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REAd Edio 28 Vol. 8 No. 4, jul-ago 2002

AVALIAO DA ESTIMATIVA DO RISCO DE MERCADO DE AES E OPES

DE COMPRA DA PETROBRS UTILIZANDO A METODOLOGIA VALUE AT RISK

(VaR) COM SIMULAO DE MONTE CARLO

Fbio Luiz de Oliveira Bezerra 1 Av. Prof. Moraes Rego, 1235 Cidade Universitria

CEP: 50670-901 Recife/PE Brasil E-mail: [email protected]

Charles Ulises De Montreuil Carmona 1

Av. Prof. Moraes Rego, 1235 Cidade Universitria CEP: 50670-901 Recife/PE Brasil

Tel: (81) 3271.8368 E-mail: [email protected]

1 Universidade Federal de Pernambuco - UFPE Departamento de Cincias Administrativas CEP: 50670-901 Recife/PE Brasil

Resumo:

Este trabalho tem o intuito de avaliar a capacidade da abordagem Value at Risk com

simulao de Monte Carlo (SMC), na previso do risco de mercado da ao da Petrobrs

(PETR4) e das opes de compra da PETR4 (PETRJ39, PETRH6, PETRH5). Compara-se a

performance da SMC com os mtodos denominados paramtricos: para a carteira de aes,

considera-se o modelo do desvio padro, e, para as opes, utilizam-se aproximaes Delta e

Delta-Gama. A SMC para as opes obtida pelos seguintes modelos de precificao do

valor da carteira: o de Black & Scholes (SMC Univariada), o de Hull & White, que inclui

volatilidade estocstica (SMC Bivariada), e, por ltimo, a incluso da taxa de juros tambm

estocstica atravs do modelo de Rendleman e Bartter (SMC Trivariada). As evidncias

empricas sugerem que a estimativa do VaR pela simulao de Monte Carlo supera a dos

mtodos paramtricos, notadamente em carteiras no-lineares.

Palavras-chave: Risco de mercado, Value at Risk, simulao de Monte Carlo.

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

Avaliao da estimativa do risco de mercado de aes e opes de compra da Petrobrs utilizando a metodologia Value at Risk (var) com simulao de Monte Carlo

REAd Edio 28 Vol. 8 No. 4, jul-ago 2002 2

AVALIAO DA ESTIMATIVA DO RISCO DE MERCADO DE AES E OPES

DE COMPRA DA PETROBRS UTILIZANDO A METODOLOGIA VALUE AT RISK

(VaR) COM SIMULAO DE MONTE CARLO

1. Introduo

A abordagem Value at Risk (VaR) tem sido uma das tcnicas mais utilizadas no

gerenciamento de risco tornando-se padro na indstria bancria. Uma grande vantagem da

estimativa do risco atravs do VaR consiste na capacidade de mensurar e agregar diversas

posies de risco de toda a instituio em um nico valor. Isso torna a compreenso muito

mais fcil do nvel de risco da empresa para seus diretores, acionistas e investidores.

Embora a abordagem do VaR para a estimativa do risco de mercado seja de fcil

entendimento, existem diversas metodologias para sua obteno, cada uma apoiando-se em

suposies diferentes quanto s caractersticas dos fatores de risco de mercado e adequando-

se melhor a diferentes perfis de composio da carteira. Conforme destacam Hull e White

(1987), os modelos matemticos e estatsticos mais utilizados para o clculo do VaR

(metodologia paramtrica) admitem que retornos dirios das variveis de mercado (preo de

ativos, taxas de juros, cmbio) seguem uma distribuio de probabilidade do tipo normal. Na

prtica, as sries de retornos dirios dessas variveis apresentam assimetria e significativos

graus de curtose.

Por outro lado, a simulao de Monte Carlo parece ser uma metodologia confivel

e abrangente para a mensurao de riscos financeiros, e capaz de capturar uma grande

variedade de riscos, inclusive de preo, de volatilidade e de crdito.

conveniente, portanto, realizar uma anlise de acuidade das metodologias para o

clculo do VaR, comparando-se a estimativa de perda potencial de uma carteira medida pelo

VaR com a perda efetiva ou real observada aps a passagem do tempo.

2. Referencial terico

Jorion (2000) estabelece uma definio formal para tal medida: o VaR mede a

pior expectativa de perda durante um certo perodo de tempo, sob condies normais de

mercado e com um dado nvel de confiana. Considerando-se 0VC o valor da carteira no

momento inicial e R a sua taxa esperada de retorno no final do horizonte de tempo, o valor

esperado da carteira aps o horizonte determinado ser de )1(0 RVCVC += , tambm define

VaR como a perda da carteira relativa ao seu valor esperado:

)( *0* RRVCVCVCVaR -=-=

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealcegrau de achatamento da curva normal

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce

Fbio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Montreuil Carmona


onde VC* o valor esperado mnimo admitido para a carteira referente ao nvel de

significncia desejado, e R* o retorno associado a VC*.

O VaR pode ser definido como a perda absoluta da carteira, ou seja, relativa a

zero ou sem referncia com o valor esperado da carteira: *

0*

0 RVCVCVCVaR -=-=

Esta ltima forma a comumente utilizada no meio acadmico e de mercado,

pois representa a perda real da carteira em relao ao momento em que est se medindo o

VaR.

