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Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.
ISBN: 978-85-8001-069-5
REPRESENTAÇÃO DE RESTRIÇÕES FUZZY EM UM PROBLEMA DE ESTIMAÇÃO DE ESTADO
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
LOPES, THALES T.
CEFET/RJ -Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca/Eletrobras Cepel
Rua Dias da Rocha, n°26, Apartamento 105, CEP 22051-020, Copacabana, Rio de Janeiro, RJ
E-mails: [email protected]
FALCÃO, DJALMA M.
LASPOT – Laboratório de Sistemas de Potência, COPPE/UFRJ
Programa de Engenharia Elétrica, Caixa Postal 68504, CEP 21941-972, Ilha do Fundão, Rio de Janeiro, RJ
E-mails: [email protected]
Abstract This work presents a methodology for the representation of qualitative information, with high uncertainty content, in the
problem of state estimation in electric power systems. The representation of the uncertainties is carried through using the concepts of
Fuzzy sets, modeled as Fuzzy pseudo-measurements. The Fuzzy pseudo-measurements are represented in the problem of state estima-
tion as inequality constraints, using state estimators models based on Fuzzy programming. The main application of the methodology
is the calculation of the state vector in distribution feeders and modeling of external network in electricity transmission systems, char-
acterized by a weak database in real time, and a great deal of qualitative information. Other advantages of state estimators’ models,
as robustness to a great variety of gross errors in analogical measures, or the gross errors in the modeling of the Fuzzy pseudo-
measures, also are verified.
Keywords State Estimation, Fuzzy Programming, Pseudo-measurements, Gross Error, Power State Vector
Resumo Este trabalho propõe uma metodologia para a representação de informações qualitativas, de natureza imprecisa, no pro-
blema de estimação de estado em sistemas de energia elétrica. A representação da informação qualitativa é realizada empregando os
conceitos de conjuntos Fuzzy, sendo modelada como pseudomedidas Fuzzy e tratadas no problema de estimação de estado como res-
trições de desigualdade ao problema. Foram desenvolvidos modelos de estimadores de estado aplicando programação linear e quadrá-
tica Fuzzy. A principal aplicação da metodologia é o cálculo do vetor de estado em redes de distribuição e a representação de redes
externas em sistemas de transmissão de energia elétrica, que são caracterizados por apresentarem ainda uma fraca base de dados dis-
ponibilizada em tempo real, e um elevado grau de informações qualitativas. Outras vantagens dos modelos de estimadores desenvol-
vidos neste trabalho, como robustez a uma grande variedade de erros grosseiros em medidas analógicas ou a erros grosseiros na mo-
delagem das pseudomedidas Fuzzy, também são verificados.
Palavras-chave Estimadores de Estado, Programação Fuzzy, Pseudomedidas, Erros Grosseiros, Vetor de Estados
1 Introdução
Com a intensificação da entrada de geração dis-
tribuída nas redes de distribuição de eletricidade e o
fortalecimento das interconexões entre sistemas de
transmissão, maiores se tornam as exigências opera-
cionais sobre estas redes. Como consequência, as
ferramentas computacionais para a avaliação da se-
gurança necessitam de modelos matemáticos cada
vez mais precisos e, em muitas situações, comple-
xos. Um desafio frequentemente encontrado no de-
senvolvimento de modelos é a fraca base de dados
disponibilizada em tempo real pelo sistema SCADA
(Supervisory Control and Data Acquisition), muitas
vezes, incompleta ou insuficiente, impedindo que
modelos matemáticos mais precisos, ou pelo menos
coerentes com a realidade de operação, possam ser
construídos para as ferramentas computacionais de
auxílio à operação do sistema elétrico, como pro-
gramas de fluxo de potência, configuradores de re-
des e estimadores de estado. Por outro lado, existe
nos sistemas elétricos uma enorme disponibilidade
de informações qualitativas, caracterizadas pela ex-
periência acumulada pelo pessoal técnico ou por
resultados de estudos e pesquisas. Estas informações
se bem aproveitadas e trabalhadas possibilitariam a
construção de modelos matemáticos mais verídicos
para representação do estado de operação da rede
elétrica. Verifica-se para as redes de distribuição de
eletricidade e para os sistemas de transmissão inter-
conectados e não telemetrados (redes de transmissão
externas), um quase total desconhecimento das con-
dições de operação em tempo real, aliada a uma ele-
vada disponibilidade de informações qualitativas,
com elevado grau de imprecisão sobre as suas condi-
ções. As redes de distribuição de eletricidade carac-
terizam-se, historicamente, por um baixo nível de
monitoramento em tempo real, com insuficiência de
pontos de medição ao longo dos seus alimentadores.
