Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2 Distribuicao da Proporcao Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8 INTERVALOS DE CONFIANCA 1118.1 Estimacao da Media de uma Populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.2 Estimacao da Proporcao de uma Populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.3 Dimensionamento de Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9 TESTE DE HIPOTESES 1429.1 Teste de Hipoteses para Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 Teste de Hipoteses para Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Referencias Bibliograficas 165

APENDICES

A Projeto de Acompanhamento e Avaliacao da Area Atitudinal (P4A) 166

B Tabela de areas sob a curva normal padronizada 170

C Tabela T 171

ii

Capıtulo 1

CONCEITOS BASICOS

Contar, enumerar e recensear sempre foi uma preocupacao permanente em todas as culturas;

o Estado tinha necessidade de conhecer a sua populacao, tanto do ponto de vista economico,

como social. Os recenseamentos da populacao eram ordenados com vista a cobranca de impostos

e recrutamento militar. Pode-se dizer que o princıpio da Estatıstica se deu com essas sociedades,

nao como hoje e conhecida, mas de uma maneira mais simples e rudimentar. E a partir do

seculo XVII que a Estatıstica comeca a caminhar para a ciencia que conhecemos hoje.

Apresentam-se, nos quadros a seguir, algumas definicoes fundamentais para a introducao

da disciplina.

1. Estatıstica e o conjunto de metodos e tecnicas que visam obter, organizar, resumir e

analisar dados observados e, partindo dos resultados, chegar a conclusoes e fazer previsoes a

respeito de fenomenos de interesse.

A Estatıstica e dividida em dois grandes ramos: descritiva e inferencial.

2. Estatıstica Descritiva e a area da Estatıstica cujo objetivo e descrever, interpretar e

resumir os dados.

A finalidade da Estatıstica Descritiva e tornar os dados mais faceis de serem entendidos,

relatados e discutidos.

3. Estatıstica Inferencial ou Indutiva e a area da Estatıstica constituıda pelo conjunto de

metodos para a tomada de decisoes. Sua finalidade e estimar uma caracterıstica ou tomar uma

decisao referente ao todo (populacao), com base nos resultados de parte do todo (amostra).

Faz parte ainda dos trabalhos da Estatıstica Inferencial estabelecer a precisao dessas esti-

mativas bem como com que probabilidade se pode confiar nas conclusoes obtidas.

4. Populacao e o conjunto de todos os elementos que possuem pelo menos uma caracterıstica

comum que se deseja estudar e tirar conclusoes.

A caracterıstica comum deve delimitar inequivocamente os elementos componentes da po-

pulacao.

1

CONCEITOS BASICOS

Exemplo: para uma pesquisa sobre a intencao de escolha da Arma, Quadro ou Servico, na

AMAN, a populacao fica delimitada como sendo o conjunto de todos os cadetes que cursam o

1o ano.

5. Censo e o trabalho relativo ao levantamento de dados populacionais, ou seja, de todos os

elementos de uma populacao.

Exemplo: o censo demografico realizado no Brasil e uma pesquisa realizada com todos os

elementos da populacao brasileira.

6. Amostra e um subconjunto, nao vazio, da populacao em estudo.

Exemplos: caso sejam sorteados 60 cadetes para responder a pesquisa referente a escolha

da Arma, Quadro ou Servico, na AMAN, terıamos entao uma amostra de cadetes do 1o ano.

No caso da pesquisa de intencao de votos por ocasiao das eleicoes temos, obviamente, uma

pesquisa por amostragem.

7. Amostragem e a parte da Estatıstica que estuda as tecnicas e os processos utilizados

para obtencao de amostras representativas da populacao. O termo amostragem pode significar

tambem o trabalho relativo ao levantamento de dados amostrais.

Observamos que, se a amostra nao for representativa, as predicoes serao inexatas — a amos-

tra deve ser um “retrato 3x4” da populacao. No censo nao corremos esse risco, ja que o estudo

e feito com todos os elementos da populacao.

Por que usar amostragem ao inves de censo? Podemos ter uma ou mais razoes que indicam

o uso da amostragem.

O custo de um trabalho de amostragem e a principal razao. E muito mais barato fazer

levantamentos estatısticos de uma pequena parcela da populacao do que de toda a populacao.

Os gastos com o censo demografico do IBGE sao tao elevados que somente e feito a cada dez

anos.

Outro aspecto e o acesso a populacao. Podemos ter dificuldade de estudar toda a populacao

ou pode ocorrer ainda que seja impossıvel fazer uso de todos os elementos da populacao. Por

exemplo, um Batalhao de Engenharia ao fazer um teste de carga com blocos de concreto, o fara

naturalmente com uma amostra da quantidade total adquirida, ja que o teste e destrutivo.

Um ponto crucial a ser considerado e a oportunidade. Sendo a quantidade de dados coletada

muito menor do que a de um censo, o processamento das informacoes torna-se muito mais

rapido. Os resultados sao obtidos em pouco tempo, permitindo a tomada de decisao mais

rapidamente. E o caso das pesquisas de opiniao eleitoral.

2

CONCEITOS BASICOS

8. Um parametro e uma medida numerica que descreve uma caracterıstica da populacao.

Exemplo: considerando-se uma populacao constituıda por todos os cadetes do 1◦ ano da

AMAN, um parametro que pode ser estudado e o valor medio das notas desses cadetes em uma

Avaliacao de Controle de Estatıstica.

9. Uma estatıstica e uma medida numerica que descreve uma caracterıstica de uma amostra,

normalmente utilizada para estimar um parametro populacional.

Exemplo: realizada uma Avaliacao de Controle de Estatıstica, deseja-se de imediato estimar

a media das notas do 1o ano; para tanto e selecionada aleatoriamente uma amostra de 60 provas,

que depois de corrigidas fornece a estatıstica “media aritmetica das notas” da amostra.

10. Fenomeno Aleatorio e todo e qualquer experimento que, repetido em condicoes identicas

nem sempre produz o mesmo resultado.

Exemplos: lancamento de uma moeda; lancamento de um par de dados; retirada de uma

carta do baralho.

11. Uma variavel aleatoria e uma caracterıstica que qualquer elemento de um conjunto de

resultados possıveis pode assumir.

Exemplos: se a caracterıstica a ser estudada e a estatura, em cm, da populacao de cadetes,

temos entao a variavel aleatoria “estatura, em cm”; se estivermos interessados em descrever a

cor dos olhos dessa mesma populacao, teremos entao a variavel aleatoria “cor dos olhos”.

12. Uma variavel e qualitativa quando a caracterıstica estudada corresponde a uma quali-

dade, a um atributo ou a uma categoria.

Exemplos: regiao geografica de procedencia dos cadetes brasileiros (regiao do Brasil onde o

cadete nasceu); religiao dos cadetes.

13. Uma variavel e qualitativa nominal quando nao e passıvel de ordenacao.

Exemplo: Arma, Quadro ou Servico dos cadetes dos 2o, 3o e 4o anos da AMAN.

14. Uma variavel e qualitativa ordinal quando e passıvel de ordenacao.

Exemplo: nıvel de escolaridade dos pais dos recrutas incorporados no presente ano no

Batalhao de Comando e Servicos.

15. A variavel e quantitativa quando a caracterıstica objeto de estudo pode ser quantificada

numericamente.

3

CONCEITOS BASICOS

Exemplos: numero de faltas dos cadetes as aulas de Estatıstica em um determinado perıodo;

distancia percorrida, em metros, em uma corrida de 12 minutos, pelos cadetes do 4o ano; numero

de filhos dos militares da AMAN.

16. A variavel e quantitativa contınua quando pode assumir qualquer valor de um ou

mais conjuntos pertencentes ao conjunto dos numeros reais; e obtida atraves de mensuracao

(medida). A precisao depende do instrumento de medida, por exemplo, uma balanca para

peso, uma trena para distancias, um termometro para temperatura.

Exemplo: a temperatura, em oC, observada no ultimo estagio de montanhismo realizado pela

Secao de Instrucao Especial da AMAN para os cadetes do 1o ano, assumiu valores pertencentes

ao conjunto [−9;+17].

17. Diz-se que a variavel e quantitativa discreta, quando, geralmente assume valores

pertencentes ao conjunto dos numeros naturais; neste caso e obtida atraves de contagem.

Exemplo: numero de tiros acertados no alvo pelos componentes do pelotao, em uma ins-

trucao de tiro.

4

Capıtulo 2

DISTRIBUICAO DE FREQUENCIAS E REPRESENTACAO

GRAFICA

No capıtulo anterior, vimos conceitos fundamentais para o entendimento dos conteudos

apresentados durante o curso.

Neste capıtulo, estudaremos formas de descrever e representar dados estatısticos por meio

de determinados tipos de tabelas e graficos, como a tabela de disribuicao de frequencias, o

grafico segmentario ou de colunas, o histograma e o polıgono de frequencias.

Dados brutos e a relacao de dados apresentados da forma como foram coletados, ou seja,

nao organizados.

Exemplo 1: tabela das notas da 1a Companhia do Curso Basico da AMAN, na Avaliacao

de Controle (AC) de Estatıstica, realizada em 26 de junho de 2015.

Academia Militar das Agulhas Negras - Resende-RJ

1a Companhia do Curso Basico

Notas da companhia na Avaliacao de Controle de Estatıstica

26 de junho de 2015

2,4 8,0 9,2 4,0 2,6 5,8 3,6 3,6 2,0 6,4 3,6 5,0

3,6 6,0 4,8 6,4 8,0 1,2 8,6 5,6 2,6 6,0 5,6 5,6

6,0 4,2 7,8 5,2 2,6 3,2 5,0 4,8 5,8 5,4 1,2 6,2

7,0 5,2 4,4 3,0 3,2 7,4 2,0 6,2 8,4 5,2 5,8 4,4

6,6 8,2 4,4 5,8 1,6 7,4 5,8 3,0 3,4 2,2 7,6 1,8

5,0 6,0 4,8 3,4 4,4 6,6 5,8 2,4 4,4 4,8 7,0 3,4

5,0 9,2 3,4 7,0 4,8 5,4 3,2 7,6 6,6 5,0 4,2

5,2 7,0 2,2 4,2 7,6 7,0 1,0 8,6 5,2 3,2 6,6

5,4 5,2 4,8 1,0 3,0 6,0 5,4 6,4 5,0 3,4 7,4

7,2 6,6 6,8 10,0 5,2 6,6 5,2 6,8 7,6 4,0 3,2

Fonte: Cadeira de Estatıstica

O resultado das turmas B1, B2 e B3 foram anotados nas colunas da tabela acima, de acordo

com as listas das turmas, organizadas em ordem crescente da numeracao dos cadetes. Assim,

5

DISTRIBUICAO DE FREQUENCIAS E REPRESENTACAO GRAFICA

as notas aparecem desorganizadas.

Rol e a relacao de dados organizada em ordem crescente ou decrescente de valores. Adotamos

a ordem crescente, que e a mais usual.

A apresentacao dos dados dispostos em rol facilita a observacao do fenomeno em estudo e,

consequentemente, os trabalhos estatısticos.

Exemplo 2: depois de organizar a relacao das notas da AC de Estatıstica, em ordem cres-

cente de valores, temos o rol dessas notas, apresentados na tabela a seguir:

Academia Militar das Agulhas Negras - Resende-RJ

1a Companhia do Curso Basico

Notas da companhia na Avaliacao de Controle de Estatıstica

26 de junho de 2015

1,0 2,4 3,2 3,6 4,4 5,0 5,2 5,8 6,2 6,6 7,4 8,4

1,0 2,4 3,2 3,6 4,4 5,0 5,2 5,8 6,2 6,8 7,4 8,6

1,2 2,6 3,2 4,0 4,8 5,0 5,4 5,8 6,4 6,8 7,6 8,6

1,2 2,6 3,4 4,0 4,8 5,0 5,4 5,8 6,4 7,0 7,6 9,2

1,6 2,6 3,4 4,2 4,8 5,2 5,4 5,8 6,4 7,0 7,6 9,2

1,8 3,0 3,4 4,2 4,8 5,2 5,4 6,0 6,6 7,0 7,6 10,0

2,0 3,0 3,4 4,2 4,8 5,2 5,6 6,0 6,6 7,0 7,8

2,0 3,0 3,4 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 6,6 7,0 8,0

2,2 3,2 3,6 4,4 5,0 5,2 5,6 6,0 6,6 7,2 8,0

2,2 3,2 3,6 4,4 5,0 5,2 5,8 6,0 6,6 7,4 8,2


Amplitude dos dados “R” e a diferenca entre os valores maximo “Vmax” e mınimo “Vmın”

do conjunto de dados, ou seja: R = Vmax − Vmın.

Exemplo 3: tomando-se o rol das notas da AC de Estatıstica, observamos facilmente os

valores maximo e mınimo. Assim,

R = 10, 0− 1, 0 = 9, 0

O conjunto com as 116 notas na AC de Estatıstica, que utilizamos nos exemplos anteriores,

ainda e considerado pequeno. Dele, podemos facilmente obter informacoes como, por exemplo,

a porcentagem de notas abaixo de 5,0. Entretanto, a medida que a quantidade de dados for au-

mentando, teremos mais dificuldade para tirarmos conclusoes estatısticas. Para contornar esse

6


problema, vamos apresentar os dados quantitativos, tanto contınuos quanto discretos, atraves

de uma Tabela de Distribuicao de Frequencias (doravante vamos abreviar “Distribuicao de

Frequencias” por “DF”). A importancia da tabela de DF reside no fato de sintetizar o conjunto

de dados e possibilitar a observacao do fenomeno em estudo.

Define-se tabela de distribuicao de frequencias como sendo uma tabela organizada com

duas colunas (ou duas linhas), sendo a coluna da esquerda (ou a primeira linha) a da variavel

e a coluna da direita (ou a segunda linha) a da contagem ou do numero de repeticoes dos

respectivos valores assumidos pela variavel.

Tıtulo e fonte - toda tabela de DF e todo grafico devem apresentar o tıtulo encimando o

corpo da tabela ou do grafico e a fonte dos dados abaixo do corpo da tabela ou do grafico.

O tıtulo deve conter quatro informacoes: a entidade ou a organizacao com a localizacao

geografica, de que trata a tabela (a que se referem os dados) e a data. Vamos considerar

informalmente os questionamentos: quem e onde, de que se trata e quando. Para informar

a origem dos dados escrevemos “Fonte: quem gerou os dados”.

Exemplo 4: acima do corpo da tabela (exemplos 1 e 2), a primeira linha responde a primeira

pergunta - “1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJ”; a segunda linha responde a

segunda pergunta - “Notas na Avaliacao de Controle de Estatıstica” e a terceira linha a ultima

pergunta - “26 de junho de 2015”. Abaixo do corpo da tabela escrevemos: “Fonte: Cadeira de

Estatıstica”.

Observa-se que a coluna (ou a linha) da variavel pode ser apresentada com os dados nao

agrupados em classes de valores, ou com os dados agrupados em classes de valores,

a depender do tipo de variavel ou do objetivo da apresentacao.

Os dados podem ser apresentados em rol e atraves de tabelas e graficos. Veremos oportu-

namente os graficos representativos das tabelas de DF.

Exemplo 5: tabela de DF de dados nao agrupados por classes de valores.

1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJPontos perdidos em fevereiro e marco de 2015, por faltas aos trabalhos escolares

10 de abril de 2015

Fonte: Boletim Interno no 066, de 10 Abr 2015 da AMAN

No de pontos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 17 20 22 26 28 32 38 89Total

No de cadetes 5 5 4 9 2 1 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 50

7


Exemplo 6: tabela de DF de dados agrupados por classes de valores.

Curso Basico - AMAN - Resende-RJ

Notas na Avaliacao de Acompanhamento de Estatıstica em 2015

30 de abril de 2015

Notas No de cadetes

1,0 | 2,0 1

2,0 | 3,0 11

3,0 | 4,0 15

4,0 | 5,0 27

5,0 | 6,0 32

6,0 | 7,0 64

7,0 | 8,0 71

8,0 | 9,0 125

9,0 | | 10,0 118

Total 464


No exemplo 6, as notas foram contadas dentro de nove faixas ou classes. A primeira classe

de valores corresponde ao intervalo de notas [1,0; 2,0), ou seja de 1,0 inclusive a 2,0 exclusive.

Portanto o sımbolo “| ” representa “fechado a esquerda” e “aberto a direita”. A ultima classe

corresponde ao intervalo [9,0; 10,0], ou seja, fechado a esquerda e a direita. Portanto o sımbolo

“| | ” representa “fechado a esquerda e a direita”. A coluna da direita (no de cadetes) traz o

numero de elementos pertencente a cada classe. Sao as frequencias, que abordaremos adiante.

Na primeira classe temos apenas 1 cadete com nota entre 1,0 e 2,0 exclusive. Na segunda temos

11 cadetes com notas entre 2,0 e 3,0 exclusive, e assim por diante. Na ultima classe temos 118

cadetes com notas entre 9,0 e 10,0 inclusive. Logo, as notas 10,0 fazem parte da ultima classe.

Importante! Por convencao, admitimos a ultima classe de qualquer tabela DF como sendo

sempre fechada nos dois extremos.

Amplitude do intervalo de classe,“h”, e a diferenca entre os limites superior e inferior

da classe.

8


No caso dos exercıcios trabalhados neste conteudo, bem como nas questoes cobradas em

provas, o valor de “h” sera sempre constante (igual para todas as classes) e sera obtido pela

razao R/m, em que “m” e o numero de classes, e sera um dado do enunciado.

Ha muitas formas de se construir uma tabela de DF, conforme se pode verificar em livros

de Estatıstica Basica. Entretanto, nenhum dos criterios adotados, tanto pelos autores dessas

obras como pela nossa Apostila de Estatıstica, constitui solucao definitiva para a montagem de

tabelas de DF.

Para o calculo da amplitude de classe, consideraremos que o valor de h devera estar de

acordo com o numero de casas que os dados possuem; dessa forma, se tivessemos dados inteiros

e a seguinte divisao h = 79/7 ∼= 11, 285, usarıamos h = 12. Caso os dados tivessem uma casa

apos a vırgula, usarıamos h = 11, 3 e assim por diante. Dessa forma, o limite superior da ultima

classe sera maior que o valor maximo da tabela, fazendo com que as classes contenham todos

os valores apresentados.

E possıvel ainda que h tenha o mesmo numero de casas decimais dos dados. Seja, por

exemplo, notas variando de 1,4 a 9,8. Logo, temos R = 9, 8 − 1, 4 = 8, 4. Se estipularmos

m = 6, entao h = 8, 4/6 = 1, 4. Neste caso nao precisamos arredondar o valor de h.

Para melhor entendimento da construcao das tabelas de DF, observe os exemplos 7 e 8 a

seguir, obtidos a partir dos dados do exemplo 2.

Exemplo 7: tabela de distribuicao de frequencias sem intervalos de classe.

1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJ

Notas na Avaliacao de Controle de Estatıstica

26 de junho de 2015

Notas 1,0 1,2 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 3,0 3,2 3,4 3,6 4,0No de cadetes 2 2 1 1 2 2 2 3 3 5 5 4 2

Notas 4,2 4,4 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8No de cadetes 3 5 6 6 8 4 3 6 5 2 3 6 2

Notas 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 9,2 10,0 TotalNo de cadetes 5 1 3 4 1 2 1 1 2 2 1 116


Observacao 1: a rigor, as tabelas de DF organizadas sem intervalos de classe se prestam mais

as variaveis discretas, assim como as tabelas com intervalos de classe sao mais adequadas para

9


as variaveis contınuas. A variavel nota e contınua, mas como no presente caso a quantidade de

valores assumidos por ela nao e excessivamente grande, ainda podemos apresenta-la atraves de

uma tabela sem intervalos de classe. No caso da variavel discreta, o mesmo raciocınio e valido.

Nada impede de organizarmos os dados discretos atraves de uma tabela por classes de valores.

Observacao 2: e facil ver que a tabela do exemplo 7 e razoavelmente extensa e nao se torna

conveniente para a representacao grafica, motivo pelo qual e mais interessante apresentar as

notas sintetizadas atraves de uma tabela de DF por classes, o que sera feito no exemplo 8.

Exemplo 8: tabela de distribuicao de frequencias com intervalos de classe.

Vamos construir uma tabela com 9 classes e intervalos de amplitude constante. Para isso

seguiremos os seguintes passos:

1o) Calculo da amplitude total “R”: R = Vmax − Vmın = 10, 0− 1, 0 = 9, 0.

2o) Estabelecimento do numero de classes “m”: m = 9.

3o) Calculo da amplitude de classe “h”: h = R/m = 9, 0/9 = 1, 0.

4o) Obtencao das classes: consideramos sempre o menor valor dos dados como sendo o limite

inferior da 1a classe, que, neste caso vai de 1,0 ate 1, 0 + 1, 0 = 2, 0; segue-se com a 2a

classe que vai de 2,0 ate 2, 0+1, 0 = 3, 0; repete-se o mesmo procedimento para as demais

classes, ate a ultima classe que vai de 9,0 ate 9, 0 + 1, 0 = 10, 0.

1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJ

Notas na Avaliacao de Controle de Estatıstica

26 de junho de 2015Notas No de cadetes

1,0 | 2,0 62,0 | 3,0 93,0 | 4,0 174,0 | 5,0 165,0 | 6,0 276,0 | 7,0 187,0 | 8,0 148,0 | 9,0 69,0 | | 10,0 3

Total 116


10


Observacao: a variavel “notas” e bastante peculiar. A amplitude total maxima permitida e

igual a 10,0. Isto significa que o conjunto de notas apresenta as notas 0,0 e 10,0. Assim, pode

ocorrer que o intervalo de classe calculado de um valor aproximado (para mais, conforme ja

explicado), o que poderia resultar em uma ultima classe com o limite superior acima de 10,0.

Dessa forma, e bastante comum para esta variavel, com relacao a observacao do resultado, o

interesse em estabelecer as classes iniciando sempre por um valor inteiro, e que o valor de “h”

seja igual a 1,0. O exemplo 8 esta de acordo com esta observacao. Por isso dissemos que nao ha

convencao que possa atender a todos os interesses, sendo necessario, portanto, fazer algumas

adaptacoes conforme o caso; a familiaridade do pesquisador com a variavel e que vai indicar a

melhor solucao.

Exemplo de aplicacao 1:

O quadro a seguir refere-se aos pesos, em quilograma (kg), dos militares da Companhia

de Fuzileiros do Batalhao de Comando e Servicos (BCSv) (Resende-RJ), fornecidos pelo Posto

Medico do Batalhao, em 17 de marco de 2014.

55,0 64,0 67,7 70,6 72,0 75,0 76,3 79,9 82,7 84,1 87,1 93,0

56,6 64,3 68,3 70,9 72,1 75,3 77,1 79,9 83,0 84,4 87,1 93,9

56,8 66,3 68,4 70,9 73,0 75,3 77,2 80,1 83,2 84,7 87,7 94,4

59,9 66,5 68,4 71,0 73,5 75,3 77,2 80,4 83,3 85,2 88,2 94,7

60,2 66,6 68,7 71,1 73,8 75,4 77,3 80,4 83,4 85,6 89,4 96,5

61,1 66,7 69,1 71,3 74,3 75,6 77,7 80,5 83,5 85,8 89,5 97,7

61,2 67,0 69,6 71,3 74,7 75,7 78,8 80,6 83,5 86,0 89,7 99,1

62,5 67,1 69,8 71,3 74,9 75,8 79,6 80,8 83,6 86,8 90,1 99,4

62,8 67,2 70,2 71,8 74,9 76,1 79,7 82,3 83,7 86,8 91,4 101,9

63,9 67,3 70,3 71,8 75,0 76,1 79,9 82,5 83,9 86,9 92,6 104,2

Monte uma tabela de distribuicao de frequencias por classes de valores com 10 (dez) classes,

com a finalidade de servir de subsıdio para o Oficial de Treinamento Fısico Militar.

Solucao:

1o) Calculo da amplitude total “R”: R = Vmax − Vmın = 104, 2− 55, 0 = 49, 2 kg.

11


2o) Estabelecimento do numero de classes “m”: m = 10 (enunciado).

3o) Calculo da amplitude de classe “h”: h = R/m = 49, 2/10 = 4, 92 ∼= 5, 0.

4o) Obtencao das classes: 1a classe, de 55 inclusive a 60 exclusive; mesmo procedimento para

as demais classes, ate a 10a classe que vai de 100 inclusive a 105 inclusive.

Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende-RJ

Peso dos militares da companhia, em quilogramas (kg)

17 de marco de 2014

Pesos (kg) No de militares

55,0 | 60,0 4

60,0 | 65,0 8

65,0 | 70,0 16

70,0 | 75,0 21

75,0 | 80,0 23

80,0 | 85,0 21

85,0 | 90,0 14

90,0 | 95,0 7

95,0 | 100,0 4

100,0 | | 105,0 2

Total 120

Fonte: Posto Medico do Batalhao

Exemplo de aplicacao 2:

Como comandante do 1o Pelotao de Fuzileiros Blindados da 1a Companhia de Fuzileiros

Blindados de sua nova OM (13o Batalhao de Infantaria Blindada - Ponta Grossa-PR), voce

devera elaborar o relatorio de avaliacao do desempenho fısico do seu pelotao (previsto no item

5 da alınea d do item 2-5 do C 20-20 — Manual de Campanha TREINAMENTO FISICO

MILITAR).

No inıcio do ano de instrucao e antes do 1o TAF, e realizado o exame medico para pratica

do TFM por todos os militares. Os resultados sao publicados em BI a fim de constar nas

alteracoes do militar.

Dentre os exames previstos temos as medidas de dobras cutaneas (alınea f do item 3 - 11

do Artigo V do C 20-20).

12


Aproveitando seus conhecimentos adquiridos na AMAN, seu comandante de companhia

determina que voce construa uma tabela de DF com 06 (seis) classes de igual amplitude para

fazer constar do relatorio. Os dados a seguir referem-se as medidas da dobra cutanea abdominal

(em mm) dos 40 (quarenta) militares do pelotao, fornecidas pela Secao de Educacao Fısica do

Batalhao, em 02 de fevereiro de 2015.

3,2 3,5 4,4 4,7 6,0 6,1 7,4 7,8 8,1 9,1

9,1 9,2 10,0 10,7 11,0 11,1 11,2 12,2 12,3 12,4

12,5 12,6 12,6 12,8 12,9 13,5 13,7 14,5 14,8 15,0

15,1 15,8 16,0 16,2 16,2 16,4 16,4 17,5 18,2 18,5

Solucao:

1o) Calculo da amplitude total “R”: R = Vmax − Vmın = 18, 5− 3, 2 = 15, 3.

2o) Estabelecimento do numero de classes “m”: m = 6 (enunciado).

3o) Calculo da amplitude de classe “h”: h = R/m = 15, 3/6 = 2, 55 ∼= 2, 6.

4o) Obtencao das classes: 1a classe, de 3,2 inclusive a 5,8 exclusive; mesmo procedimento

para as demais classes, ate a 6a classe que vai de 16,2 inclusive a 18,8 inclusive.

1o Pelotao de Fuzileiros Blindados da 1a Companhia de Fuzileiros Blindados do

13o Batalhao de Infantaria Blindada - Ponta Grossa-PR

Medida da dobra cutanea abdominal (em mm) dos militares do pelotao

02 de fevereiro de 2015Dobra cutanea abdominal

(em mm)No de militares

03,2 | | 05,8 4

05,8 | | 08,4 5

08,4 | | 11,0 5

11,0 | | 13,6 12

13,6 | | 16,2 7

16,2 | | 18,8 7

Total 40

Fonte: Secao de Educacao Fısica do Batalhao

13


Quando usar uma tabela de DF ao inves de usar os dados brutos?

A tabela de DF possibilita uma apresentacao esteticamente mais vantajosa dos dados, fa-

cilitando a visualizacao do comportamento do fenomeno atraves dos seus graficos representa-

tivos (histograma e polıgono de frequencias) que veremos adiante, e a obtencao de medidas

estatısticas; a desvantagem de termos dados apresentados somente na tabela de DF e que ela

sintetiza os dados, acarretando perda de precisao no calculo das estatısticas, como por exemplo,

a media aritmetica. Os valores exatos das medidas sao obtidos utilizando-se os dados brutos.

Com o uso de aplicativos estatısticos as medidas sao obtidas facilmente, nao importando a

quantidade de dados.

Logo, e preferıvel o uso dos dados brutos para o calculo das medidas estatısticas, limitando-

se o uso da tabela de DF para apresentacao sintetica dos dados e para a construcao dos seus

graficos representativos, que sao importantıssimos para a caracterizacao da forma da variavel

em estudo, ou, em outras palavras, para a compreensao do comportamento do fenomeno.

Frequencia e o numero de repeticoes do mesmo valor, observado durante o levantamento

estatıstico. No caso das tabelas de DF por classes de valores, as frequencias representam os

numeros de observacoes em cada intervalo de classe.

As frequencias podem ser apresentadas de diferentes formas, dependendo do interesse do

pesquisador; podem ser absolutas “Fi”, relativas “fi” ou percentuais “fpi”.

Frequencia Absoluta “Fi” de uma classe “i” ou de um valor individual na posicao “i” e o

numero de observacoes correspondentes a essa classe ou a esse valor.

Frequencia Relativa “fi” e a razao entre o numero de observacoes de um valor individual

na posicao “i” ou na classe “i” pelo numero total de observacoes, ou seja: fi = Fi/n, em que

n =∑

Fi (somatorio das frequencias absolutas).

Frequencia Percentual “fpi” e a frequencia relativa expressa em termos percentuais, ou

seja: fpi = fi × 100

Exemplo 9: seja a tabela de DF de dados nao agrupados por classes de valores, relativa a

variavel “numero de livros lidos”, a seguir.

14


7o Pelotao da 1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJNumero de livros lidos pelos 40 cadetes do pelotao em 2014

02 de marco de 2015i No de livros Fi fi fpi1 0 14 0,35 352 1 12 0,30 303 2 08 0,20 204 3 04 0,10 105 4 02 0,05 05- Total 40 1,00 100

Fonte: Biblioteca Academica

Assim, no exemplo 9 a frequencia absoluta da primeira classe e F1 = 14, da segunda classe

e F2 = 12, da terceira classe e F3 = 8, da quarta classe e F4 = 4 e da ultima classe e F5 = 2.

Com relacao as frequencias relativas, observemos que o seu somatorio e igual a 1, ou seja:

0,35 + 0,30 + 0,20 + 0,10 + 0,05 = 1,00. Escrevemos simbolicamente∑

fi = 1.

Para as frequencias percentuais devemos ter∑

fpi = 100×∑ fi = 100× 1 = 100%.

Exemplo 10: notas dos cadetes do Curso Basico da AMAN na Avaliacao de Controle de

Estatıstica, realizada em 2015.

Curso Basico - AMAN - Resende-RJNotas na Avaliacao de Controle de Estatıstica

26 de junho de 2015Notas No de cadetes (Fi) fi fi (ajustada) % de cadetes (fpi)

0,0 | 1,0 14 0,03 0,03 31,0 | 2,0 30 0,06 0,06 62,0 | 3,0 36 0,08 0,08 83,0 | 4,0 62 0,13 0,13 134,0 | 5,0 64 0,14 0,14 145,0 | 6,0 85 0,18 0,18 186,0 | 7,0 87 0,19 0,20 207,0 | 8,0 52 0,11 0,11 118,0 | 9,0 26 0,06 0,06 69,0 | | 10,0 6 0,01 0,01 1

Total 462 0,99 1,00 100Fonte: Cadeira de Estatıstica

Importante! Quando a soma das frequencias relativas resultar em valor diferente de 1, tanto

por falta como por excesso, sera procedido o arredondamento na frequencia ou frequencias

que levarem a um menor erro relativo, de modo que a soma seja igual a 1. Para isso, a

correcao deve ser feita na classe de maior Fi. Adota-se a mesma medida para as frequencias

percentuais, quando seu somatorio for diferente de 100.

15


A seguir serao apresentados os graficos representativos das distribuicoes de frequencias.

Para a DF de dados nao agrupados em classes, normalmente utilizados para a variavel discreta,

temos o grafico segmentario ou grafico de colunas. Para os graficos representativos das

tabelas de DF por classes de valores, normalmente utilizados para as variaveis contınuas, temos

o histograma e o polıgono de frequencias.

Grafico segmentario ou grafico de colunas e o grafico composto de segmentos ou colunas

nao justapostas, cujas alturas correspondem as respectivas frequencias dos valores individuais

da variavel.

Histograma e o grafico composto por retangulos justapostos, cujas areas sao proporcionais

as respectivas frequencias das classes.

Polıgono de frequencias e uma variante do histograma que traduz a mesma informacao.

E interessante porque mostra a evolucao das frequencias mediante uma linha chamada linha

poligonal fechada.

Observacoes: o eixo horizontal e o da variavel e o vertical o das frequencias; para facilitar

a leitura do grafico, os valores das frequencias sao colocados acima dos segmentos ou colunas

(grafico segmentario ou de colunas) ou dos retangulos justapostos (histograma). No caso do

polıgono de frequencias, as frequencias devem ser colocadas acima dos marcadores que definem

os pontos (xi;Fi), em que “xi” representa o ponto medio da classe i. Alem disso, transporta-se

o tıtulo da tabela para a parte superior do grafico; a fonte e colocada abaixo do grafico; por

convencao deixa-se um espaco antes do primeiro e apos o ultimo segmento, coluna ou classe.

Tanto para o histograma quanto para o polıgono de frequencias, este valor e igual a medida da

base dos retangulos (na pratica e como se inserıssemos uma classe antes e depois, de frequencia

zero).

Podemos tracar esses graficos utilizando para o eixo vertical a frequencia absoluta, a re-

lativa ou a percentual. Construımos os graficos levantando os segmentos ou colunas (grafico

segmentario ou de colunas), os retangulos (histograma) e os pontos a serem unidos por segmen-

tos de reta (polıgono de frequencias) com alturas correspondentes as respectivas frequencias.

A Figura 2.1 a seguir ilustra a variavel discreta constante da tabela de DF do exemplo 9,

atraves de um grafico de colunas, utilizando-se as frequencias percentuais.

16


7o Pelotao da 1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJNumero de livros lidos pelos 40 cadetes do pelotao em 2014

02 de marco de 2015

0 1 2 3 4

%decadetes

Numero de livros lidosFonte: Biblioteca Academica

3530

20

105

0

10

20

30

40

Figura 2.1

As Figuras 2.2 e 2.3 a seguir representam, respectivamente, o histograma e o polıgono de

frequencias da tabela de DF do exemplo 10.


26 de junho de 2015

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Nodecadetes

NotasFonte: Cadeira de Estatıstica

14

3036

62 64

85 87

52

26

6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura 2.2

Observa-se que antes do primeiro e apos o ultimo retangulo temos um espaco de valor igual a

medida da base dos retangulos, como se fossem classes fictıcias de frequencia zero.

17



26 de junho de 2015

0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

Nodecadetes

NotasFonte: Cadeira de Estatıstica

14

3036

62 64

85 87

52

26

60

20

40

60

80

100

Figura 2.3

Observa-se que o primeiro e o ultimo pontos medios foram unidos por segmentos de reta ao

eixo horizontal, respectivamente aos pontos medios do espaco inicial e final (vide observacoes

apos as definicoes dos graficos).

Exemplo de aplicacao 3: construa o histograma e o polıgono de frequencias da tabela de DF

obtida no exemplo de aplicacao 1, com a finalidade de afixar o resultado no quadro de avisos

da companhia.

Solucao: construiremos, respectivamente, o HISTOGRAMA e o POLIGONO DE FRE-

QUENCIAS.

Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende-RJPeso dos militares da companhia, em quilogramas (kg)

17 de marco de 2014

55,0 60,0 65,0 70,0 75,0 80,0 85,0 90,0 95,0 100,0 105,0

Nodemilitares

Pesos (kg)Fonte: Posto Medico do Batalhao

48

16

2123

21

14

74

2

0

5

10

15

20

25

18


Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende-RJPeso dos militares da companhia, em quilogramas (kg)

17 de marco de 2014

57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 97,5 102,5

Nodemilitares

Pesos (kg)Fonte: Posto Medico do Batalhao

4

8

16

2123

21

14

74

2

0

5

10

15

20

25

Exemplo de aplicacao 4: com base nos dados apresentados no exemplo de aplicacao 2 e

aproveitando seus conhecimentos adquiridos na AMAN, seu comandante de companhia deter-

mina que voce construa os graficos, “histograma” e “polıgono de frequencias”, representativos

da tabela de DF, com 06 (seis) classes de igual amplitude, para fazer constar do relatorio.

Solucao:

Aproveitando a tabela de DF obtida no exemplo de aplicacao 2, facilmente confeccionamos

os graficos pedidos.