Para encontrar o valor mnimo esperado, necessita-se estabelecer um nvel de

confiana e conhecer a funo de distribuio de probabilidade futura da carteira de ativos ou

do retorno da carteira, respectivamente quando se calcula o VaR do valor da carteira ou de

retorno. Considerando a funo de distribuio de probabilidade do valor futuro da carteira,

f(x), a determinado nvel de confiana, q , deseja-se descobrir a pior realizao possvel para a

carteira, VC* , tal que a probabilidade de exceder esse valor seja q:

=*

)(VC

dxxfq

ou tal que a probabilidade de um valor menor que VC* , )( *VCxPp = , seja 1-q:

-

===-*

*)()(1VC

pVCxPdxxfq

Portanto, tem-se que )(1* pFVC -= , que corresponde ao valor do quantil de

probabilidade p, onde 1-F a funo inversa de densidade de probabilidade. Da:

)(10*

0 pFVCVCVCVaR--=-=

Se no h a funo de distribuio de probabilidade analiticamente, deve-se

proceder empiricamente construo da distribuio do valor da carteira e calcular o quantil

pela ordenao direta das freqncias de ocorrncias dos valores.

Como se v, o VaR obtido do quantil da funo de distribuio de probabilidade

da carteira, logo sendo aplicado a qualquer distribuio, seja ela normal ou no, discreta ou

contnua, com cauda grossa ou fina. Se a distribuio for normal, considerando m e s,

respectivamente, mdia e desvio padro, o quantil genrico p a funo inversa de

distribuio normal cumulativa de probabilidade )(1 p-F . Para as distribuies normais, o

VaR dado por:

as= 0VCVaR (2-1)

DeboraRealce

DeboraRealce

DeboraRealce



onde a desvio normalizado para a significncia selecionada, s o desvio padro e 0VC o

valor inicial da carteira do momento do cmputo do VaR.

Para carteira com vrios fatores de risco, a funo de distribuio de probabilidade

da carteira obtida a partir da distribuio dos fatores de risco ou variveis financeiras aos

quais est exposta a carteira. Considerando-se que as variveis aleatrias que representam os

fatores de risco so dados por 1X ,..., dX , a funo que representa o valor da carteira, que

pode ser uma funo perda ou modelo de precificao da carteira, ser dada por

),...,,( 321 XXXL=h . Denota-se LF como a funo de distribuio cumulativa de

probabilidade da funo perda, )Pr()( llFL



calculadas continuamente, e composta entre duas datas. O preo da ao a soluo da

seguinte equao diferencial estocstica:

)(tdwSdtSdS ttt sm +=

onde 0)0( 0 >= SS , w(t) um processo de Wiener, com tendncia instantnea e desvio dados,

respectivamente, por s e m .

Um modelo alternativo ao B&S o proposto por Hull e White (1987), no qual

pressupem-se as mesmas hipteses de B&S, exceto a que se refere ao comportamento do

preo e da volatilidade. Neste, o preo de uma ao assume um processo estocstico mais

geral e a volatilidade assumida como estocstica, da seguinte forma:

)(),,( tdwSdtStSdS tttttt ssm +=

)(),(),( tdzVtdtVtdV ttttt sxsf +=

onde 2ttV s= a varincia instantnea dos retornos, w(t) e z(t) so dois processos de Wiener

independentes entre si, e tS o preo da ao no instante t.

Hull e White (1987) demonstram que, quando a volatilidade no correlacionada

com o preo da ao, pode-se escrever o valor de uma opo de compra europia em t como: ---

= VdVfVctSc tBStt )|()(),,( 2ss

onde )(-

VcBS a frmula de B&S, f(.) a funo de densidade de probabilidade de -

V , e -

V o

valor mdio da taxa de varincia definido como:

-=- T

tt dstT

V 21

s

Isto , o preo da opo a esperana condicional em t do preo B&S, utilizando-

se o valor da integral acima como parmetro de volatilidade. Pode-se usar uma aproximao

do modelo de H&W que o torna to prtico como o de B&S, utilizando-se como parmetro de

volatilidade na frmula de B&S a raiz quadrada da mdia das previses da volatilidade ao

quadrado at T-t passos frente (Duffie e Pan, 1997).

Considerar a taxa de juros determinstica pode no ser to realista, assim, o ideal

seria relaxar esta hiptese e abrir a possibilidade de juros estocsticos. Hull (2000) atesta que,

em geral, a taxa de curto prazo descrita, num modelo neutro ao risco, pelo processo de It,

da seguinte forma:

dzRsdtRmdR )()( +=



Assume-se que o desvio instantneo m(R) e a tendncia s(R) sejam funes de R,

mas independentes do tempo. Esse modelo implica que todas as taxas se movem da mesma

direo durante qualquer intervalo de tempo, mas no na mesma proporo.

No modelo de Rendleman e Bartter (1980), considera-se que m(R)=mR e o

s(R)=sR, onde m a taxa de crescimento esperada e s a volatilidade da taxa de juros, levando

a crer que devido ao comportamento da economia, as taxas de juros tenham tendncia de

reverso mdia em longo prazo.