As redes elétricas externas, em sistemas de trans-
missão de eletricidade, apresentam-se bem monito-
radas em relação ao seu Centro de Operação do Sis-
tema (COS), contudo não disponibilizam os valores
monitorados em tempo real para os COS´s vizinhos.
A integração de informações qualitativas, de ca-
ráter subjetivo, não é uma singularidade nas ferra-
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mentas de avaliação da segurança operativa do sis-
tema, principalmente em estimadores de estado, uma
vez que pseudomedidas são tradicionalmente cons-
truídas a partir destas informações e utilizadas na
solução de problemas de observabilidade da rede
elétrica. No contexto da construção de modelos hí-
bridos de estimadores de estado, a aplicação dos
conjuntos de natureza Fuzzy mostra-se bastante ade-
rente. Exemplos podem ser encontrados nos traba-
lhos de Miranda (Miranda, 1995), (Miranda, 2000)
e Pereira (Pereira, 1995), (Pereira, 1999), (Pereira,
2000), (Pereira, 2001). Nestes trabalhos são propos-
tos e aprimorados modelos de estimadores de estado
para redes de distribuição de eletricidade, represen-
tando as informações imprecisas das condições de
carregamento ao longo do alimentador, por conjun-
tos Fuzzy. Saric (Saric, 2003) propõe também um
estimador de estado e fluxo de potência, integrando
os conjuntos Fuzzy, na qual dados históricos de con-
sumidores são modelados por funções Fuzzy.
Neste trabalho são propostos modelos de estima-
dores de estado aplicando as técnicas de programa-
ção linear e não linear, em ambiente Fuzzy, com o
objetivo principal do cálculo do vetor de estados do
sistema elétrico. As pseudomedidas são construídas
a partir das informações qualitativas imprecisas da
rede elétrica, sendo modeladas por conjuntos Fuzzy
e representadas por restrições de desigualdade no
problema de estimação de estado. A aplicação da
técnica de programação linear em ambiente Fuzzy,
para a solução do problema de estimação de estado,
pode ser considerada como uma abordagem Fuzzy
para o algoritmo baseado na Soma dos Mínimos
Valores Absolutos Ponderados dos Resíduos
(VAPR), dado em Abur (Abur, 2004). Por sua vez, a
modelagem aplicando a técnica de programação
quadrática Fuzzy procurou desenvolver uma metodo-
logia que permitisse representar as grandezas Fuzzy
em adequação à técnica mais utilizada na grande
maioria dos programas hoje em utilização para a
estimação de estado em sistemas elétricos, no caso o
método dos Mínimos Quadrados Ponderados (MQP).
O conjunto de simulações realizadas avaliou a eficá-
cia e a robustez dos estimadores de estado com res-
trições Fuzzy no cálculo do vetor de estados do sis-
tema, considerando a presença de uma grande varie-
dade de erros grosseiros em medidas analógicas, ou
na definição das próprias pseudomedidas Fuzzy.
Testes foram realizados no sistema de 30 barras do
IEEE, para a modelagem de um sistema externo de
transmissão, e em uma rede real de distribuição de
33 barramentos. Os resultados são comparados com
aqueles fornecidos pelo fluxo de potência e pelos
estimadores de estado MPQ e VAPR, e mostram que
os modelos propostos são uma boa alternativa para a
inclusão de informações qualitativas imprecisas no
problema de estimação de estado em sistemas elétri-
cos, dispensando a aplicação de ferramentas de pós-
processamento, dada a robustez apresentada.