1o Pelotao de Fuzileiros Blindados da 1a Companhia de Fuzileiros Blindados

do 13o Batalhao de Infantaria Blindada - Ponta Grossa-PR

Medidas da dobra cutanea abdominal (em mm) dos militares do pelotao

02 de fevereiro de 2015Dobra cutanea

abdominal em (mm)No de militares

3,2 | 5,8 4

5,8 | 8,4 5

8,4 | 11,0 5

11,0 | 13,6 12

13,6 | 16,2 7

16,2 | | 18,8 7

Total 40Fonte: Secao de Educacao Fısica do Batalhao

19


HISTOGRAMA

1o Pelotao de Fuzileiros Blindados da 1a Companhia de Fuzileiros Blindados

do 13o Batalhao de Infantaria Blindada - Ponta Grossa-PR

Medidas da dobra cutanea abdominal (em mm) dos militares do pelotao

02 de fevereiro de 2015

45 5

12

7 7

3,2 5,8 8,4 11,0 13,6 16,2 18,8

Dobra cutanea abdominal (mm)

Nodemilitares


0

2

4

6

8

10

12

14

POLIGONO DE FREQUENCIAS

1o Pelotao de Fuzileiros Blindados da 1a Companhia de Fuzileiros Blindadosdo 13o Batalhao de Infantaria Blindada - Ponta Grossa-PR

Medidas da dobra cutanea abdominal dos militares do pelotao02 de fevereiro de 2015

4,5 7,1 9,7 12,3 14,9 17,5

Dobra cutanea abdominal (mm)

Nodemilitares


45 5

12

7 7

0

2

4

6

8

10

12

14

20


EXERCICIOS

1. O Centro de Instrucao de Operacoes Especiais (CIOpEsp) (Niteroi-RJ) fara um estudo

sobre a idade no ato da matrıcula no seu Curso de Comandos, de todos os oficiais sele-

cionados nos ultimos 5 (cinco) anos, para atender ao Estado Maior do Exercito, que tem

como objetivo estabelecer uma melhor adequacao do plano de carreira dos oficiais. Para

atender tal pedido, a 3a Secao do CIOpEsp levantou, inicialmente, em 08 de setembro de

2015, o rol das idades (anos), conforme quadro abaixo.

26 26 26 27 27 27 27 27 28 28

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

31 31 31 31 31 31 32 32 32 32

Voce, como adjunto do Chefe da 3a Secao do CIOpEsp, devera elaborar a tabela de DF

para dados nao agrupados em classes e o respectivo grafico de colunas com frequencias

percentuais, com base no rol das idades, para compor tal estudo.

2. Como parte dos exames regulamentares, o Oficial de Treinamento Fısico Militar (TFM)

do 4o Pelotao Especial de Fronteira - Surucucu (4o PEF), localizado no distrito de Cucuı

em Roraima, mandou medir o percentual de gordura dos militares do pelotao, em 09 de

fevereiro de 2015. O quadro a seguir diz respeito ao percentual de gordura dos militares

com algum fator de risco coronariano (levantado pelo Posto Medico do pelotao).

Um programa para melhoria das condicoes de saude, constituıdo de treinamento fısico,

regime alimentar e exames de acompanhamento regular sera aplicado ao grupo.

9,0 9,8 10,0 10,3 10,5 10,5 11,3 11,8 12,1 12,5

12,5 12,8 13,1 13,9 14,5 16,4 16,4 16,7 18,4 19,1

19,2 19,9 20,1 21,2 22,4 23,0 23,5 24,0 24,1 25,0

21


Voce, como Oficial de TFM do 4o PEF, devera elaborar relatorios bimestrais para fins de

acompanhamento. Confeccione, como parte dos documentos do relatorio, a tabela de DF

e o respectivo histograma, com 6 (seis) classes, desse grupo.

3. O Oficial de tiro da 11a Companhia de Comunicacoes Mecanizada, da 1a Brigada de

Cavalaria Mecanizada (Santiago-RS), remeteu a pontuacao do tiro de combate, para

conhecimento e divulgacao, do Pelotao de Comunicacoes de Posto de Comando, em 05

de agosto de 2015, conforme quadro a seguir.

20 24 32 32 32 36 36 36 36 36

40 40 40 40 44 44 44 44 44 44

48 48 48 48 48 48 48 48 52 52

52 52 56 56 56 56 56 56 60 60

Voce como comandante do pelotao, com base nos dados recebidos, devera montar a tabela

de distribuicao de frequencias por classes de valores e o respectivo polıgono de frequencias,

com 4 (quatro) classes, para compor o relatorio de desempenho do pelotao na instrucao

e afixar o resultado no quadro de avisos.

4. A 1a Secao da 111a Companhia de Apoio de Material Belico (111a Cia Ap MB), situada

no Rio de Janeiro-RJ, realizou um levantamento do numero de filhos dos militares da

companhia, a pedido do seu comandante, para fins de planejamento das diversas ativida-

des sociais a serem desenvolvidas no ano de 2015. Os dados obtidos em 28 de janeiro de

2015 constam no quadro a seguir:

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 4 4 4 4 5 5

Voce, como adjunto do Chefe da 1a Secao da Companhia, devera elaborar a tabela de DF

para dados nao agrupados em classes e o respectivo grafico de colunas com frequencias

absolutas, com base nesses dados, para apresentar ao comandante e subsidiar o planeja-

mento das atividades sociais.

22


5. O Teste de Aptidao Fısica (TAF) e um dos instrumentos para controle e avaliacao da

consecucao dos Objetivos Individuais de Instrucao, sendo uma de suas provas, a corrida

de 12 minutos, destinada a avaliar a resistencia aerobica.

O treinamento para o desenvolvimento dessa resistencia baseia-se no intervalo da frequencia

cardıaca (FC) e no consumo de oxigenio (VO2). Tais intervalos sao definidos, respecti-

vamente, em funcao da frequencia cardıaca maxima (FC Max) e do consumo maximo de

oxigenio (VO2 Max) que e o volume de oxigenio que o indivıduo capta do ar alveolar,

retido no volume alveolar e transporta ate as celulas, na unidade de tempo.

FC Max = 220 - idade e VO2 Max = ((D - 504,09) / 44,78) ml.kg.min-1, onde D

e a distancia percorrida na corrida de 12 minutos. O intervalo para a frequencia cardıaca

e dado por [60%; 90%] da FC Max e para o consumo de oxigenio por [50%; 85%] do

VO2 Max.

A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos pela 3a Secao da Secao de Educacao

Fısica (SEF) da AMAN, em 07 de marco de 2013, de uma amostra de 30 cadetes, na

corrida de 12 minutos, como parte de uma pesquisa realizada por aquela secao.

Observacao: LI significa limite inferior e LS limite superior do intervalo.

Idade Corrida FC LI FC LS FC VO2 LI VO2 LS VO2

(anos) de 12 min Max Max Max Max Max Max

20 2609 200 120 180 47,00 23,50 39,95

19 2610 201 120 180 47,03 23,52 39,98

22 2619 198 119 178 47,24 23,62 40,15

19 2627 201 121 181 47,41 23,71 40,30

22 2660 198 119 179 48,15 24,08 40,93

20 2683 200 120 180 48,66 24,33 41,36

20 2698 200 120 180 49,00 24,50 41,65

18 2732 202 121 181 49,75 24,87 42,29

19 2747 201 120 181 50,09 25,04 42,57

20 2754 200 120 180 50,24 25,12 42,70

21 2771 199 120 179 50,62 25,31 43,03

19 2782 201 121 181 50,88 25,44 43,25

20 2806 200 120 180 51,40 25,70 43,69

continua na proxima pagina

23


continuacao da pagina anterior

Idade Corrida FC LI FC LS FC VO2 LI VO2 LS VO2

(anos) de 12 min Max Max Max Max Max Max

19 2813 201 120 181 51,57 25,78 43,83

19 2814 201 120 181 51,59 25,80 43,85

20 2823 200 120 180 51,79 25,89 44,02

21 2829 199 120 179 51,92 25,96 44,13

22 2844 198 119 178 52,26 26,13 44,42

21 2856 199 119 179 52,51 26,26 44,64

22 2880 198 119 178 53,05 26,52 45,09

18 2932 202 121 182 54,22 27,11 46,09

19 2958 201 121 181 54,80 27,40 46,58

20 3084 200 120 180 57,61 28,81 48,97

18 3118 202 121 181 58,37 29,19 49,62

20 3131 200 120 180 58,66 29,33 49,86

19 3139 201 121 181 58,85 29,43 50,02

21 3146 199 120 179 59,00 29,50 50,15

22 3175 198 119 178 59,65 29,82 50,70

18 3185 202 121 181 59,88 29,94 50,90

18 3195 202 121 182 60,09 30,04 51,07

Fonte: 3a Secao da Secao de Educacao Fısica da AMAN

Para melhor observacao, estudo e conclusoes da referida pesquisa, voce, como Chefe da

3a Secao da SEF, devera organizar tres tabelas de DF, todas com 06 classes, para as

variaveis VO2 Max, LI VO2 Max e LS VO2 Max.

6. Com base nas informacoes contidas no quadro dos resultados a seguir, voce, como co-

mandante do Pelotao de Reconhecimento, sintetizara os dados atraves de uma tabela de

distribuicao de frequencias com nove classes de valores e do respectivo histograma, utili-

zando frequencias absolutas. O objetivo e apreciar o rendimento do pelotao na corrida e

afixar o resultado no quadro de avisos.

24


Quadro dos resultados na corrida de 12 minutos dos recrutas do Pelotao de Reconhecimento da

Companhia de Comando e Apoio do 1o Batalhao de Infantaria de Selva (Aeromovel), Manaus-AM

Distancia (km) 2,40 2,50 2,55 2,60 2,65 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20

No de recrutas 3 3 3 5 7 6 1 4 2 2 2 1 1 1 1

Observacao 1: faixa etaria dos recrutas: 18 e 19 anos.

Observacao 2: dados fornecidos em 30/4/2015 pelo Comandante do Pelotao de Reconhecimento.

7. O conjunto dos pesos abaixo, em kg, refere-se as sobras de alimentos do refeitorio dos cabos

e soldados do 13o Batalhao de Infantaria Blindada, Ponta Grossa-PR em 40 dias corridos,

a partir do mes de maio de 2015. Estes dados foram obtidos pelo Oficial Aprovisionador

e apresentados em 22/06/2015, por determinacao do Subcomandante do Batalhao que

acreditava estar havendo sobras consideraveis de alimentos em tal refeitorio.

40 41 43 44 45 45 46 47 48 49

50 51 51 52 53 54 55 57 57 57

58 58 59 59 60 60 61 61 62 62

63 64 64 65 65 66 67 68 69 69

Apos a apresentacao dos dados, o subcomandante determina a voce, oficial aprovisionador,

que construa uma tabela de distribuicao de frequencias com seis classes de valores e o

respectivo histograma com frequencias absolutas e conclua, com base nesta tabela, se na

maioria dos dias houve ou nao as maiores sobras de alimentos, justificando sua resposta.

Considere as maiores sobras aquelas pertencentes as tres ultimas classes.

25


RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

1. a

Curso de Comandos - Centro de Instrucao de Operacoes Especiais - Niteroi-RJ

Idade dos oficiais selecionados para o curso nos ultimos 5 anos

08 de setembro de 2015Idade % de candidatos

26 3

27 5

28 22

29 40

30 20

31 6

32 4

Total 100

Fonte: 3a Secao do CIOpEsp

Curso de Comandos - Centro de Instrucao de Operacoes Especiais - Niteroi-RJ

Idade dos oficiais selecionados para o curso nos ultimos 5 anos

08 de setembro de 2015

26 27 28 29 30 31 32

Idade (anos)

%decandidatos

Fonte: 3a Secao do CIOpEsp

35

22

40

20

64

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

26


2. a

4o Pelotao Especial de Fronteira - Surucucu - Cucuı-RR

Percentual de gordura dos militares do pelotao

com algum fator de risco coronariano


% de gordura No de militares

9,0 | 11,7 7

11,7 | 14,4 7

14,4 | 17,1 4

17,1 | 19,8 3

19,8 | 22,5 4

22,5 | | 25,2 5

Total 30

Fonte: Posto Medico do Pelotao

4o Pelotao Especial de Fronteira - Surucucu - Cucuı-RR

Percentual de gordura dos militares do pelotao

com algum fator de risco coronariano


9,0 11,7 14,4 17,1 19,8 22,5 25,2

% de gordura

Nodemilitares

Fonte: Posto Medico do Pelotao

7 7

4

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

27


3. a

Pelotao de Comunicacoes do Posto de Comando da

11a Companhia de Comunicacoes Mecanizada

da 1a Brigada de Cavalaria Mecanizada - Santiago-RS

Resultado do tiro de combate do Pelotao do Posto de Comando

05 de agosto de 2015

Pontos No de militares

20 | 30 2

30 | 40 8

40 | 50 18

50 | | 60 12

Total 40

Fonte: Oficial de tiro da 11a Cia Com Mec

Pelotao de Comunicacoes do Posto de Comando da11a Companhia de Comunicacoes Mecanizada

da 1a Brigada de Cavalaria Mecanizada - Santiago-RS

Resultado do tiro de combate do Pelotao do Posto de Comando

05 de agosto de 2015

25 35 45 55

Pontos

Nodemilitares

Fonte: Oficial de tiro da 11a Cia Com Mec

2

8

18

12

0

5

10

15

20

28


4. a

111a Companhia de Apoio de Material Belico - Rio de Janeiro-RJ

No de filhos dos militares da companhia

28 de janeiro de 2015

No de filhos No de militares

0 6

1 14

2 34

3 17

4 4

5 2

Total 77

Fonte: 1a Secao da 111a Cia Ap MB

111a Companhia de Apoio de Material Belico - Rio de Janeiro-RJ

Numero de filhos dos militares da companhia

28 de janeiro de 2015

0 1 2 3 4 5

No de filhos

Nodemilitares

Fonte: 1a Secao da 111a Cia Ap MB

6

14

34

17

42

0

5

10

15

20

25

30

35

29


5. a

3a Secao - Secao de Educacao Fısica da AMANVolume de oxigenio maximo (VO2 Max) captado na corrida

de 12 minutos de uma amostra de 30 cadetes07 de marco de 2013

Fonte: 3a Secao da SEF

VO2 Max No de cadetes

|||||| |Σ

75821730

47, 00 49, 19

49, 19 51, 38

51, 38 53, 57

53, 57 55, 76

55, 76 57, 95

57, 95 60, 14

3a Secao - Secao de Educacao Fısica da AMANLimite inferior do volume de oxigenio maximo (LI VO2 Max)

captado na corrida de 12 minutos deuma amostra de 30 cadetes

07 de marco de 2013


LI VO2 Max No de cadetes

|||||| |Σ

75821730

23, 50 24, 59

24, 59 25, 68

25, 68 26, 77

26, 77 27, 86

27, 86 28, 95

28, 95 30, 04

3a Secao - Secao de Educacao Fısica da AMANLimite superior do volume de oxigenio maximo (LS VO2 Max)

captado na corrida de 12 minutos deuma amostra de 30 cadetes

07 de marco de 2013


LS VO2 Max No de cadetes

|||||| |Σ

75821730

39, 95 41, 81

41, 81 43, 67

43, 67 45, 53

45, 53 47, 39

47, 39 49, 25

49, 25 51, 11

30


6. a

1o Batalhao de Infantaria de Selva(Aeromovel), Manaus-AM

Resultado da corrida de 12 minutos do 1o TAF dos recrutas do Pelotao de

Reconhecimento da Companhia de Comando e Apoio

30 de abril de 2015Distancia em km No de recrutas2,40 | 2,49 32,49 | 2,58 62,58 | 2,67 122,67 | 2,76 62,76 | 2,85 12,85 | 2,94 62,94 | 3,03 43,03 | 3,12 23,12 | | 3,21 2

Total 42Fonte: Cmt Pel Rec

1o Batalhao de Infantaria de Selva (Aeromovel), Manaus-AMResultado da corrida de 12 minutos do 1o TAF dos recrutas do Pelotao de

Reconhecimento da Companhia de Comando e Apoio30 de abril de2015

Distancia (km)

Noderecrutas

Fonte: Cmt Pel Rec

3

6

12

6

1

6

4

2 2

2,40 2,49 2,58 2,67 2,76 2,85 2,94 3,03 3,12 3,210123456789

10111213

31


7. a


Sobras de alimentos, em kg, no refeitorio de cabos e soldados

Dados obtidos em 40 dias corridos a partir de maio de 2015

22 de junho de 2015

Pesos em kg No de dias

40 | 45 4

45 | 50 6

50 | 55 6

55 | 60 8

60 | 65 9

65 | | 70 7

Total 40

Fonte: Oficial Aprovisionador


Sobras de alimentos, em kg, no refeitorio de cabos e soldados

Dados obtidos em 40 dias corridos a partir de maio de 2015

22 de junho de 2015

40 45 50 55 60 65 70

Nodedias

Pesos (kg)Fonte: Oficial Aprovisionador

4

6 6

8

9

7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Resposta e justificativa: na maioria dos dias, houve as maiores sobras de alimentos (em

kg), com um total de 24 dias nas tres ultimas classes (55 kg ou mais de sobras de alimen-

tos), contra 16 dias nas tres primeiras faixas.

32

Capıtulo 3

MEDIDAS DE POSICAO

Vimos como organizar, de forma tabular, distribuicoes de frequencias de conjuntos de dados

de variaveis quantitativas e representa-las graficamente. No entanto, ha situacoes em que

precisamos conhecer melhor, ou seja, de maneira mais aprofundada o conjunto de dados, de

modo a se extrair informacoes uteis sobre o fenomeno em estudo, ou que o descreva de forma

compacta, mais resumida que as tabelas e graficos.

Questoes como “o salario medio do trabalhador de determinada empresa”, “o tipo sanguıneo

mais comum de uma dada populacao”, “a nota que divide os alunos em dois grupos, um superior

e outro inferior” podem ser respondidas com um valor unico, que represente o conjunto como

um todo.

Tais numeros sao medidas que caracterizam o fenomeno e se localizam no eixo da variavel

em determinadas posicoes, daı dizer-se que sao “medidas de posicao”.

Dentre as medidas de posicao, temos as de tendencia central, dado que se posicionam

normalmente na regiao central do eixo da variavel. Sao elas: a “media aritmetica”, a “moda”

e a “mediana”.

A mediana e conhecida tecnicamente como uma separatriz. Ha outras separatrizes que

igualmente constituem medidas de posicao, mas nao sao de tendencia central, como os quartis

os decis e os percentis, e que nao serao abordados nesta disciplina.

MEDIA ARITMETICA

Ha outras medias, como por exemplo, a geometrica e a harmonica, que, em geral nao interes-

sam a Estatıstica Descritiva. Doravante, quando mencionarmos media estaremos nos referindo

a media aritmetica, que e uma das mensuracoes numericas descritivas mais importantes na

Estatıstica. A figura a seguir mostra a media como centro de equilıbrio do conjunto de dados

(e uma das propriedades da media).

33

MEDIDAS DE POSICAO

Figura 3.1: media como ponto de equilıbrio do histograma

A media de um conjunto de dados e obtida somando-se todos eles e dividindo-se o total pela

quantidade de dados.

Vamos usar as seguintes convencoes para a media. Para denotar media de populacao vamos

usar a letra grega µ (le-se “mi”) e media de amostra x (le-se “x barra”).

MEDIA PARA DADOS NAO AGRUPADOS EM UMA TABELA DE DF

Para este caso, temos que a media “µ” e dada pela razao entre o somatorio de todos os

valores da populacao e a quantidade de elementos da populacao “N”, e a media “x” pela razao

entre o somatorio de todos os valores da amostra e a quantidade de elementos da amostra “n”.

Observa-se que a formula e a mesma tanto para populacao como para amostra. Por que entao

a diferenciacao de nomenclatura? No assunto “Inferencia Estatıstica” veremos o porque de tal

diferenciacao. Assim,

µ =

∑

xi

Ne x =

∑

xi

n

Exemplo 1: vamos obter a media dos dados a seguir, que se referem ao numero de punicoes

no primeiro trimestre de 2015 dos cadetes do 1o Pelotao da 1a Companhia do Curso Basico

da AMAN; os dados foram fornecidos pelo comandante do pelotao em 02 de junho de 2015; o

resultado deve ser aproximado com uma casa decimal.

1o Pelotao - 1a Companhia do Curso Basico - AMAN

Numero de punicoes no 1o trim. de 2015 - 02/06/2015

3 2 2 1 2 0 1 1 2 2 7 0 4 6 0 1 2 0 1 0

0 3 0 1 0 1 2 1 2 0 5 0 0 3 1 1 0 1 2 2

Fonte: Comandante do Pelotao

Calculo da media

µ = 3+2+2+1+2+0+1+1+2+2+7+0+4+6+0+1+2+0+1+0+0+3+0+1+0+1+2+1+2+0+3+0+0+3+1+1+0+1+2+2

40= 62

40∼= 1, 6

34

MEDIDAS DE POSICAO

Observacoes: a variavel “numero de punicoes” e discreta, mas a media nao precisa ser

necessariamente um valor inteiro, tal e o caso do valor medio “1,6 punicao por cadete”; como

o calculo da media foi feito no ambito do pelotao, consideramos o conjunto de dados uma

populacao.

Em face da divisao 62/40 = 1, 55, fizemos a aproximacao, conforme se pede no exemplo,

com uma casa apos a vırgula. Entretanto, de forma geral seguiremos o criterio a seguir:

As aproximacoes serao feitas com pelo menos 4 (quatro) casas decimais.

MEDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA TABELA DE DF

A media de um conjunto de dados apresentados em uma tabela de DF e obtida pela conhe-

cida media ponderada, onde as frequencias correspondem aos pesos.

Para estes casos usaremos as seguintes expressoes para o calculo da media:

Frequencias absolutas Frequencias absolutas

(populacao) (amostra)Frequencias relativas

µ =

∑

(Fi × xi)

Nx =

∑

(Fi × xi)

nµ = x =

∑

(fi × xi)

Exemplo 2: vamos resumir a tabela do exemplo 1 colocando em ordem crescente os valores

da variavel, determinar as frequencias de cada valor e calcular a media.



0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5 6 7




No de punicoes 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

No de cadetes (Fi) 12 11 10 3 1 1 1 1 40

(fi) 0,300 0,275 0,250 0,075 0,025 0,025 0,025 0,025 1,000


35

MEDIDAS DE POSICAO

Calculo da media utilizando frequencias absolutas

µ =12× 0 + 11× 1 + 10× 2 + 3× 3 + 1× 4 + 1× 5 + 1× 6 + 1× 7

12 + 11 + 10 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1=

0 + 11 + 20 + 9 + 4 + 5 + 6 + 7

40=

62

40∼= 1, 6

Calculo da media utilizando frequencias relativas

µ = 0, 3× 0 + 0, 275× 1 + 0, 25× 2 + 0, 075× 3 + 0, 025× 4 + 0, 025× 5 + 0, 025× 6 + 0, 0025× 7 =∼= 1, 6

MODA

A moda (Mo) e o valor que ocorre com maior frequencia. Se todas as frequencias forem

iguais, a moda nao existe e neste caso diz-se que a distribuicao e amodal. Se apenas um valor

tiver frequencia maxima a moda e unica e a distribuicao e dita unimodal. Podemos ter distri-

buicoes bimodais, no caso de duas modas, trimodais, no caso de tres modas, ou multimodais,

no caso de quatro ou mais modas. Para a Estatıstica em particular, o interesse maior reside no

estudo das distribuicoes unimodais.

Para obter a moda observamos, conforme a definicao, qual e o valor (variavel quantitativa),

a categoria ou o atributo (variavel qualitativa) de maior frequencia.

Por exemplo, quando se deseja saber qual numero de coturno deve ser encomendado em

maior quantidade para determinada tropa, a medida que se necessita conhecer e a moda.

Exemplo 3: considere o extrato da tabela de DF relativa aos percentuais da numeracao de

calcados de militares, segundo levantamento de determinado Deposito de Suprimentos.

Numeracao

do calcado36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Total

Porcentagem

de militares0,8 3,5 6,7 7,9 15,1 20,8 30,5 10,0 3,1 1,3 0,3 100,0

A numeracao 42 e a de maior frequencia percentual (30,5%). Logo, Mo = 42.

Quando se deseja saber qual e o tipo sanguıneo mais comum, a medida de interesse e a

moda. Este exemplo mostra que a moda pode ser obtida para dados provenientes de variaveis

qualitativas.

Exemplo 4: considere a relacao do tipo sanguıneo e fator Rh de um pelotao de 40 homens,conforme o extrato da tabela abaixo.

A+ A+ A+ A+ A+ A+ A− A− A− AB+

AB− B+ B+ B+ B− B− AB+ AB+ O+ O+

O+ O+ O+ O+ O+ O+ O+ O+ O+ O+

O+ O+ O+ O+ O− O− O− O− O− O−

36

MEDIDAS DE POSICAO

A frequencia maxima e 16 (dezesseis), correspondendo aos militares com sangue do tipo O+.

Logo, Mo = O+.

MEDIANA

A mediana (Md) de um conjunto de dados e o valor central da serie, organizada em ordem

crescente ou decrescente. Vamos usar a ordem crescente, que e a mais usual.

A mediana, alem de constituir um valor representativo da distribuicao, estabelece um limite

que separa a metade superior da metade inferior.

Se o total de dados (N ou n, conforme o caso) e ımpar a mediana ocupa a posicao inter-

mediaria desse total, ou seja, a [(N + 1)/2]a ou [(n+ 1)/2]a posicao.

Se o total de dados e par a mediana e a media dos dois valores que ocupam as posicoes

intermediarias (centrais), quais sejam: (N/2)a e [(N/2)+1]a para populacoes e (n/2)a e [(n/2)+

1]a para amostras.

Exemplo 5: considere as contas de ano (CA) dos 37 (trinta e sete) cadetes do 2o Pelotao,

conforme tabela a seguir.

2o Pelotao da 1a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJ

Conta de Ano dos cadetes do pelotao - 30 de julho de 2015

1,9 3,5 3,6 3,9 4,0 4,0 4,1 4,3 4,5 4,5 4,7 4,9 5,1

5,1 5,2 5,5 6,1 6,1 6,1 6,3 6,5 6,7 6,8 6,8 6,8 6,8

7,1 7,1 7,2 7,3 7,5 7,7 8,1 8,3 8,3 8,9 9,7


Como o total de notas e um numero ımpar, a posicao central e [(N + 1)/2]a, ou seja,

[(37 + 1)/2]a = (38/2)a = 19a, correspondendo ao valor 6,1. Assim, Md= 6,1.

Exemplo 6: considere as contas de ano (CA) dos 42 (quarenta e dois) cadetes do 4o Pelotao,

conforme tabela abaixo.

4o Pelotao da 2a Companhia do Curso Basico - AMAN - Resende-RJ

Conta de Ano dos cadetes do pelotao - 30 de julho de 2015

2,8 3,1 3,1 3,2 3,3 3,6 3,6 3,9 4,3 4,4 4,5 4,5 4,5 4,7

4,8 5,2 5,3 5,3 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,7 5,9 6,0 6,0

6,1 6,1 6,3 6,5 6,7 7,1 7,5 7,6 7,6 7,7 7,9 8,0 8,5 8,7


Como o total de notas e um numero par, a mediana e a media das CA que ocupam as (N/2)a e

[(N/2) + 1]a posicoes. Logo, as posicoes sao (42/2)a e [(42/2) + 1]a, ou seja, 21a e 22a posicoes

que correspondem as CA 5,5 e 5,6. Logo Md = (5,5+ 5,6)/2 = 5,55.

37

MEDIDAS DE POSICAO

CARACTERISTICAS DAS MEDIDAS DE POSICAO

MEDIA

1. Apesar de situar-se entre o menor e o maior valor do conjunto de dados, nao precisa ser,

numericamente, um valor desse conjunto. Suponha, por exemplo, que o numero medio

de filhos por famılia, em determinada cidade, e 2,57. E evidente que a variavel e discreta,

mas neste caso, como dado medio, o valor com a aproximacao na casa dos centesimos e

util e oferece uma maior precisao quando utilizado para se calcular a quantidade total de

filhos. Assim, se considerarmos que a cidade tem 10.000 famılias, o numero total de filhos

de todas as famılias e 10.000× 2, 57 = 25.700 filhos.

2. E a unica medida de tendencia central que depende de todos os valores do conjunto de

dados para a sua obtencao, pela propria definicao. Se um valor se modifica, a media

tambem se modifica.

3. E muito influenciada por valores extremos ou valores discrepantes (chamados outliers).

MODA

1. A moda se aplica a todos os tipos de variaveis aleatorias, sendo a unica medida de

tendencia central a ser utilizada quando os dados sao qualitativos.

2. Nao depende de todos os valores do conjunto de dados, nem e influenciada pelos valores

extremos.

MEDIANA

1. Depende da posicao e nao dos valores dos elementos do conjunto de dados, podendo se

manter inalteravel com a modificacao de alguns deles.

2. Nao e influenciada por valores extremos da distribuicao, sendo, por esta razao, particu-

larmente indicada quando existem dados discrepantes.

38

MEDIDAS DE POSICAO

EXERCICIOS

1. Os dados apresentados no quadro abaixo se referem ao percentual de gordura medida pela

SEF no ano de 2015 de uma amostra de 30 cadetes do Curso Basico:

6,08 6,61 7,23 7,34 8,89

8,98 8,98 9,19 9,39 9,69

9,69 9,78 10 10,3 10,49

10,49 11,31 11,8 12,09 12,46

12,5 12,79 13,09 13,92 14,49

16,36 16,42 16,7 18,35 19,05

Com base nos dados do quadro, calcule a media, a mediana e a moda.

2. Sabe-se que, na literatura medica, existem varios ındices para determinacao e classificacao

de massa corporea. Um ındice bastante comum e o ındice de massa corporal (IMC) que

pode ser calculado da seguinte forma:

IMC = Peso(kg)/(Altura (m) x Altura (m))

Para sabermos o significado do resultado calculado, basta compararmos o valor obtido

com os dados do quadro 1 abaixo:

Quadro 1

IMC(kg/(m×m)) Diagnostico nutricional

<16,00 Desnutricao grau 3

16,00 a 16,99 Desnutricao grau 2

17,00 a 18,49 Desnutricao grau 1

18,50 a 24,99 Eutrofia ideal

25,00 a 29,99 Obesidade grau 1

30,00 a 39,99 Obesidade grau 2

>40,00 Obesidade grau 3

Foram coletados em 02 de fevereiro de 2015 os pesos e as alturas dos soldados da Compa-

nhia de Fuzileiros do Batalhao de Comando e Servicos. Apos a coleta, foram estimados

os IMC de cada soldado e os resultados encontram-se na tabela a seguir:

39

MEDIDAS DE POSICAO

Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende - RJ

Indice de massa corporal dos soldados da companhia


1o Pel 2o Pel PelSd

Fzo Fzo Cmdo

1 15,52 18,31 16,10

2 16,57 20,57 18,83

3 16,59 21,78 20,25

4 17,42 22,47 20,42

5 17,55 22,72 20,48

6 18,90 22,76 20,48

7 18,92 23,08 20,57

8 21,04 23,12 20,90

9 21,04 23,15 21,04

10 21,14 23,18 21,22

11 21,27 23,18 21,27

12 22,79 23,67 22,48

13 22,96 23,78 22,79

14 23,18 23,89 22,84

15 23,53 24,00 23,11

16 23,53 24,22 23,53

Fonte:SEF

1o Pel 2o Pel PelSd

Fzo Fzo Cmdo

17 23,67 24,22 23,81

18 26,43 24,22 23,84

19 26,45 24,44 24,16

20 26,51 24,46 24,28

21 26,61 24,73 25,25

22 27,17 24,96 25,89

23 27,25 25,14 26,61

24 27,31 25,20 26,72

25 27,32 25,47 26,72

26 27,36 25,95 26,96

27 27,56 25,97 27,48

28 27,68 26,12 27,68

29 28,01 26,12 28,03

30 28,03 26,30 28,31

31 28,09 28,76 29,07

32 28,14 −− 29,39

Fonte:Posto Medico do Batalhao

Observacoes:

Pel Fzo = Pelotao de Fuzileiros.

Pel Cmdo = Pelotao de Comando.

1) Com base no texto apresentado, de o que se pede:

a) Organize os dados da Companhia de Fuzileiros em uma tabela de DF usando 8

classes e faca o polıgono de frequencias.

b) Organize os dados de cada pelotao em uma tabela de DF usando 6 classes e faca os

respectivos polıgonos de frequencias.

c) Comente sobre os graficos obtidos comparando-os com as faixas de eutrofia apresen-

tadas no quadro 1.

40

MEDIDAS DE POSICAO

d) Existem valores centrais (medidas de tendencia central) que possam representar cada

pelotao? Quais sao estes valores?

e) Com que tipo de variavel estamos trabalhando (IMC)? Faca uma comparacao entre

o tipo de variavel e o calculo da moda em nosso trabalho.

3. O quadro a seguir apresenta os dados relativos ao resultado do 1o Teste de Aptidao Fısica

(TAF) dos 40 (quarenta) soldados do Pelotao da Divisao de Ensino da 1a Companhia

Auxiliar do Batalhao de Comando e Servico - AMAN (Resende - RJ), realizado em Abril

de 2015.

Prova No de soldados que obtiveram suficiencia na prova (S)

Corrida de 12 minutos 34

Abdominal 40

Barra 27

Flexao de braco 38

Observacao: no 1o TAF e considerado suficiente (S) o soldado que atingir pelo menos o

conceito R em cada uma das provas; caso contrario o soldado e considerado insuficiente

(I).

Voce, na condicao de Comandante do Pelotao da Divisao de Ensino, como informacao

importante quanto ao resultado do 1o TAF, devera apresentar ao seu comandante de

companhia a medida de tendencia central que leva em consideracao a prova mais co-

mum (de maior frequencia), considerando dois casos: resultado suficiente (S) e resultado

insuficiente (I). Observacao: cite qual foi a medida que voce utilizou.

4. O quadro abaixo refere-se ao conjunto dos saldos negativos, em R$, nas contas correntes

bancarias dos cadetes de um dos pelotoes do 1o ano da AMAN, em novembro de 2015.

-2.128,94 -308,14 -280,44 -271,21 -266,10

-241,90 -229,85 -220,09 -212,68 -212,65

Voce, como comandante desse pelotao, devera apresentar ao seu comandante de compa-

nhia a medida de tendencia central que melhor representa o conjunto dos saldos negativos

dos cadetes. Observe a existencia de um dado discrepante ou valor extremo (-2.128,94).

Apresente os calculos e justifique o uso de tal medida.

41

MEDIDAS DE POSICAO

5. Voce, cadete do primeiro ano, foi questionado pelo seu comandante de pelotao, a res-

peito da nota mınima a ser obtida na Avaliacao de Controle (AC) de Estatıstica, apos

a realizacao da Avaliacao de Acompanhamento (AA), de modo a nao ficar em Prova de

Recuperacao (PR), supondo duas situacoes:

a) Voce tira 00,0 (zero) na AA de Estatıstica;

b) Voce tira 10,0 (dez) na AA de Estatıstica.

Para responder, voce sabe que: precisa usar uma medida de tendencia central; a AA tem

peso 1 (um); a AC tem peso 2 (dois); o cadete nao fica em PR se sua conta de ano (CA)

for maior ou igual a 5,0 (cinco).

42

MEDIDAS DE POSICAO


1. x = 11, 482; Md = 10,49; Mo = 8,98; 9,69; 10,49

2. mmmmmmmmmmmmm

a) m

Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende - RJ

Indice de massa corporal dos soldados da companhia

02 de fevereiro de 2015IMC No de soldados

15,52 | 17,26 4

17,26 | 19,00 6

19,00 | 20,74 6

20,74 | 22,48 10

22,48 | 24,22 25

24,22 | 25,96 14

25,96 | 27,70 21

27,70 | | 29,44 9

Soma 95


Companhia de Fuzileiros - Batalhao de Comando e Servicos - Resende - RJIndice de massa corporal dos soldados da companhia


16,39 18,13 19,87 21,61 23,35 25,09 26,83 28,57

Nodesoldad

os

IMCFonte: Posto Medico do Batalhao

46 6

10

25

14

21

9

0

5

10

15

20

25

30

43

MEDIDAS DE POSICAO

b)

1o Pelotao de Fuzileiros - Companhia de Fuzileiros

Batalhao de Comando e Servicos - Resende - RJ

Indice de massa corporal dos soldados do pelotao


IMC No de soldados

15,52 | 17,63 5

17,63 | 19,74 2

19,74 | 21,85 4

21,85 | 23,96 6

23,96 | 26,07 0

26,07 | | 28,18 15

Soma 32


1o Pelotao de Fuzileiros - Companhia de FuzileirosBatalhao de Comando e Servicos - Resende - RJIndice de massa corporal dos soldados do pelotao


16,575 18,69 20,795 22,905 25,015 27,125

Nodesoldad

os


5

2

4

6

0

15

0

2

4

6

8

10

12

14

16

44

MEDIDAS DE POSICAO





IMC No de soldados

18,31 | 20,06 1

20,06 | 21,81 2

21,81 | 23,56 8

23,56 | 25,31 13

25,31 | 27,06 6

27,06 | | 28,81 1

Soma 31




Indice de massa corporal dos soldados do pelotao02 de fevereiro de 2015

19,185 20,935 22,685 24,435 26,185 27,935

Nodesoldad

os

IMC


1

2

8

13

6

1

0

2

4

6

8

10

12

14

45

MEDIDAS DE POSICAO

Pelotao de Comando - Companhia de Fuzileiros



02 de fevereiro de 2015IMC No de soldados

16,10 | 18,32 1

18,32 | 20,54 5

20,54 | 22,76 6

22,76 | 24,98 8

24,98 | 27,20 6

27,20 | | 29,42 6

Soma 32


Pelotao de Comando - Companhia de FuzileirosBatalhao de Comando e Servicos - Resende - RJIndice de massa corporal dos soldados do pelotao


17,21 19,43 21,65 23,87 26,09 28,31

1

5

6

8

6 6

Nodesoldad

os


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c) O grafico do 1o Pel Fzo apresenta elevado numero de soldados fora da faixa de

eutrofia, ficando evidente a obesidade grau 1.

Os graficos do 2o Pel Fzo e do Pel Cmdo apresentam quantidades menores de IMC

fora da faixa de eutrofia, porem, tal ocorrencia ainda apresenta uma frequencia

elevada dentro de cada um dos pelotoes.