2.2 Simulao de Monte Carlo

Para as distribuies de probabilidade, nas quais no h os valores da funo de

distribuio cumulativa de probabilidade em forma analtica ou pelo menos tabulados,

necessita-se utilizar os mtodos numricos de integrao, para o clculo do quantil que

representa o VaR. Uma das tcnicas possveis o mtodo de Monte Carlo. A aplicao mais

comum do mtodo de Monte Carlo o clculo de integrais, embora seja tambm utilizado

para outras finalidades como, por exemplo, a resoluo de equaes.

Considera-se, primeiramente, a seguinte integral definida:

=b

adxxf )(q

O problema de calcular a integral torna-se um problema de estimativa da mdia,

E(f(Y)). Um estimador para a mdia dado pela frmula: n

yfab i

-=

)()(

^

q

onde iy so valores de uma amostra aleatria de tamanho n retirada da distribuio de

probabilidade uniforme sob o intervalo [a, b].

A varincia dessa estimativa dada por:

dxb

anVar

b

a

dttfxfab

-- = )()()(

22^

.)(q

O desvio padro est diretamente associado ao erro de convergncia, e, da

equao anterior, conclui-se que a ordem do erro de 2/1-n .

Uma importante propriedade do desvio padro da estimativa pelo mtodo Monte

Carlo a independncia com a dimenso da integral. Os erros normalmente so dependentes

da dimenso d: dn 21-

(Gentle, 1998).



O mtodo de Monte Carlo tambm bastante utilizado na precificao de opes:

simulam-se as trajetrias dos fatores de risco at o prazo de vencimento da opo, aplicam-se

esses valores na funo que representa o valor da opo e desconta at a data desejada a uma

taxa de juros livre de risco.

O preo atual de uma opo de compra europia, considerando as hipteses de

B&S, o valor esperado da opo numa situao de indiferena ao risco, descontado a uma

taxa de juros livre de risco:

)]([)( tTtTR

t SgEec ---= (2-4)

onde T-t o tempo at o vencimento da opo, tS o preo do ativo no tempo t, e g(.) a

funo pay-off da opo e R a taxa livre de risco. Por simplificao algbrica, supe-se que

t=0.

Num mundo neutro ao risco, TSln possui uma distribuio de probabilidade

normal onde o preo da ao num tempo futuro T ser dado pela expresso, conforme

destacado em Boyle (1977):

TTRT eSS

ses +-= ))2/((02

(2-5)

onde e uma varivel aleatria com distribuio normal padro, R a taxa livre de risco e

TS o preo do ativo no tempo T.

Aplicando esta ltima equao na funo do valor esperado da opo (Eq. 2.4),

tem-se (Joy, Boyle e Tan, 1996):

-

-+--= ep

eses deeSgec TTRRT 2/)))2/(((022

2

1][

Atravs da inversa da funo de distribuio de probabilidade da varivel normal

e, transforma-se a integral de menos infinito a mais infinito para uma integral com

distribuio uniforme sobre o intervalo [0,1]:

-

-- =F==1

0

1

0

12/ )())((2

1)(

2

dxxfdxxhdehc ep

e e

Esta simplificao permite obter uma aproximao eficiente para a integral pela

seleo apropriada de amostras de pontos no intervalo [0,1]. Pela simulao de Monte Carlo,

geram-se n valores de variveis com distribuio uniforme e o valor da opo ser dado por:



=

=n

iifn

c1

)(1

x , onde )1,0(~ Uix

Pode-se optar pela gerao de valores de variveis normais e o valor da opo tornar:

=

=n

iihn

c1

)(1

e , onde )1,0(~ Nie .

Ser visto em item posterior que, com os nmeros pseudo-aleatrios, o erro da

estimativa acima ser da ordem de 2/1-n , enquanto que , com os nmeros quase-aleatrios

ser da ordem de ( )

nn d)log(

.

2.3 Gerando nmeros aleatrios

Pode-se classificar os nmeros aleatrios em trs grupos:

a) Aleatrios. Os nmeros aleatrios so os nmeros puramente aleatrios, que so

selecionados por meio no determinstico, que no envolvem algoritmos ou funes, e

normalmente so obtidos por intermdio de eventos naturais ou fsicos. Nesta

classificao, enquadram-se os geradores de nmeros aleatrios (Sobol, 1994).

b) Pseudo-aleatrios. So os obtidos por meio de algoritmos, de tal forma que apresentem

um ciclo de repetio to alto quanto possvel, de modo a simular uma distribuio

verdadeiramente randmica. Neste grupo, enquadram-se os mtodos de congruncia linear

abordados por Gentle (1998).

c) Quase-aleatrios. Conhecidos como seqncias de baixa discrepncia, so tambm

obtidos por procedimentos matemticos.

Desenhando um conjunto de nmeros pseudo-aleatrios em duas dimenses, v-se

que os mesmos no preenchem regularmente os espaos (figura 2.1), verificando-se regies

onde no h pontos, ou seja, os nmeros pseudo-aleatrios no so distribudos

uniformemente no espao (Paskov e Traub, 1995). Para tornar melhor a estimativa da

integrao pela sua mdia (Sobol, 1994), seria conveniente que os nmeros aleatrios

pudessem ser distribudos uniformemente a cada amostra subseqente.