2 Estimação de Estado em Sistemas Elétricos
Em Schweppe (Schweppe, 1970) é formulado o
modelo de estimação estática de estado, que relacio-
na as magnitudes e fases das tensões complexas nos
barramentos, com as medidas analógicas obtidas em
tempo real e pseudomedidas, dado por:
z = h(x) + e (1)
Onde h(x) é o vetor das equações das medidas e
pseudomedidas (nm) em função das variáveis de
estado x, com dimensão nm x 1. As medidas e pseu-
domedidas consideradas são os fluxos de potência
ativa e reativa nas linhas, injeções de potência ativa
e reativa e magnitudes de tensão nas barras.
Os componentes do vetor e (nm x 1) são os erros
de medição e estão associados com o erro inerente,
introduzido pelos medidores, transdutores, redes de
comunicação e outros. Eles, normalmente, são as-
sumidos como uma variável independente e aleató-
ria, com distribuição Normal de média zero e matriz
de covariância dos erros de medição R (nm x nm),
definida por uma matriz diagonal, onde i
2 é a vari-
ância de uma medida analógica; i = 1, ..., nm.
2
2
1
100
00
001
nm
R
(2)
2.1 Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)
O método dos Mínimos Quadrados Ponderados
(MQP) é o mais amplamente utilizado na solução do
problema de estimação de estados em sistemas elé-
tricos. Conforme Monticelli (Monticelli, 2000), o
método baseia-se na minimização da soma pondera-
da dos quadrados dos erros de medição, consideran-
do restrições operativas de igualdade e desigualdade:
( ) ( )[ ]
( )
( ) ;0≤
;0=
∑ -2
1∑ =
2
1=min
1=
22
1=
22
xc
xgasujeito
σxhzσrxJimizarnm
iiii
nm
iii
(3)
Onde: ( )xhzr iii -= é o resíduo de estimação
para uma medida i qualquer;
g(.) e c(.) são restrições operativas de igualdade
e desigualdade.
Aplicando a primeira condição de otimalidade
de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) à função objetivo
J(x) do problema (3), obtém-se o sistema matricial
de equações não lineares a ser resolvido:
( ) ( )0=∑ '=
∂
∂=
∂
∂
1=
1-
2
nm
iz
i
i
irRH
x
xh
σ
r
x
xJ
(4)
Onde ( )( )′∂∂ xxhi é a ith linha da matriz H.
A solução de (4) é usualmente obtida pelo mé-
todo de Gauss-Newton, que é implementado pelo
algoritmo abaixo. G é a Matriz Ganho do sistema.
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xhz
xhz
RHGx
nmnm
z
T
11
11
(5)
[ ] [ ] [ ] [ ]HRHG zT 1-= (6)
2.2 Soma dos Valores Absolutos Ponderados dos
Resíduos (VAPR)
Uma aproximação alternativa para a solução do
problema de estimação de estado é a modelagem
baseada na Soma dos Valores Absolutos Ponderados
dos Resíduos, proposta por Abur (Abur, 2004). Nes-
te método, a função objetivo é definida por:
( ) nmirxhzasujeito
rimizar
iii
nm
ii
≤≤1,+=
∑min1=
(7)
Como a função objetivo é do tipo modular, line-
ar por partes, o problema de estimação pode ser for-
mulado como um problema de programação linear.
[ ]
( )
0≥,
=-+Δ.
∑ +min1=
VU
rVUxxHasujeito
vucimizarnm
iii
Ti
(8)
Onde: U, V são vetores auxiliares cujos compo-
nentes são as variáveis de folga não negativas asso-
ciadas aos resíduos de medição, ui e vi.
cT = [1
1R
,2
1R
, ..., nmR
1 ] é o vetor de ponde-
rações do inverso das covariâncias dos erros de me-
dição definidos em R ( nm x 1).
A solução do problema de programação linear
pode ser obtida pelo método Simplex ou pelo método
dos Pontos Interiores Primal Dual, descritos em Gill
(Gill, 1981).