O grafico da Cia Fzo revela uma quantidade significativa de soldados dentro da faixa

25 a 29,99 (obesidade grau 1). O 1o Pel Fzo, como ja visto, e o que contribui com

maior frequencia para esta elevada quantidade de soldados fora da faixa de eutrofia.

46

MEDIDAS DE POSICAO

d) Sim. Media aritmetica, Mediana e Moda.

Media aritmetica

1o Pel Fzo 2o Pel Fzo Pel Cmdo

23,61 24,06 23,77

Moda


21,04 e 23,53 24,22 20,48

Mediana


23,60 24,22 23,67

e) Variavel aleatoria quantitativa contınua (VAC).

Como a variavel e contınua, assume infinitos valores entre dois extremos; sendo a

populacao pequena, cerca de 32 soldados por pelotao, raramente os IMC irao se

repetir, o que faz com que a moda nao seja uma boa medida para representar este

conjunto de dados.

3. Trata-se da moda. Com relacao ao resultado SUFICIENTE, Mo = A (na prova “abdo-

minal” tivemos a maior frequencia de suficientes: 40 soldados) e com relacao ao resultado

INSUFIENTE, Mo = B (na prova “barra” tivemos a maior frequencia de insuficientes:

13 soldados).

4. CALCULOS: Md = [(−266, 10) + (−241, 90)]/2 = −R$ 254, 00.

JUSTIFICATIVA: se usassemos a media aritmetica o seu valor seria bastante influen-

ciado pelo valor discrepante -2.128,94, ou seja, seria deslocado na sua direcao (sendo a

MEDIA = - 437,20, 90% dos dados seriam maiores que o seu valor). Por isso a mediana

(- 254,00), que nao e influenciada por valores discrepantes, representa melhor o conjunto

dos saldos negativos.

5. CA = (AA+ 2AC)/3

a) 5 = (0 + 2AC)/3 ∴ AC = 7, 5

b) 5 = (10 + 2AC)/3 ∴ AC = 2, 5

47

Capıtulo 4

MEDIDAS DE DISPERSAO

Uma caracterıstica de grande importancia para a Estatıstica e a dispersao ou variabilidade,

que diz respeito a quanto os valores podem diferir entre si, podendo ser traduzida por medidas

numericas.

Com o objetivo de introduzir o conceito, considere certa competicao de tiro em que o alvo e

constituıdo de tres cırculos concentricos, conforme figura a seguir. Os tiros acertados na regiao

A valem 10 (dez) pontos, na regiao B valem 6 (seis) pontos, na regiao C valem 2 (dois) pontos

e os tiros nao acertados no alvo valem 0 (zero) ponto.

A

B

C

Figura 4.1

A referencia para os atiradores e a regiao central A que corresponde a maior pontuacao.

Vamos supor dois resultados hipoteticos de series de 10 (tiros), conforme o quadro a seguir:

Serie 1 0 2 2 0 2 2 2 0 0 6

Serie 2 6 6 10 6 6 10 10 6 6 2

E facil ver que a serie de tiros com maior concentracao ou menor dispersao em relacao a

regiao A foi a serie 2, ao passo que a serie 1 apresentou um resultado oposto, ou seja, menor

concentracao ou maior dispersao.

No passado, muitos bancos costumavam exigir que os clientes formassem filas separadas

para os diversos caixas, mas depois adotaram a fila unica. Qual a razao para esta decisao? A

resposta e dada pela Estatıstica e esta diretamente relacionada a variabilidade dos tempos de

espera dos clientes nas filas. O tempo medio de espera nao se altera, tanto em filas separadas

48


como em fila unica, considerando os tempos de todos os clientes que comparecem ao banco em

um dia. Entretanto, a variabilidade dos tempos de espera e menor quando se trata de fila unica,

o que reflete em maior satisfacao para os clientes, ja que estes nao correm o risco de entrar em

uma fila lenta.

O exemplo anterior mostrou a insuficiencia da media para avaliar com maior profundidade

o problema das filas. Outro exemplo interessante e o da profundidade media de um rio em

determinado ponto de travessia. Se essa media e de 1 (um) metro, isso nao garante que seja

possıvel atravessar a pe o rio nesse ponto. Falta uma informacao vital, na propria acepcao da

palavra, que e a variabilidade da profundidade. As medidas mais importantes de variabilidade

ou dispersao sao as que sao obtidas considerando-se o afastamento dos dados em relacao a

media. Vejamos a definicao:

Dispersao e o maior ou menor grau de afastamento dos dados em relacao a medida de

tendencia central media aritmetica.

Algumas das medidas de dispersao mais usuais sao: amplitude total, desvio medio

absoluto, variancia e desvio-padrao, sendo a mais importante o desvio-padrao.

Veremos tambem o coeficiente de variacao, que e uma medida de dispersao relativa.

A “amplitude total” tambem e considerada uma medida de dispersao, apesar de nao levar

em consideracao a media aritmetica em sua definicao. Observe:

Amplitude total (AT) e a diferenca entre o maior e o menor valor da distribuicao dos dados,

ou seja: AT = Vmax - Vmın.

A amplitude total nos da uma ideia da variacao dos dados. E utilizada, por exemplo, nos

servicos meteorologicos, que anotam diariamente a amplitude total das temperaturas.

A amplitude total e uma medida instavel, porque depende apenas dos valores maximo e

mınimo. Qualquer mudanca em um desses extremos a afetara substancialmente. Na pratica e

utilizada como um ındice preliminar.

Exemplo 1: seja A = {22, 24, 26, 28} o conjunto das temperaturas medias, em ◦C, em quatro

cidades proximas, no dia D; a amplitude total e AT = 28− 22 = 6◦C.

Exemplo 2: seja B = {22, 23, 27, 28} o conjunto das temperaturas medias, em ◦C, nas

mesmas cidades do exemplo 1, no dia D +1; a amplitude total e AT = 28− 22 = 6 ◦C.

Observa-se que, apesar dos dados serem diferentes, nos exemplos 1 e 2, a amplitude total

nao foi capaz de diferencia-los, no que diz respeito a variabilidade, porque os valores extremos

foram os mesmos.

49


Convem, antes de continuar, definir desvio em relacao a media.

Desvio em relacao a media, ou simplesmente desvio e a diferenca entre o valor observado

“xi” e a media aritmetica, ou seja: DESVIO = xi - MEDIA.

Por exemplo, poderıamos associar as distancias das perfuracoes dos tiros em relacao ao

centro do alvo da figura 4.1 como sendo os “desvios” dos tiros.

Vamos apresentar agora as medidas de dispersao ou variabilidade cujo calculo e feito em

funcao dos desvios em relacao a media, de todos os valores da distribuicao. A primeira delas e

o desvio medio absoluto (DMA) que nao tem aplicacoes subsequentes, apesar de ser importante

teoricamente para chegarmos a definicao do desvio-padrao, que e a medida de variabilidade de

largo emprego nos estudos estatısticos.

Desvio Medio Absoluto (DMA) e a media dos desvios tomados em valor absoluto, do

conjunto de dados. Assim,

PARA POPULACOES PARA AMOSTRAS

DMA=

∑ |xi − µ|N

DMA=

∑ |xi − x|n

Por que, ao inves de se fazer o DMA, nao se fez somente o DM, ou seja, a media dos desvios

sem ser em valores absolutos? Uma das propriedades da media diz que a soma dos desvios e

sempre igual a zero. Logo, para contornar tal dificuldade, os desvios foram tomados em valores

absolutos.

Exemplo 3: considerando-se como uma populacao o conjunto das temperaturas medias do

exemplo 1, podemos calcular o DMA; antes vamos calcular a media.

µ =

∑

xi

N=

22 + 24 + 26 + 28

4= 25, 0oC

DMA =

∑ |xi − µ|N

=|22− 25|+ |24− 25|+ |26− 25|+ |28− 25|

4= 2, 0oC

Exemplo 4: considere o mesmo procedimento do exemplo 3, com base agora nos dados do

exemplo 2.

µ =

∑

xi

N=

22 + 23 + 27 + 28

4= 25, 0oC

50


DMA =

∑ |xi − µ|N

=|22− 25|+ |23− 25|+ |27− 25|+ |28− 25|

4= 2, 5oC

Observamos que o DMA diferenciou os conjuntos A e B, com relacao a dispersao, o que nao

aconteceu com o uso da AT. O DMA tem maior poder discriminante que a AT, como seria de

se esperar, ja que o DMA leva em consideracao todos os valores do conjunto de dados e a AT

apenas os valores extremos.

Vimos que um modo de contornar a dificuldade de obter uma media de desvios sem que

o resultado fosse zero, foi tomando-os em valores absolutos. Outra maneira de contornar tal

dificuldade seria fazer a media dos desvios elevados ao quadrado. Por este caminho surgiu entao

a importante medida de dispersao denominada “variancia”, que definimos a seguir.

Variancia e a media dos desvios elevados ao quadrado, tambem conhecida como desvio

quadratico medio.

Para denotar variancia de populacao vamos usar σ2, em que “σ” e a letra grega sigma (le-se

“sigma elevado ao quadrado”) e variancia de amostra s2. Assim, temos as seguintes formulas

para a variancia:


σ2 =

∑

(xi − µ)2

Ns2 =

∑

(xi − x)2

n− 1

Na formula da variancia amostral temos o denominador “n−1” ao inves de “n”, porque isso

da uma melhor estimativa da variancia populacional. Para mais informacoes veja BUSSAB,

Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estimacao. In whitewww. Estatıstica Basica, 4. ed., Sao

Paulo, Atual, 1987. p. 212-213.

Exemplo 5: seja C = {17, 22, 23, 26, 28, 31, 32, 37} o conjunto das temperaturas medias, em◦C, em oito cidades proximas, no dia D; vamos calcular a variancia, considerando-se que C e

uma populacao.

Para fins de comparacao com o proximo exemplo, antes de calcular a variancia, vamos

anotar os seguintes resultados: µ = 27, 0 ◦C, AT = 20,0 ◦C e DMA = 5,0 ◦C.

σ2 =

∑

(xi − µ)2

N= (17−27)2+(22−27)2+(23−27)2+···+(31−27)2+(32−27)2+(37−27)2

8= 35, 5(oC)2

51


Exemplo 6: seja D = {17, 22, 24, 25, 29, 30, 32, 37} o conjunto das temperaturas medias, em◦C, em oito cidades proximas, no dia D + 1; vamos calcular a variancia, considerando-se que

D e uma populacao.

Do mesmo modo que no exemplo 5, antes de calcular a variancia, vamos anotar os seguintes

resultados: µ = 27, 0 ◦C, AT = 20,0 ◦C e DMA = 5,0 ◦C.

σ2 =

∑

(xi − µ)2

N= (17−27)2+(22−27)2+(24−27)2+···+(30−27)2+(32−27)2+(37−27)2

8= 34, 5(oC)2

Observamos que nem a AT, nem o DMA diferenciaram os conjuntos C e D, com relacao a

dispersao, o que nao aconteceu com o uso da variancia. Assim, a variancia tem maior poder

discriminante que o DMA, que, por sua vez, como ja vimos, tem maior poder discriminante que

a AT. Logo, o conjunto de dados D apresenta uma menor dispersao que o conjunto de dados

C.

Uma questao importante relacionada as medidas de dispersao diz respeito as unidades de

medida. Todas as medidas de tendencia central que vimos, bem como as medidas de dispersao

“amplitude total” e “desvio medio absoluto”, apresentam as mesmas unidades de medida dos

dados. Basta observar os exemplos de numeros 1 a 4. A unidade de medida dos dados e ◦C,

bem como das outras medidas que calculamos. Na variancia, a variavel foi elevada ao quadrado

e, portanto, a unidade de medida foi igualmente elevada ao quadrado resultando em (◦C)2,

conforme se pode observar nos exemplos 5 e 6.

Para retornar a unidade de medida dos dados e das demais medidas, convencionou-se extrair

a raiz quadrada da variancia, surgindo, deste modo, a importantıssima medida de dispersao

denominada desvio-padrao.

Desvio-padrao e a medida de dispersao definida como a raiz quadrada positiva da variancia.


σ = +√σ2 ou σ = +

√

∑

(xi − µ)2

Ns = +

√s2 ou s = +

√

∑

(xi − x)2

n− 1

As chamadas “formulas alternativas” para o calculo da variancia nao requerem o calculo da

media aritmetica. Tais formulas nao serao objeto do nosso curso.

52


Exemplo 7: consideremos os exemplos 5 e 6, cujas variancias foram, respectivamente,

σ2 = 35, 5(◦C)2 e σ2 = 34, 5(◦C)2; assim, os respectivos desvios-padrao sao

σ = +

√

(35, 5(oC)2) ∼= 5, 9582oC e σ = +

√

(34, 5(oC)2) ∼= 5, 8737oC.

Coeficiente de Variacao de Pearson (CVP) e a razao entre o desvio-padrao e a media

do conjunto de dados. Normalmente e expresso em termos percentuais.


CVP =σ

µ× 100 CVP =

s

x× 100

O coeficiente de variacao caracteriza a dispersao dos dados em termos relativos a seu valor

medio. Assim, uma pequena dispersao absoluta pode ser, na verdade, consideravel quando

comparada com a ordem de grandeza dos valores da variavel e vice-versa. Quando consideramos

o CV, enganos de interpretacao desse tipo podem ser evitados.

Alem disso, por ser adimensional, o coeficiente de variacao fornece uma maneira de se

comparar as dispersoes de variaveis que apresentam unidades de medida distintas.

Esta medida traz tambem uma informacao importante sobre as distribuicoes comparadas,

que e a homogeneidade ou regularidade. Diz-se que a distribuicao que apresentar menor CV e

a mais homogenea ou regular.

Exemplo 8: dois jogadores A e B realizaram um treinamento que consistiu na cobranca de

10 (dez) series de 5 (cinco) penaltis cada, conforme o quadro a seguir. Com base em uma

medida de dispersao relativa qual deles apresentou um comportamento mais homogeneo ou

regular? Justifique. Considere os dados como sendo populacionais.

Jogador Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5

A 0 2 2 3 3

B 0 3 3 3 4

Serie 6 Serie 7 Serie 8 Serie 9 Serie 10

A 4 4 5 5 5

B 4 4 2 4 4

53


Resolvendo, obtemos:

Jogador Media Desvio-padrao Coeficiente de Variacao de Pearson

A 3,3 1,5524 47,0430%

B 3,1 1,2207 39,3760%

O jogador B apresentou um comportamento mais homogeneo ou regular, pois o coeficiente

de variacao do jogador B foi menor do que o coeficiente de variacao do jogador A.

Exemplo 9: o quadro abaixo apresenta as medias anuais e os respectivos desvios-padrao de

temperatura e pressao em uma determinada cidade; com base em uma medida de dispersao

relativa qual das variaveis apresentou um comportamento mais homogeneo ou regular? Justi-

fique.

Variavel Media Desvio-padrao Coeficiente de Variacao de Pearson

Temperatura 24 ◦C 6 ◦C 25%

Pressao 750 mm Hg 30 mm Hg 4%

A pressao apresentou um comportamento mais homogeneo ou regular, pois o coeficiente de

variacao da pressao foi menor do que o coeficiente de variacao da temperatura.

54


EXERCICIOS

1. Os dados a seguir foram coletados pelo Chefe da 3a Secao da Brigada de Aviacao do

Exercito em 2014 e referem-se ao total de pontos obtidos no exame de selecao de oficiais

para o curso de pilotos de helicopteros. Calcule o valor da medida de dispersao absoluta

desses dados utilizando a raiz quadrada da media dos quadrados das diferencas de cada

ponto em relacao a pontuacao media do exame. Considere que se trata de uma populacao.

84 77 89 94 83 76

90 78 93 77 69 83

88 86 94 76 87 87

92 80 83 81 81 92

90 99 95 98 91 86

2. Os dados abaixo se referem a uma amostra de consumo de agua, em litros, em sete dias de

2016, em uma determinada Organizacao Militar. Calcule o desvio-padrao desses dados.

1020 1300 2300 1500 3500 900 800

3. Um comandante de pelotao deve escolher um dentre tres soldados para uma determinada

missao. O criterio de escolha e que o soldado deve apresentar desempenho mais regular

ou homogeneo (em relacao ao tempo). Cada soldado realizou a mesma tarefa 7 vezes

e seus tempos de execucao foram cronometrados, conforme os dados do quadro abaixo.

Qual soldado devera ser escolhido, de acordo com o criterio de escolha pre-estabelecido?

Justifique. Observacao: considere os dados como populacionais.

Soldado Tempo (min)

A 12,8 10,5 15,2 16,5 9,9 12,5 13,0

B 15,5 18,2 15,6 14,5 16,5 18,2 14,5

C 12,5 13,6 12,8 13,5 12,8 12,9 13,0

4. Voce foi designado Oficial Adjunto da Fiscalizacao Administrativa em sua nova Orga-

nizacao Militar e recebeu a missao de dar um Parecer Tecnico sobre a compra de lampadas

da marca A, que tem vida media µ = 3000h e desvio-padrao σ= 200h ou as lampadas da

marca B, que tem vida media µ = 4000h e desvio-padrao σ = 250h.

Com base em um medida de dispersao relativa como criterio tecnico para a escolha da

marca de lampada a ser adquirida, qual das duas marcas seria escolhida? Justifique.

55


5. Como Oficial de TFM, voce e responsavel pelo treinamento das equipes de atletismo da

sua Organizacao Militar. Foram registrados os tempos em um dia de treino de todos os

corredores de 400 m e 1600 m, em minutos, conforme o quadro a seguir.

Tempo para 400 m 0,92 0,98 1,04 0,90 0,99

Tempo para 1.600 m 4,52 4,35 4,60 4,70 4,50

Um dos treinadores da equipe comentou que “os corredores de 400 m apresentaram de-

sempenho mais homogeneo”. Utilizando uma medida de dispersao relativa, verifique se a

afirmacao do treinador esta correta. Justifique.

56



1. σ = 7,1809 pontos

2. σ = 971,626 litros

3. CVA = 16, 8607%, CVB = 8, 9761% e CVC = 2, 8286%. O soldado C devera ser escolhido,

pois o valor do seu coeficiente de variacao e menor. Isto e, o soldado C possui os tempos

mais homogeneos.

4. CVA = 6, 67% > CVB = 6, 25%. A marca B deve ser escolhida.

5. Corredores de 400 m: CV = 5,22%; Corredores de 1600 m: CV = 2,56%. A afirmacao

nao esta correta, pois, como o valor do coeficiente de variacao dos tempos dos corredores

de 1600 m e menor do que o valor do coeficiente de variacao dos tempos dos corredores

de 400 m, temos que os corredores de 1600 m apresentaram desempenho mais homogeneo

ou regular.

57

Capıtulo 5

MEDIDAS DE FORMA

CURVA DE FREQUENCIAS

Imagine uma grande populacao da qual se extrai amostras cada vez maiores. E natural

que ocorram mais observacoes em intervalos cada vez menores da variavel, sugerindo que se

diminuam os intervalos de classe. Quando o intervalo de classe for muito pequeno, ou, em

termos matematicos, tender a zero, a linha poligonal tendera a uma curva “suavizada” que se

denomina “curva de frequencias”, que representa a forma da distribuicao dos dados.

Quanto a forma, as distribuicoes podem ser simetricas ou assimetricas. Uma distribuicao

e dita simetrica se existe um eixo de simetria no grafico que divide o conjunto de dados

em duas partes iguais, de modo que, se for rebatida uma parte na outra, elas se sobrepoem

completamente, como mostra a curva do meio da figura 5.1. Caso contrario, as distribuicoes

podem ser assimetricas negativas ou a esquerda, como mostra a curva da esquerda, ou

assimetricas positivas ou a direita como mostra a curva da direita (figura 5.1).

Moda

Mediana

Média MédiaMedianaModa

Moda Média

Mediana

Figura 5.1

As extremidades das curvas sao chamadas de caudas. Observa-se que a curva assimetrica

negativa ou a esquerda apresenta uma cauda mais alongada a esquerda e a curva assimetrica

positiva ou a direita, uma cauda mais alongada a direita.

No caso da curva simetrica, a media, a mediana e a moda sao iguais, ou seja: MEDIA =

Md = Mo.

58

MEDIDAS DE FORMA

No caso da curva assimetrica negativa ou a esquerda, a media e menor que a mediana, que

por sua vez e menor que a moda, ou seja: MEDIA < Md < Mo.

No caso da curva assimetrica positiva ou a direita, a moda e menor que a mediana, que por

sua vez e menor que a media, ou seja: Mo < Md < MEDIA.

Exemplo 1: como Oficial de TFM em sua nova Organizacao Militar, voce recebeu resultados

referentes a quantidade de “abdominais supra” realizados pelos militares nos tres testes de

aptidao fısica (TAF) aplicados ao longo do ano passado, conforme quadro abaixo.

TAF Media Mediana Moda

1o 38 35,5 34

2o 40 40 40

3o 42 45 48

Com base na analise de assimetria dos dados, diga se o Oficial de TFM antecessor conseguiu

ou nao realizar um bom trabalho no sentido de melhorar os resultados do TAF na prova

“abdominal supra”. Justifique.

1o TAF 2o TAF 3o TAF

Media > Md > Mo Media = Md = Mo Media < Md < Mo

Assimetria positiva Assimetria negativa

ou a direitaSimetria

ou a esquerda

No primeiro TAF ha uma maior concentracao de resultados abaixo da media (assimetria

positiva ou a direita). No segundo TAF a media aumentou para 40 e as quantidades de resulta-

dos abaixo e acima dela foram iguais. No terceiro TAF a media aumentou para 42 e houve uma

maior concentracao de resultados acima desta medida (assimetria negativa ou a esquerda).

Logo, pode-se concluir que o Oficial de TFM antecessor conseguiu realizar um bom trabalho,

pois os resultados dos TAF foram melhorando, de acordo com a analise da assimetria dos dados.

Ha medidas, denominadas coeficientes (pelo fato de serem medidas adimensionais), que

classificam as distribuicoes quanto a simetria ou assimetria. Vamos apresentar um deles, o

coeficiente de assimetria de Pearson (e), dado pela formula:


e=µ−Mo

σe=

x−Mo

s

59

MEDIDAS DE FORMA

A classificacao da distribuicao, quanto a forma, que apresentamos no quadro abaixo, e feita

conforme o resultado do coeficiente de assimetria de Pearson.

e < 0 e = 0 e > 0

ASSIMETRICA NEGATIVA ASSIMETRICA POSITIVA

OU A ESQUERDASIMETRICA

OU A DIREITA

Observe que quanto maior a diferenca entre a media e a moda, maior sera a assimetria

(positiva ou negativa), ou seja, mais alongada sera a cauda.

Exemplo 2: o quadro abaixo apresenta o rol das 50 (cinquenta) notas em uma prova feita

pelos alunos de determinado Curso de Formacao de Cabos, realizada em 2015 em uma deter-

minada Organizacao Militar. Classifique a distribuicao das notas, quanto a forma, com base

no coeficiente de assimetria de Pearson.

29 37 38 47 49 52 56 58 60 62

63 63 63 65 65 66 68 68 69 69

70 70 71 73 73 74 74 75 75 76

76 77 77 79 81 81 82 82 83 83

84 85 87 87 88 89 90 91 94 97

Feitos os calculos, obtemos µ = 71, 42, Mo = 63 e σ = 14, 6725. Entao,

e =µ−Mo

σ=

71, 42− 63

14, 6725∼= 0, 5739

Logo, como e > 0, a distribuicao das notas classifica-se, quanto a forma, como assimetrica

positiva ou a direita.

Observe que em termos educacionais, o desejavel e assimetria a esquerda (negativa), pois a

moda maior que a media assegura que ha quantidade relevante de notas altas.

Com base no criterio de comparacao das Medidas de Tendencia Central e no Coeficiente de

Assimetria de Pearson apresentado, e facil ver que para verificarmos a forma da distribuicao,

basta compararmos duas medidas de tendencia central: a Media e a Moda. Assim:

µ−Mo > 0 - Assimetria Positiva

µ−Mo < 0 - Assimetria Negativa

µ−Mo = 0 - Simetria

60

MEDIDAS DE FORMA

EXERCICIOS

1. O quadro 1 abaixo apresenta o resultado obtido na primeira corrida de 12 minutos, rea-

lizada pelos soldados incorporados no ano de 2014, do 1o Pelotao de Fuzileiros de Selva

(1o Pel Fuz Sl) da 1a Companhia de Fuzileiros de Selva (1a Cia Fuz Sl) do 50o Batalhao

de Infantaria de Selva (50o BIS), Imperatriz - MA, realizada em 26 de fevereiro de 2014.

Os dados foram fornecidos pelo Oficial de Treinamento Fısico do Batalhao.

Quadro 1

Distancia percorrida

(km)2,00 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50

Numero de soldados 1 1 3 1 2 2 7 5 3 3

Distancia percorrida

(km)2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,95 3,00 3,05


Os outros pelotoes da 1a Cia Fuz Sl obtiveram as medidas de dispersao relativa, apresen-

tadas no quadro 2 a seguir:

Quadro 2

2o Pelotao de Infantaria 3o Pelotao de Infantaria Pelotao de

de Selva de Selva Apoio

13,12% 12,50% 14,89%

1) Voce, comandante do 1o Pelotao de Fuzileiros de Selva, devera atender aos pedidos

constantes das letras a e b, a seguir.

a) Utilizando os dados do quadro 1, classifique a distribuicao das distancias, quanto a

forma, para tornar mais evidente a natureza dos dados. Para tanto, utilize o criterio

de comparacao das medidas de tendencia central e conclua se a forma obtida e a mais

desejada para a variavel em questao (distancia percorrida, em km), justificando sua

resposta. Apresente os calculos.

b) Utilizando os dados dos quadros 1 e 2, determine qual dos pelotoes da companhia foi

mais regular ou homogeneo no que diz respeito a distribuicao das distancias, em km,

obtida na corrida de 12 minutos, com o objetivo de comparar os pelotoes. Justifique

sua resposta. Apresente os calculos.

61

MEDIDAS DE FORMA

2. O quadro a seguir mostra a media e a moda obtidas das notas de cinco pelotoes na

competicao de Ordem Unida, em 2014, em uma determinada OM.

Pelotao Media Moda

1 5,7 5,5

3 6,3 5,5

5 4,8 6,0

7 5,9 7,5

9 7,1 3,5

Com base nessas informacoes, classifique as distribuicoes de notas dos cinco pelotoes

quanto a assimetria.

3. Um Hospital de Guarnicao esta analisando a idade das mulheres que tiveram o seu pri-

meiro filho. Os dados obtidos sao:

25 23 21 28 41 18 19 23 20 22 23

Considerando os dados como amostrais, calcule a media e a moda desses dados. Compa-

rando as medidas de posicao, classifique com relacao a assimetria.

4. O quadro abaixo apresenta os pesos dos militares da Companhia de Comando e Servico

do 5o Deposito de Suprimentos, Curitiba - PR, fornecidos pelo Posto Medico do Deposito,

em 02 de fevereiro de 2015.

Peso (kg) 55 58 60 64 65 69 73 74 75 76

Numero dePesos dos militares

militares1 2 3 4 4 6 6 6 7 7

da Companhia dePeso (kg) 79 81 84 87 89 92 95 99 102 110

Comando e ServicoNumero de

militares2 10 10 13 12 30 40 10 20 7

Utilizando os dados populacionais do quadro acima, classifique a distribuicao dos pesos

quanto a forma, para tornar mais evidente a natureza dos dados. Utilize o Coeficiente

de Assimetria de Pearson ou criterio de comparacao das medidas de tendencia central e

conclua se a forma obtida e a mais desejada para a variavel em questao, justificando sua

resposta. Apresente os calculos.

62

MEDIDAS DE FORMA


1. a) µ =2, 00 + · · ·+ 3, 05

42= 2, 4726km Mo = 2, 35km

Como µ−Mo > 0 a distribuicao das distancias apresenta, quanto a forma, assimetria

positiva ou a direita. A forma da distribuicao nao e a mais desejada.

JUSTIFICATIVA: seria melhor uma assimetria negativa ou a esquerda, ou seja,

valores mais altos (melhores resultados na corrida de 12 minutos) correspondendo

as maiores frequencias, ou seja, maioria do pelotao acima da media.

b) Calculo do desvio-padrao do 1o Pel Fuz Sl

σ =

√

(2, 00− 2, 4726)2 + · · ·+ (3, 05− 2, 4726)2

42= 0, 2472km

CV =0, 2472

2, 4726× 100 = 10, 00%

O 1o Pel Fuz Sl foi o mais homogeneo ou regular na corrida de 12 minutos.

JUSTIFICATIVA: o 1o Pel Fuz Sl apresentou o menor Coeficiente de Variacao dos

pelotoes da companhia.

2.

Pelotao Assimetria

1 Positiva

3 Positiva

5 Negativa

7 Negativa

9 Positiva

3. X = 23, 9091; Mo = 23; Distribuicao assimetrica positiva.

4. µ =1× 55 + · · ·+ 7× 110

200= 87, 935 kg

σ =

√

1× (55− 87, 935)2 + · · ·+ 7× (110− 87, 935)2

200= 11, 9034 kg

Usando o Coeficiente de Assimetria de Pearson temos:

e =µ−Mo

σ=

87, 935− 95

11, 9034= −0, 5935

63

MEDIDAS DE FORMA

Como e < 0 a distribuicao e assimetrica negativa ou a esquerda. Usando o criterio de

comparacao das medidas de tendencia central temos: µ < Md < Mo ou simplesmente

µ−Mo < 0. A forma da distribuicao nao e a mais desejada.

JUSTIFICATIVA: seria melhor uma assimetria positiva ou a direita, ou seja, valores mais

baixos (menores pesos) correspondendo as maiores frequencias.

64

Capıtulo 6

MODELOS PROBABILISTICOS

Um experimento probabilıstico e um experimento que, se repetido nas mesmas condicoes,

nao produz necessariamente o mesmo resultado. (MORGADO, A.C., et al. Analise Combi-

natoria e Probabilidade, 6a ed., SBM, RJ, 1997.)

As caracterısticas principais de alguns desses experimentos sao as seguintes:

• ha a ocorrencia de apenas dois resultados possıveis, sendo um deles o evento de interesse,

denominado sucesso e o outro a nao ocorrencia do evento de interesse, denominado

fracasso;

• quando o experimento e repetido, as probabilidades de sucesso e fracasso nao se alteram;

diz-se, neste caso, que os experimentos sao independentes.

Exemplo 1: no lancamento de uma moeda podem ocorrer dois eventos possıveis, ou seja,

cara ou coroa; a cada novo lancamento da moeda, as probabilidades da ocorrencia de cara e de

coroa nao se alteram.

Exemplo 2: as probabilidades de um atirador acertar o alvo com um tiro sao sempre as

mesmas; entao o experimento se enquadra nas caracterısticas acima, pois podem ocorrer apenas

os resultados acertar o alvo (sucesso) ou errar o alvo (fracasso).

Experimentos probabilısticos como esses dao origem a um experimento denominado “Expe-

rimento Binomial”, que possui as seguintes caracterısticas:

- Designamos por “n” o numero de tentativas ou repeticoes do experimento, sendo “n”

um numero natural fixado e maior ou igual a dois, onde cada tentativa e independente

de todas as outras;

- As probabilidades “p” de ocorrer sucesso e “(1− p)” de ocorrer fracasso sao as mesmas

em cada tentativa, ou seja, sao constantes;

- Designamos por “X ” a variavel aleatoria (VA) discreta “numero de sucessos ocor-

ridos” em “n” tentativas ou repeticoes do experimento.

65

MODELOS PROBABILISTICOS

Importante! No exemplo dos tiros no alvo, “X ” pode ser definido como o numero de tiros

nao acertados no alvo em funcao de o “evento de interesse” ser, neste caso, “nao acertar

o alvo” o que equivaleria dizer que “sucesso” seria entao “errar o alvo”. Assim, o sucesso

depende de como a VA esta definida.

Exemplo 3: suponha que estejamos interessados em calcular a probabilidade de um atirador

acertar certa quantidade de tiros dentre os 10 (dez) que correspondem a uma serie completa,

sendo que em cada tiro ele tem sempre 90% de probabilidade de acertar; assim, “sucesso”

significa acertar o alvo e podemos definir “X ” como a VA discreta “numero de tiros acertados

no alvo”, 0 ≤ X ≤ 10; as probabilidades de sucesso e fracasso sao respectivamente p = 0,9 e

q = 1− p = 0,1, sendo esses valores obtidos dos resultados historicos do atirador.

Para observarmos a diferenca entre um experimento binomial e um nao binomial, analisemos

os dois exemplos a seguir. Se o experimento for binomial, vamos definir a variavel aleatoria e

especificar os valores de “n”, “p” e “q” e, em caso contrario, vamos justificar o motivo pelo

qual nao se trata de experimento binomial.

Exemplo 4: um medico realiza, em um intervalo de tempo, um procedimento cirurgico em

oito pacientes; como o procedimento tem sempre 85% de chance de sucesso, ele deseja conhecer

a probabilidade de um numero deles obter sucesso.

O experimento e binomial porque cada procedimento representa uma tentativa e cada

uma delas e independente em relacao as demais, ja que a probabilidade de sucesso e sempre

a mesma para cada paciente que se submete a intervencao; portanto, o “evento de interesse”

ou “sucesso” e “cirurgia bem sucedida”.

Assim, podemos definir a VA discreta “X ” como “numero de cirurgias bem sucedidas”,

sendo 0 ≤ X ≤ 8 .

Como o medico realizou oito cirurgias, temos que n = 8. A probabilidade de sucesso de

cada cirurgia e 0,85. Logo, temos que p = 0,85 e q = 1− p = 0,15.

Exemplo 5: retira-se ao acaso 5 (cinco) bolas, sem reposicao, de uma caixa que contem 6

(seis) bolas brancas, 7 (sete) verdes e 7 (sete) azuis e deseja-se obter as probabilidades associadas

a retirada de um determinado numero de bolas brancas.

O experimento nao e binomial, por ser realizado sem reposicao, o que acarreta a dependencia

entre os experimentos. Por exemplo, ao selecionar a primeira bola, a probabilidade de ser branca

e 6/20. Ao sortear a segunda bola, dado que a primeira foi branca, a probabilidade sera 5/19,

pois o espaco amostral foi alterado. Seguindo o mesmo raciocınio, as probabilidades seguintes

serao: 4/18 para a terceira bola, 3/17 para a quarta bola e 2/16 para a ultima das cinco bolas.

66

MODELOS PROBABILISTICOS 6.1· Modelo Binomial

6.1 Modelo Binomial

A maneira mais simples de calcular a probabilidade de k sucessos em n tentativas e aplicar

a formula do modelo binomial a seguir:

P (X = k) =

(

n

k

)

pk(1− p)n−k, q = 1− p e 0 ≤ k ≤ n

Exemplo 6: o 1o Deposito de Suprimentos adquiriu um lote de baterias para caminhoes.

O fabricante informa que a probabilidade de uma bateria ser fabricada com defeito e de 1/20.

Inspecionando tres baterias ao acaso, obtenha a probabilidade:

a) Da ocorrencia de somente uma defeituosa;

b) Da ocorrencia de pelo menos uma bateria defeituosa.

Para encontrar a solucao do item a, podemos utilizar o “Princıpio Fundamental da Conta-

gem”, em que a probabilidade da ocorrencia de somente uma defeituosa pode ser dada por:

1

20×

19

20×

19

20

+

19

20×

1

20×

19

20

+

19

20×

19

20×

1

20

=3×1

20×

19

20

2

=

3

1

×

1

20

1

×

19

20

3−1

Assim, como “sucesso” esta relacionado a “bateria com defeito”, podemos definir a VA

discreta “X ” como o “numero de baterias com defeito”. Como foram selecionadas tres

baterias para inspecao, temos n = 3. A probabilidade de sucesso e p = 1/20 e de fracasso e

q = 19/20. Logo, a probabilidade da ocorrencia de somente uma bateria defeituosa pode ser

calculada aplicando-se o modelo binomial para k = 1 bateria com defeito das tres selecionadas,

temos:

P (X = k) =

(

n

k

)

pk(1− p)n−k

P (X = 1) =

(

3

1

)

(

1

20

)1(19

20

)2

= 3

(

192

203

)

∼= 0, 1354

67

6.1· Modelo Binomial MODELOS PROBABILISTICOS

Com base nas informacoes obtidas no item a, e facil ver que o item b pode ser resolvido da

seguinte forma: queremos calcular a probabilidade de pelo menos k = 1 bateria com defeito,

ou seja, k≥ 1, em tres selecionadas. Assim, aplicando os conhecimentos de probabilidades e o

modelo binomial temos:

P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1− P (X = 0)

P (X ≥ 1) = 1−(

3

0

)

(

1

20

)0(19

20

)3

= 1−(

19

20

)3

∼= 0, 1426

MEDIA, VARIANCIA E DESVIO-PADRAO DO MODELO BINOMIAL

Apresentamos a seguir as formulas para o calculo da media, da variancia e do desvio-padrao

de uma distribuicao de probabilidades binomial. As formulas da media e da variancia podem

ser demonstradas matematicamente. Para o desvio-padrao, basta extrair a raiz quadrada da

variancia.

µ = np σ2 = npq σ =√npq

Observacoes: no estudo do calculo das probabilidades, a media e chamada tambem de

“valor esperado”, “esperanca matematica” ou “expectancia” e pode ser designada por

“E(X )”, ou seja, esperanca matematica da VA discreta X; a variancia pode ser designada por

“VAR(X )” e o desvio-padrao por “DP(X )”.

Exemplo 7: calcule o valor esperado, a variancia e o desvio-padrao da VA discreta X, do

exemplo 6. Interprete o valor esperado.