S e q n c i a d e S o b o l

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

n m e r o s d e 1 a 1 2 8

a

S e q n c i a d e S o b o l

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n m e r o s d e 1 2 9 a 5 1 2

S e q n c i a S o b o l

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n m e r o s d e 1 a 5 1 2

S e q n c i a d e P s e u d o - A l e a t r i o s

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

n m e r o s d e 1 a 5 1 2


0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

n m e r o s d e 1 a 1 2 8


0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

n m e r o s d e 1 2 9 a 5 1 2

Figura 2.1. Distribuio em 2(duas) dimenses de seqncias de nmeros pseudo-

aleatrios gerados pela funo ran2 e de quase-aleatrios gerados pelo algoritmo de

Sobol.

H um conceito em teoria dos nmeros denominado discrepncia, que mede o

desvio da uniformidade de um conjunto de pontos em uma dimenso d. A questo em saber

qual conjunto de pontos em uma dimenso d tem a discrepncia mais baixa ainda no foi

resolvida, porm h vrias seqncias de pontos de baixa discrepncia conhecidas.

Conforme Papageorgious e Paskov (1999), o erro de aproximao utilizando

nmeros determinsticos o produto da varincia, )( lVar r , da funo lr , com a

discrepncia da amostra nD , ( )

nn

CDd

dn)log(

= , onde dC uma constante que depende da

seqncia de baixa discrepncia e d a dimenso do problema.



Percebe-se que o erro de convergncia para pontos de baixa discrepncia

proporcional ao inverso da quantidade de nmeros utilizados, sugerindo que este mtodo

superior que o mtodo de Monte Carlo (Paskov, 1994). Esta vantagem diminui com o

aumento da dimenso d e alguns pesquisadores relatam que esta vantagem terica desaparece

para d > 30 (Paskov e Traub, 1995).

2.4 Critrios de avaliao dos modelos VaR

Os critrios devem identificar a ocorrncia de falhas nas previses, importando

para a avaliao os pontos onde a previso foi inferior efetivamente ocorrida (caudas da

distribuio de retornos). Critrios de avaliao que procurem captar o desempenho da

previso ao longo de toda a curva de distribuio dos retornos no necessariamente sero os

melhores do ponto de vista do risco, principalmente quando a abordagem o VaR.

Os critrios baseados em funes-objetivo avaliam a capacidade do modelo em

estimar a curva de distribuio de retornos, contudo, a grande preocupao com o risco a

capacidade de prever excees, j que o VaR procura capturar os piores cenrios. Dessa

forma, as caudas da distribuio de probabilidade so mais importantes do ponto de vista do

risco e optou-se por avaliar a estimativa do VaR pelo critrio de backtesting, proposto pelo

Comit de Basilia, conjugado com o teste de proporo de falhas proposto por Kupiec

(1995).

Kupiec desenvolveu um modelo que serve para verificar se o nmero de vezes em

que as perdas efetivas superaram as perdas estimadas pelo VaR pode ser considerado

aceitvel.

Ele considerou, para vrios perodos, intervalos de no rejeio da hiptese nula de que p a

correta probabilidade da proporo (nmero de falhas dividido pelo total de dias) a um nvel

de significncia de 5%, conforme indicado na tabela abaixo.

Tabela 2.1. Intervalos de no-rejeio da hiptese nula Ho de que a proporo de falhas

p* igual a p, a 5% de confiana

O nmero x indica a quantidade de insucessos que poderia se observado numa

amostra de tamanho n, sem rejeitar a hiptese nula de que p a correta probabilidade a um



nvel de significncia 5%. Kupiec tambm fornece outra maneira de testar o modelo de VaR,

atravs da quantidade mxima que a amostra utilizada dever conter para rejeitar a hiptese

anterior, ressalta que a tcnica de avaliao das estimativas de VaR s ser confivel com um

grande nmero de observaes.

3. Metodologia

Foram formuladas as seguintes hipteses a serem testadas:

H1: A simulao de Monte Carlo (SMC) com gerador de nmeros quase-aleatrios

apresenta maior convergncia que com nmeros pseudo-aleatrios, na estimativa do VaR

das aes e das opes da Petrobrs S/A.

H2: O VaR calculado pela simulao Monte Carlo (SMC) e gerador de nmeros quase-

aleatrios apresenta-se adequado na previso da variao de tais ativos.

H3: A simulao de Monte Carlo (SMC) apresenta melhor desempenho na avaliao do

VaR do que os mtodos paramtricos.

A base de dados empregada neste trabalho composta pelos preos observados da

ao preferencial nominativa da Petrobrs S/A, nos mercados vista (PETR4), e de contrato

de opes de compra da PETR4 (PETRJ39, PETRH5 e PETRH6). Os dados da ao PETR4

foram coletados no perodo de 4 de julho de 1994 a 18 de agosto de 2000, enquanto foram

obtidos os preos das opes de compra de sries negociadas no perodo de 20 de abril de

1998 a 18 de agosto de 2000. Utilizam-se as cotaes dirias de fechamento da ao e da

opo de compra como realizao do processo estocstico dos preos (Taylor, 1986).

Para a anlise proposta por este trabalho, utilizou-se uma carteira linear hipottica

composta de uma ao PETR4 e uma carteira no-linear hipottica composta por uma opo

de compra da PETR4.

O retorno foi calculado pela forma logartmica, que dado por:

=

-1t

tt F

Flnr

onde: tF o valor do fator de risco no instante t.