3 Restrições Fuzzy
3.1 Otimização Fuzzy
A forma geral do problema de otimização
Fuzzy, considerando a presença de múltiplos objeti-
vos (fi) e restrições flexíveis, é definida por:
1 2 n
~
max ção Fuzzy f , f ,..., f
: 0, 1,2,...,
i
imiza x x x
x X
sujeito a g x i m
(9)
Na equação (9), o símbolo (~ ) é a versão Fuzzy
de e denota uma flexibilidade das restrições.
Em Zimmerman (Zimmerman, 1984) é formu-
lada a solução ótima do problema de programação
Fuzzy: “O conjunto decisão, no qual está contida a
solução, é a interseção dos conjuntos Fuzzy associa-
dos à função objetivo e às restrições. A solução do
problema é o ponto com máxima pertinência ao con-
junto decisão”.
0 0
max max min i
ix xD
x x (10)
Introduzindo a nova variável , correspondente
à minimização do conjunto de funções de pertinên-
cia do conjunto de decisão Fuzzy, descrito em (10), o
modelo equivalente para o problema de programação
Fuzzy pode ser assim definido:
1≤;0≥,
1+,...,1=,+≤+
max
λxλ
nmipdxBpλasujeito
λimize
iiii
(11)
Para o tipo mais simples de função de pertinên-
cia, ilustrada na Figura 1, e assumindo um decre-
mento linear para valores abaixo do intervalo de
tolerância di, tem-se a relação definida em (12) para
i x . O parâmetro p é escolhido subjetivamente de
forma a indicar um intervalo permissível de violação
das restrições de natureza Fuzzy. i(x)
1.0
di di + pi Bx Bix
Figura 1. Função de pertinência para uma grandeza Fuzzy.
1,,1
0
1
1
nmi
pdxBse
pdxBdsep
dxB
dxBse
x
iii
iiii
i
ii
ii
i
(12)
3.2 Aproximação Fuzzy para o Método da Soma dos
Valores Absolutos Ponderados dos Resíduos (PLF)
Para uma função objetivo linear, como no pro-
blema VAPR, o modelo de programação linear
Fuzzy é assim formulado:
( )
1≤;0≥,
1+,...,1=,+≤+
≤+-
max
101
λxλ
nmipdxBpλ
fxcffλasujeito
λimize
iiii
T (13)
O termo ( )101 ≤+- fxcffλ T é a restrição da fun-
ção de pertinência associada à função objetivo do
problema de programação linear, obtida pela solução
dos dois seguintes problemas de programação linear:
( )
0≥
1+,...,1=,≤
=max 0
x
nmidxBasujeito
xcxfimize
ii
T
(14)
( )
0≥
1+,...,1=,+≤
=max 1
x
nmipdxBasujeito
xcxfimize
iii
T
(15)
A função de pertinência é denotada por:
00
1001
0
11
fxTcse
fxTcfseff
fxTc
xTcfse
xG
(16)
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Como o algoritmo de estimação VAPR resolve
um problema de programação linear, a introdução de
restrições Fuzzy consiste apenas na adição destas
restrições a formulação básica do problema VAPR
(17) e na solução do problema linear dado em (18).
[ ]
( )
( )
0≥,
Δ≤Δ.
=-+Δ.
∑ +min
~
1=
VU
zxxF
rVUxxHasujeito
vucimizar
Fuzzy
nm
iii
Ti
(17)
( )
( ) [ ]
( )
0≥,
1≤≤0
Δ≤Δ.±
≤∑ ++-
=-+Δ.
max
11=
01
VU
λ
zxxFpλ
fvucffλ
rVUxxHasujeito
λimizar
Fuzzy
nm
iii
Ti
(18)
Onde: F(x) é matriz Jacobiana das derivadas das
equações das pseudomedidas Fuzzy em relação às
variáveis de estado do problema. Assim como H(x),
F(x) possui uma coluna relativa às derivadas das
pseudomedidas Fuzzy em relação à variável de esta-
do inserida no problema λ, λ
zFuzzy
∂∂ . O valor do sinal
matemático de F(x), em (18), é determinado pelo
formato da função de pertinência.
nz
nznznz
nz
nz
f
x
f
x
f
f
x
f
x
f
f
x
f
x
f
x
xfF
21
22
2
1
2
12
1
1
1
(19)
nz refere-se ao número de pseudomedidas Fuzzy
e Fuzzyz o seu resíduo de estimação.