µ = np = 31

20= 0, 15

σ2 = npq = 31

20

19

20= 0, 0075

σ =√npq =

√

0, 0075 = 0, 0866

Em uma grande quantidade de lotes de tres baterias, poderıamos esperar, em media, 0,15

bateria com defeito por lote.

68


EXERCICIOS

1. Lancando-se uma moeda 10 vezes, qual e a probabilidade de se obter 3 “caras”?

2. De um grande numero de artigos produzidos em grande escala, 5% sao defeituosos. Cal-

cule a probabilidade de, em uma amostra de 20 artigos, encontrarmos:

a) Dois defeituosos.

b) Pelo menos dois defeituosos.

3. Uma caixa contem 144 pecas, das quais 36 sao defeituosas. Extraindo-se, com reposicao,

dez pecas desta caixa, qual e a probabilidade de que tenhamos 3 ou mais pecas defeituosas?

4. Determine a probabilidade de um jogador fazer 5 gols ao bater 10 penaltis, sabendo que

o aproveitamento do jogador e constante e igual a 70%.

5. Encontre a media e o desvio-padrao da variavel aleatoria Y, numero de vezes que se obtem

o numero 5, em 4 lancamentos de um dado.

6. A probabilidade de um atirador acertar um alvo com um tiro e constante e igual a 80%.

a) Se ele atirar 7 vezes, qual e a probabilidade de acertar o alvo pelo menos 4 vezes?

b) Pelo menos quantas vezes devera atirar para que a probabilidade de acertar pelo

menos uma vez no alvo, seja maior que 99,9%?

7. A probabilidade de um militar acertar um alvo em movimento com um tiro e constante

e igual a 90%. Quantas vezes ele deve atirar para que a probabilidade de errar todos os

tiros seja igual a 0,0001?

8. A probabilidade de um atirador acertar um alvo com um tiro e constante e igual a 70%.

Calcule:

a) A probabilidade dele errar 4 tiros, numa serie de 10 tiros.

b) A probabilidade dele acertar ao menos uma vez, numa serie de 4 tiros.

c) O valor esperado do numero de acertos em uma serie de 8 tiros.

d) O numero de tiros dados no alvo, sabendo-se que o desvio-padrao da VA “numero

de tiros acertados no alvo” e igual a 2,1.

69


9. A probabilidade de um cadete ultrapassar um obstaculo (pista de obstaculos), e constante

e igual a 60%. Calcule:

a) A probabilidade do cadete ultrapassar o obstaculo 4 vezes, em 6 tentativas.

b) O numero mınimo de tentativas que o cadete deve realizar, para que a probabilidade

de ultrapassar, pelo menos uma vez, seja maior do que 75%.

c) O desvio-padrao da variavel aleatoria numero de ultrapassagens, em “n” tentativas,

sabendo-se que a media dessa distribuicao e 3,6.

10. Um simulador de tiro de um carro de combate possui um programa de teste automatico,

onde a probabilidade “p” de um atirador hipotetico acertar o alvo com um tiro pode ser

regulada para valores constantes dessa probabilidade.

Calcule o valor mınimo de “p”, num teste onde serao disparados 10 tiros, de modo que a

probabilidade de acertar todos os tiros seja no mınimo 50%.

11. Em uma competicao, promovida pela Industria de Material Belico do Brasil (IMBel) entre

as Organizacoes Militares de Artilharia da Regiao Militar, cada peca e conduzida num

vagao prancha sobre trilhos, de onde efetua um tiro em cada um dos 18 alvos postados no

terreno, de modo que para cada alvo a guarnicao tera que refazer todos os procedimentos

para o tiro.

A equipe que representa a sua Organizacao Militar, equipe da qual voce faz parte, apre-

sentou durante as eliminatorias, um desempenho constante com 80% de acertos.

A sua equipe e a ultima a atirar, ja tendo errado 8 dos 9 primeiros tiros dados. Sabendo-se

que a equipe de pior resultado acertou 9 tiros, calcule a probabilidade de sua equipe nao

ser a ultima colocada na competicao.

12. Uma fabrica possui 20 maquinas, capazes de produzir, independentemente, cada uma

delas, 20 unidades de um determinado produto. Cada maquina somente pode ser encon-

trada em um, de dois estados possıveis: operando com sucesso, com probabilidade de 86%,

ou em falha, com probabilidade de 14%. Em caso de operacao com falha, a quantidade

produzida pela maquina e nula e em caso de operacao com sucesso a producao e sempre

de 20 unidades. A capacidade de absorcao da producao das 20 maquinas, pelo mercado

consumidor e fixa, e igual a uma demanda de 320 unidades do produto. Determine a

probabilidade de nao atendimento ao mercado consumidor.

70


13. O Instrutor Chefe do Nucleo de Preparacao de Oficiais da Reserva (NPOR) incumbiu o

2o Ten Mario, instrutor do Nucleo, para calcular a probabilidade de um aluno tirar nota

5,0 ou mais ao resolver uma prova com 10 questoes de multipla escolha, considerado que

as questoes possuem a mesma pontuacao e que as notas mınima e maxima que podem ser

tiradas pelo aluno sao, respectivamente, 0 e 10. Ajude ao 2◦ Ten Mario sabendo, ainda,

que o aluno respondera ao acaso todas as questoes e que cada questao tem 5 alternativas

com apenas uma correta.

14. Na tabela abaixo, X significa numero de flexoes na barra realizadas pelos candidatos a

EsPCEx em determinado ano. Calcule para cada valor da variavel o numero de candidatos

esperado, se n = 1000 e p = 0, 6.

X No de candidatos

0 0

1 5

2 10

3 40

4 110

5 200

6 250

7 220

8 120

9 40

10 5

Total 1000

Voce acha que o modelo binomial e razoavel para explicar o fenomeno?

15. Supoe-se que os motores de um aviao operam independentemente durante o voo e falham

com probabilidade de 1/5. Supondo que um aviao voa com seguranca se, pelo menos a

metade de seus motores funciona, determinar qual tem a maior probabilidade de um voo

com exito, entre um aviao de 4 motores e um de 2 motores.

16. Considere que a probabilidade de um recruta ser suficiente no primeiro TAF e cons-

tante e igual a 72% (dado obtido do resultado do ano anterior). Com base neste dado

e considerando-se uma incorporacao com 500 recrutas no presente ano, qual e o numero

esperado de recrutas que deverao obter “suficiencia” no primeiro TAF deste ano?

17. Uma certa Organizacao Militar de Saude observou que 10% dos pacientes que agendam

consulta nao comparecem no dia previsto. Deste modo a Secretaria do Hospital resolveu

agendar, para determinada especialidade, 41 pacientes para um determinado dia, quando

71


o numero maximo de consultas seria 39. Se comparecem mais do que 39 pacientes, 1 ou

2 deles sao atendidos apos o horario. Calcule a probabilidade de que todos os pacientes

que agendaram consulta sejam atendidos dentro do horario. Interprete o resultado.

18. Com o objetivo de melhorar o treinamento da guarnicao que opera o Obuseiro 105 mm

M102, o 11o GAC em conjunto com o IME esta desenvolvendo um projeto para manter

o treinamento continuado da guarnicao atraves de simulador eletronico para este arma-

mento.

Voce, Oficial do 11o GAC que participa do projeto, devera realizar as avaliacoes (analise

probabilıstica) pedidas a seguir.

Quantidade de Probabilidade

tiros para de acertarProbabilidade de

Nıvel

o operador o alvo emacertar todos os tiros

(n) cada tirono alvo

1 (n1 = 5) p1 Maior ou igual a 0,1

2 (n2 = 8) p2 ∈ [0.75; 1, 00] Maior ou igual a 0,1001

a) Calcule os valores adequados para p1, de modo a obedecer aos requisitos apresentados

na tabela. Apresente os calculos.

b) Calcule os valores medios para o numero de acertos no nıvel 2, de modo a obedecer

aos requisitos apresentados na tabela. Apresente os calculos.

19. Um simulador de tiro de um carro de combate e regulado inserindo-se os parametros

“p” (probabilidade constante de sucesso de um atirador hipotetico acertar o alvo) e “n”

(quantidade de tiros dados em uma serie de tiros).

Voce, Oficial responsavel pelo simulador, devera realizar uma analise probabilıstica para

os casos dos itens a e b.

a) Responda como voce regularia o simulador de modo que a probabilidade de acertar

todos os tiros em um treinamento simulado, onde serao disparados 10 (dez) tiros,

seja igual a 50%. Apresente os calculos.

b) Qual e o valor esperado do numero de acertos se o simulador e regulado com p = 0, 88

e n = 15? Apresente os calculos.

72



1. 0,1172

2. a) 0,1887

b) 0,2642

3. 0,4744

4. 0,1029

5. media= 0, 6667 desvio-padrao= 0, 7454

6. a) 0,9667

b) 5

7. 4

8. a) 0,2001

b) 0,9919

c) 5,6 litros

d) 21

9. a) 0,3110

b) 2

c) 1,2

10. 0,9330

11. 0,1342

12. 0,1375

13. a) P (X ≥ 5, 0) = 0, 0328 ou aproximadamente 3,3%

b) P (X ≥ 5, 0) = 0, 0026 ou aproximadamente 0,3%

c) Com 20 questoes a probabilidade de um candidato tirar nota 5,0 ou mais, ape-

nas respondendo aleatoriamente, e muito pequena (0,0026). Por exemplo, espera-se

que aproximadamente 3 candidatos em 1000 possam conseguir tal intento, nessas

condicoes (0, 0026× 1000 = 2, 6 ∼= 3).

73


14. Sim, pois de acordo com a tabela de distribuicao de probabilidades binomial abaixo, as

quantidades de candidatos obtidas pelo modelo binomial sao bem proximas das quanti-

dades observadas.

Valores E(X = k) E(X = k)X P(X = K)

observados Binomial aproximado

0 0,000105 0 0,104858 0

1 0,001573 5 1,572864 2

2 0,010617 10 10,61683 11

3 0,042467 40 42,46733 42

4 0,111477 110 111,4767 111

5 0,200658 200 200,6581 201

6 0,250823 250 250,8227 251

7 0,214991 220 214,9908 215

8 0,120932 120 120,9324 121

9 0,040311 40 40,31078 40

10 0,006047 5 6,046618 6

Soma 1000 1000 1000

15. 4 (quatro) motores

16. 360 recrutas

17. 0,9261 ou 92,61%

Se repetirmos essa pratica em 100 (cem) dias, com os mesmos dados, podemos esperar

que, em aproximadamente 93 (noventa e tres) dias os pacientes sejam atendidos dentro

do horario.

a) P (X = 5) ≥ 0, 1 ⇔(

5

5

)

p51(1 − p1)5−5 ≥ 0, 1 ⇔ p51 ≥ 0, 1 ⇔ p1 ≥ 0, 1

1

5 ∴

0, 631 ≤ p1 ≤ 1.

b) µ = n2 × p2 = 8 × 0, 75 = 6 (limite inferior) e (limite superior) 8 × 1 = 8 ∴

6 ≤ µ ≤ 8.

18. a) P (X = 10) = 0, 5 ⇔(

1010

)

p10(1 − p)10−10 = 0, 5 ⇔ p10 = 0, 5 ⇔ p = 0, 51

10 ∴

p ∼= 0, 933.

Resposta: Eu regularia o simulador inserindo a probabilidade “p” de sucesso igual a

0,933 e a quantidade de tiros “n” igual a 10.

b) µ = n× p = 15× 0, 88 = 13, 2 tiros.

74

MODELOS PROBABILISTICOS 6.2· Distribuicao Normal

6.2 Distribuicao Normal

A Distribuicao Normal e uma Distribuicao Contınua de Probabilidades, em que a variavel

aleatoria e uma variavel contınua, isto e, assume um numero infinito de valores que podem ser

representados por um intervalo no eixo real.

As distribuicoes normais ocupam posicao proeminente tanto na estatıstica teorica como na

aplicada, por varias razoes. Uma delas e que, com bastante frequencia, elas representam, com

boa aproximacao, as distribuicoes de frequencias observadas de muitos fenomenos naturais e

fısicos [...]. Todavia, o motivo mais importante da proeminencia da distribuicao normal e que

as distribuicoes tanto das medias como das proporcoes em grandes amostras, tendem a ser

normalmente distribuıdas, o que tem relevante implicacao na amostragem. As distribuicoes

normais foram “descobertas” no seculo XVIII. Astronomos e outros cientistas observaram, nao

sem certa surpresa, que mensuracoes repetidas de uma mesma quantidade (como a distancia

a Lua ou a massa de um objeto) tendem a variar, e quando se coletava grande numero dessas

mensuracoes, dispondo-as numa distribuicao de frequencia, elas se apresentavam repetidamente

com uma forma analoga a figura 6.1 (STEVENSON, William J. Estatıstica aplicada a admi-

nistracao. Traducao: Alfredo Alves de Farias. Sao Paulo. Harper & How do Brasil, 1981, p.

136.)

µµ−σ

Pontos de inflexão

Área total sob a curva = 1

µ+σ

Média aritmética da distribuição normal

Figura 6.1

O grafico da distribuicao normal e chamado de curva normal e possui as seguintes proprie-

dades:

75

6.2· Distribuicao Normal MODELOS PROBABILISTICOS

• A curva normal tem forma de sino e e simetrica em relacao a media.

• A media, a mediana e a moda sao iguais.

• A area total sob a curva normal e igual a 1 ou 100%.

• A curva normal se aproxima mais do eixo das abscissas a medida que se afasta da media

em ambos os lados, mas nunca toca o eixo. E assintotica.

• Existem dois pontos da curva normal em que a mesma muda de curvatura. Esses pontos

sao chamados de pontos de inflexao.

A funcao matematica f(x) da distribuicao normal com media µ e variancia σ2, e dada pela

seguinte expressao matematica:

f(x) =1

σ√2π

e−

(x− µ)2

2σ2 , com−∞ < x < +∞.

Como “π” e “e” sao constantes, a curva normal depende unicamente da media “µ” e da

variancia “σ2” da distribuicao. Por convencao a notacao para uma variavel aleatoria “X”

normalmente distribuıda e X : N(µ, σ2). A notacao: Y : N(80, 64) quer dizer que “Y ” e uma

variavel aleatoria normalmente distribuıda em torno da media 80, com variancia 64.

A DISTRIBUICAO NORMAL PADRAO

Existem infinitas distribuicoes normais, cada uma com sua propria media e desvio-padrao,

mas a distribuicao normal com media zero e desvio-padrao um e chamada de distribuicao

normal padrao. Logo, Z : N(0, 1).

A escala horizontal do grafico da distribuicao normal padrao utiliza o chamado “escore z

padronizado”.

Escore z e uma medida que indica o numero de desvios-padrao no qual um dado valor “x”

se afasta da media.

Os escores z padronizados sao obtidos atraves da seguinte mudanca de variavel:

z =x− µ

σ

Qualquer distribuicao normal pode ser transformada em uma distribuicao normal padrao,

pelo calculo do escore “z”. Por exemplo, vamos obter a area sob a curva a direita da abscissa

76


x = 73 kg, como mostra a figura 6.2. Padronizando-se o valor 73 kg, obtemos o valor z = 1, 3.

A area sob a curva a direita da abscissa z = 1, 3 e a area A, que e a mesma area a direita da

abscissa x = 73 kg. Consultando a tabela de areas sob a curva normal padronizada verificamos

que a area A e igual a 0,0968 ou 9,68%, que representa a porcentagem da populacao em questao

com pesos maiores ou iguais a 73 kg. O valor 0,0968 representa tambem a probabilidade de

um elemento da populacao ter peso maior ou igual a 73 kg. Em termos de notacao matematica

escrevemos P (X ≥ 73 kg)= 0, 0968.

Se tivessemos que calcular uma area (probabilidade) usando a variavel “X” terıamos que

fazer a integracao usando a funcao f(x) da distribuicao normal, o que seria extremamente

trabalhoso. Com a distribuicao normal padrao, os calculos de areas (probabilidades) ficaram

bastante simplificados.

30 40 50 60 70 80 90

−3 −2 −1 0 1 2 3

X (kg)

Z

µ = 60 kg

σ = 10 kg

1,3

73

A

A

Figura 6.2

77


A QUESTAO DAS PROBABILIDADES NAS DISTRIBUICOES CONTINUAS

Ao trabalharmos com variaveis discretas, podemos usar a definicao classica de probabilidade

que e “a razao entre o numero de ocorrencias de um evento pelo numero total de provas ou

observacoes do espaco amostral”. Assim, por exemplo, a probabilidade de saıda de um numero

primo no lancamento de um dado e 3/6 = 0, 5, pois o evento numero primo e o conjunto

{2, 3, 5}, que possui 3 (tres) elementos e o espaco amostral do lancamento do dado e o conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6}, que possui 6 (seis) elementos.

Quando trabalhamos com distribuicoes de probabilidades contınuas, a probabilidade de a

variavel assumir um determinado valor e sempre zero. Por exemplo, a probabilidade

P (X = 73 kg) = 0 (figura 6.2). Se aplicassemos a definicao classica de probabilidade, terıamos

uma possibilidade (o valor 73 kg) dividida por uma quantidade que tenderia ao infinito, pois

como a variavel e contınua (pertence ao conjunto dos numeros reais) seria impossıvel precisar o

numero de valores, por exemplo, no intervalo [30 kg, 90 kg] (figura 6.2). Assim, a razao entre a

unidade e uma quantidade que tenderia ao infinito, tende a zero, segundo a teoria dos limites.

Por isso, para qualquer “x”, P (X = x) = 0.

Nas distribuicoes contınuas, especificamente no caso da normal, vamos calcular a probabili-

dade de uma variavel assumir um valor em um intervalo, como P (X ≥ 73 kg) (figura 6.2), que

se traduzira sempre pela area sob a curva, nesse intervalo.

Decorrente do que foi explicado no paragrafo anterior, teremos as seguintes equivalencias:

P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b).

USANDO A TABELA NORMAL PADRAO

Conforme vimos no exemplo com base nos dados da figura 6.2, as areas sob a curva normal

sao obtidas utilizando-se a tabela normal padronizada, apos a mudanca de variavel (X para

Z). O valor “z” obtido representa a quantidade de desvios-padrao que o valor “x” dista (para

mais ou para menos) da media “µ”. A media passa a servir como ponto de referencia (origem)

e o desvio-padrao como unidade de medida.

A tabela de areas sob a curva normal padronizada (tabela Z, apendice B) fornece a area

sob a curva contida no intervalo [z0,+∞), z0 ≥ 0, isto e, a probabilidade de um valor estar

presente naquele intervalo. A porcao sombreada da figura 6.3 corresponde a area sob a curva

que pode ser lida diretamente na tabela. Nota-se que a media da distribuicao agora e 0 (zero),

pois a media esta a distancia 0 de si mesma.

78


0 z0

Figura 6.3

Como a distribuicao normal e simetrica em torno de sua media, a metade esquerda da area sob

a curva e a imagem reflexa da metade direita. Em razao de tal simetria, costuma-se dar apenas

a metade da distribuicao numa tabela. Em outras palavras, para cada area a direita existe

uma area simetrica correspondente a esquerda. E comum apresentar a tabela para a metade

direita da distribuicao. Entao, se necessitamos determinar uma area na metade esquerda,

correspondente a um escore “z” negativo, basta procurarmos na tabela o escore “z” positivo

correspondente.

A area sob a curva normal padronizada no intervalo [1,+∞) e igual a area sob a curva no

intervalo (−∞,−1], conforme se ve na figura 6.4.

10 −1 0 Z

Figura 6.4

A tabela Z (apendice B) que usaremos em nossos estudos e apresentada em termos de

valores de “z” com duas casas decimais, tais como 2,78, 1,04 e 2,45. Os valores de “z” vem

decompostos em duas partes: os valores da parte inteira e da primeira decimal integram a

coluna da esquerda, enquanto que a segunda decimal aparece na primeira linha. Nos exemplos

a seguir vamos obter algumas areas para ilustrar o uso da tabela.

Exemplo 1: determinar a probabilidade P (Z ≥ 1, 25), que corresponde a area sob a curva

compreendida no intervalo [1, 25,+∞).

Solucao:

Devemos primeiro localizar 1,2 na coluna da esquerda e, em seguida, 0,05 na primeira linha.

A area sera entao dada pelo numero formado pela intersecao da linha 1,2 e da

79


coluna 0,05. O valor obtido e 0,1056. Logo P (Z ≥ 1, 25) = 0, 1056 ou P (Z ≥ 1, 25) =

10, 56%, que representa a area sob a curva normal padrao no intervalo [1, 25,+∞).

Exemplo 2: determinar a probabilidade P (Z ≤ −1, 25), que corresponde a area sob a curva

compreendida no intervalo (−∞,−1, 25].

Solucao:

Pela propriedade da simetria (vide figura 6.4), sabemos que a area correspondente a pro-

babilidade P (Z ≥ 1, 25) e a mesma correspondente a probabilidade P (Z ≤ −1, 25). Portanto,

P (Z ≤ −1, 25) = 0, 1056 ou 10,56%.

Exemplo 3: determinar a probabilidade P (−1, 25 ≤ Z ≤ +1, 25), que corresponde a area

sob a curva compreendida no intervalo [−1, 25;+1, 25] , conforme a figura 6.5.

Solucao:

1,250−1,25 Z

Figura 6.5

Dos exemplos 1 e 2 sabemos que P (Z ≥ 1, 25) = P (Z ≤ −1, 25) = 0, 1056. Como a area

total sob a curva e igual a 1, temos:

P (−1, 25 ≤ Z ≤ +1, 25) = 1− 2× 0, 1056 = 0, 7888 ou 78, 88%.

Exemplo 4: determinar a probabilidade P (1 ≤ Z ≤ 2), que corresponde a area sob a curva

compreendida no intervalo [1, 2] , conforme a figura 6.6.

Queremos a area entre z = 1 e z = 2; entao devemos achar a area a direita

de z = 1 (0,1587) e subtrair da area a direita de z = 2 (0,0228), ou 0, 1587− 0, 0228 = 0, 1359.

Logo, P (1 ≤ Z ≤ 2) = 0, 1359 ou 13,59%.

0 +1 +2Z

Figura 6.6

80


DETERMINANDO PROBABILIDADES PARA DISTRIBUICOES NORMAIS

Exemplo 5: uma industria de computadores realizou um levantamento com uma populacao

de pessoas que usa “notebooks” e verificou que o tempo de uso dos equipamentos, em anos,

antes da aquisicao de uma nova maquina, e uma variavel X, tal que X : N(2, 4 anos; 0,25

anos2).

Para fins de planejamento de “marketing”, a industria quer saber a porcentagem da po-

pulacao que troca seus computadores entre:

a) 2,8 e 3,2 anos;

b) 2,4 e 2,8 anos;

c) 2,0 e 2,4 anos;

d) 1,6 e 2,0 anos;

e) 1,6 e 3,2 anos.

Solucao

ComoX : N(2, 4 anos; 0,25 anos2), temos: µ = 2, 4 anos e σ2 = 0, 25 ano2. Logo, σ =√0, 25

ou seja, σ = 0, 5 ano. Para facilitar a visualizacao, vamos definir as areas A, B, C e D, conforme

se observa na figura 6.7.

2,42,0 2,8 3,2 X (anos)

1,6

BC AD

Figura 6.7

a) Para obter a area A, basta padronizarmos os valores 2,8 e 3,2 anos.

Para 2,8 temos: z =2, 8− 2, 4

0, 5= 0, 8 e para 3,2 temos: z =

3, 2− 2, 4

0, 5= 1, 6.

O valor padronizado 0,8 (referente a x = 2, 8) retorna a area 0,2119 e o valor padronizado

1,6 (referente a x = 3, 2) retorna a area 0,0542 (tabela de areas sob a curva normal

padronizada).

Assim, P (2, 8 ≤ X ≤ 3, 2) = 0, 2119− 0, 0548 = 0, 1571 ou 15, 71%.

81


b) Ja temos os dados para obter a area B.

A area a direita da abscissa z = 0, 8 (referente a x = 2, 8) e 0,2119. Como a area a direita

da abscissa z = 0, 0 (referente a x = 2, 4) e 0,5, temos:

P (2, 4 ≤ X ≤ 2, 8) = 0, 5− 0, 2119 = 0, 2881 ou 28, 81%.

c) Pelo princıpio da simetria a regiao C e simetrica a regiao B.

Logo, P (2, 0 ≤ X ≤ 2, 4) = 0, 2881 ou 28, 81%.

d) Pelo princıpio da simetria a regiao D e simetrica a regiao A.

Logo, P (1, 6 ≤ X ≤ 2, 0) = 0, 1571 ou 15, 71%.

e) Somando as areas A, B, C e D obtemos a totalizacao pedida. Assim,

A + B + C + D = P (1, 6 ≤ X ≤ 3, 2) = 15, 71 + 28, 81 + 28, 81 + 15, 71 = 89, 04%.

82


EXERCICIOS

1. Determine a area sob a curva normal padronizada.

a) Entre z = 0 e z = 1, 2;

b) Entre z = −0, 68 e z = 0;

c) Entre z = −0, 46 e z = 2, 21;

d) Entre z = 0, 81 e z = 1, 94;

e) A direita de z = −1, 28.

2. O peso medio de uma populacao de 500 cadetes da AMAN e 70 kg e o desvio-padrao

e 12 kg. Supondo que os pesos se distribuam normalmente, determine quantos cadetes

espera-se encontrar na faixa de pesos entre 58 kg e 82 kg.

3. Com base no exercıcio anterior, se considerarmos o custo adicional de R$ 10,00 por cadete

com peso superior a 92 kg, na confeccao de seu uniforme, qual sera o gasto adicional

esperado?

4. O diametro interior medio de arruelas produzidas por uma maquina e de 0,502 polegada

e desvio-padrao 0,005 polegada. Tolera-se dimensoes, para os diametros, entre 0,496 e

0,508 polegada (fora desses limites as arruelas sao rejeitadas). Determine a porcenta-

gem de arruelas defeituosas (rejeitaveis) produzidas pela maquina supondo os diametros

distribuıdos normalmente.

5. O peso das latas de pessego de determinada marca tem distribuicao normal com media

1000 g e desvio-padrao 40 g. Retirada uma lata de um grande lote de latas, pede-se

calcular a probabilidade de que o peso dessa lata seja:

a) Menor que 990 g;

b) Maior que 1060 g;

c) Um valor entre 950 e 1050 g.

6. Os depositos mensais na caderneta de poupanca tem distribuicao normal com media igual

a R$ 500,00 e desvio-padrao R$ 150,00. Calcular a probabilidade de que um deposito,

escolhido ao acaso, seja igual ou menor que R$ 650,00.

83


7. Uma serie de observacoes tem distribuicao normal com media 200 e desvio-padrao 10.

Calcular a probabilidade de que um elemento da serie, escolhido aleatoriamente, tenha

um valor compreendido:

a) Dentro de dois desvios-padrao ao redor da media;

b) Dentro de tres desvios-padrao ao redor da media.

8. No ano passado, o vendedor Jota de uma grande empresa de alimentos teve um movimento

de vendas de R$ 1.350.000,00. O vendedor afirma que esse valor esta entre os 5% maiores

em relacao as vendas naquele ano. Se as vendas realizadas por todos os vendedores

tem distribuicao normal com media igual a R$ 1.250.000,00 e desvio-padrao igual a R$

100.000,00, pede-se verificar se a afirmacao do vendedor e correta.

9. Suponha que um sistema avalie o aluno dentre seis possıveis conceitos: A, B, C, D, E ou

F. Observe, na tabela abaixo, que os 5% melhores sao os de conceito A; os proximos 20%

melhores sao os de conceito B, e assim por diante.

Conceito A B C D E F

Porcentagem 5% 20% 25% 25% 20% 5%

Dentro deste sistema de avaliacao, o aluno recebe graus de 0 a 100 e, ao final de todas

as avaliacoes, ele tera um grau unico correspondente a media ponderada de acordo com

o tipo de pauta avaliada.

Sabe-se que este ano os alunos obtiveram avaliacoes cuja distribuicao segue aproximada-

mente o modelo normal, com media 65 e variancia 324 conforme a figura abaixo.

40 50 60 70 80 90 X

A nota de cada aluno ja e conhecida, porem, o que interessa e classificar os alunos dentro

dos seus respectivos conceitos.

84


a) Ache uma solucao para o problema com as informacoes disponıveis.

b) O aluno Pietro recebeu as seguintes notas em cinco atividades distintas:

Atividade Peso Nota

J 3 70

K 1 90

L 2 60

M 3 65

N 1 95

Obtenha a nota final e a classificacao do aluno (conceito).

c) Qual e a probabilidade de um aluno receber avaliacao acima de 90?

d) Qual e a probabilidade de um aluno receber avaliacao acima do valor mediano?

e) Qual e a probabilidade de um aluno receber avaliacao abaixo da moda?

10. A media do ultimo ano, da corrida de 12 minutos, do 1o TAF dos recrutas, em determinada

Organizacao Militar foi de 2758 metros, com desvio-padrao de 38 metros. Considerando

que a variavel segue uma distribuicao normal, faca uma projecao para o presente ano, do

percentual de recrutas que:

a) Nao atinjam a suficiencia para o Padrao Basico de Desempenho - PBD (deve ser atin-

gido no 1o TAF), ou seja, obtenham valores menores ou iguais a

2699 m (conceito INSUFICIENTE).

b) Obtenham, ja a partir do 1o TAF, a suficiencia para o Padrao Avancado de Desem-

penho - PAD (que deve ser atingido no 2o TAF), ou seja, obtenham 2800 m ou mais

(conceito B ou acima).

11. Considere que o peso da mochila, dos equipamentos e do armamento que um cadete

carrega em um dos estagios desenvolvidos pela Secao de Instrucao Especial, tem valor

fixo de 30 kg. Sabe-se que cada quilograma que o combatente carrega alem dos 30% do

seu peso corporal, acarreta perda de 1% de atencao ao longo do exercıcio. Assim, um

cadete que pesa 70 kg carrega 9 kg alem dos 30% do seu peso corporal, pois 30% de 70

kg corresponde a 21 kg (maximo que ele poderia carregar sem deficit de atencao) e 30

kg menos 21 kg resulta em 9 kg. Deste modo, ele tera um deficit de atencao da ordem

de 9%. Sabe-se, ainda, que os pesos dos cadetes seguem uma distribuicao normal de

probabilidades, com media 70 kg e desvio-padrao 10 kg, e que um deficit de atencao de

15% corresponde ao estado de uma pessoa embriagada.

85


a) Calcule a porcentagem de cadetes que tera um deficit de atencao de 6% ou mais, ao

final de um estagio. Apresente os calculos.

b) Calcule a porcentagem de cadetes que tera um deficit de atencao de 15% ou mais,

ao final de um estagio. Apresente os calculos.

12. Determinado Deposito de Suprimentos (D Sup) fara a aquisicao de lampadas economicas,

cuja garantia e de 18 (dezoito) meses, ao custo de R$10,00 cada, para que as Organizacoes

Militares por ele atendidas substituam todas as 10000 (dez mil) lampadas em uso atu-

almente. Sabe-se que “X” e a variavel tempo de vida util das lampadas, em meses, e

que X : N(30, 36). Se o D Sup deseja adquirir uma quantidade de lampadas para dois

anos, com um acrescimo de 5% em relacao a essa quantidade, determine, a luz do calculo

probabilıstico, o custo da aquisicao. Apresente os calculos.

13. Uma Organizacao Militar dispoe de um salao onde serao colocadas cadeiras para uma

palestra. A figura 1 mostra que serao dispostos no salao dois blocos de cadeiras, cada

qual com quatro colunas de cadeiras e que “C” e o comprimento util para se dispor “n”

fileiras. A figura 2 apresenta a distancia mınima “D” do joelho da pessoa ao encosto da

cadeira da frente para haver comodidade; a distancia “L” e definida como a distancia entre

o inıcio do assento ate o joelho da pessoa, sendo “L” uma variavel aleatoria normalmente

distribuıda, tal que L : N(58, 1 cm; 6, 25 cm2); “E” representa a espessura do encosto e

“T” a distancia entre fileiras, tal que T = D + L + E. Dados: C = 18 m; D = 3, 5 cm;

E = 5, 5 cm.

Figura 1 Figura 2

Determinar o numero maximo de cadeiras que o salao comporta, para que 97,5% dos

ocupantes se acomodem bem. Apresente os calculos.

86


14. Durante a manobra escolar de 2016, foi apresentado o seguinte problema: “os cadetes

encarregados da parte de logıstica deverao escolher entre os caminhos A e B para levar

suprimentos a um posto estrategico, sendo desejavel que o tempo de deslocamento seja

de ate 20 minutos”. Verificou-se que os tempos para percorrer os caminhos A e B, em

minutos (TA e TB respectivamente) seguem uma distribuicao normal, de modo que as

variaveis TA : N(18; 25) e TB : N(19; 4).

a) Para cada caminho (A e B), calcule a porcentagem de viagens para transporte de

suprimentos, que atenderiam o tempo desejavel de entrega. Apresente os calculos

necessarios com aproximacao de 4 (quatro) casas decimais.

b) Em funcao dos calculos (letra a), qual dos caminhos deveria ser escolhido? Justifique

sua resposta.

87



1. a) 0,3849

b) 0,2517

c) 0,6636

d) 0,1828

e) 0,8997

2. P (58 < X < 82) = 0, 6826 E(X) = 341, 3 cadetes

3. P (X > 92) = 0, 0336 E(X) = 16, 8 cadetes. Gasto Adicional = R$ 168,00

4. 23,02%

5. a) 0,4013

b) 0,0668

c) 0,7888

6. 0,8413

7. a) 0,9544

b) 0,9974

8. 5% dos vendedores da empresa que mais venderam no ano passado venderam, pelo menos,

R$ 1.414.500 (z0 = 1, 645). Como o vendedor JOTA vendeu R$ 1.350.000,00, ele nao

pertence ao grupo dos 5% dos vendedores que mais venderam.

Outra solucao: padronizando R$ 1.350.000,00, obtemos z = 1, como P (z > 1) = 15, 87%

vemos que o vendedor JOTA nao se encontra no grupo dos 5% vendedores que mais

venderam.

9. a) Sabe-se que as notas sao aproximadamente N(65, 182).

A solucao e achar as abscissas correspondentes as areas pre-definidas sob a curva

normal.

5% 20% 25% 25% 20% 5%F E D C B A

z5 z4 z3 z2 z1

88


z1 = (x1 − 65)/18 = 1, 645 => x1 = 94, 61

z2 = (x2 − 65)/18 = 0, 67 => x2 = 77, 06

z3 = (x3 − 65)/18 = 0 => x3 = 65

z4 = (x4 − 65)/18 = −0, 67 => x4 = 52, 94

z5 = (x5 − 65)/18 = −1, 645 => x5 = 35, 39

NOTA CONCEITO

94,61 | | 100 A

77,06 | 94,61 B

65,00 | 77,06 C

52,94 | 65,00 D

35,39 | 52,94 E

0 | 35,39 F

b) conceito C

c) P (X > 90) = P [Z > (90− 65)/18] = P (Z > 1, 39) = 0, 0823

d) 50%

e) 50%

10. a) 6,06%

b) 13,35%

11. a) Pela definicao, um deficit de 6% corresponde a um peso extra de 6 kg. Logo, o que

se pode carregar e um peso de 30 kg - 6 kg = 24 kg. Portanto, x × 0, 3 = 24 kg e

x = 80 kg.

z =x− µ

σ⇔ z =

80− 70

10⇔ z = 1

P (X ≤ 80) = 1− P (Z > 1) = 1− 0, 1587 = 0, 8413 ou 84, 13%

b) Pela definicao, um deficit de 15% corresponde a um peso extra de 15 Kg. Logo, o

que se pode carregar e um peso de 30 Kg - 15 Kg = 15 Kg. Portanto, x× 0, 3 = 15

Kg e x = 50 Kg.

z =x− µ

σ⇔ z =

50− 70

10⇔ z = −2 P (X ≤ 50) = 0, 0228 ou 2, 28%

12. Ate 18 meses o fabricante garante a substituicao das lampadas que queimarem. Queremos

determinar, portanto, a porcentagem de lampadas que duram entre 18 e 24 meses.

89


Como X : N(30, 36), entao µ = 30 meses e σ =√36 = 6 meses

Logo, queremos calcular a seguinte probabilidade: P (18 < X < 24).

P (18 < X < 24) = P (18− 30

6< Z <

24− 30

6) = P (−2 < Z < −1) = 0, 1587−0, 0228 =

0, 1359

Assim, entre 18 e 24 meses e preciso substituir 13,59% das 10000 lampadas, ou seja, 1359

lampadas. O no de lampadas a serem adquiridas, sem a reserva de 5% e 10000 + 1359 =

11359.

A reserva de 5% e 0, 05 × 11359 = 567, 95 ∼= 568 lampadas. A quantidade final a ser

adquirida e 11359 + 568 = 11927.

O custo para atender as OM durante dois anos e, portanto, 11927×10, 00, ou R$119.270,00.

13. 200 cadeiras.

14. a) Caminho A, 65,54% e caminho B, 69,15%.

b) O caminho B devera ser escolhido, pois a porcentagem de viagens com no maximo

vinte minutos no caminho B e 69,15%, maior do que a porcentagem de viagens com

no maximo vinte minutos no caminho A, que e de 65,54%.

90

Capıtulo 7

DISTRIBUICOES AMOSTRAIS

INFERENCIA ESTATISTICA

A Inferencia Estatıstica abrange certos julgamentos sobre um todo (populacao) apos

examinar apenas parte do todo (amostra). Quando passamos os olhos sobre um novo livro

para examinar o seu conteudo ou trocamos os canais da televisao para escolher um programa,

estamos de certa forma, fazendo amostragem.