Para o clculo do prmio da opo utilizaram-se os modelos de B&S, H&W e o

modelo de H&W associado com o modelo de Rendleman e Bartter (1980), que considera a

taxa de juros como varivel estocstica, para a avaliao dos prmios de contratos de opo.

E, para representar a taxa de retorno do ativo livre de risco, utilizou-se a taxa de juros SELIC,

que reflete o custo mdio das operaes com ttulos pblicos federais.



A carteira hipottica composta de opes de compra da ao PETR4, no entanto

a posio pode ser comprada ou vendida, e, a depender desta, a ava liao do desempenho dos

mtodos em prever a pior perda na carteira ser diferente. conveniente, ento, analisar as

duas situaes.

3.1 VaR - Simulao de Monte Carlo

Para a carteira linear, formada apenas com aes vista, basta simular os valores

da ao utilizando trajetrias de preo. Como foi visto, num mundo neutro ao risco,

TSln possui a seguinte distribuio de probabilidade, e pela equao 2.5 pode-se escrever uma

frmula recursiva, discretizada no intervalo tD , para o preo da ao da seguinte forma:

ttRtt eSS

D+D--=

ses ))2/((1

2

(3-6)

onde e uma varivel aleatria com distribuio normal padro, R a taxa livre de risco e

tS o preo do ativo na etapa t.

Para a carteira de opes, no modelo de B&S, simulam-se as trajetrias de preo

da ao para o momento de tempo desejado, e aplica-se a frmula de precificao para obter

uma distribuio emprica do valor da opo. O VaR ento medido diretamente pelo quantil

da significncia desejada.

No modelo H&W, simulam-se as trajetrias de preo e de volatilidade implcita, e

aplica-se o modelo de precificao para obter o valor esperado da opo para o momento em

que se estar estimando a perda da carteira. No terceiro modelo analisado, alm dessas duas

trajetrias, tambm simula o processo estocstico da taxa de juros pelo modelo de Rendleman

e Bartter (1980).

Quando h mais de um fator de risco, ter-se- a seguinte expresso:

ttRjt

jt

jjjeXX D+D--=ess ))2/((

1

2

onde itX so os valores no instante t dos fatores de risco j, sejam preo da ao, volatilidade

ou taxa de juros, e e so variveis aleatrias independentes entre perodos de tempo e entre as

sries j.

Entretanto, os fatores de risco so geralmente correlacionados, e, para modelar

essa correlao, utiliza-se a fatorao de Cholesky para as variveis aleatrias.

O componente essencial de um gerador de nmeros pseudo-aleatrios uma

distribuio uniforme sobre o intervalo [0,1], que produz uma varivel aleatria x. A partir de



uma distribuio uniforme, pode-se transformar esta em diversas distribuies desejadas. No

caso de integrao de funes, que corresponde ao procedimento de inverso da funo de

distribuio para estimar o quantil, utilizam-se distribuies uniformes. Para simular as

trajetrias de preos dos fatores de risco, partindo da suposio de que seguem o movimento

browniano geomtrico, precisa-se de uma distribuio normal padronizada.

Existem vrios mtodos para transformar uma distribuio uniforme em normal

padro. Um dos mais utilizados o mtodo de Box Miller (Press et al., 1992), no entanto

apresenta perda de eficincia em seqncias quase-aleatrias (Galanti e Jung, 1997) que ser

de fundamental importncia para este trabalho, como ser visto logo a seguir. Utilizar-se- o

mtodo proposto por Moro (1995). Este mtodo transforma o nmero aleatrio com

distribuio uniforme na distribuio desejada, atravs da inversa da funo de distribuio de

probabilidade cumulativa.

Como geradores de nmeros aleatrios, utiliza-se a funo ran2 (Press et al.,

1992), que baseado no mtodo de congruncia linear, e, como gerador de nmeros quase-

aleatrios, utiliza-se a seqncia de Sobol (Press et al.,1992), implementados em Fortran.

Estes algoritmos fornecem variveis uniformes e para proceder a transformao

em varivel aleatria normal, utiliza-se o algoritmo de Moro (1995).

As variaes de valor para contratos lineares podem ser totalmente explicadas

pelos termos de primeira ordem da expanso da srie de Taylor, j que os de maiores so

nulos. Para a carteira hipottica composta da ao PETR4, assumiu-se que o retorno seguir

uma distribuio normal, de modo a utilizar a seguinte frmula do VaR apresentada no

referencial terico, a que denomina-se de mtodo paramtrico do desvio padro:

as= 0VCVaR , onde a desvio normalizado para a significncia selecionada, s o desvio

padro ou volatilidade do preo da ao e 0VC o valor de mercado da carteira. Utiliza-se o

desvio padro amostral em janelas mveis de tamanho de 100 dias como estimador da

volatilidade do preo.