( ) ( )xfpzz FuzzyFuzzy -+±=Δ (20)
Observa-se na equação (18) que a função objeti-
vo do problema de estimação de estado VAPR
( [ ]∑ +1=
nm
iii
Ti vuc ) é representada como uma restrição de
desigualdade no novo problema. Os valores de f0 e f1
são determinados conforme as equações (21) e (22).
[ ]
( )
( )
0≥,
Δ≤Δ.
= -+Δ.
∑ +=min
0
1=0
VU
zxxD
rVUxxHasujeito
vucfimizarnm
iii
Ti
(21)
[ ]
( )
( )
0≥,
Δ≤Δ.
=-+Δ.
∑ +=min
1
1=1
VU
zxxD
rVUxxHasujeito
vucfimizarnm
iii
Ti
(22)
)(-=Δ 0 xhdz (23)
)(-+=Δ 1 xhpdz (24)
D(x) é o conjunto de equações linearizadas das
grandezas sujeitas a restrições de desigualdade, no
caso as pseudomedidas Fuzzy e medidas com limites
em seus valores. Os termos d e p nas equações (23) e
(24) são aqueles definidos na Figura 1.
3.3 Aproximação Fuzzy para o Método dos Mínimos
Quadrados Ponderados (PQF)
O método iterativo das Equações Normais é a
aproximação padrão para a solução do Estimador de
Estado MQP. Contudo, esse problema pode ser re-
solvido pela solução de uma sequência de problemas
de programação quadrática, que facilita a represen-
tação de incertezas Fuzzy em sua formulação.
Cada iteração do algoritmo MPQ dado em (5),
pode ser entendido como a solução de um problema
linear pelo método dos mínimos quadrados pondera-
dos, definido pelo seguinte modelo de medição:
( )LexxHz +Δ=Δ (25)
Onde Le leva em consideração as medições e os
erros linearizados, e x e z são definidos como
previamente. A função objetivo é então dada por:
( ) ( ) rRrxJT
L ΔΔ2
1= 1- (26)
( ) xxHzsr Δ-Δ==Δ (27)
A minimização de JL(x) pode ser obtida direta-
mente pelas condições de otimização de KKT, ou,
alternativamente, por um algoritmo de Programação
Quadrática – PQ, como dado em Gill (Gill, 1998).
Esta última aproximação é usada para introduzir as
restrições Fuzzy no algoritmo de MPQ.
A minimização de JL(x) é encontrada pela solu-
ção do problema de programação quadrática abaixo:
( ) zsxxHasujeito
sRszimizar T
Δ=+Δ
2
1=min 1-
(28)
A incorporação das restrições Fuzzy ao proble-
ma de MQP de (28) é dada por:
( )
( )Fuzzy
T
zxxF
zsxxHasujeito
sRszimizar
Δ≤Δ
Δ=+Δ
2
1=min
~
1-
(29)
Semelhante à formulação linear com restrições
Fuzzy, a solução de (29) é feita em dois estágios.
Primeiro, determina-se f0 e f1 para a construção da
restrição associada à função objetivo do problema de
programação quadrática, sendo assim formulados:
( )
( )
0≥
Δ≤Δ
Δ=+Δ
2
1=min=
0
1-0
s
zxxD
zsxxHasujeito
sRszimizarf T
(30)
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( )
( )
0≥
Δ≤Δ
Δ=+Δ
2
1=min=
1
1-1
s
zxxD
zsxxHasujeito
sRszimizarf T
(31)
Os valores de Δz0 e Δz1 são calculados confor-
me as equações (23) e (24).
No segundo passo, é resolvido um problema de
otimização no qual a função objetivo e todas as res-
trições são lineares, com exceção de uma restrição
que é quadrática. Este problema pode ser resolvido
por algum método de otimização com restrições não
lineares, sendo formulado como:
( )
( )
( )
0≥;1≤≤0
Δ≤Δ±
≤2
1+-
Δ=+Δ
max
11-
01
sλ
zxxFpλ
fsRsffλ
zsxxHasujeito
λimizar
Fuzzy
T
(32)
4 Resultados Numéricos
O conjunto de simulações realizadas procurou
avaliar a eficácia e a robustez dos estimadores de
estados com restrições Fuzzy no cálculo do vetor de
estado, considerando a presença de erros grosseiros
em medidas analógicas e/ou pseudomedidas Fuzzy.