A inferencia tem por objetivo produzir afirmacoes sobre uma dada caracterıstica da po-

pulacao, a partir de informacoes colhidas de uma amostra obtida dessa populacao. A carac-

terıstica em estudo normalmente e tratada como uma variavel aleatoria.

Na inferencia (ou inducao), com base em uma amostra conhecida, tiramos conclusoes

sobre a populacao desconhecida. A inferencia faz o caminho do particular para o geral (da

amostra para a populacao), como podemos observar na figura 7.1. O inverso seria deducao que

vai do geral para o particular.

Qual sera a media das

notas de todo o 1o ano(populacao)?

Amostra das notas da

Avaliacao de Controle

de Estatıstica

INFERENCIA(INDUCAO)

Figura 7.1

91


A teoria da amostragem, com base nos conceitos de inferencia, faz estimativas de

parametros (referem-se a medidas populacionais) desconhecidos, usando, nestas avaliacoes,

as medidas amostrais.

Assim e que uma media amostral x e utilizada para avaliar a media populacional µ e uma

variancia amostral s2 e utilizada para avaliar a variancia populacional σ2.

Ha varios tipos de amostragem. Em nosso curso, abordaremos somente amostragem

aleatoria simples (AAS).

Este tipo de amostragem probabilıstica somente e recomendavel se a populacao for ho-

mogenea em relacao a variavel de interesse. Atribuem-se numeros aos elementos da populacao

e, atraves de sorteio (tabela de numeros aleatorios ou numeros aleatorios gerados por computa-

dor) os integrantes da amostra sao selecionados. Na amostragem aleatoria simples, quaisquer

elementos da populacao tem, em um unico sorteio, a mesma probabilidade de per-

tencer a amostra. Por exemplo, se a populacao tem 100 (cem) elementos, quaisquer deles

tem a probabilidade de 1/100 de ser sorteado.

AMOSTRAGEM COM E SEM REPOSICAO

Quando retiramos um numero de uma urna, devemos decidir se ele sera ou nao reposto na

mesma, antes da segunda extracao. No primeiro caso, o numero pode aparecer varias vezes,

enquanto, que no segundo, ele so pode aparecer uma unica vez. A amostragem em que cada ele-

mento de uma populacao pode ser escolhido mais de uma vez e denominada amostragem com

reposicao, enquanto, se cada elemento nao pode ser escolhido mais de uma vez, e denominada

amostragem sem reposicao.

A extracao de todos os itens de uma amostra de uma so vez deve ser reconhecida como uma

amostragem sem reposicao.

Nos estudos subsequentes deste assunto, necessitaremos saber se a amostragem foi feita com

ou sem reposicao.

VARIABILIDADE AMOSTRAL

Vimos que uma media amostral x e utilizada para estimar a media populacional µ e uma

variancia amostral s2 e utilizada para estimar a variancia populacional σ2.

A Inferencia Estatıstica e uma parte extremamente importante da Estatıstica que nos per-

mite fazer essas estimativas.

92


Vamos supor uma pequena populacao constituıda dos pesos, em quilogramas (kg), de nove

cadetes. Mostramos no quadro abaixo a populacao e tres amostras, dela sorteadas.

POPULACAO MEDIA AMOSTRA MEDIAS xi

68 67 69 No 1 68 63 64 x1 = 65 Kg

73 64 72 µ = 68 kg No 2 72 69 63 x2 = 68 Kg

70 63 66 No 3 71 75 70 x3 = 72 Kg

A variavel “X ” refere-se aos pesos, em kg, da populacao, que e representada pelo conjunto

{x1 = 63, x2 = 64, ..., x9 = 73}. A variavel X refere-se as medias de todas as amostras possıveis

de tres elementos cada, sorteadas da populacao.

Observe que houve uma variacao na media amostral, chamada de variabilidade amostral,

e esta variacao precisa ser considerada quando sao realizadas as inferencias sobre os parametros.

A variabilidade amostral esta associada ao tamanho da amostra e tambem a propria

variabilidade da populacao. Quanto maior a amostra, menor a variabilidade amostral e quanto

maior a variabilidade da populacao maior a variabilidade amostral.

Na figura 7.2 observa-se que a medida que o tamanho da amostra aumenta, iniciando com

n = 40 ate n = 100, a variabilidade amostral vai diminuindo.

Distribuição da variável X

Distribuição de médias amostraisAs médias amostrais tendem a grupar−se em torno da média populacional

n=40

n=60

n=80

n=100

Média populacional

X

Média populacional

X

Figura 7.2

93

7.1· Distribuicao da Media Amostral DISTRIBUICOES AMOSTRAIS

7.1 Distribuicao da Media Amostral

Podemos obter de cada uma das amostras possıveis (de tamanho n), selecionadas de uma

populacao conhecida, estatısticas como a media e a variancia, que, como sabemos, variam de

amostra para amostra. De posse dos valores da estatıstica de todas as amostras, podemos

montar a respectiva distribuicao amostral.

Uma distribuicao amostral e uma distribuicao de probabilidades que mostra as variacoes da

estatıstica amostral devido as variacoes casuais na amostragem aleatoria.

Para inferir sobre a media populacional “µ”, e fundamental conhecer o comportamento

da media amostral X. Tal conhecimento pode ser obtido atraves da distribuicao de medias

das amostras, a qual denominamos distribuicao da media amostral (DMA), que indica quao

provaveis sao as diversas medias amostrais. Para cada combinacao de “µ”, “σ” e “n” (respec-

tivamente media populacional, desvio-padrao populacional e tamanho da amostra) havera uma

unica DMA, que e funcao dos valores de “µ”, “σ” e “n”.

PASSOS PARA A MONTAGEM DE UMA DMA

Para montar uma distribuicao da media amostral, conhecida uma populacao da qual vamos

estudar uma variavel de interesse (como por exemplo, estaturas, em centımetros, pesos, em

quilogramas), vamos proceder da seguinte maneira:

• Obtencao das amostras: retiramos todas as amostras possıveis de tamanho n;

• Calculo da estatıstica: para cada amostra, calculamos o valor da sua media;

• Tabulacao: montamos uma tabela de DF dos xi obtidos, que constitui a DMA.

MONTAGEM DE UMA DMA E CALCULO DE SUA MEDIA, VARIANCIA

E DESVIO-PADRAO

Exemplo 1: vamos montar uma DMA de amostras de tamanho n = 2, retiradas com re-

posicao de uma populacao de tamanho N = 3, representada pelo conjunto {1, 2, 3} e calcular

a media, a variancia e o desvio-padrao da DMA.

Antes, vamos calcular, respectivamente, a media, a variancia e o desvio-padrao da po-

pulacao.

94

DISTRIBUICOES AMOSTRAIS 7.1· Distribuicao da Media Amostral

µX =1 + 2 + 3

3= 2 σ2

X=

(1− 2)2 + (2− 2)2 + (3− 2)2

3=

2

3σX =

√

2

3=

√2√3

OBTENCAO DAS AMOSTRAS E CALCULO DAS RESPECTIVAS MEDIAS

1o no sorteado 2o no sorteado Amostra Media xi

1 {1, 1} 1,0

1 2 {1, 2} 1,5

3 {1, 3} 2,0

1 {2, 1} 1,5

2 2 {2, 2} 2,0

3 {2, 3} 2,5

1 {3, 1} 2,0

3 2 {3, 2} 2,5

3 {3, 3} 3,0

CALCULO DA MEDIA, VARIANCIA E DESVIO-PADRAO DA DMA

A media da DMA, designada por “µX”, foi µX = 2 e a media da populacao foi µX = 2.

Assim, verifica-se a igualdade µX = µX = 2.

Calculemos a variancia das medias xi.

σ2X=

(1− 2)2 + 2(1, 5− 2)2 + 3(2− 2)2 + 2(2, 5− 2)2 + (3− 2)2

9=

1

3

A variancia da DMA, designada por “σ2X”, foi σ2

X= 1/3 e a variancia da populacao foi

σ2X= 2/3. Assim, verifica-se a igualdade a seguir:

σ2X=

σ2X

n=

2/3

2=

1

3

O desvio-padrao da DMA, designado por “σX”, foi σX = 1/√3 e o desvio-padrao da po-

pulacao foi σX =√2/√3. Assim, verifica-se a igualdade a seguir:

σX =σX√n=

√2/√3√

2=

1√3

95


MEDIA, VARIANCIA E DESVIO-PADRAO DE UMA DMA

No Exemplo 1 observamos algumas relacoes entre a media, a variancia e desvio-padrao de

uma populacao e a media, a variancia e desvio-padrao de uma DMA. Demonstra-se que tanto

para amostragem com reposicao quanto para a amostragem sem reposicao, a media da

DMA µX , e igual a media populacional µX, ou seja, µX = µX.

Para amostragem com reposicao, demonstra-se que a variancia da DMA σ2Xe igual a

variancia populacional σ2Xdividida pelo tamanho da amostra n, ou seja,

σ2X=

σ2X

n

O desvio-padrao da DMA σX, tambem conhecido como erro-padrao da media, para

amostragem com reposicao, e dado por:

σX =

√

σ2X

n=

σX√n

Para amostragem sem reposicao, demonstra-se que a variancia σ2

Xda DMA e igual a

variancia populacional σ2Xdividida pelo tamanho da amostra n, tudo multiplicado por um fator

de correcao para populacao finita, que e funcao do tamanho da populacao (N) e do tamanho

da amostra (n), a saber:

σ2X=

σ2X

n

(

N − n

N − 1

)

Para amostragem sem reposicao o desvio-padrao da DMA σX e dado por:

σX =σX√n

√

N − n

N − 1

96


Formulario

Medidas da Distribuicao da Media AmostralAmostragem

Media µX Variancia σ2X

Desvio-Padrao σX

com reposicao σ2X=

σ2X

nσX =

σX√n

sem reposicao

µX = µX

σ2X=

σ2X

n

(

N − n

N − 1

)

σX =σX√n

√

N − n

N − 1

Para fins de simplificacao dos calculos, adotamos a seguinte regra pratica:

REGRA PRATICA: vamos considerar que a amostragem foi feita com reposicao sempre

que o tamanho “n” da amostra for menor ou igual a 5% do tamanho “N” da populacao

(n ≤ 0, 05×N); na pratica vamos testar se a relacao n/N ≤ 0, 05 se verifica.

Isto significa que, para amostras em que n ≤ 0, 05×N , a variancia da DMA para amostragem

sem reposicao e aproximadamente igual a da amostragem com reposicao:

σ2X

n

(

N − n

N − 1

)

∼= σ2X

n

E facil ver que se o tamanho da amostra representar 5% ou menos do tamanho da populacao,

o fator de correcao para populacao finita sera aproximadamente igual a 1. O exemplo a seguir

mostra tal fato.

Exemplo 2: retirou-se uma amostra, sem reposicao, de tamanho n = 11, de uma populacao

de tamanho N = 501; mostre que o fator de correcao para populacao finita e aproximadamente

igual a 1.

Comon

N=

11

501∼= 0, 022 a relacao

n

N≤ 0, 05 se verifica e o fator de correcao para populacao

finita deve ser entao aproximadamente igual a 1. Senao vejamos:

N − n

N − 1=

501− 11

501− 1= 0, 98. Assim, σ2

X

∼= σ2X

n.

Observacao: evidentemente que, quando a amostragem for sem reposicao, o resultado preciso

sera obtido com o uso da formula correta; entretanto, em muitas situacoes, desconhecemos o

97


valor de N , mas sabemos que n ≤ 0, 05×N ; deste modo podemos resolver o problema com o uso

da formula da variancia para amostragem com reposicao com um resultado bem aproximado.

TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL)

Vamos enunciar o Teorema Central do Limite (TCL), um dos conceitos mais importantes

na Estatıstica.

A distribuicao de medias das amostras tende para uma distribuicao normal de probabilidades

a medida que o tamanho da amostra aumenta.

Se a populacao tem distribuicao normal de probabilidades, a distribuicao de medias das

amostras obtidas dessa populacao tambem e normal, para qualquer tamanho de amostra.

Assim, se X : N(µX, σ2X), temos que X : N(µX, σ

2X).

Entretanto, se a populacao nao tem distribuicao normal de probabilidades, o TCL garante

que X ∼= N(µX, σ2X), ou seja, X sera aproximadamente normal, tanto melhor a aproximacao

quanto maior for o tamanho da amostra.

Assim, podemos enunciar a importantıssima consequencia do TCL: se a populacao nao tiver

distribuicao normal, as DMA serao aproximadamente normais para grandes amostras.

Consideraremos grandes amostras aquelas com pelo menos 30 (trinta) elementos, ou seja,

n ≥ 30.

Exemplo 3: extrai-se uma amostra de tamanho n = 49 de uma populacao muito grande,

conhecida, cuja media e µX = 20 metros e desvio-padrao e σX = 1, 4 metro.

1. Determine os seguintes parametros da DMA:

a) Media µX;

b) Desvio-padrao σX.

2. Qual a percentagem de medias amostrais que diferirao mais de 0,2 metro da media po-

pulacional tanto para cima quanto para baixo?

Antes da solucao, vamos fazer as seguintes consideracoes:

• O problema nao diz que a populacao tem distribuicao normal, mas como o tamanho da

amostra (n = 49) atende a condicao de grande amostra (n ≥ 30) podemos aplicar o

TCL, ja que X ∼= N(µX, σ2X).

98


• Nao sabemos se a amostragem foi feita com, ou sem reposicao. Entretanto, sabemos que

se trata de uma grande populacao. Isso nos permite considerar que “n ≤ 0, 05×N”, ou

seja, podemos usar, para o calculo de σX, a formula para amostragem com reposicao.

Solucao:

1. a) Sabemos que µX = µX. Assim, µX = 20 metros.

b) Sabemos tambem que σX =σX√n. Logo, σX =

1, 4√49

=1, 4

7= 0, 2 metro.

2. Queremos calcular P (X > 20 + 0, 2) + P (X < 20 − 0, 2), ou seja, P (X > 20, 2) +

P (X < 19, 8), que sao as areas sombreadas em cinza na figura 7.3.

19,8 20 20,2X (metros)

Figura 7.3

Por simetria verifica-se que a area sombreada a direita e igual a area sombreada a esquerda,

ou seja, P (X > 20, 2) = P (X < 19, 8). Assim, basta calcular a area da direita e o problema

estara resolvido. Padronizando o valor da direita (20,2 metros) temos:

z =x− µX

σX

=x− µX

σX/√n=

20, 2− 20

1, 4/√49

=0, 2

0, 2= 1 e P (X > 20, 2) = P (Z > 1)

A probabilidade para z = 1 (tabela de areas sob a curva normal padronizada) e igual a

0,1587. Logo, a probabilidade pedida e:

P (X > 20, 2) + P (X < 19, 8) = 0, 3174 ou 31, 74%

Exemplo 4: uma grande turma de alunos tem as notas, de uma determinada disciplina,

normalmente distribuıdas em torno da media 7,2, com desvio-padrao 0,9. Determine:

99


a) A probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente na turma tenha nota superior

a 8,0;

b) A probabilidade de que uma amostra de 10 alunos retirada desta populacao tenha nota

media superior a 8,0;

c) De a resposta para a letra “b” acima se a populacao nao fosse normalmente distribuıda.

Solucao:

a) P (X > 8, 0) = P (Z >x− µX

σX

) = P (Z >8, 0− 7, 2

0, 9) = P (Z > 0, 89) = 0, 1867 ou 18, 67%.

b) P (X > 8, 0) = P (Z >x− µX

σX

) = P (Z >8, 0− 7, 2

0, 9/√10

) = P (Z > 2, 81) = 0, 0025 ou 0, 25%.

c) O TCL diz que a distribuicao de medias das amostras tende para uma distribuicao normal

de probabilidades, a medida que o tamanho da amostra aumenta. Entretanto a DMA so

sera aproximadamente normal para grandes amostras (n ≥ 30). Logo, nao terıamos como

responder neste caso.

Exemplo 5: uma maquina de recobrir bombons e regulada para produzir um revestimento

de 3 mm de espessura; o processo tem distribuicao normal com desvio-padrao de 1 mm. Se o

processo funcionar como esperado (µX = 3 mm e σX = 1 mm), qual seria a probabilidade de se

extrair uma amostra, sem reposicao, de 25 bombons de um lote de 169 unidades e encontrar

um revestimento medio superior a 3,4 mm?

Solucao:

Tratando-se de amostragem sem reposicao e com n/N = 25/169 = 0, 1479 ou 14,79 %, que

e maior do que 5%, o erro-padrao e reduzido pelo fator de correcao para populacao finita.

Logo: σX =σX√n

√

N − n

N − 1=

1√25

√

169− 25

169− 1= 0, 1852 mm

P (X > 3, 4) = P (Z >3, 4− 3, 0

0, 1852) = P (Z > 2, 16) = 0, 0154 ou 1, 54%

Exemplo 6: um conjunto de forca usado para icar barcos de assalto em navios tem capa-

cidade para 8000 kg. Em cada barco de assalto, cujo peso e de 4700 kg, e recomendado o

transporte de 20 combatentes. Se cada combatente do Teatro de Operacoes pesa, equipado, em

100


media 108 kg com desvio-padrao de 12 kg, calcule a probabilidade de que um barco excepci-

onalmente transportando 10 combatentes a mais do que o recomendado, exceda a capacidade

do conjunto de forca. Considere amostragem com reposicao.

Solucao:

Temos µX = 108 kg e σX = 12 kg.

O numero de combatentes transportados e n = 20 + 10 = 30.

A reserva de capacidade para carga e 8000 kg - 4700 kg = 3300 kg.

O que se deseja calcular e P

(

X >3300 kg

30

)

= P (X > 110 kg).

O erro-padrao e σX =σX√n=

12√30

= 2,1909 kg.

Logo, P (X > 110) = P

(

Z >110− 108

2, 1909

)

= P (Z > 0, 91) = 0,1814 ou 18,14%.

101


EXERCICIOS

1. Um teleferico tem capacidade limite de 4000 quilos, correspondente a 50 pessoas. Supondo

que os pesos dos usuarios deste teleferico sejam normalmente distribuıdos, com media de

75 quilos e desvio-padrao de 18,5 quilos, calcule a probabilidade de que um grupo aleatorio

de 50 usuarios exceda a capacidade limite. Considere n/N ≤ 0, 05.

2. Supondo que o tempo de escolaridade de adultos de certo paıs (populacao muito grande)

seja normalmente distribuıdo, com media de 11,1 anos e desvio-padrao de 3 anos, calcule

a probabilidade de que em uma pesquisa aleatoria entre 25 adultos seja encontrada uma

media de tempo de escolaridade entre 10 e 12 anos.

3. Um determinado bote de borracha tem capacidade recomendada para 08 (oito) comba-

tentes ou no maximo 990 kg de carga. Os pesos da populacao de combatentes equipados

que usam os botes sao normalmente distribuıdos em torno da media 102,5 kg com desvio-

padrao de 9 kg. Considere n/N ≤ 0, 05. Determine a probabilidade de sobrecarga no

bote considerando-se uma tripulacao constituıda de 01 (um) combatente a mais do que a

capacidade recomendada.

4. Um helicoptero em teste nas unidades de Aviacao do Exercito, tem capacidade de carga de

passageiros de 720 kg, correspondendo a 08 (oito) combatentes. Sabendo-se que o peso de

todas as pessoas que serao transportadas sao normalmente distribuıdos com media 75 kg

e desvio-padrao 15 kg, qual a probabilidade de um grupo aleatorio de 08 (oito) militares

exceder a capacidade limite de carga da aeronave? Considere n/N ≤ 0, 05.

5. No paiol de municoes da AMAN, os cunhetes de municao tem os pesos normalmente

distribuıdos, com media 45 kg e desvio-padrao de 3 kg. Calcule a probabilidade do peso

medio de uma amostra aleatoria de 25 cunhetes situar-se entre 43 e 47 kg. Considere

n/N ≤ 0, 05.

6. Um fabricante de lampadas de 120 V informa no seu catalogo que seus produtos tem

vida util distribuıda normalmente com media de 800 horas e desvio-padrao de 200 horas.

Calcule a probabilidade de que uma amostra aleatoria de 25 lampadas instaladas na sua

unidade tenha, em media, vida util abaixo de 750 horas. Considere n/N ≤ 0, 05.

7. Os prazos de substituicao de aparelhos de TV tem distribuicao normal com media de 8,2

anos e desvio-padrao de 1,1 ano (com base nos dados do “Getting Things Fixed”, Con-

sumer Reports). Determine a probabilidade de 40 aparelhos de TV selecionados aleatoria-

102


mente terem prazo medio de substituicao inferior a 8,0 anos. Considere

n/N ≤ 0, 05.

8. De acordo com a International Mass Retail Association, as jovens de 13 a 17 anos de

idade gastam em compras uma media mensal de $31,20. Suponha que essas importancias

tenham um desvio-padrao de $8,27. Selecionadas aleatoriamente 85 jovens, qual e a

probabilidade de que a media de suas compras mensais fique entre $30,00 e $33,00?

Considere n/N ≤ 0, 05.

9. Voce, como Aspirante a Oficial de um Batalhao de Infantaria de Selva, recebe a missao

de montar uma nova pista de contraguerrilha. Nesta pista, ha alguns obstaculos com

cordas em que cada corda tem um unico suporte que resiste a uma carga de 300 Kg. Um

total de 42 militares equipados passarao pela pista e, nestas condicoes, o peso “X”, em

kg, dos militares deste grupo e tal que X : N(90 kg; 256 kg2). Para ganhar tempo, o

comandante do grupo decidiu que seus homens abordarao cada obstaculo em subgrupos

de 03 combatentes ao mesmo tempo. Determine a probabilidade de que um suporte

venha a ter sua capacidade de carga ultrapassada. Considere que a capacidade de carga

das cordas e suficiente para suportar o peso total de quaisquer tres combatentes.

10. A capacidade maxima de carga dos elevadores do Comando da AMAN e de 490 kg ou

07 (sete) pessoas. Sabe-se que o fabricante dimensiona a capacidade real de carga com

um acrescimo de 15% em relacao ao anunciado (490 kg), como medida de seguranca, e

que o peso “X”, em Kg, da populacao que usa os elevadores e tal que X : N(70 kg; 175

kg2). Sabe-se ainda, que apos a instalacao dos elevadores colocou-se em cada um deles

piso de granito cujo peso e de 70 kg. Voce, Oficial servindo nesta Academia, atendendo

determinacao do Subcomandante, deve calcular a probabilidade de uma amostra de 07

(sete) pessoas ultrapassar a capacidade real de carga dos elevadores. Considere que o

tamanho da populacao e muito grande em relacao ao tamanho da amostra. Apresente os

calculos.

103



1. 2,81%

2. 89,96%

3. 0,62%

4. 0,23%

5. 99,92%

6. 10,56%

7. 0,1251

8. 0,8877

9. 13,35%

10. µ = 70 kg σ =√175 = 5

√7 kg σX =

σX√n=

5√7√7

= 5 kg

A capacidade real de carga dos elevadores e 490 + 0, 15× 490 = 563, 50 Kg

Como foi colocado um peso permanente de 70 Kg (pedra de granito), a capacidade real

deve ser: 563,50 Kg - 70 Kg = 493,50 Kg

Queremos calcular P (X >493, 50

7) = P (X > 70, 50 kg)

P (X > 70, 50) = P (Z >70, 5− 70

5) = P (Z > 0, 1) = 0, 4602 ou 46,02%

104

DISTRIBUICOES AMOSTRAIS 7.2· Distribuicao da Proporcao Amostral

7.2 Distribuicao da Proporcao Amostral

A distribuicao das proporcoes tem como base a distribuicao binomial. Naquela distribuicao

a ocorrencia do evento de interesse denomina-se “sucesso” (caracterıstica que se estuda na

populacao), com probabilidade “p” e a probabilidade “q = 1− p” fracasso.

Como nas proporcoes estaremos interessados em apenas dois resultados, teremos tambem os

eventos “sucesso” e “fracasso”. A proporcao da ocorrencia do evento “sucesso” correspondera

a probabilidade de sucesso “p”. Por exemplo, se o evento de interesse for o sorteio de uma

mulher da populacao brasileira e a proporcao de mulheres na populacao for de 0,51, entao a

probabilidade de sortear ao acaso uma mulher da populacao brasileira sera p = 0, 51. Observe

que a saıda de mulher corresponde a “sucesso” e de homem “fracasso”. Assim, como q = 1− p

temos q = 0, 49.

Vamos considerar que cada elemento da populacao so pode assumir dois valores: 1, se o

elemento da populacao apresenta a caracterıstica de interesse e 0, caso contrario. Por exemplo,

se estivermos interessados na proporcao de cadetes da AMAN que possuem smartphone, tere-

mos, para cada cadete, as possibilidades 1 se o cadete possui smartphone ou 0 se o cadete nao

possui. Por convencao vamos chamar a proporcao populacional de “p”. Suponha que o censo

acusou 1710 valores “1” e 90 valores “0”. Como sabemos, “N” denota o total de elementos da

populacao. Se quisermos calcular a proporcao populacional “p” teremos:

p =

∑

node sucessos

N=

1710

1800= 0, 95

Chamaremos de “p” o estimador natural de “p”, que designa a proporcao de sucessos em

uma amostra de tamanho “n” obtida da populacao. Suponha que, no mesmo exemplo do caso

dos smartphones, obtivessemos uma amostra de 200 cadetes (n = 200), dos quais 184 tem

smartphone. Assim, a proporcao amostral “p” e dada por:

p =

∑

node sucessos na amostra

n=

184

200= 0, 92

Neste caso a estatıstica p = 0, 92 poderia ser usada para estimar a proporcao populacional

“p” (caso nao conhecessemos tal proporcao). A referida estimacao sera estudada no assunto

“Intervalos de Confianca”.

Como teremos inumeras amostras possıveis de tamanho “n” de uma dada populacao de

tamanho “N” o conjunto das proporcoes obtidas a partir de cada uma dessas amostras consti-

105

7.2· Distribuicao da Proporcao Amostral DISTRIBUICOES AMOSTRAIS

tuira tambem uma populacao. Logo, a proporcao amostral sera uma variavel, que denotaremos

por “P”.

Do mesmo modo que na distribuicao da media amostral tınhamos µx = µx, temos na

distribuicao das proporcoes µp = p. Mas o que significa µp? E a media das proporcoes de todas

as amostras possıveis de tamanho “n”, retiradas com reposicao da populacao. Seja por exemplo

uma pequena populacao de tres elementos, constituıda por dois sucessos e um fracasso, ou seja:

{1, 0, 1}. Logo, p = 2/3. O conjunto de todas as amostras possıveis, de dois elementos, retiradas

da populacao, com reposicao, e {(1, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0), (1, 1)}. O

conjunto das respectivas proporcoes e {1; 0, 5; 1; 0, 5; 0; 0, 5; 1; 0, 5; 1}. A media de todas as

proporcoes e dada por µp = (1 + 0, 5 + 1 + 0, 5 + 0 + 0, 5 + 1 + 0, 5 + 1)/9 = 6/9 = 2/3.

Isso mostra o que ja tınhamos afirmado: µp = p. Poderıamos ter feito simplesmente uma

substituicao em µx = µx. Sabemos que “p” nada mais e que a media amostral x disfarcada

e “p” nada mais e que a media populacional µx disfarcada. Assim, por analogia temos µx =

µx ⇒ µp = p. Temos aı a primeira conclusao importante, que destacamos:

A media da distribuicao da proporcao amostral e dada por µp = p

Sabemos que o desvio-padrao da distribuicao binomial e dado por σx =√

np(1− p). Logo,

σx/n =

√

np(1− p)

n. Sendo p = x/n, chegamos a segunda importante conclusao, que destaca-

mos:

O desvio-padrao da distribuicao da proporcao amostral e dado por σp =

√

p(1− p)

n

A formula para o desvio-padrao de p nao se aplica quando a amostra representa uma grande

parcela da populacao. Deste modo nao podemos aplicar a formula se, por exemplo, sorteamos

uma amostra aleatoria simples de 100 itens, de uma populacao de 200 itens. Vamos adotar uma

regra pratica que se constituira na primeira condicao importante a ser verificada, qual seja:

So usar a formula do desvio-padrao de p se o tamanho da populacao e, no mınimo, 10 vezes

o da amostra.

Na distribuicao da media amostral o teorema do limite central provou que a variavel “X”

e normal, ou aproximadamente normal, atendidas determinadas condicoes. Para o caso de P

sua distribuicao amostral sera apenas aproximadamente normal. Por exemplo, se extraımos

106


uma amostra de tamanho 100, os unicos valores possıveis de p sao 0/100, 1/100, 2/100, ... ,

100/100. Logo, a estatıstica tem apenas 101 valores possıveis, quais sejam: 0, 0,01, 0,02, ... ,

1. A precisao da aproximacao normal melhora na medida em que o tamanho “n” da amostra

aumenta. Para um tamanho amostral “n” fixo, a aproximacao normal tem precisao maxima

quando “p” esta proximo de 1/2, e menor precisao quando “p” esta proximo de 0 ou 1. Se

p = 1, por exemplo, entao p = 1 em toda amostra porque todo indivıduo da populacao tem a

caracterıstica que estamos examinando. Assim, quando p = 1 ou p = 0, a aproximacao normal

nao tem valor algum. Vamos adotar a regra empırica que assegura que os calculos normais sao

suficientemente precisos para a maioria dos casos que tratarmos. Esta sera a segunda condicao

importante a ser verificada.

Aplica-se a aproximacao normal da distribuicao amostral de p para valores de “n” e “p”, tal

que np ≥ 10 e nq ≥ 10. (*)

* Para o caso de um valor grande de “n”, mas de um valor tao pequeno de “p”, tal que

np < 10 ou nq < 10, existe uma aproximacao melhor do que a normal, chamada “distribuicao de

Poisson para eventos raros”. Seja, por exemplo, n = 500 e p = 0, 01. Logo, np = 500×0, 01 = 5,

que e menor do que 10. Neste caso a distribuicao normal nao se aplicaria.

Se desconhecermos o valor de “p”, vamos precisar considerar que o problema admita que e

razoavel a suposicao de que as desigualdades np ≥ 10 e nq ≥ 10 se verifiquem.

Logo, satisfeitas as condicoes, teremos, de acordo com o teorema central do limite,

P ∼= N(p, σ2p). Assim, para determinarmos, por exemplo, a probabilidade P (P ≥ p) pa-

dronizamos p usando:

z =p− p

σp

Se desejarmos, por exemplo, P (P ≥ p) fazemos P (P ≥ p) = P (Z ≥ z).

Exemplo de aplicacao:

Na fabricacao de determinado tipo de municao, a Industria de Material Belico do Brasil

(IMBEL) especifica que a proporcao de cartuchos defeituosos e de 2%. Extraıda uma amostra

de 500 cartuchos, de um lote de 10000 cartuchos, qual e a probabilidade dela apresentar uma

porcentagem de 4% ou mais de cartuchos defeituosos?

107


Solucao:

Como 10× 500 = 5000, o tamanho da populacao tem mais do que dez vezes o tamanho da

amostra e a primeira condicao e atendida.

A probabilidade de sucesso e p = 0, 02 e de fracasso q = 1−p = 1−0, 02 = 0, 98. O produto

n × p e 500 × 0, 02 = 10 e n × q = 500 × 0, 98 = 490. As condicoes np ≥ 10 e nq ≥ 10 sao

atendidas. Logo, a distribuicao de P e aproximadamente normal.

O desvio padrao e σp =

√

p(1− p)

n=

√

0, 02(1− 0, 02)

500∼= 0, 0063 e a proporcao amostral

p = 4% ou 0,04.

z =p− p

σp

=0, 04− 0, 02

0, 0063= 3, 17. Logo, P (P ≥ p) = P (Z ≥ z) = P (Z ≥ 3, 17) = 0, 0008

ou 0,08%.

108


EXERCICIOS

1. O setor de aquisicoes da Diretoria de Materiais tem como norma rejeitar remessas de

determinadas pecas para manutencao de viaturas, se em uma amostra aleatoria de 500

pecas extraıdas de um lote de 10.000 pecas, encontrar 15 ou mais defeituosas. Determine

a probabilidade de um lote da peca no 1 ser rejeitado, bem como um lote da peca no 2

ser rejeitado, sabendo-se que:

a) A porcentagem de pecas defeituosas fornecidas pelo fabricante para a peca no 1 e

2,5%.

b) A porcentagem de pecas defeituosas fornecidas pelo fabricante para a peca no 2 e

2%.

2. Uma agencia do governo extrai uma amostra aleatoria de 400 funcionarios de uma grande

fabrica, para ter uma indicacao dos que favorecem o sindicalismo. Determine a probabili-

dade de obter uma proporcao amostral que difira por mais de 3% da verdadeira proporcao

de operarios que apoiam o sindicalismo, se esta proporcao e:

a) 10% b) 20% c) 50% d) 80% e) 90%

3. Escolheram-se, aleatoriamente, tres mesas completas (33 lugares) dos refeitorios de cade-

tes da AMAN, em determinado dia no almoco, para observar quantos cadetes deixaram

no prato uma sobra de 100g ou mais de alimento ao final da refeicao. Com base em estu-

dos do ano anterior vamos considerar que a proporcao populacional e 66%. Sabe-se que o

tamanho “N”, da populacao, e maior do que 10×n, ou seja, maior do que 10×33 = 330.

Com esses dados responda as letras a seguir:

a) Calcule a probabilidade da proporcao amostral ser maior do que 50%;

b) Explique, com suas palavras o resultado da letra “a”;

c) Suponha que a amostra apresentou 13 cadetes que deixaram sobras no prato de 100g

ou mais - calcule a probabilidade de, na amostra, encontrar-se 13 cadetes ou menos,

com a referida sobra de alimento.

d) Explique, com suas palavras o resultado da letra “c”.

109



1. a) 0, 2389 ou 23, 89%

b) 0, 0559 ou 5, 59%

2. a) 0,0456 ou 4,56%

b) 0,1336 ou 13,36%

c) 0,2302 ou 23,02%

d) 4,56%

e) 13,36%

3. a) 0,9738 ou 97,38%

b) 97,38% das amostras apresentariam mais do que 50% de cadetes deixando sobras

de 100g ou mais de alimento no prato, ao termino da refeicao do almoco (no dia

considerado).

c) 0,0006 ou 0,06%

d) A probabilidade 0,06%, proxima de zero, mostra que se trata de uma amostra rara,

muito difıcil de acontecer. Veremos na parte de estimacao da proporcao populacional,

mediante intervalos de confianca, que tal resultado (p = 0, 3939) nao seria util para

uma boa estimativa da referida proporcao.

110

Capıtulo 8

INTERVALOS DE CONFIANCA

No capıtulo anterior, apresentamos alguns dos principais conceitos da Teoria da Amos-

tragem. Neste capıtulo, vamos usar esses conceitos para inferir a media de uma populacao,

evidentemente no caso de nao podermos calcular esta medida por desconhecermos a populacao,

ou seja, por nao dispormos dos dados populacionais.

Exemplo 1: nos perıodos de eleicoes para os cargos publicos, realizam-se pesquisas eleitorais

para estimar os resultados com base nas intencoes de voto de uma amostra da populacao de

eleitores: “se as eleicoes fossem hoje, o candidato A teria 36% de votos, considerando uma

margem de erro de 2% para mais ou para menos” e um exemplo de como sao apresentados os

resultados.

ESTIMATIVAS PONTUAIS E INTERVALARES

Podemos inferir um parametro populacional com base em uma estimativa pontual ou com

base em uma estimativa intervalar. No exemplo 1, a estimativa e intervalar, pois 36% ± 2%

significa que o candidato A devera ter entre 34 e 38% dos votos. Os 2% representam a margem

de erro que e denominada erro de amostragem e e obtida por meio de calculos probabilısticos.

E importante compreender que ha uma probabilidade envolvida. Assim, embora se trabalhe

com uma probabilidade alta de que o resultado estimado ocorra, ha uma probabilidade pequena

de que o resultado nao aconteca.

A estimativa pontual baseia-se no valor da estatıstica como estimativa para o parametro

da populacao, sem o estabelecimento de uma margem de erro.

Exemplo 2: anotam-se as estaturas de 120 (cento e vinte) cadetes, que constituem uma

amostra da populacao de cadetes da AMAN e calcula-se a media dessa amostra, cujo resultado

e x = 172 cm; com base nesta estatıstica, afirma-se entao que a media das estaturas dos cadetes

da AMAN e µX = 172 cm.

Observamos que a estimativa no exemplo 2 e pontual. Entretanto, como X e uma variavel,

dado que as medias x variam de amostra para amostra, precisamos considerar a possibilidade de

um erro quando da estimativa do verdadeiro valor do parametro da populacao. Se tivessemos

111

8.1· Estimacao da Media de uma Populacao INTERVALOS DE CONFIANCA

considerado um erro na estimativa da media das estaturas (exemplo 2) a estimativa seria

intervalar, como e o caso do exemplo 1.

A estimativa intervalar fornece um intervalo real, dentro do qual, com uma determinada

probabilidade, o verdadeiro parametro populacional devera se encontrar.

Denomina-se grau ou nıvel de confianca a probabilidade de que o parametro populacional

pertenca ao intervalo estimado. Por esta razao, tais intervalos sao denominados intervalos de

confianca. Um dos graus de confianca mais usuais e o de 95%. Poderıamos interpretar

o grau de confianca, por exemplo, o de 95%, do seguinte modo: esperarıamos que 95 das

100 amostras retiradas da populacao contivessem o verdadeiro parametro populacional a ser

estimado. Interessa a Estatıstica a estimacao intervalar, e e o que faremos em nosso curso.

