Resolução lista FGV – Aula 7

1. (INSPER - 2012) No gráfico abaixo estão representadas duas funções polinomiais do segundo grau

f(x) e g(x), ou seja, as curvas são duas parábolas.

O gráfico que melhor representa a função h(x) f(x) g(x) é

a. b.

c. d.

e.

Resolução:

Primeiramente, vamos analisar cada uma das funções. Através dos zeros das funções, encontraremos

f(x) e g(x)

f(x) = a(x – x’)(x – x”)

f(x) = a(x + 2)(x – 7)

Sabemos também que P = (-1,1) f(x), logo

1 = a(-1 + 2)(-1 – 7) -

Portanto, (x) -

(x )(x- ) (x) -

x

x

g(x) = a(x – x’)(x – x”)

g(x) = a(x – 0)(x – 5)

Sabemos também que Q = (1,- 4) g(x), logo

-4 = a.1(1 – 5)

Portanto, (x) x (x - ) (x) x - x (x)

x -

x

Com isso, h(x) = f(x) + g(x) = -

x

x

x -

x (x)

x -

x

Alternativa: e

2. (INSPER - 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).

O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) 1 , resolvida em é igual a

a. 6. b. 5. c. 4. d. 3. e. 2.

Resolução:

Para | (x)| (x) (x) -

Observando o gráfico podemos observar que existem 3 valores para x tal que (x) e existem 2

valores para x tal que (x) - . Portanto, o número de elementos do conjunto solução será igual a 5.

Alternativa: b

3. (FUVEST - 2012)

Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições:

- para 0 x 1 , tem-se f(x) = 3x + 1;

- para 1 x 2 , tem-se f(x) 2x 6 ;

- f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura ao lado;

- a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2].

Com base nessas informações,

a. desenhe, no sistema de coordenadas indicado a seguir, o gráfico de f no intervalo [0, 2];

b. determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2];

c. determine f(4).

Resolução:

a.

A função f(x) segue dois critérios no intervalo desejado:

(x) { x x x x

Logo, o gráfico da função será:

b.

Para calcular a área, basta calcularmos a área sob a curva, ou seja, as áreas dos trapézios A1 e A

2.

( )

( )

c.

Considerando f(4) = N e de acordo com o enunciado, temos

A3 + A4 = 3.(A1 + A2)

( )

4 + 3N = 33

Logo, ( )

4. (UFPR - 2012) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e

seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento

desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro

grau.

a. Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua

altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m.

b. Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do

indivíduo que possuía esse osso?

Resolução:

a.

Se o úmero tem 40 cm e sua altura é 190 cm temos: (40; 190)

Se o úmero tem 30 cm e sua altura é 160 cm temos: (30; 160)

Podemos calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função de primeiro grau.

x

Se (40; 190)

Se (30; 160) Resolvendo o sistema: .

Logo a função é: x

b.

Se úmero apresentava a medida de 32 cm, ou seja, x

( )

A1

A2

5. (UEL - 2012) O gráfico de uma função f mostra o deslocamento vertical de um surfista sobre uma

onda, em função do tempo.

Com base no gráfico e nos conhecimentos sobre funções, considere as afirmativas a seguir.

I. Para todo 3 7t (t ,t ) ; f é constante.

II. Para todo 3t 0,t , f(t) cos(t) 2 .

III. Para todo 7 10t (t ,t ) ; f(t) m t b , onde m 0 .

IV. A função f assume seu valor máximo em 2t t .

Assinale a alternativa correta.

a. Somente as afirmativas I e III são corretas.

b. Somente as afirmativas I e IV são corretas.

c. Somente as afirmativas II e III são corretas.

d. Somente as afirmativas I, II e IV são corretas.

e. Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

Resolução:

(I) Verdadeiro. Para todo t ( ) temos ( )

(II) Falso, pois pelo gráfico ( ) , mas ( )

(III) Falso, pois para todo t ( ), a função é decrescente, logo m<0

(IV) Verdadeiro. Do gráfico temos ( ) .

Alternativa: b

6. (UFPR - 2012) Considere as funções f(x) x 1 e 2

g(x) (x 1)(x 2).3

a. Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesiano abaixo.

b. Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de interseção dos gráficos de f(x) e g(x).

Resolução:

a.

b.

Para determinar os pontos de intersecção entre f(x) e g(x) precisamos igualar as duas funções. Sendo

assim, temos:

x x

x –

2x² - 6x + 4 = 3x – 3

2x² - 9x + 7 = 0

x’ ’

x”

”

7. (FGV - 2011) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características:

· O vértice é o ponto (4,-1).

· Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0).