Testes foram realizados nos sistemas de 30 barras do
IEEE e em uma rede real de distribuição de 33 bar-
ramentos. Os resultados alcançados com os estima-
dores com restrições Fuzzy são comparados com
aqueles fornecidos pelos estimadores de estado pelo
MQP, VAPR e pelo fluxo de potência.
Os seguintes conjuntos de medidas e pseudome-
didas foram processadas: injeções e fluxos de potên-
cia ativa e reativa nos barramentos e linhas de
transmissão, e magnitudes das tensões nas barras.
Os valores das medidas foram obtidos a partir da
solução exata de um problema de fluxo de potência
para o caso base, com inserção de um ruído aleató-
rio, normalmente distribuído. De acordo com Falcão
(Falcão, 1988) assume-se que o ruído de medição
tem média zero e desvio padrão definido por:
( )zFσP 06.0+005.03
1= (33)
0.002 T z (34)
P desvio padrão associado às medidas de fluxo
e injeção de potência ativa e reativa (p.u);
T desvio padrão para medidas de tensão (p.u);
F o valor de fundo de escala do medidor (F=0).
O ruído aleatório inserido tem valor máximo i-
gual à ±3σ, em 99.97% dos casos.
O critério de convergência utilizado foi o resí-
duo máximo entre duas iterações sucessivas das
magnitudes e ângulos de fase das tensões nas barras,
com valor máximo igual a 10-5 p.u.
4.1 Modelagem das Pseudomedidas Fuzzy
Um conjunto de regras foi utilizado na modela-
gem das pseudomedidas Fuzzy, com o propósito de
permitir uma representação mais coerente possível
com a situação real. As regras são assim definidas:
O valor central da função de pertinência da
pseudomedida Fuzzy, independente do tipo de
função de pertinência, é determinado pela exe-
cução de um fluxo de potência para o caso base
do sistema, adicionando a este um erro grosseiro
aleatório com valor compreendido entre ±10σ e
±40σ para as pseudomedidas de injeção e fluxo
de potência, e entre ±5σ e ±10σ para as pseu-
domedidas Fuzzy de magnitude de tensão.
As funções de pertinência serão sempre simétri-
cas em relação ao valor central, C, sendo que
pseudomedidas Fuzzy de tensão são modeladas
por funções de pertinência com formato triangu-
lar, enquanto pseudomedidas de injeção e fluxo
de potência ativa e reativa por funções trapezoi-
dais. Os parâmetros A0, A1, B0 e B1 da Figura 2,
são os pontos de pertinência zero e unitária.
Figura 2. Funções de pertinência trapezoidal e triangular.
As seguintes expressões são validas para fun-
ções de pertinência trapezoidais: B0 = B1 =
1.15C; p = 0.15; A0 = A1 = 1.25C, p = 0.15, d =
0.10. Para funções de pertinência triangulares:
A0 = A1 = 1.10C; d = 0.10.
4.2 Modelagem das Pseudomedidas
As pseudomedidas não Fuzzy são encaradas
como um caso particular das pseudomedidas Fuzzy.
O valor da pseudomedida é igual ao valor central da
função de pertinência da pseudomedida Fuzzy, o que
permite uma comparação mais verossímil entre os
resultados dos estimadores de estado com restrições
Fuzzy e estimadores MQP e VAPR.
4.3 Modelagem da Rede Elétrica Externa
Em aplicações reais, a informação disponível
em um centro de controle e operação corresponde a
apenas uma área do sistema de potência, geralmente
referido como o sistema interno. No entanto, para
aplicações econômicas e funções de segurança, uma
parcela maior do sistema deve ser representada (sis-
tema externo). A fim de se obter uma estimativa
completa do estado operacional do sistema, interno e
externo, informação não medidas (pseudomedidas)
são adicionadas nos esquemas computacionais.