8.1 Estimacao da Media de uma Populacao

Vamos considerar dois casos para a estimacao da media populacional. O primeiro quando

conhecemos o desvio-padrao populacional e o segundo quando nao o conhecemos. Mas se

conhecemos o desvio-padrao populacional “σX” nao deverıamos conhecer tambem a media po-

pulacional “µX”? Por que entao estimar tal media? De fato, para calcular “σX” precisamos de

“µX”, sendo entao desnecessario fazer a estimativa da media populacional, ja que a conhecemos.

Ha dois aspectos que podem ser considerados a respeito desta questao. O primeiro aspecto e

que a literatura estatıstica mostra inicialmente o procedimento para estabelecer o intervalo de

confianca para a media populacional, conhecendo-se o desvio-padrao populacional “σX”. E este

o caminho didatico natural, pois o procedimento para o caso de “σX” desconhecido, que e o

que acontece na pratica, e estabelecido a partir do primeiro caso (“σX” conhecido). O segundo

aspecto e que, em determinadas situacoes, pode haver utilidade no estabelecimento de interva-

los de confianca com “σX” conhecido. Seja, por exemplo, uma maquina que produz rolamentos

automotivos com a variavel “X” representando o diametro dos rolamentos, em milımetros. Va-

mos supor que a maquina e regulada de tal modo que X : N(40; 0, 25), ou seja, os diametros

tem em media 40 mm, e desvio-padrao 0,5 mm. Intervalos de confianca para a media poderiam

ser estabelecidos a intervalos de tempo regulares, em funcao de amostras obtidas da producao

e poderiam ser utilizados para o controle estatıstico de qualidade. Se uma porcentagem dos in-

tervalos (conforme o grau ou nıvel de confianca) nao contiver a verdadeira media populacional,

significa que a maquina estaria desregulada e uma revisao seria necessaria.

112

INTERVALOS DE CONFIANCA 8.1· Estimacao da Media de uma Populacao

DESVIO-PADRAO POPULACIONAL CONHECIDO

Vamos desenvolver a expressao do intervalo de confianca para “σX” conhecido. Uma hipotese

sera necessaria: vamos supor que a populacao e normal, ou, se nao for normal, que trabalhamos

com grandes amostras (n ≥ 30). Deste modo, a distribuicao de medias das amostras sera normal

ou aproximadamente normal. Se nenhuma das condicoes forem satisfeitas, nao poderemos

inferir a media populacional.

O grau ou nıvel de confianca e representado por “1− α” (um menos alfa), que e a area

centralizada na curva normal. O valor “α” e denominado nıvel de significancia, que e dividido

em duas areas “α/2” como mostra a figura 8.1. Neste caso temos um intervalo bilateral.

1− α

µX = µXx1 x2X

α/2 α/2

0

1− α

−zα/2 +zα/2Z

α/2 α/2

Figura 8.1

A padronizacao dos valores x1 e x2 sao, respectivamente, −zα/2 e +zα/2. Por exemplo, se

1−α = 0, 95 (intervalo de 95% de confianca), teremos α/2 = 0, 025. A area 0,025 corresponde,

na tabela de areas sob a curva normal padronizada, a abscissa 1,96. Logo, −zα/2 = −1, 96 e

+zα/2 = +1, 96 (se 1− α = 0, 99, +zα/2 = z0,005 = 2, 575).

Podemos escrever, portanto, que P (x1 ≤ x ≤ x2) = P (−zα/2 ≤ z ≤ +zα/2) = 1 − α. Se a

amostragem e feita com reposicao, ou sem reposicao com n ≤ 0, 05×N , podemos substituir z

em P (−zα/2 ≤ z ≤ +zα/2) = 1− α, por (x− µX)/σX. Logo,

P (−zα/2 ≤x− µX

σX

≤ +zα/2) = 1− α → P (−zα/2 ≤x− µX

σX√n

≤ +zα/2) = 1− α

A inequacao −zα/2 ≤x− µX

σX

≤ +zα/2 pode ser escrita do seguinte modo:

113


{

x− µX

σX/√n≥ −zα/2

x− µX

σX/√n≤ +zα/2

⇒{

x− µX ≥ −zα/2σX√n

x− µX ≤ +zα/2σX√n

⇒

{ −µX ≥ −zα/2σX√n− x

−µX ≤ +zα/2σX√n− x

⇒{

µX ≤ x+ zα/2σX√n

µX ≥ x− zα/2σX√n

⇒

⇒(

− zα/2 ≤x− µX

σX√n

≤ +zα/2

)

= P

(

x− zα/2σX√n≤ µX ≤ x+ zα/2

σX√n

)

= 1− α

Se a amostragem e feita sem reposicao, e nao temos n ≤ 0, 05×N , precisamos usar a formula

do erro-padrao com o fator de correcao para populacao finita. Assim,

P

(

x− zα/2σX√n

√

N − n

N − 1≤ µX ≤ x+ zα/2

σX√n

√

N − n

N − 1

)

= 1− α

As expressoes para a obtencao dos intervalos podem ser escritas como abaixo:

IC(µX, 1− α) = x± zα/2σX√n

ou IC(µX, 1− α) = x± zα/2σX√n

√

N − n

N − 1

Cuidado! A media “µX”, nas formulas de intervalos de confianca bilaterais, nao se tornou

uma variavel. O que varia e o intervalo de confianca em funcao de X.

Exemplo 3: se uma maquina, que produz rolamentos automotivos, estiver funcionando

como esperado, entao a variavel “X”, diametro em milımetros (mm), devera ser tal que

X : N(40; 0, 25); retiram-se vinte amostras de 25 rolamentos cada, sem reposicao, de uma

producao diaria de 10.000.

a. Para fins de controle estatıstico de qualidade, estabeleca um intervalo de confianca bilate-

ral de 95% para a media populacional, com base na primeira amostra do dia, cuja media

foi de 40,1 mm.

b. Considerando-se o resultado do item anterior e sabendo-se que as medias das outras

amostras geraram os intervalos a seguir, o que se pode concluir a respeito?

114


Amostra 1 2 3 4 5 6 7

Limite inferior IC 39,704 39,884 39,824 39,764 39,944 39,784

Limite superior IC 40,096 40,276 40,216 40,156 40,336 40,176

Amostra 8 9 10 11 12 13 14

Limite inferior IC 39,924 39,914 39,994 39,784 39,964 39,804 39,774

Limite superior IC 40,316 40,306 40,386 40,176 40,356 40,196 40,166

Amostra 15 16 17 18 19 20

Limite inferior IC 39,994 39,884 39,974 39,994 40,004 39,954

Limite superior IC 40,386 40,276 40,366 40,386 40,396 40,346

Solucao:

a) A amostragem e sem reposicao. Dado que n/N = 25/10000 = 0, 0025(0, 25%) a condicao

n/N ≤ 5% e satisfeita e podemos usar a expressao para amostragem com reposicao,

IC(µX, 1− α) = x± zα/2σX√n. Assim,

IC(µX; 0, 95) = 40, 1± 1, 96

√0, 25√25

= 40, 1± 0, 196 mm ou

39,904 mm ≤ µX ≤ 40,296 mm.

IC(µX; 0, 95) = 40, 1± 0, 196 mm ou 39, 904 mm ≤ µX ≤ 40, 196 mm

b) A longo prazo, devemos ter 95% dos intervalos contendo a media populacional 40 mm.

Assim, de 20 amostras, espera-se que 19 atendam esta condicao. Considerando-se o

resultado da primeira amostra, cujo IC atendeu a condicao, observa-se que apenas uma

das amostras, que foi a decima nona, nao conteve o valor 40 mm, pois o intervalo foi de

40,004 mm a 40,396 mm. Logo, nesse dia, a maquina funcionou como esperado.

DESVIO-PADRAO POPULACIONAL DESCONHECIDO: A

DISTRIBUICAO T

Quando “σX” e desconhecido, devemos estima-lo com o desvio-padrao da amostra, “sx”. A

tıtulo de recordacao, lembramos que o desvio-padrao amostral “sx” e dado por:

sx =

√

∑

(xi − x)2

n− 1

115


Se a populacao tem distribuicao normal entao, ao substituirmos o erro-padrao “σX” por “sX”

na formula z = (x− µX)/σX, ja nao teremos uma distribuicao “Z”, mas uma nova distribuicao

de probabilidades conhecida como distribuicao “T”, de Student (pseudonimo do pesquisador

W. S. Gosset que descobriu essa distribuicao). Os valores “t”sao dados por:

t =x− µX

sX

Conforme vimos para “σX”, vamos considerar, para“sX”, o uso do fator de correcao para

populacao finita, se a amostragem for feita sem reposicao.

As expressoes para a obtencao dos intervalos podem ser escritas como abaixo:

IC(µX, 1− α) = x± t(α/2;gl)sx√n

ou IC(µX, 1− α) = x± t(α/2;gl)sx√n

√

N − n

N − 1

Observacao: gl significa graus de liberdade e sera visto adiante.

Amostragem

Sem reposicao, com Sem reposicao, com

Com reposicaon ≤ 0, 05×N n > 0, 05×N

sX =sx√n

sX

∼= sx√n

sX =sx√n

√

N − n

N − 1

Se n ≥ 30, a distribuicao “T” se aproxima da distribuicao “Z ′′ e podemos entao usar um

valor padronizado “z” no lugar de “t”. Um aspecto importante e que existe uma distribuicao

“T” para cada tamanho de amostra e nıvel de confianca desejado.

Assim, os valores de “t” dependem do grau ou nıvel de confianca “1−α” e do tamanho “n”

da amostra.

A tabela T (apendice C) tem duas entradas. A coluna da esquerda apresenta os graus de

liberdade (gl) que se define como n − 1, ou seja, gl = n − 1. As demais colunas trazem as

abscissas “tα/2”. Por exemplo, se o intervalo de confianca for de 95% ou 0,95, temos α = 0, 05

e α/2 = 0, 025 e os valores “t” sao obtidos na coluna t0,025.

116


−tα/2 0 +tα/2t

Figura 8.2

2,5 % 95 % 2,5 %

Exemplo 4: determine os valores de “t”, para os nıveis de confianca e valores de “n”, nos

casos a seguir.

a) 95%, 21;

b) 99%, 26.

Solucao:

a) 1−α = 0, 95 e α/2 = 0, 025 (coluna t0,025 na tabela T ); a amostra tem n = 21 elementos;

gl = n− 1; logo gl = 21− 1 = 20 e t(α/2;gl) = t(0,025;20) = 2, 086 (tabela T ).

b) 1−α = 0, 99 e α/2 = 0, 005 (coluna t0,005 na tabela T ); a amostra tem n = 26 elementos;

gl = n− 1; logo gl = 26− 1 = 25 e t(α/2;gl) = t(0,005;25) = 2, 787 (tabela T ).

Exemplo 5: logo apos a realizacao da AC de Estatıstica em 2015, extraiu-se, sem reposicao,

uma amostra de 20 provas para correcao, para que, de imediato, pudesse ser feita uma estimacao

da media do 1o ano nesta prova.

Com base na tabela das notas abaixo, obtenha essa estimacao mediante um intervalo de

confianca bilateral de 95%, sabendo-se que o total de cadetes que realizaram a AC foi de 465.

Considere que a populacao de notas segue o modelo normal.

6,6 7,0 6,6 3,0 6,0 2,8 1,6 5,4 5,2 3,4

9,4 5,0 1,6 3,8 6,0 2,6 5,0 6,4 6,8 6,4

Solucao:

A media e o desvio-padrao da amostra sao x = 5, 03 e sx = 2, 0461;

117


O numero de graus de liberdade e gl = n− 1 = 20− 1 = 19;

O nıvel de confianca e de 95%;

A tabela “T” fornece a abscissa t(0,025;19) = 2, 093, isto e, o valor da abscissa “t”

com α/2 = 2, 5% e 19 graus de liberdade.

n/N = 20/465 = 0, 043 (< 0, 05); usamos a formula de amostragem com reposicao:

IC(µX, 1− α) = x± t(α/2;gl)sx√n

Assim, devemos ter IC(µX, 95%) = 5, 03± 2, 0932, 0461√

20= 5, 03± 0, 9576.

Resposta: 5, 03± 0, 9576 ou 4, 0724 ≤ µX ≤ 5, 9876.

118


EXERCICIOS

1. Um antropologo mediu as alturas em centımetros de uma amostra aleatoria de 100 ho-

mens (adultos) da populacao de um paıs, encontrando uma media amostral de 181 cm. Se

o desvio-padrao da populacao for conhecido e igual a 22 cm, estabeleca para a media po-

pulacional µ os intervalos de confianca bilaterais, para os seguintes nıveis de significancia:

1) a) α = 5% b) α = 1%

2. Uma amostra aleatoria de 10 contas correntes de uma grande cadeia de lojas, tem saldo

medio devedor de R$ 55,00. Admitindo-se que o desvio-padrao dos saldos devedores de

toda a cadeia de lojas e de R$ 24,00, atenda aos pedidos a seguir, sabendo-se que os saldos

devedores de todas as contas da cadeia de lojas segue o modelo normal e n/N ≤ 5%.

a) Estabeleca um intervalo de 95% de confianca para a media dos saldos devedores de

toda a cadeia de lojas;

b) Interprete o resultado do item anterior e escreva um pequeno texto explicando a

resposta encontrada, usando para tanto, termos que possam ser entendidos por um

diretor da empresa que nao conhece Estatıstica;

c) Caso um outro diretor resolva verificar a real media dos saldos devedores e encontre

R$ 70,30, explique a relacao deste valor com o intervalo que voce estabeleceu.

3. A Companhia de Polıcia de Exercito (Cia PE) do Batalhao de Comando e Servicos regis-

trou as velocidades de 05 (cinco) veıculos escolhidos aleatoriamente entre os que trafegam

no interior da AMAN. A velocidade media foi de 42 km/h com desvio-padrao de 6,444

km/h. Construa um intervalo com 95% de confianca para a media de todos os veıculos que

trafegam no interior da AMAN, considerando-se a normalidade da populacao e n/N ≤ 5%.

4. Os tempos de reacao de 22 recrutas escolhidos aleatoriamente como amostra dos candida-

tos ao curso de adaptacao de motorista do Comando Militar do Leste, apresentaram uma

media de 0,9 segundo com desvio-padrao de 0,2 segundo. Construa um intervalo com

99% de confianca para a media dos tempos dos candidatos, sabendo-se que esses tempos

sao normalmente distribuıdos e que n/N ≤ 5%.

5. Em testes de colisao realizados em uma amostra de 15 minivans, o custo medio dos

consertos foi de $1.786 e o desvio-padrao $ 937 (com base nos dados da Highway Loss Data

Institute). Construa um intervalo de confianca de 99% para o custo medio dos consertos

119


para as colisoes de todos os veıculos desse tipo, sabendo-se que o custo medio populacional

segue o modelo normal e que n/N ≤ 5%. Apresente a resposta com aproximacao de

centesimos (centavos).

6. Em um estudo de utilizacao da hipnose para aliviar a dor, obtiveram-se as taxas sensoriais

para 16 indivıduos, com os resultados dados a seguir. Com esses dados amostrais, construa

o intervalo de confianca de 95% para a taxa sensorial media da populacao da qual se

extraiu a amostra, considerando-se a normalidade da populacao e n/N ≤ 5%.

8,8 6,6 8,4 6,5 8,4 7,0 9,0 10,3

8,7 11,3 8,1 5,2 6,3 8,7 6,2 7,9

7. Fez-se uma analise quımica de uma substancia para determinar sua porcentagem de ferro.

De um conjunto de 10 amostras obtem-se x = 30% e s = 5%. Obtenha o intervalo de 99%

de confianca para µ, considerando que n/N ≤ 5% e que a porcentagem de ferro segue a

lei normal. Qual seria a resposta se soubessemos que σ = 0, 5%?

8. Suponha que um fumante e um escravo do cigarro. Mesmo sabendo que pode adquirir

uma doenca, ele nao consegue largar o vıcio. Foi estabelecido pelos cientistas que se os

cigarros contiverem 30mg ou mais de nicotina, o desenvolvimento do cancer no pulmao

do fumante e certo. Um fumante deseja verificar as suas possibilidades ao fumar a marca

de cigarros “Frio”. Uma amostra de 100 cigarros dessa marca foi testada e apresentou

uma media de 26 mg de nicotina. Sabendo-se que σ = 8mg, estabeleca um intervalo de

99% de confianca para µ. Considere que n/N ≤ 5%. Qual e a conclusao?

9. Pelo projeto de fabricacao de uma peca, uma de suas dimensoes deve ter 4 cm. A variancia

nessa dimensao e de 0,0036 cm2. Retira-se uma amostra aleatoria de 64 pecas e obtem-se

x = 4, 04 cm. Pode-se aceitar com 99% de confianca que a dimensao verificada esta dentro

do planejado? Considere que n/N ≤ 5%.

10. A Companhia de Polıcia de Exercito (Cia PE), do Batalhao de Comando e Servicos,

registrou as velocidades, em Km/h, de uma amostra de veıculos escolhidos aleatoriamente

entre os que trafegam no interior da AMAN. Os valores registrados encontram-se na tabela

a seguir.

Amostra das velocidades, em km/h

27,0 27,4 27,4 30,2 31,0 31,2 33,7 33,8 34,0 34,7

35,2 39,8 41,1 41,5 50,5 51,5 53,1 54,8 55,2 56,6

56,9 58,9 59,1 59,3 60,1 60,4 60,6 61,2 62,0

120


Voce, como Comandante da Cia PE devera mostrar para o comandante do Batalhao que

as velocidades acima do limite de 40 km/h registradas na amostra nao representam um

fato isolado. Para tanto obtenha uma estimativa intervalar para a media de velocidade de

toda a populacao de veıculos que trafegam no interior da AMAN, com 95% de confianca.

Considere que o tamanho da populacao e muito grande em relacao ao tamanho da amostra,

e a normalidade da populacao. Apresente os calculos.

121



1. a) 176, 688 cm ≤ µX ≤ 185, 312 cm

b) 175, 324 cm ≤ µX ≤ 186, 676 cm

2. a) R$ 40,12 ≤ µX ≤ R$ 69,88 (µX = R$ 55,00± R$ 14,88)

b) Aberto

c) Aberto

3. 34 km/h ≤ µX ≤ 50 km/h

4. 0, 7793 s ≤ µX ≤ 1, 0207 s

5. $1065, 77 ≤ µX ≤ $2506, 23

6. x = 7, 9625; s = 1, 5979; 7, 1112 ≤ µX ≤ 8, 8138

7. 24, 86% ≤ µX ≤ 35, 14% ; 29, 59% ≤ µX ≤ 30, 41%

8. 23, 94 mg ≤ µX ≤ 28, 06 mg. Esta abaixo de nıvel de perigo.

9. Nao, pois 4, 02 ≤ µX ≤ 4, 06 ao nıvel de 99% de confianca.

10. n = 29; x = 45, 8 km/h; s = 12, 8619 km/h ; t(0,025;gl=28) = 2, 048

sX =sx√n

sX =

√165, 43√29

= 2, 3884 km

µX = x± t(α/2;gl)sX

µX = 45, 8± 2, 048× 2, 3884 ⇔ µX = 45, 8± 4, 8914 km/h ou

40,9086 km/h ≤ µX ≤ 50,6914 km/h

122

INTERVALOS DE CONFIANCA 8.2· Estimacao da Proporcao de uma Populacao

8.2 Estimacao da Proporcao de uma Populacao

A estimativa das proporcoes populacionais guarda uma semelhanca muito grande com a

estimativa das medias populacionais. Vamos relembrar que as estimativas podem ser pontuais

ou intervalares e que a teoria estatıstica trabalha com estimativas intervalares. Assim, quando

uma pesquisa eleitoral apresenta uma estimativa para um determinado candidato, tal estimativa

e apresentada atraves de um intervalo. Por exemplo: “se as eleicoes fossem hoje, o candidato A

teria 34% dos votos, mais ou menos 3%”. Como podemos interpretar tal afirmacao? E simples.

Os 34% de votos representam a estimativa pontual feita com a amostra de eleitores da respectiva

populacao. A formula para o calculo dessa estimativa e p =∑

no de sucessos na amostra/n,

conforme vimos no capıtulo anterior. Os 3% representam o erro de amostragem. O intervalo

de confianca para a estimacao de uma proporcao populacional “p”, com um grau de confianca

de “1− α”, que representaremos por IC(p, 1− α), e dado por:

IC(p, 1− α) = p± ERRO (8.1)

Na estimacao de intervalos de confianca para proporcoes nao se usa a distribuicao “t”.

Assim, nao ocorre a duvida: usar a distribuicao “z” ou a distribuicao “t”, ja que a distribuicao

a ser usada, neste caso, sera sempre a distribuicao “z”. A rigor, teoricamente seria correto o uso

da distribuicao “t”, ja que nao sera considerado agora, no caso das proporcoes, o conhecimento

do desvio padrao populacional. Lembramos que, no caso da estimacao das medias, ha dois casos:

o primeiro onde se conhece o desvio-padrao populacional σx (neste caso usa-se a distribuicao

“z”) e o segundo onde nao se conhece o desvio-padrao populacional σx (neste caso, teoricamente

a distribuicao correta a ser usada e a “t”). Como nas proporcoes trabalharemos com grandes

amostras e como o valor “t” se aproxima de “z” para amostras de tamanho maior ou igual a

30, vamos usar “z” na formula para o calculo do intervalo de confianca.

FORMULA PARA O CALCULO DE UM INTERVALO DE CONFIANCA BI-

LATERAL DE UMA PROPORCAO POPULACIONAL

O erro de amostragem na formula (8.1) e dado por ERRO= zα/2σp. Logo,

IC(p, 1− α) = p± zα/2σp (8.2)

123

8.2· Estimacao da Proporcao de uma Populacao INTERVALOS DE CONFIANCA

Sabemos que o desvio-padrao da distribuicao da proporcao amostral e dado por

σp =

√

p× q

n. Se “p” e desconhecida usamos, como aproximacao para σp, a estimativa p

no lugar de “p”. Assim, σp∼=√

p× q

n.

A formula pode ser escrita como a seguir:

IC(p, 1− α) = p± Zα/2

√

p× q

nou IC(p, 1− α) = p± Zα/2

√

p× q

n(8.3)

Como fizemos nos intervalos para a media, a formula (8.2) pode ser escrita apresentando-se

o intervalo propriamente dito para a estimativa de “p”:

p− Zα/2σp ≤ p ≤ p+ Zα/2σp (8.4)


Para se estimar a porcentagem de cadetes favoraveis a modificacao do cardapio servido em

seus refeitorios, tomou-se uma amostra de 80 cadetes, dos quais 60 foram favoraveis. Sabe-se

que N ≥ 10× n.

a) Estabeleca um intervalo de confianca para a estimacao da proporcao de todos os cadetes

favoraveis a modificacao, com um nıvel de confianca de 95%.

b) Qual o valor do erro de estimacao cometido em “a”?

O tamanho da amostra e n = 80 e como temos 60 sucessos, p =60

80= 0, 75. Logo,

q = 1− p = 0, 25.

Como np = 80 × 0, 75 = 60 e nq = 80 × 0, 25 = 20, as condicoes np ≥ 10 e nq ≥ 10 sao

atendidas. Assim, pode-se aplicar a aproximacao normal da distribuicao amostral de P .

O desvio-padrao da distribuicao de P e dado por σp =

√

p× q

n=

√

0, 75× 0, 25

80∼= 0, 0484.

Foi pedido um intervalo de confianca de 95% o que nos leva a zα/2 = z0,025 = 1, 96 (tabela

z).

124


a) p− zα/2σp ≤ p ≤ p + zα/2σp ⇒ 0, 75− (1, 96× 0, 0484) ≤ p ≤ 0, 75 + (1, 96× 0, 0484) ⇒0, 6551 ≤ p ≤ 0, 8449. Podemos escrever a resposta em termos de porcentagem:

65, 51% ≤ p ≤ 84.49%.

b) Sabemos que o erro “e”e dado por: e = zα/2 × σp = 1, 96× 0, 0484 ∼= 0, 0949 ou 9,49%.

Observacao:

Um erro de aproximadamente 9,5% pode ser considerado alto para uma pesquisa. Seria

interessante que ele fosse menor, por exemplo, de 5%. Quando tratarmos do “Dimensionamento

de Amostras”, veremos esta questao.

125

8.2· Estimacao da Proporcao de uma Populacao INTERVALOS DE CONFIANCA

EXERCICIOS

1. Para se estimar a proporcao de cadetes que ficariam em recuperacao na disciplina Es-

tatıstica, os professores corrigiram 40 provas (AC), que foi a ultima avaliacao do ano

de 2017, de um total de 480 provas, logo apos a sua realizacao. Colocadas as notas no

sistema, verificou-se que, da amostra sorteada, 11 cadetes ficaram em recuperacao. Com

base nestes dados obtenha uma estimativa, mediante um intervalo de 95% de confianca,

da proporcao de cadetes do primeiro ano que ficariam em recuperacao na disciplina Es-

tatıstica.

2. Em uma linha de producao de determinada peca, na Industria de Material Belico do

Brasil (IMBEL), colheu-se uma amostra de 100 itens, constatando-se que 7 pecas eram

defeituosas. Sabendo-se que a amostra e suficientemente grande e que pode-se aplicar a

aproximacao normal da distribuicao amostral de P neste caso. Construa um intervalo de

99% de confianca para a proporcao “p” de pecas defeituosas.

3. Escolheram-se, aleatoriamente, tres mesas completas (33 lugares) dos refeitorios de cade-

tes da AMAN, em determinado dia no almoco, observando-se que 23 cadetes deixaram no

prato uma sobra de 100g ou mais de alimento ao final da refeicao. Sabe-se que o tamanho

“N”, da populacao, e maior do que 10 × n, ou seja, maior do que 10 × 33 = 330 e que

np ≥ 10 e nq ≥ 10.

a) Obtenha um intervalo de confianca de 95% para estimar a proporcao populacional;

b) Explique, com suas palavras o resultado da letra “a”;

c) Suponha que tomemos uma amostra de 150 cadetes e que 100 deixaram sobras no

prato de 100g ou mais - obtenha agora, com estes dados, um intervalo de confianca de

95% para estimar a proporcao populacional (a condicao N > 10n ainda e atendida,

bem como np > 10 e nq > 10);

d) Explique, com suas palavras o resultado da letra “c”.

126



1. 0, 1772 ≤ p ≤ 0, 3728 ou 17, 72% ≤ p ≤ 37, 28%.

2. 0, 0043 ≤ p ≤ 0, 1357 ou 0, 43% ≤ p ≤ 13, 57%.

3. a) 0, 5402 ≤ p ≤ 0, 8538 ou 54, 02% ≤ p ≤ 85, 38%.

b) O intervalo obtido, em torno de 54% a 85% e bastante dilatado e, portanto, nao e

interessante para quem vai usa-lo para tomar decisao. Isso se deve ao fato de que a

amostra e relativamente pequena, embora tenha atendido as condicoes exigidas para

a solucao do problema. Observe que no pedido da letra “c” o intervalo vai diminuir,

em funcao do tamanho da amostra ter aumentado.

c) 0, 5912 ≤ p ≤ 0, 7422 ou 59, 12% ≤ p ≤ 74, 22%.

d) O intervalo obtido, em torno de 59% a 74% e bem menor do que o obtido em “a” e,

portanto, e obviamente mais interessante para quem vai usa-lo para tomar decisao.

Na parte de dimensionamento de amostras veremos como obter o valor de “n”, tal

que o erro seja controlado.

127

8.3· Dimensionamento de Amostras INTERVALOS DE CONFIANCA

8.3 Dimensionamento de Amostras

Para calcular as estimativas intervalares para a media ou para a proporcao, apresentada

no capıtulo anterior, faz-se necessario determinar o tamanho adequado da amostra. Quando

realizamos um estudo por amostragem a questao obrigatoria que surge e: qual e o tamanho da

amostra? A resposta depende basicamente de dois aspectos que serao abordados neste assunto:

do nıvel de confianca alcancado pela amostragem e da precisao requerida para as estimativas

amostrais.

O tamanho de uma amostra deve alcancar proporcoes mınimas estabelecidas estatistica-

mente. Para garantir certa seguranca estatıstica em relacao a representatividade dos dados, os

elementos de uma amostra devem ser selecionados de forma aleatoria.

E erroneo pensar que o tamanho da amostra deve ser proporcional ao tamanho

da populacao para ser representativa.

Suponha que um pesquisador planeja estudar determinada caracterıstica da populacao de

cadetes do Curso Basico. Quantos cadetes ele precisaria entrevistar? Espera-se que o cadete

ao final do capıtulo tenha condicoes para responder esta pergunta!

TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR A MEDIA DE UMA POPU-

LACAO INFINITA

Suponha que desejamos estimar a media populacional µx e para isso empregamos o estimador

x. Para uma amostra qualquer de tamanho n sabemos que o intervalo de confianca e dado por:

IC(µx, 1− α) = x± erro = x± zα/2σx√n

(8.5)

Exemplo 1

Deseja-se estimar a renda familiar dos cadetes da AMAN (em R$) com o tamanho de

amostra n = 54, x = 1.500, 00 e σx = 300, 00 (desvio padrao populacional para a renda

familiar). Estabelecendo um nıvel de confianca igual a 95%, o intervalo de confianca (IC) para

a media sera:

IC(µx, 1− α) = 1500± 1, 96300√54

= 1500± 80, 02 ou

1419, 98 ≤ µx ≤ 1580, 02

128

INTERVALOS DE CONFIANCA 8.3· Dimensionamento de Amostras

Portanto, ha 95% de confianca de que o intervalo obtido contenha a verdadeira renda media

familiar dos cadetes.

O tamanho da amostra e obtido em funcao do erro amostral da estimativa intervalar. A

partir do erro e = zα/2σx√n, da expressao (8.5), obtemos o valor de “n”, que apresentamos na

expressao (8.6) a seguir:

n =

(

zα/2 · σx

e

)2

(8.6)

zα/2 Abscissa da distribuicao normal padrao, fixado um nıvel de confianca;

σx Desvio-padrao da populacao;

e Erro amostral (maxima diferenca permitida entre a media populacional µx e a media

amostral X ).

Se nosso objetivo e estabelecer o tamanho da amostra e nao conhecemos a

priori os elementos que vao constituı-la, devemos entao coletar uma amostra

piloto e com seus elementos obter uma estimativa para σx. No final do capıtulo

apresentamos um quadro com as formulas adequadas. As demais formulas

apresentadas no capıtulo sao obtidas tambem do erro amostral da estimativa

intervalar.

Exemplo 2

A partir dos dados do exemplo 1 vamos obter o tamanho da amostra, usando a formula

(8.6), considerando-se que o erro maximo admissıvel seja igual a R$ 80,00.

n =

(

1, 96 · 30080

)2

= 54

TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR A MEDIA DE UMA POPU-

LACAO FINITA

Podemos calcular o tamanho da amostra quando a populacao for finita, ou seja, quando

conhecemos o tamanho “N” da populacao. A expressao do erro para a populacao finita e dada

por:

e = zα/2σx√n

√

N − n

N − 1.

129


Resolvendo a equacao para n, obtemos:

n =z2α/2 · σ2

x ·Ne2(N − 1) + z2α/2 · σ2

x

(8.7)

Exemplo 3


(8.7), considerando-se que o tamanho “N” da populacao seja conhecido e igual a 450.

n =1, 962 · 3002 · 450

802(450− 1) + 1, 962 · 3002∼= 49

TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR A PROPORCAO DE UMA

POPULACAO INFINITA

Suponha que desejamos estimar a proporcao populacional “p” e para isso facamos uso do

estimador p =∑

xi/n. O tamanho da amostra pode ser calculado pela seguinte formula:

n =z2α/2 · p · q

e2(8.8)

E comum que seja utilizado o valor de 0,25 para o termo p · q, uma vez que

o produto de duas probabilidades e maximizado quando elas assumem valores

iguais a 0,5. Isso propicia a maximizacao do dimensionamento amostral (a

favor da seguranca).

E importante que se entenda perfeitamente o que significa o erro de amostragem.

E a diferenca absoluta, em modulo, entre o valor estimado pela pesquisa e o

verdadeiro valor do parametro. Digamos que em uma situacao existam efetiva-

mente 10% de hackers em uma cidade. Se a pesquisa estimar que existam 12%

de hackers, o erro de amostragem e de 2% (12%-10%=2%). Na formula do

tamanho da amostra, voce deve indicar qual o erro amostral maximo admitido

pela pesquisa, ou seja, o seu erro toleravel. Em geral, esse valor e definido pelo

proprio pesquisador.

Do mesmo modo precisamos compreender o significado de nıvel ou grau de confianca.

130


E a probabilidade de que o erro amostral efetivo seja menor ou igual ao erro

amostral admitido pela pesquisa, isto e, nao exceda ao erro de amostragem

toleravel. Se voce definiu um erro amostral de 5%, o nıvel de confianca in-

dica a probabilidade de que o erro cometido pela pesquisa nao exceda 5%.

Digamos que em uma situacao existam efetivamente 10% de hackers em uma

regiao. Se o erro de amostragem admitido e de ±5%, o nıvel de confianca e

a probabilidade de que a pesquisa estime algo entre 5% e 15% para hackers.

Dado que na realidade existam 10% de hackers, se a estimativa da pesquisa

estiver entre esses 5% e 15%, o erro amostral cometido nao sera maior que 5%.

Frequentemente, o nıvel de confianca utilizado nas pesquisas e de 95%.

Exemplo 4

O Comandante da AMAN determinou que fosse calculado o tamanho de uma amostra para

estudar a proporcao de cadetes que estao satisfeitos com o novo servico de lavanderia. Para

tanto, deseja que a proporcao amostral nao se afaste da proporcao populacional por mais de

3%, com probabilidade de 95%. Considere que nao ha informacao disponıvel sobre p. Como

1− α = 95% e zα/2 = 1, 96, o tamanho “n” da amostra sera:

n =1, 962 · 0, 25

0, 032= 1067

Exemplo 5

O Comandante da AMAN determinou que fosse calculado o tamanho de uma amostra para

estudar a proporcao de cadetes que estao satisfeitos com o novo servico de lavanderia. Para

tanto, deseja que a proporcao amostral nao se afaste da proporcao populacional por mais de

3%, com probabilidade de 95% (neste caso ja sabemos que zα/2 = 1, 96). Considere p = 0, 30.

Assim, o calculo amostral sera dado por:

n =1, 962 · 0, 30 · 0, 70

0, 032= 896

Observe que, pelo fato de termos conhecimento previo de p (pode ser o resultado de uma

amostra piloto), o tamanho da amostra diminuiu dado que no do exemplo 4 o fator p · q = 0, 25

e maior que o fator p · q = 0, 21 no exemplo 5.

131


TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR A PROPORCAO DE UMA

POPULACAO FINITA

Se a populacao for finita, ou seja, conhecemos o tamanho “N” da populacao, o tamanho

“n” da amostra pode ser calculado pela seguinte formula:

n =z2α/2 · p · q ·N

e2(N − 1) + z2α/2 · p · q(8.9)

Exemplo 6


(8.9), considerando-se que o tamanho “N” da populacao seja conhecido e igual a 1.890 e que

nao ha informacao disponıvel sobre p .

n =1, 962 · 0, 25 · 1890

0, 032(1890− 1) + 1, 962 · 0, 25 = 682

Cabe aqui uma observacao. Se a populacao for pequena a amostra sera quase do mesmo

tamanho da populacao. Neste exemplo, se a populacao fosse de 200 cadetes, terıamos uma

amostra de 169 cadetes, o que significa que, consultando mais 31 cadetes terıamos um censo,

nao sendo aconselhavel, portanto, a realizacao de amostragem.

Exemplo 7


(8.9), considerando-se que p = 0, 30.

n =1, 962 · 0, 30 · 0, 70 · 1890

0, 032(1890− 1) + 1, 962 · 0, 30 · 0, 70 = 608

Do exemplo 6 para o exemplo 7 verifica-se que houve uma diminuicao do tamanho da

amostra. A justificativa e a mesma dada no exemplo 5 (deve-se ao fato de termos conhecimento

de p ).

Observa-se que n/N e aproximadamente 1/3. Trata-se de uma amostra grande, considerando-

se o tamanho da populacao. Assim, quanto maior a populacao, menor sera esta relacao (nao se

trata de uma proporcionalidade). No caso deste exemplo, supondo que N = 10.000, terıamos

n = 823, ou seja, o tamanho da amostra e aproximadamente 1/12 do tamanho da populacao

(verifique estes resultados).

132


QUADRO 1: RELACAO ENTRE O ERRO E O TAMANHO DA AMOSTRA

A margem de erro, o nıvel de confianca, a variabilidade dos dados e o tamanho da amostra

sempre caminham lado a lado. Como esses fatores afetam o tamanho da amostra?

n (populacao finita)N σx α zα/2 e

(formula 8.7)Conclusao

450 300 0.95 1.96 100 32

450 300 0.95 1.96 80 48 Quando se reduz a margem

450 300 0.95 1.96 60 79 de erro, o tamanho da

450 300 0.95 1.96 40 146 amostra aumenta.

450 300 0.95 1.96 20 296

450 300 0.8 1.28 20 203

450 300 0.85 1.44 20 229 Quando se aumenta o nıvel

450 300 0.9 1.64 20 259 de confianca, o tamanho

450 300 0.95 1.96 20 296 da amostra aumenta.

450 300 0.99 2.58 20 346

450 300 0.95 1.96 20 296

450 320 0.95 1.96 20 309 Quando a variabilidade “σx”

450 340 0.95 1.96 20 320 ou “p · q” aumenta, o

450 360 0.95 1.96 20 331 tamanho da amostra aumenta.