O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é:

a. (0,14)

b. (0,15)

c. (0,16)

d. (0,17)

e. (0,18)

Resolução:

Dado que temos o ponto (4, -1) como vértice e uma das raízes é 5, é imediato concluir que a outra

raiz é 3 (por simetria).

Portanto, f(x) = a(x – 3)(x – 5) -1 = a(4 – 3)(4 – 5) -1 = -1a a = 1

Com isso, f(x) = x² - 8x +15

Para saber a intersecção com o eixo das ordenadas, basta calcular f(x) com x = 0

f(0) = 15.

Alternativa: b

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 0 2 4 6

8. (FUVEST - 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = - 4x2

+ 8x + 12 e

a reta r de equação y = 3x +6. Determine:

a. Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da

parábola P.

b. O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r.

c. A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.

Resolução:

a.

Intersecções da parábola P com o eixo 0x Vértice

- -

- ( ) -

- –

( - )( ) V=(1 ; 16)

Portanto: A= (3 ; 0) ; B =(-1 ; 0) e V=(1 ; 16)

b.

Intersecção de P com a reta r:

- x x x - x

x x

- x –

( )

x

x

-

⁄ e x

Como C tem abscissa positiva, C = (2 ; 12).

c.

A figura formada é

Podemos calcular a área do quadrilátero como sendo a soma das áreas A1, A2 e A3

A1 =

= 16 A2 = ( )

= 14 A3 =

= 6

A = A1 + A2 + A3 = 16 + 14 + 6 = 36

9. (FGV - 2011) O gráfico no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios de televisores de tela

l n l d iniçã d d l “LCD ll HD l d ” n d C d Mundo na África

d S l q d ó iní i O n ’ C ã lin

Demonstre que o preço médio desse modelo em agosto de 2010 foi 8,3 % menor, aproximadamente,

que o preço médio do mesmo modelo em maio de 2010.

Resolução:

Pelo gráfico, a partir de junho, temos uma função do primeiro grau decrescente.

A partir de junho, a cada mês o preço cai R$150,00. Portanto o preço em agosto foi de R$2200,00.

Percentual: -

x -

10. (FGV - 2011) Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$

80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade

produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem

que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como

matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00.

Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de

2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de 2009. O valor mais próximo de x

é:

a. 120 b. 100 c. 80 d. 60 e. 40

Resolução:

Receita: R(x) =80x

Custo: C(x) = 96000 +40x

Lucro: L(x) =R(x) – C(x)

L(x) =80x – 96000 – 40x

L(x) =40x – 96000

Em 2009 Em 2010:

x - x -

x x

x camisas x camisas

Percentual:

-

x

x ~40%

Alternativa: e

11. (FGV - 2011) Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da

cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra

o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da

cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f

(x) = ax + b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.

a. Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos

preços da cesta básica, na região Nordeste.

b. Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na

região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.

Resolução:

Salário Mínimo: Cesta Básica:

S(x) x C(x) x

S(x) x C(x) x

( ) ( )

a=6

S(x) x C(x) x

b.

S(x) C(x)

x ( x )

x

Portanto x , ou seja, no ano de 2012.

12. (FGV - 2011) O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de

coordenadas (x, y) dados abaixo.

X y

0 5

M 8

6 14

7 k

Podemos concluir que o valor de k + m é:

a. 15,5 b. 16,5 c. 17,5 d. 18,5 e. 19,5

Resolução:

x

(0,5)

x

(6,14)

⁄

x

(m, 8)

(7, k)

Logo, m+k = 2+15,5 = 17,5

Alternativa: c

13. (Fuvest 2011) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2

+ 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes

da equação f g x g x é igual a

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

Resolução:

(x) x

( (x)) ( (x))

( (x)) (x x )

( (x)) x x

Então:

( (x)) (x)

x x – x

x

x x –

(x )(x ) x x

Portanto, a soma dos valores absolutos das raízes da equação:

| | |- | Alternativa: d

14. (FGV - 2011) Em microeconomia, com alguma frequência, são estudados problemas envolvendo

curvas de indiferença do consumidor com relação à aquisição de dois bens (x e y, por exemplo), em

associação à curva de restrição orçamentária do consumidor para aquisição desses bens. Do ponto de

vista matemático, o que interessa nesse tipo de problema é a identificação de uma função (a partir de

uma família de funções das curvas de indiferença), cujo gráfico seja tangente ao gráfico da função de

restrição orçamentária, bem como a determinação do ponto de tangência P, que representa o

equilíbrio do consumidor.