O objetivo das simulações é avaliar as restrições
Fuzzy na modelagem das pseudomedidas utilizadas
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na representação da rede externa, considerando erros
grosseiros nas mesmas e compará-las com o método
tradicional de representação. Na Tabela 1, é mostra-
do o valor central da função de pertinência das
pseudomedidas Fuzzy, com adição de erro grosseiro
aleatório, e o valor não contaminado do fluxo de
potência. O valor da variância das pseudomedidas de
injeção e fluxo de potência foi igual a 10.
Tabela 1: Pseudomedidas Fuzzy com adição de erros grosseiros ao
valor central da sua função de pertinência - IEEE30 barras.
A Figura 3 mostra o sistema IEEE 30 barras di-
vidido em rede interna e externa e o plano de medi-
ções e pseudomedidas consideradas. A redundância
do conjunto de medidas e pseudomedidas Fuzzy da
Figura 3 é de 1.475. A baixa redundância do sistema
procura avaliar os estimadores de estado em uma
situação crítica de observabilidade.
Figura 3. Divisão do sistema IEEE 30 barras em rede interna e rede
externa, com o plano de medição e pseudomedidas Fuzzy.
Os resultados dos estimadores PLF, PQF, MQP,
VAPR e do fluxo de potência são mostrados na Fi-
gura 4. As piores estimativas para as barras da rede
interna, e principalmente, da rede externa foram
verificadas no estimador de estado MQP. Os estima-
dores com restrições Fuzzy produziram boas estima-
tivas, mais próximas do fluxo de potência, tratando
satisfatoriamente a imprecisão nos dados externos.
Figura 4. Estimativas dos ângulos e magnitudes das tensões em todos
os barramentos do sistema IEEE 30 barras.
O valor do erro médio quadrático (EMQ) e o va-
lor do erro absoluto máximo (Max(EA)) para as
grandezas de interesse são dados na Tabela 2. Con-
firmando a Figura 4, os maiores erros foram verifi-
cados no estimador MQP, sendo estes bem superio-
res aos erros dos demais estimadores, que apresenta-
ram estimativas satisfatórias e muito próximas.
Tabela 2: Erros de estimação para o sistema IEEE 30 barras.
O último problema de programação dos estima-
dores de estado considerando restrições Fuzzy con-
vergiu em quatro iterações, com valor convergido da
função objetivo igual a 1 (um), indicando que todas
as restrições foram atendidas satisfatoriamente. Os
valores convergidos da função objetivo dos estima-
dores MQP e VAPR foram, respectivamente, 98134
e 125.96, convergindo ambos em três iterações.
4.4 Rede de Distribuição de 33 Barramentos
Na Figura 5, é mostrada a rede de distribuição
de 33 barras e 32 circuitos e o conjunto de medidas e
pseudomedidas Fuzzy consideradas. A barra 33 é a
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referência angular da rede de distribuição. Foram
representados 32 pares de pseudomedidas Fuzzy de
injeção de potência ativa e reativa, refletindo as con-
dições de carregamento nos barramentos ao longo do
alimentador. A redundância do conjunto de medidas
e pseudomedidas Fuzzy é igual a 1.0615. Para as
pseudomedidas avaliadas nos estimadores MQP e
VAPR adotou-se uma variância igual a 10.
Figura 5. Plano de medição e pseudomedidas Fuzzy para a rede de
distribuição de eletricidade de 33 barramentos.
A Tabela 3 mostra o valor correspondente para
os intervalos p e d considerados na modelagem da
função de pertinência das pseudomedidas Fuzzy,
como definido na Figura 2. Os valores de p e d são
expressos em porcentagem do valor central.
Tabela 3: Valores dos intervalos da função de pertinência das pseu-
domedidas Fuzzy.
