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Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n°09 15/04/2013 RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

(LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS)

1. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são

triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,

respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o

comprimento do segmento CE é:

a) 5

a3

b) 8

a3

c) 7

a3

d) a 2

2. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a

partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias

construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De

acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

a) 160 3

m3

b) 80 3

m3

c) 16 3

m3

d) 8 3

m3

e) 3

m3

3. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades

vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a

a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23.

d) 20 15. e) 20 13.

4. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a

nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que

cos 0,934 , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-

Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade

média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 5. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância

entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

Visada Ângulo

^

A CB

^

BCD

^

ABC

a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.

6π

3π

6π

2

6. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de

uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro,

avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0.

7. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio

Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A

mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar

quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é

a) 8 6

3 b) 4 6 c) 8 2 3

d) 8( 2 3) e) 2 6

3

8. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende

escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.

Dado: sen 20º 0,342

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320.

9. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo

mede 30° e os lados que formam cada um desses ângulos

medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das

diagonais desse paralelogramo.

a) 6 cm b) 3 cm c) 3 3 cm

d) 7 cm e) 15 3 cm

10. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma

cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de

transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);

• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, BÂP =

20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar que a distância entre

os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 11. (Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai construir,

sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m

do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo

observou que os ângulos B C A e C A B mediam,

respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.

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Com base nessas informações, é correto afirmar que a

distância, em metros, do ponto A ao ponto

B é de:

a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2

d) 100 2 e) 50 2

12. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e

seu esquema no plano.

O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; • à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x)

c) 2y sen(x) 16 cos (x)

d) 2y cos(x) 16 sen (x)

13. (Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a

Calvin na tira seguinte.

Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um

triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a

resposta correta que Calvin deveria encontrar para o

problema é, em centímetros,

a) (5 3)

3 b)

(8 3)

3 c)

(10 3)

3 d) 5 3 e) 10 3

14. (G1 - cftce) Na figura a seguir, determine o valor de x e

o perímetro do triângulo.

15. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de

alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a

distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do

triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é

a) 50 2 m b) 50 ( 6)

3m c) 50 3 m

d) 25 6 m e) 50 6 m

16. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um

mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.

a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos

A, B e N.

b) Calcule o comprimento do segmento NB.

17. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio,

unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir.

Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na

mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos

CBA = 57° e ACB = 59

°. Sabendo que BC mede 30m,

indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as

aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64

°) ≈ 0,90)

4

18. (G1 - cftmg) Um dos ângulos internos de um

paralelogramo de lados 4 m e 6 m mede 120°. A maior

diagonal desse paralelogramo mede, em metros 19. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas

por rodovias, conforme mostra a figura.

A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os

ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que

senx = 3

4 e seny =

3

7. Deseja-se construir uma nova

rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição

destas cidades, será paralela a BC.

a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros

tem a rodovia BC.

b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos

quilômetros terá a rodovia DE.

20. (Ufrj) O objetivo desta questão é que você demonstre a

lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o

triângulo da figura a seguir, mostre que

a2 = b

2 + c

2 - 2bc cosè

21. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do

centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro,

o das horas.

Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros

quando o relógio marca 4 horas.

22. (Unicamp) Os lados de um triângulo têm, como

medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma

é 15.

a) Quais são esses números?

b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.

23. (Ufpi) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60

° e os

lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor

do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:

a) 3 + 5 b) 5 + 3 c) 3 + 3

d) 3 + 7 e) 5 + 7

24. (Unirio)

Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre

um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120

km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura

anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é:

a) menor que 90. b) maior que 90 e menor que 100. c) maior que 100 e menor que 110. d) maior que 110 e menor que 120. e) maior que 120. 25. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC

medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale

30°.

O seno do ângulo B vale:

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 26. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o

lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os

lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:

a) 37 cm b) 13 cm c) 2 3 cm

d) 3 3 cm e) 2 2 cm

27. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O

cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:

a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8 d) - 3/8 e) - 3/10 28. (Fuvest) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O

cosseno do maior ângulo de T é:

a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8.

29. (Unesp) Os lados de um triângulo medem 2 3 , 6 e

3+ 3 .

Determine o ângulo oposto ao lado que mede 6 .