450 380 0.95 1.96 20 340

QUADRO 2: RELACAO ENTRE O TAMANHO DA AMOSTRA PARA PO-

PULACAO FINITA E INFINITA

ni (Pop. Inf.) nf (Pop. Fin.)N∗ σx α zα/2 e

(formula8.6) (formula8.7)ni − nf Conclusao

1000 300 0,95 1,96 20 864 464 400

10000 300 0,95 1,96 40 216 212 5

50000 300 0,95 1,96 60 96 96 0

100000 300 0,95 1,96 80 54 54 0

200000 300 0,95 1,96 100 35 35 0

1000 300 0,8 1,28 20 370 270 100 Quando se aumenta o

10000 300 0,85 1,44 20 466 446 21 tamanho da populacao, o

50000 300 0,9 1,64 20 609 601 7 tamanho da amostra para

100000 300 0,95 1,96 20 864 857 7 populacao finita se aproxima

200000 300 0,99 2,58 20 1493 1482 11 do tamanho da amostra para

1000 300 0,95 1,96 20 864 464 400 populacao infinita.

10000 320 0,95 1,96 20 983 895 88

50000 340 0,95 1,96 20 1110 1086 24

100000 360 0,95 1,96 20 1245 1229 15

200000 380 0,95 1,96 20 1387 1377 10

* No caso de populacao finita.

133


QUADRO 3: FORMULARIO

PopulacaoCalculo do tamanho da amostra:

Infinita Finita

σx conhecido n =

(

zα/2 · σx

e

)2

n =z2α/2 · σ2

x ·Ne2(N − 1) + z2α/2 · σ2

xEstimativa de medias

σx desconhecido n =

(

tα/2 · Sx

e

)2

n =t2α/2 · S2

x ·Ne2(N − 1) + t2α/2 · S2

x

Estimativa de proporcoes n =z2α/2 · p · q

e2n =

z2α/2 · p · q ·Ne2(N − 1) + z2α/2 · p · q

ENTENDA COMO ESSE ASSUNTO PODE AJUDAR EM SEU PROJETO

DE PESQUISA (TCC)

Este exemplo parcial de um projeto de pesquisa retrata como voce podera incluir o calculo

do tamanho da amostra na parte metodologica da pesquisa.

Exemplo 8

Vamos apresentar um extrato de um TCC, em que e necessario obter uma amostra, que sera

utilizada para realizar a pesquisa. Vejamos primeiramente o extrato, e, em seguida, o calculo

do tamanho da amostra.

Extrato do TCC “PERFIL OCUPACIONAL DOS CONJUGES DE MILITA-

RES DA AMAN”

Introducao e justificativa

Nas ultimas tres decadas, o perfil do conjuge de militar comecou a mudar de maneira signifi-

cativa. Ate os anos 1980, a grande maioria das mulheres de militares brasileiros nao trabalhava

fora de casa. Isso se dava nao apenas por causa da dificuldade da mulher brasileira em ter

uma profissao (poucas buscavam formacao tecnica ou ensino superior), mas principalmente

pelo desafio das constantes transferencias de seus maridos.

Desde os anos 1990, porem, muitas mulheres passaram a trabalhar fora de casa, seguindo a

tendencia da sociedade brasileira e explorando uma nova divisao de trabalho no ambito familiar.

A famılia militar nao foi excecao, como extrato que e da sociedade. Alem disso, desde os anos

1990, com o ingresso de militares do sexo feminino nas forcas armadas, e crescente o numero

de conjuges do sexo masculino que dao valioso apoio nos cuidados da casa e da famılia.

134


O que sabemos sobre os reais impactos que essas mudancas tiveram no seio da famılia

militar? Quase nao ha pesquisas sobre o tema no Brasil. Essa lacuna dificulta nao so a real

compreensao do fenomeno, mas tambem afeta a possibilidade de se criar polıticas, programas

e atividades que atendam a esse grupo.

Algumas questoes aqui sao levantadas: qual e o nıvel de escolaridade dos conjuges de mi-

litares? A idade exerce algum impacto na escolaridade? Ha alguma relacao entre o posto ou

graduacao (ou especializacao) do militar e o nıvel de escolaridade de seu conjuge? Qual a

relacao entre mobilidade do militar e a formacao do conjuge? E significativa ou e desprezıvel

a porcentagem dos conjuges que contribuem para a renda familiar? Tais perguntas frequente-

mente recebem respostas baseadas em hipoteses, em conversas, em experiencias de vida e no

senso comum. Nao sao baseadas em dados porque ainda nao existem informacoes consolidadas

sobre a situacao educacional, profissional e ocupacional dos conjuges de militares.

A presente pesquisa procura suprir essa lacuna no ambito da AMAN. Embora nao seja

suficiente para estender seus resultados para o Exercito como um todo, podera motivar a

realizacao de pesquisa mais abrangente no futuro.

Objetivos

Este projeto tem dois objetivos. O primeiro e realizar um diagnostico do perfil ocupacional

dos conjuges de militares que servem na AMAN em 2017. O segundo e produzir conhecimento

sobre o tema para apoiar a tomada de decisao nas esferas publica e privada.

Metodologia

Um questionario foi elaborado com 23 perguntas, das quais 17 eram de resposta direta -

sim ou nao e 5 eram de resposta aberta.

Responderam o questionario conjuges de militares em exercıcio de funcao na AMAN. Le-

galmente o conjuge e a esposa ou a companheira do militar ou o marido ou o companheiro

da militar. Foram considerados os militares da ativa ou da reserva, restritos aos sargentos,

subtenentes e oficiais.

Como recorte temporal fixou-se o primeiro trimestre de 2017 para o perıodo a ser analisado.

Os dados foram coletados na primeira quinzena de abril de 2017.

Para definir a quantidade de elementos da amostra verificou-se que a populacao constituıa-

se de 788 militares que atendiam as condicoes: exercer funcao no perıodo considerado e possuir

conjuge.

135


Para uma margem de erro na faixa de 5%, considerada aceitavel, e um grau de confianca de

95%, reconhecido por pesquisadores e estatısticos como satisfatorio, a amostra resultou, quanto

ao tamanho, 258 conjuges.

Calculo do tamanho da amostra, ou seja, da quantidade de conjuges que res-

ponderam o questionario:

Como a populacao e finita (N = 788) vamos usar a formula para a obtencao de “n”, com o

fator de correcao para populacao finita. O erro admitido foi de 5%. Logo temos que e = 0, 05.

Com um intervalo de 95% de confianca temos que: 1−α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 ⇒ α/2 = 0, 025 ⇒zα/2 = z0,025 = 1, 96 (tabela Z).

Nao temos uma amostra piloto para estimar “p”. Assim, vamos considerar a pior hipotese,

ou seja, aquela na qual o fator p · q assume valor maximo, que e p · q = 0, 25 (considerando-se

p = q = 0, 5).

n =z2α/2 · p · q ·N

e2(N − 1) + z2α/2 · p · q=

1, 962 · 0, 25 · 7880, 052(788− 1) + 1, 962 · 0, 25

∼= 259

Exemplo 9

No inıcio do assunto lancamos a pergunta recorrente em qualquer pesquisa onde se deseja

levantar uma amostra de uma dada populacao, pedindo ao cadete que fizesse a suposicao de

que um pesquisador planeja estudar certa caracterıstica do universo de cadetes do Curso Basico

e, para tanto, precisa saber quantos cadetes deveria entrevistar. Para solucionar esta questao,

precisamos, de modo geral, estabelecer algumas consideracoes, ou definir alguns aspectos, a

saber:

• Qual e o objetivo do estudo;

• Qual e o tipo de variavel relacionada com o objetivo estabelecido (quantitativa ou quali-

tativa);

• Quais sao os elementos necessarios para calcular o tamanho da amostra;

• Como deverao ser selecionados esses elementos para compor a amostra.

Observa-se que a questao e aberta. Por exemplo, se quisessemos estimar a proporcao de

cadetes que fizeram o ensino medio em escolas particulares, terıamos:

136


• O objetivo do estudo e estimar a proporcao de cadetes que fizeram o ensino medio em

escolas particulares, com base na populacao de cadetes da AMAN;

• A variavel e qualitativa, podendo assumir as categorias “ensino publico” e “ensino parti-

cular”;

• Os elementos necessarios para calcular o tamanho da amostra sao: estabelecer a margem

de erro, ou seja, definir o valor de “e”, o nıvel de confianca e a estimativa da proporcao

populacional “p”, que podera ser igual a 0,50 quando nao se conhece a priori tal resultado

ou quando nao e feita uma pesquisa piloto;

• Todos os elementos da amostra deverao ser selecionados aleatoriamente para reduzir o

risco de algum tipo de tendencia.

137


EXERCICIOS

1. Em uma Organizacao Militar com efetivo igual a 1000 militares, deseja-se estimar a

porcentagem dos que sao favoraveis a um treinamento em educacao financeira. Qual

deve ser o tamanho da amostra que garanta um erro amostral nao superior a 5%, com

probabilidade de 95%?

2. Em uma pesquisa para uma eleicao presidencial, qual deve ser o tamanho de uma amostra

que garanta um erro amostral nao superior a 2%, com probabilidade de 95%?

3. Antes de uma eleicao, um determinado partido esta interessado em estimar a proporcao

de eleitores favoraveis a seu candidato.

a) Determine o tamanho de amostra necessario para que o erro cometido na estimacao

seja de, no maximo 0,01, com probabilidade de 80%.

b) Refaca o calculo da letra a, sabendo-se que uma amostra piloto revelou que 60% dos

eleitores eram favoraveis ao candidato em questao.

4. Considere uma amostra obtida no mercado de trabalho de uma grande cidade, constituıda

por 2000 indivıduos. Das entrevistas efetuadas, constatou-se que 165 pessoas responderam

nao ter emprego.

a) Construa um intervalo de confianca a 95% para a proporcao media de indivıduos

desempregados na referida cidade;

b) Caso pretenda reduzir pela metade a amplitude do intervalo relativo obtido, man-

tendo o mesmo grau de confianca, qual deveria ser a dimensao adequada da amostra?

Justifique a resposta.

5. Admita que a Divisao de Ensino da AMAN se dispoe a oferecer aos seus 1900 cadetes

a possibilidade de frequentarem aulas de reforco aos sabados pela manha, caso haja

interesse.

a) Determine a dimensao apropriada da amostra de alunos a serem consultados, para

que a amplitude do intervalo de confianca de 95% para a proporcao de alunos com

interesse nao exceda 0,1.

b) Suponha que, depois de realizada a amostragem com o tamanho indicado pelo di-

mensionamento, o valor da proporcao amostral seja 50%. Determine um intervalo

de confianca para a proporcao populacional com 95% de confianca.

138


6. (Tamanho de Amostra na Amostragem Aleatoria Estratificada). As amostras estratifi-

cadas apresentam um problema especial na determinacao de seu tamanho. O numero

de casos de amostra global pode ser calculado utilizando as formulas apresentadas ante-

riormente, mas deve-se, tambem, calcular o tamanho de cada estrato nos grupos. E a

condicao basica desse tipo de amostra que deve representar, o mais exatamente possıvel,

os estratos segundo sua proporcao na populacao. A forma mais simples de calcular o

tamanho da amostra estratificada consiste em aplicar, ao tamanho global da amostra, as

respectivas percentagens que cada estrato representa na populacao. Isso permite deter-

minar o numero de casos a ser distribuıdo em cada um destes.

Vamos recomendar os seguintes passos, ou procedimentos, para o caso de desejarmos

trabalhar com estratos, para melhor representar a populacao em questao:

• Definir as variaveis relevantes para o estudo planejado;

• Obter os dados censitarios com os numeros absolutos referentes as variaveis escolhi-

das;

• Calcular as proporcoes das variaveis para a populacao;

• Definir o tamanho da amostra;

• Multiplicar as proporcoes de cada variavel obtida ou o cruzamento destas pelo ta-

manho da amostra;

• Localizar os respondentes de cada estrato amostral atraves da realizacao de uma

amostragem aleatoria simples em cada estrato populacional.

Um banco de dados tem um cadastro de 500 registros de cadetes que usam do servico

de lavanderia da AMAN, sendo 380 homens e 120 mulheres. Para retirar uma amostra

de tamanho n = 50 deste cadastro obedecendo a amostragem estratificada proporcional,

determine o numero de cadastros de homens e mulheres que devem estar presentes nessa

amostra.

7. Uma pesquisa e planejada para determinar as despesas medicas anuais de militares de

uma Organizacao Militar. Deseja-se ter 95% de confianca de que a media da amostra esta

no maximo com uma margem de erro de R$50,00 da media real das despesas medicas

familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio-padrao equivale a R$400,00.

a) Qual deveria ser o tamanho de amostra necessario para atender as condicoes do

problema?

139


b) Qual deveria ser o tamanho de amostra se a margem de erro fosse de R$25,00?

8. Voce suspeita que os pacotes de 500 g, de um determinado genero alimentıcio, recebidos

pelo servico de aprovisionamento de uma Organizacao Militar, estao com peso abaixo do

especificado. Deste modo, resolveu retirar uma amostra dos pesos de 10 pacotes, obtendo

media de 497,50 g e desvio padrao de 3,1358 g. Para uma producao de 22700 pacotes,

qual deveria ser o tamanho da amostra necessaria para a estimativa da media, ao nıvel

de 95% de confianca, com erro maximo de 1,5 g?

9. Suponha que se pretenda estimar a renda media por famılia em uma cidade de aproxi-

madamente 75.000 habitantes. Sabe-se por experiencia que o desvio-padrao das rendas

das famılias e de R$ 750,00. Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro de

estimativa da renda media, com um nıvel de confianca de 95%, seja no maximo de R$

80,00?

140



1. 278

2. 2401

3. a) 4096

b) 3932

4. a) 7, 0442% ≤ p ≤ 9, 4558%

b) 8078

5. a) 92

b) 40% ≤ p ≤ 60%

6. n1 = 38 homens e n2 = 12 mulheres

7. a) 246

b) 984

8. 23

9. 337

141

Capıtulo 9

TESTE DE HIPOTESES

Quando comparamos dois valores (uma media amostral e uma populacional, por exemplo),

podemos ter dois resultados diferentes matematicamente, mas quando a diferenca entre esses

numeros e grande o suficiente para que seja improvavel que tenha ocorrido devido ao acaso,

esta diferenca e dita estatisticamente significativa.

Para nao submetermos nossas decisoes a um julgamento arbitrario e subjetivo (media amos-

tral “muito proxima” ou “muito afastada” da media populacional, por exemplo) e quantificar-

mos o que e estatisticamente significativo ou nao, nosso processo de tomada de decisao devera

fazer uso do Teste de Hipoteses.

Exemplo 1: o que e uma temperatura corporea normal?

Em 1860, apos tomar a temperatura da regiao axilar de aproximadamente 25 mil pessoas,

o medico alemao Carl Wunderlich identificou a temperatura media de adultos saudaveis como

98,6◦F (37,0◦C). Dado que a amostra utilizada por Wunderlich era bastante grande, determinou-

se que em uma populacao, 98,6◦F seria uma “temperatura normal” para um indivıduo adulto

saudavel. Por isso, os termometros caseiros costumam destacar o numero 98,6◦F como um

parametro de “temperatura normal”. Em 1992, tres autores (Mackowiak, Wasserman e Levine)

publicaram um estudo em que perguntavam: [...] sera que a temperatura media dos adultos

saudaveis e mesmo 98,6◦F? Eles coletaram dados amostrais com as seguintes caracterısticas:

n = 106, x = 98, 20oF, s = 0, 62oF e distribuicao de forma aproximadamente normal. Se utili-

zarmos o mesmo conjunto de temperaturas para estimar a media populacional µX (temperatura

media do corpo humano), o intervalo de confianca de 95% sera 98, 08oF ≤ µX ≤ 98, 32oF. Eis o

problema: os limites do intervalo de confianca 98, 08◦F e 98, 32◦F nao contem 98, 6◦F, que e o

valor geralmente aceito como temperatura media do corpo humano. O intervalo de confianca e

uma estimativa da temperatura media do corpo, mas os pesquisadores foram alem, alegando que

98,6◦F “deve ser desprezado como um conceito desprovido de qualquer significado para a tem-

peratura normal do corpo”. Devemos rejeitar a suposicao comum de que a temperatura media

do corpo de adultos sadios e 98, 6◦F? A questao chave e: os dados amostrais (x = 98, 20oF)

constituem evidencia suficiente para rejeitar a crenca comum de que µX = 98, 60oF? (Adaptado

de TRIOLA, Mario F. Introducao a estatıstica. Traducao de Alfredo Alves de Faria. 10. ed.

142

TESTE DE HIPOTESES 9.1· Teste de Hipoteses para Medias

Rio de Janeiro: LTC, 2008. cap. 7, p. 172.)

Para analisar este tipo de situacao, utilizaremos o Teste de Hipoteses, tecnica que consiste

na formulacao de duas hipoteses (uma chamada hipotese nula e outra chamada hipotese alter-

nativa) a respeito do valor do parametro a ser testado e da rejeicao ou nao rejeicao da hipotese

nula, com base na estatıstica proveniente da amostra retirada da populacao em questao.

9.1 Teste de Hipoteses para Medias

FUNDAMENTOS E METODOLOGIA DO TESTE DE HIPOTESES

O objetivo do teste de hipoteses e determinar se medidas baseadas nos dados amostrais

sao compatıveis ou nao com medidas populacionais. Em nosso curso, vamos usar uma media

amostral x para testar uma hipotese sobre a media populacional µX.

Passos para a realizacao do teste de hipoteses:

1. Definir as hipoteses;

2. Determinar a(s) regiao(oes) de rejeicao e nao rejeicao e calcular o(s) valor(es) crıtico(s);

3. Calcular o valor da estatıstica de teste;

4. Decidir sobre a rejeicao ou nao da hipotese nula, com base no valor crıtico e na estatıstica

de teste, e justificar a decisao.

Antes de descrevermos os passos, vamos apresentar um problema (exemplo 2), que sera

resolvido seguindo os passos para a realizacao do Teste de Hipoteses.

Exemplo 2: vamos supor que a variavel “X”, distancia percorrida, na corrida de 12 minutos,

em quilometros (km), no 1o Teste de Aptidao Fısica (TAF) dos 1320 recrutas de uma Brigada,

seja tal que X : N(2, 7; 0, 0441), ou seja, a variavel “X” tem distribuicao normal, com µX = 2, 7

km e σX =√0, 0441 = 0, 21 km.

Imediatamente antes do 2o TAF, uma amostra de 49 (quarenta e nove) recrutas (natural-

mente a amostragem aqui e sem reposicao) apresentou uma media x = 2, 772 km na corrida de

12 minutos. Deseja-se, com base no resultado desta amostra, testar a hipotese, ao nıvel de 95%

de confianca, de que a populacao de recrutas apresenta um desempenho diferente do resultado

obtido na corrida de 12 minutos no 1o TAF.

143

9.1· Teste de Hipoteses para Medias TESTE DE HIPOTESES

DESCRICAO DOS PASSOS

1o passo:

O Teste de Hipoteses e iniciado com uma afirmativa sobre determinado parametro popu-

lacional (no nosso caso a media µX), afirmativa que e identificada como hipotese nula (H0),

que sempre contem um sinal de igualdade. Observe:

Hipotese nula (H0): µX = µ0. A afirmativa sobre o parametro populacional e µ0 (mi ındice

zero).

A outra hipotese a ser especificada e a hipotese alternativa (H1), que nunca contem sinal

de igualdade1. A hipotese alternativa, de certo modo, se opoe a hipotese nula. Vamos ter tres

possibilidades para apresentar esta hipotese, dependendo do que se deseja testar: “a media e

diferente da apresentada em (H0)” (diz-se neste caso que o teste e bilateral), “a media e maior

do que a apresentada em (H0)” (diz-se neste caso que o teste e unilateral a direita), ou “a media

e menor do que a apresentada em (H0)” (diz-se neste caso que o teste e unilateral a esquerda).

Resumimos no quadro a seguir, as tres possibilidades para (H1) e os tipos de teste:

Possibilidades Primeira Segunda Terceira

Hipotese alternativa H1 : µX 6= µ0 H1 : µX > µ0 H1 : µX < µ0

Tipo de teste Bilateral Unilateral a direita Unilateral a esquerda

Vamos ver como apresentar na pratica esta hipotese (exemplo 2):

Hipotese nula H0 : µX = 2, 7 km

Hipotese alternativa H1 : µX 6= 2, 7 km

2◦ passo:

Vamos determinar agora as regioes de rejeicao (tambem chamada regiao crıtica) e de nao

rejeicao da hipotese nula H0, bem como o(s) valor(es) crıtico(s), de acordo com o tipo de teste.

Para que possamos definir essas regioes, precisamos conhecer:

• Qual e o nıvel de confianca “1− α” (conhecido “1− α” temos “α”);

• Qual e a hipotese alternativa H1(µX 6= µ0, µX > µ0 ou µX < µ0).

1Se o leitor quiser fazer uma pesquisa e deseja usar o Teste de Hipoteses para apoiar sua afirmacao, essadevera ser formulada como hipotese alternativa, tambem chamada de hipotese de pesquisa.

144


A figura 9.1 mostra as regioes de conformidade com as possibilidades para H1, no caso do uso

da variavel Z e a figura 9.2, no caso do uso da variavel T (−zα, −tα, −zα/2, −tα/2, zα/2, tα/2,

zα e tα sao chamados de valores crıticos).

0 00

REGIÃO DE REJEIÇÃO ÁREA α/2


REGIÃO DENÂO REJEIÇÃO ÁREA 1−α



REGIÃO DE REJEIÇÃO ÁREA α

z

H1:µ

x≠ µ

0H1:µ

x> µ

0H1:µ

x< µ

0

−zα/2

+zα/2

+zα

−zα

Figura 9.1

0 00






REGIÃO DE REJEIÇÃO ÁREA α

+tα

−tα

H1:µ

x≠ µ

0H1:µ

x> µ

0H1:µ

x< µ

0

+tα/2

−tα/2

T

Figura 9.2

Os graficos da esquerda correspondem ao teste bilateral; os graficos do centro ao teste

unilateral direito, e os graficos da direita, ao teste unilateral esquerdo.

No caso do exemplo 2, como o desvio-padrao populacional e conhecido e o nıvel de confianca

e de 1 − α = 95%, temos que α = 5% e α/2 = 2, 5% ou 0,025. Ja vimos que a probabilidade

ou area 0,025 na cauda direita corresponde a abscissa 1,96. Logo, ficam definidos os valores

crıticos +zα/2 = z0,025 = +1, 96 e −zα/2 = −z0,025 = −1, 96.

3o passo:

Supondo amostras representativas, selecionadas aleatoriamente da populacao da qual foram

extraıdas e conhecida a distribuicao da variavel (Z ou T ), podemos determinar a possibilidade

de nao rejeitarmos ou de rejeitarmos a hipotese nula atraves, respectivamente, das regioes de

nao rejeicao e de rejeicao. Neste ponto, e necessario que deixemos claro um aspecto muito

importante. Por que nao dizer “aceitar a hipotese nula H0” no lugar de “nao rejeitar a hipotese

145


nula H0”? Aceitar H0 seria considera-la verdadeira e ha um risco nesta afirmacao, pois ha

sempre uma probabilidade de que tal hipotese nao seja apoiada.

Quem definira se a hipotese nula nao sera rejeitada ou se sera rejeitada sera a estatıstica de

teste, posicionada em relacao ao(s) valor(es) crıtico(s), que calcularemos atraves das formulas

a seguir, levando-se em consideracao se conhecemos ou nao o desvio-padrao populacional “σX”.

σX Conhecido Desconhecido

Estatıstica de teste z0 =x− µ0

σX

t0 =x− µ0

sX

Reveja as formulas para a obtencao de “σX” e “sX” nos capıtulos 7 e 8.

Vamos calcular a estatıstica de teste para o exemplo 2, que se enquadra no caso de “σX”

conhecido. Inicialmente, vamos determinar “σX”. Como a amostragem e sem reposicao, vamos

verificar se n/N ≤ 0, 05, para escolher a formula de σX.

Vejamos:49

1320= 0, 0371. Como 0, 0371 < 0, 05 usamos σX =

σX√n

.

Logo, σX =0, 21√49

= 0, 03 e a estatıstica de teste e z0 =x− µ0

σX

=2, 772− 2, 7

0, 03= 2, 4.

A figura 9.3 mostra o posicionamento no grafico da estatıstica de teste obtida (z0 = 2, 4).

−1,96 +1,960 2,4

H1:µ

x≠ 2,7 km

REGIÃO DE REJEIÇÃO ÁREA 0,025

REGIÃO DENÂO REJEIÇÃO ÁREA 0,95

z


Figura 9.3

4o passo:

Ja temos condicoes de dar o quarto passo. Vamos inicia-lo com a decisao sobre a rejeicao

ou nao da hipotese nula. A estatıstica de teste calculada pode se localizar no eixo das abscissas

(variavel Z ou T ) tanto na regiao de rejeicao, como na regiao de nao rejeicao da hipotese nula.

Se a estatıstica de teste cair na regiao de rejeicao, ou na regiao de nao rejeicao, as respectivas

decisoes podem assim ser apresentadas:

146


Decisao: rejeitar a hipotese nula, ao nıvel de confianca de (1−α)% (ou ao nıvel de significancia

α%), ou seja, ha evidencia estatıstica de que ... (depende do problema). Justificativa: o valor

da estatıstica de teste z0 = · · · e maior (ou menor) que o valor crıtico zα/2 = · · · .

Decisao: nao rejeitar a hipotese nula, ao nıvel de confianca de (1 − α)% (ou ao nıvel de

significancia α%), ou seja, nao ha evidencia estatıstica de que ... (depende do problema).

Justificativa: o valor da estatıstica de teste z0 = · · · e maior (ou menor) que o valor crıtico

zα/2 = · · · .

No caso do exemplo 2 temos:

Decisao: rejeitar a hipotese nula, ao nıvel de confianca de 95%, ou seja, ha evidencia estatıstica

de que os recrutas devem ter um desempenho medio diferente de 2,7 km na corrida de 12

minutos do 2o TAF.

Justificativa: o valor da estatıstica de teste z0 = 2, 4 e maior do que o valor crıtico z0,025 = 1, 96,

ou ainda, a estatıstica de teste z0 = 2, 4 pertence ao intervalo de rejeicao da hipotese nula

H0[1, 96;+∞).

Por que e importante dizer na decisao, qual e o nıvel de confianca? Porque em muitos casos

a mudanca do nıvel de confianca pode alterar a decisao. O exemplo 2 ilustra tal fato. Suponha

que, ao inves de 1− α = 95% tivessemos 1− α = 99%. Neste caso, a decisao seria outra, pois

terıamos α = 1% e α/2 = 0, 5% ou α/2 = 0, 005, com z0,005 = 2, 575. A estatıstica de teste

z0 = 2, 4 se situaria na regiao de nao rejeicao da hipotese nula H0, ou seja, entre os valores

−2, 575 e +2, 575.

Se tivessemos feito o teste unilateral direito, ja que a media da amostra apresentou um

resultado maior do que 2,7 km (2,772 km), a decisao seria a mesma (refaca o teste para este

caso), mas concluirıamos deste modo: “[...] devem ter um desempenho medio acima de 2,7 km

na corrida de 12 minutos do 2o TAF”.

A proposito, por que dizemos: “ha evidencia estatıstica de que...” ou “nao ha evidencia

estatıstica de que...”? Porque, em geral, vamos apresentar o resultado do teste para pessoas

leigas e que podem nao compreender o que significa “rejeitar” ou “nao rejeitar”. Assim, de

acordo com a suposicao feita no paragrafo anterior, a traducao da decisao seria: “ha evidencia

estatıstica de que os recrutas devem ter um desempenho medio maior do que 2,7 km na corrida

de 12 minutos do 2o TAF”.

147


Finalizando o processo de tomada de decisao atraves do teste de hipoteses, completamos o

quarto passo com a justificativa da decisao.

No caso da rejeicao da hipotese nula, teremos as seguintes possibilidades para a justificativa,

conforme o tipo de teste:

A estatıstica de teste z0 pertence A estatıstica de teste t0 pertence

Teste ao intervalo de rejeicao da ao intervalo de rejeicao da

hipotese nula H0 hipotese nula H0

Bilateral (−∞;−zα/2] ou [+zα/2; +∞) (−∞;−tα/2] ou [+tα/2; +∞)

Unilateral direito [+zα; +∞) [+tα; +∞)

Unilateral esquerdo (−∞;−zα] (−∞;−tα]

No caso da nao rejeicao da hipotese nula, temos as seguintes justificativas:

A estatıstica de teste z0 pertence A estatıstica de teste t0 pertence

Teste ao intervalo de nao rejeicao ao intervalo de nao rejeicao

da hipotese nula H0 da hipotese nula H0

Bilateral [−zα/2; +zα/2) [−tα/2; +tα/2)

Unilateral direito (−∞; +zα] (−∞; +tα]

Unilateral esquerdo [−zα; +∞) [−tα; +∞)

Exemplo 3: verificou-se pelos registros dos anos anteriores a 2014 da Escola Preparatoria

de Cadetes do Exercito, que a nota media dos candidatos aprovados no concurso vinha caindo

ano a ano.

Logo apos a realizacao do concurso de 2014, corrigiu-se uma amostra de 25 provas, de um

universo de mais de 16000 provas, obtendo-se uma media de 51,839 pontos com desvio-padrao

de 2,2074 pontos. Teste a hipotese de que a nota media do concurso de 2014 seja menor que

a nota media do concurso de 2013 que foi de 53,023 pontos ao nıvel de significancia de 5%.

Considere a normalidade da populacao.

Solucao:

1o passo:{

Hipotese nula H0 : µX = 53, 023 pontos

Hipotese alternativa H1 : µX < 53, 023 pontos

2o passo:

Como o tamanho da amostra e n = 25, temos gl = 25 − 1 = 24. Assim, o valor crıtico

e t0,05;24 = 1, 711 (tabela T , apendice C). Dado que se trata de um teste unilateral esquerdo,

temos t0,05;24 = −1, 711.

148


3o passo:

Estatıstica de teste t0 =x− µ0

sX

=x− µ0

sx√n

=51, 839− 53, 023

2, 2074√25

= −2, 682

A figura 9.4 abaixo apresenta o grafico com as regioes de rejeicao e de nao rejeicao.

H1:µ

x < 53,023

T


REGIÃO DENÂO REJEIÇÃO ÁREA 0,95

t0= −2,682 −1,711 0

Figura 9.4

4o passo:

Decisao: rejeitar a hipotese nula, ao nıvel de significancia de 5%, ou seja, ha evidencia

estatıstica de que a nota media do concurso de 2014 devera ser menor que a nota media do

concurso de 2013.

Justificativa: a estatıstica de teste t0 = −2, 682 pertence ao intervalo de rejeicao da

hipotese nula H0(−∞;−1, 711], ou seja, o valor da estatıstica de teste t0 = −2, 682 e menor

que o valor crıtico t0,05;24 = −1, 711.

149


EXERCICIOS

1. Ao final do ano letivo de 2013, a populacao de cadetes da AMAN apresentou os seguintes

parametros: peso medio de 68 kg e desvio-padrao de 12 kg; distancia media na corrida

de 12 minutos de 3050 metros e desvio-padrao de 150 metros. No inıcio do ano letivo de

2014, a Secao de Educacao Fısica obteve uma amostra de 64 cadetes, de toda a populacao,

cujo peso medio foi de 71,6 kg e o desempenho medio na corrida de 12 minutos foi de

3000 metros.

a) Teste a hipotese de que os cadetes retornaram das ferias escolares com peso maior

do que 68 kg (obtiveram um sobrepeso durante as ferias escolares), ao nıvel de

significancia α = 2, 5%. Considere n/N ≤ 5%. Apresente as hipoteses, os calculos e

a decisao com a respectiva justificativa.

b) Teste a hipotese de que os cadetes retornaram das ferias escolares com desempenho

menor do que 3050 metros na corrida de 12 minutos (perderam condicionamento

fısico durante as ferias escolares), ao nıvel de significancia α = 1%. Considere

n/N ≤ 5%. Apresente as hipoteses, os calculos e a decisao com a respectiva justifi-

cativa.

2. Historicamente, segundo informacao do Deposito de Suprimentos, sua Organizacao Militar

tem um consumo medio mensal de carne bovina de 600 Kg, com desvio-padrao de 60 Kg.

Devido a uma serie de novas atividades que a OM vem desenvolvendo desde o ano de 2012,

observou-se, em reuniao de oficiais, que e possıvel que haja um aumento no consumo de

generos alimentıcios no ano de 2013. Como Oficial Aprovisionador, voce devera avaliar a

hipotese, utilizando um nıvel de significancia α = 0, 0505, de que o consumo medio mensal

de carne bovina de sua OM no ano de 2013 sera superior a 600 Kg. Para tanto, utilize,

como amostra para o teste, o consumo de 2012, em que a media dos 12 (doze) meses foi

de 625 Kg. Utilize, ainda, o desvio-padrao populacional conhecido σ = 60 Kg, considere

que o consumo mensal populacional segue a lei normal e que n/N ≤ 5%. Apresente as

hipoteses, os calculos e a decisao com sua justificativa.

3. Um determinado fabricante de caminhoes destinados as Forcas Armadas entregou, no

inıcio de 2013, uma quantidade muito grande dessas viaturas. Sua Organizacao Militar

recebeu 25 veıculos dessa fabrica. Consta dos dados tecnicos que o consumo de oleo

diesel dessas viaturas e tal que X : N(10 km/l; 4 km2/l2). Voce recebe a missao do

Fiscal Administrativo da sua Organizacao Militar de avaliar a hipotese, utilizando um

150


nıvel de significancia α = 0, 0505, de que o consumo medio mensal dessas viaturas e

menor do que o informado pelo fabricante. Para tanto, se obtem uma media de consumo

de 9,5 quilometros por litro de oleo diesel dessa amostra de 25 viaturas. Considere que

n/N ≤ 5%. Apresente os calculos e a decisao com a sua justificativa.

4. Na realizacao de quatro oficinas de instrucao, no estagio de montanhismo em 2013, a

media dos tempos que os cadetes do Curso Basico levaram para completar as tarefas

de todas as oficinas, em uma determinada sequencia, foi de 142,5 minutos. Em 2014,

com o objetivo de melhorar esse tempo medio, modificou-se a sequencia de execucao das

oficinas. Em um teste da nova sequencia, uma amostra de 25 (vinte e cinco) cadetes, de

uma populacao de 500 (quinhentos) cadetes do Curso Basico, obteve um tempo medio

de 139 (cento e trinta e nove) minutos, com um desvio padrao de 13 (treze) minutos.

Verifique se ha evidencia estatıstica, ao nıvel de significancia de 5% e de 1%, de que o

objetivo foi atingido. Considere que os tempos que todos os cadetes do Curso Basico levam

para completar as tarefas de todas as oficinas sao normalmente distribuıdos. Apresente

as hipoteses, os calculos, a decisao e a respectiva justificativa.

5. O tempo medio de falhas de determinado equipamento radio e tal que X : N(420 h;

576 h2). Apos todos os radios terem sido modificados tecnicamente, com o objetivo de

melhorar a confiabilidade (aumentar o tempo medio entre falhas), uma amostra de 36

radios foi testada e o tempo medio entre falhas foi de 415 horas. Com α = 0, 0505 teste

a afirmacao de que as modificacoes diminuıram a confiabilidade dos equipamentos radio.

Considere n/N ≤ 5%.

6. Segundo o fabricante de determinado pneu usado em viaturas militares, o tempo medio

de vida e de 40000 Km, com desvio-padrao de 5000 Km. Uma amostra de 100 viaturas,

de todo o Comando Militar, sorteada entre todas as viaturas que usam esse tipo de pneu,

apresentou um tempo medio de vida de 39000 Km. Ha evidencia de que o tempo medio

de vida dos pneus e diferente do tempo informado pelo fabricante, ao nıvel de 99% de

confianca? Considere n/N ≤ 5%.

7. Uma amostra de militares do Comando Militar do Leste, escolhidos aleatoriamente de um

universo de trezentos e dezessete militares com sobrepeso, seguiram, em 2015, um plano

especial de dieta durante dois meses. Ao final do perıodo, as perdas individuais de peso,

em quilogramas, foram:

151


7,3 9,1 6,0 5,3 7,4 3,9 0,2 3,5 5,7 8,8

1,8 -2,8 4,4 2,3 0,7 6,8 0,1 -4,0 2,9 0,4

-1,4 3,0 1,1 1,7 2,0 -0,6 -0,2 1,6

Teste a hipotese de que o plano especial de dieta devera proporcionar perda media real

de peso, ao nıvel de confianca de 95%. Considere que as perdas individuais de peso sao

normalmente distribuıdas. Apresente as hipoteses, os calculos e a decisao com a respectiva

justificativa.

8. Sabe-se que a pressao sanguınea media dos homens entre 35 e 44 anos de idade e 128, e que

o desvio-padrao dessa populacao e 15. O HMR, no exame medico para o TAF, constata

que o grupo de 361 (trezentos e sessenta e um) militares nesta faixa etaria apresentou uma

pressao media de 126,07. Isto constitui evidencia de que esses militares tem pressao media

diferente daquela apresentada pela populacao geral? Considere um nıvel de significancia

de 5% e n/N ≤ 5%.

9. Dao-se, a seguir, os escores do Grau de Compreensao de Leitura (GCL) para uma amostra

de 44 (quarenta e quatro) cadetes do 4o ano:

40 26 39 14 42 18 25 43 46 27 19

47 19 26 35 34 15 44 40 38 31 46

52 25 35 35 33 29 34 41 49 28 52

47 35 48 22 33 41 51 27 14 54 45

Os escores GCL sao aproximadamente normais. Suponha que o desvio-padrao dos escores

da populacao de cadetes seja conhecido, σ = 11. Suspeita-se que o escore medio dos

cadetes do 4oano seja superior a media de todos os cadetes da AMAN, µX = 32. Verifique,

atraves de um teste de hipoteses, se ha evidencia a favor de tal suspeita, ao nıvel de 5%.