Pseudomedida Fuzzy de Injeção de
Potência
Porcentagem do
valor central C
±p ±d
P32,P31,P30,P29,P27,P25,P17,P2, P11, Q32,
Q31, Q30, Q29, Q27, Q25, Q17, Q2, Q11 25% 10%
P20, P16, P14, P6, P8, P3, P13, Q20, Q16,
Q14, Q6, Q8, Q3, Q13 20% 10%
P22, P10, P12, Q22, Q10, Q12 22% 10%
P14, P6, P8, P3, P13, P19 , Q14, Q6, Q8,
Q3, Q13, Q19 15% 10%
P9, P4, P21, P26, Q9, Q4, Q21, Q26 15% 5%
P28, P5, P7, P23, Q5, Q7, Q28, Q23, 10% 10%
P15, P24, P18, Q15, Q24, Q18 10% 7%
Nesta simulação, considerou-se a adição de er-
ros grosseiros nas medidas de fluxo de potência ativa
e reativa entre as barras 33 e 1, caracterizando falha
no sistema de aquisição de medidas. Tal situação
tem o propósito de avaliar a robustez dos estimado-
res frente à presença de erros grosseiros em medidas
analógicas. Na Tabela 4 são dados os valores exatos
das medidas e os valores corrompidos com o erro.
Tabela 4: Medidas com adição de erros grosseiros.
Medida com
Erro Grosseiro
Valor Exato (Flu-
xo de Potência)
Valor com
Erro Grosseiro
P33-1 (MW) 4.01 -4.01
Q33-1 (MVAr) 2.43 0.00
Os resultados alcançados pelos estimadores com
restrições Fuzzy, MQP, VAPR e o fluxo de potência
são comparados na Figura 6. As piores estimativas
para as variáveis de estado foram verificadas nova-
mente no estimador de estados MQP. Com exceção
do estimador MQP, os demais estimadores de estado
mostraram-se robustos, filtrando a influência dos
erros grosseiros nas medidas analógicas e em pseu-
domedidas durante o cálculo do vetor de estados,
minimizando assim a sua influência sobre o resulta-
do final da estimação. Tal fato comprova a não ne-
cessidade da utilização de ferramentas de pós-
processamento em suas modelagens. Mesmo consi-
derando uma elevada variância para as pseudomedi-
das no estimador MQP, igual a 10, este estimador
não apresentou uma boa estimativa, ilustrando a
necessidade da aplicação de uma ferramenta de pós-
processamento para detecção, identificação e elimi-
nação dos erros grosseiros nas medidas.
Figura 6. Estimativas dos ângulos e magnitudes das tensões nos
barramentos.
Os valores dos EMQ e Max(EA) são mostrados
na Tabela 5. Todos os estimadores de estado com
restrições Fuzzy e o estimador VAPR apresentaram
erros muito baixos e próximos, conforme a Figura 6.
Os estimadores PLF e PQF apresentaram estimativas
muito próximas, uma vez que a distinção entre estes
dois modelos de estimadores considerando restrições
Fuzzy reside apenas na restrição de desigualdade
relativa à função objetivo do problema de programa-
ção convencional.
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Tabela 5: Erros de estimação para a rede de distribuição de 33 bar-
ramentos.
5 Conclusão
A principal contribuição deste trabalho é a re-
presentação de informações qualitativas imprecisas
em um problema de estimação de estado em sistemas
elétricos de potência, utilizando os conceitos de con-
juntos Fuzzy. Uma característica fundamental da
metodologia proposta, decorrente do emprego da
técnica de programação Fuzzy, é a representação das
pseudomedidas Fuzzy por meio de restrições de de-
sigualdade, não ponderadas, que contorna o proble-
ma da definição do valor da ponderação das pseu-
domedidas, tradicionalmente verificado em estima-
dores de estado MQP e VAPR. Deve-se destacar
também que, quanto mais precisa for a informação
qualitativa disponível, mais concisa com a realidade
será a modelagem da pseudomedida Fuzzy, resul-
tando em uma estimação de estado mais confiável. É
importante ressaltar que o ponto fundamental deste
trabalho está na obtenção de uma solução aceitável
para o estado estimado em redes elétricas em que “a
priori” é impossível de se estimar o estado a partir
do conjunto de informações quantitativas disponí-
veis, haja visto que o estado operacional destas redes
é desconhecido e sem referência de comparação.
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