Admita que a família de curvas de indiferença (com x e y positivos) seja dada por k

y ,x

com

k ]0,100], e que a restrição orçamentária do consumidor em relação aos bens x e y seja dada por

y 3x 9.

a. Faça um esboço, no plano cartesiano, dos gráficos da restrição orçamentária, e das curvas de

indiferença para k 4 e k 12.

b. Determine o valor de k na situação de equilíbrio do consumidor e, em seguida, calcule as

coordenadas do ponto P de equilíbrio do consumidor (observação: neste problema, tanto k, quanto

x e y do ponto P não são números inteiros).

Resolução:

a.

b.

Temos as seguintes condições a serem igualadas para determinar k:

{

x

x

Logo,

x

x

x x – ( ni l çã )

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6

( ) ( )

Com isso, temos agora que descobrir as coordenadas do ponto P.

x x –

x x – x

x ( )

x

P = (

)

15. (FGV - 2010) A função quadrática f (x) = 16x – x2

definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7]

tem imagem máxima igual a:

a. 64 b. 63,5 c. 63 d. 62,5 e. 62

Resolução:

f(7) = 16.7 – 7²

f(7) = 112 – 49

f(7) = 63

Alternativa: c

16. (FGV - 2010) Um número real x, 10 x 110 é tal que (x – 10)% da diferença entre 14 e x, nessa

ordem, é igual ao número real y.

Nessas condições, o valor máximo que y pode assumir é

a. 1

.20

b. 1

.21

c. 1

.24

d. 1

.25

e. 1

.27

Resolução:

x -

( - x) Função do segundo grau parábola

concavidade voltada para baixo

As raízes (ou zeros) da função são x =10 e x =14.

Portanto o vértice da parábola tem como coordenada x=12.

Valor máximo de y .

( )

( ) ( )

Alternativa: d

0 4 8 12 16

17. (FGV - 2010) Como consequência da construção de futura estação de metrô, estima-se que uma

casa que hoje vale R$ 280 000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto é, o gráfico do valor

do imóvel em função do tempo é uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos

seja de

R$ 325 000,00.

Nessas condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de:

a. R$ 346 000,00

b. R$ 345 250,00

c. R$ 344 500,00

d. R$ 343 750,00

e. R$ 343 000,00

Resolução:

x x

( ) ( )

x

4 anos e 3 meses = 4 anos +

ano =

(

)

(

) i

Alternativa: d

18. (FGV - 2010) A figura indica o gráfico da função f, de domínio [–7,5], no plano cartesiano

ortogonal.

O número de soluções da equação f(f(x)) = 6 é

a. 2. b. 4. c. 5. d. 6. e. 7

Resolução:

Encontrar o número de soluções da equação ( (x)) 6

Pelo gráfico, para ( (x)) 6:

(x) (x)

Novamente, pelo gráfico, (x) - têm duas soluções.

E (x) tem 4 soluções.

Portanto a equação ( (x)) 6 tem 6 soluções.

Alternativa: d

19. (UFT – 2010) Seja a um número real e f : , a, uma função definida por f(x) = m2

x2

+

4mx + 1, com m 0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é:

a. – 4 b. – 3 c. 3 d. 0 e. 2

Resolução:

Temos que a = yv

(

)

(

)

Alternativa: b

20. (FUVEST - 2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2

+ mx + 2.

Nessas condições:

a. Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).

b. Determine os valores de m IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y IR }

c. Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y IR } lé

disso, f é crescente no conjunto {x IR x }

d. En n nçã d in d l l d d i ) d ni l d

x l q (x)

Resolução:

a.

Sabemos que a equação é y = x² + mx + 2 e portanto = m² - 4.1.2 = m² - 8

Logo, temos que

x

-

-

e

-

-

Portanto, (-

-

)

b.

Sabemos quem { | } . Portanto, { | }

Portanto, -

- -

c.

Temos que { | } yv = 1

-

- - (I)

Mas f é crescente para x 0

(II)

Com isso, de (I) e (II) concluímos que m = 2

d.

Para m = 2 temos f(x) = x² + 2x + 2 V = (-1; 1)

Como queremos f(x) = y, para cada y temos

x² + 2x + 2 = y x² + 2x + 2 – y = 0

= 4 – 4.1.(2-y)

= 4 – 8 + 4y

= 4y – 4

= 4(y – 1)

x

√

x √

21. (UEL - 2009) Seja f uma função real definida por f(x) = ax2

- x - 2 onde a > 0.

Se f(1) < 0, é correto afirmar que a função f :

a. possui uma raiz positiva e uma negativa.

b. possui duas raízes positivas.

c. possui duas raízes negativas.

d. não possui raiz real.

e. possui uma única raiz real.

Resolução:

Como f(x) = ax² - x – 2 com a>0 e f(1) <0, o esboço do gráfico é:

Logo, é imediato notar que a raiz possui uma raiz positiva e uma raiz negativa.

Alternativa: a