Para derivar uma expresso analtica do VaR para a carteira no- linear composta

de opo de compra, recorre-se ao modelo de precificao de Black&Scholes (equao 2.3),

que relaciona o valor de uma opo a vrios fatores de risco:

)()(),,,( tTdNeKdNStRSgc tR ---== - ss

Utilizando os primeiros termos da expanso de Taylor para esta funo g(.), a

variao no valor da opo pode ser escrita da seguinte forma:



dttg

drrg

dg

dSS

gdS

Sg

dc

+

+

+

+

= ss

22

2

21

comum definir as derivadas parciais da funo g(.) do valor da opo pelas

seguintes letras gregas:

Delta da opo: )(dNSg

=

=D

Gama da opo: tTS

dS

g

-

F=

=Gs

)(2

2

Vega da opo: )(dtTSg

F-=

=Ls

R da opo: )()()( tTdntTKerg tTR ---=

= -- sr

O grande fator de risco da opo sem dvida o preo da ao. por isso que

normalmente se usa a aproximao linear do Delta para a anlise do risco da opo. A grande

vantagem da aproximao Delta a adio, ou seja, se temos uma carteira com vrias opes,

o risco pode ser analisado como a soma das posies Delta de cada opo.

Considerando s o Delta, a variao do valor do prmio da opo, dc, ser:

dSdc D= e portanto: )()( 2 dSVardcVar D=

Considerando s a volatilidade das variaes do preo da ao, s(dS/S), e

recorrendo a equao do processo de It, SdzSdtdS sm += , tem-se que :

SdSVar s=)(

Supondo agora que a distribuio dessa variao normal, pode-se aplicar a

frmula do VaR dada pela equao 2.1. Ento, o VaR da variao do valor da opo ser:

sa SdcVaR D-=)(

Considerando que a variao do prmio da opo est inserida nas gregas Delta e Gama, da

srie de Taylor, a variao do prmio da opo ser: 221

dSdSdc G+D=

Se a varivel dS for normalmente distribuda, obtm-se:

( )22 )(21

)()( dSVardSVardcVar G+D=

Considerando s a volatilidade das variaes do preo da ao, s(dS/S), o VaR da

opo ser:



( )22222221

)( ssa SSdcVaR G+D-=

A composio Delta-Gama fornece uma aproximao muito melhor para as

variaes na opo, entretanto sempre se estar incorrendo em erro, devido ao fato de os

termos de ordens maiores que o Gama estarem sendo desprezados.

Utiliza-se a volatilidade implcita como estimador para a volatilidade do ativo-

objeto quando da aplicao dos modelos de precificao de opes.

No clculo do VaR, necessrio definir arbitrariamente um nvel de

significncia e um perodo de tempo. Utilizou-se um intervalo de confiana de 99% no

clculo do VaR para a carteira linear de aes da Petrobrs. J no caso da carteira de opes,

como as sries de opes no so muito negociadas, utilizou-se o intervalo de 95%.

4. Resultados Empricos

Compara-se inicialmente a eficincia dos nmeros quase-aleatrios e

pseudoaleatrios, no clculo do VaR utilizando a simulao de Monte Carlo para carteiras

lineares e no-lineares. A carteira linear hipottica utilizada para a anlise composta de 1

(uma) ao preferencial da Petrobrs S/A PETR4. Utilizando a equao 3-6, implementam-

se diversas trajetrias de preo da ao para o dia seguinte, a partir da simulao de uma

distribuio normal da varivel e. Com a distribuio dos preos, determina-se a distribuio

da perda da carteira, de onde retira-se, pela significncia desejada, o VaR do quantil amostral

correspondente. Utilizando as informaes at o dia 30/04/1998, procede-se ao clculo do

VaR para o dia seguinte, 01/05/1998, com significncia de 99%. Considera-se o valor

verdadeiro do VaR, o obtido com simulao de Monte Carlo com 50.000 pontos (valor exato

= 0.0895). A convergncia do procedimento numrico verificada pelo grfico do erro

relativo percentual versus nmero de simulaes, constante na figura 4.1.



Figura 4.2. Erro relativo percentual do VaR da ao PETR4 calculado pela SMC com

nmeros pseudo-aleatrios e quase-aleatrios

Pode-se tambm comparar estes mtodos utilizando-se do critrio referenciado

por Papageorgiou e Traub (1996), verificando-se para um mesmo nvel de erro relativo

percentual (ER), 10E-4 por exemplo, quantos pontos so necessrios para atingir tal erro pela

utilizao dos dois tipos de geradores de aleatrios. A velocidade relativa, calculada pela

razo entre a quantidade de nmeros utilizados para o mesmo nvel de preciso, tambm serve

de parmetro para verificar a taxa de convergncia relativa entre os geradores.

Tabela 4.1. Erro relativo percentual e velocidade relativa da estimativa do VaR atravs

da SMC com nmeros pseudo-aleatrios e quase-aleatrios.

Constata-se pela tabela 4.1 que a velocidade relativa da SMC com nmeros quase-

aleatrios bem superior a da SMC com nmeros pseudo-aleatrios. Isto representa, alm da

eficincia numrica, um tempo computacional muito menor e, por conseguinte, um custo

tambm menor.

Verifica-se, em seguida, a performance da simulao de Monte Carlo e Quase

Monte Carlo no clculo do VaR de uma carteira composta de opo de compra da Petrobrs

S/A, que representa neste trabalho uma carteira no- linear. A PETRJ39 uma opo de

compra da ao PETR4 com vencimento em 10 de outubro de 2000 e com preo de exerccio

de R$ 50,00, para o lote de 100 (cem) aes.