Considere n/N ≤ 5%.

10. No final de 2014, verificou-se que a media dos saldos, em conta corrente, de todos os

cadetes da AMAN era negativa (gastos maiores do que as respectivas remuneracoes, ge-

rando encargos com o cheque especial). No inıcio de 2015, realizou-se uma campanha

de educacao financeira, tendo sido estabelecido um prazo de seis meses para que todos

pudessem saldar suas dıvidas e adequar os seus orcamentos, de modo a atingir o objetivo

de se chegar a uma media de saldos em conta corrente, de todos os cadetes, maior do

que zero (em R$). Em seguida, realizou-se uma pesquisa com vinte e sete cadetes, de um

152


universo de 1789 (um mil setecentos e oitenta e nove) cadetes, obtendo-se os seguintes

saldos em conta corrente, em R$:

39,20 8,17 6,04 15,38 77,41 39,99 10,20 -3,52 34,73 18,80

11,55 -42,81 14,40 22,31 10,75 86,80 0,11 -23,07 12,90 0,44

-2,45 13,30 -4,06 11,79 52,04 -20,62 -10,22

Teste a hipotese de que o objetivo tenha sido alcancado, ao nıvel de confianca de 99%.

Considere que os saldos em conta corrente seguem uma distribuicao normal. Apresente

as hipoteses, os calculos e a decisao com a respectiva justificativa.

11. Determinado equipamento radio utilizado pelo Exercito Brasileiro, antes de sofrer uma

modificacao tecnica, apresentava um tempo medio entre falhas igual a 420 horas e desvio

padrao igual a 24 horas. Para verificar se a modificacao melhorou a confiabilidade do

equipamento, realizou-se um teste com uma amostra de 64 radios, cujo tempo medio entre

falhas foi igual a 415 horas. Sabe-se que n/N ≤ 5%. Confiabilidade: “E a capacidade de

funcionar de maneira satisfatoria durante um longo perıodo de tempo”.

a) Verifique se ha evidencia estatıstica de que as modificacoes diminuıram a confiabi-

lidade dos equipamentos radio, ao nıvel de significancia α = 5, 05%. Apresente as

hipoteses, os calculos e a decisao com a respectiva justificativa.

b) Verifique se ha evidencia estatıstica de que as modificacoes diminuıram a confiabi-

lidade dos equipamentos radio, ao nıvel de significancia α = 0, 99%. Apresente a

decisao com a respectiva justificativa.

12. O Comando da 1a Regiao Militar (Rio de Janeiro - RJ) constatou que a media de atraso

dos soldados recrutas ao expediente nas segundas-feiras era sempre maior do que zero

minuto. Para resolver o problema, adotou-se algumas medidas energicas de carater dis-

ciplinar para os que reincidiam no descumprimento do horario do corpo. Apos a adocao

das medidas, anotou-se, em determinada segunda-feira, os tempos de atraso de vinte e

cinco soldados escolhidos ao acaso, de um total de cento e dezoito soldados. Os tempos,

em minutos, encontram-se no quadro a seguir:

3 -4 6 - 5 7 -9 - 10 -3 3 -1

-10 -4 4 -20 -10 8 0 -2 12 4

4 1 -4 -11 4

153


Observacao: um tempo negativo significa que o soldado chegou antes da hora do inıcio

do expediente.

Sabendo que os tempos de atraso dos soldados recrutas sao normalmente distribuıdos,

verifique se ha evidencia estatıstica de que o problema tenha sido resolvido, ou seja, a

media de atrasos tenha sido menor do que zero minuto, ao nıvel de confianca de 99%.

Apresente as hipoteses, os calculos e a decisao com a respectiva justificativa.

154



1. a)

HIPOTESES{

Hipotese nula H0 : µX = 68 kg

Hipotese alternativa H1 : µX > 68 kg

CALCULOS:

σX =σX√n

=12√64

= 1, 5 kg, Estatıstica de teste z =71, 6− 68

1, 5= 2, 4 e

Valor crıtico: z0,025 = 1, 96.

DECISAO:

Rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 2,5%, ou seja, ha evidencia

estatıstica de que os cadetes obtiveram um sobrepeso durante as ferias escolares.

JUSTIFICATIVA:

A estatıstica de teste z = 2, 4 e maior que o valor crıtico z0,025 = 1, 96 ou a estatıstica

de teste z = 2, 4 encontra-se na regiao crıtica ou z ∈ [1, 96;+∞).

b)

HIPOTESES{

Hipotese nula H0 : µX = 3050 metros

Hipotese alternativa H1 : µX < 3050 metros

CALCULOS:

σX =σX√n=

150√64

= 18, 75 m, estatıstica de teste z =3000− 3050

18, 75= −2, 67 e Valor

crıtico: z0,01 = −2, 33.

DECISAO:

Rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 1%, ou seja, ha evidencia

estatıstica de que os cadetes perderam condicionamento fısico durante as ferias es-

colares.

155


JUSTIFICATIVA:

A estatıstica de teste z = −2, 67 e menor que o valor crıtico z0,01 = −2, 33 ou a

estatıstica de teste z = −2, 67 encontra-se na regiao crıtica ou z ∈ (−∞;−2, 33].

2.

HIPOTESES{

Hipotese nula H0 : µX = 600 kg

Hipotese alternativa H1 : µX > 600 kg

CALCULOS:

σX =σX√n=

60√12

= 17, 3205 kg, estatıstica de teste z =625− 600

17, 3205∼= 1, 44 e Valor crıtico:

z0,0505 = 1, 64.

DECISAO:

Nao rejeitamos a hipotese nula, ou seja, nao ha evidencias de que o consumo de carne

bovina em 2013 seja superior a 600 Kg por mes.

JUSTIFICATIVA:

A estatıstica de teste z = 1, 44 e menor que o valor crıtico z0,0505 = 1, 64.

3.

HIPOTESES{

Hipotese nula H0 : µX = 10 km/l

Hipotese alternativa H1 : µX < 10 km/l

CALCULOS:

σX =σX√n=

2√25

= 0, 4 km/l, estatıstica de teste z =9, 5− 10

0, 4= −1, 25 e Valor crıtico:

z0,0505 = −1, 64.

156


DECISAO:

Nao rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 5,05%, ou seja, nao ha evidencia

estatıstica de que o consumo medio mensal das viaturas seja menor do que o informado

pelo fabricante.

JUSTIFICATIVA:

A estatıstica de teste z = −1, 25 e maior que o valor crıtico z0,0505 = −1, 64.

4. Estatıstica de teste: t0 = −1, 3462; Valor Crıtico: t0,05;24 = −1, 711 e t0,01;24 = −2, 492.

Nao rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 5% ou 1%, ou seja, nao ha

evidencia estatıstica de que o objetivo tenha sido atingido (o tempo medio tenha diminuıdo

com a nova sequencia de execucao), pois a estatıstica de teste t0 = −1, 3462 encontra-se

na regiao de nao rejeicao da hipotese nula, ou seja, pertence ao intervalo [−1, 711;+∞)

ou [−2, 492;+∞).

5. Estatıstica de teste: z = −1, 25; Valor Crıtico: z0,0505 = −1, 64.

Nao rejeitamos a hipotese nula, ou seja, nao ha evidencia de que as modificacoes di-

minuıram a confiabilidade dos equipamentos radio, pois a estatıstica de teste z = −1, 25 >

valor crıtico z0,0505 = −1, 64.

6. Estatıstica de teste: z = −2; Valor Crıtico: z0,005 = −2, 575.

Nao rejeitamos a hipotese nula, ou seja, nao ha evidencia de que o tempo de vida media

dos pneus seja diferente de 40.000 km, pois a estatıstica de teste z = −2 > valor crıtico

z0,005 = −2, 575.

7. Estatıstica de teste: t0 = 4, 4927; Valor Crıtico: t0,05;27 = 1, 703.

Rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de 95,0% de confianca, ou seja, ha evidencia estatıstica

de que o plano especial de dieta devera proporcionar perda media real de peso, pois a

estatıstica de teste t0 = 4, 4927 encontra-se na regiao de rejeicao da hipotese nula, ou

seja, pertence ao intervalo [1, 703;+∞).

8. Estatıstica de teste: z = −2, 44; Valor Crıtico: z0,025 = −1, 96.

Rejeitamos a hipotese nula, ou seja, ha evidencia de que o grupo de militares na faixa

etaria de 35 a 44 anos apresenta pressao arterial media diferente da populacao em geral,

pois a estatıstica de teste z = −2, 44 < valor crıtico z0,025 = −1, 96.

157


9. Estatıstica de teste: z = 1, 86; Valor crıtico: z0,05 = 1, 645.

Rejeitamos a hipotese nula, ou seja, ha evidencia de que o escore medio GCL dos cadetes

do 4o ano e superior a media de todos os cadetes da AMAN, pois a estatıstica de teste

z = 1, 86 > valor crıtico z0,05 = 1, 645.

10. Estatıstica de teste: t0 = 2, 6075; Valor Crıtico: t0,01;26 = 2, 479.

Rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de 99,0% de confianca, ou seja, ha evidencia estatıstica

de que o objetivo tenha sido alcancado (media dos saldos em conta corrente de todos os

cadetes maior do que R$ 0,00), pois a estatıstica de teste t0 = 2, 6075 encontra-se na

regiao de rejeicao da hipotese nula, ou seja, pertence ao intervalo [2, 479;+∞).

11. a) Rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 5,05%, ou seja, ha evidencia

estatıstica de que as modificacoes diminuıram a confiabilidade dos equipamentos

radio. A Estatıstica de teste Z = −1, 66 e menor do que o valor crıtico Z0,0505 =

−1, 64.

b) Nao rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de significancia de 0,99%, ou seja, nao ha

evidencia estatıstica de que as modificacoes diminuıram a confiabilidade dos equi-

pamentos radio. A estatıstica de teste Z = −1, 66 e maior do que o valor crıtico

Z0,0099 = −2, 33.

12. Estatıstica de teste: t0 = −1, 1233; Valor Crıtico: t0,01;24 = −2, 492.

Nao rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de 99,0% de confianca, ou seja, nao ha evidencia

estatıstica de que o problema tenha sido resolvido (media dos atrasos tenha sido menor

do que zero minuto), pois a estatıstica de teste t0 = −1, 1233 encontra-se na regiao de

nao rejeicao da hipotese nula, ou seja, pertence ao intervalo [−2, 492;+∞).

158

TESTE DE HIPOTESES 9.2· Teste de Hipoteses para Proporcoes

9.2 Teste de Hipoteses para Proporcoes

O teste objetiva verificar se uma proporcao amostral “p” observada pode ser oriunda de uma

populacao com parametro “p” que se alega. Um aspecto de suma importancia e a identificacao

da distribuicao adequada, com a qual vamos trabalhar, ja que ela nos dara a descricao da

variacao, neste caso, a variacao de “p”. A distribuicao adequada e a distribuicao normal, com

proporcao populacional “p” e desvio-padrao “σp”, em que σp =√

(p× q)/√n.

No mais o teste de hipoteses para proporcoes segue os mesmos passos dados no caso do teste

de hipoteses para medias. De modo mais resumido, dado que ja nos estendemos bastante nas

explicacoes para o caso da media, vamos descrever os passos, para as proporcoes.

1o passo:

Estabelecer as hipoteses nula e alternativa.

Hipotese nula (H0) : p = p0. A afirmativa sobre o parametro populacional (proporcao

populacional) e p0. Esta hipotese e escrita sempre da mesma maneira, tal como ocorreu no

teste de hipoteses para as medias, independentemente da hipotese alternativa.

Hipotese alternativa (H1): analogamente ao teste de hipoteses para as medias, podemos

ter o teste chamado bilateral p 6= p0, o teste unilateral a direita p > p0 e o teste unilateral a

esquerda p < p0. Lembramos que para um teste bilateral teremos uma area α/2, de rejeicao

em cada cauda. Neste caso um valor muito acima, ou um valor muito abaixo do valor esperado

levaria a rejeicao da hipotese nula. Ja no teste unilateral a direita a area de rejeicao sera de

α na cauda direita da curva e somente um valor muito elevado levaria a rejeicao de H0. Para

o teste unilateral a esquerda somente um valor muito abaixo do esperado levaria a rejeicao de

H0 (neste caso a area α de rejeicao situar-se-a na cauda esquerda da curva).

Na pratica os testes bilaterais sao feitos sempre que se suspeita que uma variacao crıtica

possa ocorrer tanto na cauda da direita como na cauda da esquerda. Por exemplo, na fabricacao

de parafuso e porca, tanto poderıamos ter uma variacao excessiva - a folga faria com que a porca

entrasse com tamanha sobra de diametro interno em relacao ao diametro do parafuso, que nao

haveria ajuste, como um ajuste excessivo - diametros interno da porca abaixo do diametro do

parafuso impedindo o encaixe das pecas.

O teste unilateral a direita e util para verificar se um padrao maximo nao foi excedido - por

exemplo, numero maximo de pecas defeituosas em um lote fabricado.

O teste unilateral a esquerda e util para verificar se um padrao mınimo foi atingido - por

159

9.2· Teste de Hipoteses para Proporcoes TESTE DE HIPOTESES

exemplo, tempo mınimo de vida util de uma lampada, conforme especificacao do fabricante.

2o passo:

Determinacao das regioes de rejeicao (uma regiao de rejeicao e conhecida tambem como

regiao crıtica) e de nao rejeicao da hipotese nula H0, bem como do(s) valor(es) crıtico(s),

conforme o tipo de teste (bilateral, unilateral a direita ou unilateral a esquerda). Lembramos que

o tipo de teste fica definido inequivocamente na hipotese alternativa. O(s) valor(es) crıtico(s)

depende(m) tambem do nıvel de confianca “1−α”. Tal nıvel e definido a priori pelo pesquisador,

ou, no nosso caso, e dado do problema.

Vejamos os valores crıticos para os testes com 95% de confianca:

Teste bilateral: ±zα/2 = ±z0,025 = ±1, 96; teste unilateral a direita: +zα = +z0,05 = +1, 645;

teste unilateral a esquerda: −zα = −z0,05 = −1, 645.

Vejamos os valores crıticos para os testes com 99% de confianca:

Teste bilateral: ±zα/2 = ±z0,005 = ±2, 575; teste unilateral a direita: +zα = +z0,01 = +2, 33;

teste unilateral a esquerda: −zα = −z0,01 = −2, 33.

3o passo:

Dados os primeiro e segundo passos, vamos agora calcular a estatıstica de teste z0. Seu

valor e uma abscissa da curva normal padronizada Z e define em que regiao o teste vai cair, ou

seja, na regiao de rejeicao ou de nao rejeicao da hipotese nula H0.

A formula para o calculo desta estatıstica e: z0 =p− p

σp

.

4o passo:

Trata-se da decisao e da justificativa de tal decisao, o que corresponde a finalizacao do teste.

E importante que se diga que a decisao esta vinculada a um dado nıvel de confianca, porque

pode acontecer de, ao modificarmos o nıvel de confianca “1−α”, termos uma mudanca tambem

na decisao. Por exemplo: se, com 1 − α = 95% a decisao for “rejeitar a hipotese nula”, com

1 − α = 99% pode acontecer da decisao se inverter, passando para “nao rejeitar a hipotese

nula”.

A justificativa e simplesmente dizer que o valor da estatıstica de teste pertence ao intervalo

real do eixo Z, que corresponde a regiao de rejeicao ou de nao rejeicao, conforme o caso.


Um candidato a vereador de uma pequena cidade afirma que tera 60% dos votos dos eleitores

da cidade. Um instituto de pesquisa obtem uma amostra representativa de 300 eleitores, dos

160


quais 160 afirmaram que irao votar no candidato. Verifique, atraves de um teste de hipoteses,

se ha evidencia estatıstica, ao nıvel de 95% de confianca, de que o vereador tera a porcentagem

alegada.

Para estabelecermos as hipoteses, vamos compreender o enunciado. O candidato diz que

tera 60% dos votos. Ele nao disse que tera mais do que 60%, para optarmos, sem nenhuma

duvida, pelo teste unilateral a direita. Logo, vamos fazer o teste bilateral, ja que nao ter 60%

dos votos pode significar ter menos do que 60% dos votos ou ter mais do que 60% dos votos.

Portanto, as hipoteses sao:{

Hipotese nula H0 : p = 0,6 (o candidato tera 60% dos votos)

Hipotese alternativa H1 : p 6= 0,6 (o candidato nao tera 60% dos votos)

Como o teste e bilateral, com 95% de confianca, teremos ±z0,025 = ±1, 96. Assim, as regioes

crıticas sao (−∞;−1, 96] e [+1, 96;+∞). Caso a estatıstica de teste pertenca a algum destes

intervalos, deveremos rejeitar a hipotese nula. A regiao de nao rejeicao da hipotese nula fica

entao definida pelo intervalo (−1, 96;+1, 96) e, evidentemente, se a estatıstica de teste pertencer

a este intervalo nao rejeitaremos a hipotese nula.

Como n = 300 e∑

no de sucessos na amostra = 160, p =160

300∼= 0, 5333. A proporcao

populacional alegada e 0,6. Logo, q = 0, 4. O desvio-padrao e dado entao, por σp =

√p× q√n

=√0, 6× 0, 4√

300∼= 0, 0283.

Podemos agora calcular a estatıstica de teste: z0 =p− p

σp

=0, 5333− 0, 6

0, 0283∼= −2, 36. Como

a estatıstica de teste pertence ao intervalo (−∞;−1, 96], de rejeicao da hipotese nula, podemos

finalizar o teste, com a decisao e a respectiva justificativa.

Decisao: rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de confianca de 95%, ou seja, nao ha evidencia

estatıstica de que o candidato a vereador tera 60% dos votos nas eleicoes. Justificativa: a

estatıstica de teste z0 ∼= −2, 36 pertence ao intervalo de rejeicao da hipotese nula, ou seja, ao

intervalo (−∞;−1, 96].

161


EXERCICIOS

1. O Laboratorio Quımico e Farmaceutico do Exercito (LQFEx) esta testando um novo

medicamento por ele fabricado para verificar se ele tem mais do que 90% de eficacia. Em

uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 195 pessoas. Testar, ao nıvel de 1% de

significancia se a pretensao do Laboratorio se verifica. Considere que N ≥ 10n, np ≥ 10

e nq ≥ 10.

2. Em pesquisa recente 39,8% da populacao brasileira mostrou-se favoravel a legalizacao da

maconha. Em 2017, a Marinha do Brasil, com o objetivo de verificar se ha evidencia

estatıstica de que menos de 39,8% do seu pessoal e favoravel a tal legalizacao, realizou

uma pesquisa com uma amostra de 400 pessoas, do seu efetivo total de pessoal, obtendo

um resultado de 33% favoravel. Teste, com 95% de confianca, se a evidencia esperada se

confirma. Considere que N ≥ 10n, np ≥ 10 e nq ≥ 10.

3. Em pesquisa recente levada a efeito pelo site e-cidadania do Senado Federal, perto do

total de cidadaos que acessaram o site opinou favoravelmente ao fim do Estatuto do

Desarmamento. Um Instituto de Pesquisa, acreditando que 49% da populacao brasileira

e favoravel ao fim do Instituto do Desarmamento, realizou uma pesquisa nacional por

amostragem, com 1500 eleitores, obtendo uma proporcao de 54% favoraveis ao fim do

Estatuto. Teste, com 99% de confianca, se ha evidencia estatıstica para tal afirmacao.

Considere que N ≥ 10n, np ≥ 10 e nq ≥ 10.

162



1.

{

Hipotese nula H0 : p = 0,9 (a eficacia do medicamento e de 90%)

Hipotese alternativa H1 : p > 0,9 (a eficacia d medicamento e maior do que 90%)

Como o teste e unilateral a direita, com 1% de significancia o que equivale a 99% de

confianca, teremos z0,01 = 2, 33. Assim, a regiao crıtica e [+2, 33;+∞). Caso a estatıstica

de teste pertenca ao intervalo, deveremos rejeitar a hipotese nula. A regiao de nao rejeicao

da hipotese nula fica entao definida pelo intervalo (−∞; +2, 33] e, evidentemente, se a

estatıstica de teste pertencer a este intervalo a hipotese nula nao sera rejeitada.

Como n = 200 e∑

no de sucessos na amostra = 195, p =

∑

xi

n=

195

200∼= 0, 975. A

proporcao populacional alegada e 0,9 e q = 0, 1. O desvio-padrao e dado por σp =√p× q√n

=

√0, 9× 0, 1√

200∼= 0, 0212.


σp

=0, 975− 0, 9

0, 0283∼= 2, 65. Como

a estatıstica de teste pertence ao intervalo [+2, 33;+∞), de rejeicao da hipotese nula,

podemos finalizar o teste, com a decisao e a respectiva justificativa.

Decisao: rejeitamos a hipotese nula ao nıvel de confianca de 99%, ou seja, ha evidencia

estatıstica de que a eficacia do medicamento e maior do que 90%.

Justificativa: a estatıstica de teste z0 ∼= 2, 65 pertence ao intervalo de rejeicao da hipotese

nula, ou seja, ao intervalo [+2, 33;+∞).

2.

{

Hipotese nula H0 : p = 0, 398

Hipotese alternativa H1 : p < 0, 398

Como o teste e unilateral a esquerda, com 95% de confianca o que equivale a 5% de

significancia, teremos −z0,05 = −1, 645. Assim, a regiao crıtica e (−∞;−1, 645]. Caso

a estatıstica de teste pertenca a este intervalo, deveremos rejeitar a hipotese nula. A

regiao de nao rejeicao da hipotese nula fica entao definida pelo intervalo [−1, 645;+∞)

e, evidentemente, se a estatıstica de teste pertencer a este intervalo a hipotese nula nao

sera rejeitada.

163


Temos n = 400 e p = 0, 33. A proporcao populacional alegada e 0,398. Logo q = 0, 602.

O desvio-padrao e dado por σp =

√p× q√n

=

√0, 398× 0, 602√

400∼= 0, 0245.


σp

=0, 933− 0, 0, 398

0, 0245∼= −2, 78.

Como a estatıstica de teste pertence ao intervalo (−∞;−1, 645], de rejeicao da hipotese

nula, podemos finalizar o teste, com a decisao e a respectiva justificativa.


estatıstica de que a proporcao do pessoal da Marinha favoravel a legalizacao da maconha

e menor do que 39,8%.

Justificativa: a estatıstica de teste z0 ∼= −2, 78 pertence ao intervalo de rejeicao da

hipotese nula, ou seja, ao intervalo (−∞;−1, 645].

3. Para estabelecermos as hipoteses, vamos compreender o enunciado. O Instituto de Pes-

quisa diz que a proporcao de favoraveis ao fim do Estatuto do Desarmamento e 49%.

Ele nao disse que menos do que 49%, para optarmos, sem nenhuma duvida, pelo teste

unilateral a esquerda. Logo, vamos fazer o teste bilateral, ja que nao ter 49% de votos

favoraveis pode significar ter menos do que 49% dos votos ou ter mais do que 49% dos

votos. Portanto, as hipoteses sao:

{

Hipotese nula H0 : p = 0, 49

Hipotese alternativa H1 : p 6= 0, 49

Temos n = 1500 e p = 0, 54. A proporcao populacional alegada e 0,49. Logo q = 0, 51.

O desvio-padrao e dado por σp =

√p× q√n

=

√0, 49× 0, 51√

1500∼= 0, 0129.


σp

=0, 54− 0, 0, 49

0, 0129∼= −3, 88.

Como a estatıstica de teste pertence ao intervalo (−∞;−2, 575], de rejeicao da hipotese

nula, podemos finalizar o teste, com a decisao e a respectiva justificativa.


estatıstica de que a proporcao de pessoas favoraveis ao fim do Estatuto do Desarmamento

e de 49% (poderia ser dito que esta proporcao e diferente ou ate mesmo maior do que

49%).

Justificativa: a estatıstica de teste z0 ∼= −3, 88 pertence ao intervalo de rejeicao da

hipotese nula, ou seja, ao intervalo (−∞;−2, 575].

164

Referencias Bibliograficas

[1] MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatıstica Basica, Probabilidade e Inferencia. Sao Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2010.

[2] LEVINE, David M. BERENSON, Mark L. STEPHAN, David. Estatıstica: Teoria e

Aplicacaoes Usando Microsoft Excel em Portugues. Traducao: Teresa Cristina Padilha

de Souza. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S.A.,2000.

[3] STEVENSON, William J. Estatıstica Aplicada a Administracao. Traducao: Alfredo Alves

de Farias. Sao Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981.

[4] TRIOLA, Mario F. Introducao a Estatıstica, 7 ed. Traducao: Alfredo Alves de Faria. Rio

de Janeiro. Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S.A., 1999.

165

Apendice A

Projeto de Acompanhamento e Avaliacao da Area Atitudinal (P4A)

1. FINALIDADE

Participar do P4A, em consonancia com as normas que regulam a participacao das Ca-

deiras da Divisao de Ensino no projeto.

2. OBJETIVOS

a) Por parte da Cadeira (docentes): operacionalizar a contribuicao da cadeira no pro-

jeto;

b) Por parte dos discentes: participar do projeto, no que diz respeito ao conceito lateral.

3. ATIVIDADE

Como suporte metodologico para atender a finalidade e os objetivos sera empregada a

tecnica de trabalho em grupo.

4. CONCEITO DE ATITUDE

De acordo com o manual elaborado pela Secao Psicopedagogica: “caracterıstica relativa-

mente consistente do indivıduo para responder de uma determinada maneira as situacoes”.

5. RELACAO DAS ATITUDES

Foram definidas as atitudes abaixo, para serem trabalhadas na presente atividade pela

Cadeira de Estatıstica:

• Aprimoramento tecnico profissional;

• Disciplina;

• Honestidade;

• Organizacao;

• Persistencia.

166

6. ORGANIZACAO DOS GRUPOS

Os grupos serao organizados livremente (a constituicao dos grupos sera a criterio dos

proprios cadetes) com cinco cadetes cada, ou seis, se necessario.

7. PROCEDIMENTOS

Em funcao do desempenho na atividade proposta, que sera a solucao de duas questoes de

Estatıstica, cada cadete do grupo fara a avaliacao de cada um dos demais companheiros

do grupo, bem como a sua propria (autoavaliacao); se o grupo tem cinco componentes,

cada cadete fara cinco avaliacoes, para cada uma das atitudes previstas; para cada atitude

o cadete devera marcar “SIM”, caso a atitude tenha sido evidenciada durante a execucao

da atividade, “NAO”, caso nao tenha sido evidenciada e “NAO OBSERVADO”, caso nao

tenha sido possıvel observar a atitude (exemplo no quadro abaixo).

CADETE ATITUDES

NOME DE AprimoramentoNo

GUERRA tecnico profissionalDisciplina Honestidade Organizacao Persistencia

8. LANCAMENTO NO SISTEMA

Cada cadete e responsavel pelas suas anotacoes e devera posteriormente registra-las no

sistema de avaliacao. Portanto e necessario que se tome o maximo cuidado para que as

anotacoes nao se percam.

9. QUESTOES PROPOSTAS

1a O quadro 1 abaixo apresenta o resultado obtido na primeira corrida de 12 minutos,

realizada pelos soldados incorporados no ano de 2015, do 1o Pelotao de Fuzileiros

de Selva (1o Pel Fuz Sl) da 1a Companhia de Fuzileiros de Selva (1a Cia Fuz Sl) do

50o Batalhao de Infantaria de Selva (50o BIS), Imperatriz - MA, em 26 de marco de

2015. Os dados foram fornecidos pelo Oficial de Treinamento Fısico do Batalhao.

Quadro 1

Distancia percorrida (Km) 2,00 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50


Distancia percorrida (Km) 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,95 3,00 3,05


167

Os outros pelotoes da 1a Cia Fuz Sl obtiveram as medidas de dispersao relativa, apresen-

tadas no quadro 2 a seguir:

Quadro 2

2o Pelotao de Infantaria de Selva 3o Pelotao de Infantaria de Selva Pelotao de Apoio

13,12% 12,50% 14,89%

Voce, comandante do 1o Pelotao de Fuzileiros de Selva, devera atender aos pedidos cons-

tantes das letras a e b, a seguir.

a. Represente graficamente a tabela de distribuicao de frequencias organizada a partir

dos dados do quadro 1, com 07 (sete) classes de valores. A finalidade e afixar o grafico

no quadro de avisos do pelotao, enviar uma copia ao comandante da companhia e

arquivar uma copia para comparacao com os proximos resultados do pelotao na

corrida de 12 minutos. Apresente os calculos.

b. Utilizando os dados do quadro 1, classifique a distribuicao das distancias, quanto

a forma (qualquer criterio para a sua determinacao), para tornar mais evidente a

natureza dos dados. Em seguida conclua se a forma obtida e a mais desejada,

para a variavel em questao (distancia percorrida, em Km), justificando sua resposta.

Apresente os calculos.

Voce, agora na condicao de comandante da 1a Companhia de Infantaria de Selva,

devera atender ao pedido constante da letra c, a seguir.

c. Utilizando os dados dos quadros 1 e 2, determine qual dos pelotoes da companhia foi

mais regular ou homogeneo no que diz respeito a distribuicao das distancias, em km,

obtida na corrida de 12 minutos, com o objetivo de comparar os pelotoes. Justifique

sua resposta. Apresente os calculos, com aproximacao de 04 (quatro) casas decimais.

2a. A 11a Companhia de Comunicacoes - Santiago - RS registrou o numero de dias,

no segundo semestre de 2015, em que os soldados da companhia chegaram com

atraso para o inıcio do expediente. Os extratos das tabelas a seguir apresentam os

resultados do levantamento feito pela guarda do quartel, para cada um dos quatro

pelotoes da companhia.

168

Pelotao de Centro de Pelotao de Comando e

MensagensPelotao Fio Pelotao Radio

Servicos

Numero Numero Numero Numero Numero Numero Numero Numero

de dias de de dias de de dias de de dias de

com atraso soldados com atraso soldados com atraso soldados com atraso soldados

0 14 0 21 0 17 0 15

1 19 1 11 1 18 1 18

2 4 2 3 2 2 2 4

3 3 3 3 3 2 3 2

- - 38 1 4 1 4 1

- - 40 1 - - - -

Total 40 Total 40 Total 40 Total 40

O comandante da companhia, com o resultado do levantamento dos atrasos em maos, chama

o comandante do Pelotao Fio, mostra os extratos das tabelas e diz que esta ciente das medidas

disciplinares que o pelotao tem tomado a respeito. Entretanto, afirma, a luz de uma medida

de tendencia central, que o pelotao esta em uma situacao desfavoravel, no que diz respeito a

disciplina do cumprimento do horario e pede providencias a respeito.

Voce, comandante do pelotao, anuiu a observacao do comandante e retornou ao seu gabinete

de trabalho. Nao obstante, voce quer verificar com maior profundidade a situacao dos pelotoes,

em especial o seu, com relacao as medidas de tendencia central. Feito isso, em funcao dos

resultados, voce deve apresentar um relatorio ao seu comandante, com o objetivo de modificar

a impressao negativa deixada pelo pelotao. Atente para o cuidado no tocante a redacao, ao se

dirigir ao seu comandante atraves de documento formal. Apresente os calculos, quando for o

caso.

169

Apendice B

Tabela de areas sob a curva normal padronizada

z0

Z0

Área = P(Z > z0), onde z

0 ≥ 0

Tabela Z: áreas acumuladas de z0 até + ∞

z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,16111,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,02332,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,00143,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,00103,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,00073,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,00053,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,00033,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,00023,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,00023,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,00013,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,00013,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,00013,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00004,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

170

Apendice C

Tabela T

t0,025

Área = 0,025 ou 2,5%Pontos críticos de t

0T

Por exemplo, para um nıvel de confianca 1−α = 0, 95 ou 95%, a abscissa t0,025 deixa

uma area na cauda de 0,025.

Tabela: distribuicao t para intervalos de confianca (unilaterais ou bilaterais)

Valores de tα (teste unilateral) ou (tα/2) teste bilateralGraus de

Exemplo: se 1− α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 (usar t0,05) ⇒ α/2 = 0, 025 (usar t0,025)liberdade

t0,1 t0,075 t0,05 t0,025 t0,0125 t0,01 t0,005 t0,0005

1 3,078 4,165 6,314 12,706 25,452 31,821 63,656 636,578

2 1,886 2,282 2,920 4,303 6,205 6,965 9,925 31,600

3 1,638 1,924 2,353 3,182 4,177 4,541 5,841 12,924

4 1,533 1,778 2,132 2,776 3,495 3,747 4,604 8,610

5 1,476 1,699 2,015 2,571 3,163 3,365 4,032 6,869

6 1,440 1,650 1,943 2,447 2,969 3,143 3,707 5,959

7 1,415 1,617 1,895 2,365 2,841 2,998 3,499 5,408

8 1,397 1,592 1,860 2,306 2,752 2,896 3,355 5,041

9 1,383 1,574 1,833 2,262 2,685 2,821 3,250 4,781

10 1,372 1,559 1,812 2,228 2,634 2,764 3,169 4,587

11 1,363 1,548 1,796 2,201 2,593 2,718 3,106 4,437

12 1,356 1,538 1,782 2,179 2,560 2,681 3,055 4,318

13 1,350 1,530 1,771 2,160 2,533 2,650 3,012 4,221

14 1,345 1,523 1,761 2,145 2,510 2,624 2,977 4,140

15 1,341 1,517 1,753 2,131 2,490 2,602 2,947 4,073

16 1,337 1,512 1,746 2,120 2,473 2,583 2,921 4,015

17 1,333 1,508 1,740 2,110 2,458 2,567 2,898 3,965

18 1,330 1,504 1,734 2,101 2,445 2,552 2,878 3,922

19 1,328 1,500 1,729 2,093 2,433 2,539 2,861 3,883

20 1,325 1,497 1,725 2,086 2,423 2,528 2,845 3,850

21 1,323 1,494 1,721 2,080 2,414 2,518 2,831 3,819

22 1,321 1,492 1,717 2,074 2,405 2,508 2,819 3,792

23 1,319 1,489 1,714 2,069 2,398 2,500 2,807 3,768

24 1,318 1,487 1,711 2,064 2,391 2,492 2,797 3,745

25 1,316 1,485 1,708 2,060 2,385 2,485 2,787 3,725

26 1,315 1,483 1,706 2,056 2,379 2,479 2,779 3,707

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Tabela: distribuicao t para intervalos de confianca (unilaterais ou bilaterais)

Valores de tα (teste unilateral) ou (tα/2) teste bilateralGraus de

Exemplo: se 1− α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 (usar t0,05) ⇒ α/2 = 0, 025 (usar t0,025)liberdade

t0,1 t0,075 t0,05 t0,025 t0,0125 t0,01 t0,005 t0,0005

27 1,314 1,482 1,703 2,052 2,373 2,473 2,771 3,689

28 1,313 1,480 1,701 2,048 2,368 2,467 2,763 3,674

29 1,311 1,479 1,699 2,045 2,364 2,462 2,756 3,660

30 1,310 1,477 1,697 2,042 2,360 2,457 2,750 3,646

31 1,309 1,476 1,696 2,040 2,356 2,453 2,744 3,633

32 1,309 1,475 1,694 2,037 2,352 2,449 2,738 3,622

33 1,308 1,474 1,692 2,035 2,348 2,445 2,733 3,611

34 1,307 1,473 1,691 2,032 2,345 2,441 2,728 3,601

35 1,306 1,472 1,690 2,030 2,342 2,438 2,724 3,591

36 1,306 1,471 1,688 2,028 2,339 2,434 2,719 3,582

37 1,305 1,470 1,687 2,026 2,336 2,431 2,715 3,574

38 1,304 1,469 1,686 2,024 2,334 2,429 2,712 3,566

39 1,304 1,468 1,685 2,023 2,331 2,426 2,708 3,558

40 1,303 1,468 1,684 2,021 2,329 2,423 2,704 3,551

41 1,303 1,467 1,683 2,020 2,327 2,421 2,701 3,544

42 1,302 1,466 1,682 2,018 2,325 2,418 2,698 3,538

43 1,302 1,466 1,681 2,017 2,323 2,416 2,695 3,532

44 1,301 1,465 1,680 2,015 2,321 2,414 2,692 3,526

45 1,301 1,465 1,679 2,014 2,319 2,412 2,690 3,520

46 1,300 1,464 1,679 2,013 2,317 2,410 2,687 3,515

47 1,300 1,463 1,678 2,012 2,315 2,408 2,685 3,510

48 1,299 1,463 1,677 2,011 2,314 2,407 2,682 3,505

49 1,299 1,462 1,677 2,010 2,312 2,405 2,680 3,500

50 1,299 1,462 1,676 2,009 2,311 2,403 2,678 3,496

60 1,296 1,458 1,671 2,000 2,299 2,390 2,660 3,460

70 1,294 1,456 1,667 1,994 2,291 2,381 2,648 3,435

80 1,292 1,453 1,664 1,990 2,284 2,374 2,639 3,416

90 1,291 1,452 1,662 1,987 2,280 2,368 2,632 3,402

100 1,290 1,451 1,660 1,984 2,276 2,364 2,626 3,390

150 1,287 1,447 1,655 1,976 2,264 2,351 2,609 3,357

200 1,286 1,445 1,653 1,972 2,258 2,345 2,601 3,340

250 1,285 1,444 1,651 1,969 2,255 2,341 2,596 3,330

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