Utiliza-se, para o clculo da volatilidade da srie da ao objeto da opo, o

estimador de mxima verossimilhana com mnima varincia, utilizando como base histrica

os ltimos 100 dias de negociao da ao PETR4. O valor verdadeiro para o VaR da carteira

de opo foi considerado o valor obtido com simulao de 100.000 nmeros.

Considera-se, inicialmente, como varivel estocstica, apenas o preo do ativo-

objeto (SMC Univariada), obedecendo a movimento definido como um processo de It,

enquanto que os demais parmetros necessrios para o clculo do prmio so considerados

constantes. Este o modelo original de Black & Scholes.

Para comparao da performance da gerao dos nmeros aleatrios, calcula-se o

VaR para o dia 01/08/2000, utilizando o modelo acima e combinando seqncias de Sobol e

de nmeros pseudo-aleatrios. Pela figura 4.3, se observam que os nmeros quase-aleatrio

fazem com que a estimativa do VaR tenha convergncia mais rpida para o valor verdadeiro.

Com menos de 20000 simulaes, j foi possvel atingir o valor verdadeiro, e permanecer em

torno deste valor com erros relativos inferiores a 10E-4.

Figura 4.3. Convergncia do VaR da carteira de opes de compra PETRJ39 utilizando

simulao de Monte Carlo (Univariada)

Na tabela 4.2, comparam-se os mtodos, utilizando o critrio da velocidade

relativa referenciado no item anterior. Observa-se que a velocidade relativa quase cinco

vezes maior para a seqncia de nmeros quase-aleatrios. Esta velocidade diminuiu um

pouco em relao velocidade relativa obtida para a carteira linear.



Tabela 4.2. Erro relativo percentual (ER) e velocidade relativa do VaR da opo de

compra PETRJ39 utilizando simulaes de Monte Carlo (Univariada)

Supe-se, em seguida, que o ativo-objeto e a volatilidade implcita seguem um

processo estocstico (SMC Bivariada). Utiliza-se a aproximao do modelo de H&W para

precificar a opo e calcular o seu valor no horizonte de um dia a frente, de modo a estimar o

VaR.

Na tabela 4.3, apresentam-se os valores dos erros relativos percentuais,

considerando o valor exato para a estimativa o calculado com 100.000 simulaes. Verifica-se

que a estimativa do VaR pela simulao de Monte Carlo (SMC Bivariada) com gerador de

nmeros quase-aleatrios converge a uma velocidade relativa de quatro vezes em comparao

com o de nmeros pseudo-aleatrios. Percebe-se que esta vantagem diminui em relao

SMC Univariada onde se considerou apenas o preo da ao como uma varivel estocstica.

Tabela 4.3. Erro relativo percentual e velocidade relativa do VaR da opo PETRJ39

calculado com SMC Bivariado

Considera-se, agora, que as trs variveis; o preo da ao, a volatilidade da ao

e a taxa de juros, so estocsticas e acima seguem um processo de It. O modelo dos juros

admitido como sendo o modelo de Rendleman e Bartter (1980). Na tabela 4.5, apresentam-se

os valores dos erros relativos, considerando o valor exato para a estimativa o calculado com

100000 simulaes. Observa-se novamente que a seqncia de nmeros quase-aleatrios foi

mais eficiente, considerando-se que atingiu um erro relativo com uma quantidade menor de

simulao. No entanto, quando comparado com a SMC Bivariada, percebe-se que a

velocidade relativa diminuiu mais um pouco.



Tabela 4.4. Erro relativo percentual e velocidade relativa do VaR da opo PETRJ39

com SMC Trivariada

Depreende-se da anlise que, independentemente do gerador de aleatrios

utilizado, a convergncia do procedimento numrico de clculo do VaR maior quando se

trata de carteira lineares. A velocidade relativa da estimativa, utilizando-se seqncias de

quase-aleatrios, apresentou-se em todos os momentos mais eficientes.

Ademais, percebe-se que, medida que se incluiu uma dimenso no procedimento

numrico, com a incluso sucessiva de variveis estocsticas, a performance relativa dos

quase-aleatrios diminui, embora a vantagem em relao aos pseudo-aleatrios continue

grande. Este resultado est coerente com a anlise das frmulas do erro de estimativa

utilizando nmeros pseudo-aleatrios, obtido na seo 2.4, que da ordem de 2/1-n , e do erro

da estimativa utilizando nmeros quase-aleatrios, que da ordem de ( )

nn d)log(

. Esses

resultados tambm esto coerentes com os obtidos por Paskov e Traub (1995), Joy, Boyle e

Tan (1996), Papageorgiou e Traub (1996) e Galanti e Jung (1997).

Em sntese, pode-se concluir que a simulao de Monte Carlo (SMC) com gerador

de nmeros quase-aleatrios apresenta maior convergncia que com nmeros pseudo-

aleatrios, na estimativa do VaR de uma carteira de aes e de uma carteira de opes da

Petrobrs (Hiptese 1 no rejeitada).

Utilizando agora apenas as seqncias de nmeros quase-aleatrios, verifica-se a

capacidade dos modelos de SMC e paramtrico, para uma carteira linear e outra no- linear,

em prever a variao na carteira para um dia de horizonte de tempo.

Calcula-se o VaR da ao PETR4 para o horizonte de 1 (um) dia e a 99% de

confiana, para os 510 dias compreendidos entre 01/01/1998 e 15/12/1999. Os 100 (cem)

dias anteriores a 01/01/1998 foram utilizados para calcular os parmetros volatilidade e

mdia, a serem aplicados nos modelos.

O VaR paramtrico em mais de 9 (nove) dias foi superado pelo retorno efetivo,

enquanto que o VaR pela SMC s foi excedido em 2 (dois) momentos. Resta saber se as

falhas ocorridas para os mtodos esto dentro da incerteza oriunda da variao amostral. Para

tanto utiliza-se a tabela 2.1, construda por Kupiec (1995).



Tabela 4.5. Teste de rejeio da hiptese de que a proporo de falhas de 1%

Para um nvel de confiana de 95%, a mxima quantidade de falhas permitida

para no rejeitar a hiptese de que a proporo das mesmas igual ao nvel de confiana do

VaR, ou seja 99%, de 11 ocorrncias, conforme Kupiec (tabela 2.1). Rejeita-se, portanto,

apenas o VaR paramtrico da carteira com posio vendida. Verifica-se que, embora, para a

carteira com posio comprada, no tenham sido rejeitados os dois mtodos, significativa a

diferena da quantidade de erros para cada mtodo, apresentando o mtodo de SMC menos

erros.

Para verificar a capacidade das estimativas de VaR dos mtodos propostos para

carteiras no- lineares, utiliza-se uma carteira hipottica composta de opes de compra

PETRH5 e PETRH6, pois as mesmas apresentam o maior intervalo de negociao para o

perodo analisado, de modo a ter maior consistncia para o teste de proporo das falhas.

Realizou-se o clculo do VaR para todo o perodo de negociao da opo

PETRH6 utilizando a simulao de Monte Carlo com inmeros quase-aleatrios e tambm

pelas aproximaes Delta e Delta-Gama. Os resultados encontram-se na tabela 4.6.



Tabela 4.6. Estimativas do VaR da opo PETRH6 pela simulao de Monte Carlo

(SMC) em 3 variantes e para os mtodos paramtricos Delta e Delta-Gama

Aplicando o procedimento de backtesting, calcula-se a proporo de falhas dos

mtodos na previso da perda da carteira. Os resultados so mostrados na Tabela 4.7.



Tabela 4.7. Teste de Hiptese de que a proporo de falhas do VaR 0.05 a 95% de

confiana

A proporo de falhas pelos mtodos paramtricos foi rejeitada a 95% de

confiana, enquanto os 3 (trs) modelos de SMC no foram rejeitados. A performance dos 3

(trs) tipos de simulao de Monte Carlo foi exatamente a mesma. Conclu-se, portanto, que a

incluso de variveis estocsticas, quase sejam, a volatilidade implcita e juros, no agregou

ao modelo capacidade de prever a variao da carteira.

Replicou-se o mesmo procedimento para a opo PETRH5, obtendo-se resultados

similares: tambm os mtodos paramtricos foram reprovados.

Em sntese, pode-se concluir que o VaR calculado pela simulao Monte Carlo

(SMC) e gerador de nmeros quase-aleatrios apresenta-se adequado na previso da variao

das carteiras de aes PETR4 e de opes da Petrobrs, PETRH5 e PETRH6 (Hiptese 2

no rejeitada), bem como apresenta melhor desempenho que os mtodos paramtricos

(Hiptese 3 no rejeitada). Portanto, as trs hipteses formuladas no foram rejeitadas.

5. Concluses

A estimativa do VaR pela simulao de Monte Carlo para a ao PETR4 foi

considerada adequada para previso da perda da carteira, ao nvel de confiana de 99%,

utilizando-se o teste de proporo de falhas proposto por Kupiec (1995). Ademais, este

mtodo teve performance melhor que o mtodo paramtrico do desvio padro.

O VaR calculado pela simulao de Monte Carlo, utilizando os trs modelos de

precificao, o Black&Scholes (SMC Univariada), o de Hull&White que inclui volatilidade

estocstica (SMC Bivariada) e, por ltimo, a incluso da taxa de juros tambm estocstica

atravs do modelo de Rendleman e Bartter (SMC Trivariada), apresentou-se adequado na

avaliao da perda do valor das opes. Nas sries analisadas, no se rejeitou a hiptese de



que a estimativa de VaR suficiente para prever as piores realizaes da carteira de opes,

dentro de um nvel de confiana desejado de 95%. A SMC teve performance melhor do que

os modelos paramtricos de aproximao pela expanso de Taylor, Delta e Delta-Gama. Na

realidade, as estimativas do VaR pelos mtodos Delta e Delta-Gama foram inclusive

rejeitadas pelo teste de Kupiec (1995).

As estimativas do VaR pelos modelos de Black & Scholes (SMC Univariado),

Hull & White (SMC Bivariada) e o do Hull & White com juros estocsticos (SMC Trivariada)

foram compatveis. No houve melhorias significativas na estimativa de VaR pelo modelo de

B&S com a incluso da volatilidade implcita como varivel estocstica (SMC Bivariado). A

estimativa do VaR considerando-se, alm do preo e da volatilidade, a taxa de juros como

varivel estocstica, tambm no apresentou diferenas significativas com relao quelas

obtidas pelos modelos de Black & Scholes e de Hull & White.

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